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- Prüfe zuerst, welche Darstellungen nach endlich vielen Nachkommastellen enden. - Ein Periodenstrich kennzeichnet genau den Ziffernblock, der sich ohne Ende wiederholt.

1. \(0{,}75\) endet nach zwei Nachkommastellen und ist daher endlich. 2. Bei \(1{,}\overline{2}\) zeigt der Periodenstrich, dass sich die Ziffer \(2\) ohne Ende wiederholt; die Darstellung ist periodisch. 3. \(3{,}04\) endet nach zwei Nachkommastellen und ist daher endlich. 4. Bei \(0{,}\overline{18}\) wiederholt sich der Ziffernblock \(18\) ohne Ende; die Darstellung ist periodisch.

a) endlich b) periodisch c) endlich d) periodisch

- Suche nach dem kürzesten Ziffernblock, der sich immer wiederholt. - Der Periodenstrich gehört genau über diesen wiederholten Block. - Achte darauf, ob eine einzelne Ziffer oder mehrere Ziffern die Periode bilden.

1. In \(0{,}666\dots\) wiederholt sich die Ziffer \(6\). Mit Periodenstrich schreibt man \(0{,}\overline{6}\). 2. In \(1{,}272727\dots\) wiederholt sich der Block \(27\). Mit Periodenstrich schreibt man \(1{,}\overline{27}\).

a) \(0{,}\overline{6}\); Periode: \(6\) b) \(1{,}\overline{27}\); Periode: \(27\)

- Vergleiche die Reste nach den einzelnen Divisionsschritten. - Überlege, was bei einer schriftlichen Division geschieht, wenn derselbe Rest erneut auftritt. - Markiere mit dem Periodenstrich nur den Teil der Dezimalzahl, der sich immer wiederholt.

1. Nach jeder berechneten Nachkommastelle bleibt wieder der Rest \(2\). 2. Dadurch entsteht bei jedem weiteren Schritt erneut die Ziffer \(6\); die Rechnung wiederholt sich ohne Ende. 3. Daher gilt \(2:3=0{,}\overline{6}\).

a) Der Rest \(2\) wiederholt sich. b) \(0{,}\overline{6}\)

- Prüfe, ob sich der Nenner \(20\) durch Erweitern in \(10\), \(100\), \(1000\) oder eine andere Zehnerpotenz verwandeln lässt. - Suche eine kleine Zehnerpotenz, die ein Vielfaches von \(20\) ist. - Sobald der Nenner eine Zehnerpotenz ist, kannst du die Dezimalschreibweise direkt ablesen.

1. Der Nenner \(20\) lässt sich durch Erweitern in die Zehnerpotenz \(100\) verwandeln. 2. Es gilt \(\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=0{,}35\). 3. Die Dezimaldarstellung endet, also ist sie endlich.

Endlich; \(\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=0{,}35\).

- Worauf musst du beim Nenner achten, bevor du die Primfaktoren untersuchst? - Welche Primfaktoren sind bei einer Zehnerpotenz wie \(10\), \(100\), \(1000\), \(\dots\) erlaubt? - Überlege, ob der Bruch bereits in seiner einfachsten Form vorliegt.

1. Ein Bruch ist als endliche Dezimalzahl darstellbar, wenn sein vollständig gekürzter Nenner nur die Primfaktoren 2 und/oder 5 enthält. 2. a) \( \frac{7}{25} \): Der Nenner \( 25 = 5^2 \) enthält nur den Primfaktor 5. Resultat: Endlich. 3. b) \( \frac{9}{12} \): Kürzen zu \( \frac{3}{4} \). Der Nenner \( 4 = 2^2 \) enthält nur den Primfaktor 2. Resultat: Endlich. 4. c) \( \frac{13}{40} \): Der Nenner \( 40 = 2^3 \cdot 5 \) enthält nur die Primfaktoren 2 und 5. Resultat: Endlich. 5. d) \( \frac{11}{30} \): Der Nenner \( 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \) enthält den Primfaktor 3. Resultat: Periodisch (nicht endlich).

a) Endlich, da \( 25 = 5^2 \). b) Endlich, da der gekürzte Nenner \( 4 = 2^2 \) ist. c) Endlich, da \( 40 = 2^3 \cdot 5 \). d) Nicht endlich (periodisch), da der Nenner den Primfaktor 3 enthält.

- Kürze jeden Bruch vollständig, bevor du die Art der Dezimaldarstellung beurteilst. - Prüfe danach die Primfaktoren des gekürzten Nenners. - Kontrolliere zusätzlich durch Division, welche Dezimalzahl tatsächlich entsteht.

1. \(\frac{42}{105}=\frac{2}{5}=0{,}4\). Die Dezimalzahl ist endlich und hat \(1\) Nachkommastelle. 2. \(\frac{33}{120}=\frac{11}{40}=0{,}275\). Der Nenner \(40=2^3\cdot5\) führt zu einer endlichen Dezimalzahl mit \(3\) Nachkommastellen. 3. \(\frac{9}{72}=\frac{1}{8}=0{,}125\). Der Nenner \(8=2^3\) führt zu einer endlichen Dezimalzahl mit \(3\) Nachkommastellen.

a) \(0{,}4\); endlich; \(1\) Nachkommastelle b) \(0{,}275\); endlich; \(3\) Nachkommastellen c) \(0{,}125\); endlich; \(3\) Nachkommastellen

- Führe für jeden Bruch eine schriftliche Division (Zähler durch Nenner) durch. - Achte darauf, ob der Rest bei der Division irgendwann null wird oder ob sich Reste wiederholen. - Überlege dir, an welcher Stelle nach dem Komma die Wiederholung der Ziffern beginnt.

1. Berechnung von a): Division \(7 : 9 = 0{,}777\dots\). Ergebnis \(0{,}\overline{7}\). Da die Periode direkt nach dem Komma beginnt, ist sie rein periodisch. 2. Berechnung von b): Division \(13 : 40 = 0{,}325\). Die Division geht ohne Rest auf. Es ist eine endliche Dezimalzahl. 3. Berechnung von c): Division \(5 : 6 = 0{,}8333\dots\). Ergebnis \(0{,}8\overline{3}\). Da vor der Periode die Ziffer 8 steht, ist sie gemischt periodisch.

a) \(0{,}\overline{7}\) (rein periodisch) b) \(0{,}325\) (endlich) c) \(0{,}8\overline{3}\) (gemischt periodisch)

- Was bedeutet der Strich über einer Zahl bei einem Dezimalbruch? - Wie unterscheidet sich das Ergebnis einer Division, die aufgeht, von einer, die nicht aufgeht? - Welcher Nenner eignet sich für einen Bruch, dessen Periode aus genau einer Ziffer besteht und direkt nach dem Komma beginnt? - Führe die schriftliche Division im Kopf oder auf Papier durch, um das Ergebnis zu prüfen.

