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- Schau dir genau an, was sich von der linken zur rechten Seite des Gleichheitszeichens verändert. - Ändert sich nur die Reihenfolge der Zahlen? - Werden Klammern umgesetzt, während die Zahlen an ihrem Platz bleiben? - Wird eine Zahl „hineinmultipliziert“ oder „ausgeklammert“?

1. Analyse von Ausdruck a: Die Positionen der Summanden bleiben gleich, aber die Klammern werden anders gesetzt, um Teilsummen zu bilden. Dies ist das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz). 2. Analyse von Ausdruck b: Die Reihenfolge der Faktoren wird vertauscht, ohne das Ergebnis zu ändern. Dies ist das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz). 3. Analyse von Ausdruck c: Ein Faktor wird mit einer Summe multipliziert, indem er auf jeden Summanden einzeln verteilt wird. Dies ist das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz).

a) Assoziativgesetz b) Kommutativgesetz c) Distributivgesetz

- Suche nach zwei Summanden, die zusammen eine ganze Zahl ergeben. - Beim Addieren darfst du Summanden passend zusammenfassen. - Berechne erst nach deiner Wahl die gesamte Summe.

1. In A ergänzen sich \(2{,}7\) und \(3{,}3\) direkt zu \(6\). 2. Dann gilt \(6+1{,}5=7{,}5\). 3. Deshalb ist A) besonders günstig.

A), denn \(2{,}7+3{,}3=6\). Damit ist die Summe \(7{,}5\).

- Der Faktor vor der Klammer muss in der umgeformten Summe zweimal vorkommen. - Verändere nicht die beiden Summanden \(3\) und \(2\). - Der Auftrag verlangt eine Umformung, nicht den Zahlenwert.

1. Der Faktor \(4\) vor der Klammer wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert. 2. Daher gilt \(4\cdot(3+2)=4\cdot3+4\cdot2\).

\(4\cdot3+4\cdot2\)

- Gibt es zwei Zahlen in der Folge, deren Produkt eine besonders einfache Zahl (wie 10, 100 oder eine ganze Zahl) ergibt? - Darf man beim Multiplizieren die Reihenfolge der Faktoren und ihre Gruppierung verändern? - Welche Gesetze erlauben das Vertauschen und das Gruppieren der Faktoren?

1. Anwendung des Kommutativgesetzes zum Vertauschen der Faktoren und des Assoziativgesetzes zum Gruppieren: \((2{,}5 \cdot 4) \cdot 13\). 2. Berechnung des ersten Teilprodukts: \(2{,}5 \cdot 4 = 10\). 3. Multiplikation des Zwischenergebnisses mit dem verbleibenden Faktor: \(10 \cdot 13 = 130\). 4. Identifikation der Gesetze: Zum Vertauschen wurde das Kommutativgesetz, zum neuen Gruppieren das Assoziativgesetz angewendet.

Ergebnis: \(130\); angewendete Gesetze: Kommutativ- und Assoziativgesetz.

- Berechne zuerst den Wert in der Klammer auf der linken Seite. - Achte auf der rechten Seite besonders auf die Vorzeichenregeln, wenn du negative Zahlen subtrahierst. - Wie nennt man das Gesetz, bei dem man eine Zahl mit jedem Teil einer Differenz oder Summe einzeln multipliziert?

1. Berechnung der linken Seite: \((-5) \cdot (20 - 4) = (-5) \cdot 16 = -80\). 2. Berechnung der rechten Seite: \((-5) \cdot 20 - (-5) \cdot 4 = -100 - (-20) = -100 + 20 = -80\). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(-80 = -80\), die Gleichung ist korrekt. 4. Identifikation des Gesetzes: Da der Faktor \(-5\) auf die Glieder in der Klammer verteilt wurde, handelt es sich um das Distributivgesetz.

Die Gleichung ist korrekt (beide Seiten ergeben \(-80\)). Es handelt sich um das Distributivgesetz.

- Schau dir die Nenner der Brüche genau an. Welche passen gut zusammen? - Kannst du die Subtraktion als Addition der Gegenzahl schreiben und die Summanden dann umordnen und neu gruppieren? - Kannst du die Rechnung in zwei einfachere Teilrechnungen zerlegen?

1. Schreibe die Subtraktion als Addition der Gegenzahl: \(5\frac{3}{8}+4\frac{2}{5}+(-2\frac{3}{8})+1\frac{3}{5}\). 2. Gruppiere passende Summanden: \((5\frac{3}{8}-2\frac{3}{8})+(4\frac{2}{5}+1\frac{3}{5})\). 3. Das ergibt \(3+6=9\).

\((5\frac{3}{8}-2\frac{3}{8})+(4\frac{2}{5}+1\frac{3}{5})=3+6=9\)

- Suche nach Dezimalzahlen, deren Nachkommastellen sich günstig ergänzen. - Welche zwei Paare ergeben jeweils eine ganze Zahl? - Addiere erst danach die beiden Zwischensummen.

1. Bilde die Paare \(0{,}85+3{,}15=4\) und \(2{,}14+1{,}86=4\). 2. Addiere die beiden Teilergebnisse: \(4\,\text{kg}+4\,\text{kg}=8\,\text{kg}\).

Eine günstige Paarbildung ist \((0{,}85+3{,}15)+(2{,}14+1{,}86)\). Das Gesamtgewicht beträgt \(8\,\text{kg}\).

- Kannst du einen Faktor in eine günstige Summe oder Differenz zerlegen? - Bei der Division helfen Summanden, die jeweils durch den Divisor teilbar sind. - Notiere neben dem Ergebnis auch ausdrücklich die verwendete Strategie.

1. \(15\cdot101=15\cdot(100+1)=1515\); genutzt wird das Distributivgesetz. 2. \(18\cdot9=18\cdot(10-1)=162\); genutzt wird das Distributivgesetz. 3. \(315:3=(300+15):3=105\); genutzt wird die Zerlegung in gut teilbare Summanden. 4. \(-22\cdot11=-22\cdot(10+1)=-242\); genutzt wird das Distributivgesetz.

a) \(1515\); Distributivgesetz mit \(101=100+1\) b) \(162\); Distributivgesetz mit \(9=10-1\) c) \(105\); Zerlegung \(315=300+15\) d) \(-242\); Distributivgesetz mit \(11=10+1\)

- Gibt es Faktoren, die in mehreren Teilen derselben Aufgabe vorkommen? - Kannst du bei b) passend umordnen und gruppieren? - Wo lässt sich ein gemeinsamer Faktor ausklammern?

1. a) \(17\cdot[(-4)+(-6)]=17\cdot(-10)=-170\). 2. b) \((-45-55)+128=-100+128=28\). 3. c) \(0{,}5\cdot(19-9)=0{,}5\cdot10=5\).

a) \(17\cdot[(-4)+(-6)]=-170\) b) \((-45-55)+128=28\) c) \(0{,}5\cdot(19-9)=5\)

- Welche Zahl kommt in beiden Summanden als gemeinsamer Faktor vor? - Mit welchem Gesetz kann man diesen Faktor ausklammern? - Was ergibt die Summe der beiden Brüche?

1. Klammere \(-15{,}8\) aus: \(-15{,}8\cdot(\frac{3}{7}+\frac{4}{7})\). 2. Die Klammer ergibt \(1\). 3. Somit ist der Termwert \(-15{,}8\).

\(-15{,}8\cdot(\frac{3}{7}+\frac{4}{7})=-15{,}8\cdot1=-15{,}8\)

- Schau dir die Zahlen genau an: Gibt es einen Faktor, der in beiden Teilen der Summe vorkommt? - Kannst du den gemeinsamen Faktor mithilfe des Distributivgesetzes ausklammern? - Überlege, was passiert, wenn du die Dezimalzahlen zuerst addierst, bevor du mit dem Bruch multiplizierst.

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Ausklammern: \((0{,}4 + 0{,}7) \cdot \frac{5}{11}\) 2. Berechnung der Summe in der Klammer: \(0{,}4 + 0{,}7 = 1{,}1\) 3. Umwandlung der Dezimalzahl in einen Bruch: \(1{,}1 = \frac{11}{10}\) 4. Multiplikation der Brüche: \(\frac{11}{10} \cdot \frac{5}{11}\) 5. Kürzen von \(11\) gegen \(11\) und von \(5\) gegen \(10\): \(\frac{1}{2}\) oder \(0{,}5\) 6. Vergleich: Maries Weg ist effizienter, da die Summe \(1{,}1\) perfekt zum Nenner \(11\) passt und somit das Finden eines Hauptnenners für zwei Teilprodukte (wie bei Lukas) entfällt.

a) Das Ergebnis ist \(\frac{1}{2}\) (oder \(0{,}5\)). b) Maries Weg ist schneller, da durch das Ausklammern nur eine Multiplikation statt zwei nötig ist und die Summe \(1{,}1\) sich sehr einfach mit dem Nenner \(11\) kürzen lässt.

- Welcher Faktor kommt in beiden Summanden jeweils vor? - Fasse nach dem Ausklammern die Zahlen in der Klammer zusammen. - Kürze anschließend vor dem Multiplizieren, wenn möglich.

1. a) \(\frac{4}{7}\cdot(-13{,}2-0{,}8)=\frac{4}{7}\cdot(-14)=-8\). 2. b) \(\frac{2}{3}\cdot(-15{,}5+6{,}5)=\frac{2}{3}\cdot(-9)=-6\).

a) \(\frac{4}{7}\cdot(-13{,}2-0{,}8)=-8\) b) \(\frac{2}{3}\cdot(-15{,}5+6{,}5)=-6\)

- Welche Summanden ergänzen sich besonders günstig? - Welches Gesetz erlaubt das Vertauschen von Summanden? - Welches Gesetz erlaubt das neue Gruppieren der Summe?

1. Mit Kommutativ- und Assoziativgesetz kann man zu \((3{,}7+1{,}3)+(\frac{2}{3}+1\frac{1}{3})\) umordnen und gruppieren. 2. \(3{,}7+1{,}3=5\). 3. \(\frac{2}{3}+1\frac{1}{3}=2\). 4. \(5+2=7\).

\((3{,}7+1{,}3)+(\frac{2}{3}+1\frac{1}{3})=5+2=7\). Verwendet werden Kommutativgesetz und Assoziativgesetz.

- Multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Klammerglied. - Übernimm dabei die Rechenzeichen aus der Klammer korrekt. - Fasse erst nach den einfachen Teilprodukten zusammen.

1. Verteile den Faktor: \(12\cdot\frac{3}{4}-12\cdot0{,}5+12\cdot\frac{1}{6}\). 2. Die Teilprodukte sind \(9\), \(6\) und \(2\). 3. Damit gilt \(9-6+2=5\).

