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- Überlege, ob Paul beim Umbauen Würfel weggenommen oder neue dazugetan hat. - Was genau gibt das Volumen eines Körpers an, wenn man ihn aus kleinen Würfeln baut? - Stell dir vor, du hättest 18 Bausteine. Ändert sich der Platz, den alle Steine zusammen brauchen, wenn du sie anders stapelst?

1. Bestimmung des Volumens der Schlange: Die Schlange besteht aus 18 Einheitswürfeln zu je \(1\,\text{cm}^3\), was ein Gesamtvolumen von \(18 \cdot 1\,\text{cm}^3 = 18\,\text{cm}^3\) ergibt. 2. Bestimmung des Volumens des Quaders: Da Paul dieselben 18 Einheitswürfel verwendet, um den Quader zu bauen, ohne Würfel hinzuzufügen oder wegzunehmen, bleibt die Anzahl der Würfel bei 18. 3. Vergleich: Das Volumen eines Körpers, der aus Einheitswürfeln besteht, entspricht der Summe der Volumina der einzelnen Würfel. Da die Anzahl gleich bleibt, ist das Volumen in beiden Fällen \(18\,\text{cm}^3\). 4. Ergebnis: Paul hat nicht recht. Das Volumen bleibt gleich, da sich die Menge des Materials (die Anzahl der Würfel) nicht geändert hat.

Nein, Paul hat nicht recht. Da er für beide Formen genau 18 Einheitswürfel verwendet hat und keine Würfel hinzugefügt oder entfernt wurden, bleibt das Gesamtvolumen von \(18\,\text{cm}^3\) gleich. Die Form hat keinen Einfluss auf das Volumen, solange die Anzahl der Würfel gleich bleibt.

- Überlege, welche Angaben beschreiben, wie viel in etwas hineinpasst. - Denke an den Unterschied zwischen einer Linie, einer flachen Fläche und einem Körper, den man füllen kann. - Was passiert mit Wasser auf einer sehr flachen Unterlage, wenn man sie bewegt?

1. Das „Fassungsvermögen einer Milchpackung“ und der „Platz im Inneren eines Rucksacks“ beschreiben einen dreidimensionalen Rauminhalt. 2. Ein Eimer ist ein tiefes Gefäß mit hohem Rand. Dadurch kann er viel Wasser aufnehmen, und das Wasser läuft beim Transport weniger leicht über. 3. Ein Backblech hat eine sehr geringe Höhe und ist eher auf Fläche als auf Volumen ausgelegt, weshalb Wasser bei Bewegung leicht überläuft.

Die Angaben „Fassungsvermögen einer Milchpackung“ und „Platz im Inneren eines Rucksacks“ beziehen sich auf einen Rauminhalt. Ein Eimer ist besser geeignet als ein Backblech, da er als tiefes Gefäß mit hohem Rand viel Wasser aufnehmen kann und das Wasser beim Transport weniger leicht überläuft.

- Welche drei Kantenlängen hat jeder einzelne Würfel? - Zähle anschließend die gleich großen Würfel im Körper. - Wie hängt das Gesamtvolumen mit der Anzahl gleich großer Einheitswürfel zusammen?

1. Ein Würfel mit Kantenlänge \(1\,\text{cm}\) hat das Volumen \(1\,\text{cm}^3\). 2. Der Körper besteht aus \(4\) solchen Würfeln. 3. Daher beträgt sein Volumen \(4\cdot1\,\text{cm}^3=4\,\text{cm}^3\).

a) Ein kleiner Würfel hat das Volumen \(1\,\text{cm}^3\). b) Der gesamte Körper hat das Volumen \(4\,\text{cm}^3\).

- Welche Art von Größe beschreibt eine Einheit ohne Exponent? - Wofür steht eine quadratische Einheit wie \(\text{cm}^2\)? - Welche Einheit passt zu einer Größe, die Raum einnimmt?

1. Eine Angabe in \(\text{cm}\) beschreibt eine Länge. 2. Eine Angabe in \(\text{cm}^2\) beschreibt einen Flächeninhalt. 3. Ein Volumen wird mit einer kubischen Einheit angegeben. Daher kann \(12\,000\,\text{cm}^3\) das Volumen des Kartons beschreiben.

\(12\,000\,\text{cm}^3\) kann das Volumen beschreiben, weil \(\text{cm}^3\) eine Volumeneinheit ist.

- Wie viele Dezimeter passen in einen Meter? - Stell dir vor, du stapelst Würfel: Wie viele liegen auf dem Boden und wie viele Schichten gibt es?

