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- Trenne den festen Kostenanteil vom Anteil, der von der Leihdauer abhängt. - Setze die Summe dieser beiden Kostenanteile gleich dem Rechnungsbetrag. - Prüfe nach dem Lösen, ob feste Gebühr und Stundenkosten zusammen den Gesamtbetrag ergeben.

1. Die feste Gebühr beträgt \(3{,}00\,\text{€}\), die zeitabhängigen Kosten betragen \(2x\,\text{€}\). 2. Daher gilt \(3+2x=9\). 3. Aus \(2x=6\) folgt \(x=3\).

Die Gleichung lautet \(3+2x=9\). Die Schlittschuhe wurden \(3\) Stunden ausgeliehen.

- Welche Größe bezeichnet \(x\)? - Wie hängt der Gesamtpreis von der Anzahl gleich teurer Karten ab? - Prüfe dein Ergebnis, indem du den Einzelpreis wieder auf vier Karten überträgst.

1. Vier Karten zu je \(x\,\text{€}\) kosten zusammen \(4x\,\text{€}\). 2. Daher gilt \(4x=28\). 3. Division durch \(4\) ergibt \(x=7\).

Die Gleichung lautet \(4x=28\). Eine Eintrittskarte kostet \(7\,\text{€}\).

- Welche Kosten hängen von der Anzahl der Spiele ab und welche nicht? - Ordne jedem Teil der gegebenen Gleichung eine Bedeutung aus der Situation zu. - Welche unbekannte Kostenart bleibt nach den Spielkosten übrig?

1. In \(x+3\cdot2=10\) steht \(3\cdot2\) für die Kosten der drei Spiele. Damit bezeichnet \(x\) die feste Schuhgebühr. 2. Es gilt \(x+6=10\). 3. Subtraktion von \(6\) ergibt \(x=4\).

\(x\) ist die feste Schuhgebühr. Sie beträgt \(4\,\text{€}\).

- Berechne zuerst den bereits erzielten Erlös. - Wie viele Spiele bleiben noch übrig? - Bereits erzielter Erlös plus Restverkauf muss genau die Kosten ergeben.

1. Erlös der ersten 15 Spiele: \(15\cdot2{,}5=37{,}5\,\text{€}\). 2. Gesamtgleichung: \(37{,}5+25x=120\). 3. Daraus folgt \(25x=82{,}5\) und \(x=3{,}3\).

Gleichung: \(37{,}5+25x=120\). Die restlichen Spiele müssen für \(3{,}30\,\text{€}\) pro Stück verkauft werden.

- Schreibe für jeden Tarif zuerst einen Kostenterm. - „Günstiger“ verlangt eine strenge Ungleichung, nicht „kleiner oder gleich“. - Nach dem algebraischen Lösen musst du die Ganzzahligkeit der Minuten berücksichtigen.

1. Für „Flat günstiger“ gilt \(22<12+0{,}08m\). 2. Subtraktion von 12 ergibt \(10<0{,}08m\). 3. Division durch \(0{,}08\) ergibt \(125<m\), also \(m>125\). 4. Bei vollen Minuten ist die kleinste zulässige Zahl 126.

Ungleichung: \(22<12+0{,}08m\). Lösung: \(m>125\). Damit ist „Flat“ ab 126 vollen Gesprächsminuten günstiger.

- Welcher Term beschreibt Lenas Geld nach \(m\) Monaten? - „Genug“ bedeutet, dass der Betrag auch genau dem Preis entsprechen darf. - Interpretiere die Dezimallösung am Ende als Anzahl voller Monate.

1. Nach \(m\) Monaten besitzt Lena \(155+25m\) Euro. 2. „Mindestens 540 Euro“ ergibt \(155+25m\ge540\). 3. Daraus folgt \(25m\ge385\) und \(m\ge15{,}4\). 4. Die kleinste ganze Monatszahl ist 16.

Ungleichung: \(155+25m\ge540\). Lösung: \(m\ge15{,}4\). Lena braucht daher mindestens 16 volle Monate.

- Wie viele Besuche finden in einem Monat statt, wenn man jeden zweiten Tag geht? - Wie berechnet man die Gesamtkosten, wenn es eine feste Grundgebühr und einen Preis pro Einheit gibt? - Vergleiche das Ergebnis deiner Rechnung für Tarif B mit dem Festpreis von Tarif A.

