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- In jedem Diagramm sind genau fünf Beobachtungen dargestellt. - Ordne die fünf Werte von links nach rechts und suche die mittlere Position. - Vergleiche anschließend nur die beiden Medianwerte.

1. In Gruppe Nord sind die fünf Werte \(1;3;4;6;8\). Der mittlere, dritte Wert ist \(4\), also ist \(m_N=4\). 2. In Gruppe Süd sind die fünf Werte \(2;4;7;8;9\). Der mittlere, dritte Wert ist \(7\), also ist \(m_S=7\). 3. Da \(7>4\), ist der Median in Gruppe Süd höher.

Gruppe Nord: \(m_N=4\); Gruppe Süd: \(m_S=7\). Der höhere Median gehört zu Gruppe Süd.

- Für die Spannweite brauchst du in jedem Datensatz nur den kleinsten und den größten Wert. - Berechne die beiden Spannweiten getrennt und vergleiche anschließend die Ergebnisse.

1. Für A gilt: \(R_A=7-3=4\). 2. Für B gilt: \(R_B=9-2=7\). 3. Da \(4<7\), hat Datensatz A die kleinere Spannweite.

\(R_A=4\), \(R_B=7\). Datensatz A hat die kleinere Spannweite.

- Das arithmetische Mittel ist hier bereits gegeben; du musst es nicht neu berechnen. - Vergleiche, wie weit die kleinsten und größten Werte in beiden Datensätzen auseinanderliegen.

1. Datensatz A enthält drei verschiedene Werte von \(2\) bis \(6\); seine Spannweite ist \(6-2=4\). 2. Datensatz B enthält nur den Wert \(4\); seine Spannweite ist \(4-4=0\). 3. Trotz gleichen arithmetischen Mittels sind die Datensätze daher nicht gleich verteilt.

Nein. A hat die Spannweite \(4\), B die Spannweite \(0\). Gleiches arithmetisches Mittel bedeutet nicht, dass die Datensätze gleich verteilt sind.

- Die Box zeigt den Bereich zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\). - Vergleiche nur die Breite der beiden Boxen; die Antennen brauchst du für diese Frage nicht.

1. Bei Gruppe P reicht die Box von \(4\) bis \(8\). Ihre Breite beträgt \(8-4=4\). 2. Bei Gruppe Q reicht die Box von \(5\) bis \(7\). Ihre Breite beträgt \(7-5=2\). 3. Die mittleren \(50\,\%\) liegen deshalb bei Gruppe Q enger zusammen.

Gruppe Q. Die Boxbreite beträgt dort \(2\), bei Gruppe P dagegen \(4\).

- Welcher Kennwert wird über die Position in einer geordneten Datenreihe definiert? - Verwende für b) nur den Kennwert, der zur Frage aus a) passt. - Überlege für c), wie das arithmetische Mittel gebildet wird und wie sich diese Definition vom Median unterscheidet.

1. Der Median ist der mittlere Wert einer geordneten Datenreihe. Daher passt der Median zur gestellten Frage. 2. Für den Median gilt \(7>6\). Nach diesem Kennwert liegt Gruppe Blau höher. 3. Das arithmetische Mittel entsteht aus der Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Es beschreibt nicht die mittlere Position der geordneten Daten. Deshalb beantwortet der Vergleich \(7{,}2>6{,}8\) die gestellte Frage nicht.

a) Der Median. b) Gruppe Blau, weil \(7>6\). c) Das arithmetische Mittel verwendet alle Werte über ihre Summe; es ist nicht der mittlere Wert der geordneten Datenreihe.

- Lies für beide Modelle Median, Minimum, Maximum und die beiden Boxkanten ab. - Vergleiche für b) sowohl den gesamten Abstand zwischen den Antennenenden als auch den Abstand zwischen den Boxkanten. - Welcher Anteil der Daten liegt ab dem oberen Quartil nach oben?