1. In Teilaufgabe a) fehlt der Periodenstrich. Da \( 4 : 9 = 0{,}444\dots \) ergibt, lautet das korrekte Ergebnis \( \frac{4}{9} = 0{,}\overline{4} \). 2. In Teilaufgabe b) wurde ein periodischer Dezimalbruch mit einem endlichen Dezimalbruch verwechselt. Bei einer einstelligen rein periodischen Dezimalzahl erhält man einen Bruch mit dem Nenner 9. Korrekt: \( 0{,}\overline{7} = \frac{7}{9} \). 3. In Teilaufgabe c) wurde eine periodische Zahl als endlicher Dezimalbruch geschrieben. Die Division \( 1 : 11 \) ergibt \( 0{,}0909\dots \). Korrekt: \( \frac{1}{11} = 0{,}\overline{09} \).

a) Fehler: Periodenstrich fehlt. Korrektur: \( \frac{4}{9} = 0{,}\overline{4} \). b) Fehler: Nenner 10 gilt für endliche Dezimalbrüche. Korrektur: \( 0{,}\overline{7} = \frac{7}{9} \). c) Fehler: Periode nicht beachtet. Korrektur: \( \frac{1}{11} = 0{,}\overline{09} \).

- Kannst du die Brüche so erweitern, dass im Nenner nur Neunen stehen? - Was passiert, wenn du den Zähler schriftlich durch den Nenner teilst? - Vergleiche die Dezimalzahlen Stelle für Stelle von links nach rechts.

1. Division von \(2\) durch \(9\) ergibt \(0{,}222\dots\), also \(0{,}\overline{2}\) 2. Erweiterung von \(\frac{7}{33}\) mit \(3\) ergibt \(\frac{21}{99}\), was der Dezimalzahl \(0{,}\overline{21}\) entspricht 3. Der Bruch \(\frac{25}{99}\) entspricht direkt der Dezimalzahl \(0{,}\overline{25}\) 4. Vergleich der Dezimalstellen: \(0{,}2121\dots < 0{,}2222\dots < 0{,}2525\dots\) 5. Ordnung: \(\frac{7}{33} < \frac{2}{9} < \frac{25}{99}\)

\(\frac{7}{33} = 0{,}\overline{21}\); \(\frac{2}{9} = 0{,}\overline{2}\); \(\frac{25}{99} = 0{,}\overline{25}\). Die Ordnung ist: \(\frac{7}{33} < \frac{2}{9} < \frac{25}{99}\).

- Hast du schon einmal beobachtet, wie viele Stellen die Periode hat, wenn im Nenner eine 9 oder 99 steht? - Überlege, wie sich das Komma verschiebt, wenn man einen Bruch durch 10 teilt. - Kannst du ein Muster zwischen der Anzahl der Neunen im Nenner und der Länge der Periode erkennen?

1. Division von 4 durch 9 ergibt \(0{,}444\dots\), also \(0{,}\overline{4}\). 2. Division von 4 durch 99 ergibt \(0{,}040404\dots\), also \(0{,}\overline{04}\). 3. Division von 4 durch 90 entspricht \(\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{10}\), also \(0{,}\overline{4} : 10 = 0{,}0\overline{4}\). 4. Division von 41 durch 99 ergibt \(0{,}414141\dots\), also \(0{,}\overline{41}\).

a) \(0{,}\overline{4}\) b) \(0{,}\overline{04}\) c) \(0{,}0\overline{4}\) d) \(0{,}\overline{41}\)

- Schau dir die Primfaktoren der Nenner an, nachdem du die Brüche vollständig gekürzt hast. - Welche Primfaktoren im Nenner führen dazu, dass eine Dezimalzahl abbricht? - Was passiert bei der Division, wenn ein Rest immer wiederkehrt?

1. \(\frac{36}{48}\): Kürzen mit 12 ergibt \(\frac{3}{4}\). Der Nenner 4 enthält nur den Primfaktor 2, daher abbrechend. Wert: \(0{,}75\). 2. \(\frac{36}{45}\): Kürzen mit 9 ergibt \(\frac{4}{5}\). Der Nenner 5 enthält nur den Primfaktor 5, daher abbrechend. Wert: \(0{,}8\). 3. \(\frac{36}{54}\): Kürzen mit 18 ergibt \(\frac{2}{3}\). Der Nenner 3 enthält einen Primfaktor ungleich 2 oder 5, daher periodisch. Wert: \(0{,}\overline{6}\).

\(\frac{36}{48} = \frac{3}{4} = 0{,}75\) (abbrechend) \(\frac{36}{45} = \frac{4}{5} = 0{,}8\) (abbrechend) \(\frac{36}{54} = \frac{2}{3} = 0{,}\overline{6}\) (periodisch)

- Ist es wichtig, ob ein Bruch gekürzt ist, bevor man sich den Nenner ansieht? - Versuche, den Bruch so weit wie möglich zu vereinfachen. - Welche Faktoren bleiben im Nenner übrig, nachdem du alle gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner entfernt hast?

1. Prüfung der Regel: Die Eigenschaft „endlich“ oder „periodisch“ bezieht sich immer auf den vollständig gekürzten Bruch. Somit hat Bence recht. 2. Kürzen des Bruchs: \(\frac{18}{75} = \frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 25} = \frac{6}{25}\). 3. Untersuchung des Nenners des gekürzten Bruchs: \(25 = 5^2\). 4. Da der Nenner des gekürzten Bruchs nur den Primfaktor \(5\) enthält, handelt es sich um eine endliche Dezimalzahl. 5. Ergebnis: Bence hat recht; die Dezimalzahl ist endlich (\(0{,}24\)).

Bence hat recht. Der Bruch ergibt eine endliche Dezimalzahl, da er sich zu \(\frac{6}{25}\) kürzen lässt und der Nenner \(25 = 5^2\) nur den Primfaktor \(5\) enthält.

- Führe die schriftliche Division \(Zähler : Nenner\) durch. - Was passiert, wenn bei der schriftlichen Division immer wieder derselbe Rest auftaucht? - Wie kennzeichnet man Zahlen, bei denen sich eine Ziffernfolge unendlich oft wiederholt?

1. Teilaufgabe a): \(3 : 16 = 0{,}1875\). Die Division geht auf, daher ist es eine endliche Dezimalzahl. 2. Teilaufgabe b): \(5 : 6 = 0{,}8333\dots\). Der Rest \(2\) wiederholt sich, daher ist es eine periodische Dezimalzahl: \(0{,}8\overline{3}\). 3. Teilaufgabe c): \(4 : 11 = 0{,}3636\dots\). Die Reste \(7\) und \(4\) wiederholen sich abwechselnd, daher ist es eine rein periodische Dezimalzahl: \(0{,}\overline{36}\).

a) \(0{,}1875\) (endlich) b) \(0{,}8\overline{3}\) (periodisch) c) \(0{,}\overline{36}\) (periodisch)

- Wann lässt sich ein Bruch durch Erweitern auf einen Nenner wie \(10\), \(100\) oder \(1000\) bringen? - Schau dir die Primfaktoren der Nenner an. Welche Faktoren sind für unendliche periodische Dezimalzahlen verantwortlich? - Du kannst auch versuchen, den Zähler durch den Nenner zu teilen und schauen, ob die Rechnung aufgeht.

