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- Was passiert, wenn du auf beiden Seiten des Vergleichs das Gleiche tust, zum Beispiel die Variable entfernst? - Überlege dir, ob eine der Zahlen, die zu der Variablen hinzugefügt oder abgezogen werden, immer größer ist als die andere. - Kannst du dir eine Zahl für die Variable vorstellen und prüfen, welcher Ausdruck dann größer ist? Gilt das für jede Zahl?

1. Vergleich von \(m - 4\) und \(m + 4\): Subtraktion von \(m\) auf beiden Seiten führt zum Vergleich der Konstanten \(-4\) und \(4\). Da \(-4 < 4\) gilt, folgt die Ungleichung \(m - 4 < m + 4\). 2. Vergleich von \(10 - k\) und \(5 - k\): Addition der Variablen \(k\) auf beiden Seiten führt zum Vergleich der Konstanten \(10\) und \(5\). Da \(10 > 5\) gilt, folgt die Ungleichung \(10 - k > 5 - k\).

a) \(m - 4 < m + 4\) b) \(10 - k > 5 - k\)

- Führe die angegebene Addition wirklich auf beiden Seiten aus. - Vergleiche nach jeder Rechnung nicht nur die Zahlen, sondern auch die Richtung des Zeichens. - Suche am Ende nach einer Regel, die alle vier Beispiele erklärt.

1. \(12<16\). 2. \(0>-5\). 3. \(-3>-11\). 4. \(-10<-5\). 5. In allen vier Fällen bleibt die Richtung erhalten; Addition derselben Zahl auf beiden Seiten bewahrt die Ordnung.

1) \(12<16\) 2) \(0>-5\) 3) \(-3>-11\) 4) \(-10<-5\) Die Richtung bleibt in allen Fällen unverändert, wenn auf beiden Seiten dieselbe Zahl addiert wird.

- Überlege, ob das Wort „höchstens“ den Grenzwert einschließt oder ausschließt. - Vergleiche die Bedeutungen von \(<\) und \(\le\). - Prüfe die Grenzzahl direkt an der sprachlichen Aussage.

1. „Höchstens \(24\)“ bedeutet, dass \(x\) kleiner als oder gleich \(24\) sein darf. 2. Daher lautet die Ungleichung \(x\le24\). 3. Wegen des Gleichheitszeichens ist \(x=24\) erlaubt.

Die Bedingung lautet \(x\le24\). Genau \(24\) Personen sind erlaubt.

- Prüfe jedes Element der endlichen Grundmenge direkt an der Bedingung. - Beachte, dass bei \(x>0\) der Grenzwert \(0\) selbst nicht dazugehört. - Schreibe am Ende nur die Elemente in \(L\), die tatsächlich zur vorgegebenen Grundmenge gehören.

1. Gesucht sind alle Elemente der Grundmenge, die größer als \(0\) sind. 2. Das sind \(1\), \(2\) und \(3\).

Die Lösungsmenge ist \(L=\{1;2;3\}\).

- Was bedeutet „kleiner oder gleich“ für den Grenzwert \(1\)? - Berücksichtige nur Zahlen, die zur angegebenen Grundmenge gehören. - Vergleiche anschließend die vollständige Wertemenge mit allen drei Markierungen.

1. Gesucht sind alle Elemente der Grundmenge, die höchstens \(1\) sind. 2. Das sind \(-3,-2,-1,0,1\). 3. Genau diese Werte sind in Zahlengerade a) markiert.

Richtig ist a). \(L=\{-3;-2;-1;0;1\}\).

- Führe bei einer Doppelungleichung dieselbe zulässige Rechenoperation an allen drei Teilen aus. - Ziel ist, den mittleren Ausdruck schrittweise auf \(k\) zu reduzieren. - Berücksichtige am Ende nur natürliche Zahlen, die beide Grenzen erfüllen.

1. In der ersten Ungleichung alle drei Teile mit \(7\) multiplizieren: \(7<2k<14\). Nach Division durch \(2\) gilt \(3{,}5<k<7\). Damit ist \(k\in\{4;5;6\}\). 2. In der zweiten Ungleichung alle drei Teile mit \(9\) multiplizieren: \(3\le k+2<6\). Nach Subtraktion von \(2\) gilt \(1\le k<4\). Damit ist \(k\in\{1;2;3\}\).

a) \(k \in \{4;5;6\}\) b) \(k \in \{1;2;3\}\)

- Schreibe für jeden Tarif zuerst einen Kostenterm. - „Günstiger“ verlangt eine strenge Ungleichung, nicht „kleiner oder gleich“. - Nach dem algebraischen Lösen musst du die Ganzzahligkeit der Minuten berücksichtigen.

1. Für „Flat günstiger“ gilt \(22<12+0{,}08m\). 2. Subtraktion von 12 ergibt \(10<0{,}08m\). 3. Division durch \(0{,}08\) ergibt \(125<m\), also \(m>125\). 4. Bei vollen Minuten ist die kleinste zulässige Zahl 126.

Ungleichung: \(22<12+0{,}08m\). Lösung: \(m>125\). Damit ist „Flat“ ab 126 vollen Gesprächsminuten günstiger.

- Welcher Term beschreibt Lenas Geld nach \(m\) Monaten? - „Genug“ bedeutet, dass der Betrag auch genau dem Preis entsprechen darf. - Interpretiere die Dezimallösung am Ende als Anzahl voller Monate.

1. Nach \(m\) Monaten besitzt Lena \(155+25m\) Euro. 2. „Mindestens 540 Euro“ ergibt \(155+25m\ge540\). 3. Daraus folgt \(25m\ge385\) und \(m\ge15{,}4\). 4. Die kleinste ganze Monatszahl ist 16.

Ungleichung: \(155+25m\ge540\). Lösung: \(m\ge15{,}4\). Lena braucht daher mindestens 16 volle Monate.

- Schreibe beide Seitenlängen mit derselben Variablen. - Beim Rechteck kommen beide Seitenlängen jeweils zweimal im Umfang vor. - „Höchstens“ bedeutet, dass der Grenzwert eingeschlossen ist.

1. Die Seiten sind \(x\) und \(3x\). 2. Umfangsbedingung: \(2x+2\cdot3x\le48\). 3. Damit \(8x\le48\), also \(x\le6\). 4. Größtmöglich sind die Seiten \(6\,\text{cm}\) und \(18\,\text{cm}\).

