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Terme zu Mustern und Figuren

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Schwierigkeit: 1 – 5

4124877

Ein Rechteck hat eine feste Breite von \(6\,\text{cm}\). Die Länge \(a\) des Rechtecks ist variabel. a) Stelle einen Term für den Umfang \(U\) des Rechtecks in Abhängigkeit von der Länge \(a\) auf. b) Berechne den Umfang für \(a = 4\,\text{cm}\) und \(a = 12{,}5\,\text{cm}\).

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man alle vier Seiten addiert? - Welche Seiten sind in einem Rechteck jeweils gleich lang? - Ersetze die bekannte Breite in deiner Formel durch die gegebene Zahl. - Setze die verschiedenen Werte für die Variable nacheinander in deine gefundene Formel ein.

Lösung

1. Formel für den Umfang eines Rechtecks mit Länge \(a\) und Breite \(b\): \(U = 2a + 2b\). 2. Einsetzen der gegebenen Breite \(b = 6\,\text{cm}\): \(U = 2a + 2 \cdot 6 = 2a + 12\). 3. Berechnung für \(a = 4\,\text{cm}\): \(U = 2 \cdot 4 + 12 = 8 + 12 = 20\,\text{cm}\). 4. Berechnung für \(a = 12{,}5\,\text{cm}\): \(U = 2 \cdot 12{,}5 + 12 = 25 + 12 = 37\,\text{cm}\).

Antwort

a) Der Term für den Umfang lautet \(U = 2a + 12\) (in \(\text{cm}\)). b) Für \(a = 4\,\text{cm}\) beträgt der Umfang \(20\,\text{cm}\). Für \(a = 12{,}5\,\text{cm}\) beträgt der Umfang \(37\,\text{cm}\).

5553307

Die Abbildung zeigt die ersten drei Stufen eines Plättchenmusters. Jedes Gitterkästchen innerhalb der gezeichneten Figur entspricht einem Plättchen. Welcher Term beschreibt die Plättchenzahl in Stufe \(n\)? A) \(n+1\) B) \(2n\) C) \(n+2\) Begründe deine Wahl kurz am Aufbau des Musters.

Denkanstöße

- Welcher Teil der Figur wird von Stufe zu Stufe länger? - Welcher Teil bleibt in allen drei Bildern unverändert? - Addiere wachsenden und festen Teil.

Lösung

1. In jeder Stufe gibt es eine waagerechte Reihe aus \(n\) Plättchen. 2. Zusätzlich liegt immer genau ein festes Plättchen über dem linken Rand. 3. Daher ist die Gesamtzahl \(n+1\), also passt A.

Antwort

A) \(n+1\). Die waagerechte Reihe enthält \(n\) Plättchen; ein weiteres Plättchen bleibt in jeder Stufe zusätzlich erhalten.

4124907

Ein rechteckiges Beet soll mit einem Zaun eingefasst werden. Die Breite des Beets wird mit \(x\) bezeichnet. Die Länge des Beets ist \(3\,\text{m}\) länger als das Doppelte der Breite. a) Stelle einen Term für den Umfang \(U\) des Beets auf. b) Vereinfache diesen Term so weit wie möglich. c) Berechne die Gesamtlänge des Zauns, wenn das Beet \(4{,}50\,\text{m}\) breit ist.

Denkanstöße

- Wie berechnet man allgemein den Umfang eines Rechtecks? - Kannst du die Länge des Beets mithilfe von \(x\) ausdrücken? - Achte beim Vereinfachen auf die Vorrangregeln und das Distributivgesetz. - Was musst du am Ende für \(x\) einsetzen?

Lösung

1. Bestimmung der Seitenlängen: Breite \(b = x\), Länge \(l = 2x + 3\). 2. Aufstellen des Umfangsterms: \(U = 2x + 2(2x + 3)\) oder \(U = x + x + (2x + 3) + (2x + 3)\). 3. Vereinfachung durch Auflösen der Klammer: \(U = 2x + 4x + 6\). 4. Zusammenfassen der Glieder mit \(x\): \(U = 6x + 6\). 5. Einsetzen von \(x = 4{,}5\): \(U = 6 \cdot 4{,}5 + 6 = 27 + 6 = 33\). Das Beet hat einen Umfang von \(33\,\text{m}\).

Antwort

a) \(U = 2x + 2(2x + 3)\) b) \(U = 6x + 6\) c) \(33\,\text{m}\)

4124937

Ein Viereck hat vier Seiten mit folgenden Längen: - Die erste Seite ist \(x\,\text{cm}\) lang. - Die zweite Seite ist \(2\,\text{cm}\) länger als die erste Seite. - Die dritte Seite ist doppelt so lang wie die erste Seite. - Die vierte Seite ist genau \(5\,\text{cm}\) lang. a) Stelle einen Term für den Umfang \(U\) des Vierecks auf und fasse ihn so weit wie möglich zusammen. b) Berechne den Umfang für \(x = 3{,}5\,\text{cm}\).

Denkanstöße

- Was bedeutet der Begriff Umfang bei einer geometrischen Figur? - Versuche zuerst, für jede der vier Seiten einen eigenen kleinen Term mit der Variablen \(x\) zu finden. - Wie kannst du einen langen Term vereinfachen, in dem mehrmals die gleiche Variable vorkommt?

