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- Kannst du den Bruch so erweitern, dass im Nenner eine 10, 100 oder 1000 steht? - Was passiert, wenn du den Zähler einfach durch den Nenner teilst? - Weißt du, wie viel ein Fünftel als Dezimalzahl ist?

1. Bruch so erweitern, dass der Nenner eine Zehnerpotenz ist: \(\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}\). 2. In Dezimalschreibweise umwandeln: \(\frac{6}{10} = 0{,}6\). 3. Alternativ: Division \(3 : 5 = 0{,}6\) durchführen.

\(0{,}6\)

- Zähle die Stellen nach dem Komma, um den passenden Nenner zu finden. - Wie viele Nullen muss die Zehnerzahl im Nenner haben? - Überlege, was die Ziffern vor und nach dem Komma für den Zähler bedeuten.

1. Bestimmung der Anzahl der Nachkommastellen für den Nenner: Eine Stelle entspricht Zehnteln (\(10\)), zwei Stellen Hundertsteln (\(100\)) und drei Stellen Tausendsteln (\(1000\)). 2. Für a) \(0{,}4\): Eine Nachkommastelle, also \(\frac{4}{10}\). 3. Für b) \(0{,}12\): Zwei Nachkommastellen, also \(\frac{12}{100}\). 4. Für c) \(0{,}005\): Drei Nachkommastellen, also \(\frac{5}{1000}\). 5. Für d) \(3{,}7\): Eine Nachkommastelle, die Ziffern bilden den Zähler \(37\), also \(\frac{37}{10}\). 6. Für e) \(0{,}08\): Zwei Nachkommastellen, also \(\frac{8}{100}\).

a) \(\frac{4}{10}\) b) \(\frac{12}{100}\) c) \(\frac{5}{1000}\) d) \(\frac{37}{10}\) e) \(\frac{8}{100}\)

- Zähle in der Abbildung zuerst alle gleich großen Teile des Kreises. - Vergleiche diese Gesamtzahl mit der Zahl der gefärbten Teile. - Überlege, welchen Stellenwert ein Zehntel in der Dezimalschreibweise hat.

1. Aus der Abbildung erkennt man \(10\) gleich große Sektoren, von denen \(1\) gefärbt ist. 2. Der gefärbte Anteil ist \(\frac{1}{10}\). 3. Ein Zehntel wird als \(0{,}1\) geschrieben.

Bruch: \(\frac{1}{10}\) Dezimalzahl: \(0{,}1\)

- Zähle zuerst alle gleich langen Abschnitte im Bild. - Zähle danach die gefärbten Abschnitte. - Überlege, wie ein Bruch mit Nenner \(10\) als Dezimalzahl geschrieben wird.

1. Aus der Abbildung erkennt man \(10\) gleich lange Abschnitte, von denen \(7\) gefärbt sind. 2. Der gefärbte Anteil ist \(\frac{7}{10}\). 3. Sieben Zehntel entsprechen \(0{,}7\).

Bruch: \(\frac{7}{10}\) Dezimalzahl: \(0{,}7\)

- Achte darauf, dass die Periode direkt nach dem Komma beginnt und nur eine Ziffer lang ist. - Nutze die Regel für eine rein periodische Dezimalzahl mit genau einer Periodenziffer. - Prüfe am Ende, ob sich der erhaltene Bruch noch kürzen lässt.

1. Für eine rein periodische Dezimalzahl mit genau einer Periodenziffer \(z\) gilt \(0{,}\overline{z}=\frac{z}{9}\). 2. Daher ist \(0{,}\overline{4}=\frac{4}{9}\). 3. \(4\) und \(9\) haben keinen gemeinsamen Teiler größer als \(1\); der Bruch ist vollständig gekürzt.

\(\frac{4}{9}\)

- Vergleiche zuerst die Dezimaldarstellung von \(\frac{3}{10}\) mit der gegebenen periodischen Zahl. - Frage dich, welchen Unterschied der Periodenstrich macht. - Nutze dann die Regel für eine rein periodische Dezimalzahl mit einer Periodenziffer.

1. \(\frac{3}{10}=0{,}3\) endet nach einer Nachkommastelle und ist daher nicht dieselbe Zahl wie \(0{,}\overline{3}\). 2. Bei \(0{,}\overline{3}\) wiederholt sich die \(3\) unbegrenzt. 3. Für die einstellige reine Periode gilt \(0{,}\overline{3}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\).

Mila hat nicht recht. Es gilt \(0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}\).

- Bestimme bei jeder Abbildung, welcher Bruchteil der gleich großen Teile gefärbt ist. - Vergleiche diese Anteile mit \(0{,}75\), statt dich an der Form der Abbildung zu orientieren. - Kürze den Bruch der passenden Abbildung vollständig.

1. In Abbildung a) sind \(7\) von \(10\) Teilen gefärbt; das entspricht \(0{,}7\). 2. In Abbildung b) sind \(3\) von \(4\) Teilen gefärbt; \(\frac{3}{4}=0{,}75\). 3. In Abbildung c) sind \(4\) von \(5\) Teilen gefärbt; das entspricht \(0{,}8\). 4. Daher passt Abbildung b), und der vollständig gekürzte Bruch ist \(\frac{3}{4}\).

a) Abbildung b) b) \(\frac{3}{4}\)

- Erinnere dich daran, dass ein Bruchstrich das Gleiche bedeutet wie ein Geteiltzeichen. - Wie gehst du vor, wenn die Division kein Ende nimmt? - Überlege, welche Ziffer entscheidet, ob du auf- oder abrunden musst.

1. Berechnung von a): \(3 : 4 = 0{,}75\). 2. Berechnung von b): \(5 : 6 = 0{,}8333\dots\). Rundung auf zwei Nachkommastellen ergibt \(0{,}83\). 3. Berechnung von c): \(12 : 5 = 2{,}4\). 4. Berechnung von d): \(-7 : 9 = -0{,}7777\dots\). Rundung auf zwei Nachkommastellen ergibt \(-0{,}78\).

a) \(0{,}75\) b) \(0{,}83\) c) \(2{,}4\) d) \(-0{,}78\)

- Wie rechnet man einen Bruch in eine Dezimalzahl um? - Schau dir die Markierungen auf dem Messbecher genau an. Wo liegen die Zahlen \( 0{,}3 \) und \( 0{,}4 \)? - Überlege, was einfacher zu verstehen ist: „Nimm drei Achtel“ oder „Nimm Null-Komma-Drei-Sieben-Fünf“.

1. Umwandlung des Bruchs durch Division: \( 3 : 8 = 0{,}375 \). Die Dezimalzahl lautet \( 0{,}375 \). 2. Bestimmung der Position auf der Skala: Der Wert \( 0{,}375 \) liegt zwischen \( 0{,}3 \) und \( 0{,}4 \). Der Abstand von \( 0{,}3 \) zu \( 0{,}375 \) beträgt \( 0{,}075 \), also drei Viertel des Zehntelabstands von \( 0{,}3 \) bis \( 0{,}4 \). Daher liegt die Markierung drei Viertel des Weges von \( 0{,}3 \) nach \( 0{,}4 \), näher bei \( 0{,}4 \). 3. Begründung der Bruchdarstellung: Brüche können Anteile eines Ganzen unmittelbar und exakt darstellen. Besonders bei nicht abbrechenden Dezimalzahlen wie \( \frac{1}{3} \) vermeidet die Bruchschreibweise eine Rundung.

a) \( 0{,}375 \) Liter. b) Der Wert liegt zwischen \( 0{,}3 \) und \( 0{,}4 \), genau drei Viertel des Weges von \( 0{,}3 \) zu \( 0{,}4 \). c) Brüche wie \(\frac{1}{4}\) und \(\frac{3}{8}\) zeigen die Teil-Ganzes-Beziehung unmittelbar. Die zugehörigen Dezimalzahlen sind zwar ebenfalls exakt, aber die Aufteilung in gleich große Teile ist in der Bruchschreibweise leichter erkennbar.

- Bringe die vier Zahlen zunächst in eine Darstellung, in der du sie direkt vergleichen kannst. - Achte beim Vergleichen darauf, dass unterschiedlich viele sichtbare Nachkommastellen den Wert nicht verändern. - Prüfe deine Reihenfolge paarweise von links nach rechts.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(\frac{11}{4}=2{,}75\); \(2{,}8=2{,}80\); \(2\frac{3}{5}=2+0{,}6=2{,}60\); \(\frac{27}{10}=2{,}70\). 2. Vergleich der Werte: \(2{,}60<2{,}70<2{,}75<2{,}80\). 3. Daher lautet die Reihenfolge \(2\frac{3}{5}<\frac{27}{10}<\frac{11}{4}<2{,}8\).