\(12\cdot\frac{3}{4}-12\cdot0{,}5+12\cdot\frac{1}{6}=9-6+2=5\)

- Welche Dezimalzahlen ergänzen sich zu ganzen Zahlen? - Bei mehreren Subtraktionen kannst du die abzuziehenden Zahlen als gemeinsame Summe betrachten. - Welche Paarbildung verkürzt die Rechnung im Kopf?

1. \((12{,}35+7{,}65)+(7{,}8+2{,}2)=20+10=30\). 2. \((24{,}7-4{,}7)-(3{,}9+6{,}1)=20-10=10\).

a) \((12{,}35+7{,}65)+(7{,}8+2{,}2)=30\) b) \((24{,}7-4{,}7)-(3{,}9+6{,}1)=10\)

- Suche nach Faktoren, die zusammen \(1\), \(10\) oder \(100\) ergeben. - Vertausche Faktoren nur innerhalb der Multiplikation. - Gruppiere anschließend die günstigen Paare.

1. \((\frac{2}{9}\cdot\frac{9}{2})\cdot(\frac{5}{11}\cdot22)=1\cdot10=10\). 2. \((12{,}5\cdot8)\cdot0{,}7=100\cdot0{,}7=70\).

a) \((\frac{2}{9}\cdot\frac{9}{2})\cdot(\frac{5}{11}\cdot22)=10\) b) \((12{,}5\cdot8)\cdot0{,}7=70\)

- In a) wird der Faktor vor der Klammer auf beide Summanden verteilt. - In b) suche den gemeinsamen Faktor der beiden Produkte. - Berechne anschließend die entstehenden einfachen Teilrechnungen.

1. \(42\cdot\frac{1}{7}+42\cdot\frac{1}{6}=6+7=13\). 2. \(17\cdot(3{,}8+6{,}2)=17\cdot10=170\).

a) \(42\cdot\frac{1}{7}+42\cdot\frac{1}{6}=13\) b) \(17\cdot(3{,}8+6{,}2)=170\)

- Welches Rechengesetz verbindet ein Produkt mit einer Differenz in der Klammer? - Löse die Klammer strukturell auf, bevor du die Teilprodukte berechnest. - Vergleiche anschließend die entstandene Form mit Term B.

1. Wende das Distributivgesetz an: \(20\cdot\frac{1}{4}-20\cdot0{,}2\). 2. Die beiden Teilprodukte sind \(5\) und \(4\). 3. Damit entsteht genau \(5-4\), also Term B.

\(20\cdot(\frac{1}{4}-0{,}2)=20\cdot\frac{1}{4}-20\cdot0{,}2=5-4\). Daher sind A und B gleichwertig.

- Wie wirkt das Distributivgesetz auf eine Summe in einer Klammer? - Was bedeutet es konkret, eine ganze Summe zu subtrahieren? - Vergleiche die Vorzeichen der beiden Klammerglieder nach dem Auflösen.

1. a) Nach dem Distributivgesetz entsteht rechts \(\frac{4}{9}\cdot2{,}7+\frac{4}{9}\cdot\frac{9}{4}\), und das zweite Produkt ist \(1\). Die Aussage ist richtig. 2. b) Beim Subtrahieren der ganzen Summe müssen beide Klammerglieder subtrahiert werden. Rechts wird \(\frac{1}{3}\) fälschlich addiert. Die Aussage ist falsch.

a) Richtig: \(\frac{4}{9}\cdot(2{,}7+\frac{9}{4})=\frac{4}{9}\cdot2{,}7+\frac{4}{9}\cdot\frac{9}{4}=\frac{4}{9}\cdot2{,}7+1\). b) Falsch: korrekt ist \(15{,}3-4{,}2-\frac{1}{3}\), weil die ganze Summe subtrahiert wird.

- Gibt es in den Teilaufgaben eine Zahl, die in beiden Produkten vorkommt? - Kannst du diese Zahl vor die Klammer ziehen? - Was ergibt die Summe oder Differenz in der Klammer?

1. \(15\cdot(48+52)=15\cdot100=1500\). 2. \(12{,}5\cdot(7-3)=12{,}5\cdot4=50\). 3. \((-20)\cdot(14+36)=(-20)\cdot50=-1000\).

a) \(15\cdot(48+52)=1500\) b) \(12{,}5\cdot(7-3)=50\) c) \((-20)\cdot(14+36)=-1000\)

- Welche Faktoren passen zu einer runden Zahl zusammen? - Wo gibt es einen gemeinsamen Faktor? - Welche einfache Summe lässt sich für \(11\) verwenden?

1. \((250\cdot4)\cdot13=1000\cdot13=13\,000\). 2. \((0{,}8+0{,}2)\cdot19=19\). 3. \(45\cdot(10+1)=450+45=495\).

a) \((250\cdot4)\cdot13=13\,000\) b) \((0{,}8+0{,}2)\cdot19=19\) c) \(45\cdot(10+1)=495\)

- Welche gemeinsame Struktur erkennst du in den beiden Divisionen von a)? - Suche in b) nach einem Faktor, der in allen drei Produkten vorkommt. - Fasse erst nach dieser Strukturentscheidung zusammen.

1. \((720-180):9=540:9=60\). 2. \(1{,}2\cdot(15+5-10)=1{,}2\cdot10=12\).

a) \((720-180):9=60\) b) \(1{,}2\cdot(15+5-10)=12\)

- Entscheide jeweils, ob Ausmultiplizieren oder Ausklammern günstiger ist. - Suche nach gemeinsamen Faktoren oder einfachen Teilprodukten. - Übernimm Plus- und Minuszeichen beim Anwenden des Distributivgesetzes korrekt.

1. \(24\cdot\frac{3}{8}+24\cdot\frac{1}{6}=9+4=13\). 2. \(\frac{5}{12}\cdot(\frac{4}{7}+\frac{3}{7})=\frac{5}{12}\). 3. \(15\cdot(\frac{7}{5}-\frac{2}{3})=21-10=11\).

a) \(24\cdot\frac{3}{8}+24\cdot\frac{1}{6}=13\) b) \(\frac{5}{12}\cdot(\frac{4}{7}+\frac{3}{7})=\frac{5}{12}\) c) \(15\cdot(\frac{7}{5}-\frac{2}{3})=11\)

- Subtraktion selbst ist nicht vertauschbar. Schreibe die abgezogenen Zahlen zunächst als negative Summanden. - Welche Summanden lassen sich danach zu glatten Zahlen gruppieren? - Nimm beim Umordnen jedes Vorzeichen mit seiner Zahl mit.

1. Schreibe die Subtraktionen als Addition negativer Summanden. 2. Gruppiere \((12{,}4-2{,}4)+(-5{,}8-1{,}2)=10-7\). 3. Das Ergebnis ist \(3\).

\((12{,}4-2{,}4)+(-5{,}8-1{,}2)=10-7=3\)

- Behandle einen subtrahierten Bruch beim Umordnen als negativen Summanden. - Welche Brüche haben denselben Nenner? - Suche nach Gruppen, die ein Ganzes oder dessen Gegenzahl ergeben.

1. Gruppiere \((\frac{7}{15}+\frac{8}{15})+(-\frac{3}{4}-\frac{1}{4})\). 2. Die Gruppen ergeben \(1\) und \(-1\), also insgesamt \(0\).

\((\frac{7}{15}+\frac{8}{15})+(-\frac{3}{4}-\frac{1}{4})=1-1=0\)

- Welche Terme lassen sich ohne Darstellungswechsel direkt zusammenfassen? - Beim Umordnen muss das Minuszeichen mit der \(1{,}7\) mitgenommen werden. - Welche Bruchsumme ergibt eine ganze Zahl?

1. Gruppiere \((2{,}7-1{,}7)+(\frac{2}{9}+\frac{16}{9})\). 2. Das ergibt \(1+2=3\).

\((2{,}7-1{,}7)+(\frac{2}{9}+\frac{16}{9})=1+2=3\)

- Welche Dezimalzahlen passen gut zusammen? - Kannst du Brüche mit gleichem Nenner direkt addieren? - Vertausche Zahlen nur mitsamt ihrem Vorzeichen.

1. a) \((12{,}3-2{,}3)+(-4{,}5+1{,}5)=10-3=7\). 2. b) \((\frac{3}{8}+\frac{5}{8})+(-1{,}4-0{,}6)=1-2=-1\).

a) \((12{,}3-2{,}3)+(-4{,}5+1{,}5)=7\) b) \((\frac{3}{8}+\frac{5}{8})+(-1{,}4-0{,}6)=-1\)

- Nimm beim Umordnen jedes Vorzeichen mit seiner Zahl mit. - Suche nach Paaren, die \(0\), \(10\) oder \(100\) ergeben. - Rechne erst die günstigen Gruppen, dann deren Summe.

1. \((34-134)+128=-100+128=28\). 2. \((12{,}5-2{,}5)+(-6{,}7+1{,}7)=10-5=5\). 3. \((-48-52)+(56+44)=-100+100=0\).

a) \((34-134)+128=28\) b) \((12{,}5-2{,}5)+(-6{,}7+1{,}7)=5\) c) \((-48-52)+(56+44)=0\)

- Gruppiere Terme mit passenden Nennern oder Darstellungen. - Nimm negative Vorzeichen beim Umordnen mit. - Suche nach Gruppen, die \(1\), \(-1\) oder \(0\) ergeben.

1. \((-\frac{3}{7}-\frac{4}{7})+(\frac{5}{8}+\frac{3}{8})=-1+1=0\). 2. \((1\frac{2}{5}+\frac{3}{5})+(-3\frac{1}{4}+\frac{1}{4})=2-3=-1\). 3. \((\frac{7}{10}+\frac{3}{10})+(-0{,}45-0{,}55)=1-1=0\).

a) \((-\frac{3}{7}-\frac{4}{7})+(\frac{5}{8}+\frac{3}{8})=0\) b) \((1\frac{2}{5}+\frac{3}{5})+(-3\frac{1}{4}+\frac{1}{4})=-1\) c) \((\frac{7}{10}+\frac{3}{10})+(-0{,}45-0{,}55)=0\)

- Schreibe Subtraktionen vor dem Umordnen als Addition negativer Summanden. - Nimm beim Verschieben einer Zahl ihr Vorzeichen mit. - Suche danach nach Paaren mit glatten Summen.