1. Da \(1\,\text{m} = 10\,\text{dm}\) gilt, passen genau \(10\) Würfel mit der Kantenlänge \(1\,\text{dm}\) in eine Reihe entlang einer Kante. 2. Für die Grundfläche des großen Würfels benötigt man \(10 \cdot 10 = 100\) kleine Würfel. Da der Würfel \(10\,\text{dm}\) hoch ist, gibt es \(10\) solcher Schichten. Insgesamt passen also \(10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\) kleine Würfel in den großen Würfel.

a) \(10\) Würfel b) \(1000\) Würfel; Begründung über \(10 \cdot 10 \cdot 10\).

- Wie viele einzelne Würfel hat Lisa insgesamt für ihre Treppe benutzt? - Wie viele Einheitswürfel passen in den Quader von Max? - Vergleiche die Gesamtzahl der Würfel bei beiden Kindern.

1. Berechnung des Volumens von Lisas Treppe: Die Würfel der drei Schichten werden addiert: \(6 + 4 + 2 = 12\). Das Volumen beträgt \(12\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens von Max’ Quader: \(3 \cdot 2 \cdot 2 = 12\). Das Volumen beträgt \(12\,\text{cm}^3\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide Volumina sind mit \(12\,\text{cm}^3\) identisch.

Beide Bauwerke haben das gleiche Volumen von \(12\,\text{cm}^3\). Lisa verwendet insgesamt \(6 + 4 + 2 = 12\) Würfel, und in den Quader von Max passen ebenfalls \(3 \cdot 2 \cdot 2 = 12\) Würfel.

- Stell dir vor, du füllst den Karton Schicht für Schicht mit kleinen Würfeln. - Was berechnest du zuerst, wenn du zwei Seitenlängen multiplizierst? - Überlege dir, wie viele Würfel auf den Boden des Kartons passen. - Wie oft musst du diese Bodenschicht übereinanderstapeln, um den Karton zu füllen?

1. Berechnung Weg 1: \(V = (12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm}) \cdot 4\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2 \cdot 4\,\text{cm} = 240\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung Weg 2: \(V = 12\,\text{cm} \cdot (5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm}) = 12\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm}^2 = 240\,\text{cm}^3\). 3. Interpretation Weg 1: Das Zwischenergebnis \(60\) gibt an, dass in der untersten Schicht (Grundfläche) \(60\) Einheitswürfel liegen. Die \(4\) gibt an, dass \(4\) solcher Schichten übereinanderliegen. 4. Interpretation Weg 2: Das Zwischenergebnis \(20\) gibt an, dass in einer seitlichen Schicht (Seitenfläche) \(20\) Einheitswürfel liegen. Die \(12\) gibt an, dass der Quader aus \(12\) solcher hintereinanderstehenden Schichten besteht.

a) \(V = (12 \cdot 5) \cdot 4 = 240\,\text{cm}^3\) und \(V = 12 \cdot (5 \cdot 4) = 240\,\text{cm}^3\). b) Das Ergebnis in den Klammern gibt jeweils die Anzahl der Einheitswürfel in einer Schicht (Grundfläche oder Seitenfläche) an.

- Stell dir vor, wie viele kleine Würfel du nebeneinander, hintereinander und übereinander stapeln musst, um wieder einen perfekten Würfel zu erhalten. - Welche Zahl ergibt dreimal mit sich selbst multipliziert 64? - Wenn du die Kantenlänge verdoppelst, wie viele kleine Würfel hättest du dann insgesamt? Was ist bei einer Verdreifachung?

1. Damit wieder ein Würfel entsteht, müssen entlang jeder Raumrichtung gleich viele kleine Würfel liegen. 2. Gesucht ist daher eine natürliche Zahl \(n\) mit \(n \cdot n \cdot n = 64\). 3. Es gilt \(4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\). Entlang jeder Kante liegen also vier kleine Würfel. 4. Die Kante des großen Würfels ist deshalb viermal so lang wie die Kante eines kleinen Würfels.

Die Kante des großen Würfels ist 4-mal so lang wie die Kante eines kleinen Würfels.

- Verfolge, welche Menge Saft tatsächlich von einem Gefäß in das nächste gelangt. - Unterscheide zwischen der Form beziehungsweise Füllhöhe einer Flüssigkeit und ihrem Rauminhalt. - Denke beim Transport daran, wie viel ungenutzter Raum zwischen mehreren Gefäßen entstehen kann.

