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- Haben die beiden Brüche schon gleich große Bruchstücke? - Bei gleichem Nenner bleibt die Größe der Bruchstücke unverändert. - Prüfe zum Schluss, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler größer als \(1\) haben.

1. Beide Brüche haben bereits denselben Nenner. 2. Addiere die Zähler: \(\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}\). 3. \(\frac{5}{8}\) ist vollständig gekürzt.

\(\frac{5}{8}\)

- Vergleiche nur die Nenner der beiden Brüche in jeder Addition. - Wann dürfen bei einer Bruchaddition die Zähler direkt zusammengefasst werden? - Du musst die Additionen nicht vollständig ausrechnen.

1. Bei A haben beide Brüche bereits denselben Nenner \(8\). 2. Deshalb können die Zähler direkt addiert werden. Bei B sind die Nenner verschieden und müssten zuerst gleichnamig gemacht werden.

A), weil beide Brüche bereits den Nenner \(8\) haben.

- Prüfe zuerst, ob die Nenner bereits gleich sind. - Bei gleichen Nennern bleibt der Nenner erhalten. - Kontrolliere am Ende, ob Zähler und Nenner noch einen gemeinsamen Teiler haben.

1. Die Brüche haben denselben Nenner \(9\), daher werden die Zähler subtrahiert. 2. \(\frac{7}{9}-\frac{2}{9}=\frac{5}{9}\). Der Bruch ist bereits vollständig gekürzt.

\(\frac{5}{9}\)

- Wandle zuerst alle Angaben in die jeweils verlangte kleinere Einheit um. - Führe Addition oder Subtraktion erst aus, wenn beide Größen dieselbe Einheit haben. - Prüfe am Ende, ob jede Antwort tatsächlich in der verlangten Einheit steht.

1. Wandle die Bruchteile jeweils in die verlangte kleinere Einheit um. 2. \(\frac{3}{10}\,\text{km}=300\,\text{m}\), also \(300\,\text{m}+450\,\text{m}=750\,\text{m}\). 3. \(1\,\text{h}=60\,\text{min}\) und \(\frac{1}{12}\,\text{h}=5\,\text{min}\), also \(60\,\text{min}-5\,\text{min}=55\,\text{min}\). 4. \(\frac{1}{4}\,\text{t}=250\,\text{kg}\), also \(250\,\text{kg}-120\,\text{kg}=130\,\text{kg}\). 5. \(\frac{7}{20}\,\text{l}=350\,\text{ml}\), also \(350\,\text{ml}+150\,\text{ml}=500\,\text{ml}\).

a) \(750\,\text{m}\) b) \(55\,\text{min}\) c) \(130\,\text{kg}\) d) \(500\,\text{ml}\)

- Was bedeutet es, Brüche zu „erweitern“? - Wie findest du eine Zahl, die in der Malreihe beider Nenner vorkommt? - Welche Rechenregel gilt für die Addition von Brüchen mit gleichem Nenner?

1. Bestimmung des kgV von 15 und 12: Primfaktorzerlegung \(15 = 3 \cdot 5\) und \(12 = 2^2 \cdot 3\). Das \(\operatorname{kgV}(15, 12) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60\). 2. Erweiterung der Brüche: \(\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60}\) und \(\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}\). 3. Addition: \(\frac{28}{60} + \frac{25}{60} = \frac{53}{60}\). Da 53 eine Primzahl ist, lässt sich der Bruch nicht weiter kürzen.

a) \(\operatorname{kgV} = 60\) b) \(\frac{28}{60}\) und \(\frac{25}{60}\) c) \(\frac{53}{60}\)

- Was musst du bei Brüchen mit gleichem Nenner beachten, wenn du sie addierst oder subtrahierst? - Kannst du die Zähler zuerst zusammenrechnen und den Nenner beibehalten? - Schau dir das Endergebnis genau an: Gibt es eine Zahl, durch die du sowohl den Zähler als auch den Nenner teilen kannst?

1. Addition der Zähler bei gleichem Nenner: \(7 + 5 + 11 = 23\). Ergebnis \(\frac{23}{24}\). Keine Kürzung möglich. 2. Verrechnung der Zähler: \(31 - 11 + 4 = 24\). Ergebnis \(\frac{24}{45}\). Kürzen durch 3 ergibt \(\frac{8}{15}\). 3. Verrechnung der Zähler: \(19 + 23 - 7 = 35\). Ergebnis \(\frac{35}{60}\). Kürzen durch 5 ergibt \(\frac{7}{12}\).

a) \(\frac{23}{24}\) b) \(\frac{8}{15}\) c) \(\frac{7}{12}\)

- Könnte es helfen, alle Brüche in der Gleichung auf denselben Nenner zu bringen? - Wenn die Nenner links und rechts vom Gleichheitszeichen gleich sind, was muss dann für die Zähler gelten? - Behandle die Zähler wie eine kleine Rätselaufgabe für sich.

1. Bringen der rechten Seite auf den Nenner 18: \(\frac{2}{3} = \frac{12}{18}\). Vergleich der Zähler: \(x + 5 = 12 \Rightarrow x = 7\). 2. Bringen der rechten Seite auf den Nenner 30: \(\frac{1}{6} = \frac{5}{30}\). Vergleich der Zähler: \(17 - x = 5 \Rightarrow x = 12\). 3. Darstellung der 1 als Bruch: \(1 = \frac{42}{42}\). Vergleich der Zähler: \(25 + x - 11 = 42 \Rightarrow 14 + x = 42 \Rightarrow x = 28\).

a) \(x = 7\) b) \(x = 12\) c) \(x = 28\)

- Kannst du den Start- und Endwert mit dem gleichen Nenner schreiben? - Was musst du rechnen, um den Unterschied zwischen zwei Zuständen zu finden? - Vergiss nicht, dein Ergebnis am Ende so weit wie möglich zu kürzen.

1. Bestimmung des Startwerts: \(\frac{1}{5}\) 2. Bestimmung des Endwerts: \(\frac{13}{15}\) 3. Berechnung der Differenz durch Erweitern auf den Hauptnenner 15: \(\frac{13}{15} - \frac{3}{15} = \frac{10}{15}\) 4. Kürzen des Bruchs: \(\frac{10}{15} = \frac{2}{3}\)

Es wurden \(\frac{2}{3}\) der Akkukapazität aufgeladen.

- Vergleiche die Größe der beteiligten Brüche grob miteinander. - Was passiert mit einem Wert, wenn man eine positive Zahl dazu addiert? - Überlege, welche Regel man beim Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern anwenden muss.

1. Vergleich der Brüche: Da \( \frac{2}{3} = \frac{14}{21} \) und \( \frac{3}{7} = \frac{9}{21} \), ist \( \frac{3}{7} < \frac{2}{3} \). 2. Logische Schlussfolgerung: Bei der Addition einer positiven Zahl (\( \frac{1}{4} \)) zu \( \frac{2}{3} \) muss die Summe größer als der erste Summand sein. Sarah erkennt durch Schätzen, dass Tims Ergebnis kleiner ist. 3. Fehleranalyse: Tim hat Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner addiert, anstatt die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Sarah hat recht, weil die Summe zweier positiver Brüche immer größer sein muss als jeder der einzelnen Brüche; \( \frac{3}{7} \) ist jedoch kleiner als \( \frac{2}{3} \). Tims Fehler war, dass er einfach Zähler und Nenner addiert hat, ohne einen gemeinsamen Nenner zu bilden.

- Was musst du tun, um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren? - Wie kannst du feststellen, ob eine Menge größer oder kleiner als ein Ganzes ist? - Könnte es helfen, alle Angaben auf den gleichen „Namen“ (Nenner) zu bringen?

1. Bestimmung des gemeinsamen Nenners für die Brüche \(\frac{3}{8}\), \(\frac{1}{4}\) und \(\frac{1}{2}\): Der Hauptnenner ist \(8\). 2. Umrechnung der Brüche: \(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\) und \(\frac{1}{2} = \frac{4}{8}\). 3. Addition der Brüche: \(\frac{3}{8} + \frac{2}{8} + \frac{4}{8} = \frac{9}{8}\). 4. Umwandlung in eine gemischte Zahl: \(\frac{9}{8} = 1 \frac{1}{8}\). 5. Vergleich mit dem Fassungsvermögen: Da \(1 \frac{1}{8} > 1\), reicht die 1-Liter-Karaffe nicht aus.

Mia erhält insgesamt \(1 \frac{1}{8}\) Liter Schorle. Die 1-Liter-Karaffe reicht nicht aus, da \(1 \frac{1}{8} > 1\) gilt.

- Was ist der Zielwert des gesamten Taktes als Bruch? - Wie kannst du alle Notenwerte auf denselben Nenner bringen, um sie besser vergleichen zu können? - Wie viel fehlt noch von der vorhandenen Note bis zum vollen Takt?

1. Berechnung des Gesamtwerts des Taktes in Sechzehnteln: \(\frac{2}{4} = \frac{8}{16}\). 2. Umrechnung der vorhandenen punktierten Viertelnote in Sechzehntel: \(\frac{3}{8} = \frac{6}{16}\). 3. Berechnung der Differenz: \(\frac{8}{16} - \frac{6}{16} = \frac{2}{16}\). 4. Bestimmung der Anzahl der benötigten Noten: Da jede Sechzehntelnote \(\frac{1}{16}\) wert ist, werden genau 2 Sechzehntelnoten benötigt.

Es müssen 2 Sechzehntelnoten ergänzt werden.

- Könntest du die Dezimalzahlen zuerst als Brüche schreiben? - Hilft es dir, wenn alle Brüche in einer Aufgabe denselben Nenner haben? - Wie viel fehlt von der ersten Zahl bis zum Ergebnis?

1. Umrechnung der Dezimalzahl in einen Bruch mit dem Nenner 10: \( 0{,}3 = \frac{3}{10} \). 2. Erweitern des Zielbruchs auf den Nenner 10: \( \frac{4}{5} = \frac{8}{10} \). 3. Aufstellen der Gleichung für die Zähler: \( 3 + \square = 8 \), woraus \( \square = 5 \) folgt. 4. Umrechnung der Dezimalzahl in einen Bruch: \( 0{,}5 = \frac{1}{2} \). 5. Erweitern aller Brüche auf den Hauptnenner 16: \( \frac{14}{16} - \frac{\square}{16} = \frac{8}{16} \). 6. Aufstellen der Gleichung für die Zähler: \( 14 - \square = 8 \), woraus \( \square = 6 \) folgt.

a) \( \square = 5 \) b) \( \square = 6 \)

- Vergleiche die Größe der einzelnen Brüche mit dem Ergebnis. - Was passiert mit dem Wert eines Bruches, wenn man eine positive Zahl dazu addiert? - Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für 5 und 3? - Denk daran, dass man beim Addieren von Brüchen nur die Zähler addiert, nachdem sie denselben Nenner haben.

1. Begründung der Unstimmigkeit: Der Bruch \(\frac{2}{5}\) entspricht \(0{,}4\). Lukas' Ergebnis \(\frac{3}{8}\) entspricht \(0{,}375\). Da \(\frac{3}{8}\) kleiner ist als der erste Summand \(\frac{2}{5}\), kann das Ergebnis der Addition mit einer weiteren positiven Zahl nicht stimmen. 2. Bestimmung des Hauptnenners: Das kleinste gemeinsame Vielfache von \(5\) und \(3\) ist \(15\). 3. Erweitern der Brüche: \(\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}\) und \(\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}\). 4. Addition der Zähler: \(\frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}\).

a) Das Ergebnis kann nicht stimmen, da \(\frac{3}{8}\) kleiner ist als \(\frac{2}{5}\) (denn \(\frac{15}{40} < \frac{16}{40}\)). Eine Summe positiver Zahlen ist aber größer als jeder einzelne Summand. b) Das richtige Ergebnis ist \(\frac{11}{15}\).

