- Welche Winkel sind in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß? - Welche Summe haben die drei Innenwinkel eines Dreiecks?

1. Weil das Dreieck mit der Basis \(PQ\) gleichschenklig ist, sind die beiden Basiswinkel bei \(P\) und \(Q\) gleich groß. Daher beträgt auch der Winkel bei \(Q\) \(71^\circ\). 2. Mit der Innenwinkelsumme im Dreieck folgt \(\gamma = 180^\circ-71^\circ-71^\circ=38^\circ\).

\(\gamma = 38^\circ\)

- Wo ist der rechte Winkel in der Zeichnung markiert? - Welche beiden Seiten treffen sich an diesem Eckpunkt? - Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber?

1. Die Katheten sind die beiden Seiten, die sich am rechten Winkel treffen. 2. In der Zeichnung liegt der rechte Winkel bei \(Y\). Deshalb sind \(\overline{XY}\) und \(\overline{YZ}\) die Katheten. 3. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist \(\overline{XZ}\). Sie ist die Hypotenuse.

Die Katheten sind \(\overline{XY}\) und \(\overline{YZ}\). Die Hypotenuse ist \(\overline{XZ}\).

- Welche Winkel sind wegen der gleich langen Schenkel gleich groß? - Wie hilft dir danach die Dreieckswinkelsumme?

1. Da \(AC = BC\), sind die Basiswinkel gleich groß. Also ist auch \(\beta = 54^\circ\). 2. Mit der Winkelsumme folgt \(\gamma = 180^\circ - 54^\circ - 54^\circ = 72^\circ\).

\(\gamma = 72^\circ\)

- Welche besondere Eigenschaft hat die Höhe auf die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks? - Was bedeutet diese Eigenschaft für den Punkt \(D\) auf der Basis? - Wie verteilt sich die gesamte Basislänge auf zwei gleich lange Teilstrecken?

1. In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Höhe von der Spitze auf die Basis zugleich eine Seitenhalbierende. 2. Daher ist \(D\) der Mittelpunkt von \([AB]\), also \(\overline{AD}=\overline{DB}\). 3. Somit gilt \(\overline{AD}=\overline{DB}=\frac{14\,\text{cm}}{2}=7\,\text{cm}\).

\(\overline{AD}=\overline{DB}=7\,\text{cm}\).

- Welche Winkelgröße kennzeichnet ein rechtwinkliges Dreieck? - Für ein stumpfwinkliges Dreieck genügt bereits ein Innenwinkel über \(90^\circ\). - Prüfe beim verbleibenden Dreieck, ob wirklich alle eingezeichneten Innenwinkel kleiner als \(90^\circ\) sind.

1. Im Dreieck \(\triangle EGF\) beträgt der Winkel bei \(G\) genau \(90^\circ\). Daher ist \(\triangle EGF\) rechtwinklig. 2. Im Dreieck \(\triangle EGH\) beträgt der Winkel bei \(H\) \(110^\circ\). Daher ist \(\triangle EGH\) stumpfwinklig. 3. Im Dreieck \(\triangle FHG\) sind die Winkel \(70^\circ\), \(70^\circ\) und \(40^\circ\). Alle drei sind kleiner als \(90^\circ\), also ist \(\triangle FHG\) spitzwinklig.

\(\triangle EGF\): rechtwinklig \(\triangle EGH\): stumpfwinklig \(\triangle FHG\): spitzwinklig

- Welche Seiten tragen dieselbe Längenmarkierung? - Welche Bezeichnung gehört zu einem Dreieck mit genau zwei gleich langen Seiten?

1. Die beiden gleich markierten Seiten sind gleich lang. 2. Ein Dreieck mit genau zwei gleich langen Seiten ist gleichschenklig.

Das Dreieck ist gleichschenklig.

- Vergleiche bei jedem Dreieck die drei Seitenlängen miteinander. - Achte darauf, ob drei, genau zwei oder keine zwei Seiten gleich lang sind.

