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- Wo befindet sich der rechte Winkel in der Zeichnung? - Welche beiden Seiten treffen sich an diesem Eckpunkt? - Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber?

1. In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen. 2. Da der rechte Winkel am Punkt \(Y\) liegt, sind \(\overline{XY}\) und \(\overline{YZ}\) die Katheten. 3. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite \(\overline{XZ}\) ist die Hypotenuse.

Die Katheten sind \(\overline{XY}\) und \(\overline{YZ}\). Die Hypotenuse ist \(\overline{XZ}\).

- Welche zwei Dreiecke entstehen durch die Höhe \(h_c\)? - Welche Strecken und welcher Winkel stimmen in diesen beiden Dreiecken überein? - Was folgt aus ihrer Kongruenz für die beiden Abschnitte der Basis?

1. Die Höhe auf die Basis zerlegt das gleichschenklige Dreieck in die rechtwinkligen Dreiecke \(\triangle ADC\) und \(\triangle BDC\). 2. Beide haben die gemeinsame Seite \(\overline{CD}\), gleich lange Hypotenusen \(\overline{AC}=\overline{BC}\) und einen rechten Winkel bei \(D\). Daher sind sie kongruent. 3. Somit halbiert \(D\) die Basis: \(\overline{AD}=\overline{DB}=\frac{14\,\text{cm}}{2}=7\,\text{cm}\).

\(\overline{AD}=\overline{DB}=7\,\text{cm}\).

- Welche der drei Seiten ist die längste? - Welche Summe musst du mit dieser längsten Seite vergleichen?

1. Die längste Seite ist \(10\,\text{cm}\). 2. Für die beiden kürzeren Seiten gilt \(4\,\text{cm}+7\,\text{cm}=11\,\text{cm}\). 3. Da \(11\,\text{cm}>10\,\text{cm}\), ist die Dreiecksungleichung erfüllt. 4. Ein solches Dreieck existiert.

Ja. Entscheidend ist \(4\,\text{cm}+7\,\text{cm}>10\,\text{cm}\).

- Welche Winkelgröße kennzeichnet ein rechtwinkliges Dreieck? - Für ein stumpfwinkliges Dreieck genügt bereits ein Innenwinkel über \(90^\circ\). - Prüfe beim verbleibenden Dreieck, ob wirklich alle eingezeichneten Innenwinkel kleiner als \(90^\circ\) sind.

1. Im Dreieck \(\triangle EGF\) beträgt der Winkel bei \(G\) genau \(90^\circ\). Daher ist \(\triangle EGF\) rechtwinklig. 2. Im Dreieck \(\triangle EGH\) beträgt der Winkel bei \(H\) \(110^\circ\). Daher ist \(\triangle EGH\) stumpfwinklig. 3. Im Dreieck \(\triangle FHG\) sind die Winkel \(70^\circ\), \(70^\circ\) und \(40^\circ\). Alle drei sind kleiner als \(90^\circ\), also ist \(\triangle FHG\) spitzwinklig.

\(\triangle EGF\): rechtwinklig \(\triangle EGH\): stumpfwinklig \(\triangle FHG\): spitzwinklig

- Welche Seiten tragen dieselbe Längenmarkierung? - Welche Bezeichnung gehört zu einem Dreieck mit genau zwei gleich langen Seiten?

1. Die beiden gleich markierten Seiten sind gleich lang. 2. Ein Dreieck mit genau zwei gleich langen Seiten ist gleichschenklig.

Das Dreieck ist gleichschenklig.

- Wie groß ist die Summe aller drei Winkel in einem Dreieck? - Was bleibt für die anderen beiden Winkel übrig, wenn einer schon feststeht? - Ab welcher Größe nennt man einen Winkel „spitz“, „recht“ oder „stumpf“?

1. Die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck beträgt \(180^\circ\). 2. Da ein Winkel bereits \(110^\circ\) groß ist, beträgt die Summe der verbleibenden zwei Winkel \(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\). 3. Da jeder Winkel in einem Dreieck größer als \(0^\circ\) sein muss, muss jeder der beiden restlichen Winkel kleiner als \(70^\circ\) sein. 4. Winkel, die kleiner als \(90^\circ\) sind, werden als spitze Winkel bezeichnet. Somit müssen die anderen beiden Winkel zwingend spitze Winkel sein.

