- Prüfe zuerst, welche Darstellungen nach endlich vielen Nachkommastellen enden. - Ein Periodenstrich kennzeichnet genau den Ziffernblock, der sich ohne Ende wiederholt.

1. \(0{,}75\) endet nach zwei Nachkommastellen und ist daher endlich. 2. Bei \(1{,}\overline{2}\) zeigt der Periodenstrich, dass sich die Ziffer \(2\) ohne Ende wiederholt; die Darstellung ist periodisch. 3. \(3{,}04\) endet nach zwei Nachkommastellen und ist daher endlich. 4. Bei \(0{,}\overline{18}\) wiederholt sich der Ziffernblock \(18\) ohne Ende; die Darstellung ist periodisch.

a) endlich b) periodisch c) endlich d) periodisch

- Suche nach dem kürzesten Ziffernblock, der sich immer wiederholt. - Der Periodenstrich gehört genau über diesen wiederholten Block. - Achte darauf, ob eine einzelne Ziffer oder mehrere Ziffern die Periode bilden.

1. In \(0{,}666\dots\) wiederholt sich die Ziffer \(6\). Mit Periodenstrich schreibt man \(0{,}\overline{6}\). 2. In \(1{,}272727\dots\) wiederholt sich der Block \(27\). Mit Periodenstrich schreibt man \(1{,}\overline{27}\).

a) \(0{,}\overline{6}\); Periode: \(6\) b) \(1{,}\overline{27}\); Periode: \(27\)

- Vergleiche die Reste nach den einzelnen Divisionsschritten. - Überlege, was bei einer schriftlichen Division geschieht, wenn derselbe Rest erneut auftritt. - Markiere mit dem Periodenstrich nur den Teil der Dezimalzahl, der sich immer wiederholt.

1. Nach jeder berechneten Nachkommastelle bleibt wieder der Rest \(2\). 2. Dadurch entsteht bei jedem weiteren Schritt erneut die Ziffer \(6\); die Rechnung wiederholt sich ohne Ende. 3. Daher gilt \(2:3=0{,}\overline{6}\).

a) Der Rest \(2\) wiederholt sich. b) \(0{,}\overline{6}\)

- Prüfe, ob sich der Nenner \(20\) durch Erweitern in \(10\), \(100\), \(1000\) oder eine andere Zehnerpotenz verwandeln lässt. - Suche eine kleine Zehnerpotenz, die ein Vielfaches von \(20\) ist. - Sobald der Nenner eine Zehnerpotenz ist, kannst du die Dezimalschreibweise direkt ablesen.

1. Der Nenner \(20\) lässt sich durch Erweitern in die Zehnerpotenz \(100\) verwandeln. 2. Es gilt \(\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=0{,}35\). 3. Die Dezimaldarstellung endet, also ist sie endlich.

Endlich; \(\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=0{,}35\).

- Prüfe zuerst, ob du den Nenner \(20\) mit einem kleinen Faktor zu \(100\) machen kannst. - Beobachte bei \(1:6\), ob ein Rest nach einigen Schritten wieder auftaucht. - Verbinde deine Beobachtung mit den Begriffen „endlich“ und „periodisch“.

1. Beim Bruch \(\frac{3}{20}\) lässt sich der Nenner leicht zu \(100\) erweitern: \(\frac{3}{20}=\frac{15}{100}=0{,}15\). Die Dezimaldarstellung ist endlich. 2. Bei \(\frac{1}{6}\) entsteht bei der Division immer wieder derselbe Rest. Dadurch wiederholt sich die Ziffer \(6\): \(\frac{1}{6}=0{,}1\overline{6}\). 3. Deshalb ist \(\frac{3}{20}\) endlich und \(\frac{1}{6}\) periodisch.

\(\frac{3}{20}\) ist endlich, weil sich der Nenner \(20\) zu \(100\) erweitern lässt. \(\frac{1}{6}\) ist periodisch, weil bei der Division ein Rest wiederkehrt und dadurch Ziffern wiederholt werden.

- Schau bei jeder Zahl, an welcher Stelle der Periodenstrich beginnt. - Prüfe, ob zwischen Komma und erster Periodenziffer noch eine nicht wiederholte Ziffer steht.

1. Bei \(0{,}\overline{4}\) beginnt die Wiederholung sofort nach dem Komma: rein periodisch. 2. Bei \(0{,}1\overline{6}\) steht zuerst die nicht wiederholte Ziffer \(1\): gemischt periodisch. 3. Bei \(2{,}\overline{27}\) beginnt die Wiederholung sofort nach dem Komma: rein periodisch. 4. Bei \(3{,}08\overline{3}\) stehen zuerst die nicht wiederholten Ziffern \(0\) und \(8\): gemischt periodisch.

a) rein periodisch b) gemischt periodisch c) rein periodisch d) gemischt periodisch

- Worauf musst du beim Nenner achten, bevor du die Primfaktoren untersuchst? - Welche Primfaktoren sind bei einer Zehnerpotenz wie \(10\), \(100\), \(1000\), \(\dots\) erlaubt? - Überlege, ob der Bruch bereits in seiner einfachsten Form vorliegt.

1. Ein Bruch ist als endliche Dezimalzahl darstellbar, wenn sein vollständig gekürzter Nenner nur die Primfaktoren 2 und/oder 5 enthält. 2. a) \( \frac{7}{25} \): Der Nenner \( 25 = 5^2 \) enthält nur den Primfaktor 5. Resultat: Endlich. 3. b) \( \frac{9}{12} \): Kürzen zu \( \frac{3}{4} \). Der Nenner \( 4 = 2^2 \) enthält nur den Primfaktor 2. Resultat: Endlich. 4. c) \( \frac{13}{40} \): Der Nenner \( 40 = 2^3 \cdot 5 \) enthält nur die Primfaktoren 2 und 5. Resultat: Endlich. 5. d) \( \frac{11}{30} \): Der Nenner \( 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \) enthält den Primfaktor 3. Resultat: Periodisch (nicht endlich).

a) Endlich, da \( 25 = 5^2 \). b) Endlich, da der gekürzte Nenner \( 4 = 2^2 \) ist. c) Endlich, da \( 40 = 2^3 \cdot 5 \). d) Nicht endlich (periodisch), da der Nenner den Primfaktor 3 enthält.