1. Bei a) sind genau zwei Seiten gleich lang. Das Dreieck ist gleichschenklig, aber nicht gleichseitig. 2. Bei b) sind alle drei Seiten verschieden lang. Das Dreieck ist ungleichseitig. 3. Bei c) sind alle drei Seiten gleich lang. Das Dreieck ist gleichseitig.

a) gleichschenklig, aber nicht gleichseitig b) ungleichseitig c) gleichseitig

- Vergleiche die Winkel mit \(90^\circ\). - Gibt es einen rechten oder einen stumpfen Winkel? Wenn nicht, wie groß sind dann alle drei Winkel im Vergleich zu \(90^\circ\)?

1. Bei a) ist ein Winkel genau \(90^\circ\). Das Dreieck ist rechtwinklig. 2. Bei b) ist ein Winkel größer als \(90^\circ\). Das Dreieck ist stumpfwinklig. 3. Bei c) sind alle drei Winkel kleiner als \(90^\circ\). Das Dreieck ist spitzwinklig.

a) rechtwinklig b) stumpfwinklig c) spitzwinklig

- Wie groß ist die Summe aller drei Winkel in einem Dreieck? - Was bleibt für die anderen beiden Winkel übrig, wenn einer schon feststeht? - Ab welcher Größe nennt man einen Winkel „spitz“, „recht“ oder „stumpf“?

1. Die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck beträgt \(180^\circ\). 2. Da ein Winkel bereits \(110^\circ\) groß ist, beträgt die Summe der verbleibenden zwei Winkel \(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\). 3. Da jeder Winkel in einem Dreieck größer als \(0^\circ\) sein muss, muss jeder der beiden restlichen Winkel kleiner als \(70^\circ\) sein. 4. Winkel, die kleiner als \(90^\circ\) sind, werden als spitze Winkel bezeichnet. Somit müssen die anderen beiden Winkel zwingend spitze Winkel sein.

Die anderen beiden Winkel müssen beide spitze Winkel sein. Da die Winkelsumme \(180^\circ\) beträgt und ein Winkel bereits \(110^\circ\) einnimmt, verbleiben für die anderen beiden Winkel zusammen nur noch \(70^\circ\). Da jeder Winkel größer als \(0^\circ\) sein muss, ist jeder einzelne dieser Winkel kleiner als \(70^\circ\) und damit spitz.

- Welche Besonderheit weisen die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck auf? - Was passiert, wenn du zwei stumpfe Winkel in einem Dreieck hast? - Wo könnte ein stumpfer Winkel liegen, damit die Winkelsumme noch stimmt?

1. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß. 2. Angenommen, ein Basiswinkel wäre stumpf (also \(> 90^\circ\)). Dann müsste der zweite Basiswinkel ebenfalls \(> 90^\circ\) sein. 3. Die Summe dieser beiden Basiswinkel allein wäre dann bereits größer als \(180^\circ\). Das widerspricht dem Innenwinkelsummensatz, nach dem alle drei Winkel zusammen genau \(180^\circ\) ergeben müssen. 4. Ein stumpfer Winkel kann also nur an der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks liegen, also zwischen den beiden gleich langen Seiten. Ein Beispiel wäre ein Dreieck mit den Winkeln \(120^\circ\), \(30^\circ\) und \(30^\circ\).

a) Ja, ein gleichschenkliges Dreieck kann einen stumpfen Winkel besitzen. b) Nein, ein Basiswinkel kann nicht stumpf sein. Da die Basiswinkel gleich groß sind, gäbe es bei einem stumpfen Basiswinkel zwei Winkel, die jeweils größer als \(90^\circ\) sind. Deren Summe wäre bereits über \(180^\circ\), was im Dreieck unmöglich ist. Der stumpfe Winkel muss daher immer an der Spitze liegen.

- Was weißt du über die Summe aller Winkel in einem Dreieck? - Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Basiswinkel? - Wann nennt man ein Dreieck „stumpfwinklig“? - Unterscheide genau, an welcher Stelle im Dreieck der gegebene Winkel liegt.