- Bringe alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. - Überlege, welchen Zähler der zweite Bruch nach dem Erweitern auf Nenner \(12\) haben muss. - Prüfe die gefundene Zahl in der ursprünglichen Gleichung.

1. Der Hauptnenner von \(6\), \(4\) und \(12\) ist \(12\). 2. Es gilt \(\frac{1}{6}=\frac{2}{12}\) und \(\frac{\square}{4}=\frac{3\square}{12}\). 3. Daher muss \(2+3\square=11\) gelten. Also ist \(3\square=9\) und damit \(\square=3\). 4. Probe: \(\frac{1}{6}+\frac{3}{4}=\frac{2}{12}+\frac{9}{12}=\frac{11}{12}\).

Auf den Nenner \(12\) gebracht gilt \(\frac{1}{6}=\frac{2}{12}\) und \(\frac{\square}{4}=\frac{3\square}{12}\). Deshalb ist \(2+3\square=11\), also \(\square=3\).

- Welches Ziel hat der Hauptnenner beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen? - Wie kann ein Bruch erweitert werden, ohne seinen Wert zu verändern? - Was darfst du direkt subtrahieren, sobald die Nenner gleich sind?

1. Bestimme einen möglichst kleinen gemeinsamen Nenner der beiden Brüche. Der Hauptnenner ist \(12\). 2. Erweitere beide Brüche auf diesen Nenner: \(\frac{5}{6} = \frac{10}{12}\) und \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\). 3. Subtrahiere die Zähler bei unverändertem Nenner: \(\frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}\).

Zuerst bestimmt man den Hauptnenner \(12\). Dann erweitert man die Brüche zu \(\frac{10}{12}\) und \(\frac{3}{12}\) und subtrahiert die Zähler. Das Ergebnis ist \(\frac{7}{12}\).

- Welcher Stammbruch ist etwas kleiner als der gesuchte Bruch? - Was bleibt übrig, wenn du diesen Stammbruch vom ursprünglichen Bruch abziehst? - Kannst du den Rest als einen weiteren Stammbruch erkennen?

1. Suche einen Stammbruch, der kleiner ist als \(\frac{3}{4}\), zum Beispiel \(\frac{1}{2}\). 2. Berechne die Differenz: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}\). 3. Da das Ergebnis \(\frac{1}{4}\) ebenfalls ein Stammbruch ist und sich von \(\frac{1}{2}\) unterscheidet, lautet die Summe: \(\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\).

\(\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\). Wähle zum Beispiel \(\frac{1}{2}\); der Rest ist \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\). Damit sind beide Summanden unterschiedliche Stammbrüche.

- Erinnere dich, wie man Brüche mit gleichem Nenner addiert. - Suche nach Zahlen, die Teiler von \(12\) sind und zusammen \(5\) ergeben. - Vergiss nicht zu kürzen, um echte Stammbrüche zu erhalten.

1. Zerlegung in gleiche Stammbrüche: Der Zähler \(5\) bestimmt die Anzahl der Summanden. Es gilt \(\frac{5}{12} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}\). 2. Suche nach verschiedenen Stammbrüchen: Es werden Teiler des Nenners \(12\) gesucht, deren Summe den Zähler \(5\) ergibt. Die Teiler von \(12\) sind \(1, 2, 3, 4, 6, 12\). 3. Möglichkeit 1: Die Summe \(2 + 3 = 5\) führt zu \(\frac{2}{12} + \frac{3}{12}\). Gekürzt ergibt dies \(\frac{1}{6} + \frac{1}{4}\). Rechnung: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}\). 4. Möglichkeit 2: Die Summe \(1 + 4 = 5\) führt zu \(\frac{1}{12} + \frac{4}{12}\). Gekürzt ergibt dies \(\frac{1}{12} + \frac{1}{3}\). Rechnung: \(\frac{1}{12} + \frac{1}{3} = \frac{1}{12} + \frac{4}{12} = \frac{5}{12}\).

a) \(\frac{5}{12}=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}\) b) Zum Beispiel \(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}\). Ebenfalls möglich ist \(\frac{1}{3}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12}+\frac{1}{12}=\frac{5}{12}\).

- Bringe die Stammbrüche einer Darstellung zunächst auf einen gemeinsamen Nenner. - Addiere erst danach die Zähler und kürze das Ergebnis, falls möglich. - Vergleiche deinen gekürzten Bruch jeweils mit dem vorgegebenen Zielbruch.

1. Für die erste Darstellung gilt \(\frac{1}{5}+\frac{1}{45}=\frac{9}{45}+\frac{1}{45}=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}\). 2. Für die zweite Darstellung gilt \(\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{90}=\frac{10}{90}+\frac{9}{90}+\frac{1}{90}=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}\). 3. Damit sind beide vorgegebenen Zerlegungen korrekt.

a) \(\frac{9}{45}+\frac{1}{45}=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}\) b) \(\frac{10}{90}+\frac{9}{90}+\frac{1}{90}=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}\)

- Prüfe die vorgegebene Zerlegung zuerst mit einem gemeinsamen Nenner. - Eine Teilrechnung darf in einer Summe durch eine gleichwertige Darstellung ersetzt werden. - Kontrolliere am Ende, dass die drei Stammbrüche tatsächlich verschieden sind.

1. Zur Überprüfung gilt \(\frac{1}{6}+\frac{1}{30}=\frac{5}{30}+\frac{1}{30}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\). 2. Ersetze in \(\frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\) einen Summanden durch die gleichwertige Zerlegung. 3. Dadurch entsteht \(\frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}\). Die drei Stammbrüche sind verschieden.

a) \(\frac{1}{6}+\frac{1}{30}=\frac{1}{5}\) b) \(\frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}\)

- Was passiert, wenn du einen Kuchen in drei gleich große Teile schneidest und zwei davon nimmst? Wie lässt sich das als Summe schreiben? - Kannst du einen Teil deiner ersten Lösung durch etwas Gleichwertiges ersetzen, das im Text gegeben ist? - Achte darauf, dass in der zweiten Lösung alle Nenner unterschiedlich sein müssen.

1. Darstellung als Summe von zwei gleichen Stammbrüchen: Da \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\), ist die Lösung \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\). 2. Darstellung als Summe von drei verschiedenen Stammbrüchen: Man ersetzt einen der Brüche \(\frac{1}{3}\) durch die gegebene Zerlegung \(\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\). Damit ergibt sich \(\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\). Alle drei Stammbrüche sind verschieden.

1. \(\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\) 2. \(\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\)

- Was zeichnet einen Stammbruch aus? - Was musst du tun, bevor du Brüche mit verschiedenen Nennern addierst? - Schau dir die Teiler des Nenners 6 an.

1. Ein Stammbruch hat die Form \(\frac{1}{n}\). 2. Suche zwei Brüche \(\frac{1}{a}\) und \(\frac{1}{b}\), deren Summe \(\frac{5}{6}\) ergibt. 3. Durch Probieren oder Überlegen der Teiler von 6 findet man \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\). 4. Rechnung: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\).

\(\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)

- Überlege, welcher Anteil zu \(\frac{1}{6}\) noch fehlt, damit \(\frac{1}{5}\) entsteht. - Bringe die beiden bekannten Brüche für diese Differenz auf einen gemeinsamen Nenner. - Setze deinen gefundenen Stammbruch anschließend in die ursprüngliche Summe ein.

1. Der fehlende Anteil ist die Differenz \(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\). 2. Mit dem gemeinsamen Nenner \(30\) gilt \(\frac{6}{30}-\frac{5}{30}=\frac{1}{30}\). 3. Setze \(\frac{1}{30}\) ein und prüfe: \(\frac{1}{6}+\frac{1}{30}=\frac{5}{30}+\frac{1}{30}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\).

\(\Box=\frac{1}{30}\). Nachweis mit Hauptnenner \(30\): \(\frac{1}{6}+\frac{1}{30}=\frac{5}{30}+\frac{1}{30}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\).

- Suche einen möglichst kleinen gemeinsamen Nenner, auf den sich beide Brüche erweitern lassen. - Was musst du beim Erweitern mit Zähler und Nenner gleichzeitig tun? - Prüfe nach der Addition, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben.

1. Bestimme den Hauptnenner: \(\operatorname{kgV}(12,18)=36\). 2. Erweitere: \(\frac{5}{12}=\frac{15}{36}\) und \(\frac{7}{18}=\frac{14}{36}\). 3. Addiere: \(\frac{15}{36}+\frac{14}{36}=\frac{29}{36}\). 4. \(29\) und \(36\) haben keinen gemeinsamen Teiler größer als \(1\); der Bruch ist vollständig gekürzt.

\(\frac{29}{36}\)

- Überlege dir zuerst, wie du die Aufgabe umstellen kannst, um die fehlende Zahl zu berechnen. - Welche Zahl ist der kleinste gemeinsame Nenner für 4 und 6? - Wie verändern sich die Zähler, wenn du die Nenner angleichst?

1. Umstellen der Gleichung zur Berechnung des Platzhalters: \(\square = \frac{3}{4} - \frac{1}{6}\). 2. Bestimmung des Hauptnenners von 4 und 6: \(\operatorname{kgV}(4, 6) = 12\). 3. Erweitern der Brüche auf den Nenner 12: \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\) und \(\frac{1}{6} = \frac{2}{12}\). 4. Subtraktion der Zähler: \(\frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}\).

\(\frac{7}{12}\)

- Um Brüche zu addieren, musst du sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen. - Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner in jeder Teilaufgabe? - Vergiss nicht, das Ergebnis am Ende so weit wie möglich zu kürzen, um es mit \(\frac{2}{3}\) vergleichen zu können.

1. Überprüfung von A: Bestimmung des Hauptnenners 6. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6}\). Kürzen durch 2 ergibt \(\frac{2}{3}\). (Richtig) 2. Überprüfung von B: Bestimmung des Hauptnenners 12. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} + \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{10}{12}\). Kürzen durch 2 ergibt \(\frac{5}{6}\). (Falsch) 3. Überprüfung von C: Bestimmung des Hauptnenners 30. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{15}{30} + \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{20}{30}\). Kürzen durch 10 ergibt \(\frac{2}{3}\). (Richtig)

A) \(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\), also richtig. B) \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{6}{12}+\frac{3}{12}+\frac{1}{12}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\), also falsch. C) \(\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{15}{30}+\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}\), also richtig. Damit sind A und C gleich \(\frac{2}{3}\).

- Musst du die Brüche erst gleichnamig machen? - Welcher Nenner bietet sich als gemeinsamer Nenner an? - Kannst du das Ergebnis am Ende noch vereinfachen?

1. Bestimmung des Hauptnenners für beide Teilaufgaben: In a) ist der Hauptnenner \(8\), in b) ist er \(6\). 2. Erweiterung der Brüche: \(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\) und \(\frac{1}{3} = \frac{2}{6}\). 3. Addition in a): \(\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}\). 4. Subtraktion in b): \(\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6}\). 5. Kürzen des Ergebnisses in b): \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

a) \(\frac{5}{8}\) b) \(\frac{1}{2}\)

- Um Brüche zu addieren, müssen sie denselben Nenner haben. - Kannst du einen der Brüche so erweitern, dass er den Nenner des anderen Bruchs erhält? - Wenn die Nenner gleich sind, musst du nur noch die Zähler vergleichen.