Ungleichung: \(2x+2\cdot3x\le48\). Lösung: \(x\le6\). Maximale Seitenlängen: \(6\,\text{cm}\) und \(18\,\text{cm}\).

- Welche der drei Seiten ist bei positivem \(k\) die längste? - Was muss für die Summe der beiden kürzeren Seiten im Vergleich zur längsten Seite gelten? - Wie berechnet man den Umfang eines Dreiecks?

Damit ein Dreieck existiert, muss die Summe der zwei kürzeren Seiten größer als die längste Seite sein. 1. \(k + (k+2) > k+4 \Rightarrow 2k + 2 > k+4 \Rightarrow k > 2\) 2. Die anderen Bedingungen (\(k + k+4 > k+2\) und \(k+2 + k+4 > k\)) sind für alle positiven \(k\) erfüllt. Somit muss \(k > 2\) gelten. Für eine ganze Zahl \(k\) ist der kleinste Wert \(k = 3\). Der Umfang berechnet sich als \(U = k + (k+2) + (k+4) = 3k + 6\). Einsetzen von \(k = 3\): \(U = 3 \cdot 3 + 6 = 15\,\text{cm}\).

Es muss \(k > 2\) gelten. Der kleinstmögliche Umfang für eine ganze Zahl \(k\) beträgt \(15\,\text{cm}\).

- Trenne feste Buskosten von den personabhängigen Eintrittskosten. - Das Budget darf erreicht, aber nicht überschritten werden. - Die algebraische Grenze muss anschließend auf ganze Personen interpretiert werden.

1. Gesamtkosten: \(135+5{,}2p\). 2. Budgetbedingung: \(135+5{,}2p\le280\). 3. Daraus folgt \(5{,}2p\le145\), also \(p\le27{,}8846\ldots\). 4. Die größte ganze Personenzahl ist 27.

Ungleichung: \(135+5{,}2p\le280\). Lösung: \(p\le27{,}8846\ldots\). Daher können höchstens 27 Personen teilnehmen.

- Haben beide Terme einen gemeinsamen Teil, den man ignorieren kann, um sie zu vergleichen? - Wie verhalten sich die festen Zahlenwerte zueinander, wenn der variable Teil auf beiden Seiten identisch ist? - Probier doch mal aus, was passiert, wenn du eine sehr große oder eine sehr kleine (negative) Zahl einsetzt. Ändert das etwas am Größenverhältnis?

1. Untersuchung von \(2x + 7\) und \(2x - 3\): Da der Bestandteil \(2x\) in beiden Termen identisch ist, hängt der Wertunterschied nur von den Konstanten ab. Wegen \(7 > -3\) ergibt sich die Ungleichung \(2x + 7 > 2x - 3\). 2. Untersuchung von \(12 - y\) und \(15 - y\): Durch Addition von \(y\) auf beiden Seiten des Vergleichs bleiben die Werte \(12\) und \(15\) übrig. Da \(12 < 15\) ist, gilt für alle \(y\) die Beziehung \(12 - y < 15 - y\).

a) \(2x + 7 > 2x - 3\) b) \(12 - y < 15 - y\)

- Was passiert, wenn du auf beiden Seiten der Beziehung die Zahl \(x\) abziehst? - Überlege dir, wie sich positive Zahlen, negative Zahlen und die Null beim Vervielfachen verhalten. - Setze testweise eine positive Zahl, eine negative Zahl und die Null ein.

1. Untersuchung von \(x < 3x\): Subtraktion von \(x\) auf beiden Seiten ergibt \(0 < 2x\). Division durch \(2\) zeigt, dass dies für alle positiven Zahlen \(x > 0\) gilt. 2. Untersuchung von \(x = 3x\): Subtraktion von \(x\) ergibt \(0 = 2x\). Dies ist nur für \(x = 0\) erfüllt. 3. Untersuchung von \(x > 3x\): Subtraktion von \(x\) ergibt \(0 > 2x\). Dies gilt für alle negativen Zahlen \(x < 0\).

a) \(x<3x\Rightarrow0<2x\Rightarrow x>0\). b) \(x=3x\Rightarrow0=2x\Rightarrow x=0\). c) \(x>3x\Rightarrow0>2x\Rightarrow x<0\).

- Übersetze die Bedingungen „gleich null“, „positiv“ und „kleiner als“ jeweils in eine Gleichung oder Ungleichung. - Löse diese Bedingungen getrennt nach \(x\) auf. - Prüfe im letzten Teil, welche Rechenoperationen mit ganzen Zahlen ausgeführt werden.

1. Aus \(8x-24=0\) folgt \(8x=24\) und damit \(x=3\). 2. Für positive Werte gilt \(8x-24>0\), also \(8x>24\) und damit \(x>3\). 3. Aus \(8x-24<16\) folgt \(8x<40\), also \(x<5\). 4. Für ganzzahliges \(x\) ist \(8x\) ganzzahlig; die Subtraktion der ganzen Zahl \(24\) ergibt wieder eine ganze Zahl.

1. \(x=3\) 2. \(x>3\) 3. \(x<5\) 4. Für ganzzahliges \(x\) ist auch \(8x-24\) ganzzahlig.

- „Positiv“ bedeutet, dass der jeweilige Term größer als \(0\) sein soll. - Isoliere in jeder Ungleichung den Variablenterm. - Beachte die Zeichenumkehr beim Teilen durch eine negative Zahl. - Kontrolliere jede Lösung mit einem passenden Beispielwert.

1. Für a) gilt \(4x-12>0\). Daraus folgen \(4x>12\) und \(x>3\). 2. Für b) gilt \(18-6x>0\). Daraus folgt \(-6x>-18\); Division durch \(-6\) ergibt \(x<3\). 3. Für c) gilt \(-3x-21>0\). Daraus folgt \(-3x>21\); Division durch \(-3\) ergibt \(x<-7\).

a) \(x>3\) b) \(x<3\) c) \(x<-7\)

- Vergleiche jeweils linke Zahl vorher und nachher; ihre Differenz ist die gesuchte Addition. - Prüfe dieselbe Differenz auch auf der rechten Seite. - Die Kontrolle soll zeigen, dass wirklich eine gemeinsame Äquivalenzoperation vorliegt.

1. Addition von 6. 2. Addition von \(-8\). 3. Addition von \(-8\). 4. Addition von \(0{,}5\). 5. Beispiel 1: \(-2+6=4\) und \(5+6=11\); das Zeichen bleibt \(<\).