1. Berechnung für das erste Dreieck: Da der Winkel an der Spitze \(40^\circ\) beträgt, verbleiben \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\) für die beiden Basiswinkel. Da Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, beträgt jeder Basiswinkel \(140^\circ : 2 = 70^\circ\). Die Winkel sind \(40^\circ\), \(70^\circ\) und \(70^\circ\). 2. Berechnung für das zweite Dreieck: Da ein Basiswinkel \(40^\circ\) beträgt, muss auch der zweite Basiswinkel \(40^\circ\) groß sein. Der Winkel an der Spitze ergibt sich aus der Innenwinkelsumme zu \(180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 100^\circ\). Die Winkel sind \(40^\circ\), \(40^\circ\) und \(100^\circ\). 3. Identifikation: Ein Dreieck ist stumpfwinklig, wenn ein Innenwinkel größer als \(90^\circ\) ist. Das zweite Dreieck ist stumpfwinklig, da der Winkel an der Spitze \(100^\circ\) beträgt. Das erste Dreieck ist spitzwinklig, da alle Winkel kleiner als \(90^\circ\) sind.

Im ersten Dreieck betragen die fehlenden Winkel jeweils \(70^\circ\). Im zweiten Dreieck sind die fehlenden Winkel \(40^\circ\) und \(100^\circ\). Das zweite Dreieck ist stumpfwinklig, da der Winkel von \(100^\circ\) größer als \(90^\circ\) ist.

- Wie groß ist die Summe aller drei Innenwinkel in jedem Dreieck? - Woran erkennt man ein gleichschenkliges Dreieck an seinen Winkeln? - Was muss für einen der Winkel gelten, damit ein Dreieck rechtwinklig ist?

1. Berechnung des fehlenden Winkels über die Innenwinkelsumme (\(180^\circ\)): a) \(\gamma = 180^\circ - (42^\circ + 96^\circ) = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ\). Da \(\alpha = \gamma = 42^\circ\), ist das Dreieck gleichschenklig. b) \(\alpha = 180^\circ - (25^\circ + 130^\circ) = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ\). Da \(\alpha = \beta = 25^\circ\), ist das Dreieck gleichschenklig. c) \(\beta = 180^\circ - (45^\circ + 90^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\). Da \(\alpha = \beta = 45^\circ\), ist das Dreieck gleichschenklig. Zudem ist es wegen \(\gamma = 90^\circ\) rechtwinklig.

a) \(\gamma = 42^\circ\); gleichschenklig b) \(\alpha = 25^\circ\); gleichschenklig c) \(\beta = 45^\circ\); gleichschenklig und rechtwinklig

- Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in jedem Dreieck? - Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Winkel eines Dreiecks? - Wann ist ein Winkel spitz, recht oder stumpf? - Kannst du dir eine Skizze machen, um die Aussagen zu prüfen?

1. Prüfung von Aussage a: Zwei rechte Winkel ergeben eine Summe von \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\). Da die Summe aller drei Innenwinkel im Dreieck genau \(180^\circ\) betragen muss, bliebe für den dritten Winkel \(0^\circ\), was unmöglich ist. Aussage falsch. 2. Prüfung von Aussage b: Wenn der Winkel an der Spitze \(120^\circ\) beträgt, entfallen auf die beiden Basiswinkel zusammen \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Jeder Basiswinkel ist somit \(30^\circ\) groß (\(60^\circ : 2 = 30^\circ\)). Ein solches Dreieck existiert. Aussage wahr. 3. Prüfung von Aussage c: In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß. Da \(180^\circ : 3 = 60^\circ\), beträgt jeder Winkel \(60^\circ\). Da alle Winkel kleiner als \(90^\circ\) sind, ist das Dreieck spitzwinklig. Aussage wahr.

a) Falsch b) Wahr c) Wahr

- Welchen dritten Winkel kannst du in a) mit der Winkelsumme berechnen? - Woran erkennst du ein gleichseitiges Dreieck? - Prüfe bei jedem Dreieck, ob zwei, drei oder keine zwei Seiten gleich lang sein müssen.

