Kostenlose Arbeitsblätter

- Eine Spiegelung lässt sich durch dieselbe Spiegelung rückgängig machen. - Überlege, welche Koordinate bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse unverändert bleibt. - Prüfe, welches Vorzeichen die andere Koordinate vor der Spiegelung haben muss.

1. Bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse wechselt die \(x\)-Koordinate ihr Vorzeichen, während die \(y\)-Koordinate unverändert bleibt. 2. Weil \(Q'\) die \(x\)-Koordinate \(-22\) hat, muss \(Q\) die \(x\)-Koordinate \(22\) haben. 3. Die \(y\)-Koordinate bleibt \(14\). Daher ist \(Q(22 \mid 14)\).

\(Q(22 \mid 14)\)

- Welche Wirkung hat die Symmetrieachse auf die beiden Endpunkte \(Q\) und \(S\)? - Was folgt daraus für die beiden Teilstrecken \([QM]\) und \([MS]\)? - Lies die benötigte Teilstreckenlänge aus der Abbildung ab und setze die gesamte Diagonale daraus zusammen.

1. Die Symmetrieachse \([PR]\) halbiert die Diagonale \([QS]\) im Punkt \(M\). 2. Aus der Abbildung liest man \(|QM| = 3{,}5\,\text{cm}\) ab. Daher gilt auch \(|MS| = 3{,}5\,\text{cm}\). 3. Somit ist \(|QS| = 3{,}5\,\text{cm} + 3{,}5\,\text{cm} = 7\,\text{cm}\).

Die Spiegelung an \([PR]\) vertauscht \(Q\) und \(S\). Daher ist \(M\) der Mittelpunkt von \([QS]\) und \(|QM|=|MS|\). Aus \(|QM|=3{,}5\,\text{cm}\) folgt \(|QS|=7\,\text{cm}\).

- Vergleiche die Eckpunkte auf beiden Seiten jeder vorgeschlagenen Geraden. - Eine echte Symmetrieachse teilt die Figur in zwei spiegelbildliche Hälften. - Achte auch auf Eckpunkte, die direkt auf einer möglichen Symmetrieachse liegen.

1. Bei einer Achsenspiegelung müssen zu jedem Punkt der Figur auf der einen Seite passende Bildpunkte auf der anderen Seite liegen. 2. An der Geraden \(g\) passen die linken und rechten Eckpunkte der Figur paarweise zusammen; Punkte auf \(g\) bleiben fest. 3. An \(h\) und an \(k\) entstehen dagegen keine deckungsgleichen Hälften. 4. Daher ist \(g\) die Symmetrieachse.

\(g\)

- Bei einer Punktspiegelung liegt das Symmetriezentrum jeweils genau zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. - Suche Eckpunkte, die von \(S\) aus in entgegengesetzten Richtungen liegen. - Prüfe mehr als nur ein Punktpaar, bevor du die ganze Figur beurteilst.

1. Bei Punktsymmetrie zu \(S\) muss \(S\) jeweils der Mittelpunkt zwischen einem Eckpunkt und seinem Bildpunkt sein. 2. Die Punkte \(A\) und \(D\) liegen einander bezüglich \(S\) genau gegenüber. 3. Ebenso gehören \(B\) und \(E\) sowie \(C\) und \(F\) zusammen. 4. Damit geht die gesamte Figur bei einer Drehung um \(180^\circ\) um \(S\) in sich selbst über und ist punktsymmetrisch zu \(S\).

Ja. Zum Beispiel sind \(A\) und \(D\) sowie \(B\) und \(E\) Bildpunktpaare mit dem gemeinsamen Mittelpunkt \(S\).

- Überlege, welcher Punkt bei einer Drehung um \(180^\circ\) um \(Z\) seine Lage nicht ändern kann. - Was ist der Abstand des Symmetriezentrums von sich selbst?

1. Ein Punkt bleibt bei der Punktspiegelung genau dann an derselben Stelle, wenn sein Abstand zum Symmetriezentrum null ist. 2. Das trifft nur auf den Punkt \(Z\) selbst zu.

\(Z\)

- Welche Lage muss die Verbindung zwischen einem Punkt und seinem Spiegelpunkt zur Spiegelachse haben? - Auf welchen Seiten der Spiegelachse müssen Punkt und Bildpunkt liegen? - Welche Streckenmarkierungen helfen dir, die Abstände zur Achse zu vergleichen?

1. Bei einer Achsenspiegelung muss die Verbindung von Punkt und Bildpunkt senkrecht auf der Spiegelachse stehen. 2. Außerdem müssen Punkt und Bildpunkt auf verschiedenen Seiten der Achse den gleichen Abstand zur Achse haben. 3. Nur \(Q_1\) liegt auf der Senkrechten durch \(P\) auf der anderen Seite von \(g\) und hat laut Streckenmarkierung denselben Abstand von \(H\) wie \(P\). Daher ist \(Q_1\) der Spiegelpunkt.

\(Q_1\). Die Strecke \(PQ_1\) steht senkrecht auf \(g\), und \(H\) ist wegen der gleichen Streckenmarkierungen der Mittelpunkt von \(PQ_1\).

- Welche Rolle spielt das Symmetriezentrum bei einer Punktspiegelung? - Wo muss der Bildpunkt relativ zu \(P\) und \(S\) liegen? - Welche Streckenmarkierungen zeigen eine Mittelpunktbeziehung?

1. Bei einer Punktspiegelung ist \(S\) der Mittelpunkt der Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. 2. Der Bildpunkt muss daher auf der Geraden \(PS\) auf der gegenüberliegenden Seite von \(S\) liegen. 3. Die gleichen Streckenmarkierungen zeigen \(PS=SQ_1\). Damit ist \(S\) Mittelpunkt von \(PQ_1\), also ist \(Q_1\) der Bildpunkt.

\(Q_1\), weil \(P\), \(S\) und \(Q_1\) auf einer Geraden liegen und \(PS=SQ_1\) gilt. Somit ist \(S\) der Mittelpunkt von \(PQ_1\).

- Was passiert mit einem Punkt, wenn du ihn von einer Seite der senkrechten Achse auf die andere klappst? - Überlege, welche Koordinate (rechts/links oder oben/unten) sich bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse verändert. - Kannst du die Regel für die Spiegelung umkehren, um vom Bildpunkt zum Originalpunkt zu kommen?

1. Anwendung der Regel für die Spiegelung an der \(y\)-Achse: Bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse ändert sich das Vorzeichen der \(x\)-Koordinate, während die \(y\)-Koordinate unverändert bleibt: \((x \mid y) \to (-x \mid y)\). 2. Da \(A'\) die \(x\)-Koordinate \(-5{,}2\) hat, muss die \(x\)-Koordinate von \(A\) den Wert \(5{,}2\) besitzen, da \(-5{,}2 = -(5{,}2)\). 3. Die \(y\)-Koordinate bleibt gleich, also ist sie \(8\). 4. Ergebnis: Der Punkt \(A\) hat die Koordinaten \((5{,}2 \mid 8)\).

Der ursprüngliche Punkt ist \(A(5{,}2 \mid 8)\). Bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse wird die \(x\)-Koordinate mit \(-1\) multipliziert (Vorzeichenwechsel), während die \(y\)-Koordinate gleich bleibt.

- Welche Eigenschaften muss eine Spiegelachse in Bezug auf die Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt haben? - Wo genau müsste die Achse liegen, damit die Abstände zu beiden Punkten gleich groß sind? - Wie lautet die mathematische Gleichung für die \(x\)-Achse?

1. Bei einer Achsenspiegelung muss die Spiegelachse die Verbindungsstrecke der Punkte \(PQ\) rechtwinklig halbieren. 2. Die Punkte \(P(2 \mid 4)\) und \(Q(2 \mid -2)\) haben dieselbe \(x\)-Koordinate, die Verbindungsstrecke ist also vertikal. Die Spiegelachse muss daher horizontal verlaufen (Form: \(y = k\)). 3. Der Mittelwert der \(y\)-Koordinaten ist \(\frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1\). 4. Die korrekte Spiegelachse ist die Gerade \(y = 1\). 5. Die \(x\)-Achse hat die Gleichung \(y = 0\). Da \(1 \neq 0\), ist die ursprüngliche Behauptung falsch.

Die Aussage ist falsch. Die korrekte Spiegelachse ist die Gerade \(y = 1\), da diese die Verbindungsstrecke zwischen \(P\) und \(Q\) senkrecht halbiert.

- Was bedeutet es für die Lage des Punktes \(Z\), wenn er das Symmetriezentrum für zwei Punkte ist? - Wie weit musst du von \(A\) aus gehen, um zu \(Z\) zu kommen? Musst du denselben Weg von \(Z\) aus weitergehen, um \(C\) zu finden? - Erinnere dich an die Eigenschaften der Diagonalen in einem Parallelogramm.

1. Berechnung von \(C\) durch Punktspiegelung von \(A\) an \(Z\): Da \(Z\) die Mitte der Strecke \(AC\) ist, gilt für die Koordinaten \(x_C = 2x_Z - x_A = 2 \cdot 3 - 1 = 5\) und \(y_C = 2y_Z - y_A = 2 \cdot 3 - 1 = 5\). Somit ist \(C(5 \mid 5)\). 2. Berechnung von \(D\) durch Punktspiegelung von \(B\) an \(Z\): Da \(Z\) die Mitte der Strecke \(BD\) ist, gilt für die Koordinaten \(x_D = 2x_Z - x_B = 2 \cdot 3 - 4 = 2\) und \(y_D = 2y_Z - y_B = 2 \cdot 3 - 2 = 4\). Somit ist \(D(2 \mid 4)\).

Die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte sind \(C(5 \mid 5)\) und \(D(2 \mid 4)\).

- Überlege dir, was mit einer Strecke passiert, wenn man sie an ihrem Mittelpunkt um \(180^\circ\) dreht. - Wie müssen die Eckpunkte zueinander liegen, damit das gesamte Viereck bei einer Punktspiegelung auf sich selbst abgebildet wird? - Erinnere dich an die Definition eines Parallelogramms im Zusammenhang mit Symmetrie.

1. Bei einer Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt wird jeder Eckpunkt auf den gegenüberliegenden Eckpunkt gespiegelt. 2. Da der Schnittpunkt das Symmetriezentrum ist, muss er genau in der Mitte zwischen den gegenüberliegenden Eckpunkten liegen. 3. Daraus folgt, dass die Diagonalen einander gegenseitig halbieren: \( \overline{AS} = \overline{CS} \) und \( \overline{BS} = \overline{DS} \). 4. Diese Eigenschaft charakterisiert alle Parallelogramme. 5. Mögliche Beispiele sind das allgemeine Parallelogramm, das Rechteck, die Raute und das Quadrat.

a) Die Diagonalen müssen einander gegenseitig halbieren. b) Beispiele sind das Parallelogramm, das Rechteck, die Raute und das Quadrat.

- Überlege dir für jede Vierecksart, wie viele Symmetrieachsen du einzeichnen kannst. - Erinnere dich an den Unterschied zwischen Achsensymmetrie (Spiegelung an einer Geraden) und Punktsymmetrie (Drehung um \(180^\circ\)). - Stelle dir vor, du faltest das Viereck entlang einer Linie – wann liegen die Hälften genau aufeinander?

