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- Unterscheide den Teil des Terms, der von \(h\) abhängt, von dem Teil ohne Variable. - Frage dich, welche Einheit der Faktor vor \(h\) haben muss. - Vergleiche den Term für zwei Ausleihdauern, die sich um eine Stunde unterscheiden.

1. Die \(4\) steht unabhängig von der Ausleihdauer im Term. Sie beschreibt eine feste Grundgebühr von \(4\,\text{€}\). 2. Der Faktor \(1{,}5\) wird mit der Stundenzahl multipliziert. Er beschreibt \(1{,}50\,\text{€}\) pro Stunde. 3. Eine zusätzliche Stunde erhöht den variablen Anteil und damit den Gesamtpreis um \(1{,}50\,\text{€}\).

a) Grundgebühr: \(4\,\text{€}\) b) Preis pro Stunde: \(1{,}50\,\text{€}\) c) \(K\) steigt pro zusätzlicher Stunde um \(1{,}50\,\text{€}\).

- Welche Größe wird durch \(K\) bezeichnet? - Ist \(14\) hier ein einzelner Bestandteil des Terms oder der Wert des gesamten Terms? - Welche Einheit gehört zu \(K\)?

1. Der Buchstabe \(K\) bezeichnet den Preis der Fahrt in Euro. 2. Die Aussage \(K(h)=14\) gibt daher einen konkreten Wert dieses gesamten Kostenterms an. 3. Die Fahrt kostet in dieser Situation \(14\,\text{€}\).

Die Fahrt kostet \(14\,\text{€}\).

- Betrachte zunächst nur eine einzige Kiste. - Welche beiden Ballmengen werden innerhalb einer Kiste addiert? - Der Faktor \(5\) wird erst danach für alle Kisten gebraucht.

1. Eine Kiste enthält \(n\) blaue Bälle. 2. In derselben Kiste liegen zusätzlich zwei rote Bälle. 3. Daher beschreibt \(n+2\) die Gesamtzahl der Bälle in genau einer Kiste.

\(n+2\) ist die Gesamtzahl der Bälle in einer Kiste.

- Vereinfache einen Term, wenn dadurch seine Struktur leichter erkennbar wird. - Bei einer Aussage über alle natürlichen Zahlen kann ein einziges Gegenbeispiel zum Widerlegen genügen. - Prüfe, was ein Faktor vor einer Variablen über mögliche Termwerte aussagt.

1. Für a) gilt \(n + (n + 1) = 2n + 1\). Da \(2n\) für jede natürliche Zahl \(n\) gerade ist, ist \(2n + 1\) immer ungerade. Die Aussage ist wahr. 2. Für b) genügt ein Gegenbeispiel: Für \(n = 1\) ist \(5 \cdot 1 + 2 = 7\). Die Aussage ist daher falsch. 3. Für c) gilt \(4n - n = 3n\). Dieser Term ist für jede natürliche Zahl \(n\) ein Vielfaches von \(3\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr, denn \(n + (n + 1) = 2n + 1\) ist immer ungerade. b) Falsch; zum Beispiel ergibt \(n = 1\) den Wert \(7\). c) Wahr, denn \(4n - n = 3n\) ist immer ein Vielfaches von \(3\).

- Untersuche, welche Struktur eines Terms unabhängig vom eingesetzten Wert erhalten bleibt. - Zum Widerlegen einer Aussage über alle natürlichen Zahlen genügt ein passendes Gegenbeispiel. - Bei Aussagen über Endziffern kann die Form des Terms wichtiger sein als das Ausrechnen vieler Beispiele.

1. In a) besitzt \(2(x + 4)\) den Faktor \(2\). Deshalb ist jeder mögliche Termwert gerade. Die Aussage ist wahr. 2. Für b) reicht ein Gegenbeispiel: Für \(x = 3\) ist \(x^2 + 1 = 3^2 + 1 = 10\). Da \(10\) keine Primzahl ist, ist die Aussage falsch. 3. In c) ist \(10x\) stets ein Vielfaches von \(10\) und endet daher auf \(0\). Nach dem Subtrahieren von \(5\) endet das Ergebnis auf \(5\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr, wegen des Faktors \(2\). b) Falsch; ein Gegenbeispiel ist \(x = 3\), denn \(3^2 + 1 = 10\). c) Wahr; \(10x - 5\) endet immer auf \(5\).