- Kürze jeden Bruch vollständig, bevor du die Art der Dezimaldarstellung beurteilst. - Prüfe danach die Primfaktoren des gekürzten Nenners. - Kontrolliere zusätzlich durch Division, welche Dezimalzahl tatsächlich entsteht.

1. \(\frac{42}{105}=\frac{2}{5}=0{,}4\). Die Dezimalzahl ist endlich und hat \(1\) Nachkommastelle. 2. \(\frac{33}{120}=\frac{11}{40}=0{,}275\). Der Nenner \(40=2^3\cdot5\) führt zu einer endlichen Dezimalzahl mit \(3\) Nachkommastellen. 3. \(\frac{9}{72}=\frac{1}{8}=0{,}125\). Der Nenner \(8=2^3\) führt zu einer endlichen Dezimalzahl mit \(3\) Nachkommastellen.

a) \(0{,}4\); endlich; \(1\) Nachkommastelle b) \(0{,}275\); endlich; \(3\) Nachkommastellen c) \(0{,}125\); endlich; \(3\) Nachkommastellen

- Führe für jeden Bruch eine schriftliche Division (Zähler durch Nenner) durch. - Achte darauf, ob der Rest bei der Division irgendwann null wird oder ob sich Reste wiederholen. - Überlege dir, an welcher Stelle nach dem Komma die Wiederholung der Ziffern beginnt.

1. Berechnung von a): Division \(7 : 9 = 0{,}777\dots\). Ergebnis \(0{,}\overline{7}\). Da die Periode direkt nach dem Komma beginnt, ist sie rein periodisch. 2. Berechnung von b): Division \(13 : 40 = 0{,}325\). Die Division geht ohne Rest auf. Es ist eine endliche Dezimalzahl. 3. Berechnung von c): Division \(5 : 6 = 0{,}8333\dots\). Ergebnis \(0{,}8\overline{3}\). Da vor der Periode die Ziffer 8 steht, ist sie gemischt periodisch.

a) \(0{,}\overline{7}\) (rein periodisch) b) \(0{,}325\) (endlich) c) \(0{,}8\overline{3}\) (gemischt periodisch)

- Prüfe bei jedem Beispiel, ob die Dezimaldarstellung wirklich endet. - Achte genau darauf, welche Ziffern sich wiederholen und unter den Periodenstrich gehören. - Eine kurze Division kann dir zeigen, ob die angegebene Darstellung stimmt.

1. Bei a) fehlt die Wiederholung: \(4:9=0{,}444\dots\). Richtig ist \(\frac{4}{9}=0{,}\overline{4}\). 2. Bei b) wurde die periodische Dezimalzahl wie eine endliche Zehntelzahl behandelt. Richtig ist \(0{,}\overline{7}=\frac{7}{9}\). 3. Bei c) endet die Dezimaldarstellung nicht nach zwei Stellen. Es gilt \(1:11=0{,}0909\dots=0{,}\overline{09}\).

a) \(\frac{4}{9}=0{,}\overline{4}\) b) \(0{,}\overline{7}=\frac{7}{9}\) c) \(\frac{1}{11}=0{,}\overline{09}\)

- Kannst du die Brüche so erweitern, dass im Nenner nur Neunen stehen? - Was passiert, wenn du den Zähler schriftlich durch den Nenner teilst? - Vergleiche die Dezimalzahlen Stelle für Stelle von links nach rechts.

1. Division von \(2\) durch \(9\) ergibt \(0{,}222\dots\), also \(0{,}\overline{2}\) 2. Erweiterung von \(\frac{7}{33}\) mit \(3\) ergibt \(\frac{21}{99}\), was der Dezimalzahl \(0{,}\overline{21}\) entspricht 3. Der Bruch \(\frac{25}{99}\) entspricht direkt der Dezimalzahl \(0{,}\overline{25}\) 4. Vergleich der Dezimalstellen: \(0{,}2121\dots < 0{,}2222\dots < 0{,}2525\dots\) 5. Ordnung: \(\frac{7}{33} < \frac{2}{9} < \frac{25}{99}\)

\(\frac{7}{33} = 0{,}\overline{21}\); \(\frac{2}{9} = 0{,}\overline{2}\); \(\frac{25}{99} = 0{,}\overline{25}\). Die Ordnung ist: \(\frac{7}{33} < \frac{2}{9} < \frac{25}{99}\).

- Führe bei jedem Bruch die Division Zähler : Nenner aus. - Beobachte, welche Ziffernfolge erneut beginnt, sobald sich ein Rest wiederholt. - Achte bei c) darauf, ob die Wiederholung direkt nach dem Komma beginnt.

1. \(4:9=0{,}444\dots=0{,}\overline{4}\). 2. \(4:99=0{,}040404\dots=0{,}\overline{04}\). 3. Bei \(4:90\) entsteht zuerst eine \(0\) nach dem Komma; danach wiederholt sich die \(4\): \(0{,}04444\dots=0{,}0\overline{4}\). 4. \(41:99=0{,}414141\dots=0{,}\overline{41}\).

a) \(0{,}\overline{4}\) b) \(0{,}\overline{04}\) c) \(0{,}0\overline{4}\) d) \(0{,}\overline{41}\)

- Kürze jeden Bruch vollständig, bevor du den Nenner untersuchst. - Prüfe danach, welche Primfaktoren im gekürzten Nenner vorkommen. - Kontrolliere deine Einordnung zum Schluss durch die Division Zähler : Nenner.