1. Ein Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen (zwei Seitenhalbierende und zwei Diagonalen) und ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der Diagonalen. Dies entspricht Beschreibung C. 2. Ein allgemeines Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen, hat jedoch keine Symmetrieachsen. Dies entspricht Beschreibung A. 3. Ein Drachenviereck, das keine Raute ist, besitzt genau eine Symmetrieachse, die entlang einer der Diagonalen verläuft und durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte führt. Dies entspricht Beschreibung B. 4. Ein gleichschenkliges Trapez besitzt eine Symmetrieachse, die senkrecht auf den parallelen Grundseiten steht und durch deren Mittelpunkte verläuft. Dies entspricht Beschreibung D.

1 – C, 2 – A, 3 – B, 4 – D

- Punktsymmetrie bedeutet, dass man die Figur um \(180^\circ\) drehen kann und sie wieder genauso aussieht. - Achsensymmetrie bedeutet, dass man die Figur an einer Geraden spiegeln kann. - Zeichne ein schiefes Parallelogramm und ein gleichschenkliges Trapez, das kein Parallelogramm ist, nebeneinander und vergleiche die Längen der Diagonalen.

1. Bestimmung der Punktsymmetrie: Ein allgemeines Parallelogramm, das weder Rechteck noch Raute ist, ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen, besitzt aber keine Symmetrieachse. 2. Bestimmung der Achsensymmetrie: Ein gleichschenkliges Trapez, das kein Parallelogramm ist, ist achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse verläuft durch die Mittelpunkte der beiden parallelen Grundseiten. 3. Vergleich der Diagonalen: In einem gleichschenkligen Trapez sind die Diagonalen immer gleich lang. In einem allgemeinen Parallelogramm sind sie im Allgemeinen nicht gleich lang; gleich lang sind sie nur im Sonderfall eines Rechtecks.

Das allgemeine Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der Diagonalen und besitzt keine Symmetrieachse. Das gleichschenklige Trapez, das kein Parallelogramm ist, ist achsensymmetrisch; seine Achse verläuft durch die Mittelpunkte der parallelen Seiten. Im Gegensatz zum allgemeinen Parallelogramm sind beim gleichschenkligen Trapez die Diagonalen immer gleich lang.

- Überlege, welche Vierecke an einer Diagonalen gespiegelt werden können. - Stelle dir ein Rechteck vor und falte es so, dass die Ecken aufeinanderliegen. Wo verlaufen die Faltkanten? - Beachte die angegebene inklusive Definition.

In dieser Aufgabe wird „Drachenviereck“ inklusiv verwendet: Es besitzt mindestens zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten; Rauten und Quadrate sind damit besondere Drachenvierecke. 1. Bestimmung der Vierecksart: Ein Viereck mit einer Symmetrieachse durch gegenüberliegende Ecken ist ein Drachenviereck. 2. Analyse des Rechtecks: Ein nicht quadratisches Rechteck hat genau zwei Symmetrieachsen. Sie verlaufen jeweils durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten.

a) Das Drachenviereck. b) Es hat zwei Symmetrieachsen. Sie verlaufen jeweils durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten.

- Vergleiche nicht zuerst die Seitenlängen, sondern die Anzahl und Lage der Symmetrieachsen der besonderen Vierecke. - Welche zusätzlichen Symmetrieachsen hätte ein Quadrat? - Welche Symmetrie besitzt jedes Parallelogramm am Schnittpunkt seiner Diagonalen?

1. Ein Quadrat hätte vier Symmetrieachsen. Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, hat zwei Symmetrieachsen durch die Seitenmittelpunkte, nicht durch gegenüberliegende Eckpunkte. Eine Raute, die kein Quadrat ist, hat genau zwei Symmetrieachsen: ihre Diagonalen durch gegenüberliegende Eckpunkte. Daher ist das Viereck eine Raute. 2. Ein Rechteck hat vier rechte Winkel. Da die Innenwinkel hier nicht alle gleich groß sind, kann das Viereck kein Rechteck sein. 3. Jede Raute ist ein Parallelogramm. Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen. Dieser Punkt ist daher das Symmetriezentrum.

a) Raute. Die genau zwei Symmetrieachsen verlaufen auf den Diagonalen durch gegenüberliegende Eckpunkte; ein Quadrat hätte vier Symmetrieachsen. b) Kein Rechteck, denn ein Rechteck hat vier rechte Winkel; hier sind die Innenwinkel nicht alle gleich groß. c) Ja. Das Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt der Diagonalen.

- Stelle dir vor, du spiegelst die Figur an einem Punkt oder einer Geraden. Bleibt die Figur dabei unverändert? - Denke an Spezialfälle: Ein Quadrat ist zum Beispiel auch eine Raute und ein Rechteck. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein Papierquadrat so zu falten, dass die Hälften genau aufeinanderliegen?

1. Ein Rechteck ist ein spezielles Parallelogramm. Da jedes Parallelogramm punktsymmetrisch zu seinem Diagonalenschnittpunkt ist, gilt dies auch für das Rechteck. Aussage a) ist wahr. 2. Eine Raute hat die beiden Diagonalen als Symmetrieachsen. Wenn die Raute jedoch ein Quadrat ist, hat sie zusätzlich zwei Achsen durch die Seitenmitten, also insgesamt vier. Aussage b) ist falsch, da es Rauten mit vier Achsen gibt (Quadrate). 3. Ein allgemeines Parallelogramm besitzt keine Symmetrieachsen, es ist lediglich punktsymmetrisch. Nur spezielle Parallelogramme wie Rechtecke oder Rauten sind achsensymmetrisch. Aussage c) ist falsch. 4. Ein Quadrat besitzt zwei Symmetrieachsen durch die gegenüberliegenden Eckpunkte (Diagonalen) und zwei Symmetrieachsen durch die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Seiten (Mittelsenkrechte). Insgesamt sind es \(2 + 2 = 4\) Achsen. Aussage d) ist wahr.

a) Wahr: Jedes Rechteck ist als Parallelogramm punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen. b) Falsch: Ein Quadrat ist eine Raute und besitzt vier Symmetrieachsen. c) Falsch: Ein allgemeines Parallelogramm ist zwar punktsymmetrisch, aber nicht achsensymmetrisch. d) Wahr: Beim Quadrat sind beide Diagonalen und beide Geraden durch gegenüberliegende Seitenmitten Symmetrieachsen, also insgesamt vier.

- Welche Bedingung müssen alle vier Seiten einer Raute erfüllen? - Mit welchem geometrischen Hilfsmittel kannst du alle Punkte mit einem festen Abstand zu einem Endpunkt der gegebenen Diagonale beschreiben? - Überlege anschließend, an welchen Geraden sich eine Raute auf sich selbst spiegeln lässt.

1. Zeichne die Diagonale \(AC = 7\,\text{cm}\). 2. Zeichne um \(A\) und \(C\) Kreise mit dem Radius \(4{,}5\,\text{cm}\). Ihre beiden Schnittpunkte sind \(B\) und \(D\). 3. Verbinde \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\). Wegen \(AB = BC = CD = DA = 4{,}5\,\text{cm}\) entsteht eine Raute. 4. Eine Raute besitzt zwei Symmetrieachsen. Sie verlaufen auf den beiden Diagonalen \(AC\) und \(BD\).

Eine mögliche Konstruktion: Zeichne \(AC = 7\,\text{cm}\). Die beiden Schnittpunkte der Kreise um \(A\) und \(C\) mit Radius \(4{,}5\,\text{cm}\) sind \(B\) und \(D\); verbinde die vier Punkte zur Raute. Die Raute hat zwei Symmetrieachsen: ihre beiden Diagonalen \(AC\) und \(BD\).

- Prüfe bei jeder Spiegelung getrennt, welche Koordinate unverändert bleibt. - Überlege, welches Vorzeichen sich bei einer Spiegelung an einer Koordinatenachse ändert. - Verwende den ersten Bildpunkt als Ausgangspunkt für die zweite Spiegelung.

1. Bei der Spiegelung an der \(x\)-Achse bleibt die \(x\)-Koordinate gleich und die \(y\)-Koordinate wechselt ihr Vorzeichen. Daher ist \(A'(35 \mid -42)\). 2. Bei der anschließenden Spiegelung an der \(y\)-Achse bleibt die \(y\)-Koordinate gleich und die \(x\)-Koordinate wechselt ihr Vorzeichen. Daher ist \(A''(-35 \mid -42)\).

\(A'(35 \mid -42)\) und \(A''(-35 \mid -42)\)

- Vergleiche in jedem Paar zuerst die beiden Koordinatenstellen. - Welche Koordinate bleibt bei einer Spiegelung an der waagerechten Achse unverändert? - Welche Koordinate bleibt bei einer Spiegelung an der senkrechten Achse unverändert?

1. Bei \(P\) bleibt die \(x\)-Koordinate \(12\) gleich, während die \(y\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Es wurde an der \(x\)-Achse gespiegelt. 2. Bei \(Q\) bleibt die \(y\)-Koordinate \(20\) gleich, während die \(x\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Es wurde an der \(y\)-Achse gespiegelt. 3. Bei \(R\) bleibt die \(x\)-Koordinate \(-15\) gleich, während die \(y\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Es wurde an der \(x\)-Achse gespiegelt.

a) \(x\)-Achse b) \(y\)-Achse c) \(x\)-Achse

- Stell dir vor, die Figur wird entlang einer Geraden gefaltet: Wann decken sich beide Hälften genau? - Prüfe Achsen durch Seitenmitten und Achsen durch gegenüberliegende Ecken getrennt. - Vergleiche, welche zusätzliche Eigenschaft das Quadrat gegenüber einem nichtquadratischen Rechteck hat.

1. Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, besitzt \(2\) Symmetrieachsen. Sie verlaufen jeweils durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten. 2. Ein Quadrat besitzt \(4\) Symmetrieachsen. 3. Zusätzlich zu den beiden Achsen durch gegenüberliegende Seitenmitten sind beim Quadrat auch die beiden Diagonalen Symmetrieachsen. Das ist möglich, weil im Quadrat alle Seiten gleich lang sind.

a) \(2\) Symmetrieachsen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. b) \(4\) Symmetrieachsen. c) Beim Quadrat sind zusätzlich beide Diagonalen Symmetrieachsen.

- Nutze die Bedeutung der Symmetrieachse für Punkte, die spiegelbildlich zueinander liegen. - Welche Lage hat die Verbindungsstrecke zweier Spiegelpunkte zur Symmetrieachse? - Was folgt daraus für den Schnittpunkt dieser Verbindungsstrecke mit der Achse?

1. Die Diagonale \(e\) steht senkrecht auf der Diagonalen \(f\), also \(e\perp f\). 2. Die Diagonale \(e\) halbiert \(f\). Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen ist daher der Mittelpunkt von \([BD]\).

\(e\perp f\), und \(e\) halbiert die Diagonale \(f\).