1. Für Dreieck 1 gilt \(\gamma=180^\circ-50^\circ-80^\circ=50^\circ\). Zwei Winkel sind gleich groß. Das Dreieck ist deshalb gleichschenklig, aber nicht gleichseitig. 2. In Dreieck 2 sind alle drei Seiten gleich lang. Es ist gleichseitig. 3. In Dreieck 3 haben alle drei Seiten verschiedene Längen. Es ist ungleichseitig.

a) Gleichschenklig, aber nicht gleichseitig. b) Gleichseitig. c) Ungleichseitig.

- Welche Winkel sind in einem gleichschenkligen Dreieck immer gleich groß? - Wie viele Winkel müssen bekannt sein, um die anderen in einem gleichschenkligen Dreieck zu berechnen? - Was weißt du über die Winkelsumme in jedem Dreieck?

1. Fall a): Die Summe der Basiswinkel ist \(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\). Da beide Basiswinkel gleich groß sind, gilt \(\alpha = \beta = 70^\circ : 2 = 35^\circ\). 2. Fall b): Da es ein gleichschenkliges Dreieck ist, ist der zweite Basiswinkel ebenfalls \(\beta = 35^\circ\). Der Winkel an der Spitze ist \(\gamma = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 110^\circ\). 3. Fall c): Ja, ein rechter Winkel an der Spitze ist möglich. Die verbleibenden \(90^\circ\) verteilen sich gleichmäßig auf die Basiswinkel: \(\alpha = \beta = 90^\circ : 2 = 45^\circ\).

a) Die Basiswinkel sind beide \(35^\circ\) groß. b) Der zweite Basiswinkel ist \(35^\circ\) und der Winkel an der Spitze ist \(110^\circ\). c) Ja, das ist möglich; die Basiswinkel betragen dann jeweils \(45^\circ\).

- Wie groß ist die Summe der Winkel in jedem Dreieck? - Wenn alle Winkel in einem Dreieck gleich groß sind, wie nennt man diese Art von Dreieck? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Winkeln und den gegenüberliegenden Seiten in einem Dreieck?

1. Berechnung von \(\gamma\): Über die Innenwinkelsumme gilt \(\gamma = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ\). 2. Bestimmung der Dreiecksform: Da alle drei Innenwinkel \(60^\circ\) groß sind, handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck. 3. Bestimmung der Seitenlängen: In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Da \(c = 8\,\text{cm}\) gegeben ist, folgt \(a = 8\,\text{cm}\) und \(b = 8\,\text{cm}\).

a) \(\gamma = 60^\circ\). b) \(a = 8\,\text{cm}\) und \(b = 8\,\text{cm}\). Es handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind.

- Lies zuerst die Koordinaten von \(A\), \(B\) und \(C\) aus dem Koordinatensystem ab. - Welche Koordinate bleibt bei \(A\) und \(B\) gleich, und wo liegt die Mitte ihrer beiden anderen Koordinaten? - Welche Spiegelachse würde \(A\) und \(B\) vertauschen und zugleich durch \(C\) verlaufen?

1. Aus \(A(2\mid 2)\) und \(B(8\mid 2)\) folgt für den Mittelpunkt \(M(5\mid 2)\). 2. Die Strecke \([AB]\) verläuft waagerecht. Der Punkt \(C(5\mid 6)\) liegt senkrecht über \(M\) auf der Geraden \(x=5\). 3. Die Gerade \(x=5\) ist eine Symmetrieachse der Anordnung: Sie vertauscht \(A\) und \(B\), während \(C\) auf ihr liegt. Daher gilt \(AC=BC\). 4. Somit ist \(ABC\) gleichschenklig.

a) \(M(5\mid 2)\) b) \(C\) liegt senkrecht über dem Mittelpunkt \(M\) von \([AB]\). c) Wegen der Symmetrie an \(x=5\) gilt \(AC=BC\); \(ABC\) ist gleichschenklig.

- Welche Information liefert „gleichschenklig“ über die Winkel? - Welche Winkelsumme gilt in jedem Dreieck?

1. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß: \(\beta = \gamma\). 2. Ziehe den Spitzenwinkel von der Winkelsumme ab: \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\). 3. Teile den Rest gleichmäßig auf die beiden Basiswinkel: \(140^\circ : 2 = 70^\circ\). 4. Damit gilt \(\beta = 70^\circ\) und \(\gamma = 70^\circ\).