1. Beide Medianlinien liegen bei \(8\,\text{h}\); keines der Modelle hat einen höheren Median. 2. Für Modell X beträgt die Spannweite \(12-4=8\,\text{h}\), und die Box ist \(10-6=4\,\text{h}\) breit. Für Modell Y beträgt die Spannweite \(9-7=2\,\text{h}\), und die Box ist \(8{,}5-7{,}5=1\,\text{h}\) breit. Bei Modell Y liegen die beobachteten Laufzeiten nach beiden Vergleichen enger beieinander. 3. Bei Modell X ist \(Q_3=10\,\text{h}\). Daher liegen mindestens \(25\,\%\) der beobachteten Werte bei \(10\,\text{h}\) oder darüber.

a) Beide Modelle haben den Median \(8\,\text{h}\). b) Modell Y; Spannweite \(2\,\text{h}\) statt \(8\,\text{h}\), Boxbreite \(1\,\text{h}\) statt \(4\,\text{h}\). c) Mindestens \(25\,\%\)

- Bei einem vertikalen Boxplot entsprechen die untere und obere Boxkante den beiden Quartilen. - Die mittleren \(50\,\%\) liegen innerhalb der Box. - Für die Spannweite brauchst du in jeder Klasse Minimum und Maximum.

1. Für Klasse 7A liest man \(Q_1=2\) und \(Q_3=8\) ab. 2. Bei Klasse 7B reicht die Box von \(Q_1=4\) bis \(Q_3=7\). Die mittleren \(50\,\%\) liegen daher zwischen \(4\) und \(7\) gelesenen Büchern. 3. Die Spannweite von 7A ist \(20-0=20\) Bücher, die von 7B \(12-1=11\) Bücher. 7A hat die größere Spannweite; die Differenz beträgt \(20-11=9\) Bücher.

a) \(Q_1=2\), \(Q_3=8\) b) Zwischen \(4\) und \(7\) Büchern c) Klasse 7A; die Differenz der Spannweiten beträgt \(9\) Bücher.

- Welche Linie innerhalb des „Kastens“ stellt den Median dar? - Lies die Werte auf der Skala sorgfältig ab.

1. Ablesen der Mediane aus dem Boxplot: - Stadt X: Der Median liegt bei \(45\,\text{mm}\). - Stadt Y: Der Median liegt bei \(55\,\text{mm}\). 2. Vergleich: Der Median in Stadt Y ist höher. 3. Differenz berechnen: \(55\,\text{mm} - 45\,\text{mm} = 10\,\text{mm}\).

Der Median der täglichen Regenmenge liegt in Stadt Y mit \(55\,\text{mm}\) höher als in Stadt X (\(45\,\text{mm}\)). Der Unterschied beträgt \(10\,\text{mm}\).

- Die Spannweite ist der Abstand zwischen dem kleinsten und dem größten Wert. - Wo befinden sich Minimum und Maximum an den „Antennen“ des Boxplots?

1. Ablesen von Minimum und Maximum aus den Boxplots: - Dienst A: Minimum \(15\), Maximum \(60\). - Dienst B: Minimum \(20\), Maximum \(45\). 2. Berechnung der Spannweite (Maximum minus Minimum): - Dienst A: \(60 - 15 = 45\,\text{Minuten}\). - Dienst B: \(45 - 20 = 25\,\text{Minuten}\). 3. Vergleich: Dienst B hat mit \(25\,\text{Minuten}\) eine deutlich kleinere Spannweite als Dienst A (\(45\,\text{Minuten}\)).

Die Spannweite beträgt für Dienst A \(45\,\text{Minuten}\) und für Dienst B \(25\,\text{Minuten}\). Dienst B liefert innerhalb eines kleineren Zeitfensters aus.

- Ordne bei Teil a) Antennenenden, Boxkanten und Medianlinie den fünf Kennwerten zu. - Für Teil b) interessiert die Breite der Box zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\). - Formuliere die Schlussfolgerung nur für das, was die dargestellten Stichproben tatsächlich zeigen.