- Welche Lage muss die Verbindung der spiegelbildlichen Punkte \(B\) und \(D\) zur vorgesehenen Symmetrieachse haben? - Wo müssen \(B\) und \(D\) liegen, damit sie zur Achse \([AC]\) spiegelbildlich sind? - Achte darauf, dass der Schnittpunkt nicht mit \(A\) oder \(C\) zusammenfällt.

1. Zeichne eine Gerade, die senkrecht zu \([AC]\) verläuft und \([AC]\) an einer Stelle zwischen \(A\) und \(C\) schneidet. 2. Markiere auf dieser Senkrechten zwei Punkte \(B\) und \(D\), die denselben Abstand vom Schnittpunkt mit \([AC]\) haben. 3. Verbinde \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) nacheinander zu einem Viereck.

Zeichne eine Senkrechte zu \([AC]\). Wähle darauf zwei Punkte \(B\) und \(D\) mit gleichem Abstand vom Schnittpunkt mit \([AC]\) und verbinde die vier Eckpunkte in der Reihenfolge \(A-B-C-D\).

- Untersuche, wie sich ein Punkt verändert, wenn nur das Vorzeichen seiner \(x\)-Koordinate wechselt. - Vergleiche die Abstände des Ausgangspunktes und seines Bildpunktes zur \(y\)-Achse. - Bestimme daraus die Spiegelachse.

1. Die Originalpunkte sind \(P(1 \mid 1)\), \(Q(5 \mid 2)\) und \(R(2 \mid 4)\). 2. Durch die Multiplikation der \(x\)-Koordinaten mit \(-1\) erhält man \(P'(-1 \mid 1)\), \(Q'(-5 \mid 2)\) und \(R'(-2 \mid 4)\). 3. Nur das Vorzeichen der \(x\)-Koordinate ändert sich, während die \(y\)-Koordinate gleich bleibt. Dies entspricht einer Achsenspiegelung an der \(y\)-Achse.

a) \(P'(-1 \mid 1)\), \(Q'(-5 \mid 2)\) und \(R'(-2 \mid 4)\) b) Achsenspiegelung an der \(y\)-Achse

- Notiere zuerst die Koordinaten aller Punkte \(A\) bis \(F\). - Untersuche, was ein Vorzeichenwechsel nur bei der \(y\)-Koordinate bewirkt. - Bestimme, welche Achse dabei als Spiegelachse wirkt.

1. Die Eckpunkte sind \(A(-5 \mid 1)\), \(B(-2 \mid 1)\), \(C(-2 \mid 2)\), \(D(-4 \mid 2)\), \(E(-4 \mid 4)\) und \(F(-5 \mid 4)\). 2. Nach der Multiplikation der \(y\)-Koordinaten mit \(-1\) erhält man \(A'(-5 \mid -1)\), \(B'(-2 \mid -1)\), \(C'(-2 \mid -2)\), \(D'(-4 \mid -2)\), \(E'(-4 \mid -4)\) und \(F'(-5 \mid -4)\). 3. Die \(x\)-Koordinaten bleiben gleich, während die \(y\)-Koordinaten ihr Vorzeichen wechseln. Dies entspricht einer Achsenspiegelung an der \(x\)-Achse.

Die Multiplikation nur der \(y\)-Koordinate mit \(-1\) bewirkt eine Achsenspiegelung an der \(x\)-Achse. Die Bildpunkte sind \(A'(-5 \mid -1)\), \(B'(-2 \mid -1)\), \(C'(-2 \mid -2)\), \(D'(-4 \mid -2)\), \(E'(-4 \mid -4)\) und \(F'(-5 \mid -4)\).

- Was geschieht bei einer Punktspiegelung am Ursprung mit dem Vorzeichen jeder Koordinate? - Ein Punkt und sein Bildpunkt haben das Symmetriezentrum als Mittelpunkt. - Prüfe die beiden Koordinaten des Mittelpunkts für jedes Bildpaar getrennt.

1. Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wechseln beide Koordinaten ihr Vorzeichen. Aus \(A(-6\mid 0)\) wird daher \(C(6\mid 0)\). 2. Der Mittelpunkt von \(A\) und \(C\) ist \((( -6+6):2\mid(0+0):2)=(0\mid0)=M\). 3. Aus \(B(0\mid5)\) wird \(D(0\mid-5)\). 4. Der Mittelpunkt von \(B\) und \(D\) ist \(((0+0):2\mid(5-5):2)=(0\mid0)=M\).

\(C(6\mid0)\) und \(D(0\mid-5)\). Für \(A,C\): Mittelpunkt \((( -6+6):2\mid(0+0):2)=(0\mid0)=M\). Für \(B,D\): Mittelpunkt \(((0+0):2\mid(5-5):2)=(0\mid0)=M\).

- Welche Eigenschaft haben die Winkel an den Ecken, die nicht auf der Symmetrieachse liegen? - Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem Viereck? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur noch der gesuchte Winkel als Unbekannte vorkommt?

1. In einem Drachenviereck mit der Symmetrieachse \(AC\) sind die gegenüberliegenden Winkel \(\beta\) (bei \(B\)) und \(\delta\) (bei \(D\)) gleich groß: \(\beta = \delta\). 2. Die Innenwinkelsumme in jedem Viereck beträgt \(360\,^\circ\). Es gilt also: \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360\,^\circ\). 3. Durch Einsetzen der bekannten Werte und der Symmetrieeigenschaft erhält man: \(80\,^\circ + \beta + 40\,^\circ + \beta = 360\,^\circ\). 4. Zusammenfassen: \(120\,^\circ + 2\beta = 360\,^\circ\). 5. Nach \(\beta\) auflösen: \(2\beta = 240\,^\circ\), also \(\beta = 120\,^\circ\).

Achsensymmetrie: \(\beta=\delta\). Viereckswinkelsumme: \(80^\circ+\beta+40^\circ+\delta=360^\circ\). Also \(120^\circ+2\beta=360^\circ\) und damit \(\beta=120^\circ\).

- Welche gegenüberliegenden Eckpunkte vertauscht die Punktspiegelung am Zentrum eines Parallelogramms? - Was bedeutet das für die Lage von \(S\) auf jeder Diagonale? - Nutze erst diese Streckengleichheiten und danach die Zahlen aus der Abbildung.

1. Die Punktspiegelung am Symmetriezentrum \(S\) bildet \(A\) auf \(C\) und \(B\) auf \(D\) ab. 2. Daher ist \(S\) Mittelpunkt beider Diagonalen und es gilt \(|AS|=|SC|\) sowie \(|BS|=|SD|\). 3. Aus \(|AS|=6\,\text{cm}\) folgt \(|AC|=|AS|+|SC|=12\,\text{cm}\). 4. Aus \(|BD|=10\,\text{cm}\) und \(|BS|=|SD|\) folgt \(|DS|=5\,\text{cm}\).

Bildpaare: \(A\leftrightarrow C\) und \(B\leftrightarrow D\). Deshalb \(|AS|=|SC|\) und \(|BS|=|SD|\). Damit \(|AC|=12\,\text{cm}\) und \(|DS|=5\,\text{cm}\).

- Verbinde gedanklich jeden Punkt mit seinem Bildpunkt. - Welche besondere Gerade ist die Spiegelachse bezüglich einer solchen Verbindungsstrecke? - Prüfe sowohl die Richtung als auch den Mittelpunkt der beiden Verbindungsstrecken.

1. Die Spiegelachse ist die Mittelsenkrechte jeder Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. 2. Die Strecken \(AA'\) und \(BB'\) verlaufen waagerecht; ihre Mittelpunkte liegen auf der senkrechten Geraden \(g\). 3. Damit steht \(g\) senkrecht auf beiden Verbindungsstrecken und halbiert sie. 4. Die Gerade \(h\) erfüllt diese Bedingung nicht. Also ist \(g\) die Spiegelachse.

\(g\), denn \(g\) ist die Mittelsenkrechte von \(AA'\) und von \(BB'\).

- Gleicher Abstand von der Achse allein reicht für Spiegelpunkte nicht aus. - Welche zwei Bedingungen muss eine Spiegelachse an der Verbindungsstrecke von Punkt und Bildpunkt erfüllen? - Prüfe in jedem Entwurf sowohl den rechten Winkel als auch die beiden Abstände.

1. Für ein Spiegelpunktpaar muss die Spiegelachse die Verbindungsstrecke senkrecht halbieren. 2. In Entwurf a) schneiden die Verbindungsstrecken \(PP'\) und \(QQ'\) die Gerade \(g\) jeweils rechtwinklig. Außerdem liegen ihre Endpunkte paarweise gleich weit von \(g\) entfernt: \(2\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\) beziehungsweise \(3\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\). 3. In Entwurf b) ist die Verbindungsstrecke zwar senkrecht zu \(g\), aber die beiden Abstände betragen \(2\,\text{cm}\) und \(2{,}2\,\text{cm}\). Die Achse halbiert die Strecke also nicht. 4. Daher ist nur Entwurf a) exakt achsensymmetrisch.

Entwurf a). Dort ist \(g\) für beide Punktpaare die Mittelsenkrechte ihrer Verbindungsstrecke: rechtwinklig und mit gleichen Abständen auf beiden Seiten. In b) sind die Abstände \(2\,\text{cm}\) und \(2{,}2\,\text{cm}\) verschieden.

- Vergleiche zuerst die Lage von \(P\) und \(P'\) sowie von \(Q\) und \(Q'\). - Welche zwei Eigenschaften haben Punkt und Bildpunkt bezüglich der Spiegelachse gemeinsam? - Prüfe bei \(X\), \(Y\) und \(Z\) sowohl die Höhe als auch den Abstand zu \(g\).

1. Bei der Spiegelung an \(g\) bleibt die Höhe eines Punktes erhalten, während sein senkrechter Abstand zur Achse auf die andere Seite übertragen wird. 2. Der Punkt \(R\) liegt links von \(g\). Sein Bildpunkt muss auf derselben Höhe rechts von \(g\) liegen und denselben Abstand zu \(g\) haben. 3. Nur \(X\) erfüllt beide Bedingungen.

\(R' = X\)

- Welche besondere Gerade ist die Spiegelachse für die Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt? - Welchen Punkt auf \(g\) solltest du zuerst konstruieren? - Welche Länge musst du anschließend auf die andere Seite der Achse übertragen?

1. Konstruiere durch \(P\) das Lot auf \(g\); der Lotfuß sei \(H\). 2. Verlängere die Gerade \(PH\) über \(H\) hinaus. 3. Übertrage mit dem Zirkel die Länge \(PH\) auf die andere Seite der Achse und markiere dort \(P'\), sodass \(HP'=HP\). 4. Dann ist \(g\) die Mittelsenkrechte von \(PP'\), also ist \(P'\) der Spiegelpunkt.

Konstruiere den Lotfuß \(H\) von \(P\) auf \(g\), verlängere \(PH\) über \(H\) und trage auf der anderen Seite \(HP'=HP\) ab. Dann ist \(g\) die Mittelsenkrechte von \(PP'\).

- Welche Rolle spielt die Spiegelachse für die Strecke \(PP'\)? - Welche Standardkonstruktion liefert eine Gerade durch den Mittelpunkt einer Strecke und senkrecht zu ihr? - Warum müssen die Kreisbögen um \(P\) und \(P'\) denselben Radius haben?