Die anderen beiden Winkel müssen beide spitze Winkel sein. Da die Winkelsumme \(180^\circ\) beträgt und ein Winkel bereits \(110^\circ\) einnimmt, verbleiben für die anderen beiden Winkel zusammen nur noch \(70^\circ\). Da jeder Winkel größer als \(0^\circ\) sein muss, ist jeder einzelne dieser Winkel kleiner als \(70^\circ\) und damit spitz.

- Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in jedem Dreieck? - Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Winkel eines Dreiecks? - Wann ist ein Winkel spitz, recht oder stumpf? - Kannst du dir eine Skizze machen, um die Aussagen zu prüfen?

1. Prüfung von Aussage a: Zwei rechte Winkel ergeben eine Summe von \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\). Da die Summe aller drei Innenwinkel im Dreieck genau \(180^\circ\) betragen muss, bliebe für den dritten Winkel \(0^\circ\), was unmöglich ist. Aussage falsch. 2. Prüfung von Aussage b: Wenn der Winkel an der Spitze \(120^\circ\) beträgt, entfallen auf die beiden Basiswinkel zusammen \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Jeder Basiswinkel ist somit \(30^\circ\) groß (\(60^\circ : 2 = 30^\circ\)). Ein solches Dreieck existiert. Aussage wahr. 3. Prüfung von Aussage c: In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß. Da \(180^\circ : 3 = 60^\circ\), beträgt jeder Winkel \(60^\circ\). Da alle Winkel kleiner als \(90^\circ\) sind, ist das Dreieck spitzwinklig. Aussage wahr.

a) Falsch b) Wahr c) Wahr

- Wie groß ist die Summe aller Winkel in einem Dreieck? - Was muss für die Seiten oder Winkel gelten, damit ein Dreieck gleichschenklig genannt wird? - Ordne jedes Dreieck nur einer der ausdrücklich getrennten Kategorien zu.

1. Berechnung des dritten Winkels in Dreieck 1: \(\gamma = 180^\circ - (50^\circ + 80^\circ) = 50^\circ\). Da zwei Winkel gleich groß sind (\(50^\circ\)), ist das Dreieck gleichschenklig, aber nicht gleichseitig. 2. In Dreieck 2 sind alle drei Seiten gleich lang (\(6\,\text{cm}\)). Damit gehört es in dieser Einteilung zur Kategorie „gleichseitig“. 3. In Dreieck 3 sind zwei Seiten gleich lang (\(a = c = 4\,\text{cm}\)). Da die dritte Seite eine andere Länge hat, ist es gleichschenklig, aber nicht gleichseitig.

a) Gleichschenklig, aber nicht gleichseitig, da \(\gamma = 50^\circ\) und somit zwei Winkel gleich sind. b) Gleichseitig, da alle drei Seiten gleich lang sind. c) Gleichschenklig, aber nicht gleichseitig, da zwei Seiten (\(4\,\text{cm}\)) gleich lang sind.

- Welche Winkel sind in einem gleichschenkligen Dreieck immer gleich groß? - Wie viele Winkel müssen bekannt sein, um die anderen in einem gleichschenkligen Dreieck zu berechnen? - Was weißt du über die Winkelsumme in jedem Dreieck?

1. Fall a): Die Summe der Basiswinkel ist \(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\). Da beide Basiswinkel gleich groß sind, gilt \(\alpha = \beta = 70^\circ : 2 = 35^\circ\). 2. Fall b): Da es ein gleichschenkliges Dreieck ist, ist der zweite Basiswinkel ebenfalls \(\beta = 35^\circ\). Der Winkel an der Spitze ist \(\gamma = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 110^\circ\). 3. Fall c): Ja, ein rechter Winkel an der Spitze ist möglich. Die verbleibenden \(90^\circ\) verteilen sich gleichmäßig auf die Basiswinkel: \(\alpha = \beta = 90^\circ : 2 = 45^\circ\).

a) Die Basiswinkel sind beide \(35^\circ\) groß. b) Der zweite Basiswinkel ist \(35^\circ\) und der Winkel an der Spitze ist \(110^\circ\). c) Ja, das ist möglich; die Basiswinkel betragen dann jeweils \(45^\circ\).

- Wie groß ist die Summe der Winkel in jedem Dreieck? - Wenn alle Winkel in einem Dreieck gleich groß sind, wie nennt man diese Art von Dreieck? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Winkeln und den gegenüberliegenden Seiten in einem Dreieck?