Lösung

1. Aufstellen der Terme für die einzelnen Seitenlängen: - Seite 1: \(x\) - Seite 2: \(x + 2\) - Seite 3: \(2x\) - Seite 4: \(5\) 2. Aufstellen des Terms für den Gesamtumfang durch Summation: \(U = x + (x + 2) + 2x + 5\) 3. Zusammenfassen des Terms: \(U = 4x + 7\) 4. Einsetzen von \(x = 3{,}5\) in den zusammengefassten Term: \(U = 4 \cdot 3{,}5 + 7 = 14 + 7 = 21\) 5. Ergebnis: Der Umfang beträgt \(21\,\text{cm}\).

Antwort

a) \(U = 4x + 7\) b) \(21\,\text{cm}\)

4125027

Ein quadratisches Mosaik wird für eine natürliche Zahl \(n \ge 2\) aus \(n \times n\) kleinen Steinchen zusammengesetzt. Die vier Steinchen in den Ecken des Mosaiks sind goldfarben. Alle anderen Steinchen, die sich am äußeren Rand befinden, sind silberfarben. Die restlichen Steinchen im Inneren sind weiß. Stelle einen Term für die Anzahl der silbernen Steinchen in Abhängigkeit von \(n\) auf. Vereinfache deinen Term so weit wie möglich.

Denkanstöße

- Wie viele Steinchen liegen insgesamt auf einer Seite des Quadrats? - Überlege dir, wie viele Steinchen an einer Seite übrig bleiben, wenn du die Ecken weglässt. - Gibt es einen Unterschied zwischen der Gesamtzahl der Randsteinchen und den gesuchten silbernen Steinchen? - Probiere es zur Kontrolle mit einem kleinen Beispiel aus, zum Beispiel für \(n = 4\).

Lösung

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Randsteinchen: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \(n\) hat insgesamt \(4n - 4\) Steinchen am Rand (vier Seiten à \(n\) Steinchen abzüglich der vier doppelt gezählten Eckpunkte). 2. Abzug der Ecksteinchen: Von der Gesamtzahl der Randsteinchen müssen die 4 goldenen Ecksteinchen abgezogen werden. 3. Aufstellen des Terms: \(T(n) = (4n - 4) - 4\). 4. Vereinfachung: \(T(n) = 4n - 8\). 5. Alternativer Weg: Jede der vier Seiten hat \(n\) Steinchen. Ohne die zwei Ecken pro Seite bleiben \(n - 2\) silberne Steinchen pro Seite. Da es vier Seiten gibt, ergibt sich \(4 \cdot (n - 2) = 4n - 8\).

Antwort

Der Term für die Anzahl der silbernen Steinchen lautet \(4n - 8\) (oder \(4 \cdot (n - 2)\)).

5527067

Im Bild siehst du die ersten drei Stufen eines Musters aus quadratischen Plättchen. Jedes Gitterkästchen innerhalb der gezeichneten Figur entspricht genau einem Plättchen. a) Wie viele Plättchen hat Stufe \(4\)? b) Stelle einen Term \(P(n)\) für die Anzahl der Plättchen in Stufe \(n\) auf. c) Erkläre am Bild, warum dein Term zur Veränderung von einer Stufe zur nächsten passt.

Denkanstöße

- Zähle die Kästchen in den drei gezeigten Stufen. - Welche neuen Kästchen erscheinen jeweils beim Übergang zur nächsten Stufe? - Formuliere Startwert und konstante Zunahme getrennt.

Lösung

1. Die gezeigten Stufen enthalten \(1\), \(5\) und \(9\) Plättchen. 2. Von einer Stufe zur nächsten wird jeder der vier Arme um ein Plättchen verlängert, also kommen jeweils vier Plättchen hinzu. 3. Stufe \(4\) enthält daher \(13\) Plättchen. 4. Es gilt \(P(n)=1+4(n-1)=4n-3\).

Antwort

a) \(13\) Plättchen b) \(P(n)=4n-3\) c) Pro Stufe kommen vier Plättchen hinzu, je eines an jedem Arm.

5527077

Die Abbildung zeigt die ersten drei Stufen einer Reihe aus gleich großen Quadraten. Jede gezeichnete Strecke entspricht genau einem Streichholz. a) Wie viele Streichhölzer braucht Stufe \(4\)? b) Stelle einen Term \(H(n)\) für die Anzahl der Streichhölzer in Stufe \(n\) auf. c) Erkläre, warum beim Anfügen eines weiteren Quadrats nicht vier neue Streichhölzer nötig sind.

Denkanstöße

- Zähle in jeder Stufe nur tatsächlich gezeichnete Strecken. - Vergleiche ein einzelnes Quadrat mit einem neu angefügten Quadrat. - Trenne Startwert und konstante Zunahme.

Lösung

1. Die drei Stufen benötigen \(4\), \(7\) und \(10\) Streichhölzer. 2. Jedes neue Quadrat teilt eine Seite mit dem vorherigen; deshalb kommen jeweils drei neue Hölzer hinzu. 3. Stufe \(4\) benötigt \(13\) Hölzer. 4. Damit gilt \(H(n)=4+3(n-1)=3n+1\).

Antwort

a) \(13\) Streichhölzer b) \(H(n)=3n+1\) c) Eine Seite wird mit dem vorherigen Quadrat geteilt; nur drei Strecken kommen neu hinzu.

5527087

Die Zeichnung ist schematisch; maßgeblich sind die Beschriftungen. Ein Rechteck ist durch eine senkrechte Linie in zwei Teilrechtecke zerlegt. a) Stelle einen Term für den Flächeninhalt des ganzen Rechtecks auf, indem du zuerst die gesamte Breite verwendest. b) Stelle einen zweiten Term auf, indem du die Flächeninhalte der beiden Teilrechtecke addierst. c) Begründe mithilfe der Zeichnung, warum beide Terme gleichwertig sind.

