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Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

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Schwierigkeit: 1 – 5

5515827

Die Punkte \(A\) und \(B\) sind gegeben. Gesucht sind alle Punkte \(P\), für die \(PA = PB\) gilt. Auf welcher Geraden liegen diese Punkte?

Denkanstöße

- Welche Gerade beschreibt die Symmetrie zwischen den Punkten \(A\) und \(B\)? - Denke an eine Gerade, deren Punkte zu beiden Endpunkten einer Strecke denselben Abstand haben.

Lösung

1. Gesucht sind Punkte, die von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt sind. 2. Genau diese Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten der Strecke \(AB\).

Antwort

Die Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten der Strecke \(AB\).

5530167

Welche der drei Geraden \(g\), \(h\) oder \(k\) ist die Mittelsenkrechte der Strecke \(AB\)? Begründe mit den beiden Bestandteilen des Begriffs „Mittelsenkrechte“.

Abbildung zur Aufgabe 553016

Denkanstöße

- Zerlege das Wort „Mittelsenkrechte“ in zwei Bedingungen. - Welche Gerade trifft \(AB\) genau in der Mitte? - Welche der Kandidaten steht dort zugleich senkrecht auf \(AB\)?

Lösung

1. Eine Mittelsenkrechte muss durch den Mittelpunkt einer Strecke verlaufen. 2. Außerdem muss sie senkrecht auf der Strecke stehen. 3. Nur \(g\) verläuft durch den Mittelpunkt von \(AB\) und steht senkrecht auf \(AB\).

Antwort

\(g\), denn \(g\) verläuft durch den Mittelpunkt von \([AB]\) und steht senkrecht auf \(AB\). Nur damit sind beide Bestandteile der Mittelsenkrechten erfüllt.

5530177

In drei Skizzen wird derselbe Winkel von \(80^\circ\) durch einen Strahl \(w\) geteilt. Die beiden Teilwinkel sind jeweils angegeben. In welcher Skizze ist \(w\) eine Winkelhalbierende? Begründe mit der Definition der Winkelhalbierenden.

Abbildung zur Aufgabe 553017

Denkanstöße

- Formuliere zuerst ohne Blick auf die Zahlen, was „Winkelhalbierende“ bedeutet. - Vergleiche danach in jeder Skizze die beiden Teilwinkel. - Entscheidend ist Gleichheit der Winkelgrößen, nicht die Lage des Strahls im Bild.

Lösung

1. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Teilwinkel. 2. In a) sind die Teilwinkel \(30^\circ\) und \(50^\circ\); sie sind nicht gleich. 3. In b) sind beide Teilwinkel \(40^\circ\); sie sind gleich. Daher ist \(w\) dort Winkelhalbierende. 4. In c) sind die Teilwinkel \(45^\circ\) und \(35^\circ\); sie sind nicht gleich.

Antwort

Skizze b). Eine Winkelhalbierende erzeugt zwei gleich große Teilwinkel; nur in b) gilt \(40^\circ=40^\circ\).

5530187

Der Punkt \(P\) liegt auf der Mittelsenkrechten \(m\) der Strecke \(AB\). Bestimme \(PB\) mithilfe der Längenangabe in der Abbildung und begründe ohne nachzumessen.

Abbildung zur Aufgabe 553018

Denkanstöße

- Welche Abstandseigenschaft haben alle Punkte auf der Mittelsenkrechten von \(AB\)? - Welche der beiden Entfernungen ist in der Abbildung angegeben?

Lösung

1. Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke hat von deren Endpunkten den gleichen Abstand. 2. Weil \(P\) auf der Mittelsenkrechten von \(AB\) liegt, gilt \(PA = PB\). 3. Aus der Abbildung liest man \(PA = 5\,\text{cm}\) ab. Daher ist \(PB = 5\,\text{cm}\).

Antwort

\(PB = 5\,\text{cm}\), weil für Punkte auf der Mittelsenkrechten \(PA = PB\) gilt.

5554057

Welche Strecke in der Abbildung ist das Lot von \(P\) auf die Gerade \(g\), und welcher Punkt ist der Lotfuß? Begründe mit der Kennzeichnung in der Figur.

Abbildung zur Aufgabe 555405

Denkanstöße

- Was bedeutet „Lot“ geometrisch? - Welche Markierung zeigt einen rechten Winkel?

Lösung

1. Ein Lot auf eine Gerade steht senkrecht auf dieser Geraden. 2. Die Rechtwinkligkeitsmarkierung zeigt, dass \(PH\) senkrecht auf \(g\) steht. 3. Daher ist \(PH\) das Lot und \(H\) der Lotfuß.

Antwort

\(PH\) ist das Lot auf \(g\); \(H\) ist der Lotfuß, weil \(PH\perp g\) gilt.

5554067

Nutze die Abbildung. Welche gemeinsame Abstandseigenschaft haben alle Punkte des Kreises \(k\)? Formuliere die Eigenschaft mit dem Mittelpunkt \(M\).

Abbildung zur Aufgabe 555406

Denkanstöße

- Welche Rolle hat die eingezeichnete Strecke vom Mittelpunkt zum Kreis? - Was ist bei allen Radien desselben Kreises gleich?

Lösung

1. Der Kreis \(k\) hat den Mittelpunkt \(M\). 2. Die eingezeichnete Radiusstrecke zeigt, dass der Radius \(3\,\text{cm}\) beträgt. 3. Nach der Kreisdefinition haben alle Punkte auf \(k\) genau diesen Abstand von \(M\).

Antwort

Jeder Punkt auf \(k\) hat von \(M\) den Abstand \(3\,\text{cm}\).

5554077

Die beiden gestrichelten Kreise wurden mit demselben Zirkelradius um \(A\) und \(B\) geschlagen. Ihre Schnittpunkte heißen \(X\) und \(Y\). Warum ist die Gerade \(m=XY\) die Mittelsenkrechte der Strecke \(AB\)? Nenne die entscheidende Eigenschaft von \(X\) und \(Y\).

Abbildung zur Aufgabe 555407

Denkanstöße

- Was bedeutet es für einen Schnittpunkt, auf beiden Kreisen zu liegen? - Vergleiche die Abstände von \(X\) zu \(A\) und \(B\), danach die von \(Y\). - Welche Ortslinie besteht aus allen Punkten mit gleichem Abstand von \(A\) und \(B\)?

Lösung

1. Weil beide Kreise denselben Radius haben, gilt für den Schnittpunkt \(X\): \(XA=XB\). 2. Ebenso gilt für \(Y\): \(YA=YB\). 3. Jeder Punkt, der von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt ist, liegt auf der Mittelsenkrechten von \(AB\). 4. Da zwei verschiedene Punkte \(X\) und \(Y\) diese Eigenschaft haben, ist die durch sie bestimmte Gerade \(m\) die Mittelsenkrechte von \(AB\).

Antwort

Es gilt \(XA=XB\) und \(YA=YB\). Daher liegen \(X\) und \(Y\) auf der Mittelsenkrechten von \(AB\); die Gerade \(m=XY\) ist somit diese Mittelsenkrechte.

4128147

Eine Strecke \(\overline{AB}\) ist \(7{,}6\,\text{cm}\) lang. a) Beschreibe, wie du die Mittelsenkrechte dieser Strecke ausschließlich mit Zirkel und Lineal konstruierst. b) Gib die Länge der beiden Teilstrecken an, in die die Mittelsenkrechte \(\overline{AB}\) teilt. c) Welche besondere Eigenschaft haben alle Punkte auf der Mittelsenkrechten in Bezug auf die Endpunkte \(A\) und \(B\)?

Denkanstöße

- Die beiden Kreisbögen müssen sich auf beiden Seiten der Strecke schneiden. Was bedeutet das für die Zirkelöffnung? - Welche Beziehung haben die beiden Kreisschnittpunkte jeweils zu \(A\) und \(B\)? - Welche zwei Eigenschaften stecken bereits im Wort „Mittelsenkrechte“?

Lösung

1. Wähle eine Zirkelöffnung, die größer als die Hälfte von \(AB\) ist. Schlage mit derselben Öffnung um \(A\) und um \(B\) je Kreisbögen oberhalb und unterhalb der Strecke. 2. Verbinde die beiden Schnittpunkte der Kreisbögen mit dem Lineal. Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte von \(AB\). 3. Die Mittelsenkrechte halbiert \(AB\). Daher ist jede Teilstrecke \(7{,}6\,\text{cm} : 2 = 3{,}8\,\text{cm}\) lang. 4. Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten hat zu \(A\) und \(B\) denselben Abstand.

Antwort

a) Mit gleicher Zirkelöffnung größer als der halben Streckenlänge um \(A\) und \(B\) Kreisbögen auf beiden Seiten von \(AB\) schlagen; die Gerade durch die beiden Schnittpunkte ist die Mittelsenkrechte. b) Je \(3{,}8\,\text{cm}\) c) Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten ist von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt.

4314487

Die Gerade \(w\) ist die Winkelhalbierende des Gesamtwinkels \(\beta\) zwischen den beiden Geraden \(g\) und \(h\). Bestimme \(\alpha\) und \(\beta\). Begründe deine Werte ausdrücklich mit der Eigenschaft einer Winkelhalbierenden und der Zusammensetzung des Gesamtwinkels; eine Messung der Zeichnung reicht nicht.