1. \(15{,}6+(-7{,}8)+(-2{,}2)=15{,}6-10=5{,}6\). 2. \((-4{,}9-5{,}1)+12{,}5=-10+12{,}5=2{,}5\). 3. \((24{,}3-14{,}3)+(8{,}7+1{,}3)=10+10=20\).

a) \(15{,}6-(7{,}8+2{,}2)=5{,}6\) b) \((-4{,}9-5{,}1)+12{,}5=2{,}5\) c) \((24{,}3-14{,}3)+(8{,}7+1{,}3)=20\)

- Suche nach gleichnamigen Brüchen und Gegenzahlen. - Nimm beim Umordnen die Vorzeichen mit. - Fasse günstige Paare zuerst zusammen.

1. \((\frac{5}{9}+\frac{4}{9})-\frac{1}{3}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\). 2. \((\frac{3}{4}-\frac{7}{4})+(-2{,}5+1{,}5)=-1-1=-2\). 3. \((-\frac{2}{7}+\frac{2}{7})+(\frac{5}{6}-\frac{1}{6})=\frac{2}{3}\).

a) \((\frac{5}{9}+\frac{4}{9})-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\) b) \((\frac{3}{4}-\frac{7}{4})+(-2{,}5+1{,}5)=-2\) c) \((-\frac{2}{7}+\frac{2}{7})+(\frac{5}{6}-\frac{1}{6})=\frac{2}{3}\)

- Bringe den Bruch zunächst in eine passende Darstellung. - Bevor du Summanden umordnest, schreibe Subtraktionen als Addition negativer Zahlen. - Unterscheide zwischen dem Vertauschen der Summanden und ihrer neuen Gruppierung.

1. Schreibe \(\frac{11}{4}=2{,}75\). 2. Gruppiere mit Kommutativ- und Assoziativgesetz: \((7{,}25+2{,}75)+(-4{,}8-1{,}2)\). 3. Das ergibt \(10-6=4\).

\(\frac{11}{4}=2{,}75\), dann \((7{,}25+2{,}75)+(-4{,}8-1{,}2)=10-6=4\).

- Gibt es Paare von Zahlen, die zusammen eine glatte Zahl ergeben? - Verschiebe Zahlen nur mitsamt ihrem Vorzeichen. - Welche drei Gruppen lassen sich besonders leicht im Kopf berechnen?

1. Gruppiere \((-250-50)+(68+32)+(145-45)\). 2. Das ergibt \(-300+100+100=-100\).

\((-250-50)+(68+32)+(145-45)=-300+100+100=-100\)

- Was passiert, wenn du die Zahlen in der Klammer zuerst addierst? - Wie wird der Faktor beim Distributivgesetz auf die Klammerglieder verteilt? - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse.

1. Klammer zuerst: \(8\cdot17{,}5=140\). 2. Distributiv: \(8\cdot12{,}5+8\cdot5=100+40=140\). 3. Beide Wege führen zu demselben Wert.

a) \(8\cdot(12{,}5+5)=8\cdot17{,}5=140\) b) \(8\cdot12{,}5+8\cdot5=100+40=140\) Beide Wege ergeben \(140\).

- Multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Klammerglied. - Übernimm die Plus- und Minuszeichen korrekt. - Nutze Kürzen oder einfache Dezimaldarstellungen für die Teilprodukte.

1. \(\frac{4}{5}\cdot10-\frac{4}{5}\cdot2{,}5=8-2=6\). 2. \(18\cdot\frac{1}{2}+18\cdot\frac{1}{3}-18\cdot\frac{1}{6}=9+6-3=12\). 3. \(\frac{7}{11}\cdot22-\frac{7}{11}\cdot5{,}5=14-3{,}5=10{,}5\).

a) \(\frac{4}{5}\cdot10-\frac{4}{5}\cdot2{,}5=6\) b) \(18\cdot\frac{1}{2}+18\cdot\frac{1}{3}-18\cdot\frac{1}{6}=12\) c) \(\frac{7}{11}\cdot22-\frac{7}{11}\cdot5{,}5=10{,}5\)

- Suche nach Summanden, die sich aufheben, oder Faktoren, die ein einfaches Produkt ergeben. - Achte beim Auflösen einer Klammer auf das Minus davor. - In einer reinen Multiplikation darfst du Faktoren umordnen und neu gruppieren.

1. a) \(-15{,}8-4{,}2+15{,}8=-4{,}2\). 2. b) \((25\cdot0{,}04)\cdot(-17)=1\cdot(-17)=-17\).

a) \(-15{,}8-4{,}2+15{,}8=-4{,}2\) b) \((25\cdot0{,}04)\cdot(-17)=-17\)

- Kannst du einen Faktor so mit einer Summe oder Differenz verbinden, dass einfache Zahlen entstehen? - Suche im zweiten Term nach einem Faktor, der in beiden Produkten vorkommt. - Prüfe, ob dein umgeformter Term denselben Wert wie der ursprüngliche hat.

1. \(12\cdot(100+1)=1200+12=1212\). 2. \(\frac{5}{9}\cdot(14-5)=\frac{5}{9}\cdot9=5\).

a) \(12\cdot(100+1)=1212\) b) \(\frac{5}{9}\cdot(14-5)=5\)

- Beim direkten Weg gilt weiterhin Punkt-vor-Strich. - Suche beim zweiten Weg nach dem Faktor, der in beiden Produkten vorkommt. - Vergleiche am Ende, ob beide Rechenwege wirklich denselben Wert liefern.

1. Direkt ergibt der erste Term \(154 + 126 = 280\); ausgeklammert ergibt er \(14 \cdot (11 + 9) = 14 \cdot 20 = 280\). 2. Direkt ergibt der zweite Term \(52 - 39 = 13\); ausgeklammert ergibt er \(6{,}5 \cdot (8 - 6) = 6{,}5 \cdot 2 = 13\). 3. Direkt ergibt der dritte Term \(-6 + (-9) = -15\); ausgeklammert ergibt er \((-1{,}5) \cdot (4 + 6) = -1{,}5 \cdot 10 = -15\). 4. In allen drei Fällen liefern beide Wege denselben Wert; das Ausklammern erzeugt jeweils eine besonders einfache Klammerrechnung.

a) Direkt: \(154 + 126 = 280\); ausgeklammert: \(14 \cdot (11 + 9) = 280\). b) Direkt: \(52 - 39 = 13\); ausgeklammert: \(6{,}5 \cdot (8 - 6) = 13\). c) Direkt: \(-6 + (-9) = -15\); ausgeklammert: \((-1{,}5) \cdot (4 + 6) = -15\).

- Suche in jedem Term zuerst den gemeinsamen Faktor der beiden Produkte. - Welche einfache Summe oder Differenz entsteht nach dem Ausklammern? - Achte bei negativen Faktoren auf die Vorzeichen in der Klammer.

1. \(27\cdot(13+87)=27\cdot100=2700\). 2. \(0{,}4\cdot(35-15)=0{,}4\cdot20=8\). 3. \(\frac{3}{8}\cdot(17-9)=\frac{3}{8}\cdot8=3\). 4. \((-12-8)\cdot0{,}25=-20\cdot0{,}25=-5\).

a) \(27\cdot(13+87)=2700\) b) \(0{,}4\cdot(35-15)=8\) c) \(\frac{3}{8}\cdot(17-9)=3\) d) \((-12-8)\cdot0{,}25=-5\)

- Suche in jedem Term nach einem Faktor, der in beiden Produkten vorkommt. - Welches Rechengesetz erlaubt es, diesen gemeinsamen Faktor vor eine Klammer zu ziehen? - Prüfe, ob die Rechnung in der Klammer dadurch besonders einfach wird.

1. Die erste Beschreibung ergibt \(16\cdot27-16\cdot17\). Klammere den gemeinsamen Faktor aus: \(16\cdot(27-17)=16\cdot10=160\). 2. Die zweite Beschreibung ergibt \(0{,}2\cdot35+0{,}2\cdot15\). Klammere \(0{,}2\) aus: \(0{,}2\cdot(35+15)=0{,}2\cdot50=10\). 3. In beiden Fällen wird das Distributivgesetz rückwärts zum Ausklammern genutzt.

a) \(16\cdot27-16\cdot17=16\cdot(27-17)=160\) b) \(0{,}2\cdot35+0{,}2\cdot15=0{,}2\cdot(35+15)=10\)

- Schreibe Subtraktionen bei Bedarf als Addition negativer Summanden, bevor du umordnest. - Suche nach Paaren, die sich aufheben oder einfache ganze Zahlen ergeben. - Prüfe, ob ein Bruch und eine Dezimalzahl denselben Wert darstellen.

1. a) \((14{,}7+5{,}3)+(-3{,}9-6{,}1)=20-10=10\). 2. b) \(\frac{3}{8}=0{,}375\), also heben sich \(-0{,}375\) und \(+0{,}375\) auf; \(12{,}5-5{,}5=7\). 3. c) \((8{,}4-2{,}4)+(0{,}9-3{,}9)=6-3=3\).

a) \((14{,}7+5{,}3)+(-3{,}9-6{,}1)=10\) b) \(-\frac{3}{8}+0{,}375=0\), daher \(12{,}5-5{,}5=7\) c) \((8{,}4-2{,}4)+(0{,}9-3{,}9)=3\)

- Suche nach Zahlen, die sich zu glatten Summen zusammenfassen lassen. - Prüfe, ob ein Umgruppieren die Rechnung vereinfacht. - Kürze Brüche vor einer Multiplikation, wenn möglich.

1. \(42+(18-50)=42-32=10\). 2. \(6{,}7-4+3{,}3=(6{,}7+3{,}3)-4=6\). 3. \(\frac{17}{8}-\frac{5}{8}=\frac{3}{2}\); danach \(\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{2}=\frac{2}{3}\).

a) \(42+(18-50)=10\) b) \((6{,}7+3{,}3)-4=6\) c) \(\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{2}=\frac{2}{3}\)

- Beachte die Vorrangregel: Klammern werden immer zuerst berechnet. - Berechne den Wert des Terms links vom Gleichheitszeichen und den Wert des Terms rechts davon getrennt voneinander. - Überlege, ob das Ergebnis einer Rechnung gleich bleibt, wenn man die Reihenfolge der Ausführung ändert.

1. Prüfung für die Subtraktion (\(-\)): Linke Seite: \(100 - (20 - 5) = 100 - 15 = 85\) Rechte Seite: \((100 - 20) - 5 = 80 - 5 = 75\) Da \(85 \neq 75\), ist die Gleichung für die Subtraktion nicht erfüllt. 2. Prüfung für die Division (\(:\)): Linke Seite: \(100 : (20 : 5) = 100 : 4 = 25\) Rechte Seite: \((100 : 20) : 5 = 5 : 5 = 1\) Da \(25 \neq 1\), ist die Gleichung für die Division nicht erfüllt. 3. Die Eigenschaft, dass Klammern innerhalb einer Rechnung mit gleichen Rechenzeichen beliebig gesetzt werden dürfen, nennt man Assoziativgesetz (oder Verbindungsgesetz).