1. Berechnung von \(\gamma\): Über die Innenwinkelsumme gilt \(\gamma = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ\). 2. Bestimmung der Dreiecksform: Da alle drei Innenwinkel \(60^\circ\) groß sind, handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck. 3. Bestimmung der Seitenlängen: In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Da \(c = 8\,\text{cm}\) gegeben ist, folgt \(a = 8\,\text{cm}\) und \(b = 8\,\text{cm}\).

a) \(\gamma = 60^\circ\). b) \(a = 8\,\text{cm}\) und \(b = 8\,\text{cm}\). Es handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind.

- Für den Mittelpunkt brauchst du die Mitte zwischen den Koordinaten von \(A\) und \(B\). - Vergleiche die \(x\)-Koordinate von \(C\) mit der des Mittelpunkts. - Überlege, was eine Spiegelung an der senkrechten Geraden durch \(C\) und \(M\) mit \(A\) und \(B\) macht.

1. Der Mittelpunkt von \([AB]\) hat die Koordinaten \(M(5 \mid 2)\). 2. \([AB]\) verläuft waagerecht. Der Punkt \(C(5 \mid 6)\) liegt senkrecht über \(M\) auf der Geraden \(x=5\). 3. Die Gerade \(x=5\) ist eine Symmetrieachse der Anordnung: Sie vertauscht \(A\) und \(B\), während \(C\) auf ihr liegt. Daher sind die Strecken \([AC]\) und \([BC]\) gleich lang. 4. Das Dreieck \(ABC\) ist deshalb gleichschenklig.

a) \(M(5 \mid 2)\) b) \(C\) liegt senkrecht über dem Mittelpunkt \(M\) von \([AB]\). c) Wegen der Symmetrie an der Geraden \(x=5\) gilt \(AC=BC\); \(ABC\) ist gleichschenklig.

- Welche Bedeutung haben die Strecken vom Kreismittelpunkt zu Punkten auf dem Kreis? - Vergleiche diese beiden Strecken mit der in der Aufgabe beschriebenen Sehne. - Welche Dreiecksart ergibt sich aus dieser Seitenbeziehung?

1. Die Strecken \(MA\) und \(MB\) sind Radien desselben Kreises. Daher gilt \(MA=MB=r\). 2. Nach der Aufgabenstellung gilt außerdem \(AB=r\). 3. Somit hat \(\triangle ABM\) drei gleich lange Seiten und ist gleichseitig. 4. In einem gleichseitigen Dreieck ist jeder Innenwinkel \(60^\circ\). Daher gilt \(\angle AMB=60^\circ\).

\(\angle AMB=60^\circ\), denn \(MA=MB=AB=r\) und damit ist \(\triangle ABM\) gleichseitig.

- Nutze die Dreiecksungleichung für jede der drei Seiten. - Formuliere daraus eine untere und eine obere Schranke für \(x\).

1. Untere Grenze: \(x > 10\,\text{cm} - 6\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). 2. Obere Grenze: \(x < 10\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\). 3. Zusammen gilt: \(4\,\text{cm} < x < 16\,\text{cm}\).

Die dritte Seite muss die Bedingung \(4\,\text{cm} < x < 16\,\text{cm}\) erfüllen.

- Welche Winkel sind in einem gleichschenkligen Dreieck mit \(AC=BC\) gleich groß? - Drücke den dritten Winkel mithilfe der Innenwinkelsumme durch \(x\) aus. - Welche Bedingung muss dieser dritte Winkel erfüllen, damit er stumpf ist?

1. Wegen \(AC=BC\) sind die Basiswinkel bei \(A\) und \(B\) beide \(x^\circ\). 2. Für den Winkel bei \(C\) gilt \(\gamma=180^\circ-2x^\circ\). 3. Damit \(\gamma\) stumpf ist, muss \(180^\circ-2x^\circ>90^\circ\) gelten. Also ist \(x<45\). 4. Die größte ganze Zahl mit dieser Eigenschaft ist \(x=44\). Dann ist \(\gamma=180^\circ-88^\circ=92^\circ\).

\(x=44\) und \(\gamma=92^\circ\).

- Betrachte nacheinander ein Dreieck mit einem rechten Winkel und eines mit einem stumpfen Winkel. - Was passiert mit der Winkelsumme, wenn man versucht, zwei rechte oder zwei stumpfe Winkel in ein Dreieck zu zeichnen? - Wie viele Winkel bleiben dann noch für den „spitzen“ Rest übrig?

