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- Wird hier eine vorhandene Menge auf gleich viele Empfänger verteilt oder werden Gruppen gezählt? - Drei gleich große Anteile müssen zusammen wieder die gesamte Saftmenge ergeben. - Prüfe dein Ergebnis mit der Umkehraufgabe Multiplikation.

1. Die Gesamtmenge wird in drei gleich große Teile geteilt. 2. \(\frac{3}{4}:3=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{4}\).

In jedes Glas kommen \(\frac{1}{4}\,\text{l}\).

- Frage dich, wie oft die Glasmenge in der Gesamtmenge enthalten ist. - Schreibe diese Frage als Division zweier Brüche. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die Anzahl der Gläser wieder mit \(\frac{1}{4}\,\text{l}\) multiplizierst.

1. Gesucht ist, wie oft \(\frac{1}{4}\,\text{l}\) in \(\frac{3}{4}\,\text{l}\) enthalten ist. 2. \(\frac{3}{4}:\frac{1}{4}=3\).

\(\frac{3}{4}:\frac{1}{4}=3\). Es können \(3\) volle Gläser gefüllt werden.

- Beim Kehrwert werden die Rollen von Zähler und Nenner vertauscht. - Prüfe, ob das Produkt aus dem Bruch und deinem Ergebnis \(1\) ergibt. - Der Kehrwert eines positiven Bruchs ist wieder positiv.

1. Beim Kehrwert werden Zähler und Nenner vertauscht. 2. Der Kehrwert von \(\frac{3}{5}\) ist daher \(\frac{5}{3}\).

\(\frac{5}{3}\)

- Kannst du den Zähler direkt durch die Zahl teilen? - Was passiert mit dem Nenner, wenn du den Zähler nicht glatt teilen kannst? - Wie schreibst du eine gemischte Zahl als Bruch, bevor du rechnest?

1. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl, wenn der Zähler teilbar ist: \(\frac{8}{11} : 4 = \frac{8 : 4}{11} = \frac{2}{11}\). 2. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl durch Multiplikation des Nenners: \(\frac{5}{6} : 3 = \frac{5}{6 \cdot 3} = \frac{5}{18}\). 3. Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}\). 4. Division durch die ganze Zahl: \(\frac{5}{3} : 5 = \frac{5 : 5}{3} = \frac{1}{3}\).

a) \(\frac{2}{11}\) b) \(\frac{5}{18}\) c) \(\frac{1}{3}\)

- Welche Rechenart beschreibt das gleichmäßige Verteilen auf vier Kisten? - Schreibe die Division durch \(4\) als Multiplikation mit einem Bruch. - Für b) brauchst du die in a) gefundene Bruchmenge dreimal.

1. Pro Kiste: \(\frac{5}{7}:4=\frac{5}{7}\cdot\frac{1}{4}=\frac{5}{28}\,\text{l}\). 2. Für drei Kisten: \(3\cdot\frac{5}{28}=\frac{15}{28}\,\text{l}\).

a) \(\frac{5}{28}\,\text{l}\) b) \(\frac{15}{28}\,\text{l}\)

- Was fällt dir an Zähler und Nenner der beiden Faktoren auf? - Was bedeutet es für die Größe der Teile, wenn man eine vorhandene Menge halbiert? - Kannst du das Ergebnis von b) noch vereinfachen?

1. Berechnung von a): \(\frac{5 \cdot 9}{9 \cdot 5} = \frac{45}{45} = 1\). 2. Erklärung zu a): Das Produkt aus einem Bruch und seinem Kehrwert ergibt immer \(1\), da Zähler und Nenner sich gegenseitig zu \(1\) kürzen lassen. 3. Berechnung von b): Die Division durch \(2\) entspricht der Multiplikation mit \(\frac{1}{2}\). Also \(\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{10}\). 4. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\).

a) \(1\); Erklärung: Das Produkt einer Zahl mit ihrem Kehrwert ist immer \(1\). b) \(\frac{2}{5}\)

- Stelle für jede Gruppe eine Divisionsaufgabe auf. - Wie rechnet man einen Bruch geteilt durch eine ganze Zahl? - Vergleiche die beiden Brüche am Ende, indem du sie falls nötig auf den gleichen Nenner bringst.

1. Berechnung für Gruppe A: \(\frac{3}{4} : 6 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\). Jede Person in Gruppe A erhält \(\frac{1}{8}\) einer Pizza. 2. Berechnung für Gruppe B: \(\frac{1}{2} : 4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}\). Jede Person in Gruppe B erhält \(\frac{1}{8}\) einer Pizza. 3. Vergleich: \(\frac{1}{8} = \frac{1}{8}\). Beide Gruppen erhalten exakt die gleiche Menge an Pizza pro Person.

Beide Gruppen erhalten pro Person gleich viel: \(\frac{1}{8}\) einer Pizza.

- Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen Bruch um? - Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn du den Kehrwert des zweiten Bruchs bildest? - Schau dir die Nenner der beiden Brüche an – fällt dir etwas auf?

1. Umwandlung der gemischten Zahlen in unechte Brüche: \(2 \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}\) und \(1 \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}\). 2. Multiplikation des ersten Bruchs mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs: \(\frac{8}{3} : \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{4}\). 3. Kürzen der gemeinsamen Faktoren (die 3 im Zähler und Nenner): \(\frac{8}{1} \cdot \frac{1}{4} = \frac{8}{4}\). 4. Berechnung des Endergebnisses: \(\frac{8}{4} = 2\).

\(2\)

- Denk daran, zuerst die gemischten Zahlen umzuwandeln. - Kannst du vor dem Multiplizieren über Kreuz kürzen, um die Rechnung zu vereinfachen? - Vergiss nicht, das Ergebnis am Ende wieder als gemischte Zahl zu schreiben.