1. Anzahl der Besuche bei Training an jedem zweiten Tag in einem Monat mit 30 Tagen berechnen: \(30 : 2 = 15\) Besuche. 2. Kosten für Tarif B bei 15 Besuchen berechnen: \(10{,}00\,\text{€} + 15 \cdot 3{,}50\,\text{€} = 10{,}00\,\text{€} + 52{,}50\,\text{€} = 62{,}50\,\text{€}\). 3. Vergleich mit Tarif A: Tarif A kostet konstant \(45{,}00\,\text{€}\). 4. Differenz ermitteln: \(62{,}50\,\text{€} > 45{,}00\,\text{€}\). 5. Ergebnis: Die Aussage ist falsch, da Tarif B bei dieser Nutzungsfrequenz deutlich teurer ist (\(17{,}50\,\text{€}\) Mehrkosten gegenüber Tarif A).

Die Aussage ist falsch. Bei 15 Besuchen im Monat zahlt man in Tarif B insgesamt \(62{,}50\,\text{€}\) (\(10 + 15 \cdot 3{,}5\)). Das ist deutlich teurer als die Flatrate von \(45{,}00\,\text{€}\).

- Stelle die Gesamtkosten beider Tarife nach \(x\) Monaten auf. - Übersetze „günstiger als“ in eine Ungleichung. - Löse die Ungleichung und interpretiere die Grenze für volle Monate.

1. Nach \(4\) Monaten kostet „Power“ \(45+4\cdot25=145\,\text{€}\), „Easy“ \(4\cdot35=140\,\text{€}\). 2. Für \(x\) Monate ist „Power“ günstiger, wenn \(45+25x<35x\). 3. Daraus folgt \(45<10x\), also \(x>4{,}5\). 4. Bei vollen Monaten ist daher der \(5.\) Monat der erste günstigere Zeitpunkt.

a) „Power“ kostet \(145{,}00\,\text{€}\), „Easy“ \(140{,}00\,\text{€}\). b) Ab dem \(5.\) Monat ist „Power“ günstiger.

- Trenne feste Buskosten von den personabhängigen Eintrittskosten. - Das Budget darf erreicht, aber nicht überschritten werden. - Die algebraische Grenze muss anschließend auf ganze Personen interpretiert werden.

1. Gesamtkosten: \(135+5{,}2p\). 2. Budgetbedingung: \(135+5{,}2p\le280\). 3. Daraus folgt \(5{,}2p\le145\), also \(p\le27{,}8846\ldots\). 4. Die größte ganze Personenzahl ist 27.

Ungleichung: \(135+5{,}2p\le280\). Lösung: \(p\le27{,}8846\ldots\). Daher können höchstens 27 Personen teilnehmen.

- Trenne die einmalige Buspauschale von den Kosten pro Person. - Nur der Eintrittsteil hängt von \(x\) ab. - Beide Kostenarten zusammen ergeben 774 Euro.

1. Gesamtkosten: \(450+12x\). 2. Gleichung: \(450+12x=774\). 3. Daraus folgt \(12x=324\) und \(x=27\).

Gleichung: \(450+12x=774\). Es nehmen 27 Personen teil.

- Wähle die kleinere Stückzahl als Variable. - Jede Sorte trägt Stückzahl mal Stückpreis zur Gesamtsumme bei. - Das Verhältnis der Stückzahlen muss im Kostenterm sichtbar bleiben.

1. Teure Marken: \(x\), günstige Marken: \(2x\). 2. Kostengleichung: \(1{,}10x+0{,}85\cdot2x=33{,}60\). 3. Daraus folgt \(2{,}80x=33{,}60\), also \(x=12\). 4. Es wurden 24 günstige Marken gekauft.

Gleichung: \(1{,}10x+0{,}85\cdot2x=33{,}60\). \(12\) Marken zu \(1{,}10\,\text{€}\) und \(24\) Marken zu \(0{,}85\,\text{€}\).

- Drücke beide Ersparnisse mit derselben Variablen aus. - Die 42 Euro sind die Differenz, nicht die Summe. - Welche der beiden Größen ist größer?

1. Finja hat \(x\), Lukas \(4x\) Euro. 2. Die Differenzbedingung lautet \(4x-x=42\). 3. Daraus folgt \(3x=42\), also \(x=14\).