1. \(\frac{36}{48}=\frac{3}{4}\). Der gekürzte Nenner \(4\) enthält nur den Primfaktor \(2\). Daher ist die Dezimaldarstellung endlich: \(0{,}75\). 2. \(\frac{36}{45}=\frac{4}{5}\). Der gekürzte Nenner \(5\) enthält nur den Primfaktor \(5\). Daher ist die Dezimaldarstellung endlich: \(0{,}8\). 3. \(\frac{36}{54}=\frac{2}{3}\). Der gekürzte Nenner \(3\) enthält einen Primfaktor außer \(2\) und \(5\). Daher ist die Dezimaldarstellung periodisch: \(0{,}\overline{6}\).

a) \(\frac{36}{48}=\frac{3}{4}=0{,}75\), endlich b) \(\frac{36}{45}=\frac{4}{5}=0{,}8\), endlich c) \(\frac{36}{54}=\frac{2}{3}=0{,}\overline{6}\), periodisch

- Ist es wichtig, ob ein Bruch gekürzt ist, bevor man sich den Nenner ansieht? - Versuche, den Bruch so weit wie möglich zu vereinfachen. - Welche Faktoren bleiben im Nenner übrig, nachdem du alle gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner entfernt hast?

1. Prüfung der Regel: Die Eigenschaft „endlich“ oder „periodisch“ bezieht sich immer auf den vollständig gekürzten Bruch. Somit hat Bence recht. 2. Kürzen des Bruchs: \(\frac{18}{75} = \frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 25} = \frac{6}{25}\). 3. Untersuchung des Nenners des gekürzten Bruchs: \(25 = 5^2\). 4. Da der Nenner des gekürzten Bruchs nur den Primfaktor \(5\) enthält, handelt es sich um eine endliche Dezimalzahl. 5. Ergebnis: Bence hat recht; die Dezimalzahl ist endlich (\(0{,}24\)).

Bence hat recht. Der Bruch ergibt eine endliche Dezimalzahl, da er sich zu \(\frac{6}{25}\) kürzen lässt und der Nenner \(25 = 5^2\) nur den Primfaktor \(5\) enthält.

- Führe die schriftliche Division \(Zähler : Nenner\) durch. - Was passiert, wenn bei der schriftlichen Division immer wieder derselbe Rest auftaucht? - Wie kennzeichnet man Zahlen, bei denen sich eine Ziffernfolge unendlich oft wiederholt?

1. Teilaufgabe a): \(3 : 16 = 0{,}1875\). Die Division geht auf, daher ist es eine endliche Dezimalzahl. 2. Teilaufgabe b): \(5 : 6 = 0{,}8333\dots\). Der Rest \(2\) wiederholt sich, daher ist es eine periodische Dezimalzahl: \(0{,}8\overline{3}\). 3. Teilaufgabe c): \(4 : 11 = 0{,}3636\dots\). Die Reste \(7\) und \(4\) wiederholen sich abwechselnd, daher ist es eine rein periodische Dezimalzahl: \(0{,}\overline{36}\).

a) \(0{,}1875\) (endlich) b) \(0{,}8\overline{3}\) (periodisch) c) \(0{,}\overline{36}\) (periodisch)

- Wann lässt sich ein Bruch durch Erweitern auf einen Nenner wie \(10\), \(100\) oder \(1000\) bringen? - Schau dir die Primfaktoren der Nenner an. Welche Faktoren sind für unendliche periodische Dezimalzahlen verantwortlich? - Du kannst auch versuchen, den Zähler durch den Nenner zu teilen und schauen, ob die Rechnung aufgeht.

1. Untersuchung der Nenner der vollständig gekürzten Brüche: Ein Bruch ergibt eine endliche Dezimalzahl, wenn sein Nenner nur die Primfaktoren \(2\) und \(5\) enthält. 2. Anwendung auf die gegebenen Brüche: Bei \(\frac{7}{20}\) ist der Nenner \(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\) (endlich). Bei \(\frac{11}{40}\) ist der Nenner \(40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5\) (endlich). Bei \(\frac{5}{6}\) (Nenner \(6 = 2 \cdot 3\)) und \(\frac{2}{3}\) (Nenner \(3\)) treten andere Primfaktoren auf, daher sind sie periodisch. 3. Berechnung der Dezimalwerte: \(\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0{,}35\) und \(\frac{11}{40} = \frac{275}{1000} = 0{,}275\).

Endliche Dezimalzahlen sind \(\frac{7}{20} = 0{,}35\) und \(\frac{11}{40} = 0{,}275\). Begründung: Die Brüche \(\frac{5}{6}\) und \(\frac{2}{3}\) sind periodisch, da ihre Nenner (nach dem Kürzen) den Primfaktor \(3\) enthalten, weshalb sie sich nicht auf eine Zehnerpotenz wie \(10\), \(100\), \(1000\), \(\dots\) erweitern lassen.

- Unterscheide zwischen der Anzahl der Stellen, die ein Gerät anzeigen kann, und der mathematischen Dezimaldarstellung. - Überlege, was bei der schriftlichen Division geschieht, wenn derselbe Rest erneut auftritt. - Eine exakte periodische Zahl lässt sich mit einem Periodenstrich schreiben.

1. Die Anzeige hat nur endlich viele Stellen, weil ein Taschenrechnerdisplay nur begrenzt viele Ziffern darstellen kann. 2. Bei der Division \(1 : 3\) entsteht die Ziffer \(3\) ohne Ende. Die Dezimaldarstellung ist daher periodisch und nicht endlich. 3. Exakt gilt \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\).

Nein. Die Anzeige stellt nur endlich viele Stellen dar. Exakt gilt \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\); die Dezimaldarstellung ist periodisch.

- Du kannst jeden Bruch durch Division in eine Dezimaldarstellung überführen. - Achte darauf, welcher Ziffernblock sich bei jedem Ergebnis wiederholt. - Vergleiche erst den wiederholten Block und ordne dann den passenden Bruch zu.

1. \(\frac{1}{9}=0{,}111\dots=0{,}\overline{1}\). Die Periode ist \(1\) und hat die Länge \(1\). 2. \(\frac{1}{3}=0{,}333\dots=0{,}\overline{3}\). Die Periode ist \(3\) und hat die Länge \(1\). 3. \(\frac{2}{3}=0{,}666\dots=0{,}\overline{6}\). Die Periode ist \(6\) und hat die Länge \(1\).