1. Für Dünger A liest man Minimum \(15\,\text{cm}\), \(Q_1=22\,\text{cm}\), Median \(28\,\text{cm}\), \(Q_3=35\,\text{cm}\) und Maximum \(45\,\text{cm}\) ab. 2. Bei Dünger A ist die Box \(35-22=13\,\text{cm}\) breit. 3. Bei Dünger B reicht die Box von \(25\,\text{cm}\) bis \(33\,\text{cm}\) und ist damit \(8\,\text{cm}\) breit. 4. In der Stichprobe zu Dünger B liegen die mittleren \(50\,\%\) also enger beieinander. Die dargestellten Stichproben stützen damit die Behauptung für diese Untersuchung; daraus folgt allein keine allgemeine Aussage über alle Pflanzen.

a) Minimum \(15\,\text{cm}\), \(Q_1=22\,\text{cm}\), Median \(28\,\text{cm}\), \(Q_3=35\,\text{cm}\), Maximum \(45\,\text{cm}\) b) Ja, für die dargestellten Stichproben: Die Box von Dünger B ist mit \(8\,\text{cm}\) schmaler als die von Dünger A mit \(13\,\text{cm}\). Die mittleren \(50\,\%\) der Werte liegen bei B enger beieinander.

- Die Werte sind bereits geordnet; bei fünf Werten liegt der Median genau in der Mitte. - Für die Spannweite vergleichst du in jeder Gruppe nur den kleinsten mit dem größten Wert. - Halte Median und Spannweite getrennt: Sie können unterschiedliche Gruppen begünstigen.

1. Bei fünf geordneten Werten ist jeweils der dritte Wert der Median. Daher ist \(m_A=7\) und \(m_B=8\). 2. Für A ist die Spannweite \(R_A=9-5=4\). 3. Für B ist die Spannweite \(R_B=15-7=8\). 4. Nach dem Median liegt B höher. Den kleineren beobachteten Wertebereich hat A.

a) A: \(m_A=7\), \(R_A=4\). B: \(m_B=8\), \(R_B=8\). b) Nach dem Median liegt B höher; die kleinere Spannweite hat A.

- Der Median beschreibt, wo die Mitte der Daten liegt; er ist kein Streuungsmaß. - Lies für die Spannweite die beiden Antennenenden ab. - Vergleiche zusätzlich die Abstände zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\).

1. Bei Gruppe A beträgt die Spannweite \(12-8=4\), bei Gruppe B \(13-3=10\). 2. Die Box von A reicht von \(9\) bis \(11\) und ist damit \(2\) Einheiten breit. Die Box von B reicht von \(5\) bis \(11\) und ist \(6\) Einheiten breit. 3. Nach beiden betrachteten Streuungsmerkmalen streuen die Werte von A weniger als die von B. 4. Lenas Begründung ist falsch: Die Höhe des Medians beschreibt die Lage, nicht die Streuung.

Lenas Aussage ist falsch. Gruppe A hat die kleinere Spannweite \(4\) statt \(10\) und die kleinere Boxbreite \(2\) statt \(6\). Ein kleinerer Median bedeutet nicht automatisch eine kleinere Streuung.

- Für Teil a) ist nur der Median relevant: Welche typische Zeit ist kleiner? - Für Teil b) ist die Spannweite bereits angegeben; vergleiche die beiden Werte direkt. - Prüfe für Teil c), ob derselbe Datensatz bei beiden Kriterien günstiger abschneidet.

1. Für eine kürzere typische Fahrzeit spricht der kleinere Median. Mit \(19\,\text{min}\) liegt Strecke L unter Strecke K mit \(22\,\text{min}\). 2. Den kleineren beobachteten Zeitbereich hat Strecke K, weil ihre Spannweite \(6\,\text{min}\) statt \(14\,\text{min}\) beträgt. 3. Median und Spannweite bewerten unterschiedliche Eigenschaften. Hier spricht der Median für L, die Spannweite für K. Ohne ein festgelegtes Vergleichsziel gibt es deshalb aus diesen Angaben allein keine eindeutige Gesamtrangfolge.

a) Strecke L. b) Strecke K. c) Der Median spricht hier für L, die Spannweite für K. Die Kennwerte beschreiben verschiedene Eigenschaften; ohne Vergleichsziel folgt daraus keine eindeutige Gesamtentscheidung.