- Eine Aussage über jeden möglichen Wert ist schon widerlegt, wenn du einen einzigen Gegenfall findest. - Überlege, wie du gleiche Summanden als Produkt schreiben kannst. - Achte darauf, ob du für Teil a) wirklich alle Werte untersuchen musst oder ob ein Gegenbeispiel genügt.

1. Für a) genügt es, die allgemeine Aussage mit einem Gegenbeispiel zu prüfen. Bei \(k = 1\) haben beide Terme den Wert \(4\). Also ist Term A nicht für jeden Wert von \(k\) größer als Term B. 2. Für b) kann man gleiche Summanden zusammenfassen: \(k + k + k = 3k\). Der Termwert besitzt damit immer den Faktor \(3\) und ist folglich ein Vielfaches von \(3\).

a) Nein. Für \(k = 1\) sind beide Terme gleich groß: \(4 = 4\). b) Es gilt \(k + k + k = 3k\). Deshalb ist der Termwert immer ein Vielfaches von \(3\).

- Ordne jedem Summanden im Umfangsterm eine Gruppe gleich langer Seiten zu. - Setze für b) den gegebenen Wert für \(a\) in beide Teile des Terms ein. - Verwende für c) das Distributivgesetz und fasse gleichartige Glieder zusammen.

1. Ja. Vier Seiten der Länge \(a\) tragen \(4a\) zum Umfang bei, und zwei Seiten der Länge \(a+5\) tragen \(2(a+5)\) bei. Zusammen ergibt das genau den gegebenen Term. 2. Für \(a=3{,}5\,\text{cm}\) gilt \(U=4 \cdot 3{,}5+2(3{,}5+5)=14+17=31\,\text{cm}\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(U=4a+2a+10=6a+10\).

a) Ja; \(4a\) steht für vier Seiten der Länge \(a\), \(2(a+5)\) für zwei Seiten der Länge \(a+5\). b) \(31\,\text{cm}\) c) \(U=6a+10\)

- Setze die gegebenen Werte zunächst in beide Terme ein und berechne sie getrennt. - Wie kann eine ganze Zahl als Bruch mit Nenner \(1\) dargestellt werden? - Vergleiche anschließend die beiden allgemeinen Bruchprodukte strukturell.

1. Für Term \(A\) gilt \(\frac{5}{6}\cdot3=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}=2{,}5\). 2. Für Term \(B\) gilt \(\frac{5\cdot3}{6}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}=2{,}5\). 3. Beide Terme haben für die eingesetzten Werte denselben Wert. 4. Allgemein kann \(z\) als \(\frac{z}{1}\) geschrieben werden. Damit gilt \(\frac{x}{y}\cdot z=\frac{xz}{y}\) für \(y\ne0\).

a) Beide Terme ergeben \(2{,}5=\frac{5}{2}\). b) Für \(y\ne0\) gilt \(\frac{x}{y}\cdot z=\frac{xz}{y}\), weil \(z=\frac{z}{1}\) geschrieben werden kann.

- Wie verändert eine Klammer die Reihenfolge, in der du rechnest? - Setze die Zahlen Schritt für Schritt ein und beachte die Vorrangregeln. - Überlege dir, ob „etwas wegzunehmen, das aus zwei Teilen besteht“ dasselbe ist, wie erst den einen Teil wegzunehmen und den anderen Teil wieder dazuzugeben.