1. Ein spitzwinkliges Dreieck hat drei spitze Winkel (alle \(< 90^\circ\)), also ist die Bedingung (mindestens zwei) erfüllt. 2. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von genau \(90^\circ\). Die Summe der anderen beiden Winkel muss \(180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\) sein. Da beide Winkel größer als \(0^\circ\) sein müssen, sind beide kleiner als \(90^\circ\) und somit spitz. Es gibt also genau zwei spitze Winkel. 3. Ein stumpfwinkliges Dreieck hat einen Winkel \(> 90^\circ\). Die Summe der anderen beiden Winkel ist somit \(< 90^\circ\). Beide müssen also spitz sein. 4. Gäbe es nur einen spitzen Winkel, müssten die anderen beiden Winkel mindestens \(90^\circ\) groß sein. Zwei Winkel von mindestens \(90^\circ\) ergeben zusammen aber bereits \(180^\circ\) oder mehr. Da der dritte Winkel (der spitze) größer als \(0^\circ\) sein muss, würde die Gesamtsumme \(180^\circ\) überschreiten, was unmöglich ist.

Die Behauptung ist wahr. Ein spitzwinkliges Dreieck hat drei, ein rechtwinkliges und ein stumpfwinkliges Dreieck haben jeweils genau zwei spitze Winkel. Weniger als zwei spitze Winkel sind nicht möglich, da bereits zwei rechte oder stumpfe Winkel eine Summe von \(180^\circ\) oder mehr ergeben würden, sodass kein Platz mehr für einen dritten Winkel bliebe.

- Welche Besonderheit weisen die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck auf? - Was passiert, wenn du zwei stumpfe Winkel in einem Dreieck hast? - Wo könnte ein stumpfer Winkel liegen, damit die Winkelsumme noch stimmt?

1. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß. 2. Angenommen, ein Basiswinkel wäre stumpf (also \(> 90^\circ\)). Dann müsste der zweite Basiswinkel ebenfalls \(> 90^\circ\) sein. 3. Die Summe dieser beiden Basiswinkel allein wäre dann bereits größer als \(180^\circ\). Das widerspricht dem Innenwinkelsummensatz, nach dem alle drei Winkel zusammen genau \(180^\circ\) ergeben müssen. 4. Ein stumpfer Winkel kann also nur an der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks liegen, also zwischen den beiden gleich langen Seiten. Ein Beispiel wäre ein Dreieck mit den Winkeln \(120^\circ\), \(30^\circ\) und \(30^\circ\).

a) Ja, ein gleichschenkliges Dreieck kann einen stumpfen Winkel besitzen. b) Nein, ein Basiswinkel kann nicht stumpf sein. Da die Basiswinkel gleich groß sind, gäbe es bei einem stumpfen Basiswinkel zwei Winkel, die jeweils größer als \(90^\circ\) sind. Deren Summe wäre bereits über \(180^\circ\), was im Dreieck unmöglich ist. Der stumpfe Winkel muss daher immer an der Spitze liegen.

- Was weißt du über die Summe der Winkel \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\)? - Versuche, alle Winkel durch \(\alpha\) auszudrücken. - Welche Gleichung kannst du aufstellen, wenn du alle Teile zusammenzählst? - Schau dir die berechneten Winkel genau an – gibt es eine Besonderheit bei einem der Werte?

1. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Winkelsumme (\(180^\circ\)) und den Verhältnissen: \(\alpha + 3\alpha + 2\alpha = 180^\circ\). 2. Zusammenfassen der Terme: \(6\alpha = 180^\circ\). 3. Berechnung von \(\alpha\): \(\alpha = 180^\circ : 6 = 30^\circ\). 4. Berechnung der übrigen Winkel: \(\beta = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ\) und \(\gamma = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). 5. Bestimmung der Dreiecksart: Da das Dreieck einen Winkel von genau \(90^\circ\) besitzt, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.

1. \(\alpha = 30^\circ\), \(\beta = 90^\circ\), \(\gamma = 60^\circ\) 2. Das Dreieck ist rechtwinklig.

- Erinnere dich an die Definition eines stumpfen Winkels. - Wie berechnet man den fehlenden dritten Winkel, wenn zwei bekannt sind? - Welche Bedingung muss für die Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck erfüllt sein? - Nutze die Innenwinkelsumme von \(180^\circ\) als Kontrollwert für deine Überlegungen.