\(\beta = 70^\circ\), \(\gamma = 70^\circ\)

- Wie hängen ein Innenwinkel und der zugehörige Außenwinkel an einer Ecke zusammen? - Was folgt für ein Dreieck, wenn zwei Innenwinkel gleich groß sind? - Welche Seiten liegen den beiden gleichen Winkeln gegenüber?

1. Innen- und Außenwinkel bei \(C\) ergänzen sich zu \(180^\circ\). Daher ist \(\gamma = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\). 2. Damit gilt \(\alpha = \gamma = 65^\circ\). Wegen der gleichen Innenwinkel ist das Dreieck gleichschenklig. 3. Den gleichen Winkeln bei \(A\) und \(C\) liegt jeweils die Seite \(BC\) beziehungsweise \(AB\) gegenüber. Also sind \(AB\) und \(BC\) die Schenkel; die Basis ist \(AC\).

Das Dreieck ist gleichschenklig, weil \(\alpha = \gamma = 65^\circ\). Die Basis ist \(AC\), die Schenkel sind \(AB\) und \(BC\).

- Berechne zuerst den Innenwinkel bei \(A\) aus seinem Außenwinkel. - Nutze anschließend die Winkelsumme im Dreieck. - Vergleiche danach die drei Innenwinkel miteinander.

1. Innen- und Außenwinkel bei \(A\) ergänzen sich zu \(180^\circ\). Daher ist \(\alpha = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ\). 2. Mit der Winkelsumme im Dreieck folgt \(\gamma = 180^\circ - 72^\circ - 36^\circ = 72^\circ\). 3. Da \(\alpha = \gamma = 72^\circ\), ist das Dreieck gleichschenklig.

\(\gamma = 72^\circ\). Das Dreieck ist gleichschenklig, weil \(\alpha = \gamma = 72^\circ\).

- Wie hängen ein Außenwinkel und der zugehörige Innenwinkel zusammen? - Was folgt für ein Dreieck, wenn zwei Innenwinkel gleich groß sind?

1. Innen- und Außenwinkel ergänzen sich jeweils zu \(180^\circ\). Daher ist \(\alpha = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ\) und \(\gamma = 55^\circ\). 2. Mit der Winkelsumme im Dreieck folgt \(\beta = 180^\circ - 55^\circ - 55^\circ = 70^\circ\). 3. Weil \(\alpha = \gamma\), ist das Dreieck gleichschenklig.

\(\alpha = 55^\circ\), \(\beta = 70^\circ\), \(\gamma = 55^\circ\). Das Dreieck ist gleichschenklig.

- Welche Bedeutung haben die Strecken vom Kreismittelpunkt zu Punkten auf dem Kreis? - Vergleiche diese beiden Strecken mit der in der Aufgabe beschriebenen Sehne. - Welche Dreiecksart ergibt sich aus dieser Seitenbeziehung?

1. Die Strecken \(MA\) und \(MB\) sind Radien desselben Kreises. Daher gilt \(MA=MB=r\). 2. Nach der Aufgabenstellung gilt außerdem \(AB=r\). 3. Somit hat \(\triangle ABM\) drei gleich lange Seiten und ist gleichseitig. 4. In einem gleichseitigen Dreieck ist jeder Innenwinkel \(60^\circ\). Daher gilt \(\angle AMB=60^\circ\).

\(\angle AMB=60^\circ\), denn \(MA=MB=AB=r\) und damit ist \(\triangle ABM\) gleichseitig.

- Welche Winkel sind in einem gleichschenkligen Dreieck mit \(AC=BC\) gleich groß? - Drücke den dritten Winkel mithilfe der Innenwinkelsumme durch \(x\) aus. - Welche Bedingung muss dieser dritte Winkel erfüllen, damit er stumpf ist?