1. Untersuchung der Nenner der vollständig gekürzten Brüche: Ein Bruch ergibt eine endliche Dezimalzahl, wenn sein Nenner nur die Primfaktoren \(2\) und \(5\) enthält. 2. Anwendung auf die gegebenen Brüche: Bei \(\frac{7}{20}\) ist der Nenner \(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\) (endlich). Bei \(\frac{11}{40}\) ist der Nenner \(40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5\) (endlich). Bei \(\frac{5}{6}\) (Nenner \(6 = 2 \cdot 3\)) und \(\frac{2}{3}\) (Nenner \(3\)) treten andere Primfaktoren auf, daher sind sie periodisch. 3. Berechnung der Dezimalwerte: \(\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0{,}35\) und \(\frac{11}{40} = \frac{275}{1000} = 0{,}275\).

Endliche Dezimalzahlen sind \(\frac{7}{20} = 0{,}35\) und \(\frac{11}{40} = 0{,}275\). Begründung: Die Brüche \(\frac{5}{6}\) und \(\frac{2}{3}\) sind periodisch, da ihre Nenner (nach dem Kürzen) den Primfaktor \(3\) enthalten, weshalb sie sich nicht auf eine Zehnerpotenz wie \(10\), \(100\), \(1000\), \(\dots\) erweitern lassen.

- Unterscheide zwischen der Anzahl der Stellen, die ein Gerät anzeigen kann, und der mathematischen Dezimaldarstellung. - Überlege, was bei der schriftlichen Division geschieht, wenn derselbe Rest erneut auftritt. - Eine exakte periodische Zahl lässt sich mit einem Periodenstrich schreiben.

1. Die Anzeige hat nur endlich viele Stellen, weil ein Taschenrechnerdisplay nur begrenzt viele Ziffern darstellen kann. 2. Bei der Division \(1 : 3\) entsteht die Ziffer \(3\) ohne Ende. Die Dezimaldarstellung ist daher periodisch und nicht endlich. 3. Exakt gilt \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\).

Nein. Die Anzeige stellt nur endlich viele Stellen dar. Exakt gilt \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\); die Dezimaldarstellung ist periodisch.

- Du kannst jeden Bruch durch Division in eine Dezimaldarstellung überführen. - Achte darauf, welcher Ziffernblock sich bei jedem Ergebnis wiederholt. - Vergleiche erst den wiederholten Block und ordne dann den passenden Bruch zu.

1. \(\frac{1}{9}=0{,}111\dots=0{,}\overline{1}\). Die Periode ist \(1\) und hat die Länge \(1\). 2. \(\frac{1}{3}=0{,}333\dots=0{,}\overline{3}\). Die Periode ist \(3\) und hat die Länge \(1\). 3. \(\frac{2}{3}=0{,}666\dots=0{,}\overline{6}\). Die Periode ist \(6\) und hat die Länge \(1\).

\(0{,}\overline{1}\leftrightarrow\frac{1}{9}\); Periode \(1\), Periodenlänge \(1\) \(0{,}\overline{3}\leftrightarrow\frac{1}{3}\); Periode \(3\), Periodenlänge \(1\) \(0{,}\overline{6}\leftrightarrow\frac{2}{3}\); Periode \(6\), Periodenlänge \(1\)

- Lies zuerst den Quotienten oben in der schriftlichen Division ab. - Schau anschließend auf den letzten Rest der Rechnung. - Überlege, was ein Rest von \(0\) dafür bedeutet, ob weitere Nachkommastellen entstehen.

1. Der Quotient der schriftlichen Division ist \(0{,}375\). 2. Nach drei Nachkommastellen ist der Rest \(0\). Die Division endet daher. 3. Somit ist \(0{,}375\) eine endliche Dezimalzahl.

a) \(0{,}375\) b) Endlich, denn die Division endet mit Rest \(0\).

- Untersuche die Primfaktorzerlegung der Nenner. - Welche Primfaktoren stecken in 10, 100 oder 1000? - Vergleiche die Anzahl der Faktoren 2 und 5 im Nenner mit denen in der Zehnerpotenz. - Wann ist eine Zahl ein Teiler einer anderen Zahl?

1. Analyse von Aufgabenteil a: Die Primfaktorzerlegung von 8 ist \(2^3\). Der Nenner 100 hat die Zerlegung \(2^2 \cdot 5^2\). Da \(2^3\) kein Teiler von \(2^2 \cdot 5^2\) ist (der Exponent der 2 ist zu groß), kann man nicht auf 100 erweitern. Da \(1000 = 2^3 \cdot 5^3\), ist 8 ein Teiler von 1000 und das Erweitern ist möglich. 2. Analyse von Aufgabenteil b: Die Primfaktorzerlegung von 40 ist \(2^3 \cdot 5^1\). Eine Zehnerpotenz \(10^n\) hat die Form \(2^n \cdot 5^n\). Damit 40 ein Teiler ist, muss \(n \ge 3\) und \(n \ge 1\) gelten. Der kleinste Wert ist \(n=3\), also ist die kleinste Zehnerpotenz \(10^3 = 1000\). 3. Analyse von Aufgabenteil c: Ein Nenner zwischen 10 und 15 mit anderen Primfaktoren als 2 oder 5 ist gesucht. Mögliche Nenner sind 11 (Primzahl), 12 (enthält Faktor 3), 13 (Primzahl) oder 14 (enthält Faktor 7). Beispiel: 12, da \(12 = 2^2 \cdot 3\) und der Faktor 3 nicht in Zehnerpotenzen vorkommt.

a) \(8 = 2^3\) ist kein Teiler von \(100 = 2^2 \cdot 5^2\), aber ein Teiler von \(1000 = 2^3 \cdot 5^3\). b) Die kleinste Zehnerpotenz ist 1000. c) Zum Beispiel der Nenner 11, 12, 13 oder 14, da diese Primfaktoren außer 2 und 5 enthalten (z. B. die 3 bei der 12).

- Wie kann man eine gemischte Zahl in einen Bruch umwandeln, bevor man rechnet? - Was bedeutet es für die Dezimalzahl, wenn ein Rest bei der Division immer wieder auftaucht? - Woran erkennst du am Nenner eines vollständig gekürzten Bruchs, ob die Dezimalzahl abbricht oder periodisch ist?

