- Prüfe, ob \(\frac{1}{3}\) nach endlich vielen Dezimalstellen endet. - Überlege, ob sich \(0{,}5\) als einfacher Bruch schreiben lässt. - Gesucht ist die Darstellung, die ohne Rundung exakt bleibt.

1. \(\frac{1}{3}\) hat keine endliche Dezimaldarstellung. 2. Dagegen lässt sich \(0{,}5\) exakt als \(\frac{1}{2}\) schreiben. 3. Deshalb ist die Bruchdarstellung für eine exakte Rechnung günstiger.

B), weil \(\frac{1}{3}\) keine endliche Dezimaldarstellung hat, während \(0{,}5=\frac{1}{2}\) exakt als Bruch geschrieben werden kann.

- Schreibe probeweise eine der beiden Zahlen in der anderen Schreibweise. Wird die Rechnung dadurch einfacher? - Siehst du in einer der Schreibweisen eine einfache Ergänzung? - Begründe deine Wahl mit dem Rechenweg, nicht nur mit dem Ergebnis.

1. \(\frac{5}{8}=0{,}625\). Die Dezimaldarstellung endet und ist hier leicht zu verwenden. 2. Daher gilt \(0{,}375+0{,}625=1\). 3. Eine Bruchrechnung ist ebenfalls möglich. Die Dezimalschreibweise ist hier besonders praktisch, weil sich die beiden Dezimalzahlen direkt zu \(1\) ergänzen.

Das Ergebnis ist \(1\). Beide Schreibweisen sind hier gut möglich: \(\frac{5}{8}=0{,}625\) führt zu \(0{,}375+0{,}625=1\), und \(0{,}375=\frac{3}{8}\) führt zu \(\frac{3}{8}+\frac{5}{8}=1\). Entscheidend ist eine passende Begründung der gewählten Schreibweise.

- Vergleiche kurz, wie die Rechnung aussieht, wenn du die Zahlen als Brüche oder als Dezimalzahlen schreibst. - Bei welchem Weg bleiben die Zahlen einfacher? - Begründe deine Wahl mit dem Rechenweg.

1. \(\frac{1}{3}\) und \(\frac{1}{6}\) haben periodische Dezimaldarstellungen. Darum ist die Bruchschreibweise hier günstiger. 2. \(0{,}25=\frac{1}{4}\). 3. Mit dem gemeinsamen Nenner 12 gilt \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}-\frac{2}{12}=\frac{5}{12}\).

\(\frac{5}{12}\). Die Bruchdarstellung ist hier günstig, weil \(\frac{1}{3}\) und \(\frac{1}{6}\) als Dezimalzahlen periodisch sind.

- Welche Brüche lassen sich als einfache endliche Dezimalzahlen schreiben? - Überlege dir, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss. - Nutze die Darstellung, mit der du die jeweilige Rechnung direkt im Kopf ausführen kannst.

1. a) \(\frac{1}{2}=0{,}5\), also \(0{,}25+0{,}5=0{,}75\). 2. b) \(\frac{3}{5}=0{,}6\), also \(0{,}4-0{,}6=-0{,}2\). 3. c) \(0{,}75-1=-0{,}25\). 4. d) \(\frac{9}{10}=0{,}9\), also \(1{,}1+0{,}9=2\).

a) \(\frac{1}{2}=0{,}5\), daher \(0{,}75\) b) \(\frac{3}{5}=0{,}6\), daher \(-0{,}2\) c) \(-0{,}25\) d) \(\frac{9}{10}=0{,}9\), daher \(2\)

- Prüfe, ob die beiden Brüche endliche und leicht erkennbare Dezimaldarstellungen haben. - Schreibe die Subtraktion bei Bedarf als Addition einer negativen Zahl, bevor du umordnest. - Suche nach Paaren mit einfachen Zwischensummen.

1. \(\frac{2}{5}=0{,}4\) und \(\frac{3}{4}=0{,}75\). 2. Gruppiere \((0{,}4+0{,}1)+(1{,}35-0{,}75)=0{,}5+0{,}6=1{,}1\).

\(\frac{2}{5}=0{,}4\), \(\frac{3}{4}=0{,}75\); dann \((0{,}4+0{,}1)+(1{,}35-0{,}75)=1{,}1\).

- Wie schreibst du \(\frac{5}{4}\) als Dezimalzahl? - Was passiert, wenn du einen Bruch mit seinem Kehrwert multiplizierst? - Vergleiche beide vollständig ausgeführten Wege.

1. Dezimalweg: \(0{,}8\cdot1{,}25+0{,}25=1+0{,}25=1{,}25\). 2. Bruchweg: \(\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{4}+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\). 3. Der Bruchweg ist besonders günstig, weil sich Kehrwertfaktoren direkt zu \(1\) kürzen.

a1) Dezimalweg: \(0{,}8\cdot1{,}25+0{,}25=1{,}25\). a2) Bruchweg: \(\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{4}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\). b) Der Bruchweg ist hier vorteilhafter, weil \(\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{4}=1\) sofort sichtbar ist.

- Prüfe zuerst, ob der Divisor eine endliche Dezimaldarstellung besitzt. - Überlege, wie du eine Division mit Dezimalzahlen in eine gleichwertige Division ohne Dezimalkommas umformen kannst. - Kontrolliere dein Ergebnis mit der passenden Umkehrrechnung.

1. Der Divisor lässt sich exakt als endliche Dezimalzahl schreiben: \(\frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Damit wird die Rechnung zu \(1{,}5 : 0{,}4\). 3. Multipliziert man Dividend und Divisor mit \(10\), erhält man die gleichwertige Division \(15 : 4 = 3{,}75\). 4. Der Darstellungswechsel ist praktisch, weil \(\frac{2}{5}\) eine kurze endliche Dezimaldarstellung besitzt und die Division anschließend ohne Bruchschreibweise ausgeführt werden kann.

\(3{,}75\). Der Wechsel von \(\frac{2}{5}\) zu \(0{,}4\) ist hier vorteilhaft, weil die Dezimaldarstellung exakt und kurz ist.

- Kannst du die Dezimalzahlen zuerst in Brüche umwandeln? - Denk daran, vor dem Ausmultiplizieren zu kürzen, um die Zahlen klein zu halten. - Was bedeutet „vollständig gekürzt“ für dein Endergebnis?

