Aimathic – Variablen als Platzhalter – Kostenlose Arbeitsblätter

Variablen als Platzhalter

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Schwierigkeit: 1 – 5

4223277

Ein Wanderweg ist insgesamt \(w\) Kilometer lang. Eine Familie wandert am ersten Tag \(\frac{1}{5}\) der Strecke und am zweiten Tag \(\frac{2}{5}\) der Strecke. Wie viele Kilometer haben sie nach den zwei Tagen insgesamt zurückgelegt? Gib das Ergebnis in Abhängigkeit von \(w\) an.

Denkanstöße

- Kannst du die Anteile der beiden Tage zusammenrechnen? - Was ist die gesamte Strecke in diesem Problem? - Wie berechnet man einen Bruchteil von einer unbekannten Größe wie \(w\)?

Lösung

1. Addition der Anteile beider Tage: \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\) 2. Berechnung der zurückgelegten Gesamtstrecke in Abhängigkeit von \(w\): \(\frac{3}{5} \cdot w\)

Antwort

\(\frac{3}{5} \cdot w\,\text{km}\)

5527047

Betrachte die Gleichung \(17-x=9\). a) Bestimme \(x\). b) Welche Aussage beschreibt die Rolle von \(x\) hier richtig? A: \(x\) ist ein Rechenzeichen. B: \(x\) ist ein Platzhalter für den gesuchten Zahlenwert. C: Für \(x\) darf jede beliebige Zahl eingesetzt werden, ohne dass sich die Wahrheit der Gleichung ändert.

Denkanstöße

- Frage dich, welche Zahl von \(17\) abgezogen werden muss, damit \(9\) übrig bleibt. - Prüfe anschließend, ob \(x\) hier eine Rechenoperation, eine bestimmte einzusetzende Zahl oder eine völlig freie Zahl bezeichnet. - Setze deinen Wert probeweise in die Gleichung ein.

Lösung

1. Damit aus \(17-x\) der Wert \(9\) wird, muss \(8\) abgezogen werden. 2. Also ist \(x=8\). 3. In dieser Gleichung steht \(x\) für genau den gesuchten Wert. Deshalb ist Aussage B richtig.

Antwort

a) \(x=8\) b) B

5553257

Auf Karte A steht die Rechenregel \(\square+7\). Zuerst wird \(2\), danach \(5\) in das Kästchen eingesetzt. Auf Karte B steht dieselbe Rechenregel mit einem Buchstaben: \(x+7\). a) Welche Werte muss \(x\) auf Karte B nacheinander annehmen, damit jeweils dieselbe Rechnung wie auf Karte A entsteht? b) Erkläre daraus, wofür \(x\) in der Rechenregel steht.

Denkanstöße

- Vergleiche die beiden Karten jeweils für dieselbe konkrete Rechnung. - Welche Zahl steht beim ersten Durchgang an der Stelle vor \(+7\), welche beim zweiten? - Was muss der Buchstabe leisten, damit Karte B beide Rechnungen beschreiben kann?

Lösung

1. Wird auf Karte A die \(2\) eingesetzt, muss auf Karte B \(x=2\) gelten; bei der zweiten Rechnung entsprechend \(x=5\). 2. Der Buchstabe übernimmt also jeweils den Wert, der an der Platzhalterstelle eingesetzt wird. In der Rechenregel kann \(x\) daher verschiedene Zahlenwerte annehmen.

Antwort

a) Zuerst \(x=2\), danach \(x=5\). b) \(x\) steht für die Zahl, die jeweils an der Platzhalterstelle eingesetzt wird, und kann verschiedene Werte annehmen.

5553267

In welcher der drei Angaben steht ein Buchstabe für eine Zahl, die verschiedene Werte annehmen kann? A) \(3+t\) B) \(8\,\text{cm}\) C) Punkt A eines Dreiecks Nenne den Buchstaben und begründe kurz.

Denkanstöße

- Bei welcher Angabe könnte man den Buchstaben sinnvoll durch verschiedene Zahlen ersetzen? - Eine Einheit bezeichnet keine unbekannte Zahl. - Ein Punktname benennt ein geometrisches Objekt und ist hier ebenfalls keine Zahl.

Lösung

1. In A ist \(t\) Teil eines Terms und kann durch verschiedene Zahlen ersetzt werden. 2. In B ist \(\text{cm}\) eine Einheit und in C ist A nur der Name eines Punktes. 3. Daher ist nur \(t\) eine Variable im verlangten Sinn.

Antwort

\(t\) in A ist die Variable. \(\text{cm}\) ist eine Einheit und A in C ein Punktname.

5553277

Vergleiche die beiden Schreibweisen \(x+5\) und \(x+5=12\). a) Welche Schreibweise ist ein Term, welche eine Gleichung? b) Welche zusätzliche Aussage macht die Gleichung über \(x\)?

Denkanstöße

- Achte darauf, in welcher Schreibweise ein Gleichheitszeichen vorkommt. - Ein Term beschreibt eine Rechenoperation; eine Gleichung behauptet, dass zwei Terme denselben Wert haben. - Welche Zahl müsste für \(x\) eingesetzt werden, damit die Gleichung stimmt?

Lösung

1. \(x+5\) ist ein Term, weil die Schreibweise nur eine Rechenoperation mit der Variablen beschreibt und kein Gleichheitszeichen enthält. 2. \(x+5=12\) ist eine Gleichung, weil zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbunden werden. 3. Die Gleichung fordert einen bestimmten Wert von \(x\): Es muss \(x=7\) gelten.

Antwort

a) \(x+5\) ist ein Term; \(x+5=12\) ist eine Gleichung. b) Die Gleichung legt \(x\) auf den Wert \(7\) fest.