1) \(+6\) 2) \(-8\) 3) \(-8\) 4) \(+0{,}5\) Beispielkontrolle: \(-2+6=4\) und \(5+6=11\); daher wurde auf beiden Seiten dieselbe Zahl addiert und \(<\) bleibt erhalten.

- Arbeite wirklich nacheinander; Schritt 2 beginnt mit dem Ergebnis aus Schritt 1. - Achte auf das Vorzeichen jedes Multiplikations- oder Divisionsfaktors. - Formuliere am Ende eine Regel, die alle drei Schritte erklärt.

1. \(3<6\). 2. \(21<42\). 3. \(42<84\). 4. Alle verwendeten Multiplikations- und Divisionsfaktoren sind positiv; deshalb bleibt die Ordnungsrichtung erhalten.

1. \(3<6\) 2. \(21<42\) 3. \(42<84\) Die Richtung bleibt gleich, weil in allen drei Schritten mit positiven Zahlen multipliziert oder durch positive Zahlen dividiert wird.

- Was musst du tun, um \(x\) auf einer Seite der Ungleichung alleine stehen zu haben? - Achte darauf, welche Zahlenmenge in der Aufgabe vorgegeben ist. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die gefundenen Zahlen testweise in die Ungleichung einsetzt.

1. Addition von \(2\) auf beiden Seiten ergibt \(3x<12\). 2. Division beider Seiten durch \(3\) ergibt \(x<4\). 3. Die natürlichen Zahlen aus der vorgegebenen Grundmenge mit \(x<4\) sind \(\{1;2;3\}\).

Die Lösungen sind die Zahlen \(1\), \(2\) und \(3\).

- Prüfe bei jeder Zeile sowohl die Rechnung als auch die Richtung des Relationszeichens. - Welche Regel gilt beim Multiplizieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl? - Vergleiche die resultierenden Zahlen zusätzlich auf der Zahlengeraden.

1. Bei a) sind die Produkte \(-20\) und \(-30\). Beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl muss sich das Relationszeichen umkehren. Korrekt ist daher \(-20>-30\); die angegebene Umformung ist falsch. 2. Bei b) wurde das Relationszeichen beim Multiplizieren mit \(-0{,}5\) korrekt umgekehrt. Die Umformung \(2<4\) ist richtig. 3. Bei c) wurde das Relationszeichen beim Multiplizieren mit \(-1\) korrekt umgekehrt. Die Umformung \(-5\geq-9\) ist richtig.

a) Falsch. Korrekt ist \(-20>-30\). b) Richtig. c) Richtig.

- Forme jede Ungleichung ähnlich wie eine Gleichung um. - Beachte besonders den Fall, dass du durch eine negative Zahl dividierst. - Löse Klammern oder Brüche erst so weit auf, dass die Variable isoliert werden kann. - Prüfe die Richtung deiner Lösung mit einem Beispielwert.

1. Aus \(4x-11<17\) folgt \(4x<28\), also \(x<7\). 2. Aus \(15-2x\geq21\) folgt \(-2x\geq6\). Division durch \(-2\) kehrt das Relationszeichen um und ergibt \(x\leq-3\). 3. Aus \(3(x+4)\leq5x+2\) folgt \(3x+12\leq5x+2\), also \(10\leq2x\) und damit \(x\geq5\). 4. Aus \(\frac{x-2}{3}>2\) folgt \(x-2>6\), also \(x>8\).

a) \(x<7\) b) \(x\leq-3\) c) \(x\geq5\) d) \(x>8\)

- Unterscheide zunächst, ob die angegebene Zahl positiv oder negativ ist. - Bei einer positiven Multiplikation oder Division bleibt die Reihenfolge erhalten. - Bei einer negativen Multiplikation oder Division muss die Reihenfolge neu betrachtet werden. - Prüfe die fertige Aussage jeweils numerisch.

1. Division durch die positive Zahl \(6\) erhält die Richtung: \(3<5\). 2. Division durch die positive Zahl \(4\) erhält die Richtung: \(-3>-5\). 3. Multiplikation mit \(-3\) kehrt die Richtung um: \(-15<6\). 4. Division durch \(-2\) kehrt die Richtung um: \(4>2\).

1) \(3<5\) 2) \(-3>-5\) 3) \(-15<6\) 4) \(4>2\)

- Welche ganzen Zahlen liegen auf der Zahlengeraden rechts von \(-2{,}7\) und links von \(3{,}5\)? - Denke daran, dass eine Summe das Ergebnis einer Additionsaufgabe ist. - Ist die Zahl \(0\) eine ganze Zahl?

1. Bestimmung der ganzen Zahlen im Intervall \((-2{,}7; 3{,}5)\): Die Zahlen sind \(-2, -1, 0, 1, 2, 3\). 2. Identifikation der kleinsten Zahl: \(x_{\min} = -2\). 3. Identifikation der größten Zahl: \(x_{\max} = 3\). 4. Berechnung der Summe: \(-2 + 3 = 1\).

Die Zahlen sind \(-2, -1, 0, 1, 2, 3\). Die Summe aus der kleinsten und der größten Zahl ist \(1\).

- Ordne bei jeder Bedingung zuerst die kleinere Grenze links und die größere rechts an. - Prüfe für jede Grenze, ob sie selbst zur Lösungsmenge gehört. - Wähle danach die passende offene oder geschlossene Intervallgrenze.

1. Die Bedingungen lauten geordnet: a) \(-3<x<6\), b) \(4<x\leq11\), c) \(-7{,}5<x<-2\), d) \(8{,}4<x<15\). 2. Echte Ungleichungen führen zu offenen Intervallgrenzen; bei \(\leq\) oder \(\geq\) wird der Randwert eingeschlossen. 3. Damit ergeben sich a) \(L=]-3;6[\), b) \(L=]4;11]\), c) \(L=]-7{,}5;-2[\), d) \(L=]8{,}4;15[\).

a) \(L=]-3;6[\) b) \(L=]4;11]\) c) \(L=]-7{,}5;-2[\) d) \(L=]8{,}4;15[\)

- Was bedeutet der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden? - Versuche, beide Bedingungen einzeln auf einer gezeichneten Zahlengeraden zu markieren. - Wo überschneiden sich die markierten Bereiche?