Abbildung zur Aufgabe 431448

Denkanstöße

- Was ist die wichtigste Eigenschaft einer Winkelhalbierenden? - Wenn eine Linie einen Winkel halbiert, in welchem Verhältnis stehen dann die beiden kleineren Winkel zueinander? - Wie kannst du aus den beiden Teilwinkeln den gesamten Winkel zusammensetzen?

Lösung

1. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei exakt gleich große Teilwinkel. 2. Da die Gerade \(w\) die Winkelhalbierende von \(\beta\) ist, ist der Teilwinkel \(\alpha\) zwischen \(w\) und \(h\) genauso groß wie der gegebene Teilwinkel zwischen \(g\) und \(w\). Daher gilt: \(\alpha = 28^\circ\). 3. Der Gesamtwinkel \(\beta\) ist die Summe der beiden Teilwinkel: \(\beta = 28^\circ + \alpha = 28^\circ + 28^\circ = 56^\circ\).

Antwort

Winkelhalbierende: \(\alpha=28^\circ\). Daher ist der Gesamtwinkel \(\beta=28^\circ+28^\circ=56^\circ\).

4315307

Die Abbildung zeigt die Gerade \(g\) und zwei Strahlen mit gemeinsamem Scheitelpunkt auf \(g\). Der orangefarbene Strahl \(w\) ist die Winkelhalbierende des Winkels zwischen dem rechten Strahl von \(g\) und dem Strahl \(s\). Einer der beiden Teilwinkel ist in der Abbildung gegeben. a) Bestimme \(\alpha\) und begründe den Wert mit der Winkelhalbierenden. b) Berechne \(\beta\) und gib die zugehörige Nebenwinkelrechnung an. Eine Messung der Zeichnung reicht nicht.

Abbildung zur Aufgabe 431530

Denkanstöße

- Was bedeutet es, wenn ein Strahl die Winkelhalbierende eines Winkels ist? - Wie verhalten sich die beiden Winkel, die durch eine Winkelhalbierende entstehen, zueinander? - Welche Beziehung besteht zwischen Winkeln, die zusammen eine gerade Linie bilden? - Versuche, zuerst den gesamten Winkel zwischen dem Strahl und der Geraden zu bestimmen.

Lösung

1. Da der Strahl \(w\) die Winkelhalbierende des Winkels zwischen dem nach rechts verlaufenden Strahl der Geraden \(g\) und dem Strahl \(s\) ist, teilt er diesen Winkel in zwei exakt gleich große Teile. 2. Da der obere Teilwinkel mit \(55^\circ\) gegeben ist, muss der andere Teilwinkel \(\alpha\) genau dieselbe Größe besitzen. Es gilt also: \(\alpha = 55^\circ\). 3. Der gesamte Winkel zwischen dem nach rechts verlaufenden Strahl der Geraden \(g\) und dem Strahl \(s\) ist die Summe der beiden Teilwinkel: \(55^\circ + 55^\circ = 110^\circ\). 4. Da die Gerade \(g\) eine gerade Linie bildet, ergänzen sich dieser Gesamtwinkel von \(110^\circ\) und der Winkel \(\beta\) zu einem gestreckten Winkel von \(180^\circ\) (Nebenwinkel). 5. Daraus berechnet sich \(\beta\) wie folgt: \(\beta = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).

Antwort

a) Weil \(w\) die Winkelhalbierende ist, gilt \(\alpha=55^\circ\). b) Der Winkel zwischen dem rechten Strahl von \(g\) und \(s\) ist \(55^\circ+55^\circ=110^\circ\). Als Nebenwinkel gilt \(\beta=180^\circ-110^\circ=70^\circ\).

4331247

Auf der Geraden \(g\) liegt der Punkt \(O\). In der nicht maßstabsgetreuen Abbildung ist der Winkel zwischen \(m\) und dem linken Strahl von \(g\) angegeben. Die Bogenmarkierungen zeigen, dass \(k\) den Winkel zwischen \(m\) und dem rechten Strahl von \(g\) halbiert. Berechne den Winkel zwischen \(k\) und dem linken Strahl von \(g\).

Abbildung zur Aufgabe 433124

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Nebenwinkel zu \(126^\circ\). - Halbiere anschließend diesen Winkel. - Ergänze den erhaltenen Winkel auf \(180^\circ\).

Lösung

1. Der Winkel zwischen \(m\) und dem rechten Strahl der Geraden ist der Nebenwinkel zu \(126^\circ\): \(180^\circ-126^\circ=54^\circ\). 2. Da \(k\) diesen Winkel halbiert, entstehen zwei Winkel von \(54^\circ:2=27^\circ\). 3. Der gesuchte Winkel zwischen \(k\) und dem linken Strahl der Geraden beträgt \(180^\circ-27^\circ=153^\circ\).

Antwort

Der gesuchte Winkel beträgt \(153^\circ\).

4367447

Nutze die Markierungen und die gestrichelte Gerade in der Abbildung. Erkläre mithilfe der Eigenschaften der Mittelsenkrechten, warum \(\triangle ABC\) gleichschenklig sein muss.

Abbildung zur Aufgabe 436744

Denkanstöße

- Welche zwei Bedingungen zeigen die Strecken- und Winkelmarkierungen bei \(M\)? - Welche besondere Gerade zu \(AB\) ist damit dargestellt? - Welche Abstandseigenschaft hat jeder Punkt auf dieser Geraden zu \(A\) und \(B\)?

Lösung

1. Die gleichen Strichmarkierungen zeigen \(AM = MB\). Der markierte rechte Winkel zeigt, dass die gestrichelte Gerade durch \(M\) senkrecht auf \(AB\) steht. 2. Damit ist die gestrichelte Gerade die Mittelsenkrechte von \(AB\). Der Punkt \(C\) liegt auf dieser Geraden. 3. Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke hat zu deren Endpunkten denselben Abstand. Deshalb gilt \(CA = CB\). 4. Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten ist gleichschenklig. Also ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

Antwort

Aus den Markierungen folgt, dass die gestrichelte Gerade die Mittelsenkrechte von \(AB\) ist und \(C\) auf ihr liegt. Daher gilt \(CA = CB\). Somit ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

4371407

Zwei Nebenwinkel \(\alpha\) und \(\beta\) liegen an einer Geraden. Der Winkel \(\alpha\) ist \(124^\circ\) groß. Bestimme die Größe des Winkels \(\delta\) zwischen den beiden Winkelhalbierenden \(w_\alpha\) und \(w_\beta\).

Denkanstöße

- Welche Summe haben die beiden Nebenwinkel? - Welche Wirkung hat eine Winkelhalbierende auf jeden der beiden Winkel? - Aus welchen beiden halben Winkeln setzt sich \(\delta\) zusammen?

Lösung

1. Da \(\alpha\) und \(\beta\) Nebenwinkel sind, gilt \(\beta = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ\). 2. Die Winkelhalbierende \(w_\alpha\) erzeugt einen Teilwinkel von \(124^\circ : 2 = 62^\circ\); \(w_\beta\) erzeugt einen Teilwinkel von \(56^\circ : 2 = 28^\circ\). 3. Der Winkel zwischen den beiden Winkelhalbierenden ist \(\delta = 62^\circ + 28^\circ = 90^\circ\).

Antwort

Der Winkel zwischen den beiden Winkelhalbierenden beträgt \(90^\circ\).

4371417

Ein Strahl \(s\) teilt einen gestreckten Winkel in zwei Nebenwinkel \(\alpha\) und \(\beta\). Die Winkelhalbierende \(w_\alpha\) bildet mit dem Strahl \(s\) einen Winkel von \(37^\circ\). Berechne \(\alpha\), \(\beta\) und den Winkel zwischen \(s\) und der Winkelhalbierenden \(w_\beta\).

Denkanstöße

- Wie erhältst du aus einem halben Winkel den ganzen Winkel? - Welche Summe haben zwei Nebenwinkel? - Was macht die zweite Winkelhalbierende mit \(\beta\)?

Lösung

1. Da \(w_\alpha\) den Winkel \(\alpha\) halbiert, ist \(\alpha = 2 \cdot 37^\circ = 74^\circ\). 2. Wegen \(\alpha + \beta = 180^\circ\) ist \(\beta = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ\). 3. Die Winkelhalbierende \(w_\beta\) teilt \(\beta\) in zwei gleiche Teile. Der gesuchte Winkel ist \(106^\circ : 2 = 53^\circ\).

Antwort

\(\alpha = 74^\circ\), \(\beta = 106^\circ\); der Winkel zwischen \(s\) und \(w_\beta\) beträgt \(53^\circ\).

5515657

Gegeben ist das Dreieck \(ABC\) in der Abbildung. a) Beschreibe, wie du mit zwei Mittelsenkrechten den Punkt \(M\) bestimmst, der von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt ist. b) Begründe \(MA=MB=MC\) und gib an, wie daraus der Umkreis von \(ABC\) entsteht. c) Erkläre, warum auch die Mittelsenkrechte von \(AC\) durch \(M\) verlaufen muss.

