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Zahlen mit Bedingungen finden

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Schwierigkeit: 1 – 5

5531656

Welche Zahl gehört in die Lücke? \(\square+0{,}7=1{,}2\)

Denkanstöße

- Welche Zahl fehlt, damit die Summe den gegebenen Wert erreicht? - Nutze die Umkehroperation zur Addition. - Setze deinen Wert zur Kontrolle wieder in die Lücke ein.

Lösung

1. Gesucht ist ein fehlender Summand. 2. Mit der Umkehraufgabe gilt \(1{,}2-0{,}7=0{,}5\). 3. Kontrolle: \(0{,}5+0{,}7=1{,}2\).

Antwort

\(0{,}5\)

5553966

Auf dem Zahlenstrahl sind drei Punkte A, B und C markiert. Gesucht ist ein markierter Punkt, der größer als \(0{,}4\) und kleiner als \(0{,}7\) ist. Welcher Punkt erfüllt beide Bedingungen?

Abbildung zur Aufgabe 555396

Denkanstöße

- Lies zuerst die Werte der drei markierten Punkte an den Zehntelschritten ab. - Prüfe für jeden Punkt beide Grenzen getrennt. - Ein Punkt muss beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllen.

Lösung

1. Aus dem Zahlenstrahl liest man \(A=0{,}2\), \(B=0{,}5\) und \(C=0{,}8\) ab. 2. Nur \(0{,}5\) liegt zugleich über \(0{,}4\) und unter \(0{,}7\). 3. Daher ist B der gesuchte Punkt.

Antwort

B, also \(0{,}5\).

5553976

Welche Zahl gehört in die Lücke? \(0{,}4\cdot\square=1{,}2\)

Denkanstöße

- Welche Rechenart ist die Umkehrung der Multiplikation? - Teile das Produkt durch den bekannten Faktor. - Prüfe anschließend, ob deine Zahl mit \(0{,}4\) tatsächlich \(1{,}2\) ergibt.

Lösung

1. Gesucht ist der Faktor, mit dem \(0{,}4\) zu \(1{,}2\) wird. 2. Die Umkehraufgabe lautet \(1{,}2:0{,}4=3\). 3. Daher ist \(\square=3\).

Antwort

\(3\)

4100486

Genau in der Mitte zwischen \(-2{,}4\) und \(3{,}6\) liegt a) \(0{,}6\) b) \(0{,}8\) c) \(1{,}0\) d) \(1{,}2\)

Denkanstöße

- Welche Zahl hat zu den beiden gegebenen Zahlen denselben Abstand? - Wie kannst du den Mittelpunkt zweier Zahlen rechnerisch bestimmen? - Prüfe dein Ergebnis, indem du die Abstände zu beiden Randwerten vergleichst.

Lösung

1. Der gesuchte Wert muss zu \(-2{,}4\) und \(3{,}6\) denselben Abstand haben. 2. Der Mittelpunkt ist der Mittelwert: \(\frac{-2{,}4+3{,}6}{2}=\frac{1{,}2}{2}=0{,}6\). 3. Damit ist Antwort a) richtig.

Antwort

a) \(0{,}6\)

4103016

Ergänze die fehlenden Zahlen in den Kästchen \(\Box\), sodass die Gleichungen stimmen: a) \((-144) : \Box = 12\) b) \(\Box \cdot (-7) = 105\) c) \((-15) \cdot \Box = -225\) d) \(\Box : (-11) = -13\)

Denkanstöße

- Welches Vorzeichen muss das Ergebnis einer Multiplikation oder Division haben, wenn die beteiligten Zahlen unterschiedliche oder gleiche Vorzeichen besitzen? - Kannst du die fehlende Zahl finden, indem du die Umkehroperation ausführst? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen.

Lösung

1. Berechnung des Divisors in a): \((-144) : 12 = -12\). 2. Berechnung des Faktors in b): \(105 : (-7) = -15\). 3. Berechnung des Faktors in c): \((-225) : (-15) = 15\). 4. Berechnung des Dividenden in d): \((-13) \cdot (-11) = 143\).

Antwort

a) \(-12\) b) \(-15\) c) \(15\) d) \(143\)

4103286

Bestimme alle natürlichen Zahlen \(n\), die die folgenden Ungleichungen erfüllen: a) \(2 < \frac{n}{5} < 3\) b) \(\frac{1}{2} < \frac{n}{10} < \frac{4}{5}\)

Denkanstöße

- Könntest du die Ungleichung so umformen, dass das \(n\) alleine steht? - Was passiert, wenn du alle Teile der Ungleichung mit dem Nenner multiplizierst? - Welche ganzen Zahlen liegen zwischen den berechneten Grenzen?

Lösung

1. Multiplikation der Ungleichung a) mit 5 ergibt \(10 < n < 15\). Die natürlichen Zahlen in diesem Bereich sind \(n \in \{11, 12, 13, 14\}\). 2. Multiplikation der Ungleichung b) mit 10 ergibt \(5 < n < 8\). Die natürlichen Zahlen in diesem Bereich sind \(n \in \{6, 7\}\).

Antwort

a) \(n \in \{11, 12, 13, 14\}\) b) \(n \in \{6, 7\}\)

4103307

Welche natürlichen Zahlen \(k\) erfüllen die folgenden Ungleichungen? a) \(1 < \frac{2k}{7} < 2\) b) \(\frac{1}{3} \le \frac{k+2}{9} < \frac{2}{3}\)

Denkanstöße

- Führe bei einer Doppelungleichung dieselbe zulässige Rechenoperation an allen drei Teilen aus. - Ziel ist, den mittleren Ausdruck schrittweise auf \(k\) zu reduzieren. - Berücksichtige am Ende nur natürliche Zahlen, die beide Grenzen erfüllen.

Lösung

1. In der ersten Ungleichung alle drei Teile mit \(7\) multiplizieren: \(7<2k<14\). Nach Division durch \(2\) gilt \(3{,}5<k<7\). Damit ist \(k\in\{4;5;6\}\). 2. In der zweiten Ungleichung alle drei Teile mit \(9\) multiplizieren: \(3\le k+2<6\). Nach Subtraktion von \(2\) gilt \(1\le k<4\). Damit ist \(k\in\{1;2;3\}\).

Antwort

a) \(k \in \{4;5;6\}\) b) \(k \in \{1;2;3\}\)

4103316

Bestimme alle Zahlen der Form \(\frac{k}{12}\), die größer als \(\frac{1}{2}\) und gleichzeitig kleiner als \(\frac{5}{6}\) sind. Gib die gefundenen Werte anschließend in vollständig gekürzter Form an.

Denkanstöße

- Könntest du die Brüche so verändern, dass sie denselben Nenner haben wie der gesuchte Bruch? - Welche ganzen Zahlen liegen zwischen den Zählern, die du nach dem Erweitern gefunden hast? - Achte darauf, am Ende zu prüfen, ob man die Brüche noch durch eine gemeinsame Zahl teilen kann.

Lösung

1. Erweitern der gegebenen Grenzen auf den Nenner 12: \(\frac{1}{2} = \frac{6}{12}\) und \(\frac{5}{6} = \frac{10}{12}\). 2. Identifizieren der Zähler \(k\), die die Bedingung \(6 < k < 10\) erfüllen: \(k \in \{7, 8, 9\}\). 3. Aufstellen der Brüche: \(\frac{7}{12}\), \(\frac{8}{12}\) und \(\frac{9}{12}\). 4. Kürzen der Brüche: \(\frac{7}{12}\) ist bereits vollständig gekürzt; \(\frac{8}{12} = \frac{2}{3}\); \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\).

Antwort

\(\frac{7}{12}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}\)

4103326

Untersuche, ob es einen Bruch mit dem Nenner \(8\) gibt, der zwischen \(\frac{2}{5}\) und \(\frac{3}{5}\) liegt. Wenn es mehrere gibt, nenne den kleinsten dieser Brüche.

Denkanstöße

- Vergleiche einige benachbarte Achtelbrüche mit den beiden Grenzen. - Eine Dezimaldarstellung kann dir beim schnellen Größenvergleich helfen. - Prüfe auch die direkt benachbarten Achtel, damit du weißt, ob es weitere Lösungen gibt.

Lösung

1. Die Grenzen sind \(\frac{2}{5} = 0{,}4\) und \(\frac{3}{5} = 0{,}6\). 2. Prüfe die Achtelbrüche in der Nähe dieses Bereichs: \(\frac{3}{8} = 0{,}375\) liegt darunter, \(\frac{4}{8} = 0{,}5\) liegt dazwischen und \(\frac{5}{8} = 0{,}625\) liegt darüber. 3. Damit ist \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) der einzige und somit auch der kleinste passende Bruch mit Nenner \(8\).

Antwort

\(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)

4106126

Bestimme die fehlende Zahl \(x\), sodass die Gleichung korrekt ist. a) \(\frac{x}{18} + \frac{5}{18} = \frac{2}{3}\) b) \(\frac{17}{30} - \frac{x}{30} = \frac{1}{6}\) c) \(\frac{25}{42} + \frac{x}{42} - \frac{11}{42} = 1\)

Denkanstöße

- Könnte es helfen, alle Brüche in der Gleichung auf denselben Nenner zu bringen? - Wenn die Nenner links und rechts vom Gleichheitszeichen gleich sind, was muss dann für die Zähler gelten? - Behandle die Zähler wie eine kleine Rätselaufgabe für sich.

Lösung

1. Bringen der rechten Seite auf den Nenner 18: \(\frac{2}{3} = \frac{12}{18}\). Vergleich der Zähler: \(x + 5 = 12 \Rightarrow x = 7\). 2. Bringen der rechten Seite auf den Nenner 30: \(\frac{1}{6} = \frac{5}{30}\). Vergleich der Zähler: \(17 - x = 5 \Rightarrow x = 12\). 3. Darstellung der 1 als Bruch: \(1 = \frac{42}{42}\). Vergleich der Zähler: \(25 + x - 11 = 42 \Rightarrow 14 + x = 42 \Rightarrow x = 28\).

Antwort

a) \(x = 7\) b) \(x = 12\) c) \(x = 28\)

4106636

Bestimme die fehlende Zahl im Platzhalter \(\dots\), sodass die Gleichung korrekt ist. a) \(0{,}8 + \dots = \frac{1}{2}\) b) \(\dots - \frac{3}{4} = -0{,}5\) c) \(0{,}125 + \dots = \frac{5}{8}\)

Denkanstöße

- Überlege bei jeder Gleichung, welche Umkehroperation die fehlende Zahl liefert. - Bringe Bruch und Dezimalzahl jeweils in eine gemeinsame Darstellung, bevor du rechnest. - Prüfe jede gefundene Zahl durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.

Lösung

1. Bringe in a) beide bekannten Zahlen in dieselbe Darstellung. Mit \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) ergibt sich \(0{,}5 - 0{,}8 = -0{,}3\). 2. In b) gilt \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). Die gesuchte Zahl ist daher \(-0{,}5 + 0{,}75 = 0{,}25\). 3. In c) gilt \(\frac{5}{8} = 0{,}625\). Die gesuchte Zahl ist \(0{,}625 - 0{,}125 = 0{,}5\).

Antwort

a) \(-0{,}3\) b) \(0{,}25\) c) \(0{,}5\) oder \(\frac{1}{2}\)

4106666

Bestimme den Wert des Platzhalters \(\_\_\_\), damit die Rechnung korrekt ist. a) \(\_\_\_ + 23{,}65 = 41{,}1\) b) \(60{,}2 - \_\_\_ = 18{,}47\)

Denkanstöße

- Nutze für jeden Platzhalter die passende Umkehroperation. - Unterscheide dabei zwischen fehlendem Summanden und fehlendem Subtrahenden. - Setze die gefundenen Werte zur Kontrolle in die Ausgangsrechnungen ein.

Lösung

1. Der fehlende Summand ist \(41{,}10 - 23{,}65 = 17{,}45\). 2. Der fehlende Subtrahend ist \(60{,}20 - 18{,}47 = 41{,}73\).

Antwort

a) \(17{,}45\) b) \(41{,}73\)

4106766

Bestimme den Wert für \(x\) in den folgenden Gleichungen. Gib das Ergebnis als gekürzten Bruch oder als Dezimalzahl an. a) \(x + \frac{3}{8} = \frac{5}{6}\) b) \(1{,}4 - x = 0{,}85\) c) \(x - \frac{1}{4} = 0{,}3\)

Denkanstöße

- Wie kannst du die Zahl auf der Seite von \(x\) verschwinden lassen? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil der Operation in der Aufgabe? - Wenn Brüche und Dezimalzahlen gemischt sind, hilft es oft, alles in eine Form umzuwandeln. - Denk beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen an den gemeinsamen Nenner.

Lösung

1. Subtraktion von \(\frac{3}{8}\) auf beiden Seiten: \(x = \frac{5}{6} - \frac{3}{8}\). Bestimmung des Hauptnenners (24): \(x = \frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24}\). 2. Isolation von \(x\) durch Subtraktion von \(0{,}85\) von \(1{,}4\): \(x = 1{,}4 - 0{,}85 = 0{,}55\). 3. Addition von \(\frac{1}{4}\) (entspricht \(0{,}25\)) auf beiden Seiten: \(x = 0{,}3 + 0{,}25 = 0{,}55\). Alternativ in Brüchen: \(x = \frac{3}{10} + \frac{1}{4} = \frac{6}{20} + \frac{5}{20} = \frac{11}{20}\).

Antwort

a) \(x = \frac{11}{24}\) b) \(x = 0{,}55\) c) \(x = 0{,}55\) oder \(x = \frac{11}{20}\)

4106786

Bestimme die Zahl im Kästchen, sodass die jeweilige Gleichung stimmt. Achte auf die Vorzeichen. a) \(\square + \frac{7}{9} = \frac{1}{3}\) b) \(-2{,}5 - \square = -1{,}2\) c) \(\frac{3}{5} = \square + 1{,}1\)

Denkanstöße

- Erkenne, ob jeweils ein Summand oder ein Subtrahend fehlt. - Nutze die passende Umkehraufgabe statt eines formalen Gleichungsumformungsverfahrens. - Achte bei der Kontrolle besonders auf das Subtrahieren einer negativen Zahl.

Lösung

1. Im ersten Fall ist der fehlende Summand \(\frac{1}{3} - \frac{7}{9} = \frac{3}{9} - \frac{7}{9} = -\frac{4}{9}\). 2. Im zweiten Fall ist der fehlende Subtrahend die Differenz aus Minuend und Ergebnis: \(-2{,}5 - (-1{,}2) = -1{,}3\). Kontrolle: \(-2{,}5 - (-1{,}3) = -1{,}2\). 3. Im dritten Fall ist der fehlende Summand \(\frac{3}{5} - 1{,}1 = 0{,}6 - 1{,}1 = -0{,}5\).

Antwort

a) \(-\frac{4}{9}\) b) \(-1{,}3\) c) \(-0{,}5\) oder \(-\frac{1}{2}\)

4107246

Ersetze die Kästchen durch passende Zahlen, sodass die Gleichungen korrekt sind. a) \( 0{,}3 + \frac{\square}{10} = \frac{4}{5} \) b) \( \frac{7}{8} - \frac{\square}{16} = 0{,}5 \)

Denkanstöße

- Könntest du die Dezimalzahlen zuerst als Brüche schreiben? - Hilft es dir, wenn alle Brüche in einer Aufgabe denselben Nenner haben? - Wie viel fehlt von der ersten Zahl bis zum Ergebnis?

Lösung

1. Umrechnung der Dezimalzahl in einen Bruch mit dem Nenner 10: \( 0{,}3 = \frac{3}{10} \). 2. Erweitern des Zielbruchs auf den Nenner 10: \( \frac{4}{5} = \frac{8}{10} \). 3. Aufstellen der Gleichung für die Zähler: \( 3 + \square = 8 \), woraus \( \square = 5 \) folgt. 4. Umrechnung der Dezimalzahl in einen Bruch: \( 0{,}5 = \frac{1}{2} \). 5. Erweitern aller Brüche auf den Hauptnenner 16: \( \frac{14}{16} - \frac{\square}{16} = \frac{8}{16} \). 6. Aufstellen der Gleichung für die Zähler: \( 14 - \square = 8 \), woraus \( \square = 6 \) folgt.

Antwort

a) \( \square = 5 \) b) \( \square = 6 \)

4107326

Finde die fehlende ganze Zahl \(x\), sodass die Gleichung stimmt. a) \(x \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{3}\) b) \(x \cdot \frac{3}{20} = \frac{9}{10}\) c) \(x \cdot \frac{5}{12} = \frac{5}{2}\)

Denkanstöße

- Könnte es helfen, den Bruch auf der rechten Seite so zu erweitern, dass er den gleichen Nenner hat wie der Bruch links? - Was passiert mit dem Zähler eines Bruchs, wenn man ihn mit einer ganzen Zahl multipliziert? - Du kannst auch probieren, welche Zahl passen könnte, und dein Ergebnis überprüfen.

Lösung

1. Umwandlung des Ergebnisses auf den Nenner 9: \(\frac{2}{3} = \frac{6}{9}\). Vergleich der Zähler: \(x \cdot 2 = 6\) ergibt \(x = 3\). 2. Umwandlung des Ergebnisses auf den Nenner 20: \(\frac{9}{10} = \frac{18}{20}\). Vergleich der Zähler: \(x \cdot 3 = 18\) ergibt \(x = 6\). 3. Umwandlung des Ergebnisses auf den Nenner 12: \(\frac{5}{2} = \frac{30}{12}\). Vergleich der Zähler: \(x \cdot 5 = 30\) ergibt \(x = 6\).

Antwort

a) \(x = 3\) b) \(x = 6\) c) \(x = 6\)

4107536

Bestimme die fehlende ganze Zahl \(x\), sodass die Gleichungen stimmen. a) \(\frac{5}{6} \cdot x = 2\frac{1}{2}\) b) \(\frac{12}{7} : x = \frac{4}{21}\)

Denkanstöße

- Überlege in jeder Gleichung, ob ein Faktor oder ein Divisor fehlt. - Nutze die passende Umkehroperation und wandle gemischte Zahlen vorher in Brüche um. - Prüfe die gefundenen ganzen Zahlen durch Einsetzen.

Lösung

1. Im ersten Fall ist \(2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}\). Der fehlende Faktor ist \(\frac{5}{2} : \frac{5}{6} = \frac{5}{2} \cdot \frac{6}{5} = 3\). 2. Im zweiten Fall ist der fehlende Divisor \(\frac{12}{7} : \frac{4}{21} = \frac{12}{7} \cdot \frac{21}{4} = 9\). 3. Einsetzen bestätigt beide Werte.

Antwort

a) \(x = 3\) b) \(x = 9\)

4107716

Finde die gesuchten Zahlen \(x\), \(y\) und \(z\), damit die Gleichungen stimmen: a) \( \frac{5}{6} \cdot x = \frac{1}{3} \) b) \( y \cdot 0{,}4 = \frac{2}{3} \) c) \( z \cdot (-\frac{3}{4}) = 1 \)

Denkanstöße

- Welche Rechenart ist die Umkehrung der Multiplikation? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Was muss man mit einem Bruch multiplizieren, um genau 1 zu erhalten?

Lösung

1. Berechnung von \(x\): Division des Ergebnisses durch den bekannten Faktor ergibt \( x = \frac{1}{3} : \frac{5}{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{15} \). Kürzen durch 3 ergibt \( x = \frac{2}{5} \). 2. Berechnung von \(y\): Umwandlung \( 0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \). Berechnung durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \( y = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{10}{6} \). Kürzen durch 2 ergibt \( y = \frac{5}{3} \). 3. Berechnung von \(z\): Damit das Produkt 1 ergibt, muss \(z\) der Kehrwert von \(-\frac{3}{4}\) sein. Somit ist \( z = -\frac{4}{3} \).

Antwort

a) \( x = \frac{2}{5} \) b) \( y = \frac{5}{3} \) c) \( z = -\frac{4}{3} \)

4107746

Vervollständige die Lücken so, dass die Aussagen korrekt sind. Gib die gesuchten Werte als Bruch oder ganze Zahl an. a) \(\dots\) von \(\frac{8}{9}\,\text{m} = \frac{2}{3}\,\text{m}\) b) \(\frac{3}{5}\) von \(\dots\,\text{kg} = 1\frac{1}{5}\,\text{kg}\) c) \(\frac{3}{4}\) von \(\dots\,\text{h} = \frac{1}{2}\,\text{h}\)

Denkanstöße

- Gesucht ist jeweils ein fehlender Faktor beziehungsweise eine fehlende Ausgangsmenge. - Nutze Division als Umkehroperation zur Anteil-von-Multiplikation. - Wandle gemischte Zahlen bei Bedarf zuerst in unechte Brüche um.

Lösung

1. Im ersten Fall ist der fehlende Faktor \(\frac{2}{3} : \frac{8}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{3}{4}\). 2. Im zweiten Fall ist \(1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}\). Die gesuchte Menge ist \(\frac{6}{5} : \frac{3}{5} = 2\,\text{kg}\). 3. Im dritten Fall ist die gesuchte Zeit \(\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}\,\text{h}\).