1. Umwandlung \(\frac{7}{8}\): Division \(7 : 8 = 0{,}875\). Dies ist eine abbrechende Dezimalzahl. 2. Umwandlung \(1\frac{2}{3}\): Umwandlung in einen unechten Bruch \(\frac{5}{3}\). Division \(5 : 3 = 1{,}666\dots\). Periodenschreibweise: \(1{,}\overline{6}\). 3. Umwandlung \(-\frac{13}{11}\): Division \(-13 : 11 = -1{,}181818\dots\). Periodenschreibweise: \(-1{,}\overline{18}\). 4. Identifikation: Nur \(\frac{7}{8}\) ist abbrechend.

\(\frac{7}{8} = 0{,}875\) (abbrechend) \(1\frac{2}{3} = 1{,}\overline{6}\) \(-\frac{13}{11} = -1{,}\overline{18}\) Abbrechende Dezimalzahl: \(\frac{7}{8}\)

- Zerlege den Nenner zuerst in seine kleinsten Bausteine (Primfaktoren). - Welche dieser Bausteine verhindern, dass der Bruch eine endliche Dezimalzahl wird? - Wie kann der Zähler helfen, diese „störenden“ Bausteine zu beseitigen? - Was bedeutet „kürzen“ in diesem Zusammenhang?

1. Primfaktorzerlegung des Nenners durchführen: \( 126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 \). 2. Bedingung für endliche Dezimalzahlen identifizieren: Der Nenner des vollständig gekürzten Bruchs darf nur die Primfaktoren 2 und 5 besitzen. 3. Störende Primfaktoren im aktuellen Nenner finden: Die Faktoren \( 3^2 \) (also 9) und 7 müssen durch den Zähler \( x \) gekürzt werden. 4. Minimalen Wert für \( x \) berechnen: \( x = 3^2 \cdot 7 = 9 \cdot 7 = 63 \). 5. Überprüfung: \( \frac{63}{126} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \), was eine endliche Dezimalzahl ist.

Die kleinste natürliche Zahl ist \( x = 63 \).

- Überlege dir, welche Primzahlen keine 2 und keine 5 sind. - Wie kannst du aus diesen Primzahlen eine zweistellige Zahl zusammenbauen? - Erinnere dich an die Regel für die Primfaktoren im Nenner eines gekürzten Bruchs.

1. Eine geeignete Zahl muss einen Primfaktor außer 2 und 5 haben. 2. Beispiel 1: Die Zahl 12. Primfaktorzerlegung: \(12 = 2^2 \cdot 3\). Da der Faktor 3 enthalten ist, führt dieser Nenner bei einem gekürzten Bruch zu einer Periode. 3. Beispiel 2: Die Zahl 21. Primfaktorzerlegung: \(21 = 3 \cdot 7\). Da die Faktoren 3 und 7 enthalten sind, führt dieser Nenner zu einer Periode. 4. Beispiel 3: Die Zahl 11. Primfaktorzerlegung: \(11 = 11\) (Primzahl). Da der Faktor 11 enthalten ist, führt dieser Nenner zu einer Periode. 5. Mögliche korrekte Nenner sind alle zweistelligen Zahlen außer jenen, die nur 2 und 5 als Primfaktoren haben (wie 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80).

Mögliche Beispiele sind 12, 21 und 11 (oder jede andere zweistellige Zahl, die Primfaktoren außer 2 und 5 besitzt).

- Was bedeutet der Bruchstrich bei \( \frac{4}{3} \) als Rechenoperation? - Wie viele Nachkommastellen hat die Zahl \( \frac{4}{3} \), wenn man sie als Dezimalzahl schreibt? - Achte genau darauf, welche Zahlen exakt gleich groß sind.

1. Bestimmung der Dezimalwerte: \( 1{,}3 = 1{,}3 \), \( 1{,}33 = 1{,}33 \), \( 1{,}333 = 1{,}333 \). 2. Umrechnung der Brüche: \( 1\frac{3}{10} = 1 + 0{,}3 = 1{,}3 \). 3. Umrechnung von \( \frac{4}{3} \): \( 4 : 3 = 1{,}3333\dots \) (periodisch). 4. Vergleich der Werte in Dezimalschreibweise: \( 1{,}300 < 1{,}330 < 1{,}3330 < 1{,}3333\dots \). 5. Ordnung: \( 1{,}3 = 1\frac{3}{10} < 1{,}33 < 1{,}333 < \frac{4}{3} \). 6. Zu b): \( \frac{4}{3} \) ergibt einen unendlichen, periodischen Dezimalbruch \( 1{,}\overline{3} \), während \( 1{,}333 \) ein endlicher Dezimalbruch ist. Da \( 1{,}3333 > 1{,}3330 \), ist \( \frac{4}{3} \) größer.

a) \( 1{,}3 = 1\frac{3}{10} < 1{,}33 < 1{,}333 < \frac{4}{3} \) b) \( \frac{4}{3} = 1{,}3333\dots \) ist periodisch und damit größer als der endliche Dezimalbruch \( 1{,}333 \).

- Was bedeutet es für den Nenner, wenn der Bruch „vollständig gekürzt“ ist und im Zähler eine 3 steht? - Welche Zahlen zwischen 10 und 30 haben nur 2 und 5 als Primfaktoren? - Prüfe systematisch die Potenzen von 2, die Potenzen von 5 und deren Produkte.

1. Da der Bruch \(\frac{3}{n}\) vollständig gekürzt ist, darf \(n\) nicht durch 3 teilbar sein. 2. Damit der Bruch eine endliche Dezimalzahl ist, muss die Primfaktorzerlegung von \(n\) die Form \(2^a \cdot 5^b\) haben. 3. Wir suchen alle Zahlen dieser Form im Bereich \(11, \dots, 29\): - \(2^4 = 16\) - \(2^2 \cdot 5 = 20\) - \(5^2 = 25\) 4. Überprüfung der Teilerfremdheit zu 3: Weder 16, noch 20, noch 25 sind durch 3 teilbar. 5. Andere Kombinationen wie \(2 \cdot 5 = 10\) oder \(2^3 \cdot 5 = 40\) liegen außerhalb des Bereichs.

Die möglichen Werte für \(n\) sind 16, 20 und 25.

- Was passiert, wenn im Nenner eine Primzahl vorkommt, die weder 2 noch 5 ist? - Achte darauf, den Bruch immer erst vollständig zu kürzen, bevor du den Nenner untersuchst. - Gibt es einen Unterschied zwischen der gesamten Anzahl an Nachkommastellen und den Stellen, die sich nicht wiederholen?

1. \( \frac{13}{65} = \frac{1}{5} \). Der Nenner hat nur den Primfaktor 5. Die Dezimalzahl ist endlich und hat 1 Nachkommastelle. 2. \( \frac{14}{350} = \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} \). Der Nenner hat nur den Primfaktor 5. Die Dezimalzahl ist endlich und hat 2 Nachkommastellen. 3. \( \frac{7}{30} \): Der Bruch ist bereits vollständig gekürzt. Die Primfaktorzerlegung des Nenners ist \( 2 \cdot 3 \cdot 5 \). Wegen des Faktors 3 ist die Dezimalzahl periodisch. Da die Faktoren \(2\) und \(5\) jeweils einmal vorkommen, gibt es eine Stelle vor Beginn der Periode (Vorperiode).

a) Endlich, 1 Nachkommastelle. b) Endlich, 2 Nachkommastellen. c) Periodisch (mit einer Stelle Vorperiode).