4116998

Gegeben ist die Division \(a : b = q\) mit \(b\neq0\). Beschreibe, wie sich der Quotient \(q\) in den folgenden Situationen verändert. Begründe deine Überlegungen, indem du die Rechnung mit Brüchen darstellst. a) Der Dividend \(a\) wird verdoppelt und der Divisor \(b\) wird vervierfacht. b) Der Dividend \(a\) wird durch \(6\) geteilt und der Divisor \(b\) wird durch \(2\) geteilt.

Denkanstöße

- Schreibe die Division zunächst als Bruch. - Betrachte getrennt, wie eine Änderung des Zählers und eine Änderung des Nenners den Quotienten beeinflussen. - Überlege bei b), wie du eine Division durch einen Bruch umschreiben kannst.

Lösung

1. Für a) ergibt sich \(\frac{2a}{4b} = \frac{1}{2}\cdot\frac{a}{b}\). Der Quotient wird also halbiert. 2. Für b) gilt \(\frac{a}{6} : \frac{b}{2} = \frac{a}{6}\cdot\frac{2}{b} = \frac{1}{3}\cdot\frac{a}{b}\). Der neue Quotient ist ein Drittel des ursprünglichen Quotienten.

Antwort

a) Der Quotient wird halbiert. b) Der Quotient beträgt ein Drittel des ursprünglichen Quotienten.

4121336

Bestimme die Zahl, die für den Platzhalter \(\square\) eingesetzt werden muss, damit die jeweilige Gleichung korrekt ist. a) \(12{,}5 - \square = 7{,}8\) b) \(\square \cdot 0{,}4 = 2{,}4\) c) \(15 : \square = 2{,}5\)

Denkanstöße

- Überlege dir bei jeder Aufgabe die Umkehroperation. - Wie hängen Minuend, Subtrahend und Differenz zusammen? - Wenn du ein Produkt hast und einen Faktor suchst, welche Rechenart hilft dir weiter? - Du kannst dein Ergebnis immer prüfen, indem du die Zahl für das Kästchen einsetzt und nachrechnest.

Lösung

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Um den Subtrahenden zu finden, subtrahiert man die Differenz vom Minuenden: \(12{,}5 - 7{,}8 = 4{,}7\). 2. Berechnung für Teilaufgabe b): Um den fehlenden Faktor zu finden, dividiert man das Produkt durch den bekannten Faktor: \(2{,}4 : 0{,}4 = 6\). 3. Berechnung für Teilaufgabe c): Um den Divisor zu finden, dividiert man den Dividenden durch den Quotienten: \(15 : 2{,}5 = 6\).

Antwort

a) \(\square = 4{,}7\) b) \(\square = 6\) c) \(\square = 6\)

4121476

Bestimme den Wert der Unbekannten \( \square \), sodass die Gleichungen stimmen. a) \( \frac{4}{5}\square = 12 \) b) \( \square : \frac{2}{3} = \frac{9}{10} \) c) \( \frac{7}{3} - \square = \frac{1}{6} \)

Denkanstöße

- Überlege dir eine passende Umkehroperation, um die Unbekannte zu isolieren. - Wie würdest du vorgehen, wenn dort ganze Zahlen stünden (z. B. \( 2x = 10 \))? - Denk bei der Subtraktion daran, die Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen.

Lösung

1. Gleichung a: Um \( \square \) zu finden, dividiere 12 durch \( \frac{4}{5} \). Das entspricht \( 12 \cdot \frac{5}{4} = 3 \cdot 5 = 15 \). Also \( \square = 15 \). 2. Gleichung b: Um \( \square \) zu finden, multipliziere \( \frac{9}{10} \) mit \( \frac{2}{3} \). Das ergibt \( \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 3} = \frac{18}{30} \). Kürzen mit 6 ergibt \( \frac{3}{5} \). Also \( \square = \frac{3}{5} \). 3. Gleichung c: Um \( \square \) zu finden, rechne \( \frac{7}{3} - \frac{1}{6} \). Hauptnenner finden: \( \frac{14}{6} - \frac{1}{6} = \frac{13}{6} \). Also \( \square = \frac{13}{6} \) (oder \( 2 \frac{1}{6} \)).

Antwort

a) \( 15 \) b) \( \frac{3}{5} \) c) \( \frac{13}{6} \) (oder \( 2 \frac{1}{6} \))

4121636

In die beiden Kästchen soll jeweils dieselbe Ziffer eingesetzt werden. Bestimme alle Ziffern, für die die folgende Ungleichungskette eine wahre Aussage ergibt: \(4{,}2 < 4{,}\square 5 < \square{,}1\)

Denkanstöße

- Kannst du die Ungleichungskette in zwei einzelne Ungleichungen zerlegen? - Was passiert, wenn du für das Kästchen nacheinander verschiedene Ziffern einsetzt und testest? - Achte beim Vergleichen von Dezimalzahlen auf die Stellenwerte.

Lösung

1. Analyse der ersten Teilungleichung \(4{,}2 < 4{,}\square 5\): Da die Einerstellen gleich sind, vergleichen wir die Zehntelstellen. Für \(\square = 2\) gilt \(4{,}20 < 4{,}25\) (wahr). Für alle Ziffern \(\square \ge 2\) ist diese Bedingung erfüllt. 2. Analyse der zweiten Teilungleichung \(4{,}\square 5 < \square{,}1\): Wir prüfen die Ziffern ab \(2\). Für \(\square = 2\), \(3\) oder \(4\) ist die rechte Zahl kleiner; für \(\square = 5\) gilt \(4{,}55 < 5{,}1\). 3. Für jede Ziffer \(\square \ge 5\) ist die Einerstelle rechts größer als links. Damit erfüllen \(5, 6, 7, 8, 9\) beide Teilungleichungen.

Antwort

Die möglichen Ziffern sind \(5, 6, 7, 8, 9\).