Abbildung zur Aufgabe 551565

Denkanstöße

- Welche Abstandseigenschaft haben alle Punkte einer Mittelsenkrechten? - Welche zwei Abstandsgleichheiten erhältst du aus den ersten beiden Mittelsenkrechten? - Welche dieser Gleichheiten zeigt anschließend die Lage auf der dritten Mittelsenkrechten?

Lösung

1. Konstruiere die Mittelsenkrechten von \(AB\) und \(BC\). Ihr Schnittpunkt ist \(M\). 2. Weil \(M\) auf der Mittelsenkrechten von \(AB\) liegt, gilt \(MA=MB\). Weil \(M\) zugleich auf der Mittelsenkrechten von \(BC\) liegt, gilt \(MB=MC\). 3. Damit ist \(MA=MB=MC\). Ein Kreis mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(MA\) verläuft deshalb durch \(A\), \(B\) und \(C\); er ist der Umkreis. 4. Aus \(MA=MC\) folgt, dass \(M\) auch auf der Mittelsenkrechten von \(AC\) liegt.

Antwort

a) Konstruiere die Mittelsenkrechten von \(AB\) und \(BC\); ihr Schnittpunkt ist \(M\). b) Es gilt \(MA=MB=MC\). Der Kreis um \(M\) mit Radius \(MA\) ist daher der Umkreis. c) Wegen \(MA=MC\) liegt \(M\) auch auf der Mittelsenkrechten von \(AC\).

5530197

Noura möchte die Mittelsenkrechte von \(AB\) konstruieren. Sie zeichnet die beiden Kreise wie in der Abbildung; deren Schnittpunkte sind \(X\) und \(Y\). Anschließend verbindet sie \(X\) und \(Y\). Ist die Gerade \(XY\) die Mittelsenkrechte von \(AB\)? Begründe mithilfe der eingezeichneten Radien.

Abbildung zur Aufgabe 553019

Denkanstöße

- Welche Abstandseigenschaft muss jeder Punkt der Mittelsenkrechten erfüllen? - Vergleiche in der Abbildung die beiden Abstände von \(X\) zu den Endpunkten \(A\) und \(B\). - Prüfe die Konstruktion anhand der Definition, nicht nur daran, dass sich zwei Kreise schneiden.

Lösung

1. Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten von \(AB\) muss von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt sein. 2. Aus der Abbildung liest man für den Schnittpunkt \(X\) die Abstände \(XA = 3\,\text{cm}\) und \(XB = 4\,\text{cm}\) ab. 3. Damit ist \(X\) nicht gleich weit von \(A\) und \(B\) entfernt und kann nicht auf der Mittelsenkrechten liegen. Dasselbe gilt für \(Y\). 4. Also ist \(XY\) nicht die Mittelsenkrechte von \(AB\). Bei der üblichen Konstruktion müssen die Kreisbögen um \(A\) und \(B\) mit derselben Zirkelöffnung geschlagen werden.

Antwort

Nein. Die Abbildung zeigt unterschiedliche Radien, also gilt für die Kreisschnittpunkte nicht \(XA = XB\) beziehungsweise \(YA = YB\). Daher ist \(XY\) nicht die Mittelsenkrechte von \(AB\).

5530207

In der Abbildung tragen die Strecken \(QA\) und \(QB\) dieselbe Längenmarkierung. Was kannst du über die Lage von \(Q\) bezüglich der Strecke \(AB\) sicher sagen? Begründe mit dem Kehrsatz zur Mittelsenkrechten.

Abbildung zur Aufgabe 553020

Denkanstöße

- Die Aufgabe fragt nach der Umkehrung einer bekannten Abstandseigenschaft. - Welche Ortslinie enthält genau die Punkte, die von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt sind? - Formuliere deine Folgerung als Aussage über die Lage von \(Q\).

Lösung

1. Für die Mittelsenkrechte gilt auch die Umkehrung der Abstandseigenschaft. 2. Ist ein Punkt von den Endpunkten \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt, dann liegt er auf der Mittelsenkrechten von \(AB\). 3. Aus \(QA = QB\) folgt deshalb, dass \(Q\) auf der Mittelsenkrechten von \(AB\) liegt.

Antwort

Aus \(QA=QB\) folgt nach dem Kehrsatz zur Mittelsenkrechten: Jeder Punkt, der von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt ist, liegt auf der Mittelsenkrechten von \([AB]\). Daher liegt \(Q\) auf dieser Mittelsenkrechten.

5530217

Die folgenden vier Arbeitsschritte gehören zu einer Zirkel-und-Lineal-Konstruktion der Winkelhalbierenden eines Winkels mit Scheitel \(S\). Ordne sie in die richtige Reihenfolge. A: Verbinde \(S\) mit dem Schnittpunkt der beiden zuletzt gezeichneten Kreisbögen. B: Zeichne mit Mittelpunkt \(S\) einen Kreisbogen, der beide Schenkel des Winkels schneidet. C: Zeichne von den beiden Schnittpunkten auf den Schenkeln aus Kreisbögen mit gleichem Radius, sodass sie sich im Winkelinneren schneiden. D: Markiere die beiden Schnittpunkte des ersten Kreisbogens mit den Winkelschenkeln.

Denkanstöße

- Welche Punkte müssen vorhanden sein, bevor du von ihnen aus weitere Kreisbögen zeichnen kannst? - Die letzte Gerade muss durch den Scheitel \(S\) und einen erst später entstehenden Hilfspunkt verlaufen. - Prüfe bei deiner Reihenfolge, ob jeder Schritt nur bereits konstruierte Punkte verwendet.

Lösung

1. Zuerst muss ein Kreisbogen um \(S\) beide Schenkel treffen: Schritt B. 2. Danach werden diese beiden Schnittpunkte markiert: Schritt D. 3. Von ihnen aus zeichnet man mit gleichem Radius zwei sich schneidende Kreisbögen: Schritt C. 4. Schließlich verbindet man deren Schnittpunkt mit \(S\): Schritt A. Diese Gerade ist die Winkelhalbierende.

Antwort

B – D – C – A

5530227

Im Bild behauptet Tarek, der Strahl \(w\) sei die Winkelhalbierende. Hat Tarek recht? Begründe exakt.

Abbildung zur Aufgabe 553022

Denkanstöße

- Welche Gleichheitsbedingung definiert eine Winkelhalbierende? - Lies die beiden Teilwinkel aus der Abbildung ab und vergleiche sie. - „Fast gleich“ genügt bei einer geometrischen Definition nicht.

Lösung

1. Eine Winkelhalbierende muss den gegebenen Winkel in zwei gleich große Teilwinkel zerlegen. 2. Im Bild sind die beiden Teilwinkel mit \(32^\circ\) und \(31^\circ\) markiert. 3. Da \(32^\circ \ne 31^\circ\), sind die Teilwinkel nicht gleich groß. 4. Somit ist \(w\) keine Winkelhalbierende.

Antwort

Nein. \(w\) ist keine Winkelhalbierende, weil die beiden markierten Teilwinkel verschieden groß sind.

5530267

Gegeben sind die Gerade \(g\) und der Punkt \(P\) außerhalb von \(g\). Beschreibe eine Zirkel-und-Lineal-Konstruktion des Lots von \(P\) auf \(g\). Nenne den Lotfußpunkt \(F\) und formuliere die Konstruktionsschritte so, dass sie eindeutig nachvollziehbar sind.

Abbildung zur Aufgabe 553026

Denkanstöße

- Wie kannst du auf \(g\) zwei Punkte erzeugen, die von \(P\) gleich weit entfernt sind? - Welche bekannte Konstruktion liefert eine Gerade, die senkrecht auf der Verbindungsstrecke zweier Punkte steht? - Überlege, warum diese konstruierte Gerade durch \(P\) gehen muss.

Lösung

1. Zeichne um \(P\) einen Kreis mit so großem Radius, dass er die Gerade \(g\) in zwei Punkten \(A\) und \(B\) schneidet. 2. Dann gilt \(PA = PB\), also liegt \(P\) auf der Mittelsenkrechten von \(AB\). 3. Konstruiere die Mittelsenkrechte von \(AB\), zum Beispiel mit gleich großen Kreisbögen um \(A\) und \(B\). 4. Diese Mittelsenkrechte verläuft durch \(P\) und steht senkrecht auf \(g\). 5. Ihr Schnittpunkt mit \(g\) ist der Lotfußpunkt \(F\).

Antwort

Zeichne einen Kreis um \(P\), der \(g\) in \(A\) und \(B\) schneidet. Konstruiere dann die Mittelsenkrechte von \(AB\). Sie verläuft durch \(P\) und steht senkrecht auf \(g\); ihr Schnittpunkt mit \(g\) ist der Lotfußpunkt \(F\).

5554087

Die Gerade \(g\) stellt einen geraden Weg dar. Bestimme mithilfe der Abbildung den Abstand des Punkts \(P\) vom Weg und erkläre, warum die Strecke \(PQ\) diesen Abstand nicht angibt.

Abbildung zur Aufgabe 555408

Denkanstöße

- Wie ist der Abstand eines Punkts von einer Geraden definiert? - Welche Strecke ist durch die Rechtwinkligkeitsmarkierung ausgezeichnet? - Welche Längenangabe gehört genau zu dieser Strecke?

