- Überlege, ob du den Nenner \(5\) auf \(10\) erweitern kannst. - Beim Erweitern musst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. - Du kannst dein Ergebnis durch die Division Zähler : Nenner prüfen.

1. Erweitere den Bruch so, dass im Nenner \(10\) steht: \(\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2}=\frac{6}{10}\). 2. Sechs Zehntel schreibt man als \(0{,}6\). 3. Zur Kontrolle gilt auch \(3:5=0{,}6\).

\(0{,}6\)

- Zähle die Stellen nach dem Komma, um den passenden Nenner zu finden. - Wie viele Nullen muss die Zehnerzahl im Nenner haben? - Überlege, was die Ziffern vor und nach dem Komma für den Zähler bedeuten.

1. Bestimmung der Anzahl der Nachkommastellen für den Nenner: Eine Stelle entspricht Zehnteln (\(10\)), zwei Stellen Hundertsteln (\(100\)) und drei Stellen Tausendsteln (\(1000\)). 2. Für a) \(0{,}4\): Eine Nachkommastelle, also \(\frac{4}{10}\). 3. Für b) \(0{,}12\): Zwei Nachkommastellen, also \(\frac{12}{100}\). 4. Für c) \(0{,}005\): Drei Nachkommastellen, also \(\frac{5}{1000}\). 5. Für d) \(3{,}7\): Eine Nachkommastelle, die Ziffern bilden den Zähler \(37\), also \(\frac{37}{10}\). 6. Für e) \(0{,}08\): Zwei Nachkommastellen, also \(\frac{8}{100}\).

a) \(\frac{4}{10}\) b) \(\frac{12}{100}\) c) \(\frac{5}{1000}\) d) \(\frac{37}{10}\) e) \(\frac{8}{100}\)

- Zähle in der Abbildung zuerst alle gleich großen Teile des Kreises. - Vergleiche diese Gesamtzahl mit der Zahl der gefärbten Teile. - Überlege, welchen Stellenwert ein Zehntel in der Dezimalschreibweise hat.

1. Aus der Abbildung erkennt man \(10\) gleich große Sektoren, von denen \(1\) gefärbt ist. 2. Der gefärbte Anteil ist \(\frac{1}{10}\). 3. Ein Zehntel wird als \(0{,}1\) geschrieben.

Bruch: \(\frac{1}{10}\) Dezimalzahl: \(0{,}1\)

- Zähle zuerst alle gleich langen Abschnitte im Bild. - Zähle danach die gefärbten Abschnitte. - Überlege, wie ein Bruch mit Nenner \(10\) als Dezimalzahl geschrieben wird.

1. Aus der Abbildung erkennt man \(10\) gleich lange Abschnitte, von denen \(7\) gefärbt sind. 2. Der gefärbte Anteil ist \(\frac{7}{10}\). 3. Sieben Zehntel entsprechen \(0{,}7\).

Bruch: \(\frac{7}{10}\) Dezimalzahl: \(0{,}7\)

- Achte darauf, dass die Periode direkt nach dem Komma beginnt und nur eine Ziffer lang ist. - Nutze die Regel für eine rein periodische Dezimalzahl mit genau einer Periodenziffer. - Prüfe am Ende, ob sich der erhaltene Bruch noch kürzen lässt.

1. Für eine rein periodische Dezimalzahl mit genau einer Periodenziffer \(z\) gilt \(0{,}\overline{z}=\frac{z}{9}\). 2. Daher ist \(0{,}\overline{4}=\frac{4}{9}\). 3. \(4\) und \(9\) haben keinen gemeinsamen Teiler größer als \(1\); der Bruch ist vollständig gekürzt.

\(\frac{4}{9}\)

- Vergleiche zuerst die Dezimaldarstellung von \(\frac{3}{10}\) mit der gegebenen periodischen Zahl. - Frage dich, welchen Unterschied der Periodenstrich macht. - Nutze dann die Regel für eine rein periodische Dezimalzahl mit einer Periodenziffer.

1. \(\frac{3}{10}=0{,}3\) endet nach einer Nachkommastelle und ist daher nicht dieselbe Zahl wie \(0{,}\overline{3}\). 2. Bei \(0{,}\overline{3}\) wiederholt sich die \(3\) unbegrenzt. 3. Für die einstellige reine Periode gilt \(0{,}\overline{3}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\).

Mila hat nicht recht. Es gilt \(0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}\).

- Bestimme bei jeder Abbildung, welcher Bruchteil der gleich großen Teile gefärbt ist. - Vergleiche diese Anteile mit \(0{,}75\), statt dich an der Form der Abbildung zu orientieren. - Kürze den Bruch der passenden Abbildung vollständig.