4142216

Welche Zahl muss in das Kästchen \(\Box\) eingesetzt werden, damit die Gleichung korrekt ist? a) \(12{,}5 - \Box + 2{,}5 = 10\) b) \(\frac{3}{8} + \Box = \frac{7}{8}\) c) \(0{,}4 \cdot \Box = 2\) d) \(\Box : 4 - 0{,}5 = 1{,}5\)

Denkanstöße

- Kannst du die Zahlen, bei denen kein Kästchen steht, zuerst zusammenfassen? - Überlege dir, welche Rechenoperation das Gegenteil von der in der Aufgabe ist. - Es kann helfen, Brüche und Dezimalzahlen einheitlich zu schreiben.

Lösung

1. Zusammenfassen der bekannten Werte auf der linken Seite: \(12{,}5 + 2{,}5 = 15\). Die Gleichung lautet \(15 - \Box = 10\). Daraus folgt \(\Box = 15 - 10 = 5\). 2. Subtraktion des bekannten Summanden: \(\Box = \frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8}\). Gekürzt ergibt dies \(\frac{1}{2}\) bzw. \(0{,}5\). 3. Anwendung der Umkehroperation (Division): \(\Box = 2 : 0{,}4\). Da \(20 : 4 = 5\), ist \(\Box = 5\). 4. Schrittweise Umkehrung: Zuerst Addition \(1{,}5 + 0{,}5 = 2\). Dann Multiplikation des Zwischenergebnisses mit dem Divisor: \(2 \cdot 4 = 8\). Somit ist \(\Box = 8\).

Antwort

a) \(5\) b) \(0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)) c) \(5\) d) \(8\)

4142226

Bestimme für jede Gleichung den Wert des Platzhalters \(\Box\). Begründe bei jeder Aufgabe vor dem Rechnen kurz, ob der gesuchte Wert größer oder kleiner als \(10\) sein muss. a) \(25 - \Box = 14{,}5\) b) \(0{,}5 \cdot \Box = 6\) c) \(\frac{1}{3} \cdot \Box = 3\)

Denkanstöße

- Setze doch probehalber die Zahl 10 für das Kästchen ein. Ist das Ergebnis dann zu groß oder zu klein? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Multiplikation, wenn du einen der Faktoren vergrößerst? - Wie verändert sich das Ergebnis einer Subtraktion, wenn die Zahl, die du abziehst, größer wird?

Lösung

1. Vergleich mit Referenzwert \(10\): \(25 - 10 = 15\). Da das gewünschte Ergebnis \(14{,}5\) kleiner als \(15\) ist, muss die abgezogene Zahl \(\Box\) größer als \(10\) sein. Berechnung: \(\Box = 25 - 14{,}5 = 10{,}5\). 2. Vergleich mit Referenzwert \(10\): \(0{,}5 \cdot 10 = 5\). Da das Ergebnis \(6\) größer als \(5\) ist, muss der Faktor \(\Box\) größer als \(10\) sein. Berechnung: \(\Box = 6 : 0{,}5 = 12\). 3. Vergleich mit Referenzwert \(10\): \(\frac{1}{3} \cdot 10 = 3\frac{1}{3} \approx 3{,}33\). Da das Ergebnis \(3\) kleiner als \(3{,}33\) ist, muss \(\Box\) kleiner als \(10\) sein. Berechnung: \(\Box = 3 : \frac{1}{3} = 3 \cdot 3 = 9\).

Antwort

a) \(\Box = 10{,}5\) (Begründung: größer als \(10\), da \(25-10=15\) und \(15 > 14{,}5\)) b) \(\Box = 12\) (Begründung: größer als \(10\), da \(0{,}5 \cdot 10 = 5\) und \(5 < 6\)) c) \(\Box = 9\) (Begründung: kleiner als \(10\), da \(\frac{1}{3} \cdot 10 > 3\))

4223286

Ein Aquarium hat ein Fassungsvermögen von \(80\,\text{l}\) und ist zu \(\frac{4}{5}\) mit Wasser gefüllt. Zur Reinigung wird \(\frac{1}{4}\) des gesamten Fassungsvermögens abgelassen. a) Welcher Bruchteil des Fassungsvermögens bleibt im Aquarium? b) Wie viele Liter Wasser verbleiben im Aquarium?

Denkanstöße

- Auf welche Gesamtmenge beziehen sich beide Bruchteile? - Bringe die beiden Brüche vor dem Subtrahieren auf einen gemeinsamen Nenner. - Berechne anschließend den gefundenen Bruchteil von \(80\,\text{l}\).

Lösung

1. Vom gesamten Fassungsvermögen bleiben \(\frac{4}{5}-\frac{1}{4}=\frac{16}{20}-\frac{5}{20}=\frac{11}{20}\) übrig. 2. Die verbleibende Wassermenge beträgt \(80\cdot\frac{11}{20}=44\,\text{l}\).

Antwort

a) \(\frac{11}{20}\) b) \(44\,\text{l}\)

4224697

In der Mathematik gibt es Gleichungen, die für jede beliebige Zahl wahr sind (solche Gleichungen nennt man Identitäten). Andere Gleichungen sind nur für ganz bestimmte Werte der Variablen wahr. Entscheide für die folgenden Beispiele, welche der Aussagen allgemeingültig sind: 1) \(n + n = 2n\) 2) \(3x = 15\) 3) \(4(a + b) = 4a + 4b\) 4) \(y - 5 = 5 - y\) 5) \(z \cdot 1 = z\)

Denkanstöße

- Überlege dir, ob eine Rechenregel (wie das Vertauschungsgesetz oder Verteilungsgesetz) hinter der Gleichung steckt. - Versuche, verschiedene Zahlen für die Variable einzusetzen. Wenn du eine Zahl findest, bei der die Gleichung nicht stimmt, ist sie nicht allgemeingültig. - Kannst du eine Seite der Gleichung so umformen, dass sie exakt wie die andere Seite aussieht?