1. Es wird immer dieselbe Saftmenge vollständig umgegossen. Deshalb beträgt ihr Volumen in jedem Gefäß weiterhin \(1\,\text{l}\). 2. Beim Umgießen verändern sich Form und Füllhöhe der Flüssigkeit; ihr Volumen bleibt gleich. 3. Quaderförmige Packungen können ohne große Zwischenräume nebeneinander und übereinander angeordnet werden und nutzen einen Transportkarton daher gut aus.

a) Nein. Der Saft hat in allen drei Gefäßen denselben Rauminhalt von \(1\,\text{l}\). b) Form und Füllhöhe können sich ändern; das Volumen bleibt gleich. c) Die Quaderform lässt sich mit wenig ungenutztem Zwischenraum stapeln.

- Was bedeutet jede Zahl in einem Feld des Bauplans? - Wie erhältst du aus allen Stapelhöhen die Gesamtzahl der Würfel? - Welches Volumen hat ein kleiner Würfel?

1. Die Stapelhöhen im Bauplan ergeben zusammen \(3+2+3+2+1+2+3+2+3=21\) Würfel. 2. Ein kleiner Würfel hat das Volumen \(1\,\text{cm}^3\). 3. Daher gilt \(V=21\cdot1\,\text{cm}^3=21\,\text{cm}^3\).

Das Gesamtvolumen beträgt \(21\,\text{cm}^3\).

- Addiere zunächst alle Stapelhöhen im Bauplan. - Bestimme das Volumen eines einzelnen Holzwürfels. - Wie hängen Würfelzahl und Gesamtvolumen zusammen?

1. Die Stapelhöhen ergeben zusammen \(2+1+2+1+3+1+2+1+2=15\) Würfel. 2. Ein kleiner Würfel hat das Volumen \((2\,\text{cm})^3=8\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(15\cdot8\,\text{cm}^3=120\,\text{cm}^3\).

\(120\,\text{cm}^3\)

- Zähle zuerst sorgfältig, aus wie vielen kleinen Würfeln das Gebäude besteht. Achte dabei auf die verschiedenen Höhen der Türme. - Wie berechnet man das Volumen eines Würfels, wenn man seine Kantenlänge kennt? - Wenn du das Volumen von einem kleinen Würfel kennst, wie kannst du dann das Volumen des gesamten Gebäudes berechnen?

1. Wir zählen die Holzwürfel turmweise: - Hintere Reihe: \(3 + 2 + 1 = 6\). - Mittlere Reihe: \(2 + 1 = 3\). - Vordere Reihe: \(1\). Insgesamt sind es \(6 + 3 + 1 = 10\) Würfel. 2. Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge \(a = 3\,\text{cm}\) beträgt \(V_{\text{Einzel}} = 3\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 27\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(V_{\text{Gesamt}} = 10 \cdot 27\,\text{cm}^3 = 270\,\text{cm}^3\).

1. Das Gebäude besteht aus \(10\) kleinen Würfeln. 2. Ein kleiner Würfel hat ein Volumen von \(27\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(270\,\text{cm}^3\).

- Nutze die angegebenen Maße des vollständigen Quaders: \(4\,\text{cm}\), \(3\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\). - Berechne das Volumen des vollständigen Quaders. - Addiere die Stapelhöhen im Bauplan. - Bestimme die Differenz zwischen der benötigten und der vorhandenen Würfelzahl.

1. Zuerst verwenden wir die angegebenen Maße des fertigen Quaders: - Die Breite beträgt \(4\,\text{cm}\). - Die Tiefe beträgt \(3\,\text{cm}\). - Die Höhe beträgt \(3\,\text{cm}\). - Das Volumen ist \(V = 4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^3\). - Für den fertigen Quader werden insgesamt \(36\) Einheitswürfel benötigt. 2. Nun zählen wir die bereits vorhandenen Einheitswürfel im Bauplan: - Hintere Reihe: \(3 + 2 + 1 + 0 = 6\) Würfel. - Mittlere Reihe: \(3 + 3 + 2 + 1 = 9\) Würfel. - Vordere Reihe: \(2 + 1 + 0 + 0 = 3\) Würfel. - Insgesamt sind bereits \(6 + 9 + 3 = 18\) Würfel vorhanden. 3. Es fehlen \(36 - 18 = 18\) Würfel.

a) Das Volumen des fertigen Quaders beträgt \(36\,\text{cm}^3\). b) Es fehlen noch genau \(18\) Einheitswürfel.

