- Vergleiche in jedem Paar zuerst die beiden Koordinatenstellen. - Welche Koordinate bleibt bei einer Spiegelung an der waagerechten Achse unverändert? - Welche Koordinate bleibt bei einer Spiegelung an der senkrechten Achse unverändert?

1. Bei \(P\) bleibt die \(x\)-Koordinate \(12\) gleich, während die \(y\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Es wurde an der \(x\)-Achse gespiegelt. 2. Bei \(Q\) bleibt die \(y\)-Koordinate \(20\) gleich, während die \(x\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Es wurde an der \(y\)-Achse gespiegelt. 3. Bei \(R\) bleibt die \(x\)-Koordinate \(-15\) gleich, während die \(y\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Es wurde an der \(x\)-Achse gespiegelt.

a) \(x\)-Achse b) \(y\)-Achse c) \(x\)-Achse

- Eine Spiegelung lässt sich durch dieselbe Spiegelung rückgängig machen. - Überlege, welche Koordinate bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse unverändert bleibt. - Prüfe, welches Vorzeichen die andere Koordinate vor der Spiegelung haben muss.

1. Bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse wechselt die \(x\)-Koordinate ihr Vorzeichen, während die \(y\)-Koordinate unverändert bleibt. 2. Weil \(Q'\) die \(x\)-Koordinate \(-22\) hat, muss \(Q\) die \(x\)-Koordinate \(22\) haben. 3. Die \(y\)-Koordinate bleibt \(14\). Daher ist \(Q(22 \mid 14)\).

\(Q(22 \mid 14)\)

- Vergleiche die Eckpunkte auf beiden Seiten jeder vorgeschlagenen Geraden. - Eine echte Symmetrieachse teilt die Figur in zwei spiegelbildliche Hälften. - Achte auch auf Eckpunkte, die direkt auf einer möglichen Symmetrieachse liegen.

1. Bei einer Achsenspiegelung müssen zu jedem Punkt der Figur auf der einen Seite passende Bildpunkte auf der anderen Seite liegen. 2. An der Geraden \(g\) passen die linken und rechten Eckpunkte der Figur paarweise zusammen; Punkte auf \(g\) bleiben fest. 3. An \(h\) und an \(k\) entstehen dagegen keine deckungsgleichen Hälften. 4. Daher ist \(g\) die Symmetrieachse.

\(g\)

- Bei einer Punktspiegelung liegt das Symmetriezentrum jeweils genau zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. - Suche Eckpunkte, die von \(S\) aus in entgegengesetzten Richtungen liegen. - Prüfe mehr als nur ein Punktpaar, bevor du die ganze Figur beurteilst.

1. Bei Punktsymmetrie zu \(S\) muss \(S\) jeweils der Mittelpunkt zwischen einem Eckpunkt und seinem Bildpunkt sein. 2. Die Punkte \(A\) und \(D\) liegen einander bezüglich \(S\) genau gegenüber. 3. Ebenso gehören \(B\) und \(E\) sowie \(C\) und \(F\) zusammen. 4. Damit geht die gesamte Figur bei einer Drehung um \(180^\circ\) um \(S\) in sich selbst über und ist punktsymmetrisch zu \(S\).

Ja. Zum Beispiel sind \(A\) und \(D\) sowie \(B\) und \(E\) Bildpunktpaare mit dem gemeinsamen Mittelpunkt \(S\).

- Überlege, welcher Punkt bei einer Drehung um \(180^\circ\) um \(Z\) seine Lage nicht ändern kann. - Was ist der Abstand des Symmetriezentrums von sich selbst?

1. Ein Punkt bleibt bei der Punktspiegelung genau dann an derselben Stelle, wenn sein Abstand zum Symmetriezentrum null ist. 2. Das trifft nur auf den Punkt \(Z\) selbst zu.

\(Z\)

- Wie muss die Verbindung zwischen Punkt und Bildpunkt zur Symmetrieachse liegen? - Auf welchen Seiten der Symmetrieachse müssen Punkt und Bildpunkt liegen? - Welche Streckenmarkierungen helfen beim Vergleich der Abstände?

1. Die Verbindung von Punkt und Bildpunkt muss senkrecht auf der Symmetrieachse stehen. 2. Außerdem müssen Punkt und Bildpunkt auf verschiedenen Seiten der Achse denselben Abstand zu ihr haben. 3. Nur \(Q_1\) liegt auf der Senkrechten durch \(P\) auf der anderen Seite von \(g\) und hat denselben Abstand von \(H\) wie \(P\). Daher ist \(Q_1\) der Bildpunkt.

\(Q_1\). Die Strecke \(PQ_1\) steht senkrecht auf \(g\), und \(H\) ist wegen der gleichen Streckenmarkierungen der Mittelpunkt von \(PQ_1\).

- Welche Rolle spielt das Symmetriezentrum bei einer Punktspiegelung? - Wo muss der Bildpunkt relativ zu \(P\) und \(S\) liegen? - Welche Streckenmarkierungen zeigen eine Mittelpunktbeziehung?

1. Bei einer Punktspiegelung ist \(S\) der Mittelpunkt der Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. 2. Der Bildpunkt muss daher auf der Geraden \(PS\) auf der gegenüberliegenden Seite von \(S\) liegen. 3. Die gleichen Streckenmarkierungen zeigen \(PS=SQ_1\). Damit ist \(S\) Mittelpunkt von \(PQ_1\), also ist \(Q_1\) der Bildpunkt.

\(Q_1\), weil \(P\), \(S\) und \(Q_1\) auf einer Geraden liegen und \(PS=SQ_1\) gilt. Somit ist \(S\) der Mittelpunkt von \(PQ_1\).

- Was passiert mit einem Punkt, wenn du ihn von einer Seite der senkrechten Achse auf die andere klappst? - Überlege, welche Koordinate (rechts/links oder oben/unten) sich bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse verändert. - Kannst du die Regel für die Spiegelung umkehren, um vom Bildpunkt zum Originalpunkt zu kommen?

1. Anwendung der Regel für die Spiegelung an der \(y\)-Achse: Bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse ändert sich das Vorzeichen der \(x\)-Koordinate, während die \(y\)-Koordinate unverändert bleibt: \((x \mid y) \to (-x \mid y)\). 2. Da \(A'\) die \(x\)-Koordinate \(-5{,}2\) hat, muss die \(x\)-Koordinate von \(A\) den Wert \(5{,}2\) besitzen, da \(-5{,}2 = -(5{,}2)\). 3. Die \(y\)-Koordinate bleibt gleich, also ist sie \(8\). 4. Ergebnis: Der Punkt \(A\) hat die Koordinaten \((5{,}2 \mid 8)\).

Der ursprüngliche Punkt ist \(A(5{,}2 \mid 8)\). Bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse wird die \(x\)-Koordinate mit \(-1\) multipliziert (Vorzeichenwechsel), während die \(y\)-Koordinate gleich bleibt.

- Welche Eigenschaften muss eine Spiegelachse in Bezug auf die Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt haben? - Wo genau müsste die Achse liegen, damit die Abstände zu beiden Punkten gleich groß sind? - Wie lautet die mathematische Gleichung für die \(x\)-Achse?

1. Bei einer Achsenspiegelung muss die Spiegelachse die Verbindungsstrecke der Punkte \(PQ\) rechtwinklig halbieren. 2. Die Punkte \(P(2 \mid 4)\) und \(Q(2 \mid -2)\) haben dieselbe \(x\)-Koordinate, die Verbindungsstrecke ist also vertikal. Die Spiegelachse muss daher horizontal verlaufen (Form: \(y = k\)). 3. Der Mittelwert der \(y\)-Koordinaten ist \(\frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1\). 4. Die korrekte Spiegelachse ist die Gerade \(y = 1\). 5. Die \(x\)-Achse hat die Gleichung \(y = 0\). Da \(1 \neq 0\), ist die ursprüngliche Behauptung falsch.

Die Aussage ist falsch. Die korrekte Spiegelachse ist die Gerade \(y = 1\), da diese die Verbindungsstrecke zwischen \(P\) und \(Q\) senkrecht halbiert.

- Was bedeutet es für die Lage des Punktes \(Z\), wenn er das Symmetriezentrum für zwei Punkte ist? - Wie weit musst du von \(A\) aus gehen, um zu \(Z\) zu kommen? Musst du denselben Weg von \(Z\) aus weitergehen, um \(C\) zu finden? - Erinnere dich an die Eigenschaften der Diagonalen in einem Parallelogramm.

1. Berechnung von \(C\) durch Punktspiegelung von \(A\) an \(Z\): Da \(Z\) die Mitte der Strecke \(AC\) ist, gilt für die Koordinaten \(x_C = 2x_Z - x_A = 2 \cdot 3 - 1 = 5\) und \(y_C = 2y_Z - y_A = 2 \cdot 3 - 1 = 5\). Somit ist \(C(5 \mid 5)\). 2. Berechnung von \(D\) durch Punktspiegelung von \(B\) an \(Z\): Da \(Z\) die Mitte der Strecke \(BD\) ist, gilt für die Koordinaten \(x_D = 2x_Z - x_B = 2 \cdot 3 - 4 = 2\) und \(y_D = 2y_Z - y_B = 2 \cdot 3 - 2 = 4\). Somit ist \(D(2 \mid 4)\).

Die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte sind \(C(5 \mid 5)\) und \(D(2 \mid 4)\).

- Überlege dir, was mit einer Strecke passiert, wenn man sie an ihrem Mittelpunkt um \(180^\circ\) dreht. - Wie müssen die Eckpunkte zueinander liegen, damit das gesamte Viereck bei einer Punktspiegelung auf sich selbst abgebildet wird? - Erinnere dich an die Definition eines Parallelogramms im Zusammenhang mit Symmetrie.