Gleichung: \(4x-x=42\). Finja hat \(14\,\text{€}\) gespart.

- Schreibe für beide Tarife zuerst einen Kostenterm. - Für den Schnittpunkt müssen die beiden vollständigen Kosten gleich sein. - In b) setzt du denselben Minutenwert in beide Terme ein.

1. Kostenterme: \(10+0{,}15x\) und \(0{,}25x\). 2. Gleichung: \(10+0{,}15x=0{,}25x\). 3. Daraus folgt \(10=0{,}10x\), also \(x=100\). 4. Bei 150 Minuten kostet A \(32{,}50\,\text{€}\), B \(37{,}50\,\text{€}\); A ist günstiger.

a) Gleichung: \(10+0{,}15x=0{,}25x\). Gleich teuer bei 100 Minuten. b) Bei 150 Minuten: A \(32{,}50\,\text{€}\), B \(37{,}50\,\text{€}\). Tarif A ist günstiger.

- Lies für jede Bonzeile Anzahl und Einzelpreis zusammen ab. - Bestimme zuerst den bekannten Teil des Gesamtbetrags. - Der unbekannte Teil entsteht aus der unbekannten Anzahl und dem zugehörigen Einzelpreis.

1. Die zwei belegten Brote kosten zusammen \(2\cdot3{,}50=7{,}00\,\text{€}\). 2. Die \(x\) Apfelsäfte kosten \(1{,}50x\,\text{€}\). 3. Für den Gesamtbetrag gilt \(7+1{,}50x=13\). 4. Daraus folgt \(1{,}50x=6\) und somit \(x=4\).

Eine passende Gleichung ist \(7+1{,}50x=13\). Es wurden \(4\) Apfelsäfte gekauft.

- Formuliere beide Kostenmodelle als lineare Terme. - Für a) müssen die Terme gleichgesetzt werden. - Nutze in b) die Nachbarwerte des gefundenen Schnittpunkts und berechne beide Preise jeweils vollständig.

1. Kostenterme: \(6+2x\) und \(14+x\). 2. Gleichung: \(6+2x=14+x\), also \(x=8\). 3. Bei 7 Spielen: A kostet 20 Euro, B 21 Euro; A ist günstiger. 4. Bei 9 Spielen: A kostet 24 Euro, B 23 Euro; B ist günstiger.

a) Gleichung: \(6+2x=14+x\). Gleichstand bei \(x=8\). b) Bei 7 Spielen: A \(20\,\text{€}\), B \(21\,\text{€}\), also A günstiger. Bei 9 Spielen: A \(24\,\text{€}\), B \(23\,\text{€}\), also B günstiger.

- Welcher Summand verändert sich nicht, wenn sich \(x\) ändert? - Welcher Faktor wird pro Einheit wiederholt? - Deine Beschreibung muss genau die Addition in der Gleichung widerspiegeln, ohne dass Antwortoptionen vorgegeben sind.

1. Eine passende Beschreibung ist zum Beispiel: „Eine feste Gebühr von 6 Euro und zusätzlich 4 Euro je Einheit ergeben zusammen 26 Euro.“ 2. Dabei ist 6 die feste Gebühr, 4 der Preis je Einheit und \(x\) die Anzahl der Einheiten. 3. Aus \(6+4x=26\) folgt \(4x=20\) und \(x=5\).

Beispielbeschreibung: Eine feste Gebühr von \(6\,\text{€}\) plus \(4\,\text{€}\) je Einheit ergibt \(26\,\text{€}\). 6 = feste Gebühr, 4 = Preis je Einheit, \(x\) = Anzahl der Einheiten. \(x=5\).

- Welche Kosten fallen unabhängig von der Strecke an? - Welcher Anteil wächst mit jedem gefahrenen Kilometer? - Für den letzten Teil ist der Gesamtpreis gegeben; setze ihn in die Zuordnung ein.

1. Der Gesamtpreis besteht aus dem Grundpreis und dem kilometerabhängigen Anteil. Daher gilt \(y=2{,}20x+4{,}50\). 2. Die Konstante \(4{,}50\,\text{€}\) ist der feste Grundpreis, der unabhängig von der gefahrenen Strecke anfällt. 3. Für \(y=26{,}50\) gilt \(26{,}50=2{,}20x+4{,}50\). Daraus folgen \(22=2{,}20x\) und \(x=10\).

a) \(y=2{,}20x+4{,}50\) b) \(4{,}50\,\text{€}\) ist der streckenunabhängige Grundpreis. c) Der Fahrgast ist \(10\,\text{km}\) gefahren.