Lösung

1. Der Abstand eines Punkts von einer Geraden wird entlang des Lots gemessen. 2. Die Rechtwinkligkeitsmarkierung zeigt \(PH\perp g\). Daher ist \(PH\) die Lotstrecke von \(P\) auf \(g\). 3. Aus der Abbildung liest man \(PH=4{,}2\,\text{m}\) ab. 4. Die Strecke \(PQ\) trifft \(g\) schräg und ist deshalb keine Lotstrecke; ihre Länge ist nicht der Abstand von \(P\) zu \(g\).

Antwort

Der Abstand beträgt \(4{,}2\,\text{m}\). Er wird durch die Lotstrecke \(PH\) angegeben; \(PQ\) steht nicht senkrecht auf \(g\).

5554097

Für einen Standort gelten zwei Bedingungen: Er soll von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt sein und zugleich den in der Abbildung angegebenen Abstand von \(A\) haben. Welche der markierten Punkte \(X_1\), \(X_2\), \(Y\) und \(Z\) erfüllen beide Bedingungen? Begründe mit den beiden Ortslinien.

Abbildung zur Aufgabe 555409

Denkanstöße

- Welche Ortslinie beschreibt „gleich weit von \(A\) und \(B\) entfernt“? - Welche Ortslinie beschreibt einen festen Abstand von \(A\)? - Gesucht sind Punkte, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen.

Lösung

1. Die Gerade \(m\) steht senkrecht auf \(AB\) und halbiert \(AB\). Sie ist daher die Mittelsenkrechte; alle ihre Punkte sind von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt. 2. Der Kreis \(k\) hat Mittelpunkt \(A\) und den in der Abbildung angegebenen Radius \(3\,\text{km}\). Alle Punkte auf \(k\) haben diesen Abstand von \(A\). 3. Gesucht sind Punkte, die auf beiden Ortslinien liegen. 4. Genau \(X_1\) und \(X_2\) sind Schnittpunkte von \(m\) und \(k\). \(Y\) liegt nur auf \(k\), \(Z\) nur auf \(m\).

Antwort

\(X_1\) und \(X_2\). Sie liegen sowohl auf der Mittelsenkrechten \(m\) von \(AB\) als auch auf dem Kreis \(k\) um \(A\) mit Radius \(3\,\text{km}\).

4127127

In einem gleichschenkligen Dreieck \(ABC\) mit der Basis \(AB\) ist der Winkel an der Spitze \(\gamma = 50^\circ\). Die Winkelhalbierenden der Basiswinkel \(\alpha\) und \(\beta\) schneiden sich im Punkt \(W\). a) Berechne die Größe der Basiswinkel \(\alpha\) und \(\beta\). b) Bestimme die Größe des Winkels \(\angle AWB\). c) Welche besondere Eigenschaft hat der Punkt \(W\) in Bezug auf die drei Seiten des Dreiecks?

Denkanstöße

- Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck? - Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Basiswinkel? - Was macht eine Winkelhalbierende mit einem Winkel? - Überlege, welche Abstände ein Punkt auf einer Winkelhalbierenden zu den begrenzenden Schenkeln hat.

Lösung

1. Berechnung der Basiswinkel: Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt \(\alpha = \beta\). Mit der Winkelsumme im Dreieck folgt \(\alpha = \beta = (180^\circ - 50^\circ) : 2 = 65^\circ\). 2. Berechnung des Winkels \(\angle AWB\): In dem Dreieck \(ABW\) sind die Winkel an der Basis die Hälften von \(\alpha\) und \(\beta\), also \(\frac{\alpha}{2} = \frac{\beta}{2} = 32{,}5^\circ\). Der Winkel \(\angle AWB\) berechnet sich über die Winkelsumme im Dreieck \(ABW\): \(180^\circ - 32{,}5^\circ - 32{,}5^\circ = 115^\circ\). 3. Eigenschaft von \(W\): Da \(W\) der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist, ist er der Inkreismittelpunkt des Dreiecks \(ABC\). Er hat somit zu allen drei Seiten des Dreiecks denselben Abstand.

Antwort

a) \(\alpha = \beta = 65^\circ\) b) \(\angle AWB = 115^\circ\) c) Der Punkt \(W\) ist der Inkreismittelpunkt und hat zu allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand.

4127137

Ein rechteckiges Grundstück \(ABCD\) mit den Seitenlängen \(a = 12\,\text{m}\) (Seite \(AB\)) und \(b = 5\,\text{m}\) (Seite \(BC\)) wird durch die Diagonale \(AC\) in zwei dreieckige Flächen unterteilt. Die Diagonale \(AC\) ist \(13\,\text{m}\) lang. In jedem der beiden Dreiecke (\(ABC\) und \(ADC\)) soll ein Springbrunnen exakt im Inkreismittelpunkt des jeweiligen Dreiecks errichtet werden. a) Beschreibe, wie man die Position des Springbrunnens \(W_1\) im Dreieck \(ABC\) konstruiert. b) In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten \(a\) und \(b\) und der Hypotenuse \(c\) berechnet sich der Radius \(r\) des Inkreises mit der Formel \(r = \frac{a + b - c}{2}\). Berechne den Abstand des Springbrunnens \(W_1\) von der Seite \(AB\). c) Welchen Abstand haben die beiden Springbrunnen \(W_1\) und \(W_2\) jeweils von der Diagonale \(AC\)? Begründe deine Antwort.

Denkanstöße

- Wie findet man den Mittelpunkt des Kreises, der alle Seiten eines Dreiecks berührt? - Was gibt der Inkreisradius über die Lage des Mittelpunkts an? - Betrachte die Symmetrie des Rechtecks an seinem Mittelpunkt oder die Kongruenz der Teildreiecke.

Lösung

1. Konstruktion von \(W_1\): Der Punkt \(W_1\) wird als Schnittpunkt von mindestens zwei Winkelhalbierenden des Dreiecks \(ABC\) konstruiert. 2. Berechnung des Abstands zur Seite \(AB\): Der Abstand des Inkreismittelpunkts zu einer Seite entspricht dem Inkreisradius \(r\). Mit \(a = 12\), \(b = 5\) und \(c = 13\) ergibt sich \(r = \frac{12 + 5 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2\,\text{m}\). 3. Abstand zur Diagonale \(AC\): Da beide Dreiecke \(ABC\) und \(ADC\) kongruent sind (SWS-Satz oder SSS-Satz), sind auch ihre Inkreise identisch groß. Der Abstand jedes Inkreismittelpunkts zu jeder Seite des jeweiligen Dreiecks (einschließlich der gemeinsamen Seite \(AC\)) ist gleich dem Radius \(r\). Somit haben beide Springbrunnen den Abstand \(2\,\text{m}\) von der Diagonale \(AC\).

Antwort

a) \(W_1\) ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck \(ABC\). b) Der Abstand beträgt \(2\,\text{m}\). c) Beide haben den Abstand \(2\,\text{m}\) von \(AC\), da der Inkreisradius in beiden kongruenten Dreiecken gleich groß ist.

4128157

Ausgangspunkt ist ein Winkel \(\gamma = 74^\circ\). a) Beschreibe, wie du mit Zirkel und Lineal die Winkelhalbierende \(w_1\) von \(\gamma\) konstruierst. b) Beschreibe, wie du anschließend mit demselben Verfahren eine Winkelhalbierende \(w_2\) konstruierst, die einen der beiden entstandenen Teilwinkel erneut halbiert. c) Berechne die Größe des kleinsten so entstandenen Winkels.

Denkanstöße

- Bei der Zirkelkonstruktion müssen zunächst zwei Punkte auf den Schenkeln in gleichem Abstand vom Scheitel entstehen. - Welche Eigenschaft hat der Schnittpunkt zweier Kreisbögen mit gleicher Zirkelöffnung zu diesen beiden Punkten? - Für c) zählt, wie oft der Ausgangswinkel nacheinander halbiert wird.

Lösung

1. Schlage für \(w_1\) um den Scheitelpunkt einen Kreisbogen, der beide Schenkel schneidet. Schlage von diesen beiden Schnittpunkten mit gleicher Zirkelöffnung zwei Kreisbögen, die sich im Winkelinneren schneiden. Die Halbgerade vom Scheitelpunkt durch diesen Schnittpunkt ist \(w_1\). 2. Durch \(w_1\) entstehen zwei Winkel mit jeweils \(74^\circ : 2 = 37^\circ\). 3. Führe dieselbe Zirkelkonstruktion an einem dieser \(37^\circ\)-Winkel aus. Die dadurch entstehende Halbgerade ist \(w_2\). 4. Der kleinste Winkel ist \(37^\circ : 2 = 18{,}5^\circ\) groß.