1. Umwandlung in unechte Brüche: \(3 \frac{3}{4} = \frac{15}{4}\) und \(2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\). 2. Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{15}{4} \cdot \frac{2}{5}\). 3. Kürzen vor dem Rechnen: \(\frac{15}{5} = 3\) und \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). 4. Multiplikation der gekürzten Werte: \(3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\). 5. Umwandlung in eine gemischte Zahl: \(\frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}\).

\(1 \frac{1}{2}\)

- Zähle in A zunächst alle gleich großen Teile und die markierten Teile. - Vergleiche danach die drei Abbildungen B, C und D miteinander. - Prüfe, ob die drei gleich großen Teilmengen zusammen wieder genau die Markierung aus A ergeben.

1. In A sind \(6\) von \(8\) gleich großen Teilen markiert. Die Ausgangsmenge ist daher \(\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\,\text{l}\). 2. In B, C und D sind jeweils \(2\) von \(8\) Teilen markiert. Jeder Becher enthält also \(\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\,\text{l}\). 3. Die passende Rechnung lautet \(\frac{3}{4}:3=\frac{1}{4}\). Die drei gleich großen Becheranteile ergeben zusammen wieder die in A dargestellte Ausgangsmenge.

a) \(\frac{3}{4}\,\text{l}\) b) \(\frac{3}{4}:3=\frac{1}{4}\,\text{l}\) c) B, C und D zeigen drei gleich große Teilmengen, die zusammen genau die Ausgangsmenge aus A bilden.

- Nutze die beschriftete erste positive Stelle, um die Schrittweite des Zahlenstrahls zu erkennen. - Bestimme den Wert von Z durch gleichmäßiges Weiterzählen auf der Skala. - Formuliere „Wie viele gleich lange Teilstrecken passen in die Gesamtstrecke?“ als Division.

1. Die Skala zeigt Schritte der Länge \(\frac{1}{2}\). Z liegt beim dritten solchen Schritt, also bei \(\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}\). 2. Zwischen \(0\) und Z liegen drei Teilstrecken der Länge \(\frac{1}{2}\). 3. Die passende Rechnung lautet \(1\frac{1}{2}:\frac{1}{2}=3\).

a) \(Z=1\frac{1}{2}\) b) \(3\) Teilstrecken c) \(1\frac{1}{2}:\frac{1}{2}=3\)

- Lies zuerst aus dem Balken ab, welcher Bruchteil eines Liters gelb markiert ist. - Die Frage „Wie oft passt \(\frac{1}{8}\) hinein?“ führt zu einer Division. - Kontrolliere die Anzahl, indem du sie mit einer Becherfüllung multiplizierst.

1. Aus dem Balken liest man \(\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\,\text{l}\) Saft ab. 2. Gesucht ist, wie oft \(\frac{1}{8}\,\text{l}\) in dieser Menge enthalten ist. 3. \(\frac{3}{4}:\frac{1}{8}=\frac{3}{4}\cdot8=6\).

\(\frac{3}{4}:\frac{1}{8}=6\). Es lassen sich \(6\) volle Becher füllen.

- Entscheide zuerst, ob hier eine Gesamtmenge gleichmäßig auf eine bekannte Anzahl verteilt wird oder ob eine feste Portionsgröße wiederholt in die Gesamtmenge passen soll. - Welche Rechenoperation beschreibt das Bestimmen der Anzahl gleich großer Portionen? - Nutze anschließend die Regel für die Division durch einen Bruch.

1. Gesucht ist, wie oft die Portionsgröße in der Gesamtmenge enthalten ist. Daher lautet die Rechnung \(6:\frac{3}{4}\). 2. Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit seinem Kehrwert: \(6\cdot\frac{4}{3}=8\). 3. Es entstehen \(8\) Portionen.

Gesucht ist, wie oft \(\frac{3}{4}\,\text{l}\) in \(6\,\text{l}\) enthalten ist. Daher \(6:\frac{3}{4}=6\cdot\frac{4}{3}=8\). Mirela erhält \(8\) Portionen.

- Wie dividiert man einen Bruch durch eine ganze Zahl? - Denk daran, gemischte Zahlen vor der Rechnung immer in unechte Brüche umzuwandeln. - Es hilft oft, Dezimalzahlen zuerst in Brüche umzuschreiben. - Was musst du beim Vorzeichen beachten, wenn du eine positive durch eine negative Zahl teilst?

1. Teilaufgabe a: Division durch eine ganze Zahl als Multiplikation mit dem Kehrwert schreiben: \(\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{10} = \frac{5}{60}\). Kürzen durch 5 ergibt \(\frac{1}{12}\). 2. Teilaufgabe b: Gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln: \(3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzen: \(\frac{10}{3} \cdot \frac{9}{5} = \frac{90}{15}\). Das Ergebnis ist \(6\). 3. Teilaufgabe c: Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln: \(-2{,}5 = -\frac{5}{2}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzen: \(-\frac{5}{2} \cdot \frac{8}{5}\). Die 5 kürzt sich weg, \(- \frac{8}{2} = -4\). 4. Teilaufgabe d: Dezimalzahl umwandeln: \(-0{,}6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}\). Rechnung: \(\frac{12}{25} \cdot (-\frac{5}{3})\). Kürzen: \(\frac{12 \cdot (-5)}{25 \cdot 3} = \frac{4 \cdot (-1)}{5 \cdot 1} = -\frac{4}{5}\).

a) \(\frac{1}{12}\) b) \(6\) c) \(-4\) d) \(-\frac{4}{5}\)

- Erinnerst du dich an die Regel „Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner“ nach dem Umdrehen des zweiten Bruchs? - Du kannst über Kreuz kürzen, bevor du die Zahlen multiplizierst. Das spart viel Rechenarbeit! - Wie wandelt man eine gemischte Zahl so um, dass man mit ihr rechnen kann?

