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- Welche Eigenschaft muss jeder Stammbruch in Teil a) haben? - Überlege, was der Nenner über die Zerlegung des ganzen Rechtecks aussagt. - Welche Information liefert der Zähler über die Teile, die betrachtet oder markiert werden?

1. Drei gleich große Zehntel ergeben \(\frac{3}{10}\): \(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}\). 2. Der Nenner \(10\) bedeutet, dass das ganze Rechteck in \(10\) gleich große Teile zerlegt wird. 3. Der Zähler \(3\) bedeutet, dass davon \(3\) Teile markiert werden.

a) \(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10}\) b) Das Rechteck wird in \(10\) gleich große Teile zerlegt; \(3\) davon werden markiert. Der Nenner gibt die Anzahl der gleich großen Teile des Ganzen an, der Zähler die Anzahl der betrachteten Teile.

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile das Ganze unterteilt wurde. Dies ist dein Nenner. - Zähle dann, wie viele dieser Teile gefärbt sind. Dies ist dein Zähler. - Überlege dir beim Aufschreiben in Worten, welche Endung die Zahl im Nenner bekommt (meist „-tel“).

1. Bestimmung des Anteils für Figur a): Die Kreisscheibe ist in 8 gleich große Teile unterteilt, von denen 3 gefärbt sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{3}{8}\). In Worten: drei Achtel. 2. Bestimmung des Anteils für Figur b): Der Balken besteht aus 5 gleich großen Abschnitten, von denen 2 gefärbt sind. Dies ist der Bruch \(\frac{2}{5}\). In Worten: zwei Fünftel. 3. Bestimmung des Anteils für Figur c): Die Gruppe besteht aus insgesamt 12 Elementen, von denen 7 gefärbt sind. Der Anteil ist \(\frac{7}{12}\). In Worten: sieben Zwölftel.

a) \(\frac{3}{8}\); drei Achtel b) \(\frac{2}{5}\); zwei Fünftel c) \(\frac{7}{12}\); sieben Zwölftel

- Welche Zahl des Bruchs bestimmt, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt werden muss? - Welche Zahl bestimmt, wie viele dieser Teile markiert werden? - Prüfe, ob deine Teilflächen wirklich gleich groß sind.

1. Das Rechteck muss in \(8\) gleich große Teilflächen zerlegt werden. 2. Davon werden \(5\) Teilflächen markiert. 3. Eine mögliche Konstruktion ist zum Beispiel ein Rechteck aus \(2\) Reihen und \(4\) gleich großen Spaltenfeldern. Entscheidend sind die \(8\) gleich großen Teile, nicht ihre genaue Anordnung.

Eine gültige Beschreibung ist: Das Rechteck wird in \(8\) gleich große Teile zerlegt und \(5\) davon werden markiert. Zum Beispiel ist ein \(2 \times 4\)-Gitter möglich.

- Welcher Stammbruch ist etwas kleiner als der gesuchte Bruch? - Was bleibt übrig, wenn du diesen Stammbruch vom ursprünglichen Bruch abziehst? - Kannst du den Rest als einen weiteren Stammbruch erkennen?

1. Suche einen Stammbruch, der kleiner ist als \(\frac{3}{4}\), zum Beispiel \(\frac{1}{2}\). 2. Berechne die Differenz: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}\). 3. Da das Ergebnis \(\frac{1}{4}\) ebenfalls ein Stammbruch ist und sich von \(\frac{1}{2}\) unterscheidet, lautet die Summe: \(\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\).

\(\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\). Wähle zum Beispiel \(\frac{1}{2}\); der Rest ist \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\). Damit sind beide Summanden unterschiedliche Stammbrüche.

- Erinnere dich, wie man Brüche mit gleichem Nenner addiert. - Suche nach Zahlen, die Teiler von \(12\) sind und zusammen \(5\) ergeben. - Vergiss nicht zu kürzen, um echte Stammbrüche zu erhalten.

1. Zerlegung in gleiche Stammbrüche: Der Zähler \(5\) bestimmt die Anzahl der Summanden. Es gilt \(\frac{5}{12} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}\). 2. Suche nach verschiedenen Stammbrüchen: Es werden Teiler des Nenners \(12\) gesucht, deren Summe den Zähler \(5\) ergibt. Die Teiler von \(12\) sind \(1, 2, 3, 4, 6, 12\). 3. Möglichkeit 1: Die Summe \(2 + 3 = 5\) führt zu \(\frac{2}{12} + \frac{3}{12}\). Gekürzt ergibt dies \(\frac{1}{6} + \frac{1}{4}\). Rechnung: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}\). 4. Möglichkeit 2: Die Summe \(1 + 4 = 5\) führt zu \(\frac{1}{12} + \frac{4}{12}\). Gekürzt ergibt dies \(\frac{1}{12} + \frac{1}{3}\). Rechnung: \(\frac{1}{12} + \frac{1}{3} = \frac{1}{12} + \frac{4}{12} = \frac{5}{12}\).

a) \(\frac{5}{12}=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}\) b) Zum Beispiel \(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}\). Ebenfalls möglich ist \(\frac{1}{3}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12}+\frac{1}{12}=\frac{5}{12}\).

- Bringe die Stammbrüche einer Darstellung zunächst auf einen gemeinsamen Nenner. - Addiere erst danach die Zähler und kürze das Ergebnis, falls möglich. - Vergleiche deinen gekürzten Bruch jeweils mit dem vorgegebenen Zielbruch.

