- Suche zuerst den Teil direkt nach „Wenn“. - Welcher Teil des Satzes beschreibt die daraus folgende Aussage?

1. Die Voraussetzung steht im Wenn-Teil: Das Dreieck ist gleichseitig. 2. Die Behauptung steht im Dann-Teil: Das Dreieck ist gleichschenklig.

Voraussetzung: Das Dreieck ist gleichseitig. Behauptung: Das Dreieck ist gleichschenklig.

- Was ist im ursprünglichen Satz die Voraussetzung, was die Behauptung? - Beim Kehrsatz werden diese beiden Rollen vertauscht.

1. Für den Kehrsatz werden Voraussetzung und Behauptung vertauscht. 2. Der Kehrsatz lautet: Wenn \(PA=PB\) gilt, dann liegt \(P\) auf der Mittelsenkrechten der Strecke \(AB\).

Kehrsatz: Wenn \(PA=PB\) gilt, dann liegt \(P\) auf der Mittelsenkrechten der Strecke \(AB\).

- Welche Aussage steht im Wenn-Teil, welche im Dann-Teil? - Beim Kehrsatz werden genau diese beiden Teile vertauscht.

1. Voraussetzung: Die ganze Zahl ist durch \(4\) teilbar. 2. Behauptung: Die ganze Zahl ist gerade. 3. Für den Kehrsatz werden Voraussetzung und Behauptung vertauscht: Wenn eine ganze Zahl gerade ist, dann ist sie durch \(4\) teilbar.

a) Voraussetzung: Die Zahl ist durch \(4\) teilbar. Behauptung: Die Zahl ist gerade. b) Kehrsatz: Wenn eine ganze Zahl gerade ist, dann ist sie durch \(4\) teilbar.

- Wie viele Dreiecke hat Nora tatsächlich untersucht? - Gilt das nur für dieses eine Dreieck oder für alle gleichschenkligen Dreiecke?

1. Noras Zeichnung ist ein Beispiel. Sie untersucht nur ein einziges gleichschenkliges Dreieck. 2. Die Messung zeigt, dass die Aussage bei diesem einen Dreieck passt. 3. Für einen allgemeinen Beweis müsste man erklären, warum das bei jedem gleichschenkligen Dreieck so ist.

a) Die Zeichnung ist ein Beispiel, kein allgemeiner Beweis. b) Sie zeigt nur, dass die Aussage bei diesem einen Dreieck stimmt.

- Was steht im Wenn-Teil des Satzes, was im Dann-Teil? - Beim Kehrsatz werden Voraussetzung und Behauptung vertauscht. - Welche Seitenbeziehung folgt in einem Dreieck aus zwei gleich großen Winkeln?

1. Voraussetzung: Das Dreieck \(ABC\) ist gleichschenklig mit der Basis \(c\). Behauptung: \(\alpha=\beta\). 2. Kehrsatz: „Wenn in einem Dreieck \(ABC\) die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) gleich groß sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig mit der Basis \(c\).“ 3. Der Kehrsatz ist wahr. Gleich große Winkel liegen gleich langen Seiten gegenüber.

a) Voraussetzung: \(ABC\) ist gleichschenklig mit Basis \(c\). Behauptung: \(\alpha=\beta\). b) Wenn \(\alpha=\beta\) gilt, dann ist \(ABC\) gleichschenklig mit Basis \(c\). c) Der Kehrsatz ist wahr.

- Welche Aussage steht im Wenn-Teil, welche im Dann-Teil? - Beim Kehrsatz werden Voraussetzung und Behauptung vertauscht. - Wie kannst du die Lage der Geraden zum Kreis über ihren Abstand vom Mittelpunkt mit dem Radius vergleichen?

1. a) Voraussetzung: \(g\) berührt den Kreis im Punkt \(T\). Behauptung: \(g \perp MT\). 2. b) Kehrsatz: „Wenn \(T\) auf der Kreislinie liegt und eine Gerade \(g\) durch \(T\) senkrecht auf \(MT\) steht, dann ist \(g\) eine Tangente an den Kreis im Punkt \(T\).“ 3. c) Der Kehrsatz ist wahr. Weil \(MT\) senkrecht auf \(g\) steht, ist \(MT\) der Abstand des Mittelpunkts \(M\) von \(g\). Da \(T\) auf dem Kreis liegt, gilt \(MT=r\). Der Abstand der Geraden vom Mittelpunkt ist also gleich dem Radius; deshalb ist \(g\) eine Tangente und berührt den Kreis in \(T\).

a) Voraussetzung: \(g\) ist Tangente im Punkt \(T\). Behauptung: \(g \perp MT\). b) Wenn \(T\) auf dem Kreis liegt und \(g\) durch \(T\) senkrecht auf \(MT\) steht, dann ist \(g\) Tangente in \(T\). c) Der Kehrsatz ist wahr.

- Prüfe in jeder Teilaufgabe zuerst, welche Aussage bereits gegeben ist und welche erst gezeigt werden soll. - Beim Kehrsatz werden Voraussetzung und Behauptung des ursprünglichen Satzes vertauscht. - Vergleiche die beiden Bilder: Einmal ist die Kreiszugehörigkeit sichtbar, einmal der rechte Winkel.

