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- Kannst du den Nenner \(5\) auf \(10\) erweitern? - Ein Bruch mit Nenner \(10\) lässt sich direkt als Dezimalzahl lesen. - Kontrolliere, ob dein Ergebnis zwischen \(0\) und \(1\) liegt.

1. Erweitere auf den Nenner \(10\): \(\frac{3}{5}=\frac{6}{10}\). 2. Daher ist \(\frac{3}{5}=0{,}6\).

\(0{,}6\)

- Schreibe die Dezimalzahl zunächst als Hundertstelbruch. - Suche anschließend einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. - Prüfe, ob der gekürzte Bruch wieder \(0{,}75\) ergibt.

1. \(0{,}75=\frac{75}{100}\). 2. Kürzen mit \(25\) ergibt \(\frac{3}{4}\).

\(\frac{3}{4}\)

- Prüfe, ob \(\frac{1}{3}\) nach endlich vielen Dezimalstellen endet. - Überlege, ob sich \(0{,}5\) als einfacher Bruch schreiben lässt. - Gesucht ist die Darstellung, die ohne Rundung exakt bleibt.

1. \(\frac{1}{3}\) hat keine endliche Dezimaldarstellung. 2. Dagegen lässt sich \(0{,}5\) exakt als \(\frac{1}{2}\) schreiben. 3. Deshalb ist die Bruchdarstellung für eine exakte Rechnung günstiger.

B), weil \(\frac{1}{3}\) keine endliche Dezimaldarstellung hat, während \(0{,}5=\frac{1}{2}\) exakt als Bruch geschrieben werden kann.

- Welche Brüche lassen sich als einfache endliche Dezimalzahlen schreiben? - Überlege dir, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss. - Nutze die Darstellung, mit der du die jeweilige Rechnung direkt im Kopf ausführen kannst.

1. a) \(\frac{1}{2}=0{,}5\), also \(0{,}25+0{,}5=0{,}75\). 2. b) \(\frac{3}{5}=0{,}6\), also \(0{,}4-0{,}6=-0{,}2\). 3. c) \(0{,}75-1=-0{,}25\). 4. d) \(\frac{9}{10}=0{,}9\), also \(1{,}1+0{,}9=2\).

a) \(\frac{1}{2}=0{,}5\), daher \(0{,}75\) b) \(\frac{3}{5}=0{,}6\), daher \(-0{,}2\) c) \(-0{,}25\) d) \(\frac{9}{10}=0{,}9\), daher \(2\)

- Überlege bei jeder Gleichung, welche Umkehroperation die fehlende Zahl liefert. - Bringe Bruch und Dezimalzahl jeweils in eine gemeinsame Darstellung, bevor du rechnest. - Prüfe jede gefundene Zahl durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.

1. Bringe in a) beide bekannten Zahlen in dieselbe Darstellung. Mit \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) ergibt sich \(0{,}5 - 0{,}8 = -0{,}3\). 2. In b) gilt \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). Die gesuchte Zahl ist daher \(-0{,}5 + 0{,}75 = 0{,}25\). 3. In c) gilt \(\frac{5}{8} = 0{,}625\). Die gesuchte Zahl ist \(0{,}625 - 0{,}125 = 0{,}5\).

a) \(-0{,}3\) b) \(0{,}25\) c) \(0{,}5\) oder \(\frac{1}{2}\)

- Prüfe, ob die beiden Brüche endliche und leicht erkennbare Dezimaldarstellungen haben. - Schreibe die Subtraktion bei Bedarf als Addition einer negativen Zahl, bevor du umordnest. - Suche nach Paaren mit einfachen Zwischensummen.

1. \(\frac{2}{5}=0{,}4\) und \(\frac{3}{4}=0{,}75\). 2. Gruppiere \((0{,}4+0{,}1)+(1{,}35-0{,}75)=0{,}5+0{,}6=1{,}1\).

\(\frac{2}{5}=0{,}4\), \(\frac{3}{4}=0{,}75\); dann \((0{,}4+0{,}1)+(1{,}35-0{,}75)=1{,}1\).

- Wie schreibst du \(\frac{5}{4}\) als Dezimalzahl? - Was passiert, wenn du einen Bruch mit seinem Kehrwert multiplizierst? - Vergleiche beide vollständig ausgeführten Wege.

1. Dezimalweg: \(0{,}8\cdot1{,}25+0{,}25=1+0{,}25=1{,}25\). 2. Bruchweg: \(\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{4}+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\). 3. Der Bruchweg ist besonders günstig, weil sich Kehrwertfaktoren direkt zu \(1\) kürzen.

a1) Dezimalweg: \(0{,}8\cdot1{,}25+0{,}25=1{,}25\). a2) Bruchweg: \(\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{4}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\). b) Der Bruchweg ist hier vorteilhafter, weil \(\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{4}=1\) sofort sichtbar ist.

- Prüfe zuerst, ob der Divisor eine endliche Dezimaldarstellung besitzt. - Überlege, wie du eine Division mit Dezimalzahlen in eine gleichwertige Division ohne Dezimalkommas umformen kannst. - Kontrolliere dein Ergebnis mit der passenden Umkehrrechnung.

1. Der Divisor lässt sich exakt als endliche Dezimalzahl schreiben: \(\frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Damit wird die Rechnung zu \(1{,}5 : 0{,}4\). 3. Multipliziert man Dividend und Divisor mit \(10\), erhält man die gleichwertige Division \(15 : 4 = 3{,}75\). 4. Der Darstellungswechsel ist praktisch, weil \(\frac{2}{5}\) eine kurze endliche Dezimaldarstellung besitzt und die Division anschließend ohne Bruchschreibweise ausgeführt werden kann.

\(3{,}75\). Der Wechsel von \(\frac{2}{5}\) zu \(0{,}4\) ist hier vorteilhaft, weil die Dezimaldarstellung exakt und kurz ist.

- Kannst du die Dezimalzahlen zuerst in Brüche umwandeln? - Denk daran, vor dem Ausmultiplizieren zu kürzen, um die Zahlen klein zu halten. - Was bedeutet „vollständig gekürzt“ für dein Endergebnis?

1. Wandle \( 0{,}35 \) in den Bruch \( \frac{35}{100} = \frac{7}{20} \) um. Multipliziere \( \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{20} \). Durch Kürzen der \( 7 \) ergibt sich \( \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \). 2. Wandle \( 1{,}2 \) in den Bruch \( \frac{12}{10} = \frac{6}{5} \) um. Multipliziere \( \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{9} \). Durch Kürzen der \( 5 \) ergibt sich \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \). 3. Wandle \( 0{,}16 \) in den Bruch \( \frac{16}{100} = \frac{4}{25} \) um. Multipliziere \(\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{25}\). Kürze \(4\) gegen \(8\), sodass \(\frac{3}{2 \cdot 25} = \frac{3}{50}\) folgt.

a) \(0{,}35=\frac{7}{20}\); \(\frac{4}{7}\cdot\frac{7}{20}=\frac{1}{5}\). b) \(1{,}2=\frac{6}{5}\); \(\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{9}=\frac{2}{3}\). c) \(0{,}16=\frac{4}{25}\); \(\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{25}=\frac{3}{50}\).

- Welche Darstellung macht Kürzen besonders einfach? - Kennst du einfache Brüche zu \(0{,}25\), \(0{,}8\), \(1{,}25\), \(0{,}4\) und \(0{,}9\)? - Prüfe vor dem Multiplizieren, ob sich Faktoren kürzen lassen.

1. a) \(0{,}25=\frac{1}{4}\), also \(\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{7}=\frac{1}{7}\). 2. b) \(0{,}8=\frac{4}{5}\), also \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{5}=0{,}6\). 3. c) \(1{,}25=\frac{5}{4}\) und \(0{,}4=\frac{2}{5}\), also \(\frac{1}{2}=0{,}5\). 4. d) \(0{,}9=\frac{9}{10}\), also \(\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{10}=\frac{3}{5}=0{,}6\).

a) \(0{,}25=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{7}\) b) \(0{,}8=\frac{4}{5}\Rightarrow\frac{3}{5}=0{,}6\) c) \(1{,}25=\frac{5}{4}\), \(0{,}4=\frac{2}{5}\Rightarrow\frac{1}{2}=0{,}5\) d) \(0{,}9=\frac{9}{10}\Rightarrow\frac{3}{5}=0{,}6\)

- Welche Dezimalzahlen lassen sich als einfache Brüche schreiben? - Nutze bei der Subtraktion eine gemeinsame Bruchdarstellung. - Bei der Division durch einen Bruch hilft der Kehrwert.