1. Wandle \( 0{,}35 \) in den Bruch \( \frac{35}{100} = \frac{7}{20} \) um. Multipliziere \( \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{20} \). Durch Kürzen der \( 7 \) ergibt sich \( \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \). 2. Wandle \( 1{,}2 \) in den Bruch \( \frac{12}{10} = \frac{6}{5} \) um. Multipliziere \( \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{9} \). Durch Kürzen der \( 5 \) ergibt sich \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \). 3. Wandle \( 0{,}16 \) in den Bruch \( \frac{16}{100} = \frac{4}{25} \) um. Multipliziere \(\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{25}\). Kürze \(4\) gegen \(8\), sodass \(\frac{3}{2 \cdot 25} = \frac{3}{50}\) folgt.

a) \(0{,}35=\frac{7}{20}\); \(\frac{4}{7}\cdot\frac{7}{20}=\frac{1}{5}\). b) \(1{,}2=\frac{6}{5}\); \(\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{9}=\frac{2}{3}\). c) \(0{,}16=\frac{4}{25}\); \(\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{25}=\frac{3}{50}\).

- Welche Darstellung macht Kürzen besonders einfach? - Kennst du einfache Brüche zu \(0{,}25\), \(0{,}8\), \(1{,}25\), \(0{,}4\) und \(0{,}9\)? - Prüfe vor dem Multiplizieren, ob sich Faktoren kürzen lassen.

1. a) \(0{,}25=\frac{1}{4}\), also \(\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{7}=\frac{1}{7}\). 2. b) \(0{,}8=\frac{4}{5}\), also \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{5}=0{,}6\). 3. c) \(1{,}25=\frac{5}{4}\) und \(0{,}4=\frac{2}{5}\), also \(\frac{1}{2}=0{,}5\). 4. d) \(0{,}9=\frac{9}{10}\), also \(\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{10}=\frac{3}{5}=0{,}6\).

a) \(0{,}25=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{7}\) b) \(0{,}8=\frac{4}{5}\Rightarrow\frac{3}{5}=0{,}6\) c) \(1{,}25=\frac{5}{4}\), \(0{,}4=\frac{2}{5}\Rightarrow\frac{1}{2}=0{,}5\) d) \(0{,}9=\frac{9}{10}\Rightarrow\frac{3}{5}=0{,}6\)

- Welche Dezimalzahlen lassen sich als einfache Brüche schreiben? - Nutze bei der Subtraktion eine gemeinsame Bruchdarstellung. - Bei der Division durch einen Bruch hilft der Kehrwert.

1. a) \(0{,}5=\frac{1}{2}\), also \(\frac{1}{3}\). 2. b) \(1{,}4=\frac{7}{5}\), also \(1\). 3. c) \(0{,}25=\frac{1}{4}\) und \(3\frac{1}{5}=\frac{16}{5}\), also \(\frac{4}{5}=0{,}8\). 4. d) \(0{,}3=\frac{3}{10}\), also \(\frac{9}{10}\cdot\frac{10}{3}=3\).

a) \(0{,}5=\frac{1}{2}\); Ergebnis \(\frac{1}{3}\). b) \(1{,}4=\frac{7}{5}\); Ergebnis \(1\). c) \(0{,}25=\frac{1}{4}\) und \(3\frac{1}{5}=\frac{16}{5}\); Ergebnis \(\frac{4}{5}=0{,}8\). d) \(0{,}3=\frac{3}{10}\); Ergebnis \(3\).

- Kannst du die Reihenfolge der Multiplikation so ändern, dass du einfacher kürzen kannst? - Welche Darstellung ist bei b) und d) günstig? - Achte bei c) auf Vorzeichen und Kürzmöglichkeiten.

1. a) \(0{,}5=\frac{1}{2}\); günstig gekürzt ergibt das \(\frac{2}{5}=0{,}4\). 2. b) \(3{,}6=\frac{36}{10}\), daher \(\frac{36}{10}\cdot\frac{10}{9}=4\). 3. c) Kürzen ergibt \(-\frac{4}{7}\). 4. d) In Dezimaldarstellung ist \(0{,}8:0{,}4=2\).

a) \(0{,}5=\frac{1}{2}\), geschickt gekürzt: \(\frac{2}{5}=0{,}4\) b) \(3{,}6=\frac{36}{10}\Rightarrow4\) c) durch Kürzen \(-\frac{4}{7}\) d) Dezimaldarstellung: \(0{,}8:0{,}4=2\)

- Welche der Dezimalzahlen lässt sich als einfacher Bruch schreiben? - Wähle die Darstellung so, dass Kürzen möglich wird. - Denke bei einer Division durch einen Bruch an die passende Umkehroperation.

1. Für a) ist die Bruchdarstellung günstig: \(0{,}75=\frac{3}{4}\). Damit gilt \(\frac{3}{4}\cdot\frac{7}{12}=\frac{21}{48}=\frac{7}{16}\). 2. Für b) gilt \(2{,}5=\frac{5}{2}\). Durch einen Bruch zu dividieren bedeutet, mit seinem Kehrwert zu multiplizieren: \(\frac{5}{2}:\frac{5}{8}=\frac{5}{2}\cdot\frac{8}{5}=4\).

a) Bruchdarstellung: \(0{,}75=\frac{3}{4}\), also \(\frac{3}{4}\cdot\frac{7}{12}=\frac{7}{16}\) b) Bruchdarstellung: \(2{,}5=\frac{5}{2}\), also \(\frac{5}{2}:\frac{5}{8}=4\)

- Entscheide in jeder Teilrechnung unabhängig, welche Darstellung die Rechnung vereinfacht. - Bei Addition und Subtraktion können kurze endliche Dezimalzahlen besonders günstig sein. - Bei einer Division durch einen Bruch kann die Bruchdarstellung die Struktur deutlicher machen.

1. Für a) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(-\frac{3}{4}=-0{,}75\), also \(-0{,}75+0{,}5=-0{,}25\). 2. Für b) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(1\frac{1}{5}=1{,}2\), also \(-2{,}2-(-1{,}2)=-1\). 3. Für c) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(-1\frac{1}{2}=-1{,}5\), also \(0{,}8\cdot(-1{,}5)=-1{,}2\). 4. Für d) ist die Bruchdarstellung günstig: \(-2:\frac{4}{5}=-2\cdot\frac{5}{4}=-2{,}5\).

a) Dezimaldarstellung: \(-0{,}75+0{,}5=-0{,}25\) b) Dezimaldarstellung: \(-2{,}2-(-1{,}2)=-1\) c) Dezimaldarstellung: \(0{,}8\cdot(-1{,}5)=-1{,}2\) d) Bruchdarstellung: \(-2\cdot\frac{5}{4}=-2{,}5\)

- Prüfe bei jeder Teilaufgabe, ob der Bruch eine kurze endliche Dezimaldarstellung hat. - Wenn eine Dezimaldarstellung periodisch wäre, kann die Bruchdarstellung günstiger sein. - Wähle die Darstellung so, dass Addition oder Subtraktion möglichst direkt wird.