Denkanstöße

- Lies die beiden Teilbreiten und die gemeinsame Höhe direkt aus der Zeichnung ab. - Für die Gesamtbreite müssen die beiden horizontalen Teilstrecken zusammengefasst werden. - Vergleiche „ganze Fläche auf einmal“ mit „Summe der beiden Teilflächen“.

Lösung

1. Die gesamte Breite besteht aus den Teilbreiten \(a\) und \(b\), also \(a+b\). Mit der Höhe \(c\) ist der Gesamtflächeninhalt \(c(a+b)\). 2. Das linke Teilrechteck hat den Flächeninhalt \(ac\), das rechte den Flächeninhalt \(bc\). Zusammen ergeben sie \(ac+bc\). 3. Beide Beschreibungen beziehen sich auf dieselbe Gesamtfläche. Daher gilt \(c(a+b)=ac+bc\).

Antwort

a) \(c(a+b)\) b) \(ac+bc\) c) Beide Terme beschreiben dieselbe Rechtecksfläche; daher gilt \(c(a+b)=ac+bc\).

5553317

Die Bilder zeigen Reihen aus \(n\) gleich großen Quadraten. Jede Gitterstrecke am Außenrand zählt als eine Randstrecke. Welcher Term gibt die Anzahl \(U(n)\) der Randstrecken an? A) \(4n\) B) \(2n+2\) C) \(n+2\) Erkläre, warum gemeinsam genutzte Quadratseiten nicht zum Außenrand gehören.

Denkanstöße

- Zähle obere und untere Randstrecken getrennt von den beiden Endseiten. - Welche Seiten verschwinden aus dem Außenrand, wenn zwei Quadrate aneinanderliegen? - Prüfe deinen Term an beiden gezeigten Beispielen.

Lösung

1. Oben und unten liegen jeweils \(n\) Randstrecken, zusammen also \(2n\). 2. Links und rechts kommt jeweils eine weitere Randstrecke hinzu. 3. Somit gilt \(U(n)=2n+2\), also passt B. Gemeinsame Seiten zwischen benachbarten Quadraten liegen innen und zählen nicht zum Außenrand.

Antwort

B) \(U(n)=2n+2\). Oben und unten liegen je \(n\) Randstrecken; die beiden Endseiten liefern die zusätzlichen \(2\). Gemeinsam genutzte Quadratseiten liegen im Inneren und gehören nicht zum Außenrand.

5553327

Ein Plättchenmuster wird durch den Term \(F(n)=3n+2\) beschrieben. a) Wie viele Plättchen kommen hinzu, wenn die Stufennummer um \(1\) steigt? Begründe deine Antwort am Term, ohne mehrere Stufen auszurechnen. b) Welche Bedeutung kann der konstante Term \(+2\) für den Aufbau des Musters haben? Formuliere eine mögliche Beschreibung.

Denkanstöße

- Welcher Teil des Terms verändert sich, wenn \(n\) größer wird? - Was bewirkt eine Erhöhung von \(n\) um genau \(1\) im Produkt \(3n\)? - Ein konstanter Term verändert sich nicht mit der Stufennummer. Was könnte das im Muster bedeuten?

Lösung

1. Wenn \(n\) um \(1\) steigt, wächst der Anteil \(3n\) um \(3\). Der konstante Anteil \(+2\) bleibt unverändert. 2. Deshalb kommen pro Stufe \(3\) Plättchen hinzu. 3. Eine mögliche Aufbauidee ist: Zu drei mit \(n\) wachsenden Plättchengruppen kommen immer zwei feste Plättchen hinzu.

Antwort

a) Es kommen \(3\) Plättchen hinzu, weil nur \(3n\) mit \(n\) wächst und eine Erhöhung von \(n\) um \(1\) diesen Anteil um \(3\) vergrößert. b) Möglich sind zwei feste Plättchen, die unabhängig von der Stufe immer vorhanden sind.

5553337

Ein Muster besteht in Stufe \(n\) aus \(n+1\) Spalten mit jeweils zwei Plättchen. a) Stelle einen Term auf, indem du alle Spalten auf einmal zählst. b) Stelle einen zweiten Term auf, indem du zuerst die ersten \(n\) Spalten und danach die letzte Spalte zählst. c) Zeige, dass beide Terme gleichwertig sind.

Denkanstöße

- Wie erhältst du aus „Anzahl der Spalten“ und „Plättchen pro Spalte“ eine Gesamtzahl? - Wenn du die letzte Spalte abtrennst, wie viele Spalten bleiben zuerst übrig? - Vereinfache den ersten Term und vergleiche ihn mit dem zweiten.

Lösung

1. Alle \(n+1\) Spalten mit je zwei Plättchen ergeben \(2(n+1)\). 2. Die ersten \(n\) Spalten enthalten \(2n\) Plättchen; die letzte Spalte enthält \(2\). Damit ergibt sich \(2n+2\). 3. Durch Ausmultiplizieren gilt \(2(n+1)=2n+2\). Beide Terme zählen also dasselbe Muster.

Antwort

a) \(2(n+1)\) b) \(2n+2\) c) \(2(n+1)=2n+2\); beide Terme sind gleichwertig.

