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Welche Form beschreibt immer eine ungerade ganze Zahl, wenn \(n\) eine ganze Zahl ist? A) \(2n\) B) \(2n+1\) C) \(n+2\)

Die mittlere von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen heißt \(m\). Schreibe die drei Zahlen als Terme mit \(m\).

Eine zweistellige Zahl hat die Zehnerziffer \(z\) und die Einerziffer \(e\). Welcher Term beschreibt die Zahl? A) \(z+e\) B) \(10z+e\) C) \(z+10e\)

Die Variable \(n\) steht für eine natürliche Zahl aus der Menge \(\{1; 2; 3; \dots\}\). Überprüfe, ob die folgenden Aussagen für jede beliebige Wahl von \(n\) wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung kurz. a) Die Summe \(n + (n + 1)\) ergibt immer eine ungerade Zahl. b) Der Term \(5n + 2\) liefert immer eine gerade Zahl. c) Der Wert des Terms \(4n - n\) ist stets durch \(3\) teilbar.

Betrachte die Variable \(x\) als eine natürliche Zahl mit \(x \in \{1; 2; 3; \dots\}\). Entscheide bei den folgenden Behauptungen, ob sie für alle \(x\) zutreffen oder nicht. Begründe jeweils kurz. a) Der Term \(2(x + 4)\) ergibt immer eine gerade Zahl. b) Der Term \(x^2 + 1\) ergibt immer eine Primzahl. c) Der Wert von \(10x - 5\) endet immer auf die Ziffer \(5\).

Gegeben sind zwei Terme für natürliche Zahlen \(k \in \{1; 2; 3; \dots\}\): Term A: \(3k + 1\) Term B: \(2k + 2\) a) Untersuche, ob Term A für jeden Wert von \(k\) größer ist als Term B. b) Erkläre mathematisch, warum der Term \(k + k + k\) immer ein Vielfaches von \(3\) ist.

Lukas behauptet: „Wenn ich vier aufeinanderfolgende natürliche Zahlen addiere, ist die Summe immer durch 4 teilbar.“ a) Überprüfe Lukas' Behauptung an zwei Beispielen. b) Stelle einen Term für die Summe von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen auf (verwende \(n\) für die kleinste Zahl). c) Begründe mithilfe des Terms, warum Lukas' Behauptung falsch ist.

Addiere drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Begründe mithilfe eines Terms, warum die Summe dieser drei Zahlen immer durch 3 teilbar ist.

Denke dir eine beliebige ganze Zahl \(x\). Multipliziere sie mit 5 und subtrahiere die ursprüngliche Zahl \(x\). Addiere anschließend 12 zum Ergebnis. Zeige durch das Aufstellen und Vereinfachen eines Terms, dass das Endergebnis immer durch 4 teilbar ist.

Drei Stapel mit Streichhölzern liegen auf dem Tisch: der linke Stapel (\(L\)), der mittlere Stapel (\(M\)) und der rechte Stapel (\(R\)). Auf dem linken Stapel liegen mindestens \(6\) Streichhölzer. Zu Beginn befinden sich im mittleren Stapel \(z\) Streichhölzer. Isabelle gibt nun folgende Anweisungen: 1. Nimm \(6\) Streichhölzer vom linken Stapel und lege sie auf den mittleren Stapel. 2. Nimm \(4\) Streichhölzer vom mittleren Stapel und lege sie auf den rechten Stapel. a) Stelle einen Term auf, der die Anzahl der Streichhölzer im mittleren Stapel nach den beiden Schritten beschreibt. b) Nach den Umverteilungen liegen genau \(15\) Streichhölzer im mittleren Stapel. Wie viele Streichhölzer lagen dort am Anfang?

Ein kleiner mathematischer Rechentrick funktioniert wie folgt: 1. Denke dir eine beliebige Zahl \(x\). 2. Addiere 5 zu dieser Zahl. 3. Multipliziere das Ergebnis mit 3. 4. Subtrahiere 15 vom aktuellen Ergebnis. 5. Subtrahiere nun das Doppelte deiner ursprünglichen Zahl \(x\). a) Probiere den Trick mit zwei verschiedenen Startzahlen aus. Was stellst du fest? b) Erkläre das Ergebnis allgemein, indem du für jeden der fünf Schritte einen Term aufstellst und den Term für den letzten Schritt so weit wie möglich vereinfachst.