1. Für a) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(\frac{3}{4}=0{,}75\). Damit gilt \(0{,}75+0{,}15=0{,}9\). 2. Für b) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(\frac{1}{5}=0{,}2\). Damit gilt \(0{,}8-0{,}2=0{,}6\). 3. Für c) ist die Bruchdarstellung günstiger, weil \(\frac{2}{3}\) keine endliche Dezimaldarstellung hat: \(0{,}5=\frac{1}{2}\), also \(-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}\). 4. Für d) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(\frac{1}{8}=0{,}125\). Damit gilt \(1{,}125-0{,}125=1\).

a) Dezimaldarstellung: \(0{,}75+0{,}15=0{,}9\) b) Dezimaldarstellung: \(0{,}8-0{,}2=0{,}6\) c) Bruchdarstellung: \(-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}\) d) Dezimaldarstellung: \(1{,}125-0{,}125=1\)

- Prüfe, ob die Brüche kurze endliche Dezimaldarstellungen haben. - Wähle die Darstellung so, dass Addition oder Subtraktion möglichst direkt wird. - Achte bei der negativen Zahl in c) auf das Vorzeichen.

1. In a) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(\frac{3}{20}=0{,}15\), also \(0{,}45+0{,}15=0{,}6\). 2. In b) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(\frac{5}{8}=0{,}625\), also \(0{,}625-0{,}125=0{,}5\). 3. In c) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(\frac{1}{5}=0{,}2\), also \(-1{,}2+0{,}2=-1\).

a) Dezimaldarstellung: \(0{,}45+0{,}15=0{,}6\) b) Dezimaldarstellung: \(0{,}625-0{,}125=0{,}5\) c) Dezimaldarstellung: \(-1{,}2+0{,}2=-1\)

- Wie schreibst du einen Bruch mit dem Nenner 10, 100 oder 1000 als Dezimalzahl? - Was passiert, wenn du zwei Brüche multiplizierst, die Kehrwerte voneinander sind? - Überlege, bei welcher Methode du weniger schriftlich rechnen musst.

1. Weg A: \(\frac{4}{5}=0{,}8\). Dann \(1{,}25\cdot0{,}8=1\). 2. Weg B: \(1{,}25=\frac{5}{4}\). Dann \(\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{5}=1\). 3. Beide Wege sind kurz. Bei Weg B erkennt man durch Kürzen sofort die \(1\); bei Weg A sind die Dezimalzahlen ebenfalls einfach zu multiplizieren.

Beide Wege ergeben \(1\). Als Begründung ist sowohl Weg A als auch Weg B möglich, wenn der Rechenvorteil passend erklärt wird.

- Was passiert, wenn du drei Drittel zusammenzählst? - Addiere die Dezimalzahlen wie Geldbeträge. Kommst du genau auf 1? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen endlichen und periodischen Dezimalzahlen.

1. Addition der Brüche: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \). Das Ergebnis ist genau das Ganze. 2. Addition der Dezimalzahlen: \( 0{,}33 + 0{,}33 + 0{,}33 = 0{,}99 \). 3. Vergleich und Schlussfolgerung: Bei der Dezimalzahl \( 0{,}33 \) fehlt ein Rest von \( 0{,}01 \) zum Ganzen. Der Bruch \( \frac{1}{3} \) entspricht der periodischen Dezimalzahl \( 0{,}\overline{3} \). Die endliche Dezimalzahl \( 0{,}33 \) ist nur ein gerundeter Näherungswert, weshalb beim Rechnen ein Rundungsfehler entsteht.

a) \( 1 \) (das Ganze). b) \( 0{,}99 \). c) Nur der Bruch \( \frac{1}{3} \) stellt den Anteil exakt dar. Die Dezimalzahl \( 0{,}33 \) führt zu einem Rundungsfehler, da sie den unendlichen Dezimalbruch \( 0{,}\overline{3} \) abschneidet.

- Bei periodischen Dezimalzahlen kann eine exakte Bruchdarstellung den Vergleich erleichtern. - Bei zwei Produkten mit demselben positiven Faktor genügt es, die jeweils anderen Faktoren zu vergleichen. - Vergleiche bei c) eine endliche Dezimalzahl mit einer Dezimalzahl, deren Ziffernfolge ohne Ende weitergeht.

1. \(0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}\) und \(0{,}\overline{6}=\frac{2}{3}\). Daher ist ihre Summe \(1\), also gilt Gleichheit. 2. In beiden Produkten ist \(0{,}4\) ein positiver gemeinsamer Faktor. Weil \(\frac{1}{2}=0{,}5<0{,}55\), ist \(0{,}4\cdot\frac{1}{2}<0{,}4\cdot0{,}55\). 3. \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\) besitzt unendlich viele Dreien nach dem Komma, während \(0{,}333\) nach drei Dezimalstellen endet. Deshalb ist \(\frac{1}{3}>0{,}333\).

a) \(=\), denn \(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1\) b) \(<\), denn \(0{,}5<0{,}55\) c) \(>\), denn \(0{,}\overline{3}>0{,}333\)

- Welche der gegebenen Zahlen lassen sich als einfache Brüche schreiben? - Suche einen gemeinsamen Nenner für die entstehenden Brüche. - Welche Zahl im Term besitzt keine endliche Dezimaldarstellung?

1. \(0{,}4=\frac{2}{5}\) und \(0{,}15=\frac{3}{20}\). 2. \(\frac{2}{5}+\frac{1}{3}-\frac{3}{20}=\frac{24}{60}+\frac{20}{60}-\frac{9}{60}=\frac{35}{60}=\frac{7}{12}\). 3. \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\) ist nicht als endliche Dezimalzahl darstellbar; eine endliche Dezimalnäherung wäre nicht exakt.

\(\frac{7}{12}\). Das Problem ist \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\): Eine ausschließlich endliche Dezimaldarstellung kann diesen Wert nicht exakt wiedergeben.

- Schau dir den ganzen Term an, bevor du eine Darstellung wählst. - Bei \(\frac{1}{3}\) ist eine Bruchrechnung oft günstiger als eine endliche Dezimalnäherung. - Welche Terme lassen sich in einer Darstellung besonders einfach zusammenfassen?

1. a) Als Dezimalzahlen: \((0{,}25+0{,}5)-1=-0{,}25\). 2. b) Als Dezimalzahlen: \(2{,}75-(1{,}5+0{,}25)=1\). 3. c) Die Brüche zuerst zusammenfassen: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}=0{,}5\); dann \(0{,}5+0{,}2=0{,}7\).

a) Dezimaldarstellung: \((0{,}25+0{,}5)-1=-0{,}25\) b) Dezimaldarstellung: \(2{,}75-(1{,}5+0{,}25)=1\) c) Bruchdarstellung zuerst: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\), dann \(0{,}5+0{,}2=0{,}7\)

- Führe beide angekündigten Darstellungswege vollständig aus. - Gibt es Paare, die sich in einer der Darstellungen besonders leicht zu einer ganzen Zahl ergänzen? - Vergleiche den Rechenaufwand erst nach beiden Wegen.