4120747

Für eine Ausstellung in der Schulaula sollen quadratische Plakate mit einer Seitenlänge von \(0{,}80\,\text{m}\) in einer Reihe an einer \(15\,\text{m}\) langen Wand aufgehängt werden. Zwischen den Plakaten sowie vor dem ersten und nach dem letzten Plakat soll jeweils ein gleich großer Zwischenraum \(x\) bleiben. a) Erkläre, warum der Term für die benötigte Gesamtlänge bei \(n\) Plakaten \(L=0{,}80n+x(n+1)\) lautet. b) Es sollen genau \(12\) Plakate aufgehängt werden. Berechne den Abstand \(x\) in Zentimetern, wenn die gesamte Wandlänge von \(15\,\text{m}\) ausgenutzt wird. Runde auf \(0{,}1\,\text{cm}\). c) Wie würde sich der Term verändern, wenn man die Plakate ohne Abstand direkt nebeneinander hängen würde, aber links und rechts der gesamten Reihe jeweils ein Abstand von \(1{,}50\,\text{m}\) zu den beiden Ecken bleiben müsste?

Denkanstöße

- Zähle bei wenigen Plakaten probeweise, wie viele Zwischenräume einschließlich der beiden Randabstände auftreten. - Setze für b) die bekannte Anzahl der Plakate und die Wandlänge in den Term ein. - Rechne den gefundenen Abstand erst am Ende von Metern in Zentimeter um.

Lösung

1. Bei \(n\) Plakaten gibt es \(n\) Plakatbreiten und \(n+1\) gleich große Zwischenräume. Daher ist \(L=0{,}80n+x(n+1)\). 2. Für \(n=12\) und \(L=15\) gilt \(0{,}80 \cdot 12+13x=15\). 3. Daraus folgt \(9{,}60+13x=15\), also \(13x=5{,}40\) und \(x=\frac{5{,}40}{13}\,\text{m}\approx0{,}41538\,\text{m}\). 4. In Zentimetern sind das \(x\approx41{,}5\,\text{cm}\). 5. Ohne Zwischenräume zwischen den Plakaten kommen nur die beiden Randabstände hinzu: \(L=0{,}80n+3\).

Antwort

a) Es gibt \(n\) Plakatbreiten und \(n+1\) Zwischenräume. b) \(x \approx 41{,}5\,\text{cm}\) c) \(L=0{,}80n+3\) in Metern

4120757

Die Baufirma Nordtor nutzt Zaunelemente mit einer Länge von \(3{,}50\,\text{m}\) und Verbindungspfosten, die jeweils \(12\,\text{cm}\) breit sind. Ein Zaunabschnitt beginnt und endet immer mit einem Pfosten. Zwischen zwei Pfosten wird jeweils genau ein Zaunelement montiert. a) Stelle eine Formel für die Gesamtlänge \(L\) in Metern eines Zauns aus \(n\) Zaunelementen auf. b) Bauleiterin Elena Popescu plant einen mindestens \(47\,\text{m}\) langen Zaun. Bestimme durch Vergleichen geeigneter Anzahlen, wie viele Zaunelemente mindestens benötigt werden. c) Wie viele Pfosten werden für die in Teil b) gefundene Anzahl an Zaunelementen benötigt? Begründe kurz den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Elemente und der Pfosten.

Denkanstöße

- Rechne die Pfostenbreite zuerst in Meter um. - Überlege, wie viele Pfosten zu \(n\) Zwischenfeldern gehören. - Für b) genügt es, zwei benachbarte plausible Anzahlen in deinen Term einzusetzen und mit \(47\,\text{m}\) zu vergleichen.

Lösung

1. Zu \(n\) Zaunelementen gehören \(n+1\) Pfosten. Die Pfostenbreite beträgt \(0{,}12\,\text{m}\). Daher ist \(L=3{,}50n+0{,}12(n+1)=3{,}62n+0{,}12\). 2. Für \(n=12\) ergibt sich \(L=3{,}62 \cdot 12+0{,}12=43{,}56\,\text{m}\). Das reicht nicht. 3. Für \(n=13\) ergibt sich \(L=3{,}62 \cdot 13+0{,}12=47{,}18\,\text{m}\). Damit werden mindestens \(13\) Elemente benötigt. 4. Zu \(13\) Elementen gehören \(14\) Pfosten, weil der Zaun mit einem Pfosten beginnt und nach jedem Element ein weiterer Pfosten folgt.

Antwort

a) \(L=3{,}50n+0{,}12(n+1)=3{,}62n+0{,}12\) b) \(13\) Zaunelemente c) \(14\) Pfosten

4124887

Eine Figur wird aus einem Quadrat mit der Seitenlänge \(x\) und einem direkt angrenzenden Rechteck zusammengesetzt. Das Rechteck hat dieselbe Breite \(x\) wie das Quadrat, aber eine feste Länge von \(8\,\text{cm}\). a) Erstelle einen Term für den Umfang der gesamten zusammengesetzten Figur und vereinfache ihn so weit wie möglich. b) Berechne den Umfang der Figur für \(x = 5\,\text{cm}\) und für \(x = 2{,}4\,\text{cm}\).

Denkanstöße

- Stell dir vor, du läufst einmal um die gesamte äußere Begrenzung der Figur herum. Welche Strecken legst du dabei zurück? - Beachte, dass die Linie, an der sich Quadrat und Rechteck berühren, nicht zum Umfang gehört. - Fasse alle gleichen Variablen in deinem Term zusammen.