Antwort

a) Von einem Kreisbogen um den Scheitel aus zwei gleich weit entfernte Punkte auf den Schenkeln erzeugen; von diesen Punkten Kreisbögen mit gleicher Öffnung schlagen und den Scheitel mit deren innerem Schnittpunkt verbinden. b) Dasselbe Verfahren auf einen der beiden von \(w_1\) erzeugten Teilwinkel anwenden. c) \(18{,}5^\circ\)

4128167

Du startest mit einem rechten Winkel von \(90^\circ\), den du zum Beispiel durch das Errichten eines Lots erzeugen kannst. Die Gradskala eines Geodreiecks soll für die folgenden Schritte nicht benutzt werden. a) Beschreibe, wie du mithilfe einer Winkelhalbierenden einen Winkel von \(45^\circ\) erhältst. b) Beschreibe, wie du durch eine weitere Winkelhalbierung einen Winkel von \(22{,}5^\circ\) erhältst. c) Wie oft musst du den ursprünglichen rechten Winkel insgesamt halbieren, um zum ersten Mal einen Winkel zu erhalten, der kleiner als \(10^\circ\) ist? Berechne die Größe dieses Winkels.

Denkanstöße

- Jede Winkelhalbierung teilt die aktuelle Winkelgröße durch \(2\). - Verfolge für c) die Winkelgrößen nach jeder weiteren Halbierung und prüfe jeweils die Grenze von \(10^\circ\). - Entscheidend ist der erste Halbierungsschritt, nach dem die Grenze tatsächlich unterschritten wird.

Lösung

1. Konstruiere die Winkelhalbierende des rechten Winkels. Sie teilt \(90^\circ\) in zwei Winkel von \(45^\circ\). 2. Halbiere einen dieser \(45^\circ\)-Winkel erneut mit derselben Winkelhalbierenden-Konstruktion. Es entsteht ein Winkel von \(22{,}5^\circ\). 3. Nach einer dritten Halbierung erhält man \(22{,}5^\circ : 2 = 11{,}25^\circ\). Dieser Winkel ist noch nicht kleiner als \(10^\circ\). 4. Nach einer vierten Halbierung erhält man \(11{,}25^\circ : 2 = 5{,}625^\circ\). Dieser Winkel ist erstmals kleiner als \(10^\circ\).

Antwort

a) Konstruiere die Winkelhalbierende des rechten Winkels; einer der beiden Teilwinkel ist \(45^\circ\) groß. b) Halbiere einen der \(45^\circ\)-Winkel erneut; der entstehende Teilwinkel ist \(22{,}5^\circ\) groß. c) Nach insgesamt vier Halbierungen; der Winkel ist \(5{,}625^\circ\) groß.

4314417

Zwei benachbarte Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) liegen auf einer Geraden \(g\) und sind Nebenwinkel. Der gemeinsame Schenkel ist der Strahl \(h\). Der Strahl \(w_\alpha\) halbiert \(\alpha\). Der Winkel zwischen \(w_\alpha\) und dem entgegengesetzten Strahl von \(g\) ist in der Abbildung gegeben. Berechne \(\alpha\) und \(\beta\). Gib die Gleichung an, mit der du aus dem gegebenen Winkel zunächst \(\alpha\) bestimmst, und begründe danach \(\beta\) als Nebenwinkel. Eine Messung der Zeichnung reicht nicht.

Abbildung zur Aufgabe 431441

Denkanstöße

- Kannst du dir vorstellen, wie groß ein gestreckter Winkel ist? - Überlege dir, welche Beziehung zwischen dem Winkel \(\alpha\) und seiner Winkelhalbierenden \(w_\alpha\) besteht. - Wie hängen Nebenwinkel zusammen? Welche Summe bilden sie immer?

Lösung

1. Da die Gerade \(g\) eine gerade Linie bildet, beträgt der gestreckte Winkel insgesamt \(180^\circ\). 2. Die Winkelhalbierende \(w_\alpha\) teilt \(\alpha\) in zwei gleich große Hälften \(\frac{\alpha}{2}\). Der Winkel \(\delta\) ist der Nebenwinkel zu dieser Hälfte: \(180^\circ - \frac{\alpha}{2} = \delta\) 3. Setze \(\delta = 145^\circ\) ein und löse nach \(\alpha\) auf: \(180^\circ - \frac{\alpha}{2} = 145^\circ \implies \frac{\alpha}{2} = 35^\circ \implies \alpha = 70^\circ\) 4. Da \(\alpha\) und \(\beta\) Nebenwinkel sind, addieren sie sich zu \(180^\circ\): \(\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\)

Antwort

Winkelhalbierende und Nebenwinkel: \(180^\circ-\frac{\alpha}{2}=145^\circ\), also \(\alpha=70^\circ\). Dann Nebenwinkel: \(\beta=180^\circ-70^\circ=110^\circ\).

4314447

In der nicht maßstabsgetreuen Abbildung ist der Winkel zwischen den Geraden \(a\) und \(b\) angegeben. Die Gerade \(w_1\) ist die Winkelhalbierende dieses Winkels. Die Gerade \(w_2\) ist die Winkelhalbierende des Winkels zwischen \(w_1\) und \(b\). Berechne die Größe des Winkels \(\beta\) zwischen den Geraden \(a\) und \(w_2\).

Abbildung zur Aufgabe 431444

Denkanstöße

- Was macht eine Winkelhalbierende mit einem Winkel? - Berechne zuerst die Größe des Winkels zwischen \(a\) und \(w_1\). - Welcher Winkel wird durch die Gerade \(w_2\) halbiert? - Wie kannst du die beiden Teilwinkel kombinieren, um den Gesamtwinkel \(\beta\) zu erhalten?

Lösung

1. Da \(w_1\) die Winkelhalbierende des Winkels zwischen \(a\) und \(b\) (\(74^\circ\)) ist, teilt sie diesen Winkel in zwei gleiche Hälften: \(\angle(a, w_1) = \angle(w_1, b) = \frac{74^\circ}{2} = 37^\circ\) 2. Die Gerade \(w_2\) halbiert wiederum den Winkel zwischen \(w_1\) und \(b\) (\(37^\circ\)): \(\angle(w_1, w_2) = \frac{37^\circ}{2} = 18{,}5^\circ\) 3. Der Winkel \(\beta\) erstreckt sich von der Geraden \(a\) bis zur Geraden \(w_2\). Er setzt sich aus den beiden Teilwinkeln zusammen: \(\beta = \angle(a, w_1) + \angle(w_1, w_2) = 37^\circ + 18{,}5^\circ = 55{,}5^\circ\)

Antwort

\(\beta = 55{,}5^\circ\)

4314947

Im Dreieck \(ABC\) liegt der Punkt \(D\) auf der Seite \([BC]\). Die Strecke \([AD]\) ist die Winkelhalbierende des Winkels bei \(A\). In der Abbildung sind \(\angle ABC=70^\circ\) und \(\angle ADC=95^\circ\) gegeben. Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu. Berechne a) \(\alpha=\angle BAC\), b) \(\gamma=\angle ACB\). Begründe deine Rechnung.

Abbildung zur Aufgabe 431494

Denkanstöße

- Beginne bei \(D\). Welche Beziehung besteht zwischen \(\angle ADB\) und dem gegebenen Winkel \(\angle ADC\)? - Betrachte danach nur das Dreieck \(ABD\). - Was bedeutet es für die beiden Winkel bei \(A\), dass \([AD]\) eine Winkelhalbierende ist? - Wenn du \(\alpha\) kennst, kannst du die Dreieckswinkelsumme im großen Dreieck \(ABC\) verwenden.

Lösung

1. Da \(B\), \(D\) und \(C\) auf einer Geraden liegen, sind \(\angle ADB\) und \(\angle ADC\) Nebenwinkel. Daher gilt \(\angle ADB=180^\circ-95^\circ=85^\circ\). 2. Im Dreieck \(ABD\) gilt \(\angle BAD=180^\circ-70^\circ-85^\circ=25^\circ\). 3. Da \([AD]\) die Winkelhalbierende bei \(A\) ist, gilt \(\angle BAD=\angle DAC\). Somit ist \(\alpha=2\cdot25^\circ=50^\circ\). 4. Im Dreieck \(ABC\) gilt \(\gamma=180^\circ-70^\circ-50^\circ=60^\circ\).

Antwort

a) \(\alpha=50^\circ\) b) \(\gamma=60^\circ\) Begründung: \(\angle ADB=85^\circ\), daher \(\angle BAD=25^\circ\). Wegen der Winkelhalbierenden ist \(\alpha=2\cdot25^\circ=50^\circ\). Anschließend folgt aus der Dreieckswinkelsumme \(\gamma=60^\circ\).

4315027

Im Dreieck \(ABC\) sind die Winkel bei \(B\) und \(C\) in der Abbildung gegeben. Die Strecke \(AD\) teilt den Winkel bei \(A\) in zwei gleich große Winkel \(\alpha\). Berechne die Winkel \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\). Begründe deine Schritte.

Abbildung zur Aufgabe 431502

Denkanstöße

- Was weißt du über die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck? - Wie hilft dir die Information, dass eine Strecke einen Winkel halbiert? - Kannst du das große Dreieck in kleinere Teildreiecke zerlegen? - Welche Beziehung haben zwei Winkel, die nebeneinander auf einer geraden Linie liegen?