1. Aufstellen des Terms für a): Die Summe von \(b\) und \(c\) ist \((b + c)\). Diese wird von \(a\) subtrahiert, also \(a - (b + c)\). 2. Berechnung für b): Einsetzen der Werte in \(a - (b + c)\) ergibt \(50 - (15 + 5) = 50 - 20 = 30\). 3. Berechnung für c): Einsetzen der Werte in \(a - b + c\) ergibt \(50 - 15 + 5 = 35 + 5 = 40\). 4. Vergleich: Das Ergebnis von Teil b) (\(30\)) ist kleiner als das von Teil c) (\(40\)). Die Terme sind nicht gleichwertig (äquivalent), da die Klammer im ersten Fall bewirkt, dass auch \(c\) abgezogen wird, während im zweiten Fall \(c\) addiert wird.

a) \(a - (b + c)\) b) \(30\) c) \(40\); Die Ergebnisse sind unterschiedlich, da im ersten Term die gesamte Summe \(b+c\) subtrahiert wird, während im zweiten Term \(c\) addiert wird.

- Setze die Zahl für den Platzhalter ein und beachte die Vorrangregeln. - Was bedeutet eine Klammer für die Reihenfolge der Rechnung? - Vergleiche Schritt für Schritt, was du bei \(T_1\) zuerst rechnest und was bei \(T_2\).

1. Berechnung von \(T_1\) für \(x = 5\): \(4 \cdot 5 - 2 = 20 - 2 = 18\). 2. Berechnung von \(T_2\) für \(x = 5\): \(4 \cdot (5 - 2) = 4 \cdot 3 = 12\). 3. Beschreibung von \(T_2\): Man subtrahiert zuerst \(2\) von der Zahl \(x\) und multipliziert das Ergebnis anschließend mit \(4\). 4. Erklärung des Unterschieds: In \(T_1\) wird zuerst multipliziert (Punkt-vor-Strich), während in \(T_2\) durch die Klammer zuerst die Subtraktion ausgeführt wird.

a) \(T_1 = 18\) und \(T_2 = 12\) b) Bei \(T_2\) wird zuerst die Differenz aus \(x\) und \(2\) gebildet und dann mit \(4\) multipliziert. Die Ergebnisse sind unterschiedlich, weil der Klammerausdruck in \(T_2\) vorrangig berechnet wird.

- Prüfe die Aussagen zunächst an positiven, negativen und gegebenenfalls nullwertigen Beispielen. - Beschreibe anschließend, welche Eigenschaft des Vorzeichens oder der Operation das beobachtete Muster erklärt. - Unterscheide zwischen einem Beispiel und einer allgemeinen Begründung.

1. Für a) gilt \(a + a = 2a\). Die Summe ist genau dann kleiner als \(a\), wenn \(a\) negativ ist; bei einer negativen Zahl liegt das Doppelte weiter links auf der Zahlengeraden. 2. Ein Produkt zweier rationaler Zahlen ist negativ, wenn die beiden Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben. Eine Zahl ist dann positiv und die andere negativ. 3. Für jede rationale Zahl gilt \(k \cdot 0 = 0\) und ebenso \(k - k = 0\). Daher sind beide Terme für jeden zulässigen Wert von \(k\) gleich.

a) Ja, für negative Werte von \(a\). b) Die beiden Faktoren haben unterschiedliche Vorzeichen. c) Ja, beide Terme haben immer den Wert \(0\).

- Lies zuerst nur den Ausdruck innerhalb der Klammer als Handlung an einer einzigen Kiste. - Überlege anschließend, warum genau derselbe Restbestand mehrfach vorkommt. - Setze bei c) erst in die Klammer ein und berechne danach den äußeren Faktor.

1. \(12-r\) ist die Anzahl der Marker, die nach dem Entnehmen in einer einzelnen Kiste verbleiben. 2. Da es drei gleich behandelte Kisten gibt, wird dieser Restbestand mit \(3\) multipliziert. 3. Für \(r=4\) gilt \(M=3(12-4)=3 \cdot 8=24\). Insgesamt bleiben \(24\) Marker übrig.

a) Verbleibende Marker in einer Kiste b) Es gibt drei identische Kisten. c) \(M=24\); insgesamt bleiben \(24\) Marker.

- Ordne zuerst die feste Gebühr dem konstanten Summanden zu. - Prüfe dann, welcher Preis mit der Anzahl \(n\) multipliziert wird. - Übersetze die nicht passenden Optionen jeweils selbst in einen Term.