1. Berechnung von Teil a): Erste Summe \( \frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{7}{10} = 0{,}7 \). Zweite Summe \( \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} = 0{,}75 \). Da \( 0{,}75 > 0{,}7 \), ist \( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \) größer. 2. Berechnung von Teil b): Erste Summe \( \frac{10}{12} + \frac{1}{12} = \frac{11}{12} \). Zweite Summe \( \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12} \). Beide Summen sind gleich groß.

a) \( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \) ist größer. b) Beide Summen sind gleich groß (\( \frac{11}{12} \)).

- Schau dir die Summanden genau an. Gibt es Gemeinsamkeiten? - Wenn ein Teil der Rechnung identisch ist, worauf kommt es dann beim Rest an? - Erinnere dich daran, wie sich der Wert eines Bruchs ändert, wenn der Nenner größer wird.

1. Vergleich für a): Beide Summen enthalten den Summanden \( \frac{4}{11} \). Da \( \frac{3}{7} > \frac{2}{7} \), muss \( B \) größer als \( A \) sein. 2. Vergleich für b): Beide Summen enthalten \( \frac{1}{2} \). Da \( \frac{1}{5} > \frac{1}{6} \) (ein Fünftel ist größer als ein Sechstel eines Ganzen), ist \( C \) größer als \( D \). 3. Vergleich für c): \( E = \frac{2+1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \). \( F = \frac{4+5}{9} = \frac{9}{9} = 1 \). Beide Werte sind exakt gleich groß.

a) \( B \) ist größer, da \( \frac{3}{7} > \frac{2}{7} \). b) \( C \) ist größer, da \( \frac{1}{5} > \frac{1}{6} \). c) Beide sind gleich groß, da beide Summen genau \( 1 \) ergeben.

- Stelle dir die Lücke wie eine Variable \( x \) vor. - Wie würdest du vorgehen, wenn dort nur einfache positive Zahlen stünden? Nutze die Umkehroperationen. - Achte besonders bei Teilaufgabe c) auf das Minuszeichen vor der Lücke. - Es hilft oft, alle Zahlen zuerst auf den gleichen Nenner zu bringen, bevor man die Lücke bestimmt.

1. Umstellung der Gleichung: \( x = -\frac{1}{6} - \frac{2}{3} \). Hauptnenner 6: \( -\frac{1}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{5}{6} \). 2. Umstellung der Gleichung: \( x = -1 + \frac{3}{5} \). Umwandlung der Ganzzahl: \( -\frac{5}{5} + \frac{3}{5} = -\frac{2}{5} \). 3. Umstellung der Gleichung: \( x = -\frac{1}{2} - \frac{1}{8} \). Hauptnenner 8: \( -\frac{4}{8} - \frac{1}{8} = -\frac{5}{8} \).

a) \( -\frac{5}{6} \) b) \( -\frac{2}{5} \) c) \( -\frac{5}{8} \)

- Suche für Brüche mit verschiedenen Nennern jeweils eine geeignete gemeinsame Bruch-Einheit. - Ganze Zahlen kannst du passend zum vorhandenen Nenner als Bruch schreiben. - Beim Erweitern müssen Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert werden.

1. Für a) verwende den Hauptnenner \(12\): \(\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\) und \(\frac{1}{6}=\frac{2}{12}\). Damit ist \(\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12}\). 2. Für b) verwende den Hauptnenner \(15\): \(\frac{7}{5}=\frac{21}{15}\) und \(\frac{2}{3}=\frac{10}{15}\). Damit ist \(\frac{21}{15}-\frac{10}{15}=\frac{11}{15}\). 3. Für c) schreibe \(2=\frac{16}{8}\). Dann gilt \(\frac{16}{8}-\frac{5}{8}=\frac{11}{8}\).

a) \(\frac{7}{12}\) b) \(\frac{11}{15}\) c) \(\frac{11}{8}\) oder \(1\frac{3}{8}\)

- Unterscheide zwischen einem fehlenden Subtrahenden und einem fehlenden Minuenden. - Bilde jeweils die passende Umkehraufgabe. - Bringe die Brüche erst für die eigentliche Addition oder Subtraktion auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Im ersten Fall fehlt der Subtrahend. Er ist \(\frac{8}{3} - \frac{5}{4} = \frac{32}{12} - \frac{15}{12} = \frac{17}{12}\). 2. Im zweiten Fall fehlt der Minuend. Er ist \(\frac{7}{10} + \frac{1}{2} = \frac{7}{10} + \frac{5}{10} = \frac{6}{5}\).

a) \(\frac{17}{12}\) b) \(\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\)

- Zähle bei jedem Streifen zuerst alle gleich großen Teile und dann die markierten Teile. - Welche gemeinsame Bruch-Einheit ist in beiden Bildern bereits sichtbar? - Überlege, was der Nenner über die Größe eines einzelnen Bruchteils aussagt.

1. In A sind \(2\) von \(6\) Teilen markiert, also \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\). 2. In B sind \(3\) von \(6\) Teilen markiert, also \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\). 3. Mit der gemeinsamen Einheit Sechstel gilt \(\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}\). 4. Der Nenner beschreibt die Größe der gleich großen Teile. Beim Zusammenzählen bleiben es Sechstel; nur die Anzahl dieser Teile ändert sich.

a) A: \(\frac{1}{3}\); B: \(\frac{1}{2}\) b) \(\frac{5}{6}\) c) Beide Streifen sind in Sechstel geteilt; beim Addieren werden gleich große Teile gezählt, ihre Größe wird nicht verändert.

- Bestimme zuerst den Wert einer kleinen Teilstrecke zwischen \(0\) und \(1\). - Zähle die Teilstrecken von \(0\) bis zu jedem markierten Punkt. - Für die Differenz kannst du auch direkt die Schritte von A bis B zählen.

1. Eine Teilstrecke entspricht \(\frac{1}{8}\). 2. A liegt bei \(\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\); B liegt bei \(\frac{7}{8}\). 3. Daher gilt \(B-A=\frac{7}{8}-\frac{2}{8}=\frac{5}{8}\). 4. Zwischen A und B liegen fünf Teilstrecken von je \(\frac{1}{8}\).

a) \(A=\frac{1}{4}\), \(B=\frac{7}{8}\) b) \(\frac{5}{8}\) c) Der Abstand von A nach B umfasst fünf Achtelschritte.

- Welche Rechnung muss wegen der Klammer zuerst ausgeführt werden? - Auf welchen gemeinsamen Nenner kannst du die Bruchteile in der Klammer bringen? - Für die letzte Subtraktion müssen die Drittel und Zwölftel in derselben Bruchdarstellung stehen.

1. Bringe die Bruchteile in der Klammer auf den Nenner \(6\): \(2\frac{1}{2}=2\frac{3}{6}\). 2. Addiere: \(3\frac{5}{6}+2\frac{3}{6}=6\frac{1}{3}\). 3. Schreibe \(6\frac{1}{3}=6\frac{4}{12}\). 4. Subtrahiere: \(7\frac{5}{12}-6\frac{4}{12}=1\frac{1}{12}\).

Klammer: \(6\frac{1}{3}\) Gesamter Term: \(1\frac{1}{12}\)

- Schreibe die kleinere Einheit zunächst als Anteil der größeren Einheit. - Die umgewandelten Summanden sind Brüche mit verschiedenen Nennern; welcher gemeinsame Nenner passt jeweils? - Kürze erst die Einheitenumwandlung und am Ende das Ergebnis, falls möglich.

1. \(20\,\text{cm}=\frac{1}{5}\,\text{m}\). Daher \(\frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{3}{15}+\frac{5}{15}=\frac{8}{15}\,\text{m}\). 2. \(250\,\text{g}=\frac{1}{4}\,\text{kg}\). Daher \(\frac{1}{4}+\frac{2}{3}=\frac{3}{12}+\frac{8}{12}=\frac{11}{12}\,\text{kg}\). 3. \(15\,\text{min}=\frac{1}{4}\,\text{h}\). Daher \(\frac{1}{4}+\frac{2}{5}=\frac{5}{20}+\frac{8}{20}=\frac{13}{20}\,\text{h}\).

a) \(\frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{8}{15}\,\text{m}\) b) \(\frac{1}{4}+\frac{2}{3}=\frac{11}{12}\,\text{kg}\) c) \(\frac{1}{4}+\frac{2}{5}=\frac{13}{20}\,\text{h}\)

- Welche der gegebenen Zahlen lassen sich als einfache Brüche schreiben? - Suche einen gemeinsamen Nenner für die entstehenden Brüche. - Welche Zahl im Term besitzt keine endliche Dezimaldarstellung?

1. \(0{,}4=\frac{2}{5}\) und \(0{,}15=\frac{3}{20}\). 2. \(\frac{2}{5}+\frac{1}{3}-\frac{3}{20}=\frac{24}{60}+\frac{20}{60}-\frac{9}{60}=\frac{35}{60}=\frac{7}{12}\). 3. \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\) ist nicht als endliche Dezimalzahl darstellbar; eine endliche Dezimalnäherung wäre nicht exakt.

\(\frac{7}{12}\). Das Problem ist \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\): Eine ausschließlich endliche Dezimaldarstellung kann diesen Wert nicht exakt wiedergeben.

- Wie gehst du mit gemischten Zahlen um, bevor du rechnest? - Denk an die Vorrangregeln: Was passiert mit dem Teil in der Klammer? - Können Ergebnisse bei der Subtraktion von Brüchen auch negativ sein? - Überlege am Ende, ob du das Ergebnis wieder in eine gemischte Zahl umwandeln kannst.

1. Umwandlung der gemischten Zahl: \(1\frac{3}{8} = \frac{11}{8}\). Verrechnung der Zähler: \(11 + 7 - 5 = 13\). Ergebnis \(\frac{13}{8} = 1\frac{5}{8}\). 2. Berechnung des Klammerausdrucks: \(\frac{7+12}{15} = \frac{19}{15}\). Subtraktion: \(\frac{4-19}{15} = -\frac{15}{15} = -1\). 3. Umwandlung der gemischten Zahl: \(2\frac{1}{12} = \frac{25}{12}\). Verrechnung der Zähler: \(25 - 5 - 11 = 9\). Ergebnis \(\frac{9}{12}\). Kürzen durch 3 ergibt \(\frac{3}{4}\).

a) \(1\frac{5}{8}\) b) \(-1\) c) \(\frac{3}{4}\)

- Wie viel ist \(12 \cdot 15\)? Kannst du das im Kopf oder brauchst du eine Nebenrechnung? - Suche die kleinste Zahl, die sowohl in der 12er- als auch in der 15er-Reihe vorkommt. - Vergleiche die Größe der Zahlen, mit denen du in Schritt a) und Schritt b) rechnen musstest.

1. Berechnung Weg a: Gemeinsamer Nenner ist \(12 \cdot 15 = 180\). Erweiterung der Brüche: \(\frac{5 \cdot 15}{180} + \frac{7 \cdot 12}{180} = \frac{75}{180} + \frac{84}{180} = \frac{159}{180}\). Kürzen durch 3 ergibt \(\frac{53}{60}\). 2. Berechnung Weg b: Bestimmung des \(\operatorname{kgV}(12, 15)\). Vielfache von 12: 12, 24, 36, 48, 60, … Vielfache von 15: 15, 30, 45, 60. Das kgV ist 60. Erweiterung der Brüche: \(\frac{5 \cdot 5}{60} + \frac{7 \cdot 4}{60} = \frac{25}{60} + \frac{28}{60} = \frac{53}{60}\). 3. Vergleich: Weg b nutzt deutlich kleinere Zahlen beim Erweitern und Addieren. Ein anschließendes Kürzen ist bei Weg b nicht mehr nötig, da \(\frac{53}{60}\) bereits vollständig gekürzt ist.

a) \(\frac{159}{180} = \frac{53}{60}\) b) \(\frac{53}{60}\) mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner \(60\) c) Mit dem kgV arbeitet man mit kleineren Zahlen; dadurch wird die Rechnung übersichtlicher und das Ergebnis muss hier nicht mehr gekürzt werden.