1. Für die erste Darstellung gilt \(\frac{1}{5}+\frac{1}{45}=\frac{9}{45}+\frac{1}{45}=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}\). 2. Für die zweite Darstellung gilt \(\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{90}=\frac{10}{90}+\frac{9}{90}+\frac{1}{90}=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}\). 3. Damit sind beide vorgegebenen Zerlegungen korrekt.

a) \(\frac{9}{45}+\frac{1}{45}=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}\) b) \(\frac{10}{90}+\frac{9}{90}+\frac{1}{90}=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}\)

- Prüfe die vorgegebene Zerlegung zuerst mit einem gemeinsamen Nenner. - Eine Teilrechnung darf in einer Summe durch eine gleichwertige Darstellung ersetzt werden. - Kontrolliere am Ende, dass die drei Stammbrüche tatsächlich verschieden sind.

1. Zur Überprüfung gilt \(\frac{1}{6}+\frac{1}{30}=\frac{5}{30}+\frac{1}{30}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\). 2. Ersetze in \(\frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\) einen Summanden durch die gleichwertige Zerlegung. 3. Dadurch entsteht \(\frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}\). Die drei Stammbrüche sind verschieden.

a) \(\frac{1}{6}+\frac{1}{30}=\frac{1}{5}\) b) \(\frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}\)

- Was passiert, wenn du einen Kuchen in drei gleich große Teile schneidest und zwei davon nimmst? Wie lässt sich das als Summe schreiben? - Kannst du einen Teil deiner ersten Lösung durch etwas Gleichwertiges ersetzen, das im Text gegeben ist? - Achte darauf, dass in der zweiten Lösung alle Nenner unterschiedlich sein müssen.

1. Darstellung als Summe von zwei gleichen Stammbrüchen: Da \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\), ist die Lösung \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\). 2. Darstellung als Summe von drei verschiedenen Stammbrüchen: Man ersetzt einen der Brüche \(\frac{1}{3}\) durch die gegebene Zerlegung \(\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\). Damit ergibt sich \(\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\). Alle drei Stammbrüche sind verschieden.

1. \(\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\) 2. \(\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\)

- Was zeichnet einen Stammbruch aus? - Was musst du tun, bevor du Brüche mit verschiedenen Nennern addierst? - Schau dir die Teiler des Nenners 6 an.

1. Ein Stammbruch hat die Form \(\frac{1}{n}\). 2. Suche zwei Brüche \(\frac{1}{a}\) und \(\frac{1}{b}\), deren Summe \(\frac{5}{6}\) ergibt. 3. Durch Probieren oder Überlegen der Teiler von 6 findet man \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\). 4. Rechnung: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\).

\(\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)

- Überlege, welcher Anteil zu \(\frac{1}{6}\) noch fehlt, damit \(\frac{1}{5}\) entsteht. - Bringe die beiden bekannten Brüche für diese Differenz auf einen gemeinsamen Nenner. - Setze deinen gefundenen Stammbruch anschließend in die ursprüngliche Summe ein.

1. Der fehlende Anteil ist die Differenz \(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\). 2. Mit dem gemeinsamen Nenner \(30\) gilt \(\frac{6}{30}-\frac{5}{30}=\frac{1}{30}\). 3. Setze \(\frac{1}{30}\) ein und prüfe: \(\frac{1}{6}+\frac{1}{30}=\frac{5}{30}+\frac{1}{30}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\).

\(\Box=\frac{1}{30}\). Nachweis mit Hauptnenner \(30\): \(\frac{1}{6}+\frac{1}{30}=\frac{5}{30}+\frac{1}{30}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\).

- Um Brüche zu addieren, musst du sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen. - Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner in jeder Teilaufgabe? - Vergiss nicht, das Ergebnis am Ende so weit wie möglich zu kürzen, um es mit \(\frac{2}{3}\) vergleichen zu können.

1. Überprüfung von A: Bestimmung des Hauptnenners 6. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6}\). Kürzen durch 2 ergibt \(\frac{2}{3}\). (Richtig) 2. Überprüfung von B: Bestimmung des Hauptnenners 12. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} + \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{10}{12}\). Kürzen durch 2 ergibt \(\frac{5}{6}\). (Falsch) 3. Überprüfung von C: Bestimmung des Hauptnenners 30. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{15}{30} + \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{20}{30}\). Kürzen durch 10 ergibt \(\frac{2}{3}\). (Richtig)

A) \(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\), also richtig. B) \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{6}{12}+\frac{3}{12}+\frac{1}{12}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\), also falsch. C) \(\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{15}{30}+\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}\), also richtig. Damit sind A und C gleich \(\frac{2}{3}\).

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile die jeweilige Figur insgesamt unterteilt ist. Dies ist dein Nenner (unten im Bruch). - Zähle dann, wie viele dieser Teile farbig markiert sind. Dies ist dein Zähler (oben im Bruch). - Überlege bei jedem Bruch, ob du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen (kürzen) kannst, um den Bruch so einfach wie möglich zu schreiben.

1. Abbildung a) zeigt einen Kreis, der in 8 gleich große Sektoren unterteilt ist. Davon sind 6 Sektoren farbig markiert. Das entspricht dem Bruch \(\frac{6}{8}\). Durch Kürzen mit 2 erhältst du \(\frac{3}{4}\). 2. Abbildung b) zeigt ein Rechteckgitter mit \(3 \cdot 5 = 15\) gleich großen Feldern. Davon sind 10 Felder farbig markiert. Das entspricht dem Bruch \(\frac{10}{15}\). Durch Kürzen mit 5 erhältst du \(\frac{2}{3}\). 3. Abbildung c) zeigt einen Balken, der in 5 gleich große Abschnitte unterteilt ist. Davon sind 2 Abschnitte farbig markiert. Das entspricht dem Bruch \(\frac{2}{5}\). Da 2 und 5 teilerfremd sind, lässt sich dieser Bruch nicht weiter kürzen.

a) \(\frac{3}{4}\) b) \(\frac{2}{3}\) c) \(\frac{2}{5}\)

- Bestimme aus der Abbildung, wie viele gleich große Stücke zum ganzen Schokoladenriegel gehören. - Achte darauf, dass nach dem noch vorhandenen und nicht nach dem gegessenen Anteil gefragt wird. - Stelle den verbleibenden Anteil als Bruch dar und kürze ihn vollständig.