Mathematische Terme helfen dabei, Eigenschaften von Zahlengruppen allgemein zu beschreiben. a) Erkläre, warum der Term \(2n + 1\) für natürliche Zahlen \(n\in\mathbb{N}_0\) immer eine ungerade Zahl ergibt. b) Stelle einen Term auf, der alle positiven natürlichen Zahlen beschreibt, die sowohl durch \(3\) als auch durch \(4\) teilbar sind.

Wähle eine beliebige zweistellige Zahl. Subtrahiere von dieser Zahl ihre Quersumme (die Summe ihrer Ziffern). Erkläre mithilfe von Variablen, warum das Ergebnis immer ohne Rest durch 9 teilbar sein muss.

Betrachte drei Zahlen mit jeweils dem Abstand \(1\). Wenn die mittlere Zahl mit \(n\) bezeichnet wird, lauten die drei Zahlen \(n - 1\), \(n\) und \(n + 1\). 1. Stelle einen Term für die Summe dieser drei Zahlen auf und vereinfache ihn so weit wie möglich. 2. Welchen mathematischen Zusammenhang beschreibt dein vereinfachter Term? 3. Überprüfe die Gültigkeit deines Terms, indem du die Summen für \(n = 15\) und für \(n = 2{,}5\) berechnest und mit dem Ergebnis der Formel vergleichst.

Gegeben sind fünf aufeinanderfolgende natürliche Zahlen. Die mittlere dieser fünf Zahlen wird durch \(m\in\mathbb{N}\) mit \(m\ge3\) beschrieben. a) Stelle für jede der fünf Zahlen einen Term in Abhängigkeit von \(m\) auf. b) Berechne die Summe dieser fünf Zahlen und vereinfache den Term so weit wie möglich.

Zeige mithilfe einer Termumformung, dass die folgende Aussage für alle ganzen Zahlen wahr ist: „Wenn man vom Produkt zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen die kleinere der beiden Zahlen subtrahiert, erhält man stets das Quadrat dieser kleineren Zahl.“

In der Mathematik kann man jede ungerade Zahl durch den Term \(2n+1\) beschreiben, wobei \(n\) eine ganze Zahl ist. Zeige, dass die Summe von zwei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen immer durch 4 teilbar ist. Gehe dabei wie folgt vor: 1. Bestimme den Term für die auf \(2n+1\) folgende ungerade Zahl. 2. Bilde die Summe aus beiden Termen. 3. Vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich und ziehe eine Schlussfolgerung.

Beweise allgemein mit Variablen, dass die Summe einer geraden Zahl und einer ungeraden Zahl immer eine ungerade Zahl ergibt.

Bei einer zweistelligen Zahl ist die Einerziffer genau um \(4\) größer als die Zehnerziffer. Bestimme alle Zahlen, die diese Eigenschaft erfüllen und gleichzeitig größer als \(20\), aber kleiner als \(60\) sind.

Betrachte die folgende Rechenvorschrift für einen Zahlen-Trick: 1. Denke dir eine Zahl \(x\). 2. Addiere \(15\). 3. Multipliziere das Ergebnis mit \(2\). 4. Subtrahiere \(30\). 5. Subtrahiere deine gedachte Zahl \(x\). a) Welches Ergebnis erhältst du, wenn du mit der Zahl \(7\) startest? b) Stelle einen Term für die gesamte Rechenvorschrift auf und vereinfache ihn so weit wie möglich. c) Was sagt das vereinfachte Ergebnis über diesen Trick aus?

Betrachte folgendes Zahlenrätsel: „Denke dir eine Zahl, multipliziere sie mit 3, addiere 15, subtrahiere die gedachte Zahl und dividiere das Ergebnis schließlich durch 2.“ a) Welches Ergebnis erhältst du, wenn die gedachte Zahl 4 ist? b) Stelle einen Term für das Rätsel auf und vereinfache ihn so weit wie möglich. c) Erkläre anhand des vereinfachten Terms, wie das Endergebnis von der gedachten Zahl abhängt.

Denke dir eine Zahl. Multipliziere sie mit 4. Addiere 12 zum Ergebnis. Multipliziere diese Summe mit 5. Subtrahiere nun 60 vom letzten Ergebnis. Wenn du das Endergebnis nennst, kann man sofort die ursprünglich gedachte Zahl bestimmen. Erkläre, wie das geht, und begründe deine Antwort mithilfe eines Terms.