Lösung

1. Skizzieren der Figur: Das Quadrat hat drei freie Außenkanten der Länge \(x\). Das Rechteck hat zwei Längsseiten der Länge \(8\,\text{cm}\) und eine Außenkante der Breite \(x\). Die vierte Seite des Quadrats und die zweite Breitenseite des Rechtecks liegen aneinander und gehören nicht zum äußeren Umfang. 2. Aufstellen des Terms: \(U = x + x + x + 8 + x + 8\). 3. Vereinfachen des Terms: \(U = 4x + 16\). 4. Berechnung für \(x = 5\,\text{cm}\): \(U = 4 \cdot 5 + 16 = 20 + 16 = 36\,\text{cm}\). 5. Berechnung für \(x = 2{,}4\,\text{cm}\): \(U = 4 \cdot 2{,}4 + 16 = 9{,}6 + 16 = 25{,}6\,\text{cm}\).

Antwort

a) Der vereinfachte Term für den Umfang lautet \(U = 4x + 16\). b) Für \(x = 5\,\text{cm}\) ist der Umfang \(36\,\text{cm}\). Für \(x = 2{,}4\,\text{cm}\) ist der Umfang \(25{,}6\,\text{cm}\).

4124947

Ein rechteckiges Baugrundstück hat die Länge \(L\) (in Metern). Die Breite des Grundstücks ist um \(10\,\text{m}\) kürzer als die Länge. a) Stelle einen Term für den Umfang \(U\) des Grundstücks auf, der nur die Variable \(L\) verwendet. Fasse den Term zusammen. b) Stelle einen Term für den Flächeninhalt \(A\) des Grundstücks auf. c) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt für eine Länge von \(L = 25\,\text{m}\).

Denkanstöße

- Wie hängen Länge und Breite bei diesem Grundstück zusammen? - Erinnere dich an die allgemeinen Formeln für Umfang und Flächeninhalt eines Rechtecks. - Achte darauf, beim Aufstellen der Terme Klammern zu setzen, wenn eine Seite aus einem ganzen Ausdruck (wie \(L-10\)) besteht.

Lösung

1. Bestimmung der Breite in Abhängigkeit von \(L\): \(B = L - 10\) 2. Term für den Umfang: \(U = 2 \cdot (L + B) = 2 \cdot (L + L - 10) = 2 \cdot (2L - 10)\) 3. Vereinfachter Umfangsterm: \(U = 4L - 20\) 4. Term für den Flächeninhalt: \(A = L \cdot B = L \cdot (L - 10)\) 5. Berechnung für \(L = 25\): - \(U = 4 \cdot 25 - 20 = 100 - 20 = 80\) - \(A = 25 \cdot (25 - 10) = 25 \cdot 15 = 375\) 6. Ergebnisse: Der Umfang beträgt \(80\,\text{m}\), der Flächeninhalt \(375\,\text{m}^2\).

Antwort

a) \(U = 4L - 20\) b) \(A = L \cdot (L - 10)\) oder \(A = L^2 - 10L\) c) \(U = 80\,\text{m}\); \(A = 375\,\text{m}^2\)

4124957

Die Abbildung zeigt ein Pluszeichen aus fünf gleich großen Quadraten. Jedes Gitterkästchen innerhalb der gezeichneten Figur ist eines dieser Quadrate. a) Stelle einen Term für den Umfang \(U\) der gesamten Figur auf. b) Stelle einen Term für den Flächeninhalt \(A\) der gesamten Figur auf. c) Berechne Umfang und Flächeninhalt für \(a=4\,\text{cm}\).

Denkanstöße

- Zähle für den Flächeninhalt die Grundquadrate innerhalb der Umrandung. - Für den Umfang zählen nur Gitterstrecken am äußeren Rand. - Setze den Zahlenwert für \(a\) erst in die fertigen Terme ein.

Lösung

1. Die Figur besteht aus fünf Quadraten mit Fläche \(a^2\). Daher gilt \(A=5a^2\). 2. Am Außenrand liegen zwölf Strecken der Länge \(a\). Deshalb gilt \(U=12a\). 3. Für \(a=4\,\text{cm}\) ist \(U=12\cdot4\,\text{cm}=48\,\text{cm}\). 4. Außerdem ist \(A=5\cdot(4\,\text{cm})^2=80\,\text{cm}^2\).

Antwort

a) \(U=12a\) b) \(A=5a^2\) c) \(U=48\,\text{cm}\); \(A=80\,\text{cm}^2\)

4125037

In einem Lager werden Kisten in einer Ebene in einem rechteckigen Block angeordnet. Der Block ist \(x\) Kisten lang und \(y\) Kisten breit, wobei \(x\) und \(y\) natürliche Zahlen mit \(x, y \ge 2\) sind. Nur die Kisten, die am Rand des Blocks stehen, erhalten einen Aufkleber zur Kennzeichnung. a) Stelle einen Term auf, mit dem man die Anzahl der Kisten berechnen kann, die einen Aufkleber erhalten. b) Berechne die Anzahl der Aufkleber für einen Block mit der Länge \(x = 12\) und der Breite \(y = 8\).

Denkanstöße

- Kannst du die Anzahl der Kisten am Rand bestimmen, indem du die „inneren“ Kisten von der Gesamtmenge abziehst? - Wie ändern sich die Seitenlängen, wenn man nur den inneren Kern betrachtet? - Achte darauf, die Eckkisten nicht doppelt zu zählen, wenn du die Seiten einzeln addierst. - Was passiert mit dem Term, wenn \(x\) und \(y\) gleich groß sind?

