- Ordne die Angaben den Größen Kapital, Zinssatz und Zinsen zu. - Berechne zuerst den Prozentwert des Kapitals, der dem Zinssatz entspricht. - Das Guthaben am Jahresende besteht aus dem ursprünglichen Kapital und den Zinsen.

1. Die Jahreszinsen betragen \(Z=2500\,\text{€}\cdot\frac{1{,}2}{100}=30\,\text{€}\). 2. Das Guthaben am Jahresende beträgt \(2500\,\text{€}+30\,\text{€}=2530\,\text{€}\).

Nach einem Jahr erhält Frau Müller \(30\,\text{€}\) Zinsen. Das gesamte Guthaben beträgt \(2530\,\text{€}\).

- Welche Angabe ist hier das Kapital und welche der Zinssatz? - Gesucht ist nur der Zinsbetrag für ein Jahr, nicht das neue Guthaben. - Beziehe den Zinssatz auf das angegebene Kapital.

1. Die Jahreszinsen sind \(1{,}5\,\%\) des Kapitals. 2. Es gilt \(800{,}00\,\text{€} \cdot 0{,}015 = 12{,}00\,\text{€}\).

Die Zinsen für das Jahr betragen \(12{,}00\,\text{€}\).

- Der Zinssatz vergleicht die Zinsen mit dem angelegten Kapital. - Hier ist das Kapital bewusst \(100\,\text{€}\). Nutze die Bedeutung von „Prozent“ als „von hundert“. - Prüfe, welcher Prozentsatz von \(100\,\text{€}\) genau dem Zinsbetrag entspricht.

1. Der Zinssatz gibt an, wie viel Prozent des Kapitals die Jahreszinsen ausmachen. 2. Bei einem Kapital von \(100\,\text{€}\) entsprechen \(3\,\text{€}\) Zinsen genau \(3\,\%\) des Kapitals.

Der Zinssatz beträgt \(3\,\%\).

- Vergleiche zuerst, welche Angaben bei beiden Konten gleich sind. - Welche Größe unterscheidet die beiden Angebote? - Überlege, wie sich der Zinsbetrag bei gleichem Kapital verändert, wenn nur der Zinssatz größer wird.

1. Beide Konten haben dasselbe Kapital und dieselbe Anlagedauer. 2. Deshalb bringt der höhere Zinssatz auch den höheren Zinsbetrag. 3. Da \(3\,\%>2\,\%\), bringt Konto B mehr Zinsen.

Konto B bringt mehr Zinsen, weil bei gleichem Kapital und gleicher Anlagedauer der höhere Zinssatz zum höheren Zinsbetrag führt.

- Welche drei Größen gehören bei Jahreszinsen zusammen: Kapital, Zinssatz und Zinsen? - Beziehe bei b) den Zinsbetrag auf das angelegte Kapital. - Vergleiche in c) die Zinssätze, nicht die Eurobeträge der Zinsen.

1. Für Bank A gilt \(Z_A=2500\,\text{€}\cdot\frac{2}{100}=50\,\text{€}\). 2. Für Bank B gilt \(p_B=\frac{60}{2000}\cdot100\,\%=3\,\%\). 3. Da \(3\,\%>2\,\%\), bietet Bank B den höheren Zinssatz.

a) Die jährlichen Zinsen bei Bank A betragen \(50\,\text{€}\). b) Der Zinssatz bei Bank B beträgt \(3\,\%\). c) Der Zinssatz bei Bank B ist höher.

- Entscheide in jeder Teilaufgabe, welche der drei Größen Kapital, Zinssatz und Zinsen gesucht ist. - Verwende den Zinssatz als Prozentangabe; in einer Formel erscheint deshalb der Faktor \(\frac{p}{100}\). - Prüfe, ob dein Ergebnis zur Größe des gewünschten Zinsbetrags passt.

1. Für a) gilt bei Jahreszinsen \(Z=K\cdot\frac{p}{100}\). Daher ist \(K=180\,\text{€}\cdot\frac{100}{1{,}5}=12\,000\,\text{€}\). 2. Für b) ist der Zinssatz \(\frac{180}{10000}\cdot100\,\%=1{,}8\,\%\).

a) Das benötigte Kapital beträgt \(12\,000\,\text{€}\). b) Der Zinssatz müsste \(1{,}8\,\%\) betragen.