Antwort

a) \(\frac{3}{4}\) b) \(2\) c) \(\frac{2}{3}\)

4108216

a) Finde einen Bruch, der mit \(\frac{3}{8}\) multipliziert ein Ergebnis liefert, das größer als \(\frac{3}{8}\) ist. b) Finde einen Bruch, der mit \(\frac{3}{8}\) multipliziert ein Ergebnis liefert, das kleiner als \(\frac{1}{8}\) ist.

Denkanstöße

- Was passiert mit einer Zahl, wenn man sie mit etwas multipliziert, das größer als 1 ist? - Was passiert, wenn der Faktor zwischen 0 und 1 liegt? - Überlege dir zuerst, mit welcher Zahl du multiplizieren müsstest, um genau \(\frac{1}{8}\) zu erhalten.

Lösung

1. Damit ein Produkt größer als der ursprüngliche Faktor \(\frac{3}{8}\) ist, muss der zweite Faktor größer als 1 sein. Ein möglicher Wert ist \(\frac{2}{1}\). Rechnung: \(\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\), und \(\frac{3}{4} > \frac{3}{8}\). 2. Damit das Produkt aus \(x \cdot \frac{3}{8}\) kleiner als \(\frac{1}{8}\) ist, muss \(x\) kleiner als \(\frac{1}{3}\) sein, da \(\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{8}\). Ein möglicher Wert ist \(\frac{1}{4}\). Rechnung: \(\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{32}\). Vergleich: \(\frac{3}{32} < \frac{4}{32} = \frac{1}{8}\).

Antwort

a) Zum Beispiel \(\frac{2}{1}\) (oder jeder Bruch \(> 1\)). b) Zum Beispiel \(\frac{1}{4}\) (oder jeder positive Bruch \(< \frac{1}{3}\)).

4108436

Bestimme den Wert für \(x\) in den folgenden Gleichungen: a) \(x \cdot 2 \frac{1}{4} = \frac{3}{8}\) b) \(x : 1 \frac{2}{3} = -\frac{2}{5}\)

Denkanstöße

- Wie kannst du die Rechenoperation umkehren, um \(x\) allein auf eine Seite zu bringen? - Wandle gemischte Zahlen zuerst in unechte Brüche um. - Erinnere dich an die Regel für die Division durch einen Bruch.

Lösung

1. Umstellung der Gleichung a) nach \(x\): \(x = \frac{3}{8} : 2 \frac{1}{4}\). Umwandlung der gemischten Zahl: \(2 \frac{1}{4} = \frac{9}{4}\). Rechnung: \(\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}\). 2. Umstellung der Gleichung b) nach \(x\): \(x = -\frac{2}{5} \cdot 1 \frac{2}{3}\). Umwandlung der gemischten Zahl: \(1 \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\). Rechnung: \(-\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} = -\frac{10}{15} = -\frac{2}{3}\).

Antwort

a) \(x = \frac{1}{6}\) b) \(x = -\frac{2}{3}\)

4108706

Bestimme die fehlende Zahl \(x\) und schreibe sie sowohl als Dezimalzahl als auch als Zehnerpotenz (z. B. \(100 = 10^2\)). a) \(0{,}04x = 40\) b) \(5{,}8 : x = 0{,}058\) c) \(0{,}0007x = 0{,}7\) d) \(12 : x = 0{,}0012\)

Denkanstöße

- Was ist die Umkehroperation von Multiplikation? Und was die von Division? - Um wie viele Stellen muss das Komma verschoben werden, um vom ersten zum zweiten Wert zu gelangen? - Wie oft muss man eine Zahl mit 10 multiplizieren, um das Komma um eine bestimmte Anzahl an Stellen nach rechts zu schieben?

Lösung

1. Berechnung von \(x\) durch Umkehrung der Operation: a) \(x = 40 : 0{,}04 = 1000\). Zehnerpotenz: \(10^3\). b) \(x = 5{,}8 : 0{,}058 = 100\). Zehnerpotenz: \(10^2\). c) \(x = 0{,}7 : 0{,}0007 = 1000\). Zehnerpotenz: \(10^3\). d) \(x = 12 : 0{,}0012 = 10\,000\). Zehnerpotenz: \(10^4\).

Antwort

a) \(1000 = 10^3\) b) \(100 = 10^2\) c) \(1000 = 10^3\) d) \(10\,000 = 10^4\)

4108876

Ergänze die fehlenden Zahlen in den folgenden Rechnungen: a) \(\dots \cdot 0{,}4 = 3{,}2\) b) \(0{,}07 \cdot 8 = \dots\) c) \(1{,}5 \cdot \dots = -4{,}5\) d) \(0{,}003 \cdot 300 = \dots\)

Denkanstöße

- Überlege dir bei Aufgaben mit Lücken, welche Umkehroperation dir helfen könnte. - Erinnere dich daran, wie man eine Dezimalzahl mit \(10\), \(100\) oder \(1000\) multipliziert. - Achte bei negativen Ergebnissen auf die Vorzeichenregel.

Lösung

1. Berechnung des Platzhalters durch Division: \(3{,}2 : 0{,}4 = 32 : 4 = 8\). 2. Multiplikation: \(7 \cdot 8 = 56\), mit zwei Nachkommastellen ergibt sich \(0{,}56\). 3. Bestimmung des Faktors: \(-4{,}5 : 1{,}5 = -3\). 4. Multiplikation mit einer Zehnerpotenz: \(0{,}003 \cdot 300 = 0{,}3 \cdot 3 = 0{,}9\).

Antwort

a) \(8\) b) \(0{,}56\) c) \(-3\) d) \(0{,}9\)

4108926

Ergänze die fehlende Zahl so, dass die Gleichung stimmt. a) \(0{,}3 \cdot \dots = 0{,}21\) b) \(\dots \cdot 0{,}2 = 0{,}04\) c) \((-0{,}6) \cdot \dots = 0{,}36\) d) \(\dots \cdot (-0{,}1) = 0{,}008\)

Denkanstöße

- Wie hängen Multiplikation und Division zusammen? - Welches Vorzeichen muss die gesuchte Zahl haben, damit das Ergebnis stimmt? - Was passiert mit dem Komma, wenn du durch \(0{,}1\) dividierst?

Lösung

1. Umkehrrechnung zur Bestimmung des Faktors: \(0{,}21 : 0{,}3 = 2{,}1 : 3 = 0{,}7\). 2. Umkehrrechnung: \(0{,}04 : 0{,}2 = 0{,}4 : 2 = 0{,}2\). 3. Bestimmung des Vorzeichens und Umkehrrechnung: Das Ergebnis ist positiv, der erste Faktor negativ, also muss der zweite Faktor negativ sein. \(0{,}36 : (-0{,}6) = -0{,}6\). 4. Umkehrrechnung mit negativem Divisor: \(0{,}008 : (-0{,}1) = -0{,}08\).

Antwort

a) \(0{,}7\) b) \(0{,}2\) c) \(-0{,}6\) d) \(-0{,}08\)

4108966

Welche Zahl muss jeweils in die Lücke eingesetzt werden, damit die Rechnung stimmt? a) \(\dots : 4 = -0{,}12\) b) \(0{,}8 : \dots = 4\) c) \(\dots \cdot 0{,}5 = 3{,}5\)

Denkanstöße

- Bestimme, welche Umkehroperation zur jeweiligen Lücke passt. - Unterscheide bei der Division zwischen fehlendem Dividend und fehlendem Divisor. - Prüfe deine Werte durch Einsetzen.

Lösung

1. Die fehlende Zahl im ersten Term ist \(-0{,}12 \cdot 4 = -0{,}48\). 2. Der fehlende Divisor im zweiten Term ist \(0{,}8 : 4 = 0{,}2\). Kontrolle: \(0{,}8 : 0{,}2 = 4\). 3. Der fehlende Faktor im dritten Term ist \(3{,}5 : 0{,}5 = 7\). Kontrolle: \(7 \cdot 0{,}5 = 3{,}5\).

Antwort

a) \(-0{,}48\) b) \(0{,}2\) c) \(7\)

4109116

Bestimme die Zahl für den Platzhalter \(x\). a) \(x \cdot 0{,}2 = 1{,}44\) b) \(0{,}56 : x = 0{,}8\) c) \(x : 1{,}5 = 0{,}04\)

Denkanstöße

- Bestimme für jede Gleichung die passende Umkehroperation. - Unterscheide bei Divisionen zwischen einem fehlenden Dividend und einem fehlenden Divisor. - Prüfe die gefundenen Dezimalzahlen durch Einsetzen.

Lösung

1. Im ersten Fall ist \(x = 1{,}44 : 0{,}2 = 7{,}2\). 2. Im zweiten Fall ist der fehlende Divisor \(x = 0{,}56 : 0{,}8 = 0{,}7\). 3. Im dritten Fall ist der fehlende Dividend \(x = 0{,}04 \cdot 1{,}5 = 0{,}06\).

Antwort

a) \(x = 7{,}2\) b) \(x = 0{,}7\) c) \(x = 0{,}06\)

4109296

Bestimme die fehlende Zahl \(x\), damit die Rechnung stimmt. a) \(x \cdot 0{,}3 = 1{,}26\) b) \(0{,}48 : x = 0{,}6\) c) \(x : 0{,}04 = 2{,}5\)

Denkanstöße

- Erkenne zunächst, ob ein Faktor, Dividend oder Divisor gesucht ist. - Nutze Multiplikation und Division als Umkehroperationen. - Achte bei Dezimalrechnungen auf die Größenordnung des Ergebnisses.

Lösung

1. Im ersten Fall ist \(x = 1{,}26 : 0{,}3 = 4{,}2\). 2. Im zweiten Fall ist der fehlende Divisor \(x = 0{,}48 : 0{,}6 = 0{,}8\). 3. Im dritten Fall ist der fehlende Dividend \(x = 2{,}5 \cdot 0{,}04 = 0{,}1\).

Antwort

a) \(x = 4{,}2\) b) \(x = 0{,}8\) c) \(x = 0{,}1\)

4111006

Bestimme die fehlende Zahl im Zähler, damit die folgende Gleichung korrekt ist: \(\frac{1}{6} + \frac{\square}{4} = \frac{11}{12}\) Beschreibe, wie du zu deinem Ergebnis gekommen bist.

Denkanstöße

- Bringe alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. - Überlege, welchen Zähler der zweite Bruch nach dem Erweitern auf Nenner \(12\) haben muss. - Prüfe die gefundene Zahl in der ursprünglichen Gleichung.

Lösung

1. Der Hauptnenner von \(6\), \(4\) und \(12\) ist \(12\). 2. Es gilt \(\frac{1}{6}=\frac{2}{12}\) und \(\frac{\square}{4}=\frac{3\square}{12}\). 3. Daher muss \(2+3\square=11\) gelten. Also ist \(3\square=9\) und damit \(\square=3\). 4. Probe: \(\frac{1}{6}+\frac{3}{4}=\frac{2}{12}+\frac{9}{12}=\frac{11}{12}\).

Antwort

Auf den Nenner \(12\) gebracht gilt \(\frac{1}{6}=\frac{2}{12}\) und \(\frac{\square}{4}=\frac{3\square}{12}\). Deshalb ist \(2+3\square=11\), also \(\square=3\).

4112556

Welche Zahl muss in die Lücke gesetzt werden, damit die Gleichung stimmt? a) \(\dots + (-1{,}5) = -4\) b) \((-0{,}2) \cdot \dots = 1\) c) \(\dots : (-10) = 0{,}25\) d) \(0{,}8 - \dots = 1{,}2\)

Denkanstöße

- Erkenne jeweils, welche Zahl in der ursprünglichen Rechenart fehlt. - Nutze Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division als passende Umkehroperationen. - Prüfe besonders bei d), wie sich ein negativer Subtrahend auswirkt.

Lösung

1. Im ersten Fall ist der fehlende Summand \(-4 - (-1{,}5) = -2{,}5\). 2. Im zweiten Fall ist der fehlende Faktor \(1 : (-0{,}2) = -5\). 3. Im dritten Fall ist der fehlende Dividend \(0{,}25 \cdot (-10) = -2{,}5\). 4. Im vierten Fall ist der fehlende Subtrahend \(0{,}8 - 1{,}2 = -0{,}4\). Kontrolle: \(0{,}8 - (-0{,}4) = 1{,}2\).

Antwort

a) \(-2{,}5\) b) \(-5\) c) \(-2{,}5\) d) \(-0{,}4\)

4112636

Beantworte die folgenden Fragen und notiere deinen Rechenweg: a) Mit welcher Zahl muss man \(-1\frac{1}{2}\) multiplizieren, um \(1\) zu erhalten? b) Durch welche Zahl muss man \(-1\frac{1}{2}\) dividieren, um \(1\) zu erhalten? c) Welche Zahl muss man durch \(-1\frac{1}{2}\) dividieren, um \(-2\) zu erhalten?

Denkanstöße

- Welche Zahl multipliziert mit \(-\frac{3}{2}\) ergibt \(1\)? - Wann ergibt eine Division genau \(1\)? - Für einen gesuchten Dividenden kannst du Quotient und Divisor miteinander multiplizieren.

Lösung

1. Es gilt \(-1\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\). Für ein Produkt von \(1\) braucht man den Kehrwert \(-\frac{2}{3}\). 2. Eine von \(0\) verschiedene Zahl durch sich selbst ergibt \(1\). Daher ist der gesuchte Divisor \(-1\frac{1}{2}\). 3. Für den gesuchten Dividenden wird die Umkehroperation verwendet: \(-2\cdot\left(-1\frac{1}{2}\right)=-2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=3\).

Antwort

a) \(-\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=1\), also \(-\frac{2}{3}\) b) \(-\frac{3}{2}:\left(-\frac{3}{2}\right)=1\), also \(-1\frac{1}{2}\) c) \(-2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=3\), also \(3\)

4112736

Bestimme die Zahl, die in das Kästchen \(\square\) passt, damit die Gleichung stimmt. a) \(\square + 1{,}5 = -0{,}5\) b) \(-2{,}4 : \square = 6\) c) \(\square \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 4\)

Denkanstöße

- Erkenne, ob ein Summand, Divisor oder Faktor fehlt. - Nutze die jeweilige Umkehroperation. - Prüfe das Vorzeichen des gefundenen Werts durch Einsetzen.

Lösung

1. Im ersten Fall ist der fehlende Summand \(-0{,}5 - 1{,}5 = -2\). 2. Im zweiten Fall ist der fehlende Divisor \(-2{,}4 : 6 = -0{,}4\). 3. Im dritten Fall ist der fehlende Faktor \(4 : \left(-\frac{2}{3}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -6\).

Antwort

a) \(-2\) b) \(-0{,}4\) c) \(-6\)

4113026

Das Produkt dreier rationaler Zahlen ist \(-1\). Untersuche, ob dies unter den folgenden Bedingungen möglich ist. Begründe deine Antwort kurz oder gib ein passendes Beispiel an. a) Alle drei Faktoren sind negativ. b) Genau zwei Faktoren sind negativ. c) Alle drei Faktoren sind ganze Zahlen. d) Einer der Faktoren ist die Zahl \(0\).

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Produkt hat, wenn du eine bestimmte Anzahl negativer Zahlen multiplizierst. - Die Vorzeichenregeln sind hier entscheidend. - Was passiert mit einem Produkt, sobald die Zahl Null als Faktor auftaucht? - Ganze Zahlen sind auch rationale Zahlen.

Lösung

1. Fall a): Möglich. Da das Produkt einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren negativ ist, führt \((-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1\) zum Ziel. 2. Fall b): Nicht möglich. Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv. Wird dies mit einer dritten positiven Zahl multipliziert, bleibt das Ergebnis positiv (und ungleich \(-1\)). 3. Fall c): Möglich. Beispielsweise ergibt \((-1) \cdot 1 \cdot 1 = -1\). Da \(-1\) und \(1\) ganze Zahlen sind, ist die Bedingung erfüllt. 4. Fall d): Nicht möglich. Wenn ein Faktor \(0\) ist, ist das gesamte Produkt immer \(0\), unabhängig von den anderen Faktoren.

Antwort

a) Ja, z. B. \((-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1\). b) Nein, das Produkt wäre positiv. c) Ja, z. B. \((-1) \cdot 1 \cdot 1 = -1\). d) Nein, das Produkt wäre \(0\).

4116297

Löse die folgenden linearen Gleichungen mit rationalen Zahlen durch Äquivalenzumformungen. Gib bei jeder Teilaufgabe mindestens die entscheidende Umformungszeile und die Lösung an. a) \(x+14{,}5=-5{,}5\) b) \(-20-x=35\) c) \(x-(-12)=-8\) d) \(-4{,}2+x=2{,}8\)

Denkanstöße

- Wähle jeweils dieselbe Operation auf beiden Seiten, um den konstanten Term bei der Variablen zu entfernen. - Achte in b) darauf, dass vor \(x\) ein Minuszeichen steht. - Vereinfache in c) zuerst das doppelte Minus.

Lösung

1. a) Subtrahiere \(14{,}5\): \(x=-20\). 2. b) Addiere 20: \(-x=55\); multipliziere mit \(-1\): \(x=-55\). 3. c) Vereinfache zu \(x+12=-8\); subtrahiere 12: \(x=-20\). 4. d) Addiere \(4{,}2\): \(x=7\).

Antwort

a) \(x+14{,}5=-5{,}5\Rightarrow x=-20\). b) \(-20-x=35\Rightarrow -x=55\Rightarrow x=-55\). c) \(x+12=-8\Rightarrow x=-20\). d) \(-4{,}2+x=2{,}8\Rightarrow x=7\).

4116307

Anna und Ben diskutieren über die Lösung der Gleichung \(x - (-15) = 10\). Anna behauptet: „Man kann die Gleichung zuerst zu \(x + 15 = 10\) vereinfachen.“ Ben sagt: „Um \(x\) zu finden, muss ich dann \(10 - 15\) rechnen.“ Überprüfe beide Aussagen und bestimme die Lösung.

Denkanstöße

- Vereinfache zuerst das Doppelvorzeichen in der Ausgangsgleichung. - Prüfe danach, welche Äquivalenzumformung \(x\) freistellt. - Setze den gefundenen Wert zur Kontrolle ein.

Lösung

1. Annas Aussage ist richtig: Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht einer Addition, also \(x - (-15) = x + 15\). 2. Bens Aussage ist ebenfalls richtig. Aus \(x + 15 = 10\) erhält man durch Subtraktion von \(15\) auf beiden Seiten \(x = 10 - 15\). 3. Damit ist \(x = -5\). Die Probe \(-5 - (-15) = 10\) bestätigt die Lösung.

Antwort

Beide Aussagen sind richtig. Die Lösung ist \(x = -5\).

4116317

Löse die Gleichungen. Vereinfache jeweils zuerst die linke Seite und führe danach eine Äquivalenzumformung aus. Gib in der Antwort sowohl die vereinfachte Gleichung als auch die Lösung an. a) \(-15+(z-10)=5\) b) \(30-(z+5)=15\) c) \((z+4)+(-12)=-20\)

Denkanstöße

- Bearbeite zunächst nur die Klammer- und Vorzeichenstruktur auf der linken Seite. - In b) wirkt das Minus vor der Klammer auf beide Terme in der Klammer. - Erst nach dem Vereinfachen isolierst du \(z\).

Lösung

1. a) Vereinfachen: \(z-25=5\); Addition von 25 ergibt \(z=30\). 2. b) Vereinfachen: \(25-z=15\); Subtraktion von 25 ergibt \(-z=-10\), also \(z=10\). 3. c) Vereinfachen: \(z-8=-20\); Addition von 8 ergibt \(z=-12\).

Antwort

a) \(z-25=5\Rightarrow z=30\). b) \(25-z=15\Rightarrow -z=-10\Rightarrow z=10\). c) \(z-8=-20\Rightarrow z=-12\).

4116886

Ergänze die fehlenden Zahlen in den folgenden Gleichungen, sodass eine wahre Aussage entsteht: a) \(\square : (-5) = 25\) b) \((-12) + \square = -40\) c) \(3 \cdot \square = -54\) d) \((-100) - \square = 20\)

Denkanstöße

- Wie kannst du die Rechnung umkehren, um die gesuchte Zahl zu finden? - Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen die gesuchte Zahl haben muss. - Du kannst dein Ergebnis am Ende zur Probe in die Lücke einsetzen.

Lösung

1. Umkehrung der Division durch Multiplikation: \(25 \cdot (-5) = -125\). 2. Umkehrung der Addition durch Subtraktion: \(-40 - (-12) = -40 + 12 = -28\). 3. Umkehrung der Multiplikation durch Division: \(-54 : 3 = -18\). 4. Bestimmung des Subtrahenden: \(-100 - 20 = -120\). Überprüfung: \(-100 - (-120) = -100 + 120 = 20\).