1. Die Abbildung zeigt \(4\) Zeilen mit je \(6\) gleich großen Stücken, also insgesamt \(24\) Stücke. 2. \(9\) Stücke sind orange markiert. Übrig bleiben \(24-9=15\) Stücke. 3. Der verbleibende Anteil ist \(\frac{15}{24}=\frac{5}{8}\).

\(\frac{5}{8}\)

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Felder das gesamte Raster unterteilt ist. Das ergibt den Nenner des Bruchs. - Zähle dann die gefärbten beziehungsweise die weißen Felder für den Zähler. - Überlege, durch welche gemeinsame Zahl du Zähler und Nenner teilen kannst, um den Bruch vollständig zu kürzen.

1. Zähle die Gesamtzahl der Plätze im Raster: Es gibt 3 Zeilen und 5 Spalten, also insgesamt \(3 \cdot 5 = 15\) Plätze. 2. Bestimme den Anteil der gefüllten Plätze: Es sind 6 Plätze blau gefärbt. Der Anteil ist \(\frac{6}{15}\). Gekürzt mit 3 ergibt sich \(\frac{2}{5}\). 3. Bestimme den Anteil der leeren Plätze: Es sind \(15 - 6 = 9\) Plätze weiß. Der Anteil ist \(\frac{9}{15}\). Gekürzt mit 3 ergibt sich \(\frac{3}{5}\).

a) \(\frac{2}{5}\) b) \(\frac{3}{5}\)

- Kannst du beschreiben, wie man den Anteil gefärbter Objekte an einer Gesamtzahl als Bruch darstellt? - Bestimme zuerst die Gesamtzahl aller Objekte in der Abbildung. - Wie viele der Objekte sind gefärbt? - Wenn du den Bruch aufgeschrieben hast, prüfe, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben, um den Bruch zu vereinfachen.

1. Bestimme die Gesamtzahl der Murmeln in der Schachtel: In der Abbildung sind insgesamt \(20\) Murmeln zu sehen. 2. Bestimme die Anzahl der blau gefärbten Murmeln: Es sind \(8\) blau gefärbte Murmeln. 3. Stelle den Anteil als Bruch dar: \(\frac{8}{20}\). 4. Kürze den Bruch mit dem größten gemeinsamen Teiler \(4\): \(\frac{8 : 4}{20 : 4} = \frac{2}{5}\).

\(\frac{2}{5}\)

- Wie viele kleine Quadrate siehst du insgesamt im Raster? - Zähle, wie viele dieser Quadrate farbig markiert sind. - Kannst du den Anteil als Bruch aufschreiben, indem du die Anzahl der markierten Quadrate durch die Gesamtzahl teilst? - Überlege, durch welche Zahl du sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs teilen kannst, um ihn zu kürzen. - Wie kannst du den verbleibenden weißen Anteil berechnen?

1. Gesamtzahl der kleinen Quadrate im Gitternetz: Das Raster hat 4 Zeilen und 6 Spalten, also insgesamt \(4 \cdot 6 = 24\) Quadrate. 2. Anzahl der farbig markierten Quadrate: Durch Abzählen erhält man genau 9 farbige Quadrate. 3. Bestimmung des farbigen Anteils: Der Anteil ist \(\frac{9}{24}\). Kürzen mit 3 liefert den vollständig gekürzten Bruch \(\frac{3}{8}\). 4. Anzahl der weißen Quadrate: Es sind \(24 - 9 = 15\) weiße Quadrate. 5. Bestimmung des weißen Anteils: Der Anteil ist \(\frac{15}{24}\). Kürzen mit 3 liefert den vollständig gekürzten Bruch \(\frac{5}{8}\).

a) \(\frac{3}{8}\) b) \(\frac{5}{8}\)

- Zähle zuerst, aus wie vielen kleinen Quadraten das gesamte Rechteck besteht. - Bestimme dann die Anzahl der gefärbten Quadrate. - Überlege, wie du diese beiden Zahlen als Teil eines Ganzen aufschreiben kannst. - Prüfe am Ende, ob du den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl teilen kannst, um den Bruch zu vereinfachen.

1. Bestimmung der Gesamtanzahl der Quadrate im Raster: Das Raster hat 4 Zeilen und 6 Spalten, also insgesamt \(4 \cdot 6 = 24\) Quadrate. 2. Zählen der markierten (blauen) Quadrate: In der Abbildung sind 9 Quadrate blau gefärbt. 3. Aufstellen des Anteils als Bruch: Der Anteil der blauen Fläche an der Gesamtfläche beträgt \(\frac{9}{24}\). 4. Kürzen des Bruchs: Sowohl der Zähler als auch der Nenner sind durch 3 teilbar. \(\frac{9 : 3}{24 : 3} = \frac{3}{8}\).

Der Anteil der blauen Glassteine beträgt \(\frac{3}{8}\) der Gesamtfläche.

- Vergleiche zuerst die Größen der vier Sektoren miteinander. - Welcher Sektor umfasst genau die Hälfte des Kreises, und welcher halb so viel? - Zwei Zutaten haben denselben Bruchteil. Suche deshalb auch nach zwei gleich großen Sektoren.