1. Lukas: \(0{,}125+0{,}75+0{,}25+0{,}125=1{,}25\). 2. Mia: \(\frac{1}{8}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=(\frac{1}{8}+\frac{1}{8})+(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})=\frac{1}{4}+1=1{,}25\). 3. Beide Wege sind hier gut geeignet. Bei Mia ist \(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1\) sofort sichtbar; bei Lukas sind alle Brüche endliche, leicht lesbare Dezimalzahlen.

Lukas: \(1{,}25\). Mia: \(1{,}25\). Beide Wege sind hier sinnvoll. Entscheidend ist eine passende Begründung, zum Beispiel die Ergänzung zu \(1\) bei Mia oder die einfachen Dezimalzahlen bei Lukas.

- Schau dir die Nenner der Brüche an. Was passiert, wenn du sie in Dezimalzahlen umwandelst? - Gibt es Brüche, die zusammen eine einfache Zahl ergeben? - Ist es immer nötig, wirklich alles in dieselbe Form umzuwandeln, oder kannst du Teile getrennt berechnen?

1. Analyse der Zahlen: \(\frac{5}{6}\) und \(\frac{1}{6}\) ergeben als Dezimalzahlen periodische Werte (\(0{,}8\overline{3}\) und \(0{,}1\overline{6}\)), was die Addition erschwert. 2. Wahl der Strategie: Die beiden Brüche und die beiden Dezimalzahlen werden jeweils zusammengefasst; eine vollständige Umwandlung ist nicht nötig. 3. Gruppierung der Brüche: \(\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1\). 4. Addition der Dezimalzahlen: \(0{,}4 + 1{,}1 = 1{,}5\). 5. Gesamtergebnis: \(1 + 1{,}5 = 2{,}5\) oder \(\frac{5}{2}\).

Das getrennte Zusammenfassen der Brüche und der Dezimalzahlen ist sinnvoll, da die beiden Sechstelbrüche zusammen \(1\) ergeben und ihre periodischen Dezimaldarstellungen vermieden werden. Das Ergebnis ist \(2{,}5\).

- Was passiert, wenn du \(\frac{1}{3}\) als Dezimalzahl schreibst? - Welche Schreibweise macht die Rechnung hier übersichtlicher? - Suche einen gemeinsamen Nenner für die Brüche.

1. Die Bruchdarstellung ist hier praktisch, weil \(\frac{1}{3}\) als Dezimalzahl periodisch ist. 2. \(0{,}25=\frac{1}{4}\) und \(1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\). 3. Mit dem gemeinsamen Nenner 12 gilt \(\frac{4}{3}+\frac{1}{4}-\frac{7}{12}=\frac{16}{12}+\frac{3}{12}-\frac{7}{12}=\frac{12}{12}=1\).

\(1\). Die Bruchdarstellung ist hier praktisch, weil \(\frac{1}{3}\) als Dezimalzahl periodisch ist.

- Erinnere dich an die Regel „Klammer zuerst“. - Welche Darstellung passt hier zu den bereits gegebenen Dezimalzahlen? - Welche endlichen Dezimalwerte gehören zu den beiden gemischten Zahlen?

1. Schreibe \(3\frac{1}{8}=3{,}125\) und \(2\frac{1}{5}=2{,}2\). 2. Die Klammer ergibt \(7{,}15\). 3. \(12{,}8-7{,}15+2{,}2=7{,}85\).

Dezimaldarstellung: \(3\frac{1}{8}=3{,}125\) und \(2\frac{1}{5}=2{,}2\). Damit \(12{,}8-7{,}15+2{,}2=7{,}85\).

- Wann lässt sich ein Bruch als endliche Dezimalzahl schreiben und wann ist er periodisch? - Überlege, was passiert, wenn du eine periodische Zahl rundest – ist das Ergebnis dann noch exakt? - Suche nach einem gemeinsamen Nenner, um Brüche zu addieren.

1. Analyse der Brüche: In Term A ist \(\frac{1}{4} = 0{,}25\) und in Term C ist \(\frac{2}{5} = 0{,}4\); beide Dezimaldarstellungen enden. In Term B ergeben \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{1}{6}\) periodische Dezimalzahlen. Mit ausschließlich endlichen Dezimalzahlen wäre daher eine Rundung nötig; die Bruchdarstellung ermöglicht eine exakte Rechnung ohne Rundung. 2. Umwandlung von \(0{,}5\) in einen Bruch: \(0{,}5 = \frac{1}{2}\). 3. Der kleinste gemeinsame Nenner von \(3\), \(2\) und \(6\) ist \(6\). 4. Erweitern und Addieren: \(\frac{4}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{8}{6}\). 5. Kürzen: \(\frac{8}{6} = \frac{4}{3}\).

a) Term B, weil \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{1}{6}\) periodische Dezimaldarstellungen haben; mit nur endlichen Dezimalzahlen müsste man runden. b) Der Wert von Term B ist \(\frac{4}{3}\).

- Prüfe, ob die beiden Brüche überhaupt eine endliche Dezimaldarstellung besitzen. - Gibt es Summanden, die sich in ihrer ursprünglichen Bruchdarstellung besonders einfach zusammenfassen lassen? - Überlege, welche Rechengesetze das Umordnen und Gruppieren einer Summe erlauben.

1. Die Brüche \(\frac{4}{9}\) und \(\frac{5}{9}\) haben periodische Dezimaldarstellungen. Leandro hat sie nach zwei Nachkommastellen abgeschnitten; dadurch gehen Informationen verloren und das Ergebnis ist nicht exakt. 2. Für eine exakte Rechnung werden die beiden gleichnamigen Brüche zuerst zusammengefasst. Das ist durch Umordnen und Gruppieren der Summanden erlaubt. 3. Es gilt \(\left(\frac{4}{9} + \frac{5}{9}\right) + 0{,}3 = 1 + 0{,}3 = 1{,}3\).

a) Die periodischen Dezimaldarstellungen wurden abgeschnitten; deshalb ist \(1{,}29\) nur aus ungenauen Zwischenwerten entstanden. b) Exakt gilt \(\left(\frac{4}{9} + \frac{5}{9}\right) + 0{,}3 = 1{,}3\).

- Löse zuerst die Klammer unter Beachtung des Minuszeichens auf. - Welche Teile lassen sich zunächst bequem als Dezimalzahlen, welche als Brüche zusammenfassen? - Wann lohnt sich erst am Ende ein Darstellungswechsel?

1. Löse die Klammer auf: \(4{,}5-1{,}25-\frac{1}{3}+\frac{1}{12}\). 2. Dezimalteil: \(4{,}5-1{,}25=3{,}25\). 3. Bruchteil: \(-\frac{1}{3}+\frac{1}{12}=-\frac{1}{4}=-0{,}25\). 4. \(3{,}25-0{,}25=3\).