Antwort

a) \(-125\) b) \(-28\) c) \(-18\) d) \(-120\)

4117137

Löse die folgenden linearen Gleichungen nach \(x\) auf: a) \(x + (-0{,}4) = -\frac{3}{4}\) b) \(x - \frac{2}{5} = -1{,}2 + 0{,}8\)

Denkanstöße

- Bringe Brüche und Dezimalzahlen bei Bedarf in eine gemeinsame Darstellung. - Führe auf beiden Seiten dieselbe Äquivalenzumformung aus. - Prüfe die Lösung anschließend durch Einsetzen.

Lösung

1. In a) gilt \(-\frac{3}{4} = -0{,}75\). Die Gleichung wird zu \(x - 0{,}4 = -0{,}75\). Addiere \(0{,}4\) auf beiden Seiten: \(x = -0{,}35\). 2. In b) ist \(-1{,}2 + 0{,}8 = -0{,}4\) und \(\frac{2}{5} = 0{,}4\). Damit lautet die Gleichung \(x - 0{,}4 = -0{,}4\). Addiere \(0{,}4\) auf beiden Seiten: \(x = 0\).

Antwort

a) \(x = -0{,}35\) oder \(x = -\frac{7}{20}\) b) \(x = 0\)

4117656

Welche Zahl muss für \(x\) eingesetzt werden, damit die Gleichung korrekt ist? \(x : (-24) = -125\)

Denkanstöße

- Wie kannst du eine Divisionsaufgabe umkehren, um die gesuchte Zahl zu finden? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation. - Was ergibt „Minus mal Minus“?

Lösung

1. Anwendung der Umkehroperation: Um \(x\) zu finden, muss das Ergebnis mit dem Divisor multipliziert werden: \(x = (-125) \cdot (-24)\). 2. Bestimmung des Vorzeichens: Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv. 3. Berechnung des Produkts der Beträge: \(125 \cdot 24\). 4. \(125 \cdot 20 = 2500\) und \(125 \cdot 4 = 500\). 5. Addition der Teilergebnisse: \(2500 + 500 = 3000\). 6. Das Endergebnis ist \(3000\).

Antwort

\(3000\)

4118136

Welcher Bruch muss in das Kästchen eingesetzt werden, damit die Gleichung korrekt ist? \(\frac{3}{4} - \square = \frac{1}{6}\)

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie du die Aufgabe umstellen kannst, um die fehlende Zahl zu berechnen. - Welche Zahl ist der kleinste gemeinsame Nenner für 4 und 6? - Wie verändern sich die Zähler, wenn du die Nenner angleichst?

Lösung

1. Umstellen der Gleichung zur Berechnung des Platzhalters: \(\square = \frac{3}{4} - \frac{1}{6}\). 2. Bestimmung des Hauptnenners von 4 und 6: \(\operatorname{kgV}(4, 6) = 12\). 3. Erweitern der Brüche auf den Nenner 12: \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\) und \(\frac{1}{6} = \frac{2}{12}\). 4. Subtraktion der Zähler: \(\frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}\).

Antwort

\(\frac{7}{12}\)

4121336

Bestimme die Zahl, die für den Platzhalter \(\square\) eingesetzt werden muss, damit die jeweilige Gleichung korrekt ist. a) \(12{,}5 - \square = 7{,}8\) b) \(\square \cdot 0{,}4 = 2{,}4\) c) \(15 : \square = 2{,}5\)

Denkanstöße

- Überlege dir bei jeder Aufgabe die Umkehroperation. - Wie hängen Minuend, Subtrahend und Differenz zusammen? - Wenn du ein Produkt hast und einen Faktor suchst, welche Rechenart hilft dir weiter? - Du kannst dein Ergebnis immer prüfen, indem du die Zahl für das Kästchen einsetzt und nachrechnest.

Lösung

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Um den Subtrahenden zu finden, subtrahiert man die Differenz vom Minuenden: \(12{,}5 - 7{,}8 = 4{,}7\). 2. Berechnung für Teilaufgabe b): Um den fehlenden Faktor zu finden, dividiert man das Produkt durch den bekannten Faktor: \(2{,}4 : 0{,}4 = 6\). 3. Berechnung für Teilaufgabe c): Um den Divisor zu finden, dividiert man den Dividenden durch den Quotienten: \(15 : 2{,}5 = 6\).

Antwort

a) \(\square = 4{,}7\) b) \(\square = 6\) c) \(\square = 6\)

4121476

Bestimme den Wert der Unbekannten \( \square \), sodass die Gleichungen stimmen. a) \( \frac{4}{5}\square = 12 \) b) \( \square : \frac{2}{3} = \frac{9}{10} \) c) \( \frac{7}{3} - \square = \frac{1}{6} \)

Denkanstöße

- Überlege dir eine passende Umkehroperation, um die Unbekannte zu isolieren. - Wie würdest du vorgehen, wenn dort ganze Zahlen stünden (z. B. \( 2x = 10 \))? - Denk bei der Subtraktion daran, die Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen.

Lösung

1. Gleichung a: Um \( \square \) zu finden, dividiere 12 durch \( \frac{4}{5} \). Das entspricht \( 12 \cdot \frac{5}{4} = 3 \cdot 5 = 15 \). Also \( \square = 15 \). 2. Gleichung b: Um \( \square \) zu finden, multipliziere \( \frac{9}{10} \) mit \( \frac{2}{3} \). Das ergibt \( \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 3} = \frac{18}{30} \). Kürzen mit 6 ergibt \( \frac{3}{5} \). Also \( \square = \frac{3}{5} \). 3. Gleichung c: Um \( \square \) zu finden, rechne \( \frac{7}{3} - \frac{1}{6} \). Hauptnenner finden: \( \frac{14}{6} - \frac{1}{6} = \frac{13}{6} \). Also \( \square = \frac{13}{6} \) (oder \( 2 \frac{1}{6} \)).

Antwort

a) \( 15 \) b) \( \frac{3}{5} \) c) \( \frac{13}{6} \) (oder \( 2 \frac{1}{6} \))

4121636

In die beiden Kästchen soll jeweils dieselbe Ziffer eingesetzt werden. Bestimme alle Ziffern, für die die folgende Ungleichungskette eine wahre Aussage ergibt: \(4{,}2 < 4{,}\square 5 < \square{,}1\)

Denkanstöße

- Kannst du die Ungleichungskette in zwei einzelne Ungleichungen zerlegen? - Was passiert, wenn du für das Kästchen nacheinander verschiedene Ziffern einsetzt und testest? - Achte beim Vergleichen von Dezimalzahlen auf die Stellenwerte.

Lösung

1. Analyse der ersten Teilungleichung \(4{,}2 < 4{,}\square 5\): Da die Einerstellen gleich sind, vergleichen wir die Zehntelstellen. Für \(\square = 2\) gilt \(4{,}20 < 4{,}25\) (wahr). Für alle Ziffern \(\square \ge 2\) ist diese Bedingung erfüllt. 2. Analyse der zweiten Teilungleichung \(4{,}\square 5 < \square{,}1\): Wir prüfen die Ziffern ab \(2\). Für \(\square = 2\), \(3\) oder \(4\) ist die rechte Zahl kleiner; für \(\square = 5\) gilt \(4{,}55 < 5{,}1\). 3. Für jede Ziffer \(\square \ge 5\) ist die Einerstelle rechts größer als links. Damit erfüllen \(5, 6, 7, 8, 9\) beide Teilungleichungen.

Antwort

Die möglichen Ziffern sind \(5, 6, 7, 8, 9\).

4122026

Vervollständige die folgende Multiplikationstabelle. Berechne dazu zuerst die fehlenden Werte in den Tabellenköpfen und fülle anschließend die leeren Felder aus. <table> <tr><td>\(\cdot\)</td><td style="background-color: #eeeeee;">\(-1{,}5\)</td><td style="background-color: #eeeeee;">\(\dots\)</td></tr> <tr><td style="background-color: #eeeeee;">\(\frac{2}{5}\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(-1\)</td></tr> <tr><td style="background-color: #eeeeee;">\(\square\)</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(\square\)</td></tr> </table>

Denkanstöße

- Beginne bei einem Feld, in dessen Zeile oder Spalte nur ein Faktor fehlt. - Nutze Division, wenn Produkt und ein Faktor bekannt sind. - Fülle erst danach die Felder aus, für die beide Randfaktoren bekannt sind.

Lösung

1. Für den fehlenden Spaltenkopf ist das Produkt \(-1\) und der bekannte Zeilenfaktor \(\frac{2}{5} = 0{,}4\). Daher ist der Spaltenkopf \(-1 : 0{,}4 = -2{,}5\). 2. Für den fehlenden Zeilenkopf ist das Produkt \(0{,}3\) und der bekannte Spaltenfaktor \(-1{,}5\). Daher ist der Zeilenkopf \(0{,}3 : (-1{,}5) = -0{,}2\). 3. Das verbleibende Feld in der ersten Datenzeile ist \(0{,}4 \cdot (-1{,}5) = -0{,}6\). 4. Das verbleibende Feld unten rechts ist \(-0{,}2 \cdot (-2{,}5) = 0{,}5\).

Antwort

<table> <tr><td>\(\cdot\)</td><td>\(-1{,}5\)</td><td>\(-2{,}5\)</td></tr> <tr><td>\(\frac{2}{5}\)</td><td>\(-0{,}6\)</td><td>\(-1\)</td></tr> <tr><td>\(-0{,}2\)</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}5\)</td></tr> </table>

4122056

Stelle die Zahl \(-30\) auf drei verschiedene Weisen als Produkt von zwei Faktoren dar. Beachte dabei die folgenden Bedingungen: a) Beide Faktoren sind ganze Zahlen. b) Ein Faktor ist eine Dezimalzahl und der andere eine ganze Zahl. c) Einer der Faktoren ist ein Bruch der Form \(\frac{a}{b}\).

Denkanstöße

- Bestimme zuerst, welche Vorzeichen die beiden Faktoren für ein negatives Produkt haben müssen. - Nutze bekannte Faktorpaare von \(30\) als Ausgangspunkt und verändere bei Bedarf die Darstellung eines Faktors. - Für die Dezimal- und Bruchvariante kannst du mit Skalieren passende gleichwertige Produkte erzeugen.

Lösung

1. Für zwei ganze Zahlen ist zum Beispiel \(3 \cdot (-10) = -30\) möglich. 2. Für Dezimalzahl und ganze Zahl ist zum Beispiel \((-1{,}5) \cdot 20 = -30\) möglich. 3. Mit einem Bruch ist zum Beispiel \(\frac{3}{4} \cdot (-40) = -30\) möglich. 4. In allen drei Fällen sorgt genau ein negativer Faktor dafür, dass das Produkt negativ ist.

Antwort

a) Zum Beispiel \(3 \cdot (-10)\) b) Zum Beispiel \((-1{,}5) \cdot 20\) c) Zum Beispiel \(\frac{3}{4} \cdot (-40)\)

4122236

Ergänze die Lücken, sodass die Gleichungen stimmen. a) \(7 \cdot \square = -56\) b) \(\square : (-9) = 4\) c) \((-0{,}5) \cdot \square = 10\) d) \(\square_1 \cdot \square_2 = -18\) mit zwei ganzen Zahlen

Denkanstöße

- Bestimme zunächst das notwendige Vorzeichen der fehlenden Zahl. - Nutze Multiplikation und Division als Umkehroperationen. - Suche bei d) nach einem ganzzahligen Teilerpaar von \(18\) mit unterschiedlichen Vorzeichen.

Lösung

1. Im ersten Fall ist der fehlende Faktor \(-56 : 7 = -8\). 2. Im zweiten Fall ist der fehlende Dividend \(4 \cdot (-9) = -36\). 3. Im dritten Fall ist der fehlende Faktor \(10 : (-0{,}5) = -20\). 4. Für das letzte Produkt ist zum Beispiel \(2 \cdot (-9) = -18\) eine gültige Lösung.

Antwort

a) \(-8\) b) \(-36\) c) \(-20\) d) Zum Beispiel \(2\) und \(-9\)

4122676

Setze passende Rechenzeichen \(+\) oder \(-\) in die Lücken ein, sodass die Gleichungen stimmen. a) \(-7 \quad \square \quad (-3) \quad \square \quad 5 = -9\) b) \(-7 \quad \square \quad ((-3) \quad \square \quad 5) = 1\)

Denkanstöße

- Es gibt pro Teilaufgabe nur vier mögliche Zeichenpaare; prüfe sie systematisch. - Beachte in b) zuerst die innere Klammer. - Kontrolliere jeden Kandidaten vollständig bis zum Zielwert.

Lösung

1. Im ersten Term funktioniert \(-7 - (-3) - 5 = -7 + 3 - 5 = -9\). Beide Zeichen sind also Minuszeichen. 2. Im zweiten Term funktioniert \(-7 - ((-3) - 5) = -7 - (-8) = 1\). Auch hier sind beide Zeichen Minuszeichen.

Antwort

a) \(-7 - (-3) - 5 = -9\) b) \(-7 - ((-3) - 5) = 1\)

4128066

Bestimme die fehlende Zahl in den folgenden Rechnungen, sodass eine wahre Aussage entsteht. a) \((\dots) \cdot (-0{,}5) = 1{,}5\) b) \(\frac{2}{7} : (\dots) = -\frac{4}{21}\) c) \((\dots) : \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{9}{4}\)

Denkanstöße

- Entscheide zuerst, ob ein Faktor, Divisor oder Dividend fehlt. - Nutze die passende Umkehroperation direkt am Platzhalter. - Prüfe die Vorzeichen der gefundenen Werte durch Einsetzen.

Lösung

1. Im ersten Fall ist der fehlende Faktor \(1{,}5 : (-0{,}5) = -3\). 2. Im zweiten Fall ist der fehlende Divisor \(\frac{2}{7} : \left(-\frac{4}{21}\right) = \frac{2}{7} \cdot \left(-\frac{21}{4}\right) = -\frac{3}{2}\). 3. Im dritten Fall ist der fehlende Dividend \(\frac{9}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{3}{2}\).

Antwort

a) \(-3\) b) \(-\frac{3}{2}\) oder \(-1{,}5\) c) \(-\frac{3}{2}\) oder \(-1{,}5\)

4128346

Welche rationale Zahl muss jeweils in die Lücke eingesetzt werden, damit die Gleichung korrekt ist? a) \( \frac{2}{3} + \dots = -\frac{1}{6} \) b) \( \dots - \frac{3}{5} = -1 \) c) \( -\frac{1}{2} - (\dots) = \frac{1}{8} \)

Denkanstöße

- Stelle dir die Lücke wie eine Variable \( x \) vor. - Wie würdest du vorgehen, wenn dort nur einfache positive Zahlen stünden? Nutze die Umkehroperationen. - Achte besonders bei Teilaufgabe c) auf das Minuszeichen vor der Lücke. - Es hilft oft, alle Zahlen zuerst auf den gleichen Nenner zu bringen, bevor man die Lücke bestimmt.

Lösung

1. Umstellung der Gleichung: \( x = -\frac{1}{6} - \frac{2}{3} \). Hauptnenner 6: \( -\frac{1}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{5}{6} \). 2. Umstellung der Gleichung: \( x = -1 + \frac{3}{5} \). Umwandlung der Ganzzahl: \( -\frac{5}{5} + \frac{3}{5} = -\frac{2}{5} \). 3. Umstellung der Gleichung: \( x = -\frac{1}{2} - \frac{1}{8} \). Hauptnenner 8: \( -\frac{4}{8} - \frac{1}{8} = -\frac{5}{8} \).

Antwort

a) \( -\frac{5}{6} \) b) \( -\frac{2}{5} \) c) \( -\frac{5}{8} \)

4128406

Bestimme den Wert des Platzhalters \(\square\), sodass die Gleichungen stimmen: a) \(\left(-\frac{5}{6}\right) \cdot \square = 1\) b) \(\square : \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{8}{9}\)

Denkanstöße

- Wie kannst du eine Multiplikationsaufgabe umkehren, um eine fehlende Zahl zu finden? - Was ist das Besondere an einer Zahl, die mit einer anderen multipliziert \(1\) ergibt? - Achte beim Multiplizieren von Brüchen darauf, ob du bereits während der Rechnung kürzen kannst.

Lösung

1. Um den Platzhalter in a) zu finden, dividiert man \(1\) durch den Faktor \(\left(-\frac{5}{6}\right)\). Das entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert: \(1 \cdot \left(-\frac{6}{5}\right) = -\frac{6}{5}\). 2. Um den Platzhalter in b) zu finden, multipliziert man das Ergebnis mit dem Divisor: \(\square = \frac{8}{9} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\). 3. Berechnung von b): \(\frac{8 \cdot (-3)}{9 \cdot 4} = -\frac{24}{36}\). Kürzen durch \(12\) ergibt \(-\frac{2}{3}\).

Antwort

a) \(\square = -\frac{6}{5}\) (oder \(-1{,}2\)) b) \(\square = -\frac{2}{3}\)

4142216

Welche Zahl muss in das Kästchen \(\Box\) eingesetzt werden, damit die Gleichung korrekt ist? a) \(12{,}5 - \Box + 2{,}5 = 10\) b) \(\frac{3}{8} + \Box = \frac{7}{8}\) c) \(0{,}4 \cdot \Box = 2\) d) \(\Box : 4 - 0{,}5 = 1{,}5\)

Denkanstöße

- Kannst du die Zahlen, bei denen kein Kästchen steht, zuerst zusammenfassen? - Überlege dir, welche Rechenoperation das Gegenteil von der in der Aufgabe ist. - Es kann helfen, Brüche und Dezimalzahlen einheitlich zu schreiben.

Lösung

1. Zusammenfassen der bekannten Werte auf der linken Seite: \(12{,}5 + 2{,}5 = 15\). Die Gleichung lautet \(15 - \Box = 10\). Daraus folgt \(\Box = 15 - 10 = 5\). 2. Subtraktion des bekannten Summanden: \(\Box = \frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8}\). Gekürzt ergibt dies \(\frac{1}{2}\) bzw. \(0{,}5\). 3. Anwendung der Umkehroperation (Division): \(\Box = 2 : 0{,}4\). Da \(20 : 4 = 5\), ist \(\Box = 5\). 4. Schrittweise Umkehrung: Zuerst Addition \(1{,}5 + 0{,}5 = 2\). Dann Multiplikation des Zwischenergebnisses mit dem Divisor: \(2 \cdot 4 = 8\). Somit ist \(\Box = 8\).

Antwort

a) \(5\) b) \(0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)) c) \(5\) d) \(8\)

4142226

Bestimme für jede Gleichung den Wert des Platzhalters \(\Box\). Begründe bei jeder Aufgabe vor dem Rechnen kurz, ob der gesuchte Wert größer oder kleiner als \(10\) sein muss. a) \(25 - \Box = 14{,}5\) b) \(0{,}5 \cdot \Box = 6\) c) \(\frac{1}{3} \cdot \Box = 3\)

Denkanstöße

- Setze doch probehalber die Zahl 10 für das Kästchen ein. Ist das Ergebnis dann zu groß oder zu klein? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Multiplikation, wenn du einen der Faktoren vergrößerst? - Wie verändert sich das Ergebnis einer Subtraktion, wenn die Zahl, die du abziehst, größer wird?

Lösung

1. Vergleich mit Referenzwert \(10\): \(25 - 10 = 15\). Da das gewünschte Ergebnis \(14{,}5\) kleiner als \(15\) ist, muss die abgezogene Zahl \(\Box\) größer als \(10\) sein. Berechnung: \(\Box = 25 - 14{,}5 = 10{,}5\). 2. Vergleich mit Referenzwert \(10\): \(0{,}5 \cdot 10 = 5\). Da das Ergebnis \(6\) größer als \(5\) ist, muss der Faktor \(\Box\) größer als \(10\) sein. Berechnung: \(\Box = 6 : 0{,}5 = 12\). 3. Vergleich mit Referenzwert \(10\): \(\frac{1}{3} \cdot 10 = 3\frac{1}{3} \approx 3{,}33\). Da das Ergebnis \(3\) kleiner als \(3{,}33\) ist, muss \(\Box\) kleiner als \(10\) sein. Berechnung: \(\Box = 3 : \frac{1}{3} = 3 \cdot 3 = 9\).

Antwort

a) \(\Box = 10{,}5\) (Begründung: größer als \(10\), da \(25-10=15\) und \(15 > 14{,}5\)) b) \(\Box = 12\) (Begründung: größer als \(10\), da \(0{,}5 \cdot 10 = 5\) und \(5 < 6\)) c) \(\Box = 9\) (Begründung: kleiner als \(10\), da \(\frac{1}{3} \cdot 10 > 3\))

4142686

Bestimme die Zahl im Kästchen \(\Box\), sodass die Gleichungen korrekt sind: a) \(\frac{8}{3} - \Box = \frac{5}{4}\) b) \(\Box - \frac{1}{2} = \frac{7}{10}\)

Denkanstöße

- Unterscheide zwischen einem fehlenden Subtrahenden und einem fehlenden Minuenden. - Bilde jeweils die passende Umkehraufgabe. - Bringe die Brüche erst für die eigentliche Addition oder Subtraktion auf einen gemeinsamen Nenner.