1. In Abbildung 1) sind \(7\) von \(10\) Teilen gefärbt; das entspricht \(0{,}7\). 2. In Abbildung 2) sind \(3\) von \(4\) Teilen gefärbt; \(\frac{3}{4}=0{,}75\). 3. In Abbildung 3) sind \(4\) von \(5\) Teilen gefärbt; das entspricht \(0{,}8\). 4. Daher passt Abbildung 2), und der vollständig gekürzte Bruch ist \(\frac{3}{4}\).

a) Abbildung 2) b) \(\frac{3}{4}\)

- Kannst du den Nenner \(5\) auf \(10\) erweitern? - Ein Bruch mit Nenner \(10\) lässt sich direkt als Dezimalzahl lesen. - Kontrolliere, ob dein Ergebnis zwischen \(0\) und \(1\) liegt.

1. Erweitere auf den Nenner \(10\): \(\frac{3}{5}=\frac{6}{10}\). 2. Daher ist \(\frac{3}{5}=0{,}6\).

\(0{,}6\)

- Schreibe die Dezimalzahl zunächst als Hundertstelbruch. - Suche anschließend einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. - Prüfe, ob der gekürzte Bruch wieder \(0{,}75\) ergibt.

1. \(0{,}75=\frac{75}{100}\). 2. Kürzen mit \(25\) ergibt \(\frac{3}{4}\).

\(\frac{3}{4}\)

- Vergleiche in jeder Zeile den Zähler mit der Ziffer nach dem Komma. - Achte darauf, dass der Überstrich eine Wiederholung ohne Ende bedeutet. - Übertrage das erkannte Muster auf den nächsten Zähler.

1. Bei den Brüchen \(\frac{1}{9}\), \(\frac{2}{9}\) und \(\frac{3}{9}\) wiederholt sich in der Dezimalzahl jeweils der Zähler. 2. Deshalb gehört zu \(\frac{4}{9}\) die Dezimalzahl \(0{,}\overline{4}\). 3. Das Muster lautet: Bei diesen Neuntelbrüchen wird die Ziffer des Zählers zur sich wiederholenden Ziffer nach dem Komma.

\(\frac{4}{9}=0{,}\overline{4}\). Bei diesen Neuntelbrüchen wiederholt sich der Zähler als Nachkommaziffer.

- Ein Bruchstrich bedeutet, dass du den Zähler durch den Nenner teilen kannst. - Beobachte bei der Division, ob sie endet oder ob sich Ziffern wiederholen. - Schreibe einen sich wiederholenden Teil mit einem Periodenstrich statt ihn zu runden.

1. Für a) gilt \(3:4=0{,}75\). 2. Für b) gilt \(5:6=0{,}8333\dots=0{,}8\overline{3}\). 3. Für c) gilt \(12:5=2{,}4\). 4. Für d) gilt \(7:9=0{,}7777\dots=0{,}\overline{7}\).

a) \(0{,}75\) b) \(0{,}8\overline{3}\) c) \(2{,}4\) d) \(0{,}\overline{7}\)

- Für a) kannst du den Zähler durch den Nenner teilen. - Vergleiche \(0{,}375\) in b) mit den beiden benachbarten Zehnteln. - Überlege für c), welche Information über Teile eines Ganzen man an einem Bruch direkt erkennt.

1. Durch Division erhält man \(3:8=0{,}375\). Die benötigte Menge beträgt also \(0{,}375\,\text{l}\). 2. \(0{,}375\) liegt zwischen \(0{,}3\) und \(0{,}4\), näher bei \(0{,}4\). Innerhalb dieses Abschnitts liegt die Zahl bei drei Vierteln des Weges von \(0{,}3\) nach \(0{,}4\). 3. Brüche zeigen unmittelbar, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wird und wie viele dieser Teile gemeint sind. Das ist bei \(\frac{1}{4}\) und \(\frac{3}{8}\) oft leichter zu erkennen als an der Dezimalschreibweise.

a) \(0{,}375\) b) Zwischen \(0{,}3\,\text{l}\) und \(0{,}4\,\text{l}\), bei drei Vierteln des Weges von \(0{,}3\) nach \(0{,}4\). c) Die Bruchschreibweise zeigt die Teilung des Ganzen in gleich große Teile unmittelbar.

- Prüfe bei jedem Bruch, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler größer als \(1\) haben. - Wenn ein gemeinsamer Teiler nicht sofort auffällt, zerlege Zähler und Nenner gedanklich in kleinere Faktoren. - Erst nach dem vollständigen Kürzen wandelst du den Bruch durch Division in eine Dezimalzahl um.