1. Die Spiegelachse muss alle Punkte enthalten, die von \(P\) und \(P'\) gleich weit entfernt sind. 2. Konstruiere daher die Mittelsenkrechte der Strecke \(PP'\): Schlage um \(P\) und \(P'\) Kreisbögen mit demselben Radius, der größer als die halbe Strecke \(PP'\) ist. 3. Verbinde die beiden Schnittpunkte der Kreisbögen. Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte von \(PP'\) und damit die Spiegelachse \(g\).

Konstruiere die Mittelsenkrechte von \(PP'\) mit zwei gleich großen Kreisbögen um \(P\) und \(P'\). Die Verbindung ihrer Schnittpunkte ist die Spiegelachse \(g\).

- Welche Lage hat das Symmetriezentrum auf der Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt? - Welche Konstruktion führst du deshalb zuerst an \(AA'\) aus? - Wie kann das zweite Punkt-Bildpunkt-Paar dein Ergebnis bestätigen?

1. Bei einer Punktspiegelung ist das Symmetriezentrum der Mittelpunkt jeder Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. 2. Konstruiere den Mittelpunkt der Strecke \(AA'\); nenne ihn \(S_A\). 3. Konstruiere unabhängig den Mittelpunkt der Strecke \(BB'\); nenne ihn \(S_B\). 4. Für eine gemeinsame Punktspiegelung müssen beide Mittelpunkte zusammenfallen. Der gemeinsame Punkt ist \(S\). Die zweite Strecke dient damit zugleich als Kontrolle.

Konstruiere die Mittelpunkte von \(AA'\) und \(BB'\). Fallen sie zusammen, ist der gemeinsame Mittelpunkt das Symmetriezentrum \(S\); die Übereinstimmung kontrolliert die Konstruktion.

- Welche zwei Eigenschaften hat die Spiegelachse bezüglich der Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt? - Prüfe nicht nur die Abstände zur Achse, sondern auch die Lage der beiden Punkte zueinander. - Welche Gerade durch \(P\) bestimmt, wo sein Spiegelpunkt liegen kann?

1. Gleicher Abstand von der Spiegelachse ist notwendig, reicht aber allein nicht aus. 2. Die Strecke zwischen einem Punkt und seinem Spiegelpunkt muss senkrecht auf der Spiegelachse stehen; die Achse ist ihre Mittelsenkrechte. 3. In der Abbildung liegen \(P\) und \(Q\) nicht auf derselben Senkrechten zu \(g\). Daher ist \(Q\) nicht der Spiegelpunkt. 4. Der richtige Spiegelpunkt liegt auf der Senkrechten durch \(P\) auf der anderen Seite von \(g\) und hat von \(g\) denselben Abstand wie \(P\).

\(Q\) ist nicht der Spiegelpunkt. Gleicher Abstand von \(g\) genügt nicht; \(P\) und sein Spiegelpunkt müssen auf derselben Senkrechten zu \(g\) liegen. Der richtige Spiegelpunkt liegt daher unter dem Lotfuß \(H\) auf der anderen Seite von \(g\) und gleich weit von \(g\) entfernt wie \(P\).

- Was passiert mit der Position eines Punktes relativ zum Zentrum \(P\), wenn er gespiegelt wird? - Stell dir vor, du verbindest einen Eckpunkt von \(D_1\) mit dem Punkt \(P\) durch eine gerade Linie. Wo müsste der Partnerpunkt auf der anderen Seite liegen? - Eine Punktspiegelung ist vergleichbar mit einer Drehung um einen ganz bestimmten Winkel. Welcher Winkel erzeugt dieses "auf dem Kopf stehende" Bild? - Prüfe, ob der Punkt \(P\) für jedes Paar von entsprechenden Eckpunkten genau in der Mitte der Verbindungsstrecke liegt. - Achte darauf, wie sich die Ausrichtung der Seiten (waagerecht/senkrecht) und die Lage der rechten Winkel verändert. - Vergleiche die Abbildungen: Welche zeigt eine Drehung und welche nur eine Verschiebung oder eine Spiegelung an einer Achse?

1. Festlegen eines Koordinatensystems mit dem Spiegelzentrum \(P\) im Ursprung \((0|0)\). 2. Identifikation der Eckpunkte von Dreieck \(D_1\) relativ zu \(P\): Die Punkte liegen bei \((-3|2)\) (oben links), \((-3|-1)\) (unten links) und \((-1|-1)\) (unten rechts). 3. Anwendung der Abbildungsvorschrift für eine Punktspiegelung am Zentrum \(P\): Jeder Punkt \(X(x|y)\) wird auf \(X'(-x|-y)\) abgebildet. 4. Berechnung der theoretischen Bildpunkte für \(D_2\): \((3|-2)\), \((3|1)\) und \((1|1)\). 5. Analyse der Abbildungen: In Abbildung A ist das Dreieck gedreht und verschoben, in B achsengespiegelt und in D parallelverschoben. Nur in Abbildung C befinden sich die Eckpunkte von \(D_2\) exakt an den berechneten Koordinaten \((1|1)\), \((3|1)\) und \((3|-2)\).

C

- Stell dir vor, du würdest die Figuren auf ein Blatt zeichnen und falten. Bei welchen klappt das genau? - Was passiert, wenn du die Figur auf den Kopf stellst? Sieht sie dann noch genauso aus wie vorher? - Du suchst eine Figur, die zwar eine Faltachse hat, aber nach einer halben Drehung anders aussieht.

1. Definitionen: Achsensymmetrisch bedeutet, es gibt eine Spiegelachse. Punktsymmetrisch bedeutet, eine Drehung um \(180^\circ\) bildet die Figur auf sich selbst ab. 2. Analyse A (Stern): Hat mehrere Spiegelachsen (achsensymmetrisch), aber eine halbe Drehung verändert das Aussehen (nicht punktsymmetrisch). Passt. 3. Analyse B (Buchstabe I): Hat Spiegelachsen und ist punktsymmetrisch. 4. Analyse C (Windrad): Hat keine Spiegelachsen, nur Drehsymmetrie. 5. Analyse D (Sechseck): Ist sowohl achsen- als auch punktsymmetrisch.

A

- Führe die Schritte nacheinander aus: Was bewirkt die Spiegelung an der \(x\)-Achse? Was passiert danach bei der Spiegelung an der \(y\)-Achse? - Schau dir die Vorzeichen der Zahlen genau an. - Gibt es eine bekannte Spiegelung, bei der sich beide Vorzeichen gleichzeitig umkehren?

1. Spiegelung von \(P(-12 \mid 7)\) an der \(x\)-Achse: Die \(y\)-Koordinate wechselt das Vorzeichen. Ergebnis: \(P'(-12 \mid -7)\). 2. Spiegelung von \(P'(-12 \mid -7)\) an der \(y\)-Achse: Die \(x\)-Koordinate wechselt das Vorzeichen. Ergebnis: \(P''(12 \mid -7)\). 3. Vergleich von \(P(-12 \mid 7)\) und \(P''(12 \mid -7)\): Beide Koordinaten haben ihr Vorzeichen geändert. 4. Diese kombinierte Transformation entspricht einer Punktspiegelung am Koordinatenursprung \((0 \mid 0)\).

a) Die Koordinaten sind \(P'(-12 \mid -7)\) und \(P''(12 \mid -7)\). b) Die direkte Abbildung von \(P\) nach \(P''\) ist eine Punktspiegelung am Koordinatenursprung.

- Was bedeutet es für die Koordinaten, wenn ein Punkt auf einer der Achsen liegt? - Wann ist eine Zahl gleich ihrer Gegenzahl? - Stell dir vor, du faltest das Papier entlang der Spiegelachse. Welche Punkte bewegen sich dabei nicht?

1. Punktspiegelung am Ursprung: Beide Vorzeichen werden getauscht. \(S(-6 \mid 9) \to S'(6 \mid -9)\). 2. Ein Punkt auf der \(y\)-Achse hat immer die \(x\)-Koordinate \(0\). Bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse bleibt die \(x\)-Koordinate eines Punktes immer unverändert. Da \(x\) also \(0\) bleibt, liegt auch \(T'\) auf der \(y\)-Achse. 3. Bei der Spiegelung an der \(x\)-Achse wird \((x \mid y)\) auf \((x \mid -y)\) abgebildet. Damit ein Punkt fix bleibt, muss \(y = -y\) gelten. Dies ist nur für \(y = 0\) der Fall. 4. Ergebnis: Alle Punkte, die auf der \(x\)-Achse liegen, sind Fixpunkte der Spiegelung an der \(x\)-Achse.

a) \(S'(6 \mid -9)\). b) Punkte auf der \(y\)-Achse haben die \(x\)-Koordinate \(0\). Da die Spiegelung an der \(x\)-Achse den \(x\)-Wert nicht verändert, bleibt er \(0\), was bedeutet, dass der Punkt auf der \(y\)-Achse bleibt. c) Alle Punkte auf der \(x\)-Achse (Punkte mit der \(y\)-Koordinate \(0\)) bleiben an ihrer Position.

- Wie weit ist jeder Eckpunkt von der Geraden \(x = 5\) entfernt? - Auf welcher Seite der Spiegelachse muss der jeweilige Bildpunkt mit demselben Abstand liegen? - Vergleiche nach der Spiegelung die Seitenlängen der beiden Rechtecke.

1. Die Spiegelachse ist die vertikale Gerade \(x = 5\). Der Abstand eines Punktes zur Achse wird auf der anderen Seite gleich weit abgetragen. 2. Für \(A(1 \mid 1)\) beträgt der Abstand zur Achse \(5 - 1 = 4\). Daher ist \(A'(9 \mid 1)\). 3. Für \(B(4 \mid 1)\) beträgt der Abstand zur Achse \(5 - 4 = 1\). Daher ist \(B'(6 \mid 1)\). 4. Entsprechend erhält man \(C'(6 \mid 3)\) und \(D'(9 \mid 3)\). 5. Das ursprüngliche Rechteck ist \(3\) Einheiten breit und \(2\) Einheiten hoch. Sein Flächeninhalt beträgt \(3 \cdot 2 = 6\) Flächeneinheiten. 6. Das Bildrechteck hat dieselben Seitenlängen, also ebenfalls den Flächeninhalt \(6\) Flächeneinheiten. 7. Bei der Achsenspiegelung bleiben Längen und damit auch der Flächeninhalt der Figur erhalten.

a) \(A'(9 \mid 1)\), \(B'(6 \mid 1)\), \(C'(6 \mid 3)\) und \(D'(9 \mid 3)\). b) Beide Flächeninhalte betragen \(6\) Flächeneinheiten. Die Spiegelung erhält die Seitenlängen und damit die Größe der Figur.

- Welche besondere Beziehung besteht zwischen den Diagonalen einer Raute? - Wo genau schneiden sich die Diagonalen? - Wie kannst du eine Linie zeichnen, die genau in der Mitte einer anderen steht und einen rechten Winkel bildet? - Wenn du den Schnittpunkt der Diagonalen hast, wie weit sind die Eckpunkte von diesem Punkt entfernt?