- Untersuche die Nenner beider Brüche ganz genau. - Musst du beide Brüche kürzen? - Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen den Faktoren 2 und 5 im Nenner und der Zehnerpotenz, auf die man den Bruch erweitern könnte?

1. Kürzen von \( \frac{27}{1200} \): Division durch 3 ergibt \( \frac{9}{400} \). 2. Primfaktorzerlegung des Nenners 400: \( 400 = 4 \cdot 100 = 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^4 \cdot 5^2 \). 3. Bestimmung der Stellen für \( \frac{27}{1200} \): Da \( \max(4, 2) = 4 \), hat die Dezimalzahl 4 Nachkommastellen. 4. Analyse von \( \frac{19}{400} \): Der Bruch ist bereits gekürzt. Der Nenner ist identisch (\( 400 = 2^4 \cdot 5^2 \)). Somit hat auch dieser Bruch 4 Nachkommastellen. 5. Vergleich: Beide Brüche haben nach dem Kürzen denselben Nenner (bzw. Nenner mit identischer Primfaktorzerlegung bezüglich der Potenzen von 2 und 5), weshalb die Anzahl der Nachkommastellen gleich ist.

a) 4 Nachkommastellen. b) Beide Brüche haben 4 Nachkommastellen. Nach dem Kürzen von \( \frac{27}{1200} \) haben beide Brüche den Nenner 400, dessen Primfaktorzerlegung \( 2^4 \cdot 5^2 \) ist. Die höchste Potenz bestimmt die Anzahl der Stellen.

- Wie kannst du eine gemischte Zahl am einfachsten umrechnen, ohne den Ganzzahlteil erst in den Bruch einzubeziehen? - Schau dir die ersten paar Nachkommastellen an. Fällt dir ein Muster auf? - Wie oft wiederholt sich die Ziffernfolge bis zur 50. Stelle?

1. Umwandlung des Bruchteils: \(5 : 11 = 0{,}454545\dots\). 2. Gesamtzahl als Dezimalbruch: \(2{,}\overline{45}\). 3. Analyse der Periode: Die Periode hat die Länge 2. Die Ziffer 4 steht an allen ungeraden Stellen (1., 3., 5., \(\dots\)), die Ziffer 5 steht an allen geraden Stellen (2., 4., 6., \(\dots\)). 4. Da 50 eine gerade Zahl ist, muss an der 50. Stelle die Ziffer 5 stehen.

\(2 \frac{5}{11} = 2{,}\overline{45}\). An der 50. Stelle nach dem Komma steht die Ziffer 5.

- Achte beim zweiten Bruch auf das Vorzeichen, es beeinflusst die Ziffernfolge selbst nicht. - Die Periode beginnt erst dort, wo sich die Ziffernfolge zum ersten Mal exakt wiederholt. - Zähle genau, wie viele Ziffern unter dem Periodenstrich stehen.

1. Division für \(\frac{5}{12}\): \(5 : 12 = 0{,}41666\dots\), also \(0{,}41\overline{6}\). 2. Periodenlänge von \(0{,}41\overline{6}\): Die Periode besteht nur aus der Ziffer 6, die Länge ist also 1. 3. Division für \(-\frac{7}{11}\): \(-(7 : 11) = -0{,}636363\dots\), also \(-0{,}\overline{63}\). 4. Periodenlänge von \(-0{,}\overline{63}\): Die Periode besteht aus den Ziffern 6 und 3, die Länge ist also 2. 5. Vergleich: Der Bruch \(-\frac{7}{11}\) hat mit der Länge 2 die längere Periode.

\(\frac{5}{12} = 0{,}41\overline{6}\) (Periodenlänge 1); \(-\frac{7}{11} = -0{,}\overline{63}\) (Periodenlänge 2). Der Bruch \(-\frac{7}{11}\) hat die längere Periode.

- Führe die Division so lange fort, bis ein bereits aufgetretener Rest wiederkehrt. - Der wiederholte Ziffernblock zwischen zwei gleichen Restzuständen bildet die Periode. - Vergleiche anschließend die Zahl der Ziffern in den beiden Perioden.

1. Für \(A\) gilt \(4:11=0{,}3636\dots=0{,}\overline{36}\). Die Periode hat Länge \(2\). 2. Bei \(B\) entstehen in der schriftlichen Division nacheinander die Quotientenziffern \(3,8,4,6,1,5\); danach kehrt der Ausgangsrest wieder. Daher ist \(B=0{,}\overline{384615}\) mit Periodenlänge \(6\). 3. Somit hat \(B\) die längere Periode.

a) \(A=0{,}\overline{36}\); \(B=0{,}\overline{384615}\) b) \(A\): Periodenlänge \(2\); \(B\): Periodenlänge \(6\). Also hat \(B\) die längere Periode.

- Achte beim Runden auf die Ziffer, die rechts neben der Rundungsstelle steht. - Schau genau hin, über welchen Ziffern der Periodenstrich steht. - Kann ein Bruch mit dem Nenner 3 oder 99 ein endlicher Dezimalbruch sein? - Überlege, ob \( 0{,}3 \) wirklich exakt dasselbe ist wie ein Drittel.

1. In Teilaufgabe a) liegt ein Rundungsfehler vor. Da \( \frac{2}{3} = 0{,}666\dots \) ist, muss wegen der dritten Dezimalstelle (6) aufgerundet werden. Korrekt: \( \frac{2}{3} \approx 0{,}67 \). 2. In Teilaufgabe b) wurde der Periodenstrich falsch interpretiert. Er steht nur über der 5, also wiederholt sich nur die 5. Korrekt: \( 0{,}4\overline{5} = 0{,}4555\dots \). 3. In Teilaufgabe c) ist der Ausgangswert \( \frac{1}{3} = 0{,}3 \) bereits falsch (Periode fehlt). Die Multiplikation dieses falschen, endlichen Wertes führt zu einem weiteren Fehler. Korrekt: \( \frac{2}{3} = 0{,}\overline{6} \). 4. In Teilaufgabe d) wurde ein Bruch mit Nenner 99 als endlicher Dezimalbruch geschrieben. Nenner wie 99 deuten auf eine Periode hin. Korrekt: \( \frac{8}{99} = 0{,}\overline{08} \).

a) Fehler: Abgerundet statt aufgerundet. Korrektur: \( \frac{2}{3} \approx 0{,}67 \). b) Fehler: Periode falsch gelesen. Korrektur: \( 0{,}4\overline{5} = 0{,}4555\dots \). c) Fehler: \( \frac{1}{3} \) ist nicht \( 0{,}3 \), sondern \( 0{,}\overline{3} \). Korrektur: \( \frac{2}{3} = 0{,}\overline{6} \). d) Fehler: Periodizität missachtet. Korrektur: \( \frac{8}{99} = 0{,}\overline{08} \).