Dezimalzahlen: \(2{,}75\), \(2{,}8\), \(2{,}6\), \(2{,}7\). Reihenfolge: \(2\frac{3}{5}<\frac{27}{10}<\frac{11}{4}<2{,}8\).

- Suche zu jedem Wert eine gleichwertige Darstellung in Hundertsteln. - Bei einer Dezimalzahl kannst du überlegen, wie viele Hundertstel sie beschreibt. - Bei einem Bruch hilft eine gleichwertige Darstellung mit Nenner \(100\).

1. \(\frac{63}{100}\) sind \(63\) Hundertstel, also \(63\,\%\). 2. \(0{,}62 = \frac{62}{100}\), also \(62\,\%\). 3. \(\frac{3}{4} = \frac{75}{100}\), also \(75\,\%\). 4. \(0{,}08 = \frac{8}{100}\), also \(8\,\%\).

a) \(\frac{63}{100}=63\,\%\) b) \(\frac{62}{100}=62\,\%\) c) \(\frac{75}{100}=75\,\%\) d) \(\frac{8}{100}=8\,\%\)

- Vergleiche bei \(112\,\%\) die Anzahl der Hundertstel mit einem ganzen Hundert. - Überlege, welcher Zahlenwert genau \(100\,\%\) entspricht. - Nutze bei Teil c) dieselbe Hundertstel-Idee wie zuvor.

1. \(112\,\% = \frac{112}{100} = 1{,}12\). 2. Bens Aussage ist falsch. Ein Prozentsatz über \(100\,\%\) entspricht mehr als \(100\) Hundertsteln und kann deshalb als Zahl größer als \(1\) dargestellt werden. 3. \(5\,\% = \frac{5}{100} = 0{,}05\).

a) \(\frac{112}{100} = 1{,}12\) b) Bens Aussage ist falsch, denn \(112\,\% > 100\,\%\) und \(1{,}12 > 1\). c) \(\frac{5}{100} = 0{,}05\)

- Was bedeutet der Strich über einer Zahl bei einem Dezimalbruch? - Wie unterscheidet sich das Ergebnis einer Division, die aufgeht, von einer, die nicht aufgeht? - Welcher Nenner eignet sich für einen Bruch, dessen Periode aus genau einer Ziffer besteht und direkt nach dem Komma beginnt? - Führe die schriftliche Division im Kopf oder auf Papier durch, um das Ergebnis zu prüfen.

1. In Teilaufgabe a) fehlt der Periodenstrich. Da \( 4 : 9 = 0{,}444\dots \) ergibt, lautet das korrekte Ergebnis \( \frac{4}{9} = 0{,}\overline{4} \). 2. In Teilaufgabe b) wurde ein periodischer Dezimalbruch mit einem endlichen Dezimalbruch verwechselt. Bei einer einstelligen rein periodischen Dezimalzahl erhält man einen Bruch mit dem Nenner 9. Korrekt: \( 0{,}\overline{7} = \frac{7}{9} \). 3. In Teilaufgabe c) wurde eine periodische Zahl als endlicher Dezimalbruch geschrieben. Die Division \( 1 : 11 \) ergibt \( 0{,}0909\dots \). Korrekt: \( \frac{1}{11} = 0{,}\overline{09} \).

a) Fehler: Periodenstrich fehlt. Korrektur: \( \frac{4}{9} = 0{,}\overline{4} \). b) Fehler: Nenner 10 gilt für endliche Dezimalbrüche. Korrektur: \( 0{,}\overline{7} = \frac{7}{9} \). c) Fehler: Periode nicht beachtet. Korrektur: \( \frac{1}{11} = 0{,}\overline{09} \).

- Kannst du die Brüche so erweitern, dass im Nenner nur Neunen stehen? - Was passiert, wenn du den Zähler schriftlich durch den Nenner teilst? - Vergleiche die Dezimalzahlen Stelle für Stelle von links nach rechts.

1. Division von \(2\) durch \(9\) ergibt \(0{,}222\dots\), also \(0{,}\overline{2}\) 2. Erweiterung von \(\frac{7}{33}\) mit \(3\) ergibt \(\frac{21}{99}\), was der Dezimalzahl \(0{,}\overline{21}\) entspricht 3. Der Bruch \(\frac{25}{99}\) entspricht direkt der Dezimalzahl \(0{,}\overline{25}\) 4. Vergleich der Dezimalstellen: \(0{,}2121\dots < 0{,}2222\dots < 0{,}2525\dots\) 5. Ordnung: \(\frac{7}{33} < \frac{2}{9} < \frac{25}{99}\)

\(\frac{7}{33} = 0{,}\overline{21}\); \(\frac{2}{9} = 0{,}\overline{2}\); \(\frac{25}{99} = 0{,}\overline{25}\). Die Ordnung ist: \(\frac{7}{33} < \frac{2}{9} < \frac{25}{99}\).

- Prüfe bei jedem Bruch, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler größer als \(1\) haben. - Wenn ein gemeinsamer Teiler nicht sofort auffällt, zerlege Zähler und Nenner gedanklich in kleinere Faktoren. - Erst nach dem vollständigen Kürzen wandelst du den Bruch durch Division in eine Dezimalzahl um.

1. Für a): Kürzen mit 15 ergibt \(\frac{3}{4}\). Umwandlung: \(3:4=0{,}75\). 2. Für b): Kürzen mit 13 ergibt \(\frac{2}{5}\). Umwandlung: \(2:5=0{,}4\). 3. Für c): Kürzen mit 12 ergibt \(\frac{11}{4}\). Umwandlung: \(11:4=2{,}75\). 4. Für d): Kürzen mit 17 ergibt \(\frac{3}{5}\). Umwandlung: \(3:5=0{,}6\).

a) \(\frac{3}{4}=0{,}75\) b) \(\frac{2}{5}=0{,}4\) c) \(\frac{11}{4}=2{,}75\) d) \(\frac{3}{5}=0{,}6\)

- Schau dir die Primfaktoren der Nenner an, nachdem du die Brüche vollständig gekürzt hast. - Welche Primfaktoren im Nenner führen dazu, dass eine Dezimalzahl abbricht? - Was passiert bei der Division, wenn ein Rest immer wiederkehrt?

1. \(\frac{36}{48}\): Kürzen mit 12 ergibt \(\frac{3}{4}\). Der Nenner 4 enthält nur den Primfaktor 2, daher abbrechend. Wert: \(0{,}75\). 2. \(\frac{36}{45}\): Kürzen mit 9 ergibt \(\frac{4}{5}\). Der Nenner 5 enthält nur den Primfaktor 5, daher abbrechend. Wert: \(0{,}8\). 3. \(\frac{36}{54}\): Kürzen mit 18 ergibt \(\frac{2}{3}\). Der Nenner 3 enthält einen Primfaktor ungleich 2 oder 5, daher periodisch. Wert: \(0{,}\overline{6}\).

\(\frac{36}{48} = \frac{3}{4} = 0{,}75\) (abbrechend) \(\frac{36}{45} = \frac{4}{5} = 0{,}8\) (abbrechend) \(\frac{36}{54} = \frac{2}{3} = 0{,}\overline{6}\) (periodisch)

- Schreibe die beiden Dezimalzahlen stellengerecht untereinander. - Was musst du tun, wenn bei den Hundertsteln die obere Ziffer kleiner als die untere ist? - Prüfe nach dem Entbündeln, welche Ziffer an der Zehntelstelle übrig bleibt.

1. Bei der Hundertstelstelle kann \(0-5\) nicht ohne Entbündeln gerechnet werden. Ein Zehntel wird in zehn Hundertstel umgewandelt. 2. Danach stehen bei den Hundertsteln \(10-5=5\). Bei den Zehnteln bleiben nach dem Entbündeln nur noch \(4\) Zehntel; daher gilt dort \(4-2=2\), nicht \(3\). 3. Somit ist \(4{,}50-1{,}25=3{,}25\).

Amina berücksichtigt beim Entbündeln nicht, dass sich die Zehntelstelle von \(5\) auf \(4\) verringert. Richtig ist \(4{,}50-1{,}25=3{,}25\).

- Prüfe zuerst, ob der Divisor eine endliche Dezimaldarstellung besitzt. - Überlege, wie du eine Division mit Dezimalzahlen in eine gleichwertige Division ohne Dezimalkommas umformen kannst. - Kontrolliere dein Ergebnis mit der passenden Umkehrrechnung.

1. Der Divisor lässt sich exakt als endliche Dezimalzahl schreiben: \(\frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Damit wird die Rechnung zu \(1{,}5 : 0{,}4\). 3. Multipliziert man Dividend und Divisor mit \(10\), erhält man die gleichwertige Division \(15 : 4 = 3{,}75\). 4. Der Darstellungswechsel ist praktisch, weil \(\frac{2}{5}\) eine kurze endliche Dezimaldarstellung besitzt und die Division anschließend ohne Bruchschreibweise ausgeführt werden kann.