Lösung

1. Der Term \(n + n\) lässt sich durch Zusammenfassen zu \(2n\) vereinfachen. Die Gleichung \(2n = 2n\) ist für alle \(n\) wahr, also allgemeingültig. 2. Die Gleichung \(3x = 15\) hat nur die Lösung \(x = 5\). Sie ist nicht für alle Werte wahr. 3. Durch Anwendung des Distributivgesetzes ergibt sich \(4(a + b) = 4a + 4b\). Dies ist eine allgemeingültige Regel für alle \(a\) und \(b\). 4. Die Gleichung \(y - 5 = 5 - y\) ist nur für \(y = 5\) wahr (\(0 = 0\)). Für andere Werte (z. B. \(y = 0\)) ergibt sich \(-5 = 5\), was falsch ist. Nicht allgemeingültig. 5. Die Multiplikation einer Zahl mit \(1\) ergibt immer die Zahl selbst (neutrales Element). Die Gleichung ist für alle \(z\) wahr, also allgemeingültig.

Antwort

Allgemeingültig sind die Aussagen 1), 3) und 5).

4232627

In der Mathematik kann man jede ungerade Zahl durch den Term \(2n+1\) beschreiben, wobei \(n\) eine ganze Zahl ist. Zeige, dass die Summe von zwei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen immer durch 4 teilbar ist. Gehe dabei wie folgt vor: 1. Bestimme den Term für die auf \(2n+1\) folgende ungerade Zahl. 2. Bilde die Summe aus beiden Termen. 3. Vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich und ziehe eine Schlussfolgerung.

Denkanstöße

- Wenn eine ungerade Zahl \(2n+1\) ist, wie weit ist dann die nächste ungerade Zahl von ihr entfernt? - Addiere die beiden Terme und achte auf die Vorzeichen. - Wie kannst du am Ende zeigen, dass eine 4 im Ergebnis „steckt“? - Was muss man mit einem Term machen, um zu beweisen, dass er ein Vielfaches einer bestimmten Zahl ist?

Lösung

1. Bestimmung des Nachfolgers: Die nächste ungerade Zahl nach \(2n+1\) erhält man, indem man 2 addiert. Der Term lautet also \((2n+1) + 2 = 2n+3\). 2. Summenbildung: Die Summe beider Zahlen ist \(S = (2n+1) + (2n+3)\). 3. Vereinfachung: Durch Auflösen der Klammern und Zusammenfassen erhält man \(S = 2n + 2n + 1 + 3 = 4n + 4\). 4. Faktorisierung: Durch Ausklammern von 4 ergibt sich \(S = 4(n+1)\). 5. Ergebnis: Da der Term den Faktor 4 enthält, ist die Summe für jede ganze Zahl \(n\) durch 4 teilbar.

Antwort

Die Summe der beiden aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen \(2n+1\) und \(2n+3\) ergibt vereinfacht \(4n+4\). Da man dies als \(4(n+1)\) schreiben kann, ist das Ergebnis immer durch 4 teilbar.

4236017

Beweise allgemein mit Variablen, dass die Summe einer geraden Zahl und einer ungeraden Zahl immer eine ungerade Zahl ergibt.

Denkanstöße

- Wie lässt sich eine gerade Zahl allgemein mit einer Variablen ausdrücken? - Wie unterscheidet sich die Darstellung einer ungeraden Zahl von der einer geraden Zahl? - Versuche, die Summe so umzuformen, dass du den Faktor 2 erkennst. - Was sagt der Rest bei einer Division durch 2 über die Art der Zahl aus?

Lösung

1. Darstellung einer geraden Zahl als \(2n\), wobei \(n\) eine ganze Zahl ist. 2. Darstellung einer ungeraden Zahl als \(2m + 1\), wobei \(m\) eine ganze Zahl ist. 3. Bildung der Summe: \(2n + (2m + 1)\). 4. Anwendung des Distributivgesetzes zum Ausklammern der 2: \(2(n + m) + 1\). 5. Da \(n + m\) wieder eine ganze Zahl ist (nennen wir sie \(k\)), hat das Ergebnis die Form \(2k + 1\). 6. Ein Term der Form \(2k + 1\) definiert eine ungerade Zahl.

Antwort

Eine gerade Zahl kann als \(2n\) und eine ungerade Zahl als \(2m+1\) dargestellt werden. Die Summe ist \(2n + 2m + 1 = 2(n+m) + 1\). Da dieser Term der Definition einer ungeraden Zahl entspricht, ist die Behauptung bewiesen.

5527057

Vergleiche die beiden Verwendungen einer Variablen: <table><tr><th>Situation</th><th>Term oder Gleichung</th></tr><tr><td>A</td><td>\(3+p=11\)</td></tr><tr><td>B</td><td>\(K=3n\), wobei \(n\) die Anzahl gleich großer Päckchen mit je \(3\) Karten ist.</td></tr></table> a) In welcher Situation ist die Variable ein Platzhalter für genau einen gesuchten Wert? b) In welcher Situation kann die Variable verschiedene zulässige Werte annehmen? c) Nenne für Situation B zwei mögliche Werte für \(n\) und die jeweils zugehörigen Werte von \(K\).

Denkanstöße

- Prüfe in A, ob die Gleichung nur für einen bestimmten Wert wahr ist. - Überlege in B, ob es nur eine mögliche Anzahl von Päckchen geben kann. - Wähle für c) zwei einfache natürliche Werte und setze sie in den Term ein.