1. Option A beschreibt eine feste Gebühr \(5\) plus \(n\) Einheiten zu je \(2\), also genau \(5+2n\). 2. Option B würde den Term \(2+5n\) ergeben. 3. Option C würde den Term \(5(2+n)\) ergeben.

a) Option A b) Option B: \(2+5n\); Option C: \(5(2+n)\)

- Achte auf das Vorzeichen des Koeffizienten vor \(d\). - Setze für den Anfang des Vorgangs \(d=0\) ein. - Prüfe für die obere Grenze, wann der Term erstmals den Wert \(0\) erreicht.

1. Der Faktor \(-4\) zeigt, dass jede weitere Runde den Punktestand um \(4\) Punkte verringert. 2. Für \(d=0\) ist \(R=60\). Das ist der Anfangsstand vor der ersten Runde. 3. Nach \(15\) Runden gilt \(R=60-4 \cdot 15=0\). Eine weitere Runde würde einen negativen Wert liefern. 4. Daher sind im Modell die ganzzahligen Werte \(d=0,1,2,\ldots,15\) sinnvoll.

a) \(R\) sinkt pro weiterer Runde um \(4\) Punkte. b) Für \(d=0\) beträgt der Punktestand \(60\); das ist der Anfangsstand. c) \(d=0,1,2,\ldots,15\)

- Welche Kosten wiederholen sich für jede Person? - Welche Kosten fallen nur einmal für die ganze Gruppe an? - Prüfe beim Klammerterm, worauf der Faktor \(3\) wirkt.

1. Für \(x\) Personen entstehen \(3x\,\text{€}\) Eintrittskosten. 2. Die Buchungsgebühr von \(5\,\text{€}\) fällt nur einmal an. Daher passt \(3x+5\). 3. Der Term \(3(x+5)\) würde bedeuten, dass zunächst fünf zusätzliche Einheiten zur Personenzahl addiert und dann alles mit \(3\) multipliziert wird; das entspricht nicht der beschriebenen einmaligen Gebühr.

Passend ist \(3x+5\). Der Term \(3(x+5)\) würde auch die zusätzlichen \(5\) mit dem Faktor \(3\) multiplizieren und beschreibt daher eine andere Situation.

- Setze die vorgegebenen Werte jeweils in den Term ein und vergleiche die Ergebnisse. - Arbeite bei b) vom vorgegebenen Termwert rückwärts. - Probiere für c) mehrere zunehmend große positive Werte und beschreibe das beobachtete Muster.

1. Für \(x=2\) gilt \(\frac{4}{5}:2=\frac{2}{5}\); für \(x=8\) gilt \(\frac{4}{5}:8=\frac{1}{10}\). 2. Für b) ist \(x=8\), weil bei diesem Wert der Term \(\frac{1}{10}\) ergibt. 3. Wird \(x\) größer, wird durch eine größere positive Zahl geteilt; der Termwert wird daher kleiner und nähert sich \(0\) an.

a) Für \(x=2\): \(\frac{2}{5}\); für \(x=8\): \(\frac{1}{10}\) b) \(x=8\) c) Der Termwert wird mit wachsendem \(x\) kleiner und nähert sich \(0\) an.

- Was bedeutet der Zeitpunkt \(t = 0\) für die Wasserhöhe? - Achte auf die Einheiten: In welcher Einheit ist die Höhe \(h\) in der Formel angegeben, und welche Höhe ist in der Frage genannt? - Wie verändert sich der Wert von \(h\), wenn \(t\) um \(1\) größer wird?

1. Überprüfung des Anfangszustands: Zum Zeitpunkt \(t = 0\) ergibt die Formel \(h = 3 \cdot 0 + 10 = 10\). Das Becken hatte also einen Anfangswasserstand von \(10\,\text{cm}\) und war nicht leer. 2. Bestimmung der Steigrate: Der Koeffizient vor \(t\) gibt die Änderung pro Zeiteinheit an. Der Wasserspiegel steigt um \(3\,\text{cm}\) pro Minute. 3. Berechnung der Zeit für \(h = 160\,\text{cm}\): Zuerst Umrechnung der Einheiten: \(1{,}60\,\text{m} = 160\,\text{cm}\). Einsetzen in die Formel: \(160 = 3t + 10\). Subtraktion von \(10\) ergibt \(150 = 3t\). Division durch \(3\) ergibt \(t = 50\). Nach \(50\) Minuten ist die Höhe erreicht.

a) Die Aussage ist falsch. Bei \(t = 0\) beträgt die Höhe \(10\,\text{cm}\). b) Der Wasserspiegel steigt um \(3\,\text{cm}\) pro Minute. c) Die Höhe wird nach \(50\) Minuten erreicht.