\(0{,}\overline{1}\leftrightarrow\frac{1}{9}\); Periode \(1\), Periodenlänge \(1\) \(0{,}\overline{3}\leftrightarrow\frac{1}{3}\); Periode \(3\), Periodenlänge \(1\) \(0{,}\overline{6}\leftrightarrow\frac{2}{3}\); Periode \(6\), Periodenlänge \(1\)

- Lies zuerst den Quotienten oben in der schriftlichen Division ab. - Schau anschließend auf den letzten Rest der Rechnung. - Überlege, was ein Rest von \(0\) dafür bedeutet, ob weitere Nachkommastellen entstehen.

1. Der Quotient der schriftlichen Division ist \(0{,}375\). 2. Nach drei Nachkommastellen ist der Rest \(0\). Die Division endet daher. 3. Somit ist \(0{,}375\) eine endliche Dezimalzahl.

a) \(0{,}375\) b) Endlich, denn die Division endet mit Rest \(0\).

- Schreibe von beiden periodischen Zahlen mehrere Nachkommastellen aus. - Vergleiche die Ziffern von links nach rechts. - Die erste unterschiedliche Stelle entscheidet über die Reihenfolge.

1. Schreibe einige Stellen aus: \(0{,}\overline{6}=0{,}666666\dots\) und \(0{,}\overline{61}=0{,}616161\dots\). 2. An der Zehntelstelle steht bei beiden Zahlen eine \(6\). 3. An der Hundertstelstelle steht bei der ersten Zahl eine \(6\), bei der zweiten eine \(1\). 4. Deshalb gilt \(0{,}\overline{6}>0{,}\overline{61}\).

\(0{,}\overline{6}>0{,}\overline{61}\)

- Führe die Division \(2:3\) gedanklich einige Stellen weiter. - Unterscheide zwischen einer Zahl, die wirklich endet, und einer Anzeige, die nach wenigen Stellen aufhört. - Prüfe für die Anzeige, welche Ziffer nach der dritten Nachkommastelle folgt.

1. \(\frac{2}{3}\) hat die periodische Dezimaldarstellung \(0{,}6666\dots\). 2. Exakt schreibt man \(0{,}\overline{6}\). 3. Die App zeigt nur drei Nachkommastellen. Die vierte Nachkommastelle ist wieder \(6\), daher wird \(0{,}666\dots\) auf \(0{,}667\) gerundet. 4. \(0{,}667\) ist somit nur ein Näherungswert, nicht der exakte Wert.

a) Nein. b) \(0{,}\overline{6}\) c) Die App rundet den periodischen Wert auf drei Nachkommastellen; \(0{,}667\) ist ein Näherungswert.

- Ergänze bei der endlichen Zahl rechts Nullen. - Schreibe bei der periodischen Zahl mehrere Wiederholungen der \(4\) aus. - Suche die erste Nachkommastelle, an der sich die beiden ausgeschriebenen Zahlen unterscheiden.

1. Schreibe beide Zahlen mit weiteren Stellen: \(0{,}444=0{,}444000\dots\) und \(0{,}\overline{4}=0{,}444444\dots\). 2. Die ersten drei Nachkommastellen sind gleich. 3. An der vierten Nachkommastelle steht bei der endlichen Zahl \(0\), bei der periodischen Zahl \(4\). 4. Deshalb ist \(0{,}\overline{4}>0{,}444\). Die endliche Zahl ist nur ein Abbruch nach drei Vierern; bei der periodischen Zahl wiederholt sich die \(4\) ohne Ende.

a) \(0{,}\overline{4}>0{,}444\) b) \(0{,}444\) endet; bei \(0{,}\overline{4}\) wiederholt sich die \(4\) ohne Ende.

- Prüfe in a), ob \(100\) beziehungsweise \(1000\) ein Vielfaches von \(8\) ist. - Suche in b) die erste Stufenzahl, die sich ohne Rest durch \(40\) teilen lässt. - Überlege in c), welche Primfaktoren in Stufenzahlen vorkommen können.

1. Für a) gilt \(8\cdot125=1000\). Dagegen ist \(100\) kein Vielfaches von \(8\). Deshalb kann \(\frac{1}{8}\) auf Tausendstel, aber nicht auf Hundertstel erweitert werden. 2. Für b) ist \(40\) kein Teiler von \(100\), aber \(40\cdot25=1000\). Die kleinste passende Stufenzahl ist also \(1000\). 3. Für c) eignet sich zum Beispiel \(12\), denn \(12=2\cdot2\cdot3\). Der Primfaktor \(3\) kommt in keiner Stufenzahl vor. Ein vollständig gekürzter Bruch mit Nenner \(12\) hat deshalb eine periodische Dezimaldarstellung.

a) \(8\) teilt \(1000\), aber nicht \(100\). b) \(1000\) c) Zum Beispiel \(12\); wegen des Primfaktors \(3\) ist die Dezimaldarstellung periodisch.

- Wandle eine gemischte Zahl zuerst in eine Summe oder einen unechten Bruch um. - Führe jeweils die Division Zähler : Nenner aus. - Achte darauf, ob die Division endet oder ob sich eine Ziffernfolge wiederholt.

1. \(\frac{7}{8}=0{,}875\). Diese Dezimalzahl ist endlich. 2. \(1\frac{2}{3}=1+\frac{2}{3}=1{,}\overline{6}\). Diese Dezimalzahl ist periodisch. 3. \(\frac{13}{11}=1{,}\overline{18}\). Diese Dezimalzahl ist periodisch. 4. Nur \(\frac{7}{8}\) besitzt hier eine endliche Dezimaldarstellung.

\(\frac{7}{8}=0{,}875\) (endlich) \(1\frac{2}{3}=1{,}\overline{6}\) (periodisch) \(\frac{13}{11}=1{,}\overline{18}\) (periodisch)

- Zerlege \(126\) in Primfaktoren. - Welche Primfaktoren dürfen nach dem Kürzen im Nenner übrig bleiben, damit die Dezimalzahl endlich ist? - Welche Faktoren muss der Zähler deshalb mindestens enthalten?

1. Der Nenner lässt sich zerlegen: \(126=2\cdot3\cdot3\cdot7\). 2. Nach dem Kürzen dürfen im Nenner nur noch die Primfaktoren \(2\) und \(5\) vorkommen. 3. Deshalb müssen die Faktoren \(3\), \(3\) und \(7\) vollständig weggekürzt werden. 4. Der kleinste Zähler, der diese Faktoren enthält, ist \(3\cdot3\cdot7=63\). 5. Dann gilt \(\frac{63}{126}=\frac{1}{2}=0{,}5\).