- Zerlege den Nenner zuerst in seine Primfaktoren. - Welche Primfaktoren stören, damit der Bruch eine endliche Dezimalzahl wird? - Wie muss der Zähler beschaffen sein, damit diese störenden Faktoren verschwinden? - Wie viele Vielfache einer bestimmten Zahl liegen in dem gesuchten Bereich?

1. Primfaktorzerlegung des Nenners: \(140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7\). 2. Bedingung für eine endliche Dezimalzahl: Nach dem Kürzen dürfen im Nenner nur noch die Primfaktoren 2 und 5 vorhanden sein. 3. Der störende Faktor 7 im Nenner muss also durch den Zähler \(n\) gekürzt werden. 4. \(n\) muss folglich ein Vielfaches von 7 sein. 5. Vielfache von 7 im Bereich \(1 \le n < 140\): \(7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133\). 6. Anzahl berechnen: \(133 : 7 = 19\).

Die Zahlen \(n\) müssen Vielfache von 7 sein (\(n \in \{7, 14, \dots, 133\}\)). Es gibt insgesamt 19 solcher Brüche.

- Führe die schriftliche Division für die ersten Beispiele sorgfältig durch. - Achte darauf, wie viele Stellen die Periode hat, wenn der Nenner \(9\) oder \(99\) ist. - Kannst du einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der Neunen im Nenner und der Länge der Periode sehen?

1. Berechnung der ersten Brüche: \(\frac{1}{9} = 0{,}\overline{1}\), \(\frac{2}{9} = 0{,}\overline{2}\), \(\frac{3}{9} = 0{,}\overline{3}\). 2. Mustererkennung: Die Ziffer im Zähler entspricht der sich wiederholenden Ziffer in der Periode. 3. Anwendung auf Teil b: \(\frac{7}{9} = 0{,}\overline{7}\) und \(\frac{8}{9} = 0{,}\overline{8}\). 4. Erweiterung auf Nenner 99: \(\frac{1}{99} = 0{,}\overline{01}\). Hier ist die Periode zweistellig und entspricht dem Zähler (mit führender Null). 5. Überprüfung für \(\frac{12}{99}\): \(12 : 99 = 0{,}1212\dots = 0{,}\overline{12}\). Die Vermutung bestätigt sich: Der zweistellige Zähler bildet die Periode.

a) \(\frac{1}{9} = 0{,}\overline{1}\); \(\frac{2}{9} = 0{,}\overline{2}\); \(\frac{3}{9} = 0{,}\overline{3}\). Die Ziffer im Zähler wiederholt sich unendlich. b) \(\frac{7}{9} = 0{,}\overline{7}\); \(\frac{8}{9} = 0{,}\overline{8}\). c) \(\frac{1}{99} = 0{,}\overline{01}\); \(\frac{12}{99} = 0{,}\overline{12}\). Die Periode ist zweistellig.

- Schau dir an, mit welcher Ziffer die Division jeweils beginnt. - Bleiben die Ziffern in ihrer relativen Reihenfolge gleich, wenn man sie im Kreis anordnet? - Teile die Periode in zwei gleich lange Hälften und vergleiche die Ziffern an den entsprechenden Positionen.

1. Analyse der Ziffernfolge: Die Brüche \(\frac{k}{7}\) sind zyklische Verschiebungen der Folge \(142857\). 2. Bestimmung von \(\frac{2}{7}\): Da \(2 : 7\) mit \(0{,}2\dots\) beginnt, startet die Periode bei der Ziffer 2: \(0{,}\overline{285714}\). 3. Bestimmung von \(\frac{3}{7}\): Da \(3 : 7\) mit \(0{,}4\dots\) beginnt, startet die Periode bei der Ziffer 4: \(0{,}\overline{428571}\). 4. Addition der Ziffernpaare in \(142857\): \(1+8=9\), \(4+5=9\), \(2+7=9\). Alle Summen ergeben 9.

a) \(\frac{2}{7} = 0{,}\overline{285714}\) und \(\frac{3}{7} = 0{,}\overline{428571}\) (zyklische Verschiebung). b) Die Summe der Ziffernpaare (\(1+8, 4+5, 2+7\)) ist immer 9.

- Berechne die Divisionen sorgfältig und achte auf die Vielfachen von 9. - Wie hängen die Ziffern in der Periode mit dem Zähler zusammen? - Was passiert, wenn man einen Bruch mit 9 im Nenner betrachtet? Ist die Periode dort auch zweistellig?

1. Berechnung: \(\frac{1}{11} = 0{,}0909\dots = 0{,}\overline{09}\); \(\frac{2}{11} = 0{,}1818\dots = 0{,}\overline{18}\); \(\frac{3}{11} = 0{,}2727\dots = 0{,}\overline{27}\). 2. Regelmäßigkeit a): Die zweistellige Periode entspricht immer dem Neunfachen des Zählers (\(k \cdot 9\)). 3. Anwendung b): Für \(\frac{7}{11}\) ist \(7 \cdot 9 = 63\), also \(0{,}\overline{63}\). Für \(\frac{9}{11}\) ist \(9 \cdot 9 = 81\), also \(0{,}\overline{81}\). 4. Vergleich c): \(\frac{1}{9} = 0{,}\overline{1}\) und \(\frac{2}{9} = 0{,}\overline{2}\). Hier entspricht die (einstellige) Periode direkt dem Zähler.

a) \(\frac{1}{11} = 0{,}\overline{09}\), \(\frac{2}{11} = 0{,}\overline{18}\), \(\frac{3}{11} = 0{,}\overline{27}\). Die Periode ist das Neunfache des Zählers. b) \(\frac{7}{11} = 0{,}\overline{63}\) und \(\frac{9}{11} = 0{,}\overline{81}\). c) Ja, bei Nenner 9 ist die Periode direkt die Ziffer des Zählers (\(\frac{1}{9} = 0{,}\overline{1}\), \(\frac{2}{9} = 0{,}\overline{2}\)).

- Multipliziere den Wert \(0{,}\overline{09}\) mit 3 und überprüfe die entstehende Periode. - Was passiert mit einer Dezimalzahl, wenn du sie durch 10 teilst? - Schau dir an, ob die Periode bei der Division durch 10 sofort nach dem Komma beginnt oder erst später.