\(3{,}75\). Der Wechsel von \(\frac{2}{5}\) zu \(0{,}4\) ist hier vorteilhaft, weil die Dezimaldarstellung exakt und kurz ist.

- Schau dir an, wie viele Stellen hinter dem Komma stehen, um den Nenner (10, 100 oder 1000) zu bestimmen. - Vergiss am Ende nicht zu prüfen, ob du Zähler und Nenner noch durch dieselbe Zahl teilen kannst.

1. Für \(0{,}24\): Die Zahl hat zwei Nachkommastellen, entspricht also \(\frac{24}{100}\). Kürzen mit \(4\) ergibt \(\frac{6}{25}\). 2. Für \(3{,}5\): Dies entspricht \(3 \frac{5}{10}\). Kürzen des Bruchteils mit \(5\) ergibt \(3 \frac{1}{2}\) oder als unechter Bruch \(\frac{7}{2}\). 3. Für \(0{,}015\): Die Zahl hat drei Nachkommastellen, entspricht also \(\frac{15}{1000}\). Kürzen mit \(5\) ergibt \(\frac{3}{200}\).

a) \(\frac{6}{25}\) b) \(3\frac{1}{2}\) oder \(\frac{7}{2}\) c) \(\frac{3}{200}\)

- Kannst du den Nenner durch Erweitern auf eine Stufenzahl wie 10, 100 oder 1000 bringen? - Alternativ kannst du den Zähler durch den Nenner teilen.

1. Für \(\frac{9}{20}\): Erweitern mit \(5\), um den Nenner \(100\) zu erhalten: \(\frac{45}{100} = 0{,}45\). 2. Für \(\frac{3}{8}\): Division \(3 : 8 = 0{,}375\) oder Erweitern mit \(125\) auf den Nenner \(1000\): \(\frac{375}{1000} = 0{,}375\). 3. Für \(2\frac{1}{4}\): Der ganzzahlige Teil ist \(2\). Den Bruch \(\frac{1}{4}\) mit \(25\) erweitern ergibt \(\frac{25}{100} = 0{,}25\). Zusammen ergibt das \(2{,}25\).

a) \(0{,}45\) b) \(0{,}375\) c) \(2{,}25\)

- Überlege dir, wie viele Stellen nach dem Komma stehen, um den richtigen Nenner (10, 100 oder 1000) zu finden. - Kannst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen, um den Bruch zu vereinfachen? - Gibt es einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner?

1. Umwandlung von \(0{,}15\): \(0{,}15 = \frac{15}{100}\). Kürzen mit dem \(\operatorname{ggT}(15;100) = 5\) ergibt \(\frac{3}{20}\). 2. Umwandlung von \(0{,}08\): \(0{,}08 = \frac{8}{100}\). Kürzen mit dem \(\operatorname{ggT}(8;100) = 4\) ergibt \(\frac{2}{25}\). 3. Umwandlung von \(0{,}375\): \(0{,}375 = \frac{375}{1000}\). Kürzen mit dem \(\operatorname{ggT}(375;1000) = 125\) ergibt \(\frac{3}{8}\). 4. Umwandlung von \(2{,}4\): \(2{,}4 = \frac{24}{10}\). Kürzen mit dem \(\operatorname{ggT}(24;10) = 2\) ergibt \(\frac{12}{5}\) oder \(2 \frac{2}{5}\).

a) \(\frac{3}{20}\) b) \(\frac{2}{25}\) c) \(\frac{3}{8}\) d) \(\frac{12}{5}\)

- Mit welcher Zahl musst du den Nenner multiplizieren, um auf 100 zu kommen? - Was musst du dann mit dem Zähler machen, damit der Wert des Bruches gleich bleibt? - Erinnerst du dich, wie man eine Division schriftlich rechnet, wenn das Ergebnis eine Dezimalzahl ist?

1. Den Bruch so erweitern, dass der Nenner eine Zehnerpotenz ist, zum Beispiel \(10\), \(100\), \(1000\), \(\dots\): \(\frac{11 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{55}{100}\). 2. Den Bruch mit dem Nenner 100 als Dezimalzahl schreiben: \(\frac{55}{100} = 0{,}55\). 3. Alternativ: Division des Zählers durch den Nenner: \(11 : 20 = 0{,}55\).

\(0{,}55\)

- Schreibe die Dezimalzahl zunächst als Bruch mit dem Nenner 100. - Bestimme einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. - Kürze Zähler und Nenner durch denselben Wert, bis der Bruch vollständig gekürzt ist.

1. Den Dezimalbruch als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner schreiben: \(0{,}48 = \frac{48}{100}\). 2. Den gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner finden: Der größte gemeinsame Teiler von 48 und 100 ist 4. 3. Den Bruch durch 4 kürzen: \(\frac{48 : 4}{100 : 4} = \frac{12}{25}\).

\(\frac{12}{25}\)

- Überlege dir, ob es einfacher ist, alle Zahlen als Brüche oder als Dezimalzahlen zu vergleichen. - Erweitere Brüche so, dass sie eine Zehnerpotenz (10, 100 oder 1000) im Nenner haben, um sie leichter umzuwandeln. - Achte beim Vergleichen von Dezimalzahlen genau auf die Stellen nach dem Komma (Zehntel, Hundertstel, Tausendstel).

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimalzahlen: - \(\frac{2}{5} = 0{,}4\) - \(\frac{11}{25} = \frac{44}{100} = 0{,}44\) 2. Vergleich der Dezimalzahlen: - \(0{,}4 < 0{,}405 < 0{,}44 < 0{,}45\) 3. Rückführung auf die ursprünglichen Zahlen: - \(\frac{2}{5} < 0{,}405 < \frac{11}{25} < 0{,}45\)

Umwandlungen: \(\frac{2}{5}=0{,}4\), \(\frac{11}{25}=0{,}44\). Reihenfolge: \(\frac{2}{5}<0{,}405<\frac{11}{25}<0{,}45\).

- Überlege, mit welcher Zahl du den Nenner multiplizieren musst, um auf \(10\), \(100\) oder \(1000\) zu kommen. - Vergiss nicht, den Zähler mit derselben Zahl zu multiplizieren. - Wie viele Nachkommastellen hat eine Dezimalzahl bei einem Nenner von \(100\) oder \(1000\)?

1. Erweiterung von \(\frac{3}{5}\) mit \(2\) auf Zehntel: \(\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0{,}6\) 2. Erweiterung von \(\frac{7}{20}\) mit \(5\) auf Hundertstel: \(\frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0{,}35\) 3. Erweiterung von \(\frac{9}{40}\) mit \(25\) auf Tausendstel: \(\frac{9 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{225}{1000} = 0{,}225\) 4. Erweiterung von \(\frac{11}{250}\) mit \(4\) auf Tausendstel: \(\frac{11 \cdot 4}{250 \cdot 4} = \frac{44}{1000} = 0{,}044\)

a) \(0{,}6\) b) \(0{,}35\) c) \(0{,}225\) d) \(0{,}044\)

- Überlege dir, welchen Stellenwert die letzte Ziffer der Dezimalzahl hat. - Erinnere dich daran, dass eine ganze Zahl auch als Bruch geschrieben werden kann. - Wie verändert sich der Zähler, wenn der Nenner \(100\) ist?

1. Schritt a): \(0{,}75\) hat zwei Nachkommastellen, daher ist der Nenner \(100\). 2. Schritt b): \(0{,}003\) entspricht drei Tausendsteln, der Zähler ist also \(3\). 3. Schritt c): \(2{,}1\) sind \(21\) Zehntel, der Zähler ist \(21\). 4. Schritt d): \(0{,}06\) hat zwei Nachkommastellen, daher ist der Nenner \(100\). 5. Schritt e): Die ganze Zahl \(9\) entspricht \(900\) Hundertsteln (\(9 \cdot 100\)), der Zähler ist \(900\).

a) \(100\) b) \(3\) c) \(21\) d) \(100\) e) \(900\)

- Es ist einfacher zu vergleichen, wenn beide Zahlen im gleichen Format (beide als Dezimalzahl) vorliegen. - Achte beim Vergleichen von Dezimalzahlen auf die Stellen nach dem Komma: Zehntel, Hundertstel usw. - Kannst du einen Bruch so erweitern oder kürzen, dass du ihn sofort als Dezimalzahl schreiben kannst?