- Addiere die Stapelhöhen im Bauplan. - Berechne das Volumen eines Würfels mit \(V = a \cdot a \cdot a\). - Multipliziere das Volumen eines Würfels mit der Gesamtzahl der Würfel.

1. Wir addieren die Stapelhöhen in den Reihen des Bauplans: - Vordere Reihe: \(2 + 1 = 3\) Würfel. - Mittlere Reihe: \(2 + 2 = 4\) Würfel. - Hintere Reihe: \(1 + 2 = 3\) Würfel. Insgesamt sind es \(3 + 4 + 3 = 10\) Würfel. 2. Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge \(a = 5\,\text{cm}\) beträgt \(V_{\text{Einzel}} = 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 125\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(V_{\text{Gesamt}} = 10 \cdot 125\,\text{cm}^3 = 1250\,\text{cm}^3\).

1. Es wurden \(10\) kleine Würfel verbaut. 2. Ein Würfel hat ein Volumen von \(125\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(1250\,\text{cm}^3\).

- Was bedeuten die Zahlen in den quadratischen Feldern des Bauplans für die Struktur? - Überlege, wie du durch einfaches Addieren die Gesamtanzahl der Würfel herausfindest. - Welchen Rechenschritt benötigst du, um vom Volumen eines Würfels zum Volumen des ganzen Objekts zu kommen? - Überprüfe deine Rechnung für das Volumen eines einzelnen Würfels: \(a \cdot a \cdot a\).

1. Bestimmung der Gesamtanzahl der Würfel durch Summation aller Werte im Bauplan: \(1 + 2 + 1 + 0 + 1 + 0 + 2 + 1 + 2 = 10\) Würfel. 2. Berechnung des Volumens eines Einzelwürfels mit \(a = 4\,\text{cm}\): \(V_{\text{Einzel}} = 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Gesamtvolumens: \(V_{\text{Gesamt}} = 10 \cdot 64\,\text{cm}^3 = 640\,\text{cm}^3\).

1. Es wurden insgesamt \(10\) Würfel verwendet. 2. Ein Würfel hat ein Volumen von \(64\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(640\,\text{cm}^3\).

- Lies die Turmhöhen im Bauplan reihenweise ab. - Addiere alle Turmhöhen. - Berechne das Volumen eines Würfels und multipliziere es mit der Würfelzahl.

1. Wir addieren die Turmhöhen in jeder Reihe: - Vordere Reihe: \(1 + 1 + 1 = 3\) Würfel. - Mittlere Reihe: \(1 + 2 + 2 = 5\) Würfel. - Hintere Reihe: \(1 + 2 + 3 = 6\) Würfel. Insgesamt sind es \(3 + 5 + 6 = 14\) Würfel. 2. Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge \(a = 2\,\text{cm}\) beträgt \(V_{\text{Einzel}} = 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(V_{\text{Gesamt}} = 14 \cdot 8\,\text{cm}^3 = 112\,\text{cm}^3\).

1. Das Bauwerk besteht aus \(14\) kleinen Würfeln. 2. Ein kleiner Würfel hat ein Volumen von \(8\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(112\,\text{cm}^3\).

- Bestimme für jede Schachtel die drei Maße: Breite, Tiefe und Höhe. - Multipliziere die Maße, um das Volumen zu berechnen. - Vergleiche die beiden Endergebnisse.

1. Schachtel 1 hat die Maße Breite \(4\), Tiefe \(3\) und Höhe \(5\). Sie fasst \(4 \cdot 3 \cdot 5 = 60\) Würfel. 2. Schachtel 2 hat die Maße Breite \(2\), Tiefe \(6\) und Höhe \(5\). Sie fasst \(2 \cdot 6 \cdot 5 = 60\) Würfel. 3. Beide Schachteln haben den gleichen Rauminhalt von \(60\) Würfeln.

Beide Schachteln haben den gleichen Rauminhalt von \(60\) Würfeln.

- Zähle die Würfel im Bild über die einzelnen Turmhöhen. - Bestimme das Volumen eines kleinen Würfels aus seiner Kantenlänge. - Verbinde Würfelzahl und Einzelvolumen.

1. Aus dem Bild liest man die Turmhöhen \(2,0,2\), \(2,0,2\) und \(2,2,2\) ab. Insgesamt sind das \(14\) Würfel. 2. Ein Würfel hat das Volumen \((1\,\text{m})^3=1\,\text{m}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt daher \(14\cdot1\,\text{m}^3=14\,\text{m}^3\).