1. Wegen \(AC=BC\) sind die Basiswinkel bei \(A\) und \(B\) beide \(x^\circ\). 2. Für den Winkel bei \(C\) gilt \(\gamma=180^\circ-2x^\circ\). 3. Damit \(\gamma\) stumpf ist, muss \(180^\circ-2x^\circ>90^\circ\) gelten. Also ist \(x<45\). 4. Die größte ganze Zahl mit dieser Eigenschaft ist \(x=44\). Dann ist \(\gamma=180^\circ-88^\circ=92^\circ\).

\(x=44\) und \(\gamma=92^\circ\).

- Wie groß ist die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks? - Was bleibt für die beiden anderen Winkel übrig, wenn einer \(90^\circ\) groß ist? - Was bleibt für die beiden anderen Winkel übrig, wenn einer größer als \(90^\circ\) ist?

1. Ein spitzwinkliges Dreieck hat drei spitze Winkel. 2. In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel \(90^\circ\) groß. Die beiden anderen Winkel ergeben zusammen \(90^\circ\) und sind deshalb beide spitz. 3. In einem stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel größer als \(90^\circ\). Die beiden anderen Winkel ergeben zusammen weniger als \(90^\circ\) und sind deshalb beide spitz. 4. Bei nur einem spitzen Winkel müssten die beiden anderen Winkel mindestens \(90^\circ\) groß sein. Zusammen mit dem dritten Winkel wäre die Winkelsumme dann größer als \(180^\circ\). Das ist in einem Dreieck unmöglich.

Die Behauptung ist richtig. Ein spitzwinkliges Dreieck hat drei spitze Winkel. Ein rechtwinkliges und ein stumpfwinkliges Dreieck haben jeweils zwei spitze Winkel. Nur ein spitzer Winkel ist wegen der Winkelsumme von \(180^\circ\) nicht möglich.

- Wie groß ist die Winkelsumme in einem Dreieck? - Wie findest du in b) den dritten Winkel? - Welche Winkel müssen in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sein?

1. Ein rechter Winkel ist \(90^\circ\) groß, ein stumpfer Winkel ist größer als \(90^\circ\). Zusammen wären diese beiden Winkel bereits größer als \(180^\circ\). Das ist in einem Dreieck unmöglich. 2. Der dritte Winkel ist \(180^\circ-85^\circ=95^\circ\). Das Dreieck ist deshalb stumpfwinklig. 3. Bei Winkeln von \(90^\circ\) und \(60^\circ\) ist der dritte Winkel \(180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Die drei Winkel \(30^\circ\), \(60^\circ\) und \(90^\circ\) sind alle verschieden. Deshalb kann das Dreieck nicht gleichschenklig sein.

a) Ein rechter und ein stumpfer Winkel wären zusammen bereits größer als \(180^\circ\). b) Das Dreieck ist stumpfwinklig; der dritte Winkel ist \(95^\circ\) groß. c) Nein. Die drei Winkel wären \(30^\circ\), \(60^\circ\) und \(90^\circ\) und damit alle verschieden.

- Welche Längen entstehen dadurch, dass die drei Punkte Seitenmittelpunkte sind? - Wie groß ist jeder Innenwinkel des gleichseitigen Ausgangsdreiecks? - Was gilt für ein gleichschenkliges Dreieck mit einem Scheitelwinkel von \(60^\circ\)?

1. Jeder Seitenmittelpunkt teilt eine \(12\,\text{cm}\) lange Seite in zwei Strecken von \(6\,\text{cm}\). 2. Betrachte eines der drei Eckdreiecke. Es besitzt zwei Seiten der Länge \(6\,\text{cm}\). Der eingeschlossene Winkel ist ein Winkel des gleichseitigen Ausgangsdreiecks und damit \(60^\circ\). 3. Das Eckdreieck ist gleichschenklig. Seine beiden Basiswinkel sind gleich groß und ergeben zusammen \(120^\circ\). Also ist jeder Basiswinkel \(60^\circ\) groß. Damit ist das Eckdreieck gleichseitig und auch seine dritte Seite ist \(6\,\text{cm}\) lang. 4. Dasselbe gilt für die beiden anderen Eckdreiecke. Ihre dritten Seiten bilden die drei Seiten des mittleren Dreiecks. Daher ist auch das mittlere Dreieck gleichseitig mit Seitenlänge \(6\,\text{cm}\). 5. Für ein kleines Dreieck gilt \(U_{\text{klein}}=3\cdot 6\,\text{cm}=18\,\text{cm}\). Für das große Dreieck gilt \(U_{\text{groß}}=3\cdot 12\,\text{cm}=36\,\text{cm}\). 6. Somit gilt \(U_{\text{klein}}:U_{\text{groß}}=18:36=1:2\).