Lösung

1. In A muss \(p\) genau den Wert \(8\) haben, damit die Gleichung stimmt. Dort ist \(p\) ein Platzhalter für einen gesuchten Wert. 2. In B hängt \(K\) von der Anzahl der Päckchen ab. Für jede zulässige Anzahl \(n\) entsteht ein passender Wert von \(K\). 3. Zum Beispiel gilt für \(n=2\) der Wert \(K=6\) und für \(n=5\) der Wert \(K=15\).

Antwort

a) Situation A b) Situation B c) Zum Beispiel \(n=2 \Rightarrow K=6\) und \(n=5 \Rightarrow K=15\).

4117008

Ein Quotient soll durch Veränderung von Dividend \(a\) und Divisor \(b\) genau den \(10\)-fachen Wert des ursprünglichen Quotienten \(\frac{a}{b}\) annehmen. Dabei gilt \(b\neq0\). a) Wie muss sich der Divisor \(b\) ändern, wenn der Dividend \(a\) gleich bleibt? b) Wie muss sich der Dividend \(a\) ändern, wenn der Divisor \(b\) verdoppelt wird? c) Nenne eine weitere Möglichkeit, bei der sich sowohl \(a\) als auch \(b\) ändern, um das \(10\)-fache Ergebnis zu erhalten.

Denkanstöße

- Überlege, wie sich ein Quotient verändert, wenn nur der Nenner verändert wird. - Berücksichtige bei b) zuerst die Wirkung der Verdopplung des Nenners. - Für c) suchst du zwei Änderungsfaktoren, deren gemeinsame Wirkung den Faktor \(10\) ergibt.

Lösung

1. Bleibt \(a\) unverändert, muss der Nenner durch \(10\) geteilt werden: \(\frac{a}{b:10}=10\cdot\frac{a}{b}\). 2. Wird \(b\) verdoppelt, muss \(a\) mit \(20\) multipliziert werden: \(\frac{20a}{2b}=10\cdot\frac{a}{b}\). 3. Eine weitere Möglichkeit ist, \(a\) zu verfünffachen und \(b\) zu halbieren: \(\frac{5a}{b:2}=10\cdot\frac{a}{b}\).

Antwort

a) \(b\) wird durch \(10\) geteilt. b) \(a\) wird mit \(20\) multipliziert. c) Zum Beispiel: \(a\) wird verfünffacht und \(b\) halbiert.

4121346

In den folgenden Rechnungen wurden Ziffern durch die Buchstaben \(a\) und \(b\) ersetzt. Bestimme in jeder Teilaufgabe neu, welche Ziffern (0 bis 9) jeweils eingesetzt werden müssen. a) \(4{,}a2 + 3{,}7b = 8{,}59\) b) \(12{,}b - a{,}5 = 8{,}7\)

Denkanstöße

- Gehe wie bei der schriftlichen Addition oder Subtraktion Stelle für Stelle vor. - Vergiss nicht, mögliche Überträge oder das „Entleihen“ von der nächsten Stelle zu berücksichtigen. - Jeder Buchstabe steht für genau eine Ziffer zwischen 0 und 9.

Lösung

1. Analyse von Aufgabe a): An der Hundertstelstelle gilt \(2 + b = 9\), woraus \(b = 7\) folgt. An der Zehntelstelle gilt \(a + 7 = 15\) (mit einem Übertrag von 1 zur Einerstelle), woraus \(a = 8\) folgt. Die Einerstellen bestätigen dies: \(1 (\text{Übertrag}) + 4 + 3 = 8\). 2. Analyse von Aufgabe b): An der Zehntelstelle muss gelten \(b - 5 = 7\). Da dies mit einer Ziffer nicht direkt möglich ist, muss eine Einheit von der Einerstelle entliehen werden: \(10 + b - 5 = 7\), also \(b + 5 = 7\), woraus \(b = 2\) folgt. 3. An der Einerstelle von Aufgabe b) verbleibt nach dem Entleihen \(1 - a = 8\). Dies erfordert das Entleihen von der Zehnerstelle: \(11 - a = 8\), woraus \(a = 3\) folgt. Die Zehnerstelle wird dadurch zu \(0\), was zum Ergebnis \(8{,}7\) passt.

Antwort

a) \(a = 8\), \(b = 7\) b) \(a = 3\), \(b = 2\)

4121556

Welche Ziffern (0 bis 9) können jeweils in das Kästchen \(\square\) eingesetzt werden, damit eine wahre Aussage entsteht? Gib für jede Teilaufgabe alle möglichen Ziffern an. a) \(-4{,}1\square > -4{,}15\) b) \(-0{,}\square7 < -0{,}4\) c) \(-8{,}2 < -8{,}\square1\)

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie die Beziehung für die positiven Beträge der Zahlen aussehen müsste. - Achtung: Bei negativen Zahlen dreht sich das Ungleichheitszeichen um, wenn man nur die Beträge betrachtet. - Ergänze bei Dezimalzahlen fehlende Endstellen mit Nullen, um die Stellenwerte besser vergleichen zu können (z. B. \(0{,}4\) als \(0{,}40\)).

Lösung

1. Für \(-4{,}1\square > -4{,}15\) muss der Betrag \(4{,}1\square\) kleiner als \(4{,}15\) sein. Dies ist für die Ziffern \(0, 1, 2, 3\) und \(4\) der Fall (da \(4{,}14 < 4{,}15\), aber \(4{,}15 = 4{,}15\)). 2. Für \(-0{,}\square7 < -0{,}4\) (entspricht \(-0{,}40\)) muss der Betrag \(0{,}\square7\) größer als \(0{,}40\) sein. Wenn \(\square = 4\), ist \(0{,}47 > 0{,}40\). Für alle Ziffern größer als \(4\) gilt dies ebenfalls. Die Lösung ist \(\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). 3. Für \(-8{,}2 < -8{,}\square1\) muss der Betrag \(8{,}2\) (oder \(8{,}20\)) größer als \(8{,}\square1\) sein. Setzt man \(\square = 1\) ein, ist \(8{,}20 > 8{,}11\) (wahr). Setzt man \(\square = 2\) ein, ist \(8{,}20 > 8{,}21\) (falsch). Somit sind nur die Ziffern \(0\) und \(1\) möglich.