- Was wissen wir über die Zinsen nach einem einzelnen Jahr? - Welche Größe in der Zinsformel suchen wir? - Kannst du die Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht?

1. Bestimmung der Zinsen pro Jahr: Da die Gesamtzinsen nach drei Jahren \(108\,\text{€}\) betragen sollen, ergibt sich ein jährlicher Zinsertrag von \(108\,\text{€} : 3 = 36\,\text{€}\). 2. Berechnung des Kapitals: Unter Verwendung der Zinsformel \(Z = K \cdot \frac{p}{100}\) wird nach dem Kapital \(K\) umgestellt: \(K = \frac{Z \cdot 100}{p}\). 3. Einsetzen der Werte: \(K = \frac{36 \cdot 100}{1{,}2} = 3000\). Das erforderliche Anfangskapital beträgt \(3000\,\text{€}\).

Lukas muss zu Beginn \(3000\,\text{€}\) anlegen.

- Wie viel Zinsen bekommt man für ein einzelnes Jahr? - Überlege, wie oft dieser Betrag bei einer Laufzeit von vier Jahren ausgezahlt wird. - Vergiss nicht, die Zinsen am Ende zum Startbetrag zu addieren.

1. Berechnung der jährlichen Zinsen: \(Z_{\text{Jahr}} = 1200\,\text{€} \cdot 0{,}015 = 18\,\text{€}\). 2. Berechnung der Gesamtzinsen über \(4\) Jahre: \(Z_{\text{Gesamt}} = 18\,\text{€} \cdot 4 = 72\,\text{€}\). 3. Berechnung des Gesamtkapitals: \(K_{\text{Gesamt}} = 1200\,\text{€} + 72\,\text{€} = 1272\,\text{€}\).

Das Gesamtkapital nach \(4\) Jahren beträgt \(1272\,\text{€}\).

- Welcher Anteil des geliehenen Kapitals entspricht dem Zinsbetrag? - Beziehe die Zinsen auf das Kapital und gib das Ergebnis anschließend in Prozent an. - Prüfe, ob dein Prozentsatz zur Größenordnung von \(540\,\text{€}\) bei \(12\,000\,\text{€}\) passt.

1. Gegeben sind das Kapital \(K=12\,000\,\text{€}\) und die Zinsen \(Z=540\,\text{€}\). 2. Der Zinssatz ist der Anteil der Zinsen am Kapital: \(\frac{540}{12000}\cdot100\,\%=4{,}5\,\%\).

Der jährliche Zinssatz beträgt \(4{,}5\,\%\).

- Wie berechnet man den Anteil eines Prozentsatzes von einem Grundwert? - Überlege, ob das Guthaben am Ende mehr oder weniger als zu Beginn sein muss. - Kannst du den Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben, um die Rechnung zu vereinfachen? - Wie setzt man die gegebenen Zahlen in deinen Term ein?

1. Aufstellen des Terms für das Guthaben nach einem Jahr: \(K \cdot (1 + \frac{p}{100})\) oder \(K + \frac{K \cdot p}{100}\). 2. Berechnung für Fall 1: \(2500\,\text{€} \cdot (1 + \frac{2}{100}) = 2500\,\text{€} \cdot 1{,}02 = 2550\,\text{€}\). 3. Berechnung für Fall 2: \(12\,000\,\text{€} \cdot (1 + \frac{1{,}4}{100}) = 12\,000\,\text{€} \cdot 1{,}014 = 12\,168\,\text{€}\).

Der Term lautet \(K \cdot (1 + \frac{p}{100})\). 1) \(2550\,\text{€}\) 2) \(12\,168\,\text{€}\)

- Nutze einen leicht bestimmbaren Vergleichsprozentsatz wie \(1\,\%\). - Vergleiche die Größenordnung des behaupteten Zinsbetrags mit dem angelegten Kapital. - Passt ein so großer Ertrag zu einem kleinen einstelligen Zinssatz?

1. Ein geeigneter Vergleich ist \(1\,\%\) von \(1800\,\text{€}\). Das sind \(18\,\text{€}\). 2. Damit sind \(2\,\%\) nur \(36\,\text{€}\). 3. \(360\,\text{€}\) sind für einen Zinssatz von \(2\,\%\) daher nicht plausibel.