- Liste einige gemeinsame Vielfache der drei Nenner auf und vergleiche sie mit dem vorgeschlagenen Nenner. - Welches gemeinsame Vielfache hält die Erweiterungsfaktoren möglichst klein? - Vergleiche anschließend, mit welchen Zählern du bei den möglichen gemeinsamen Nennern rechnen müsstest.

1. Suche das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner \(2\), \(3\) und \(4\). Das ist \(12\), denn \(12\) ist durch alle drei Nenner teilbar. 2. Erweitere die Brüche auf den Nenner \(12\): \(\frac{1}{2} = \frac{6}{12}\), \(\frac{1}{3} = \frac{4}{12}\) und \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\). 3. Addiere: \(\frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12}\). 4. Der kleinere gemeinsame Nenner ist günstiger, weil die Erweiterungsfaktoren und damit die Zahlen in der Rechnung kleiner bleiben.

Der kleinste gemeinsame Nenner ist \(12\). \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{13}{12}\). Der Nenner \(12\) ist günstiger als \(24\), weil mit kleineren Erweiterungsfaktoren gerechnet wird.

- Welche Rechenregel bestimmt, welchen Teil des Terms du zuerst bearbeiten musst? - Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Achte am Ende darauf, ob das Ergebnis noch vereinfacht werden kann.

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer durch Finden des Hauptnenners (\(12\)): \(\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}\). 2. Subtraktion des Klammerergebnisses vom ersten Bruch: \(\frac{5}{12} - \frac{7}{12} = -\frac{2}{12}\). 3. Kürzen des Bruchs durch den gemeinsamen Teiler \(2\): \(-\frac{1}{6}\).

\(-\frac{1}{6}\)

- Kannst du die Brüche in der Klammer so erweitern, dass sie denselben Nenner haben? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine größere Zahl von einer kleineren abziehst? - Wie gehst du vor, wenn du einen negativen Bruch und einen positiven Bruch addierst?

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Brüche in der Klammer (kgV von \(8\) und \(6\) ist \(24\)): \(\frac{3 \cdot 3}{24} - \frac{5 \cdot 4}{24} = \frac{9}{24} - \frac{20}{24} = -\frac{11}{24}\). 2. Addition des äußeren Bruchs zum Zwischenergebnis, wobei \(\frac{11}{12}\) auf den Nenner \(24\) erweitert wird: \(-\frac{11}{24} + \frac{22}{24}\). 3. Zusammenfassen der Zähler: \(\frac{-11 + 22}{24} = \frac{11}{24}\).

\(\frac{11}{24}\)

- Bei mehreren Klammern arbeitet man sich von innen nach außen vor. Welcher Teil steht ganz innen? - Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl. - Suche für jeden Schritt den passenden Hauptnenner.

1. Berechnung der inneren Klammer: Hauptnenner von \(10\) und \(4\) ist \(20\). \(\frac{6}{20} + \frac{5}{20} = \frac{11}{20}\). 2. Berechnung der äußeren Klammer: \(\frac{1}{2} - \frac{11}{20} = \frac{10}{20} - \frac{11}{20} = -\frac{1}{20}\). 3. Finale Subtraktion unter Berücksichtigung der Vorzeichenregeln: \(\frac{2}{5} - \left(-\frac{1}{20}\right) = \frac{2}{5} + \frac{1}{20}\). 4. Erweitern auf den Nenner \(20\): \(\frac{8}{20} + \frac{1}{20} = \frac{9}{20}\).

\(\frac{9}{20}\)

- Kannst du den Zähler 5 in zwei Zahlen zerlegen, die beide Teiler von 12 sind? - Was passiert, wenn du einen Bruch wie \(\frac{4}{12}\) kürzt? - Welche Zerlegungen von 5 bestehen aus zwei verschiedenen Teilern von 12?

1. Zerlegung durch Probieren oder Erweitern: Suche nach Teilern des Nenners 12, deren Summe den Zähler 5 ergibt. 2. Erste Möglichkeit: Da \(4 + 1 = 5\), gilt \(\frac{5}{12} = \frac{4}{12} + \frac{1}{12}\). Kürzen von \(\frac{4}{12}\) ergibt \(\frac{1}{3} + \frac{1}{12}\). 3. Zweite Möglichkeit: Da \(3 + 2 = 5\), gilt \(\frac{5}{12} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12}\). Kürzen beider Brüche ergibt \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6}\).

Zwei mögliche Darstellungen sind: 1. \(\frac{1}{3} + \frac{1}{12}\) 2. \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6}\)

- Welcher der Brüche ist größer als \(\frac{1}{2}\) und welcher ist kleiner? - Wie weit ist jeder der beiden Brüche jeweils von \(\frac{1}{2}\) entfernt? - Wenn du etwas hinzufügst, das kleiner ist als das, was du an anderer Stelle wegnimmst, ist das Gesamtergebnis dann größer oder kleiner als der Startwert?

1. Vergleich des ersten Summanden mit \(\frac{1}{2}\): \(\frac{21}{40} > \frac{20}{40}\), also \(\frac{21}{40} = \frac{1}{2} + \frac{1}{40}\). 2. Vergleich des zweiten Summanden mit \(\frac{1}{2}\): \(\frac{19}{42} < \frac{21}{42}\), also \(\frac{19}{42} = \frac{1}{2} - \frac{2}{42} = \frac{1}{2} - \frac{1}{21}\). 3. Vergleich der Abweichungen: Es muss geprüft werden, ob der „Überschuss“ \(\frac{1}{40}\) größer oder kleiner als der „Mangel“ \(\frac{1}{21}\) ist. 4. Da \(21 < 40\), ist \(\frac{1}{21} > \frac{1}{40}\). Der Mangel ist also größer als der Überschuss. 5. Schlussfolgerung: Die Summe ist kleiner als 1.

Die Summe ist kleiner als 1. Begründung: \(\frac{21}{40}\) ist um \(\frac{1}{40}\) größer als \(\frac{1}{2}\), während \(\frac{19}{42}\) um \(\frac{2}{42} = \frac{1}{21}\) kleiner als \(\frac{1}{2}\) ist. Da \(\frac{1}{21}\) größer ist als \(\frac{1}{40}\), überwiegt der Mangel, und die Summe bleibt unter 1.

- Kannst du die Brüche so erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben? - Ist es einfacher, die Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln oder umgekehrt? - Wenn der Zähler beim Abziehen zu klein ist, kannst du ein Ganzes in den Bruch umschreiben.

1. Teilaufgabe a: Erweitern von \(1\frac{1}{4}\) auf den Nenner 12 ergibt \(1\frac{3}{12}\). Addition der Ganzen und der Brüche: \(3+1=4\) und \(\frac{5}{12}+\frac{3}{12}=\frac{8}{12}\). Kürzen von \(\frac{8}{12}\) mit 4 ergibt \(\frac{2}{3}\). Ergebnis: \(4\frac{2}{3}\). 2. Teilaufgabe b: Erweitern von \(6\frac{2}{5}\) auf den Nenner 10 ergibt \(6\frac{4}{10}\). Da \(\frac{4}{10} < \frac{7}{10}\), Umwandeln eines Ganzen: \(5\frac{14}{10} - 4\frac{7}{10} = 1\frac{7}{10}\). 3. Teilaufgabe c: Umwandeln von \(0{,}125\) in den Bruch \(\frac{1}{8}\). Erweitern von \(2\frac{3}{4}\) auf den Nenner 8 ergibt \(2\frac{6}{8}\). Addition: \(2\frac{6}{8} + \frac{1}{8} = 2\frac{7}{8}\).

a) \(4\frac{2}{3}\) b) \(1\frac{7}{10}\) c) \(2\frac{7}{8}\)

- Berechne zuerst den Wert von A und den Wert von B getrennt voneinander. - Um Brüche zu vergleichen, ist es hilfreich, sie auf denselben Nenner zu bringen. - Achte beim Subtrahieren darauf, ob du ein Ganzes in den Bruchanteil übertragen musst.

1. Berechnung von \(A\): Hauptnenner von 3 und 2 ist 6. \(5\frac{2}{6} - 2\frac{3}{6}\). Umwandeln zu \(4\frac{8}{6} - 2\frac{3}{6} = 2\frac{5}{6}\). 2. Berechnung von \(B\): Hauptnenner von 4 und 6 ist 12. \(1\frac{9}{12} + 1\frac{2}{12} = 2\frac{11}{12}\). 3. Vergleich: Bringen beider Ergebnisse auf den Nenner 12. \(A = 2\frac{10}{12}\). Da \(2\frac{10}{12} < 2\frac{11}{12}\), gilt \(A < B\).

\(A < B\), da \(2\frac{5}{6} < 2\frac{11}{12}\) (bzw. \(2\frac{10}{12} < 2\frac{11}{12}\)).

- Welche Rechnung muss wegen der Klammer zuerst ausgeführt werden? - Welche Darstellung von \(0{,}8\) passt günstig zu einem anderen Summanden im Term? - Prüfe am Ende, ob deine gemischte Zahl zur Größenordnung des Terms passt.

1. Berechne zuerst die Klammer: \(2\frac{1}{2} + 1\frac{3}{4} = 4\frac{1}{4}\). 2. Wandle \(0{,}8\) in \(\frac{4}{5}\) um. 3. Fasse die Fünftel günstig zusammen: \(7\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 8\). 4. Subtrahiere: \(8 - 4\frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}\).

\(3\frac{3}{4}\)

- Suche einen gemeinsamen Nenner für \(3\), \(6\), \(4\) und \(8\). - Berechne zuerst die gesamte eingefüllte Menge als Bruch. - Schreibe auch \(5\,\text{l}\) mit demselben Nenner, bevor du den freien Platz bestimmst.

1. Verwende den Hauptnenner \(24\): \(1\frac{1}{3}=\frac{32}{24}\), \(\frac{5}{6}=\frac{20}{24}\), \(1\frac{1}{4}=\frac{30}{24}\), \(\frac{3}{8}=\frac{9}{24}\). 2. Addiere: \(\frac{32+20+30+9}{24}=\frac{91}{24}=3\frac{19}{24}\,\text{l}\). 3. Schreibe \(5\,\text{l}=\frac{120}{24}\,\text{l}\). 4. Der freie Platz ist \(\frac{120}{24}-\frac{91}{24}=\frac{29}{24}=1\frac{5}{24}\,\text{l}\).

Eingefüllt: \(\frac{91}{24}\,\text{l}=3\frac{19}{24}\,\text{l}\) Frei: \(\frac{29}{24}\,\text{l}=1\frac{5}{24}\,\text{l}\)

- Wie findest du einen gemeinsamen Nenner für zwei unterschiedliche Brüche? - Was machst du, wenn der Zähler des ersten Bruchs kleiner ist als der des zweiten bei einer Subtraktion? - Denk an die Vorrangregeln: Was muss zuerst berechnet werden? - Kannst du eine ganze Zahl als Bruch oder gemischte Zahl umschreiben, um die Subtraktion zu erleichtern?