\(14\,\text{m}^3\)

- Zähle zuerst alle sichtbaren und (falls vorhanden) unsichtbaren Würfel des Gebäudes. - Berechne das Volumen eines einzelnen kleinen Würfels mit der Formel für das Würfelvolumen. - Multipliziere das Einzelvolumen mit der Anzahl der Würfel.

1. Anzahl der Würfel bestimmen: Die vordere Reihe hat \(2 + 0 + 2 = 4\) Würfel. Die hintere Reihe hat \(2 + 2 + 2 = 6\) Würfel. Insgesamt sind es \(4 + 6 = 10\) Würfel. 2. Volumen eines einzelnen Würfels berechnen: \(V_{\text{Würfel}} = a^3 = 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^3\). 3. Gesamtvolumen berechnen: \(V_{\text{Gesamt}} = 10 \cdot 64\,\text{cm}^3 = 640\,\text{cm}^3\).

Der Körper besteht aus \(10\) Würfeln. Das Gesamtvolumen beträgt \(640\,\text{cm}^3\).

- Lies die Turmhöhen in beiden Reihen aus dem Bild ab. - Addiere zuerst die Zahl der dargestellten Würfel. - Übertrage anschließend die Bedeutung eines Modellwürfels auf das reale Volumen.

1. In der vorderen Reihe zeigt das Bild die Turmhöhen \(3,1,3\), also \(7\) Würfel. 2. In der hinteren Reihe sind es ebenfalls \(3,1,3\), also weitere \(7\) Würfel. 3. Insgesamt sind das \(14\) Würfel. Da jeder für \(1\,\text{m}^3\) steht, beträgt das Gesamtvolumen \(14\,\text{m}^3\).

\(14\,\text{m}^3\)

- Zähle die Würfel im Bild Reihe für Reihe oder Turm für Turm. - Bestimme anschließend das Volumen eines einzelnen Würfels aus seiner Kantenlänge. - Überlege, wie sich das Volumen eines Würfels auf alle gleich großen Würfel des Gebäudes übertragen lässt.

1. In der vorderen Reihe stehen \(3\) einzelne Würfel. In der hinteren Reihe stehen \(3\) Türme mit jeweils \(2\) Würfeln. Insgesamt sind das \(3+3\cdot2=9\) Würfel. 2. Für einen Würfel mit der Kantenlänge \(a=2\,\text{dm}\) gilt \(V=a^3=(2\,\text{dm})^3=8\,\text{dm}^3\). 3. Das gesamte Gebäude hat daher das Volumen \(9\cdot8\,\text{dm}^3=72\,\text{dm}^3\).

a) \(9\) Würfel b) \(72\,\text{dm}^3\)

- Zähle zuerst sorgfältig, aus wie vielen kleinen Einzelwürfeln die Figur besteht. - Berechne das Volumen eines einzelnen kleinen Würfels mit der Kantenlänge \(2\,\text{cm}\). - Multipliziere am Ende die Anzahl der Würfel mit dem Volumen eines einzelnen Würfels.

1. Bestimmung der Anzahl der kleinen Würfel im Gebäude: - Vordere Reihe: \(2 + 1 + 1 + 2 = 6\) Würfel - Mittlere Reihe: \(2 + 0 + 0 + 2 = 4\) Würfel - Hintere Reihe: \(2 + 2 + 2 + 2 = 8\) Würfel - Gesamtzahl der Würfel: \(6 + 4 + 8 = 18\) Würfel. 2. Berechnung des Volumens eines einzelnen kleinen Würfels: \(V_{\text{Würfel}} = 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Gesamtvolumens: \(18 \cdot 8\,\text{cm}^3 = 144\,\text{cm}^3\).

Das Gesamtvolumen des Körpers beträgt \(144\,\text{cm}^3\).

- Betrachte im Bauplan jede senkrechte Spalte für sich. - Welche Stapelhöhe bestimmt beim Blick von vorne die sichtbare Gesamthöhe einer Spalte? - Ein niedrigerer Stapel kann in der Vorderansicht hinter einem höheren Stapel verschwinden.

1. In der Vorderansicht zählt für jede der drei Spalten die größte Stapelhöhe, die in dieser Spalte des Bauplans vorkommt. 2. Links ist die größte Höhe \(2\), in der Mitte \(3\) und rechts \(3\). 3. Die Vorderansicht hat daher von links nach rechts die Höhen \(2, 3, 3\).

Von links nach rechts: \(2, 3, 3\).