Lösung

1. Im ersten Fall fehlt der Subtrahend. Er ist \(\frac{8}{3} - \frac{5}{4} = \frac{32}{12} - \frac{15}{12} = \frac{17}{12}\). 2. Im zweiten Fall fehlt der Minuend. Er ist \(\frac{7}{10} + \frac{1}{2} = \frac{7}{10} + \frac{5}{10} = \frac{6}{5}\).

Antwort

a) \(\frac{17}{12}\) b) \(\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\)

4226287

Löse die folgenden linearen Gleichungen nach \(x\) auf: 1) \((-12) + x = -5\) 2) \(x + 3{,}4 = -1{,}2\) 3) \(-\frac{2}{5} + x = \frac{1}{2}\) 4) \(7{,}5 - 10 + x = 0\)

Denkanstöße

- Vereinfache bekannte Zahlenterme, bevor du die Variable freistellst. - Führe auf beiden Seiten dieselbe Äquivalenzumformung aus. - Prüfe jede Lösung durch Einsetzen.

Lösung

1. Addiere \(12\) auf beiden Seiten: \(x = -5 + 12 = 7\). 2. Subtrahiere \(3{,}4\) auf beiden Seiten: \(x = -1{,}2 - 3{,}4 = -4{,}6\). 3. Addiere \(\frac{2}{5}\) auf beiden Seiten: \(x = \frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{9}{10}\). 4. Fasse zunächst \(7{,}5 - 10 = -2{,}5\) zusammen. Aus \(-2{,}5 + x = 0\) folgt \(x = 2{,}5\).

Antwort

1) \(x = 7\) 2) \(x = -4{,}6\) 3) \(x = \frac{9}{10}\) oder \(0{,}9\) 4) \(x = 2{,}5\)

4226406

Bestimme jeweils die fehlende dritte Zahl, sodass die Summe aller drei Zahlen \(0\) ergibt. a) \(-8{,}5 + 3\frac{1}{4} + \square = 0\) b) \(\frac{2}{3} - \frac{1}{6} + \square = 0\) c) \(15{,}7 - 20 + \square = 0\)

Denkanstöße

- Fasse zuerst die beiden bekannten Zahlen zusammen. - Gesucht ist anschließend die Gegenzahl dieses Zwischenergebnisses. - Prüfe, ob die vollständige Dreiersumme tatsächlich \(0\) ergibt.

Lösung

1. Im ersten Fall ist \(-8{,}5 + 3{,}25 = -5{,}25\). Die fehlende Zahl ist daher die Gegenzahl \(5{,}25\). 2. Im zweiten Fall gilt \(\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\). Die fehlende Zahl ist \(-\frac{1}{2}\). 3. Im dritten Fall ist \(15{,}7 - 20 = -4{,}3\). Die fehlende Zahl ist \(4{,}3\).

Antwort

a) \(5{,}25\) b) \(-\frac{1}{2}\) c) \(4{,}3\)

4241076

Bei einer zweistelligen Zahl ist die Einerziffer genau um \(4\) größer als die Zehnerziffer. Bestimme alle Zahlen, die diese Eigenschaft erfüllen und gleichzeitig größer als \(20\), aber kleiner als \(60\) sind.

Denkanstöße

- Welche Ziffern können wegen der Grenzen \(20\) und \(60\) überhaupt an der Zehnerstelle stehen? - Erhöhe jede mögliche Zehnerziffer um \(4\), um die passende Einerziffer zu erhalten. - Prüfe zum Schluss bei jeder Zahl beide Bedingungen.

Lösung

1. Wegen der Zahlgrenzen kommen als Zehnerziffer nur \(2\), \(3\), \(4\) und \(5\) infrage. 2. Die Einerziffer soll jeweils um \(4\) größer sein. Zu den vier Zehnerziffern gehören daher die Einerziffern \(6\), \(7\), \(8\) und \(9\). 3. Damit erhält man \(26\), \(37\), \(48\) und \(59\). Alle vier Zahlen erfüllen beide Bedingungen.

Antwort

\(26\), \(37\), \(48\) und \(59\)

4244877

Untersuche die folgenden Zusammenhänge für rationale Zahlen und begründe sie allgemein: a) Kann die Summe \(a + a\) kleiner sein als \(a\)? Falls ja, welche Eigenschaft muss \(a\) haben? b) Wenn das Produkt \(x \cdot y\) negativ ist, was lässt sich über die Vorzeichen von \(x\) und \(y\) aussagen? c) Gilt für jede rationale Zahl \(k\) der Zusammenhang \(k \cdot 0 = k - k\)?

Denkanstöße

- Prüfe die Aussagen zunächst an positiven, negativen und gegebenenfalls nullwertigen Beispielen. - Beschreibe anschließend, welche Eigenschaft des Vorzeichens oder der Operation das beobachtete Muster erklärt. - Unterscheide zwischen einem Beispiel und einer allgemeinen Begründung.

Lösung

1. Für a) gilt \(a + a = 2a\). Die Summe ist genau dann kleiner als \(a\), wenn \(a\) negativ ist; bei einer negativen Zahl liegt das Doppelte weiter links auf der Zahlengeraden. 2. Ein Produkt zweier rationaler Zahlen ist negativ, wenn die beiden Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben. Eine Zahl ist dann positiv und die andere negativ. 3. Für jede rationale Zahl gilt \(k \cdot 0 = 0\) und ebenso \(k - k = 0\). Daher sind beide Terme für jeden zulässigen Wert von \(k\) gleich.

Antwort

a) Ja, für negative Werte von \(a\). b) Die beiden Faktoren haben unterschiedliche Vorzeichen. c) Ja, beide Terme haben immer den Wert \(0\).

5531666

Auf dem Zahlenstrahl sind fünf mögliche Zahlen durch A bis E markiert. Gesucht sind alle markierten Zahlen, die gleichzeitig größer als \(\frac{1}{3}\) und kleiner als \(\frac{2}{3}\) sind. Bestimme die Werte der passenden Punkte und begründe, warum die übrigen nicht beide Bedingungen erfüllen.

Abbildung zur Aufgabe 553166

Denkanstöße

- Lies zuerst die Werte aller markierten Punkte anhand der Zehntelschritte ab. - Ordne die beiden Bruchgrenzen ungefähr auf demselben Zahlenstrahl ein. - Beachte, dass beide Ungleichungen strikt erfüllt sein müssen.

Lösung

1. Die Markierungen liegen bei \(A=0{,}3\), \(B=0{,}4\), \(C=0{,}5\), \(D=0{,}6\) und \(E=0{,}7\). 2. Es gilt \(\frac{1}{3}\approx0{,}333\) und \(\frac{2}{3}\approx0{,}667\). 3. Damit liegen \(0{,}4\), \(0{,}5\) und \(0{,}6\) strikt zwischen den beiden Grenzen. 4. \(0{,}3\) ist zu klein und \(0{,}7\) ist zu groß.

Antwort

B, C und D: \(0{,}4\), \(0{,}5\) und \(0{,}6\). A mit \(0{,}3\) ist nicht größer als \(\frac{1}{3}\); E mit \(0{,}7\) ist nicht kleiner als \(\frac{2}{3}\).

4102456

Gegeben sind zwei Brüche \(\frac{a}{12}\) und \(\frac{b}{30}\). Bestimme das Paar natürlicher Zahlen \((a,b)\), für das beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind: 1. \(\frac{a}{12} = \frac{b}{30}\) 2. \(a + b = 14\)

Denkanstöße

- Kürze das Verhältnis der beiden Nenner so weit wie möglich. - Überlege, aus wie vielen gleich großen Teilen das daraus entstehende Verhältnis der Zähler besteht. - Nutze anschließend die vorgegebene Summe und kontrolliere beide Bedingungen.

Lösung

1. Gleiche Brüche mit Nennern \(12\) und \(30\) haben hier Zähler im Verhältnis \(12:30 = 2:5\). Daher müssen \(a\) und \(b\) im Verhältnis \(2:5\) stehen. 2. Dieses Verhältnis besteht aus insgesamt \(2 + 5 = 7\) gleich großen Teilen. Zusammen sollen die beiden Zahlen \(14\) ergeben, also entspricht ein Teil \(14 : 7 = 2\). 3. Damit ist \(a = 2 \cdot 2 = 4\) und \(b = 5 \cdot 2 = 10\). 4. Kontrolle: \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\), \(\frac{10}{30} = \frac{1}{3}\) und \(4 + 10 = 14\).

Antwort

\(a = 4\) und \(b = 10\)

4103026

Bestimme den Wert für den Platzhalter \(\Box\), damit die jeweilige Gleichung korrekt ist: a) \((-8) \cdot 6 + \Box = -50\) b) \((\Box + 20) : (-5) = -4\) c) \(-100 : \Box - 12 = -7\)

Denkanstöße

- Beachte zuerst die Vorrangregeln und bestimme feste Teilrechnungen. - Arbeite anschließend mit Umkehroperationen vom Ergebnis zurück. - Setze jeden gefundenen Wert zur Kontrolle in die ursprüngliche Gleichung ein.

Lösung

1. Im ersten Term ist \((-8) \cdot 6 = -48\). Damit muss \(-48 + \Box = -50\) gelten, also \(\Box = -2\). 2. Im zweiten Term muss zunächst \(\Box + 20 = (-4) \cdot (-5) = 20\) gelten. Daher ist \(\Box = 0\). 3. Im dritten Term folgt aus \(-100 : \Box - 12 = -7\) zunächst \(-100 : \Box = 5\). Daher ist \(\Box = -20\).

Antwort

a) \(-2\) b) \(0\) c) \(-20\)

4103036

Gegeben sind die zwei Rechenausdrücke \(X\) und \(Y\): \(X = (-12) \cdot (-3) + (-16)\) \(Y = (-60) : 4 - (-5)\) Berechne zuerst die Werte für \(X\) und \(Y\). Bestimme anschließend eine Zahl \(z\), die man zu \(Y\) addieren muss, um den Wert von \(X\) zu erhalten.

Denkanstöße

- Berechne jeden Ausdruck sorgfältig einzeln, bevor du sie vergleichst. - Erinnere dich daran, dass das Subtrahieren einer negativen Zahl dasselbe ist wie das Addieren ihres Betrags. - Wie groß ist der Unterschied zwischen den Werten von \(X\) und \(Y\)?

Lösung

1. Berechnung von \(X\): \((-12) \cdot (-3) = 36\). Addition von \(-16\) ergibt \(X = 20\). 2. Berechnung von \(Y\): \((-60) : 4 = -15\). Subtraktion von \(-5\) entspricht Addition von \(5\), also \(Y = -15 + 5 = -10\). 3. Aufstellen der Gleichung für \(z\): \(Y + z = X \Rightarrow -10 + z = 20\). 4. Berechnung von \(z\): \(z = 20 - (-10) = 30\).

Antwort

\(X = 20\), \(Y = -10\), die gesuchte Zahl ist \(z = 30\).

4103296

Ermittle alle natürlichen Zahlen \(x\), für die gilt: a) \(\frac{2}{3} < \frac{x}{12} \le \frac{5}{4}\) b) \(0{,}75 < \frac{x}{8} < 1{,}5\)

Denkanstöße

- Achte genau darauf, ob das Zeichen „kleiner als“ (\(<\)) oder „kleiner oder gleich“ (\(\le\)) verwendet wird. - Könntest du die Brüche oder Dezimalzahlen zuerst so umwandeln, dass sie den gleichen Nenner wie der mittlere Teil haben? - Wie viele Zahlen passen in das Intervall?

Lösung

1. Multiplikation der Ungleichung a) mit 12: \(12 \cdot \frac{2}{3} < x \le 12 \cdot \frac{5}{4}\). Dies vereinfacht sich zu \(8 < x \le 15\). Die natürlichen Zahlen sind \(x \in \{9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}\). 2. Multiplikation der Ungleichung b) mit 8: \(8 \cdot 0{,}75 < x < 8 \cdot 1{,}5\). Dies ergibt \(6 < x < 12\). Die natürlichen Zahlen sind \(x \in \{7, 8, 9, 10, 11\}\).

Antwort

a) \(x \in \{9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}\) b) \(x \in \{7, 8, 9, 10, 11\}\)

4103696

Auf einer Zahlengeraden liegen die Punkte \(P\) bei \(-3{,}4\) und \(Q\) bei \(1{,}2\). Finde alle ganzen Zahlen zwischen \(P\) und \(Q\), die von \(P\) einen kleineren Abstand haben als von \(Q\). Begründe deine Auswahl.

Denkanstöße

- Welche Stelle zwischen \(P\) und \(Q\) hat zu beiden Punkten denselben Abstand? - Auf welcher Seite dieser Stelle liegen Punkte, die näher an \(P\) sind? - Liste anschließend nur die ganzen Zahlen auf, die zusätzlich zwischen \(P\) und \(Q\) liegen.

Lösung

1. Der Punkt, der von \(P\) und \(Q\) gleich weit entfernt ist, liegt genau in der Mitte. Sein Wert ist \((-3{,}4+1{,}2):2=-1{,}1\). 2. Gesuchte Zahlen müssen zwischen \(-3{,}4\) und \(1{,}2\) liegen und zugleich links von \(-1{,}1\), damit ihr Abstand zu \(P\) kleiner ist. 3. Die einzigen ganzen Zahlen mit beiden Eigenschaften sind \(-3\) und \(-2\).

Antwort

\(-3\) und \(-2\). Der Mittelpunkt von \(P\) und \(Q\) liegt bei \(-1{,}1\); alle gesuchten ganzen Zahlen müssen zwischen \(-3{,}4\) und \(-1{,}1\) liegen.

4104266

Vergleiche die beiden Zahlen \( \frac{19}{8} \) und \( 2{,}37 \). Welche der beiden Zahlen ist größer? Bestimme anschließend eine Dezimalzahl, die genau in der Mitte zwischen diesen beiden Werten liegt.

Denkanstöße

- Wie viele Nachkommastellen musst du betrachten, um \( 2{,}37 \) und \( 2{,}375 \) sicher zu vergleichen? - Wie berechnet man den Mittelwert von zwei Zahlen? - Stell dir die beiden Zahlen auf einem sehr fein unterteilten Zahlenstrahl vor.

Lösung

1. Umwandlung von \( \frac{19}{8} \) in eine Dezimalzahl: \( 19 : 8 = 2{,}375 \). 2. Vergleich: \( 2{,}375 > 2{,}37 \) (da \( 2{,}375 > 2{,}370 \)). Somit ist \( \frac{19}{8} \) größer. 3. Berechnung der Mitte: Addiere beide Werte und dividiere durch 2: \( (2{,}375 + 2{,}37) : 2 = 4{,}745 : 2 = 2{,}3725 \).

Antwort

\( \frac{19}{8} \) (oder \( 2{,}375 \)) ist größer als \( 2{,}37 \). Die Zahl genau in der Mitte ist \( 2{,}3725 \).

4104476

Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegen immer weitere rationale Zahlen. Finde jeweils eine Zahl, die genau zwischen den beiden gegebenen Werten liegt. a) Zwischen \(\frac{5}{8}\) und \(0{,}63\). Gib das Ergebnis als Dezimalzahl an. b) Zwischen \(0{,}7\) und \(0{,}71\). Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Denkanstöße

- Eine Zahl genau zwischen zwei Werten hat zu beiden Randwerten denselben Abstand. - Für den ersten Teil kann eine gemeinsame Dezimaldarstellung hilfreich sein. - Für den zweiten Teil kannst du die beiden Dezimalzahlen als Brüche mit einem feineren gemeinsamen Nenner darstellen.

Lösung

1. \(\frac{5}{8}=0{,}625\). Der Mittelwert von \(0{,}625\) und \(0{,}63\) ist \((0{,}625+0{,}63):2=0{,}6275\). 2. Für die zweite Mitte gilt \(0{,}7=\frac{140}{200}\) und \(0{,}71=\frac{142}{200}\). Genau dazwischen liegt \(\frac{141}{200}\). 3. Der Bruch \(\frac{141}{200}\) ist vollständig gekürzt.

Antwort

a) \(0{,}6275\) b) \(\frac{141}{200}\)

4104576

Berechne die Dezimalzahl, die genau in der Mitte zwischen \( \frac{1}{5} \) und \( \frac{1}{4} \) liegt. Nenne zusätzlich eine weitere Dezimalzahl, die größer als \( \frac{1}{5} \), aber kleiner als dein berechneter Mittelwert ist.

Denkanstöße

- Wie lassen sich Brüche am einfachsten vergleichen oder verrechnen, wenn man mit Dezimalzahlen arbeitet? - Erinnerst du dich, wie man den Durchschnitt von zwei Werten berechnet? - Zwischen zwei beliebigen Dezimalzahlen liegen immer unendlich viele weitere Zahlen.

Lösung

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \( \frac{1}{5} = 0{,}2 \) und \( \frac{1}{4} = 0{,}25 \). 2. Berechnung des Mittelwerts durch Addition und Division durch 2: \( (0{,}2 + 0{,}25) : 2 = 0{,}225 \). 3. Bestimmung einer Zahl im Intervall \( ]0{,}2; 0{,}225[ \): Ein möglicher Wert ist \( 0{,}21 \).

Antwort

Die Mitte liegt bei \( 0{,}225 \). Eine weitere Zahl zwischen \( \frac{1}{5} \) und \( 0{,}225 \) ist zum Beispiel \( 0{,}21 \).

4106036

Bestimme die rationale Zahl, die genau in der Mitte zwischen \(-\frac{1}{2}\) und \(0{,}3\) liegt. Untersuche anschließend, ob diese Zahl größer oder kleiner als \(-\frac{1}{8}\) ist. Begründe deine Antwort durch einen Vergleich der Werte.

Denkanstöße

- Bringe die beiden Randwerte zunächst in eine gemeinsame Darstellung. - Eine Zahl genau in der Mitte hat zu beiden Randwerten denselben Abstand. - Vergleiche die gefundene Zahl und \(-\frac{1}{8}\) anschließend auf der Zahlengeraden.

Lösung

1. Es gilt \(-\frac{1}{2}=-0{,}5\). 2. Der Mittelpunkt ist \((-0{,}5+0{,}3):2=-0{,}1\). 3. Für den Vergleich gilt \(-\frac{1}{8}=-0{,}125\). 4. Auf der Zahlengeraden liegt \(-0{,}1\) rechts von \(-0{,}125\). Daher ist die gesuchte Zahl größer als \(-\frac{1}{8}\).

Antwort

Die Zahl in der Mitte ist \(-0{,}1\). Es gilt \(-0{,}1>-0{,}125=-\frac{1}{8}\).

4106276

Bestimme die natürliche Zahl \(n\), für die die folgende Gleichung wahr ist: \(n^2 - 2^5 = 112 + 5^2\)

Denkanstöße

- Vereinfache zuerst beide Seiten der Gleichung so weit wie möglich, indem du die Potenzen ausrechnest. - Wie kannst du eine Zahl auf die andere Seite der Gleichung bringen? - Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert das Ergebnis auf der rechten Seite?

Lösung

1. Bekannte Potenzen berechnen: \(2^5 = 32\) und \(5^2 = 25\). 2. Die rechte Seite der Gleichung zusammenfassen: \(112 + 25 = 137\). 3. Die Gleichung aufstellen: \(n^2 - 32 = 137\). 4. Umstellen nach \(n^2\): \(n^2 = 137 + 32 = 169\). 5. Da \(13 \cdot 13 = 169\) gilt und \(n\) eine natürliche Zahl ist, folgt \(n = 13\).

Antwort

\(n = 13\)

4106386

Bestimme die Zahl, die in das Kästchen \(\Box\) eingesetzt werden muss, damit die Gleichung korrekt ist. a) \(5\frac{1}{2} - \Box = 2\frac{3}{4}\) b) \((\Box + 1\frac{1}{3}) - 2\frac{1}{6} = 3\)

Denkanstöße

- Nutze die passende Umkehraufgabe, um den fehlenden Wert zu bestimmen. - Bringe gemischte Zahlen erst dann auf einen gemeinsamen Nenner, wenn du die richtige Rückwärtsrechnung festgelegt hast. - Prüfe beide Werte durch Einsetzen.

Lösung

1. Im ersten Fall ist der gesuchte Subtrahend \(5\frac{1}{2} - 2\frac{3}{4}\). Mit Vierteln ergibt sich \(5\frac{2}{4} - 2\frac{3}{4} = 4\frac{6}{4} - 2\frac{3}{4} = 2\frac{3}{4}\). 2. Im zweiten Fall muss zunächst \(\Box + 1\frac{1}{3} = 3 + 2\frac{1}{6} = 5\frac{1}{6}\) gelten. Daher ist \(\Box = 5\frac{1}{6} - 1\frac{1}{3} = 5\frac{1}{6} - 1\frac{2}{6} = 3\frac{5}{6}\).