1. Teilaufgabe a): Hauptnenner \(30\) finden. Addition: \(3\frac{12}{30} + 4\frac{25}{30} = 7 + \frac{37}{30} = 8\frac{7}{30}\). 2. Teilaufgabe b): Hauptnenner \(8\) finden. Da \(\frac{2}{8} < \frac{5}{8}\), wird aus dem ganzzahligen Anteil ein Ganzes in \(\frac{8}{8}\) umgewandelt: \(7\frac{10}{8} - 5\frac{5}{8} = 2\frac{5}{8}\). 3. Teilaufgabe c): Zuerst Klammer berechnen mit Hauptnenner \(15\): \(2\frac{5}{15} + 4\frac{9}{15} = 6\frac{14}{15}\). Subtraktion von der ganzen Zahl: \(9\frac{15}{15} - 6\frac{14}{15} = 3\frac{1}{15}\).

a) \(8\frac{7}{30}\) b) \(2\frac{5}{8}\) c) \(3\frac{1}{15}\)

- Nutze die passende Umkehraufgabe, um den fehlenden Wert zu bestimmen. - Bringe gemischte Zahlen erst dann auf einen gemeinsamen Nenner, wenn du die richtige Rückwärtsrechnung festgelegt hast. - Prüfe beide Werte durch Einsetzen.

1. Im ersten Fall ist der gesuchte Subtrahend \(5\frac{1}{2} - 2\frac{3}{4}\). Mit Vierteln ergibt sich \(5\frac{2}{4} - 2\frac{3}{4} = 4\frac{6}{4} - 2\frac{3}{4} = 2\frac{3}{4}\). 2. Im zweiten Fall muss zunächst \(\Box + 1\frac{1}{3} = 3 + 2\frac{1}{6} = 5\frac{1}{6}\) gelten. Daher ist \(\Box = 5\frac{1}{6} - 1\frac{1}{3} = 5\frac{1}{6} - 1\frac{2}{6} = 3\frac{5}{6}\).

a) \(2\frac{3}{4}\) b) \(3\frac{5}{6}\)

- Prüfe bei jedem Umformungsschritt, ob die Reihenfolge der ursprünglichen Subtraktion erhalten bleibt. - Welche Möglichkeit hast du, wenn der Bruchteil des Minuenden kleiner als der Bruchteil des Subtrahenden ist? - Schätze grob, ob das richtige Ergebnis eher etwas über \(3\) oder etwas über \(4\) liegen sollte.

1. Beim Zerlegen der Subtraktion muss die Reihenfolge erhalten bleiben. Aus den Bruchteilen entsteht \(\frac{1}{4} - \frac{2}{3}\), nicht \(\frac{2}{3} - \frac{1}{4}\). 2. Verwende den gemeinsamen Nenner \(12\): \(6\frac{3}{12} - 2\frac{8}{12}\). 3. Wandle ein Ganzes um: \(5\frac{15}{12} - 2\frac{8}{12}\). 4. Subtrahiere: \(3\frac{7}{12}\).

Haruto hat beim Zerlegen der gemischten Zahlen die Reihenfolge der Bruchteile vertauscht. Richtig ist \(\frac{1}{4} - \frac{2}{3}\). Das korrekte Ergebnis ist \(3\frac{7}{12}\).

- Wie viele Sechstel entsprechen einem Ganzen? - Achte darauf, dass beide Wege dieselbe Differenz darstellen müssen. - Vergleiche, bei welchem Weg du weniger unterschiedliche Umformungen im Blick behalten musst.

1. Für den Weg mit unechten Brüchen gilt \(5\frac{1}{6} = \frac{31}{6}\) und \(2\frac{5}{6} = \frac{17}{6}\). 2. Subtrahiere: \(\frac{31}{6} - \frac{17}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}\). 3. Für den Weg mit getrennten Ganzen und Brüchen schreibe \(5\frac{1}{6} = 4\frac{7}{6}\). 4. Dann gilt \(4\frac{7}{6} - 2\frac{5}{6} = 2\frac{2}{6} = 2\frac{1}{3}\). 5. Beide Wege sind korrekt. Bei dieser Aufgabe kann der Weg über unechte Brüche übersichtlicher sein, weil nach der Umwandlung nur zwei gleichnamige Brüche subtrahiert werden; beim zweiten Weg muss das Ausleihen eines Ganzen sicher beherrscht werden.

a) \(2\frac{1}{3}\) b) \(2\frac{1}{3}\) Vergleich: Beide Wege führen zum selben Ergebnis. Eine mögliche Begründung ist, dass der Weg über unechte Brüche hier weniger fehleranfällig wirkt, weil nach der Umwandlung direkt gleichnamige Brüche subtrahiert werden.

- Rechne den Zähler \(2-5\) zunächst mit seinem Vorzeichen aus. - Wenn der Bruchteil des Minuenden kleiner ist als der des Subtrahenden, kannst du ein Ganzes in Achtel umwandeln. - Prüfe, ob dein Ergebnis etwas kleiner als \(5\) sein muss.

1. Der Fehler liegt beim Übergang von \((8-3)+\frac{2-5}{8}\) zu \(5\frac{3}{8}\): \(\frac{2-5}{8}\) ist negativ. 2. Für die gemischte Subtraktion wird ein Ganzes entliehen: \(8\frac{2}{8}=7\frac{10}{8}\). 3. Nun kann stellenweise subtrahiert werden: \(7\frac{10}{8}-3\frac{5}{8}=4\frac{5}{8}\).

1. Der Fehler entsteht im letzten angegebenen Umformungsschritt. 2. \(\frac{2-5}{8}=-\frac{3}{8}\); das Minuszeichen wurde verloren. 3. Entleihschritt: \(8\frac{2}{8}=7\frac{10}{8}\). Daher \(7\frac{10}{8}-3\frac{5}{8}=4\frac{5}{8}\).

- Bringe die vier vorhandenen Lasten auf einen gemeinsamen Nenner. - Bestimme die restliche Tragkraft als exakten Bruch, bevor du vergleichst. - Wandle \(3600\,\text{g}\) in Kilogramm und anschließend in einen Bruch um.

1. Mit Hauptnenner \(12\) ist die vorhandene Last \(\frac{40}{12}+\frac{21}{12}+\frac{57}{12}+\frac{18}{12}=\frac{136}{12}=\frac{34}{3}=11\frac{1}{3}\,\text{kg}\). 2. Die restliche Tragkraft ist \(15-\frac{34}{3}=\frac{11}{3}=3\frac{2}{3}\,\text{kg}\). 3. \(3600\,\text{g}=3{,}6\,\text{kg}=\frac{18}{5}\,\text{kg}\). 4. Vergleiche \(\frac{11}{3}\) und \(\frac{18}{5}\): \(55>54\), also \(\frac{11}{3}>\frac{18}{5}\). Das Paket passt noch.

Vorhandene Last: \(\frac{34}{3}\,\text{kg}=11\frac{1}{3}\,\text{kg}\) Restliche Tragkraft: \(\frac{11}{3}\,\text{kg}\) Zusatzpaket: \(\frac{18}{5}\,\text{kg}\) Da \(\frac{11}{3}>\frac{18}{5}\), kann das Paket sicher dazugestellt werden.

- Addiere die vier vorhandenen Mengen mit einem gemeinsamen Nenner. - Schreibe auch das Fassungsvermögen als unechten Bruch. - Vergleiche die freie Menge und \(1{,}4\,\text{l}\) als Brüche, ohne sie zu runden.

1. Mit Hauptnenner \(12\) ist die eingefüllte Menge \(\frac{30}{12}+\frac{22}{12}+\frac{39}{12}+\frac{16}{12}=\frac{107}{12}\,\text{l}\). 2. Das Fassungsvermögen ist \(10\frac{1}{3}=\frac{31}{3}=\frac{124}{12}\,\text{l}\). Frei sind daher \(\frac{17}{12}\,\text{l}\). 3. \(1400\,\text{ml}=1{,}4\,\text{l}=\frac{7}{5}\,\text{l}\). 4. Vergleiche: \(\frac{17}{12}>\frac{7}{5}\), denn \(85>84\). Der Kirschsaft passt noch; übrig bleibt \(\frac{1}{60}\,\text{l}\).

Frei sind \(\frac{17}{12}\,\text{l}\). Der Kirschsaft entspricht \(\frac{7}{5}\,\text{l}\). Da \(\frac{17}{12}>\frac{7}{5}\), kann er vollständig hinzugefügt werden. Danach bleiben \(\frac{1}{60}\,\text{l}\) frei.

- Versuche, alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, um sie leichter addieren zu können. - Wie viele Kilogramm entsprechen einer Tonne? - Vergleiche die verbleibende Kapazität des LKWs mit dem Gewicht der neuen Palette. - Rechne das Gewicht der Palette in die Einheit Tonnen um.

1. Berechnung der aktuellen Ladung durch Addition der Brüche: \(2\frac{3}{8} + 3\frac{4}{8} + 1\frac{6}{8} + 2\frac{4}{8} = 10\frac{1}{8}\,\text{t}\) 2. Berechnung der restlichen Kapazität: \(12\frac{1}{8}\,\text{t} - 10\frac{1}{8}\,\text{t} = 2\,\text{t}\) 3. Umrechnung des Gewichts der Palette in Tonnen: \(2100\,\text{kg} = 2{,}1\,\text{t}\) 4. Vergleich der Werte: \(2{,}1\,\text{t} > 2\,\text{t}\)

Die verbleibende Kapazität beträgt \(2\,\text{t}\). Die Palette darf nicht mehr geladen werden, da sie mit \(2{,}1\,\text{t}\) schwerer ist als die restliche Kapazität.

- Welchen Bruchteil stellt der gesamte Zaun dar? - Wie viel vom Zaun wurde in den ersten drei Tagen insgesamt schon gestrichen? - Wie berechnet man den Teil, der noch bis zu einem „Ganzen“ fehlt?

1. Gleichnamigmachen der Brüche für den bereits gestrichenen Teil: Der Hauptnenner von \(5, 10\) und \(4\) ist \(20\). 2. Umrechnung: \(\frac{1}{5} = \frac{4}{20}\), \(\frac{2}{10} = \frac{4}{20}\), \(\frac{1}{4} = \frac{5}{20}\). 3. Addition des bereits gestrichenen Anteils: \(\frac{4}{20} + \frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{13}{20}\). 4. Berechnung des Rests zum Ganzen: \(1 - \frac{13}{20} = \frac{20}{20} - \frac{13}{20} = \frac{7}{20}\).

Am Donnerstag müssen sie noch \(\frac{7}{20}\) des Zauns streichen.

- Stelle dir den Takt als einen Kuchen vor, der in acht Stücke geteilt ist. - Wie viele Achtel passen in eine halbe Note? - Wie viele Achtel fehlen noch bis zu einem ganzen Takt (acht Achtel)? - Welche Kombinationen aus den vorgegebenen Notenwerten ergeben zusammen diesen fehlenden Wert?

1. Berechnung des vorhandenen Werts: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}\). 2. Berechnung des fehlenden Teils zum Ganzen: \(1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}\). 3. Erste Möglichkeit für Teil b): Eine Viertelnote (\(\frac{2}{8}\)) und eine Achtelnote (\(\frac{1}{8}\)), da \(\frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\). 4. Zweite Möglichkeit für Teil b): Drei Achtelnoten, da \(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\).

a) Es fehlen noch \(\frac{3}{8}\) des Taktes. b) Möglichkeit 1: Eine Viertelnote und eine Achtelnote. Möglichkeit 2: Drei Achtelnoten.

- Bestimme zuerst, welchen Wert der unbekannte Bruch insgesamt haben muss. - Bringe die beiden bekannten Brüche dafür auf einen gemeinsamen Nenner. - Vergleiche anschließend äquivalente Brüche mit demselben Zähler.