Der kleinste Zähler ist \(63\).

- Eine allgemeine Aussage ist schon widerlegt, wenn du ein einziges passendes Gegenbeispiel findest. - Suche einen Bruch mit Nenner \(6\), der sich kürzen lässt. - Prüfe danach den Nenner des vollständig gekürzten Bruchs.

1. Die Aussage ist falsch. Es reicht ein Gegenbeispiel. 2. Zum Beispiel gilt \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0{,}5\). Diese Dezimalzahl ist endlich. 3. Entscheidend ist der Nenner nach dem vollständigen Kürzen. Bei \(\frac{3}{6}\) wird aus dem Nenner \(6\) der Nenner \(2\). 4. Deshalb kann man nicht allein am ursprünglichen Nenner entscheiden, ob die Dezimaldarstellung endlich oder periodisch ist.

Die Aussage ist falsch. Zum Beispiel ist \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0{,}5\) endlich. Entscheidend ist der vollständig gekürzte Nenner.

- Suche zweistellige Zahlen, die durch eine Primzahl außer \(2\) oder \(5\) teilbar sind. - Zerlege deine Beispiele in Primfaktoren. - Prüfe bei jedem Beispiel, welcher Faktor die periodische Dezimaldarstellung verursacht.

1. Gesucht sind zweistellige Zahlen mit mindestens einem Primfaktor außer \(2\) und \(5\). 2. Beispiel \(12=2^2\cdot3\): Der Faktor \(3\) führt bei einem vollständig gekürzten Bruch zu einer Periode. 3. Beispiel \(21=3\cdot7\): Die Faktoren \(3\) und \(7\) führen zu einer Periode. 4. Beispiel \(11\): Der Primfaktor \(11\) führt zu einer Periode.

Zum Beispiel \(12\), \(21\) und \(11\). Bei jeder Zahl kommt mindestens ein Primfaktor außer \(2\) und \(5\) vor.

- Schreibe die gemischte Zahl und den Bruch als Dezimalzahlen. - Bei \(\frac{4}{3}\) wiederholt sich eine Ziffer ohne Ende. - Vergleiche die Dezimalzahlen Stelle für Stelle und achte darauf, welche Darstellung endet.

1. Es gilt \(1\frac{3}{10}=1{,}3\). 2. Außerdem ist \(\frac{4}{3}=1{,}\overline{3}=1{,}3333\dots\). 3. Damit gilt \(1{,}3=1\frac{3}{10}<1{,}33<1{,}333<\frac{4}{3}\). 4. \(1{,}333\) ist eine endliche Dezimalzahl. Bei \(\frac{4}{3}\) wiederholt sich die Ziffer \(3\) dagegen ohne Ende, deshalb ist \(\frac{4}{3}\) etwas größer.

a) \(1{,}3=1\frac{3}{10}<1{,}33<1{,}333<\frac{4}{3}\) b) \(\frac{4}{3}=1{,}\overline{3}\) geht nach \(1{,}333\) weiter; \(1{,}333\) endet.

- Suche im Bereich von \(11\) bis \(29\) Zahlen, deren Primfaktoren nur \(2\) und \(5\) sind. - Prüfe außerdem, ob sich der Nenner mit dem Zähler \(3\) kürzen ließe. - Streiche alle Zahlen, die einen anderen Primfaktor enthalten.

1. Bei einem vollständig gekürzten Bruch darf der Nenner für eine endliche Dezimalzahl nur die Primfaktoren \(2\) und \(5\) enthalten. 2. Zwischen \(11\) und \(29\) erfüllen das \(16\), \(20\) und \(25\). 3. Keiner dieser Nenner ist durch \(3\) teilbar, also sind die Brüche mit Zähler \(3\) tatsächlich vollständig gekürzt.

Die möglichen Nenner sind \(16\), \(20\) und \(25\).

- Liste zuerst die zweistelligen Teiler von \(10000\) auf. - Prüfe danach, welche davon schon Teiler von \(1000\) sind. - Gesucht sind die Nenner, die vier Stellen brauchen und nicht schon mit drei Stellen auskommen.

1. Für eine endliche Dezimalzahl mit höchstens vier Nachkommastellen muss sich der Nenner durch Erweitern auf \(10000\) bringen lassen. Der Nenner muss also ein Teiler von \(10000\) sein. 2. Die zweistelligen Teiler von \(10000\) sind \(10\), \(16\), \(20\), \(25\), \(40\), \(50\) und \(80\). 3. Wenn sich der Nenner schon auf \(1000\) erweitern lässt, hat die Dezimalzahl höchstens drei Nachkommastellen. Das trifft auf \(10\), \(20\), \(25\), \(40\) und \(50\) zu. 4. Übrig bleiben \(16\) und \(80\). Tatsächlich gilt \(\frac{1}{16}=0{,}0625\) und \(\frac{1}{80}=0{,}0125\).

Die Nenner sind \(16\) und \(80\).

- Kürze jeden Bruch zuerst vollständig. - Prüfe anschließend, welche Primfaktoren im Nenner übrig bleiben. - Wenn außer \(2\) und \(5\) noch ein anderer Primfaktor vorkommt, endet die Dezimaldarstellung nicht.

1. \(\frac{13}{65}=\frac{1}{5}=0{,}2\). Die Dezimalzahl ist endlich und hat eine Nachkommastelle. 2. \(\frac{14}{350}=\frac{1}{25}=0{,}04\). Die Dezimalzahl ist endlich und hat zwei Nachkommastellen. 3. \(\frac{7}{30}\) ist vollständig gekürzt. Im Nenner steckt neben \(2\) und \(5\) auch der Primfaktor \(3\). Deshalb ist die Dezimalzahl periodisch: \(\frac{7}{30}=0{,}2\overline{3}\).

a) \(0{,}2\); endlich; eine Nachkommastelle b) \(0{,}04\); endlich; zwei Nachkommastellen c) \(0{,}2\overline{3}\); periodisch

- Kürze den ersten Bruch, bevor du nach einem passenden Zehnernenner suchst. - Suche die kleinste Zahl aus \(10\), \(100\), \(1000\), \(10000\), \(\dots\), auf die du den Nenner erweitern kannst. - Überlege, wie die Anzahl der Nullen im Zehnernenner mit den Nachkommastellen zusammenhängt.