- Bei Lukas wächst das Guthaben, bei Sarah sinkt es monatlich. - Ein Gleichstand bedeutet, dass die beiden vollständigen Guthabenterme denselben Wert haben. - Berechne den gemeinsamen Geldbetrag erst nach dem Lösen der Gleichung.

1. Lukas: \(85+12m\), Sarah: \(205-8m\). 2. Gleichstand: \(85+12m=205-8m\). 3. Daraus folgt \(20m=120\), also \(m=6\). 4. Gemeinsamer Betrag: \(85+12\cdot6=157\,\text{€}\).

Terme: \(85+12m\) und \(205-8m\). Gleichung: \(85+12m=205-8m\). Nach 6 Monaten besitzen beide \(157\,\text{€}\).

- Überlege zuerst, wie viel Geld nach dem Kauf des Wassers noch übrig bleibt. - Wie kannst du die Gesamtkosten aus den Kosten für Wasser und Saft zusammensetzen? - Was ist das Ziel: Das Budget darf nicht überschritten werden. Welches Ungleichheitszeichen drückt aus, dass die Kosten höchstens dem Budget entsprechen dürfen?

1. Die Mineralwasserkosten betragen \(12\cdot0{,}75\,\text{€}=9{,}00\,\text{€}\). 2. Das Budget darf nicht überschritten werden. Für die ganzzahlige Flaschenzahl \(x\ge0\) gilt daher \(9+1{,}40x\le30\). 3. Umformen: \(1{,}40x\le21\), also \(x\le15\). 4. Die größte zulässige ganze Zahl ist \(x=15\).

Die Budgetbedingung lautet \(12\cdot0{,}75+1{,}40x\le30\) beziehungsweise \(9+1{,}40x\le30\), wobei \(x\) eine nichtnegative ganze Zahl ist. Die Gruppe kann höchstens \(15\) Flaschen Apfelsaft kaufen.

- Schreibe die Buchungen in der Reihenfolge aus dem Text an den unbekannten Anfangsstand. - Für Lukas und Sarah brauchst du zwei getrennte Gleichungen. - Das Vorzeichen des Anfangswerts beantwortet Teil b).

1. Lukas: \(x+15{,}50-40=5\), also \(x=29{,}50\). 2. Sarah: \(y+25-10{,}50=5\), also \(y=-9{,}50\). 3. Sarahs Anfangsstand ist negativ; sie war daher im Minus.

a) Lukas: \(x+15{,}50-40=5\Rightarrow x=29{,}50\,\text{€}\). Sarah: \(y+25-10{,}50=5\Rightarrow y=-9{,}50\,\text{€}\). b) Sarah war im Minus, weil ihr Anfangsstand negativ ist.

- Werte beide Zuordnungen zunächst für dieselbe Eingabe aus. - Eine Abweichung ist die Differenz der beiden Ergebnisse. - Vergleiche für die Behauptung sowohl den gemeinsamen Wert an der Grenze als auch die beiden Koeffizienten vor \(C\).

1. Bei \(30\,^\circ\text{C}\) liefert die Faustformel \(2\cdot30+30=90\,^\circ\text{F}\), die exakte Formel \(1{,}8\cdot30+32=86\,^\circ\text{F}\). 2. Bei \(25\,^\circ\text{C}\) ergeben sich \(80\,^\circ\text{F}\) und \(77\,^\circ\text{F}\); die Abweichung beträgt \(3\,^\circ\text{F}\). 3. Bei \(C=10\) liefern beide Terme \(50\). Für größere Werte wächst \(2C+30\) wegen des größeren Koeffizienten stärker als \(1{,}8C+32\). 4. Die Behauptung ist daher in der Form „ab \(10\)“ falsch: Bei genau \(10\,^\circ\text{C}\) sind die Werte gleich; erst für \(C>10\) ist die Faustformel größer.

a) Faustformel: \(90\,^\circ\text{F}\); exakt: \(86\,^\circ\text{F}\). b) Die Abweichung beträgt \(3\,^\circ\text{F}\). c) Die Behauptung ist falsch; bei \(10\,^\circ\text{C}\) sind beide Werte gleich, erst darüber ist die Faustformel größer.