1. Für a): Kürzen mit 15 ergibt \(\frac{3}{4}\). Umwandlung: \(3:4=0{,}75\). 2. Für b): Kürzen mit 13 ergibt \(\frac{2}{5}\). Umwandlung: \(2:5=0{,}4\). 3. Für c): Kürzen mit 12 ergibt \(\frac{11}{4}\). Umwandlung: \(11:4=2{,}75\). 4. Für d): Kürzen mit 17 ergibt \(\frac{3}{5}\). Umwandlung: \(3:5=0{,}6\).

a) \(\frac{3}{4}=0{,}75\) b) \(\frac{2}{5}=0{,}4\) c) \(\frac{11}{4}=2{,}75\) d) \(\frac{3}{5}=0{,}6\)

- Schau dir an, wie viele Stellen hinter dem Komma stehen, um den Nenner (10, 100 oder 1000) zu bestimmen. - Vergiss am Ende nicht zu prüfen, ob du Zähler und Nenner noch durch dieselbe Zahl teilen kannst.

1. Für \(0{,}24\): Die Zahl hat zwei Nachkommastellen, entspricht also \(\frac{24}{100}\). Kürzen mit \(4\) ergibt \(\frac{6}{25}\). 2. Für \(3{,}5\): Dies entspricht \(3 \frac{5}{10}\). Kürzen des Bruchteils mit \(5\) ergibt \(3 \frac{1}{2}\) oder als unechter Bruch \(\frac{7}{2}\). 3. Für \(0{,}015\): Die Zahl hat drei Nachkommastellen, entspricht also \(\frac{15}{1000}\). Kürzen mit \(5\) ergibt \(\frac{3}{200}\).

a) \(\frac{6}{25}\) b) \(3\frac{1}{2}\) oder \(\frac{7}{2}\) c) \(\frac{3}{200}\)

- Kannst du den Nenner durch Erweitern auf eine Stufenzahl wie 10, 100 oder 1000 bringen? - Alternativ kannst du den Zähler durch den Nenner teilen.

1. Für \(\frac{9}{20}\): Erweitern mit \(5\), um den Nenner \(100\) zu erhalten: \(\frac{45}{100} = 0{,}45\). 2. Für \(\frac{3}{8}\): Division \(3 : 8 = 0{,}375\) oder Erweitern mit \(125\) auf den Nenner \(1000\): \(\frac{375}{1000} = 0{,}375\). 3. Für \(2\frac{1}{4}\): Der ganzzahlige Teil ist \(2\). Den Bruch \(\frac{1}{4}\) mit \(25\) erweitern ergibt \(\frac{25}{100} = 0{,}25\). Zusammen ergibt das \(2{,}25\).

a) \(0{,}45\) b) \(0{,}375\) c) \(2{,}25\)

- Nutze die Anzahl der Nachkommastellen, um zuerst einen Nenner \(10\), \(100\) oder \(1000\) zu wählen. - Prüfe danach, durch welche Zahl du Zähler und Nenner gemeinsam teilen kannst. - Kontrolliere am Ende, ob sich der Bruch noch weiter kürzen lässt.

1. Für a) gilt \(0{,}15=\frac{15}{100}\). Teile Zähler und Nenner durch \(5\): \(\frac{15}{100}=\frac{3}{20}\). 2. Für b) gilt \(0{,}08=\frac{8}{100}\). Teile Zähler und Nenner durch \(4\): \(\frac{8}{100}=\frac{2}{25}\). 3. Für c) gilt \(0{,}375=\frac{375}{1000}\). Teile Zähler und Nenner durch \(125\): \(\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}\). 4. Für d) gilt \(2{,}4=\frac{24}{10}\). Teile Zähler und Nenner durch \(2\): \(\frac{24}{10}=\frac{12}{5}\).

a) \(\frac{3}{20}\) b) \(\frac{2}{25}\) c) \(\frac{3}{8}\) d) \(\frac{12}{5}\)

- Überlege, mit welcher Zahl du den Nenner \(20\) auf \(100\) erweitern kannst. - Beim Erweitern musst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. - Ein Bruch mit dem Nenner \(100\) lässt sich direkt als Hundertstelzahl schreiben.

1. Erweitere den Bruch so, dass im Nenner \(100\) steht: \(\frac{11\cdot5}{20\cdot5}=\frac{55}{100}\). 2. \(\frac{55}{100}\) entspricht der Dezimalzahl \(0{,}55\). 3. Zur Kontrolle gilt auch \(11:20=0{,}55\).

\(0{,}55\)

- Schreibe die Dezimalzahl zunächst als Bruch mit dem Nenner 100. - Bestimme einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. - Kürze Zähler und Nenner durch denselben Wert, bis der Bruch vollständig gekürzt ist.

1. Den Dezimalbruch als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner schreiben: \(0{,}48 = \frac{48}{100}\). 2. Den gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner finden: Der größte gemeinsame Teiler von 48 und 100 ist 4. 3. Den Bruch durch 4 kürzen: \(\frac{48 : 4}{100 : 4} = \frac{12}{25}\).