1. Der unbekannte Bruch muss \(\frac{1}{12}+\frac{1}{4}\) entsprechen. 2. Mit Nenner \(12\) gilt \(\frac{1}{12}+\frac{3}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\). 3. Damit muss \(\frac{5}{\square}=\frac{1}{3}\) gelten. Erweitert man \(\frac{1}{3}\) mit \(5\), erhält man \(\frac{5}{15}\). 4. Also gehört \(15\) in das Kästchen.

\(\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{12}+\frac{3}{12}=\frac{1}{3}\). Daher muss \(\frac{5}{\square}=\frac{5}{15}\) gelten, also \(\square=15\).

- Bringe beide Brüche auf den Nenner \(10\). - Probiere für das zweite Kästchen kleine positive natürliche Zahlen systematisch aus. - Prüfe jedes gefundene Paar in der ursprünglichen Gleichung.

1. Schreibe \(0{,}7=\frac{7}{10}\) und erweitere den zweiten Bruch auf den Nenner \(10\). 2. Für das zweite Kästchen \(1\) ergibt sich \(\frac{5}{10}+\frac{1}{5}=\frac{5}{10}+\frac{2}{10}=\frac{7}{10}\). Das Paar ist \((5,1)\). 3. Für das zweite Kästchen \(2\) ergibt sich \(\frac{3}{10}+\frac{2}{5}=\frac{3}{10}+\frac{4}{10}=\frac{7}{10}\). Das Paar ist \((3,2)\). 4. Für das zweite Kästchen \(3\) ergibt sich \(\frac{1}{10}+\frac{3}{5}=\frac{1}{10}+\frac{6}{10}=\frac{7}{10}\). Das Paar ist \((1,3)\).

Zum Beispiel: \((5,1)\): \(\frac{5}{10}+\frac{1}{5}=\frac{7}{10}=0{,}7\) \((3,2)\): \(\frac{3}{10}+\frac{2}{5}=\frac{7}{10}=0{,}7\) Ebenfalls möglich ist \((1,3)\): \(\frac{1}{10}+\frac{3}{5}=\frac{7}{10}=0{,}7\).

- Überlege dir, wie viel jedem Bruch bis zu einem Ganzen fehlt. - Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches von 2, 3 und 4? - Erweitere alle Brüche so, dass sie denselben Nenner haben, bevor du rechnest.

1. Schätzung: \(\frac{3}{4}\approx 0{,}75\), \(\frac{2}{3}\approx 0{,}67\) und \(\frac{1}{2}=0{,}5\). Damit ist der Ausdruck ungefähr \(0{,}75+0{,}67-0{,}5=0{,}92\) und somit kleiner als \(1\). 2. Für die exakte Rechnung ist der Hauptnenner \(12\): \(\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\), \(\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\), \(\frac{1}{2}=\frac{6}{12}\). 3. \(\frac{9}{12}+\frac{8}{12}-\frac{6}{12}=\frac{11}{12}\).

a) Das Ergebnis ist schätzungsweise \(0{,}92\) und damit kleiner als \(1\). b) Der exakte Wert ist \(\frac{11}{12}\).

- Stell dir die Brüche als Stücke einer Pizza vor. Sind Drittel-Stücke und Fünftel-Stücke gleich groß? - Was gibt der Nenner eines Bruches eigentlich an? - Wie schaffst du es, dass beide Brüche die gleiche „Art“ von Teilen beschreiben?

1. Begründung: Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wurde. Da Drittel und Fünftel unterschiedlich groß sind, kann man sie nicht direkt zusammenzählen, ohne sie vorher in gleich große Untereinheiten zu zerlegen. 2. Suche nach einem gemeinsamen Nenner für \(3\) und \(5\): Das kleinste gemeinsame Vielfache ist \(15\). 3. Erweitern: \(\frac{2}{3} = \frac{10}{15}\) und \(\frac{1}{5} = \frac{3}{15}\). 4. Addition der Zähler: \(10 + 3 = 13\). 5. Das Ergebnis ist \(\frac{13}{15}\).

Man muss sie gleichnamig machen, weil man nur Mengen gleicher Einheiten (gleich große Teile) addieren kann. Der Hauptnenner ist \(15\). Rechnung: \(\frac{10}{15} + \frac{3}{15} = \frac{13}{15}\).

- Kannst du die Anteile der Klassen zusammenzählen, um zu sehen, wie viel vom Beet schon belegt ist? - Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für Brüche mit verschiedenen Nennern? - Was stellt das „Ganze“ (das gesamte Beet) als Bruch dar? - Wenn du weißt, wie viel bepflanzt ist, wie rechnest du dann aus, was noch fehlt?

1. Berechnung der Summe der Anteile der drei Klassen: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}\). 2. Bestimmung des Hauptnenners: Der kleinste gemeinsame Nenner von 3, 4 und 6 ist 12. 3. Erweiterung der Brüche: \(\frac{1}{3} = \frac{4}{12}\), \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\) und \(\frac{1}{6} = \frac{2}{12}\). 4. Addition der erweiterten Brüche: \(\frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{9}{12}\). 5. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\). 6. Berechnung des Rests für den Steingarten: \(1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\).

Für den Steingarten bleibt \(\frac{1}{4}\) des Beets übrig.

- Wie kannst du herausfinden, wie viel von dem Schatz bei jedem Vorschlag insgesamt weggegeben wird? - Addiere die Anteile für Crew A und separat für Crew B. - Um Brüche vergleichen zu können, müssen sie den gleichen Nenner haben. - Welche Zahl ist größer: Dein Ergebnis für A oder dein Ergebnis für B?

1. Berechnung der Summe für Vorschlag A: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{10}\). Hauptnenner ist 20. \(\frac{10}{20} + \frac{5}{20} + \frac{2}{20} = \frac{17}{20}\). 2. Berechnung der Summe für Vorschlag B: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4}\). Hauptnenner ist 12. \(\frac{4}{12} + \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\). 3. Vergleich der beiden Gesamtmengen: Um \(\frac{17}{20}\) und \(\frac{3}{4}\) zu vergleichen, wird \(\frac{3}{4}\) auf den Nenner 20 erweitert: \(\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}\). 4. Da \(\frac{17}{20} > \frac{15}{20}\), verteilt Vorschlag A einen größeren Anteil des Schatzes.

Bei Vorschlag A wird ein größerer Anteil des Schatzes verteilt. Rechnung: Crew A verteilt \(\frac{17}{20}\) des Schatzes, Crew B verteilt nur \(\frac{15}{20}\) (bzw. \(\frac{3}{4}\)).

- Schätze zuerst die Größenordnung der Summe, bevor du den Rechenfehler suchst. - Prüfe, ob beim Addieren der Bruchteile gleich große Bruchstücke verwendet werden. - Berechne die Bruchteile erst dann exakt, wenn du den Fehler begründet hast.

1. \(2\frac{3}{4}\) ist fast \(3\). Addiert man noch \(1\frac{1}{2}\), muss das Ergebnis größer als \(4\) sein. \(3\frac{2}{3}\) ist jedoch kleiner als \(4\). 2. Noura hat bei den Bruchteilen fälschlich Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner addiert. 3. Richtig ist \(\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}\). 4. Zusammen mit den ganzen Anteilen ergibt sich \(3 + 1\frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}\).

Das Ergebnis muss größer als \(4\) sein und kann daher nicht \(3\frac{2}{3}\) sein. Der Fehler ist das unzulässige Addieren von Zählern und Nennern. Richtig ist \(4\frac{1}{4}\).

- Was passiert mit den Rechenzeichen, wenn man eine Klammer auflöst, vor der ein Minus steht? - Gibt es einen Weg, das Ergebnis zu berechnen, ohne die Klammer vorher aufzulösen? - Überprüfe jeden einzelnen Schritt der Gleichungskette.

1. Prüfung des Rechenwegs: Der Übergang von der Klammerform zur klammerfreien Form ist fehlerhaft. Beim Auflösen einer Minusklammer müssen sich alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehren. 2. Korrektur des Terms: \(\frac{4}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{10}\). 3. Alternativer (einfacherer) Weg: Zuerst den Wert in der Klammer berechnen. \(\frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{5}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10}\). 4. Endberechnung: \(\frac{4}{5} - \frac{4}{10} = \frac{8}{10} - \frac{4}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\).

Der Rechenweg ist falsch, da das Minuszeichen vor der Klammer nicht korrekt auf die Terme in der Klammer angewendet wurde (aus \(-\frac{1}{10}\) hätte \(+\frac{1}{10}\) werden müssen). Das korrekte Ergebnis ist \(\frac{4}{10}\) bzw. \(\frac{2}{5}\).

- Probiere, den Bruch von einem geeigneten Stammbruch (wie \(\frac{1}{3}\) oder \(\frac{1}{4}\)) abzuziehen und schaue, was übrig bleibt. - Kannst du den verbleibenden Rest vielleicht noch einmal aufteilen? - Achte darauf, dass in deiner Summe kein Nenner doppelt vorkommt.

1. Für zwei Stammbrüche: Suche den größten Stammbruch kleiner als \(\frac{2}{5}\). Da \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) und \(\frac{1}{3} \approx 0{,}33\), passt \(\frac{1}{3}\). Rechnung: \(\frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{6}{15} - \frac{5}{15} = \frac{1}{15}\). Also \(\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}\). 2. Für drei Stammbrüche: Wähle einen kleineren ersten Stammbruch, z. B. \(\frac{1}{4}\). Rechnung: \(\frac{2}{5} - \frac{1}{4} = \frac{8}{20} - \frac{5}{20} = \frac{3}{20}\). Zerlege \(\frac{3}{20}\) weiter in \(\frac{2}{20} + \frac{1}{20}\), also \(\frac{1}{10} + \frac{1}{20}\). Die Gesamtsumme ist \(\frac{2}{5} = \frac{1}{4} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20}\).

Mögliche Lösungen: 1. \(\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}\) 2. \(\frac{2}{5} = \frac{1}{4} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20}\)

- Welche gemeinsame Unterteilung brauchen die beiden Brüche im ersten Teil, damit du sie addieren kannst? - Überlege beim zweiten Teil, welche Information der Zähler eines positiven Bruchs über die Anzahl gleicher Stammbrüche liefert. - Vergleiche diesen direkten Weg mit der Suche nach mehreren verschiedenen Nennern.

1. Der Hauptnenner von \(2\) und \(6\) ist \(6\). Daher gilt \(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\) und somit \(\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\). 2. Bei gleichen Stammbrüchen bleibt der Nenner des Ausgangsbruchs erhalten; der Stammbruch wird so oft addiert, wie der Zähler angibt. Es muss daher keine passende Kombination verschiedener Nenner gesucht werden.

1. \(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\) 2. Gleiche Stammbrüche lassen sich direkt aus Zähler und Nenner des positiven Bruchs ablesen; verschiedene Stammbrüche erfordern dagegen eine zusätzliche Suche nach passenden Nennern.

- Beginne jeweils mit einem Stammbruch, der etwas größer als der Zielbruch ist. - Der zweite Stammbruch muss genau die Differenz zwischen diesem größeren Stammbruch und dem Zielbruch ausgleichen. - Prüfe deine Zerlegung am Ende durch erneute Subtraktion.

1. Für \(\frac{1}{6}\) ist \(\frac{1}{5}\) ein geeigneter etwas größerer Stammbruch. Die Differenz \(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{6}{30}-\frac{5}{30}=\frac{1}{30}\) zeigt: \(\frac{1}{6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{30}\). 2. Für \(\frac{1}{10}\) berechne den fehlenden Anteil direkt: \(\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=\frac{10}{90}-\frac{9}{90}=\frac{1}{90}\). 3. Damit gilt \(\frac{1}{10}=\frac{1}{9}-\frac{1}{90}\). Die Probe ergibt \(\frac{10}{90}-\frac{1}{90}=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\).

a) \(\frac{1}{6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{30}\) b) \(\frac{1}{10}=\frac{1}{9}-\frac{1}{90}\)

- Suche zunächst nach zwei Stammbrüchen, die sich auf einen übersichtlichen gemeinsamen Nenner bringen lassen. - Für drei Summanden kannst du überlegen, ob sich einer der gefundenen Stammbrüche noch weiter zerlegen lässt. - Prüfe jede vorgeschlagene Zerlegung durch Addition.