1. Bei einer Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt wird jeder Eckpunkt auf den gegenüberliegenden Eckpunkt gespiegelt. 2. Da der Schnittpunkt das Symmetriezentrum ist, muss er genau in der Mitte zwischen den gegenüberliegenden Eckpunkten liegen. 3. Daraus folgt, dass die Diagonalen einander gegenseitig halbieren: \( \overline{AS} = \overline{CS} \) und \( \overline{BS} = \overline{DS} \). 4. Diese Eigenschaft charakterisiert alle Parallelogramme. 5. Mögliche Beispiele sind das allgemeine Parallelogramm, das Rechteck, die Raute und das Quadrat.

a) Die Diagonalen müssen einander gegenseitig halbieren. b) Beispiele sind das Parallelogramm, das Rechteck, die Raute und das Quadrat.

- Überlege dir für jede Vierecksart, wie viele Symmetrieachsen du einzeichnen kannst. - Erinnere dich an den Unterschied zwischen Achsensymmetrie (Spiegelung an einer Geraden) und Punktsymmetrie (Drehung um \(180^\circ\)). - Stelle dir vor, du faltest das Viereck entlang einer Linie – wann liegen die Hälften genau aufeinander?

1. Ein Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen (zwei Seitenhalbierende und zwei Diagonalen) und ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der Diagonalen. Dies entspricht Beschreibung C. 2. Ein allgemeines Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen, hat jedoch keine Symmetrieachsen. Dies entspricht Beschreibung A. 3. Ein Drachenviereck, das keine Raute ist, besitzt genau eine Symmetrieachse, die entlang einer der Diagonalen verläuft und durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte führt. Dies entspricht Beschreibung B. 4. Ein gleichschenkliges Trapez besitzt eine Symmetrieachse, die senkrecht auf den parallelen Grundseiten steht und durch deren Mittelpunkte verläuft. Dies entspricht Beschreibung D.

1 – C, 2 – A, 3 – B, 4 – D

- Überlege dir, wie du ein Blatt Papier falten müsstest, damit die Ränder exakt aufeinanderliegen. - Zeichne dir die genannten Vierecke auf und skizziere mögliche Spiegelachsen. - Denke an den Unterschied zwischen Achsen, die durch Ecken gehen, und Achsen, die Seiten halbieren. - Welche Form ist besonders regelmäßig und hat daher die meisten Symmetrien?

1. Ein Viereck mit genau zwei Symmetrieachsen durch gegenüberliegende Eckpunkte ist eine Raute, die kein Quadrat ist. Die beiden Achsen sind ihre Diagonalen. 2. Ein Viereck mit genau zwei Symmetrieachsen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten ist ein Rechteck, das kein Quadrat ist. 3. Das Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen: die beiden Diagonalen und die beiden Geraden durch die Mittelpunkte je zweier gegenüberliegender Seiten.

a) Eine Raute, die kein Quadrat ist. b) Ein Rechteck, das kein Quadrat ist. c) Ein Quadrat; seine Symmetrieachsen sind die beiden Diagonalen und die beiden Geraden durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten.

- Punktsymmetrie bedeutet, dass man die Figur um \(180^\circ\) drehen kann und sie wieder genauso aussieht. - Achsensymmetrie bedeutet, dass man die Figur an einer Geraden spiegeln kann. - Zeichne ein schiefes Parallelogramm und ein gleichschenkliges Trapez, das kein Parallelogramm ist, nebeneinander und vergleiche die Längen der Diagonalen.

1. Bestimmung der Punktsymmetrie: Ein allgemeines Parallelogramm, das weder Rechteck noch Raute ist, ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen, besitzt aber keine Symmetrieachse. 2. Bestimmung der Achsensymmetrie: Ein gleichschenkliges Trapez, das kein Parallelogramm ist, ist achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse verläuft durch die Mittelpunkte der beiden parallelen Grundseiten. 3. Vergleich der Diagonalen: In einem gleichschenkligen Trapez sind die Diagonalen immer gleich lang. In einem allgemeinen Parallelogramm sind sie im Allgemeinen nicht gleich lang; gleich lang sind sie nur im Sonderfall eines Rechtecks.

Das allgemeine Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der Diagonalen und besitzt keine Symmetrieachse. Das gleichschenklige Trapez, das kein Parallelogramm ist, ist achsensymmetrisch; seine Achse verläuft durch die Mittelpunkte der parallelen Seiten. Im Gegensatz zum allgemeinen Parallelogramm sind beim gleichschenkligen Trapez die Diagonalen immer gleich lang.

- Welche Punkte sind von \(B\) und \(D\) gleich weit entfernt? - Was bedeutet das für die Gerade durch \(A\) und \(C\)? - Welche Faltlinien hat ein Rechteck?

1. Wegen \(AB=AD\) ist \(A\) von \(B\) und \(D\) gleich weit entfernt. Wegen \(CB=CD\) gilt das auch für \(C\). 2. Deshalb liegen \(A\) und \(C\) auf der Mittelsenkrechten von \(\overline{BD}\). Die Gerade durch \(A\) und \(C\) spiegelt \(B\) auf \(D\). Also liegt die Diagonale \(\overline{AC}\) auf einer Symmetrieachse. 3. Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, hat genau zwei Symmetrieachsen. Sie verlaufen jeweils durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten.

a) Die Diagonale \(\overline{AC}\) liegt auf einer Symmetrieachse. Die Punkte \(A\) und \(C\) sind jeweils von \(B\) und \(D\) gleich weit entfernt. Deshalb liegen sie auf der Mittelsenkrechten von \(\overline{BD}\). b) Das Rechteck hat zwei Symmetrieachsen. Sie verlaufen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten.

- Vergleiche nicht zuerst die Seitenlängen, sondern die Anzahl und Lage der Symmetrieachsen der besonderen Vierecke. - Welche zusätzlichen Symmetrieachsen hätte ein Quadrat? - Welche Symmetrie besitzt jedes Parallelogramm am Schnittpunkt seiner Diagonalen?

1. Ein Quadrat hätte vier Symmetrieachsen. Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, hat zwei Symmetrieachsen durch die Seitenmittelpunkte, nicht durch gegenüberliegende Eckpunkte. Eine Raute, die kein Quadrat ist, hat genau zwei Symmetrieachsen: ihre Diagonalen durch gegenüberliegende Eckpunkte. Daher ist das Viereck eine Raute. 2. Ein Rechteck hat vier rechte Winkel. Da die Innenwinkel hier nicht alle gleich groß sind, kann das Viereck kein Rechteck sein. 3. Jede Raute ist ein Parallelogramm. Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen. Dieser Punkt ist daher das Symmetriezentrum.

a) Raute. Die genau zwei Symmetrieachsen verlaufen auf den Diagonalen durch gegenüberliegende Eckpunkte; ein Quadrat hätte vier Symmetrieachsen. b) Kein Rechteck, denn ein Rechteck hat vier rechte Winkel; hier sind die Innenwinkel nicht alle gleich groß. c) Ja. Das Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt der Diagonalen.

- Stelle dir vor, du spiegelst die Figur an einem Punkt oder einer Geraden. Bleibt die Figur dabei unverändert? - Denke an Spezialfälle: Ein Quadrat ist zum Beispiel auch eine Raute und ein Rechteck. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein Papierquadrat so zu falten, dass die Hälften genau aufeinanderliegen?

1. Ein Rechteck ist ein spezielles Parallelogramm. Da jedes Parallelogramm punktsymmetrisch zu seinem Diagonalenschnittpunkt ist, gilt dies auch für das Rechteck. Aussage a) ist wahr. 2. Eine Raute hat die beiden Diagonalen als Symmetrieachsen. Wenn die Raute jedoch ein Quadrat ist, hat sie zusätzlich zwei Achsen durch die Seitenmitten, also insgesamt vier. Aussage b) ist falsch, da es Rauten mit vier Achsen gibt (Quadrate). 3. Ein allgemeines Parallelogramm besitzt keine Symmetrieachsen, es ist lediglich punktsymmetrisch. Nur spezielle Parallelogramme wie Rechtecke oder Rauten sind achsensymmetrisch. Aussage c) ist falsch. 4. Ein Quadrat besitzt zwei Symmetrieachsen durch die gegenüberliegenden Eckpunkte (Diagonalen) und zwei Symmetrieachsen durch die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Seiten (Mittelsenkrechte). Insgesamt sind es \(2 + 2 = 4\) Achsen. Aussage d) ist wahr.

a) Wahr: Jedes Rechteck ist als Parallelogramm punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen. b) Falsch: Ein Quadrat ist eine Raute und besitzt vier Symmetrieachsen. c) Falsch: Ein allgemeines Parallelogramm ist zwar punktsymmetrisch, aber nicht achsensymmetrisch. d) Wahr: Beim Quadrat sind beide Diagonalen und beide Geraden durch gegenüberliegende Seitenmitten Symmetrieachsen, also insgesamt vier.

- Welche Bedingung müssen alle vier Seiten einer Raute erfüllen? - Mit welchem geometrischen Hilfsmittel kannst du alle Punkte mit einem festen Abstand zu einem Endpunkt der gegebenen Diagonale beschreiben? - Überlege anschließend, an welchen Geraden sich eine Raute auf sich selbst spiegeln lässt.

1. Zeichne die Diagonale \(AC = 7\,\text{cm}\). 2. Zeichne um \(A\) und \(C\) Kreise mit dem Radius \(4{,}5\,\text{cm}\). Ihre beiden Schnittpunkte sind \(B\) und \(D\). 3. Verbinde \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\). Wegen \(AB = BC = CD = DA = 4{,}5\,\text{cm}\) entsteht eine Raute. 4. Eine Raute besitzt zwei Symmetrieachsen. Sie verlaufen auf den beiden Diagonalen \(AC\) und \(BD\).