\(\frac{12}{25}\)

- Überlege, mit welcher Zahl du den Nenner multiplizieren musst, um auf \(10\), \(100\) oder \(1000\) zu kommen. - Vergiss nicht, den Zähler mit derselben Zahl zu multiplizieren. - Wie viele Nachkommastellen hat eine Dezimalzahl bei einem Nenner von \(100\) oder \(1000\)?

1. Erweiterung von \(\frac{3}{5}\) mit \(2\) auf Zehntel: \(\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0{,}6\) 2. Erweiterung von \(\frac{7}{20}\) mit \(5\) auf Hundertstel: \(\frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0{,}35\) 3. Erweiterung von \(\frac{9}{40}\) mit \(25\) auf Tausendstel: \(\frac{9 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{225}{1000} = 0{,}225\) 4. Erweiterung von \(\frac{11}{250}\) mit \(4\) auf Tausendstel: \(\frac{11 \cdot 4}{250 \cdot 4} = \frac{44}{1000} = 0{,}044\)

a) \(0{,}6\) b) \(0{,}35\) c) \(0{,}225\) d) \(0{,}044\)

- Überlege dir, welchen Stellenwert die letzte Ziffer der Dezimalzahl hat. - Erinnere dich daran, dass eine ganze Zahl auch als Bruch geschrieben werden kann. - Wie verändert sich der Zähler, wenn der Nenner \(100\) ist?

1. Schritt a): \(0{,}75\) hat zwei Nachkommastellen, daher ist der Nenner \(100\). 2. Schritt b): \(0{,}003\) entspricht drei Tausendsteln, der Zähler ist also \(3\). 3. Schritt c): \(2{,}1\) sind \(21\) Zehntel, der Zähler ist \(21\). 4. Schritt d): \(0{,}06\) hat zwei Nachkommastellen, daher ist der Nenner \(100\). 5. Schritt e): Die ganze Zahl \(9\) entspricht \(900\) Hundertsteln (\(9 \cdot 100\)), der Zähler ist \(900\).

a) \(100\) b) \(3\) c) \(21\) d) \(100\) e) \(900\)

- Überlege dir für jeden Bruch, wie er als Dezimalzahl aussieht. - Du kannst einen Bruch auch in eine Dezimalzahl umwandeln, indem du den Zähler durch den Nenner dividierst. - Wie viele Stellen nach dem Komma hat die Zahl \( 0{,}625 \)? Was sagt dir das über den Nenner des entsprechenden Bruchs (als Stufenzahl)?

1. Umwandlung von \( \frac{625}{100} \): Als Dezimalzahl geschrieben ist dies \( 6{,}25 \). Das stimmt nicht mit \( 0{,}625 \) überein. 2. Umwandlung von \( \frac{5}{8} \): Erweitern mit \( 125 \) ergibt \( \frac{625}{1000} \), was \( 0{,}625 \) entspricht. 3. Umwandlung von \( \frac{3}{4} \): Erweitern mit \( 25 \) ergibt \( \frac{75}{100} \), was \( 0{,}75 \) entspricht. Der Bruch \( \frac{5}{8} \) ist somit gleichwertig zu \( 0{,}625 \).

\(\frac{625}{100}=6{,}25\), \(\frac{5}{8}=0{,}625\), \(\frac{3}{4}=0{,}75\). Damit hat \(\frac{5}{8}\) den Wert \(0{,}625\).

- Zähle zuerst, aus wie vielen kleinen Kästchen die gesamte Figur besteht. - Bestimme dann, wie viele dieser Kästchen farbig markiert sind. - Wie lässt sich das Verhältnis von gefärbten Kästchen zur Gesamtzahl als Bruch aufschreiben? - Überlege, durch welche Zahl du sowohl den Zähler als auch den Nenner teilen kannst, um den Bruch zu kürzen. - Wie kannst du einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Kästchen: Das Gitter hat \(5\) Zeilen und \(4\) Spalten, also insgesamt \(5 \cdot 4 = 20\) gleich große Kästchen. 2. Bestimmung der gefärbten Kästchen: Es sind \(15\) Kästchen blau gefärbt. 3. Aufstellen des Bruchs: Der Anteil beträgt \(\frac{15}{20}\). 4. Kürzen des Bruchs: Durch Teilen von Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler \(5\) erhält man \(\frac{15 : 5}{20 : 5} = \frac{3}{4}\). 5. Umwandlung in eine Dezimalzahl: Der gekürzte Bruch \(\frac{3}{4}\) entspricht der Dezimalzahl \(0{,}75\).

a) \(\frac{3}{4}\) b) \(0{,}75\)

- Bestimme aus der Abbildung zuerst, aus wie vielen gleich großen Feldern das Ganze besteht. - Zähle dann die gefärbten Felder und setze beide Anzahlen ins Verhältnis. - Überlege, wie ein Bruch mit einem Zehnerpotenz-Nenner als Dezimalzahl geschrieben wird.