1. Teilaufgabe a: Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{21}{40} \cdot \frac{15}{14}\). Kürzen: 21 und 14 durch 7, 15 und 40 durch 5. Rechnung: \(\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 2} = \frac{9}{16}\). 2. Teilaufgabe b: Umwandeln in unechte Brüche: \(\frac{45}{8} : \frac{9}{4}\). Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{45}{8} \cdot \frac{4}{9}\). Kürzen: 45 und 9 durch 9, 4 und 8 durch 4. Rechnung: \(\frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}\). 3. Teilaufgabe c: Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{48}{125} \cdot \frac{25}{16}\). Kürzen: 48 und 16 durch 16 (ergibt 3 und 1), 25 und 125 durch 25 (ergibt 1 und 5). Rechnung: \(\frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{3}{5}\).

a) \(\frac{9}{16}\) b) \(2\frac{1}{2}\) (oder \(2{,}5\)) c) \(\frac{3}{5}\) (oder \(0{,}6\))

- Überlege bei a), wie sich der Quotient verändert, wenn ein positiver Bruch durch Zahlen größer oder kleiner als \(1\) geteilt wird. - Arbeite bei b) von dem bekannten Quotienten rückwärts und nutze die passende Umkehroperation. - Welche allgemeine Beziehung besteht zwischen der Division durch einen Bruch und einer Multiplikation?

1. Für a) gilt \(I=\frac{1}{4}\), \(II=1\) und \(III=\frac{1}{8}\). Somit ist \(III<I<II\). 2. Für b) muss \(\frac{3}{7}:\square=\frac{9}{14}\) gelten. Durch Rückwärtsrechnen ergibt sich \(\square=\frac{2}{3}\). 3. Für c) ist die Aussage wahr: Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit seinem Kehrwert; der Kehrwert von \(\frac{2}{3}\) ist \(\frac{3}{2}=1{,}5\).

a) \(III<I<II\) b) \(\square=\frac{2}{3}\) c) Wahr, denn durch \(\frac{2}{3}\) zu dividieren bedeutet mit dem Kehrwert \(\frac{3}{2}=1{,}5\) zu multiplizieren.

- Was passiert mit der Anzahl der Teile, wenn du den Zähler änderst? - Was passiert mit der Größe der einzelnen Teile, wenn du den Nenner änderst? - Überlege dir ein einfaches Beispiel, zum Beispiel eine Pizza.

1. Multiplikation mit \(n\): Der Zähler wird mit \(n\) multipliziert, der Nenner bleibt gleich: \(\frac{a\cdot n}{b}\). Da der Bruch positiv und \(n>1\) ist, ist das Ergebnis größer als der ursprüngliche Bruch. 2. Division durch \(n\): Das entspricht der Multiplikation mit \(\frac{1}{n}\): \(\frac{a}{b}\cdot\frac{1}{n}=\frac{a}{b\cdot n}\). Da \(0<\frac{1}{n}<1\) gilt, ist das Ergebnis kleiner als der ursprüngliche Bruch. 3. Vergleich: Die Multiplikation vervielfacht den positiven Bruchwert um den Faktor \(n\); die Division teilt ihn in \(n\) gleich große Teile.

Für einen positiven Bruch gilt: Bei der Multiplikation mit \(n>1\) wird der Zähler mit \(n\) multipliziert, sodass der Bruchwert steigt. Bei der Division durch \(n\) wird der Nenner mit \(n\) multipliziert, sodass der Bruchwert sinkt.

- Führe zuerst beide Rechnungen getrennt voneinander durch. - Kürze deine Ergebnisse so weit wie möglich, bevor du sie vergleichst. - Wie oft passt das kleinere Ergebnis in das größere?

1. Berechnung der Multiplikation: \(\frac{2}{5} \cdot 4 = \frac{2 \cdot 4}{5} = \frac{8}{5}\). 2. Berechnung der Division: \(\frac{2}{5} : 4 = \frac{2}{5 \cdot 4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(\frac{8}{5} : \frac{1}{10} = \frac{8}{5} \cdot \frac{10}{1} = \frac{80}{5} = 16\). 4. Begründung: Da die Multiplikation den Wert vervierfacht (\(\cdot 4\)) und die Division den Wert viertelt (\(: 4\)), ist der Unterschied der Faktor \(4 \cdot 4 = 16\).

1. Multiplikation: \(\frac{8}{5}\) (oder \(1\frac{3}{5}\)). 2. Division: \(\frac{1}{10}\). 3. Das Ergebnis der Multiplikation ist 16-mal so groß wie das der Division, da \(4 \cdot 4 = 16\) gilt.

- Achte auf die Vorzeichenregeln wie bei ganzen Zahlen. - Kannst du vor dem Ausmultiplizieren im Nenner bereits kürzen? - Wandle Dezimalzahlen zuerst in Brüche um.

1. Beachtung des Vorzeichens und Division des Zählers: \(-\frac{15}{16} : 5 = -\frac{15 : 5}{16} = -\frac{3}{16}\). 2. Multiplikation des Nenners und Kürzen: \(\frac{7}{8} : 14 = \frac{7}{8 \cdot 14} = \frac{1}{8 \cdot 2} = \frac{1}{16}\). 3. Umwandlung der gemischten Zahl: \(2\frac{4}{7} = \frac{18}{7}\). Division durch 6: \(\frac{18 : 6}{7} = \frac{3}{7}\). 4. Umwandlung der Dezimalzahl in einen Bruch: \(0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\). Division: \(\frac{2}{5} : 8 = \frac{2}{5 \cdot 8} = \frac{1}{5 \cdot 4} = \frac{1}{20}\).

a) \(-\frac{3}{16}\) b) \(\frac{1}{16}\) c) \(\frac{3}{7}\) d) \(\frac{1}{20}\)

- Manchmal ist es einfacher, den Zähler zu dividieren, manchmal den Nenner zu multiplizieren. - Suche nach einem gemeinsamen Teiler zwischen dem Zähler des Bruchs und dem Divisor. - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob der Bruch noch weiter gekürzt werden kann.