1. Der Sektor A nimmt die Hälfte des Kreises ein und gehört daher zu den Erdnüssen mit \(\frac{1}{2}\). 2. Der Sektor B nimmt ein Viertel des Kreises ein und gehört daher zu den Cashewkernen mit \(\frac{1}{4}\). 3. Die Sektoren C und D sind gleich groß und jeweils halb so groß wie B. Sie entsprechen daher jeweils \(\frac{1}{8}\). 4. Mandeln und Rosinen können C und D in beliebiger Reihenfolge zugeordnet werden.

Erdnüsse: A Cashewkerne: B Mandeln und Rosinen: C und D in beliebiger Zuordnung

- Zähle zuerst alle kleinen Quadrate im Gitter. - Wie viele dieser Quadrate sind farbig markiert? - Überlege, ob du den Bruch noch vereinfachen kannst, indem du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilst.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Quadrate: Das Gitter hat \(4\) Zeilen und \(5\) Spalten, also \(4 \cdot 5 = 20\) Quadrate. 2. Bestimmung der markierten Quadrate: In der Abbildung sind \(8\) Quadrate farbig markiert. 3. Aufstellen des Bruchs: Der Anteil ist \(\frac{8}{20}\). 4. Kürzen des Bruchs: Durch Kürzen mit \(4\) ergibt sich \(\frac{2}{5}\).

Die Erdbeeren nehmen \(\frac{2}{5}\) der Gesamtfläche ein.

- Bestimme aus der Abbildung zuerst die Gesamtzahl der Farbtöpfe. - Zähle anschließend die markierten Farbtöpfe. - Stelle den Anteil als Bruch dar und prüfe, ob du ihn vollständig kürzen kannst.

1. Die Abbildung zeigt insgesamt \(18\) Farbtöpfe. 2. Davon sind \(6\) markiert. Der Anteil ist \(\frac{6}{18}\). 3. Gekürzt mit \(6\) ergibt sich \(\frac{6:6}{18:6}=\frac{1}{3}\).

\(\frac{1}{3}\)

- Bestimme aus der Abbildung, wie viele gleich große Stücke zum ganzen Kuchen gehören. - Vergleiche die noch sichtbaren Stücke mit dem Ganzen, um die verkaufte Anzahl zu finden. - Schreibe den verkauften Anteil als Bruch und prüfe, ob du ihn kürzen kannst.

1. Die Abbildung zeigt insgesamt \(12\) gleich große Tortenstücke; \(8\) davon sind noch blau markiert. 2. Verkauft wurden daher \(12-8=4\) Stücke. 3. Der verkaufte Anteil ist \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\).

a) \(\frac{1}{3}\) b) \(4\) Stücke

- Bestimme die Gesamtzahl der Fliesen direkt aus dem Raster. - Zähle die blau gefärbten Fliesen und stelle ihren Anteil als Bruch dar. - Für den weißen Anteil kannst du den Rest des Ganzen verwenden; kürze beide Brüche vollständig.

1. Die Abbildung zeigt ein Raster mit \(4\) Zeilen und \(6\) Spalten, also \(24\) gleich großen Fliesen. 2. Davon sind \(8\) blau. Der blaue Anteil ist \(\frac{8}{24}=\frac{1}{3}\). 3. Weiß bleiben \(24-8=16\) Fliesen. Der weiße Anteil ist \(\frac{16}{24}=\frac{2}{3}\).

Der blaue Anteil beträgt \(\frac{1}{3}\), der weiße Anteil \(\frac{2}{3}\).

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile die gesamte Figur unterteilt ist. Dies ist dein Nenner. - Zähle dann, wie viele dieser Teile gefärbt sind. Dies ist dein Zähler. - Prüfe am Ende, ob du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen kannst, um den Bruch zu vereinfachen.

1. Figur a): Ein Balken ist in 9 gleich große Teile unterteilt, von denen 4 gefärbt sind. Der Anteil ist \(\frac{4}{9}\). Dieser Bruch lässt sich nicht weiter kürzen. 2. Figur b): Das Gitter besteht aus \(4 \cdot 5 = 20\) kleinen Rechtecken. Davon sind 12 gefärbt. Der Anteil ist \(\frac{12}{20}\). Durch Kürzen mit 4 erhält man \(\frac{3}{5}\). 3. Figur c): Es sind insgesamt 18 Kreise dargestellt, von denen 6 gefärbt sind. Der Anteil ist \(\frac{6}{18}\). Durch Kürzen mit 6 erhält man \(\frac{1}{3}\).

a) \(\frac{4}{9}\) b) \(\frac{3}{5}\) c) \(\frac{1}{3}\)

- Aus wie vielen Teilen besteht der ganze Kreis? - Wie viele dieser Teile sind farbig markiert? - Kannst du Zähler und Nenner deines Bruchs durch dieselbe Zahl teilen, um ihn zu vereinfachen?

1. Zählen der gleich großen Teilstücke des Kreises: 10 Stücke insgesamt. 2. Zählen der blau gefärbten Teilstücke: 4 Stücke. 3. Aufstellen des Bruchs: \(\frac{4}{10}\). 4. Kürzen des Bruchs durch den gemeinsamen Teiler 2: \(\frac{4 : 2}{10 : 2} = \frac{2}{5}\).

Der gefärbte Anteil ist \(\frac{2}{5}\).

- Wie viele Kästchen sind es insgesamt? Das ist dein Nenner. - Wie viele Kästchen sind farbig? Das ist dein Zähler. - Durch welche Zahl lassen sich sowohl der Zähler als auch der Nenner ohne Rest teilen?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Kästchen: \(3 \cdot 8 = 24\). 2. Zählen der gefärbten Kästchen: 18 Kästchen. 3. Aufstellen des Bruchs: \(\frac{18}{24}\). 4. Kürzen des Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler 6: \(\frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}\).