a) Alle vier Teildreiecke sind gleichseitig. b) \(U_{\text{klein}}=18\,\text{cm}\). c) \(U_{\text{klein}}:U_{\text{groß}}=1:2\).

- Überlege dir, wie die Innenwinkel mit den markierten Außenwinkeln zusammenhängen. - Was muss für die Innenwinkel gelten, damit ein Dreieck gleichschenklig ist? - Kannst du zeigen, dass die Innenwinkel an der Basis gleich groß sein müssen?

1. Ein Innenwinkel und sein zugehöriger Außenwinkel sind Nebenwinkel und ergeben zusammen \(180^\circ\). 2. Es gilt also: \(\alpha + \angle 1 = 180^\circ\) und \(\beta + \angle 4 = 180^\circ\). 3. Da \(\angle 1 = \angle 4\) gegeben ist, folgt durch Subtraktion: \(180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - \angle 4\). 4. Somit ist \(\alpha = \beta\). 5. Ein Dreieck mit zwei gleich großen Innenwinkeln ist nach der Umkehrung des Basiswinkelsatzes gleichschenklig.

Da die Außenwinkel gleich sind, müssen auch die zugehörigen Innenwinkel \(\alpha\) und \(\beta\) gleich groß sein (\(180^\circ - \text{Außenwinkel}\)). Nach der Umkehrung des Basiswinkelsatzes ist das Dreieck gleichschenklig.

- Welche Eigenschaften haben gleichschenklige Dreiecke bezüglich ihrer Winkel? - Kannst du im Bild zwei Dreiecke finden, bei denen jeweils zwei Seiten gleich lang sind? - Welche Beziehung hat der Winkel bei \(M\) im rechten Teildreieck zum linken Teildreieck?

1. Da \(AM = MB\), ist das Dreieck \(ABM\) gleichschenklig mit der Basis \(AB\). Somit ist \(\angle ABM = \angle BAM = 38^\circ\). 2. Der Außenwinkel \(\angle BMC\) des Dreiecks \(ABM\) ist die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel: \(\angle BMC = 38^\circ + 38^\circ = 76^\circ\). 3. Da \(MB = MC\), ist auch das Dreieck \(BCM\) gleichschenklig mit der Basis \(BC\). 4. Die beiden Basiswinkel in \(\triangle BCM\) sind daher gleich groß. Es gilt \(\gamma = (180^\circ - 76^\circ) : 2 = 52^\circ\).

\(\gamma = 52^\circ\)

- Welche Winkelbeziehungen entstehen, wenn zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten werden? - Was weißt du über die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck \(DBE\)? - Welche beiden Winkel des großen Dreiecks kannst du dadurch miteinander vergleichen?

1. Die Seitenmarkierungen zeigen \(BD=BE\). Daher sind im gleichschenkligen Dreieck \(DBE\) die Basiswinkel gleich: \(\angle BDE = \angle BED\). 2. Wegen \(DE \parallel AC\) sind \(\angle BAC\) und \(\angle BDE\) Stufenwinkel an Parallelen, also gilt \(\angle BAC = \angle BDE\). 3. Ebenso sind \(\angle BCA\) und \(\angle BED\) Stufenwinkel an Parallelen, also gilt \(\angle BCA = \angle BED\). 4. Aus der Gleichheit der Winkel in Schritt 1 folgt somit \(\angle BAC = \angle BCA\). 5. Ein Dreieck mit zwei gleichen Innenwinkeln ist gleichschenklig. Also ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

Durch die Parallelität von \(DE\) und \(AC\) sind die Winkel bei \(A\) und \(C\) gleich groß wie die Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks \(DBE\). Damit hat auch das Dreieck \(ABC\) zwei gleiche Winkel und ist gleichschenklig.