- Welche drei Zahlen ergeben miteinander multipliziert \(24\)? - Denk daran, dass die Oberfläche aus sechs Rechtecken besteht, von denen jeweils zwei gleich groß sind. - Die „größte Seitenfläche“ ist die Fläche mit dem größten Flächeninhalt. - Probiere verschiedene Kombinationen aus, wie zum Beispiel ganz flache oder eher würfelähnliche Quader.

1. Beispiel 1: Kantenlängen \(a=4\,\text{cm}\), \(b=3\,\text{cm}\), \(c=2\,\text{cm}\). Volumen \(V = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\,\text{cm}^3\). 2. Beispiel 2: Kantenlängen \(a=6\,\text{cm}\), \(b=4\,\text{cm}\), \(c=1\,\text{cm}\). Volumen \(V = 6 \cdot 4 \cdot 1 = 24\,\text{cm}^3\). 3. Oberfläche Beispiel 1: \(O = 2 \cdot (4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 2) = 2 \cdot (12 + 6 + 8) = 2 \cdot 26 = 52\,\text{cm}^2\). 4. Oberfläche Beispiel 2: \(O = 2 \cdot (6 \cdot 4 + 4 \cdot 1 + 6 \cdot 1) = 2 \cdot (24 + 4 + 6) = 2 \cdot 34 = 68\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: Die Oberflächen sind trotz gleichen Volumens unterschiedlich. 6. Schichten: Bei Beispiel 1 liegen \(4 \cdot 3 = 12\) Würfel in der untersten Schicht. Bei Beispiel 2 liegen \(6 \cdot 4 = 24\) Würfel in der untersten Schicht.

Mögliche Lösung: a) Quader 1: \(4\,\text{cm}\), \(3\,\text{cm}\), \(2\,\text{cm}\); Quader 2: \(6\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\), \(1\,\text{cm}\). b) \(O_1 = 52\,\text{cm}^2\), \(O_2 = 68\,\text{cm}^2\). Quader mit gleicher Würfelanzahl können unterschiedliche Oberflächen haben. c) Quader 1: \(12\) Würfel; Quader 2: \(24\) Würfel.

- Wie viele Würfel liegen insgesamt in einer Schicht? - Wie oft wird diese Schicht im ganzen Quader wiederholt? - Was passiert mit den Kantenlängen (Länge, Breite, Höhe), wenn man einen Körper dreht oder kippt? - Überlege, ob beim Umkippen Würfel verloren gehen oder dazukommen können.

1. Kantenlängen: Aus den Angaben folgen \(a = 7\,\text{cm}\) (Länge der Reihe), \(b = 4\,\text{cm}\) (Anzahl der Reihen) und \(c = 5\,\text{cm}\) (Anzahl der Schichten). 2. Volumen: \(V = 7\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 140\,\text{cm}^3\). 3. Neue Orientierung: Die neue Grundfläche hat die Maße \(7\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\). 4. Anzahl der Würfel pro Schicht (neu): \(7 \cdot 5 = 35\) Würfel. 5. Anzahl der Schichten (neu): Die verbleibende Kante ist die neue Höhe, also \(4\) Schichten. 6. Volumenprüfung: \(V_{neu} = 35 \cdot 4 = 140\,\text{cm}^3\). 7. Erklärung: Das Volumen bleibt gleich, da die Gesamtzahl der verwendeten Einheitswürfel unverändert ist (Kommutativ- und Assoziativgesetz der Multiplikation).

a) Kantenlängen: \(7\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\); Volumen: \(140\,\text{cm}^3\). b) Die Aussage ist korrekt. In der neuen Position hat jede Schicht \(35\) Würfel und es gibt \(4\) Schichten. \(35 \cdot 4 = 140\,\text{cm}^3\). Das Volumen ist unabhängig von der Lage des Quaders.

- Du kannst dir vorstellen, wie viele Würfel du nebeneinander, hintereinander und übereinander stapeln kannst. - Überlege bei den größeren Würfeln, ob die Seitenlängen der Schachtel ohne Rest durch die Würfelseite teilbar sind. - Zeichne dir vielleicht eine Skizze der Bodenfläche und überlege, wie viele Würfel darauf passen.