Lösung

1. Berechnung der Gesamtzahl der Kisten: \(xy\). 2. Berechnung der inneren Kisten (ohne Aufkleber): Wenn man den Rand entfernt, verringert sich jede Seite um 2 Kisten. Die Anzahl der inneren Kisten ist \((x - 2)(y - 2)\). 3. Differenzbildung für die Randkisten: \(xy - (x - 2)(y - 2)\). 4. Vereinfachung des Terms: \(xy - (xy - 2x - 2y + 4) = 2x + 2y - 4\). 5. Alternativer Weg: Zwei Reihen der Länge \(x\) und zwei Reihen der Länge \(y - 2\) (um Doppelzählungen zu vermeiden): \(2x + 2(y - 2) = 2x + 2y - 4\). 6. Einsetzen der Werte für Teilaufgabe b): \(x = 12\), \(y = 8\). 7. Rechnung: \(2 \cdot 12 + 2 \cdot 8 - 4 = 24 + 16 - 4 = 36\).

Antwort

a) Der Term lautet \(2x + 2y - 4\) (oder eine äquivalente Form wie \(2(x + y - 2)\)). b) Für \(x = 12\) und \(y = 8\) werden \(36\) Aufkleber benötigt.

4125137

Aus Streichhölzern werden gleich große Quadrate in einer Reihe gelegt. Benachbarte Quadrate teilen jeweils eine vollständige Seite. a) Stelle einen Term auf, der die Anzahl der benötigten Streichhölzer \(S\) für eine Reihe aus \(n\) Quadraten angibt. b) Wie viele Streichhölzer werden für eine Reihe aus \(15\) Quadraten benötigt? c) Eine solche Reihe besteht aus insgesamt \(76\) Streichhölzern. Aus wie vielen Quadraten besteht sie?

Denkanstöße

- Untersuche zunächst eine Reihe aus einem und aus zwei Quadraten. - Welche Strecken werden beim Anfügen eines Quadrats wirklich neu benötigt? - Bei c) kannst du die Schritte deines Terms in umgekehrter Reihenfolge rückgängig machen.

Lösung

1. Das erste Quadrat benötigt vier Streichhölzer. Bei jedem weiteren Quadrat wird eine Seite mit dem vorherigen Quadrat geteilt, daher kommen jeweils drei neue Hölzer hinzu. 2. Damit gilt \(S=4+3(n-1)=3n+1\). 3. Für \(n=15\) ist \(S=3\cdot15+1=46\). 4. Für \(S=76\) gilt \(76=3n+1\), also \(n=25\).

Antwort

a) \(S=3n+1\) b) \(46\) Streichhölzer c) \(25\) Quadrate

4222147

Ein quadratisches Werbeplakat mit der Seitenlänge \(s\) soll umgestaltet werden. Die neue Form soll ein Rechteck sein. Die Länge des Rechtecks wird gegenüber der ursprünglichen Seitenlänge \(s\) um \(10\,\%\) vergrößert. Die Breite des Rechtecks wird so gewählt, dass sie \(20\,\%\) kürzer ist als die ursprüngliche Seitenlänge \(s\). 1. Stelle Terme für die neue Länge \(l\) und die neue Breite \(b\) des Plakats in Abhängigkeit von \(s\) auf. 2. Ermittle einen vereinfachten Term für den Umfang \(U\) des neuen rechteckigen Plakats. 3. Vergleiche den Umfang des neuen Plakats mit dem Umfang des ursprünglichen Quadrats. Um wie viel Prozent hat sich der Umfang verändert?

Denkanstöße

- Wie lautet die allgemeine Formel für den Umfang eines Quadrats und eines Rechtecks? - Versuche zuerst, die neuen Seitenlängen als Vielfaches von \(s\) auszudrücken. - Was bedeutet eine Verringerung um \(20\,\%\) für den Faktor vor der Variablen? - Vergleiche am Ende den neuen Faktor vor \(s\) mit dem ursprünglichen Faktor beim Quadrat.

Lösung

1. Bestimmung der neuen Seitenlängen: \(l = 1{,}1s\) und \(b = 0{,}8s\). 2. Aufstellen und Vereinfachen des Umfangsterms: \(U = 2 \cdot (l + b) = 2 \cdot (1{,}1s + 0{,}8s) = 3{,}8s\). 3. Der ursprüngliche Umfang beträgt \(U_{\text{alt}} = 4s\). Die Differenz ist \(4s - 3{,}8s = 0{,}2s\). Damit beträgt die prozentuale Änderung \(\frac{0{,}2s}{4s} = 0{,}05 = 5\,\%\). Der Umfang hat sich um \(5\,\%\) verringert.

Antwort

1. \(l = 1{,}1s\); \(b = 0{,}8s\) 2. \(U = 3{,}8s\) 3. Der Umfang hat sich um \(5\,\%\) verringert.

4223557

Betrachte die Zahlenfolge \(4,7,10,13,\dots\). a) Gib einen Term an, mit dem man das \(n\)-te Glied dieser Folge berechnen kann. b) Untersuche rechnerisch, ob \(82\) in dieser Folge vorkommt. Begründe. c) Alle Zahlen der Folge lassen bei der Division durch \(3\) denselben Rest. Bestimme den Rest und erkläre den Zusammenhang mit deinem Term aus a).