1. In a) ist die Kreiszugehörigkeit die Voraussetzung: \(AB\) ist Durchmesser und \(C\) liegt auf dem Kreis. Daraus folgt nach dem Satz des Thales \(\angle ACB=90^\circ\). 2. In b) ist der rechte Winkel die Voraussetzung: \(\angle ACB=90^\circ\). Daraus folgt nach dem Kehrsatz, dass \(C\) auf dem Kreis mit Durchmesser \(AB\) liegt.

a) Satz des Thales; Voraussetzung: \(AB\) ist Durchmesser und \(C\) liegt auf dem Kreis; Behauptung: \(\angle ACB=90^\circ\). b) Kehrsatz; Voraussetzung: \(\angle ACB=90^\circ\); Behauptung: \(C\) liegt auf dem Thaleskreis über \(AB\).

- Beim Kehrsatz werden Voraussetzung und Behauptung des gegebenen Satzes vertauscht. - Für ein Gegenbeispiel muss die neue Voraussetzung erfüllt sein, die neue Behauptung aber scheitern. - Welche in der Abbildung angegebenen Seitenlängen widersprechen einer Rechteckeigenschaft?

1. a) Der Kehrsatz lautet: Wenn in einem Viereck die Diagonalen gleich lang sind, dann ist das Viereck ein Rechteck. 2. b) Der Kehrsatz ist falsch. Im abgebildeten Trapez gilt \(AC=BD\), also ist die Voraussetzung des Kehrsatzes erfüllt. 3. Es ist aber kein Rechteck, denn in einem Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang, während die in der Abbildung angegebenen Längen von \(AB\) und \(CD\) verschieden sind. Das Trapez ist daher ein Gegenbeispiel.

a) Wenn in einem Viereck die Diagonalen gleich lang sind, dann ist das Viereck ein Rechteck. b) Falsch. Das abgebildete Trapez hat gleich lange Diagonalen, ist wegen \(AB\ne CD\) aber kein Rechteck.

- Welche Eigenschaft steht in der ursprünglichen Regel als Bedingung, welche als Folge? - Was passiert mit diesen beiden Rollen beim Kehrsatz? - Ein Gegenbeispiel muss die Voraussetzung erfüllen und die Behauptung verletzen.

1. a) Als Wenn-dann-Satz lautet die Regel: Wenn eine Person Mitglied der Robotik-AG ist, dann trägt sie ein blaues Namensschild. 2. b) Der Kehrsatz lautet: Wenn eine Person ein blaues Namensschild trägt, dann ist sie Mitglied der Robotik-AG. 3. c) Lea erfüllt die Voraussetzung des Kehrsatzes, weil sie ein blaues Namensschild trägt, aber nicht seine Behauptung. Sie ist damit ein Gegenbeispiel. Der Kehrsatz ist falsch.

a) Wenn eine Person Mitglied der Robotik-AG ist, dann trägt sie ein blaues Namensschild. b) Wenn eine Person ein blaues Namensschild trägt, dann ist sie Mitglied der Robotik-AG. c) Der Kehrsatz ist falsch; Lea ist ein Gegenbeispiel.

- Woran erkennst du, ob eine Begründung nur einzelne Fälle oder alle Fälle erfasst? - Welche Schritte einer Begründung müssen unabhängig von konkreten Seitenlängen gelten?

1. Begründung B ist ein allgemeiner Beweis. Sie benutzt nur Eigenschaften, die für jedes Rechteck gelten, und keine gemessenen Werte eines einzelnen Beispiels. 2. Der SWS-Schluss zeigt deshalb für jedes Rechteck, dass \(AC=BD\) gilt. 3. Begründung A prüft nur drei einzelne Beispiele. Auch wenn alle drei passen, folgt daraus noch nicht, dass die Aussage für jedes Rechteck gilt.

a) Begründung B ist der allgemeine Beweis. b) Begründung A untersucht nur drei Beispiele. Beispiele können eine allgemeine Aussage bestätigen, aber nicht für alle Fälle beweisen.

- Erinnere dich an die Eigenschaften der verschiedenen Vierecke (Raute, Rechteck, Drachenviereck, Trapez). - Haben alle Vierecke mit senkrechten Diagonalen auch automatisch gleich lange Seiten UND rechte Winkel? - Skizziere dir verschiedene Vierecke, bei denen du die Diagonalen zuerst einzeichnest.

1. Bildung des Kehrsatzes: „Wenn in einem Viereck die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, dann ist es ein Quadrat.“ 2. Überprüfung der Wahrheit: Der Kehrsatz ist falsch. 3. Begründung durch Gegenbeispiel: Es gibt andere Vierecksarten, deren Diagonalen senkrecht zueinander verlaufen, die aber keine Quadrate sind. Eine Raute hat immer senkrechte Diagonalen, aber nur wenn alle Winkel \(90^\circ\) sind, ist sie ein Quadrat. Auch bei einem Drachenviereck stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, ohne dass es ein Quadrat sein muss.

a) Kehrsatz: Wenn in einem Viereck die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, dann ist es ein Quadrat. b) Der Kehrsatz ist falsch. Gegenbeispiel: Eine Raute oder ein Drachenviereck besitzen senkrechte Diagonalen, sind aber im Allgemeinen keine Quadrate.