1. Division des Zählers durch die ganze Zahl: \(\frac{121 : 11}{144} = \frac{11}{144}\). 2. Multiplikation im Nenner und Kürzen: \(\frac{7}{15 \cdot 21} = \frac{1}{15 \cdot 3} = \frac{1}{45}\). 3. Umwandlung in einen unechten Bruch: \(-4\frac{2}{3} = -\frac{14}{3}\). Division durch 14: \(-\frac{14 : 14}{3} = -\frac{1}{3}\). 4. Multiplikation im Nenner und Kürzen durch 5: \(\frac{25}{36 \cdot 10} = \frac{5}{36 \cdot 2} = \frac{5}{72}\).

a) \(\frac{11}{144}\) b) \(\frac{1}{45}\) c) \(-\frac{1}{3}\) d) \(\frac{5}{72}\)

- Wandle die gemischten Zahlen zuerst in unechte Brüche um. - Durch eine ganze Zahl zu teilen bedeutet, mit ihrem Kehrwert zu multiplizieren. - Vergleiche die beiden gekürzten Brüche mit einem gemeinsamen Nenner.

1. Gruppe A: \(3\frac{1}{3}:4=\frac{10}{3}:4=\frac{10}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{5}{6}\,\text{l}\). 2. Gruppe B: \(2\frac{2}{5}:3=\frac{12}{5}:3=\frac{12}{5}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{5}\,\text{l}\). 3. Mit Nenner \(30\) gilt \(\frac{5}{6}=\frac{25}{30}>\frac{24}{30}=\frac{4}{5}\). Gruppe A hat mehr Wasser pro Flasche.

Gruppe A: \(\frac{5}{6}\,\text{l}\) Gruppe B: \(\frac{4}{5}\,\text{l}\) Da \(\frac{5}{6}>\frac{4}{5}\), ist in Gruppe A mehr Wasser pro Flasche.

- Was passiert allgemein mit einer positiven Zahl, wenn man sie mit einer Zahl größer als 1 multipliziert? - Was passiert im Gegensatz dazu bei der Division durch eine Zahl größer als 1? - Überlege dir zur Probe, wie viel „vier mal drei Achtel“ im Vergleich zu „einem Viertel von drei Achteln“ ist.

1. Begründung ohne Rechnung: Da die Zahl 4 größer als 1 ist, bewirkt eine Multiplikation mit 4 eine Vergrößerung des Ausgangswerts \(\frac{3}{8}\), während eine Division durch 4 eine Verkleinerung bewirkt. Daher muss \(A > B\) gelten. 2. Berechnung von A: \(\frac{3}{8} \cdot 4 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). 3. Berechnung von B: \(\frac{3}{8} : 4 = \frac{3}{8 \cdot 4} = \frac{3}{32} = 0{,}09375\). 4. Vergleich: Da \(1{,}5 > \frac{3}{32}\), ist die Vermutung bestätigt.

\(A\) ist größer. Begründung: Multiplikation mit einer Zahl \(> 1\) vergrößert den Wert, Division durch eine Zahl \(> 1\) verkleinert ihn. Ergebnisse: \(A = \frac{3}{2}\) (oder \(1\frac{1}{2}\)), \(B = \frac{3}{32}\).

- Berechne zuerst für jede Gruppe separat, wie viel Pizza eine einzelne Person bekommt. - Wie vergleicht man zwei Brüche miteinander, die unterschiedliche Nenner haben? - Hilft es dir, die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen?

1. Berechnung des Anteils pro Person in Gruppe A durch Division: \(\frac{3}{4} : 6 = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\). 2. Berechnung des Anteils pro Person in Gruppe B durch Division: \(\frac{2}{3} : 4 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\). 3. Vergleich der Brüche: Da \(\frac{1}{6} = \frac{4}{24}\) und \(\frac{1}{8} = \frac{3}{24}\) gilt, ist \(\frac{1}{6} > \frac{1}{8}\). 4. Ergebnis: In Gruppe B erhält eine Person einen größeren Anteil.

In Gruppe B erhält eine einzelne Person ein größeres Stück (\(\frac{1}{6}\) der Pizza im Vergleich zu \(\frac{1}{8}\) in Gruppe A).

- Kannst du die gemischte Zahl zuerst in einen unechten Bruch umwandeln? - Weißt du, wie man eine Dezimalzahl als Bruch schreibt? - Was passiert mit dem Nenner, wenn du einen Bruch durch eine ganze Zahl teilst? - Denk an die Vorzeichenregeln bei der Division.

1. Berechnung von a: \(\frac{8}{9} : 4 = \frac{8}{9 \cdot 4} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}\). 2. Berechnung von b: Umwandlung der gemischten Zahl \(2\frac{2}{5} = \frac{12}{5}\). Division: \(\frac{12}{5} : 6 = \frac{12}{5 \cdot 6} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}\). 3. Berechnung von c: Umwandlung der Dezimalzahl \(0{,}75 = \frac{3}{4}\). Division: \(\frac{3}{4} : 3 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\). 4. Berechnung von d: Berücksichtigung des Vorzeichens. \(\frac{12}{13} : (-3) = -\frac{12}{13 \cdot 3} = -\frac{12}{39} = -\frac{4}{13}\).

a) \(\frac{2}{9}\) b) \(\frac{2}{5}\) c) \(\frac{1}{4}\) d) \(-\frac{4}{13}\)

- Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen der Division durch eine Zahl und der Multiplikation mit ihrem Kehrwert? - Was passiert, wenn du die Brüche in den Aufgaben C und D zuerst vereinfachst oder umwandelst? - Musst du wirklich alles bis zum Ende ausrechnen, um die Terme vergleichen zu können?