- Für eine mittlere jährliche Änderung brauchst du die Änderung des Messwerts und die Länge des Zeitraums. - Wo liegt 2018 zwischen den beiden bekannten Jahren 2016 und 2020, wenn du eine lineare Entwicklung annimmst? - Vergleiche für die Prognose die zuletzt beobachtete jährliche Änderungsrate mit der Änderungsrate, die bis 2030 nötig wäre.

1. Von 2000 bis 2012 steigt die Müllmenge um \(42\,\text{kg}-32\,\text{kg}=10\,\text{kg}\) in \(12\) Jahren. Die durchschnittliche jährliche Zunahme beträgt daher \(10:12\approx 0{,}83\,\text{kg}\) pro Jahr. 2. Das Jahr 2018 liegt genau in der Mitte zwischen 2016 und 2020. Bei linearer Interpolation ergibt sich \((44+45):2=44{,}5\,\text{kg}\). 3. Von 2012 bis 2020 steigt die Müllmenge um \(45\,\text{kg}-42\,\text{kg}=3\,\text{kg}\) in \(8\) Jahren, also durchschnittlich um \(3:8=0{,}375\,\text{kg}\) pro Jahr. Für mehr als \(60\,\text{kg}\) im Jahr 2030 wären ausgehend von \(45\,\text{kg}\) im Jahr 2020 mehr als \(15\,\text{kg}\) in \(10\) Jahren, also mehr als \(1{,}5\,\text{kg}\) pro Jahr, nötig. Das ist mit dem jüngeren Trend nicht vereinbar.

a) Die durchschnittliche jährliche Zunahme beträgt etwa \(0{,}83\,\text{kg}\) pro Jahr. b) Für 2018 ergibt die lineare Interpolation \(44{,}5\,\text{kg}\). c) Die Prognose erscheint anhand des Trends von 2012 bis 2020 nicht realistisch; dort beträgt die durchschnittliche Zunahme nur \(0{,}375\,\text{kg}\) pro Jahr, erforderlich wären mehr als \(1{,}5\,\text{kg}\) pro Jahr.

- Beschreibe zuerst für jede Abteilung, ob die Werte mit der Zeit steigen oder fallen. - Betrachte für den Gleichstand die Differenz der beiden Mitgliederzahlen in den Jahren 2019 und 2022 und nimm dazwischen eine lineare Änderung an. - Für 2025 kannst du die Änderung des letzten Dreijahresabschnitts auf den nächsten gleich langen Abschnitt übertragen.

1. Die Mitgliederzahl im Tennis sinkt von \(240\) auf \(190\), während sie im Basketball von \(80\) auf \(210\) steigt. 2. Im Jahr 2019 beträgt die Differenz „Tennis minus Basketball“ \(205-175=30\), im Jahr 2022 beträgt sie \(190-210=-20\). Die Differenz nimmt in \(3\) Jahren also um \(50\) ab. Bis zum Gleichstand muss sie um \(30\) abnehmen; das entspricht \(\frac{30}{50}\) des Dreijahreszeitraums, also \(\frac{30}{50}\cdot 3=1{,}8\) Jahren nach 2019. Der Gleichstand liegt damit ungefähr im Jahr 2021. 3. Von 2019 bis 2022 steigt Basketball um \(210-175=35\) Mitglieder. Bei gleicher linearer Entwicklung kommen bis 2025 nochmals \(35\) hinzu, also \(210+35=245\).

a) Die Tennisabteilung verliert Mitglieder, während die Basketballabteilung Mitglieder gewinnt. b) Unter der Annahme einer gleichmäßigen Entwicklung liegt der Gleichstand ungefähr im Jahr 2021. c) Für 2025 ergibt die Trendfortsetzung ungefähr \(245\) Basketballmitglieder.