\(4{,}5-1{,}25=3{,}25\); \(-\frac{1}{3}+\frac{1}{12}=-\frac{1}{4}=-0{,}25\). Daher \(3{,}25-0{,}25=3\).

- Prüfe, ob beide Summanden eine kurze endliche Dezimaldarstellung besitzen. - Welche Darstellung bewahrt den Wert ohne Näherung? - Bringe beide Summanden in dieselbe Darstellung, bevor du addierst.

1. \(0{,}8 = \frac{4}{5}\) und \(2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}\). 2. In Bruchdarstellung gilt \(\frac{4}{5} + \frac{7}{3} = \frac{12}{15} + \frac{35}{15} = \frac{47}{15} = 3\frac{2}{15}\). 3. Die Bruchdarstellung ist hier vorteilhaft, weil \(\frac{1}{3}\) eine unendliche periodische Dezimaldarstellung besitzt. Mit Brüchen bleibt die Rechnung ohne Rundung exakt.

\(3\frac{2}{15}\). Die Bruchdarstellung ist vorteilhaft, weil sie den periodischen Anteil exakt darstellt und keine Rundung nötig ist.

- Schau dir die Nachkommastellen genau an. Gibt es Zahlen, die besonders gut zusammenpassen? - Überlege, ob es einfacher ist, die Klammern zuerst auszurechnen oder den Term geschickt umzustellen. - Wie lautet die Dezimalzahl für den Bruch mit dem Nenner 8?

1. Überschlag: \((12+5)-(2-1)=16\). 2. Geeignete Umwandlungen sind \(\frac{3}{8}=0{,}375\) und \(\frac{9}{20}=0{,}45\). 3. Der Dezimalterm lautet \((12{,}375+4{,}55)-(2{,}375-1{,}45)\). 4. Zum Beispiel geschickt umgestellt: \(12{,}375+4{,}55-2{,}375+1{,}45=(12{,}375-2{,}375)+(4{,}55+1{,}45)=10+6=16\). Der exakte Wert passt zum Überschlag.

Überschlag: etwa \(16\). Darstellungswechsel: \(\frac{3}{8}=0{,}375\) und \(\frac{9}{20}=0{,}45\). Dezimalterm: \((12{,}375+4{,}55)-(2{,}375-1{,}45)\). Geschickt gruppiert: \((12{,}375-2{,}375)+(4{,}55+1{,}45)=10+6=16\).

- Ergeben alle Brüche im Term endliche Dezimalzahlen? Was bedeutet das für deinen Rechenweg? - Wenn du mit Brüchen rechnest, was musst du tun, um Brüche mit verschiedenen Nennern zu addieren oder zu subtrahieren? - Kannst du das Ergebnis am Ende wieder als Dezimalzahl schreiben?

1. Überschlag: \(4{,}5-(1{,}5+0{,}2)+0{,}2\approx3\). 2. Die Bruchdarstellung ist hier praktisch, weil \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{1}{6}\) als Dezimalzahlen periodisch sind. 3. \(1{,}5=\frac{3}{2}\) und \(0{,}2=\frac{1}{5}\). 4. In der Klammer gilt mit dem gemeinsamen Nenner 6: \(\frac{3}{2}+\frac{1}{6}=\frac{9}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{3}\). 5. \(4\frac{2}{3}-\frac{5}{3}=\frac{14}{3}-\frac{5}{3}=3\). 6. Zum Schluss addierst du \(\frac{1}{5}\): \(3+\frac{1}{5}=3\frac{1}{5}=3{,}2\).

Überschlag: etwa \(3\). Bruchdarstellung ist günstiger, weil \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{1}{6}\) keine endliche Dezimaldarstellung haben. Umwandlungen: \(1{,}5=\frac{3}{2}\), \(0{,}2=\frac{1}{5}\). Exakt: \(3\frac{1}{5}=3{,}2\).

- Bei welcher Teilaufgabe erleichtert eine Bruchdarstellung das Kürzen? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Welche einfachen Brüche gehören zu \(0{,}8\) und \(2{,}25\)?

1. a) Als Brüche: \(\frac{27}{8}\cdot\frac{4}{9}=\frac{3}{2}\). 2. b) \(0{,}8=\frac{4}{5}\), also \(\frac{4}{5}\cdot\frac{15}{4}=3\). 3. c) \(2{,}25=\frac{9}{4}\), also \(\frac{9}{4}\cdot(-\frac{2}{3})=-\frac{3}{2}\).

a) Bruchdarstellung: \(\frac{27}{8}\cdot\frac{4}{9}=\frac{3}{2}\) b) \(0{,}8=\frac{4}{5}\), dann \(\frac{4}{5}\cdot\frac{15}{4}=3\) c) \(2{,}25=\frac{9}{4}\), dann \(\frac{9}{4}\cdot(-\frac{2}{3})=-\frac{3}{2}\)

- Welche Rechenregel musst du zuerst anwenden (Klammer, Punkt, Strich)? - Versuche, alle Zahlen als Brüche zu schreiben, bevor du multiplizierst. - Siehst du Zahlen im Zähler und Nenner, die sich gegenseitig aufheben? - Wie viele negative Vorzeichen hast du insgesamt? Was bedeutet das für das Endergebnis?

1. In der Klammer: \(1\frac{1}{6}=\frac{7}{6}\). Mit dem gemeinsamen Nenner 6 gilt \(\frac{2}{3}+\frac{7}{6}=\frac{4}{6}+\frac{7}{6}=\frac{11}{6}\). 2. \(-1{,}5=-\frac{3}{2}\). 3. Damit lautet das Produkt \(\left(-\frac{3}{2}\right)\cdot\frac{11}{6}\cdot\left(-\frac{4}{11}\right)\). 4. Zwei negative Faktoren ergeben ein positives Produkt. 5. Kürze vor dem Multiplizieren: \(\left(-\frac{3}{2}\right)\cdot\frac{11}{6}\cdot\left(-\frac{4}{11}\right)=1\).

Das Ergebnis ist \(1\). Die Bruchdarstellung ist hier praktisch, weil sich mehrere Faktoren vor dem Multiplizieren direkt kürzen lassen.

- Überlege dir, welche Brüche als Dezimalzahlen „unendlich“ viele Stellen haben. Ist es dann leichter, mit Brüchen zu rechnen? - Manchmal hilft es, das Komma zu verschieben, um wie mit ganzen Zahlen zu rechnen. - Gibt es Zahlen, die du sofort als einfachen Bruch erkennst?