- Berechne beide Terme zunächst mit den vorgegebenen Zahlen. - Schreibe die Division im ersten Term als Multiplikation um. - Vergleiche danach Zähler und Nenner der allgemeinen Ausdrücke.

1. \(T_1=\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{6}\). 2. \(T_2=\frac{2\cdot5}{3\cdot4}=\frac{5}{6}\). 3. Allgemein ist die Division durch \(\frac{c}{d}\) die Multiplikation mit \(\frac{d}{c}\). Daher entsteht \(\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\). 4. Die Bedingungen sichern, dass die Nenner und der Divisor zulässig sind.

a) Beide Terme ergeben \(\frac{5}{6}\). b) Für \(b\ne0\), \(c\ne0\), \(d\ne0\) sind die Terme äquivalent, weil Division durch einen Bruch Multiplikation mit seinem Kehrwert bedeutet.

- Was ist der Unterschied, wenn eine kleine Zahl oben rechts steht oder eine Zahl vor dem Buchstaben? - Schreibe die Terme ganz lang auf, als ob du keine Abkürzungen wie Malpunkte oder Hochzahlen kennen würdest. - Kannst du Äpfel und Birnen zu einer gemeinsamen Frucht „Apfelbirne“ addieren? - Wie viele \(a\) hast du insgesamt, wenn du erst zwei und dann noch mal drei davon hinlegst?

1. Unterscheidung von Koeffizient und Exponent: Der Koeffizient \(4\) in \(4x\) gibt die Anzahl der Summanden an: \(x + x + x + x\). Der Exponent \(4\) in \(x^4\) gibt die Anzahl der Faktoren an: \(x \cdot x \cdot x \cdot x\). 2. Nachweis der Additionsregel: \(2a\) entspricht \(a + a\). \(3a\) entspricht \(a + a + a\). Die gesamte Summe ist \((a + a) + (a + a + a) = a + a + a + a + a\). Da es fünf Summanden sind, entspricht dies \(5a\). 3. Unmöglichkeit des Zusammenfassens: \(3x + 2y\) ausgeschrieben ergibt \(x + x + x + y + y\). Da \(x\) und \(y\) unterschiedliche Variablen (und damit unterschiedliche Werte oder Objekte) repräsentieren, lassen sie sich nicht zu einer gemeinsamen Anzahl einer neuen Einheit zusammenzählen. Man kann nur gleichartige Glieder addieren.

a) \(4x = x + x + x + x\) (Summe); \(x^4 = x \cdot x \cdot x \cdot x\) (Produkt). b) \(2a + 3a = (a + a) + (a + a + a) = a + a + a + a + a = 5a\). c) \(3x + 2y = x + x + x + y + y\). Da die Summanden \(x\) und \(y\) verschieden sind, kann man sie nicht zu einer Gesamtzahl einer einzigen Variablen zusammenfassen.

- Vergleiche die Reihenfolge der beiden Zahlen in der bekannten Differenz mit der Reihenfolge im ersten Term. - Überlege, was mit einer Differenz passiert, wenn zu beiden Zahlen derselbe Wert addiert wird. - Nutze eine bereits bestimmte Beziehung für den letzten Term weiter.