1. Berechnung von \(1 : 11\): \(10\) geht nicht, \(100 : 11 = 9\) Rest \(1\). Der Zyklus wiederholt sich: \(0{,}0909\dots\), also \(0{,}\overline{09}\). 2. Multiplikation von \(\frac{1}{11}\) mit 3: \(3 \cdot 0{,}\overline{09} = 0{,}\overline{27}\). 3. Division von \(\frac{1}{11}\) durch 10: \(0{,}\overline{09} : 10 = 0{,}0\overline{09}\). Die Division durch 10 verschiebt alle Ziffern um eine Stelle nach rechts, wodurch eine Null als Vorperiode entsteht.

a) \(0{,}\overline{09}\) b) \(0{,}\overline{27}\) c) \(0{,}0\overline{09}\). Durch die Division des Bruches \(\frac{1}{11}\) durch 10 verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach links (bzw. die Ziffern um eine Stelle nach rechts).

- Überlege dir, welche Faktoren im Nenner stehen dürfen, damit die Dezimalzahl abbricht. - Was passiert, wenn im Nenner eine „verbotene“ Primzahl wie 3 oder 7 steht, diese aber auch im Zähler vorkommt? - Zerlege sowohl den Zähler als auch den Nenner in ihre Primfaktoren.

1. Primfaktorzerlegung des Zählers: \(21 = 3 \cdot 7\). Primfaktorzerlegung des festen Nennerteils: \(125 = 5^3\). 2. Bedingung für eine endliche Dezimalzahl: Der Nenner des vollständig gekürzten Bruchs darf nur die Primfaktoren 2 und 5 enthalten. Alle anderen Primfaktoren in \(n\) müssen sich mit den Faktoren im Zähler (\(3\) oder \(7\)) wegkürzen lassen. 3. Prüfung der Werte für \(n\): - \(n = 3\): Der Faktor 3 im Nenner kürzt sich gegen die 3 im Zähler weg. Nenner bleibt \(5^3\). (Möglich) - \(n = 4\): \(4 = 2^2\). Nur Faktoren 2 und 5 im Nenner. (Möglich) - \(n = 9\): \(9 = 3^2\). Ein Faktor 3 kürzt sich weg, ein Faktor 3 bleibt im Nenner. (Nicht möglich) - \(n = 11\): 11 ist eine Primzahl, die nicht im Zähler vorkommt. Der Faktor 11 bleibt im Nenner. (Nicht möglich) - \(n = 14\): \(14 = 2 \cdot 7\). Der Faktor 7 kürzt sich gegen die 7 im Zähler weg. Im Nenner verbleiben nur die Faktoren 2 und 5. (Möglich) 4. Ergebnis: \(n \in \{3, 4, 14\}\).

Der Bruch ergibt für \(n \in \{3, 4, 14\}\) eine endliche Dezimalzahl.

- Dividiere den Zähler durch den Nenner, um den Dezimalbruch zu erhalten. - Achte darauf, ob die Dezimalzahl abbricht oder ob sie periodisch ist. - Kennzeichne die Periode mit einem Strich über der sich wiederholenden Ziffer. - Ordne die berechneten Werte der Größe nach, um sie leichter auf der Zahlengeraden zu finden.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(-1\frac{1}{2} = -1{,}5\) \(-\frac{5}{6} = -0{,}833\dots = -0{,}8\overline{3}\) \(-\frac{1}{3} = -0{,}333\dots = -0{,}\overline{3}\) 2. Vergleich mit den Positionen auf der Zahlengeraden: \(A\) liegt bei \(-1{,}5\), also \(A = -1\frac{1}{2}\). \(B\) liegt bei etwa \(-0{,}83\), also \(B = -\frac{5}{6}\). \(C\) liegt bei etwa \(-0{,}33\), also \(C = -\frac{1}{3}\).

\(-1\frac{1}{2} = -1{,}5\) (Punkt \(A\)) \(-\frac{5}{6} = -0{,}8\overline{3}\) (Punkt \(B\)) \(-\frac{1}{3} = -0{,}\overline{3}\) (Punkt \(C\))

- Überlege, welche Eigenschaft ein Nenner haben muss, damit man ihn durch Multiplikation genau auf \(1000\) bringen kann. - Suche die möglichen Nenner systematisch, statt einzelne Zahlen nur auszuprobieren. - In b) kennst du den Erweiterungsfaktor und den neuen Nenner; welche Gleichung verbindet diese Größen? - Prüfe bei deinen Beispielbrüchen, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler größer als \(1\) haben.

1. Für a) muss \(n\) ein Teiler von \(1000\) sein. Mit \(1000=2^3\cdot5^3\) haben alle Teiler die Form \(2^a\cdot5^b\) mit \(0\le a\le3\) und \(0\le b\le3\). 2. Die Teiler bis \(100\) sind \(1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100\). 3. Für b) gilt \(m\cdot8=1000\), also \(m=125\). 4. Ein Bruch mit Nenner \(125\) ist unkürzbar, wenn sein Zähler nicht durch \(5\) teilbar ist. Beispiele sind \(\frac{1}{125}\), \(\frac{2}{125}\) und \(\frac{3}{125}\).

a) \(1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100\) b) \(m=125\); zum Beispiel \(\frac{1}{125}\), \(\frac{2}{125}\), \(\frac{3}{125}\)

- Eine allgemeine Behauptung ist bereits widerlegt, wenn du ein einziges passendes Gegenbeispiel findest. - Überlege, ob sich der Nenner von \(\frac{k}{n}\) durch Kürzen verändern kann. - Suche einen Fall, in dem \(\frac{1}{n}\) periodisch ist, nach dem Kürzen von \(\frac{k}{n}\) aber nur noch ein für endliche Dezimalzahlen geeigneter Nenner übrig bleibt.

1. Ist \(\frac{1}{n}\) periodisch, enthält der vollständig gekürzte Nenner einen Primfaktor außer \(2\) und \(5\). 2. Beim Bruch \(\frac{k}{n}\) kann der Zähler beim Kürzen solche Faktoren aus dem Nenner entfernen. 3. Wähle zum Beispiel \(n=6\). Dann ist \(\frac{1}{6}=0{,}1\overline{6}\) periodisch. 4. Für \(k=3\) gilt dagegen \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0{,}5\), also eine endliche Dezimalzahl. 5. Damit ist Lukas' allgemeine Behauptung widerlegt.

Lukas hat nicht recht. Ein Gegenbeispiel ist \(n=6\) und \(k=3\): \(\frac{1}{6}=0{,}1\overline{6}\) ist periodisch, aber \(\frac{3}{6}=0{,}5\) ist endlich.

- Wenn eine Zahl genau vier Nachkommastellen hat, was sagt das über die höchste Potenz von 2 oder 5 im Nenner aus? - Untersuche zwei Fälle: Entweder ist der Exponent von 2 genau 4, oder der Exponent von 5 ist genau 4. - Achte darauf, dass das Ergebnis eine zweistellige Zahl sein muss.