1. a) \(0{,}5=\frac{1}{2}\), also \(\frac{1}{3}\). 2. b) \(1{,}4=\frac{7}{5}\), also \(1\). 3. c) \(0{,}25=\frac{1}{4}\) und \(3\frac{1}{5}=\frac{16}{5}\), also \(\frac{4}{5}=0{,}8\). 4. d) \(0{,}3=\frac{3}{10}\), also \(\frac{9}{10}\cdot\frac{10}{3}=3\).

a) \(0{,}5=\frac{1}{2}\); Ergebnis \(\frac{1}{3}\). b) \(1{,}4=\frac{7}{5}\); Ergebnis \(1\). c) \(0{,}25=\frac{1}{4}\) und \(3\frac{1}{5}=\frac{16}{5}\); Ergebnis \(\frac{4}{5}=0{,}8\). d) \(0{,}3=\frac{3}{10}\); Ergebnis \(3\).

- Kannst du die Reihenfolge der Multiplikation so ändern, dass du einfacher kürzen kannst? - Welche Darstellung ist bei b) und d) günstig? - Achte bei c) auf Vorzeichen und Kürzmöglichkeiten.

1. a) \(0{,}5=\frac{1}{2}\); günstig gekürzt ergibt das \(\frac{2}{5}=0{,}4\). 2. b) \(3{,}6=\frac{36}{10}\), daher \(\frac{36}{10}\cdot\frac{10}{9}=4\). 3. c) Kürzen ergibt \(-\frac{4}{7}\). 4. d) In Dezimaldarstellung ist \(0{,}8:0{,}4=2\).

a) \(0{,}5=\frac{1}{2}\), geschickt gekürzt: \(\frac{2}{5}=0{,}4\) b) \(3{,}6=\frac{36}{10}\Rightarrow4\) c) durch Kürzen \(-\frac{4}{7}\) d) Dezimaldarstellung: \(0{,}8:0{,}4=2\)

- Welche der Dezimalzahlen lässt sich als einfacher Bruch schreiben? - Wähle die Darstellung so, dass Kürzen möglich wird. - Denke bei einer Division durch einen Bruch an die passende Umkehroperation.

1. Für a) ist die Bruchdarstellung günstig: \(0{,}75=\frac{3}{4}\). Damit gilt \(\frac{3}{4}\cdot\frac{7}{12}=\frac{21}{48}=\frac{7}{16}\). 2. Für b) gilt \(2{,}5=\frac{5}{2}\). Durch einen Bruch zu dividieren bedeutet, mit seinem Kehrwert zu multiplizieren: \(\frac{5}{2}:\frac{5}{8}=\frac{5}{2}\cdot\frac{8}{5}=4\).

a) Bruchdarstellung: \(0{,}75=\frac{3}{4}\), also \(\frac{3}{4}\cdot\frac{7}{12}=\frac{7}{16}\) b) Bruchdarstellung: \(2{,}5=\frac{5}{2}\), also \(\frac{5}{2}:\frac{5}{8}=4\)

- Wähle bei gemischten Darstellungen die Form, mit der du im Kopf am einfachsten rechnen kannst. - Beachte die Regel für das Subtrahieren einer negativen Zahl. - Bestimme bei Produkten mit Vorzeichen zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. Mit \(2\frac{1}{2} = 2{,}5\) gilt \(-1{,}5 + 2{,}5 = 1\). 2. Mit \(\frac{3}{4} = 0{,}75\) gilt \(0{,}25 - (-0{,}75) = 1\). 3. Zwei negative Faktoren ergeben ein positives Produkt: \(-0{,}5 \cdot (-12) = 6\). 4. Es gilt \(-3{,}5 + (-1{,}5) = -5\).

a) \(1\) b) \(1\) c) \(6\) d) \(-5\)

- Entscheide in jeder Teilrechnung unabhängig, welche Darstellung die Rechnung vereinfacht. - Bei Addition und Subtraktion können kurze endliche Dezimalzahlen besonders günstig sein. - Bei einer Division durch einen Bruch kann die Bruchdarstellung die Struktur deutlicher machen.

1. Für a) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(-\frac{3}{4}=-0{,}75\), also \(-0{,}75+0{,}5=-0{,}25\). 2. Für b) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(1\frac{1}{5}=1{,}2\), also \(-2{,}2-(-1{,}2)=-1\). 3. Für c) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(-1\frac{1}{2}=-1{,}5\), also \(0{,}8\cdot(-1{,}5)=-1{,}2\). 4. Für d) ist die Bruchdarstellung günstig: \(-2:\frac{4}{5}=-2\cdot\frac{5}{4}=-2{,}5\).

a) Dezimaldarstellung: \(-0{,}75+0{,}5=-0{,}25\) b) Dezimaldarstellung: \(-2{,}2-(-1{,}2)=-1\) c) Dezimaldarstellung: \(0{,}8\cdot(-1{,}5)=-1{,}2\) d) Bruchdarstellung: \(-2\cdot\frac{5}{4}=-2{,}5\)

- Überlege, ob der gesamte zweite Wert abgezogen oder teilweise addiert werden soll. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine Zahl in ihre Bestandteile (Ganzzahl und Rest) zerlegst? - Es kann helfen, beide Zahlen zuerst in das gleiche Format (beide als Dezimalzahl oder beide als Bruch) zu bringen.

1. Identifikation des Fehlers: Beim Aufteilen der Zahlen wurde der Dezimalteil \(0{,}5\) addiert, obwohl er als Teil des Subtrahenden (\(2{,}5\)) abgezogen werden müsste. 2. Korrekte Umwandlung: \(7\frac{1}{4} = 7{,}25\). 3. Korrekte Subtraktion: \(7{,}25 - 2{,}5 = 4{,}75\).

Der Fehler liegt darin, dass der Dezimalteil \(0{,}5\) addiert statt subtrahiert wurde. Richtig ist: \(7{,}25 - 2{,}5 = 4{,}75\).

- Prüfe bei jeder Teilaufgabe, ob der Bruch eine kurze endliche Dezimaldarstellung hat. - Wenn eine Dezimaldarstellung periodisch wäre, kann die Bruchdarstellung günstiger sein. - Wähle die Darstellung so, dass Addition oder Subtraktion möglichst direkt wird.

1. Für a) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(\frac{3}{4}=0{,}75\). Damit gilt \(0{,}75+0{,}15=0{,}9\). 2. Für b) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(\frac{1}{5}=0{,}2\). Damit gilt \(0{,}8-0{,}2=0{,}6\). 3. Für c) ist die Bruchdarstellung günstiger, weil \(\frac{2}{3}\) keine endliche Dezimaldarstellung hat: \(0{,}5=\frac{1}{2}\), also \(-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}\). 4. Für d) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(\frac{1}{8}=0{,}125\). Damit gilt \(1{,}125-0{,}125=1\).

a) Dezimaldarstellung: \(0{,}75+0{,}15=0{,}9\) b) Dezimaldarstellung: \(0{,}8-0{,}2=0{,}6\) c) Bruchdarstellung: \(-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}\) d) Dezimaldarstellung: \(1{,}125-0{,}125=1\)

- Prüfe, ob die Brüche kurze endliche Dezimaldarstellungen haben. - Wähle die Darstellung so, dass Addition oder Subtraktion möglichst direkt wird. - Achte bei der negativen Zahl in c) auf das Vorzeichen.

1. In a) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(\frac{3}{20}=0{,}15\), also \(0{,}45+0{,}15=0{,}6\). 2. In b) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(\frac{5}{8}=0{,}625\), also \(0{,}625-0{,}125=0{,}5\). 3. In c) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(\frac{1}{5}=0{,}2\), also \(-1{,}2+0{,}2=-1\).

a) Dezimaldarstellung: \(0{,}45+0{,}15=0{,}6\) b) Dezimaldarstellung: \(0{,}625-0{,}125=0{,}5\) c) Dezimaldarstellung: \(-1{,}2+0{,}2=-1\)

- Überlege, welche Dezimalzahlen sich besonders einfach als Brüche schreiben lassen. - Nutze beim Multiplizieren von Brüchen mögliche Kürzungen. - Bestimme bei jeder Rechnung zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. Schreibe \(-0{,}9\) als \(-\frac{9}{10}\): \(\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{9}{10}\right) = -\frac{3}{5} = -0{,}6\). 2. Mit \(-0{,}75 = -\frac{3}{4}\) gilt \(-\frac{3}{4} : \frac{3}{4} = -1\). 3. Mit \(1{,}25 = \frac{5}{4}\) gilt \(\frac{5}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -1\).

a) \(-0{,}6\) oder \(-\frac{3}{5}\) b) \(-1\) c) \(-1\)

- Kannst du die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Achte besonders auf das Vorzeichen bei der Addition und Subtraktion. - Überlege dir, ob es einfacher ist, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen.