1. Wenn die Reihenfolge der Differenz vertauscht wird, ändert sich ihr Vorzeichen. Daher hat \(y - x\) den Wert \(-7\). 2. Beim Term \((x + 10) - (y + 10)\) heben sich die beiden gleichen Verschiebungen um \(10\) gegenseitig auf. Der Term hat deshalb denselben Wert wie \(x - y\), also \(7\). 3. Da \(y - x = -7\), gilt für den dritten Term \(2 \cdot (-7) = -14\).

a) \(-7\) b) \(7\) c) \(-14\)

- Suche einen Kontext, in dem von einem Gesamtwert zuerst ein Teil abgezogen wird. - Überlege, warum der verbleibende Wert anschließend durch eine Anzahl gleich großer Teile geteilt wird. - Prüfe, ob jede Variable in deinem Kontext eine eindeutige Bedeutung hat.

1. Ein möglicher Kontext ist die Aufteilung eines Restbetrags: \(S\) bezeichnet einen Gesamtpreis, \(b\) eine bereits geleistete Anzahlung und \(k\) die Anzahl gleich großer Monatsraten. 2. In diesem Kontext gibt \(x\) die Höhe einer Monatsrate an. 3. Einsetzen ergibt \(x=\frac{85-13}{12}=\frac{72}{12}=6\).

a) Beispiel: Mira Demir kauft ein gebrauchtes Fahrrad zum Preis \(S\). Sie zahlt \(b\) sofort an und verteilt den Restbetrag auf \(k\) gleich große Monatsraten. Dann ist \(x\) die Höhe einer Monatsrate. b) \(x=6\)

- Was bedeutet eine Zahl ohne Variable im Vergleich zu einer Zahl mit Variable bei Kosten? - Wenn du die Ersparnis berechnen willst, musst du die Kosten voneinander abziehen. - Achte beim Subtrahieren eines ganzen Terms auf die Klammern. - Was sagt dir ein negatives Vorzeichen über die Ersparnis aus?

1. Analyse der Kostenstruktur: Tarif 1 hat eine feste Grundgebühr von \(10\,\text{€}\) und variable Kosten von \(2\,\text{€}\) pro \(\text{GB}\). Tarif 2 hat keine Grundgebühr, dafür aber höhere variable Kosten von \(4\,\text{€}\) pro \(\text{GB}\). 2. Aufstellen des Ersparnisterms \(E\): Differenz zwischen den Kosten von Tarif 2 und Tarif 1 bilden: \(E = 4m - (10 + 2m)\). 3. Vereinfachung des Terms: Klammer auflösen ergibt \(E = 4m - 10 - 2m\), zusammengefasst \(E = 2m - 10\). 4. Berechnung für \(m = 3\): \(E = 2 \cdot 3 - 10 = 6 - 10 = -4\). Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass Tarif 1 um \(4\,\text{€}\) teurer ist als Tarif 2. 5. Berechnung für \(m = 7\): \(E = 2 \cdot 7 - 10 = 14 - 10 = 4\). Ein positives Ergebnis bedeutet, dass man mit Tarif 1 genau \(4\,\text{€}\) gegenüber Tarif 2 spart.

a) Tarif 1 hat eine Grundgebühr von \(10\,\text{€}\) und kostet \(2\,\text{€}\) pro \(\text{GB}\). Tarif 2 hat keine Grundgebühr und kostet \(4\,\text{€}\) pro \(\text{GB}\). b) \(E = 2m - 10\) c) Für \(m = 3\) ist \(E = -4\), man zahlt also \(4\,\text{€}\) drauf. Für \(m = 7\) ist \(E = 4\), man spart also \(4\,\text{€}\).

- Prüfe in a), wie sich das Subtrahieren einer negativen Zahl auswirkt. - Überlege in b), unter welcher Bedingung ein Quotient den Wert \(0\) hat. - Untersuche in c) die drei Vorzeichenfälle getrennt.

1. Eine Differenz \(x-y\) kann größer als \(x\) sein, wenn \(y\) negativ ist, weil dann eine negative Zahl subtrahiert und damit ihr positiver Gegenwert addiert wird. Beispiel: \(10-(-5)=15>10\). 2. Ein Quotient mit von \(0\) verschiedenem Divisor ist nur dann \(0\), wenn der Dividend \(0\) ist. Da auch \(a\ne0\) vorausgesetzt ist, kann \(a:b\) nicht \(0\) sein. 3. Für positive \(x\) gilt \(-x<x\). Für negative \(x\) gilt dagegen \(-x>x\), und für \(x=0\) sind beide Werte gleich. Die Aussage gilt daher nur für positive \(x\).

a) Ja, zum Beispiel bei einem negativen Subtrahenden. b) Nein. c) Nein; \(-x<x\) gilt nur für positive \(x\).