- Wo liegt der Median in einem Boxplot? Suche nach dem Strich innerhalb der Box. - Wie berechnet man die Spannweite? Subtrahiere den kleinsten Wert (Minimum) vom größten Wert (Maximum). - Was bedeuten die Antennen an den äußeren Enden für die Mindestlaufzeit? - Überlege, wie viel Prozent der Daten links vom unteren Quartil (\(Q_1\)) liegen.

1. Bestimmung der Kennwerte: - Marke A: Der Median liegt bei \(40\,\text{Stunden}\). Die Spannweite beträgt \(60 - 20 = 40\,\text{Stunden}\). - Marke B: Der Median liegt bei \(39\,\text{Stunden}\). Die Spannweite beträgt \(45 - 32 = 13\,\text{Stunden}\). 2. Zuverlässigkeit in der Stichprobe: - Bei Marke A liegt das Minimum bei \(20\,\text{Stunden}\). Damit gab es getestete Akkus, die weniger als \(30\,\text{Stunden}\) hielten. - Bei Marke B liegt bereits das Minimum bei \(32\,\text{Stunden}\). Somit hielten alle getesteten Akkus mindestens \(30\,\text{Stunden}\). Aufgrund der Testdaten ist Marke B für diese Anforderung die geeignetere Wahl.

a) **Marke A**: Median = \(40\,\text{Stunden}\), Spannweite = \(40\,\text{Stunden}\). **Marke B**: Median = \(39\,\text{Stunden}\), Spannweite = \(13\,\text{Stunden}\). b) Aufgrund der Testdaten sollte der Käufer **Marke B** wählen. Bei Marke B beträgt die minimale gemessene Laufzeit \(32\,\text{Stunden}\), während bei Marke A ein Minimum von nur \(20\,\text{Stunden}\) auftrat.

- Wo befindet sich das obere Quartil (\(Q_3\)) in einem Boxplot? Betrachte das rechte Ende der Box. - Wie liest man den Maximalwert ab? Schaue dir das äußerste rechte Ende der Antenne an. - Was sagt der Median (der Strich in der Box) über die Verteilung der Verspätungen aus? - Vergleiche die maximale Verspätung beider Linien. Bei welcher Linie war die größte beobachtete Verspätung geringer?

1. Ablesen der Werte: - Linie 101: Das obere Quartil (\(Q_3\)) liegt bei \(7\,\text{Minuten}\). Die maximale Verspätung liegt bei \(15\,\text{Minuten}\). - Linie 102: Das obere Quartil (\(Q_3\)) liegt bei \(6\,\text{Minuten}\). Die maximale Verspätung liegt bei \(8\,\text{Minuten}\). 2. Vergleich des Medians: - Der Median von Linie 101 beträgt \(4\,\text{Minuten}\), der von Linie 102 \(5\,\text{Minuten}\). - Linie 101 hat den kleineren Median. Bei mindestens der Hälfte der erfassten Fahrten betrug die Verspätung dort höchstens \(4\,\text{Minuten}\); bei Linie 102 lag diese Grenze bei \(5\,\text{Minuten}\). 3. Entscheidung bei Anschlusszügen: - In der erfassten Stichprobe beträgt die größte Verspätung bei Linie 102 nur \(8\,\text{Minuten}\), bei Linie 101 dagegen \(15\,\text{Minuten}\). Für einen wichtigen Anschluss kann daher Linie 102 aufgrund der geringeren beobachteten Maximalverspätung günstiger erscheinen. Eine Garantie für zukünftige Fahrten ergibt sich daraus nicht.

a) **Linie 101**: Oberes Quartil = \(7\,\text{Minuten}\), maximale Verspätung = \(15\,\text{Minuten}\). **Linie 102**: Oberes Quartil = \(6\,\text{Minuten}\), maximale Verspätung = \(8\,\text{Minuten}\). b) **Linie 101** hat den kleineren Median (\(4\,\text{Minuten}\) gegenüber \(5\,\text{Minuten}\)). Bei mindestens der Hälfte der erfassten Fahrten betrug die Verspätung dort höchstens \(4\,\text{Minuten}\); bei Linie 102 lag diese Grenze bei \(5\,\text{Minuten}\). c) In der Stichprobe ist die maximale Verspätung bei **Linie 102** mit \(8\,\text{Minuten}\) deutlich geringer als bei Linie 101 (\(15\,\text{Minuten}\)). Das kann bei einem wichtigen Anschluss für Linie 102 sprechen, garantiert aber keine künftige Verspätungsgrenze.