1. Berechnung für \(1\,\text{cm}\)-Würfel: Das Volumen der Schachtel beträgt \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\,\text{cm}^3\). Da ein Einheitswürfel \(1\,\text{cm}^3\) groß ist, passen genau \(60\) Würfel hinein. 2. Berechnung für \(2\,\text{cm}\)-Würfel: In der Länge (\(5\,\text{cm}\)) finden \(2\) Würfel Platz (\(2 \cdot 2 = 4\,\text{cm}\)), in der Breite (\(4\,\text{cm}\)) finden \(2\) Würfel Platz (\(2 \cdot 2 = 4\,\text{cm}\)) und in der Höhe (\(3\,\text{cm}\)) findet nur \(1\) Würfel Platz (\(1 \cdot 2 = 2\,\text{cm}\)). 3. Gesamtzahl für b): \(2 \cdot 2 \cdot 1 = 4\) Würfel passen hinein. 4. Begründung für den Leerraum: Da die Kantenlängen der Schachtel (\(5\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\)) keine Vielfachen der Würfelkante (\(2\,\text{cm}\)) sind, entstehen Lücken an den Rändern, die kleiner als ein ganzer \(2\,\text{cm}\)-Würfel sind.

a) Es passen genau \(60\) Würfel mit \(1\,\text{cm}\) Kantenlänge hinein. b) Es passen nur \(4\) Würfel mit \(2\,\text{cm}\) Kantenlänge hinein. c) Es bleibt Raum leer, weil die Maße der Schachtel nicht überall ohne Rest durch \(2\,\text{cm}\) teilbar sind (z. B. bleiben bei \(5\,\text{cm}\) Länge \(1\,\text{cm}\) und bei \(3\,\text{cm}\) Höhe ebenfalls \(1\,\text{cm}\) ungenutzt).

- Stell dir vor, wie du die Würfel nacheinander in den Karton legst. - Wie viele Würfel passen in eine Reihe, wie viele Reihen in eine Schicht? - Was passiert, wenn die Höhe des Kartons nicht genau durch die Höhe der Würfel teilbar ist? - Kann man halbe oder angebrochene Würfel sinnvoll verpacken?

1. Berechnung der Anzahl der Würfel pro Seite für Teil a): Länge: \(50 : 5 = 10\); Breite: \(30 : 5 = 6\); Höhe: \(20 : 5 = 4\). 2. Gesamtzahl der Würfel für Teil a): \(10 \cdot 6 \cdot 4 = 240\). 3. Berechnung der Anzahl der Würfel pro Seite für Teil b): Länge und Breite bleiben gleich (\(10\) und \(6\)). Für die Höhe gilt: \(18 : 5 = 3\) Rest \(3\). Es passen also nur \(3\) ganze Schichten übereinander. 4. Gesamtzahl der Würfel für Teil b): \(10 \cdot 6 \cdot 3 = 180\). 5. Begründung: Ein Würfel kann nicht geteilt werden. Da die Höhe von \(18\,\text{cm}\) kein Vielfaches der Würfelkante von \(5\,\text{cm}\) ist, bleibt ein Hohlraum von \(3\,\text{cm}\) Höhe ungenutzt. Die reine Volumenrechnung würde Teilstücke von Würfeln berücksichtigen, was in der Realität nicht möglich ist.

a) Es passen maximal \(240\) Würfel in den Karton. b) In den niedrigeren Karton passen nur \(180\) Würfel. Eine Division der Volumina ist nicht zulässig, da nur ganze Würfel gezählt werden können und der restliche Platz (\(3\,\text{cm}\) in der Höhe) leer bleiben muss.

- Stell dir vor, du legst die Würfel zuerst nur entlang einer Seite der Kiste. Wie viele passen dorthin? - Was passiert, wenn du den Boden der Kiste komplett mit einer Lage Würfel bedeckst? - Wie viele solcher Lagen kannst du übereinander stapeln? - Welche Einheit ist am besten geeignet, um das Volumen direkt in Litern anzugeben?

1. Umrechnung der Kistenmaße in Zentimeter: Länge \(L = 120\,\text{cm}\), Breite \(B = 80\,\text{cm}\), Höhe \(H = 60\,\text{cm}\). 2. Bestimmung der Anzahl der Würfel (\(s = 20\,\text{cm}\)) pro Dimension: Anzahl in der Länge: \(120 : 20 = 6\). Anzahl in der Breite: \(80 : 20 = 4\). Anzahl in der Höhe: \(60 : 20 = 3\). 3. Berechnung der Gesamtzahl: Eine Schicht besteht aus \(6 \cdot 4 = 24\) Würfeln. Es gibt \(3\) solcher Schichten. Insgesamt: \(24 \cdot 3 = 72\) Würfel. 4. Berechnung des Gesamtvolumens: \(V = 12\,\text{dm} \cdot 8\,\text{dm} \cdot 6\,\text{dm} = 576\,\text{dm}^3\). 5. Umrechnung in Liter: Da \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\), beträgt das Volumen \(576\,\text{l}\).

a) Es passen insgesamt \(72\) Würfel in die Kiste. b) In einer Schicht auf dem Boden liegen \(6 \cdot 4 = 24\) Würfel. Da die Kiste \(60\,\text{cm}\) hoch ist, passen \(3\) solcher Schichten übereinander (\(24 \cdot 3 = 72\)). c) Das Gesamtvolumen beträgt \(576\,\text{l}\).