1. Berechnung von \(\frac{3}{4} + (-0{,}5)\): Umwandlung in Dezimalzahlen ergibt \(0{,}75 - 0{,}5 = 0{,}25\). 2. Berechnung von \(-1{,}2 - \frac{1}{5}\): Umwandlung des Bruchs ergibt \(-1{,}2 - 0{,}2 = -1{,}4\). 3. Berechnung von \(-0{,}25 + \frac{3}{4}\): Umwandlung des Bruchs ergibt \(-0{,}25 + 0{,}75 = 0{,}5\).

a) \(0{,}25\) oder \(\frac{1}{4}\) b) \(-1{,}4\) oder \(-\frac{7}{5}\) c) \(0{,}5\) oder \(\frac{1}{2}\)

- Wie schreibst du einen Bruch mit dem Nenner 10, 100 oder 1000 als Dezimalzahl? - Was passiert, wenn du zwei Brüche multiplizierst, die Kehrwerte voneinander sind? - Überlege, bei welcher Methode du weniger schriftlich rechnen musst.

1. Weg A (Dezimalzahlen): Umwandlung des Bruchs \(\frac{4}{5} = 0{,}8\). Berechnung des Produkts \(1{,}25 \cdot 0{,}8 = 1\). 2. Weg B (Brüche): Umwandlung der Dezimalzahl \(1{,}25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}\). Berechnung des Produkts \(\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{20}{20} = 1\). 3. Vergleich: Weg B ist effizienter, da durch das Kürzen der Brüche (5 gegen 5 und 4 gegen 4) das Ergebnis sofort als 1 erkannt werden kann, ohne eine schriftliche Multiplikation durchzuführen.

Weg A ergibt \(1{,}25 \cdot 0{,}8 = 1\). Weg B ergibt \(\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = 1\). Weg B ist effizienter, da man die Brüche direkt zu 1 kürzen kann.

- Können wir alle Mengen in derselben Einheit vergleichen? - Wie schreibt man Brüche wie ein Viertel oder ein Fünftel als Dezimalzahl? - Reicht es aus, die Liter und Milliliter getrennt zu betrachten?

1. Umwandlung aller Einheiten in Liter (\(\text{l}\)): - Apfelsaft: \(1 \frac{1}{4}\,\text{l} = 1{,}25\,\text{l}\) - Mineralwasser: \(0{,}8\,\text{l}\) - Orangensaft: \(750\,\text{ml} = 0{,}75\,\text{l}\) - Johannisbeersirup: \(\frac{1}{5}\,\text{l} = 0{,}2\,\text{l}\) - Zitronensaft: \(50\,\text{ml} = 0{,}05\,\text{l}\) 2. Addition der Teilvolumina: \(1{,}25\,\text{l} + 0{,}8\,\text{l} + 0{,}75\,\text{l} + 0{,}2\,\text{l} + 0{,}05\,\text{l} = 3{,}05\,\text{l}\) 3. Vergleich mit dem Fassungsvermögen: \(3{,}05\,\text{l} > 3\,\text{l}\). Die Schüssel reicht nicht aus.

Das Gesamtvolumen beträgt \(3{,}05\,\text{l}\). Da dies mehr als \(3\,\text{l}\) sind, passt der Punsch nicht vollständig in die Schüssel.

- Entscheide bei jeder Rechnung, ob Bruch- oder Dezimaldarstellung einfacher ist. - Bestimme bei Multiplikation und Division zunächst das Vorzeichen. - Bei der Division durch einen Bruch hilft die Multiplikation mit dem Kehrwert.

1. Mit \(2\frac{1}{4} = 2{,}25\) gilt \(-1{,}5 + 2{,}25 = 0{,}75 = \frac{3}{4}\). 2. Mit \(-0{,}8 = -\frac{4}{5}\) gilt \(-\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5} = 0{,}6\). 3. Mit \(-2{,}5 = -\frac{5}{2}\) und \(1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}\) gilt \(-\frac{5}{2} : \frac{5}{3} = -\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{3}{2} = -1{,}5\).

a) \(0{,}75\) oder \(\frac{3}{4}\) b) \(0{,}6\) oder \(\frac{3}{5}\) c) \(-1{,}5\) oder \(-\frac{3}{2}\)

- Bringe den Bruch zunächst in eine passende Darstellung. - Bevor du Summanden umordnest, schreibe Subtraktionen als Addition negativer Zahlen. - Unterscheide zwischen dem Vertauschen der Summanden und ihrer neuen Gruppierung.

1. Schreibe \(\frac{11}{4}=2{,}75\). 2. Gruppiere mit Kommutativ- und Assoziativgesetz: \((7{,}25+2{,}75)+(-4{,}8-1{,}2)\). 3. Das ergibt \(10-6=4\).

\(\frac{11}{4}=2{,}75\), dann \((7{,}25+2{,}75)+(-4{,}8-1{,}2)=10-6=4\).

- Was passiert, wenn du drei Drittel zusammenzählst? - Addiere die Dezimalzahlen wie Geldbeträge. Kommst du genau auf 1? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen endlichen und periodischen Dezimalzahlen.

1. Addition der Brüche: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \). Das Ergebnis ist genau das Ganze. 2. Addition der Dezimalzahlen: \( 0{,}33 + 0{,}33 + 0{,}33 = 0{,}99 \). 3. Vergleich und Schlussfolgerung: Bei der Dezimalzahl \( 0{,}33 \) fehlt ein Rest von \( 0{,}01 \) zum Ganzen. Der Bruch \( \frac{1}{3} \) entspricht der periodischen Dezimalzahl \( 0{,}\overline{3} \). Die endliche Dezimalzahl \( 0{,}33 \) ist nur ein gerundeter Näherungswert, weshalb beim Rechnen ein Rundungsfehler entsteht.

a) \( 1 \) (das Ganze). b) \( 0{,}99 \). c) Nur der Bruch \( \frac{1}{3} \) stellt den Anteil exakt dar. Die Dezimalzahl \( 0{,}33 \) führt zu einem Rundungsfehler, da sie den unendlichen Dezimalbruch \( 0{,}\overline{3} \) abschneidet.

- Welche der gegebenen Zahlen lassen sich als einfache Brüche schreiben? - Suche einen gemeinsamen Nenner für die entstehenden Brüche. - Welche Zahl im Term besitzt keine endliche Dezimaldarstellung?

1. \(0{,}4=\frac{2}{5}\) und \(0{,}15=\frac{3}{20}\). 2. \(\frac{2}{5}+\frac{1}{3}-\frac{3}{20}=\frac{24}{60}+\frac{20}{60}-\frac{9}{60}=\frac{35}{60}=\frac{7}{12}\). 3. \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\) ist nicht als endliche Dezimalzahl darstellbar; eine endliche Dezimalnäherung wäre nicht exakt.

\(\frac{7}{12}\). Das Problem ist \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\): Eine ausschließlich endliche Dezimaldarstellung kann diesen Wert nicht exakt wiedergeben.

- Schau dir den ganzen Term an, bevor du eine Darstellung wählst. - Bei \(\frac{1}{3}\) ist eine Bruchrechnung oft günstiger als eine endliche Dezimalnäherung. - Welche Terme lassen sich in einer Darstellung besonders einfach zusammenfassen?

1. a) Als Dezimalzahlen: \((0{,}25+0{,}5)-1=-0{,}25\). 2. b) Als Dezimalzahlen: \(2{,}75-(1{,}5+0{,}25)=1\). 3. c) Die Brüche zuerst zusammenfassen: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}=0{,}5\); dann \(0{,}5+0{,}2=0{,}7\).

a) Dezimaldarstellung: \((0{,}25+0{,}5)-1=-0{,}25\) b) Dezimaldarstellung: \(2{,}75-(1{,}5+0{,}25)=1\) c) Bruchdarstellung zuerst: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\), dann \(0{,}5+0{,}2=0{,}7\)

- Führe beide angekündigten Darstellungswege vollständig aus. - Gibt es Paare, die sich in einer der Darstellungen besonders leicht zu einer ganzen Zahl ergänzen? - Vergleiche den Rechenaufwand erst nach beiden Wegen.

1. Lukas: \(0{,}125+0{,}75+0{,}25+0{,}125=1{,}25\). 2. Mia: \(\frac{1}{8}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=(\frac{1}{8}+\frac{1}{8})+(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})=\frac{1}{4}+1=1{,}25\). 3. Mias Weg ist hier besonders günstig, weil \(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1\) sofort sichtbar wird.

Lukas: \(0{,}125+0{,}75+0{,}25+0{,}125=1{,}25\). Mia: \((\frac{1}{8}+\frac{1}{8})+(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})=\frac{1}{4}+1=1{,}25\). Mias Weg ist hier besonders geschickt, weil sich \(\frac{3}{4}\) und \(\frac{1}{4}\) direkt zu \(1\) ergänzen.