1. In einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander und halbieren sich gegenseitig im Mittelpunkt \(M\). 2. Durch die Vorgabe der Längen \(e\) und \(f\) ist die Lage der vier Eckpunkte relativ zum Mittelpunkt \(M\) fest vorgegeben. 3. Konstruktionsschritte: - Zeichne die Diagonale \(e = AC = 10\,\text{cm}\). - Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke \(AC\), um den Mittelpunkt \(M\) und die Richtung der zweiten Diagonale zu finden. - Trage vom Mittelpunkt \(M\) aus auf der Mittelsenkrechten jeweils die halbe Länge der Diagonale \(f\) (\(3\,\text{cm}\)) nach beiden Seiten ab, um die Eckpunkte \(B\) und \(D\) zu erhalten. - Verbinde die Punkte \(A, B, C\) und \(D\) nacheinander zur Raute.

a) Die Diagonalen einer Raute halbieren sich gegenseitig und stehen senkrecht aufeinander. Da ihre Längen feststehen, sind die Positionen der Eckpunkte relativ zum Schnittpunkt eindeutig bestimmt. b) 1. Diagonale \(e = 10\,\text{cm}\) zeichnen. 2. Mittelsenkrechte konstruieren. 3. Von der Mitte aus jeweils \(3\,\text{cm}\) (\(\frac{1}{2} f\)) auf der Mittelsenkrechten abtragen. 4. Eckpunkte verbinden.

- Welche Seitenpaare sind in einem Drachenviereck bezüglich seiner Symmetrieachse gleich lang? - Welche zwei gleichschenkligen Dreiecke entstehen an der gemeinsamen Basis \(BD\)? - Wie groß sind die beiden Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks mit Spitzenwinkel \(70^\circ\)?

1. Weil \(AC\) die Symmetrieachse ist, gilt \(AB=AD=4\,\text{cm}\). 2. Konstruiere auf der Basis \(BD=5\,\text{cm}\) das gleichschenklige Dreieck \(ABD\) mit \(AB=AD=4\,\text{cm}\). 3. Im ebenfalls gleichschenkligen Dreieck \(BCD\) gilt \(BC=CD\). Aus \(\angle BCD=70^\circ\) folgen die Basiswinkel \(\angle CBD=\angle CDB=(180^\circ-70^\circ):2=55^\circ\). 4. Trage bei \(B\) und \(D\) auf der dem Punkt \(A\) gegenüberliegenden Seite von \(BD\) jeweils \(55^\circ\) ab. Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ist \(C\). 5. Die Punkte \(A\) und \(C\) liegen damit beide auf der Mittelsenkrechten von \(BD\); die Gerade \(AC\) ist die Symmetrieachse des Drachenvierecks.

Konstruiere zuerst das gleichschenklige Dreieck \(ABD\) mit den Seiten \(4\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\) und der Basis \(5\,\text{cm}\). Für \(BCD\) ergeben sich aus dem Spitzenwinkel \(70^\circ\) die beiden Basiswinkel \(55^\circ\). Ihr Schnittpunkt auf der gegenüberliegenden Seite von \(BD\) bestimmt \(C\). Dann ist \(AC\) die Symmetrieachse.

- Wo genau liegt der Schnittpunkt der Diagonalen im Verhältnis zu den Eckpunkten? - In einem Quadrat sind die Diagonalen gleich lang und stehen senkrecht aufeinander. Wie hilft dir das im Koordinatensystem? - Drehe die Strecke \(\overline{MR}\) gedanklich um den Punkt \(M\) um \(90^\circ\) nach links bzw. rechts. Welche beiden möglichen Endpunkte erhältst du?

1. Berechnung des Mittelpunkts \(M\): Da \(M\) die Mitte der Strecke \(PR\) ist, berechnet man den Mittelwert der Koordinaten von \(P(2 \mid 2)\) und \(R(6 \mid 6)\): \(x_M = \frac{2+6}{2} = 4\) und \(y_M = \frac{2+6}{2} = 4\). Somit ist \(M(4 \mid 4)\). 2. Von \(M(4 \mid 4)\) nach \(R(6 \mid 6)\) geht man \(2\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben. 3. Die Diagonale \(QS\) steht senkrecht auf \(PR\) und ist gleich lang. Durch eine Drehung der Strecke \(\overline{MR}\) um den Punkt \(M\) um \(90^\circ\) nach links bzw. rechts erhält man die Punkte \((6 \mid 2)\) und \((2 \mid 6)\). 4. Je nach Umlaufrichtung des Quadrats sind zwei Beschriftungen möglich: \(Q(6 \mid 2),\,S(2 \mid 6)\) oder \(Q(2 \mid 6),\,S(6 \mid 2)\).

a) Der Mittelpunkt ist \(M(4 \mid 4)\). b) Die beiden fehlenden Eckpunkte sind \((6 \mid 2)\) und \((2 \mid 6)\). Möglich sind \(Q(6 \mid 2),\,S(2 \mid 6)\) oder \(Q(2 \mid 6),\,S(6 \mid 2)\).

- Skizziere einen Drachen und zeichne die Symmetrieachse ein. - Was passiert mit einer Strecke, die senkrecht von einer Symmetrieachse geschnitten wird? - Warum wäre es eine Raute, wenn beide Diagonalen halbiert würden?

1. Ein Drachenviereck besitzt eine Symmetrieachse, die durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte verläuft. Diese Achse ist identisch mit einer der Diagonalen (nennen wir sie \(e\)). 2. Die Eckpunkte der zweiten Diagonale (\(f\)) liegen symmetrisch zur Achse \(e\). Daher wird \(f\) von \(e\) im rechten Winkel geschnitten und genau in der Mitte geteilt. 3. Da das Viereck keine Raute ist, gibt es keine zweite Symmetrieachse senkrecht zu \(e\). Der Schnittpunkt der Diagonalen ist daher nicht die Mitte von \(e\). 4. Ergebnis: Die Diagonale auf der Symmetrieachse (\(e\)) halbiert die andere Diagonale (\(f\)), wird aber selbst nicht halbiert.

a) Die Symmetrieachse des Drachens halbiert die Strecke zwischen den beiden symmetrischen Eckpunkten (die zweite Diagonale). Da keine Punktsymmetrie vorliegt, wird die Diagonale auf der Achse selbst nicht halbiert. b) Die Diagonale auf der Symmetrieachse ist diejenige, die die andere Diagonale halbiert.

- Überlege bei jeder Konstruktion zuerst, welche Seite und welcher gegebene Winkel einen sinnvollen Start bilden. - Welche Bedingung an gegenüberliegende Seiten kennzeichnet ein Parallelogramm und lässt sich mit Parallelen herstellen? - Beim Drachenviereck sollen benachbarte Seiten paarweise gleich lang sein. Wie können Kreise diese Abstände festlegen?

1. Zeichne für das Parallelogramm \(AB = 5\,\text{cm}\). Trage in \(A\) den Winkel \(\alpha = 50^\circ\) ab und markiere auf diesem Strahl \(AD = 3\,\text{cm}\). Zeichne durch \(B\) eine Parallele zu \(AD\) und durch \(D\) eine Parallele zu \(AB\); ihr Schnittpunkt ist \(C\). 2. Zeichne für das Drachenviereck \(AB = 5\,\text{cm}\). Trage in \(B\) den Winkel \(\beta = 50^\circ\) ab und markiere auf diesem Strahl \(BC = 3\,\text{cm}\). Zeichne einen Kreis um \(A\) mit Radius \(5\,\text{cm}\) und einen Kreis um \(C\) mit Radius \(3\,\text{cm}\). Der zweite Schnittpunkt der Kreise neben \(B\) ist \(D\). Dann gilt \(AB = AD\) und \(BC = CD\). 3. Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen. Das Drachenviereck ist achsensymmetrisch zur Diagonalen \(AC\).

a) Zum Beispiel: \(AB = 5\,\text{cm}\), in \(A\) einen Winkel von \(50^\circ\) mit \(AD = 3\,\text{cm}\) abtragen und durch \(B\) bzw. \(D\) Parallelen zu \(AD\) bzw. \(AB\) zeichnen. b) Zum Beispiel: \(AB = 5\,\text{cm}\), in \(B\) einen Winkel von \(50^\circ\) mit \(BC = 3\,\text{cm}\) abtragen; der zweite Schnittpunkt der Kreise um \(A\) mit Radius \(5\,\text{cm}\) und um \(C\) mit Radius \(3\,\text{cm}\) ist \(D\). c) Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Diagonalenschnittpunkt. Das Drachenviereck ist achsensymmetrisch zur Diagonalen \(AC\).

- Überlege dir, wie du ein Blatt Papier falten müsstest, damit die Ränder exakt aufeinanderliegen. - Zeichne dir die genannten Vierecke auf und skizziere mögliche Spiegelachsen. - Denke an den Unterschied zwischen Achsen, die durch Ecken gehen, und Achsen, die Seiten halbieren. - Welche Form ist besonders regelmäßig und hat daher die meisten Symmetrien?

1. Ein Viereck mit genau zwei Symmetrieachsen durch gegenüberliegende Eckpunkte ist eine Raute, die kein Quadrat ist. Die beiden Achsen sind ihre Diagonalen. 2. Ein Viereck mit genau zwei Symmetrieachsen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten ist ein Rechteck, das kein Quadrat ist. 3. Das Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen: die beiden Diagonalen und die beiden Geraden durch die Mittelpunkte je zweier gegenüberliegender Seiten.

a) Eine Raute, die kein Quadrat ist. b) Ein Rechteck, das kein Quadrat ist. c) Ein Quadrat; seine Symmetrieachsen sind die beiden Diagonalen und die beiden Geraden durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten.

- Überlege, wie sich die Parallelität der Seiten auf die Winkel in einem symmetrischen Trapez auswirkt. - Probiere an einer Skizze eines schiefen Parallelogramms aus, ob du es falten kannst, sodass die Kanten genau aufeinanderliegen. - Welche Figuren haben zwar eine „Spiegelachse“, aber man kann sie nicht um \(180^\circ\) drehen, ohne dass sie anders aussehen?

1. Ist das achsensymmetrische Trapez zugleich ein Parallelogramm, so sind benachbarte Innenwinkel eines Parallelogramms ergänzend. Durch die Achsensymmetrie sind die beiden Winkel an derselben Grundseite gleich groß. Gleiche, ergänzende Winkel sind jeweils \(90^\circ\). Das Viereck ist daher ein Rechteck. 2. Ein allgemeines Parallelogramm, das weder Rechteck noch Raute ist, besitzt keine Symmetrieachse, sondern nur ein Symmetriezentrum. Die Anzahl der Symmetrieachsen ist \(0\). 3. Ein Drachenviereck, das keine Raute ist, oder ein gleichschenkliges Trapez, das kein Rechteck ist, ist achsensymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch.

a) Es ist ein Rechteck. b) Es besitzt \(0\) Symmetrieachsen. c) Ein Beispiel ist ein gleichschenkliges Trapez, das kein Rechteck ist, oder ein Drachenviereck, das keine Raute ist.

- Übersetze die jeweilige Symmetrie zuerst in Gleichheiten zwischen Seiten. - Bei Punktsymmetrie werden gegenüberliegende Seiten aufeinander abgebildet. - Bei einer Spiegelachse werden die beiden Seiten, die Spiegelbilder voneinander sind, gleich lang. Nutze erst danach den Umfang.