1. Wert von A: \(\frac{3}{4}:2=\frac{3}{4\cdot2}=\frac{3}{8}\). 2. Wert von B: Die Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac{1}{2}\) entspricht der Division durch 2. \(\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}\). 3. Wert von C: \(1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\). Division durch 4: \(\frac{3}{2}:4=\frac{3}{2\cdot4}=\frac{3}{8}\). 4. Wert von D: Kürzen von \(\frac{6}{4}\) ergibt \(\frac{3}{2}\). Division durch 4: \(\frac{3}{2}:4=\frac{3}{8}\). 5. Alle vier Terme haben denselben Wert.

A) \(\frac{3}{4}:2=\frac{3}{8}\) B) \(\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}\) C) \(1\frac{1}{2}:4=\frac{3}{2}:4=\frac{3}{8}\) D) \(\frac{6}{4}:4=\frac{3}{2}:4=\frac{3}{8}\) Also haben A, B, C und D denselben Wert.

- Setze die vorgegebenen Werte jeweils in den Term ein und vergleiche die Ergebnisse. - Arbeite bei b) vom vorgegebenen Termwert rückwärts. - Probiere für c) mehrere zunehmend große positive Werte und beschreibe das beobachtete Muster.

1. Für \(x=2\) gilt \(\frac{4}{5}:2=\frac{2}{5}\); für \(x=8\) gilt \(\frac{4}{5}:8=\frac{1}{10}\). 2. Für b) ist \(x=8\), weil bei diesem Wert der Term \(\frac{1}{10}\) ergibt. 3. Wird \(x\) größer, wird durch eine größere positive Zahl geteilt; der Termwert wird daher kleiner und nähert sich \(0\) an.

a) Für \(x=2\): \(\frac{2}{5}\); für \(x=8\): \(\frac{1}{10}\) b) \(x=8\) c) Der Termwert wird mit wachsendem \(x\) kleiner und nähert sich \(0\) an.

- Wie schreibt man eine Divisionsaufgabe allgemein als Bruch? - Was passiert mit dem Nenner, wenn man durch einen Bruch dividiert? - Kannst du vor dem Ausmultiplizieren im Zähler und Nenner kürzen?

1. Teilaufgabe a): Umwandlung in einen Doppelbruch \(\frac{\frac{14}{15}}{\frac{7}{10}}\). Berechnung durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{14}{15} \cdot \frac{10}{7} = \frac{140}{105}\). Kürzen durch 35 ergibt \(\frac{4}{3}\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung von \(12 : 5\) in \(\frac{12}{5}\), daraus ergibt sich der Doppelbruch \(\frac{\frac{12}{5}}{\frac{18}{25}}\). Berechnung: \(\frac{12}{5} \cdot \frac{25}{18} = \frac{2 \cdot 5}{1 \cdot 3} = \frac{10}{3}\). 3. Teilaufgabe c): Umwandlung in den Doppelbruch \(\frac{\frac{22}{7}}{11}\). Berechnung: \(\frac{22}{7} \cdot \frac{1}{11} = \frac{2}{7}\).

a) Doppelbruch: \(\frac{\frac{14}{15}}{\frac{7}{10}}\), Ergebnis: \(\frac{4}{3}\) b) Doppelbruch: \(\frac{\frac{12}{5}}{\frac{18}{25}}\), Ergebnis: \(\frac{10}{3}\) c) Doppelbruch: \(\frac{\frac{22}{7}}{11}\), Ergebnis: \(\frac{2}{7}\)

- Welche Rechnung wird durch die Klammern zuerst ausgeführt? - Wo muss der lange Hauptbruchstrich im Doppelbruch stehen? - Vergleiche die Position der Divisionen mit der Position der Bruchstriche.

1. Teilaufgabe a): Der Ausdruck \((12 : 4) : 2\) wird als Doppelbruch \(\frac{\frac{12}{4}}{2}\) geschrieben. Berechnung: \(\frac{3}{2} = 1{,}5\). Hier ist der Zähler selbst ein Bruch (\(\frac{12}{4}\)). 2. Teilaufgabe b): Der Ausdruck \(12 : (4 : 2)\) wird als Doppelbruch \(\frac{12}{\frac{4}{2}}\) geschrieben. Berechnung: \(\frac{12}{2} = 6\). Hier ist der Nenner selbst ein Bruch (\(\frac{4}{2}\)). 3. Vergleich: Die Ergebnisse \(\frac{3}{2}\) und \(6\) sind verschieden. Die Klammersetzung bestimmt, welcher Teil des Terms als „Hauptbruchstrich“ fungiert.

a) Doppelbruch: \(\frac{\frac{12}{4}}{2}\), Ergebnis: \(\frac{3}{2}\) (oder \(1{,}5\)) b) Doppelbruch: \(\frac{12}{\frac{4}{2}}\), Ergebnis: \(6\) Vergleich: Die Ergebnisse sind unterschiedlich, da der Hauptbruchstrich an verschiedenen Stellen steht.