Eine mögliche Konstruktion: Zeichne \(AC = 7\,\text{cm}\). Die beiden Schnittpunkte der Kreise um \(A\) und \(C\) mit Radius \(4{,}5\,\text{cm}\) sind \(B\) und \(D\); verbinde die vier Punkte zur Raute. Die Raute hat zwei Symmetrieachsen: ihre beiden Diagonalen \(AC\) und \(BD\).

- Prüfe bei jeder Spiegelung getrennt, welche Koordinate unverändert bleibt. - Überlege, welches Vorzeichen sich bei einer Spiegelung an einer Koordinatenachse ändert. - Verwende den ersten Bildpunkt als Ausgangspunkt für die zweite Spiegelung.

1. Bei der Spiegelung an der \(x\)-Achse bleibt die \(x\)-Koordinate gleich und die \(y\)-Koordinate wechselt ihr Vorzeichen. Daher ist \(A'(35 \mid -42)\). 2. Bei der anschließenden Spiegelung an der \(y\)-Achse bleibt die \(y\)-Koordinate gleich und die \(x\)-Koordinate wechselt ihr Vorzeichen. Daher ist \(A''(-35 \mid -42)\).

\(A'(35 \mid -42)\) und \(A''(-35 \mid -42)\)

- Stell dir vor, die Figur wird entlang einer Geraden gefaltet: Wann decken sich beide Hälften genau? - Prüfe Achsen durch Seitenmitten und Achsen durch gegenüberliegende Ecken getrennt. - Vergleiche, welche zusätzliche Eigenschaft das Quadrat gegenüber einem nichtquadratischen Rechteck hat.

1. Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, besitzt \(2\) Symmetrieachsen. Sie verlaufen jeweils durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten. 2. Ein Quadrat besitzt \(4\) Symmetrieachsen. 3. Zusätzlich zu den beiden Achsen durch gegenüberliegende Seitenmitten sind beim Quadrat auch die beiden Diagonalen Symmetrieachsen. Das ist möglich, weil im Quadrat alle Seiten gleich lang sind.

a) \(2\) Symmetrieachsen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. b) \(4\) Symmetrieachsen. c) Beim Quadrat sind zusätzlich beide Diagonalen Symmetrieachsen.

- Prüfe für a), ob ein Rechteck mit verschieden langen Seiten genauso viele Faltachsen wie ein Quadrat haben kann. - Vergleiche bei b) die Seitenlängen-Eigenschaften von Quadrat und Raute. - Suche für c) nach einem Trapez, dessen linke und rechte Seite deutlich verschieden verlaufen.

1. Aussage a) ist falsch. Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, besitzt genau \(2\) Symmetrieachsen; nur ein Quadrat als spezielles Rechteck besitzt \(4\). 2. Aussage b) ist wahr. Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und erfüllt damit die Eigenschaften einer Raute. 3. Aussage c) ist falsch. Ein allgemeines Trapez muss keine Symmetrieachse besitzen; ein nichtgleichschenkliges Trapez liefert ein Gegenbeispiel.

a) Falsch. Ein nichtquadratisches Rechteck hat \(2\) Symmetrieachsen; ein Quadrat hat \(4\). b) Wahr. c) Falsch. Ein allgemeines Trapez muss nicht achsensymmetrisch sein.

- Welche Lage hat die Verbindungsstrecke zweier Spiegelpunkte zur Symmetrieachse? - Wo schneidet die Symmetrieachse diese Verbindungsstrecke? - Übertrage diese Eigenschaften auf die beiden Diagonalen.

1. Die Diagonale \(e\) steht senkrecht auf der Diagonale \(f\), also \(e\perp f\). 2. Die Diagonale \(e\) halbiert \(f\). Der Schnittpunkt der Diagonalen ist deshalb der Mittelpunkt von \(\overline{BD}\).

\(e\perp f\), und \(e\) halbiert \(f\).

- Wie muss die Verbindung zweier Spiegelpunkte zur Symmetrieachse liegen? - Wo liegt der Mittelpunkt zwischen zwei Spiegelpunkten? - Achte darauf, dass der Schnittpunkt zwischen \(A\) und \(C\) liegt.

1. Wähle zwischen \(A\) und \(C\) einen Punkt \(S\) auf \(\overline{AC}\) und zeichne durch \(S\) eine Senkrechte zur Geraden \(AC\). 2. Markiere auf dieser Senkrechten auf verschiedenen Seiten von \(S\) zwei Punkte \(B\) und \(D\) mit demselben Abstand zu \(S\). 3. Dann sind \(B\) und \(D\) Spiegelpunkte an der Geraden \(AC\). Verbinde \(A-B-C-D\).

Wähle einen Punkt \(S\) zwischen \(A\) und \(C\), errichte dort die Senkrechte zu \(AC\) und markiere darauf \(B\) und \(D\) auf verschiedenen Seiten von \(S\) mit gleichem Abstand zu \(S\). Verbinde \(A-B-C-D\).

- Lies zuerst die Koordinaten der ursprünglichen Eckpunkte direkt aus dem Koordinatensystem ab. - Vergleiche die Lage von \(A\), \(O\) und \(A'\). Welche Rolle spielt \(O\) auf der Verbindungsstrecke? - Übertrage die beobachtete Änderung der Koordinaten auf die übrigen Eckpunkte.

1. Lies aus der Abbildung die Eckpunkte \(B(4 \mid 1)\), \(C(3 \mid 4)\) und \(D(1 \mid 3)\) ab. Die gestrichelte Strecke von \(A\) zu \(A'\) verläuft durch den Ursprung \(O\), der ihr Mittelpunkt ist. 2. Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wechseln beide Koordinaten ihr Vorzeichen. Daher gilt \(B'(-4 \mid -1)\), \(C'(-3 \mid -4)\) und \(D'(-1 \mid -3)\). 3. Allgemein wird \(P(x \mid y)\) auf \(P'(-x \mid -y)\) abgebildet.

a) \(B'(-4 \mid -1)\), \(C'(-3 \mid -4)\), \(D'(-1 \mid -3)\) b) Beide Koordinaten wechseln ihr Vorzeichen: \(P(x \mid y) \rightarrow P'(-x \mid -y)\).

- Untersuche, wie sich ein Punkt verändert, wenn nur das Vorzeichen seiner \(x\)-Koordinate wechselt. - Vergleiche die Abstände des Ausgangspunktes und seines Bildpunktes zur \(y\)-Achse. - Bestimme daraus die Spiegelachse.

1. Die Originalpunkte sind \(P(1 \mid 1)\), \(Q(5 \mid 2)\) und \(R(2 \mid 4)\). 2. Durch die Multiplikation der \(x\)-Koordinaten mit \(-1\) erhält man \(P'(-1 \mid 1)\), \(Q'(-5 \mid 2)\) und \(R'(-2 \mid 4)\). 3. Nur das Vorzeichen der \(x\)-Koordinate ändert sich, während die \(y\)-Koordinate gleich bleibt. Dies entspricht einer Achsenspiegelung an der \(y\)-Achse.

a) \(P'(-1 \mid 1)\), \(Q'(-5 \mid 2)\) und \(R'(-2 \mid 4)\) b) Achsenspiegelung an der \(y\)-Achse

- Welche Koordinate bleibt gleich, welche wechselt das Vorzeichen? - Vergleiche jeden Punkt mit seinem Bildpunkt. - Welche Gerade liegt jeweils genau zwischen Punkt und Bildpunkt?

1. Die Eckpunkte sind \(A(-5 \mid 1)\), \(B(-2 \mid 1)\), \(C(-2 \mid 2)\), \(D(-4 \mid 2)\), \(E(-4 \mid 4)\) und \(F(-5 \mid 4)\). 2. Nach dem Vorzeichenwechsel der \(y\)-Koordinate erhält man \(A'(-5 \mid -1)\), \(B'(-2 \mid -1)\), \(C'(-2 \mid -2)\), \(D'(-4 \mid -2)\), \(E'(-4 \mid -4)\) und \(F'(-5 \mid -4)\). 3. Die \(x\)-Koordinaten bleiben gleich, die \(y\)-Koordinaten wechseln ihr Vorzeichen. Das ist eine Achsenspiegelung an der \(x\)-Achse.

Es entsteht die Spiegelung an der \(x\)-Achse: Die \(x\)-Koordinate bleibt jeweils gleich, die \(y\)-Koordinate wechselt ihr Vorzeichen. Die Bildpunkte sind \(A'(-5 \mid -1)\), \(B'(-2 \mid -1)\), \(C'(-2 \mid -2)\), \(D'(-4 \mid -2)\), \(E'(-4 \mid -4)\) und \(F'(-5 \mid -4)\).

- Was geschieht bei einer Punktspiegelung am Ursprung mit dem Vorzeichen jeder Koordinate? - Ein Punkt und sein Bildpunkt haben das Symmetriezentrum als Mittelpunkt. - Prüfe die beiden Koordinaten des Mittelpunkts für jedes Bildpaar getrennt.

1. Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wechseln beide Koordinaten ihr Vorzeichen. Aus \(A(-6\mid 0)\) wird daher \(C(6\mid 0)\). 2. Der Mittelpunkt von \(A\) und \(C\) ist \((( -6+6):2\mid(0+0):2)=(0\mid0)=M\). 3. Aus \(B(0\mid5)\) wird \(D(0\mid-5)\). 4. Der Mittelpunkt von \(B\) und \(D\) ist \(((0+0):2\mid(5-5):2)=(0\mid0)=M\).

\(C(6\mid0)\) und \(D(0\mid-5)\). Für \(A,C\): Mittelpunkt \((( -6+6):2\mid(0+0):2)=(0\mid0)=M\). Für \(B,D\): Mittelpunkt \(((0+0):2\mid(5-5):2)=(0\mid0)=M\).

- Welche beiden Punkte werden an der Symmetrieachse aufeinander gespiegelt? - Was bedeutet das für \(M\) auf \(\overline{QS}\)? - Wie hängt eine ganze Strecke mit ihren beiden gleich langen Hälften zusammen?