1. \( \frac{7}{10} = 0{,}7 \). Da \( 0{,}7 < 0{,}75 \), ist das Zeichen \( < \). 2. \( \frac{1}{4} = 0{,}25 \). Da \( 0{,}4 > 0{,}25 \), ist das Zeichen \( > \). 3. \( \frac{12}{50} = \frac{24}{100} = 0{,}24 \). Da \( 0{,}24 = 0{,}24 \), ist das Zeichen \( = \). 4. \( \frac{6}{5} = \frac{12}{10} = 1{,}2 \). Da \( 1{,}3 > 1{,}2 \), ist das Zeichen \( > \).

a) \(\frac{7}{10}=0{,}7\); daher \(\frac{7}{10}<0{,}75\). b) \(\frac{1}{4}=0{,}25\); daher \(0{,}4>\frac{1}{4}\). c) \(\frac{12}{50}=0{,}24\); daher \(\frac{12}{50}=0{,}24\). d) \(\frac{6}{5}=1{,}2\); daher \(1{,}3>\frac{6}{5}\).

- Überlege dir für jeden Bruch, wie er als Dezimalzahl aussieht. - Du kannst einen Bruch auch in eine Dezimalzahl umwandeln, indem du den Zähler durch den Nenner dividierst. - Wie viele Stellen nach dem Komma hat die Zahl \( 0{,}625 \)? Was sagt dir das über den Nenner des entsprechenden Bruchs (als Stufenzahl)?

1. Umwandlung von \( \frac{625}{100} \): Als Dezimalzahl geschrieben ist dies \( 6{,}25 \). Das stimmt nicht mit \( 0{,}625 \) überein. 2. Umwandlung von \( \frac{5}{8} \): Erweitern mit \( 125 \) ergibt \( \frac{625}{1000} \), was \( 0{,}625 \) entspricht. 3. Umwandlung von \( \frac{3}{4} \): Erweitern mit \( 25 \) ergibt \( \frac{75}{100} \), was \( 0{,}75 \) entspricht. Der Bruch \( \frac{5}{8} \) ist somit gleichwertig zu \( 0{,}625 \).

\(\frac{625}{100}=6{,}25\), \(\frac{5}{8}=0{,}625\), \(\frac{3}{4}=0{,}75\). Damit hat \(\frac{5}{8}\) den Wert \(0{,}625\).

- Es hilft oft, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, um sie besser vergleichen zu können. - Denke bei periodischen Dezimalzahlen wie \(\frac{1}{3}\) daran, dass sie unendlich viele Nachkommastellen haben. - Du kannst Brüche auch auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dieser gemeinsame Nenner muss nicht immer eine Zehnerpotenz sein.

1. Umwandlung von \(\frac{3}{4}\) in \(0{,}75\). Vergleich: \(0{,}75 > 0{,}7\). 2. Umwandlung von \(\frac{1}{8}\) in \(0{,}125\). Vergleich: \(0{,}12 < 0{,}125\). 3. Umwandlung von \(2 \frac{1}{2}\) in \(2{,}5\). Vergleich: \(2{,}5 = 2{,}50\). 4. Umwandlung von \(\frac{1}{3}\) in \(0{,}333\dots\). Vergleich: \(0{,}33 < 0{,}333\dots\). 5. Umwandlung von \(\frac{9}{20}\) in \(\frac{45}{100} = 0{,}45\). Vergleich: \(0{,}45 = 0{,}45\).

a) \(\frac{3}{4}=0{,}75\); daher \(\frac{3}{4}>0{,}7\). b) \(\frac{1}{8}=0{,}125\); daher \(0{,}12<\frac{1}{8}\). c) \(2\frac{1}{2}=2{,}5\); daher \(2\frac{1}{2}=2{,}50\). d) \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\); daher \(0{,}33<\frac{1}{3}\). e) \(\frac{9}{20}=0{,}45\); daher \(\frac{9}{20}=0{,}45\).

- Zähle zuerst, aus wie vielen kleinen Kästchen die gesamte Figur besteht. - Bestimme dann, wie viele dieser Kästchen farbig markiert sind. - Wie lässt sich das Verhältnis von gefärbten Kästchen zur Gesamtzahl als Bruch aufschreiben? - Überlege, durch welche Zahl du sowohl den Zähler als auch den Nenner teilen kannst, um den Bruch zu kürzen. - Wie kannst du einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Kästchen: Das Gitter hat \(5\) Zeilen und \(4\) Spalten, also insgesamt \(5 \cdot 4 = 20\) gleich große Kästchen. 2. Bestimmung der gefärbten Kästchen: Es sind \(15\) Kästchen blau gefärbt. 3. Aufstellen des Bruchs: Der Anteil beträgt \(\frac{15}{20}\). 4. Kürzen des Bruchs: Durch Teilen von Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler \(5\) erhält man \(\frac{15 : 5}{20 : 5} = \frac{3}{4}\). 5. Umwandlung in eine Dezimalzahl: Der gekürzte Bruch \(\frac{3}{4}\) entspricht der Dezimalzahl \(0{,}75\).

a) \(\frac{3}{4}\) b) \(0{,}75\)

- Bestimme aus der Abbildung zuerst, aus wie vielen gleich großen Feldern das Ganze besteht. - Zähle dann die gefärbten Felder und setze beide Anzahlen ins Verhältnis. - Überlege, wie ein Bruch mit einem Zehnerpotenz-Nenner als Dezimalzahl geschrieben wird.

1. Das Quadrat besteht aus \(10\times10=100\) gleich großen Feldern. Gefärbt sind eine vollständige Reihe mit \(10\) Feldern und \(2\) weitere Felder, also insgesamt \(12\). 2. Der gefärbte Anteil ist \(\frac{12}{100}\). 3. Als Dezimalzahl entspricht das \(0{,}12\).

Bruch: \(\frac{12}{100}\) Dezimalzahl: \(0{,}12\)

- Bestimme aus der Abbildung zunächst die Gesamtzahl der Felder. - Nutze die vollständig gefärbten Zeilen, statt jedes gefärbte Feld einzeln zu zählen. - Kürze den entstehenden Bruch erst, nachdem du den dargestellten Anteil bestimmt hast.

1. Das Gitter hat \(10\) Zeilen mit je \(10\) Feldern, also \(100\) Felder. Davon sind \(8\) vollständige Zeilen gefärbt, also \(8\cdot10=80\) Felder. 2. Der Anteil \(\frac{80}{100}\) entspricht \(0{,}8\). 3. Gekürzt ergibt \(\frac{80}{100}=\frac{4}{5}\).

Dezimalzahl: \(0{,}8\) Gekürzter Bruch: \(\frac{4}{5}\)

- Bestimme aus der Abbildung sowohl die Zahl der gefärbten als auch die Zahl aller gleich großen Felder. - Schreibe den gefärbten Anteil zunächst als Bruch aus diesen beiden Anzahlen. - Nutze dann den Nenner des Bruchs, um die passende Dezimalstelle zu bestimmen.

1. Es ist ein Block aus \(3\times3\) Feldern markiert. Das sind \(3\cdot3=9\) Felder. 2. Das ganze Quadrat besteht aus \(10\times10=100\) gleich großen Feldern. Daher ist der Anteil \(\frac{9}{100}\). 3. Neun Hundertstel schreibt man als \(0{,}09\).

Bruch: \(\frac{9}{100}\) Dezimalzahl: \(0{,}09\)

- Bestimme zuerst, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt ist. - Zähle die gefärbten Teile über alle dargestellten Ganzen hinweg. - Wandle den daraus entstehenden Bruch anschließend durch Division in eine Dezimalzahl um.

1. Jedes Ganze ist in \(4\) gleich große Teile zerlegt. Gefärbt sind insgesamt \(7\) Viertel. 2. Als unechter Bruch ist der Anteil \(\frac{7}{4}\). 3. Es gilt \(7:4=1{,}75\).

a) \(\frac{7}{4}\) b) \(1{,}75\)

- Wie kann man eine gemischte Zahl in einen Bruch umwandeln, bevor man rechnet? - Was bedeutet es für die Dezimalzahl, wenn ein Rest bei der Division immer wieder auftaucht? - Woran erkennst du am Nenner eines vollständig gekürzten Bruchs, ob die Dezimalzahl abbricht oder periodisch ist?

1. Umwandlung \(\frac{7}{8}\): Division \(7 : 8 = 0{,}875\). Dies ist eine abbrechende Dezimalzahl. 2. Umwandlung \(1\frac{2}{3}\): Umwandlung in einen unechten Bruch \(\frac{5}{3}\). Division \(5 : 3 = 1{,}666\dots\). Periodenschreibweise: \(1{,}\overline{6}\). 3. Umwandlung \(-\frac{13}{11}\): Division \(-13 : 11 = -1{,}181818\dots\). Periodenschreibweise: \(-1{,}\overline{18}\). 4. Identifikation: Nur \(\frac{7}{8}\) ist abbrechend.