1. Zu a): Da \(\frac{5}{6}\) eine periodische Dezimalzahl ergibt, ist die Rechnung mit Brüchen geschickter. \(0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\). Rechnung: \(\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 2. Zu b): Hier ist die Rechnung mit Brüchen geschickter, da \(\frac{1}{3}\) periodisch ist. \(0{,}9 = \frac{9}{10}\). Rechnung: \(\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{3}{10}\) (oder \(0{,}3\)). 3. Zu c): Beide Zahlen lassen sich gut als Dezimalzahlen dividieren oder als Brüche schreiben. Weg über Dezimalzahlen: \(1{,}25 : 0{,}5 = 12{,}5 : 5 = 2{,}5\).

a) Brüche sind günstiger, weil \(\frac{5}{6}\) keine endliche Dezimaldarstellung hat. Mit \(0{,}4=\frac{2}{5}\) ergibt sich \(\frac{1}{3}\). b) Brüche sind günstiger, weil \(\frac{1}{3}\) periodisch ist. Mit \(0{,}9=\frac{9}{10}\) ergibt sich \(\frac{3}{10}=0{,}3\). c) Dezimalzahlen sind günstig, weil beide Zahlen endlich dezimal gegeben sind und der Quotient durch gleiches Verschieben der Kommas leicht wird: \(1{,}25:0{,}5=2{,}5\).

- Prüfe zuerst, welche Darstellung in der Klammer eine exakte und kurze Rechnung ermöglicht. - Überlege nach der Klammer neu, welche Darstellung für die Division günstiger ist. - Achte darauf, dass eine periodische Dezimaldarstellung nicht unnötig angenähert wird.

1. Zuerst wird die Klammer berechnet. Da \(\frac{5}{9}\) eine periodische Dezimaldarstellung hat, ist die Bruchdarstellung günstig: \(0{,}6=\frac{3}{5}\). 2. Damit gilt \(\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{9}=\frac{1}{3}\). 3. Für die anschließende Division ist ebenfalls die Bruchdarstellung günstig: \(1{,}2=\frac{6}{5}\). 4. Also gilt \(\frac{1}{3}:\frac{6}{5}=\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{18}\).

In der Klammer ist die Bruchdarstellung günstig: \(0{,}6=\frac{3}{5}\), also \(\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{9}=\frac{1}{3}\). Danach: \(1{,}2=\frac{6}{5}\), also \(\frac{1}{3}:\frac{6}{5}=\frac{5}{18}\).

- Prüfe, ob beim Zerlegen beider Faktoren wirklich jeder Teil des ersten mit jedem Teil des zweiten Faktors berücksichtigt würde. - Welche gemeinsame Darstellung macht die Multiplikation hier übersichtlicher? - Kontrolliere vor der Rechnung auch das erwartete Vorzeichen des Produkts.

1. In der gezeigten Rechnung stecken zwei Fehler. 2. Erstens ist \(-2\frac{2}{3}\) die negative Zahl \(-\left(2+\frac{2}{3}\right)=-2-\frac{2}{3}\). Der Bruchteil darf also nicht als positiv behandelt werden. 3. Zweitens darf man die sichtbaren Teile der beiden Faktoren nicht nur paarweise multiplizieren. Beim vollständigen Ausmultiplizieren würden vier Teilprodukte entstehen. 4. Einfacher ist die Umwandlung in Brüche: \(-2\frac{2}{3}=-\frac{8}{3}\) und \(1{,}5=\frac{3}{2}\). 5. Daher gilt \(-\frac{8}{3}\cdot\frac{3}{2}=-4\).

Die Rechnung behandelt den Bruchteil von \(-2\frac{2}{3}\) fälschlich als positiv und multipliziert die zerlegten Faktoren nicht vollständig miteinander. Richtig ist \(-2\frac{2}{3}\cdot1{,}5=-\frac{8}{3}\cdot\frac{3}{2}=-4\).

- Suche nach einer Darstellung, in der du vor dem Rechnen kürzen kannst. - Prüfe, welche endlichen Dezimalzahlen sich als einfache Brüche schreiben lassen. - Eine periodische Dezimaldarstellung lässt sich für eine exakte Rechnung als Bruch nutzen.

1. Für a) ist die Bruchdarstellung günstig: \(-0{,}12=-\frac{3}{25}\). Dann gilt \(\frac{5}{6}\cdot\left(-\frac{3}{25}\right)=-\frac{1}{10}=-0{,}1\). 2. Für b) ist die Bruchdarstellung günstig: \(0{,}375=\frac{3}{8}\). Damit gilt \(\frac{3}{8}:\frac{3}{4}=\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{3}=\frac{1}{2}=0{,}5\). 3. Für c) ist die Bruchdarstellung günstig: \(-1{,}2=-\frac{6}{5}\). Dann gilt \(-\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{9}=-\frac{2}{3}\). 4. Für d) muss die periodische Dezimalzahl als Bruch genutzt werden: \(0{,}\overline{6}=\frac{2}{3}\). Somit gilt \(4:\frac{2}{3}=4\cdot\frac{3}{2}=6\).

a) Bruchdarstellung: \(\frac{5}{6}\cdot\left(-\frac{3}{25}\right)=-0{,}1\) b) Bruchdarstellung: \(\frac{3}{8}:\frac{3}{4}=0{,}5\) c) Bruchdarstellung: \(-\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{9}=-\frac{2}{3}\) d) Bruchdarstellung: \(4:\frac{2}{3}=6\)

- Beachte zuerst Klammern sowie Punkt-vor-Strich. - Suche in a) nach einer gemeinsamen Bruchdarstellung für die Klammer. - Überlege in b), welche exakte Darstellung der periodischen Dezimalzahl die Division erleichtert.

1. In a) ist die Bruchdarstellung in der Klammer günstig: \(0{,}25=\frac{1}{4}=\frac{2}{8}\). Damit ist \(\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\). 2. Es folgt \(\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{8}=\frac{3}{14}\). 3. In b) wird zuerst die Division berechnet. Die periodische Dezimalzahl wird als Bruch geschrieben: \(0{,}\overline{5}=\frac{5}{9}\). 4. Damit gilt \(\frac{2}{3}:\frac{5}{9}=\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{5}=\frac{6}{5}=1{,}2\), also \(1{,}2-1{,}2=0\).

a) Bruchdarstellung in der Klammer: \(0{,}25=\frac{1}{4}\), also \(\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{8}=\frac{3}{14}\) b) \(0{,}\overline{5}=\frac{5}{9}\); damit \(\frac{2}{3}:\frac{5}{9}=1{,}2\) und insgesamt \(0\)

- Was passiert, wenn du \(\frac{1}{6}\) als Dezimalzahl schreibst? - Wie lässt sich \(0{,}\overline{7}\) als Bruch darstellen?