1. Die Symmetrieachse durch \(P\) und \(R\) vertauscht \(Q\) und \(S\). Deshalb ist \(M\) der Mittelpunkt von \(\overline{QS}\), also \(QM=MS\). 2. Aus der Abbildung liest man \(QM=3{,}5\,\text{cm}\) ab. Daher gilt auch \(MS=3{,}5\,\text{cm}\). 3. Somit ist \(QS=3{,}5\,\text{cm}+3{,}5\,\text{cm}=7\,\text{cm}\).

Die Symmetrieachse durch \(P\) und \(R\) spiegelt \(Q\) auf \(S\). Deshalb ist \(M\) der Mittelpunkt von \(\overline{QS}\), also gilt \(QM=MS\). Mit \(QM=3{,}5\,\text{cm}\) folgt \(QS=7\,\text{cm}\).

- Welche gegenüberliegenden Eckpunkte vertauscht die Punktspiegelung? - Was bedeutet das für \(S\) auf jeder Diagonale? - Welche Teilstrecken gehören jeweils zu derselben Diagonale?

1. Die Punktspiegelung am Symmetriezentrum \(S\) bildet \(A\) auf \(C\) und \(B\) auf \(D\) ab. 2. Daher ist \(S\) Mittelpunkt beider Diagonalen. Es gilt \(AS=SC\) und \(BS=SD\). 3. Aus \(AS=6\,\text{cm}\) folgt \(AC=12\,\text{cm}\). 4. Aus \(BD=10\,\text{cm}\) folgt \(DS=5\,\text{cm}\).

Bildpaare: \(A\leftrightarrow C\) und \(B\leftrightarrow D\). Daher gilt \(AS=SC\) und \(BS=SD\). Somit ist \(AC=12\,\text{cm}\) und \(DS=5\,\text{cm}\).

- Verbinde gedanklich jeden Punkt mit seinem Bildpunkt. - Welche besondere Lage hat die Symmetrieachse zu dieser Verbindungsstrecke? - Prüfe sowohl die Richtung als auch den Mittelpunkt.

1. Die Symmetrieachse ist die Mittelsenkrechte jeder Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. 2. Die Strecken \(\overline{AA'}\) und \(\overline{BB'}\) verlaufen waagerecht; ihre Mittelpunkte liegen auf der senkrechten Geraden \(g\). 3. Damit steht \(g\) senkrecht auf beiden Verbindungsstrecken und halbiert sie. 4. Die Gerade \(h\) erfüllt diese Bedingung nicht. Also ist \(g\) die Symmetrieachse.

\(g\), denn \(g\) ist die Mittelsenkrechte von \(\overline{AA'}\) und \(\overline{BB'}\).

- Prüfe die beiden Bedingungen unabhängig voneinander. - Eine Spiegelachse steht senkrecht auf der Verbindung von Punkt und Bildpunkt. - Sie halbiert diese Verbindung.

1. Bei einer Achsenspiegelung muss \(g\) die Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt senkrecht halbieren. 2. Entwurf a): Die Verbindungsstrecken stehen senkrecht auf \(g\). Außerdem sind die Abstände auf beiden Seiten gleich: \(2\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\) sowie \(3\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\). Beide Bedingungen sind erfüllt. 3. Entwurf b): Die Verbindung steht zwar senkrecht auf \(g\), aber die Abstände sind \(2\,\text{cm}\) und \(2{,}2\,\text{cm}\). Die Halbierungsbedingung ist nicht erfüllt. 4. Daher ist nur Entwurf a) exakt achsensymmetrisch.

Entwurf a) ist achsensymmetrisch. Dort stehen die Verbindungsstrecken senkrecht auf \(g\), und Punkt und Bildpunkt liegen jeweils gleich weit von \(g\) entfernt. In b) steht die Verbindung zwar ebenfalls senkrecht auf \(g\), aber die Abstände sind \(2\,\text{cm}\) und \(2{,}2\,\text{cm}\) und damit verschieden.

- Vergleiche zuerst \(P\) mit \(P'\) und \(Q\) mit \(Q'\). - Welche zwei Bedingungen erfüllen Punkt und Bildpunkt zur Symmetrieachse? - Prüfe bei \(X,Y,Z\) sowohl die Höhe als auch den Abstand zu \(g\).

1. Bei einer Spiegelung an \(g\) liegen Punkt und Bildpunkt auf derselben Senkrechten zur Symmetrieachse und haben auf verschiedenen Seiten denselben Abstand zu ihr. 2. \(R\) liegt links von \(g\). Sein Bildpunkt muss auf derselben Höhe rechts von \(g\) und gleich weit von \(g\) entfernt liegen. 3. Nur \(X\) erfüllt beide Bedingungen.

\(R'=X\)

- Bei einer Spiegelung steht die Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt senkrecht auf der Symmetrieachse. - Die Symmetrieachse halbiert diese Strecke.

1. Konstruiere durch \(P\) das Lot auf \(g\); der Lotfuß sei \(H\). 2. Verlängere die Gerade \(PH\) über \(H\) hinaus. 3. Übertrage mit dem Zirkel die Länge \(PH\) auf die andere Seite der Symmetrieachse und markiere dort \(P'\), sodass \(HP'=HP\). 4. Dann ist \(g\) die Mittelsenkrechte von \(\overline{PP'}\), also ist \(P'\) der Bildpunkt.

Konstruiere den Lotfuß \(H\) von \(P\) auf \(g\), verlängere \(PH\) über \(H\) und trage auf der anderen Seite \(HP'=HP\) ab. Dann ist \(g\) die Mittelsenkrechte von \(\overline{PP'}\).

- Welche besondere Lage hat \(g\) zur Strecke \(\overline{PP'}\)? - Welche Punkte sind von \(P\) und \(P'\) gleich weit entfernt?

1. Die Symmetrieachse muss alle Punkte enthalten, die von \(P\) und \(P'\) gleich weit entfernt sind. 2. Konstruiere deshalb die Mittelsenkrechte von \(\overline{PP'}\): Schlage um \(P\) und \(P'\) Kreisbögen mit demselben Radius, der größer als die halbe Strecke \(PP'\) ist. 3. Verbinde die beiden Schnittpunkte der Kreisbögen. Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte von \(\overline{PP'}\) und damit die Symmetrieachse \(g\).

Konstruiere die Mittelsenkrechte von \(\overline{PP'}\) mit zwei gleich großen Kreisbögen um \(P\) und \(P'\). Die Verbindung ihrer Schnittpunkte ist die Symmetrieachse \(g\).

- Welche Lage hat das Symmetriezentrum auf der Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt? - Welche Konstruktion führst du deshalb zuerst an \(AA'\) aus? - Wie kann das zweite Punkt-Bildpunkt-Paar dein Ergebnis bestätigen?

1. Bei einer Punktspiegelung ist das Symmetriezentrum der Mittelpunkt jeder Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. 2. Konstruiere den Mittelpunkt der Strecke \(AA'\); nenne ihn \(S_A\). 3. Konstruiere unabhängig den Mittelpunkt der Strecke \(BB'\); nenne ihn \(S_B\). 4. Für eine gemeinsame Punktspiegelung müssen beide Mittelpunkte zusammenfallen. Der gemeinsame Punkt ist \(S\). Die zweite Strecke dient damit zugleich als Kontrolle.

Konstruiere die Mittelpunkte von \(AA'\) und \(BB'\). Fallen sie zusammen, ist der gemeinsame Mittelpunkt das Symmetriezentrum \(S\); die Übereinstimmung kontrolliert die Konstruktion.

- Welche zwei Eigenschaften hat die Symmetrieachse zur Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt? - Gleicher Abstand zur Achse allein reicht nicht. Welche zweite Bedingung fehlt? - Wo muss der Bildpunkt im Verhältnis zu \(P\) und \(g\) liegen?

1. Gleicher Abstand von der Symmetrieachse ist notwendig, reicht aber allein nicht aus. 2. Die Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt muss senkrecht auf der Symmetrieachse stehen; die Achse ist ihre Mittelsenkrechte. 3. In der Abbildung liegen \(P\) und \(Q\) nicht auf derselben Senkrechten zu \(g\). Daher ist \(Q\) nicht der Bildpunkt. 4. Der richtige Bildpunkt liegt auf der Senkrechten durch \(P\) auf der anderen Seite von \(g\) und hat denselben Abstand von \(g\) wie \(P\).

\(Q\) ist nicht der Bildpunkt. Gleicher Abstand von \(g\) genügt nicht; \(P\) und sein Bildpunkt müssen auf derselben Senkrechten zu \(g\) liegen. Der richtige Bildpunkt liegt unter dem Lotfuß \(H\) auf der anderen Seite von \(g\) und gleich weit von \(g\) entfernt wie \(P\).

- Was passiert mit der Position eines Punktes relativ zum Zentrum \(P\), wenn er gespiegelt wird? - Stell dir vor, du verbindest einen Eckpunkt von \(D_1\) mit dem Punkt \(P\) durch eine gerade Linie. Wo müsste der Partnerpunkt auf der anderen Seite liegen? - Eine Punktspiegelung ist vergleichbar mit einer Drehung um einen ganz bestimmten Winkel. Welcher Winkel erzeugt dieses "auf dem Kopf stehende" Bild? - Prüfe, ob der Punkt \(P\) für jedes Paar von entsprechenden Eckpunkten genau in der Mitte der Verbindungsstrecke liegt. - Achte darauf, wie sich die Ausrichtung der Seiten (waagerecht/senkrecht) und die Lage der rechten Winkel verändert. - Vergleiche die Abbildungen: Welche zeigt eine Drehung und welche nur eine Verschiebung oder eine Spiegelung an einer Achse?