- Was passiert mit der Wasserhöhe, wenn die Zeit \(t\) zunimmt? - Welchen Wert hat die Zeit \(t\) genau in dem Moment, in dem das Leeren beginnt? - Wenn das Becken leer ist, welche Höhe hat das Wasser dann?

1. Berechnung der Tabellenwerte für \(h = 120 - 8t\): - \(t = 0 \implies h = 120 - 8 \cdot 0 = 120\,\text{cm}\) - \(t = 5 \implies h = 120 - 8 \cdot 5 = 120 - 40 = 80\,\text{cm}\) - \(t = 10 \implies h = 120 - 8 \cdot 10 = 120 - 80 = 40\,\text{cm}\) - \(t = 15 \implies h = 120 - 8 \cdot 15 = 120 - 120 = 0\,\text{cm}\) 2. Interpretation der Konstanten: Die Zahl \(120\) ist die Höhe bei \(t = 0\), also die Anfangshöhe des Wassers im Becken. 3. Bestimmung des Leerzustands: Das Becken ist leer, wenn \(h = 0\). Aus der Rechnung folgt, dass dies bei \(t = 15\,\text{min}\) der Fall ist.

a) <table><tr><th>\(t\) in \(\text{min}\)</th><th>\(h\) in \(\text{cm}\)</th></tr><tr><td>\(0\)</td><td>\(120\)</td></tr><tr><td>\(5\)</td><td>\(80\)</td></tr><tr><td>\(10\)</td><td>\(40\)</td></tr><tr><td>\(15\)</td><td>\(0\)</td></tr></table> b) Die \(120\) gibt die Anfangshöhe des Wassers im Becken an (in \(\text{cm}\)). c) Das Becken ist nach \(15\) Minuten leer, da der Term für \(t = 15\) den Wert \(0\) ergibt.

- Lies die Temperatur am ersten und am letzten Messpunkt ab. - Vergleiche jeweils zwei aufeinanderfolgende Messpunkte und bestimme Anstieg oder Abfall. - Welche Rolle spielt der Startwert nur in einem der beiden Terme?

1. Es gilt \(T_1=-4+2+3-1-3+2+3=2\). Der Term startet mit der Temperatur am ersten Tag und addiert die Änderungen. Daher ist \(2\,^\circ\text{C}\) die Temperatur am siebten Tag. 2. Es gilt \(T_2=(2+3+2+3)-(1+3)=6\). Der Term vergleicht die Summe aller Anstiege mit der Summe der Beträge aller Abfälle. Die Netto-Temperaturänderung beträgt daher \(6\,^\circ\text{C}\).

\(T_1=2\,^\circ\text{C}\); das ist die Temperatur am siebten Tag. \(T_2=6\,^\circ\text{C}\); das ist die Netto-Temperaturänderung vom ersten bis zum siebten Tag.

- Ordne zuerst jeden Summanden einer Gruppe von Leisten zu. - Multipliziere die Klammer aus und fasse anschließend gleichartige Glieder zusammen. - Deute den konstanten Anteil nach der Umformung wieder in der ursprünglichen Konstruktion.

1. \(3(x+2)\) beschreibt die drei längeren Leisten, \(2x\) die beiden Leisten der Länge \(x\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \(3(x+2)+2x=3x+6+2x=5x+6\). Damit gilt \(L_1=L_2\). 3. In jeder der drei längeren Leisten stecken zusätzlich \(2\,\text{m}\). Diese drei Zuschläge ergeben zusammen \(6\,\text{m}\).

a) \(3(x+2)\): drei längere Leisten; \(2x\): zwei Leisten der Länge \(x\). b) \(3(x+2)+2x=5x+6\) c) \(6\) entsteht aus drei Zuschlägen von jeweils \(2\,\text{m}\).