- Schreibe den gegebenen Satz als „Wenn ..., dann ...“ und vertausche anschließend beide Teile. - Muss aus der Wahrheit eines Satzes automatisch die Wahrheit seines Kehrsatzes folgen? - Welche zusätzliche Winkeleigenschaft müsste ein Parallelogramm besitzen, um ein Rechteck zu sein?

1. Jonas vertauscht Voraussetzung und Behauptung des richtigen Satzes. Er benutzt also dessen Kehrsatz, ohne geprüft zu haben, ob dieser wahr ist. 2. Der Kehrsatz „Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, dann ist es ein Rechteck“ ist falsch. 3. Ein Parallelogramm mit einem Innenwinkel von \(60^\circ\) ist ein Gegenbeispiel: Es ist ein Parallelogramm, besitzt aber keine vier rechten Winkel und ist daher kein Rechteck.

a) Jonas verwendet den Kehrsatz des gegebenen Satzes, obwohl dessen Wahrheit nicht folgt. b) Zum Beispiel ist ein Parallelogramm mit einem Innenwinkel von \(60^\circ\) kein Rechteck.

- Welcher Baustein erzeugt überhaupt erst die zusätzliche geometrische Information im Inneren des Dreiecks? - In welchem Baustein stehen genau die drei Angaben, die für einen Kongruenzsatz gebraucht werden? - Erst nach welchem Ergebnis darf man entsprechende Winkel der beiden Teildreiecke gleichsetzen?

1. Die Voraussetzung lautet \(AB=AC\); die Behauptung lautet \(\angle ABC=\angle BCA\). 2. Zuerst kommt IV: Die Konstruktion der Winkelhalbierenden liefert \(\angle BAD=\angle DAC\). 3. Danach kommt II: \(AB=AC\) stammt aus der Voraussetzung, \(AD=AD\) ist die gemeinsame Seite und die Winkelgleichheit stammt aus IV. 4. Nun folgt I: Die drei in II genannten Übereinstimmungen sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, also SWS. 5. Zuletzt folgt III: Aus der Kongruenz sind entsprechende Winkel gleich groß; weil \(D\) auf \(BC\) liegt, sind dies die Basiswinkel des Ausgangsdreiecks. Die Reihenfolge ist IV, II, I, III.

a) Voraussetzung: \(AB=AC\); Behauptung: \(\angle ABC=\angle BCA\). b) IV, II, I, III. Begründung: IV liefert die gleiche Winkelhälfte; zusammen mit der Voraussetzung und der gemeinsamen Seite ergibt das II; II erlaubt SWS und damit I; aus der Kongruenz in I folgt die Winkelgleichheit III.

- Trenne bei beiden Aussagen klar zwischen Voraussetzung und Behauptung. - Welche Dreieckspaare entstehen am Schnittpunkt \(S\), und welche markierten Längen und Winkel stehen dir dort zur Verfügung? - Welche Winkelgleichheiten müssten aus einer Kongruenz folgen, damit du Parallelität begründen kannst?

1. Beim Kehrsatz werden Voraussetzung und Behauptung vertauscht: Aus „Parallelogramm“ folgt im Satz „Diagonalen halbieren sich“; im Kehrsatz ist die gegenseitige Halbierung die Voraussetzung und „Parallelogramm“ die Behauptung. 2. Aus den Markierungen folgt für \(\triangle ASB\) und \(\triangle CSD\): \(AS=SC\) und \(BS=SD\). Außerdem gilt \(\angle ASB=\angle CSD\) als Scheitelwinkel. Daher sind die Dreiecke nach SWS kongruent. 3. Aus der Kongruenz folgt \(\angle ABS=\angle CDS\). Damit gilt \(AB\parallel CD\). 4. Ebenso sind \(\triangle ASD\) und \(\triangle CSB\) nach SWS kongruent. Daraus folgt \(\angle ADS=\angle CBS\) und damit \(AD\parallel BC\). 5. Beide Paare gegenüberliegender Seiten sind parallel; somit ist \(ABCD\) ein Parallelogramm. 6. Satz und Kehrsatz sind verschiedene logische Aussagen. Die umgekehrte Richtung muss eigens bewiesen oder durch ein Gegenbeispiel widerlegt werden.

a) Voraussetzung und Behauptung werden vertauscht. b) Zwei SWS-Kongruenzen liefern entsprechende gleiche Winkel und damit \(AB\parallel CD\) sowie \(AD\parallel BC\). Deshalb ist \(ABCD\) ein Parallelogramm. c) Aus der Wahrheit eines Satzes folgt nicht automatisch die Wahrheit seines Kehrsatzes; die umgekehrte Richtung braucht einen eigenen Beweis.