- Schau dir die Nenner der Brüche an. Was passiert, wenn du sie in Dezimalzahlen umwandelst? - Gibt es Brüche, die zusammen eine einfache Zahl ergeben? - Ist es immer nötig, wirklich alles in dieselbe Form umzuwandeln, oder kannst du Teile getrennt berechnen?

1. Analyse der Zahlen: \(\frac{5}{6}\) und \(\frac{1}{6}\) ergeben als Dezimalzahlen periodische Werte (\(0{,}8\overline{3}\) und \(0{,}1\overline{6}\)), was die Addition erschwert. 2. Wahl der Strategie: Die beiden Brüche und die beiden Dezimalzahlen werden jeweils zusammengefasst; eine vollständige Umwandlung ist nicht nötig. 3. Gruppierung der Brüche: \(\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1\). 4. Addition der Dezimalzahlen: \(0{,}4 + 1{,}1 = 1{,}5\). 5. Gesamtergebnis: \(1 + 1{,}5 = 2{,}5\) oder \(\frac{5}{2}\).

Das getrennte Zusammenfassen der Brüche und der Dezimalzahlen ist sinnvoll, da die beiden Sechstelbrüche zusammen \(1\) ergeben und ihre periodischen Dezimaldarstellungen vermieden werden. Das Ergebnis ist \(2{,}5\).

- Was passiert, wenn du versuchst, \( \frac{1}{3} \) als Dezimalzahl zu schreiben? - Welche Darstellung ist genauer, wenn periodische Zahlen vorkommen? - Suche nach einem gemeinsamen Nenner für alle Brüche.

1. Entscheidung für Brüche, da \( \frac{1}{3} \) eine periodische Dezimalzahl ergibt (\( 0{,}\overline{3} \)) 2. Umwandlung von \( 0{,}25 \) in einen Bruch: \( 0{,}25 = \frac{1}{4} \) 3. Umwandlung der gemischten Zahl: \( 1 \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \) 4. Bestimmung des Hauptnenners für \( \frac{4}{3} \), \( \frac{1}{4} \) und \( \frac{7}{12} \): Der Hauptnenner ist \( 12 \) 5. Erweitern der Brüche: \( \frac{16}{12} + \frac{3}{12} - \frac{7}{12} \) 6. Berechnung des Zählers: \( 16 + 3 - 7 = 12 \) 7. Ergebnis: \( \frac{12}{12} = 1 \)

\( 1 \) (Die Rechnung im Bruchformat ist hier vorteilhaft, da \( \frac{1}{3} \) keine endliche Dezimalzahl ist.)

- Erinnere dich an die Regel „Klammer zuerst“. - Welche Darstellung passt hier zu den bereits gegebenen Dezimalzahlen? - Welche endlichen Dezimalwerte gehören zu den beiden gemischten Zahlen?

1. Schreibe \(3\frac{1}{8}=3{,}125\) und \(2\frac{1}{5}=2{,}2\). 2. Die Klammer ergibt \(7{,}15\). 3. \(12{,}8-7{,}15+2{,}2=7{,}85\).

Dezimaldarstellung: \(3\frac{1}{8}=3{,}125\) und \(2\frac{1}{5}=2{,}2\). Damit \(12{,}8-7{,}15+2{,}2=7{,}85\).

- Wann lässt sich ein Bruch als endliche Dezimalzahl schreiben und wann ist er periodisch? - Überlege, was passiert, wenn du eine periodische Zahl rundest – ist das Ergebnis dann noch exakt? - Suche nach einem gemeinsamen Nenner, um Brüche zu addieren.

1. Analyse der Brüche: In Term A ist \(\frac{1}{4} = 0{,}25\) und in Term C ist \(\frac{2}{5} = 0{,}4\); beide Dezimaldarstellungen enden. In Term B ergeben \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{1}{6}\) periodische Dezimalzahlen. Mit ausschließlich endlichen Dezimalzahlen wäre daher eine Rundung nötig; die Bruchdarstellung ermöglicht eine exakte Rechnung ohne Rundung. 2. Umwandlung von \(0{,}5\) in einen Bruch: \(0{,}5 = \frac{1}{2}\). 3. Der kleinste gemeinsame Nenner von \(3\), \(2\) und \(6\) ist \(6\). 4. Erweitern und Addieren: \(\frac{4}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{8}{6}\). 5. Kürzen: \(\frac{8}{6} = \frac{4}{3}\).

a) Term B, weil \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{1}{6}\) periodische Dezimaldarstellungen haben; mit nur endlichen Dezimalzahlen müsste man runden. b) Der Wert von Term B ist \(\frac{4}{3}\).

- Prüfe, ob die beiden Brüche überhaupt eine endliche Dezimaldarstellung besitzen. - Gibt es Summanden, die sich in ihrer ursprünglichen Bruchdarstellung besonders einfach zusammenfassen lassen? - Überlege, welche Rechengesetze das Umordnen und Gruppieren einer Summe erlauben.

1. Die Brüche \(\frac{4}{9}\) und \(\frac{5}{9}\) haben periodische Dezimaldarstellungen. Leandro hat sie nach zwei Nachkommastellen abgeschnitten; dadurch gehen Informationen verloren und das Ergebnis ist nicht exakt. 2. Für eine exakte Rechnung werden die beiden gleichnamigen Brüche zuerst zusammengefasst. Das ist durch Umordnen und Gruppieren der Summanden erlaubt. 3. Es gilt \(\left(\frac{4}{9} + \frac{5}{9}\right) + 0{,}3 = 1 + 0{,}3 = 1{,}3\).

a) Die periodischen Dezimaldarstellungen wurden abgeschnitten; deshalb ist \(1{,}29\) nur aus ungenauen Zwischenwerten entstanden. b) Exakt gilt \(\left(\frac{4}{9} + \frac{5}{9}\right) + 0{,}3 = 1{,}3\).

- Löse zuerst die Klammer unter Beachtung des Minuszeichens auf. - Welche Teile lassen sich zunächst bequem als Dezimalzahlen, welche als Brüche zusammenfassen? - Wann lohnt sich erst am Ende ein Darstellungswechsel?

1. Löse die Klammer auf: \(4{,}5-1{,}25-\frac{1}{3}+\frac{1}{12}\). 2. Dezimalteil: \(4{,}5-1{,}25=3{,}25\). 3. Bruchteil: \(-\frac{1}{3}+\frac{1}{12}=-\frac{1}{4}=-0{,}25\). 4. \(3{,}25-0{,}25=3\).

\(4{,}5-1{,}25=3{,}25\); \(-\frac{1}{3}+\frac{1}{12}=-\frac{1}{4}=-0{,}25\). Daher \(3{,}25-0{,}25=3\).

- Prüfe, ob beide Summanden eine kurze endliche Dezimaldarstellung besitzen. - Welche Darstellung bewahrt den Wert ohne Näherung? - Bringe beide Summanden in dieselbe Darstellung, bevor du addierst.

1. \(0{,}8 = \frac{4}{5}\) und \(2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}\). 2. In Bruchdarstellung gilt \(\frac{4}{5} + \frac{7}{3} = \frac{12}{15} + \frac{35}{15} = \frac{47}{15} = 3\frac{2}{15}\). 3. Die Bruchdarstellung ist hier vorteilhaft, weil \(\frac{1}{3}\) eine unendliche periodische Dezimaldarstellung besitzt. Mit Brüchen bleibt die Rechnung ohne Rundung exakt.

\(3\frac{2}{15}\). Die Bruchdarstellung ist vorteilhaft, weil sie den periodischen Anteil exakt darstellt und keine Rundung nötig ist.

- Kannst du die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, bevor du rechnest? - Was musst du bei der Reihenfolge der Rechenoperationen beachten, wenn Klammern vorkommen? - Hilft es dir, die Zahlen auf Ganze oder Halbe zu runden, um einen schnellen Überschlag zu erhalten?

1. Überschlagsrechnung: \( 19 - (4{,}5 + 3) + 1 = 19 - 7{,}5 + 1 = 12{,}5 \) (oder ganzzahlig: \( 19 - 8 + 1 = 12 \)) 2. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \( 4\frac{1}{2} = 4{,}5 \) und \( 1\frac{1}{4} = 1{,}25 \) 3. Berechnung des Klammerwerts: \( 4{,}5 + 3{,}2 = 7{,}7 \) 4. Subtraktion: \( 18{,}75 - 7{,}7 = 11{,}05 \) 5. Addition des letzten Summanden: \( 11{,}05 + 1{,}25 = 12{,}3 \)

Überschlag: ca. \( 12 \) (oder \( 12{,}5 \)); Exakter Wert: \( 12{,}3 \)

- Schau dir die Nachkommastellen genau an. Gibt es Zahlen, die besonders gut zusammenpassen? - Überlege, ob es einfacher ist, die Klammern zuerst auszurechnen oder den Term geschickt umzustellen. - Wie lautet die Dezimalzahl für den Bruch mit dem Nenner 8?