1. Analyse zu a: Ein rechter Winkel beträgt \(90^\circ\), ein stumpfer Winkel ist größer als \(90^\circ\). Die Summe dieser beiden Winkel wäre bereits größer als \(180^\circ\), was der Winkelsumme im Dreieck widerspricht. 2. Analyse zu b: Der dritte Winkel berechnet sich durch \(180^\circ - 85^\circ = 95^\circ\). Da \(95^\circ > 90^\circ\) ist, handelt es sich um ein stumpfwinkliges Dreieck. 3. Analyse zu c: Wenn zwei Winkel \(90^\circ\) und \(60^\circ\) sind, muss der dritte Winkel \(180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 30^\circ\) groß sein. In einem gleichschenkligen Dreieck müssen jedoch mindestens zwei Winkel gleich groß sein. Da \(30^\circ \neq 60^\circ \neq 90^\circ\), ist dies nicht möglich.

a) Weil die Summe aus einem rechten und einem stumpfen Winkel bereits über \(180^\circ\) liegt. b) Es ist ein stumpfwinkliges Dreieck (da der dritte Winkel \(95^\circ\) groß ist). c) Nein, da in diesem Fall alle drei Winkel (\(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\)) verschieden groß wären.

- Welche Längen entstehen unmittelbar dadurch, dass die drei markierten Punkte Seitenmittelpunkte sind? - Welche Winkelgröße hat jeder Innenwinkel des gleichseitigen Ausgangsdreiecks? - Was kannst du über ein gleichschenkliges Dreieck sagen, dessen Scheitelwinkel \(60^\circ\) beträgt?

1. Jeder Seitenmittelpunkt teilt eine \(12\,\text{cm}\) lange Seite in zwei Strecken von \(6\,\text{cm}\). 2. Betrachte eines der drei Eckdreiecke. Es besitzt zwei Seiten der Länge \(6\,\text{cm}\). Der eingeschlossene Winkel ist ein Winkel des gleichseitigen Ausgangsdreiecks und damit \(60^\circ\). 3. Das Eckdreieck ist also gleichschenklig. Seine beiden Basiswinkel sind gleich groß und zusammen \(120^\circ\), also ist jeder von ihnen \(60^\circ\). Damit ist das Eckdreieck gleichseitig und auch seine dritte Seite ist \(6\,\text{cm}\) lang. 4. Dasselbe gilt für die beiden anderen Eckdreiecke. Ihre dritten Seiten bilden die drei Seiten des mittleren Dreiecks. Daher ist auch das mittlere Dreieck gleichseitig mit Seitenlänge \(6\,\text{cm}\). 5. Für ein kleines Dreieck gilt \(U_{\text{klein}} = 3 \cdot 6\,\text{cm} = 18\,\text{cm}\). Für das große Dreieck gilt \(U_{\text{groß}} = 3 \cdot 12\,\text{cm} = 36\,\text{cm}\). 6. Somit gilt \(U_{\text{klein}} : U_{\text{groß}} = 18 : 36 = 1 : 2\).

a) Alle vier Teildreiecke sind gleichseitig. b) \(U_{\text{klein}} = 18\,\text{cm}\). c) \(U_{\text{klein}} : U_{\text{groß}} = 1 : 2\).

- Wie hängen Umfang, Basis und Schenkel in der Formel zusammen? - Was passiert mit den anderen Seiten, wenn eine Seite bei gleichbleibendem Umfang länger wird? - Erinnerst du dich an die Dreiecksungleichung? Welche Bedingung müssen drei Längen erfüllen, damit sie ein Dreieck bilden können?

1. Berechnung zu a): Der Umfang ist \(u = a + b + c\). Da \(a = b\), gilt \(20 = 2a + 4\). Daraus folgt \(2a = 16\), also \(a = b = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung zu b): Es gilt \(20 = 2a + 8\). Daraus folgt \(2a = 12\), also \(a = b = 6\,\text{cm}\). Die Schenkel verkürzen sich jeweils um \(2\,\text{cm}\). 3. Überprüfung zu c): Wäre \(c = 12\,\text{cm}\), dann wäre die Summe der Schenkel \(a + b = 20 - 12 = 8\,\text{cm}\). Nach der Dreiecksungleichung muss die Summe zweier Seiten immer größer als die dritte Seite sein, also insbesondere \(a + b > c\). Da \(8 < 12\), lässt sich mit diesen Maßen kein Dreieck konstruieren.

a) Die Schenkel sind jeweils \(8\,\text{cm}\) lang. b) Die Schenkel werden kürzer und sind dann jeweils \(6\,\text{cm}\) lang. c) Die Behauptung ist falsch, da die Summe der Schenkel (\(8\,\text{cm}\)) kürzer als die Basis (\(12\,\text{cm}\)) wäre, was der Dreiecksungleichung widerspricht.