Die Angabe ist nicht plausibel. \(2\,\%\) von \(1800\,\text{€}\) liegen bei \(36\,\text{€}\), nicht bei \(360\,\text{€}\).

- Jahreszinsen hängen sowohl vom Kapital als auch vom Zinssatz ab. - Berechne oder vergleiche das Produkt aus Kapital und Zinssatz für beide Anlagen. - Achte darauf, ob das größere Kapital mit einem entsprechend kleineren Zinssatz verbunden ist.

1. Bei Anlage A sind die Jahreszinsen \(2000\,\text{€} \cdot \frac{3}{100} = 60\,\text{€}\). 2. Bei Anlage B sind die Jahreszinsen \(3000\,\text{€} \cdot \frac{2}{100} = 60\,\text{€}\). 3. Anlage B hat das \(1{,}5\)-Fache des Kapitals von A, aber nur \(\frac{2}{3}\) ihres Zinssatzes. Die beiden Faktoren gleichen sich aus, daher sind die Zinsen gleich hoch.

Keine Anlage bringt mehr: Beide ergeben für ein Jahr \(60\,\text{€}\) Zinsen. Das größere Kapital von B wird durch den kleineren Zinssatz genau ausgeglichen.

- Vergleiche bei jedem Konto den Zinsbetrag im ersten und im zweiten Jahr. - Bei gleichem Zinssatz kann sich der Zinsbetrag nur ändern, wenn sich die Bezugsgröße ändert. - Für c) setzt sich der Kontostand aus dem Anfangskapital und den Zinsen beider Jahre zusammen.

1. Bei Konto A bleibt der Zinsbetrag mit \(40\,\text{€}\) gleich. Bei gleichem Zinssatz bleibt damit auch die Bezugsgröße für die Zinsen gleich. Konto A zeigt einfache Verzinsung. 2. Bei Konto B steigt der Zinsbetrag im zweiten Jahr auf \(41{,}60\,\text{€}\). Bei gleichem Zinssatz muss die Bezugsgröße größer geworden sein. Nach dem ersten Jahr sind \(1000\,\text{€}+40\,\text{€}=1040\,\text{€}\) auf dem Konto, und \(4\,\%\) davon sind \(41{,}60\,\text{€}\). Konto B zeigt Zinseszins. 3. Nach zwei Jahren hat Konto B \(1000\,\text{€}+40\,\text{€}+41{,}60\,\text{€}=1081{,}60\,\text{€}\).

a) Konto A: einfache Verzinsung; Konto B: Zinseszins. b) Bei Konto A bleibt die Bezugsgröße im zweiten Jahr gleich. Bei Konto B gehören die Zinsen des ersten Jahres im zweiten Jahr zur Bezugsgröße. c) \(1081{,}60\,\text{€}\)

- Bei Modell A sind die Jahreszinsen gleich groß. Du kannst sie getrennt vom Anfangskapital betrachten. - Bei Modell B hilft es, den Kontostand nach jedem Jahr nacheinander zu berechnen. - Für die Erklärung in c) reicht es, den entscheidenden Unterschied bei der Zinsberechnung im zweiten Jahr zu benennen.

1. Bei Modell A betragen die Jahreszinsen stets \(2000\,\text{€}\cdot0{,}05=100\,\text{€}\). Nach zwei Jahren ergibt sich \(2000\,\text{€}+2\cdot100\,\text{€}=2200\,\text{€}\). 2. Bei Modell B beträgt der Wert nach dem ersten Jahr \(2000\,\text{€}\cdot1{,}05=2100\,\text{€}\). 3. Im zweiten Jahr werden auch die Zinsen des ersten Jahres mitverzinst: \(2100\,\text{€}\cdot1{,}05=2205\,\text{€}\). 4. Der Unterschied beträgt \(2205\,\text{€}-2200\,\text{€}=5\,\text{€}\). 5. Modell B ist größer, weil im zweiten Jahr der bereits hinzugekommene Zinsbetrag ebenfalls verzinst wird.

a) Modell A: \(2200\,\text{€}\); Modell B: \(2205\,\text{€}\) b) \(5\,\text{€}\) c) Bei Modell B werden die Zinsen des ersten Jahres im zweiten Jahr mitverzinst.