1. Den Betrag interpretieren: Die Bedingung \(|x| < 2{,}5\) bedeutet, dass der Abstand der Zahl \(x\) vom Nullpunkt kleiner als \(2{,}5\) ist. Dies entspricht dem Bereich \(-2{,}5 < x < 2{,}5\). 2. Die zweite Bedingung einbeziehen: Zusätzlich muss \(x > -1\) gelten. 3. Die Bereiche zusammenführen: Man sucht die Zahlen, die sowohl größer als \(-1\) als auch kleiner als \(2{,}5\) sind. Da \(-1\) größer ist als \(-2{,}5\), beginnt der gemeinsame Bereich bei \(-1\). 4. Ergebnis formulieren: Der gesuchte Bereich ist \(-1 < x < 2{,}5\).

\(-1 < x < 2{,}5\)

- Was bedeutet das Zeichen \(\leq\) im Unterschied zu \(<\)? - Ganze Zahlen umfassen negative Zahlen, die Null und positive Zahlen. - Es kann helfen, nichtganzzahlige Grenzen gedanklich auf einer Zahlengeraden einzuordnen. - Schreibe die zulässigen ganzen Zahlen für jeden Fall auf und vergleiche erst danach die Anzahlen.

1. Für \(-4<x\le1\) gilt \(\{-3;-2;-1;0;1\}\). Das sind \(5\) Zahlen. 2. Für \(-2{,}8\le x<3{,}2\) gilt \(\{-2;-1;0;1;2;3\}\). Das sind \(6\) Zahlen. 3. Für \(-\frac{1}{2}<x<\frac{5}{2}\) gilt \(\{0;1;2\}\). Das sind \(3\) Zahlen. 4. Damit besitzt der zweite Fall die meisten Lösungen.

a) \(\{-3;-2;-1;0;1\}\) b) \(\{-2;-1;0;1;2;3\}\) c) \(\{0;1;2\}\) Die meisten Lösungen gibt es im Fall b).

- Lies \(|x-2|\) als Abstand von einem festen Punkt auf der Zahlengeraden. - Welche beiden Randpunkte liegen genau \(4\) Einheiten von diesem Punkt entfernt? - Sind diese Randpunkte wegen \(\leq\) Teil der Lösungsmenge?

1. \(|x-2|\) ist der Abstand der Zahl \(x\) vom Punkt \(2\). 2. Die Bedingung verlangt einen Abstand von höchstens \(4\), also \(-4\leq x-2\leq4\). 3. Addition von \(2\) auf allen drei Seiten ergibt \(-2\leq x\leq6\). 4. Damit ist \(L=\{x\in\mathbb{Q}\mid-2\leq x\leq6\}\).

\(L=\{x\in\mathbb{Q}\mid-2\leq x\leq6\}\). Das sind genau die rationalen Zahlen, deren Abstand von \(2\) höchstens \(4\) beträgt.

- Achte zuerst darauf, auf welcher Seite des Grenzwerts die markierten Zahlen liegen. - Entscheidend ist zusätzlich, ob der Grenzwert selbst markiert ist. - Vergleiche damit die Bedeutung von strengem und nicht strengem Relationszeichen.

1. Markiert sind \(0\), \(1\), \(2\) und \(3\). 2. Alle markierten Werte sind höchstens \(3\), und der Grenzwert \(3\) gehört dazu. 3. Deshalb passt B mit \(x\le3\).

B ist richtig: \(x\le3\). Markiert sind nur Werte bis \(3\), und \(3\) selbst ist markiert; deshalb muss die Gleichheit eingeschlossen sein.

- Vergleiche den kleinsten markierten Wert mit der vorgegebenen Grenze. - Prüfe, ob die Grenze selbst zur Lösungsmenge gehört. - Entscheide danach sowohl über die Richtung als auch darüber, ob Gleichheit erlaubt ist.

1. Markiert sind \(2\), \(3\), \(4\) und \(5\). 2. Die Lösungen liegen also rechts von \(2\), und \(2\) selbst gehört dazu. 3. Daher lautet die passende Bedingung \(x\ge2\).

Das passende Relationszeichen ist \(\ge\), also \(x\ge2\). Die Markierungen liegen bei \(2\) und rechts davon, und \(2\) selbst ist markiert; deshalb gehört die Gleichheit dazu.

- Trenne die bereits fest belegten Plätze von den Plätzen, die von der Klassenanzahl abhängen. - „Nicht überschreiten“ beschreibt eine Obergrenze einschließlich des Grenzwerts. - Da \(x\) eine Anzahl von Klassen ist, prüfe passende ganze Werte in der Grundmenge.

1. Die Klassen benötigen zusammen \(24x\) Plätze; mit den reservierten Plätzen werden insgesamt \(24x+18\) Plätze gebraucht. 2. Diese Zahl darf \(90\) nicht überschreiten. Daher gilt \(24x+18\le90\). 3. Nach Abzug der reservierten Plätze bleiben \(72\) Plätze für Klassen. 4. Drei vollständige Klassen benötigen \(72\) Plätze. Vier Klassen würden mehr Plätze benötigen als verfügbar sind. Daher ist die größte zulässige natürliche Zahl \(x=3\).

Eine passende Ungleichung ist \(24x+18\le90\). Höchstens \(3\) vollständige Klassen können teilnehmen.

- Vergleiche Pavels Vorgehen mit dem Grundgedanken einer beidseitigen Umformung. - Frage dich, welche Veränderung auf der rechten Seite fehlt. - Prüfe nach jeder korrekten Veränderung, ob die Größenbeziehung weiterhin stimmt.

1. Pavels Schritt verändert nur eine Seite. Eine gleichartige Umformung muss auf beiden Seiten mit derselben Zahl ausgeführt werden. 2. Subtraktion von \(4\) auf beiden Seiten von \(9<14\) ergibt \(5<10\). 3. Addition von \(6\) auf beiden Seiten der ursprünglichen Ungleichung ergibt \(15<20\). 4. In beiden korrekt umgeformten Ungleichungen bleibt die wahre Größenbeziehung erhalten.

Pavels Fehler ist die Veränderung nur einer Seite. Korrekt erhält man nach Subtraktion von \(4\) die Ungleichung \(5<10\) und nach Addition von \(6\) die Ungleichung \(15<20\).

- Betrachte zunächst jede Bedingung für sich. - Welche Zahlen liegen jeweils auf der erlaubten Seite des Grenzwerts? - Suche anschließend nur nach Werten, die in beiden Teilmengen vorkommen.