1. a) \(0{,}2=\frac{1}{5}\). Daher \(\frac{1}{6}+\frac{1}{5}=\frac{5}{30}+\frac{6}{30}=\frac{11}{30}\). Der Bruch \(\frac{1}{6}\) hat eine periodische Dezimaldarstellung; mit nur endlichen Dezimalzahlen müsste man runden. 2. b) \(0{,}\overline{7}=\frac{7}{9}\). Daher \(\frac{7}{9}+\frac{2}{9}=1\).

a) \(\frac{11}{30}\); \(\frac{1}{6}\) hat keine endliche Dezimaldarstellung. b) \(1\)

- Welche Vorrangregeln musst du hier beachten? - Wandle alle Zahlen in die gleiche Darstellung um. Welche bietet sich hier für ein exaktes Ergebnis an? - Was fällt dir auf, wenn du versuchst, \(\frac{7}{9}\) als Dezimalzahl zu schreiben?

1. \(0{,}25=\frac{1}{4}\). 2. Zuerst die Division: \(\frac{1}{4}:\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{1}{3}\). 3. Dann subtrahierst du: \(\frac{7}{9}-\frac{1}{3}\). 4. Mit dem gemeinsamen Nenner 9 gilt \(\frac{7}{9}-\frac{3}{9}=\frac{4}{9}\). 5. \(\frac{7}{9}\) und \(\frac{1}{3}\) haben periodische Dezimaldarstellungen. Die Bruchschreibweise ist hier deshalb übersichtlicher; mit gerundeten Dezimalzahlen ginge die Exaktheit verloren.

a) Das exakte Ergebnis ist \(\frac{4}{9}\). b) Eine Rechnung nur mit endlichen Dezimalzahlen ist nicht sinnvoll, da \(\frac{7}{9}\) eine periodische Dezimaldarstellung hat. Mit gerundeten Werten erhielte man kein exaktes Ergebnis; mit Periodenschreibweise wäre eine exakte Dezimaldarstellung zwar möglich, aber weniger übersichtlich.

- Führe beide verlangten Darstellungswege vollständig aus, bevor du sie vergleichst. - Achte beim Bruchweg darauf, wie Division durch einen Bruch umgeschrieben wird. - Vergleiche anschließend Anzahl und Schwierigkeit der Zwischenschritte.

1. Dezimalweg: \(\frac{3}{4}=0{,}75\) und \(\frac{1}{2}=0{,}5\). Damit gilt \(0{,}375:0{,}75+0{,}5=0{,}5+0{,}5=1\). 2. Bruchweg: \(0{,}375=\frac{3}{8}\). Damit gilt \(\frac{3}{8}:\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\). 3. Beide Wege sind korrekt. Der Bruchweg kann hier wegen der direkten Kürzung besonders übersichtlich sein; eine andere schlüssig begründete Präferenz ist ebenfalls möglich.

Weg 1: \(0{,}375:0{,}75+0{,}5=1\) Weg 2: \(\frac{3}{8}:\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=1\) Eine mögliche Begründung: Weg 2 ist günstig, weil sich \(\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{3}\) direkt kürzen lässt.

- Führe beide verlangten Rechenwege vollständig aus, bevor du sie bewertest. - Achte darauf, dass die Umwandlungen jeweils exakt bleiben. - Vergleiche anschließend, bei welchem Weg weniger oder einfachere Zwischenschritte entstehen.

1. Dezimalweg: \(1\frac{1}{5}=1{,}2\). Daher ist \(0{,}8-1{,}2=-0{,}4\) und \(-0{,}4\cdot(-2{,}5)=1\). 2. Bruchweg: \(0{,}8=\frac{4}{5}\), \(1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}\) und \(-2{,}5=-\frac{5}{2}\). Damit gilt \(\left(\frac{4}{5}-\frac{6}{5}\right)\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=-\frac{2}{5}\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=1\). 3. Eine mögliche Bewertung ist, dass der Dezimalweg hier einfacher ist, weil nach der unmittelbaren Umwandlung nur kurze Dezimalzahlen vorkommen. Eine schlüssige Bevorzugung des Bruchwegs ist ebenfalls möglich.

Dezimalweg: \((0{,}8-1{,}2)\cdot(-2{,}5)=1\) Bruchweg: \(\left(\frac{4}{5}-\frac{6}{5}\right)\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=1\) Zum Beispiel kann der Dezimalweg als einfacher begründet werden, weil nur kurze endliche Dezimalzahlen vorkommen.

- Schau dir die Nenner der Brüche an. Lassen sie sich leicht als Dezimalzahlen schreiben? - Was passiert, wenn du mit gerundeten Dezimalzahlen rechnest? - Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Wie dividiert man durch einen Bruch?

1. Die Bruchdarstellung ist hier praktisch, weil \(\frac{1}{3}\) und \(\frac{1}{6}\) als Dezimalzahlen periodisch sind. 2. \(1{,}75=\frac{7}{4}\), \(2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\) und \(-1\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}\). 3. In der Klammer gilt mit dem gemeinsamen Nenner 12: \(\frac{7}{4}+\frac{7}{3}=\frac{21}{12}+\frac{28}{12}=\frac{49}{12}\). 4. Teile durch \(-\frac{7}{6}\), indem du mit \(-\frac{6}{7}\) multiplizierst: \(\frac{49}{12}\cdot\left(-\frac{6}{7}\right)=-\frac{7}{2}=-3{,}5\).

Das Ergebnis ist \(-3{,}5\) oder \(-\frac{7}{2}\). Die Bruchdarstellung ist hier übersichtlicher, weil die vorkommenden Brüche als Dezimalzahlen periodisch wären.

- Prüfe, ob der Bruch eine kurze endliche Dezimaldarstellung besitzt. - Suche eine Darstellung, in der die Klammer besonders einfach wird. - Bestimme bei der anschließenden Division zuerst das Vorzeichen.

1. Die Dezimaldarstellung ist hier günstig, weil \(\frac{5}{8}=0{,}625\) eine endliche Dezimaldarstellung besitzt. 2. Damit gilt in der Klammer \(-0{,}625+0{,}125=-0{,}5\). 3. Anschließend ist \(-0{,}5:(-0{,}2)=2{,}5\). 4. Auch ein Bruchweg ist möglich: \(-\frac{5}{8}+\frac{1}{8}=-\frac{1}{2}\) und \(-\frac{1}{2}:\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{5}{2}\).

Günstig ist zum Beispiel die Dezimaldarstellung: \(-0{,}625+0{,}125=-0{,}5\) und \(-0{,}5:(-0{,}2)=2{,}5\).

- Prüfe, ob ein Bruch eine endliche Dezimaldarstellung hat. - Suche bei Produkten nach Darstellungen, die direktes Kürzen ermöglichen. - Wähle bei jeder Teilaufgabe unabhängig die Darstellung mit den einfacheren Zwischenschritten.