- Bestimme bei Angebot A zuerst den Zinsbetrag aus Rückzahlungsbetrag und Kreditbetrag. - Beziehe den Zinsbetrag bei Angebot A auf das geliehene Kapital, um den Zinssatz zu erhalten. - Berechne bei Angebot B den Zinsbetrag aus Kapital und angegebenem Zinssatz.

1. Bei Angebot A betragen die Zinsen \(5325\,\text{€}-5000\,\text{€}=325\,\text{€}\). 2. Der Zinssatz von Angebot A ist \(\frac{325}{5000}\cdot100\,\%=6{,}5\,\%\). 3. Bei Angebot B betragen die Zinsen \(4500\,\text{€}\cdot\frac{6}{100}=270\,\text{€}\). 4. Da \(6\,\%<6{,}5\,\%\), hat Angebot B den niedrigeren Zinssatz.

Angebot A: \(325\,\text{€}\) Zinsen bei \(6{,}5\,\%\). Angebot B: \(270\,\text{€}\) Zinsen bei \(6\,\%\). Angebot B hat den niedrigeren Zinssatz.

- Beziehe in a) die Zinsen auf das Kapital und gib das Ergebnis in Prozent an. - Prozentpunkte werden direkt zum bisherigen Zinssatz addiert. - In c) sind Zinsbetrag und Zinssatz gegeben; gesucht ist das dazugehörige Kapital.

1. Der Zinssatz im ersten Jahr ist \(\frac{100}{5000}\cdot100\,\%=2\,\%\). 2. Nach der Erhöhung um \(0{,}5\) Prozentpunkte beträgt der Zinssatz \(2{,}5\,\%\). 3. Die Zinsen im zweiten Jahr sind \(5000\,\text{€}\cdot\frac{2{,}5}{100}=125\,\text{€}\). 4. Für \(200\,\text{€}\) Zinsen bei \(2{,}5\,\%\) benötigt man \(K=200\,\text{€}\cdot\frac{100}{2{,}5}=8000\,\text{€}\).

a) \(2\,\%\) b) \(125\,\text{€}\) c) \(8000\,\text{€}\)

- Berechne zuerst den Gesamtertrag für jedes Angebot einzeln. - Wie verändern sich die Zinssätze bei Angebot B von Jahr zu Jahr? - Am Ende musst du die beiden Ergebnisse miteinander vergleichen.

1. Berechnung der Gesamtzinsen für Angebot A: \(Z_A = 2500\,\text{€} \cdot 0{,}021 \cdot 5 = 262{,}50\,\text{€}\). 2. Bestimmung der Zinssätze für Angebot B: \(1\,\%\), \(1{,}5\,\%\), \(2\,\%\), \(2{,}5\,\%\) und \(3\,\%\). 3. Berechnung der Gesamtzinsen für Angebot B: \(Z_B = 2500\,\text{€} \cdot (0{,}01 + 0{,}015 + 0{,}02 + 0{,}025 + 0{,}03) = 2500\,\text{€} \cdot 0{,}10 = 250\,\text{€}\). 4. Berechnung der Differenz: \(262{,}50\,\text{€} - 250\,\text{€} = 12{,}50\,\text{€}\). Angebot A ist um \(12{,}50\,\text{€}\) vorteilhafter.

Angebot A ist vorteilhafter, da der Gesamtzinsertrag um \(12{,}50\,\text{€}\) höher ist als bei Angebot B.

- Wie berechnet man die Gesamtkosten für ein Jahr, wenn man die monatlichen Kosten kennt? - Wie berechnet man den Zinsbetrag aus dem Zinssatz und dem Kapital? - Vergleiche die beiden jährlichen Beträge am Ende miteinander.

1. Berechnung der jährlichen Zinskosten für Bank A: \(15\,000\,\text{€} \cdot 0{,}064 = 960\,\text{€}\) 2. Berechnung der jährlichen Zinskosten für Bank B: \(75\,\text{€} \cdot 12 = 900\,\text{€}\) 3. Vergleich der Ergebnisse: \(900\,\text{€} < 960\,\text{€}\) 4. Schlussfolgerung: Angebot B ist günstiger.

Angebot B ist günstiger. Bei Bank A betragen die jährlichen Zinsen \(960\,\text{€}\), während sie bei Bank B nur \(900\,\text{€}\) (\(75\,\text{€} \cdot 12\)) betragen.