Formuliere eine kurze Rechenanweisung für eine gedachte Zahl \(n\), deren Ergebnis durch den Term \(3n+2\) beschrieben wird. Die Reihenfolge der Rechenschritte soll eindeutig aus deiner Anweisung hervorgehen.

Ein Zauberer nutzt diesen Rechentrick: „Denke dir eine Zahl \(x\). Multipliziere sie mit \(4\). Addiere \(1{,}2\). Multipliziere das Ergebnis mit \(2{,}5\). Subtrahiere \(3\).“ Stelle einen Term auf, vereinfache ihn und erkläre, wie sich die gedachte Zahl aus dem Endergebnis zurückgewinnen lässt.

Betrachte drei aufeinanderfolgende gerade Zahlen (zum Beispiel 2, 4 und 6 oder 20, 22 und 24). Zeige allgemein mithilfe eines Terms, dass die Summe von drei beliebigen aufeinanderfolgenden geraden Zahlen immer durch 6 teilbar ist.

In einer Hundertertafel sind die Zahlen von 1 bis 100 in Zehnerreihen angeordnet. <table><tbody> <tr><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr> <tr><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td><td>15</td><td>16</td><td>17</td><td>18</td><td>19</td><td>20</td></tr> <tr><td>21</td><td>22</td><td>23</td><td>24</td><td>25</td><td>26</td><td>27</td><td>28</td><td>29</td><td>30</td></tr> <tr><td>31</td><td>32</td><td>33</td><td>34</td><td>35</td><td>36</td><td>37</td><td>38</td><td>39</td><td>40</td></tr> <tr><td>41</td><td>42</td><td>43</td><td>44</td><td>45</td><td>46</td><td>47</td><td>48</td><td>49</td><td>50</td></tr> <tr><td>51</td><td>52</td><td>53</td><td>54</td><td>55</td><td>56</td><td>57</td><td>58</td><td>59</td><td>60</td></tr> <tr><td>61</td><td>62</td><td>63</td><td>64</td><td>65</td><td>66</td><td>67</td><td>68</td><td>69</td><td>70</td></tr> <tr><td>71</td><td>72</td><td>73</td><td>74</td><td>75</td><td>76</td><td>77</td><td>78</td><td>79</td><td>80</td></tr> <tr><td>81</td><td>82</td><td>83</td><td>84</td><td>85</td><td>86</td><td>87</td><td>88</td><td>89</td><td>90</td></tr> <tr><td>91</td><td>92</td><td>93</td><td>94</td><td>95</td><td>96</td><td>97</td><td>98</td><td>99</td><td>100</td></tr> </tbody></table> Man wählt eine beliebige Zahl \(x\) aus, die nicht am Rand liegt. Markiert man nun die Zahl \(x\) sowie ihre vier direkten Nachbarn (oben, unten, links, rechts), entsteht eine Kreuzform. Begründe allgemein durch Aufstellen eines Terms, dass die Summe dieser fünf Zahlen im Kreuz immer genau das Fünffache der mittleren Zahl \(x\) ist.

Jahrmarktkünstler Ravi Mehta bittet dich: „Wähle eine geheime Zahl, verdopple sie, addiere \(10\) zum Ergebnis und teile das Ganze dann durch \(2\). Nenne mir jetzt dein Endergebnis!“ a) Stelle einen Term für das Endergebnis auf, wenn die Startzahl \(x\) ist. Vereinfache den Term so weit wie möglich. b) Eine Zuschauerin nennt als Endergebnis \(42\). Welche Zahl hatte sie sich ursprünglich gedacht? c) Wie kann Ravi die Startzahl blitzschnell im Kopf finden, sobald er das Endergebnis hört? Beschreibe seine Rechenregel.