1. Festlegen eines Koordinatensystems mit dem Spiegelzentrum \(P\) im Ursprung \((0|0)\). 2. Identifikation der Eckpunkte von Dreieck \(D_1\) relativ zu \(P\): Die Punkte liegen bei \((-3|2)\) (oben links), \((-3|-1)\) (unten links) und \((-1|-1)\) (unten rechts). 3. Anwendung der Abbildungsvorschrift für eine Punktspiegelung am Zentrum \(P\): Jeder Punkt \(X(x|y)\) wird auf \(X'(-x|-y)\) abgebildet. 4. Berechnung der theoretischen Bildpunkte für \(D_2\): \((3|-2)\), \((3|1)\) und \((1|1)\). 5. Analyse der Abbildungen: In Abbildung A ist das Dreieck gedreht und verschoben, in B achsengespiegelt und in D parallelverschoben. Nur in Abbildung C befinden sich die Eckpunkte von \(D_2\) exakt an den berechneten Koordinaten \((1|1)\), \((3|1)\) und \((3|-2)\).

C

- Stell dir vor, du würdest die Figuren auf ein Blatt zeichnen und falten. Bei welchen klappt das genau? - Was passiert, wenn du die Figur auf den Kopf stellst? Sieht sie dann noch genauso aus wie vorher? - Du suchst eine Figur, die zwar eine Faltachse hat, aber nach einer halben Drehung anders aussieht.

1. Definitionen: Achsensymmetrisch bedeutet, es gibt eine Spiegelachse. Punktsymmetrisch bedeutet, eine Drehung um \(180^\circ\) bildet die Figur auf sich selbst ab. 2. Analyse A (Stern): Hat mehrere Spiegelachsen (achsensymmetrisch), aber eine halbe Drehung verändert das Aussehen (nicht punktsymmetrisch). Passt. 3. Analyse B (Buchstabe I): Hat Spiegelachsen und ist punktsymmetrisch. 4. Analyse C (Windrad): Hat keine Spiegelachsen, nur Drehsymmetrie. 5. Analyse D (Sechseck): Ist sowohl achsen- als auch punktsymmetrisch.

A

- Führe die Schritte nacheinander aus: Was bewirkt die Spiegelung an der \(x\)-Achse? Was passiert danach bei der Spiegelung an der \(y\)-Achse? - Schau dir die Vorzeichen der Zahlen genau an. - Gibt es eine bekannte Spiegelung, bei der sich beide Vorzeichen gleichzeitig umkehren?

1. Spiegelung von \(P(-12 \mid 7)\) an der \(x\)-Achse: Die \(y\)-Koordinate wechselt das Vorzeichen. Ergebnis: \(P'(-12 \mid -7)\). 2. Spiegelung von \(P'(-12 \mid -7)\) an der \(y\)-Achse: Die \(x\)-Koordinate wechselt das Vorzeichen. Ergebnis: \(P''(12 \mid -7)\). 3. Vergleich von \(P(-12 \mid 7)\) und \(P''(12 \mid -7)\): Beide Koordinaten haben ihr Vorzeichen geändert. 4. Diese kombinierte Transformation entspricht einer Punktspiegelung am Koordinatenursprung \((0 \mid 0)\).

a) Die Koordinaten sind \(P'(-12 \mid -7)\) und \(P''(12 \mid -7)\). b) Die direkte Abbildung von \(P\) nach \(P''\) ist eine Punktspiegelung am Koordinatenursprung.

- Was bedeutet es für die Koordinaten, wenn ein Punkt auf einer der Achsen liegt? - Welche Koordinate verändert sich bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse? - Wann ändert sich ein Punkt dabei überhaupt nicht?

1. Bei der Punktspiegelung am Ursprung wechseln beide Koordinaten ihr Vorzeichen: \(S(-6 \mid 9) \to S'(6 \mid -9)\). 2. Ein Punkt auf der \(y\)-Achse hat immer die \(x\)-Koordinate \(0\). Bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse bleibt die \(x\)-Koordinate unverändert. Deshalb bleibt sie \(0\), und auch \(T'\) liegt auf der \(y\)-Achse. 3. Bei der Spiegelung an der \(x\)-Achse wird \((x \mid y)\) auf \((x \mid -y)\) abgebildet. Ein Punkt bleibt nur dann an derselben Stelle, wenn \(y=0\) ist. 4. Genau alle Punkte auf der \(x\)-Achse bleiben an ihrer Stelle.

a) \(S'(6 \mid -9)\) b) Auf der \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Die Spiegelung an der \(x\)-Achse verändert die \(x\)-Koordinate nicht, also bleibt der Bildpunkt auf der \(y\)-Achse. c) Genau alle Punkte auf der \(x\)-Achse bleiben an derselben Stelle.

- Wie weit ist jeder Eckpunkt von der Geraden \(x = 5\) entfernt? - Auf welcher Seite der Spiegelachse muss der jeweilige Bildpunkt mit demselben Abstand liegen? - Vergleiche nach der Spiegelung die Seitenlängen der beiden Rechtecke.

1. Die Spiegelachse ist die vertikale Gerade \(x = 5\). Der Abstand eines Punktes zur Achse wird auf der anderen Seite gleich weit abgetragen. 2. Für \(A(1 \mid 1)\) beträgt der Abstand zur Achse \(5 - 1 = 4\). Daher ist \(A'(9 \mid 1)\). 3. Für \(B(4 \mid 1)\) beträgt der Abstand zur Achse \(5 - 4 = 1\). Daher ist \(B'(6 \mid 1)\). 4. Entsprechend erhält man \(C'(6 \mid 3)\) und \(D'(9 \mid 3)\). 5. Das ursprüngliche Rechteck ist \(3\) Einheiten breit und \(2\) Einheiten hoch. Sein Flächeninhalt beträgt \(3 \cdot 2 = 6\) Flächeneinheiten. 6. Das Bildrechteck hat dieselben Seitenlängen, also ebenfalls den Flächeninhalt \(6\) Flächeneinheiten. 7. Bei der Achsenspiegelung bleiben Längen und damit auch der Flächeninhalt der Figur erhalten.

a) \(A'(9 \mid 1)\), \(B'(6 \mid 1)\), \(C'(6 \mid 3)\) und \(D'(9 \mid 3)\). b) Beide Flächeninhalte betragen \(6\) Flächeneinheiten. Die Spiegelung erhält die Seitenlängen und damit die Größe der Figur.

- Welche besondere Beziehung besteht zwischen den Diagonalen einer Raute? - Wo genau schneiden sich die Diagonalen? - Wie kannst du eine Linie zeichnen, die genau in der Mitte einer anderen steht und einen rechten Winkel bildet? - Wenn du den Schnittpunkt der Diagonalen hast, wie weit sind die Eckpunkte von diesem Punkt entfernt?

1. In einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander und halbieren sich gegenseitig im Mittelpunkt \(M\). 2. Durch die Vorgabe der Längen \(e\) und \(f\) ist die Lage der vier Eckpunkte relativ zum Mittelpunkt \(M\) fest vorgegeben. 3. Konstruktionsschritte: - Zeichne die Diagonale \(e = AC = 10\,\text{cm}\). - Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke \(AC\), um den Mittelpunkt \(M\) und die Richtung der zweiten Diagonale zu finden. - Trage vom Mittelpunkt \(M\) aus auf der Mittelsenkrechten jeweils die halbe Länge der Diagonale \(f\) (\(3\,\text{cm}\)) nach beiden Seiten ab, um die Eckpunkte \(B\) und \(D\) zu erhalten. - Verbinde die Punkte \(A, B, C\) und \(D\) nacheinander zur Raute.

a) Die Diagonalen einer Raute halbieren sich gegenseitig und stehen senkrecht aufeinander. Da ihre Längen feststehen, sind die Positionen der Eckpunkte relativ zum Schnittpunkt eindeutig bestimmt. b) 1. Diagonale \(e = 10\,\text{cm}\) zeichnen. 2. Mittelsenkrechte konstruieren. 3. Von der Mitte aus jeweils \(3\,\text{cm}\) (\(\frac{1}{2} f\)) auf der Mittelsenkrechten abtragen. 4. Eckpunkte verbinden.

- Welche Seitenpaare sind in einem Drachenviereck bezüglich seiner Symmetrieachse gleich lang? - Welche zwei gleichschenkligen Dreiecke entstehen an der gemeinsamen Basis \(BD\)? - Wie groß sind die beiden Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks mit Spitzenwinkel \(70^\circ\)?

1. Weil \(AC\) die Symmetrieachse ist, gilt \(AB=AD=4\,\text{cm}\). 2. Konstruiere auf der Basis \(BD=5\,\text{cm}\) das gleichschenklige Dreieck \(ABD\) mit \(AB=AD=4\,\text{cm}\). 3. Im ebenfalls gleichschenkligen Dreieck \(BCD\) gilt \(BC=CD\). Aus \(\angle BCD=70^\circ\) folgen die Basiswinkel \(\angle CBD=\angle CDB=(180^\circ-70^\circ):2=55^\circ\). 4. Trage bei \(B\) und \(D\) auf der dem Punkt \(A\) gegenüberliegenden Seite von \(BD\) jeweils \(55^\circ\) ab. Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ist \(C\). 5. Die Punkte \(A\) und \(C\) liegen damit beide auf der Mittelsenkrechten von \(BD\); die Gerade \(AC\) ist die Symmetrieachse des Drachenvierecks.

Konstruiere zuerst das gleichschenklige Dreieck \(ABD\) mit den Seiten \(4\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\) und der Basis \(5\,\text{cm}\). Für \(BCD\) ergeben sich aus dem Spitzenwinkel \(70^\circ\) die beiden Basiswinkel \(55^\circ\). Ihr Schnittpunkt auf der gegenüberliegenden Seite von \(BD\) bestimmt \(C\). Dann ist \(AC\) die Symmetrieachse.