1. Die Bedingung für vier Nachkommastellen lautet: \(n = 2^a \cdot 5^b\) mit \(\max(a, b) = 4\). 2. Fall 1: \(a = 4\). Dann ist \(n = 2^4 \cdot 5^b = 16 \cdot 5^b\). - Für \(b = 0\): \(n = 16 \cdot 1 = 16\) (zweistellig, korrekt). - Für \(b = 1\): \(n = 16 \cdot 5 = 80\) (zweistellig, korrekt). - Für \(b = 2\): \(n = 16 \cdot 25 = 400\) (zu groß). 3. Fall 2: \(b = 4\). Dann ist \(n = 2^a \cdot 5^4 = 2^a \cdot 625\). - Für \(a = 0\): \(n = 625\) (zu groß). Alle weiteren \(a\) führen ebenfalls zu dreistelligen oder größeren Zahlen. 4. Ergebnis: Die einzigen zweistelligen Zahlen sind 16 und 80.

Die Zahlen sind 16 und 80.

- Prüfe in a), welche Bruchdarstellung zu einer rein periodischen Dezimalzahl mit genau einer Periodenziffer passt. - Überlege in b), wie sich eine Division durch \(10\) auf die Dezimaldarstellung auswirkt. - Vergleiche in c) nicht nur einzelne Nachkommastellen, sondern den exakten Wert der unendlichen Darstellung. - Schreibe in d) den Bruch als Dezimalzahl und vergleiche dann stellenweise.

1. a) ist falsch. Für eine rein periodische Dezimalzahl mit der einstelligen Periode \(6\) gilt \(0{,}\overline{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\), nicht \(\frac{6}{10}\). 2. b) ist korrekt. Durch die Division durch \(10\) verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach links; dadurch steht eine Null vor der Periode. 3. c) ist falsch. Es gilt exakt \(0{,}\overline{9}=1\). 4. d) ist korrekt. \(\frac{1}{6}=0{,}1\overline{6}\), und dieser Wert ist größer als \(0{,}16\).

a) Falsch. \(0{,}\overline{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\). b) Korrekt. c) Falsch. \(0{,}\overline{9}=1\). d) Korrekt. \(\frac{1}{6}=0{,}1\overline{6}>0{,}16\).

- Kannst du einen Bruch finden, bei dem man den Faktor \(3\) im Nenner vollständig kürzen kann? - Was ist der Unterschied zwischen einem beliebigen Bruch und einem vollständig gekürzten Bruch in Bezug auf diese Regel? - Schau dir die Primfaktoren von \(120\) an und überlege, welcher davon beim Kürzen verschwinden muss.

1. Gegenbeispiel zu a): Der Bruch \(\frac{3}{6}\) hat den Nenner \(6\), der durch \(3\) teilbar ist, aber \(\frac{3}{6} = 0{,}5\) ist endlich. Ebenso gilt \(\frac{3}{30} = 0{,}1\). 2. Korrekte Regel zu b): Ein Bruch ergibt genau dann eine periodische Dezimalzahl, wenn der Nenner des vollständig gekürzten Bruches Primfaktoren außer \(2\) und \(5\) enthält. 3. Analyse zu c): Primfaktorzerlegung von \(120\): \(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\). 4. Damit der Bruch endlich ist, muss der Faktor \(3\) durch den Zähler \(k\) gekürzt werden. 5. Eigenschaft von \(k\): \(k\) muss durch \(3\) teilbar sein.

a) Gegenbeispiel: \(\frac{3}{6} = 0{,}5\) oder \(\frac{3}{15} = 0{,}2\). b) Ein Bruch ist genau dann periodisch, wenn der vollständig gekürzte Nenner Primfaktoren außer \(2\) und \(5\) besitzt. c) Der Zähler \(k\) muss ein Vielfaches von \(3\) sein.

- Notiere dir bei der schriftlichen Division von \(\frac{1}{13}\) alle Reste, die nacheinander entstehen. - Vergleiche diese Resteliste mit dem Startwert (Zähler) der anderen Brüche. - Wenn ein Zähler bereits als Rest in einer anderen Rechnung auftauchte, was bedeutet das für die Ziffernfolge?

1. Division für \(\frac{1}{13}\): \(1 : 13 = 0{,}\overline{076923}\). Die auftretenden Reste sind \(10, 9, 12, 3, 4, 1\). 2. Division für \(\frac{3}{13}\): \(3 : 13 = 0{,}\overline{230769}\). Die Ziffernfolge ist eine zyklische Verschiebung der Folge von \(\frac{1}{13}\). 3. Erklärung der Verschiebung: Da der Rest \(3\) in der Restefolge von \(1 : 13\) vorkommt, muss die Division von \(3 : 13\) ab diesem Punkt die gleichen Ziffern liefern. 4. Division für \(\frac{2}{13}\): \(2 : 13 = 0{,}\overline{153846}\). 5. Vergleich: Die Ziffernfolge ist völlig anders. Da der Rest \(2\) nicht in der Restefolge von \(1 : 13\) (\(10, 9, 12, 3, 4, 1\)) vorkam, startet hier ein neuer „Zyklus“ mit anderen Ziffern.

a) \(\frac{1}{13} = 0{,}\overline{076923}\) und \(\frac{3}{13} = 0{,}\overline{230769}\). Die Ziffernfolgen sind identisch, aber gegeneinander verschoben. b) \(\frac{2}{13} = 0{,}\overline{153846}\). Dieser Bruch gehört nicht zur gleichen Familie, da die Ziffernfolge eine andere ist. Das liegt daran, dass der Rest 2 bei der Division von 1 durch 13 nie auftritt.

- Bestimme in a) zuerst die tatsächlichen wiederholten Ziffernblöcke der beiden Dezimaldarstellungen. - Frage dich danach, ob wenige Beispiele logisch ausreichen, um eine Aussage über alle möglichen Brüche zu beweisen. - Vergleiche in b) die beiden Nenner und überlege, welche Rechenoperation die Brüche verbindet. - Nutze in c) die Grade-6-Regel für eine rein periodische Dezimalzahl mit genau einer Periodenziffer.

1. \(\frac{13}{99}=0{,}\overline{13}\). Der wiederholte Block hat \(2\) Stellen. 2. \(\frac{123}{999}=0{,}\overline{123}\). Der wiederholte Block hat \(3\) Stellen. Zwei passende Beispiele reichen aber nicht als Beweis für alle Brüche; durch Kürzen oder ein kürzeres Wiederholungsmuster kann sich die minimale Periodenlänge ändern. 3. Von \(\frac{13}{99}\) zu \(\frac{13}{990}\) wird durch \(10\) geteilt. Daher gilt \(\frac{13}{990}=0{,}0\overline{13}\): Vor der Periode steht eine Null. 4. Für die einstellige reine Periode gilt \(0{,}\overline{7}=\frac{7}{9}\); der Bruch ist bereits vollständig gekürzt.

a) Die Periodenblöcke haben bei den beiden Beispielen Länge \(2\) beziehungsweise \(3\). Zwei Beispiele beweisen keine allgemeine Regel. b) \(\frac{13}{990}=0{,}0\overline{13}\). c) \(\frac{7}{9}\)