- Nutze für a) die rechten Innenwinkel des Rechtecks. - Welche Winkel am Schnittpunkt zweier Geraden sind gleich groß? - Welche beiden Eigenschaften der Rechteckdiagonalen liefern für c) gleiche Teilstrecken vom Schnittpunkt zu den Ecken?

1. Jede Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Es entstehen \(\triangle KLM\), \(\triangle LMN\), \(\triangle MNK\) und \(\triangle NKL\). 2. Die Markierung zeigt \(\angle KSL>90^\circ\). Der gegenüberliegende Winkel \(\angle MSN\) ist dazu ein Scheitelwinkel und daher gleich groß. Somit sind \(\triangle KLS\) und \(\triangle MNS\) stumpfwinklig. 3. Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang und halbieren einander. Deshalb gilt \(|SK|=|SL|=|SM|=|SN|\). Jedes der vier kleinen Dreiecke besitzt damit zwei gleich lange Seiten und ist gleichschenklig.

a) \(\triangle KLM\), \(\triangle LMN\), \(\triangle MNK\), \(\triangle NKL\) b) \(\triangle KLS\) und \(\triangle MNS\), weil \(\angle KSL>90^\circ\) markiert ist und \(\angle MSN\) als Scheitelwinkel gleich groß ist. c) Es gilt \(|SK|=|SL|=|SM|=|SN|\); daher hat jedes kleine Dreieck zwei gleich lange Seiten.

- Berechne im Dreieck \(ABD\) zuerst den dritten Winkel. - Was folgt aus zwei gleich großen Winkeln in einem Dreieck? - Bestimme für Teil b) zunächst \(\gamma\) im großen Dreieck.

1. Im Dreieck \(ABD\) ist \(\angle ADB = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ\). Damit sind \(\angle ADB\) und \(\angle ABD\) gleich groß; folglich ist \(AB = AD\). 2. Im Dreieck \(ABC\) ist \(\gamma = 180^\circ - 72^\circ - 72^\circ = 36^\circ\). 3. Im Dreieck \(ADC\) gilt damit \(\alpha_2 = \gamma = 36^\circ\). Daher ist \(AD = CD\).

a) \(ABD\) ist gleichschenklig, weil \(\angle ADB = \angle ABD = 72^\circ\); daher \(AB = AD\). b) \(ADC\) ist gleichschenklig, weil \(\alpha_2 = \gamma = 36^\circ\); daher \(AD = CD\).

- Welche Seiten einer Raute sind gleich lang? - Wie groß sind benachbarte Innenwinkel einer Raute zusammen? - Welche Eigenschaften haben die Diagonalen einer Raute? - Wie groß ist die Winkelsumme in einem Dreieck?

1. In einer Raute sind alle vier Seiten gleich lang. Im Dreieck \(PQS\) gilt deshalb \(PQ=PS\). Der Winkel bei \(P\) ist \(60^\circ\). Die beiden gleich großen Basiswinkel ergeben zusammen \(120^\circ\) und sind damit ebenfalls jeweils \(60^\circ\) groß. Das Dreieck \(PQS\) ist gleichseitig und spitzwinklig. 2. Im Dreieck \(PQR\) gilt \(PQ=QR\). Es ist also gleichschenklig. Der Innenwinkel der Raute bei \(Q\) ist \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\). Deshalb ist \(PQR\) gleichschenklig und stumpfwinklig. 3. Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren die Innenwinkel. Deshalb ist der Winkel bei \(Z\) \(90^\circ\), der Winkel bei \(P\) \(30^\circ\) und der Winkel bei \(Q\) \(60^\circ\) groß. Das Dreieck \(PQZ\) ist rechtwinklig und ungleichseitig.

a) \(PQS\) ist gleichseitig und spitzwinklig. b) \(PQR\) ist gleichschenklig und stumpfwinklig. c) Die Winkel sind \(30^\circ\), \(60^\circ\) und \(90^\circ\). Das Dreieck ist rechtwinklig und ungleichseitig.