- Nutze bei Bank A den bekannten Zinsbetrag und Zinssatz, um das Kapital zurückzurechnen. - Verwende anschließend dieselbe Kreditsumme für Bank B. - Vergleiche am Ende die beiden jährlichen Zinsbeträge in Euro.

1. Bei Bank A gilt \(455\,\text{€}=K\cdot\frac{6{,}5}{100}\). Daher ist \(K=455\,\text{€}\cdot\frac{100}{6{,}5}=7000\,\text{€}\). 2. Bei Bank B betragen die jährlichen Zinsen \(7000\,\text{€}\cdot\frac{7{,}2}{100}=504\,\text{€}\). 3. Die Mehrkosten betragen \(504\,\text{€}-455\,\text{€}=49\,\text{€}\).

Die Kreditsumme beträgt \(7000\,\text{€}\). Bei Bank B wären jährlich \(49\,\text{€}\) mehr Zinsen zu zahlen.

- Welche Beziehung besteht zwischen den beiden Anlagebeträgen? - Wie hängen Anlagebetrag, Zinssatz und Jahreszins zusammen? - Welche Gleichung beschreibt, dass die beiden Jahreszinsen zusammen \(260\,\text{€}\) ergeben?

1. Sei \(x\) der Betrag auf dem Konto mit \(2\,\%\). Dann liegen auf dem Konto mit \(3\,\%\) genau \(10\,000-x\) Euro. 2. Die beiden Zinsbeträge ergeben zusammen \(260\,\text{€}\): \(0{,}02x+0{,}03(10\,000-x)=260\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(0{,}02x+300-0{,}03x=260\), also \(-0{,}01x=-40\). 4. Damit ist \(x=4000\). Auf dem zweiten Konto liegen \(10\,000-4000=6000\) Euro. 5. Kontrolle: \(4000\cdot0{,}02+6000\cdot0{,}03=80+180=260\).

Frau Müller hat \(4000\,\text{€}\) auf dem Konto mit \(2\,\%\) und \(6000\,\text{€}\) auf dem Konto mit \(3\,\%\) angelegt.

- Wie viel Zinsen sind im gesamten Guthaben nach einem Jahr enthalten? - Welche Beziehung besteht zwischen den beiden Anlagebeträgen? - Wie kannst du die Zinssätze und den gesamten Zinsbetrag in einer Gleichung verbinden?

1. Die gesamten Zinsen betragen \(12\,230\,\text{€}-12\,000\,\text{€}=230\,\text{€}\). 2. Sei \(x\) der Betrag auf dem Konto mit \(1{,}5\,\%\). Dann liegen \(12\,000-x\) Euro auf dem Konto mit \(2{,}5\,\%\). 3. Für die Zinsen gilt \(0{,}015x+0{,}025(12\,000-x)=230\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(0{,}015x+300-0{,}025x=230\), also \(-0{,}01x=-70\). 5. Damit ist \(x=7000\). Auf dem zweiten Konto liegen \(12\,000-7000=5000\) Euro. 6. Kontrolle: \(7000\cdot0{,}015+5000\cdot0{,}025=105+125=230\).

Auf dem ersten Konto wurden \(7000{,}00\,\text{€}\), auf dem zweiten \(5000{,}00\,\text{€}\) angelegt.

- Berechne zuerst, wie viel Geld der Anleger unter den alten Bedingungen bekommen hätte. - Dieses Ergebnis ist nun dein Zielwert für die Zinsen unter den neuen Bedingungen. - Achte darauf, dass nach dem zusätzlichen Kapital gefragt ist, nicht nach dem Gesamtkapital.

1. Berechnung des ursprünglichen Zinsertrags: \(Z = 12\,000\,\text{€} \cdot 0{,}012 = 144\,\text{€}\). 2. Berechnung des benötigten neuen Gesamtkapitals beim niedrigeren Zinssatz: \(K_{\text{neu}} = \frac{144\,\text{€}}{0{,}008} = 18\,000\,\text{€}\). 3. Berechnung des zusätzlich einzuzahlenden Betrags: \(18\,000\,\text{€} - 12\,000\,\text{€} = 6000\,\text{€}\).

Der Anleger muss zusätzlich \(6000\,\text{€}\) einzahlen, um weiterhin einen Zinsertrag von \(144\,\text{€}\) zu erhalten.