Für das Minuszeichen ergibt sich \(85 \neq 75\) und für das Divisionszeichen \(25 \neq 1\); die Gleichung ist für beide Zeichen nicht erfüllt. Das gesuchte Gesetz heißt Assoziativgesetz.

- Welche zwei Zahlen ergeben zusammen eine besonders glatte Zahl? - Nimm beim Umordnen das Vorzeichen jeder Zahl mit. - Welches Gesetz erlaubt das Vertauschen, welches das neue Gruppieren?

1. Schreibe \(47+(-19)+53\). 2. Vertausche und gruppiere: \((47+53)+(-19)=100-19=81\).

\((47+53)+(-19)=100-19=81\)

- Vergleiche bei jeder Rechenart die beiden Ergebnisse nach dem Vertauschen der Zahlen. - Achte bei der Subtraktion besonders auf das Vorzeichen des zweiten Terms. - Ein Rechengesetz gilt nur dann, wenn das Vertauschen den Wert nicht verändert.

1. Für die Addition gilt \(-4{,}5 + 1{,}5 = -3\) und \(1{,}5 + (-4{,}5) = -3\). Das Vertauschen der Summanden ändert den Wert nicht. 2. Für die Subtraktion gilt \(-4{,}5 - 1{,}5 = -6\) und \(1{,}5 - (-4{,}5) = 6\). Das Vertauschen der Zahlen ändert den Wert. 3. Damit gilt das Kommutativgesetz für die Addition, aber nicht für die Subtraktion rationaler Zahlen.

1) \(-4{,}5 + 1{,}5 = -3\) und \(1{,}5 + (-4{,}5) = -3\) 2) \(-4{,}5 - 1{,}5 = -6\) und \(1{,}5 - (-4{,}5) = 6\) Schlussfolgerung: Das Kommutativgesetz gilt für die Addition, aber nicht für die Subtraktion.

- Welche Dezimalzahlen ergänzen sich zu einer ganzen Zahl? - Kannst du positive und negative Summanden passend paaren? - Wie heißt das Gesetz, das das Vertauschen von Summanden erlaubt?

1. Vertausche zu \(17{,}4+2{,}6+(-5{,}9)+(-4{,}1)\). 2. Gruppiere zu \(20+(-10)=10\). 3. Das Vertauschen ist durch das Kommutativgesetz erlaubt.

\((17{,}4+2{,}6)+((-5{,}9)+(-4{,}1))=20-10=10\). Das Vertauschen erlaubt das Kommutativgesetz.

- Berechne jeweils zuerst nur die Klammer und danach die restliche Addition. - Vergleiche die beiden Endwerte eines Beispiels erst nach vollständiger Rechnung. - Gesucht ist das Gesetz, bei dem eine andere Gruppierung der Summanden den Wert nicht verändert.

1. Im ersten Beispiel gilt \((-15{,}4 + 6{,}7) + 3{,}3 = -8{,}7 + 3{,}3 = -5{,}4\) und \(-15{,}4 + (6{,}7 + 3{,}3) = -15{,}4 + 10 = -5{,}4\). 2. Im zweiten Beispiel gilt \(\left(\frac{5}{9} + \frac{2}{9}\right) + \left(-\frac{2}{9}\right) = \frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\) und \(\frac{5}{9} + \left(\frac{2}{9} - \frac{2}{9}\right) = \frac{5}{9}\). 3. In beiden Beispielen bleibt der Wert trotz anderer Klammersetzung gleich. Das veranschaulicht das Assoziativgesetz der Addition.

1) Beide Klammersetzungen ergeben \(-5{,}4\). 2) Beide Klammersetzungen ergeben \(\frac{5}{9}\). Das veranschaulichte Rechengesetz ist das Assoziativgesetz der Addition.

- Berechne in jedem Ausdruck zuerst die vorhandene Klammer. - Vergleiche die beiden Endwerte genau. - Überlege, was ein unterschiedlicher Wert über das Umsetzen von Klammern bei der Subtraktion aussagt.

1. Die erste Klammersetzung ergibt \((10 - 5) - 2 = 5 - 2 = 3\). 2. Die zweite Klammersetzung ergibt \(10 - (5 - 2) = 10 - 3 = 7\). 3. Da \(3 \ne 7\), verändert eine andere Klammersetzung bei dieser Subtraktion den Wert. 4. Das Assoziativgesetz gilt daher nicht für die Subtraktion; Klammern dürfen hier nicht beliebig umgesetzt oder weggelassen werden.

\((10 - 5) - 2 = 3\), aber \(10 - (5 - 2) = 7\). Das Assoziativgesetz gilt nicht für die Subtraktion.

- Suche in jeder Zeile zuerst zwei Summanden, die sich zu einer ganzen oder besonders einfachen Zahl ergänzen. - Das Kommutativgesetz erlaubt das Vertauschen, das Assoziativgesetz das neue Gruppieren von Summanden. - Bei b) kann eine passende Darstellungsänderung das günstige Paar sichtbar machen.

1. a) Gruppiere \((-3{,}8-1{,}2)+5{,}5=-5+5{,}5=0{,}5\). 2. b) Schreibe \(\frac{3}{5}=0{,}6\) und gruppiere \((0{,}6-1{,}6)+2=-1+2=1\). 3. c) Gruppiere \(-12+(7\frac{3}{4}-2\frac{1}{4})=-12+5{,}5=-6{,}5\).

a) \((-3{,}8-1{,}2)+5{,}5=0{,}5\) b) \((0{,}6-1{,}6)+2=1\) c) \(-12+(7\frac{3}{4}-2\frac{1}{4})=-6{,}5\)

- Überlege, wie eine Subtraktion als Addition einer Gegenzahl geschrieben werden kann. - Umgekehrt kann eine Addition als Subtraktion der Gegenzahl dargestellt werden. - Prüfe jede Umformung, indem du auf die Vorzeichen der einzelnen Glieder achtest.

1. Subtraktionen können als Addition der Gegenzahl geschrieben werden: \(p - q - r - 10 = p + (-q) + (-r) + (-10)\). 2. Eine Addition kann entsprechend als Subtraktion der Gegenzahl geschrieben werden: \(15 + a + b = 15 - (-a) - (-b)\). 3. Im dritten Term gilt zunächst \(x - (-y) = x + y\); die verbleibende Subtraktion von \(z\) wird zur Addition von \(-z\). Damit entsteht \(x + y + (-z)\).

a) \(p + (-q) + (-r) + (-10)\) b) \(15 - (-a) - (-b)\) c) \(x + y + (-z)\)

- Gibt es Zahlen, die sich gegenseitig aufheben? - Welche negativen Zahlen passen zu einer glatten Summe zusammen? - Welche gemischten Zahlen ergeben zusammen eine ganze negative Zahl?

1. \((-34)+34=0\), daher bleibt \(57\). 2. \((-6{,}8)+(-3{,}2)=-10\), daher \(12{,}4-10=2{,}4\). 3. \(-2\frac{1}{5}-1\frac{4}{5}=-4\), daher \(-4+8=4\).

1) \((-34)+34+57=57\) 2) \(12{,}4+(-10)=2{,}4\) 3) \((-4)+8=4\)

- Berechne in jedem Term zuerst das Produkt in der Klammer. - Achte auf die Vorzeichenregeln bei zwei negativen Faktoren. - Vergleiche nicht nur die Endwerte, sondern auch die Einfachheit der Zwischenrechnungen.

1. Beim ersten Term gilt \(-2{,}5 \cdot 4 = -10\) und danach \(-10 \cdot (-1{,}8) = 18\). 2. Beim zweiten Term gilt \(4 \cdot (-1{,}8) = -7{,}2\) und danach \(-2{,}5 \cdot (-7{,}2) = 18\). 3. Beide Klammersetzungen ergeben \(18\). Der erste Weg ist für das Kopfrechnen günstiger, weil zunächst die einfache Zwischenzahl \(-10\) entsteht.

a) \(18\) b) \(18\) c) Beide Ergebnisse sind gleich; die erste Klammersetzung ist hier günstiger, weil zunächst \(-10\) entsteht.

- Suche nach Faktoren, deren Produkt besonders einfach ist. - Unterscheide beim Begründen zwischen Vertauschen und neuem Gruppieren. - Achte nach dem Umordnen weiterhin auf die Vorzeichen.

1. \((25\cdot4)\cdot(-13)=-1300\). 2. \(((-125)\cdot(-8))\cdot7=7000\). 3. \((\frac{4}{9}\cdot\frac{9}{4})\cdot(-17)=-17\). 4. \((0{,}2\cdot5)\cdot(-47)=-47\).

1) \((25\cdot4)\cdot(-13)=-1300\) 2) \(((-125)\cdot(-8))\cdot7=7000\) 3) \((\frac{4}{9}\cdot\frac{9}{4})\cdot(-17)=-17\) 4) \((0{,}2\cdot5)\cdot(-47)=-47\)

- Welcher Rechenweg lässt sich im Beispiel leichter im Kopf ausführen? - Welches Gesetz erlaubt das Vertauschen, welches das neue Gruppieren? - Welche zwei Paare in b) ergeben einfache Produkte?

1. Marie nutzt Kommutativ- und Assoziativgesetz, um zuerst ein einfaches Produkt \(10\) zu bilden. 2. In b) gilt \((8\cdot125)\cdot((-1{,}5)\cdot(-2))=1000\cdot3=3000\).

a) Marie nutzt Kommutativ- und Assoziativgesetz; ihr Weg ist einfacher, weil \((-2{,}5)\cdot(-4)=10\) ein leichtes Zwischenergebnis liefert. b) \((8\cdot125)\cdot((-1{,}5)\cdot(-2))=1000\cdot3=3000\)

- Achte beim ersten Weg auf das Vorzeichen der Differenz in der Klammer. - Beim zweiten Weg wird der Faktor \(12\) auf beide Klammerglieder verteilt. - Vergleiche die Endergebnisse erst nach vollständiger Rechnung.

1. Klammer zuerst: \(0{,}75-1{,}25=-0{,}5\), dann \(12\cdot(-0{,}5)=-6\). 2. Distributiv: \(12\cdot0{,}75-12\cdot1{,}25=9-15=-6\). 3. Beide Wege ergeben denselben Wert.