Der Anteil ist \(\frac{18}{24}\), was gekürzt \(\frac{3}{4}\) entspricht.

- Bestimme die Anzahl aller Kreise in der Gruppe. - Wie viele dieser Kreise sind blau gefärbt? - Suche nach einer großen Zahl, durch die du sowohl die Anzahl der blauen Kreise als auch die Gesamtzahl teilen kannst.

1. Bestimmung der Gesamtanzahl der Kreise: \(5 \cdot 9 = 45\). 2. Zählen der blau markierten Kreise: 27 Kreise. 3. Aufstellen des Bruchs: \(\frac{27}{45}\). 4. Kürzen des Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler 9: \(\frac{27 : 9}{45 : 9} = \frac{3}{5}\).

Der Anteil der blauen Kreise ist \(\frac{3}{5}\).

- Zähle in der Abbildung zuerst alle gleich großen Kästchen und danach die rot markierten. - Welche der beiden Zahlen eines Bruchs beschreibt das Ganze in gleich großen Teilen? - Für Teil c) kannst du die nicht markierten Kästchen direkt in der Abbildung bestimmen.

1. Das Rechteck besteht aus \(12\) gleich großen Kästchen, davon sind \(5\) rot. Der rote Anteil ist \(\frac{5}{12}\). 2. Der Zähler ist \(5\), der Nenner ist \(12\). 3. Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das ganze Rechteck unterteilt ist. 4. Nicht ausgemalt sind \(12 - 5 = 7\) Kästchen. Der nicht ausgemalte Anteil ist \(\frac{7}{12}\).

a) \(\frac{5}{12}\); Zähler: \(5\); Nenner: \(12\) b) Der Nenner gibt die Anzahl der gleich großen Teile des ganzen Rechtecks an. c) \(\frac{7}{12}\)

- Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teilgruppen du die ganze Menge gliedern kannst. - Bestimme zuerst, wie viele Spielsteine in einer solchen Teilgruppe liegen. - Der Zähler sagt dir anschließend, wie viele dieser gleich großen Teilgruppen zur gesuchten Teilmenge gehören.

1. Teile die \(14\) Spielsteine gedanklich in \(7\) gleich große Gruppen. Jede Gruppe enthält \(14 : 7 = 2\) Spielsteine. 2. Für \(\frac{3}{7}\) werden \(3\) dieser sieben gleich großen Gruppen betrachtet. 3. Das sind \(3 \cdot 2 = 6\) Spielsteine.

Zur Teilmenge gehören \(6\) Spielsteine. Man kann die \(14\) Spielsteine als \(7\) gleich große Zweiergruppen anordnen und \(3\) dieser Gruppen markieren.

- Betrachte bei jeder Abbildung zuerst, wie groß das jeweilige Ganze ist. - Überlege, wie viele der vorhandenen Teile jeweils einem Drittel entsprechen. - Vergleiche am Ende die entstehenden Brüche, nicht nur die markierten Anzahlen.

1. A besteht aus \(6\) gleich großen Teilen. Drittel entstehen, wenn jeweils \(2\) dieser Teile zusammengehören. Zwei Drittel entsprechen daher \(4\) von \(6\) Teilen. 2. B besteht aus \(9\) Elementen. Ein Drittel umfasst \(9 : 3 = 3\) Elemente; zwei Drittel umfassen \(6\) Elemente. 3. Es gilt \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) und \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}\). Die absoluten Anzahlen sind verschieden, die Anteile am jeweiligen Ganzen aber gleich.

a) \(4\) Balkenteile b) \(6\) Elemente c) Beide Markierungen entsprechen \(\frac{2}{3}\), weil \(\frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\).

- Bestimme aus der Abbildung, welche Kästchen zusammen das ganze Rechteck bilden. - Überlege, was der Nenner eines Bruchs bei einer Flächendarstellung zählt. - Prüfe anschließend, ob der richtige Bruch noch gekürzt werden kann.

1. Der Nenner eines Bruchs beschreibt alle gleich großen Teile des Ganzen, nicht nur die nicht markierten Teile. 2. Die Abbildung besteht aus \(12\) gleich großen Kästchen; \(4\) davon sind markiert. 3. Der markierte Anteil ist daher \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\).

Jona zählt im Nenner nicht alle gleich großen Teile des Ganzen. Das Ganze umfasst \(12\) Kästchen; der markierte Anteil ist \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\).

- Bestimme aus der Abbildung, in wie viele gleich große Teile der Balken zerlegt ist. - Schreibe den Zielbruch in einer gleichwertigen Form, die zu dieser Teilung passt. - Vergleiche die benötigte Zahl markierter Teile mit dem bisherigen Zustand.

1. Die Abbildung zeigt \(12\) gleich große Teile. Schreibe deshalb \(\frac{3}{4}\) mit dem Nenner \(12\): \(\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\). 2. Bereits \(5\) der \(12\) Teile sind markiert. 3. Für insgesamt \(9\) markierte Teile müssen noch \(9-5=4\) Teile hinzukommen.

Es müssen noch \(4\) Teile markiert werden, denn \(\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\) und bisher sind \(5\) von \(12\) Teilen markiert.

- Beschreibe bei jeder Abbildung zuerst, was dort als „Ganzes“ gilt. - Frage dich getrennt: Was zählt der Nenner, und was zählt der Zähler? - Prüfe bei Teil c), ob markierte und nicht markierte Teile gemeinsam zum Ganzen gehören.