Antwort

a) \(2\frac{3}{4}\) b) \(3\frac{5}{6}\)

4106596

Die Symbole \(\triangle\) und \(\square\) stehen für natürliche Zahlen größer als Null. In den vorkommenden Brüchen ist der Zähler stets kleiner als der Nenner. Finde alle Paare \((\triangle, \square)\), die die folgende Gleichung erfüllen: \(1\frac{\triangle}{5} + \frac{2}{\square} = 2\)

Denkanstöße

- Welche Werte kann \(\triangle\) überhaupt annehmen, wenn der Zähler kleiner als der Nenner sein muss? - Versuche, die Gleichung so umzustellen, dass der Bruch mit \(\square\) alleine auf einer Seite steht. - Was muss für \(\square\) gelten, damit \(\frac{2}{\square}\) ein echter Bruch ist? - Setze nacheinander die möglichen Werte für \(\triangle\) ein und prüfe, ob für \(\square\) eine natürliche Zahl herauskommt.

Lösung

1. Aus der Bedingung „Zähler kleiner als Nenner“ für \(1\frac{\triangle}{5}\) folgt \(\triangle \in \{1, 2, 3, 4\}\). 2. Aus der Bedingung für \(\frac{2}{\square}\) folgt \(\square > 2\). 3. Umstellen der Gleichung nach \(\frac{2}{\square}\): \(\frac{2}{\square} = 2 - 1\frac{\triangle}{5} = 1 - \frac{\triangle}{5} = \frac{5-\triangle}{5}\). 4. Fallprüfung für \(\triangle\): - Wenn \(\triangle = 1\): \(\frac{2}{\square} = \frac{4}{5} \implies \square = \frac{10}{4} = 2{,}5\) (keine natürliche Zahl). - Wenn \(\triangle = 2\): \(\frac{2}{\square} = \frac{3}{5} \implies \square = \frac{10}{3} \approx 3{,}33\) (keine natürliche Zahl). - Wenn \(\triangle = 3\): \(\frac{2}{\square} = \frac{2}{5} \implies \square = 5\). Dies ist eine natürliche Zahl und erfüllt \(\square > 2\). - Wenn \(\triangle = 4\): \(\frac{2}{\square} = \frac{1}{5} \implies \square = 10\). Dies ist eine natürliche Zahl und erfüllt \(\square > 2\).

Antwort

Die Lösungen für \((\triangle, \square)\) sind \((3, 5)\) und \((4, 10)\).

4106726

Bestimme die Platzhalter \(\square\) so, dass die Gleichungen stimmen. a) \(\square + 12{,}45 = 30{,}1\) b) \(45{,}6 - \square = 12{,}78\) c) \((\square + 2{,}5) - 1{,}2 = 5{,}8\)

Denkanstöße

- Bestimme bei jeder Gleichung, welche Rechenoperation zuletzt auf den unbekannten Wert wirkt. - Arbeite bei der zweistufigen Aufgabe von außen nach innen zurück. - Prüfe deine Ergebnisse durch Einsetzen.

Lösung

1. Der fehlende Summand im ersten Term ist \(30{,}1 - 12{,}45 = 17{,}65\). 2. Der fehlende Subtrahend im zweiten Term ist \(45{,}6 - 12{,}78 = 32{,}82\). 3. Im dritten Term muss zunächst \(\square + 2{,}5 = 5{,}8 + 1{,}2 = 7\) gelten. Daher ist \(\square = 7 - 2{,}5 = 4{,}5\).

Antwort

a) \(17{,}65\) b) \(32{,}82\) c) \(4{,}5\)

4106776

Gegeben sind drei Gleichungen. Überprüfe rechnerisch, ob sie alle die gleiche Lösung für \(x\) besitzen. 1) \(x + \frac{1}{2} = 0{,}75\) 2) \(\frac{5}{6} - x = \frac{7}{12}\) 3) \(x - \frac{1}{8} = 0{,}125\)

Denkanstöße

- Löse jede Gleichung zunächst unabhängig nach \(x\) auf. - Bringe die drei Ergebnisse anschließend in dieselbe Darstellung. - Erst dann kannst du sicher entscheiden, ob die Lösungen übereinstimmen.

Lösung

1. Aus der ersten Gleichung folgt \(x=0{,}75-0{,}5=0{,}25\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(x=\frac{5}{6}-\frac{7}{12}=\frac{10}{12}-\frac{7}{12}=\frac{1}{4}=0{,}25\). 3. Aus der dritten Gleichung folgt \(x=0{,}125+\frac{1}{8}=0{,}125+0{,}125=0{,}25\). 4. Damit besitzen alle drei Gleichungen dieselbe Lösung.

Antwort

1) \(x=0{,}75-0{,}5=0{,}25\) 2) \(x=\frac{10}{12}-\frac{7}{12}=\frac{1}{4}=0{,}25\) 3) \(x=0{,}125+0{,}125=0{,}25\) Ja, alle drei Gleichungen haben dieselbe Lösung \(x=0{,}25=\frac{1}{4}\).

4107256

Gegeben ist die Gleichung \(\frac{5}{\square} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}\). Berechne den Wert im Kästchen. Erkläre dein Vorgehen, indem du die bekannten Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringst.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst, welchen Wert der unbekannte Bruch insgesamt haben muss. - Bringe die beiden bekannten Brüche dafür auf einen gemeinsamen Nenner. - Vergleiche anschließend äquivalente Brüche mit demselben Zähler.

Lösung

1. Der unbekannte Bruch muss \(\frac{1}{12}+\frac{1}{4}\) entsprechen. 2. Mit Nenner \(12\) gilt \(\frac{1}{12}+\frac{3}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\). 3. Damit muss \(\frac{5}{\square}=\frac{1}{3}\) gelten. Erweitert man \(\frac{1}{3}\) mit \(5\), erhält man \(\frac{5}{15}\). 4. Also gehört \(15\) in das Kästchen.

Antwort

\(\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{12}+\frac{3}{12}=\frac{1}{3}\). Daher muss \(\frac{5}{\square}=\frac{5}{15}\) gelten, also \(\square=15\).

4107266

Bestimme für die folgende Gleichung mindestens zwei verschiedene Möglichkeiten, die Kästchen mit natürlichen Zahlen ohne die Null zu füllen: \(\frac{\square}{10} + \frac{\square}{5} = 0{,}7\) Überprüfe deine Lösungen jeweils durch eine Probe.

Denkanstöße

- Bringe beide Brüche auf den Nenner \(10\). - Probiere für das zweite Kästchen kleine positive natürliche Zahlen systematisch aus. - Prüfe jedes gefundene Paar in der ursprünglichen Gleichung.

Lösung

1. Schreibe \(0{,}7=\frac{7}{10}\) und erweitere den zweiten Bruch auf den Nenner \(10\). 2. Für das zweite Kästchen \(1\) ergibt sich \(\frac{5}{10}+\frac{1}{5}=\frac{5}{10}+\frac{2}{10}=\frac{7}{10}\). Das Paar ist \((5,1)\). 3. Für das zweite Kästchen \(2\) ergibt sich \(\frac{3}{10}+\frac{2}{5}=\frac{3}{10}+\frac{4}{10}=\frac{7}{10}\). Das Paar ist \((3,2)\). 4. Für das zweite Kästchen \(3\) ergibt sich \(\frac{1}{10}+\frac{3}{5}=\frac{1}{10}+\frac{6}{10}=\frac{7}{10}\). Das Paar ist \((1,3)\).

Antwort

Zum Beispiel: \((5,1)\): \(\frac{5}{10}+\frac{1}{5}=\frac{7}{10}=0{,}7\) \((3,2)\): \(\frac{3}{10}+\frac{2}{5}=\frac{7}{10}=0{,}7\) Ebenfalls möglich ist \((1,3)\): \(\frac{1}{10}+\frac{3}{5}=\frac{7}{10}=0{,}7\).

4107276

In einem Bücherregal ist genau \(\frac{1}{3}\) der Plätze mit Büchern belegt. Nachdem \(12\) weitere Bücher in das Regal gestellt wurden, ist es genau zur Hälfte gefüllt. Berechne, wie viele Bücher insgesamt in das Regal passen, wenn alle Plätze belegt sind.

Denkanstöße

- Welchen Bruchteil des ganzen Regals stellen die zusätzlich eingeräumten Bücher dar? - Bestimme dazu die Differenz zwischen dem neuen und dem alten Füllstand. - Schließe von diesem bekannten Bruchteil auf das Ganze.

Lösung

1. Die \(12\) neu hinzukommenden Bücher entsprechen genau dem Unterschied zwischen einer halben und einer drittel Regalfüllung. 2. Dieser Unterschied ist \(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\) des gesamten Regals. 3. Wenn \(\frac{1}{6}\) des Regals \(12\) Bücher entspricht, passen insgesamt \(6 \cdot 12 = 72\) Bücher hinein.

Antwort

Insgesamt passen \(72\) Bücher in das Regal.

4108226

Gesucht ist ein Bruch, der zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt: 1. Sein Produkt mit \(\frac{2}{3}\) ist größer als \(1\). 2. Sein Produkt mit \(\frac{2}{3}\) ist kleiner als \(\frac{3}{2}\). Gib einen solchen Bruch an und zeige durch Rechnung, dass er beide Bedingungen erfüllt.

Denkanstöße

- Schätze zuerst, ob der gesuchte Faktor eher kleiner oder größer als \(1\) sein muss. - Probiere einen einfachen Bruch und berechne sein Produkt mit \(\frac{2}{3}\). - Prüfe danach beide vorgegebenen Grenzen ausdrücklich.

Lösung

1. Probiere einen einfachen Faktor, dessen Größe plausibel ist. Der Faktor \(1\) ist zu klein, denn \(1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} < 1\). 2. Mit dem Bruch \(\frac{2}{1}\) ergibt sich \(\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\). 3. Vergleiche mit den Grenzen: \(1 = \frac{3}{3} < \frac{4}{3}\) und \(\frac{4}{3} = \frac{8}{6} < \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\). Damit erfüllt \(\frac{2}{1}\) beide Bedingungen.

Antwort

Ein möglicher Bruch ist \(\frac{2}{1}\). Sein Produkt mit \(\frac{2}{3}\) ist \(\frac{4}{3}\), und es gilt \(1 < \frac{4}{3} < \frac{3}{2}\).

4108386

Bestimme die fehlende Zahl \(\square\) in den folgenden Gleichungen. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch oder als ganze Zahl an. a) \(\frac{5}{6} \cdot \square = \frac{1}{3}\) b) \(\frac{3}{4} : \square = \frac{9}{8}\) c) \(\frac{2}{5} + \square : 2 = \frac{7}{10}\) d) \(\square \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{5} : \frac{6}{5}\)

Denkanstöße

- Kannst du die Gleichung so umstellen, dass die gesuchte Zahl allein auf einer Seite steht? - Welche Rechenoperation macht eine Division oder Multiplikation rückgängig? - Denk daran, dass man durch einen Bruch dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. - Bei Aufgaben mit mehreren Rechenschritten: Welche Operation musst du zuerst „rückwärts“ rechnen? - Vereinfache zuerst eine Seite der Gleichung, wenn dort kein Platzhalter steht.

Lösung

1. Berechnung von a): Um den Faktor zu finden, dividiert man das Produkt durch den bekannten Faktor: \(\square = \frac{1}{3} : \frac{5}{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}\). 2. Berechnung von b): Um den Divisor zu finden, dividiert man den Dividenden durch den Quotienten: \(\square = \frac{3}{4} : \frac{9}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}\). 3. Berechnung von c): Zuerst wird der Summand isoliert: \(\square : 2 = \frac{7}{10} - \frac{2}{5} = \frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3}{10}\). Dann wird nach der Zahl aufgelöst: \(\square = \frac{3}{10} \cdot 2 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\). 4. Berechnung von d): Zuerst wird die rechte Seite berechnet: \(\frac{4}{5} : \frac{6}{5} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Die Gleichung lautet nun \(\square \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\). Daraus folgt \(\square = \frac{2}{3} : \frac{2}{3} = 1\).

Antwort

a) \(\frac{2}{5}\) b) \(\frac{2}{3}\) c) \(\frac{3}{5}\) d) \(1\)

4108416

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen: a) \(x \cdot 2\frac{2}{3} = -1\frac{1}{9}\) b) \(4\frac{1}{2} : x = \frac{3}{4}\) c) \(x : \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -16\) d) \(\frac{\frac{2}{5}}{\frac{4}{15}} : x = 2\frac{1}{2}\)

Denkanstöße

- Bestimme in jeder Gleichung zuerst, welche Größe fehlt: Faktor, Dividend oder Divisor. - Wandle gemischte Zahlen vor den Bruchrechnungen in unechte Brüche um. - Berechne feste Potenzen oder Doppelbrüche, bevor du die fehlende Zahl rückwärts bestimmst.

Lösung

1. Im ersten Fall ist \(-1\frac{1}{9} = -\frac{10}{9}\) und \(2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}\). Daher ist \(x = -\frac{10}{9} : \frac{8}{3} = -\frac{5}{12}\). 2. Im zweiten Fall ist \(4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}\). Der fehlende Divisor ist \(\frac{9}{2} : \frac{3}{4} = 6\). 3. Zuerst gilt \(\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}\). Aus \(x : \left(-\frac{1}{8}\right) = -16\) folgt \(x = -16 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = 2\). 4. Der Doppelbruch ist \(\frac{2}{5} : \frac{4}{15} = \frac{3}{2}\). Damit muss \(\frac{3}{2} : x = \frac{5}{2}\) gelten, also \(x = \frac{3}{2} : \frac{5}{2} = \frac{3}{5}\).

Antwort

a) \(x = -\frac{5}{12}\) b) \(x = 6\) c) \(x = 2\) d) \(x = \frac{3}{5}\)

4108456

Löse die folgende Gleichung nach \(x\) auf: \(x : \left(-2 \frac{1}{2}\right) = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{5}{8}}\)

Denkanstöße

- Vereinfache zuerst die Seite der Gleichung, auf der kein \(x\) steht. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation. - Wie geht man mit einem Doppelbruch um?

Lösung

1. Vereinfachung der rechten Seite: \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\). Der Doppelbruch ergibt \(\frac{1}{4} : \frac{5}{8} = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}\). 2. Umstellung der Gesamtgleichung nach \(x\): \(x = \frac{2}{5} \cdot \left(-2 \frac{1}{2}\right)\). Umwandlung: \(-2 \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}\). 3. Endrechnung: \(x = \frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{10}{10} = -1\).

Antwort

\(x = -1\)

4108566

Ein unbekannter Bruch wird mit \(\frac{5}{6}\) multipliziert, was das Ergebnis \(\frac{5}{12}\) liefert. Sarah behauptet: „Wenn man diesen unbekannten Bruch durch \(\frac{1}{4}\) teilt, ist das Ergebnis \(4\).“ Hat Sarah recht? Begründe deine Antwort.

Denkanstöße

- Berechne zuerst den unbekannten Bruch, indem du das Ergebnis durch den gegebenen Faktor teilst. - Nutze für die Division von Brüchen immer den Kehrwert des zweiten Bruchs. - Vergleiche am Ende dein berechnetes Ergebnis mit dem Wert, den Sarah genannt hat.

Lösung

1. Bestimmung der unbekannten Zahl \(x\) durch die Umkehroperation: \(x = \frac{5}{12} : \frac{5}{6}\). 2. Durchführung der Division mit dem Kehrwert: \(x = \frac{5}{12} \cdot \frac{6}{5} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}\). 3. Prüfung von Sarahs Behauptung durch Division von \(\frac{1}{2}\) durch \(\frac{1}{4}\): \(\frac{1}{2} : \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = \frac{4}{2} = 2\). 4. Vergleich: Sarah behauptet \(4\), das tatsächliche Ergebnis ist jedoch \(2\).

Antwort

Nein, Sarah hat nicht recht. Der unbekannte Bruch ist \(\frac{1}{2}\). Wenn man \(\frac{1}{2}\) durch \(\frac{1}{4}\) dividiert, erhält man \(2\) und nicht \(4\).

4109076

Bestimme die fehlende Zahl, sodass die Gleichung stimmt: a) \(\dots : 0{,}3 = 20\) b) \(1{,}8 : \dots = 9\) c) \(0{,}75 : 0{,}25 = 7{,}5 : \dots\) d) \(0{,}04 : 0{,}008 = \dots : 8\)

Denkanstöße

- Berechne bei den Gleichungen mit zwei Quotienten zuerst die Seite, auf der beide Zahlen bekannt sind. - Bestimme anschließend den fehlenden Dividend oder Divisor mit einer Umkehroperation. - Kontrolliere, dass beide Seiten der Gleichung denselben Quotienten ergeben.

Lösung

1. Im ersten Term ist die fehlende Zahl \(20 \cdot 0{,}3 = 6\). 2. Im zweiten Term ist der fehlende Divisor \(1{,}8 : 9 = 0{,}2\). 3. Im dritten Term ergibt die linke Seite \(0{,}75 : 0{,}25 = 3\). Daher muss \(7{,}5\) durch die gesuchte Zahl ebenfalls \(3\) ergeben; die gesuchte Zahl ist \(7{,}5 : 3 = 2{,}5\). 4. Im vierten Term ergibt die linke Seite \(0{,}04 : 0{,}008 = 5\). Rechts muss daher eine Zahl stehen, die durch \(8\) ebenfalls \(5\) ergibt; das ist \(5 \cdot 8 = 40\).

Antwort

a) \(6\) b) \(0{,}2\) c) \(2{,}5\) d) \(40\)

4109326

Bestimme den Wert der Platzhalter, sodass die Gleichungen korrekt sind. a) \(0{,}0007 \cdot 10^4 = \dots \cdot 10^2\) b) \(15{,}2 : 10^3 = 0{,}152 : \dots\) c) \(10^2 : 8{,}5 = 10^4 : \dots\)

Denkanstöße

- Berechne zunächst die vollständig bekannte Seite einer Gleichung. - Beobachte bei gleichen Quotienten, wie Dividend und Divisor gemeinsam skaliert werden müssen. - Nutze die Bedeutung der Zehnerpotenzen, statt einen neuen Buchstaben für den Platzhalter einzuführen.

Lösung

1. Die linke Seite von a) ist \(0{,}0007 \cdot 10^4 = 7\). Rechts muss daher die gesuchte Zahl mit \(100\) ebenfalls \(7\) ergeben; der Platzhalter ist \(7 : 100 = 0{,}07\). 2. In b) gilt \(15{,}2 : 1000 = 0{,}0152\). Damit \(0{,}152\) denselben Quotienten ergibt, muss durch \(10\) geteilt werden. 3. Von \(10^2\) zu \(10^4\) wird der Dividend mit \(100\) multipliziert. Damit der Quotient gleich bleibt, muss auch der Divisor mit \(100\) multipliziert werden: \(8{,}5 \cdot 100 = 850\).

Antwort

a) \(0{,}07\) b) \(10\) c) \(850\)

4111706

Eine Saftflasche wird geleert. Zuerst werden \(\frac{1}{4}\) des Inhalts in ein Glas gegossen. Von dem Rest werden \(\frac{2}{3}\) in eine Karaffe gefüllt. In der Flasche bleiben genau \(150\,\text{ml}\) zurück. Wie viel Milliliter Saft waren anfangs in der Flasche?

Denkanstöße

- Was bleibt übrig, nachdem der erste Teil entnommen wurde? - Wie viel ist ein Bruchteil von einem Rest? Multipliziere die Brüche. - Welcher Bruchteil der Flasche ist am Ende noch gefüllt? - Wenn du weißt, welcher Bruchteil \(150\,\text{ml}\) sind, wie kommst du dann auf das Ganze?

Lösung

1. Anteil des Rests nach dem ersten Glas: \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) 2. Anteil der Karaffe am Gesamtinhalt: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\) 3. Verbleibender Anteil in der Flasche: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}\) 4. Berechnung des Gesamtvolumens: Da \(\frac{1}{4}\) des Inhalts \(150\,\text{ml}\) entsprechen, ist der Gesamtinhalt \(150\,\text{ml} \cdot 4 = 600\,\text{ml}\)

Antwort

In der Flasche waren anfangs \(600\,\text{ml}\) Saft.

4111716

Ein Regenfass ist teilweise gefüllt. Für die Bewässerung von Blumenbeeten werden \(\frac{3}{10}\) des Wassers entnommen. Die Hälfte des danach verbleibenden Wassers wird für einen kleinen Teich genutzt. Nach dieser Entnahme sind noch \(21\,\text{l}\) im Fass. Berechne das ursprüngliche Volumen des Wassers im Fass in Litern und gib das Ergebnis auch in \(\text{dm}^3\) an.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst, welcher Anteil nach der ersten Entnahme übrig bleibt. - Verfolge dann, welcher Anteil des ursprünglichen Wassers nach der zweiten Entnahme noch vorhanden ist. - Schließe vom bekannten Restvolumen zunächst auf einen kleinen Bruchteil und von dort auf das Ganze. - Beachte den direkten Zusammenhang zwischen Litern und Kubikdezimetern.

Lösung

1. Nach der ersten Entnahme bleiben \(1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}\) der ursprünglichen Wassermenge. 2. Von diesem Rest wird die Hälfte entnommen, also bleibt wiederum die andere Hälfte von \(\frac{7}{10}\): \(\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{10} = \frac{7}{20}\) der ursprünglichen Menge. 3. Diese \(\frac{7}{20}\) entsprechen \(21\,\text{l}\). Daher entspricht \(\frac{1}{20}\) genau \(21\,\text{l} : 7 = 3\,\text{l}\). 4. Das Ganze sind \(20 \cdot 3\,\text{l} = 60\,\text{l}\). Weil \(1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3\), gilt auch \(60\,\text{l} = 60\,\text{dm}^3\).