Denkanstöße

- Um welchen festen Betrag wächst die Folge von einem Glied zum nächsten? - Für b) kannst du den gesuchten Folgenwert mit deinem allgemeinen Term gleichsetzen. - Wie kann man eine Zahl mit festem Rest bei Division durch \(3\) als „Vielfaches von \(3\) plus Rest“ beschreiben?

Lösung

1. Die Folge startet bei \(4\) und wächst jeweils um \(3\). Daher lautet ein passender Term \(3n+1\). 2. Aus \(3n+1=82\) folgt \(n=27\). Also ist \(82\) das 27. Glied. 3. Jeder Wert hat die Form Vielfaches von \(3\) plus \(1\). Der Rest bei Division durch \(3\) ist daher immer \(1\).

Antwort

a) \(3n+1\) b) Ja, \(82\) ist das 27. Glied. c) Rest \(1\)

4225417

Die Abbildung zeigt eine U-förmige Figur mit einer rechteckigen Aussparung an der oberen Seite. Stelle jeweils einen Term für den Flächeninhalt \(A\) und den Umfang \(U\) auf. Vereinfache den Term für den Umfang so weit wie möglich.

Denkanstöße

- Für den Flächeninhalt kannst du die Aussparung von einem größeren Rechteck abziehen. - Fahre für den Umfang gedanklich einmal die gesamte Randlinie entlang. - Welche waagerechten Teilstrecken ergänzen sich zusammen zu einer ganzen Breite?

Lösung

1. Vom großen Rechteck mit dem Flächeninhalt \(bh\) wird die rechteckige Aussparung mit dem Flächeninhalt \(wd\) entfernt. Daher gilt \(A=bh-wd\). 2. Für den Umfang ergeben die Unterkante und die beiden oberen Reststücke zusammen \(b+(b-w)\). Hinzu kommen die beiden äußeren Höhen \(2h\), die beiden Innenkanten \(2d\) und die innere waagerechte Kante \(w\). 3. Damit ist \(U=b+(b-w)+2h+2d+w=2b+2h+2d=2(b+h+d)\).

Antwort

\(A=bh-wd\) \(U=2b+2h+2d\)

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Vergleiche die beiden abgebildeten Figuren A und B. a) Stelle für beide Figuren einen Term für den Flächeninhalt auf. Was fällt dir auf? b) Stelle für beide Figuren einen Term für den Umfang \(U\) auf. c) Welche Figur hat den größeren Umfang und um welchen Term unterscheiden sich die Umfänge?

Denkanstöße

- Vergleiche zuerst, welche Fläche in A und B jeweils entfernt wurde. - Verfolge für den Umfang bei jeder Figur nur die Randlinie. - Welche Randstücke verschwinden, und welche neuen Randstücke entstehen durch den Ausschnitt?

Lösung

1. In beiden Figuren wird aus einem Quadrat der Fläche \(s^2\) ein Quadrat der Fläche \(x^2\) entfernt. Deshalb gilt jeweils \(A=s^2-x^2\). 2. Bei Figur A ersetzen die beiden neuen Kanten der Länge \(x\) genau zwei entfernte Randstücke der Länge \(x\). Daher bleibt der Umfang \(U_A=4s\). 3. Bei Figur B fällt ein Randstück der Länge \(x\) weg, während zwei senkrechte Kanten und der Boden der Aussparung mit zusammen \(3x\) hinzukommen. Daher gilt \(U_B=4s-x+3x=4s+2x\). 4. Somit ist der Umfang von Figur B um \(2x\) größer.

Antwort

a) Beide: \(A=s^2-x^2\). Die Flächeninhalte sind gleich. b) \(U_A=4s\); \(U_B=4s+2x\). c) Figur B hat den größeren Umfang; der Unterschied beträgt \(2x\).

4225507

Ein quadratisches Blumenbeet besteht aus einem \(s \times s\)-Raster gleich großer quadratischer Flächeneinheiten, wobei \(s\) eine positive ganze Zahl ist. Außen wird eine Reihe quadratischer Randsteine der Seitenlänge \(1\) gelegt, die genau eine Steinbreite umfasst. Mina Kaya und Jonas Berg stellen unterschiedliche Terme für die Anzahl der benötigten Randsteine auf: Minas Term: \(4s + 4\) Jonas' Term: \(4(s + 1)\) a) Berechne die Anzahl der Steine für \(s=5\) mithilfe beider Terme. b) Überprüfe durch Termumformung, ob die beiden Terme äquivalent sind. c) Erkläre anhand der Anordnung, wie man auf den Term \(4s+4\) kommt. Welche Bedeutung haben die Zahlen im Term?

Denkanstöße

- Setze denselben Wert für \(s\) in beide Terme ein. - Nutze das Distributivgesetz, um die Terme strukturell zu vergleichen. - Trenne bei der Anordnung Seitensteine und Ecksteine.

Lösung

1. Für \(s=5\) ergibt Minas Term \(4 \cdot 5+4=24\). 2. Jonas' Term ergibt \(4(5+1)=24\). 3. Mit dem Distributivgesetz gilt \(4(s+1)=4s+4\). Die Terme sind äquivalent. 4. An jeder der vier Seiten liegen \(s\) Randsteine; zusätzlich werden die vier Ecksteine gezählt. Daher entsteht \(4s+4\).

Antwort

a) Beide Terme ergeben \(24\) Randsteine. b) Ja, \(4(s+1)=4s+4\). c) \(4s\) zählt die Steine an den vier Seiten; \(+4\) zählt die Ecksteine.