- Zum Kostenausgleich kommt hier noch der gewünschte Gewinn hinzu. - Trenne bereits erzielten Erlös vom noch offenen Erlös. - Die Gleichung soll den gesamten Zielerlös abbilden.

1. Zielerlös: \(180+60=240\,\text{€}\). 2. Bereits erzielt: \(120\,\text{€}\). 3. Gleichung: \(120+80x=240\). 4. Daraus folgt \(80x=120\) und \(x=1{,}5\).

Zielerlös: \(240\,\text{€}\). Gleichung: \(120+80x=240\). Die restlichen Exemplare müssen \(1{,}50\,\text{€}\) kosten.

- Bestimme zuerst den ursprünglich geplanten Erlös für alle 500 Lose. - Berechne separat, was am Vormittag tatsächlich eingenommen wurde. - Der Restverkauf muss genau die Differenz zum ursprünglichen Ziel schließen.

1. Geplanter Gesamterlös: \(500\cdot1{,}5=750\,\text{€}\). 2. Vormittagserlös: \(300\cdot1{,}1=330\,\text{€}\). 3. Gleichung: \(330+200x=750\). 4. Daraus folgt \(200x=420\), also \(x=2{,}1\).

Gleichung: \(330+200x=750\). Der Preis der restlichen Lose muss \(2{,}10\,\text{€}\) betragen.

- Stelle Einnahmen und Gesamtkosten jeweils als Term in der Stückzahl dar. - „Kein Verlust“ bedeutet Einnahmen mindestens so groß wie Kosten. - Beim Gewinn ziehst du alle Kosten von den Einnahmen ab. - Runde erst nach dem Lösen auf eine mögliche ganze Stückzahl auf.

1. Sei \(w\) die Anzahl der verkauften Waffeln. Für „kein Verlust“ gilt \(1{,}50w\geq42+0{,}35w\). 2. Daraus folgt \(1{,}15w\geq42\), also \(w\geq36{,}521\ldots\). Wegen der ganzzahligen Stückzahl sind mindestens \(37\) Waffeln nötig. 3. Für mindestens \(120\,\text{€}\) Gewinn gilt \(1{,}50w-(42+0{,}35w)\geq120\). 4. Daraus folgt \(1{,}15w\geq162\), also \(w\geq140{,}869\ldots\). Daher sind mindestens \(141\) Waffeln nötig.

a) Mindestens \(37\) Waffeln. b) Mindestens \(141\) Waffeln.

- Unterscheide sorgfältig zwischen monatlicher und jährlicher Grundgebühr. - Stelle für den Jahresvergleich beide Kostenterme mit derselben Minutenvariable auf. - Löse die Ungleichung und beachte die ganzzahlige Minutenanzahl.

1. Ein Zwölftel der Grundgebühr beträgt \(114:12=9{,}50\,\text{€}\). 2. Für \(80\) Minuten kostet „Smart“ \(9{,}50+80\cdot0{,}05=13{,}50\,\text{€}\), „Basic“ \(80\cdot0{,}15=12{,}00\,\text{€}\). 3. Für \(x\) Jahresminuten ist „Smart“ günstiger, wenn \(114+0{,}05x<0{,}15x\). 4. Daraus folgt \(114<0{,}10x\), also \(x>1140\). 5. Die kleinste ganze Minutenanzahl ist \(1141\).

a) „Smart“ kostet \(13{,}50\,\text{€}\), „Basic“ \(12{,}00\,\text{€}\). b) Ab \(1141\) Gesprächsminuten pro Jahr ist „Smart“ günstiger.

- Stelle für beide Anbieter einen Kostenterm mit derselben Kilometerzahl auf. - Welches Relationszeichen beschreibt „A ist günstiger“? - Löse die resultierende lineare Ungleichung nach der Kilometerzahl auf.

1. Bei \(40\,\text{km}\) kostet A \(15+0{,}20\cdot40=23{,}00\,\text{€}\), B \(0{,}45\cdot40=18{,}00\,\text{€}\). 2. Für \(x\) Kilometer ist A günstiger, wenn \(15+0{,}20x<0{,}45x\). 3. Daraus folgt \(15<0{,}25x\), also \(x>60\).

a) Anbieter A kostet \(23{,}00\,\text{€}\), Anbieter B \(18{,}00\,\text{€}\). b) Bei mehr als \(60\,\text{km}\) pro Monat ist Anbieter A günstiger.