Antwort

Das ursprüngliche Volumen betrug \(60\,\text{l} = 60\,\text{dm}^3\).

4111726

Ein Farbeimer wird für Renovierungsarbeiten genutzt. Für die erste Wand wird \(\frac{2}{9}\) der Farbe verbraucht. Von der restlichen Farbe im Eimer werden \(\frac{3}{7}\) für die zweite Wand benötigt. Es bleiben am Ende genau \(1200\,\text{ml}\) Farbe im Eimer übrig. Wie viele Liter Farbe waren ursprünglich im Eimer?

Denkanstöße

- Berechne schrittweise, welcher Anteil der ursprünglichen Farbe nach jeder Wand noch übrig ist. - Kürze beim Multiplizieren der Brüche, um die Rechnung zu vereinfachen. - Achte am Ende genau auf die Maßeinheit, die in der Frage verlangt wird. - Wie viele Milliliter ergeben einen Liter?

Lösung

1. Anteil der restlichen Farbe nach der ersten Wand: \(1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\) 2. Anteil der Farbe für die zweite Wand bezogen auf die Gesamtmenge: \(\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\) 3. Verbleibender Anteil im Eimer: \(\frac{7}{9} - \frac{3}{9} = \frac{4}{9}\) 4. Berechnung der Gesamtmenge in Millilitern: \(\frac{4}{9}\) entsprechen \(1200\,\text{ml}\). Ein Neuntel ist \(1200\,\text{ml} : 4 = 300\,\text{ml}\). Die Gesamtmenge (\(\frac{9}{9}\)) ist \(300\,\text{ml} \cdot 9 = 2700\,\text{ml}\). 5. Umrechnung in Liter: \(2700\,\text{ml} = 2{,}7\,\text{l}\)

Antwort

Ursprünglich waren \(2{,}7\,\text{l}\) Farbe im Eimer.

4112646

Gegeben sind die rationalen Zahlen \(-\frac{2}{5}\) und \(0{,}4\). a) Berechne das Produkt dieser beiden Zahlen. b) Durch welche Zahl muss man dieses Produkt dividieren, um \(-1\) zu erhalten? c) Addiere \(0{,}2\) zum Produkt aus a). Mit welcher Zahl muss man diese Summe multiplizieren, um \(1\) zu erhalten?

Denkanstöße

- Wähle zwischen Bruch- und Dezimaldarstellung so, dass der jeweilige Schritt einfach wird. - Prüfe bei b) durch Einsetzen, welcher Divisor den Quotienten \(-1\) erzeugt. - Suche bei c) nach dem Kehrwert der entstandenen positiven Zahl.

Lösung

1. Das Produkt ist \(-\frac{2}{5} \cdot 0{,}4 = -0{,}4 \cdot 0{,}4 = -0{,}16\). 2. Gesucht ist ein Divisor, bei dem \(-0{,}16\) geteilt durch diesen Wert \(-1\) ergibt. Dieser Divisor ist \(0{,}16\), denn \(-0{,}16 : 0{,}16 = -1\). 3. Die Summe aus dem Produkt und \(0{,}2\) ist \(-0{,}16 + 0{,}2 = 0{,}04\). 4. Da \(0{,}04 = \frac{1}{25}\), muss mit dem Kehrwert \(25\) multipliziert werden, um \(1\) zu erhalten.

Antwort

a) \(-0{,}16\) oder \(-\frac{4}{25}\) b) \(0{,}16\) oder \(\frac{4}{25}\) c) \(25\)

4112656

Zwei rationale Zahlen haben das Produkt \( 1 \). Eine der beiden Zahlen ist \( -2\frac{1}{2} \). a) Bestimme die zweite Zahl. b) Berechne die Summe dieser beiden Zahlen. Ist das Ergebnis positiv oder negativ? c) Angenommen, du dividierst die größere der beiden Zahlen durch die kleinere. Welches Vorzeichen hat das Ergebnis? Begründe kurz, ohne das genaue Ergebnis zu berechnen.

Denkanstöße

- Wenn das Produkt zweier Zahlen positiv ist, was sagt das über deren Vorzeichen aus? - Wie findet man die Zahl, die mit einer anderen multipliziert 1 ergibt? - Vergleiche die Positionen der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden, um die größere Zahl zu bestimmen.

Lösung

1. Bestimmung der zweiten Zahl: Das Produkt zweier Zahlen ist \( 1 \), wenn sie Kehrwerte voneinander sind. \( -2\frac{1}{2} = -\frac{5}{2} \). Der Kehrwert ist \( -\frac{2}{5} \) (oder \( -0{,}4 \)). 2. Berechnung der Summe: \( -2{,}5 + (-0{,}4) = -2{,}9 \). Das Ergebnis ist negativ. 3. Analyse des Vorzeichens: Da das Produkt der beiden Zahlen \( 1 \) (positiv) ist, müssen beide Zahlen das gleiche Vorzeichen haben. Da eine Zahl negativ ist, muss auch die andere negativ sein. Die Division zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen ergibt immer ein positives Vorzeichen.

Antwort

a) \( -\frac{2}{5} \) (oder \( -0{,}4 \)) b) \( -2{,}9 \); das Ergebnis ist negativ. c) Das Vorzeichen ist positiv, da beide Zahlen negativ sind und die Division zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen ein positives Ergebnis liefert.

4112866

Vervollständige die Gleichungen, indem du die fehlende Basis oder den fehlenden Exponenten einsetzt. Gib bei a) alle möglichen rationalen Basen an. a) \((\dots)^2=0{,}49\) b) \((\frac{1}{3})^{\dots}=\frac{1}{81}\) c) \((\dots)^3=0{,}008\) d) \(1{,}1^2=\dots\)

Denkanstöße

- Welche Zahlen ergeben quadriert \(0{,}49\)? Denke auch an eine negative Basis. - Wie oft muss \(\frac{1}{3}\) mit sich selbst multipliziert werden, damit der Nenner \(81\) entsteht? - Achte bei Dezimalzahlen auf die Anzahl der Nachkommastellen.

Lösung

1. a) Sowohl \(0{,}7^2=0{,}49\) als auch \((-0{,}7)^2=0{,}49\). Daher sind \(0{,}7\) und \(-0{,}7\) möglich. 2. b) \(3^4=81\), also \((\frac{1}{3})^4=\frac{1}{81}\). 3. c) \(0{,}2^3=0{,}008\), also ist die Basis \(0{,}2\). 4. d) \(1{,}1 \cdot 1{,}1=1{,}21\).

Antwort

a) \(0{,}7\) oder \(-0{,}7\) b) \(4\) c) \(0{,}2\) d) \(1{,}21\)

4113036

Das Produkt dreier rationaler Zahlen ergibt \(0{,}6\). Prüfe bei den folgenden Aussagen, ob sie möglich sind und begründe deine Entscheidung. a) Einer der Faktoren ist eine periodische Dezimalzahl. b) Alle drei Faktoren sind ganze Zahlen. c) Genau einer der Faktoren ist negativ.

Denkanstöße

- Kannst du eine periodische Dezimalzahl als Bruch schreiben? - Was weißt du über das Ergebnis, wenn du nur ganze Zahlen miteinander malnimmst? - Wie viele negative Faktoren braucht man, damit ein Produkt am Ende positiv ist?

Lösung

1. Fall a): Möglich. Eine periodische Dezimalzahl wie \(0{,}\overline{3}\) entspricht dem Bruch \(\frac{1}{3}\). Wählt man z. B. \(0{,}\overline{3} \cdot 1{,}8 \cdot 1\), erhält man \(0{,}6\). 2. Fall b): Nicht möglich. Das Produkt von ganzen Zahlen ist immer eine ganze Zahl. Da \(0{,}6\) keine ganze Zahl ist, können nicht alle Faktoren ganzzahlig sein. 3. Fall c): Nicht möglich. Wenn genau ein Faktor negativ ist (und die anderen positiv), ist das Produkt negativ. Da \(0{,}6\) positiv ist, ist dies ausgeschlossen.

Antwort

a) Ja, z. B. \(0{,}\overline{3} \cdot 1{,}8 \cdot 1 = 0{,}6\). b) Nein, da \(0{,}6\) keine ganze Zahl ist. c) Nein, das Produkt wäre dann negativ.

4113686

Ein Zahlenrätsel lautet: 1. Denke dir eine Zahl. 2. Multipliziere sie mit \(0{,}5\). 3. Addiere \(4{,}2\) zum Ergebnis. 4. Multipliziere das neue Ergebnis mit \(4\). 5. Subtrahiere \(6{,}8\). Wenn am Ende die Zahl \(25\) herauskommt, welche Zahl wurde am Anfang gewählt?

Denkanstöße

- Kannst du die Rechnung vom Ende her Schritt für Schritt rückgängig machen? - Welche Rechenoperation ist jeweils das Gegenteil der genannten Anweisung? - Achte beim Rechnen mit Kommazahlen besonders auf die Stellenwerte.

Lösung

1. Rückwärtsrechnen vom Endergebnis \(25\): Den letzten Schritt (Subtraktion von \(6{,}8\)) umkehren: \(25 + 6{,}8 = 31{,}8\). 2. Den vorletzten Schritt (Multiplikation mit \(4\)) umkehren: \(31{,}8 : 4 = 7{,}95\). 3. Die Addition von \(4{,}2\) umkehren: \(7{,}95 - 4{,}2 = 3{,}75\). 4. Die Multiplikation mit \(0{,}5\) umkehren: \(3{,}75 : 0{,}5 = 7{,}5\). Die gedachte Zahl war \(7{,}5\).

Antwort

Die ursprüngliche Zahl war \(7{,}5\).

4116366

Bestimme die fehlende Zahl für das Kästchen \(\Box\), damit die jeweilige Gleichung korrekt ist. a) \(\frac{3}{4} \cdot \Box = 15\) b) \(\Box \cdot \frac{2}{5} = 10\) c) \(12 : \frac{\Box}{4} = 16\) d) \(\frac{7}{9} \cdot 18 = \Box\)

Denkanstöße

- Nutze Multiplikation und Division als Umkehroperationen. - Bestimme bei c) zuerst, welchen Wert der gesamte Divisor haben muss. - Prüfe anschließend, welcher Zähler den benötigten Bruch mit Nenner \(4\) erzeugt.

Lösung

1. Im ersten Fall ist der fehlende Faktor \(15 : \frac{3}{4} = 20\). 2. Im zweiten Fall ist der fehlende Faktor \(10 : \frac{2}{5} = 25\). 3. Im dritten Fall muss der Divisor \(12 : 16 = \frac{3}{4}\) sein. Daher gilt \(\frac{\Box}{4} = \frac{3}{4}\), also gehört \(3\) in das Kästchen. 4. Im vierten Fall gilt direkt \(\frac{7}{9} \cdot 18 = 14\).

Antwort

a) \(20\) b) \(25\) c) \(3\) d) \(14\)

4117126

Bestimme die fehlende Zahl im Kästchen \(\Box\), sodass die Gleichung korrekt ist: a) \(-3{,}4 + \Box = -1{,}2\) b) \(\Box - \frac{2}{3} = -\frac{1}{6}\) c) \(1{,}5 - (0{,}8 + \Box) = 0\)

Denkanstöße

- Nutze bei a) und b) passende Umkehroperationen. - Überlege bei c) zuerst, welchen Wert die gesamte Klammer haben muss. - Prüfe alle gefundenen Werte durch Einsetzen.

Lösung

1. Im ersten Fall ist der fehlende Summand \(-1{,}2 - (-3{,}4) = 2{,}2\). 2. Im zweiten Fall ist die gesuchte Zahl \(-\frac{1}{6} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{1}{2}\). 3. Im dritten Fall muss der Klammerausdruck \(1{,}5\) ergeben. Daher gilt \(0{,}8 + \Box = 1{,}5\), also \(\Box = 0{,}7\).

Antwort

a) \(2{,}2\) b) \(\frac{1}{2}\) oder \(0{,}5\) c) \(0{,}7\)

4117147

Löse die Gleichungen nach \(x\) auf: a) \(x - \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{2}{3} - \frac{1}{2}\) b) \(-0{,}75 - x = \frac{1}{8} + \left(-\frac{5}{8}\right)\)

Denkanstöße

- Vereinfache zuerst Doppelvorzeichen und die feste Seite der Gleichung. - Bringe Brüche vor dem Addieren oder Subtrahieren auf einen gemeinsamen Nenner. - Führe anschließend passende Äquivalenzumformungen auf beiden Seiten aus.

Lösung

1. In a) wird die linke Seite zu \(x + \frac{1}{6}\). Rechts gilt \(-\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{7}{6}\). Subtrahiere \(\frac{1}{6}\) auf beiden Seiten: \(x = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}\). 2. In b) ergibt die rechte Seite \(\frac{1}{8} - \frac{5}{8} = -\frac{1}{2} = -0{,}5\). Damit gilt \(-0{,}75 - x = -0{,}5\). Addiere \(0{,}75\): \(-x = 0{,}25\), also \(x = -0{,}25\).

Antwort

a) \(x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}\) b) \(x = -0{,}25 = -\frac{1}{4}\)

4117157

Löse die Gleichungen nach \(x\) auf. Vereinfache die Zahlen- und Klammerterme schrittweise. Gib jeweils die vereinfachte Gleichung unmittelbar vor dem Isolieren von \(x\) und die Lösung an. a) \(x+\frac{3}{10}=-0{,}5-(\frac15-0{,}4)\) b) \(-(-\frac23)=x-\frac14+(-\frac5{12})\)

Denkanstöße

- Vereinfache zunächst die reinen Zahlenterme, bevor du \(x\) verschiebst. - Achte in a) auf das Minus vor der Klammer. - Bringe in b) die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, um den konstanten Term rechts zusammenzufassen.

Lösung

1. a) In der Klammer ist \(\frac15-0{,}4=-0{,}2\), also rechts \(-0{,}5-(-0{,}2)=-0{,}3\). Damit \(x+0{,}3=-0{,}3\) und \(x=-0{,}6=-\frac35\). 2. b) Links ist \(\frac23\). Rechts ist \(x-\frac14-\frac5{12}=x-\frac23\). Damit \(\frac23=x-\frac23\), also \(x=\frac43\).

Antwort

a) \(x+0{,}3=-0{,}3\Rightarrow x=-0{,}6=-\frac35\). b) \(\frac23=x-\frac23\Rightarrow x=\frac43=1\frac13\).

4117416

Bestimme die Zahl, die in das Kästchen \(\square\) eingesetzt werden muss, damit die Rechnung korrekt ist: \((-12{,}4 + \square) : 0{,}5 = -10\)

Denkanstöße

- Kannst du die Aufgabe mithilfe einer Umkehraufgabe lösen? - Was muss als Ergebnis in der Klammer stehen, damit die Division durch \(0{,}5\) genau \(-10\) ergibt? - Stelle dir die Rechnung auf einer Zahlengeraden vor, um den fehlenden Wert zu finden.

Lösung

1. Umkehrung der Division durch Multiplikation der rechten Seite mit \(0{,}5\): \(-10 \cdot 0{,}5 = -5\). Somit gilt: \(-12{,}4 + \square = -5\). 2. Bestimmung des Platzhalters durch Addition von \(12{,}4\) zum Ergebnis: \(\square = -5 + 12{,}4 = 7{,}4\).

Antwort

\(7{,}4\)

4117836

Leonie löst eine Hausaufgabe zu rationalen Zahlen. Ihr Ergebnis für die Gleichung \(x - (-2{,}4) = -1{,}1\) ist \(x = -3{,}5\). Überprüfe Leonies Ergebnis, indem du die passende Umkehraufgabe formulierst und berechnest. Notiere die Umkehraufgabe und entscheide, ob Leonie richtig gerechnet hat.

Denkanstöße

- Wie macht man eine Rechenoperation rückgängig? - Was ist das Gegenteil davon, eine negative Zahl zu subtrahieren? - Vergleiche dein Ergebnis am Ende mit Leonies Behauptung.

Lösung

1. Aufstellen der Umkehraufgabe: Um \(x\) in der Gleichung \(x - (-2{,}4) = -1{,}1\) zu isolieren, muss die Gegenoperation zur Subtraktion von \(-2{,}4\) durchgeführt werden. Dies ist die Addition von \(-2{,}4\). 2. Berechnung: \(-1{,}1 + (-2{,}4) = -1{,}1 - 2{,}4 = -3{,}5\). 3. Vergleich: Das berechnete Ergebnis \(x = -3{,}5\) stimmt mit Leonies Ergebnis überein.

Antwort

Die Umkehraufgabe lautet \(-1{,}1 + (-2{,}4) = -3{,}5\). Leonie hat richtig gerechnet.

4117846

Ein Zahlenrätsel lautet: „Wenn ich zu einer gedachten Zahl zuerst \(-8\) addiere und vom Ergebnis anschließend \(14\) subtrahiere, erhalte ich \(-10\).“ Berechne die ursprüngliche Zahl, indem du schrittweise Umkehraufgaben bildest.

Denkanstöße

- Beginne beim gegebenen Endergebnis und gehe die Rechenschritte in umgekehrter Reihenfolge zurück. - Verwende zu jeder ursprünglichen Operation ihre Gegenoperation. - Prüfe die gefundene Zahl anschließend vorwärts mit der ursprünglichen Rechenvorschrift.

Lösung

1. Arbeite vom Ergebnis \(-10\) rückwärts. Die letzte Operation war die Subtraktion von \(14\); rückwärts wird daher \(14\) addiert: \(-10+14=4\). 2. Zuvor wurde \(-8\) addiert. Diese Operation wird rückwärts durch Subtraktion von \(-8\) aufgehoben: \(4-(-8)=12\). 3. Kontrolle: \(12+(-8)-14=-10\).

Antwort

Rückwärts: \(-10+14=4\), dann \(4-(-8)=12\). Die ursprüngliche Zahl ist \(12\).

4117976

Die Zahl \(0{,}5\) liegt auf der Zahlengeraden genau in der Mitte zwischen \(-3{,}5\) und einer gesuchten Zahl. Bestimme die gesuchte Zahl.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Abstand zwischen dem bekannten Endpunkt und dem Mittelpunkt. - Ein Mittelpunkt hat zu beiden Endpunkten denselben Abstand. - Gehe diesen Abstand vom Mittelpunkt aus in die entgegengesetzte Richtung.

Lösung

1. Der Abstand zwischen \(-3{,}5\) und dem Mittelpunkt \(0{,}5\) beträgt \(0{,}5-(-3{,}5)=4\). 2. Da \(0{,}5\) genau in der Mitte liegt, muss der andere Endpunkt denselben Abstand auf der gegenüberliegenden Seite haben. 3. Daher ist die gesuchte Zahl \(0{,}5+4=4{,}5\).

Antwort

\(4{,}5\)

4117996

Die Strecke auf der Zahlengeraden zwischen den Werten \(-1{,}2\) und \(2{,}4\) wird durch zwei Markierungen in drei exakt gleich lange Abschnitte unterteilt. Berechne die Zahlenwerte, an denen sich diese beiden Markierungen befinden.

Denkanstöße

- Wie weit liegen die beiden äußeren Zahlen auf der Zahlengeraden auseinander? - Wenn du eine Strecke in drei gleiche Teile teilen willst, wie lang ist dann ein Teil? - Wie findest du die Zwischenstationen, wenn du beim Startwert beginnst und immer um die gleiche Teilstrecke weitergehst?

Lösung

1. Berechnung der Gesamtlänge der Strecke durch Subtraktion: \(2{,}4 - (-1{,}2) = 3{,}6\). 2. Bestimmung der Länge eines einzelnen Abschnitts durch Division durch drei: \(3{,}6 : 3 = 1{,}2\). 3. Berechnung des ersten Teilungspunkts durch Addition der Abschnittslänge zum Startwert: \(-1{,}2 + 1{,}2 = 0\). 4. Berechnung des zweiten Teilungspunkts durch Addition der Abschnittslänge zum ersten Punkt: \(0 + 1{,}2 = 1{,}2\).

Antwort

\(0\) und \(1{,}2\)

4119016

Finde eine natürliche Zahl \(x\), für die alle folgenden Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind: 1. Die Zahl liegt zwischen 30 und 50 (\(30<x<50\)). 2. Die Zahl \(x\) ist ein Vielfaches von 3. 3. Die Anzahl der Teiler von \(x\) ist genau 6. Gib die gesuchte Zahl an und begründe dein Ergebnis, indem du alle ihre Teiler auflistest.

Denkanstöße

- Schreibe zuerst alle Vielfachen von \(3\) im angegebenen Intervall auf. - Untersuche dann für diese kleine Kandidatenmenge systematisch die Teiler. - Nutze Teilerpaare, damit du beim Auflisten keinen Teiler übersiehst.