1. Im ersten Term sind Brüche günstiger, weil \(\frac{1}{3}\) keine endliche Dezimaldarstellung besitzt. Mit \(0{,}5 = \frac{1}{2}\) ergibt sich \(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\). 2. Im zweiten Term sind Brüche günstig: \(0{,}25 = \frac{1}{4}\), also \(\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{7} = \frac{1}{7}\) durch direktes Kürzen. 3. Im dritten Term sind Dezimalzahlen günstig. Mit \(\frac{1}{5} = 0{,}2\) gilt \(0{,}4 \cdot 1{,}2 - 0{,}2 = 0{,}48 - 0{,}2 = 0{,}28\).

a) Brüche sind günstiger, weil \(\frac{1}{3}\) keine endliche Dezimaldarstellung besitzt: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}\). b) Brüche sind günstig, weil \(0{,}25=\frac{1}{4}\) direkt gegen den Faktor \(4\) gekürzt werden kann: Ergebnis \(\frac{1}{7}\). c) Dezimalzahlen sind günstig, weil \(\frac{1}{5}=0{,}2\) endlich ist und die übrigen Zahlen schon dezimal vorliegen: Ergebnis \(0{,}28\).

- Gibt es Zahlen, die sich besonders einfach zu einer ganzen Zahl ergänzen? - Wandle zuerst alle Angaben in Dezimalzahlen um. - Was fällt dir auf, wenn du die Nachkommastellen betrachtest?

1. Umwandlung aller Werte in eine einheitliche Darstellung (Dezimalzahlen in \(\text{km}\)): - \(1{,}45\,\text{km}\) - \(\frac{3}{4}\,\text{km} = 0{,}75\,\text{km}\) - \(2{,}55\,\text{km}\) - \(0{,}25\,\text{km}\) - \(1 \frac{1}{2}\,\text{km} = 1{,}5\,\text{km}\) - \(500\,\text{m} = 0{,}5\,\text{km}\) 2. Bildung geschickter Paare: - Paar 1: \(1{,}45\,\text{km} + 2{,}55\,\text{km} = 4{,}0\,\text{km}\) - Paar 2: \(0{,}75\,\text{km} + 0{,}25\,\text{km} = 1{,}0\,\text{km}\) - Paar 3: \(1{,}5\,\text{km} + 0{,}5\,\text{km} = 2{,}0\,\text{km}\) 3. Berechnung der Gesamtsumme: \(4{,}0\,\text{km} + 1{,}0\,\text{km} + 2{,}0\,\text{km} = 7{,}0\,\text{km}\)

Die Gesamtlänge beträgt \(7\,\text{km}\). Rechenvorteile ergeben sich durch die Paare \((1{,}45; 2{,}55)\), \((0{,}75; 0{,}25)\) und \((1{,}5; 0{,}5)\).

- Führe zuerst jeden der beiden beschriebenen Wege genau so aus. - Welche Summanden ergänzen sich besonders einfach zu ganzen Zahlen? - Vergleiche danach die Zahl und Schwierigkeit der Zwischenschritte.

1. Leons Weg: \(2\frac{1}{4}=2{,}25\) und \(\frac{3}{4}=0{,}75\). Damit gilt \(4{,}8+2{,}25=7{,}05\), \(7{,}05+1{,}2=8{,}25\) und \(8{,}25+0{,}75=9\). 2. Sophies Weg: \(4{,}8+1{,}2=6\) und \(2\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=3\). Also ist die Summe \(6+3=9\). 3. Sophies Weg ist im Kopf einfacher, weil durch Vertauschen und Zusammenfassen sofort ganze Zahlen entstehen.

a) Leon: \(4{,}8+2{,}25+1{,}2+0{,}75=9\) Sophie: \((4{,}8+1{,}2)+(2\frac{1}{4}+\frac{3}{4})=6+3=9\) b) Sophies Weg ist einfacher, weil die Summanden zu ganzen Zahlen zusammengefasst werden können.

- Prüfe in a), ob der Bruch eine kurze endliche Dezimaldarstellung hat. - Suche in beiden Teilaufgaben nach Summanden, die sich besonders einfach zusammenfassen lassen. - Achte in b) beim Auflösen der zweiten Klammer auf das Minuszeichen davor.

1. In a) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(\frac{1}{8}=0{,}125\). 2. Gruppiert ergibt sich \((0{,}125+0{,}875)-(0{,}25+1{,}75)=1-2=-1\). 3. In b) werden zunächst die Klammern aufgelöst: \(\frac{5}{6}+1{,}2-\frac{1}{6}+0{,}8\). 4. Hier ist es günstig, nach Darstellung zu gruppieren: \(\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{6}\right)+(1{,}2+0{,}8)=\frac{2}{3}+2=2\frac{2}{3}\).

a) \(\frac{1}{8}=0{,}125\); geschickt gruppiert: \((0{,}125+0{,}875)-(0{,}25+1{,}75)=-1\) b) Brüche und Dezimalzahlen passend gruppiert: \(\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{6}\right)+(1{,}2+0{,}8)=2\frac{2}{3}\)

- Entscheide für jede Teilaufgabe unabhängig, welche Darstellung die Rechnung vereinfacht. - Suche nach Darstellungen, die Kürzen oder direktes Aufheben ermöglichen. - Du musst eine periodische Dezimalzahl nicht ausrechnen, wenn der Bruch bereits ein exaktes Ergebnis ist.

1. a) Als Brüche: \(0{,}25=\frac{1}{4}\). Dann \(\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{7}=\frac{1}{7}\). Eine Dezimaldarstellung ist für die Rechnung nicht nötig. 2. b) \(0{,}125=\frac{1}{8}\). Dann \(\frac{3}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{8}=\frac{3}{4}=0{,}75\). 3. c) \(0{,}6=\frac{3}{5}\). Dann \(\frac{3}{5}:\frac{2}{3}=\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{2}=\frac{9}{10}=0{,}9\).

a) \(\frac{1}{7}\) b) \(\frac{3}{4}=0{,}75\) c) \(\frac{9}{10}=0{,}9\)

- Lies aus dem Raster ab, in wie viele gleich große Abschnitte jede Richtung geteilt ist. - Wähle erst nach dem Ablesen eine passende Dezimaldarstellung der beiden Seitenanteile. - Kontrolliere, ob der Flächenanteil kleiner als jeder der beiden positiven Seitenanteile ist.

1. Die markierte Fläche umfasst \(4\) von \(5\) Spalten und \(3\) von \(4\) Zeilen. Die Seitenanteile sind daher \(\frac{4}{5}\) und \(\frac{3}{4}\). 2. Als Dezimalzahlen gilt \(\frac{4}{5}=0{,}8\) und \(\frac{3}{4}=0{,}75\). Ihr Produkt ist \(0{,}8\cdot0{,}75=0{,}6\). 3. Es gilt \(0{,}6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\). Damit sind \(\frac{3}{5}\) der gesamten Wandfläche grundiert.

a) Breite: \(\frac{4}{5}\); Höhe: \(\frac{3}{4}\) b) \(0{,}8\cdot0{,}75=0{,}6\) c) \(\frac{3}{5}\)