\(\frac{7}{8} = 0{,}875\) (abbrechend) \(1\frac{2}{3} = 1{,}\overline{6}\) \(-\frac{13}{11} = -1{,}\overline{18}\) Abbrechende Dezimalzahl: \(\frac{7}{8}\)

- Es hilft, alle Zahlen auf die gleiche Anzahl von Nachkommastellen zu bringen, um sie besser vergleichen zu können. - Stelle dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. - Achte genau auf die dritte und vierte Nachkommastelle beim Umwandeln und Vergleichen.

1. Umwandlung von \(A\): \(5 : 7 \approx 0{,}71428\dots\). Gerundet auf drei Stellen: \(0{,}714\). 2. Umwandlung von \(C\): \(11 : 15 = 0{,}73333\dots\). Gerundet auf drei Stellen: \(0{,}733\). 3. Vergleich der Werte: \(0{,}710\) (B) \(<\) \(0{,}714\) (A) \(<\) \(0{,}715\) (D) \(<\) \(0{,}733\) (C). 4. Reihenfolge: \(0{,}71 < \frac{5}{7} < 0{,}715 < \frac{11}{15}\).

Umwandlungen: \(A=\frac{5}{7}\approx0{,}714\), \(C=\frac{11}{15}\approx0{,}733\). Reihenfolge: \(0{,}71 < \frac{5}{7} < 0{,}715 < \frac{11}{15}\).

- Was passiert, wenn du drei Drittel zusammenzählst? - Addiere die Dezimalzahlen wie Geldbeträge. Kommst du genau auf 1? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen endlichen und periodischen Dezimalzahlen.

1. Addition der Brüche: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \). Das Ergebnis ist genau das Ganze. 2. Addition der Dezimalzahlen: \( 0{,}33 + 0{,}33 + 0{,}33 = 0{,}99 \). 3. Vergleich und Schlussfolgerung: Bei der Dezimalzahl \( 0{,}33 \) fehlt ein Rest von \( 0{,}01 \) zum Ganzen. Der Bruch \( \frac{1}{3} \) entspricht der periodischen Dezimalzahl \( 0{,}\overline{3} \). Die endliche Dezimalzahl \( 0{,}33 \) ist nur ein gerundeter Näherungswert, weshalb beim Rechnen ein Rundungsfehler entsteht.

a) \( 1 \) (das Ganze). b) \( 0{,}99 \). c) Nur der Bruch \( \frac{1}{3} \) stellt den Anteil exakt dar. Die Dezimalzahl \( 0{,}33 \) führt zu einem Rundungsfehler, da sie den unendlichen Dezimalbruch \( 0{,}\overline{3} \) abschneidet.

- Führe die schriftliche Division bis zur dritten Nachkommastelle aus. - Welche Regel gilt für das Auf- und Abrunden bei der Ziffer 5? - Konzentriere dich nur auf die Stelle direkt rechts neben der Zielstelle.

1. Division für \( \frac{19}{12} \): \( 19 : 12 = 1{,}5833\dots \) 2. Bestimmung der Tausendstelstelle für a): Die dritte Nachkommastelle ist \( 3 \). Da \( 3 < 5 \), wird abgerundet. Ergebnis: \( 1{,}58 \). 3. Division für \( \frac{7}{11} \): \( 7 : 11 = 0{,}636363\dots \) 4. Bestimmung der Tausendstelstelle für b): Die dritte Nachkommastelle ist \( 6 \). Da \( 6 \geq 5 \), wird aufgerundet. Ergebnis: \( 0{,}64 \).

a) \( 1{,}58 \) (Tausendstelstelle: \( 3 \)) b) \( 0{,}64 \) (Tausendstelstelle: \( 6 \))

- Wie lassen sich Brüche am einfachsten vergleichen oder verrechnen, wenn man mit Dezimalzahlen arbeitet? - Erinnerst du dich, wie man den Durchschnitt von zwei Werten berechnet? - Zwischen zwei beliebigen Dezimalzahlen liegen immer unendlich viele weitere Zahlen.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \( \frac{1}{5} = 0{,}2 \) und \( \frac{1}{4} = 0{,}25 \). 2. Berechnung des Mittelwerts durch Addition und Division durch 2: \( (0{,}2 + 0{,}25) : 2 = 0{,}225 \). 3. Bestimmung einer Zahl im Intervall \( ]0{,}2; 0{,}225[ \): Ein möglicher Wert ist \( 0{,}21 \).

Die Mitte liegt bei \( 0{,}225 \). Eine weitere Zahl zwischen \( \frac{1}{5} \) und \( 0{,}225 \) ist zum Beispiel \( 0{,}21 \).

- Bearbeite zuerst nur die beiden Brüche und stelle sie als Dezimalzahlen dar. - Vergleiche danach alle vier Werte in derselben Darstellungsform. - Für c) suche eine Dezimalzahl, die größer als der zweitgrößte und kleiner als der größte Wert ist.

1. Durch Division erhält man \(\frac{3}{8}=0{,}375\) und \(\frac{2}{5}=0{,}4\). 2. Damit gilt \(0{,}3<0{,}375<0{,}38<0{,}4\). 3. Die beiden größten Werte sind \(0{,}38\) und \(0{,}4\). 4. Eine mögliche Dezimalzahl dazwischen ist \(0{,}39\).

a) \(\frac{3}{8}=0{,}375\), \(\frac{2}{5}=0{,}4\) b) \(0{,}3<\frac{3}{8}<0{,}38<\frac{2}{5}\) c) Zum Beispiel \(0{,}39\).

- Führe für a) die Division von Zähler durch Nenner aus und beobachte, ob sich ein Rest wiederholt. - Für b) betrachte die ersten beiden Nachkommastellen der erhaltenen Dezimalzahl. - Vergleiche dann mit diesem Hundertstel und dem unmittelbar folgenden Hundertstel.

1. Die Division \(5 : 6\) ergibt \(0{,}8333\ldots=0{,}8\overline{3}\). 2. Die Dezimalzahl ist größer als \(0{,}83\), weil nach \(0{,}83\) weitere positive Dezimalstellen folgen. 3. Sie ist kleiner als das nächste Hundertstel \(0{,}84\). 4. Daher gilt \(0{,}83<\frac{5}{6}<0{,}84\).

a) \(\frac{5}{6}=0{,}8\overline{3}\) b) \(0{,}83<\frac{5}{6}<0{,}84\)

- Wie kannst du eine gemischte Zahl am einfachsten umrechnen, ohne den Ganzzahlteil erst in den Bruch einzubeziehen? - Schau dir die ersten paar Nachkommastellen an. Fällt dir ein Muster auf? - Wie oft wiederholt sich die Ziffernfolge bis zur 50. Stelle?

1. Umwandlung des Bruchteils: \(5 : 11 = 0{,}454545\dots\). 2. Gesamtzahl als Dezimalbruch: \(2{,}\overline{45}\). 3. Analyse der Periode: Die Periode hat die Länge 2. Die Ziffer 4 steht an allen ungeraden Stellen (1., 3., 5., \(\dots\)), die Ziffer 5 steht an allen geraden Stellen (2., 4., 6., \(\dots\)). 4. Da 50 eine gerade Zahl ist, muss an der 50. Stelle die Ziffer 5 stehen.

\(2 \frac{5}{11} = 2{,}\overline{45}\). An der 50. Stelle nach dem Komma steht die Ziffer 5.

- Achte beim zweiten Bruch auf das Vorzeichen, es beeinflusst die Ziffernfolge selbst nicht. - Die Periode beginnt erst dort, wo sich die Ziffernfolge zum ersten Mal exakt wiederholt. - Zähle genau, wie viele Ziffern unter dem Periodenstrich stehen.

1. Division für \(\frac{5}{12}\): \(5 : 12 = 0{,}41666\dots\), also \(0{,}41\overline{6}\). 2. Periodenlänge von \(0{,}41\overline{6}\): Die Periode besteht nur aus der Ziffer 6, die Länge ist also 1. 3. Division für \(-\frac{7}{11}\): \(-(7 : 11) = -0{,}636363\dots\), also \(-0{,}\overline{63}\). 4. Periodenlänge von \(-0{,}\overline{63}\): Die Periode besteht aus den Ziffern 6 und 3, die Länge ist also 2. 5. Vergleich: Der Bruch \(-\frac{7}{11}\) hat mit der Länge 2 die längere Periode.

\(\frac{5}{12} = 0{,}41\overline{6}\) (Periodenlänge 1); \(-\frac{7}{11} = -0{,}\overline{63}\) (Periodenlänge 2). Der Bruch \(-\frac{7}{11}\) hat die längere Periode.

- Wie wandelt man einen Bruch am besten in eine Dezimalzahl um, wenn der Nenner keine Zehnerpotenz ist? - Erinnere dich daran, wie man den Abstand zwischen zwei Zahlen auf dem Zahlenstrahl bestimmt. - Vergleiche die Differenzen Stelle für Stelle, um zu sehen, welche kleiner ist.