- Welche zwei Möglichkeiten gibt es dafür, welche Seiten des gleichschenkligen Dreiecks gleich lang sind? - Welche dieser Möglichkeiten erfüllt die Dreiecksungleichung? - Berechne den Umfang erst für die zulässige Seitenkombination.

1. Es gibt zwei mögliche Seitenkombinationen: \(8\,\text{cm}, 8\,\text{cm}, 4\,\text{cm}\) oder \(4\,\text{cm}, 4\,\text{cm}, 8\,\text{cm}\). 2. Für \(4\,\text{cm}, 4\,\text{cm}, 8\,\text{cm}\) gilt \(4\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). Die Summe ist nicht größer als die dritte Seite, also entsteht kein Dreieck. 3. Für \(8\,\text{cm}, 8\,\text{cm}, 4\,\text{cm}\) ist die Dreiecksungleichung erfüllt. 4. Der Umfang beträgt \(8\,\text{cm} + 8\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 20\,\text{cm}\).

Der Umfang des Dreiecks beträgt \(20\,\text{cm}\).

- Nutze für a) die rechten Innenwinkel des Rechtecks. - Vergleiche für b) die beiden Winkelpaare am Schnittpunkt der Diagonalen. - Welche beiden Eigenschaften der Rechteckdiagonalen liefern für c) gleiche Teilstrecken vom Schnittpunkt zu den Ecken?

1. Jede Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Es entstehen \(\triangle KLM\), \(\triangle LMN\), \(\triangle MNK\) und \(\triangle NKL\). 2. Am Schnittpunkt \(S\) sind \(\angle KSL\) und \(\angle MSN\) stumpf. Daher sind \(\triangle KLS\) und \(\triangle MNS\) stumpfwinklig. 3. Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang und halbieren einander. Deshalb gilt \(|SK| = |SL| = |SM| = |SN|\). Jedes der vier kleinen Dreiecke besitzt damit zwei gleich lange Seiten und ist gleichschenklig.

a) \(\triangle KLM\), \(\triangle LMN\), \(\triangle MNK\), \(\triangle NKL\) b) \(\triangle KLS\) und \(\triangle MNS\) c) Es gilt \(|SK| = |SL| = |SM| = |SN|\); daher hat jedes kleine Dreieck zwei gleich lange Seiten.

- Eine Raute hat vier gleich lange Seiten. Was bedeutet das für Dreiecke wie \(\triangle PQS\) oder \(\triangle PQR\)? - In welchem Winkel schneiden sich die Diagonalen einer Raute immer? - Wie teilen die Diagonalen die Innenwinkel der Raute auf? - Die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck beträgt immer \(180\,^\circ\).

1. In einer Raute sind alle Seiten gleich lang (\(PQ = QR = RS = SP\)). Im Dreieck \(\triangle PQS\) gilt \(PQ = PS\). Da der Winkel \(\angle SPQ = 60\,^\circ\) ist, müssen auch die Basiswinkel \(\angle PSQ\) und \(\angle PQS\) jeweils \((180\,^\circ - 60\,^\circ) : 2 = 60\,^\circ\) sein. Das Dreieck \(\triangle PQS\) ist somit gleichseitig und spitzwinklig. 2. Im Dreieck \(\triangle PQR\) sind die Seiten \(PQ\) und \(QR\) gleich lang, es ist also gleichschenklig. Der Winkel bei \(Q\) ist der Nebenwinkel zu \(60\,^\circ\), also \(180\,^\circ - 60\,^\circ = 120\,^\circ\). Somit ist \(\triangle PQR\) stumpfwinklig-gleichschenklig. 3. Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren die Innenwinkel. Im Dreieck \(\triangle PQZ\) ist der Winkel bei \(Z\) ein rechter Winkel (\(90\,^\circ\)). Der Winkel bei \(P\) ist die Hälfte von \(60\,^\circ\), also \(30\,^\circ\). Der Winkel bei \(Q\) ist die Hälfte von \(120\,^\circ\), also \(60\,^\circ\). Das Dreieck ist rechtwinklig und ungleichseitig (da alle Winkel verschieden sind).

a) \(\triangle PQS\) ist ein gleichseitiges (und damit spitzwinkliges) Dreieck. b) \(\triangle PQR\) ist ein stumpfwinklig-gleichschenkliges Dreieck. c) Die Winkel im Dreieck \(\triangle PQZ\) sind \(30\,^\circ\), \(60\,^\circ\) und \(90\,^\circ\). Es ist ein rechtwinkliges, ungleichseitiges Dreieck.