Lösung

1. Mögliche Vielfache von \(3\) im Bereich \(30<x<50\) sind \(33\), \(36\), \(39\), \(42\), \(45\) und \(48\). 2. Die Teileranzahlen sind: \(33\) hat 4 Teiler, \(36\) hat 9, \(39\) hat 4, \(42\) hat 8, \(45\) hat 6 und \(48\) hat 10 Teiler. 3. Für \(45\) lautet die vollständige Teilermenge \(\{1,3,5,9,15,45\}\). Daher erfüllt nur \(45\) alle Bedingungen.

Antwort

\(x=45\). Die Teiler sind \(1\), \(3\), \(5\), \(9\), \(15\) und \(45\); das sind genau sechs Teiler.

4121346

In den folgenden Rechnungen wurden Ziffern durch die Buchstaben \(a\) und \(b\) ersetzt. Bestimme in jeder Teilaufgabe neu, welche Ziffern (0 bis 9) jeweils eingesetzt werden müssen. a) \(4{,}a2 + 3{,}7b = 8{,}59\) b) \(12{,}b - a{,}5 = 8{,}7\)

Denkanstöße

- Gehe wie bei der schriftlichen Addition oder Subtraktion Stelle für Stelle vor. - Vergiss nicht, mögliche Überträge oder das „Entleihen“ von der nächsten Stelle zu berücksichtigen. - Jeder Buchstabe steht für genau eine Ziffer zwischen 0 und 9.

Lösung

1. Analyse von Aufgabe a): An der Hundertstelstelle gilt \(2 + b = 9\), woraus \(b = 7\) folgt. An der Zehntelstelle gilt \(a + 7 = 15\) (mit einem Übertrag von 1 zur Einerstelle), woraus \(a = 8\) folgt. Die Einerstellen bestätigen dies: \(1 (\text{Übertrag}) + 4 + 3 = 8\). 2. Analyse von Aufgabe b): An der Zehntelstelle muss gelten \(b - 5 = 7\). Da dies mit einer Ziffer nicht direkt möglich ist, muss eine Einheit von der Einerstelle entliehen werden: \(10 + b - 5 = 7\), also \(b + 5 = 7\), woraus \(b = 2\) folgt. 3. An der Einerstelle von Aufgabe b) verbleibt nach dem Entleihen \(1 - a = 8\). Dies erfordert das Entleihen von der Zehnerstelle: \(11 - a = 8\), woraus \(a = 3\) folgt. Die Zehnerstelle wird dadurch zu \(0\), was zum Ergebnis \(8{,}7\) passt.

Antwort

a) \(a = 8\), \(b = 7\) b) \(a = 3\), \(b = 2\)

4121556

Welche Ziffern (0 bis 9) können jeweils in das Kästchen \(\square\) eingesetzt werden, damit eine wahre Aussage entsteht? Gib für jede Teilaufgabe alle möglichen Ziffern an. a) \(-4{,}1\square > -4{,}15\) b) \(-0{,}\square7 < -0{,}4\) c) \(-8{,}2 < -8{,}\square1\)

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie die Beziehung für die positiven Beträge der Zahlen aussehen müsste. - Achtung: Bei negativen Zahlen dreht sich das Ungleichheitszeichen um, wenn man nur die Beträge betrachtet. - Ergänze bei Dezimalzahlen fehlende Endstellen mit Nullen, um die Stellenwerte besser vergleichen zu können (z. B. \(0{,}4\) als \(0{,}40\)).

Lösung

1. Für \(-4{,}1\square > -4{,}15\) muss der Betrag \(4{,}1\square\) kleiner als \(4{,}15\) sein. Dies ist für die Ziffern \(0, 1, 2, 3\) und \(4\) der Fall (da \(4{,}14 < 4{,}15\), aber \(4{,}15 = 4{,}15\)). 2. Für \(-0{,}\square7 < -0{,}4\) (entspricht \(-0{,}40\)) muss der Betrag \(0{,}\square7\) größer als \(0{,}40\) sein. Wenn \(\square = 4\), ist \(0{,}47 > 0{,}40\). Für alle Ziffern größer als \(4\) gilt dies ebenfalls. Die Lösung ist \(\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). 3. Für \(-8{,}2 < -8{,}\square1\) muss der Betrag \(8{,}2\) (oder \(8{,}20\)) größer als \(8{,}\square1\) sein. Setzt man \(\square = 1\) ein, ist \(8{,}20 > 8{,}11\) (wahr). Setzt man \(\square = 2\) ein, ist \(8{,}20 > 8{,}21\) (falsch). Somit sind nur die Ziffern \(0\) und \(1\) möglich.

Antwort

a) \(\square \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\) b) \(\square \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) c) \(\square \in \{0, 1\}\)

4121626

Vervollständige die Tabelle, indem du die fehlenden Werte für \(a\), \(b\) oder die Summe \(a + b\) berechnest. <table> <tr> <th style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(a\)</th> <th style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(b\)</th> <th style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(a + b\)</th> </tr> <tr> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(-4{,}5\)</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(2{,}1\)</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">?</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">?</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(-7{,}8\)</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(-3{,}2\)</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(\frac{3}{4}\)</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">?</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(-\frac{1}{8}\)</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Wenn das Ergebnis und ein Summand bekannt sind, wie findet man den anderen Summanden? - Überlege dir, welche Rechenoperation die Umkehrung der Addition ist. - Achte bei den Brüchen darauf, sie zuerst auf den gleichen Nenner zu bringen.

Lösung

1. Berechnung der Summe in Zeile 1: \(-4{,}5 + 2{,}1 = -2{,}4\). 2. Bestimmung von \(a\) in Zeile 2 durch Umkehrrechnung: \(a = -3{,}2 - (-7{,}8) = -3{,}2 + 7{,}8 = 4{,}6\). 3. Bestimmung von \(b\) in Zeile 3 durch Umkehrrechnung: \(b = -\frac{1}{8} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{8} - \frac{6}{8} = -\frac{7}{8}\).

Antwort

Zeile 1: \(a + b = -2{,}4\) Zeile 2: \(a = 4{,}6\) Zeile 3: \(b = -\frac{7}{8}\)

4121646

In die Kästchen der folgenden Ungleichungskette soll die gleiche Ziffer eingesetzt werden: \(0{,}\square 7 < 0{,}\square < 0{,}6\) Erkläre mathematisch, warum es nicht möglich ist, eine passende Ziffer zu finden.

Denkanstöße

- Untersuche zuerst nur den linken Teil der Ungleichungskette. - Schreibe \(0{,}\square\) mit einer zusätzlichen Null an der Hundertstelstelle. - Welche der beiden Zahlen ist dann an der ersten unterschiedlichen Stelle größer?

Lösung

1. Betrachte zuerst \(0{,}\square 7 < 0{,}\square\). 2. Schreibe die rechte Zahl als \(0{,}\square 0\). Einer- und Zehntelstelle sind dann gleich, aber in der Hundertstelstelle steht links \(7\) und rechts \(0\). 3. Deshalb gilt für jede Ziffer \(0{,}\square 7 > 0{,}\square 0\). Schon die erste Teilungleichung ist unmöglich, also hat die ganze Ungleichungskette keine Lösung.

Antwort

Es gibt keine passende Ziffer, weil stets \(0{,}\square 7 > 0{,}\square 0\) gilt.

4121656

Gegeben ist die folgende Ungleichung für rationale Zahlen, in der \(k\) für eine Ziffer steht: \(-k{,}6 < -3{,}4 < -k{,}2\) Bestimme alle Ziffern für \(k\), die die Ungleichungskette zu einer wahren Aussage machen.

Denkanstöße

- Zerlege die Kette in zwei einzelne Vergleiche. - Bei negativen Zahlen liegt die Zahl mit dem größeren Betrag weiter links. - Prüfe am Ende die gefundene Ziffer in der ursprünglichen Kette.

Lösung

1. Für die linke Ungleichung \(-k{,}6 < -3{,}4\) muss \(k{,}6 > 3{,}4\) gelten. Das ist für \(k \ge 3\) erfüllt. 2. Für die rechte Ungleichung \(-3{,}4 < -k{,}2\) muss \(3{,}4 > k{,}2\) gelten. Das ist für \(k \le 3\) erfüllt. 3. Beide Bedingungen sind gleichzeitig nur für \(k = 3\) erfüllt. Die Probe \(-3{,}6 < -3{,}4 < -3{,}2\) bestätigt das Ergebnis.

Antwort

Die einzige mögliche Ziffer ist \(k = 3\).

4121776

Bestimme die fehlende Zahl in den folgenden Rechnungen, sodass eine wahre Aussage entsteht: a) \(\Box - (-4{,}2) = -1{,}5\) b) \(2{,}5 - \Box = 6{,}1\) c) \(-\frac{7}{8} - \Box = -\frac{1}{4}\)

Denkanstöße

- Nutze die passende Umkehroperation, um die fehlende Zahl zu bestimmen. - Prüfe besonders das Vorzeichen, wenn eine negative Zahl subtrahiert wird. - Bringe die Brüche in c) auf denselben Nenner.

Lösung

1. In a) gilt \(\Box + 4{,}2 = -1{,}5\). Daher ist \(\Box = -1{,}5 - 4{,}2 = -5{,}7\). 2. In b) muss von \(2{,}5\) die Zahl \(-3{,}6\) subtrahiert werden, denn \(2{,}5 - (-3{,}6) = 6{,}1\). 3. In c) gilt \(-\frac{7}{8} - \Box = -\frac{2}{8}\). Daher ist \(\Box = -\frac{5}{8}\).

Antwort

a) \(-5{,}7\) b) \(-3{,}6\) c) \(-\frac{5}{8}\)

4121966

Gegeben ist die folgende Liste von Zahlen: \(0{,}7\); \(-0{,}3\); \(\frac{1}{5}\); \(-0{,}4\); \(0{,}1\); \(-0{,}5\) Wähle aus dieser Liste genau drei verschiedene Zahlen aus, deren Summe exakt \(0\) ergibt. Findest du zwei verschiedene Möglichkeiten?

Denkanstöße

- Wandle zuerst alle Brüche in Dezimalzahlen um, damit du sie besser vergleichen kannst. - Suche nach einer positiven Zahl und überlege, welche zwei anderen Zahlen zusammen ihre Gegenzahl ergeben könnten. - Probiere systematisch Kombinationen aus, die mit einer großen positiven oder einer großen negativen Zahl beginnen.

Lösung

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(\frac{1}{5} = 0{,}2\). 2. Überprüfung möglicher Kombinationen von drei Zahlen: - Erste Möglichkeit: \(0{,}7 + (-0{,}3) + (-0{,}4) = 0{,}4 - 0{,}4 = 0\). - Zweite Möglichkeit: \(0{,}2 + 0{,}1 + (-0{,}3) = 0{,}3 - 0{,}3 = 0\). 3. Die gesuchten Tripel sind also \(\{0{,}7; -0{,}3; -0{,}4\}\) und \(\{0{,}2; 0{,}1; -0{,}3\}\).

Antwort

Zwei mögliche Kombinationen sind: 1. \(0{,}7\), \(-0{,}3\) und \(-0{,}4\) (denn \(0{,}7 - 0{,}3 - 0{,}4 = 0\)) 2. \(\frac{1}{5}\) (bzw. \(0{,}2\)), \(0{,}1\) und \(-0{,}3\) (denn \(0{,}2 + 0{,}1 - 0{,}3 = 0\))

4121976

Du hast die folgenden sechs Zahlen zur Verfügung: \(1{,}2\); \(-0{,}5\); \(\frac{1}{4}\); \(-0{,}8\); \(0{,}1\); \(-0{,}2\) Wähle genau vier dieser Zahlen aus. Setze zwischen diese Zahlen jeweils ein Plus- oder ein Minuszeichen so ein, dass das Endergebnis der Rechnung genau \(0{,}5\) ist.

Denkanstöße

- Es hilft, zuerst alle Zahlen als Dezimalzahlen zu schreiben. - Überlege dir, ob das Ergebnis \(0{,}5\) eher durch Addition großer Werte oder durch Subtraktion erreicht werden kann. - Achte besonders auf das „Minus-Minus-Gesetz“ (Subtraktion einer negativen Zahl). - Versuche, die Zahlen erst einmal grob zu überschlagen, bevor du genau rechnest.

Lösung

1. Umwandlung des Bruchs: \(\frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Suche nach einer Kombination von vier Zahlen und passenden Vorzeichen: - Test von \(1{,}2\), \(-0{,}8\), \(0{,}1\) und \(-0{,}2\). - Berechnung: \(1{,}2 + (-0{,}8) - 0{,}1 - (-0{,}2) = 1{,}2 - 0{,}8 - 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}4 - 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5\). 3. Alternativ: \(1{,}2 - 0{,}8 - 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}5\).

Antwort

Eine mögliche Lösung ist: \(1{,}2 + (-0{,}8) - 0{,}1 - (-0{,}2) = 0{,}5\) (Dies entspricht der Rechnung: \(1{,}2 - 0{,}8 - 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}5\))

4121986

Gegeben sind sechs Kärtchen mit den folgenden Werten: \(1{,}2\); \(\frac{3}{10}\); \(-1{,}5\); \(0{,}8\); \(-0{,}2\); \(-\frac{3}{5}\) Teile diese sechs Kärtchen in zwei Gruppen zu je drei Kärtchen auf. Die Summe der Zahlen in der ersten Gruppe muss genau so groß sein wie die Summe der Zahlen in der zweiten Gruppe. Wie lautet die Aufteilung?

Denkanstöße

- Berechne zuerst die Summe aller sechs Zahlen. Wenn du weißt, wie groß das Ganze ist, weißt du auch, wie groß jede der beiden Hälften sein muss. - Vergiss nicht, die Brüche vorher umzuwandeln. - Gibt es in der Liste Zahlen, die sich gegenseitig fast aufheben?

Lösung

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(\frac{3}{10} = 0{,}3\) und \(-\frac{3}{5} = -0{,}6\). 2. Berechnung der Gesamtsumme aller Zahlen: \(1{,}2 + 0{,}3 + (-1{,}5) + 0{,}8 + (-0{,}2) + (-0{,}6) = 0 + 0 = 0\). 3. Da die Gesamtsumme \(0\) ist, müssen beide Dreiergruppen jeweils die Summe \(0\) haben, damit sie gleich groß sind. 4. Suche nach einer Dreiergruppe mit Summe \(0\): - Gruppe 1: \(1{,}2 + 0{,}3 + (-1{,}5) = 1{,}5 - 1{,}5 = 0\). 5. Die verbleibenden Zahlen bilden die zweite Gruppe: - Gruppe 2: \(0{,}8 + (-0{,}2) + (-0{,}6) = 0{,}6 - 0{,}6 = 0\). 6. Beide Gruppen haben die gleiche Summe (\(0\)).

Antwort

Die Aufteilung lautet: Gruppe 1: \(1{,}2\); \(\frac{3}{10}\) (oder \(0{,}3\)); \(-1{,}5\) (Summe ist \(0\)) Gruppe 2: \(0{,}8\); \(-0{,}2\); \(-\frac{3}{5}\) (oder \(-0{,}6\)) (Summe ist ebenfalls \(0\))

4122046

Gegeben ist die Zahlenmenge \(M = \{-8;\,0{,}125;\,-0{,}5;\,4\}\). a) Berechne das Produkt aus der kleinsten und der größten Zahl dieser Menge. b) Welche zwei verschiedenen Zahlen aus der Menge ergeben miteinander multipliziert genau \(-1\)? c) Welche zwei verschiedenen Zahlen aus der Menge ergeben das größte positive Produkt? Berechne dieses Produkt.

Denkanstöße

- Ordne die vier Zahlen zunächst nach ihrer Größe. - Nutze bei b) die Kehrwertidee und die Vorzeichenregel. - Vergleiche für c) alle möglichen positiven Produkte aus zwei verschiedenen Zahlen.

Lösung

1. Die kleinste Zahl ist \(-8\), die größte ist \(4\). Ihr Produkt ist \(-8 \cdot 4 = -32\). 2. Für das Produkt \(-1\) passt \(-8 \cdot 0{,}125 = -1\), weil \(0{,}125 = \frac{1}{8}\). 3. Positive Produkte verschiedener Zahlen entstehen hier aus gleichen Vorzeichen. Es gilt \((-8) \cdot (-0{,}5) = 4\) und \(0{,}125 \cdot 4 = 0{,}5\). Das größte positive Produkt ist daher \(4\).

Antwort

a) \(-32\) b) \(-8\) und \(0{,}125\) c) \(-8\) und \(-0{,}5\); Produkt \(4\)

4122066

Untersuche Produkte rationaler Zahlen und bestimme die gesuchten Werte: a) Mit welchem Faktor muss \(-2\) multipliziert werden, damit das Produkt \(1\) ist? b) Mit welchem Faktor muss \(0{,}1\) multipliziert werden, damit das Produkt \(1\) ist? c) Nenne ein Paar aus zwei Brüchen, deren Produkt genau \(1\) ergibt. d) Kann das Produkt von zwei verschiedenen rationalen Zahlen \(0\) ergeben? Wenn ja, gib ein Beispiel an.

Denkanstöße

- Für ein Produkt von \(1\) hilft die Idee des Kehrwerts. - Achte bei einem negativen bekannten Faktor auf das Vorzeichen des fehlenden Faktors. - Welche besondere Wirkung hat \(0\) bei einer Multiplikation?

Lösung

1. Der fehlende Faktor zu \(-2\) ist \(1 : (-2) = -\frac{1}{2}\). 2. Der fehlende Faktor zu \(0{,}1\) ist \(1 : 0{,}1 = 10\). 3. Ein Bruch und sein Kehrwert ergeben das Produkt \(1\), zum Beispiel \(\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = 1\). 4. Ein Produkt ist \(0\), sobald ein Faktor \(0\) ist. Zwei verschiedene rationale Zahlen können daher zum Beispiel \(0\) und \(7\) sein: \(0 \cdot 7 = 0\).

Antwort

a) \(-\frac{1}{2}\) b) \(10\) c) Zum Beispiel \(\frac{2}{5}\) und \(\frac{5}{2}\) d) Ja, zum Beispiel \(0\) und \(7\)

4122256

Löse die folgenden Zahlenrätsel im Bereich der rationalen Zahlen. a) Die Summe zweier ganzer Zahlen ist \(-3\). Ihr Produkt ist \(-10\). Wie heißen die beiden Zahlen? b) Das Produkt von drei verschiedenen ganzen Zahlen ist \(-12\). Gib eine mögliche Kombination dieser drei Zahlen an.

Denkanstöße

- Liste für a) die ganzzahligen Faktorpaare von \(-10\) auf und prüfe zusätzlich ihre Summe. - Achte bei b) sowohl auf das Vorzeichen des Produkts als auch auf die Bedingung „verschieden“. - Eine einzige gültige Dreierkombination genügt in b).

Lösung

1. Für das Produkt \(-10\) kommen ganzzahlige Faktorpaare mit unterschiedlichen Vorzeichen infrage. Von den Paaren \((1,-10)\), \((-1,10)\), \((2,-5)\) und \((-2,5)\) hat nur \(2 + (-5) = -3\) die verlangte Summe. 2. Für das Produkt \(-12\) ist zum Beispiel die Kombination \(1\), \(2\) und \(-6\) möglich, denn \(1 \cdot 2 \cdot (-6) = -12\) und alle drei Zahlen sind verschieden.

Antwort

a) \(2\) und \(-5\) b) Zum Beispiel \(1\), \(2\) und \(-6\)

4122656

Gegeben sind die vier Zahlenkarten \(-4\), \(-2\), \(6\) und \(8\). Stelle unter Verwendung aller vier Karten sowie der Rechenzeichen \(+\) und \(-\) einen Term auf, der den Wert \(0\) ergibt. Du darfst auch Klammern setzen. Findest du eine weitere Kombination derselben Karten, die den Wert \(12\) ergibt?

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie du aus den Beträgen der Zahlen (4, 2, 6, 8) die Zielzahl kombinieren kannst. - Achte besonders darauf: Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl. - Probiere aus, ob es hilft, die positiven und negativen Zahlen getrennt zu betrachten.

Lösung

1. Zielwert \(0\): Mögliche Kombination ist \(8 - 6 - (-2) + (-4)\). Berechnung: \(8 - 6 = 2\); \(2 + 2 = 4\); \(4 - 4 = 0\). 2. Zielwert \(12\): Mögliche Kombination ist \(8 + 6 - (-2) + (-4)\). Berechnung: \(8 + 6 = 14\); \(14 + 2 = 16\); \(16 - 4 = 12\).

Antwort

Eine Lösung für \(0\) ist: \(8 - 6 - (-2) + (-4) = 0\). Eine Lösung für \(12\) ist: \(8 + 6 - (-2) + (-4) = 12\).

4244887

Betrachte die folgenden allgemeinen Beziehungen mit rationalen Zahlen: a) Kann die Differenz \(x-y\) größer sein als \(x\)? Begründe deine Antwort oder gib ein passendes Beispiel an. b) Wenn \(a\) und \(b\) beide ungleich \(0\) sind, kann dann \(a:b\) den Wert \(0\) annehmen? c) Ist die Gegenzahl \(-x\) immer kleiner als \(x\)? Untersuche positive, negative und nullwertige Fälle.