1. Überschlagsrechnung: \( (12 + 5) - (2 - 1) = 17 - 1 = 16 \) 2. Identifikation vorteilhafter Darstellungen: \( \frac{3}{8} = 0{,}375 \) und \( \frac{9}{20} = \frac{45}{100} = 0{,}45 \) 3. Umwandlung in Dezimalzahlen: \( (12{,}375 + 4{,}55) - (2{,}375 - 1{,}45) \) 4. Auflösen der Klammern oder schrittweise Berechnung: Variante A: \( 16{,}925 - 0{,}925 = 16 \) Variante B (Rechenvorteil durch Umstellen): \( 12{,}375 + 4{,}55 - 2{,}375 + 1{,}45 = (12{,}375 - 2{,}375) + (4{,}55 + 1{,}45) = 10 + 6 = 16 \)

Überschlag: etwa \(16\). Darstellungswechsel: \(\frac{3}{8}=0{,}375\) und \(\frac{9}{20}=0{,}45\). Dezimalterm: \((12{,}375+4{,}55)-(2{,}375-1{,}45)\). Geschickt gruppiert: \((12{,}375-2{,}375)+(4{,}55+1{,}45)=10+6=16\).

- Ergeben alle Brüche im Term endliche Dezimalzahlen? Was bedeutet das für deinen Rechenweg? - Wenn du mit Brüchen rechnest, was musst du tun, um Brüche mit verschiedenen Nennern zu addieren oder zu subtrahieren? - Kannst du das Ergebnis am Ende wieder als Dezimalzahl schreiben?

1. Überschlagsrechnung: \( 4{,}5 - (1{,}5 + 0{,}2) + 0{,}2 \approx 3 \) 2. Entscheidung für Brüche, da \( \frac{2}{3} \) und \( \frac{1}{6} \) periodische Dezimalzahlen ergeben 3. Umwandlung der Dezimalzahlen in Brüche: \( 1{,}5 = \frac{3}{2} \) und \( 0{,}2 = \frac{1}{5} \) 4. Berechnung des Klammerwerts (Hauptnenner 6): \( \frac{9}{6} + \frac{1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \) 5. Subtraktion: \( \frac{14}{3} - \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3 \) 6. Finale Addition: \( 3 + \frac{1}{5} = 3\frac{1}{5} = 3{,}2 \)

Überschlag: etwa \(3\). Bruchdarstellung ist günstiger, weil \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{1}{6}\) keine endliche Dezimaldarstellung haben. Umwandlungen: \(1{,}5=\frac{3}{2}\), \(0{,}2=\frac{1}{5}\). Exakt: \(3\frac{1}{5}=3{,}2\).

- Bei welcher Teilaufgabe erleichtert eine Bruchdarstellung das Kürzen? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Welche einfachen Brüche gehören zu \(0{,}8\) und \(2{,}25\)?

1. a) Als Brüche: \(\frac{27}{8}\cdot\frac{4}{9}=\frac{3}{2}\). 2. b) \(0{,}8=\frac{4}{5}\), also \(\frac{4}{5}\cdot\frac{15}{4}=3\). 3. c) \(2{,}25=\frac{9}{4}\), also \(\frac{9}{4}\cdot(-\frac{2}{3})=-\frac{3}{2}\).

a) Bruchdarstellung: \(\frac{27}{8}\cdot\frac{4}{9}=\frac{3}{2}\) b) \(0{,}8=\frac{4}{5}\), dann \(\frac{4}{5}\cdot\frac{15}{4}=3\) c) \(2{,}25=\frac{9}{4}\), dann \(\frac{9}{4}\cdot(-\frac{2}{3})=-\frac{3}{2}\)

- Welche Rechenregel musst du zuerst anwenden (Klammer, Punkt, Strich)? - Versuche, alle Zahlen als Brüche zu schreiben, bevor du multiplizierst. - Siehst du Zahlen im Zähler und Nenner, die sich gegenseitig aufheben? - Wie viele negative Vorzeichen hast du insgesamt? Was bedeutet das für das Endergebnis?

1. Klammerinhalt berechnen: Wandle den gemischten Bruch um: \( 1\frac{1}{6} = \frac{7}{6} \). Addiere die Brüche mit dem Hauptnenner \( 6 \): \( \frac{4}{6} + \frac{7}{6} = \frac{11}{6} \). 2. Wandle \( -1{,}5 \) in den Bruch \( -\frac{3}{2} \) um. 3. Multipliziere die drei Faktoren: \( (-\frac{3}{2}) \cdot \frac{11}{6} \cdot (-\frac{4}{11}) \). 4. Vorzeichen bestimmen: Zwei negative Faktoren ergeben ein positives Produkt. 5. Zähler und Nenner kürzen: Die \( 11 \) im Zähler und Nenner heben sich auf. Es bleibt \( \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1 \).

Das Ergebnis ist \(1\). Die Bruchdarstellung ermöglicht exaktes Rechnen und direktes Kürzen, insbesondere der Faktoren \(11\), \(3\), \(4\) und \(6\).

- Überlege dir, welche Brüche als Dezimalzahlen „unendlich“ viele Stellen haben. Ist es dann leichter, mit Brüchen zu rechnen? - Manchmal hilft es, das Komma zu verschieben, um wie mit ganzen Zahlen zu rechnen. - Gibt es Zahlen, die du sofort als einfachen Bruch erkennst?

1. Zu a): Da \(\frac{5}{6}\) eine periodische Dezimalzahl ergibt, ist die Rechnung mit Brüchen geschickter. \(0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\). Rechnung: \(\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 2. Zu b): Hier ist die Rechnung mit Brüchen geschickter, da \(\frac{1}{3}\) periodisch ist. \(0{,}9 = \frac{9}{10}\). Rechnung: \(\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{3}{10}\) (oder \(0{,}3\)). 3. Zu c): Beide Zahlen lassen sich gut als Dezimalzahlen dividieren oder als Brüche schreiben. Weg über Dezimalzahlen: \(1{,}25 : 0{,}5 = 12{,}5 : 5 = 2{,}5\).

a) Brüche sind günstiger, weil \(\frac{5}{6}\) keine endliche Dezimaldarstellung hat. Mit \(0{,}4=\frac{2}{5}\) ergibt sich \(\frac{1}{3}\). b) Brüche sind günstiger, weil \(\frac{1}{3}\) periodisch ist. Mit \(0{,}9=\frac{9}{10}\) ergibt sich \(\frac{3}{10}=0{,}3\). c) Dezimalzahlen sind günstig, weil beide Zahlen endlich dezimal gegeben sind und der Quotient durch gleiches Verschieben der Kommas leicht wird: \(1{,}25:0{,}5=2{,}5\).

- Prüfe zuerst, welche Darstellung in der Klammer eine exakte und kurze Rechnung ermöglicht. - Überlege nach der Klammer neu, welche Darstellung für die Division günstiger ist. - Achte darauf, dass eine periodische Dezimaldarstellung nicht unnötig angenähert wird.

1. Zuerst wird die Klammer berechnet. Da \(\frac{5}{9}\) eine periodische Dezimaldarstellung hat, ist die Bruchdarstellung günstig: \(0{,}6=\frac{3}{5}\). 2. Damit gilt \(\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{9}=\frac{1}{3}\). 3. Für die anschließende Division ist ebenfalls die Bruchdarstellung günstig: \(1{,}2=\frac{6}{5}\). 4. Also gilt \(\frac{1}{3}:\frac{6}{5}=\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{18}\).

In der Klammer ist die Bruchdarstellung günstig: \(0{,}6=\frac{3}{5}\), also \(\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{9}=\frac{1}{3}\). Danach: \(1{,}2=\frac{6}{5}\), also \(\frac{1}{3}:\frac{6}{5}=\frac{5}{18}\).

- Prüfe, ob beim Zerlegen beider Faktoren wirklich jeder Teil des ersten mit jedem Teil des zweiten Faktors berücksichtigt würde. - Welche gemeinsame Darstellung macht die Multiplikation hier übersichtlicher? - Kontrolliere vor der Rechnung auch das erwartete Vorzeichen des Produkts.

1. Die Faktoren wurden unzulässig nur nach ihren sichtbaren Bestandteilen multipliziert. Würde man beide Faktoren als Summen zerlegen, entstünden beim vollständigen distributiven Multiplizieren zusätzlich zwei weitere Teilprodukte. 2. Einfacher ist hier die Umwandlung in Brüche: \(-2\frac{2}{3} = -\frac{8}{3}\) und \(1{,}5 = \frac{3}{2}\). 3. Damit gilt \(-\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{2} = -4\).