Antwort

a) \(\square \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\) b) \(\square \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) c) \(\square \in \{0, 1\}\)

4121626

Vervollständige die Tabelle, indem du die fehlenden Werte für \(a\), \(b\) oder die Summe \(a + b\) berechnest. <table> <tr> <th style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(a\)</th> <th style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(b\)</th> <th style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(a + b\)</th> </tr> <tr> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(-4{,}5\)</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(2{,}1\)</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">?</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">?</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(-7{,}8\)</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(-3{,}2\)</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(\frac{3}{4}\)</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">?</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(-\frac{1}{8}\)</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Wenn das Ergebnis und ein Summand bekannt sind, wie findet man den anderen Summanden? - Überlege dir, welche Rechenoperation die Umkehrung der Addition ist. - Achte bei den Brüchen darauf, sie zuerst auf den gleichen Nenner zu bringen.

Lösung

1. Berechnung der Summe in Zeile 1: \(-4{,}5 + 2{,}1 = -2{,}4\). 2. Bestimmung von \(a\) in Zeile 2 durch Umkehrrechnung: \(a = -3{,}2 - (-7{,}8) = -3{,}2 + 7{,}8 = 4{,}6\). 3. Bestimmung von \(b\) in Zeile 3 durch Umkehrrechnung: \(b = -\frac{1}{8} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{8} - \frac{6}{8} = -\frac{7}{8}\).

Antwort

Zeile 1: \(a + b = -2{,}4\) Zeile 2: \(a = 4{,}6\) Zeile 3: \(b = -\frac{7}{8}\)

4121646

In die Kästchen der folgenden Ungleichungskette soll die gleiche Ziffer eingesetzt werden: \(0{,}\square 7 < 0{,}\square < 0{,}6\) Erkläre mathematisch, warum es nicht möglich ist, eine passende Ziffer zu finden.

Denkanstöße

- Untersuche zuerst nur den linken Teil der Ungleichungskette. - Schreibe \(0{,}\square\) mit einer zusätzlichen Null an der Hundertstelstelle. - Welche der beiden Zahlen ist dann an der ersten unterschiedlichen Stelle größer?

Lösung

1. Betrachte zuerst \(0{,}\square 7 < 0{,}\square\). 2. Schreibe die rechte Zahl als \(0{,}\square 0\). Einer- und Zehntelstelle sind dann gleich, aber in der Hundertstelstelle steht links \(7\) und rechts \(0\). 3. Deshalb gilt für jede Ziffer \(0{,}\square 7 > 0{,}\square 0\). Schon die erste Teilungleichung ist unmöglich, also hat die ganze Ungleichungskette keine Lösung.

Antwort

Es gibt keine passende Ziffer, weil stets \(0{,}\square 7 > 0{,}\square 0\) gilt.

4121656

Gegeben ist die folgende Ungleichung für rationale Zahlen, in der \(k\) für eine Ziffer steht: \(-k{,}6 < -3{,}4 < -k{,}2\) Bestimme alle Ziffern für \(k\), die die Ungleichungskette zu einer wahren Aussage machen.

Denkanstöße

- Zerlege die Kette in zwei einzelne Vergleiche. - Bei negativen Zahlen liegt die Zahl mit dem größeren Betrag weiter links. - Prüfe am Ende die gefundene Ziffer in der ursprünglichen Kette.

Lösung

1. Für die linke Ungleichung \(-k{,}6 < -3{,}4\) muss \(k{,}6 > 3{,}4\) gelten. Das ist für \(k \ge 3\) erfüllt. 2. Für die rechte Ungleichung \(-3{,}4 < -k{,}2\) muss \(3{,}4 > k{,}2\) gelten. Das ist für \(k \le 3\) erfüllt. 3. Beide Bedingungen sind gleichzeitig nur für \(k = 3\) erfüllt. Die Probe \(-3{,}6 < -3{,}4 < -3{,}2\) bestätigt das Ergebnis.

Antwort

Die einzige mögliche Ziffer ist \(k = 3\).

4121757

Vervollständige die folgende Subtraktionstabelle und bestimme die Werte für \(x\) und \(y\). In der Tabelle wird jeweils der Wert in der oberen Zeile vom Wert in der linken Spalte subtrahiert (linke Spalte \(-\) obere Zeile). <table> <tr><td>\(-\)</td><td>\(1{,}2\)</td><td>\(y\)</td><td>\(-3{,}5\)</td></tr> <tr><td>\(4{,}5\)</td><td>\(3{,}3\)</td><td>\(7{,}2\)</td><td></td></tr> <tr><td>\(-2{,}8\)</td><td></td><td>\(-0{,}1\)</td><td>\(0{,}7\)</td></tr> <tr><td>\(x\)</td><td>\(-5{,}5\)</td><td></td><td>\(-0{,}8\)</td></tr> </table>

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie man eine solche Tabelle liest. Welcher Wert wird von welchem abgezogen? - Um eine fehlende Zahl in der oberen Zeile oder der linken Spalte zu finden, kannst du eine kleine Gleichung aufstellen. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl subtrahierst.