- Wie macht man aus einer gemischten Zahl einen Bruch? - Kannst du den unteren Teil des großen Bruchs zuerst wie eine ganz normale Divisionsaufgabe lösen? - Erinnere dich an die Regel: „Man dividiert durch einen Bruch, indem man …“

1. Zähler umwandeln: \(3 \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\). 2. Nenner berechnen: \(\frac{7}{4} : \frac{5}{2} = \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}\). 3. Gesamtwert berechnen: Der Doppelbruch lautet nun \(\frac{\frac{7}{2}}{\frac{7}{10}}\). Berechnung durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{7}{2} \cdot \frac{10}{7} = \frac{70}{14} = 5\).

Der Zähler ist \(\frac{7}{2}\), der Nenner ist \(\frac{7}{10}\). Das Endergebnis ist \(5\).

- Was passiert mit einer Zahl, wenn man sie durch etwas teilt, das kleiner als 1 ist? - Wie verändert sich eine Zahl, wenn der Divisor größer als 1 ist? - Erinnere dich an die Regel für die Division von Brüchen: Mit welcher Zahl muss man stattdessen multiplizieren? - Wandle gemischte Zahlen immer zuerst in einen unechten Bruch um, bevor du rechnest. - Kannst du beim Multiplizieren der Brüche eventuell schon vorab kürzen?

1. Analyse der Divisoren: Der Divisor in (1) ist \( \frac{2}{3} \), was kleiner als 1 ist. Der Divisor in (2) ist \( 1\frac{1}{3} \), was größer als 1 ist. 2. Schlussfolgerung für a): Da die Division durch eine Zahl kleiner als 1 den Wert vergrößert, liefert Rechnung (1) ein Ergebnis \( > \frac{4}{5} \). 3. Berechnung (1): Multiplikation mit dem Kehrwert ergibt \( \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{10} \). Kürzen und Umwandeln führt zu \( \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} \). 4. Umwandlung für (2): Die gemischte Zahl \( 1\frac{1}{3} \) entspricht dem Bruch \( \frac{4}{3} \). 5. Berechnung (2): Multiplikation mit dem Kehrwert ergibt \( \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{20} \). Kürzen führt zum Ergebnis \( \frac{3}{5} \).

a) Bei Rechnung (1), da man durch eine Zahl teilt, die kleiner als 1 ist (\( \frac{2}{3} < 1 \)). b) (1) \( 1\frac{1}{5} \) (oder \( \frac{6}{5} \)); (2) \( \frac{3}{5} \).

- Kannst du eine Division durch eine Zahl auch als Multiplikation mit ihrem Kehrwert schreiben? - Ein Doppelbruch ist nur eine andere Schreibweise für eine Division zweier Brüche. Welches Rechenzeichen ersetzt der Hauptbruchstrich? - Achte bei mehreren Rechenzeichen auf die Reihenfolge (von links nach rechts), sofern keine Klammern etwas anderes vorgeben. - Kannst du vor dem Multiplizieren im Zähler und Nenner kürzen, um die Zahlen kleiner zu machen? - Vergiss bei Teilaufgabe b nicht, auf das Vorzeichen zu achten.

1. Teilaufgabe a: Der Ausdruck wird als Doppelbruch \(\frac{\frac{14}{25}}{\frac{7}{10}}\) geschrieben. Die Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{14}{25} \cdot \frac{10}{7}\). Durch Kürzen (\(14\) mit \(7\) und \(10\) mit \(25\)) erhält man \(\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 1} = \frac{4}{5}\). 2. Teilaufgabe b: Der Ausdruck wird als Doppelbruch \(\frac{-\frac{18}{35}}{\frac{9}{14}}\) dargestellt. Die Berechnung erfolgt durch \((-\frac{18}{35}) \cdot \frac{14}{9}\). Nach dem Kürzen (\(18\) mit \(9\) und \(14\) mit \(35\)) ergibt sich \(-\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 1} = -\frac{4}{5}\). 3. Teilaufgabe c: Zuerst wird die Division von links nach rechts oder durch Zusammenfassung der Teilschritte betrachtet. Als geschachtelter Doppelbruch geschrieben ergibt sich \(\frac{\frac{\frac{21}{16}}{\frac{7}{8}}}{3}\). Zuerst berechnet man den Zähler des Hauptbruchs: \(\frac{21}{16} \cdot \frac{8}{7} = \frac{3}{2}\). Danach dividiert man das Zwischenergebnis durch \(3\): \(\frac{3}{2} : 3 = \frac{3}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2}\).

a) Doppelbruch: \(\frac{\frac{14}{25}}{\frac{7}{10}}\), Ergebnis: \(\frac{4}{5}\) b) Doppelbruch: \(\frac{-\frac{18}{35}}{\frac{9}{14}}\), Ergebnis: \(-\frac{4}{5}\) c) Doppelbruch: \(\frac{\frac{\frac{21}{16}}{\frac{7}{8}}}{3}\), Ergebnis: \(\frac{1}{2}\)

- Was passiert mit dem Nenner eines Bruchs, wenn man den Bruch durch eine ganze Zahl teilt? - Erinnerst du dich an die Regel „Mit dem Kehrwert multiplizieren“? Wann wendet man sie an? - Wie geht man am besten vor, wenn in einer Divisionsaufgabe eine gemischte Zahl vorkommt? - Schau dir genau an, ob Lukas multipliziert oder dividiert hat und ob das zur Rechenregel passt.