1) \(12\cdot(-0{,}5)=-6\) 2) \(12\cdot0{,}75-12\cdot1{,}25=9-15=-6\) Beide Rechenwege ergeben \(-6\).

- Beachte in jedem Term zuerst die Klammer. - Achte bei Multiplikation und Division auf die Vorzeichen. - Vergleiche die drei Endwerte erst nach vollständiger Berechnung.

1. Der erste Term ergibt \((-96 \cdot 16) : 8 = -1536 : 8 = -192\). 2. Der zweite Term ergibt \((-96 : 8) \cdot 16 = -12 \cdot 16 = -192\). 3. Der dritte Term ergibt \(-96 \cdot (16 : 8) = -96 \cdot 2 = -192\). 4. Alle drei Terme haben denselben Wert \(-192\).

Alle drei Terme haben denselben Wert: \(-192\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine positive Zahl durch eine negative Zahl teilst? - Wie lässt sich eine Division durch ein Produkt als zwei aufeinanderfolgende Divisionen lesen? - Achte auf das Zwischenergebnis des zweiten Weges.

1. Klammer zuerst: \((-6)\cdot4=-24\), danach \(144:(-24)=-6\). 2. Nacheinander: \(144:(-6)=-24\), danach \(-24:4=-6\). 3. Beide Wege führen zu \(-6\).

1) \((-6)\cdot4=-24\), dann \(144:(-24)=-6\) 2) \(144:(-6)=-24\), dann \(-24:4=-6\) Beide Rechenwege ergeben \(-6\).

- Kannst du einen der Brüche kürzen, bevor du mit der eigentlichen Rechnung beginnst? - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Gibt es Brüche, die sich zu einer ganzen Zahl ergänzen?

1. Kürze \(\frac{18}{24}=\frac{3}{4}\). 2. Löse die Klammern auf: \(6\frac{4}{15}+\frac{3}{4}-1\frac{4}{15}+\frac{1}{4}\). 3. Gruppiere passend: \((6\frac{4}{15}-1\frac{4}{15})+(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})\). 4. Das ergibt \(5+1=6\).

\((6\frac{4}{15}-1\frac{4}{15})+(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})=5+1=6\)

- Löse zuerst die Klammern auf. Achte dabei besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer. - Sortiere die Zahlen so, dass Brüche mit gleichem oder leicht vergleichbarem Nenner beieinander stehen. - Welche Summanden lassen sich ohne aufwendige Hauptnennerrechnung zusammenfassen?

1. Löse die Klammern auf: \(15\frac{5}{6}+3\frac{1}{4}-2\frac{5}{6}-1\frac{1}{2}-1\frac{3}{4}\). 2. Gruppiere mit Kommutativ- und Assoziativgesetz: \((15\frac{5}{6}-2\frac{5}{6})+(3\frac{1}{4}-1\frac{1}{2}-1\frac{3}{4})\). 3. Der erste Block ist \(13\); der zweite ist \(3\frac{1}{4}-3\frac{1}{4}=0\). 4. Insgesamt ergibt sich \(13\).

Mit Kommutativ- und Assoziativgesetz: \((15\frac{5}{6}-2\frac{5}{6})+(3\frac{1}{4}-1\frac{1}{2}-1\frac{3}{4})=13+0=13\).

- Was bedeutet das Distributivgesetz für diesen Term? - Wie verhält sich die Zahl außerhalb der Klammer zu den Nennern innerhalb der Klammer? - Vergleiche nach beiden Wegen, wo mehr Umformungsschritte nötig waren.

1. Weg 1: \(0{,}75=\frac{3}{4}\), also \(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{17}{12}\) und \(\frac{17}{12}\cdot12=17\). 2. Weg 2: \(\frac{2}{3}\cdot12+0{,}75\cdot12=8+9=17\). 3. Weg 2 ist hier kürzer, weil die \(12\) direkt mit den Nennern zusammenpasst und kein Hauptnenner für die Addition benötigt wird.

Weg 1: \((\frac{2}{3}+\frac{3}{4})\cdot12=\frac{17}{12}\cdot12=17\). Weg 2: \(\frac{2}{3}\cdot12+0{,}75\cdot12=8+9=17\). Weg 2 ist weniger rechenintensiv, weil die Multiplikation mit \(12\) direkt einfache Teilprodukte erzeugt.

- Siehst du in der ersten Aufgabe einen Faktor, der in beiden Produkten vorkommt? - Welche zwei Faktoren in b) ergeben zusammen eine besonders einfache Zahl? - Welche runde Zahl liegt direkt neben \(99\)?

1. a) \(16\cdot(12+8)=16\cdot20=320\). 2. b) \((25\cdot4)\cdot37=100\cdot37=3700\). 3. c) \(45\cdot(100-1)=4500-45=4455\).

a) \(16\cdot(12+8)=320\) b) \((25\cdot4)\cdot37=3700\) c) \(45\cdot(100-1)=4455\)

- Wie kannst du \(12\) so zerlegen, dass die Teilprodukte mit \(2{,}5\) leicht werden? - Wie lässt sich \(-101\) mithilfe von \(-100\) schreiben? - Kannst du \(728\) in zwei durch \(7\) teilbare Summanden zerlegen?

1. a) \(2{,}5\cdot(10+2)=25+5=30\). 2. b) \(14\cdot(-100-1)=-1400-14=-1414\). 3. c) \((700+28):7=100+4=104\).

a) \(2{,}5\cdot(10+2)=25+5=30\) b) \(14\cdot(-100-1)=-1400-14=-1414\) c) \((700+28):7=100+4=104\)

- Suche nach bekannten Produkten oder geeigneten Zerlegungen. - Bei einem Produkt nahe einer runden Zahl kann das Distributivgesetz helfen. - Zerlege bei der Division in Summanden, die alle durch den Divisor teilbar sind.

1. Weil \(14\cdot14=196\), gilt \(196:14=14\). 2. \(18\cdot(20+2)=360+36=396\). 3. \((700+280+21):7=100+40+3=143\). 4. \(-13\cdot13=-(13\cdot13)=-169\).

a) \(196:14=14\), weil \(14\cdot14=196\) b) \(18\cdot(20+2)=396\) c) \((700+280+21):7=143\) d) \(-13\cdot13=-(13\cdot13)=-169\)

- Gibt es Faktoren, die zusammen eine besonders einfache Zahl wie \(10\) oder \(100\) ergeben? - Kannst du eine Division durch eine große Zahl in zwei Divisionen durch kleinere Faktoren zerlegen? - Überlege dir zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss.

1. a) \(25\cdot(4\cdot7)=(25\cdot4)\cdot7=700\). 2. b) \(126:(9\cdot2)=(126:9):2=14:2=7\). 3. c) \(-15\cdot(10+2)=-(150+30)=-180\). 4. d) \((70+35):(-7)=-(10+5)=-15\).

a) \((25\cdot4)\cdot7=700\) b) \((126:9):2=7\) c) \(-15\cdot(10+2)=-180\) d) \((70+35):(-7)=-15\)

- Berechne für Term A zuerst den Inhalt der Klammer. - In Term B rechnest du zuerst die beiden Produkte aus. - Fällt dir eine Regel ein, die beschreibt, wie man eine Zahl mit einer Differenz in einer Klammer multipliziert?

1. Berechnung von Term A: Klammerinhalt \(\frac{3}{12} - \frac{4}{12} = -\frac{1}{12}\). Multiplikation: \(12 \cdot (-\frac{1}{12}) = -1\). 2. Berechnung von Term B: Erste Multiplikation \(12 \cdot \frac{1}{4} = 3\). Zweite Multiplikation \(12 \cdot \frac{1}{3} = 4\). Subtraktion: \(3 - 4 = -1\). 3. Vergleich: Beide Ergebnisse sind gleich (\(-1\)). 4. Identifikation des Gesetzes: Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz).

a) Term A = \(-1\); Term B = \(-1\) b) Die Ergebnisse sind gleich. Dies veranschaulicht das Distributivgesetz.

- Berechne zuerst den Wert in der Klammer. - Achte beim Ausmultiplizieren besonders auf das Vorzeichen der Zahl vor der Klammer und der Zahlen innerhalb der Klammer. - Was passiert, wenn man eine negative Zahl mit einer negativen Zahl multipliziert?

1. Berechnung des korrekten Werts: \(-5 \cdot (1{,}2 - 4) = -5 \cdot (-2{,}8) = 14\). Sophie hat recht, da das Ergebnis positiv ist. 2. Fehleranalyse: Lukas hat beim Ausmultiplizieren das Vorzeichen nicht korrekt beachtet. Er hat zwar \(-5 \cdot 1{,}2 = -6\) gerechnet, aber dann einfach \(-5 \cdot 4 = -20\) subtrahiert (oder das Minuszeichen in der Klammer ignoriert), anstatt \(-5 \cdot (-4) = +20\) zu rechnen. Der korrekte Weg wäre: \(-5 \cdot 1{,}2 - (-5 \cdot 4) = -6 - (-20) = -6 + 20 = 14\).

1. Sophie hat recht; der korrekte Wert ist \(14\). 2. Lukas hat beim Ausmultiplizieren die Vorzeichenregel missachtet (Minus mal Minus ergibt Plus).

- Suche nach Faktorpaare mit besonders einfachen Produkten. - Du darfst bei einer reinen Multiplikation Faktoren vertauschen und neu gruppieren. - Achte auf das Vorzeichen des Produkts zweier negativer Faktoren.

1. Mit Kommutativ- und Assoziativgesetz gruppiert man \((\frac{5}{9}\cdot1{,}8)\cdot((-0{,}4)\cdot(-2{,}5))\). 2. \(\frac{5}{9}\cdot1{,}8=1\). 3. \((-0{,}4)\cdot(-2{,}5)=1\). 4. Das Gesamtprodukt ist \(1\cdot1=1\).

\((\frac{5}{9}\cdot1{,}8)\cdot((-0{,}4)\cdot(-2{,}5))=1\cdot1=1\). Verwendet werden Kommutativgesetz und Assoziativgesetz.

- Berechne beim ersten Weg die Klammer direkt. - Wie kannst du Division durch \(4\) als Multiplikation schreiben? - Vergleiche anschließend die Zahl der nötigen Teilrechnungen.

1. Klammer zuerst: \(12{,}4-8{,}8=3{,}6\), danach \(3{,}6:4=0{,}9\). 2. Mit Kehrwert und Distributivgesetz: \(\frac14\cdot(12{,}4-8{,}8)=\frac14\cdot12{,}4-\frac14\cdot8{,}8=3{,}1-2{,}2=0{,}9\). 3. Der erste Weg benötigt weniger Teilrechnungen.