1. In A sind \(4\) von \(6\) gleich großen Flächenteilen markiert. Der Bruch ist \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Der Nenner \(6\) zählt alle gleich großen Flächenteile des Ganzen, der Zähler \(4\) die markierten Flächenteile. 2. In B sind \(5\) von \(10\) Elementen markiert. Der Bruch ist \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Der Nenner \(10\) zählt alle Elemente der ganzen Menge, der Zähler \(5\) die markierten Elemente. 3. Der Nenner bezieht sich immer auf das gesamte in gleichwertige Teile gegliederte Ganze. Nicht markierte Teile gehören deshalb ebenfalls zum Nenner.

a) A: \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\); Nenner = alle \(6\) gleich großen Flächenteile, Zähler = \(4\) markierte Teile. b) B: \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\); Nenner = alle \(10\) Elemente, Zähler = \(5\) markierte Elemente. c) Der Nenner zählt alle Teile beziehungsweise Elemente des Ganzen, nicht nur die unmarkierten.

- Bestimme zuerst, in wie viele gleich große Teile ein einzelnes Ganzes zerlegt ist. - Zähle anschließend alle markierten Teile über die dargestellten Ganzen hinweg. - Beim gesuchten Bruch bleibt ein einzelnes Quadrat das Bezugs-Ganze.

1. Ein ganzes Quadrat besteht aus \(4\) Vierteln. 2. In der Abbildung sind insgesamt \(7\) Viertel markiert. 3. Bezogen auf ein Quadrat als Ganzes ist der dargestellte Bruch daher \(\frac{7}{4}\).

\(\frac{7}{4}\)

- Probiere, den Bruch von einem geeigneten Stammbruch (wie \(\frac{1}{3}\) oder \(\frac{1}{4}\)) abzuziehen und schaue, was übrig bleibt. - Kannst du den verbleibenden Rest vielleicht noch einmal aufteilen? - Achte darauf, dass in deiner Summe kein Nenner doppelt vorkommt.

1. Für zwei Stammbrüche: Suche den größten Stammbruch kleiner als \(\frac{2}{5}\). Da \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) und \(\frac{1}{3} \approx 0{,}33\), passt \(\frac{1}{3}\). Rechnung: \(\frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{6}{15} - \frac{5}{15} = \frac{1}{15}\). Also \(\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}\). 2. Für drei Stammbrüche: Wähle einen kleineren ersten Stammbruch, z. B. \(\frac{1}{4}\). Rechnung: \(\frac{2}{5} - \frac{1}{4} = \frac{8}{20} - \frac{5}{20} = \frac{3}{20}\). Zerlege \(\frac{3}{20}\) weiter in \(\frac{2}{20} + \frac{1}{20}\), also \(\frac{1}{10} + \frac{1}{20}\). Die Gesamtsumme ist \(\frac{2}{5} = \frac{1}{4} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20}\).

Mögliche Lösungen: 1. \(\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}\) 2. \(\frac{2}{5} = \frac{1}{4} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20}\)

- Welche gemeinsame Unterteilung brauchen die beiden Brüche im ersten Teil, damit du sie addieren kannst? - Überlege beim zweiten Teil, welche Information der Zähler eines positiven Bruchs über die Anzahl gleicher Stammbrüche liefert. - Vergleiche diesen direkten Weg mit der Suche nach mehreren verschiedenen Nennern.

1. Der Hauptnenner von \(2\) und \(6\) ist \(6\). Daher gilt \(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\) und somit \(\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\). 2. Bei gleichen Stammbrüchen bleibt der Nenner des Ausgangsbruchs erhalten; der Stammbruch wird so oft addiert, wie der Zähler angibt. Es muss daher keine passende Kombination verschiedener Nenner gesucht werden.

1. \(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\) 2. Gleiche Stammbrüche lassen sich direkt aus Zähler und Nenner des positiven Bruchs ablesen; verschiedene Stammbrüche erfordern dagegen eine zusätzliche Suche nach passenden Nennern.

- Beginne jeweils mit einem Stammbruch, der etwas größer als der Zielbruch ist. - Der zweite Stammbruch muss genau die Differenz zwischen diesem größeren Stammbruch und dem Zielbruch ausgleichen. - Prüfe deine Zerlegung am Ende durch erneute Subtraktion.

1. Für \(\frac{1}{6}\) ist \(\frac{1}{5}\) ein geeigneter etwas größerer Stammbruch. Die Differenz \(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{6}{30}-\frac{5}{30}=\frac{1}{30}\) zeigt: \(\frac{1}{6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{30}\). 2. Für \(\frac{1}{10}\) berechne den fehlenden Anteil direkt: \(\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=\frac{10}{90}-\frac{9}{90}=\frac{1}{90}\). 3. Damit gilt \(\frac{1}{10}=\frac{1}{9}-\frac{1}{90}\). Die Probe ergibt \(\frac{10}{90}-\frac{1}{90}=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\).

a) \(\frac{1}{6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{30}\) b) \(\frac{1}{10}=\frac{1}{9}-\frac{1}{90}\)

- Suche zunächst nach zwei Stammbrüchen, die sich auf einen übersichtlichen gemeinsamen Nenner bringen lassen. - Für drei Summanden kannst du überlegen, ob sich einer der gefundenen Stammbrüche noch weiter zerlegen lässt. - Prüfe jede vorgeschlagene Zerlegung durch Addition.

1. Für zwei Stammbrüche ist zum Beispiel \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}\) möglich. Ebenfalls möglich ist \(\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\). 2. Für drei verschiedene Stammbrüche kann ein gefundener Anteil weiter zerlegt werden. Zum Beispiel gilt \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\). 3. Die Probe ergibt \(\frac{4}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{7}{12}\).

a) Zum Beispiel \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\) oder \(\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\) b) Zum Beispiel \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\)

- Addiere die Brüche, indem du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringst. - Vergleiche die Größe der ersten Brüche in beiden Summen. - Welcher Stammbruch liegt am nächsten an \(\frac{3}{10}\), ohne ihn zu überschreiten? - Wandle die Brüche zum Vergleich eventuell in Dezimalzahlen um.