Lösung

1. Die Innenwinkelsumme im Dreieck \(ABC\) beträgt \(180^\circ\). Für den Winkel bei \(A\) gilt: \(\angle BAC = 180^\circ - 70^\circ - 60^\circ = 50^\circ\). 2. Da \(AD\) die Winkelhalbierende ist, gilt: \(\alpha = 50^\circ : 2 = 25^\circ\). 3. Die Innenwinkelsumme im Teildreieck \(ABD\) beträgt \(180^\circ\). Somit gilt für \(\beta\): \(\beta = 180^\circ - 70^\circ - 25^\circ = 85^\circ\). 4. Die Winkel \(\beta\) und \(\gamma\) sind Nebenwinkel an der Geraden \(BC\). Daher gilt: \(\gamma = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ\) (oder über die Winkelsumme im Dreieck \(ADC\): \(\gamma = 180^\circ - 60^\circ - 25^\circ = 95^\circ\)).

Antwort

\(\alpha = 25^\circ\) aus der Dreieckswinkelsumme und der Winkelhalbierung; \(\beta = 85^\circ\) aus der Winkelsumme in \(ABD\); \(\gamma = 95^\circ\) als Nebenwinkel zu \(\beta\).

4315157

Drei Winkel \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) liegen nebeneinander auf einer Geraden und bilden zusammen einen gestreckten Winkel (\(180^\circ\)), wie in der nicht maßstabsgetreuen Abbildung dargestellt. Es ist bekannt, dass der mittlere Winkel \(\beta = 60^\circ\) groß ist. Die roten Strahlen \(w_\alpha\) und \(w_\gamma\) sind die Winkelhalbierenden der Winkel \(\alpha\) und \(\gamma\). a) Bestimme die Größe des Winkels zwischen den beiden Winkelhalbierenden \(w_\alpha\) und \(w_\gamma\). Zeige und erkläre deinen Rechenweg. b) Berechne die Winkel \(\alpha\) und \(\gamma\), wenn zusätzlich bekannt ist, dass der Winkel \(\gamma\) genau doppelt so groß ist wie der Winkel \(\alpha\) (es gilt also \(\gamma = 2\alpha\)).

Abbildung zur Aufgabe 431515

Denkanstöße

- Kannst du die Beziehung zwischen den drei Winkeln \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) beschreiben, wenn sie auf einer Geraden liegen? - Überlege, wie groß der Winkel zwischen den beiden roten Strahlen ist, indem du ihn aus den Teilen der einzelnen Winkel zusammensetzt. - Welche Rolle spielt die Tatsache, dass es sich um Winkelhalbierende handelt? - Wenn du für den Aufgabenteil b) weißt, wie groß die Summe \(\alpha + \gamma\) sein muss, wie kannst du die Beziehung \(\gamma = 2\alpha\) nutzen, um eine Gleichung aufzustellen?

Lösung

1. Der Winkel zwischen den beiden Winkelhalbierenden \(w_\alpha\) und \(w_\gamma\) setzt sich zusammen aus der Hälfte von \(\alpha\), dem gesamten Winkel \(\beta\) und der Hälfte von \(\gamma\). 2. Da \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\) gilt, ist \(\alpha + \gamma = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). 3. Der gesuchte Winkel zwischen den Winkelhalbierenden ist \(\frac{\alpha}{2} + \beta + \frac{\gamma}{2} = \beta + \frac{\alpha + \gamma}{2} = 60^\circ + \frac{120^\circ}{2} = 120^\circ\). 4. Für Teil b) verwenden wir \(\alpha + \gamma = 120^\circ\) und ersetzen \(\gamma\) durch \(2\alpha\): \(\alpha + 2\alpha = 120^\circ \implies 3\alpha = 120^\circ \implies \alpha = 40^\circ\). 5. Daraus folgt \(\gamma = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ\).

Antwort

a) Der Winkel zwischen den Winkelhalbierenden beträgt \(120^\circ\). b) Die Winkel betragen \(\alpha = 40^\circ\) und \(\gamma = 80^\circ\).

4315187

Im Dreieck ist bei \(A\) eine Winkelhalbierende eingezeichnet. Bestimme \(\delta\). Gib zuerst den durch die Winkelhalbierende entstehenden Teilwinkel und danach die Dreieckswinkelsumme im Teildreieck \(ADC\) an.

Abbildung zur Aufgabe 431518

Denkanstöße

- Welchen Teil des Winkels \(\alpha\) bildet die Winkelhalbierende im Dreieck \(ADC\)? - In welchem Teildreieck liegen der bekannte Winkel bei \(C\) und der gesuchte Winkel \(\delta\) gemeinsam? - Welche Winkelsumme gilt in diesem Teildreieck?

Lösung

1. Die Winkelhalbierende teilt \(\alpha = 50^\circ\) in zwei gleich große Teilwinkel. Daher ist \(\angle DAC = 25^\circ\). 2. Im Dreieck \(ADC\) gilt die Innenwinkelsumme \(180^\circ\). 3. Somit ist \(\delta = 180^\circ - 25^\circ - 70^\circ = 85^\circ\).

Antwort

Winkelhalbierende: \(\angle DAC=50^\circ:2=25^\circ\). Im Dreieck \(ADC\): \(25^\circ+70^\circ+\delta=180^\circ\), also \(\delta=85^\circ\).

4330487

Im Dreieck \(ABC\) ist \(w\) die Winkelhalbierende bei \(A\). Bestimme \(\alpha\), \(\gamma\) und \(\delta\). Gib nacheinander die Verdopplung des Halbwinkels, die Dreieckswinkelsumme im großen Dreieck und die Dreieckswinkelsumme im Teildreieck \(ADC\) an.

Abbildung zur Aufgabe 433048

Denkanstöße

- Was bedeutet es für die Winkel am Punkt \(A\), wenn \(w\) eine Winkelhalbierende ist? - Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem beliebigen Dreieck? - Kannst du ein kleineres Teildreieck finden, in dem du bereits zwei Winkel kennst?

Lösung

1. Da \(w\) die Winkelhalbierende von \(\angle BAC\) ist, gilt \(\alpha = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ\). 2. Über die Innenwinkelsumme im Dreieck \(ABC\) berechnet man \(\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 64^\circ - 44^\circ = 72^\circ\). 3. Im Teildreieck \(ADC\) (wobei \(D\) der Schnittpunkt von \(w\) mit \(BC\) ist) gilt für die Innenwinkelsumme: \(\delta = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} - \gamma = 180^\circ - 32^\circ - 72^\circ = 76^\circ\).

Antwort

Winkelhalbierende: \(\alpha=2\cdot32^\circ=64^\circ\). Großes Dreieck: \(\gamma=180^\circ-64^\circ-44^\circ=72^\circ\). Teildreieck \(ADC\): \(\delta=180^\circ-32^\circ-72^\circ=76^\circ\).

4331207

Die vier Strahlen \(a,c,d,e\) gehen von \(B\) aus. Die Abbildung ist nicht maßstabsgetreu. Der blaue Bogen markiert den Winkel \(\angle(a,c)=120^\circ\); der blaue Strahl \(d\) ist seine Winkelhalbierende. Der rote Bogen markiert den Winkel \(\angle(a,d)\); der rote Strahl \(e\) ist seine Winkelhalbierende. Berechne \(\angle(c,e)\).

Abbildung zur Aufgabe 433120

Denkanstöße

- Beginne mit dem blau markierten Winkel und seiner blauen Winkelhalbierenden. - Welcher Winkel wird danach durch den roten Strahl halbiert? - Setze zum Schluss die beiden Teilwinkel zwischen \(c\) und \(e\) zusammen.

Lösung

1. Der blaue Strahl \(d\) halbiert \(\angle(a,c)=120^\circ\). Daher gilt \(\angle(a,d)=\angle(d,c)=60^\circ\). 2. Der rote Strahl \(e\) halbiert \(\angle(a,d)=60^\circ\). Daher gilt \(\angle(d,e)=30^\circ\). 3. Somit ist \(\angle(c,e)=\angle(c,d)+\angle(d,e)=60^\circ+30^\circ=90^\circ\).

Antwort

\(\angle(a,d)=60^\circ\) und \(\angle(d,e)=30^\circ\). Daher gilt \(\angle(c,e)=90^\circ\).

4366157

Nutze die Markierungen in der Abbildung. Begründe, warum \(B\) auf der Mittelsenkrechten von \(AC\) liegen muss.

Abbildung zur Aufgabe 436615

Denkanstöße

- Welche Seitenbeziehung zeigen die gleichen Strichmarkierungen? - Welche Bedeutung haben die beiden gleichen Winkelmarkierungen bei \(D\)? - Welche besonderen Linien fallen im gleichschenkligen Dreieck bei der Spitze zusammen?

Lösung

1. Die gleichen Streckenmarkierungen zeigen \(AD = CD\). Daher ist \(\triangle ADC\) gleichschenklig. 2. Die gleichen Winkelmarkierungen bei \(D\) zeigen, dass \(BD\) den Winkel \(\angle ADC\) halbiert. 3. In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze zugleich die Mittelsenkrechte der Basis. Also ist \(BD\) die Mittelsenkrechte von \(AC\). 4. Da \(B\) auf \(BD\) liegt, liegt \(B\) auf der Mittelsenkrechten von \(AC\).