Klammer zuerst: \((12{,}4-8{,}8):4=3{,}6:4=0{,}9\). Distributiv: \(\frac14\cdot12{,}4-\frac14\cdot8{,}8=3{,}1-2{,}2=0{,}9\). „Klammer zuerst“ ist kürzer, weil nur eine Differenz und eine Division nötig sind.

- Übersetze die Rechenanweisungen der Reihe nach in einen Term. - Nutze das Distributivgesetz, um die Klammer zu vereinfachen. - Vergleiche den vereinfachten Term mit der gedachten Zahl.

1. Der Rechenweg ergibt \((4x+1{,}2)\cdot2{,}5-3\). 2. Ausmultiplizieren liefert \(10x+3-3=10x\). 3. Das Endergebnis ist also stets das Zehnfache der gedachten Zahl. Durch Division durch \(10\) erhält man die Ausgangszahl zurück.

Der vereinfachte Term lautet \(10x\). Die ursprüngliche Zahl erhält man, indem man das Endergebnis durch \(10\) teilt.

- Setze in a) den gegebenen Wert für \(x\) ein. - Nutze für b) das Distributivgesetz und fasse zusammen. - Welche Umkehroperationen lösen in c) nacheinander \(+5\) und \(\cdot10\) auf?

1. Einsetzen ergibt \(5(2\cdot4{,}3+1{,}4)-2=48\). 2. Vereinfachen liefert \(T(x)=10x+5\). 3. Aus \(R=10x+5\) folgt \(R-5=10x\) und damit \(x=(R-5):10\). 4. Marisols Regel ist deshalb korrekt.

a) \(48\) b) \(10x+5\) c) Die Regel ist korrekt: \(x=(R-5):10\).

- Welche Faktoren kannst du bei einer reinen Multiplikation günstig zusammenfassen? - Vergleiche in b) genau, was vollständig im Divisor der linken Seite steht. - Prüfe, ob die rechte Seite dieselbe Rechenstruktur besitzt.

1. In a) dürfen die Faktoren vertauscht und gruppiert werden. Weil \(0{,}8\cdot1{,}25=1\), bleibt \(\frac{3}{7}\) übrig. Die Gleichung ist korrekt. 2. In b) bedeutet die linke Seite Division durch das gesamte Produkt \(\frac{1}{3}\cdot2\). Rechts wird dagegen erst durch \(\frac{1}{3}\) geteilt und anschließend mit \(2\) multipliziert. Das sind unterschiedliche Rechenfolgen; die Gleichung ist falsch.

a) Korrekt, weil \(0{,}8\cdot1{,}25=1\). b) Falsch, weil Division durch das gesamte Produkt nicht durch anschließende Multiplikation mit einem Faktor ersetzt werden darf.

- Welcher Faktor kommt in beiden Produkten vor? - Was bedeutet Ausklammern dieses gemeinsamen Faktors? - Prüfe, ob sich dieselbe Struktur auch mit einem Pluszeichen bilden lässt.

1. In beiden Produkten kommt \(\frac{3}{4}\) als gemeinsamer Faktor vor. 2. Ausklammern ergibt \(\frac{3}{4}\cdot(1{,}2-0{,}4)\). Da \(\frac{3}{4}=0{,}75\), entspricht das genau Aminas Vorgehen. 3. Bei einem Pluszeichen kann derselbe gemeinsame Faktor ebenfalls ausgeklammert werden; dann steht in der Klammer \(1{,}2+0{,}4\).

Aminas Behauptung ist korrekt. Der gemeinsame Faktor \(\frac{3}{4}=0{,}75\) kann ausgeklammert werden. Entsprechend funktioniert das Distributivgesetz auch bei der Addition.

- Erinnerst du dich an die Regel für die Division durch einen Bruch? - Kannst du Brüche vereinfachen oder kürzen, um sie besser vergleichen zu können? - Was passiert mit einer Zahl, wenn man sie mit etwas multipliziert, das kleiner als 1 ist? Was passiert bei der Division? - Musst du wirklich alles ausrechnen, um zu sehen, welche Ausdrücke denselben Wert haben?

1. Vergleich von A und B: Division durch einen Bruch ist gleichwertig mit der Multiplikation mit dem Kehrwert. Der Kehrwert von \(\frac{5}{2}\) ist \(\frac{2}{5}\). Daher ist \(30 : \frac{5}{2} = 30 \cdot \frac{2}{5}\). A und B sind gleich. 2. Vergleich von A und C: Der Bruch \(\frac{4}{10}\) lässt sich mit \(2\) kürzen zu \(\frac{2}{5}\). Daher ist \(30 \cdot \frac{4}{10} = 30 \cdot \frac{2}{5}\). A und C sind gleich. 3. Schlussfolgerung für a): Die Ausdrücke A, B und C haben alle das gleiche Ergebnis. 4. Vergleich für b): In Ausdruck A wird \(30\) mit einem echten Bruch (\(\frac{2}{5} < 1\)) multipliziert, das Ergebnis ist kleiner als \(30\) (konkret \(12\)). In Ausdruck D wird \(30\) durch einen echten Bruch dividiert, was einer Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac{5}{2} = 2{,}5\) entspricht. Da \(2{,}5 > 1\), ist das Ergebnis von D deutlich größer als \(30\) (konkret \(75\)). Somit ist D größer als A.

a) A, B und C sind gleich, da die Division durch \(\frac{5}{2}\) dasselbe ist wie die Multiplikation mit \(\frac{2}{5}\) und \(\frac{4}{10}\) gekürzt ebenfalls \(\frac{2}{5}\) ergibt. b) Das Ergebnis von D ist größer als das von A. Bei A wird die Zahl durch die Multiplikation mit einem Bruch kleiner als 1 verkleinert, während sie bei D durch die Division vergrößert wird.

- Denk an Brüche, die zwischen 0 und 1 liegen. - Welche Vorzeichenregel gilt bei der Multiplikation von zwei negativen Zahlen? - Gibt es eine spezielle Zahl, durch die man niemals teilen darf? - Was ist eigentlich die Definition eines Kehrwerts?

1. Zu Teil a): Wähle die Zahl \(0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)). Der Kehrwert ist \(2\). Da \(2 > 0{,}5\), ist der Kehrwert größer als die ursprüngliche Zahl. 2. Zu Teil b): Wähle die Zahl \(-4\). Ihr Kehrwert ist \(-\frac{1}{4}\). Multiplikation: \((-4) \cdot (-\frac{1}{4}) = 1\). Das Ergebnis \(1\) ist positiv, nicht negativ. Das Produkt einer Zahl mit ihrem Kehrwert ist immer \(1\). 3. Zu Teil c): Betrachte die Zahl \(0\). Da die Division durch \(0\) mathematisch nicht definiert ist, existiert kein Kehrwert für die Null.

a) Gegenbeispiel: Der Kehrwert von \(0{,}5\) ist \(2\), also größer als die Ausgangszahl. b) Gegenbeispiel: \((-4)\cdot(-\frac14)=1\); das Ergebnis ist positiv. c) Gegenbeispiel: \(0\) besitzt keinen Kehrwert, weil Division durch \(0\) nicht definiert ist.

- Entscheidend für das Vorzeichen ist die Anzahl negativer Faktoren. - Ist diese Anzahl gerade oder ungerade? - Teile in c) die 15 Faktoren gedanklich entsprechend dem Verhältnis in gleichartige Gruppen.

1. Bei einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren ist das Produkt negativ, bei einer geraden Anzahl positiv. 2. Sieben negative Faktoren ergeben ein negatives Produkt. 3. Fünfzehn negative Faktoren ergeben ebenfalls ein negatives Produkt. 4. In c) gibt es fünf negative und zehn positive Faktoren; fünf ist ungerade, also ist das Produkt negativ.

a) negativ, weil \(7\) negative Faktoren eine ungerade Anzahl sind. b) negativ, weil \(15\) negative Faktoren eine ungerade Anzahl sind. c) negativ; es gibt \(5\) negative und \(10\) positive Faktoren, und \(5\) ist ungerade.

- Entscheidend ist, ob die Anzahl negativer Faktoren gerade oder ungerade ist. - Bestimme in b) zuerst die Zahl der negativen Faktoren. - Was geschieht mit gerade/ungerade, wenn sich eine Anzahl um genau eins ändert?

1. Zwölf negative Faktoren sind möglich. Weil zwölf gerade ist, wäre das Produkt positiv. 2. Bei drei positiven Faktoren bleiben neun negative Faktoren. Neun ist ungerade, also ist das Produkt negativ. 3. Dreht man das Vorzeichen genau eines Faktors um, ändert sich die Anzahl negativer Faktoren genau um eins. Damit wechselt sie zwischen gerade und ungerade; das Produkt wechselt deshalb immer sein Vorzeichen.

a) Ja; das Produkt wäre positiv. b) negativ c) Ja. Ein einzelner Vorzeichenwechsel ändert die Anzahl negativer Faktoren um eins und damit ihre Geradheit/Ungeradheit.

- Zähle die negativen Faktoren in A und B. - Nutze für b) die bereits bestimmten Vorzeichen. - Formuliere c) ohne Variable nur mit „gerade“ und „ungerade“.

1. A enthält zehn negative Faktoren und ist positiv; B enthält elf negative Faktoren und ist negativ. 2. Positiv mal negativ ist negativ; also ist \(A\cdot B\) negativ. 3. Ein Produkt ausschließlich negativer Faktoren ist genau dann negativ, wenn die Anzahl der Faktoren ungerade ist.

a) \(A\) ist positiv. b) \(A\cdot B\) ist negativ. c) Das Produkt ist bei einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren negativ.

- Was passiert, wenn du eine Zahl mit ihrer Gegenzahl (z. B. \(-2\) und \(+2\)) addierst? - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, wenn es dir hilft. - Was geschieht mit den Vorzeichen in einer Klammer, vor der ein Plus steht?

1. Mias Weg: \(-0{,}5 + 0{,}75 = 0{,}25\); dann \(0{,}25 - 0{,}25 = 0\); schließlich \(0 + 0{,}5 = 0{,}5\). 2. Lukas' Weg: Gruppieren von Dezimalzahlen und Brüchen, die sich ergänzen: \((-0{,}5 + 0{,}5) + (0{,}75 - 0{,}25)\). 3. Ergebnis Lukas: \(0 + 0{,}5 = 0{,}5\). 4. Vergleich mit Klammerterm: Vor der Klammer steht ein Plus. Daher kann die Plusklammer ohne Änderung der Vorzeichen weggelassen werden; der Termwert bleibt \(0{,}5\).

a) \(0{,}5\) b) Lukas gruppiert z. B. \((-0{,}5 + \frac{1}{2}) + (\frac{3}{4} - 0{,}25) = 0 + 0{,}5 = 0{,}5\). c) Nein. Vor der Klammer steht ein Plus, deshalb kann die Klammer ohne Vorzeichenänderung weggelassen werden. Der Wert bleibt \(0{,}5\).