- Für die Spannweite vergleichst du jeweils die beiden Antennenenden. - Für b) brauchst du nur den Abstand zwischen der linken und rechten Boxkante. - Bei Sprintzeiten bedeutet ein kleinerer Median eine schnellere typische Zeit. - Welcher Anteil der Daten liegt höchstens beim oberen Quartil?

1. Für Klasse 7A beträgt die Spannweite \(21\,\text{s}-13\,\text{s}=8\,\text{s}\). Für Klasse 7B beträgt sie \(20\,\text{s}-12\,\text{s}=8\,\text{s}\). 2. Die Box von 7A reicht von \(15\,\text{s}\) bis \(18\,\text{s}\) und ist \(3\,\text{s}\) breit. Die Box von 7B reicht von \(14\,\text{s}\) bis \(19\,\text{s}\) und ist \(5\,\text{s}\) breit. Gesucht ist daher 7B. 3. Die Medianwerte sind \(16\,\text{s}\) für 7A und \(17\,\text{s}\) für 7B. Wegen der kleineren Zeit ist der Median von 7A schneller. 4. Bei 7A ist \(Q_3=18\,\text{s}\). Mindestens \(75\,\%\) der Werte sind höchstens so groß. Die Aussage ist wahr.

a) Beide Klassen: \(8\,\text{s}\) b) Klasse 7B c) Klasse 7A mit \(16\,\text{s}\) d) Wahr; \(Q_3=18\,\text{s}\).

- Vergleiche Mittelwert, Median und Spannweite als drei unterschiedliche Kennwerte derselben beiden Datensätze. - Für den Median musst du die fünf Werte jeder Stadt zunächst der Größe nach ordnen. - Überlege bei der Spannweite genau, welche zwei Beobachtungen in ihre Berechnung eingehen und welche Informationen sie nicht berücksichtigt.

1. Für Stadt A gilt \(\bar{x}_A=(18+22+25+20+15):5=20\,\text{°C}\). Für Stadt B gilt \(\bar{x}_B=(16+19+21+24+20):5=20\,\text{°C}\). Beide Mittelwerte sind gleich. 2. Geordnet lauten die Werte von Stadt A \(15;18;20;22;25\), daher ist \(m_A=20\,\text{°C}\). Für Stadt B erhält man \(16;19;20;21;24\), daher ist \(m_B=20\,\text{°C}\). 3. Die Spannweite von Stadt A ist \(R_A=25-15=10\,\text{°C}\). Für Stadt B gilt \(R_B=24-16=8\,\text{°C}\). 4. Damit ist bei Stadt A der Abstand zwischen dem kleinsten und dem größten beobachteten Wochenwert größer. Aus der Spannweite allein folgt jedoch keine Aussage über alle täglichen Änderungen zwischen aufeinanderfolgenden Tagen.

a) Beide Städte haben das arithmetische Mittel \(20\,\text{°C}\). b) Beide Mediane betragen \(20\,\text{°C}\). Die Spannweite beträgt bei Stadt A \(10\,\text{°C}\), bei Stadt B \(8\,\text{°C}\). Stadt A hat also den größeren Abstand zwischen Wochenminimum und Wochenmaximum; die Spannweite beschreibt nicht sämtliche täglichen Temperaturschwankungen.

- Schau dir die Werte für jede Person in beiden Diagrammen genau an und schreibe sie dir als Liste auf. - Wie berechnet man das arithmetische Mittel (den Durchschnitt) einer Reihe von Zahlen? - Was gibt die Spannweite über die Verteilung der Daten an und wie wird sie berechnet? - Vergleiche nicht nur die nackten Zahlen, sondern überlege, was die Spannweite für die Unterschiede innerhalb der beiden Gruppen bedeutet.