1. Das Quadrat besteht aus \(10\times10=100\) gleich großen Feldern. Gefärbt sind eine vollständige Reihe mit \(10\) Feldern und \(2\) weitere Felder, also insgesamt \(12\). 2. Der gefärbte Anteil ist \(\frac{12}{100}\). 3. Als Dezimalzahl entspricht das \(0{,}12\).

Bruch: \(\frac{12}{100}\) Dezimalzahl: \(0{,}12\)

- Bestimme aus der Abbildung zunächst die Gesamtzahl der Felder. - Nutze die vollständig gefärbten Zeilen, statt jedes gefärbte Feld einzeln zu zählen. - Kürze den entstehenden Bruch erst, nachdem du den dargestellten Anteil bestimmt hast.

1. Das Gitter hat \(10\) Zeilen mit je \(10\) Feldern, also \(100\) Felder. Davon sind \(8\) vollständige Zeilen gefärbt, also \(8\cdot10=80\) Felder. 2. Der Anteil \(\frac{80}{100}\) entspricht \(0{,}8\). 3. Gekürzt ergibt \(\frac{80}{100}=\frac{4}{5}\).

Dezimalzahl: \(0{,}8\) Gekürzter Bruch: \(\frac{4}{5}\)

- Bestimme aus der Abbildung sowohl die Zahl der gefärbten als auch die Zahl aller gleich großen Felder. - Schreibe den gefärbten Anteil zunächst als Bruch aus diesen beiden Anzahlen. - Nutze dann den Nenner des Bruchs, um die passende Dezimalstelle zu bestimmen.

1. Es ist ein Block aus \(3\times3\) Feldern markiert. Das sind \(3\cdot3=9\) Felder. 2. Das ganze Quadrat besteht aus \(10\times10=100\) gleich großen Feldern. Daher ist der Anteil \(\frac{9}{100}\). 3. Neun Hundertstel schreibt man als \(0{,}09\).

Bruch: \(\frac{9}{100}\) Dezimalzahl: \(0{,}09\)

- Bestimme zuerst, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt ist. - Zähle die gefärbten Teile über alle dargestellten Ganzen hinweg. - Wandle den daraus entstehenden Bruch anschließend durch Division in eine Dezimalzahl um.

1. Jedes Ganze ist in \(4\) gleich große Teile zerlegt. Gefärbt sind insgesamt \(7\) Viertel. 2. Als unechter Bruch ist der Anteil \(\frac{7}{4}\). 3. Es gilt \(7:4=1{,}75\).

a) \(\frac{7}{4}\) b) \(1{,}75\)

- Lies \(0{,}7\) zuerst als Stellenwertangabe. - Erinnere dich an das Muster \(\frac{1}{9}=0{,}\overline{1}\), \(\frac{2}{9}=0{,}\overline{2}\) und so weiter. - Vergleiche danach die beiden Wege, nicht nur die Ergebnisse.

1. \(0{,}7\) bedeutet sieben Zehntel. Daher gilt \(0{,}7=\frac{7}{10}\). 2. Beim Neuntel-Muster gilt \(0{,}\overline{7}=\frac{7}{9}\). 3. Die endliche Dezimalzahl wird über ihren Stellenwert als Zehnerbruch geschrieben. Für die einstellige reine Periode wird das Neuntel-Muster genutzt.

a) \(0{,}7=\frac{7}{10}\), \(0{,}\overline{7}=\frac{7}{9}\) b) Bei \(0{,}7\) wird der Stellenwert Zehntel genutzt; bei \(0{,}\overline{7}\) das Neuntel-Muster.

- Prüfe zuerst, welcher Nenner mit einem kleinen ganzzahligen Faktor zu \(100\) wird. - Beim Erweitern müssen Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert werden. - Beim anderen Bruch liest du \(\frac{5}{16}\) als \(5:16\).

1. \(25\) lässt sich mit dem Faktor \(4\) direkt zu \(100\) erweitern. Deshalb ist Erweitern bei \(\frac{13}{25}\) besonders praktisch. 2. \(\frac{13}{25}=\frac{52}{100}=0{,}52\). 3. Für \(\frac{5}{16}\) verwenden wir die Division: \(5:16=0{,}3125\).

a) \(\frac{13}{25}=0{,}52\) durch Erweitern auf Hundertstel b) \(\frac{5}{16}=0{,}3125\) durch Division

- Untersuche zuerst, ob die Dezimalzahl endet oder sich eine Ziffer ohne Ende wiederholt. - Vergleiche diese Form mit den beiden angebotenen Umwandlungswegen. - Kürze beide Brüche am Schluss vollständig.