- Erstelle zuerst für jeden Tarif eine eigene Formel. - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Tarife „gleich viel kosten“? - Kannst du eine Tabelle für verschiedene Minutenwerte anlegen, um die Kosten zu vergleichen?

1. Aufstellen der Terme: Für Tarif A gilt \(K_A = 0{,}20x + 1{,}20\). Für Tarif B gilt \(K_B = 0{,}30x\). 2. Berechnung für \(x = 15\): Tarif A: \(0{,}20 \cdot 15 + 1{,}20 = 3{,}00 + 1{,}20 = 4{,}20\,\text{€}\). Tarif B: \(0{,}30 \cdot 15 = 4{,}50\,\text{€}\). Tarif A ist bei \(15\) Minuten günstiger. 3. Gleichsetzen der Tarife: \(0{,}20x + 1{,}20 = 0{,}30x\). Subtraktion von \(0{,}20x\) führt zu \(1{,}20 = 0{,}10x\). Division durch \(0{,}10\) ergibt \(x = 12\). Bei einer Fahrtdauer von \(12\,\text{Minuten}\) sind beide Tarife gleich teuer.

a) Tarif A: \(K_A = 0{,}20x + 1{,}20\); Tarif B: \(K_B = 0{,}30x\) b) Tarif A: \(4{,}20\,\text{€}\); Tarif B: \(4{,}50\,\text{€}\). Tarif A ist günstiger. c) Bei \(12\,\text{Minuten}\) sind die Kosten gleich.

- „25 Prozent höher“ bedeutet 125 Prozent der Materialkosten. - Die Maschinenpauschale ist ein fester zusätzlicher Summand. - Alle drei Kostenbestandteile ergeben zusammen die Gesamtkosten.

1. Arbeitskosten: \(1{,}25x\). 2. Gesamtgleichung: \(x+1{,}25x+100=1900\). 3. Daraus folgt \(2{,}25x=1800\), also \(x=800\).

Gleichung: \(x+1{,}25x+100=1900\). Die Materialkosten betragen \(800\,\text{€}\).

- Wähle die kleinere Verkaufszahl als Variable. - Multipliziere jede Stückzahl mit ihrem eigenen Stückpreis. - Addiere die beiden Erlösbeiträge zum Tageserlös.

1. Saftflaschen: \(x\), Brötchen: \(2x\). 2. Erlösgleichung: \(1{,}5x+2\cdot2x=110\). 3. Damit \(5{,}5x=110\), also \(x=20\). 4. Es wurden 40 Brötchen verkauft.

Gleichung: \(1{,}5x+2\cdot2x=110\). Saftflaschen: 20, Brötchen: 40.

- Wenn \(x\) Erwachsene dabei sind, wie viele der 32 Personen sind Kinder? - Multipliziere jede Personenzahl mit dem passenden Eintrittspreis. - Beide Kostenanteile ergeben zusammen den Gesamtpreis.

1. Erwachsene: \(x\), Kinder: \(32-x\). 2. Kostengleichung: \(10x+7(32-x)=254\). 3. Daraus folgt \(10x+224-7x=254\), also \(3x=30\) und \(x=10\). 4. Es gibt 22 Kinder.

Gleichung: \(10x+7(32-x)=254\). Erwachsene: 10, Kinder: 22.

- Zwei Stückzahlen sind gleich, die dritte ist um 10 größer. - Multipliziere jede Stückzahl mit ihrem eigenen Verkaufspreis. - Addiere die drei Erlösanteile zur Gesamteinnahme.

1. Muffins: \(x\), Brezeln: \(x\), Saft: \(x+10\). 2. Gleichung: \(1{,}5x+1{,}1x+0{,}8(x+10)=144\). 3. Daraus folgt \(3{,}4x+8=144\), also \(x=40\). 4. Es wurden 40 Muffins, 40 Brezeln und 50 Saftpackungen verkauft.

Gleichung: \(1{,}5x+1{,}1x+0{,}8(x+10)=144\). Muffins: 40, Brezeln: 40, Saftpackungen: 50.