Gegeben sind drei Stapel Streichhölzer. Im linken und im rechten Stapel liegen zu Beginn jeweils genau \(12\) Streichhölzer. Im mittleren Stapel liegen \(z\) Streichhölzer. Folgende Schritte werden durchgeführt: 1. Nimm \(5\) Streichhölzer vom linken Stapel und lege sie in die Mitte. 2. Nimm \(3\) Streichhölzer vom rechten Stapel und lege sie in die Mitte. 3. Zähle, wie viele Streichhölzer jetzt noch im linken Stapel liegen. Nimm genau diese Anzahl vom mittleren Stapel weg und lege sie zur Seite. a) Wie viele Streichhölzer liegen nach Schritt 1 noch im linken Stapel? b) Stelle einen Term für die Anzahl der Streichhölzer im mittleren Stapel nach Schritt 3 auf. Vereinfache den Term so weit wie möglich. c) Wie viele Streichhölzer liegen am Ende in der Mitte, wenn am Anfang \(z = 10\) galt?

Zahlen lassen sich oft durch allgemeine Terme beschreiben. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben: 1. Gib einen Term an, der alle natürlichen Zahlen beschreibt, die bei der Division durch 4 den Rest 1 lassen. Nutze \(n\) als Platzhalter für eine natürliche Zahl (\(n = 0, 1, 2, \dots\)). 2. Erkläre, warum der Term \(2(k + 5)\) für jede ganze Zahl \(k\) immer eine gerade Zahl darstellt. 3. Jemand behauptet, dass Zahlen der Form \(3n + 6\) immer durch 3 teilbar sind. Überprüfe dies, indem du den Term durch Ausklammern umformst.

Stell dir eine zweistellige Zahl vor. Die Zehnerziffer wird mit \(x\) bezeichnet und die Einerziffer mit \(y\), wobei \(x \in \{1, \dots, 9\}\) und \(y \in \{0, \dots, 9\}\) gilt. 1. Erstelle einen Term, der den Wert dieser zweistelligen Zahl berechnet. 2. Wenn man die Ziffern vertauscht, erhält man eine neue Zahl (die Umkehrzahl). Wie lautet der Term für den Wert dieser neuen Zahl? 3. Subtrahiere die neue Zahl von der ursprünglichen Zahl und vereinfache den entstandenen Term so weit wie möglich. 4. Begründe mithilfe deines Ergebnisses aus Teil 3, warum die Differenz zwischen einer Zahl und ihrer Umkehrzahl immer durch 9 teilbar sein muss.

Betrachte das Produkt einer beliebigen geraden Zahl und einer beliebigen ungeraden Zahl. a) Zeige allgemein mithilfe von Termen, dass dieses Produkt immer eine gerade Zahl ist. b) Untersuche nun das Produkt zweier ungerader Zahlen. Ist das Ergebnis gerade oder ungerade? Begründe deine Antwort mithilfe eines allgemeinen Terms.

Stell dir eine dreistellige Zahl mit einer von null verschiedenen Hunderter- und Einerziffer vor. Wenn man die Ziffernreihenfolge umkehrt, erhält man eine neue dreistellige Zahl. Zeige allgemein durch das Aufstellen und Vereinfachen eines Terms, dass die Differenz zwischen der ursprünglichen Zahl und der umgekehrten Zahl immer ein Vielfaches von 99 ist.

Gegeben ist die mathematische Gleichung: \(x + (x - 2) + 3x = 43\) a) Erfinde ein passendes Zahlenrätsel oder eine Sachsituation zu dieser Gleichung. Erkläre dabei kurz, was die einzelnen Terme \(x\), \((x - 2)\) und \(3x\) in deiner Geschichte bedeuten. b) Löse die Gleichung und gib den Wert für \(x\) sowie die Werte der anderen beiden Terme an.

Betrachte sechs aufeinanderfolgende natürliche Zahlen. Die kleinste Zahl sei \(n\). a) Notiere Terme für alle sechs Zahlen. b) Bilde die Summe der drei kleinsten sowie die Summe der drei größten Zahlen. c) Subtrahiere die kleinere Summe von der größeren. Was fällt dir am Ergebnis auf?

Betrachte drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Beweise allgemein durch das Aufstellen und Vereinfachen eines Terms, dass das Produkt aus der kleinsten und der größten dieser drei Zahlen, vermehrt um 1, immer genau das Quadrat der mittleren Zahl ergibt.

Beweise allgemein, dass die Summe der Quadrate zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen \(n\) und \(n+1\) stets eine ungerade Zahl ergibt.