1. \(0{,}36\) ist endlich und hat zwei Nachkommastellen. Der passende Weg ist der Zehnerbruch: \(0{,}36=\frac{36}{100}=\frac{9}{25}\). 2. \(0{,}\overline{6}\) ist eine reine Periode mit einer Ziffer. Hier passt das Neuntel-Muster: \(0{,}\overline{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\). 3. Die Entscheidung folgt aus der Form der Dezimalzahl: endlich oder einstellige reine Periode.

\(0{,}36=\frac{9}{25}\), mit einem Zehnerbruch. \(0{,}\overline{6}=\frac{2}{3}\), mit dem Neuntel-Muster.

- Könntest du alle Zahlen so umschreiben, dass sie das gleiche Format haben? - Überlege, ob es einfacher ist, alle Zahlen als Brüche mit gleichem Nenner oder als Dezimalzahlen zu vergleichen. - Wenn du Dezimalzahlen vergleichst, hilft es, alle Zahlen auf die gleiche Anzahl an Nachkommastellen zu bringen.

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimalzahlen für eine bessere Vergleichbarkeit: 2. \( \frac{2}{5} = 0{,}4 \) 3. \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \) 4. \( \frac{3}{8} = 0{,}375 \) 5. Vergleich der Dezimalzahlen: \( 0{,}375 < 0{,}4 < 0{,}405 < 0{,}45 < 0{,}5 \) 6. Rückübersetzung in die ursprüngliche Form ergibt die Reihenfolge: \( \frac{3}{8} < \frac{2}{5} < 0{,}405 < 0{,}45 < \frac{1}{2} \)

\( \frac{3}{8} < \frac{2}{5} < 0{,}405 < 0{,}45 < \frac{1}{2} \)

- Führe für a) die Division von Zähler durch Nenner aus und beobachte, ob sich ein Rest wiederholt. - Für b) betrachte die ersten beiden Nachkommastellen der erhaltenen Dezimalzahl. - Vergleiche dann mit diesem Hundertstel und dem unmittelbar folgenden Hundertstel.

1. Die Division \(5 : 6\) ergibt \(0{,}8333\dots=0{,}8\overline{3}\). 2. Die Dezimalzahl ist größer als \(0{,}83\), weil nach \(0{,}83\) weitere positive Dezimalstellen folgen. 3. Sie ist kleiner als das nächste Hundertstel \(0{,}84\). 4. Daher gilt \(0{,}83<\frac{5}{6}<0{,}84\).

a) \(\frac{5}{6}=0{,}8\overline{3}\) b) \(0{,}83<\frac{5}{6}<0{,}84\)

- Schreibe \(0{,}625\) zuerst als Tausendstelbruch und kürze vollständig. - Erhöhe Zähler und Nenner erst nach dem Kürzen jeweils um \(1\). - Schreibe die periodische Dezimalzahl mit einigen Stellen aus, bevor du vergleichst.

1. \(0{,}625=\frac{625}{1000}=\frac{5}{8}\). 2. Zähler und Nenner werden jeweils um \(1\) erhöht: \(\frac{5+1}{8+1}=\frac{6}{9}\). 3. \(\frac{6}{9}=\frac{2}{3}=0{,}\overline{6}\). 4. \(0{,}\overline{6}=0{,}666\dots\) ist größer als \(0{,}625\).

\(0{,}625=\frac{5}{8}\). Der neue Bruch ist \(\frac{6}{9}=\frac{2}{3}=0{,}\overline{6}\). Der neue Wert ist größer als \(0{,}625\).

- Was passiert, wenn du beide Brüche auf die gleiche Form bringst? - Kannst du eine Dezimalzahl direkt mit einer anderen vergleichen? - Achte darauf, beim Kürzen wirklich den größten gemeinsamen Teiler zu finden oder in mehreren Schritten zu kürzen.

1. Kürzen von \(\frac{18}{24}\): Der größte gemeinsame Teiler ist 6. \(\frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}\). 2. Umwandlung in Dezimalzahl: \(3 : 4 = 0{,}75\). 3. Kürzen von \(\frac{14}{20}\): Der größte gemeinsame Teiler ist 2. \(\frac{14 : 2}{20 : 2} = \frac{7}{10}\). 4. Umwandlung in Dezimalzahl: \(7 : 10 = 0{,}7\). 5. Vergleich: Da \(0{,}75 > 0{,}7\) ist, gilt \(\frac{18}{24} > \frac{14}{20}\).

\(\frac{18}{24} = 0{,}75\) und \(\frac{14}{20} = 0{,}7\). Somit ist \(\frac{18}{24}\) der größere Bruch.

- Es hilft oft, beide Zahlen in dieselbe Form zu bringen (entweder beide als Dezimalzahl oder beide als Bruch). - Achte bei Brüchen wie \(\frac{1}{3}\) darauf, ob sie als Dezimalzahl abbrechen oder unendlich weitergehen.