- Wo genau liegt der Schnittpunkt der Diagonalen im Verhältnis zu den Eckpunkten? - In einem Quadrat sind die Diagonalen gleich lang und stehen senkrecht aufeinander. Wie hilft dir das im Koordinatensystem? - Drehe die Strecke \(\overline{MR}\) gedanklich um den Punkt \(M\) um \(90^\circ\) nach links bzw. rechts. Welche beiden möglichen Endpunkte erhältst du?

1. Berechnung des Mittelpunkts \(M\): Da \(M\) die Mitte der Strecke \(PR\) ist, berechnet man den Mittelwert der Koordinaten von \(P(2 \mid 2)\) und \(R(6 \mid 6)\): \(x_M = \frac{2+6}{2} = 4\) und \(y_M = \frac{2+6}{2} = 4\). Somit ist \(M(4 \mid 4)\). 2. Von \(M(4 \mid 4)\) nach \(R(6 \mid 6)\) geht man \(2\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben. 3. Die Diagonale \(QS\) steht senkrecht auf \(PR\) und ist gleich lang. Durch eine Drehung der Strecke \(\overline{MR}\) um den Punkt \(M\) um \(90^\circ\) nach links bzw. rechts erhält man die Punkte \((6 \mid 2)\) und \((2 \mid 6)\). 4. Je nach Umlaufrichtung des Quadrats sind zwei Beschriftungen möglich: \(Q(6 \mid 2),\,S(2 \mid 6)\) oder \(Q(2 \mid 6),\,S(6 \mid 2)\).

a) Der Mittelpunkt ist \(M(4 \mid 4)\). b) Die beiden fehlenden Eckpunkte sind \((6 \mid 2)\) und \((2 \mid 6)\). Möglich sind \(Q(6 \mid 2),\,S(2 \mid 6)\) oder \(Q(2 \mid 6),\,S(6 \mid 2)\).

- Skizziere einen Drachen und zeichne die Symmetrieachse ein. - Was passiert mit einer Strecke, die senkrecht von einer Symmetrieachse geschnitten wird? - Warum wäre es eine Raute, wenn beide Diagonalen halbiert würden?

1. Ein Drachenviereck besitzt eine Symmetrieachse, die durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte verläuft. Diese Achse ist identisch mit einer der Diagonalen (nennen wir sie \(e\)). 2. Die Eckpunkte der zweiten Diagonale (\(f\)) liegen symmetrisch zur Achse \(e\). Daher wird \(f\) von \(e\) im rechten Winkel geschnitten und genau in der Mitte geteilt. 3. Da das Viereck keine Raute ist, gibt es keine zweite Symmetrieachse senkrecht zu \(e\). Der Schnittpunkt der Diagonalen ist daher nicht die Mitte von \(e\). 4. Ergebnis: Die Diagonale auf der Symmetrieachse (\(e\)) halbiert die andere Diagonale (\(f\)), wird aber selbst nicht halbiert.

a) Die Symmetrieachse des Drachens halbiert die Strecke zwischen den beiden symmetrischen Eckpunkten (die zweite Diagonale). Da keine Punktsymmetrie vorliegt, wird die Diagonale auf der Achse selbst nicht halbiert. b) Die Diagonale auf der Symmetrieachse ist diejenige, die die andere Diagonale halbiert.

- Überlege bei jeder Konstruktion zuerst, welche Seite und welcher gegebene Winkel einen sinnvollen Start bilden. - Welche Bedingung an gegenüberliegende Seiten kennzeichnet ein Parallelogramm und lässt sich mit Parallelen herstellen? - Beim Drachenviereck sollen benachbarte Seiten paarweise gleich lang sein. Wie können Kreise diese Abstände festlegen?

1. Zeichne für das Parallelogramm \(AB = 5\,\text{cm}\). Trage in \(A\) den Winkel \(\alpha = 50^\circ\) ab und markiere auf diesem Strahl \(AD = 3\,\text{cm}\). Zeichne durch \(B\) eine Parallele zu \(AD\) und durch \(D\) eine Parallele zu \(AB\); ihr Schnittpunkt ist \(C\). 2. Zeichne für das Drachenviereck \(AB = 5\,\text{cm}\). Trage in \(B\) den Winkel \(\beta = 50^\circ\) ab und markiere auf diesem Strahl \(BC = 3\,\text{cm}\). Zeichne einen Kreis um \(A\) mit Radius \(5\,\text{cm}\) und einen Kreis um \(C\) mit Radius \(3\,\text{cm}\). Der zweite Schnittpunkt der Kreise neben \(B\) ist \(D\). Dann gilt \(AB = AD\) und \(BC = CD\). 3. Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen. Das Drachenviereck ist achsensymmetrisch zur Diagonalen \(AC\).

a) Zum Beispiel: \(AB = 5\,\text{cm}\), in \(A\) einen Winkel von \(50^\circ\) mit \(AD = 3\,\text{cm}\) abtragen und durch \(B\) bzw. \(D\) Parallelen zu \(AD\) bzw. \(AB\) zeichnen. b) Zum Beispiel: \(AB = 5\,\text{cm}\), in \(B\) einen Winkel von \(50^\circ\) mit \(BC = 3\,\text{cm}\) abtragen; der zweite Schnittpunkt der Kreise um \(A\) mit Radius \(5\,\text{cm}\) und um \(C\) mit Radius \(3\,\text{cm}\) ist \(D\). c) Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Diagonalenschnittpunkt. Das Drachenviereck ist achsensymmetrisch zur Diagonalen \(AC\).

- Wie hängen benachbarte Winkel in einem Parallelogramm zusammen? - Kannst du ein schiefes Parallelogramm so falten, dass es genau auf sich selbst liegt? - Welche Vierecke haben eine Symmetrieachse, aber kein Symmetriezentrum?

1. In einem Parallelogramm ergänzen sich benachbarte Innenwinkel zu \(180^\circ\). Durch die Achsensymmetrie sind die beiden Winkel an derselben Grundseite gleich groß. Zwei gleich große Winkel mit Summe \(180^\circ\) sind je \(90^\circ\). Das Viereck ist daher ein Rechteck. 2. Ein Parallelogramm, das weder Rechteck noch Raute ist, hat keine Symmetrieachse. Es besitzt nur ein Symmetriezentrum. 3. Ein Drachenviereck, das keine Raute ist, oder ein gleichschenkliges Trapez, das kein Rechteck ist, ist achsensymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch.

a) Es ist ein Rechteck. b) Es besitzt \(0\) Symmetrieachsen. c) Zum Beispiel ein gleichschenkliges Trapez, das kein Rechteck ist, oder ein Drachenviereck, das keine Raute ist.

- Übersetze die jeweilige Symmetrie zuerst in Gleichheiten zwischen Seiten. - Bei Punktsymmetrie werden gegenüberliegende Seiten aufeinander abgebildet. - Bei einer Spiegelachse werden die beiden Seiten, die Spiegelbilder voneinander sind, gleich lang. Nutze erst danach den Umfang.

1. Bei Punktsymmetrie sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Setze daher die Seitenlängen in der Reihenfolge \(x,2x,x,2x\). Aus \(6x=24\,\text{cm}\) folgt \(x=4\,\text{cm}\). Die Seiten sind \(4\,\text{cm},8\,\text{cm},4\,\text{cm},8\,\text{cm}\). 2. Bei Achsensymmetrie zu einer Diagonalen werden jeweils zwei benachbarte Seiten aufeinander gespiegelt. Ein Seitenpaar ist \(5\,\text{cm},5\,\text{cm}\); das andere hat die Länge \(x,x\). Aus \(10\,\text{cm}+2x=24\,\text{cm}\) folgt \(x=7\,\text{cm}\). 3. Beim gleichschenkligen Trapez werden die beiden Schenkel an der Symmetrieachse aufeinander gespiegelt und sind daher gleich lang. Für ihre Länge \(x\) gilt \(10\,\text{cm}+4\,\text{cm}+2x=24\,\text{cm}\). Somit ist \(x=5\,\text{cm}\).

a) Punktsymmetrie: gegenüberliegende Seiten sind gleich. Seitenlängen: \(4\,\text{cm},8\,\text{cm},4\,\text{cm},8\,\text{cm}\). b) Achsensymmetrie: die an der Achse gespiegelten benachbarten Seiten sind paarweise gleich. Seitenlängen: \(5\,\text{cm},5\,\text{cm},7\,\text{cm},7\,\text{cm}\). c) Achsensymmetrie: die beiden Schenkel sind gleich lang. Seitenlängen: \(10\,\text{cm},5\,\text{cm},4\,\text{cm},5\,\text{cm}\).

- Welche Größen bleiben bei einer Achsenspiegelung erhalten? - Was bedeutet es für eine Strecke, wenn eine Punktspiegelung ihre beiden Endpunkte vertauscht? - Wenn eine Diagonale Spiegelachse für die Endpunkte der anderen Diagonale ist, welche Mittelsenkrechten-Eigenschaft folgt?

1. Eine Spiegelung erhält Längen. Wenn eine Symmetrieachse die eine Diagonale auf die andere abbildet, müssen die beiden Diagonalen gleich lang sein. Das gilt sowohl im Rechteck als auch im gleichschenkligen Trapez. 2. Bei der Punktspiegelung am Symmetriezentrum werden die Endpunkte jeder Diagonale vertauscht. Das Zentrum ist deshalb Mittelpunkt beider Diagonalen; die Diagonalen halbieren sich gegenseitig. 3. Im Quadrat werden die Diagonalen durch Symmetrien aufeinander bezogen: Sie sind gleich lang und halbieren sich im Symmetriezentrum. Da jede Diagonale eine Spiegelachse ist, ist sie Mittelsenkrechte der anderen; die Diagonalen stehen daher senkrecht aufeinander.

a) Die Diagonalen sind gleich lang, weil die Spiegelung die eine Diagonale auf die andere abbildet und Längen erhält. b) Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig; ihr Schnittpunkt ist das Symmetriezentrum. c) Die Diagonalen sind gleich lang, halbieren einander und stehen senkrecht aufeinander.