Antwort

Die Markierungen zeigen \(AD = CD\) und dass \(BD\) den Winkel \(\angle ADC\) halbiert. Im gleichschenkligen \(\triangle ADC\) ist diese Winkelhalbierende zugleich die Mittelsenkrechte der Basis \(AC\). Da \(B\) auf \(BD\) liegt, liegt \(B\) auf der Mittelsenkrechten von \(AC\).

4366187

Nutze die Streckenmarkierungen in der Abbildung. Der Punkt \(D\) ist der Mittelpunkt der Basis \(AC\). Der Punkt \(B\) liegt auf der Verlängerung der Strecke \(ED\) über \(E\) hinaus. Beweise, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist.

Abbildung zur Aufgabe 436618

Denkanstöße

- Welche Dreiecksart folgt aus den beiden gleichen Streckenmarkierungen? - Welche zusätzliche Bedeutung hat in einem gleichschenkligen Dreieck die Seitenhalbierende zur Basis? - Welche Abstandseigenschaft haben alle Punkte auf einer Mittelsenkrechten?

Lösung

1. Die gleichen Strichmarkierungen zeigen \(AE = CE\). Also ist \(\triangle AEC\) gleichschenklig. 2. Da \(D\) der Mittelpunkt der Basis \(AC\) ist, ist \(ED\) eine Seitenhalbierende. Im gleichschenkligen Dreieck ist diese Seitenhalbierende zugleich die Mittelsenkrechte von \(AC\). 3. Der Punkt \(B\) liegt auf der Geraden \(ED\) und damit auf der Mittelsenkrechten von \(AC\). 4. Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten ist von \(A\) und \(C\) gleich weit entfernt. Also gilt \(AB = CB\), und \(\triangle ABC\) ist gleichschenklig.

Antwort

Die Markierungen zeigen \(AE = CE\). Weil \(D\) der Mittelpunkt von \(AC\) ist, ist \(ED\) im gleichschenkligen \(\triangle AEC\) die Mittelsenkrechte von \(AC\). Da \(B\) auf \(ED\) liegt, gilt \(AB = CB\). Somit ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

4366627

In der nicht maßstabsgetreuen Abbildung schneiden sich die Winkelhalbierenden der Innenwinkel bei \(A\) und \(B\) im Punkt \(I\). Der Winkel \(\angle AIB\) ist angegeben. Berechne den dritten Innenwinkel \(\gamma\) des Dreiecks.

Abbildung zur Aufgabe 436662

Denkanstöße

- Was bedeutet es, wenn eine Halbgerade einen Winkel halbiert? - Betrachte zuerst das kleine Dreieck im Inneren. Wie viel bleibt für die beiden halben Winkel übrig? - Wenn du die Summe der halben Winkel kennst, wie groß ist dann die Summe der ganzen Winkel?

Lösung

1. Im Dreieck \(ABI\) gilt für die Winkelsumme: \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + 130^\circ = 180^\circ\). 2. Daraus folgt \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 50^\circ\). 3. Durch Multiplikation mit 2 erhält man die Summe der ganzen Winkel: \(\alpha + \beta = 100^\circ\). 4. Im großen Dreieck \(ABC\) gilt: \(\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\).

Antwort

\(\gamma = 80^\circ\)

4367437

In einem Dreieck \(AEC\) ist die Strecke \(ED\) die Höhe auf die Seite \(AC\). Der Punkt \(D\) ist gleichzeitig der Mittelpunkt von \(AC\). Ein weiterer Punkt \(B\) liegt auf der Höhe \(ED\). Begründe, warum das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist.

Abbildung zur Aufgabe 436743

Denkanstöße

- Was folgt für \(BD\) aus der Aussage, dass \(B\) auf der Höhe \(ED\) liegt? - Welche Längengleichheit liefert die Mittelpunkteigenschaft von \(D\)? - Welche Seite haben die Dreiecke \(ABD\) und \(CBD\) gemeinsam?

Lösung

1. Da \(B,D,E\) auf der Höhe liegen, gilt \(BD\perp AC\). Somit sind \(\angle ADB\) und \(\angle CDB\) rechte Winkel. 2. Weil \(D\) Mittelpunkt von \(AC\) ist, gilt \(AD=CD\). Außerdem ist \(BD\) gemeinsame Seite. 3. Daher sind \(\triangle ABD\) und \(\triangle CBD\) nach SWS kongruent. 4. Es folgt \(AB=CB\); also ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

Antwort

\(AB=CB\), also ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

4368377

In der nicht maßstabsgetreuen Skizze eines Parallelogramms \(ABCD\) werden die Winkelhalbierenden der benachbarten Winkel \(\angle A\) und \(\angle B\) gezeichnet; sie schneiden sich in \(P\). **Beweise allgemein**, dass \(\angle APB=90^\circ\). Verwende für die benachbarten Parallelogrammwinkel zunächst Variablen \(\alpha\) und \(\beta\) und nicht die Größe, die du eventuell aus der Zeichnung ablesen kannst.

Abbildung zur Aufgabe 436837

Denkanstöße

- Wie viel ergeben zwei benachbarte Winkel in einem Parallelogramm zusammen? - Was macht eine Winkelhalbierende mit einem Winkel? - Wie groß ist die Summe der Winkel in jedem Dreieck?

Lösung

1. In einem Parallelogramm gilt für benachbarte Winkel: \(\alpha + \beta = 180\,^\circ\). 2. Die Winkelhalbierenden teilen diese Winkel in \(\frac{\alpha}{2}\) und \(\frac{\beta}{2}\). 3. Im Dreieck \(ABP\) gilt für die Winkelsumme: \(\angle PAB + \angle PBA + \angle APB = 180\,^\circ\). 4. Einsetzen der hälftigen Winkel ergibt: \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \angle APB = 180\,^\circ\). 5. Da \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180\,^\circ}{2} = 90\,^\circ\), folgt: \(90\,^\circ + \angle APB = 180\,^\circ\). 6. Also ist \(\angle APB = 90\,^\circ\).

Antwort

Im Parallelogramm gilt \(\alpha+\beta=180^\circ\). Die Winkelhalbierenden liefern im Dreieck \(ABP\) die Winkel \(\alpha/2\) und \(\beta/2\). Daher \(\alpha/2+\beta/2=90^\circ\). Mit der Dreieckswinkelsumme folgt \(\angle APB=180^\circ-90^\circ=90^\circ\).

5515667

Gegeben ist das Dreieck \(ABC\) in der Abbildung. a) Beschreibe, wie du mit zwei Winkelhalbierenden den Punkt \(I\) bestimmst. b) Erkläre, wie du aus dem senkrechten Abstand von \(I\) zur Seite \(AB\) den Inkreis festlegst. c) Begründe, warum dieser Kreis auch \(BC\) und \(CA\) berührt und warum die dritte Winkelhalbierende ebenfalls durch \(I\) verläuft.

Abbildung zur Aufgabe 551566

Denkanstöße

- Welche Abstandseigenschaft besitzt ein Punkt auf einer Winkelhalbierenden zu deren beiden Schenkeln? - Wie kannst du die Abstandsgleichheiten aus zwei Winkelhalbierenden miteinander verknüpfen? - Wann berührt ein Kreis eine Gerade?

Lösung

1. Konstruiere die Winkelhalbierenden bei \(A\) und \(B\). Ihr Schnittpunkt ist \(I\). 2. Weil \(I\) auf der Winkelhalbierenden bei \(A\) liegt, sind seine senkrechten Abstände zu \(AB\) und \(AC\) gleich. Wegen der Winkelhalbierenden bei \(B\) sind ebenso die Abstände zu \(BA\) und \(BC\) gleich. 3. Damit hat \(I\) zu allen drei Dreiecksseiten denselben senkrechten Abstand. 4. Fälle von \(I\) aus das Lot auf \(AB\) und nenne den Fußpunkt \(F\). Der Kreis um \(I\) mit Radius \(IF\) hat zu jeder Dreiecksseite genau den Radiusabstand und berührt daher alle drei Seiten. 5. Weil \(I\) zu \(CA\) und \(CB\) denselben Abstand hat, liegt \(I\) auch auf der Winkelhalbierenden bei \(C\).

Antwort

a) Konstruiere die Winkelhalbierenden bei \(A\) und \(B\); ihr Schnittpunkt ist \(I\). b) Bestimme den Lotfuß \(F\) von \(I\) auf \(AB\). Der Kreis um \(I\) mit Radius \(IF\) ist der Inkreis. c) \(I\) hat zu allen drei Seiten denselben senkrechten Abstand; deshalb berührt der Kreis alle drei Seiten und \(I\) liegt auch auf der Winkelhalbierenden bei \(C\).

5530237

Zwei Ortsteile \(A\) und \(B\) sollen von einer neuen Rettungsstation gleich weit entfernt sein. Die Station muss außerdem direkt an einem der beiden eingezeichneten Straßenabschnitte \(r\) oder \(s\) liegen. a) Bestimme, auf welchem Straßenabschnitt eine passende Station möglich ist und wie viele mögliche Standorte es in der Zeichnung gibt. Begründe mit der Mittelsenkrechten von \(AB\). b) Nenne eine Grenze dieses geometrischen Modells für die Wahl eines realen Standorts.