1. Aus \(x+2<5\) folgt durch Subtraktion von \(2\) auf beiden Seiten \(x<3\). 2. Gleichzeitig soll \(x\ge3\) gelten. 3. Keine ganze Zahl ist zugleich kleiner als \(3\) und mindestens \(3\). Deshalb ist die gemeinsame Lösungsmenge leer.

Aus \(x+2<5\) folgt \(x<3\). Die zweite Bedingung lautet \(x\ge3\). Da keine ganze Zahl beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt, ist die gemeinsame Lösungsmenge \(L=\varnothing\).

- Überlege zuerst, wie viel Geld nach dem Kauf des Wassers noch übrig bleibt. - Wie kannst du die Gesamtkosten aus den Kosten für Wasser und Saft zusammensetzen? - Was ist das Ziel: Das Budget darf nicht überschritten werden. Welches Ungleichheitszeichen drückt aus, dass die Kosten höchstens dem Budget entsprechen dürfen?

1. Die Mineralwasserkosten betragen \(12\cdot0{,}75\,\text{€}=9{,}00\,\text{€}\). 2. Das Budget darf nicht überschritten werden. Für die ganzzahlige Flaschenzahl \(x\ge0\) gilt daher \(9+1{,}40x\le30\). 3. Umformen: \(1{,}40x\le21\), also \(x\le15\). 4. Die größte zulässige ganze Zahl ist \(x=15\).

Die Budgetbedingung lautet \(12\cdot0{,}75+1{,}40x\le30\) beziehungsweise \(9+1{,}40x\le30\), wobei \(x\) eine nichtnegative ganze Zahl ist. Die Gruppe kann höchstens \(15\) Flaschen Apfelsaft kaufen.

- Übersetze die Formulierungen Schritt für Schritt in die Sprache der Mathematik. - Testrechnungen mit verschiedenen Werten helfen oft, eine allgemeine Aussage zu beurteilen. - Reicht ein einziges Beispiel aus, um zu zeigen, dass etwas „immer“ stimmt? Reicht ein einziges Beispiel aus, um zu zeigen, dass etwas nicht immer stimmt?

1. Aufstellen der Terme: Das Dreifache der Zahl ist \(3x\). Die Summe aus der Zahl und 10 ist \(x + 10\). 2. Überprüfung für \(x = 2\): \(3 \cdot 2 = 6\) und \(2 + 10 = 12\). Da \(6 < 12\), ist die Behauptung für \(x = 2\) falsch. 3. Überprüfung für \(x = 10\): \(3 \cdot 10 = 30\) und \(10 + 10 = 20\). Da \(30 > 20\), ist die Behauptung für \(x = 10\) wahr. 4. Da die Behauptung für \(x = 2\) nicht stimmt, ist sie nicht für alle positiven ganzen Zahlen wahr. Sie gilt erst für Zahlen, die größer als 5 sind (da \(3x > x + 10 \Leftrightarrow 2x > 10 \Leftrightarrow x > 5\)).

a) Die Terme lauten \(3x\) und \(x + 10\). b) Für \(x = 2\) ist \(6 < 12\) (falsch); für \(x = 10\) ist \(30 > 20\) (wahr). c) Nein, sie ist nicht immer wahr, wie das Gegenbeispiel \(x = 2\) zeigt.

- Drücke die Länge zunächst mit der Breite \(x\) aus. - Die Einfassung entspricht dem gesamten Rechteckumfang. - „Maximal“ führt zu einer nicht-strengen Ungleichung.

1. Breite: \(x\), Länge: \(x+4\). 2. Umfangsbedingung: \(2x+2(x+4)\le40\). 3. Daraus folgt \(4x+8\le40\), also \(x\le8\). 4. Die größte mögliche Breite ist \(8\,\text{m}\).

Ungleichung: \(2x+2(x+4)\le40\). Lösung: \(x\le8\). Die größte mögliche Breite beträgt \(8\,\text{m}\).

- In a) bezieht sich der zweite Prozentsatz nur auf die Vereinssportler, nicht auf die ganze Klasse. - Nutze in b) die Klassengröße als Grundwert und prüfe, ob dein Fußballergebnis zu a) passt. - In c) sind die Wanderer ausdrücklich keine Vereinssportler. Die beiden Gruppen können deshalb ohne Überschneidung zusammengezählt werden.

1. Der Fußballanteil an der gesamten Klasse beträgt \(60\,\% \cdot 25\,\% = 0{,}60 \cdot 0{,}25 = 0{,}15 = 15\,\%\). 2. Von \(40\) Kindern treiben \(40 \cdot \frac{60}{100} = 24\) Vereinssport. 3. Davon spielen \(24 \cdot \frac{25}{100} = 6\) im Fußballverein. Das stimmt mit \(15\,\%\) von \(40\) überein. 4. Die \(5\) Wanderer treiben keinen Vereinssport. Daher gehören \(24 + 5 = 29\) Kinder zu genau einer der beiden genannten Gruppen. 5. Der Anteil an der gesamten Klasse beträgt \(\frac{29}{40} \cdot 100\,\% = 72{,}5\,\%\).

a) \(15\,\%\) b) \(24\) Kinder treiben Vereinssport; davon spielen \(6\) im Fußballverein. c) \(72{,}5\,\%\)

- Übersetze „positiv“ zuerst in eine Ungleichung mit \(0\). - Isoliere anschließend den Variablenterm. - Welche Besonderheit gilt beim Teilen einer Ungleichung durch eine negative Zahl? - Prüfe die gefundene Seite der Grenze mit einem Beispielwert.

1. Für einen positiven Termwert gilt \(-4x-12>0\). 2. Addition von \(12\) ergibt \(-4x>12\). 3. Division durch \(-4\) kehrt das Relationszeichen um und liefert \(x<-3\). 4. Die Zeichenumkehr ist notwendig, weil Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl die Ordnung umkehrt.

Der Term ist für alle \(x<-3\) positiv. Das Relationszeichen kehrt sich beim Teilen durch \(-4\) um.

- Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren der zugehörigen positiven Zahl. - Wie verändert sich eine Zahl, wenn du etwas abziehst, das selbst kleiner als Null ist? - Versuche, die Gleichung im Aufgabenteil b) so umzuformen, dass alle Terme mit \(b\) auf einer Seite stehen.