Die stellenweise Multiplikation lässt zwei notwendige Teilprodukte aus. Richtig ist \(-2\frac{2}{3} \cdot 1{,}5 = -\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{2} = -4\).

- Was ist der Kehrwert eines Bruchs? - Wenn vor einer Klammer ein Minuszeichen steht, was passiert mit dem Wert in der Klammer? - Achte auf die Reihenfolge: Was muss zuerst berechnet werden, die Potenz oder die Multiplikation?

1. Umwandlung in Brüche: \(-\frac{4}{10} \cdot \frac{5}{8} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{8}\). Nach dem Kürzen der beiden Fünfen sowie des Faktorpaars \(2\) und \(8\) ergibt sich \(-\frac{1}{4}\) bzw. \(-0{,}25\). 2. Division durch einen Bruch ist Multiplikation mit dem Kehrwert: \(-2{,}5 \cdot (-4)\). Das Vorzeichen wird positiv: \(2{,}5 \cdot 4 = 10\). 3. Hauptnenner in der Klammer finden: \(\frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}\). Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt das Vorzeichen um: \(-(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6}\). 4. Quadrat berechnen: \((-0{,}1) \cdot (-0{,}1) = 0{,}01\). Dann Multiplikation mit \(-10\): \(0{,}01 \cdot (-10) = -0{,}1\).

a) \(-0{,}25\) (oder \(-\frac{1}{4}\)) b) \(10\) c) \(\frac{1}{6}\) d) \(-0{,}1\)

- Suche nach einer Darstellung, in der du vor dem Rechnen kürzen kannst. - Prüfe, welche endlichen Dezimalzahlen sich als einfache Brüche schreiben lassen. - Eine periodische Dezimaldarstellung lässt sich für eine exakte Rechnung als Bruch nutzen.

1. Für a) ist die Bruchdarstellung günstig: \(-0{,}12=-\frac{3}{25}\). Dann gilt \(\frac{5}{6}\cdot\left(-\frac{3}{25}\right)=-\frac{1}{10}=-0{,}1\). 2. Für b) ist die Bruchdarstellung günstig: \(0{,}375=\frac{3}{8}\). Damit gilt \(\frac{3}{8}:\frac{3}{4}=\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{3}=\frac{1}{2}=0{,}5\). 3. Für c) ist die Bruchdarstellung günstig: \(-1{,}2=-\frac{6}{5}\). Dann gilt \(-\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{9}=-\frac{2}{3}\). 4. Für d) muss die periodische Dezimalzahl als Bruch genutzt werden: \(0{,}\overline{6}=\frac{2}{3}\). Somit gilt \(4:\frac{2}{3}=4\cdot\frac{3}{2}=6\).

a) Bruchdarstellung: \(\frac{5}{6}\cdot\left(-\frac{3}{25}\right)=-0{,}1\) b) Bruchdarstellung: \(\frac{3}{8}:\frac{3}{4}=0{,}5\) c) Bruchdarstellung: \(-\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{9}=-\frac{2}{3}\) d) Bruchdarstellung: \(4:\frac{2}{3}=6\)

- Beachte zuerst Klammern sowie Punkt-vor-Strich. - Suche in a) nach einer gemeinsamen Bruchdarstellung für die Klammer. - Überlege in b), welche exakte Darstellung der periodischen Dezimalzahl die Division erleichtert.

1. In a) ist die Bruchdarstellung in der Klammer günstig: \(0{,}25=\frac{1}{4}=\frac{2}{8}\). Damit ist \(\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\). 2. Es folgt \(\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{8}=\frac{3}{14}\). 3. In b) wird zuerst die Division berechnet. Die periodische Dezimalzahl wird als Bruch geschrieben: \(0{,}\overline{5}=\frac{5}{9}\). 4. Damit gilt \(\frac{2}{3}:\frac{5}{9}=\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{5}=\frac{6}{5}=1{,}2\), also \(1{,}2-1{,}2=0\).

a) Bruchdarstellung in der Klammer: \(0{,}25=\frac{1}{4}\), also \(\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{8}=\frac{3}{14}\) b) \(0{,}\overline{5}=\frac{5}{9}\); damit \(\frac{2}{3}:\frac{5}{9}=1{,}2\) und insgesamt \(0\)

- Was passiert, wenn du \(\frac{1}{6}\) als Dezimalzahl schreibst? - Wie lässt sich \(0{,}\overline{7}\) als Bruch darstellen?

1. a) \(0{,}2=\frac{1}{5}\). Daher \(\frac{1}{6}+\frac{1}{5}=\frac{5}{30}+\frac{6}{30}=\frac{11}{30}\). Der Bruch \(\frac{1}{6}\) hat eine periodische Dezimaldarstellung; mit nur endlichen Dezimalzahlen müsste man runden. 2. b) \(0{,}\overline{7}=\frac{7}{9}\). Daher \(\frac{7}{9}+\frac{2}{9}=1\).

a) \(\frac{11}{30}\); \(\frac{1}{6}\) hat keine endliche Dezimaldarstellung. b) \(1\)

- Welche Rechenregel bestimmt die Reihenfolge der Operationen? - Wie gehst du vor, wenn Brüche und Dezimalzahlen in einer Aufgabe vorkommen? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine positive durch eine negative Zahl teilst? - Erinnerst du dich daran, dass das Subtrahieren einer negativen Zahl einer Addition entspricht?

1. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl: \(1\frac{1}{5} = 1{,}2\) 2. Multiplikation des ersten Teils: \(1{,}2 \cdot (-0{,}5) = -0{,}6\) 3. Division des zweiten Teils: \(2{,}4 : (-3) = -0{,}8\) 4. Subtraktion der Ergebnisse unter Beachtung der Vorzeichen: \(-0{,}6 - (-0{,}8) = -0{,}6 + 0{,}8 = 0{,}2\)

\(0{,}2\)

- Welche Vorrangregeln musst du hier beachten? - Wandle alle Zahlen in die gleiche Darstellung um. Welche bietet sich hier für ein exaktes Ergebnis an? - Was fällt dir auf, wenn du versuchst, \(\frac{7}{9}\) als Dezimalzahl zu schreiben?

1. Umwandlung von \(0{,}25\) in einen Bruch: \(\frac{1}{4}\) 2. Durchführung der Division (Punktrechnung): \(\frac{1}{4} : \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3}\) 3. Durchführung der Subtraktion (Strichrechnung): \(\frac{7}{9} - \frac{1}{3}\) 4. Erweitern auf den Hauptnenner \(9\): \(\frac{7}{9} - \frac{3}{9} = \frac{4}{9}\) 5. Analyse der Dezimaldarstellung: Die Brüche \(\frac{7}{9}\) (\(0{,}\overline{7}\)) und \(\frac{1}{3}\) (\(0{,}\overline{3}\)) haben periodische Dezimaldarstellungen. Mit endlichen Dezimalzahlen wäre daher nur eine gerundete Rechnung möglich; die Bruchrechnung ist hier einfacher und exakt.

a) Das exakte Ergebnis ist \(\frac{4}{9}\). b) Eine Rechnung nur mit endlichen Dezimalzahlen ist nicht sinnvoll, da \(\frac{7}{9}\) eine periodische Dezimaldarstellung hat. Mit gerundeten Werten erhielte man kein exaktes Ergebnis; mit Periodenschreibweise wäre eine exakte Dezimaldarstellung zwar möglich, aber weniger übersichtlich.

- Führe beide verlangten Darstellungswege vollständig aus, bevor du sie vergleichst. - Achte beim Bruchweg darauf, wie Division durch einen Bruch umgeschrieben wird. - Vergleiche anschließend Anzahl und Schwierigkeit der Zwischenschritte.

1. Dezimalweg: \(\frac{3}{4}=0{,}75\) und \(\frac{1}{2}=0{,}5\). Damit gilt \(0{,}375:0{,}75+0{,}5=0{,}5+0{,}5=1\). 2. Bruchweg: \(0{,}375=\frac{3}{8}\). Damit gilt \(\frac{3}{8}:\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\). 3. Beide Wege sind korrekt. Der Bruchweg kann hier wegen der direkten Kürzung besonders übersichtlich sein; eine andere schlüssig begründete Präferenz ist ebenfalls möglich.

Weg 1: \(0{,}375:0{,}75+0{,}5=1\) Weg 2: \(\frac{3}{8}:\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=1\) Eine mögliche Begründung: Weg 2 ist günstig, weil sich \(\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{3}\) direkt kürzen lässt.

- Führe beide verlangten Rechenwege vollständig aus, bevor du sie bewertest. - Achte darauf, dass die Umwandlungen jeweils exakt bleiben. - Vergleiche anschließend, bei welchem Weg weniger oder einfachere Zwischenschritte entstehen.