Lösung

1. Bestimmung von \(y\): Aus der Zeile mit dem Zeilenkopf \(4{,}5\) folgt \(4{,}5 - y = 7{,}2\). Umstellen ergibt \(y = 4{,}5 - 7{,}2 = -2{,}7\). 2. Bestimmung von \(x\): Aus der Zeile mit dem Zeilenkopf \(x\) folgt \(x - 1{,}2 = -5{,}5\). Umstellen ergibt \(x = -5{,}5 + 1{,}2 = -4{,}3\). 3. Ausfüllen der fehlenden Tabellenwerte: - Zeile \(4{,}5\), Spalte \(-3{,}5\): \(4{,}5 - (-3{,}5) = 4{,}5 + 3{,}5 = 8{,}0\). - Zeile \(-2{,}8\), Spalte \(1{,}2\): \(-2{,}8 - 1{,}2 = -4{,}0\). - Zeile \(x\), Spalte \(y\): \(-4{,}3 - (-2{,}7) = -4{,}3 + 2{,}7 = -1{,}6\).

Antwort

\(x = -4{,}3\); \(y = -2{,}7\) Vollständige Tabelle: <table> <tr><td>\(-\)</td><td>\(1{,}2\)</td><td>\(-2{,}7\)</td><td>\(-3{,}5\)</td></tr> <tr><td>\(4{,}5\)</td><td>\(3{,}3\)</td><td>\(7{,}2\)</td><td>\(8{,}0\)</td></tr> <tr><td>\(-2{,}8\)</td><td>\(-4{,}0\)</td><td>\(-0{,}1\)</td><td>\(0{,}7\)</td></tr> <tr><td>\(-4{,}3\)</td><td>\(-5{,}5\)</td><td>\(-1{,}6\)</td><td>\(-0{,}8\)</td></tr> </table>

4121776

Bestimme die fehlende Zahl in den folgenden Rechnungen, sodass eine wahre Aussage entsteht: a) \(\Box - (-4{,}2) = -1{,}5\) b) \(2{,}5 - \Box = 6{,}1\) c) \(-\frac{7}{8} - \Box = -\frac{1}{4}\)

Denkanstöße

- Nutze die passende Umkehroperation, um die fehlende Zahl zu bestimmen. - Prüfe besonders das Vorzeichen, wenn eine negative Zahl subtrahiert wird. - Bringe die Brüche in c) auf denselben Nenner.

Lösung

1. In a) gilt \(\Box + 4{,}2 = -1{,}5\). Daher ist \(\Box = -1{,}5 - 4{,}2 = -5{,}7\). 2. In b) muss von \(2{,}5\) die Zahl \(-3{,}6\) subtrahiert werden, denn \(2{,}5 - (-3{,}6) = 6{,}1\). 3. In c) gilt \(-\frac{7}{8} - \Box = -\frac{2}{8}\). Daher ist \(\Box = -\frac{5}{8}\).

Antwort

a) \(-5{,}7\) b) \(-3{,}6\) c) \(-\frac{5}{8}\)

4142237

Ermittle den Wert, der in das Kästchen \(\Box\) passt. Achte auf die Verbindung von Brüchen und Dezimalzahlen. a) \(\frac{3}{4} + \Box - 0{,}25 = 1\) b) \(2( \Box + 1{,}5 ) = 7\) c) \(10 - \frac{\Box}{2} = 8{,}5\)

Denkanstöße

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass das Kästchen am Ende alleine auf einer Seite steht? - Denke an die Vorrangregeln, zum Beispiel bei der Klammeraufgabe oder dem Bruchstrich. - Manchmal ist es einfacher, alles in Dezimalzahlen umzurechnen, bevor man beginnt.

Lösung

1. Umwandlung und Zusammenfassung: \(\frac{3}{4}\) entspricht \(0{,}75\). Rechnung: \(0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5\). Die Gleichung lautet \(0{,}5 + \Box = 1\). Subtraktion ergibt \(\Box = 0{,}5\). 2. Division der gesamten Gleichung durch \(2\): \(\Box + 1{,}5 = 3{,}5\). Subtraktion von \(1{,}5\) auf beiden Seiten ergibt \(\Box = 2\). 3. Umstellen der Gleichung nach dem Bruchterm: \(\frac{\Box}{2} = 10 - 8{,}5 = 1{,}5\). Multiplikation beider Seiten mit \(2\) ergibt \(\Box = 3\).

Antwort

a) \(0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)) b) \(2\) c) \(3\)

4225337

Zahlen lassen sich oft durch allgemeine Terme beschreiben. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben: 1. Gib einen Term an, der alle natürlichen Zahlen beschreibt, die bei der Division durch 4 den Rest 1 lassen. Nutze \(n\) als Platzhalter für eine natürliche Zahl (\(n = 0, 1, 2, \dots\)). 2. Erkläre, warum der Term \(2(k + 5)\) für jede ganze Zahl \(k\) immer eine gerade Zahl darstellt. 3. Jemand behauptet, dass Zahlen der Form \(3n + 6\) immer durch 3 teilbar sind. Überprüfe dies, indem du den Term durch Ausklammern umformst.

Denkanstöße

- Was bedeutet „Rest“ bei einer Division für den Aufbau eines Terms? - Wann genau nennst du eine Zahl „gerade“? - Wie kannst du zeigen, dass eine Summe ein Vielfaches einer bestimmten Zahl ist?

Lösung

1. Eine Zahl, die bei Division durch 4 den Rest 1 lässt, hat die Form \(4n + 1\). 2. Eine gerade Zahl ist als Vielfaches von 2 definiert. Da \(k\) eine ganze Zahl ist, ist auch \(k + 5\) eine ganze Zahl. Der Term \(2(k + 5)\) hat die Form \(2m\) (mit \(m = k + 5\)) und ist somit stets durch 2 teilbar und damit gerade. 3. Durch Ausklammern von 3 erhält man \(3(n + 2)\). Da der Term als Produkt mit dem Faktor 3 geschrieben werden kann, ist das Ergebnis für jede ganze Zahl \(n\) durch 3 teilbar.

Antwort

1. \(4n + 1\) 2. Der Term ist ein Produkt mit dem Faktor \(2\), was der Definition einer geraden Zahl entspricht. 3. Ja, die Behauptung stimmt, da \(3n + 6 = 3(n + 2)\).