- Rechne erst einmal beide Wege ganz in Ruhe aus. - Schau dir die Zwischenergebnisse an: Bei welchem Weg sind die Zahlen „einfacher“ oder „glatter“? - Denk daran, dass „vorteilhaft“ in der Mathematik oft bedeutet, dass man weniger Fehler beim Kopfrechnen macht.

1. Berechnung Linas Weg: \(12{,}5 + 7{,}5 = 20\) und \(8{,}3 + 1{,}7 = 10\). Das Ergebnis ist \(20 - 10 = 10\). 2. Berechnung Tims Weg: \(12{,}5 - 8{,}3 = 4{,}2\) und \(7{,}5 - 1{,}7 = 5{,}8\). Das Ergebnis ist \(4{,}2 + 5{,}8 = 10\). 3. Vorteil von Linas Methode: Durch das Zusammenfassen der positiven und negativen Terme entstehen ganzzahlige Zwischenergebnisse (\(20\) und \(10\)), wodurch die abschließende Subtraktion im Kopf sehr einfach ist.

a) Beide Wege führen zum Ergebnis \(10\). b) Linas Methode ist vorteilhaft, weil sie zu ganzzahligen Zwischenergebnissen (\(20\) und \(10\)) führt, was das Rechnen vereinfacht.

- Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches von \(12\) und \(16\)? - Kannst du die \(48\) gegen die Nenner kürzen, bevor du multiplizierst? - Vergleiche, welcher Weg weniger Bruchumformungen benötigt.

1. Weg a): \(\frac{7}{12}-\frac{5}{16}=\frac{28}{48}-\frac{15}{48}=\frac{13}{48}\), daher \(48\cdot\frac{13}{48}=13\). 2. Weg b): \(48\cdot\frac{7}{12}-48\cdot\frac{5}{16}=28-15=13\).

a) \(48\cdot(\frac{28}{48}-\frac{15}{48})=48\cdot\frac{13}{48}=13\) b) \(48\cdot\frac{7}{12}-48\cdot\frac{5}{16}=28-15=13\)

- Überlege bei jedem Term, welche Zwischenrechnung auf den beiden Wegen einfacher wäre. - Entstehen durch Verteilen oder durch die Klammer besonders einfache Zahlen? - Begründe deine Entscheidung über den Rechenaufwand.

1. a) Distributiv: \(12\cdot100+12\cdot3=1236\). 2. b) Distributiv: \(15\cdot\frac{1}{3}+15\cdot\frac{4}{5}=5+12=17\). 3. c) Klammer zuerst: \(6{,}4\cdot10=64\).

a) Distributiv: \(12\cdot100+12\cdot3=1236\), weil runde Teilprodukte entstehen. b) Distributiv: \(15\cdot\frac{1}{3}+15\cdot\frac{4}{5}=17\), weil sich \(15\) mit beiden Nennern kürzt. c) Klammer zuerst: \(6{,}4\cdot10=64\), weil die Klammer sofort \(10\) ergibt.

- Führe bei jedem Weg genau die vorgeschriebene Struktur aus. - Achte beim Verteilen des negativen Faktors auf beide Vorzeichen. - Begründe den günstigeren Weg anhand der Zwischenrechnungen.

1. Klammer zuerst: \(12{,}5-5=7{,}5\), danach \((-8)\cdot7{,}5=-60\). 2. Distributiv: \((-8)\cdot12{,}5-(-8)\cdot5=-100-(-40)=-60\). 3. Beide Wege sind korrekt; der zweite hat einfache Teilprodukte, aber auch eine andere schlüssige Begründung ist möglich.

a) \((-8)\cdot7{,}5=-60\) b) \((-8)\cdot12{,}5-(-8)\cdot5=-100-(-40)=-60\) c) Zum Beispiel ist b) im Kopf günstig, weil die Teilprodukte \(-100\) und \(-40\) einfach sind.

- Schau dir genau an, wie die \(-4\) mit den Zahlen in der Klammer multipliziert wurde. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation. - Was ergibt „Minus mal Minus“? - Kannst du die Aufgabe auch lösen, indem du zuerst den Wert in der Klammer ausrechnest?

1. Identifikation des Fehlers im Distributivgesetz: Beim Ausmultiplizieren von \((-4) \cdot (2{,}5 - 6)\) wurde das Vorzeichen der \(6\) falsch berücksichtigt. Es müsste heißen: \((-4) \cdot 2{,}5 - (-4) \cdot 6\) oder \(-4 \cdot 2{,}5 + 4 \cdot 6\). 2. Korrekte Berechnung Schritt 1: \(-4 \cdot 2{,}5 = -10\). 3. Korrekte Berechnung Schritt 2: \(-4 \cdot (-6) = +24\). 4. Endergebnis berechnen: \(-10 + 24 = 14\). 5. Alternativer Weg über die Klammer: \((-4) \cdot (-3{,}5) = 14\).

Der Fehler liegt im zweiten Schritt der Verteilung: Es müsste \(-4 \cdot 2{,}5 + 4 \cdot 6\) heißen (oder \(-10 - (-24)\)). Das richtige Ergebnis lautet \(14\).

- Prüfe bei den Produkttermen, ob derselbe gemeinsame Faktor in beiden Summanden beziehungsweise Differenzgliedern steckt. - Rechne im Zweifel beide Seiten einer Gleichung getrennt aus. - Achte bei b) darauf, wie ein Minuszeichen vor einer Klammer die Vorzeichen in der Klammer beeinflusst.

1. In a) wird der gemeinsame Faktor \(-0{,}2\) korrekt ausgeklammert. Beide Seiten haben denselben Wert, also ist die Gleichung wahr. 2. In b) muss beim Auflösen der Klammer auch das Vorzeichen vor \(\frac{1}{4}\) wechseln. Richtig ist \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\). Die gegebene rechte Seite ist daher falsch. 3. In c) wird der gemeinsame Faktor \(-3\) korrekt ausgeklammert. Zur Kontrolle gilt links \(-21 - (-12) = -9\) und rechts \((-3) \cdot 3 = -9\).

a) Wahr. b) Falsch. Korrektur: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\). c) Wahr.

- Führe zuerst Lukas' Weg genau wie beschrieben aus. - Was passiert beim Distributivgesetz mit dem Faktor \(-8\)? - Vergleiche danach die Art der Zwischenrechnungen.

1. Lukas: \(\frac{1}{4}-\frac{3}{8}=-\frac{1}{8}\), danach \(-8\cdot(-\frac{1}{8})=1\). 2. Sarah: \(-8\cdot\frac{1}{4}-(-8)\cdot\frac{3}{8}=-2-(-3)=1\). 3. Sarahs Weg ist hier besonders günstig, weil sich \(-8\) direkt mit beiden Nennern kürzen lässt.

Lukas: \(-8\cdot(-\frac{1}{8})=1\). Sarah: \(-8\cdot\frac{1}{4}-(-8)\cdot\frac{3}{8}=-2+3=1\). Sarahs Weg ist vorteilhaft, weil sich \(8\) mit beiden Nennern direkt kürzen lässt.

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb der Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Gibt es Zahlen, die sich gegenseitig aufheben? - Kannst du die Reihenfolge so ändern, dass du weniger Kopfrechnen musst?

1. a) \(17{,}4-5{,}9-17{,}4+0{,}9=(17{,}4-17{,}4)+(-5{,}9+0{,}9)=-5\). 2. b) \(-\frac{2}{5}=-0{,}4\), also \((-0{,}4+0{,}4)+(3{,}7-2{,}7)=1\).

a) \((17{,}4-17{,}4)+(-5{,}9+0{,}9)=-5\) b) \((-0{,}4+0{,}4)+(3{,}7-2{,}7)=1\)

- Suche nach einem gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst. - Bei einer reinen Multiplikation darfst du Faktoren günstig umordnen und gruppieren. - Prüfe bei Bruchprodukten, ob sich Faktoren vor dem Multiplizieren kürzen lassen.

1. a) \(\frac{3}{5}\cdot(17+8)=15\). 2. b) \((-2{,}5)\cdot(-4)\cdot7=10\cdot7=70\). 3. c) Kürzen ergibt \(\frac{5}{6}\cdot\frac{18}{5}=3\), also \(12-3=9\).

a) \(\frac{3}{5}\cdot(17+8)=15\) b) \(((-2{,}5)\cdot(-4))\cdot7=70\) c) \(12-(\frac{5}{6}\cdot\frac{18}{5})=12-3=9\)

- Löse Klammern so auf, dass du anschließend günstige Paare bilden kannst. - Prüfe bei Bruchprodukten, ob sich vor dem Multiplizieren kürzen lässt. - Beachte bei mehreren negativen Faktoren sowohl günstige Gruppierungen als auch das Endvorzeichen.

1. a) \((15{,}3+2{,}7)-(4{,}8+5{,}2)=18-10=8\). 2. b) \(\frac{7}{11}\cdot\frac{22}{14}=1\), also \(1-1=0\). 3. c) \((-8\cdot1{,}25)\cdot((-3)\cdot(-2))=-10\cdot6=-60\).

a) \((15{,}3+2{,}7)-(4{,}8+5{,}2)=8\) b) \(\frac{7}{11}\cdot\frac{22}{14}-1=1-1=0\) c) \((-8\cdot1{,}25)\cdot((-3)\cdot(-2))=-60\)

- Suche bei der Multiplikation nach einem Zahlenpaar, das ein besonders einfaches Produkt ergibt. - Unterscheide zwischen dem Vertauschen von Faktoren und dem Verändern ihrer Gruppierung. - Berechne beim Gegenbeispiel beide Klammersetzungen vollständig und vergleiche die Werte.

1. Von links nach rechts gilt \((25 \cdot 17) \cdot 4 = 425 \cdot 4 = 1700\). Vorteilhafter ist \((25 \cdot 4) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1700\). 2. Das Vertauschen von Faktoren heißt Kommutativgesetz; das Verändern der Gruppierung heißt Assoziativgesetz. 3. Bei der Division liefert \(12 : (6 : 2) = 12 : 3 = 4\), während \((12 : 6) : 2 = 2 : 2 = 1\) ergibt. Da \(4 \ne 1\), gilt das Assoziativgesetz nicht für die Division.

a) \(1700\); vorteilhaft ist zum Beispiel \((25 \cdot 4) \cdot 17\). b) Kommutativgesetz und Assoziativgesetz. c) \(12 : (6 : 2) = 4\), aber \((12 : 6) : 2 = 1\); daher gilt das Assoziativgesetz nicht für die Division.