1. Dezimalweg: \(1\frac{1}{5}=1{,}2\). Daher ist \(0{,}8-1{,}2=-0{,}4\) und \(-0{,}4\cdot(-2{,}5)=1\). 2. Bruchweg: \(0{,}8=\frac{4}{5}\), \(1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}\) und \(-2{,}5=-\frac{5}{2}\). Damit gilt \(\left(\frac{4}{5}-\frac{6}{5}\right)\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=-\frac{2}{5}\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=1\). 3. Eine mögliche Bewertung ist, dass der Dezimalweg hier einfacher ist, weil nach der unmittelbaren Umwandlung nur kurze Dezimalzahlen vorkommen. Eine schlüssige Bevorzugung des Bruchwegs ist ebenfalls möglich.

Dezimalweg: \((0{,}8-1{,}2)\cdot(-2{,}5)=1\) Bruchweg: \(\left(\frac{4}{5}-\frac{6}{5}\right)\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=1\) Zum Beispiel kann der Dezimalweg als einfacher begründet werden, weil nur kurze endliche Dezimalzahlen vorkommen.

- Schau dir die Nenner der Brüche an. Lassen sie sich leicht als Dezimalzahlen schreiben? - Was passiert, wenn du mit gerundeten Dezimalzahlen rechnest? - Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Wie dividiert man durch einen Bruch?

1. Wahl der Methode: Da \(\frac{1}{3}\) und \(\frac{1}{6}\) periodische Dezimalzahlen ergeben (\(0{,}\overline{3}\) und \(0{,}1\overline{6}\)), ist die Rechnung mit Brüchen exakter und einfacher. 2. Umwandlung in Brüche: \(1{,}75 = \frac{7}{4}\), \(2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}\), \(-1\frac{1}{6} = -\frac{7}{6}\). 3. Berechnung der Klammer (Hauptnenner \(12\)): \(\frac{21}{12} + \frac{28}{12} = \frac{49}{12}\). 4. Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{49}{12} \cdot (-\frac{6}{7})\). 5. Kürzen und Endergebnis: \(-\frac{7 \cdot 7 \cdot 6}{6 \cdot 2 \cdot 7} = -\frac{7}{2} = -3{,}5\).

Das Ergebnis ist \(-3{,}5\) oder \(-\frac{7}{2}\). Der Rechenweg über Brüche ist hier sinnvoller, da die Dezimalzahlen periodisch wären und das Rechnen erschweren würden.

- Prüfe, ob der Bruch eine kurze endliche Dezimaldarstellung besitzt. - Suche eine Darstellung, in der die Klammer besonders einfach wird. - Bestimme bei der anschließenden Division zuerst das Vorzeichen.

1. Die Dezimaldarstellung ist hier günstig, weil \(\frac{5}{8}=0{,}625\) eine endliche Dezimaldarstellung besitzt. 2. Damit gilt in der Klammer \(-0{,}625+0{,}125=-0{,}5\). 3. Anschließend ist \(-0{,}5:(-0{,}2)=2{,}5\). 4. Auch ein Bruchweg ist möglich: \(-\frac{5}{8}+\frac{1}{8}=-\frac{1}{2}\) und \(-\frac{1}{2}:\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{5}{2}\).

Günstig ist zum Beispiel die Dezimaldarstellung: \(-0{,}625+0{,}125=-0{,}5\) und \(-0{,}5:(-0{,}2)=2{,}5\).

- Prüfe, ob ein Bruch eine endliche Dezimaldarstellung hat. - Suche bei Produkten nach Darstellungen, die direktes Kürzen ermöglichen. - Wähle bei jeder Teilaufgabe unabhängig die Darstellung mit den einfacheren Zwischenschritten.

1. Im ersten Term sind Brüche günstiger, weil \(\frac{1}{3}\) keine endliche Dezimaldarstellung besitzt. Mit \(0{,}5 = \frac{1}{2}\) ergibt sich \(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\). 2. Im zweiten Term sind Brüche günstig: \(0{,}25 = \frac{1}{4}\), also \(\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{7} = \frac{1}{7}\) durch direktes Kürzen. 3. Im dritten Term sind Dezimalzahlen günstig. Mit \(\frac{1}{5} = 0{,}2\) gilt \(0{,}4 \cdot 1{,}2 - 0{,}2 = 0{,}48 - 0{,}2 = 0{,}28\).

a) Brüche sind günstiger, weil \(\frac{1}{3}\) keine endliche Dezimaldarstellung besitzt: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}\). b) Brüche sind günstig, weil \(0{,}25=\frac{1}{4}\) direkt gegen den Faktor \(4\) gekürzt werden kann: Ergebnis \(\frac{1}{7}\). c) Dezimalzahlen sind günstig, weil \(\frac{1}{5}=0{,}2\) endlich ist und die übrigen Zahlen schon dezimal vorliegen: Ergebnis \(0{,}28\).

- Welche Rechenoperation wird laut Vorrangregeln als Letztes ausgeführt? - Siehst du in der Klammer einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst? - Achte beim Dividieren besonders auf die Vorzeichen.

1. Der Term ist insgesamt eine Summe, weil nach Auswertung der Punktrechnungen zuletzt \((-4{,}5)\) addiert wird. 2. In der Klammer kann \(2{,}4\) ausgeklammert werden: \(2{,}4\cdot(-1{,}5-3{,}5)=2{,}4\cdot(-5)=-12\). 3. Dann gilt \(-12:(-1{,}2)=10\). 4. Schließlich ist \(10+(-4{,}5)=5{,}5\).

Der Term ist eine Summe, weil die äußerste letzte Operation die Addition von \((-4{,}5)\) ist. Geschickt: \(2{,}4\cdot(-1{,}5-3{,}5)=-12\), dann \(-12:(-1{,}2)+(-4{,}5)=5{,}5\).

- Bestimme zuerst, welche Rechenoperation den gesamten Term äußerlich gliedert. - Fasse innerhalb jeder eckigen Klammer zunächst die Dezimalzahlen zusammen. - Beobachte anschließend, welche gleichen Bruchteile mehrfach vorkommen und welche ganzzahligen Anteile sich aufheben.

1. Der gesamte Ausdruck ist eine Differenz: Von der Summe der beiden eckigen Klammern wird zuletzt \(-\frac{3}{7}\) subtrahiert. 2. In der ersten Klammer ergänzen sich \(12{,}5+7{,}5\) zu \(20\), sodass \(20+\frac{3}{7}\) entsteht. 3. In der zweiten Klammer ist \(2{,}5-22{,}5=-20\), sodass \(-20+\frac{3}{7}\) entsteht. 4. \(20\) und \(-20\) heben sich auf. Außerdem wird am Ende \(-\frac{3}{7}\) subtrahiert, also ein weiteres \(\frac{3}{7}\) addiert. Es bleiben \(3\cdot\frac{3}{7}=\frac{9}{7}=1\frac{2}{7}\).

Der Term ist insgesamt eine Differenz. Das Muster ist \(20+(-20)=0\); übrig bleiben drei gleiche Summanden \(\frac{3}{7}\). Daher ist der Wert \(\frac{9}{7}=1\frac{2}{7}\).

- Gibt es Zahlen, die sich besonders einfach zu einer ganzen Zahl ergänzen? - Wandle zuerst alle Angaben in Dezimalzahlen um. - Was fällt dir auf, wenn du die Nachkommastellen betrachtest?

1. Umwandlung aller Werte in eine einheitliche Darstellung (Dezimalzahlen in \(\text{km}\)): - \(1{,}45\,\text{km}\) - \(\frac{3}{4}\,\text{km} = 0{,}75\,\text{km}\) - \(2{,}55\,\text{km}\) - \(0{,}25\,\text{km}\) - \(1 \frac{1}{2}\,\text{km} = 1{,}5\,\text{km}\) - \(500\,\text{m} = 0{,}5\,\text{km}\) 2. Bildung geschickter Paare: - Paar 1: \(1{,}45\,\text{km} + 2{,}55\,\text{km} = 4{,}0\,\text{km}\) - Paar 2: \(0{,}75\,\text{km} + 0{,}25\,\text{km} = 1{,}0\,\text{km}\) - Paar 3: \(1{,}5\,\text{km} + 0{,}5\,\text{km} = 2{,}0\,\text{km}\) 3. Berechnung der Gesamtsumme: \(4{,}0\,\text{km} + 1{,}0\,\text{km} + 2{,}0\,\text{km} = 7{,}0\,\text{km}\)

Die Gesamtlänge beträgt \(7\,\text{km}\). Rechenvorteile ergeben sich durch die Paare \((1{,}45; 2{,}55)\), \((0{,}75; 0{,}25)\) und \((1{,}5; 0{,}5)\).