1. Umwandlung von \(\frac{1}{6}\) in eine Dezimalzahl: \(1 : 6 = 0{,}1666\dots = 0{,}1\overline{6}\). 2. Umwandlung von \(\frac{1}{8}\) in eine Dezimalzahl: \(1 : 8 = 0{,}125\). 3. Berechnung des Abstands von \(0{,}1\overline{6}\) zu \(0{,}15\): \(0{,}1666\dots - 0{,}15 = 0{,}0166\dots = 0{,}01\overline{6}\). 4. Berechnung des Abstands von \(0{,}125\) zu \(0{,}15\): \(0{,}15 - 0{,}125 = 0{,}025\). 5. Vergleich der Abstände: Da \(0{,}01\overline{6} < 0{,}025\), liegt \(\frac{1}{6}\) näher an \(0{,}15\).

\(\frac{1}{6} = 0{,}1\overline{6}\) und \(\frac{1}{8} = 0{,}125\). Der Bruch \(\frac{1}{6}\) liegt näher an \(0{,}15\), da der Abstand \(0{,}01\overline{6}\) kleiner ist als \(0{,}025\).

- Schreibe die periodischen Dezimalzahlen mit ein paar weiteren Stellen aus, um sie besser vergleichen zu können. - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, indem du den Zähler durch den Nenner teilst. - Vergleiche die Zahlen Stelle für Stelle von links nach rechts, beginnend bei den Einerstellen. - Wenn eine Dezimalzahl weniger Stellen hat als die andere, kannst du sie mit Nullen auffüllen.

1. Umwandlung des Bruchs \(\frac{9}{11}\) in eine Dezimalzahl durch Division: \(9 : 11 = 0{,}8181\dots\), also \(0{,}\overline{81}\). Vergleich der Stellen ab der Tausendstelstelle (\(0\) gegen \(8\)) ergibt \(0{,}81 < 0{,}\overline{81}\). 2. Ausschreiben der periodischen Zahl: \(0{,}\overline{12} = 0{,}121212\dots\). Vergleich der vierten Nachkommastelle (\(2\) gegen \(0\)) ergibt \(0{,}1212\dots > 0{,}121\). 3. Vergleich der Stellenwerte: \(2{,}\overline{6} = 2{,}6666\dots\). Da die dritte Nachkommastelle (\(6\)) größer als die gedachte Null bei \(2{,}660\) ist, folgt \(2{,}66 < 2{,}\overline{6}\). 4. Umwandlung des Bruchs \(\frac{3}{8}\) durch Erweitern auf Tausendstel (\(\frac{375}{1000}\)) oder Division: \(3 : 8 = 0{,}375\). Die Werte sind identisch, also \(\frac{3}{8} = 0{,}375\).

a) \(0{,}81 < \frac{9}{11}\) b) \(0{,}\overline{12} > 0{,}121\) c) \(2{,}66 < 2{,}\overline{6}\) d) \(\frac{3}{8} = 0{,}375\)

- Bringe alle Zahlen in das gleiche Format, am besten als Dezimalzahlen. - Welche Ziffer steht bei \(\frac{7}{9}\) an der dritten und vierten Nachkommastelle? - Um eine Zahl zwischen zwei anderen zu finden, betrachte weitere Nachkommastellen oder bilde den Mittelwert.

1. Darstellung aller Zahlen als Dezimalzahlen für den Vergleich: \(0{,}7 = 0{,}7000\dots\), \(\frac{7}{9} = 0{,}7777\dots\), \(0{,}77 = 0{,}7700\dots\) und \(0{,}778 = 0{,}7780\dots\). 2. Vergleich nach Stellenwerten (Zehntel, Hundertstel, Tausendstel): \(0{,}700 < 0{,}770 < 0{,}777\dots < 0{,}778\). 3. Sortierung: \(0{,}7 < 0{,}77 < \frac{7}{9} < 0{,}778\). 4. Identifikation der beiden größten Zahlen: \(\frac{7}{9} \approx 0{,}7777\dots\) und \(0{,}778\). 5. Eine mögliche Zahl dazwischen finden, indem man mehr Nachkommastellen betrachtet: Zwischen \(0{,}7777\dots\) und \(0{,}7780\) liegt zum Beispiel \(0{,}7779\).

a) \(0{,}7 < 0{,}77 < \frac{7}{9} < 0{,}778\) b) Zum Beispiel \(0{,}7779\) (andere Lösungen wie \(0{,}77785\) sind ebenfalls korrekt).

- Bei periodischen Dezimalzahlen kann eine exakte Bruchdarstellung den Vergleich erleichtern. - Bei zwei Produkten mit demselben positiven Faktor genügt es, die jeweils anderen Faktoren zu vergleichen. - Vergleiche bei c) eine endliche Dezimalzahl mit einer Dezimalzahl, deren Ziffernfolge ohne Ende weitergeht.

1. \(0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}\) und \(0{,}\overline{6}=\frac{2}{3}\). Daher ist ihre Summe \(1\), also gilt Gleichheit. 2. In beiden Produkten ist \(0{,}4\) ein positiver gemeinsamer Faktor. Weil \(\frac{1}{2}=0{,}5<0{,}55\), ist \(0{,}4\cdot\frac{1}{2}<0{,}4\cdot0{,}55\). 3. \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\) besitzt unendlich viele Dreien nach dem Komma, während \(0{,}333\) nach drei Dezimalstellen endet. Deshalb ist \(\frac{1}{3}>0{,}333\).

a) \(=\), denn \(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1\) b) \(<\), denn \(0{,}5<0{,}55\) c) \(>\), denn \(0{,}\overline{3}>0{,}333\)

- Achte beim Runden auf die Ziffer, die rechts neben der Rundungsstelle steht. - Schau genau hin, über welchen Ziffern der Periodenstrich steht. - Kann ein Bruch mit dem Nenner 3 oder 99 ein endlicher Dezimalbruch sein? - Überlege, ob \( 0{,}3 \) wirklich exakt dasselbe ist wie ein Drittel.

1. In Teilaufgabe a) liegt ein Rundungsfehler vor. Da \( \frac{2}{3} = 0{,}666\dots \) ist, muss wegen der dritten Dezimalstelle (6) aufgerundet werden. Korrekt: \( \frac{2}{3} \approx 0{,}67 \). 2. In Teilaufgabe b) wurde der Periodenstrich falsch interpretiert. Er steht nur über der 5, also wiederholt sich nur die 5. Korrekt: \( 0{,}4\overline{5} = 0{,}4555\dots \). 3. In Teilaufgabe c) ist der Ausgangswert \( \frac{1}{3} = 0{,}3 \) bereits falsch (Periode fehlt). Die Multiplikation dieses falschen, endlichen Wertes führt zu einem weiteren Fehler. Korrekt: \( \frac{2}{3} = 0{,}\overline{6} \). 4. In Teilaufgabe d) wurde ein Bruch mit Nenner 99 als endlicher Dezimalbruch geschrieben. Nenner wie 99 deuten auf eine Periode hin. Korrekt: \( \frac{8}{99} = 0{,}\overline{08} \).

a) Fehler: Abgerundet statt aufgerundet. Korrektur: \( \frac{2}{3} \approx 0{,}67 \). b) Fehler: Periode falsch gelesen. Korrektur: \( 0{,}4\overline{5} = 0{,}4555\dots \). c) Fehler: \( \frac{1}{3} \) ist nicht \( 0{,}3 \), sondern \( 0{,}\overline{3} \). Korrektur: \( \frac{2}{3} = 0{,}\overline{6} \). d) Fehler: Periodizität missachtet. Korrektur: \( \frac{8}{99} = 0{,}\overline{08} \).

- Versuche, alle Zahlen in eine einheitliche Form zu bringen, zum Beispiel in Dezimalzahlen oder Brüche. - Was passiert mit dem Komma, wenn du eine Prozentzahl in eine Dezimalzahl umwandelst? - Vergleiche anschließend die umgewandelten Werte paarweise: Welche drei stimmen überein?

1. Umwandlung in Dezimalzahlen zur besseren Vergleichbarkeit: - \(0{,}375\) ist bereits eine Dezimalzahl. - \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375\). - \(37{,}5\,\% = 37{,}5 : 100 = 0{,}375\). - \(\frac{375}{100} = 3{,}75\). 2. Vergleich der Ergebnisse: Die Werte \(0{,}375\), \(\frac{3}{8}\) und \(37{,}5\,\%\) sind identisch. 3. Identifikation des Ausreißers: Der Wert \(\frac{375}{100}\) (entspricht \(3{,}75\)) ist genau zehnmal so groß wie die anderen Werte.