1. Vergleich \(0{,}4\) und \(\frac{2}{5}\): Da \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4\), gilt \(0{,}4 = \frac{2}{5}\). 2. Vergleich \(0{,}33\) und \(\frac{1}{3}\): Da \(\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}\) (periodisch) und \(0{,}33 = 0{,}330\) ist, gilt \(0{,}33 < \frac{1}{3}\). 3. Vergleich \(0{,}85\) und \(\frac{17}{20}\): Da \(\frac{17}{20} = \frac{85}{100} = 0{,}85\), gilt \(0{,}85 = \frac{17}{20}\).

a) \(\frac{2}{5}=0{,}4\), also \(0{,}4=\frac{2}{5}\). b) \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\), also \(0{,}33<\frac{1}{3}\). c) \(\frac{17}{20}=0{,}85\), also \(0{,}85=\frac{17}{20}\).

- Kannst du den Bruch durch Erweitern auf eine Zehnerpotenz (10, 100, 1000) bringen? - Wenn das Erweitern schwierig ist, hilft die schriftliche Division: Zähler geteilt durch Nenner. - Achte darauf, ob sich bei der Division Reste wiederholen.

1. Berechnung für \(\frac{9}{20}\): Erweiterung auf den Nenner 100 ergibt \(\frac{45}{100} = 0{,}45\). 2. Berechnung für \(\frac{5}{6}\): Schriftliche Division \(5 : 6 = 0{,}8333\dots\). Das Ergebnis ist \(0{,}8\overline{3}\). 3. Berechnung für \(\frac{4}{11}\): Schriftliche Division \(4 : 11 = 0{,}3636\dots\). Das Ergebnis ist \(0{,}\overline{36}\). 4. Berechnung für \(\frac{17}{50}\): Erweiterung auf den Nenner 100 ergibt \(\frac{34}{100} = 0{,}34\).

a) \(0{,}45\) b) \(0{,}8\overline{3}\) c) \(0{,}\overline{36}\) d) \(0{,}34\)

- Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, schreibe sie zuerst mit einer Zehnerpotenz (10, 100 oder 1000) im Nenner. - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob du Zähler und Nenner noch durch dieselbe Zahl teilen kannst. - Brüche mit dem Nenner 8 lassen sich gut auf Tausendstel erweitern.

1. Berechnung (1): \(0{,}625 = \frac{625}{1000}\). Kürzen mit 125 ergibt \(\frac{5}{8}\). 2. Berechnung (2): \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4\). 3. Berechnung (3): \(2{,}4 = \frac{24}{10}\). Kürzen mit 2 ergibt \(\frac{12}{5}\) (oder \(2 \frac{2}{5}\)). 4. Berechnung (4): \(-\frac{3}{8}\). Erweiterung auf Tausendstel: \(-\frac{375}{1000} = -0{,}375\).

(1) \(\frac{5}{8}\) (2) \(0{,}4\) (3) \(\frac{12}{5}\) (oder \(2 \frac{2}{5}\)) (4) \(-0{,}375\)

- Bestimme zuerst die Dezimaldarstellungen der beiden gemischten Zahlen; diese Ergebnisse gehören zur Antwort. - Vergleiche danach die vier Dezimalwerte stellenweise. - Achte darauf, dass die Wege vom längsten zum kürzesten geordnet werden sollen.

1. Umwandlung aller Längen in Dezimalzahlen: - Weg A: \(12{,}5\,\text{km}\) - Weg B: \(12{,}45\,\text{km}\) - Weg C: \(12 \frac{3}{5} = 12{,}6\,\text{km}\) - Weg D: \(12{,}505\,\text{km}\) 2. Vergleich der Werte (absteigend): - \(12{,}6 > 12{,}505 > 12{,}5 > 12{,}45\) 3. Zuordnung der Wege: - Weg C (\(12{,}6\)) > Weg D (\(12{,}505\)) > Weg A (\(12{,}5\)) > Weg B (\(12{,}45\))

Umwandlungen: Weg A \(=12{,}5\,\text{km}\), Weg C \(=12{,}6\,\text{km}\). Reihenfolge: Weg C, Weg D, Weg A, Weg B.

- Es ist einfacher, Zahlen zu vergleichen, wenn sie alle im gleichen Format (zum Beispiel als Dezimalzahlen) vorliegen. - Ergänze bei den Dezimalzahlen Nullen am Ende, damit sie alle gleich viele Nachkommastellen haben.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375\) und \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4\) 2. Vergleich aller Dezimalzahlen: \(0{,}375 < 0{,}380 < 0{,}400 < 0{,}420\) 3. Zuordnung der ursprünglichen Werte zur Sortierung: \(\frac{3}{8} < 0{,}38 < \frac{2}{5} < 0{,}42\)

\(\frac{3}{8} < 0{,}38 < \frac{2}{5} < 0{,}42\)

- Schreibe die Dezimalzahl zuerst als Bruch mit dem Nenner \(10\), \(100\) oder \(1000\). - Kannst du diesen Bruch so kürzen oder erweitern, dass er wie der gesuchte Bruch aussieht? - Was musst du tun, um von einem Nenner auf den anderen zu kommen?