1. Überprüfung von A: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{20} = \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{6}{20}\). Kürzen mit \(2\) ergibt \(\frac{3}{10}\). Korrekt. 2. Überprüfung von B: \(\frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}\). Korrekt. 3. Vergleich der Startbrüche: In A ist der erste Bruch \(\frac{1}{4} = 0{,}25\). In B ist der erste Bruch \(\frac{1}{5} = 0{,}2\). 4. Prüfung auf „gierig“: Der nächstgrößere Stammbruch nach \(\frac{1}{4}\) wäre \(\frac{1}{3} \approx 0{,}333\). Da \(\frac{1}{3} > \frac{3}{10} = 0{,}3\), ist \(\frac{1}{4}\) tatsächlich der größte Stammbruch, der kleiner als \(\frac{3}{10}\) ist. 5. Ergebnis: Möglichkeit A ist die gierige Zerlegung, da \(\frac{1}{4} > \frac{1}{5}\).

a) Beide Rechnungen sind korrekt, da \(\frac{5+1}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\) und \(\frac{2+1}{10} = \frac{3}{10}\). b) Möglichkeit A ist die gierige Zerlegung, da \(\frac{1}{4}\) größer ist als \(\frac{1}{5}\) und der größte Stammbruch ist, der noch kleiner als \(\frac{3}{10}\) ist (\(\frac{1}{3}\) wäre bereits zu groß).

- Prüfe für den ersten Schritt Stammbrüche mit kleinen Nennern und achte genau auf die Bedingung „kleiner als“. - Für die Subtraktion brauchst du eine Darstellung beider Brüche mit demselben Nenner. - Kontrolliere am Ende, ob der Rest selbst ein Stammbruch ist und ob die beiden Summanden wieder den Ausgangsbruch ergeben.

1. Für den größten Stammbruch \(\frac{1}{k} < \frac{3}{14}\) gilt \(14 : 3 \approx 4{,}67\). Der kleinste ganzzahlige Nenner mit einem kleineren Stammbruch ist daher \(k=5\). Somit ist \(\frac{1}{5}\) der größte passende Stammbruch. 2. Der Rest ist \(\frac{3}{14} - \frac{1}{5} = \frac{15}{70} - \frac{14}{70} = \frac{1}{70}\). 3. Damit lautet die Zerlegung \(\frac{3}{14} = \frac{1}{5} + \frac{1}{70}\).

\(k=5\), also ist der erste Stammbruch \(\frac{1}{5}\). Rest: \(\frac{3}{14}-\frac{1}{5}=\frac{1}{70}\). Damit gilt \(\frac{3}{14}=\frac{1}{5}+\frac{1}{70}\).

- Probiere systematisch Stammbrüche aus, die etwas kleiner als \(\frac{1}{4}\) sind. - Wenn du den ersten Summanden gewählt hast, bestimme den fehlenden Anteil durch Subtraktion. - Prüfe, ob beide gefundenen Summanden Stammbrüche mit verschiedenen Nennern sind.

1. Probiere systematisch Stammbrüche aus, die kleiner als \(\frac{1}{4}\) sind. Beginne zum Beispiel mit \(\frac{1}{5}\). Der fehlende Rest ist \(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{1}{20}\). Damit erhältst du \(\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}\). 2. Probiere als Nächstes \(\frac{1}{6}\). Der fehlende Rest ist \(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\). Damit erhältst du \(\frac{1}{4}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\). 3. Die Nachweise sind \(\frac{1}{5}+\frac{1}{20}=\frac{4}{20}+\frac{1}{20}=\frac{1}{4}\) und \(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\).

1. \(\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}\), denn \(\frac{1}{5}+\frac{1}{20}=\frac{4}{20}+\frac{1}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}\). 2. \(\frac{1}{4}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\), denn \(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\).

- Schau dir an, wie man aus der \(3\) eine \(2\), aus der \(5\) eine \(3\) und aus der \(7\) eine \(4\) macht. Welche Rechenoperation hilft hier? - Wenn du den ersten Stammbruch gefunden hast, wie kannst du den Rest berechnen? - Fällt dir eine Beziehung zwischen dem ursprünglichen Nenner und dem Nenner des zweiten Stammbruchs auf?

1. Analyse des Musters für den ersten Nenner: Bei \(\frac{2}{3}\) ist er \(2\) (was \((3+1):2\) entspricht), bei \(\frac{2}{5}\) ist er \(3\) (\((5+1):2\)), bei \(\frac{2}{7}\) ist er \(4\) (\((7+1):2\)). Der erste Nenner ist also immer die Hälfte des um \(1\) erhöhten ursprünglichen Nenners. 2. Berechnung für \(\frac{2}{9}\): Erster Nenner ist \((9+1):2 = 5\). Zweiter Stammbruch durch Subtraktion: \(\frac{2}{9} - \frac{1}{5} = \frac{10}{45} - \frac{9}{45} = \frac{1}{45}\). Ergebnis: \(\frac{1}{5} + \frac{1}{45}\). 3. Berechnung für \(\frac{2}{13}\): Erster Nenner ist \((13+1):2 = 7\). Zweiter Stammbruch durch Subtraktion: \(\frac{2}{13} - \frac{1}{7} = \frac{14}{91} - \frac{13}{91} = \frac{1}{91}\). Ergebnis: \(\frac{1}{7} + \frac{1}{91}\).

a) Der Nenner des ersten Stammbruchs ergibt sich, indem man zum Nenner des Ausgangsbruchs \(1\) addiert und das Ergebnis durch \(2\) teilt. b) \(\frac{2}{9} = \frac{1}{5} + \frac{1}{45}\) und \(\frac{2}{13} = \frac{1}{7} + \frac{1}{91}\).