5527097

Das Bild zeigt die ersten drei Stufen eines Plättchenmusters. Jedes Gitterkästchen innerhalb der gezeichneten Figur entspricht einem Plättchen. a) Stelle einen Term \(Q(n)\) für die Anzahl der Plättchen in Stufe \(n\) auf. b) Eine spätere Stufe enthält genau \(15\) Plättchen. Welche Stufe ist das? c) Begründe deine Antwort mithilfe des Aufbaus des Musters.

Denkanstöße

- Zerlege jede Stufe in einen wachsenden und einen unveränderten Teil. - Wie viele Kästchen besitzt der rechteckige Teil in Stufe \(n\)? - Arbeite bei b) den Aufbau in umgekehrter Reihenfolge zurück.

Lösung

1. Jede Stufe besteht aus einem Rechteck mit \(2n\) Plättchen und einem zusätzlichen festen Plättchen. 2. Daher gilt \(Q(n)=2n+1\). 3. Von \(15\) wird das feste Plättchen abgezogen; \(14\) verbleibende Plättchen bilden bei zwei Plättchen pro Spalte sieben Spalten. 4. Gesucht ist also Stufe \(7\).

Antwort

a) \(Q(n)=2n+1\) b) Stufe \(7\) c) Das Grundrechteck wächst pro Stufe um zwei Plättchen; ein Plättchen bleibt zusätzlich fest.

5527107

Die Abbildung zeigt jeweils die ersten drei Stufen von Muster A und Muster B. Jedes Gitterkästchen innerhalb der gezeichneten Figur entspricht einem Plättchen. a) Stelle für beide Muster je einen Term für die Plättchenzahl in Stufe \(n\) auf. b) Vergleiche beide Muster in Stufe \(5\). Welches Muster hat mehr Plättchen und um wie viele? c) Erkläre aus der Abbildung, warum Muster B von Stufe zu Stufe schneller wächst.

Denkanstöße

- Suche bei Muster A nach einem festen und einem wachsenden Teil. - Bei Muster B helfen Reihen und Spalten. - Vergleiche die sichtbare Zunahme von einer Stufe zur nächsten.

Lösung

1. Bei Muster A bleiben vier Plättchen fest; zusätzlich wächst ein Streifen um ein Plättchen pro Stufe. Daher gilt \(A(n)=n+4\). 2. Muster B besitzt zwei Reihen mit jeweils \(n\) Plättchen. Daher gilt \(B(n)=2n\). 3. Für \(n=5\) gilt \(A(5)=9\) und \(B(5)=10\). Muster B hat ein Plättchen mehr. 4. Bei B kommt in jeder Stufe eine ganze Zweierspalte hinzu, bei A nur ein einzelnes Plättchen.

Antwort

a) \(A(n)=n+4\), \(B(n)=2n\) b) Muster B hat \(10\) statt \(9\) Plättchen, also eines mehr. c) Bei B kommt pro Stufe eine Zweierspalte hinzu; bei A nur ein Plättchen.

4125047

Ein großer Würfel mit einer Kantenlänge von \(k\) Einheiten, wobei \(k \ge 3\) eine natürliche Zahl ist, wird aus lauter kleinen Einheitswürfeln (Kantenlänge 1) zusammengebaut. Der gesamte große Würfel wird von außen rot angemalt. Danach wird er wieder in die kleinen Einheitswürfel zerlegt. a) Stelle einen Term auf, der die Anzahl der kleinen Würfel angibt, die im Inneren liegen und somit keine rote Farbe erhalten haben. b) Berechne diese Anzahl für einen Würfel mit der Kantenlänge \(k = 5\). c) Wie viele kleine Würfel haben mindestens eine rote Seite, wenn der Gesamtwürfel eine Kantenlänge von \(k = 10\) hat?

Denkanstöße

- Stell dir vor, du schälst die äußere Schicht des Würfels wie bei einer Zwiebel ab. Welche Form bleibt übrig? - Wie viele kleine Würfel werden an jeder Seite der Kante abgezogen, um zum inneren Teil zu gelangen? - Wie berechnet man das Volumen eines Würfels? - Um die Anzahl der bemalten Würfel zu finden, könnte es einfacher sein, die Gesamtzahl zu nehmen und etwas davon abzuziehen.

Lösung

1. Analyse der inneren Struktur: Der innere Kern, der nicht bemalt wurde, ist selbst ein Würfel. 2. Bestimmung der Kantenlänge des Kerns: Da an jeder der zwei Seiten einer Kante ein bemalter Würfel liegt, ist die Kantenlänge des Kerns \(k - 2\). 3. Volumen des Kerns (unbemalte Würfel): \(V_{\text{innen}} = (k - 2)^3\). Dies ist der gesuchte Term für Teil a). 4. Berechnung für \(k = 5\): \((5 - 2)^3 = 3^3 = 27\). 5. Berechnung der bemalten Würfel für \(k = 10\): Gesamtzahl der Würfel minus unbemalte Würfel. 6. Gesamtzahl bei \(k = 10\): \(10^3 = 1000\). 7. Unbemalte Würfel bei \(k = 10\): \((10 - 2)^3 = 8^3 = 512\). 8. Ergebnis für Teil c): \(1000 - 512 = 488\).

Antwort

a) Der Term lautet \((k - 2)^3\). b) Für \(k = 5\) sind \(27\) kleine Würfel unbemalt. c) Bei \(k = 10\) haben \(488\) kleine Würfel mindestens eine rote Seite.

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