Denkanstöße

- Prüfe in a), wie sich das Subtrahieren einer negativen Zahl auswirkt. - Überlege in b), unter welcher Bedingung ein Quotient den Wert \(0\) hat. - Untersuche in c) die drei Vorzeichenfälle getrennt.

Lösung

1. Eine Differenz \(x-y\) kann größer als \(x\) sein, wenn \(y\) negativ ist, weil dann eine negative Zahl subtrahiert und damit ihr positiver Gegenwert addiert wird. Beispiel: \(10-(-5)=15>10\). 2. Ein Quotient mit von \(0\) verschiedenem Divisor ist nur dann \(0\), wenn der Dividend \(0\) ist. Da auch \(a\ne0\) vorausgesetzt ist, kann \(a:b\) nicht \(0\) sein. 3. Für positive \(x\) gilt \(-x<x\). Für negative \(x\) gilt dagegen \(-x>x\), und für \(x=0\) sind beide Werte gleich. Die Aussage gilt daher nur für positive \(x\).

Antwort

a) Ja, zum Beispiel bei einem negativen Subtrahenden. b) Nein. c) Nein; \(-x<x\) gilt nur für positive \(x\).

5531676

Gesucht sind alle Brüche der Form \(\frac{n}{12}\) mit natürlichem Zähler \(n\), die gleichzeitig diese Bedingungen erfüllen: - der Bruch ist größer als \(\frac{1}{3}\), - der Bruch ist kleiner als \(\frac{3}{4}\), - der Zähler \(n\) ist gerade. Finde alle Lösungen und gib sie vollständig gekürzt an.

Denkanstöße

- Bringe zuerst beide Grenzbrüche auf den Nenner \(12\). - Liste danach alle Zähler auf, die die beiden strikten Grenzen erfüllen. - Wende erst anschließend die zusätzliche Bedingung „gerade“ an und kürze die Ergebnisse.

Lösung

1. Mit dem Nenner \(12\) sind die Grenzen \(\frac{1}{3}=\frac{4}{12}\) und \(\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\). 2. Der Zähler muss daher strikt zwischen \(4\) und \(9\) liegen: möglich sind zunächst \(5\), \(6\), \(7\) und \(8\). 3. Davon sind nur \(6\) und \(8\) gerade. 4. Die Brüche sind \(\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\) und \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\).

Antwort

\(\frac{1}{2}\) und \(\frac{2}{3}\)

5531686

Auf drei Karten stehen die Brüche \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{3}\) und \(\frac{1}{2}\). Es sollen zwei verschiedene Karten ausgewählt werden. Kann ihre Summe genau \(1\) sein? Untersuche alle möglichen Paare und begründe deine Entscheidung.

Denkanstöße

- Wie viele verschiedene Zweierauswahlen gibt es überhaupt bei drei Karten? - Eine Unmöglichkeitsbegründung ist sicher, wenn du wirklich alle zulässigen Fälle geprüft hast. - Achte darauf, dass dieselbe Karte nicht zweimal gewählt werden darf.

Lösung

1. Mit drei Karten gibt es genau drei verschiedene Paare. 2. \(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}\). 3. \(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\). 4. \(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}\). 5. Keines der drei Ergebnisse ist \(1\). Unter der Bedingung „zwei verschiedene Karten“ ist die Forderung daher unmöglich.

Antwort

Nein. Die einzigen möglichen Summen sind \(\frac{7}{12}\), \(\frac{3}{4}\) und \(\frac{5}{6}\); keine davon ist \(1\).

4103336

Ein Bruch der Form \(\frac{k}{n}\) (mit natürlichen Zahlen \(k\) und \(n\)) soll im Intervall zwischen \(\frac{1}{5}\) und \(\frac{1}{4}\) liegen. a) Bestimme den kleinstmöglichen Nenner \(n\), für den mindestens ein solcher Bruch existiert. b) Gib den zugehörigen Bruch \(\frac{k}{n}\) für diesen kleinsten Nenner an.

Denkanstöße

- Kannst du die Bedingung so umstellen, dass du eine Eingrenzung für den Zähler erhältst, die vom Nenner abhängt? - Zwischen welchen beiden Werten muss \(k\) liegen, und gibt es dort eine natürliche Zahl? - Probier doch mal nacheinander kleine Werte für den Nenner aus und schau, ob ein passender Zähler existiert.

Lösung

1. Aufstellen der Ungleichung \(\frac{1}{5} < \frac{k}{n} < \frac{1}{4}\). 2. Umformen nach \(k\): \(\frac{n}{5} < k < \frac{n}{4}\). Gesucht ist das kleinste \(n\), sodass zwischen \(\frac{n}{5}\) und \(\frac{n}{4}\) mindestens eine ganze Zahl liegt. 3. Für \(n \le 4\) gilt \(\frac{n}{4} \le 1\); damit kann keine natürliche Zahl \(k\) die Bedingung \(\frac{n}{5} < k < \frac{n}{4}\) erfüllen. 4. Systematisches Testen von \(n\): - \(n=5: 1 < k < 1{,}25\) (kein \(k\)) - \(n=6: 1{,}2 < k < 1{,}5\) (kein \(k\)) - \(n=7: 1{,}4 < k < 1{,}75\) (kein \(k\)) - \(n=8: 1{,}6 < k < 2\) (kein \(k\)) - \(n=9: 1{,}8 < k < 2{,}25 \implies k=2\). 5. Für \(n=9\) ergibt sich der Bruch \(\frac{2}{9}\).

Antwort

a) \(n = 9\) b) \(\frac{2}{9}\)

4106486

Ein Lastenaufzug in einem Lagerhaus hat ein zulässiges Gesamtgewicht von \(1200\,\text{kg}\). Dieses Gesamtgewicht setzt sich aus dem Eigengewicht des Aufzugs und der zugeladenen Last zusammen. Während eines Arbeitsvorgangs werden folgende Lasten bewegt: 1. Beladung mit \(350{,}5\,\text{kg}\). 2. Entladung von \(120\frac{1}{4}\,\text{kg}\). 3. Beladung mit \(480{,}75\,\text{kg}\). 4. Entladung von \(200\,\text{kg}\). 5. Beladung mit \(150{,}5\,\text{kg}\). a) Wie viel Last befindet sich nach dem 5. Schritt im Aufzug? b) Bestimme das größte zulässige Eigengewicht des Aufzugs, damit das Gesamtgewicht von \(1200\,\text{kg}\) zu keinem Zeitpunkt überschritten wird.

Denkanstöße

- Verfolge die Zuladung nach jedem einzelnen Be- oder Entladungsschritt. - Für die Sicherheitsbedingung ist nicht nur der letzte, sondern der größte Zwischenstand entscheidend. - Ziehe den größten Laststand vom zulässigen Gesamtgewicht ab.

Lösung

1. Die Lastzustände sind nacheinander \(350{,}5\,\text{kg}\), \(350{,}5\,\text{kg} - 120{,}25\,\text{kg} = 230{,}25\,\text{kg}\), \(230{,}25\,\text{kg} + 480{,}75\,\text{kg} = 711\,\text{kg}\), \(511\,\text{kg}\) und schließlich \(661{,}5\,\text{kg}\). 2. Die größte Zuladung tritt mit \(711\,\text{kg}\) nach dem dritten Schritt auf. 3. Für das Eigengewicht bleiben dann höchstens \(1200\,\text{kg} - 711\,\text{kg} = 489\,\text{kg}\).

Antwort

a) \(661{,}5\,\text{kg}\) b) Höchstens \(489\,\text{kg}\)

4106586

Das Symbol \(\triangle\) steht für eine positive natürliche Zahl. Für den Bruch \(\frac{\triangle}{12}\) gilt, dass der Zähler kleiner als der Nenner sein muss. Bestimme alle möglichen Werte für \(\triangle\), für die die folgende Gleichung eine natürliche Zahl \(\square\) als Ergebnis liefert: \(3\frac{\triangle}{12} + \frac{5}{6} = \square\)

Denkanstöße

- Was bedeutet die Bedingung, dass der Zähler kleiner als der Nenner ist, für die möglichen Werte von \(\triangle\)? - Könntest du die Brüche so erweitern, dass sie denselben Nenner haben? - Wann ist das Ergebnis einer Division eine ganze Zahl? - Probier doch mal aus, was passiert, wenn du die gemischte Zahl zuerst in einen unechten Bruch umwandelst.

Lösung

1. Da der Zähler kleiner als der Nenner sein muss, gilt \(\triangle \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}\). 2. Umrechnung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(3\frac{\triangle}{12} = \frac{36 + \triangle}{12}\). 3. Umrechnung von \(\frac{5}{6}\) auf den Nenner 12: \(\frac{5}{6} = \frac{10}{12}\). 4. Addition der Brüche: \(\frac{36 + \triangle}{12} + \frac{10}{12} = \frac{46 + \triangle}{12}\). 5. Damit das Ergebnis eine natürliche Zahl \(\square\) ist, muss \(46 + \triangle\) durch 12 teilbar sein. 6. Prüfung der Vielfachen von 12: Das nächste Vielfache nach 46 ist 48 (\(46 + 2\)) und danach 60 (\(46 + 14\)). 7. Da \(\triangle\) maximal 11 sein darf, ist nur \(46 + \triangle = 48\) möglich. 8. Daraus folgt \(\triangle = 2\). 9. Berechnung von \(\square\): \(\frac{48}{12} = 4\).

Antwort

\(\triangle = 2\) (und das Ergebnis ist \(\square = 4\)).

4106606

Die Symbole \(\triangle\) und \(\square\) stehen für natürliche Zahlen. Es gilt wieder: In jedem Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner. Untersuche die Ungleichung: \(\frac{\triangle}{\square} - \frac{2}{\triangle} > 0\) a) Welches ist die kleinste natürliche Zahl, die \(\triangle\) annehmen kann? b) Bestimme zwei verschiedene Paare \((\triangle, \square)\), die die Ungleichung erfüllen.

Denkanstöße

- Was bedeutet „Zähler kleiner als Nenner“ für die Beziehung zwischen den beiden Symbolen in jedem Bruch? - Kannst du die Ungleichung so umstellen, dass du eine Bedingung für das Quadrat von \(\triangle\) erhältst? - Wenn \(\frac{2}{\triangle}\) ein echter Bruch sein soll, welche Zahlen kommen dann für \(\triangle\) nicht infrage? - Probiere systematisch kleine Werte für \(\triangle\) aus, beginnend bei deinem Ergebnis aus Aufgabenteil a).

Lösung

1. Aus der Bedingung „Zähler kleiner als Nenner“ folgt für den ersten Bruch \(\triangle < \square\). 2. Damit der zweite Bruch \(\frac{2}{\triangle}\) existiert und der Zähler kleiner als der Nenner ist, muss \(\triangle > 2\) gelten. 3. Die kleinste natürliche Zahl für \(\triangle\) ist somit \(\triangle = 3\). 4. Umformung der Ungleichung: \(\frac{\triangle}{\square} > \frac{2}{\triangle} \implies \triangle^2 > 2\square \implies \square < \frac{\triangle^2}{2}\). 5. Zusammenführen der Bedingungen: \(\triangle < \square < \frac{\triangle^2}{2}\). 6. Suche nach Paaren: - Wenn \(\triangle = 3\): \(3 < \square < \frac{9}{2} = 4{,}5\). Einzige Möglichkeit: \(\square = 4\). Paar: \((3, 4)\). - Wenn \(\triangle = 4\): \(4 < \square < \frac{16}{2} = 8\). Möglichkeiten: \(\square \in \{5, 6, 7\}\). Paare: \((4, 5), (4, 6), (4, 7)\). - Wenn \(\triangle = 5\): \(5 < \square < 12{,}5\). Möglichkeiten: \(\square \in \{6, 7, \dots, 12\}\).

Antwort

a) \(\triangle = 3\) b) Mögliche Paare sind zum Beispiel \((3, 4)\) und \((4, 5)\) (andere wie \((4, 6), (4, 7), (5, 6)\) usw. sind ebenfalls korrekt).

4108236

Bestimme alle natürlichen Zahlen \(n\), für die das Quadrat des Stammbruches \(\frac{1}{n}\) (also \(\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}\)) zwischen \(\frac{1}{50}\) und \(\frac{1}{10}\) liegt.

Denkanstöße

- Schreibe zuerst auf, was „Quadrat von \(\frac{1}{n}\)“ als Bruch mit \(n\) bedeutet. - Wann ist ein Bruch mit dem Zähler 1 größer als ein anderer Bruch mit dem Zähler 1? Schau dir die Nenner an. - Welche Quadratzahlen kennst du, die in den Bereich der Nenner passen?

Lösung

1. Die Bedingung lautet \(\frac{1}{50} < \frac{1}{n^2} < \frac{1}{10}\). 2. Durch Bilden der Kehrwerte drehen sich die Relationszeichen um: \(10 < n^2 < 50\). 3. Testen der Quadratzahlen natürlicher Zahlen: - \(n=1: 1^2=1\) (falsch) - \(n=2: 2^2=4\) (falsch) - \(n=3: 3^2=9\) (falsch, da \(9 < 10\)) - \(n=4: 4^2=16\) (wahr, \(10 < 16 < 50\)) - \(n=5: 5^2=25\) (wahr, \(10 < 25 < 50\)) - \(n=6: 6^2=36\) (wahr, \(10 < 36 < 50\)) - \(n=7: 7^2=49\) (wahr, \(10 < 49 < 50\)) - \(n=8: 8^2=64\) (falsch, da \(64 > 50\)) 4. Die gesuchten Zahlen sind somit \(4, 5, 6\) und \(7\).

Antwort

Die natürlichen Zahlen sind \(4, 5, 6\) und \(7\).

4113046

Drei rationale Zahlen haben das Produkt \(-0{,}125\). a) Bestimme die drei Faktoren für den Fall, dass alle drei Zahlen identisch sind. b) Ist es möglich, dass genau zwei der drei Faktoren negativ und der dritte positiv ist? Begründe deine Antwort. c) Welchen Wert hat das neue Produkt, wenn jeder der drei ursprünglichen Faktoren verdoppelt wird?

Denkanstöße

- Welche Zahl mit Betrag kleiner als \(1\) ergibt dreimal mit sich selbst multipliziert \(0{,}125\)? - Bestimme das Vorzeichen eines Produkts aus zwei negativen und einem positiven Faktor. - Überlege, um welchen Gesamtfaktor sich ein Produkt ändert, wenn jeder von drei Faktoren verdoppelt wird.

Lösung

1. Drei gleiche Faktoren mit Betrag \(0{,}5\) ergeben \(0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}125\). Damit das Produkt negativ ist, müssen alle drei gleichen Faktoren \(-0{,}5\) sein. 2. Zwei negative Faktoren ergeben zusammen ein positives Produkt. Multipliziert man dieses mit einem positiven dritten Faktor, bleibt das Produkt positiv. Diese Vorzeichenverteilung kann daher nicht zu \(-0{,}125\) führen. 3. Wird jeder von drei Faktoren verdoppelt, wird das gesamte Produkt dreimal mit \(2\) multipliziert, also insgesamt mit \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\). Das neue Produkt ist \(8 \cdot (-0{,}125) = -1\).

Antwort

a) Die drei Faktoren sind jeweils \(-0{,}5\). b) Nein; zwei negative und ein positiver Faktor ergeben ein positives Produkt. c) \(-1\)

4113126

In diesem multiplikativen magischen Quadrat kommen verschiedene Dezimalzahlen vor. Das Produkt in jeder Zeile, Spalte und Diagonale ist identisch. Vervollständige alle leeren Felder. <table> <tr><td>\(0{,}25\)</td><td></td><td>\(0{,}1\)</td></tr> <tr><td></td><td>\(0{,}5\)</td><td></td></tr> <tr><td></td><td></td><td>\(1\)</td></tr> </table>

Denkanstöße

- Nutze zuerst eine bereits vollständig besetzte Diagonale, um das gemeinsame Zielprodukt zu bestimmen. - Suche danach jeweils eine Zeile, Spalte oder Diagonale, in der nur noch ein Wert fehlt. - Prüfe am Ende auch die Zeilen und Spalten, die du nicht zum Bestimmen der Werte benutzt hast.

Lösung

1. Die vollständig besetzte Hauptdiagonale zeigt das gemeinsame Produkt: \(0{,}25\cdot0{,}5\cdot1=0{,}125\). 2. In der oberen Zeile fehlt der Faktor \(5\), denn \(0{,}25\cdot5\cdot0{,}1=0{,}125\). 3. Auf der Nebendiagonale fehlt unten links \(2{,}5\), denn \(0{,}1\cdot0{,}5\cdot2{,}5=0{,}125\). 4. In der linken Spalte fehlt in der Mitte \(0{,}2\), denn \(0{,}25\cdot0{,}2\cdot2{,}5=0{,}125\). 5. In der mittleren Zeile fehlt rechts \(1{,}25\), denn \(0{,}2\cdot0{,}5\cdot1{,}25=0{,}125\). 6. In der mittleren Spalte fehlt unten \(0{,}05\), denn \(5\cdot0{,}5\cdot0{,}05=0{,}125\). 7. Alle Zeilen, Spalten und Diagonalen ergeben damit das gemeinsame Produkt \(0{,}125\).

Antwort

<table> <tr><td>\(0{,}25\)</td><td>\(5\)</td><td>\(0{,}1\)</td></tr> <tr><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(1{,}25\)</td></tr> <tr><td>\(2{,}5\)</td><td>\(0{,}05\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> Das gemeinsame Produkt ist \(0{,}125=\frac{1}{8}\).

4117276

Finde für den Platzhalter \(\Box\) jeweils eine passende Zahl, sodass die angegebene Bedingung erfüllt wird. Nutze die Definition \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\). a) \(-\frac{1}{2}+\Box\) ergibt eine natürliche Zahl. b) \(\Box\cdot(-3)\) ergibt eine positive ganze Zahl. c) \(2{,}4-\Box\) ergibt eine Zahl, die zwar in \(\mathbb{Z}\), aber nicht in \(\mathbb{N}\) liegt.

Denkanstöße

- Prüfe bei jeder Teilaufgabe zuerst, zu welcher Zahlenmenge das Ergebnis gehören soll. - Achte bei der Multiplikation besonders auf die Vorzeichenbedingung. - Bei c) darfst du auch an \(0\) und negative ganze Zahlen denken.

Lösung

1. Eine mögliche Wahl ist \(\Box=1{,}5\), denn \(-0{,}5+1{,}5=1\) und \(1\in\mathbb{N}\). 2. Für ein positives Produkt mit \(-3\) muss der eingesetzte Wert negativ sein. Zum Beispiel liefert \(\Box=-1\) das Ergebnis \((-1)\cdot(-3)=3\). 3. Im letzten Fall darf das Ergebnis zum Beispiel \(0\) sein, da \(0\in\mathbb{Z}\), aber nach der gegebenen Definition nicht in \(\mathbb{N}\). Mit \(\Box=2{,}4\) gilt \(2{,}4-2{,}4=0\).

Antwort

a) Eine mögliche Lösung ist \(1{,}5\). b) Eine mögliche Lösung ist \(-1\). c) Eine mögliche Lösung ist \(2{,}4\).

5531696

Zur Auswahl stehen die fünf verschiedenen Karten \(\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{2}\) und \(\frac{2}{3}\). Wähle genau drei verschiedene Karten so, dass ihre Summe kleiner als \(1\), aber möglichst groß ist. Bestimme die größte mögliche Summe und begründe, warum keine andere zulässige Auswahl näher an \(1\) liegt.

Denkanstöße

- Prüfe zuerst, welche großen Karten eine Summe unter \(1\) überhaupt noch zulassen. - Weil genau drei verschiedene Karten verlangt sind, musst du auch die kleinste mögliche Ergänzung zu einer großen Karte beachten. - Für die Maximalitätsbegründung genügt es nicht, nur eine gute Auswahl zu finden: Schließe alle besseren Möglichkeiten aus.

Lösung

1. Mit \(\frac{2}{3}\) ist selbst die Summe mit den beiden kleinsten weiteren Karten schon \(\frac{2}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}>1\). Daher ist keine zulässige Dreierauswahl mit \(\frac{2}{3}\) möglich. 2. Mit \(\frac{1}{2}\) wäre \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1\) nicht zulässig. Die nächstgrößere zulässige Ergänzung ist \(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\), also \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{11}{12}\). 3. Ohne \(\frac{1}{2}\) ist die größte mögliche Dreierauswahl \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{4}<\frac{11}{12}\). 4. Somit ist \(\frac{11}{12}\) die größte zulässige Summe.

Antwort

Die beste Auswahl ist \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\) und \(\frac{1}{6}\); ihre Summe ist \(\frac{11}{12}\). Maximalität: Mit \(\frac{2}{3}\) ist jede Dreierauswahl schon zu groß; mit \(\frac{1}{2}\) ist \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\) genau \(\frac{1}{2}\) und damit nicht zulässig, sodass \(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\) die größte zulässige Ergänzung ist. Ohne \(\frac{1}{2}\) bleibt höchstens \(\frac{3}{4}\).

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.