- Suche in jedem Schritt den größtmöglichen Stammbruch, der den aktuellen Rest nicht überschreitet. - Berechne nach jeder Auswahl den verbleibenden Rest exakt. - Prüfe nach jedem Schritt, ob der Rest bereits selbst ein Stammbruch ist.

1. Für \(\frac{4}{5}\) ist \(\frac{1}{2}\) der größte passende Stammbruch. 2. Der erste Rest ist \(\frac{4}{5}-\frac{1}{2}=\frac{8}{10}-\frac{5}{10}=\frac{3}{10}\). 3. Für \(\frac{3}{10}\) ist \(\frac{1}{4}\) der größte passende Stammbruch, weil \(\frac{1}{3}>\frac{3}{10}\). 4. Der zweite Rest ist \(\frac{3}{10}-\frac{1}{4}=\frac{6}{20}-\frac{5}{20}=\frac{1}{20}\). 5. Der Rest ist bereits ein Stammbruch. Daher gilt \(\frac{4}{5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}\).

\(\frac{4}{5}-\frac{1}{2}=\frac{3}{10}\). \(\frac{3}{10}-\frac{1}{4}=\frac{1}{20}\). Daher \(\frac{4}{5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}\).

- Wähle zunächst einen Stammbruch, der einen großen Teil von \(\frac{3}{4}\) abdeckt. - Bestimme den verbleibenden Rest durch Subtraktion. - Zerlege diesen Rest in zwei verschiedene Stammbrüche und kontrolliere anschließend die Summe.

1. Wähle zum Beispiel zunächst \(\frac{1}{2}\). Dann bleibt \(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\). 2. Zerlege den Rest ohne Variable weiter: \(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{5}{20}-\frac{4}{20}=\frac{1}{20}\). 3. Damit gilt \(\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20}\). 4. Eine weitere mögliche Zerlegung ist \(\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\).

Zum Beispiel \(\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20}\). Ebenfalls möglich ist \(\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\).

- Vergleiche nicht nur die Anzahl, sondern auch die Größe der vier Teilflächen. - Was bedeutet der Nenner \(4\) bei einer Flächendarstellung genau? - Überlege, warum verschieden große Teile nicht als gleichwertige Viertel gezählt werden dürfen.

1. In der Abbildung ist das Rechteck zwar in vier Teilflächen zerlegt, diese Teilflächen sind aber nicht gleich groß. 2. Ein Bruch wie \(\frac{1}{4}\) setzt voraus, dass das Ganze in \(4\) gleich große Teile zerlegt ist. 3. Minas Begründung ist deshalb falsch. Allein die Anzahl der Teilflächen reicht nicht aus, wenn ihre Größen verschieden sind.

Minas Aussage ist falsch. „Ein von vier Teilen“ stellt nur dann \(\frac{1}{4}\) dar, wenn alle vier Teile gleich groß sind. In der Abbildung sind die Teilflächen unterschiedlich groß.

- Eine Markierung ganzer Sektoren erzeugt immer einen Bruch mit dem Nenner \(10\), bevor gekürzt wird. - Prüfe, ob \(\frac{3}{8}\) durch Erweitern einen Nenner von \(10\) erhalten kann. - Für eine mögliche andere Einteilung suche eine Sektorenzahl, die zum Nenner \(8\) passt.

1. Mit \(10\) Sektoren müsste \(\frac{3}{8}\) als Bruch mit dem Nenner \(10\) geschrieben werden können. 2. Dafür müsste \(8\) durch einen ganzzahligen Erweiterungsfaktor zu \(10\) werden. Das ist nicht möglich. 3. Daher lässt sich \(\frac{3}{8}\) mit ganzen Zehntelsektoren nicht exakt darstellen. 4. Mit \(8\) gleich großen Sektoren ist die Darstellung direkt möglich; auch jede passende Vielfacheinteilung wie \(16\) Sektoren funktioniert.

Nein. Mit \(10\) ganzen Sektoren lässt sich \(\frac{3}{8}\) nicht exakt darstellen. Mit \(8\) gleich großen Sektoren wäre es möglich, ebenso zum Beispiel mit \(16\).

- Suche für die Summe schrittweise nach passenden Stammbrüchen und kontrolliere jeweils den verbleibenden Rest. - Für die Differenz brauchst du zunächst einen Stammbruch, der etwas größer als \(\frac{3}{7}\) ist. - Vergleiche anschließend nicht nur die Anzahl der Terme, sondern auch die Größe der auftretenden Nenner.

1. Für eine mögliche Summe gilt \(\frac{3}{7}-\frac{1}{3}=\frac{2}{21}\). Weiter ist \(\frac{2}{21}-\frac{1}{11}=\frac{1}{231}\). Damit ist \(\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}\). 2. Für eine Differenz eignet sich \(\frac{1}{2}\), weil dieser Stammbruch etwas größer als \(\frac{3}{7}\) ist. Es gilt \(\frac{1}{2}-\frac{3}{7}=\frac{1}{14}\), also \(\frac{3}{7}=\frac{1}{2}-\frac{1}{14}\). 3. Die Darstellung als Differenz benötigt hier nur zwei Stammbrüche statt drei und verwendet deutlich kleinere Nenner.

a) Zum Beispiel \(\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}\) b) \(\frac{3}{7}=\frac{1}{2}-\frac{1}{14}\) c) Die Darstellung mit Subtraktion ist kürzer und verwendet kleinere Nenner.