4229197

Betrachte das Produkt einer beliebigen geraden Zahl und einer beliebigen ungeraden Zahl. a) Zeige allgemein mithilfe von Termen, dass dieses Produkt immer eine gerade Zahl ist. b) Untersuche nun das Produkt zweier ungerader Zahlen. Ist das Ergebnis gerade oder ungerade? Begründe deine Antwort mithilfe eines allgemeinen Terms.

Denkanstöße

- Wie kann man eine gerade Zahl allgemein mit einer Variablen ausdrücken? - Wie sieht im Vergleich dazu eine ungerade Zahl aus? - Wenn du die Klammern beim Multiplizieren auflöst, achte darauf, jeden Teil der ersten Klammer mit jedem Teil der zweiten Klammer zu multiplizieren. - Woran erkennt man an einem Term, ob das Ergebnis auf jeden Fall durch 2 teilbar ist?

Lösung

1. Definition der Zahlen: Eine gerade Zahl lässt sich als \(2n\) und eine ungerade Zahl als \(2m + 1\) darstellen, wobei \(n\) und \(m\) ganze Zahlen sind. 2. Teil a) Produkt bilden: \(2n(2m + 1) = 4nm + 2n\). 3. Ausklammern: Der Term lässt sich als \(2(2nm + n)\) schreiben. Da dies ein Vielfaches von 2 ist, ist das Ergebnis immer eine gerade Zahl. 4. Teil b) Produkt zweier ungerader Zahlen: \((2n + 1)(2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1\). 5. Umformung: Der Term lässt sich zu \(2(2nm + n + m) + 1\) zusammenfassen. Dies entspricht der Form einer ungeraden Zahl (\(2 \cdot \text{ganze Zahl} + 1\)). Das Ergebnis ist also immer ungerade.

Antwort

a) Das Produkt ist \(2(2nm + n)\). Da es als Vielfaches von 2 darstellbar ist, ist es stets gerade. b) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade, da \((2n+1)(2m+1) = 2(2nm+n+m)+1\) immer einen Rest von 1 bei der Division durch 2 lässt.

4244607

Stelle für die folgenden Beschreibungen jeweils einen Term mit der Variablen \(k\) auf. Dabei ist \(k\) eine beliebige ganze Zahl. a) Alle Zahlen, die durch 8 teilbar sind. b) Alle Zahlen, die bei der Division durch 8 den Rest 5 lassen. c) Alle ungeraden Zahlen. d) Alle Zahlen, die um 2 kleiner sind als ein Vielfaches von 3.

Denkanstöße

- Wie schreibt man allgemein ein Vielfaches einer Zahl mit einer Variablen? - Wenn eine Zahl einen Rest lässt, wie verändert das den Term für das Vielfache? - Überlege dir, wie du sicherstellen kannst, dass das Ergebnis einer Rechnung immer gerade ist, und was du dann tun musst, um es ungerade zu machen. - „Um etwas kleiner“ lässt sich mathematisch durch ein bestimmtes Rechenzeichen ausdrücken.

Lösung

1. Teilbarkeit durch 8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn sie ein Vielfaches von 8 ist, also \(8k\). 2. Division durch 8 mit Rest 5: Ein Vielfaches von 8 wird um den Rest erhöht, was zum Term \(8k + 5\) führt. 3. Ungerade Zahlen: Da \(2k\) immer gerade ist, führt die Addition oder Subtraktion von 1 zu einer ungeraden Zahl, also \(2k + 1\) oder \(2k - 1\). 4. Um 2 kleiner als ein Vielfaches von 3: Ein Vielfaches von 3 ist \(3k\); „um 2 kleiner“ bedeutet eine Subtraktion von 2, also \(3k - 2\).

Antwort

a) \(8k\); b) \(8k + 5\); c) \(2k + 1\) (oder \(2k - 1\)); d) \(3k - 2\).

4244657

Wenn man drei ungerade Zahlen addiert, ist das Ergebnis immer ungerade. Überprüfe diese Behauptung allgemein, indem du einen Term für die Summe von drei beliebigen ungeraden Zahlen aufstellst und diesen so umformst, dass man die Eigenschaft (ungerade) direkt ablesen kann.

Denkanstöße

- Wie lässt sich eine ungerade Zahl allgemein mit einer Variablen ausdrücken? - Was passiert, wenn du drei solche Ausdrücke addierst? - Kannst du das Ergebnis so umschreiben, dass es wie die allgemeine Form einer ungeraden Zahl aussieht? - Erinnere dich daran, dass jede gerade Zahl durch \(2\) teilbar ist.

Lösung

1. Darstellung der drei ungeraden Zahlen mithilfe von Variablen: \(2a+1\), \(2b+1\) und \(2c+1\), wobei \(a, b, c\) ganze Zahlen sind. 2. Aufstellen der Summe: \(S = (2a+1) + (2b+1) + (2c+1)\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(S = 2a + 2b + 2c + 3\). 4. Zerlegung der Zahl \(3\) in \(2 + 1\), um den Faktor \(2\) ausklammern zu können: \(S = 2a + 2b + 2c + 2 + 1\). 5. Ausklammern der \(2\): \(S = 2(a + b + c + 1) + 1\). 6. Da der Ausdruck in der Klammer eine ganze Zahl ergibt, hat das Gesamtergebnis die Form \(2k + 1\), was definitionsgemäß eine ungerade Zahl beschreibt.

Antwort

Die Behauptung ist wahr. Die Summe lässt sich als \(2(a+b+c+1) + 1\) schreiben. Da \(a+b+c+1\) eine ganze Zahl ist, entspricht dieser Term der allgemeinen Form einer ungeraden Zahl.

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.