- Welche Paare lassen sich besonders leicht addieren? - Suche nach glatten Summen wie \(10\), \(1\) oder \(0\). - Wähle bei gemischten Darstellungen die Form, in der passende Paare sichtbar werden.

1. \((-24-16)+(15+35)=-40+50=10\). 2. \((6{,}7+1{,}3)+(-3{,}2-1{,}8)=8-5=3\). 3. \((-0{,}75-0{,}25)+(2{,}2+0{,}8)=-1+3=2\).

1) \((-24-16)+(15+35)=10\) 2) \((6{,}7+1{,}3)+(-3{,}2-1{,}8)=3\) 3) \((-0{,}75-0{,}25)+(2{,}2+0{,}8)=2\)

- Welche Brüche lassen sich sofort zusammenzählen? - Welche Dezimalzahlen ergeben zusammen eine ganze Zahl? - Wähle die Darstellung, mit der passende Partner sichtbar werden.

1. \((\frac{3}{8}+\frac{5}{8})+(-5{,}5+4{,}5)=1-1=0\). 2. \((-8{,}1+1{,}1)+(2\frac{3}{7}+5\frac{4}{7})=-7+8=1\). 3. \((11\frac{1}{9}-2\frac{1}{9})+(-4{,}9-5{,}1)=9-10=-1\).

1) \((\frac{3}{8}+\frac{5}{8})+(-5{,}5+4{,}5)=0\) 2) \((-8{,}1+1{,}1)+(2\frac{3}{7}+5\frac{4}{7})=1\) 3) \((11\frac{1}{9}-2\frac{1}{9})+(-4{,}9-5{,}1)=-1\)

- Vergleiche die Reihenfolge der beiden Zahlen in der bekannten Differenz mit der Reihenfolge im ersten Term. - Überlege, was mit einer Differenz passiert, wenn zu beiden Zahlen derselbe Wert addiert wird. - Nutze eine bereits bestimmte Beziehung für den letzten Term weiter.

1. Wenn die Reihenfolge der Differenz vertauscht wird, ändert sich ihr Vorzeichen. Daher hat \(y - x\) den Wert \(-7\). 2. Beim Term \((x + 10) - (y + 10)\) heben sich die beiden gleichen Verschiebungen um \(10\) gegenseitig auf. Der Term hat deshalb denselben Wert wie \(x - y\), also \(7\). 3. Da \(y - x = -7\), gilt für den dritten Term \(2 \cdot (-7) = -14\).

a) \(-7\) b) \(7\) c) \(-14\)

- Ordne jedem Ast des Rechenbaums eine konkrete Anzahl von Leisten und eine Leistenlänge zu. - Berechne die Kästchen jeweils von den Blättern zur Wurzel des Baums. - Lies für c) zuerst genau die Faktoren ab, die tatsächlich in Weg B stehen. - Wie kannst du die beiden Achter in Weg B mithilfe der vier Rahmen zerlegen?

1. Weg A berechnet zuerst die Holzlänge für einen Rahmen und multipliziert anschließend mit \(4\). 2. In Weg A sind die Zwischenwerte \(2{,}4\), \(1{,}7\), \(4{,}1\) und \(16{,}4\). 3. Weg B berechnet die Längen aller acht langen und aller acht kurzen Leisten getrennt; die Zwischenwerte sind \(9{,}6\), \(6{,}8\) und \(16{,}4\). 4. Die abgelesenen Terme sind \(4\cdot(2\cdot1{,}2+2\cdot0{,}85)\) und \(8\cdot1{,}2+8\cdot0{,}85\). 5. Mit \(8=4\cdot2\) wird Weg B zu \((4\cdot2)\cdot1{,}2+(4\cdot2)\cdot0{,}85\); durch Ausklammern von \(4\) entsteht Weg A. Das ist das Distributivgesetz zusammen mit dem Umgruppieren von Faktoren.

a) Weg A berechnet zuerst einen Rahmen und vervierfacht anschließend. Weg B berechnet zuerst alle langen und alle kurzen Leisten getrennt und addiert dann. b) Weg A: \(2{,}4\), \(1{,}7\), \(4{,}1\), \(16{,}4\). Weg B: \(9{,}6\), \(6{,}8\), \(16{,}4\). Gesamtlänge: \(16{,}4\,\text{m}\). c) Distributivgesetz. Abgelesen: \(4\cdot(2\cdot1{,}2+2\cdot0{,}85)\) und \(8\cdot1{,}2+8\cdot0{,}85\). Mit \(8=4\cdot2\) lässt sich Weg B zu \((4\cdot2)\cdot1{,}2+(4\cdot2)\cdot0{,}85\) umformen und anschließend \(4\) ausklammern.

- Schreibe eine gemischte Zahl als Summe aus ganzem Teil und Bruchteil. - Welche Teilprodukte entstehen, wenn nur einer der Faktoren eine solche Summe ist? - Welche zusätzlichen Teilprodukte entstehen, wenn beide Faktoren aus zwei Teilen bestehen?

1. Bei einer natürlichen Zahl ist die Zerlegung gültig: \(2\frac{1}{3}\cdot4=(2+\frac{1}{3})\cdot4=8+\frac{4}{3}=9\frac{1}{3}\). Das ist das Distributivgesetz. 2. Bei zwei gemischten Zahlen ist das bloße Multiplizieren der ganzen Teile und der Bruchteile nicht ausreichend, weil zusätzlich die Produkte „ganzer Teil mal Bruchteil“ entstehen. 3. Zum Beispiel würde das falsche Verfahren bei \(2\frac{1}{3}\cdot1\frac{1}{2}\) den Wert \(2+\frac{1}{6}=2\frac{1}{6}\) liefern. 4. Korrekt ist \(\frac{7}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{7}{2}=3\frac{1}{2}\). Damit ist die behauptete Verallgemeinerung falsch.

Mit einer natürlichen Zahl funktioniert die Zerlegung, zum Beispiel \(2\frac{1}{3}\cdot4=9\frac{1}{3}\). Bei zwei gemischten Zahlen funktioniert das vereinfachte Verfahren nicht: \(2\frac{1}{3}\cdot1\frac{1}{2}=3\frac{1}{2}\), nicht \(2\frac{1}{6}\), weil zusätzliche Teilprodukte entstehen.

- Betrachte Zähler und Nenner zunächst getrennt. - Welche Zahl kommt in beiden Produkten des Zählers als gemeinsamer Faktor vor? - Vereinfache den Nenner vollständig, bevor du den Gesamtquotienten bildest.

1. Zähler: \(12{,}5\cdot(3{,}7+4{,}3)=12{,}5\cdot8=100\). 2. Nenner: \(\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\) und \(\frac{5}{6}:\frac{1}{12}=10\). 3. Gesamtwert: \(100:10=10\).

Zähler: \(12{,}5\cdot(3{,}7+4{,}3)=100\). Nenner: \((\frac{2}{3}+\frac{1}{6}):\frac{1}{12}=10\). Gesamt: \(100:10=10\).

- Was entsteht, wenn du den Faktor vor der Klammer auf beide Klammerteile verteilst? - Berechne A erst nach der strukturellen Begründung. - Welche Gegenzahl muss zum festen vorderen Wert addiert werden, damit \(0\) entsteht?

1. Beim Ausmultiplizieren von \(-\frac{3}{4}\cdot(2{,}4-6{,}4)\) entsteht \(-\frac{3}{4}\cdot2{,}4+\frac{3}{4}\cdot6{,}4\); damit haben A und B dieselbe Struktur. 2. \(2{,}4-6{,}4=-4\); daher ist \(-\frac{3}{4}\cdot(-4)+1{,}5=4{,}5\). 3. Der Teil vor dem letzten Summanden hat den Wert \(3\). Zum Gesamtwert \(0\) muss daher \(-3\) addiert werden.

1. Durch das Distributivgesetz wird \(-\frac{3}{4}\cdot(2{,}4-6{,}4)\) zu \(-\frac{3}{4}\cdot2{,}4+\frac{3}{4}\cdot6{,}4\); deshalb sind A und B gleichwertig. 2. \(4{,}5\) 3. \(-3\)

- Für ein Gegenbeispiel genügt ein konkreter Fall, der die jeweilige Aussage verletzt. - Probiere bei Betragsaussagen bewusst positive und negative Zahlen in Kombination. - Denke beim Betrag an den Abstand von \(0\), nicht an die Lage links oder rechts.

1. Zu a): Zum Beispiel gilt \(|2+(-5)|=3\), aber \(|2|+|-5|=7\). 2. Zu b): Für \(4\) gilt \(4+|4|=8\ne0\). 3. Zu c): Es gilt \(-10<2\), aber \(|-10|=10>|2|=2\).

a) Gegenbeispiel: \(2\) und \(-5\). b) Gegenbeispiel: \(4\). c) Gegenbeispiel: \(-10\) und \(2\).

- Reicht es aus, wenn nur ein Teil der Multiplikation Null ist? - Probier die Multiplikation mit \(-1\) mal mit einer negativen Zahl aus. - Was passiert bei Quadraten von Zahlen, die zwischen 0 und 1 liegen? - Untersuche auch die Zahlen 0 und 1 für die letzte Behauptung.

1. Zu Teil a): Wähle die Faktoren \(0\) und \(5\). Das Produkt ist \(0 \cdot 5 = 0\). Hier ist nur ein Faktor Null, nicht beide. Somit ist die Aussage „beide müssen Null sein“ falsch. 2. Zu Teil b): Wähle die Zahl \(-3\). Multiplikation mit \(-1\): \(-3 \cdot (-1) = 3\). Da \(3 > -3\), ist das Ergebnis größer und nicht kleiner. 3. Zu Teil c): Wähle die Zahl \(0{,}5\). Berechnung des Quadrats: \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Da \(0{,}25 < 0{,}5\), ist das Quadrat kleiner. (Weitere Gegenbeispiele wären \(0\), da \(0^2 = 0\), oder \(1\), da \(1^2 = 1\)).

a) Gegenbeispiel: \(0\cdot5=0\); nur ein Faktor ist null. b) Gegenbeispiel: \((-3)\cdot(-1)=3>-3\). c) Gegenbeispiel: \(0{,}5^2=0{,}25<0{,}5\).