1. \(\frac{27}{1200}=\frac{9}{400}\). 2. Der Nenner \(400\) lässt sich nicht auf \(1000\) erweitern, aber auf \(10000\): \(\frac{9}{400}=\frac{225}{10000}=0{,}0225\). 3. Ebenso gilt \(\frac{19}{400}=\frac{475}{10000}=0{,}0475\). 4. Beide Dezimalzahlen haben vier Nachkommastellen. Ein Nenner \(10000\) steht für Zehntausendstel und damit für vier Stellen nach dem Komma.

a) \(\frac{27}{1200}=\frac{9}{400}\) b) \(\frac{9}{400}=\frac{225}{10000}\) und \(\frac{19}{400}=\frac{475}{10000}\) c) Beide Dezimalzahlen haben vier Nachkommastellen.

- Wie kannst du eine gemischte Zahl am einfachsten umrechnen, ohne den Ganzzahlteil erst in den Bruch einzubeziehen? - Schau dir die ersten paar Nachkommastellen an. Fällt dir ein Muster auf? - Wie oft wiederholt sich die Ziffernfolge bis zur 50. Stelle?

1. Umwandlung des Bruchteils: \(5 : 11 = 0{,}454545\dots\). 2. Gesamtzahl als Dezimalbruch: \(2{,}\overline{45}\). 3. Analyse der Periode: Die Periode hat die Länge 2. Die Ziffer 4 steht an allen ungeraden Stellen (1., 3., 5., \(\dots\)), die Ziffer 5 steht an allen geraden Stellen (2., 4., 6., \(\dots\)). 4. Da 50 eine gerade Zahl ist, muss an der 50. Stelle die Ziffer 5 stehen.

\(2 \frac{5}{11} = 2{,}\overline{45}\). An der 50. Stelle nach dem Komma steht die Ziffer 5.

- Führe beide Divisionen so weit aus, bis du die Wiederholung erkennst. - Die Periode besteht nur aus den Ziffern, die sich immer wiederholen. - Zähle die Ziffern unter dem Periodenstrich und vergleiche die beiden Längen.

1. \(\frac{5}{12}=0{,}41666\dots=0{,}41\overline{6}\). Die Periode besteht aus einer Ziffer und hat die Länge \(1\). 2. \(\frac{7}{11}=0{,}636363\dots=0{,}\overline{63}\). Die Periode besteht aus zwei Ziffern und hat die Länge \(2\). 3. Damit hat \(\frac{7}{11}\) die längere Periode.

\(\frac{5}{12}=0{,}41\overline{6}\) mit Periodenlänge \(1\). \(\frac{7}{11}=0{,}\overline{63}\) mit Periodenlänge \(2\). \(\frac{7}{11}\) hat die längere Periode.

- Führe die Division so lange fort, bis ein bereits aufgetretener Rest wiederkehrt. - Der wiederholte Ziffernblock zwischen zwei gleichen Restzuständen bildet die Periode. - Vergleiche anschließend die Zahl der Ziffern in den beiden Perioden.

1. Für \(A\) gilt \(4:11=0{,}3636\dots=0{,}\overline{36}\). Die Periode hat Länge \(2\). 2. Bei \(B\) entstehen in der schriftlichen Division nacheinander die Quotientenziffern \(3,8,4,6,1,5\); danach kehrt der Ausgangsrest wieder. Daher ist \(B=0{,}\overline{384615}\) mit Periodenlänge \(6\). 3. Somit hat \(B\) die längere Periode.

a) \(A=0{,}\overline{36}\); \(B=0{,}\overline{384615}\) b) \(A\): Periodenlänge \(2\); \(B\): Periodenlänge \(6\). Also hat \(B\) die längere Periode.

- Prüfe, ob eine angegebene Dezimalzahl endet oder ob sich Ziffern wiederholen müssten. - Schau genau, über welchen Ziffern ein Periodenstrich steht. - Bei Brüchen kannst du durch Division kontrollieren, welche Ziffernfolge tatsächlich entsteht.

1. Bei a) wurde die Wiederholung weggelassen. Es gilt \(\frac{2}{11}=0{,}1818\dots=0{,}\overline{18}\). 2. Bei b) steht der Periodenstrich nur über der \(5\). Deshalb wiederholt sich nur diese Ziffer: \(0{,}4\overline{5}=0{,}4555\dots\). 3. Bei c) wurde \(\frac{1}{3}\) fälschlich abgeschnitten. Richtig ist \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\) und damit \(\frac{2}{3}=0{,}\overline{6}\). 4. Bei d) wurde die Wiederholung der zweistelligen Ziffernfolge nicht notiert. Richtig ist \(\frac{8}{99}=0{,}\overline{08}\).

a) \(\frac{2}{11}=0{,}\overline{18}\) b) \(0{,}4\overline{5}=0{,}4555\dots\) c) \(\frac{2}{3}=0{,}\overline{6}\) d) \(\frac{8}{99}=0{,}\overline{08}\)

- Schreibe bei Bedarf Brüche als Dezimalzahlen und periodische Dezimalzahlen einige Stellen weit aus. - Unterscheide eine endliche Dezimalzahl von einer Darstellung, deren Ziffern sich ohne Ende wiederholen. - Vergleiche bei c) und d) die Dezimalstellen von links nach rechts.

1. a) ist falsch. \(\frac{6}{10}=0{,}6\) endet, während \(0{,}\overline{6}\) weitergeht. Es gilt \(0{,}\overline{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\). 2. b) ist richtig. \(\frac{45}{99}\) kürzt sich zu \(\frac{5}{11}\), und beide haben die Dezimaldarstellung \(0{,}\overline{45}\). 3. c) ist richtig. \(0{,}\overline{3}=0{,}3333\dots\), während \(0{,}34=0{,}3400\dots\). An der Hundertstelstelle ist \(3<4\). 4. d) ist richtig. \(\frac{1}{6}=0{,}1\overline{6}=0{,}1666\dots\) und ist daher größer als \(0{,}1600\dots\).

a) Falsch; \(0{,}\overline{6}=\frac{2}{3}\). b) Richtig. c) Richtig. d) Richtig.