1. Bei Punktsymmetrie sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Setze daher die Seitenlängen in der Reihenfolge \(x,2x,x,2x\). Aus \(6x=24\,\text{cm}\) folgt \(x=4\,\text{cm}\). Die Seiten sind \(4\,\text{cm},8\,\text{cm},4\,\text{cm},8\,\text{cm}\). 2. Bei Achsensymmetrie zu einer Diagonalen werden jeweils zwei benachbarte Seiten aufeinander gespiegelt. Ein Seitenpaar ist \(5\,\text{cm},5\,\text{cm}\); das andere hat die Länge \(x,x\). Aus \(10\,\text{cm}+2x=24\,\text{cm}\) folgt \(x=7\,\text{cm}\). 3. Beim gleichschenkligen Trapez werden die beiden Schenkel an der Symmetrieachse aufeinander gespiegelt und sind daher gleich lang. Für ihre Länge \(x\) gilt \(10\,\text{cm}+4\,\text{cm}+2x=24\,\text{cm}\). Somit ist \(x=5\,\text{cm}\).

a) Punktsymmetrie: gegenüberliegende Seiten sind gleich. Seitenlängen: \(4\,\text{cm},8\,\text{cm},4\,\text{cm},8\,\text{cm}\). b) Achsensymmetrie: die an der Achse gespiegelten benachbarten Seiten sind paarweise gleich. Seitenlängen: \(5\,\text{cm},5\,\text{cm},7\,\text{cm},7\,\text{cm}\). c) Achsensymmetrie: die beiden Schenkel sind gleich lang. Seitenlängen: \(10\,\text{cm},5\,\text{cm},4\,\text{cm},5\,\text{cm}\).

- Welche Größen bleiben bei einer Achsenspiegelung erhalten? - Was bedeutet es für eine Strecke, wenn eine Punktspiegelung ihre beiden Endpunkte vertauscht? - Wenn eine Diagonale Spiegelachse für die Endpunkte der anderen Diagonale ist, welche Mittelsenkrechten-Eigenschaft folgt?

1. Eine Spiegelung erhält Längen. Wenn eine Symmetrieachse die eine Diagonale auf die andere abbildet, müssen die beiden Diagonalen gleich lang sein. Das gilt sowohl im Rechteck als auch im gleichschenkligen Trapez. 2. Bei der Punktspiegelung am Symmetriezentrum werden die Endpunkte jeder Diagonale vertauscht. Das Zentrum ist deshalb Mittelpunkt beider Diagonalen; die Diagonalen halbieren sich gegenseitig. 3. Im Quadrat werden die Diagonalen durch Symmetrien aufeinander bezogen: Sie sind gleich lang und halbieren sich im Symmetriezentrum. Da jede Diagonale eine Spiegelachse ist, ist sie Mittelsenkrechte der anderen; die Diagonalen stehen daher senkrecht aufeinander.

a) Die Diagonalen sind gleich lang, weil die Spiegelung die eine Diagonale auf die andere abbildet und Längen erhält. b) Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig; ihr Schnittpunkt ist das Symmetriezentrum. c) Die Diagonalen sind gleich lang, halbieren einander und stehen senkrecht aufeinander.

- Welche Diagonale bildet die Symmetrieachse des Drachenvierecks? - Was folgt aus dieser Spiegelachse für den Schnittwinkel der Diagonalen und für die Teilung der anderen Diagonale? - Nutze den gegebenen Abstand von \(A\) zu \(S\), um zuerst den Schnittpunkt der Diagonalen festzulegen.

1. Zeichne \(AC = 8\,\text{cm}\) und markiere auf \(AC\) den Punkt \(S\) mit \(AS = 2\,\text{cm}\). 2. Weil \(AC\) die Symmetrieachse ist, steht \(BD\) senkrecht auf \(AC\) und wird von \(AC\) in \(S\) halbiert. 3. Errichte daher in \(S\) die Senkrechte zu \(AC\). Markiere darauf auf entgegengesetzten Seiten von \(S\) die Punkte \(B\) und \(D\) jeweils im Abstand \(2\,\text{cm}\) von \(S\). 4. Verbinde \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\).

Zeichne \(AC = 8\,\text{cm}\) und markiere \(S\) mit \(AS = 2\,\text{cm}\). Errichte in \(S\) die Senkrechte zu \(AC\). Auf ihr liegen \(B\) und \(D\) auf entgegengesetzten Seiten von \(S\), jeweils \(2\,\text{cm}\) von \(S\) entfernt. Verbinde die vier Eckpunkte.

- Beginne nicht mit einer bekannten Diagonaleneigenschaft. Frage zuerst: Welche Eckpunkte vertauscht die Punktspiegelung am Mittelpunkt? - Was ist eine Spiegelachse für die Strecke zwischen einem Punkt und seinem Spiegelbild? - Nutze die beiden abgeleiteten Eigenschaften erst danach für die Konstruktion.

1. Bei der Punktspiegelung am Symmetriezentrum \(M\) werden \(A\) und \(C\) sowie \(B\) und \(D\) vertauscht. Deshalb gilt \(AM=CM\) und \(BM=DM\); \(M\) halbiert also beide Diagonalen. 2. Die Diagonale \(AC\) ist eine Symmetrieachse des Quadrats und vertauscht \(B\) und \(D\). Eine Spiegelachse ist die Mittelsenkrechte der Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. Daher gilt \(AC\perp BD\). 3. Zeichne \(AC=6\,\text{cm}\) und konstruiere den Mittelpunkt \(M\). Errichte in \(M\) die Senkrechte zu \(AC\). Weil auch \(BD=6\,\text{cm}\) und \(M\) die Diagonale halbiert, trägst du auf dieser Senkrechten auf entgegengesetzten Seiten von \(M\) jeweils \(3\,\text{cm}\) ab und erhältst \(B\) und \(D\). Verbinde die vier Eckpunkte.

a) Die Punktspiegelung an \(M\) vertauscht \(A\leftrightarrow C\) und \(B\leftrightarrow D\). Daher gilt \(AM=CM\) und \(BM=DM\); die Diagonalen halbieren sich in \(M\). b) Die Spiegelung an \(AC\) vertauscht \(B\) und \(D\). Deshalb ist \(AC\) die Mittelsenkrechte von \(BD\), also \(AC\perp BD\). c) \(AC=6\,\text{cm}\) zeichnen, Mittelpunkt \(M\) konstruieren, in \(M\) die Senkrechte errichten, darauf beidseits \(MB=MD=3\,\text{cm}\) abtragen und \(A,B,C,D\) verbinden.

- Frage bei jeder wahren Aussage: Welche Symmetrie vertauscht passende Eckpunkte oder Streckenenden? - Bei einem Drachenviereck liegt eine Diagonale auf der Symmetrieachse. Wird sie dadurch auf die andere Diagonale abgebildet? - Eine Spiegelachse, die die Endpunkte einer Strecke vertauscht, ist deren Mittelsenkrechte.

1. a) Wahr. Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Diagonalenschnittpunkt. Die Punktspiegelung vertauscht die gegenüberliegenden Eckpunkte, also ist der Schnittpunkt Mittelpunkt beider Diagonalen. 2. b) Falsch. Die Achsensymmetrie eines allgemeinen Drachenvierecks bildet nicht die beiden Diagonalen aufeinander ab; eine Diagonale liegt auf der Symmetrieachse, die andere wird auf sich selbst abgebildet. Ein nicht-rhombisches Drachenviereck kann daher unterschiedlich lange Diagonalen besitzen. 3. c) Wahr. In einer Raute ist jede Diagonale eine Symmetrieachse. Eine Diagonale vertauscht die Endpunkte der anderen und ist deshalb deren Mittelsenkrechte. Somit stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.

a) Wahr: Die Punktsymmetrie des Parallelogramms macht den Diagonalenschnittpunkt zum Mittelpunkt beider Diagonalen. b) Falsch: Die Achsensymmetrie eines allgemeinen Drachenvierecks erzwingt keine gleich langen Diagonalen; ein nicht-rhombisches Drachenviereck ist ein Gegenbeispiel. c) Wahr: In der Raute ist eine Diagonale Symmetrieachse und damit Mittelsenkrechte der anderen; daher stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.

- Prüfe für a), ob ein Rechteck mit verschieden langen Seiten genauso viele Faltachsen wie ein Quadrat haben kann. - Vergleiche bei b) die Seitenlängen-Eigenschaften von Quadrat und Raute. - Suche für c) nach einem Trapez, dessen linke und rechte Seite deutlich verschieden verlaufen.

1. Aussage a) ist falsch. Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, besitzt genau \(2\) Symmetrieachsen; nur ein Quadrat als spezielles Rechteck besitzt \(4\). 2. Aussage b) ist wahr. Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und erfüllt damit die Eigenschaften einer Raute. 3. Aussage c) ist falsch. Ein allgemeines Trapez muss keine Symmetrieachse besitzen; ein nichtgleichschenkliges Trapez liefert ein Gegenbeispiel.

a) Falsch. Ein nichtquadratisches Rechteck hat \(2\) Symmetrieachsen; ein Quadrat hat \(4\). b) Wahr. c) Falsch. Ein allgemeines Trapez muss nicht achsensymmetrisch sein.

- Vergleiche, was beim Drachenviereck nur für eine Diagonale und bei der Raute für beide Diagonalen gilt. - Welche zusätzliche Mittelpunktseigenschaft entsteht bei einer Raute? - Formuliere die Bedingung so, dass genau diese zusätzliche Eigenschaft ausgeschlossen wird.

1. In einem Drachenviereck auf dieser Symmetrieachse halbiert \([AC]\) die Diagonale \([BD]\) senkrecht. 2. Bei einer Raute halbieren sich die beiden Diagonalen gegenseitig. 3. Damit das Drachenviereck keine Raute ist, darf der Schnittpunkt der Diagonalen nicht der Mittelpunkt von \([AC]\) sein. Dann halbiert \([BD]\) die Diagonale \([AC]\) nicht.

Der Schnittpunkt der Diagonalen darf nicht der Mittelpunkt von \([AC]\) sein; \([BD]\) darf \([AC]\) also nicht halbieren.

- Lies zuerst die Koordinaten der ursprünglichen Punkte und der Bildpunkte sorgfältig ab. - Vergleiche die x-Koordinaten entsprechender Punkte miteinander. - Vergleiche anschließend die y-Koordinaten entsprechender Punkte. - Deute den Vorzeichenwechsel der x-Koordinate und die Änderung der y-Koordinate geometrisch.