- Wenn \(x\) die Anzahl der Filzstifte ist, wie lässt sich die Anzahl der Bleistifte mit der Gesamtzahl ausdrücken? - Verknüpfe für jede Sorte Stückzahl und Einzelpreis. - Die Summe der beiden Teilkosten muss dem angegebenen Gesamtbetrag entsprechen. - Kontrolliere, ob deine beiden Stückzahlen zusammen \(45\) ergeben und die Kosten stimmen.

1. Mit \(x\) Filzstiften beträgt die Anzahl der Bleistifte \(45-x\). 2. Aus den Gesamtkosten folgt \(1{,}20x+0{,}50(45-x)=38{,}60\). 3. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen ergibt \(0{,}70x+22{,}50=38{,}60\). 4. Damit gilt \(0{,}70x=16{,}10\) und somit \(x=23\). 5. Die Anzahl der Bleistifte ist \(45-23=22\).

a) Eine passende Gleichung ist \(1{,}20x+0{,}50(45-x)=38{,}60\). b) Es wurden \(23\) Filzstifte und \(22\) Bleistifte gekauft.

- Drücke die Kinderkarten über die feste Gesamtzahl 150 aus. - Jede Kartenart hat einen eigenen Preis. - Die Häufigkeitsentscheidung folgt erst aus den berechneten Stückzahlen.

1. Erwachsenenkarten: \(x\), Kinderkarten: \(150-x\). 2. Gleichung: \(5x+2(150-x)=420\). 3. Daraus folgt \(3x+300=420\), also \(x=40\). 4. Kinderkarten: 110; damit wurden mehr Kinderkarten verkauft.

Gleichung: \(5x+2(150-x)=420\). Erwachsene: 40 Karten, Kinder: 110 Karten. Es wurden mehr Kinderkarten verkauft.

- Wenn \(x\) Brötchen verkauft wurden, wie viele der 60 Snacks sind Brezeln? - Multipliziere beide Stückzahlen mit ihren jeweiligen Preisen. - Die Summe beider Erlöse ist vorgegeben.

1. Brötchen: \(x\), Brezeln: \(60-x\). 2. Gleichung: \(1{,}8x+1{,}2(60-x)=93{,}6\). 3. Daraus folgt \(0{,}6x+72=93{,}6\), also \(x=36\). 4. Es wurden 24 Brezeln verkauft.

Gleichung: \(1{,}8x+1{,}2(60-x)=93{,}6\). Brötchen: 36, Brezeln: 24.

- Bilde zuerst beide Restbeträge nach den Entnahmen. - Die Entnahme der 7b ist \(x+20\). - „7a hat dreimal so viel wie 7b“ bezieht sich auf die Restbeträge.

1. Rest 7a: \(120-x\). 2. Rest 7b: \(100-(x+20)=80-x\). 3. Bedingung: \(120-x=3(80-x)\). 4. Daraus folgt \(120-x=240-3x\), also \(2x=120\) und \(x=60\). 5. 7b entnimmt 80 Euro.

Gleichung: \(120-x=3(80-x)\). 7a entnimmt \(60\,\text{€}\), 7b \(80\,\text{€}\).

- Drücke in a) beide Stückpreise mit derselben Variablen aus. - In b) vergleiche die Ersparnis pro Markerpackung mit einem Bleistiftpreis. - Zeige die Gleichheit zunächst symbolisch, bevor du den konkreten Preis einsetzt.

1. a) Markerpreis \(4x\). Gleichung: \(6\cdot4x+12x=54\). 2. Daraus folgt \(36x=54\), also \(x=1{,}5\). Markerpreis: 6 Euro. 3. b) Ersparnis pro Markerpackung: \(4x-3x=x\); bei 6 Packungen also \(6x\). 4. Sechs zusätzliche Bleistifte kosten ebenfalls \(6x\). Mit \(x=1{,}5\) sind beide Beträge 9 Euro.

a) Gleichung: \(6\cdot4x+12x=54\). Bleistift: \(1{,}50\,\text{€}\), Markerpackung: \(6{,}00\,\text{€}\). b) Ersparnis: \(6(4x-3x)=6x\); Preis von 6 Bleistiften: \(6x\). Beides sind \(9{,}00\,\text{€}\). Noah hat recht.

- Überlege dir zuerst, welche Größe unbekannt ist, und nenne sie \(x\). - Kannst du für jede Gruppe einen Term aufstellen, der die Gesamtkosten (Eintritt plus Restgeld) beschreibt? - Was weißt du über die Gesamtsummen der beiden Gruppen? - Stelle eine Gleichung auf, indem du die beiden Terme gleichsetzt.