- Nutze die schwarzen Umrandungen, um die vollständigen Außenmaße jeder Schachtel zu erkennen. - Zähle anschließend für jede Schachtel die bereits vorhandenen Würfel im Bild. - Vergleiche jeweils vollständige Kapazität und vorhandene Würfelzahl.

1. Schachtel A hat die Kantenlängen \(a=3\), \(b=3\) und \(c=4\) in Einheitskanten. Vollständig gefüllt fasst sie \(3\cdot3\cdot4=36\) Einheitswürfel. 2. Im Bild sind in Schachtel A \(14\) Würfel vorhanden. Es fehlen \(36-14=22\) Würfel. 3. Schachtel B hat die Kantenlängen \(a=5\), \(b=2\) und \(c=3\). Vollständig gefüllt fasst sie \(5\cdot2\cdot3=30\) Einheitswürfel. 4. Im Bild sind in Schachtel B \(10\) Würfel vorhanden. Es fehlen \(30-10=20\) Würfel. 5. Da \(22>20\), fehlen in Schachtel A mehr Würfel.

a) Schachtel A: \(36\) Einheitswürfel; Schachtel B: \(30\) Einheitswürfel b) Schachtel A; dort fehlen \(22\) Würfel.

- Zähle die Würfel Reihe für Reihe von hinten nach vorne oder Schicht für Schicht. - Berechne zuerst das Volumen eines einzigen kleinen Würfels mit der Kantenlänge \(5\,\text{cm}\). - Multipliziere das Volumen eines Würfels mit der Gesamtanzahl der Würfel. - Wie lautet der Umrechnungsfaktor von Kubikzentimetern (\(\text{cm}^3\)) in Kubikdezimeter (\(\text{dm}^3\))? Denke an die dreidimensionale Einheit!

1. Bestimme die Anzahl der Würfel durch systematisches Zählen von hinten nach vorne: - Hintere Reihe: \(2 + 2 + 2 = 6\) Würfel - Mittlere Reihe: \(1 + 0 + 1 = 2\) Würfel - Vordere Reihe: \(1 + 0 + 1 = 2\) Würfel - Insgesamt: \(6 + 2 + 2 = 10\) Würfel. 2. Berechne das Volumen eines einzelnen Würfels: - \(V_{\text{Würfel}} = 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 125\,\text{cm}^3\). 3. Berechne das Gesamtvolumen des zusammengesetzten Körpers in Kubikzentimetern: - \(V_{\text{gesamt}} = 10 \cdot 125\,\text{cm}^3 = 1250\,\text{cm}^3\). 4. Rechne das Gesamtvolumen in Kubikdezimeter um: - Da \(1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3\) ist, gilt: - \(1250\,\text{cm}^3 : 1000 = 1{,}25\,\text{dm}^3\).

a) Das Würfelgebäude besteht aus \(10\) einzelnen Würfeln. b) Das Gesamtvolumen beträgt \(1250\,\text{cm}^3\). c) In Kubikdezimetern ausgedrückt beträgt das Gesamtvolumen \(1{,}25\,\text{dm}^3\).

- Addiere die im Bauplan angegebenen Stapelhöhen. - Bestimme unabhängig davon, wie viele Einheitswürfel der vollständige Glaskasten fasst. - Vergleiche für den Bruchteil die Zahl der verbauten Würfel mit der Gesamtkapazität. - Wie viele Würfel entsprechen genau der Hälfte des Kastens?

1. Die Stapelhöhen im Bauplan ergeben zwölf Stapel der Höhe \(2\) und vier Stapel der Höhe \(4\). Damit besteht das Gebäude aus \(12\cdot2+4\cdot4=40\) Einheitswürfeln. 2. Der vollständige Glaskasten fasst \(4\cdot4\cdot4=64\) Einheitswürfel. 3. Der gefüllte Bruchteil ist \(\frac{40}{64}=\frac{5}{8}\). 4. Die Hälfte des Kastens entspricht \(64:2=32\) Würfeln. Daher müssen \(40-32=8\) Würfel entfernt werden.

a) \(40\) Einheitswürfel b) \(\frac{5}{8}\) c) \(8\) Würfel