- Welche Gerade ist hier die Symmetrieachse des Drachenvierecks? - Was folgt daraus für die Lage und die Halbierung der anderen Diagonale? - Wo muss der Schnittpunkt \(S\) auf \(\overline{AC}\) liegen?

1. Zeichne \(\overline{AC}\) mit \(8\,\text{cm}\) Länge und markiere darauf \(S\) mit \(\overline{AS}=2\,\text{cm}\). 2. Weil die Symmetrieachse durch \(A\) und \(C\) verläuft, steht \(\overline{BD}\) senkrecht auf \(\overline{AC}\) und wird in \(S\) halbiert. 3. Errichte in \(S\) die Senkrechte zu \(\overline{AC}\). Markiere darauf auf verschiedenen Seiten von \(S\) die Punkte \(B\) und \(D\), jeweils \(2\,\text{cm}\) von \(S\) entfernt. 4. Verbinde \(A,B,C,D\) der Reihe nach.

Zeichne \(\overline{AC}=8\,\text{cm}\) und markiere \(S\) mit \(\overline{AS}=2\,\text{cm}\). Errichte in \(S\) die Senkrechte zu \(\overline{AC}\). Trage darauf nach beiden Seiten je \(2\,\text{cm}\) ab und erhalte \(B\) und \(D\). Verbinde die vier Eckpunkte.

- Beginne nicht mit einer bekannten Diagonaleneigenschaft. Frage zuerst: Welche Eckpunkte vertauscht die Punktspiegelung am Mittelpunkt? - Was ist eine Spiegelachse für die Strecke zwischen einem Punkt und seinem Spiegelbild? - Nutze die beiden abgeleiteten Eigenschaften erst danach für die Konstruktion.

1. Bei der Punktspiegelung am Symmetriezentrum \(M\) werden \(A\) und \(C\) sowie \(B\) und \(D\) vertauscht. Deshalb gilt \(AM=CM\) und \(BM=DM\); \(M\) halbiert also beide Diagonalen. 2. Die Diagonale \(AC\) ist eine Symmetrieachse des Quadrats und vertauscht \(B\) und \(D\). Eine Spiegelachse ist die Mittelsenkrechte der Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. Daher gilt \(AC\perp BD\). 3. Zeichne \(AC=6\,\text{cm}\) und konstruiere den Mittelpunkt \(M\). Errichte in \(M\) die Senkrechte zu \(AC\). Weil auch \(BD=6\,\text{cm}\) und \(M\) die Diagonale halbiert, trägst du auf dieser Senkrechten auf entgegengesetzten Seiten von \(M\) jeweils \(3\,\text{cm}\) ab und erhältst \(B\) und \(D\). Verbinde die vier Eckpunkte.

a) Die Punktspiegelung an \(M\) vertauscht \(A\leftrightarrow C\) und \(B\leftrightarrow D\). Daher gilt \(AM=CM\) und \(BM=DM\); die Diagonalen halbieren sich in \(M\). b) Die Spiegelung an \(AC\) vertauscht \(B\) und \(D\). Deshalb ist \(AC\) die Mittelsenkrechte von \(BD\), also \(AC\perp BD\). c) \(AC=6\,\text{cm}\) zeichnen, Mittelpunkt \(M\) konstruieren, in \(M\) die Senkrechte errichten, darauf beidseits \(MB=MD=3\,\text{cm}\) abtragen und \(A,B,C,D\) verbinden.

- Welche Symmetrie vertauscht bei einem Parallelogramm gegenüberliegende Eckpunkte? - Liegt bei einem Drachenviereck eine Diagonale auf der Symmetrieachse oder wird sie auf die andere Diagonale gespiegelt? - Was gilt für eine Symmetrieachse, die die Endpunkte einer Strecke vertauscht?

1. a) Wahr. Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Diagonalenschnittpunkt. Die Punktspiegelung vertauscht gegenüberliegende Eckpunkte. Deshalb ist der Schnittpunkt Mittelpunkt beider Diagonalen. 2. b) Falsch. Bei einem Drachenviereck liegt eine Diagonale auf der Symmetrieachse; die andere wird von dieser Achse auf sich selbst gespiegelt. Daraus folgt nicht, dass beide Diagonalen gleich lang sind. Ein Drachenviereck, das keine Raute ist, kann unterschiedlich lange Diagonalen haben. 3. c) Wahr. Bei einer Raute ist jede Diagonale eine Symmetrieachse. Sie vertauscht die Endpunkte der anderen Diagonale und ist deshalb deren Mittelsenkrechte. Daher stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.

a) Wahr: Die Punktsymmetrie macht den Diagonalenschnittpunkt zum Mittelpunkt beider Diagonalen. b) Falsch: Ein Drachenviereck, das keine Raute ist, kann unterschiedlich lange Diagonalen haben. c) Wahr: Eine Diagonale ist Symmetrieachse und damit Mittelsenkrechte der anderen; deshalb stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.

- Welche Diagonale halbiert beim Drachenviereck sicher die andere? - Was gilt bei einer Raute zusätzlich für die beiden Diagonalen?

1. Beim Drachenviereck halbiert \(\overline{AC}\) die Diagonale \(\overline{BD}\) senkrecht. 2. Bei einer Raute halbieren sich beide Diagonalen gegenseitig. 3. Damit das Drachenviereck keine Raute ist, darf der Diagonalenschnittpunkt nicht auch der Mittelpunkt von \(\overline{AC}\) sein. Also darf \(\overline{BD}\) die Diagonale \(\overline{AC}\) nicht halbieren.

Beim Drachenviereck halbiert \(\overline{AC}\) die Diagonale \(\overline{BD}\). Bei einer Raute halbieren sich beide Diagonalen gegenseitig. Damit das Drachenviereck keine Raute ist, darf der Diagonalenschnittpunkt deshalb nicht der Mittelpunkt von \(\overline{AC}\) sein; \(\overline{BD}\) darf \(\overline{AC}\) nicht halbieren.

- Wo liegt das Zentrum einer Punktspiegelung zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt? - Nutze beide bekannten Punktpaare, um denselben Mittelpunkt zu finden. - Übertrage anschließend die gleiche Mittelpunktseigenschaft auf \(C\).

1. Bei einer Punktspiegelung ist das Symmetriezentrum jeweils der Mittelpunkt der Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. 2. Die Verbindungsstrecken \(AA'\) und \(BB'\) schneiden sich in ihrem gemeinsamen Mittelpunkt. Dieser Schnittpunkt ist das Symmetriezentrum \(S\). 3. Für \(C\) muss \(S\) ebenfalls der Mittelpunkt von \(CC'\) sein. 4. Von den Kandidaten liegt nur \(Y\) genau gegenüber von \(C\) bezüglich \(S\).

\(S\) ist der Schnittpunkt der Verbindungsstrecken \(AA'\) und \(BB'\); der Bildpunkt ist \(C' = Y\).

- Prüfe Achsensymmetrie und Punktsymmetrie für jede Figur getrennt. - Für Punktsymmetrie kannst du dir eine Drehung um \(180^\circ\) vorstellen. - Eine Figur kann mehrere Symmetrieachsen besitzen. Prüfe bei Figur c) auch die Diagonalen. - Für „keines“ musst du sowohl Achsen- als auch Punktsymmetrie ausschließen.

1. Figur a) besitzt genau eine senkrechte Symmetrieachse, aber kein Symmetriezentrum. 2. Figur b) geht bei einer Drehung um \(180^\circ\) um ihren Mittelpunkt in sich selbst über, besitzt aber keine Symmetrieachse. 3. Figur c) besitzt vier Symmetrieachsen: eine senkrechte, eine waagerechte und die beiden Diagonalen. Ihr gemeinsamer Schnittpunkt ist zugleich Symmetriezentrum. Die Figur ist daher achsen- und punktsymmetrisch. 4. Figur d) besitzt weder eine Symmetrieachse noch ein Symmetriezentrum.

a) achsensymmetrisch: eine senkrechte Symmetrieachse, kein Symmetriezentrum b) punktsymmetrisch: Symmetriezentrum im Mittelpunkt, keine Symmetrieachse c) beides: vier Symmetrieachsen und ein Symmetriezentrum im Mittelpunkt d) keines: weder Symmetrieachse noch Symmetriezentrum

- Suche nicht nach einer Symmetrieachse, sondern nach Punkt-Bildpunkt-Paaren mit demselben Mittelpunkt. - Welche drei Eckpunktpaare liegen sich bezüglich \(S\) gegenüber? - Was muss nach einer Veränderung eines Eckpunkts mit seinem Bildpunkt geschehen?

1. Bei einer Punktsymmetrie ist \(S\) jeweils der Mittelpunkt zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. 2. In der Abbildung liegen \(A,S,D\), \(B,S,E\) und \(C,S,F\) jeweils auf einer Geraden, und \(S\) halbiert die drei Verbindungsstrecken. Damit werden \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\) und \(C\leftrightarrow F\) durch die Punktspiegelung an \(S\) vertauscht. 3. Deshalb wird auch jede Seite des Sechsecks auf die gegenüberliegende Seite abgebildet; das Ornament ist punktsymmetrisch zu \(S\). 4. Wird nur \(B\) verschoben, während \(E\) fest bleibt, ist \(S\) im Allgemeinen nicht mehr Mittelpunkt von \(BE\). Die Punktsymmetrie geht verloren. Um sie zu erhalten, müsste \(E\) passend als Bildpunkt von \(B\) mitverschoben werden.