1. Sei \(x\) die Anzahl der Personen in Gruppe A. 2. Der ausgezahlte Betrag für Gruppe A lässt sich durch den Term \(15x + 10\) beschreiben. 3. Da Gruppe B aus \(x + 5\) Personen besteht, lautet der Term für ihren Betrag \(12 \cdot (x + 5) + 7\). 4. Da beide Beträge gleich sind, wird die Gleichung \(15x + 10 = 12 \cdot (x + 5) + 7\) aufgestellt. 5. Lösen der Gleichung: \(15x + 10 = 12x + 60 + 7 \implies 15x + 10 = 12x + 67 \implies 3x = 57 \implies x = 19\). 6. Einsetzen von \(x = 19\) in einen der Terme zur Berechnung des Geldbetrags: \(15 \cdot 19 + 10 = 285 + 10 = 295\).

Jeder Gruppe wurden \(295{,}00\,\text{€}\) ausgezahlt.

- Lies jede Tabellenzeile als „Anzahl mal Einzelpreis“. - Achte darauf, welche gesamte Stückzahl zum Preis der Kinderkarten gehört. - Vergleiche den fehlerhaften Term mit der Struktur der Tabelle, bevor du rechnest.

1. Der Fehler liegt beim Preis der Kinderkarten: Der Preis \(5\) muss mit der gesamten Anzahl \(x+3\) multipliziert werden. 2. Die richtige Gleichung lautet \(8x+5(x+3)=67\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(13x+15=67\). 4. Daraus folgt \(13x=52\) und damit \(x=4\). 5. Es wurden \(4\) Erwachsenenkarten und \(7\) Kinderkarten gekauft.

In Linas Gleichung wird der Faktor \(5\) nicht auf alle Kinderkarten angewendet. Richtig ist \(8x+5(x+3)=67\). Es wurden \(4\) Erwachsenenkarten und \(7\) Kinderkarten gekauft.

- In a) gehören Stückzahlverhältnis und unterschiedliche Stückpreise in dieselbe Gleichung. - Ermittle vor b) die Gesamtzahl der gekauften Kisten. - In b) verändert sich das Stückzahlverhältnis, nicht die Stückpreise.

1. a) Große Kisten \(x\), kleine \(3x\): \(12x+4{,}5\cdot3x=153\). 2. Daraus folgt \(25{,}5x=153\), also \(x=6\). Es sind 6 große und 18 kleine Kisten, insgesamt 24. 3. b) Sei \(y\) die Zahl kleiner Kisten. Dann \(y+2y=24\), also \(y=8\); große Kisten: 16. 4. Kosten: \(16\cdot12+8\cdot4{,}5=228\,\text{€}\).

a) Gleichung: \(12x+4{,}5\cdot3x=153\). Große Kisten: 6, kleine Kisten: 18. b) Anzahlsgleichung: \(y+2y=24\). Neue Stückzahlen: 8 kleine, 16 große; Kosten: \(228{,}00\,\text{€}\).

- Überlege dir, wie du die Preise vor dem Rabatt bezeichnen kannst. - Wie sehen die Preise aus, nachdem \(12\,\text{€}\) abgezogen wurden? - Setze die neuen Preise in das Verhältnis, das für die Rabattaktion angegeben ist. - Achte beim Aufstellen der Gleichung auf die Klammersetzung.

1. Definition der Unbekannten: \(b\) sei der ursprüngliche Preis des Bohrersatzes. Der Preis der Bohrmaschine ist dann \(5b\). 2. Aufstellen der Gleichung nach der Preissenkung: \(5b - 12 = 8(b - 12)\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(5b - 12 = 8b - 96\). 4. Ordnen der Terme: Durch Addition von 96 und Subtraktion von \(5b\) erhält man \(84 = 3b\). 5. Berechnung der Preise: Division durch 3 ergibt \(b = 28\). Der ursprüngliche Preis des Bohrersatzes beträgt \(28\,\text{€}\). 6. Ermittlung des zweiten Preises: Die Bohrmaschine kostete ursprünglich \(5 \cdot 28\,\text{€} = 140\,\text{€}\).

Der Bohrersatz kostete ursprünglich \(28\,\text{€}\) und die Akku-Bohrmaschine \(140\,\text{€}\).