1. Abgelesene Eckpunkte: \(A(1 \mid 2)\), \(B(4 \mid 1)\), \(C(5 \mid 4)\), \(D(2 \mid 5)\) sowie \(A''(-1 \mid -1)\), \(B''(-4 \mid -2)\), \(C''(-5 \mid 1)\), \(D''(-2 \mid 2)\). 2. Zum Beispiel gilt für \(A(1 \mid 2)\): \(A''(-1 \mid -1)\), also \(x''=-x\) und \(y''=y-3\). Auch \(C(5 \mid 4)\) wird so auf \(C''(-5 \mid 1)\) abgebildet. Damit ist Regel II richtig: \((x \mid y) \rightarrow (-x \mid y-3)\). 3. Zuerst wird an der y-Achse gespiegelt, anschließend um \(3\) Einheiten nach unten verschoben.

a) \(A(1 \mid 2)\), \(B(4 \mid 1)\), \(C(5 \mid 4)\), \(D(2 \mid 5)\); \(A''(-1 \mid -1)\), \(B''(-4 \mid -2)\), \(C''(-5 \mid 1)\), \(D''(-2 \mid 2)\) b) Regel II: \((x \mid y) \rightarrow (-x \mid y-3)\) c) Spiegelung an der y-Achse und danach Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten.

- Lies zuerst die Koordinaten der ursprünglichen Eckpunkte direkt aus dem Koordinatensystem ab. - Vergleiche die Lage von \(A\), \(O\) und \(A'\). Welche Rolle spielt \(O\) auf der Verbindungsstrecke? - Übertrage die beobachtete Änderung der Koordinaten auf die übrigen Eckpunkte.

1. Lies aus der Abbildung die Eckpunkte \(B(4 \mid 1)\), \(C(3 \mid 4)\) und \(D(1 \mid 3)\) ab. Die gestrichelte Strecke von \(A\) zu \(A'\) verläuft durch den Ursprung \(O\), der ihr Mittelpunkt ist. 2. Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wechseln beide Koordinaten ihr Vorzeichen. Daher gilt \(B'(-4 \mid -1)\), \(C'(-3 \mid -4)\) und \(D'(-1 \mid -3)\). 3. Allgemein wird \(P(x \mid y)\) auf \(P'(-x \mid -y)\) abgebildet.

a) \(B'(-4 \mid -1)\), \(C'(-3 \mid -4)\), \(D'(-1 \mid -3)\) b) Beide Koordinaten wechseln ihr Vorzeichen: \(P(x \mid y) \rightarrow P'(-x \mid -y)\).

- Überlege, welche zwei Seiten des gespiegelten Gesamtdreiecks aus den beiden Hypotenusen entstehen. - Aus welchen beiden Teilstrecken besteht die dritte Seite des gespiegelten Gesamtdreiecks? - Vergleiche diese drei Seiten mithilfe der gegebenen Beziehung zwischen \(c\) und \(a\). - Welche Winkel besitzt die Figur, die dadurch entsteht, und welcher ihrer Winkel wird von der Spiegelachse geteilt?

1. Durch Spiegelung des Dreiecks an der Kathete \(b\) entsteht ein größeres Dreieck mit zwei Seiten der Länge \(c\). Seine Grundseite besteht aus zwei Katheten der Länge \(a\) und ist deshalb \(2a\) lang. 2. Wegen \(c = 2a\) sind alle drei Seiten dieses größeren Dreiecks gleich lang. Es ist also gleichseitig. 3. Jeder Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks ist \(60^\circ\). Deshalb ist \(\beta = 60^\circ\). 4. Die Spiegelachse \(b\) halbiert den zugehörigen \(60^\circ\)-Winkel. Daher ist \(\alpha = 30^\circ\).

a) \(\alpha = 30^\circ\), \(\beta = 60^\circ\) b) Durch Spiegelung an \(b\) entsteht ein gleichseitiges Dreieck: Zwei Seiten haben die Länge \(c\), die dritte hat die Länge \(2a = c\).

- Nutze für a) die rechten Innenwinkel des Rechtecks. - Vergleiche für b) die beiden Winkelpaare am Schnittpunkt der Diagonalen. - Welche beiden Eigenschaften der Rechteckdiagonalen liefern für c) gleiche Teilstrecken vom Schnittpunkt zu den Ecken?

1. Jede Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Es entstehen \(\triangle KLM\), \(\triangle LMN\), \(\triangle MNK\) und \(\triangle NKL\). 2. Am Schnittpunkt \(S\) sind \(\angle KSL\) und \(\angle MSN\) stumpf. Daher sind \(\triangle KLS\) und \(\triangle MNS\) stumpfwinklig. 3. Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang und halbieren einander. Deshalb gilt \(|SK| = |SL| = |SM| = |SN|\). Jedes der vier kleinen Dreiecke besitzt damit zwei gleich lange Seiten und ist gleichschenklig.

a) \(\triangle KLM\), \(\triangle LMN\), \(\triangle MNK\), \(\triangle NKL\) b) \(\triangle KLS\) und \(\triangle MNS\) c) Es gilt \(|SK| = |SL| = |SM| = |SN|\); daher hat jedes kleine Dreieck zwei gleich lange Seiten.

- Wo liegt das Zentrum einer Punktspiegelung zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt? - Nutze beide bekannten Punktpaare, um denselben Mittelpunkt zu finden. - Übertrage anschließend die gleiche Mittelpunktseigenschaft auf \(C\).

1. Bei einer Punktspiegelung ist das Symmetriezentrum jeweils der Mittelpunkt der Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. 2. Die Verbindungsstrecken \(AA'\) und \(BB'\) schneiden sich in ihrem gemeinsamen Mittelpunkt. Dieser Schnittpunkt ist das Symmetriezentrum \(S\). 3. Für \(C\) muss \(S\) ebenfalls der Mittelpunkt von \(CC'\) sein. 4. Von den Kandidaten liegt nur \(Y\) genau gegenüber von \(C\) bezüglich \(S\).

\(S\) ist der Schnittpunkt der Verbindungsstrecken \(AA'\) und \(BB'\); der Bildpunkt ist \(C' = Y\).

- Prüfe Achsensymmetrie und Punktsymmetrie für jede Figur getrennt. - Für Punktsymmetrie kannst du dir eine Drehung um \(180^\circ\) vorstellen. - Eine Figur kann mehr als eine Spiegelachse besitzen; der Schnittpunkt zweier zueinander senkrechter Achsen ist häufig auch ein Symmetriezentrum. - Für „keines“ genügt es nicht, nur eine mögliche Achse auszuschließen.

1. Figur a) besitzt genau eine senkrechte Spiegelachse, aber keine Punktsymmetrie. 2. Figur b) geht bei einer Drehung um \(180^\circ\) um ihren Mittelpunkt in sich selbst über, besitzt aber keine Spiegelachse. 3. Figur c) besitzt eine senkrechte und eine waagerechte Spiegelachse; ihr Schnittpunkt ist zugleich Symmetriezentrum. Sie ist daher achsen- und punktsymmetrisch. 4. Figur d) besitzt weder eine Spiegelachse noch ein Symmetriezentrum.

a) achsensymmetrisch: Die Figur besitzt eine senkrechte Spiegelachse, aber kein Symmetriezentrum. b) punktsymmetrisch: Bei einer Drehung um \(180^\circ\) um ihren Mittelpunkt geht die Figur in sich selbst über; eine Spiegelachse gibt es nicht. c) beides: Die Figur besitzt eine senkrechte und eine waagerechte Spiegelachse; deren Schnittpunkt ist zugleich Symmetriezentrum. d) keines: Es gibt weder eine Spiegelachse, die alle Eckpunkte passend vertauscht, noch einen Mittelpunkt, an dem alle Eckpunkte paarweise gegenüberliegen.

- Suche nicht nach einer Symmetrieachse, sondern nach Punkt-Bildpunkt-Paaren mit demselben Mittelpunkt. - Welche drei Eckpunktpaare liegen sich bezüglich \(S\) gegenüber? - Was muss nach einer Veränderung eines Eckpunkts mit seinem Bildpunkt geschehen?

1. Bei einer Punktsymmetrie ist \(S\) jeweils der Mittelpunkt zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. 2. In der Abbildung liegen \(A,S,D\), \(B,S,E\) und \(C,S,F\) jeweils auf einer Geraden, und \(S\) halbiert die drei Verbindungsstrecken. Damit werden \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\) und \(C\leftrightarrow F\) durch die Punktspiegelung an \(S\) vertauscht. 3. Deshalb wird auch jede Seite des Sechsecks auf die gegenüberliegende Seite abgebildet; das Ornament ist punktsymmetrisch zu \(S\). 4. Wird nur \(B\) verschoben, während \(E\) fest bleibt, ist \(S\) im Allgemeinen nicht mehr Mittelpunkt von \(BE\). Die Punktsymmetrie geht verloren. Um sie zu erhalten, müsste \(E\) passend als Bildpunkt von \(B\) mitverschoben werden.

Das Ornament ist punktsymmetrisch zu \(S\), weil \(S\) Mittelpunkt der drei Punkt-Bildpunkt-Strecken \(AD\), \(BE\) und \(CF\) ist. Wird nur \(B\) verschoben und \(E\) bleibt fest, geht die Punktsymmetrie verloren; \(E\) müsste gleichzeitig als Bildpunkt von \(B\) angepasst werden.

- Senkrechte Diagonalen allein erzwingen noch kein Drachenviereck. Achte darauf, wo ihr Schnittpunkt auf beiden Diagonalen liegt. - Bei einer Achsensymmetrie werden die Endpunkte einer Diagonale an der anderen Diagonale gespiegelt. Was folgt daraus für ihren Schnittpunkt? - Überlege für die Raute, welche zusätzliche Halbierung am Diagonalenschnittpunkt nötig ist.

1. Eine mögliche Aufteilung ist \(AP = 2\,\text{cm}\), \(PC = 4\,\text{cm}\), \(PB = 1\,\text{cm}\) und \(PD = 3\,\text{cm}\). Damit gilt \(AC = 6\,\text{cm}\) und \(BD = 4\,\text{cm}\), aber \(P\) ist auf keiner der beiden Diagonalen der Mittelpunkt. 2. Zeichne \(AC = 6\,\text{cm}\), markiere \(P\) mit \(AP = 2\,\text{cm}\), errichte in \(P\) die Senkrechte zu \(AC\) und markiere darauf auf entgegengesetzten Seiten von \(P\) die Punkte \(B\) mit \(PB = 1\,\text{cm}\) und \(D\) mit \(PD = 3\,\text{cm}\). Verbinde die vier Eckpunkte. 3. Bei einem Drachenviereck mit senkrechten Diagonalen muss eine Diagonale die andere halbieren. Diese Diagonale ist dann die Mittelsenkrechte der anderen und bildet die Symmetrieachse. 4. Für eine Raute müssen sich beide Diagonalen gegenseitig halbieren. Dann besitzt das Viereck zusätzlich Punktsymmetrie zum Diagonalenschnittpunkt.

a) Zum Beispiel: \(AP = 2\,\text{cm}\), \(PC = 4\,\text{cm}\), \(PB = 1\,\text{cm}\), \(PD = 3\,\text{cm}\), wobei \(B\) und \(D\) auf entgegengesetzten Strahlen der Senkrechten durch \(P\) liegen. Man zeichnet zuerst \(AC\), markiert \(P\), errichtet dort die Senkrechte und trägt darauf \(PB\) und \(PD\) ab. b) Eine Diagonale muss die andere halbieren; sie ist dann deren Mittelsenkrechte und Symmetrieachse. c) Beide Diagonalen müssen sich gegenseitig halbieren.