Das Ornament ist punktsymmetrisch zu \(S\), weil \(S\) Mittelpunkt der drei Punkt-Bildpunkt-Strecken \(AD\), \(BE\) und \(CF\) ist. Wird nur \(B\) verschoben und \(E\) bleibt fest, geht die Punktsymmetrie verloren; \(E\) müsste gleichzeitig als Bildpunkt von \(B\) angepasst werden.

- Senkrechte Diagonalen allein erzwingen noch kein Drachenviereck. Achte darauf, wo ihr Schnittpunkt auf beiden Diagonalen liegt. - Bei einer Achsensymmetrie werden die Endpunkte einer Diagonale an der anderen Diagonale gespiegelt. Was folgt daraus für ihren Schnittpunkt? - Überlege für die Raute, welche zusätzliche Halbierung am Diagonalenschnittpunkt nötig ist.

1. Eine mögliche Aufteilung ist \(AP = 2\,\text{cm}\), \(PC = 4\,\text{cm}\), \(PB = 1\,\text{cm}\) und \(PD = 3\,\text{cm}\). Damit gilt \(AC = 6\,\text{cm}\) und \(BD = 4\,\text{cm}\), aber \(P\) ist auf keiner der beiden Diagonalen der Mittelpunkt. 2. Zeichne \(AC = 6\,\text{cm}\), markiere \(P\) mit \(AP = 2\,\text{cm}\), errichte in \(P\) die Senkrechte zu \(AC\) und markiere darauf auf entgegengesetzten Seiten von \(P\) die Punkte \(B\) mit \(PB = 1\,\text{cm}\) und \(D\) mit \(PD = 3\,\text{cm}\). Verbinde die vier Eckpunkte. 3. Bei einem Drachenviereck mit senkrechten Diagonalen muss eine Diagonale die andere halbieren. Diese Diagonale ist dann die Mittelsenkrechte der anderen und bildet die Symmetrieachse. 4. Für eine Raute müssen sich beide Diagonalen gegenseitig halbieren. Dann besitzt das Viereck zusätzlich Punktsymmetrie zum Diagonalenschnittpunkt.

a) Zum Beispiel: \(AP = 2\,\text{cm}\), \(PC = 4\,\text{cm}\), \(PB = 1\,\text{cm}\), \(PD = 3\,\text{cm}\), wobei \(B\) und \(D\) auf entgegengesetzten Strahlen der Senkrechten durch \(P\) liegen. Man zeichnet zuerst \(AC\), markiert \(P\), errichtet dort die Senkrechte und trägt darauf \(PB\) und \(PD\) ab. b) Eine Diagonale muss die andere halbieren; sie ist dann deren Mittelsenkrechte und Symmetrieachse. c) Beide Diagonalen müssen sich gegenseitig halbieren.

- Prüfe in a) die Seitenbedingungen beider Vierecksarten gleichzeitig. - Welche Trapez-Definition gilt in b)? - Welche Symmetrie des Quadrats passt dazu?

1. Damit ein Rechteck auch ein Drachenviereck ist, müssen benachbarte Seiten gleich lang sein. Dann sind alle vier Seiten gleich lang. Das Rechteck ist ein Quadrat. 2. Ein Quadrat hat zwei Paare paralleler Seiten und erfüllt damit die Trapezbedingung. 3. Außerdem ist es achsensymmetrisch zu den Geraden durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. Damit erfüllt es auch die Symmetrieeigenschaft eines gleichschenkligen Trapezes.

a) Benachbarte Seiten müssen gleich lang sein. Da in einem Rechteck gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, sind dann alle vier Seiten gleich lang. Es entsteht ein Quadrat. b) Ein Quadrat hat mindestens ein Paar paralleler Seiten und ist achsensymmetrisch zu einer Geraden durch die Mittelpunkte dieses Seitenpaars. Daher kann es hier als besonderes gleichschenkliges Trapez gelten.

- Welche Anordnungen der gleichen Längen führen zu verschiedenen Vierecken? - Welche Seiten müssten bei einem gleichschenkligen Trapez gleich lang sein? - Prüfe danach die Symmetrien deiner gefundenen Vierecke.

1. Werden die gleich langen Stäbe jeweils gegenüber angeordnet, also \(4,8,4,8\), kann ein Parallelogramm entstehen. Mit schiefen Winkeln erhält man ein allgemeines Parallelogramm; mit rechten Winkeln ein Rechteck. 2. Werden die gleich langen Stäbe jeweils nebeneinander angeordnet, also \(4,4,8,8\), kann ein Drachenviereck entstehen. 3. Ein gleichschenkliges Trapez braucht zwei gleich lange Schenkel. Sind die beiden \(4\,\text{cm}\)-Stäbe die Schenkel, bleiben zwei gleich lange Grundseiten von je \(8\,\text{cm}\); dann entsteht ein Parallelogramm. Sind die beiden \(8\,\text{cm}\)-Stäbe die Schenkel, gilt dasselbe mit den beiden \(4\,\text{cm}\)-Stäben als Grundseiten. Unterschiedlich lange parallele Grundseiten lassen sich daher nicht mit zwei gleich langen Schenkeln kombinieren. 4. Ein allgemeines Parallelogramm, das weder Rechteck noch Raute ist, hat keine Symmetrieachse. Ein Rechteck hat zwei Symmetrieachsen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. Ein Drachenviereck hat eine Symmetrieachse durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte.

a) Allgemeines Parallelogramm, Rechteck und Drachenviereck. b) Bei gleich langen Schenkeln bleiben immer zwei gleich lange Grundseiten übrig. Dann entsteht ein Parallelogramm und kein gleichschenkliges Trapez, das kein Parallelogramm ist. c) Allgemeines Parallelogramm: keine Symmetrieachse. Rechteck: zwei Symmetrieachsen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. Drachenviereck: eine Symmetrieachse durch die beiden Eckpunkte, an denen die gleich langen Seiten zusammentreffen.

- Was gilt für die Diagonalen eines Quadrats? - Welche Teildreiecke werden durch eine Spiegelung an einer Symmetrieachse aufeinander abgebildet? - Was bedeutet eine solche Spiegelung für die Lage der zugehörigen Inkreismittelpunkte?

1. Die Diagonalen eines Quadrats sind gleich lang, halbieren sich und stehen senkrecht aufeinander. Deshalb gilt \(AS=BS=CS=DS\), und jeder Winkel bei \(S\) ist \(90^\circ\). Die vier Teildreiecke sind also gleichschenklig und rechtwinklig. 2. Jede Symmetrieachse des Quadrats bildet die Teildreiecke paarweise aufeinander ab. Dabei wird auch der jeweilige Inkreismittelpunkt auf den Inkreismittelpunkt des gespiegelten Dreiecks abgebildet. 3. Die vier Punkte \(M_1,M_2,M_3,M_4\) besitzen dadurch dieselben vier Symmetrieachsen wie die entsprechende Anordnung im Quadrat: die beiden Diagonalen und die beiden Geraden durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. Ein Viereck mit diesen vier Symmetrieachsen ist ein Quadrat. 4. Die Spiegelung an \(AC\) bildet das Dreieck \(ABS\) auf \(DAS\) ab. Daher wird \(M_1\) auf \(M_4\) abgebildet.

a) Die Teildreiecke sind gleichschenklig und rechtwinklig. b) \(M_1M_2M_3M_4\) ist ein Quadrat. Die Symmetrieachsen des großen Quadrats bilden die vier Teildreiecke und damit ihre Inkreismittelpunkte entsprechend aufeinander ab. c) \(M_1\) wird auf \(M_4\) abgebildet.

- Beginne mit den Punkten \(P\) und \(R\): Welche Rolle spielt \(Z\) für diese beiden Punkte? - Prüfe danach, ob \(Q\) und \(S\) ebenfalls ein Punkt-Bildpunkt-Paar sein können.

1. Wegen \(PZ=ZR\) und der geraden Linie \(P-Z-R\) ist \(R\) das Bild von \(P\) bei der Punktspiegelung an \(Z\). 2. Angenommen, \(PQ\parallel RS\). Eine Punktspiegelung bildet die Gerade \(PQ\) auf eine zu ihr parallele Gerade durch \(R\) ab. Diese müsste dann \(RS\) sein. 3. Die Gerade \(QS\) geht durch das Spiegelzentrum \(Z\) und wird auf sich selbst abgebildet. Das Bild von \(Q\) müsste daher der Schnittpunkt von \(QS\) und \(RS\), also \(S\), sein. 4. Dann müsste \(QZ=ZS\) gelten. Das widerspricht \(QZ\ne ZS\). Also sind \(PQ\) und \(RS\) nicht parallel.

Nein. Wären \(PQ\) und \(RS\) parallel, müsste die Punktspiegelung an \(Z\) den Punkt \(Q\) auf \(S\) abbilden. Dann wäre \(QZ=ZS\), im Widerspruch zur Voraussetzung.

- Was passiert mit einer Geraden bei einer Punktspiegelung? - Welche Seite liegt nach dem Zusammenfügen im Inneren und gehört nicht zum Rand? - Welche Randseiten werden bei der Punktspiegelung aufeinander abgebildet?

1. Eine Punktspiegelung am Punkt \(Z\) bildet jede Gerade auf eine parallele Gerade ab. 2. Die beiden Vierecke werden durch die Punktspiegelung an \(Z\) aufeinander abgebildet. 3. Die gemeinsame Seite liegt im Inneren der Gesamtfigur. Je drei andere Seiten der beiden Vierecke bilden den Rand des Sechsecks. 4. Jede Randseite des einen Vierecks wird auf eine gegenüberliegende Randseite des anderen Vierecks abgebildet. Diese beiden Seiten liegen daher auf parallelen Geraden. 5. So entstehen drei Paare gegenüberliegender paralleler Seiten.

Das Sechseck hat drei Paare gegenüberliegender paralleler Seiten. Jede Randseite des einen Vierecks wird bei der Punktspiegelung an \(Z\) auf die gegenüberliegende, parallele Randseite abgebildet.