- Zerlege \(140\) in Primfaktoren. - Welcher Primfaktor muss beim Kürzen verschwinden, damit nur \(2\) und \(5\) im Nenner bleiben? - Welche Zähler können diesen Faktor wegkürzen? - Zähle anschließend die passenden Vielfachen im angegebenen Bereich.

1. Es gilt \(140=2^2\cdot5\cdot7\). 2. Nach dem Kürzen dürfen im Nenner nur die Primfaktoren \(2\) und \(5\) übrig bleiben. 3. Deshalb muss der Faktor \(7\) gekürzt werden. Der Zähler muss also ein Vielfaches von \(7\) sein. 4. Zwischen \(1\) und \(139\) sind das \(7,14,21,\dots,133\). 5. Es gibt \(19\) solche Vielfachen.

Genau die Vielfachen von \(7\) zwischen \(1\) und \(139\) sind möglich: \(7,14,21,\dots,133\). Insgesamt gibt es \(19\) Zähler.

- Suche für a) einen Bruch, bei dem sich der Faktor \(3\) beim Kürzen aus dem Nenner entfernen lässt. - Vergleiche den ursprünglichen Nenner mit dem Nenner nach dem vollständigen Kürzen. - Überlege für b), welche Primfaktoren bei einer endlichen Dezimalzahl im gekürzten Nenner vorkommen dürfen.

1. Ein Gegenbeispiel ist \(\frac{3}{6}\). Der ursprüngliche Nenner \(6\) ist durch \(3\) teilbar, aber \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0{,}5\) ist endlich. 2. Entscheidend ist deshalb nicht der ursprüngliche Nenner, sondern der vollständig gekürzte Nenner. 3. Eine Dezimaldarstellung ist periodisch, wenn der vollständig gekürzte Nenner mindestens einen Primfaktor außer \(2\) und \(5\) enthält.

a) Zum Beispiel \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0{,}5\). b) Periodisch ist die Dezimaldarstellung, wenn im vollständig gekürzten Nenner ein Primfaktor außer \(2\) und \(5\) vorkommt.

- Führe die schriftliche Division für die ersten Beispiele sorgfältig durch. - Achte darauf, wie viele Stellen die Periode hat, wenn der Nenner \(9\) oder \(99\) ist. - Kannst du einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der Neunen im Nenner und der Länge der Periode sehen?

1. Berechnung der ersten Brüche: \(\frac{1}{9} = 0{,}\overline{1}\), \(\frac{2}{9} = 0{,}\overline{2}\), \(\frac{3}{9} = 0{,}\overline{3}\). 2. Mustererkennung: Die Ziffer im Zähler entspricht der sich wiederholenden Ziffer in der Periode. 3. Anwendung auf Teil b: \(\frac{7}{9} = 0{,}\overline{7}\) und \(\frac{8}{9} = 0{,}\overline{8}\). 4. Erweiterung auf Nenner 99: \(\frac{1}{99} = 0{,}\overline{01}\). Hier ist die Periode zweistellig und entspricht dem Zähler (mit führender Null). 5. Überprüfung für \(\frac{12}{99}\): \(12 : 99 = 0{,}1212\dots = 0{,}\overline{12}\). Die Vermutung bestätigt sich: Der zweistellige Zähler bildet die Periode.

a) \(\frac{1}{9} = 0{,}\overline{1}\); \(\frac{2}{9} = 0{,}\overline{2}\); \(\frac{3}{9} = 0{,}\overline{3}\). Die Ziffer im Zähler wiederholt sich unendlich. b) \(\frac{7}{9} = 0{,}\overline{7}\); \(\frac{8}{9} = 0{,}\overline{8}\). c) \(\frac{1}{99} = 0{,}\overline{01}\); \(\frac{12}{99} = 0{,}\overline{12}\). Die Periode ist zweistellig.

- Schau dir an, mit welcher Ziffer die Division jeweils beginnt. - Bleiben die Ziffern in ihrer relativen Reihenfolge gleich, wenn man sie im Kreis anordnet? - Teile die Periode in zwei gleich lange Hälften und vergleiche die Ziffern an den entsprechenden Positionen.

1. Analyse der Ziffernfolge: Die Brüche \(\frac{k}{7}\) sind zyklische Verschiebungen der Folge \(142857\). 2. Bestimmung von \(\frac{2}{7}\): Da \(2 : 7\) mit \(0{,}2\dots\) beginnt, startet die Periode bei der Ziffer 2: \(0{,}\overline{285714}\). 3. Bestimmung von \(\frac{3}{7}\): Da \(3 : 7\) mit \(0{,}4\dots\) beginnt, startet die Periode bei der Ziffer 4: \(0{,}\overline{428571}\). 4. Addition der Ziffernpaare in \(142857\): \(1+8=9\), \(4+5=9\), \(2+7=9\). Alle Summen ergeben 9.

a) \(\frac{2}{7} = 0{,}\overline{285714}\) und \(\frac{3}{7} = 0{,}\overline{428571}\) (zyklische Verschiebung). b) Die Summe der Ziffernpaare (\(1+8, 4+5, 2+7\)) ist immer 9.

- Berechne die Divisionen sorgfältig und achte auf die Vielfachen von 9. - Wie hängen die Ziffern in der Periode mit dem Zähler zusammen? - Was passiert, wenn man einen Bruch mit 9 im Nenner betrachtet? Ist die Periode dort auch zweistellig?