- Führe zuerst jeden der beiden beschriebenen Wege genau so aus. - Welche Summanden ergänzen sich besonders einfach zu ganzen Zahlen? - Vergleiche danach die Zahl und Schwierigkeit der Zwischenschritte.

1. Leons Weg: \(2\frac{1}{4}=2{,}25\) und \(\frac{3}{4}=0{,}75\). Damit gilt \(4{,}8+2{,}25=7{,}05\), \(7{,}05+1{,}2=8{,}25\) und \(8{,}25+0{,}75=9\). 2. Sophies Weg: \(4{,}8+1{,}2=6\) und \(2\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=3\). Also ist die Summe \(6+3=9\). 3. Sophies Weg ist im Kopf einfacher, weil durch Vertauschen und Zusammenfassen sofort ganze Zahlen entstehen.

a) Leon: \(4{,}8+2{,}25+1{,}2+0{,}75=9\) Sophie: \((4{,}8+1{,}2)+(2\frac{1}{4}+\frac{3}{4})=6+3=9\) b) Sophies Weg ist einfacher, weil die Summanden zu ganzen Zahlen zusammengefasst werden können.

- Prüfe bei jeder Klammer zuerst, welches Vorzeichen unmittelbar davor steht. - Nach dem korrekten Auflösen kannst du passende positive und negative Summanden gruppieren. - Darstellungswechsel sind nur ein Hilfsmittel; entscheidend ist hier die richtige Klammerstruktur.

1. In a) wird die Minusklammer korrekt aufgelöst: \(-3{,}25-1{,}75+8=-5+8=3\). 2. In b) gilt \(2\frac{1}{5}-4{,}8-\frac{1}{5}+0{,}8\). Vorteilhafte Gruppen sind \(2\frac{1}{5}-\frac{1}{5}=2\) und \(-4{,}8+0{,}8=-4\). Damit ergibt sich \(-2\). 3. In c) gilt \(\frac{5}{8}+1{,}4-\frac{1}{8}+0{,}6\). Gruppiert: \(\left(\frac{5}{8}-\frac{1}{8}\right)+(1{,}4+0{,}6)=\frac{1}{2}+2=2{,}5\).

a) Minusklammer aufgelöst: \(-3{,}25-1{,}75+8=3\) b) Gruppiert: \(\left(2\frac{1}{5}-\frac{1}{5}\right)+(-4{,}8+0{,}8)=-2\) c) Gruppiert: \(\left(\frac{5}{8}-\frac{1}{8}\right)+(1{,}4+0{,}6)=2{,}5\)

- Prüfe in a), ob der Bruch eine kurze endliche Dezimaldarstellung hat. - Suche in beiden Teilaufgaben nach Summanden, die sich besonders einfach zusammenfassen lassen. - Achte in b) beim Auflösen der zweiten Klammer auf das Minuszeichen davor.

1. In a) ist die Dezimaldarstellung günstig: \(\frac{1}{8}=0{,}125\). 2. Gruppiert ergibt sich \((0{,}125+0{,}875)-(0{,}25+1{,}75)=1-2=-1\). 3. In b) werden zunächst die Klammern aufgelöst: \(\frac{5}{6}+1{,}2-\frac{1}{6}+0{,}8\). 4. Hier ist es günstig, nach Darstellung zu gruppieren: \(\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{6}\right)+(1{,}2+0{,}8)=\frac{2}{3}+2=2\frac{2}{3}\).

a) \(\frac{1}{8}=0{,}125\); geschickt gruppiert: \((0{,}125+0{,}875)-(0{,}25+1{,}75)=-1\) b) Brüche und Dezimalzahlen passend gruppiert: \(\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{6}\right)+(1{,}2+0{,}8)=2\frac{2}{3}\)

- Entscheide für jede Teilaufgabe unabhängig, welche Darstellung die Rechnung vereinfacht. - Suche nach Darstellungen, die Kürzen oder direktes Aufheben ermöglichen. - Achte darauf, dass eine periodische Dezimaldarstellung als solche erkennbar bleibt.

1. In a) ist die Bruchdarstellung günstig: \(0{,}25=\frac{1}{4}\). Damit gilt \(\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{7}=\frac{1}{7}=0{,}\overline{142857}\). 2. In b) ist die Bruchdarstellung günstig: \(0{,}125=\frac{1}{8}\). Dann gilt \(\frac{3}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{8}=\frac{3}{4}=0{,}75\). 3. In c) ist die Bruchdarstellung günstig: \(0{,}6=\frac{3}{5}\). Somit gilt \(\frac{3}{5}:\frac{2}{3}=\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{2}=\frac{9}{10}=0{,}9\).

a) Bruchdarstellung: \(0{,}25=\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{7}=0{,}\overline{142857}\) b) Bruchdarstellung: \(0{,}125=\frac{1}{8}\); \(\frac{3}{4}=0{,}75\) c) Bruchdarstellung: \(0{,}6=\frac{3}{5}\); \(\frac{9}{10}=0{,}9\)

- Lies aus dem Raster ab, in wie viele gleich große Abschnitte jede Richtung geteilt ist. - Wähle erst nach dem Ablesen eine passende Dezimaldarstellung der beiden Seitenanteile. - Kontrolliere, ob der Flächenanteil kleiner als jeder der beiden positiven Seitenanteile ist.

1. Die markierte Fläche umfasst \(4\) von \(5\) Spalten und \(3\) von \(4\) Zeilen. Die Seitenanteile sind daher \(\frac{4}{5}\) und \(\frac{3}{4}\). 2. Als Dezimalzahlen gilt \(\frac{4}{5}=0{,}8\) und \(\frac{3}{4}=0{,}75\). Ihr Produkt ist \(0{,}8\cdot0{,}75=0{,}6\). 3. Es gilt \(0{,}6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\). Damit sind \(\frac{3}{5}\) der gesamten Wandfläche grundiert.

a) Breite: \(\frac{4}{5}\); Höhe: \(\frac{3}{4}\) b) \(0{,}8\cdot0{,}75=0{,}6\) c) \(\frac{3}{5}\)

- Was ist die Hauptoperation, wenn du den gesamten Ausdruck betrachtest? - Kannst du innerhalb der eckigen Klammer einen gemeinsamen Faktor erkennen? - Beachte die Potenz, bevor die abschließende Subtraktion ausgeführt wird. - Wie dividiert man durch einen Bruch?

1. Es handelt sich insgesamt um eine Differenz, weil nach der Division und der Potenz zuletzt \((-2)^3\) subtrahiert wird. 2. In der eckigen Klammer lässt sich \(\frac{2}{3}\) ausklammern: \(\left(-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{2}{3}=-\frac{2}{3}\). 3. Dann gilt \(\frac{7}{2}:\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{7}{2}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{21}{4}=-5{,}25\). 4. Die Potenz ist \((-2)^3=-8\). 5. Somit ist \(-5{,}25-(-8)=2{,}75\).

Der Term ist eine Differenz, weil zuletzt \((-2)^3\) subtrahiert wird. Schrittweise: \([\dots]=-\frac{2}{3}\), \(3\frac{1}{2}:\left(-\frac{2}{3}\right)=-5{,}25\), \((-2)^3=-8\), also \(-5{,}25-(-8)=2{,}75\).

- Berechne zuerst den Wert in der Klammer. Was ist einfacher: Brüche oder Dezimalzahlen? - Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Für den zweiten Teil: Wie viel größer ist \(1{,}5\) im Vergleich zu \(1{,}25\)? Was passiert mit diesem Unterschied im weiteren Verlauf der Rechnung?

1. Schritt: Umwandlung von \(\frac{3}{4}\) in \(0{,}75\). 2. Schritt: Berechnung der Klammer: \(1{,}25 - 0{,}75 = 0{,}5\). 3. Schritt: Division durch \(0{,}5\): \(0{,}5 : 0{,}5 = 1\). 4. Schritt: Addition von \(\frac{1}{10} = 0{,}1\): \(1 + 0{,}1 = 1{,}1\). 5. Analyse der Änderung: Der Wert in der Klammer erhöht sich um \(0{,}25\) (da \(1{,}5 - 1{,}25 = 0{,}25\)). Dieser Unterschied wird anschließend durch \(0{,}5\) dividiert. Da die Division durch \(0{,}5\) einer Verdopplung entspricht, erhöht sich das Endergebnis um \(0{,}25 \cdot 2 = 0{,}5\). Das neue Ergebnis ist \(1{,}6\).

1. Das Ergebnis ist \(1{,}1\). 2. Das Ergebnis erhöht sich um \(0{,}5\) auf insgesamt \(1{,}6\). Da die Differenz in der Klammer um \(0{,}25\) steigt und dieser Wert danach durch \(0{,}5\) geteilt (also verdoppelt) wird, wächst das Endergebnis um \(0{,}5\).