1. Zu a): Umwandlung von \(0{,}375\) in einen Bruch ergibt \(\frac{375}{1000}\). Kürzen durch \(125\) führt zu \(\frac{3}{8}\). Ergebnis: \(\square = 3\). 2. Zu b): Umwandlung von \(0{,}64\) in einen Bruch ergibt \(\frac{64}{100}\). Kürzen durch \(4\) führt zu \(\frac{16}{25}\). Ergebnis: \(\square = 16\). 3. Zu c): Umwandlung von \(0{,}07\) in einen Bruch ergibt \(\frac{7}{100}\). Der Vergleich mit \(\frac{7}{\square}\) zeigt: \(\square = 100\).

a) \(\square = 3\) b) \(\square = 16\) c) \(\square = 100\)

- Es ist einfacher, Zahlen zu vergleichen, wenn sie denselben Nenner haben. - Erweitere oder kürze die Brüche, um sie vergleichbar zu machen. - Achte genau auf die Anzahl der Nullen und die Stellenwerte.

1. Vergleich a): \(0{,}3 = \frac{30}{100}\) und \(0{,}03 = \frac{3}{100}\). Da \(30 > 3\), gilt \(0{,}3 > 0{,}03\). 2. Vergleich b): \(0{,}05 = \frac{5}{100} = \frac{50}{1000}\). Somit gilt \(0{,}05 = \frac{50}{1000}\). 3. Vergleich c): \(1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{120}{100}\). Somit gilt \(1{,}2 = \frac{120}{100}\). 4. Vergleich d): \(0{,}008 = \frac{8}{1000}\) und \(0{,}01 = \frac{1}{100} = \frac{10}{1000}\). Da \(8 < 10\), gilt \(0{,}008 < 0{,}01\).

a) \(0{,}3=\frac{30}{100}\), \(0{,}03=\frac{3}{100}\); daher \(0{,}3>0{,}03\). b) \(0{,}05=\frac{50}{1000}\); daher \(0{,}05=\frac{50}{1000}\). c) \(1{,}2=\frac{120}{100}\); daher \(1{,}2=\frac{120}{100}\). d) \(0{,}008=\frac{8}{1000}\), \(0{,}01=\frac{10}{1000}\); daher \(0{,}008<0{,}01\).

- Nutze die Beziehung zwischen Kilogramm und Gramm, um zunächst die Gramm-Spalte zu füllen. - Vergleiche anschließend die Grammzahl mit Tausend Gramm, um die Dezimalzahl in Kilogramm zu erhalten. - Kontrolliere zum Schluss, ob in der letzten Spalte wirklich drei Nachkommastellen sichtbar sind.

1. Für \(\frac{1}{4}\,\text{kg}\) gilt wegen \(1\,\text{kg}=1000\,\text{g}\): \(1000\,\text{g}:4=250\,\text{g}\). Mit genau drei Nachkommastellen sind das \(0{,}250\,\text{kg}\). 2. Für \(\frac{3}{4}\,\text{kg}\) gilt \(3\cdot250\,\text{g}=750\,\text{g}\). Mit genau drei Nachkommastellen sind das \(0{,}750\,\text{kg}\).

Für \(\frac{1}{4}\,\text{kg}\): \(250\,\text{g}\) und \(0{,}250\,\text{kg}\). Für \(\frac{3}{4}\,\text{kg}\): \(750\,\text{g}\) und \(0{,}750\,\text{kg}\).

- Beginne mit den drei Brüchen; ihre Dezimaldarstellungen gehören ausdrücklich zur Antwort. - Bringe für den Vergleich alle fünf Werte in dieselbe Darstellungsform. - Vergleiche die Dezimalzahlen anschließend Stelle für Stelle von links nach rechts.

1. Die Brüche ergeben \(\frac{7}{8}=0{,}875\), \(\frac{4}{5}=0{,}8\) und \(\frac{17}{20}=0{,}85\). 2. Vergleiche nun die fünf Dezimalzahlen: \(0{,}8<0{,}85<0{,}87<0{,}875<0{,}88\). 3. In der ursprünglichen Darstellung lautet die Reihenfolge \(\frac{4}{5}<\frac{17}{20}<0{,}87<\frac{7}{8}<0{,}88\).

a) \(\frac{7}{8}=0{,}875\), \(\frac{4}{5}=0{,}8\), \(\frac{17}{20}=0{,}85\) b) \(\frac{4}{5}<\frac{17}{20}<0{,}87<\frac{7}{8}<0{,}88\)