Die Zahl \(\frac{375}{100}\) passt nicht in die Reihe, da sie den Wert \(3{,}75\) hat, während alle anderen Werte \(0{,}375\) entsprechen.

- Was passiert, wenn du beide Brüche auf die gleiche Form bringst? - Kannst du eine Dezimalzahl direkt mit einer anderen vergleichen? - Achte darauf, beim Kürzen wirklich den größten gemeinsamen Teiler zu finden oder in mehreren Schritten zu kürzen.

1. Kürzen von \(\frac{18}{24}\): Der größte gemeinsame Teiler ist 6. \(\frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}\). 2. Umwandlung in Dezimalzahl: \(3 : 4 = 0{,}75\). 3. Kürzen von \(\frac{14}{20}\): Der größte gemeinsame Teiler ist 2. \(\frac{14 : 2}{20 : 2} = \frac{7}{10}\). 4. Umwandlung in Dezimalzahl: \(7 : 10 = 0{,}7\). 5. Vergleich: Da \(0{,}75 > 0{,}7\) ist, gilt \(\frac{18}{24} > \frac{14}{20}\).

\(\frac{18}{24} = 0{,}75\) und \(\frac{14}{20} = 0{,}7\). Somit ist \(\frac{18}{24}\) der größere Bruch.

- Prüfe, ob beide Summanden eine kurze endliche Dezimaldarstellung besitzen. - Welche Darstellung bewahrt den Wert ohne Näherung? - Bringe beide Summanden in dieselbe Darstellung, bevor du addierst.

1. \(0{,}8 = \frac{4}{5}\) und \(2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}\). 2. In Bruchdarstellung gilt \(\frac{4}{5} + \frac{7}{3} = \frac{12}{15} + \frac{35}{15} = \frac{47}{15} = 3\frac{2}{15}\). 3. Die Bruchdarstellung ist hier vorteilhaft, weil \(\frac{1}{3}\) eine unendliche periodische Dezimaldarstellung besitzt. Mit Brüchen bleibt die Rechnung ohne Rundung exakt.

\(3\frac{2}{15}\). Die Bruchdarstellung ist vorteilhaft, weil sie den periodischen Anteil exakt darstellt und keine Rundung nötig ist.

- Es hilft oft, beide Zahlen in dieselbe Form zu bringen (entweder beide als Dezimalzahl oder beide als Bruch). - Achte bei Brüchen wie \(\frac{1}{3}\) darauf, ob sie als Dezimalzahl abbrechen oder unendlich weitergehen.

1. Vergleich \(0{,}4\) und \(\frac{2}{5}\): Da \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4\), gilt \(0{,}4 = \frac{2}{5}\). 2. Vergleich \(0{,}33\) und \(\frac{1}{3}\): Da \(\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}\) (periodisch) und \(0{,}33 = 0{,}330\) ist, gilt \(0{,}33 < \frac{1}{3}\). 3. Vergleich \(0{,}85\) und \(\frac{17}{20}\): Da \(\frac{17}{20} = \frac{85}{100} = 0{,}85\), gilt \(0{,}85 = \frac{17}{20}\).

a) \(\frac{2}{5}=0{,}4\), also \(0{,}4=\frac{2}{5}\). b) \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\), also \(0{,}33<\frac{1}{3}\). c) \(\frac{17}{20}=0{,}85\), also \(0{,}85=\frac{17}{20}\).

- Kannst du den Bruch durch Erweitern auf eine Zehnerpotenz (10, 100, 1000) bringen? - Wenn das Erweitern schwierig ist, hilft die schriftliche Division: Zähler geteilt durch Nenner. - Achte darauf, ob sich bei der Division Reste wiederholen.

1. Berechnung für \(\frac{9}{20}\): Erweiterung auf den Nenner 100 ergibt \(\frac{45}{100} = 0{,}45\). 2. Berechnung für \(\frac{5}{6}\): Schriftliche Division \(5 : 6 = 0{,}8333\dots\). Das Ergebnis ist \(0{,}8\overline{3}\). 3. Berechnung für \(\frac{4}{11}\): Schriftliche Division \(4 : 11 = 0{,}3636\dots\). Das Ergebnis ist \(0{,}\overline{36}\). 4. Berechnung für \(\frac{17}{50}\): Erweiterung auf den Nenner 100 ergibt \(\frac{34}{100} = 0{,}34\).

a) \(0{,}45\) b) \(0{,}8\overline{3}\) c) \(0{,}\overline{36}\) d) \(0{,}34\)

- Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, schreibe sie zuerst mit einer Zehnerpotenz (10, 100 oder 1000) im Nenner. - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob du Zähler und Nenner noch durch dieselbe Zahl teilen kannst. - Brüche mit dem Nenner 8 lassen sich gut auf Tausendstel erweitern.

1. Berechnung (1): \(0{,}625 = \frac{625}{1000}\). Kürzen mit 125 ergibt \(\frac{5}{8}\). 2. Berechnung (2): \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4\). 3. Berechnung (3): \(2{,}4 = \frac{24}{10}\). Kürzen mit 2 ergibt \(\frac{12}{5}\) (oder \(2 \frac{2}{5}\)). 4. Berechnung (4): \(-\frac{3}{8}\). Erweiterung auf Tausendstel: \(-\frac{375}{1000} = -0{,}375\).

(1) \(\frac{5}{8}\) (2) \(0{,}4\) (3) \(\frac{12}{5}\) (oder \(2 \frac{2}{5}\)) (4) \(-0{,}375\)

- Beginne mit den beiden Brüchen; ihre Dezimaldarstellungen sollen Teil deiner Antwort sein. - Für die Ordnung müssen anschließend alle vier Werte auf derselben Zahlenskala verglichen werden. - Für die Zahl in c) kannst du \(0{,}62\) zunächst mit drei Nachkommastellen schreiben.

1. \(\frac{4}{7}=0{,}\overline{571428}\) und \(\frac{5}{8}=0{,}625\). 2. Damit gilt \(0{,}\overline{571428}<0{,}62<0{,}625<0{,}63\). 3. In der ursprünglichen Darstellung lautet die Reihenfolge \(\frac{4}{7}<0{,}62<\frac{5}{8}<0{,}63\). 4. Zwischen \(0{,}620\) und \(0{,}625\) liegen zum Beispiel \(0{,}621\), \(0{,}622\), \(0{,}623\) und \(0{,}624\).

a) \(\frac{4}{7}=0{,}\overline{571428}\), \(\frac{5}{8}=0{,}625\) b) \(\frac{4}{7}<0{,}62<\frac{5}{8}<0{,}63\) c) Zum Beispiel \(0{,}621\)

- Bestimme zuerst die Dezimaldarstellungen der beiden gemischten Zahlen; diese Ergebnisse gehören zur Antwort. - Vergleiche danach die vier Dezimalwerte stellenweise. - Achte darauf, dass die Wege vom längsten zum kürzesten geordnet werden sollen.

1. Umwandlung aller Längen in Dezimalzahlen: - Weg A: \(12{,}5\,\text{km}\) - Weg B: \(12{,}45\,\text{km}\) - Weg C: \(12 \frac{3}{5} = 12{,}6\,\text{km}\) - Weg D: \(12{,}505\,\text{km}\) 2. Vergleich der Werte (absteigend): - \(12{,}6 > 12{,}505 > 12{,}5 > 12{,}45\) 3. Zuordnung der Wege: - Weg C (\(12{,}6\)) > Weg D (\(12{,}505\)) > Weg A (\(12{,}5\)) > Weg B (\(12{,}45\))

Umwandlungen: Weg A \(=12{,}5\,\text{km}\), Weg C \(=12{,}6\,\text{km}\). Reihenfolge: Weg C, Weg D, Weg A, Weg B.

- Es ist einfacher, Zahlen zu vergleichen, wenn sie alle im gleichen Format (zum Beispiel als Dezimalzahlen) vorliegen. - Ergänze bei den Dezimalzahlen Nullen am Ende, damit sie alle gleich viele Nachkommastellen haben.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375\) und \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4\) 2. Vergleich aller Dezimalzahlen: \(0{,}375 < 0{,}380 < 0{,}400 < 0{,}420\) 3. Zuordnung der ursprünglichen Werte zur Sortierung: \(\frac{3}{8} < 0{,}38 < \frac{2}{5} < 0{,}42\)

\(\frac{3}{8} < 0{,}38 < \frac{2}{5} < 0{,}42\)

- Schreibe die Dezimalzahl zuerst als Bruch mit dem Nenner \(10\), \(100\) oder \(1000\). - Kannst du diesen Bruch so kürzen oder erweitern, dass er wie der gesuchte Bruch aussieht? - Was musst du tun, um von einem Nenner auf den anderen zu kommen?