Ein mathematisches Rätsel beschäftigt sich mit der Differenz der Quadrate von zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen. a) Berechne die Differenz der Quadrate für die Paare \( (1, 2) \), \( (4, 5) \) und \( (10, 11) \). Rechne dabei immer „größeres Quadrat minus kleineres Quadrat“. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf? b) Sei \( n \) die kleinere der beiden aufeinanderfolgenden Zahlen. Stelle einen Term für die Differenz der Quadrate von \( n \) und ihrem Nachfolger \( n+1 \) auf. c) Vereinfache den Term (multipliziere dazu die Klammern aus) und begründe, warum das Ergebnis immer eine ungerade Zahl sein muss.

Betrachte den Term \(T = (2n+3)^2 - (2n-3)^2\). Zeige rechnerisch, dass dieser Term für jede natürliche Zahl \(n\) ein Vielfaches von \(24\) ergibt. Nutze dazu die dritte binomische Formel zur Faktorisierung und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.

Lukas und Sophie haben sich zwei verschiedene Rechenwege ausgedacht. Lukas sagt: „Wähle eine Zahl, addiere 4 und multipliziere das Ergebnis mit 5.“ Sophie sagt: „Wähle dieselbe Zahl, verdopple sie, addiere 8 und multipliziere das neue Ergebnis mit \(2{,}5\).“ Untersuche durch Aufstellen und Vereinfachen von Termen mit der Variablen \(n\), ob beide Rechenwege für jede beliebige Startzahl immer zum gleichen Ergebnis führen.

Jemand behauptet: „Egal welche Zahl du dir denkst: Wenn du 5 addierst, das Ergebnis verdoppelst und dann das Doppelte deiner gedachten Zahl wieder abziehst, kommt immer 10 raus.“ a) Überprüfe diese Behauptung, indem du einen passenden Term aufstellst und ihn vereinfachst. b) Wie müsste man den Rechenweg nach dem Verdoppeln (Schritt 2) ändern, damit am Ende nicht 10, sondern immer die ursprünglich gedachte Zahl \(x\) herauskommt? Gib eine Möglichkeit an.

Stelle für die folgenden Beschreibungen jeweils einen Term mit der Variablen \(k\) auf. Dabei ist \(k\) eine beliebige ganze Zahl. a) Alle Zahlen, die durch 8 teilbar sind. b) Alle Zahlen, die bei der Division durch 8 den Rest 5 lassen. c) Alle ungeraden Zahlen. d) Alle Zahlen, die um 2 kleiner sind als ein Vielfaches von 3.

Wenn man drei ungerade Zahlen addiert, ist das Ergebnis immer ungerade. Überprüfe diese Behauptung allgemein, indem du einen Term für die Summe von drei beliebigen ungeraden Zahlen aufstellst und diesen so umformst, dass man die Eigenschaft (ungerade) direkt ablesen kann.

Betrachte eine beliebige dreistellige Zahl mit der Hunderterziffer \(h\), der Zehnerziffer \(z\) und der Einerziffer \(e\). a) Notiere einen Term für den Wert dieser dreistelligen Zahl und einen Term für ihre Quersumme (die Summe ihrer Ziffern). b) Subtrahiere die Quersumme vom Wert der Zahl und vereinfache den Term. c) Untersuche den vereinfachten Term aus Teil b). Durch welche größte einstellige Zahl ist das Ergebnis für jede beliebige dreistellige Zahl immer ohne Rest teilbar? Begründe kurz mithilfe des Terms.

Isabelle führt einen Zaubertrick mit insgesamt \(40\) Streichhölzern vor, die auf drei Stapel \(L\), \(M\) und \(R\) verteilt sind. Sie weiß nicht, wie viele Hölzer in welchem Stapel liegen, nur die Gesamtzahl ist bekannt. Auf dem linken Stapel liegen mindestens \(7\) und auf dem rechten Stapel mindestens \(5\) Streichhölzer. Anweisungen: 1. Lege \(7\) Streichhölzer von \(L\) nach \(M\). 2. Lege \(5\) Streichhölzer von \(R\) nach \(M\). Nach diesen Zügen fragt Isabelle: „Wie viele Streichhölzer liegen jetzt insgesamt im linken und im rechten Stapel zusammen?“ Lucas antwortet: „Es sind genau \(15\).“ Isabelle sagt sofort: „Dann lagen am Anfang genau \(13\) Streichhölzer im mittleren Stapel.“ Zeige durch eine Rechnung mit Variablen, dass Isabelle recht hat.