1. Für zwei Stammbrüche ist zum Beispiel \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}\) möglich. Ebenfalls möglich ist \(\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\). 2. Für drei verschiedene Stammbrüche kann ein gefundener Anteil weiter zerlegt werden. Zum Beispiel gilt \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\). 3. Die Probe ergibt \(\frac{4}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{7}{12}\).

a) Zum Beispiel \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\) oder \(\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\) b) Zum Beispiel \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\)

- Addiere die Brüche, indem du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringst. - Vergleiche die Größe der ersten Brüche in beiden Summen. - Welcher Stammbruch liegt am nächsten an \(\frac{3}{10}\), ohne ihn zu überschreiten? - Wandle die Brüche zum Vergleich eventuell in Dezimalzahlen um.

1. Überprüfung von A: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{20} = \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{6}{20}\). Kürzen mit \(2\) ergibt \(\frac{3}{10}\). Korrekt. 2. Überprüfung von B: \(\frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}\). Korrekt. 3. Vergleich der Startbrüche: In A ist der erste Bruch \(\frac{1}{4} = 0{,}25\). In B ist der erste Bruch \(\frac{1}{5} = 0{,}2\). 4. Prüfung auf „gierig“: Der nächstgrößere Stammbruch nach \(\frac{1}{4}\) wäre \(\frac{1}{3} \approx 0{,}333\). Da \(\frac{1}{3} > \frac{3}{10} = 0{,}3\), ist \(\frac{1}{4}\) tatsächlich der größte Stammbruch, der kleiner als \(\frac{3}{10}\) ist. 5. Ergebnis: Möglichkeit A ist die gierige Zerlegung, da \(\frac{1}{4} > \frac{1}{5}\).

a) Beide Rechnungen sind korrekt, da \(\frac{5+1}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\) und \(\frac{2+1}{10} = \frac{3}{10}\). b) Möglichkeit A ist die gierige Zerlegung, da \(\frac{1}{4}\) größer ist als \(\frac{1}{5}\) und der größte Stammbruch ist, der noch kleiner als \(\frac{3}{10}\) ist (\(\frac{1}{3}\) wäre bereits zu groß).

- Prüfe für den ersten Schritt Stammbrüche mit kleinen Nennern und achte genau auf die Bedingung „kleiner als“. - Für die Subtraktion brauchst du eine Darstellung beider Brüche mit demselben Nenner. - Kontrolliere am Ende, ob der Rest selbst ein Stammbruch ist und ob die beiden Summanden wieder den Ausgangsbruch ergeben.

1. Für den größten Stammbruch \(\frac{1}{k} < \frac{3}{14}\) gilt \(14 : 3 \approx 4{,}67\). Der kleinste ganzzahlige Nenner mit einem kleineren Stammbruch ist daher \(k=5\). Somit ist \(\frac{1}{5}\) der größte passende Stammbruch. 2. Der Rest ist \(\frac{3}{14} - \frac{1}{5} = \frac{15}{70} - \frac{14}{70} = \frac{1}{70}\). 3. Damit lautet die Zerlegung \(\frac{3}{14} = \frac{1}{5} + \frac{1}{70}\).

\(k=5\), also ist der erste Stammbruch \(\frac{1}{5}\). Rest: \(\frac{3}{14}-\frac{1}{5}=\frac{1}{70}\). Damit gilt \(\frac{3}{14}=\frac{1}{5}+\frac{1}{70}\).

- Probiere systematisch Stammbrüche aus, die etwas kleiner als \(\frac{1}{4}\) sind. - Wenn du den ersten Summanden gewählt hast, bestimme den fehlenden Anteil durch Subtraktion. - Prüfe, ob beide gefundenen Summanden Stammbrüche mit verschiedenen Nennern sind.

1. Probiere systematisch Stammbrüche aus, die kleiner als \(\frac{1}{4}\) sind. Beginne zum Beispiel mit \(\frac{1}{5}\). Der fehlende Rest ist \(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{1}{20}\). Damit erhältst du \(\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}\). 2. Probiere als Nächstes \(\frac{1}{6}\). Der fehlende Rest ist \(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\). Damit erhältst du \(\frac{1}{4}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\). 3. Die Nachweise sind \(\frac{1}{5}+\frac{1}{20}=\frac{4}{20}+\frac{1}{20}=\frac{1}{4}\) und \(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\).

1. \(\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}\), denn \(\frac{1}{5}+\frac{1}{20}=\frac{4}{20}+\frac{1}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}\). 2. \(\frac{1}{4}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\), denn \(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\).

- Schau dir an, wie man aus der \(3\) eine \(2\), aus der \(5\) eine \(3\) und aus der \(7\) eine \(4\) macht. Welche Rechenoperation hilft hier? - Wenn du den ersten Stammbruch gefunden hast, wie kannst du den Rest berechnen? - Fällt dir eine Beziehung zwischen dem ursprünglichen Nenner und dem Nenner des zweiten Stammbruchs auf?

1. Analyse des Musters für den ersten Nenner: Bei \(\frac{2}{3}\) ist er \(2\) (was \((3+1):2\) entspricht), bei \(\frac{2}{5}\) ist er \(3\) (\((5+1):2\)), bei \(\frac{2}{7}\) ist er \(4\) (\((7+1):2\)). Der erste Nenner ist also immer die Hälfte des um \(1\) erhöhten ursprünglichen Nenners. 2. Berechnung für \(\frac{2}{9}\): Erster Nenner ist \((9+1):2 = 5\). Zweiter Stammbruch durch Subtraktion: \(\frac{2}{9} - \frac{1}{5} = \frac{10}{45} - \frac{9}{45} = \frac{1}{45}\). Ergebnis: \(\frac{1}{5} + \frac{1}{45}\). 3. Berechnung für \(\frac{2}{13}\): Erster Nenner ist \((13+1):2 = 7\). Zweiter Stammbruch durch Subtraktion: \(\frac{2}{13} - \frac{1}{7} = \frac{14}{91} - \frac{13}{91} = \frac{1}{91}\). Ergebnis: \(\frac{1}{7} + \frac{1}{91}\).

a) Der Nenner des ersten Stammbruchs ergibt sich, indem man zum Nenner des Ausgangsbruchs \(1\) addiert und das Ergebnis durch \(2\) teilt. b) \(\frac{2}{9} = \frac{1}{5} + \frac{1}{45}\) und \(\frac{2}{13} = \frac{1}{7} + \frac{1}{91}\).

- Suche in jedem Schritt den größtmöglichen Stammbruch, der den aktuellen Rest nicht überschreitet. - Berechne nach jeder Auswahl den verbleibenden Rest exakt. - Prüfe nach jedem Schritt, ob der Rest bereits selbst ein Stammbruch ist.

1. Für \(\frac{4}{5}\) ist \(\frac{1}{2}\) der größte passende Stammbruch. 2. Der erste Rest ist \(\frac{4}{5}-\frac{1}{2}=\frac{8}{10}-\frac{5}{10}=\frac{3}{10}\). 3. Für \(\frac{3}{10}\) ist \(\frac{1}{4}\) der größte passende Stammbruch, weil \(\frac{1}{3}>\frac{3}{10}\). 4. Der zweite Rest ist \(\frac{3}{10}-\frac{1}{4}=\frac{6}{20}-\frac{5}{20}=\frac{1}{20}\). 5. Der Rest ist bereits ein Stammbruch. Daher gilt \(\frac{4}{5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}\).

\(\frac{4}{5}-\frac{1}{2}=\frac{3}{10}\). \(\frac{3}{10}-\frac{1}{4}=\frac{1}{20}\). Daher \(\frac{4}{5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}\).

- Welche Rechenregel musst du bei Ausdrücken mit Klammern beachten? - Versuche zuerst, die Brüche in der Klammer auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Kannst du das Ergebnis der Klammer vereinfachen, bevor du weiterrechnest? - Achte darauf, dass am Ende alle Brüche denselben Nenner haben, bevor du sie addierst.

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer durch Erweitern auf den Nenner 4: \(1 \frac{1}{2} = 1 \frac{2}{4}\). 2. Subtraktion innerhalb der Klammer: \(5 \frac{3}{4} - 1 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{4}\). 3. Erweitern des Zwischenergebnisses auf den Nenner 8 für die finale Addition: \(4 \frac{1}{4} = 4 \frac{2}{8}\). 4. Addition des letzten Terms: \(4 \frac{2}{8} + 2 \frac{5}{8} = 6 \frac{7}{8}\).

\(6 \frac{7}{8}\)

- Erinnere dich an die Regel „Klammer zuerst“. - Wie gehst du vor, wenn bei der Addition in der Klammer ein unechter Bruch entsteht? - Kannst du Brüche kürzen, um dir die Rechnung zu erleichtern? - Was passiert, wenn die Bruchteile bei der Subtraktion identisch sind?

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Brüche in der Klammer: Der Hauptnenner von 6 und 2 ist 6. 2. Erweitern des zweiten Bruchs in der Klammer: \(3 \frac{1}{2} = 3 \frac{3}{6}\). 3. Addition in der Klammer: \(2 \frac{5}{6} + 3 \frac{3}{6} = 5 \frac{8}{6}\). 4. Umwandeln des unechten Bruchs in eine gemischte Zahl und Kürzen: \(5 \frac{8}{6} = 6 \frac{2}{6} = 6 \frac{1}{3}\). 5. Finale Subtraktion: \(9 \frac{1}{3} - 6 \frac{1}{3} = 3\).

\(3\)

- Welche Rechnung muss wegen der Klammer zuerst ausgeführt werden? - Wie kannst du eine ganze Zahl so darstellen, dass du anschließend eine gemischte Zahl davon subtrahieren kannst? - Führe die beiden Subtraktionen danach in der vorgegebenen Reihenfolge aus. - Prüfe zum Schluss, ob sich der Bruchteil noch kürzen lässt.

1. Berechne die Klammer mit dem gemeinsamen Nenner \(12\): \(3\frac{3}{12} + 2\frac{10}{12} = 6\frac{1}{12}\). 2. Subtrahiere die Klammer vom Ganzen: \(10 - 6\frac{1}{12} = 3\frac{11}{12}\). 3. Subtrahiere den letzten Term: \(3\frac{11}{12} - 1\frac{1}{12} = 2\frac{10}{12}\). 4. Kürze: \(2\frac{10}{12} = 2\frac{5}{6}\).

\(2\frac{5}{6}\)

- Wie kannst du eine gemischte Zahl wie \(2\frac{1}{4}\) umschreiben, um besser mit ihr rechnen zu können? - Suche den Hauptnenner für alle drei Brüche gleichzeitig. - Du kannst die Subtraktionen nacheinander von links nach rechts durchführen. - Überlege am Ende, ob das Ergebnis größer als 1 ist.

1. Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}\). 2. Bestimmung des Hauptnenners für die Nenner 4, 6 und 8: \(\operatorname{kgV}(4, 6, 8) = 24\). 3. Erweitern der Brüche auf den Hauptnenner: \(\frac{9}{4} = \frac{54}{24}\), \(\frac{5}{6} = \frac{20}{24}\) und \(\frac{3}{8} = \frac{9}{24}\). 4. Schrittweise Subtraktion der Zähler: \(\frac{54}{24} - \frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{34}{24} - \frac{9}{24} = \frac{25}{24}\). 5. Umwandlung des Ergebnisses in eine gemischte Zahl: \(\frac{25}{24} = 1\frac{1}{24}\).