1. Bedingung für \(a - b > a\): Durch Subtraktion von \(a\) auf beiden Seiten erhält man \(-b > 0\). Dies ist gleichbedeutend mit \(b < 0\). Die Differenz ist also größer als der Minuend, wenn eine negative Zahl subtrahiert wird. Beispiel: \(7 - (-3) = 10\) und \(10 > 7\). 2. Bedingung für \(a - b = a + b\): Subtraktion von \(a\) auf beiden Seiten führt zu \(-b = b\). Addiert man \(b\) auf beiden Seiten, folgt \(0 = 2b\). Daraus ergibt sich \(b = 0\). Der Wert von \(a\) ist dabei unerheblich.

a) \(a-b>a\Rightarrow-b>0\), also \(b<0\). Beispiel: \(5-(-2)=7>5\). b) \(a-b=a+b\Rightarrow-b=b\Rightarrow0=2b\Rightarrow b=0\).

- Übersetze die sprachlichen Bedingungen zunächst in mathematische Relationen. - Beachte die Regel für das Relationszeichen beim Teilen durch einen negativen Koeffizienten. - Vergleiche für den letzten Teil den Koeffizienten vor \(x\) mit der Änderungsrichtung des Terms.

1. Aus \(15-3x<0\) folgt \(-3x<-15\). Division durch \(-3\) kehrt das Relationszeichen um und ergibt \(x>5\). 2. Aus \(15-3x>21\) folgt \(-3x>6\), also nach Division durch \(-3\) die Bedingung \(x<-2\). 3. Aus \(15-3x=-3\) folgt \(-3x=-18\) und damit \(x=6\). 4. Wegen des negativen Koeffizienten \(-3\) nimmt der Termwert ab, wenn \(x\) größer wird.

1. \(x>5\) 2. \(x<-2\) 3. \(x=6\) 4. Der Termwert wird mit wachsendem \(x\) kleiner.

- Übersetze „kleiner als null“ und „nicht positiv“ zuerst in Relationszeichen. - Isoliere anschließend den Variablenterm. - Beachte, ob du mit einer positiven oder negativen Zahl multiplizierst oder dividierst. - Prüfe, ob der jeweilige Grenzwert zur Lösungsmenge gehört.

1. Für a) gilt \(\frac{1}{4}z+2<0\). Subtraktion von \(2\) ergibt \(\frac{1}{4}z<-2\); Multiplikation mit \(4\) liefert \(z<-8\). 2. Für b) gilt \(15-3z\leq0\). Daraus folgt \(-3z\leq-15\). Division durch \(-3\) kehrt das Relationszeichen um und liefert \(z\geq5\).

a) \(z<-8\) b) \(z\geq5\)

- Stelle zuerst einen Term für den Ladezustand nach \(t\) Stunden auf. - Übersetze „geringer als“ in eine Ungleichung. - Beachte beim Teilen durch den negativen Koeffizienten die Richtung des Relationszeichens. - Bestimme zusätzlich die physikalisch sinnvolle obere Zeitgrenze.

1. Der Ladezustand nach \(t\) Stunden wird durch \(80-12t\) beschrieben. 2. Für einen Ladezustand unter \(20\,\%\) gilt \(80-12t<20\). 3. Umformen ergibt \(-12t<-60\). Division durch \(-12\) kehrt das Relationszeichen um und liefert \(t>5\). 4. Vollständig entladen ist der Akku bei \(80-12t=0\), also bei \(t=\frac{20}{3}\approx6{,}67\). 5. Im sinnvollen Zeitraum gilt daher \(5<t\leq\frac{20}{3}\).

Eine passende Ungleichung ist \(80-12t<20\). Unter Berücksichtigung der vollständigen Entladung gilt \(5<t\leq\frac{20}{3}\) Stunden.

- Führe auf beiden Seiten jeder Ungleichung dieselben zulässigen Umformungen aus. - Überlege dir, welche ganzen Zahlen jeweils in den Bereich fallen. - Gibt es eine Zahl, die in beiden Bereichen vorkommt?

1. Für (I) ergibt die Subtraktion von \(5\): \(x<-3\). Die Lösungsmenge ist \(\{x\in\mathbb{Z}\mid x<-3\}\), also beispielsweise \(\{\ldots;-6;-5;-4\}\). 2. Für (II) ergibt die Addition von \(1\): \(x>-5\). Die Lösungsmenge ist \(\{x\in\mathbb{Z}\mid x>-5\}\), also \(\{-4;-3;-2;\ldots\}\). 3. Die einzige ganze Zahl, die zugleich kleiner als \(-3\) und größer als \(-5\) ist, ist \(-4\).

Ja, die Zahl \(-4\) erfüllt beide Ungleichungen. Die erste Ungleichung ergibt \(x<-3\), die zweite \(x>-5\).

- Beseitige die Brüche mit einem positiven gemeinsamen Nenner. - Achte beim Auflösen auf das Minus vor dem zweiten Bruchterm. - Beachte die Zeichenumkehr, falls du am Ende mit \(-1\) multiplizierst. - Nutze die gefundene Lösungsmenge anschließend für die ganzzahlige Zusatzfrage.

1. Multiplikation der gesamten Ungleichung mit dem positiven Hauptnenner \(12\) ergibt \(3(x+1)-4(x-2)\geq6\). 2. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen liefert \(-x+11\geq6\). 3. Daraus folgt \(-x\geq-5\). Multiplikation mit \(-1\) kehrt das Relationszeichen um und ergibt \(x\leq5\). 4. Die größte ganze Zahl in dieser Lösungsmenge ist \(5\).

a) \(x\leq5\) b) Die größte ganze Zahl ist \(5\).

- Übersetze „denselben Wert“ zunächst in eine Gleichung. - Übersetze „kleiner als“ anschließend in eine Ungleichung mit denselben beiden Termen. - Vergleiche die beiden Umformungswege und achte auf die Art des Ergebnisses.

1. Für gleiche Termwerte gilt \(5x-3=2x+9\). Daraus folgen \(3x=12\) und \(x=4\). 2. Für \(T_1(x)<T_2(x)\) gilt \(5x-3<2x+9\). Daraus folgt \(3x<12\), also \(x<4\).

a) \(x=4\) b) \(x<4\)

- Übersetze „positiv“, „negativ“ und „null“ jeweils in eine Relation zu \(0\). - Der Nenner \(3\) ist positiv; welche Auswirkung hat das auf das Relationszeichen? - Beachte beim späteren Teilen durch den negativen Koeffizienten von \(x\) die Zeichenumkehr.