1. Zu a): Umwandlung von \(0{,}375\) in einen Bruch ergibt \(\frac{375}{1000}\). Kürzen durch \(125\) führt zu \(\frac{3}{8}\). Ergebnis: \(\square = 3\). 2. Zu b): Umwandlung von \(0{,}64\) in einen Bruch ergibt \(\frac{64}{100}\). Kürzen durch \(4\) führt zu \(\frac{16}{25}\). Ergebnis: \(\square = 16\). 3. Zu c): Umwandlung von \(0{,}07\) in einen Bruch ergibt \(\frac{7}{100}\). Der Vergleich mit \(\frac{7}{\square}\) zeigt: \(\square = 100\).

a) \(\square = 3\) b) \(\square = 16\) c) \(\square = 100\)

- Es ist einfacher, Zahlen zu vergleichen, wenn sie denselben Nenner haben. - Erweitere oder kürze die Brüche, um sie vergleichbar zu machen. - Achte genau auf die Anzahl der Nullen und die Stellenwerte.

1. Vergleich a): \(0{,}3 = \frac{30}{100}\) und \(0{,}03 = \frac{3}{100}\). Da \(30 > 3\), gilt \(0{,}3 > 0{,}03\). 2. Vergleich b): \(0{,}05 = \frac{5}{100} = \frac{50}{1000}\). Somit gilt \(0{,}05 = \frac{50}{1000}\). 3. Vergleich c): \(1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{120}{100}\). Somit gilt \(1{,}2 = \frac{120}{100}\). 4. Vergleich d): \(0{,}008 = \frac{8}{1000}\) und \(0{,}01 = \frac{1}{100} = \frac{10}{1000}\). Da \(8 < 10\), gilt \(0{,}008 < 0{,}01\).

a) \(0{,}3=\frac{30}{100}\), \(0{,}03=\frac{3}{100}\); daher \(0{,}3>0{,}03\). b) \(0{,}05=\frac{50}{1000}\); daher \(0{,}05=\frac{50}{1000}\). c) \(1{,}2=\frac{120}{100}\); daher \(1{,}2=\frac{120}{100}\). d) \(0{,}008=\frac{8}{1000}\), \(0{,}01=\frac{10}{1000}\); daher \(0{,}008<0{,}01\).

- Nutze die Beziehung zwischen Kilogramm und Gramm, um zunächst die Gramm-Spalte zu füllen. - Vergleiche anschließend die Grammzahl mit Tausend Gramm, um die Dezimalzahl in Kilogramm zu erhalten. - Kontrolliere zum Schluss, ob in der letzten Spalte wirklich drei Nachkommastellen sichtbar sind.

1. Für \(\frac{1}{4}\,\text{kg}\) gilt wegen \(1\,\text{kg}=1000\,\text{g}\): \(1000\,\text{g}:4=250\,\text{g}\). Mit genau drei Nachkommastellen sind das \(0{,}250\,\text{kg}\). 2. Für \(\frac{3}{4}\,\text{kg}\) gilt \(3\cdot250\,\text{g}=750\,\text{g}\). Mit genau drei Nachkommastellen sind das \(0{,}750\,\text{kg}\).

Für \(\frac{1}{4}\,\text{kg}\): \(250\,\text{g}\) und \(0{,}250\,\text{kg}\). Für \(\frac{3}{4}\,\text{kg}\): \(750\,\text{g}\) und \(0{,}750\,\text{kg}\).

- Beginne mit den drei Brüchen; ihre Dezimaldarstellungen gehören ausdrücklich zur Antwort. - Vergleiche für die Ordnung anschließend alle fünf Dezimalwerte. - Für c) reicht es, die Abstände der größten Kandidaten zu \(0{,}9\) zu vergleichen.

1. Die Brüche ergeben \(\frac{7}{8}=0{,}875\), \(\frac{4}{5}=0{,}8\) und \(\frac{17}{20}=0{,}85\). 2. Damit gilt \(0{,}8<0{,}85<0{,}87<0{,}875<0{,}88\). 3. In der ursprünglichen Darstellung ist die Reihenfolge \(\frac{4}{5}<\frac{17}{20}<0{,}87<\frac{7}{8}<0{,}88\). 4. Von den gegebenen Zahlen liegt \(0{,}88\) am nächsten an \(0{,}9\). 5. Der Unterschied beträgt \(0{,}9-0{,}88=0{,}02\).

a) \(\frac{7}{8}=0{,}875\), \(\frac{4}{5}=0{,}8\), \(\frac{17}{20}=0{,}85\) b) \(\frac{4}{5}<\frac{17}{20}<0{,}87<\frac{7}{8}<0{,}88\) c) \(0{,}88\); der Unterschied beträgt \(0{,}02\).

- Bestimme zuerst die Schrittweite zwischen zwei benachbarten Teilstrichen. - Lies den Wert an der Markierung genau ab und achte dabei auf das Vorzeichen. - Schreibe die Dezimalzahl zuerst als Zehnerbruch, zum Beispiel mit Nenner \(10\) oder \(100\). - Suche den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner, um den Bruch vollständig zu kürzen.

1. Ablesen der Dezimalwerte an der Zahlengeraden: \(P = -1{,}2\); \(Q = -0{,}4\); \(R = 0{,}8\) 2. Umwandlung in Brüche und Kürzen: \(P = -1{,}2 = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}\) (oder \(-1\frac{1}{5}\)) \(Q = -0{,}4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}\) \(R = 0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)

\(P = -1{,}2 = -\frac{6}{5}\) \(Q = -0{,}4 = -\frac{2}{5}\) \(R = 0{,}8 = \frac{4}{5}\)

- Zähle die Abstände zwischen zwei großen Markierungen (wie \(0\) und \(1\)), um den Wert eines einzelnen Teilstriches zu finden. - Wandle die abgelesene Dezimalzahl in einen Bruch um, indem du die Stellen nach dem Komma betrachtest. - Denke daran, Brüche immer so weit wie möglich zu kürzen.

1. Bestimmung der Skalierung: Zwischen \(0\) und \(1\) liegen \(5\) Abschnitte, also entspricht ein Teilstrich \(1 : 5 = 0{,}2\). 2. Ablesen der Werte: \(K = 0{,}4\) \(L = 1{,}2\) \(M = 1{,}6\) 3. Umwandlung in Brüche: \(K = 0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\) \(L = 1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\) \(M = 1{,}6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}\)

\(K = 0{,}4 = \frac{2}{5}\) \(L = 1{,}2 = 1\frac{1}{5}\) \(M = 1{,}6 = 1\frac{3}{5}\)

- Überlege zuerst, wie viele Tausendstel in der Dezimalzahl stecken. - Vergiss nicht, den Bruch so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du den nächsten Schritt machst. - Wie wandelst du einen Bruch in eine Dezimalzahl um, wenn die Division nicht aufgeht?

1. Umwandlung von \(0{,}625\) in einen Bruch: \(0{,}625 = \frac{625}{1000}\). 2. Kürzen des Bruchs: \(\frac{625}{1000} = \frac{5 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{5}{8}\). Hier ist \(a=5\) und \(b=8\). 3. Bildung des neuen Bruchs: \(\frac{a+1}{b+1} = \frac{5+1}{8+1} = \frac{6}{9}\). 4. Kürzen und Umwandeln des neuen Bruchs: \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3} = 0{,}\overline{6}\). 5. Vergleich der Werte: \(0{,}\overline{6} = 0{,}666\dots\) und \(0{,}625\). Da \(0{,}666\dots > 0{,}625\), ist der neue Wert größer.

Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{5}{8}\). Der neue Bruch ist \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}\). Da \(0{,}\overline{6} > 0{,}625\), ist der neue Wert größer.

- Prüfe in a), welche Bruchdarstellung zu einer rein periodischen Dezimalzahl mit genau einer Periodenziffer passt. - Überlege in b), wie sich eine Division durch \(10\) auf die Dezimaldarstellung auswirkt. - Vergleiche in c) nicht nur einzelne Nachkommastellen, sondern den exakten Wert der unendlichen Darstellung. - Schreibe in d) den Bruch als Dezimalzahl und vergleiche dann stellenweise.

1. a) ist falsch. Für eine rein periodische Dezimalzahl mit der einstelligen Periode \(6\) gilt \(0{,}\overline{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\), nicht \(\frac{6}{10}\). 2. b) ist korrekt. Durch die Division durch \(10\) verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach links; dadurch steht eine Null vor der Periode. 3. c) ist falsch. Es gilt exakt \(0{,}\overline{9}=1\). 4. d) ist korrekt. \(\frac{1}{6}=0{,}1\overline{6}\), und dieser Wert ist größer als \(0{,}16\).

a) Falsch. \(0{,}\overline{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\). b) Korrekt. c) Falsch. \(0{,}\overline{9}=1\). d) Korrekt. \(\frac{1}{6}=0{,}1\overline{6}>0{,}16\).