1. In Teilaufgabe a) wurde der Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert, statt den Nenner zu multiplizieren oder den Zähler zu dividieren. Richtig: \(\frac{3}{7} : 3 = \frac{3}{7 \cdot 3} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}\) oder \(\frac{3 : 3}{7} = \frac{1}{7}\). 2. In Teilaufgabe b) wurde direkt Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert, anstatt mit dem Kehrwert des Divisors zu multiplizieren. Richtig: \(\frac{4}{5} : \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\). 3. In Teilaufgabe c) wurde die gemischte Zahl nicht in einen unechten Bruch umgewandelt. Lukas hat nur die ganze Zahl durch den Bruch geteilt und den restlichen Bruch addiert. Richtig: Umwandeln in \(\frac{5}{2}\), dann \(\frac{5}{2} : \frac{1}{4} = \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{1} = \frac{20}{2} = 10\).

a) Fehler: Zähler wurde multipliziert statt dividiert. Richtig: \(\frac{1}{7}\). b) Fehler: Es wurde kein Kehrwert gebildet. Richtig: \(\frac{6}{5}\) (oder \(1\frac{1}{5}\)). c) Fehler: Gemischte Zahl wurde nicht korrekt umgewandelt/verrechnet. Richtig: \(10\).

- Wie dividiert man durch einen Bruch? Denke an den Kehrwert. - Was musst du bei der Division mit negativen Zahlen beachten? - Wandle gemischte Zahlen vor dem Rechnen immer zuerst in unechte Brüche um. - Kannst du schon vor dem Multiplizieren über Kreuz kürzen, um dir das Rechnen zu erleichtern? - Vergiss nicht, das Endergebnis am Schluss wieder als gemischte Zahl zu schreiben, falls der Zähler größer als der Nenner ist.

1. Berechnung von a): Multiplikation mit dem Kehrwert ergibt \(\frac{15}{16} \cdot \frac{8}{5}\). Nach dem Kürzen von 15 gegen 5 und 8 gegen 16 erhält man \(\frac{3}{2}\), was \(1 \frac{1}{2}\) entspricht. 2. Berechnung von b): Umwandlung der gemischten Zahlen in unechte Brüche ergibt \(-\frac{8}{3} : \frac{10}{9}\). Multiplikation mit dem Kehrwert führt zu \(-\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{10}\). Kürzen ergibt \(-\frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 5} = -\frac{12}{5}\), umgewandelt \(-2 \frac{2}{5}\). 3. Berechnung von c): Multiplikation der ganzen Zahl mit dem Kehrwert ergibt \(10 \cdot (-\frac{3}{2})\). Dies führt zu \(- \frac{30}{2} = -15\). 4. Berechnung von d): Das Ergebnis zweier negativer Zahlen ist positiv. Multiplikation mit dem Kehrwert ergibt \(\frac{7}{12} \cdot \frac{9}{14}\). Nach dem Kürzen (7 gegen 14 und 9 gegen 12) erhält man \(\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}\).

a) \(1 \frac{1}{2}\) b) \(-2 \frac{2}{5}\) c) \(-15\) d) \(\frac{3}{8}\)

- Überlege dir, ob das Ergebnis größer oder kleiner als der Startwert sein muss. - Wie ändert sich die Rechnung, wenn man durch einen Bruch statt durch eine ganze Zahl teilt? - Was bedeutet „geteilt durch \(3\)“ im Vergleich zu „wie oft passt ein Drittel hinein“?

1. Berechnung von \(\frac{3}{5} : 3\): \(\frac{3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}\). Hier wird ein Anteil auf drei gleich große Gruppen verteilt (Verteilen). 2. Berechnung von \(\frac{3}{5} : \frac{1}{3}\): \(\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{1} = \frac{9}{5} = 1 \frac{4}{5}\). Hier wird ermittelt, wie oft ein Drittel in den Anteil von drei Fünfteln hineinpasst (Aufteilen bzw. Messen). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(\frac{1}{5}\) ist kleiner als der ursprüngliche Wert, \(1 \frac{4}{5}\) ist größer.

1. \(\frac{1}{5}\); 2. \(\frac{9}{5}\) (oder \(1 \frac{4}{5}\)). Unterschied: Bei 1. wird die Menge verkleinert (Teilen in 3 Stücke), bei 2. wird gefragt, wie oft ein kleiner Teil (\(\frac{1}{3}\)) in der Menge enthalten ist.

- Denk an Brüche, die zwischen 0 und 1 liegen. - Welche Vorzeichenregel gilt bei der Multiplikation von zwei negativen Zahlen? - Gibt es eine spezielle Zahl, durch die man niemals teilen darf? - Was ist eigentlich die Definition eines Kehrwerts?

1. Zu Teil a): Wähle die Zahl \(0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)). Der Kehrwert ist \(2\). Da \(2 > 0{,}5\), ist der Kehrwert größer als die ursprüngliche Zahl. 2. Zu Teil b): Wähle die Zahl \(-4\). Ihr Kehrwert ist \(-\frac{1}{4}\). Multiplikation: \((-4) \cdot (-\frac{1}{4}) = 1\). Das Ergebnis \(1\) ist positiv, nicht negativ. Das Produkt einer Zahl mit ihrem Kehrwert ist immer \(1\). 3. Zu Teil c): Betrachte die Zahl \(0\). Da die Division durch \(0\) mathematisch nicht definiert ist, existiert kein Kehrwert für die Null.

a) Gegenbeispiel: Der Kehrwert von \(0{,}5\) ist \(2\), also größer als die Ausgangszahl. b) Gegenbeispiel: \((-4)\cdot(-\frac14)=1\); das Ergebnis ist positiv. c) Gegenbeispiel: \(0\) besitzt keinen Kehrwert, weil Division durch \(0\) nicht definiert ist.

- Erinnere dich an die Definition des Kehrwerts eines Bruchs. - Was passiert mit Zähler und Nenner, wenn man den Kehrwert bildet? - Vergleiche die Rechenwege für die Division und die Multiplikation mit dem Kehrwert Schritt für Schritt.