1. Für positive Werte gilt \(\frac{5-2x}{3}>0\). Multiplikation mit \(3\) und anschließendes Umformen führen zu \(-2x>-5\), also \(x<2{,}5\). 2. Für negative Werte gilt \(\frac{5-2x}{3}<0\). Daraus folgt \(-2x<-5\), also \(x>2{,}5\). 3. Für den Wert null gilt \(\frac{5-2x}{3}=0\). Daraus folgt \(x=2{,}5\).

a) \(x<2{,}5\) b) \(x>2{,}5\) c) \(x=2{,}5\)

- Überlege zuerst, welche Operation in jedem Teil auf beide Seiten angewendet wird. - Addition derselben Zahl verändert die Reihenfolge nicht. - Unterscheide bei Multiplikation und Division zwischen positiven und negativen Faktoren. - Prüfe die Regel mit einem einfachen Zahlenpaar \(x<y\).

1. Addition derselben Zahl erhält die Richtung: \(x+10<y+10\). 2. Multiplikation mit der positiven Zahl \(5\) erhält die Richtung: \(5x<5y\). 3. Multiplikation mit \(-1\) kehrt die Richtung um: \(-x>-y\). 4. Division durch \(-2\) kehrt die Richtung um: \(\frac{x}{-2}>\frac{y}{-2}\).

a) \(<\) b) \(<\) c) \(>\) d) \(>\)

- Was bedeutet der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden? - Erstelle zuerst eine Liste aller Zahlen, die die erste Bedingung erfüllen, und filtere sie dann. - Achte genau auf das Zeichen \(>\): Gehört ein Wert mit Betrag genau \(2\) dazu?

1. Die ganzen Zahlen mit \(-3<z<5\) sind \(\{-2;-1;0;1;2;3;4\}\). 2. Von diesen Zahlen erfüllen nur \(3\) und \(4\) zusätzlich die Bedingung \(|z|>2\). 3. Damit lautet die gemeinsame Lösungsmenge \(\{3;4\}\).

Die gesuchten Zahlen sind \(3\) und \(4\).

- Interpretiere den Betrag als Abstand von \(0\) auf der Zahlengeraden. - Überlege, welche zwei Grenzen ein vorgegebener maximaler Abstand erzeugt. - Achte darauf, ob die Randwerte eingeschlossen sind. - Ein Abstand kann nicht negativ sein.

1. \(|x|<7\) bedeutet, dass der Abstand von \(x\) zu \(0\) kleiner als \(7\) ist. Daher gilt \(-7<x<7\). 2. \(|x|\leq3{,}5\) entspricht \(-3{,}5\leq x\leq3{,}5\), also \(L=[-3{,}5;3{,}5]\). 3. Das offene, um \(0\) symmetrische Intervall \(]-9{,}2;9{,}2[\) wird durch \(|x|<9{,}2\) beschrieben. 4. Ein Betrag ist immer größer oder gleich \(0\). Daher kann \(|x|<-1\) niemals erfüllt sein.

a) \(-7<x<7\) b) \(L=[-3{,}5;3{,}5]\) c) \(|x|<9{,}2\) d) Es gibt keine Lösung, weil ein Betrag nicht negativ sein kann.

- Schreibe für beide Aussagen auf, welche die kleinste und welche die größte erlaubte Zahl ist. - Wie kann man den „Abstand zu einer Zahl“ als Rechnung ausdrücken? - Findest du eine Zahl, die bei Marie erlaubt ist, aber bei Lukas nicht?

1. Lukas’ Aussage analysieren: \(|z| \le 6\) bedeutet, dass \(z\) im Intervall von \(-6\) bis \(6\) liegt (einschließlich der Grenzen). Mathematisch: \(-6 \le z \le 6\). 2. Maries Aussage analysieren: Ein Abstand von höchstens \(3\) zur Zahl \(4\) bedeutet mathematisch \(|z - 4| \le 3\). Das entspricht dem Bereich von \(4 - 3\) bis \(4 + 3\), also \(1 \le z \le 7\). 3. Die Bereiche vergleichen: Lukas lässt Zahlen bis maximal \(6\) zu. Marie lässt jedoch Zahlen bis \(7\) zu. 4. Gegenbeispiel finden: Die Zahl \(7\) erfüllt Maries Bedingung (\(7\) hat Abstand \(3\) zu \(4\)), aber nicht Lukas’ Bedingung (Betrag von \(7\) ist \(7\), was größer als \(6\) ist). 5. Schlussfolgerung: Nein, nicht alle Zahlen von Marie erfüllen auch Lukas’ Aussage.

Nein. Maries Bereich ist \(1 \le z \le 7\), während Lukas’ Bereich \(-6 \le z \le 6\) ist. Die Zahl \(7\) (oder jede Zahl \(z\) mit \(6 < z \le 7\)) erfüllt Maries Aussage, aber nicht die von Lukas.

- Stelle dir die Intervalle auf einer Zahlengeraden vor. - Für den zweiten Teil: Wo müssen die Grenzen liegen, damit die unmittelbar benachbarten ganzen Zahlen gerade ausgeschlossen bleiben? - Für den dritten Teil: Verschiebe gedanklich ein Intervall fester Länge entlang der Zahlengeraden und beobachte, welche ganzen Zahlen darin liegen.

1. Für \(-3{,}2<x<2{,}1\) sind die ganzen Zahlen \(\{-3;-2;-1;0;1;2\}\) enthalten; das sind \(6\) Zahlen. 2. Damit genau \(\{-1;0;1\}\) enthalten sind, kann man zum Beispiel \(a=-1{,}5\) und \(b=1{,}5\) wählen. 3. Für \(a=0{,}1\) und \(b=1{,}6\) gilt \(b-a=1{,}5\); enthalten ist nur \(\{1\}\). 4. Für \(a=0{,}9\) und \(b=2{,}4\) gilt ebenfalls \(b-a=1{,}5\); enthalten sind \(\{1;2\}\). 5. Damit können gleich lange Intervalle unterschiedlich viele ganze Zahlen enthalten.

1. \(6\) ganze Zahlen. 2. Zum Beispiel \(a=-1{,}5\) und \(b=1{,}5\). 3. Zum Beispiel enthält \(0{,}1<x<1{,}6\) nur \(1\), während \(0{,}9<x<2{,}4\) die Zahlen \(1\) und \(2\) enthält.

- Übersetze „höchstens“, „nicht negativ“ und „größer als“ jeweils zuerst in ein Relationszeichen. - Forme die entstehenden Ungleichungen wie lineare Gleichungen um. - Beachte die Zeichenumkehr, wenn du durch einen negativen Koeffizienten dividierst. - Prüfe, ob die jeweilige Grenze eingeschlossen ist.