Abbildung zur Aufgabe 553023

Denkanstöße

- Übersetze „gleich weit von \(A\) und \(B\) entfernt“ in eine bekannte Ortslinie. - Prüfe nicht die ganzen Geraden, sondern nur die tatsächlich eingezeichneten Straßenabschnitte. - Zähle die Schnittpunkte dieser Ortslinie mit \(r\) und \(s\). - Überlege für Teil b), welche Einflüsse eine geometrische Zeichnung auf reale Fahrten nicht abbildet.

Lösung

1. Alle Punkte, die von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt sind, liegen auf der Mittelsenkrechten von \(AB\). 2. Man konstruiert daher gedanklich die Mittelsenkrechte von \(AB\). 3. Der Straßenabschnitt \(r\) schneidet diese Mittelsenkrechte genau einmal; der Straßenabschnitt \(s\) erreicht sie nicht. 4. Es gibt deshalb genau einen möglichen Standort, und er liegt auf \(r\). 5. Das Modell vergleicht geometrische Entfernungen in der Zeichnung. Für einen realen Rettungsstandort können beispielsweise Fahrzeiten, Straßenverlauf, Verkehr oder Hindernisse zusätzlich wichtig sein.

Antwort

a) Genau ein Standort ist möglich: der Schnittpunkt von \(r\) mit der Mittelsenkrechten von \(AB\). Auf \(s\) gibt es keinen passenden Standort. b) Eine mögliche Modellgrenze: Gleiche geometrische Entfernung bedeutet nicht automatisch gleiche Fahrzeit; Straßennetz, Verkehr oder Hindernisse werden im Modell nicht berücksichtigt.

5530247

Zwei Messstationen \(A\) und \(B\) liegen \(6\,\text{km}\) auseinander. Ein neuer Sensor soll von beiden Stationen genau \(5\,\text{km}\) entfernt sein. Wie viele mögliche Standorte gibt es? Erkläre die Konstruktion und den Zusammenhang mit der Mittelsenkrechten von \(AB\).

Denkanstöße

- Wie stellst du alle Punkte dar, die einen festen Abstand von \(A\) haben? - Zeichne dieselbe Abstandsvorgabe gedanklich auch für \(B\). - Vergleiche den Radius mit der halben Entfernung zwischen \(A\) und \(B\), um die Zahl der Schnittpunkte zu beurteilen. - Warum liegen gemeinsame Punkte zweier gleich großer Kreise um \(A\) und \(B\) auf der Mittelsenkrechten?

Lösung

1. Alle Punkte im Abstand \(5\,\text{km}\) von \(A\) liegen auf einem Kreis um \(A\) mit Radius \(5\,\text{km}\); entsprechend gilt das für \(B\). 2. Der Mittelpunkt der Strecke \(AB\) ist von \(A\) und \(B\) jeweils \(3\,\text{km}\) entfernt. 3. Weil der Radius \(5\,\text{km}\) größer als \(3\,\text{km}\) ist, schneiden sich die beiden gleich großen Kreise in zwei Punkten. 4. Beide Schnittpunkte sind von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt und liegen deshalb auf der Mittelsenkrechten von \(AB\). 5. Somit gibt es genau zwei mögliche Standorte.

Antwort

Es gibt genau zwei mögliche Standorte: die beiden Schnittpunkte der Kreise mit Radius \(5\,\text{km}\) um \(A\) und \(B\). Beide liegen auf der Mittelsenkrechten von \(AB\).

5530257

Der Strahl \(w\) halbiert den Winkel \(\angle ASB\). Ein Punkt \(P\) liegt auf dem Schenkel \(SA\) und wird an \(w\) gespiegelt. Auf welchem Winkelschenkel muss sein Bildpunkt \(P'\) liegen? Begründe mit der Achsensymmetrie.

Abbildung zur Aufgabe 553025

Denkanstöße

- Welche zwei Teilwinkel erzeugt die Winkelhalbierende \(w\)? - Überlege, welcher der beiden Winkelschenkel bei einer Spiegelung an \(w\) auf den anderen fällt. - Übertrage diese Aussage anschließend vom ganzen Schenkel auf den Punkt \(P\).

Lösung

1. Weil \(w\) die Winkelhalbierende ist, sind die beiden Winkel zwischen \(w\) und den Schenkeln \(SA\) beziehungsweise \(SB\) gleich groß. 2. Bei einer Spiegelung an \(w\) wird der Strahl \(SA\) deshalb auf den Strahl \(SB\) abgebildet. 3. Da \(P\) auf \(SA\) liegt, muss sein Bildpunkt \(P'\) auf \(SB\) liegen.

Antwort

Die Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(w\) bildet den Schenkel \(SA\) auf den Schenkel \(SB\) ab. Da \(P\) auf \(SA\) liegt, muss sein Bildpunkt \(P'\) auf \(SB\) liegen.

5554107

Zwei gerade Wände treffen sich im Punkt \(S\). Ein Sensor soll im Innenwinkel zwischen den Wänden gleich weit von beiden Wänden entfernt sein und zugleich den in der Abbildung angegebenen Abstand von \(S\) haben. Welche zusätzliche Ortslinie musst du zum Kreis \(k\) betrachten, wie viele mögliche Sensorpositionen gibt es im Innenwinkel, und nenne eine Grenze dieses geometrischen Modells.

Abbildung zur Aufgabe 555410

Denkanstöße

- Welche Ortslinie besteht aus Punkten mit gleichem Abstand von den beiden Schenkeln eines Winkels? - Wofür steht der Kreis mit Mittelpunkt \(S\)? - Betrachte nur den Teil der passenden Ortslinie, der im Innenwinkel liegt. - Welche Eigenschaften realer Wände lässt eine geometrische Linie weg?

Lösung

1. Punkte im Innenwinkel, die von beiden Schenkeln gleich weit entfernt sind, liegen auf der inneren Winkelhalbierenden. 2. Der Kreis \(k\) beschreibt alle Punkte mit dem festgelegten Abstand \(5\,\text{m}\) von \(S\). 3. Die innere Winkelhalbierende ist ein Strahl von \(S\) aus. Sie schneidet den Kreis im Innenwinkel genau einmal. Daher gibt es im Modell genau eine mögliche Sensorposition. 4. Das Modell idealisiert die Wände als exakt gerade, unendlich dünne Linien beziehungsweise Strahlen. Reale Wandstärke, Unebenheiten oder Hindernisse werden beispielsweise nicht berücksichtigt.

Antwort

Zusätzlich braucht man die innere Winkelhalbierende. Ihr Schnitt mit dem Kreis \(k\) liefert im Innenwinkel genau eine mögliche Position. Eine Modellgrenze ist zum Beispiel, dass reale Wände nicht als unendlich dünne, exakt gerade Linien verlaufen.

4314547

Im Dreieck \(ABC\) ist \(w\) die Winkelhalbierende von \(\angle BAC\). Die benötigten gegebenen Winkel sind in der Abbildung markiert. Berechne \(\alpha=\angle CAD\) und den Winkel \(\gamma\) bei \(C\). Gib die Rechenkette aus Nebenwinkel, Dreieckswinkelsumme im Teildreieck, Winkelhalbierende und Dreieckswinkelsumme im großen Dreieck an; eine Messung reicht nicht.

Abbildung zur Aufgabe 431454

Denkanstöße

- Welche Beziehung besteht zwischen den beiden benachbarten Winkeln bei \(D\), die auf einer Geraden liegen? - Nutze die Winkelsumme im Dreieck \(ABD\), um den Teilwinkel bei \(A\) zu bestimmen. - Was bedeutet es für die beiden Teilwinkel bei \(A\), dass die blaue Strecke die Winkelhalbierende ist?

Lösung

1. Die Winkel \(\angle ADB\) und \(\angle ADC\) liegen auf einer Geraden und bilden zusammen einen gestreckten Winkel von \(180^\circ\) (Nebenwinkel). Somit gilt: \(\angle ADB = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\). 2. Im Teildreieck \(ABD\) beträgt die Innenwinkelsumme \(180^\circ\). Der Winkel \(\angle DAB\) berechnet sich daher als: \(\angle DAB = 180^\circ - 105^\circ - 40^\circ = 35^\circ\). 3. Da \(w\) die Winkelhalbierende des Winkels \(\angle BAC\) ist, sind die beiden Teilwinkel \(\angle DAB\) und \(\angle CAD\) gleich groß. Es folgt: \(\alpha = \angle CAD = 35^\circ\). 4. Der gesamte Winkel bei \(A\) ist somit \(\angle BAC = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ\). 5. Im großen Dreieck \(ABC\) beträgt die Innenwinkelsumme ebenfalls \(180^\circ\). Daraus berechnet sich der Winkel \(\gamma\) bei \(C\): \(\gamma = 180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ\).

Antwort

Nebenwinkel bei \(D\): \(\angle ADB=180^\circ-75^\circ=105^\circ\). Im Dreieck \(ABD\): \(\angle DAB=180^\circ-105^\circ-40^\circ=35^\circ\). Winkelhalbierende: \(\alpha=35^\circ\), also \(\angle BAC=70^\circ\). Im Dreieck \(ABC\): \(\gamma=180^\circ-70^\circ-40^\circ=70^\circ\).

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