1. Berechnung: \(\frac{1}{11} = 0{,}0909\dots = 0{,}\overline{09}\); \(\frac{2}{11} = 0{,}1818\dots = 0{,}\overline{18}\); \(\frac{3}{11} = 0{,}2727\dots = 0{,}\overline{27}\). 2. Regelmäßigkeit a): Die zweistellige Periode entspricht immer dem Neunfachen des Zählers (\(k \cdot 9\)). 3. Anwendung b): Für \(\frac{7}{11}\) ist \(7 \cdot 9 = 63\), also \(0{,}\overline{63}\). Für \(\frac{9}{11}\) ist \(9 \cdot 9 = 81\), also \(0{,}\overline{81}\). 4. Vergleich c): \(\frac{1}{9} = 0{,}\overline{1}\) und \(\frac{2}{9} = 0{,}\overline{2}\). Hier entspricht die (einstellige) Periode direkt dem Zähler.

a) \(\frac{1}{11} = 0{,}\overline{09}\), \(\frac{2}{11} = 0{,}\overline{18}\), \(\frac{3}{11} = 0{,}\overline{27}\). Die Periode ist das Neunfache des Zählers. b) \(\frac{7}{11} = 0{,}\overline{63}\) und \(\frac{9}{11} = 0{,}\overline{81}\). c) Ja, bei Nenner 9 ist die Periode direkt die Ziffer des Zählers (\(\frac{1}{9} = 0{,}\overline{1}\), \(\frac{2}{9} = 0{,}\overline{2}\)).

- Beobachte in a) die Reste der schriftlichen Division. - Schreibe in b) den Bruch mit dem Nenner \(99\); dann lässt sich die Periode direkt erkennen. - Vergleiche in c) die ersten Nachkommastellen und den Beginn des wiederholten Blocks mit Teil a).

1. Die Division \(1:11\) ergibt \(0{,}0909\dots=0{,}\overline{09}\). 2. Für b) gilt \(\frac{3}{11}=\frac{27}{99}\). Daher ist \(\frac{3}{11}=0{,}\overline{27}\). 3. Die Division \(1:110\) ergibt \(0{,}0090909\dots=0{,}0\overline{09}\). 4. Der wiederholte Block \(09\) ist derselbe wie bei \(\frac{1}{11}\), beginnt aber eine Stelle später.

a) \(0{,}\overline{09}\) b) \(0{,}\overline{27}\) c) \(0{,}0\overline{09}\); die Periode \(09\) beginnt eine Stelle später.

- Führe die Division so weit aus, bis du einen wiederholten Ziffernblock erkennst. - Vergleiche in a) den Zähler mit dem Block, der sich nach dem Komma wiederholt. - Schreibe bei c) die ersten sechs Nachkommastellen auf und prüfe, ob auch eine Null regelmäßig wiederkehrt.

1. Es gilt \(\frac{13}{99}=0{,}\overline{13}\). Die Periode ist \(13\). 2. Außerdem gilt \(\frac{123}{999}=0{,}\overline{123}\). Die Periode ist \(123\). 3. In diesen beiden Beispielen erscheinen die Ziffern des Zählers als wiederholter Ziffernblock. 4. Für \(\frac{7}{99}\) ergibt die Division \(0{,}070707\dots\). Daher ist \(\frac{7}{99}=0{,}\overline{07}\). Die Null gehört zur Periode.

a) \(\frac{13}{99}=0{,}\overline{13}\); \(\frac{123}{999}=0{,}\overline{123}\) b) In beiden Beispielen wiederholen sich die Ziffern des Zählers. c) \(\frac{7}{99}=0{,}\overline{07}\)

- Kürze jeden Bruch zuerst vollständig. - Untersuche danach nur den Nenner des gekürzten Bruchs. - Prüfe, ob dort außer \(2\) und \(5\) noch ein anderer Primfaktor vorkommt.

1. \(\frac{21}{375}=\frac{7}{125}\). Der Nenner enthält nur den Primfaktor \(5\); die Dezimaldarstellung ist endlich. 2. \(\frac{21}{500}\) ist bereits vollständig gekürzt. Der Nenner enthält nur \(2\) und \(5\); die Dezimaldarstellung ist endlich. 3. \(\frac{21}{1125}=\frac{7}{375}\). Im Nenner bleibt der Primfaktor \(3\); die Dezimaldarstellung ist periodisch. 4. \(\frac{21}{1375}\) ist vollständig gekürzt. Im Nenner bleibt der Primfaktor \(11\); die Dezimaldarstellung ist periodisch. 5. \(\frac{21}{1750}=\frac{3}{250}\). Der Nenner enthält nur \(2\) und \(5\); die Dezimaldarstellung ist endlich.

Endlich sind \(\frac{21}{375}\), \(\frac{21}{500}\) und \(\frac{21}{1750}\).

- Notiere dir bei der schriftlichen Division von \(\frac{1}{13}\) alle Reste, die nacheinander entstehen. - Vergleiche diese Resteliste mit dem Startwert (Zähler) der anderen Brüche. - Wenn ein Zähler bereits als Rest in einer anderen Rechnung auftauchte, was bedeutet das für die Ziffernfolge?

1. Division für \(\frac{1}{13}\): \(1 : 13 = 0{,}\overline{076923}\). Die auftretenden Reste sind \(10, 9, 12, 3, 4, 1\). 2. Division für \(\frac{3}{13}\): \(3 : 13 = 0{,}\overline{230769}\). Die Ziffernfolge ist eine zyklische Verschiebung der Folge von \(\frac{1}{13}\). 3. Erklärung der Verschiebung: Da der Rest \(3\) in der Restefolge von \(1 : 13\) vorkommt, muss die Division von \(3 : 13\) ab diesem Punkt die gleichen Ziffern liefern. 4. Division für \(\frac{2}{13}\): \(2 : 13 = 0{,}\overline{153846}\). 5. Vergleich: Die Ziffernfolge ist völlig anders. Da der Rest \(2\) nicht in der Restefolge von \(1 : 13\) (\(10, 9, 12, 3, 4, 1\)) vorkam, startet hier ein neuer „Zyklus“ mit anderen Ziffern.

a) \(\frac{1}{13} = 0{,}\overline{076923}\) und \(\frac{3}{13} = 0{,}\overline{230769}\). Die Ziffernfolgen sind identisch, aber gegeneinander verschoben. b) \(\frac{2}{13} = 0{,}\overline{153846}\). Dieser Bruch gehört nicht zur gleichen Familie, da die Ziffernfolge eine andere ist. Das liegt daran, dass der Rest 2 bei der Division von 1 durch 13 nie auftritt.