1. „Höchstens \(10\)“ führt zu \(4(x+2)\leq10\). Daraus folgen \(4x+8\leq10\), \(4x\leq2\) und \(x\leq0{,}5\). 2. „Nicht negativ“ führt zu \(15-5x\geq0\). Daraus folgt \(-5x\geq-15\); Division durch \(-5\) ergibt \(x\leq3\). 3. Der Termvergleich ergibt \(5x-8>2x+1\). Daraus folgen \(3x>9\) und \(x>3\).

1) \(x\leq0{,}5\) 2) \(x\leq3\) 3) \(x>3\)

- Lies zunächst für jede Zahlengerade unabhängig die markierten Werte ab. - Prüfe an jeder vorgegebenen Grenzzahl, ob sie selbst markiert ist und auf welcher Seite die übrigen Markierungen liegen. - „Beide Bedingungen gleichzeitig“ bedeutet, dass ein Wert in beiden Lösungsmengen vorkommen muss. - Achte bei der Doppelungleichung darauf, welche der beiden Grenzzahlen enthalten ist.

1. Auf Zahlengerade a) sind genau die Werte rechts von \(-3\) markiert; \(-3\) selbst ist nicht markiert. Daher lautet die Bedingung \(x>-3\). 2. Auf Zahlengerade b) sind die Werte bis einschließlich \(1\) markiert. Daher lautet die Bedingung \(x\le1\). 3. In beiden Lösungsmengen liegen \(-2\), \(-1\), \(0\) und \(1\). 4. Die gemeinsame Bedingung kann als \(-3<x\le1\) geschrieben werden.

a) \(x>-3\) b) \(x\le1\) Gemeinsam gilt \(L=\{-2;-1;0;1\}\), also \(-3<x\le1\).

- Bestimme aus der Darstellung zuerst den kleinsten enthaltenen und den ersten oberen nicht enthaltenen Wert. - Die vorgegebenen Formen legen fest, ob die jeweilige Grenze enthalten sein soll. - Verändere in Teil b) nur die untere Grenze und prüfe, welcher neue Wert der Grundmenge dadurch zugelassen wird.

1. Markiert sind \(0\), \(1\), \(2\) und \(3\). Der kleinste markierte Wert \(0\) ist enthalten, daher passt als untere Bedingung \(x\ge0\). 2. Der nächste nicht markierte Wert oberhalb der Lösung ist \(4\). Da \(4\) ausgeschlossen ist, passt als obere Bedingung \(x<4\). 3. Wird die untere Grenze um eine Einheit nach links verschoben, lautet sie \(x\ge-1\). 4. Bei unveränderter Obergrenze \(x<4\) kommt dadurch zusätzlich \(-1\) zur gemeinsamen Lösungsmenge hinzu.

a) Eine passende Beschreibung ist \(x\ge0\) und \(x<4\). b) Zusätzlich gehört \(-1\) zur Lösungsmenge.

- Stelle zunächst einen Term für die Kerzenlänge nach \(h\) Stunden auf. - Übersetze „kürzer als“ in eine Ungleichung. - Beachte beim Teilen durch eine negative Zahl die Richtung des Relationszeichens. - Bestimme zusätzlich den Zeitpunkt des vollständigen Abbrennens als obere physikalische Grenze.

1. Für eine Kerzenlänge unter \(10\,\text{cm}\) gilt \(25-1{,}2h<10\). 2. Subtraktion von \(25\) ergibt \(-1{,}2h<-15\). 3. Division durch \(-1{,}2\) kehrt das Relationszeichen um und liefert \(h>12{,}5\). 4. Vollständig abgebrannt ist die Kerze bei \(25-1{,}2h=0\), also bei \(h=\frac{125}{6}\approx20{,}83\). 5. Im sinnvollen Zeitraum gilt daher \(12{,}5<h\leq\frac{125}{6}\).

Bis zum vollständigen Abbrennen ist die Kerze für \(12{,}5<h\leq\frac{125}{6}\) Stunden kürzer als \(10\,\text{cm}\).

- Forme die Gleichung im ersten Teil so um, dass ein Produkt gleich null ist. - Unterscheide beim Teilen einer Ungleichung danach, ob der Divisor positiv oder negativ ist. - Prüfe die beiden Vorzeichenfälle für \(a\) getrennt. - Teste deine Bedingungen bei Bedarf mit einfachen positiven und negativen Beispielwerten.

1. Aus \(ab=a\) folgt \(a(b-1)=0\). Daher gilt entweder \(a=0\) bei beliebigem \(b\) oder \(b=1\). 2. Für \(a>0\) darf die Ungleichung \(ab<a\) durch \(a\) geteilt werden, ohne das Relationszeichen zu ändern. Es folgt \(b<1\). 3. Für \(a<0\) kehrt sich beim Teilen durch \(a\) das Relationszeichen um. Es folgt \(b>1\).

1) \(a=0\) mit beliebigem \(b\) oder \(b=1\). 2) Für \(a>0\) gilt \(b<1\). 3) Für \(a<0\) gilt \(b>1\).

- Isoliere bei jeder Aufgabe zuerst den Betragsterm. - Ein kleiner Betrag beschreibt einen Bereich zwischen zwei Grenzen. - Ein ausreichend großer Betrag beschreibt zwei Bereiche außerhalb eines zentralen Abschnitts. - Prüfe bei den Grenzen, ob sie wegen des Relationszeichens dazugehören.

1. Für a) gilt \(-10<2x+6<10\). Subtraktion von \(6\) und Division durch \(2\) ergeben \(-8<x<2\). 2. Daher ist \(L_a=\{x\in\mathbb{Q}\mid-8<x<2\}\). 3. Für b) ergibt die Addition von \(5\) und Division durch \(4\) zunächst \(|x-1|\geq3\). 4. Das bedeutet \(x-1\geq3\) oder \(x-1\leq-3\). 5. Damit gilt \(x\geq4\) oder \(x\leq-2\), also \(L_b=\{x\in\mathbb{Q}\mid x\leq-2\text{ oder }x\geq4\}\).

a) \(L_a=\{x\in\mathbb{Q}\mid-8<x<2\}\) b) \(L_b=\{x\in\mathbb{Q}\mid x\leq-2\text{ oder }x\geq4\}\)