\(1\frac{1}{24}\)

- Wähle zunächst einen Stammbruch, der einen großen Teil von \(\frac{3}{4}\) abdeckt. - Bestimme den verbleibenden Rest durch Subtraktion. - Zerlege diesen Rest in zwei verschiedene Stammbrüche und kontrolliere anschließend die Summe.

1. Wähle zum Beispiel zunächst \(\frac{1}{2}\). Dann bleibt \(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\). 2. Zerlege den Rest ohne Variable weiter: \(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{5}{20}-\frac{4}{20}=\frac{1}{20}\). 3. Damit gilt \(\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20}\). 4. Eine weitere mögliche Zerlegung ist \(\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\).

Zum Beispiel \(\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20}\). Ebenfalls möglich ist \(\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\).

- Suche eine gemeinsame Bruch-Einheit, in der alle drei Brüche dargestellt werden können. - Führe Addition und Subtraktion erst aus, wenn die Nenner gleich sind. - Prüfe das Endergebnis auf Kürzbarkeit.

1. Verwende den gemeinsamen Nenner \(10\): \(\frac{2}{5}=\frac{4}{10}\) und \(\frac{1}{2}=\frac{5}{10}\). 2. Rechne: \(\frac{4}{10}+\frac{5}{10}-\frac{3}{10}=\frac{6}{10}\). 3. Kürze: \(\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\).

\(\frac{3}{5}\)

- Wie kannst du die gemischte Zahl in eine einheitliche Bruchdarstellung bringen? - Suche anschließend eine gemeinsame Bruch-Einheit für alle drei Terme. - Beachte die Reihenfolge der beiden Subtraktionen und die verlangte Ergebnisform.

1. Wandle die gemischte Zahl um: \(2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\). 2. Verwende einen gemeinsamen Nenner: \(\frac{5}{2}=\frac{30}{12}\), \(\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\) und \(\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\). 3. Rechne: \(\frac{30}{12}-\frac{8}{12}-\frac{9}{12}=\frac{13}{12}\). 4. Wandle um: \(\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}\).

\(1\frac{1}{12}\)

- Berechne zuerst das Ergebnis jeder Additionsaufgabe. - Überlege dir, wie viel bei jedem Ergebnis noch bis zum Ganzen (\( 1 \)) fehlt. - Vergleiche diese „Reste“. Je kleiner der Rest, desto näher liegt das Ergebnis an \( 1 \).

1. Berechnung von A: \( \frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{9}{10} \). Der Abstand zu \( 1 \) ist \( 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10} \). 2. Berechnung von B: \( \frac{6}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \). Der Abstand zu \( 1 \) ist \( 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8} \). 3. Vergleich der Abstände: \( \frac{1}{10} = 0{,}1 \) und \( \frac{1}{8} = 0{,}125 \). Da \( \frac{1}{10} < \frac{1}{8} \), liegt Ausdruck A näher an \( 1 \).

Ausdruck A liegt näher an \( 1 \). Der Abstand von A zu \( 1 \) beträgt \( \frac{1}{10} \), während der Abstand von B zu \( 1 \) mit \( \frac{1}{8} \) größer ist.

- Was passiert mit den Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer mit einem negativen Wert steht? - Suche nach einem gemeinsamen Nenner für alle Brüche, bevor du addierst oder subtrahierst. - Kannst du die Zahl 1 auch als einen Bruch mit diesem Nenner schreiben?

1. Auflösen des Doppelzeichens: \( \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{6} - 1 \) 2. Bestimmung des Hauptnenners (\( 12 \)) und Erweitern der Brüche: \( \frac{8}{12} + \frac{3}{12} + \frac{10}{12} - \frac{12}{12} \) 3. Zusammenfassen der Zähler: \( \frac{8 + 3 + 10 - 12}{12} = \frac{9}{12} \) 4. Kürzen des Ergebnisses: \( \frac{3}{4} \) (entspricht \( 0{,}75 \))

\( \frac{3}{4} \) oder \( 0{,}75 \)

- Berechne zuerst beide Ergebnisse einzeln. - Um Brüche zu vergleichen, kannst du sie entweder auf denselben Nenner bringen oder in Dezimalzahlen umwandeln.

1. Berechnung von \(A\): Der Hauptnenner von 2 und 4 ist 4. Erweiterung ergibt \(\frac{10}{4} - \frac{3}{4} = \frac{7}{4}\). Als Dezimalzahl ausgedrückt ist dies \(1{,}75\). 2. Berechnung von \(B\): Der Hauptnenner von 6 und 3 ist 6. Erweiterung ergibt \(\frac{11}{6} - \frac{2}{6} = \frac{9}{6}\). Gekürzt entspricht dies \(\frac{3}{2}\), was als Dezimalzahl \(1{,}5\) ist. 3. Vergleich: Da \(\frac{7}{4} = \frac{21}{12}\) und \(\frac{3}{2} = \frac{18}{12}\) (oder \(1{,}75 > 1{,}5\)), ist das Ergebnis von Rechnung \(A\) größer.

Das Ergebnis von Rechnung \(A\) ist größer (\(\frac{7}{4} > \frac{3}{2}\)).

- Lies für jedes Band zuerst Start- und Endwert am Zahlenstrahl ab. - Die Länge eines Bandes ergibt sich aus dem Unterschied zwischen End- und Startwert. - Für Vergleich und Summe hilft es, die Bruchteile mit demselben Nenner zu schreiben.

1. Band D beginnt bei \(\frac{2}{8}\) und endet bei \(\frac{11}{8}\). Seine Länge ist \(\frac{11}{8} - \frac{2}{8} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}\). 2. Band E beginnt bei \(\frac{5}{8}\) und endet bei \(\frac{15}{8}\). Seine Länge ist \(\frac{15}{8} - \frac{5}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}\). 3. Es gilt \(1\frac{1}{4} = 1\frac{2}{8}\). Daher ist Band E um \(\frac{1}{8}\) länger als Band D. 4. Zusammen sind beide Bänder \(1\frac{1}{8} + 1\frac{1}{4} = 1\frac{1}{8} + 1\frac{2}{8} = 2\frac{3}{8}\) lang.

a) \(1\frac{1}{8}\) oder \(\frac{9}{8}\) b) \(1\frac{1}{4}\) oder \(\frac{5}{4}\) c) Band E ist um \(\frac{1}{8}\) länger. d) \(2\frac{3}{8}\) oder \(\frac{19}{8}\)

- Bestimme für beide vorgegebenen Zahlenpaare zuerst jeweils das \(\mathrm{kgV}\) und das Produkt. - Vergleiche danach die Primfaktoren der beiden Zahlen innerhalb jedes Paares. - Überlege zum Schluss, was zwei einzelne Beispiele über eine Behauptung aussagen können, die für alle positiven natürlichen Zahlen formuliert ist.

1. Für \(3\) und \(5\) gilt \(\mathrm{kgV}(3,5)=15\) und \(3\cdot5=15\). Beide Zahlen haben keinen gemeinsamen Primfaktor. 2. Für \(4\) und \(6\) gilt \(\mathrm{kgV}(4,6)=12\), während \(4\cdot6=24\) ist. Beide Zahlen enthalten den gemeinsamen Primfaktor \(2\). 3. Beim ersten Zahlenpaar werden für das \(\mathrm{kgV}\) alle Primfaktoren aus beiden Zahlen benötigt. Beim zweiten Zahlenpaar kommt ein gemeinsamer Primfaktor im Produkt mehrfach vor, obwohl er für das \(\mathrm{kgV}\) nicht in derselben Weise doppelt übernommen werden muss. 4. Die beiden Beispiele passen zu Bens Behauptung, beweisen aber keine Aussage über alle positiven natürlichen Zahlen. Für einen allgemeinen Beweis müsste man zusätzlich zeigen, dass beide Richtungen der Behauptung für jedes positive Zahlenpaar gelten.

Für \(3\) und \(5\) gilt \(\mathrm{kgV}(3,5)=15=3\cdot5\). Für \(4\) und \(6\) gilt \(\mathrm{kgV}(4,6)=12<24=4\cdot6\). Der gemeinsame Primfaktor \(2\) erklärt beim zweiten Paar, warum das Produkt größer ist als das \(\mathrm{kgV}\). Die beiden Beispiele stützen Bens Behauptung, beweisen sie aber nicht allgemein.

- Bringe \(\frac{26}{53}\) und \(\frac{1}{2}\) auf einen gemeinsamen Nenner, um ihren Abstand exakt zu bestimmen. - Um wie viel überschreitet \(\frac{25}{49}\) den Wert \(\frac{1}{2}\)? - Vergleiche die beiden Differenzen: Welche ist größer?

1. Bestimmung der Abweichung von \(\frac{25}{49}\) zu \(\frac{1}{2}\): \(\frac{25}{49} - \frac{1}{2} = \frac{50}{98} - \frac{49}{98} = \frac{1}{98}\). Dieser Summand ist um \(\frac{1}{98}\) größer als \(\frac{1}{2}\). 2. Bestimmung der Abweichung von \(\frac{26}{53}\) zu \(\frac{1}{2}\): \(\frac{1}{2} - \frac{26}{53} = \frac{53}{106} - \frac{52}{106} = \frac{1}{106}\). Dieser Summand ist um \(\frac{1}{106}\) kleiner als \(\frac{1}{2}\). 3. Vergleich der Beträge der Abweichungen: \(\frac{1}{98} > \frac{1}{106}\), da der Nenner kleiner ist. 4. Da der positive Abstand von \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{1}{98}\)) größer ist als der negative Abstand (\(\frac{1}{106}\)), ist die Gesamtsumme größer als \(1\).

Es gilt \(S > 1\). Erklärung: \(\frac{25}{49}\) ist um \(\frac{1}{98}\) größer als \(\frac{1}{2}\). \(\frac{26}{53}\) ist um \(\frac{1}{106}\) kleiner als \(\frac{1}{2}\). Da \(\frac{1}{98} > \frac{1}{106}\), ist der Wert, der über \(\frac{1}{2}\) hinausgeht, größer als der Wert, der zur \(\frac{1}{2}\) fehlt. Somit ist die Summe größer als 1.

- Suche für die Summe schrittweise nach passenden Stammbrüchen und kontrolliere jeweils den verbleibenden Rest. - Für die Differenz brauchst du zunächst einen Stammbruch, der etwas größer als \(\frac{3}{7}\) ist. - Vergleiche anschließend nicht nur die Anzahl der Terme, sondern auch die Größe der auftretenden Nenner.

1. Für eine mögliche Summe gilt \(\frac{3}{7}-\frac{1}{3}=\frac{2}{21}\). Weiter ist \(\frac{2}{21}-\frac{1}{11}=\frac{1}{231}\). Damit ist \(\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}\). 2. Für eine Differenz eignet sich \(\frac{1}{2}\), weil dieser Stammbruch etwas größer als \(\frac{3}{7}\) ist. Es gilt \(\frac{1}{2}-\frac{3}{7}=\frac{1}{14}\), also \(\frac{3}{7}=\frac{1}{2}-\frac{1}{14}\). 3. Die Darstellung als Differenz benötigt hier nur zwei Stammbrüche statt drei und verwendet deutlich kleinere Nenner.

a) Zum Beispiel \(\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}\) b) \(\frac{3}{7}=\frac{1}{2}-\frac{1}{14}\) c) Die Darstellung mit Subtraktion ist kürzer und verwendet kleinere Nenner.