1. Berechnung des Produkts: \(-\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}\). 2. Berechnung des Quotienten: \(-\frac{3}{4} : \frac{2}{3} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{8}\). 3. Der Kehrwert von \(b = \frac{2}{3}\) ist \(\frac{3}{2}\). Die Multiplikation \(a \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{8}\). 4. Feststellung: Die Ergebnisse aus b) und c) sind identisch. Dies bestätigt, dass die Division durch einen Bruch dasselbe ist wie die Multiplikation mit seinem Kehrwert.

a) \(-\frac{1}{2}\) b) \(-\frac{9}{8}\) c) Das Ergebnis ist \(-\frac{9}{8}\). Die Ergebnisse in b) und c) sind gleich.

- Welche Regel verwendest du für die Division durch einen Bruch? - Vergleiche die beiden berechneten negativen Zahlen mithilfe ihrer Lage relativ zu \(0\). - Auf der Zahlengeraden liegt die größere Zahl weiter rechts.

1. \(x=(-10)\cdot\frac{2}{5}=-4\). 2. \(y=(-10):\frac{2}{5}=(-10)\cdot\frac{5}{2}=-25\). 3. Da \(-4>-25\), liegt \(x\) weiter rechts auf der Zahlengeraden.

\(x=-4\) und \(y=-25\). Da \(-4>-25\), liegt \(x\) weiter rechts auf der Zahlengeraden.

- Berechne beide Terme zunächst mit den vorgegebenen Zahlen. - Schreibe die Division im ersten Term als Multiplikation um. - Vergleiche danach Zähler und Nenner der allgemeinen Ausdrücke.

1. \(T_1=\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{6}\). 2. \(T_2=\frac{2\cdot5}{3\cdot4}=\frac{5}{6}\). 3. Allgemein ist die Division durch \(\frac{c}{d}\) die Multiplikation mit \(\frac{d}{c}\). Daher entsteht \(\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\). 4. Die Bedingungen sichern, dass die Nenner und der Divisor zulässig sind.

a) Beide Terme ergeben \(\frac{5}{6}\). b) Für \(b\ne0\), \(c\ne0\), \(d\ne0\) sind die Terme äquivalent, weil Division durch einen Bruch Multiplikation mit seinem Kehrwert bedeutet.

- Bringe vor jeder Division beide Zahlen in Bruchform. - Welche Rechenart ersetzt eine Division durch einen Bruch? - Achte darauf, den Kehrwert nur vom Divisor zu bilden. - Prüfe bei negativen Zahlen zusätzlich das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. \(5 : \frac{4}{9} = \frac{5}{1}\cdot\frac{9}{4} = \frac{45}{4} = 11\frac{1}{4}\). 2. \(-0{,}75 = -\frac{3}{4}\). Daher gilt \(-\frac{3}{4} : \frac{4}{9} = -\frac{3}{4}\cdot\frac{9}{4} = -\frac{27}{16} = -1\frac{11}{16}\). 3. \(-3\frac{1}{5} = -\frac{16}{5}\). Daher gilt \(\frac{4}{9} : \left(-\frac{16}{5}\right) = \frac{4}{9}\cdot\left(-\frac{5}{16}\right) = -\frac{5}{36}\). 4. \(-\frac{16}{5} : 5 = -\frac{16}{5}\cdot\frac{1}{5} = -\frac{16}{25}\).

a) \(\frac{45}{4} = 11\frac{1}{4}\) b) \(-\frac{27}{16} = -1\frac{11}{16}\) c) \(-\frac{5}{36}\) d) \(-\frac{16}{25}\)

- Wandle Dezimalzahlen zunächst in Brüche um. - Ersetze jede Division durch die entsprechende Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors. - Prüfe bei jedem Quotienten das Vorzeichen. - Überlege bei Teil d), welche Voraussetzung erfüllt sein muss, damit ein Kehrwert existiert.

1. \(-4{,}5 = -\frac{9}{2}\). Daher gilt \(-\frac{9}{2} : \frac{3}{2} = -\frac{9}{2}\cdot\frac{2}{3} = -3\). 2. \(2{,}5 = \frac{5}{2}\). Daher gilt \(\frac{2}{5} : \frac{5}{2} = \frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5} = \frac{4}{25} = 0{,}16\). 3. \(-1{,}4 = -\frac{7}{5}\). Daher gilt \(\frac{7}{10} : \left(-\frac{7}{5}\right) = \frac{7}{10}\cdot\left(-\frac{5}{7}\right) = -\frac{1}{2}\). 4. Für \(0\) gibt es keinen Kehrwert, denn \(\frac{1}{0}\) ist nicht definiert. Deshalb ist auch eine Division durch \(0\) nicht definiert.

a) \(-3\) b) \(\frac{4}{25} = 0{,}16\) c) \(-\frac{1}{2}\) d) Die Division ist nicht definiert, weil \(0\) keinen Kehrwert besitzt.

- Zerlege die Aufgabe in zwei Teile: berechne erst den Bruchteil und nutze diesen dann für die Energiemenge. - Wenn du weißt, welcher Bruchteil \(14\,\text{Wh}\) entspricht, wie kommst du dann auf das Ganze? - Überlege genau, wie viel vom Akku nach dem ersten Schritt noch übrig war.

1. Berechnung der Restladung nach dem Vormittag: \(1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}\). 2. Berechnung des verbleibenden Anteils nach der Pause: \(1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\). 3. Multiplikation der Anteile für Teilaufgabe a: \(\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{21}{72} = \frac{7}{24}\). 4. Berechnung des Grundwerts für Teilaufgabe b: \(14\,\text{Wh} : \frac{7}{24} = 14 \cdot \frac{24}{7} = 2 \cdot 24 = 48\,\text{Wh}\).

a) \(\frac{7}{24}\) b) \(48\,\text{Wh}\)