- Was ist die entscheidende Eigenschaft eines Drachenvierecks bezüglich der Seitenlängen? - Was passiert mit einem Rechteck, wenn man fordert, dass alle Seiten gleich lang sind? - Welche Bedingungen muss ein Viereck erfüllen, um ein Trapez zu sein? - Was macht ein Trapez „gleichschenklig“ oder „symmetrisch“?

Für Teil a) gilt die inklusive Definition: Ein Drachenviereck besitzt mindestens zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten; Rauten und Quadrate sind eingeschlossen. 1. Analyse der Bedingung für das Rechteck: Damit ein Rechteck ein Drachenviereck ist, müssen benachbarte Seiten gleich lang sein. Ein Rechteck mit gleich langen benachbarten Seiten ist ein Quadrat. 2. Definition des gleichschenkligen Trapezes: Ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Seiten und einer Symmetrieachse, die die Mittelsenkrechte dieser parallelen Seiten ist. 3. Anwendung auf das Quadrat: Ein Quadrat hat zwei Paare paralleler Seiten (erfüllt also die Trapezbedingung) und ist achsensymmetrisch zu den Mittelsenkrechten dieser Seiten. Damit erfüllt es alle Kriterien eines gleichschenkligen Trapezes.

a) Nach der inklusiven Definition müssen die benachbarten Seiten gleich lang sein. Das Rechteck wird dadurch zu einem Quadrat. b) Ein Quadrat besitzt (sogar zwei) Paare paralleler Seiten und ist damit ein Trapez. Da es achsensymmetrisch zur Mittelsenkrechten dieser Seiten ist (und somit gleich lange Schenkel sowie gleich große Basiswinkel von \(90^\circ\) hat), erfüllt es die Definition eines gleichschenkligen Trapezes.

- Überlege, wie du die Stäbe anordnen kannst: paarweise gegenüber oder paarweise nebeneinander. - Was ist die Definition eines gleichschenkligen Trapezes im Vergleich zu einem Parallelogramm? - Untersuche, welche Symmetrien entstehen, wenn du die Winkel zwischen den Stäben veränderst.

1. Identifikation der Vierecksarten: Mit den Paaren \((4, 4)\) und \((8, 8)\) können Vierecke mit jeweils zwei gleichen Seiten gelegt werden. - Werden gegenüberliegende Seiten gleich lang gewählt (\(4, 8, 4, 8\)), entsteht ein Parallelogramm. Mit nicht rechten Winkeln erhält man ein allgemeines Parallelogramm; mit rechten Winkeln ein Rechteck. - Werden benachbarte Seiten gleich lang gewählt (\(4, 4, 8, 8\)), entsteht ein Drachenviereck. 2. Begründung zum Trapez: Ein gleichschenkliges Trapez benötigt zwei gleich lange Schenkel. Wählt man die beiden \(4\,\text{cm}\)-Stäbe als Schenkel, müssten die parallelen Grundseiten \(8\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\) lang sein. Da diese aber gleich lang sind, handelt es sich um ein Parallelogramm. Wählt man die \(8\,\text{cm}\)-Stäbe als Schenkel, müssten die Grundseiten \(4\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) lang sein, was ebenfalls ein Parallelogramm ergibt. Für ein „echtes“ Trapez müssten die parallelen Seiten unterschiedliche Längen haben, wofür nicht genügend passende Stäbe vorhanden sind. 3. Symmetrieachsen: - Allgemeines Parallelogramm, das weder Rechteck noch Raute ist: keine Symmetrieachsen, nur punktsymmetrisch. - Rechteck: Zwei Symmetrieachsen (Mittelsenkrechte der Seiten). - Drachenviereck: Eine Symmetrieachse (durch die Eckpunkte zwischen den gleich langen Seiten).

a) Allgemeines Parallelogramm (weder Rechteck noch Raute), Rechteck und Drachenviereck. b) Für ein Trapez mit unterschiedlichen Grundseiten müssten z. B. \(a=8\) und \(c=4\) sein. Dann blieben als Schenkel nur noch ein \(8\,\text{cm}\)- und ein \(4\,\text{cm}\)-Stab übrig, wodurch das Trapez nicht mehr gleichschenklig wäre. Sind die Schenkel gleich lang (z. B. beide \(4\,\text{cm}\)), müssen die Grundseiten die restlichen Stäbe sein (beide \(8\,\text{cm}\)), was ein Parallelogramm ergibt. c) Allgemeines Parallelogramm: keine Achsen; Rechteck: zwei Achsen (Seitenmitten); Drachenviereck: eine Achse (Diagonale).

- Was weißt du über die Diagonalen in einem Quadrat? - Wie verhalten sich die vier kleinen Dreiecke zueinander, wenn du das große Quadrat drehst? - Welche Symmetrieachsen hat ein Quadrat? - Überlege, was passiert, wenn man eine Figur spiegelt, die selbst symmetrisch zu dieser Achse liegt.

1. Eigenschaften der Teildreiecke: Die Diagonalen eines Quadrats stehen senkrecht aufeinander und sind gleich lang. Daher sind die Dreiecke \(ABS\), \(BCS\), \(CDS\) und \(DAS\) rechtwinklig, weil der Winkel bei \(S\) jeweils \(90^\circ\) beträgt, und gleichschenklig, weil \(AS = BS = CS = DS\) gilt. 2. Form des Vierecks: Aufgrund der Drehsymmetrie des Quadrats um \(90^\circ\) um den Punkt \(S\) werden die vier Teildreiecke und damit auch ihre Inkreismittelpunkte aufeinander abgebildet. Da die Abstände der Mittelpunkte zum Zentrum \(S\) gleich sind und die Verbindungslinien jeweils um \(90^\circ\) gedreht werden, bilden die vier Punkte \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) und \(M_4\) ein Quadrat. 3. Spiegelung: Die Diagonale \(AC\) ist eine Symmetrieachse des Quadrats. Bei einer Spiegelung an \(AC\) wird das Dreieck \(ABS\) auf das Dreieck \(DAS\) abgebildet. Folglich wird sein Inkreismittelpunkt \(M_1\) auf den Inkreismittelpunkt \(M_4\) des Dreiecks \(DAS\) abgebildet.

a) Es sind gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. b) Es entsteht ein Quadrat, da die Anordnung der Inkreismittelpunkte die \(90^\circ\)-Drehsymmetrie des ursprünglichen Quadrats übernimmt. c) \(M_1\) wird auf \(M_4\), den Inkreismittelpunkt des Dreiecks \(DAS\), abgebildet.

- Betrachte die Punktspiegelung am Punkt \(Z\): Welcher Punkt ist das Bild von \(P\)? - Welche Lage müsste das Bild der Geraden \(PQ\) haben, wenn \(PQ\) und \(RS\) parallel wären? - Was würde diese Annahme für die Abstände \(QZ\) und \(ZS\) bedeuten?

1. Da \(P\), \(Z\) und \(R\) auf einer Geraden liegen und \(PZ = ZR\) gilt, ist \(R\) das Bild von \(P\) bei der Punktspiegelung am Zentrum \(Z\). 2. Angenommen, \(PQ\) wäre parallel zu \(RS\). Die Punktspiegelung bildet die Gerade \(PQ\) auf eine Gerade durch \(R\) ab, die zu \(PQ\) parallel ist. 3. Durch \(R\) gibt es genau eine Parallele zu \(PQ\). Unter der Annahme \(PQ \parallel RS\) muss die Bildgerade daher \(RS\) sein. 4. Die Gerade \(QS\) verläuft durch das Spiegelzentrum \(Z\) und wird deshalb auf sich selbst abgebildet. Das Bild von \(Q\) läge somit sowohl auf \(QS\) als auch auf \(RS\), also in \(S\). 5. Dann müsste \(QZ = ZS\) gelten. Das widerspricht der Voraussetzung \(QZ \neq ZS\). Daher gilt \(PQ \not\parallel RS\).

Nein. Wären \(PQ\) und \(RS\) parallel, würde die Punktspiegelung an \(Z\) den Punkt \(Q\) auf \(S\) abbilden. Dann wäre \(QZ = ZS\), im Widerspruch zur Voraussetzung.

- Denke an die Punktsymmetrie eines Parallelogramms bezüglich seines Mittelpunkts. - Wenn die Verlängerungsstrecken paarweise gleich lang sind, was bedeutet das für die Bildpunkte bei einer Drehung um \(180^\circ\)?

1. Sei \(O\) der Diagonalenschnittpunkt des Parallelogramms \(MNPK\). Die Punktspiegelung an \(O\) bildet \(M\) auf \(P\) und \(K\) auf \(N\) ab. 2. Die Verlängerung von \(MN\) über \(M\) hinaus wird auf die Verlängerung von \(KP\) über \(P\) hinaus abgebildet. Wegen \(MA = PC\) ist daher \(C\) das Bild von \(A\). 3. Ebenso wird die Verlängerung von \(MK\) über \(K\) hinaus auf die Verlängerung von \(PN\) über \(N\) hinaus abgebildet. Wegen \(KB = ND\) ist \(D\) das Bild von \(B\). 4. Somit ist \(O\) sowohl Mittelpunkt von \(AC\) als auch Mittelpunkt von \(BD\). Die Diagonalen des Vierecks \(ABCD\) halbieren sich gegenseitig. 5. Nach dem Diagonalenkriterium ist \(ABCD\) ein Parallelogramm.

Die Punktspiegelung am Mittelpunkt \(O\) von \(MNPK\) bildet wegen \(MA = PC\) den Punkt \(A\) auf \(C\) und wegen \(KB = ND\) den Punkt \(B\) auf \(D\) ab. Daher halbieren sich die Diagonalen \(AC\) und \(BD\) gegenseitig in \(O\), also ist \(ABCD\) ein Parallelogramm.

- Was passiert mit einer Geraden, wenn man sie an einem Punkt spiegelt (um \(180^\circ\) dreht)? - Welche Seiten des ursprünglichen Vierecks bilden nach dem Zusammenfügen den Rand des Sechsecks? - Überlege, welche Seiten des Sechsecks einander bei der Punktspiegelung als Bild und Urbild entsprechen.

1. Eine Punktspiegelung um den Punkt \(Z\) (eine Drehung um \(180^\circ\)) bildet jede Gerade auf eine zu ihr parallele Gerade ab. 2. Die beiden kongruenten Vierecke gehen durch die Punktspiegelung am Mittelpunkt \(Z\) der gemeinsamen Seite ineinander über. 3. Die gemeinsame Seite liegt im Inneren der Figur und gehört nicht zum Rand des Sechsecks. Es verbleiben jeweils drei Seiten pro Viereck, die den Umfang des Sechsecks bilden. 4. Jede dieser drei Seiten wird durch die Punktspiegelung auf eine gegenüberliegende Seite des Sechsecks abgebildet. Bildgerade und Ausgangsgerade sind parallel. 5. Somit besitzt das Sechseck drei Paare gegenüberliegender paralleler Seiten.

Das Sechseck besitzt drei Paare gegenüberliegender paralleler Seiten. Jede Randseite des einen Vierecks wird durch die Punktspiegelung an \(Z\) auf die gegenüberliegende, zu ihr parallele Randseite abgebildet.