1. Arithmetisches Mittel berechnen: Gruppe aus der Klasse 7a: Summe der Werte: \(2 + 4 + 5 + 1 + 6 + 3 + 2 + 9 = 32\). Das arithmetische Mittel ist \(\frac{32}{8} = 4\,\text{Stunden}\). Gruppe aus der Klasse 7b: Summe der Werte: \(3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 3 + 5 + 5 = 32\). Das arithmetische Mittel ist \(\frac{32}{8} = 4\,\text{Stunden}\). Beide Gruppen treiben im Durchschnitt genau gleich viel Sport (\(4\,\text{Stunden}\) pro Woche). 2. Spannweite berechnen: Gruppe aus der Klasse 7a: Der größte Wert ist \(9\,\text{Stunden}\), der kleinste Wert ist \(1\,\text{Stunde}\). Die Spannweite beträgt \(9 - 1 = 8\,\text{Stunden}\). Gruppe aus der Klasse 7b: Der größte Wert ist \(5\,\text{Stunden}\), der kleinste Wert ist \(3\,\text{Stunden}\). Die Spannweite beträgt \(5 - 3 = 2\,\text{Stunden}\). 3. Datensätze vergleichen: Obwohl beide Gruppen im Durchschnitt gleich viel Sport treiben, sind die Werte in der Gruppe aus der Klasse 7a viel weiter gestreut (große Spannweite von \(8\,\text{Stunden}\)). In der Gruppe aus der Klasse 7b sind die Werte viel gleichmäßiger verteilt (kleine Spannweite von \(2\,\text{Stunden}\)).

a) Gruppe aus der Klasse 7a: \(4\,\text{Stunden}\); Gruppe aus der Klasse 7b: \(4\,\text{Stunden}\). Das arithmetische Mittel ist bei beiden Gruppen gleich. b) Gruppe aus der Klasse 7a: \(8\,\text{Stunden}\); Gruppe aus der Klasse 7b: \(2\,\text{Stunden}\). c) In der Gruppe aus der Klasse 7a sind die Sportstunden viel unterschiedlicher verteilt (große Streuung mit einer Spannweite von \(8\,\text{Stunden}\)), während in der Gruppe aus der Klasse 7b alle Schülerinnen und Schüler ähnlich viel Sport treiben (geringe Streuung mit einer Spannweite von nur \(2\,\text{Stunden}\)).

- Berücksichtige bei der Gesamtsumme jede Zeit entsprechend ihrer Häufigkeit. - Bei jeweils \(20\) Werten bestimmen zwei mittlere Positionen den Median. - Vergleiche Mittelwert und Median getrennt; gleiche Mediane erzwingen keine gleichen Mittelwerte.

1. Für Klasse 7A ist die Gesamtsumme \(15\cdot1+30\cdot8+45\cdot6+60\cdot4+75\cdot1=840\,\text{min}\). Das arithmetische Mittel ist \(840\,\text{min}:20=42\,\text{min}\). 2. Für Klasse 7B ist die Gesamtsumme \(15\cdot1+30\cdot5+45\cdot6+60\cdot7+75\cdot1=930\,\text{min}\). Das arithmetische Mittel ist \(930\,\text{min}:20=46{,}5\,\text{min}\). 3. In 7A belegen \(15\) und \(30\) Minuten zusammen die ersten \(9\) Positionen; die Positionen \(10\) und \(11\) liegen bei \(45\) Minuten. In 7B liegen nach \(6\) kleineren Werten die Positionen \(10\) und \(11\) ebenfalls bei \(45\) Minuten. Daher gilt in beiden Klassen \(m=45\,\text{min}\). 4. Das arithmetische Mittel ist in 7B um \(46{,}5-42=4{,}5\,\text{min}\) höher; die Mediane sind gleich.

a) 7A: \(42\,\text{min}\); 7B: \(46{,}5\,\text{min}\) b) Beide Klassen: \(45\,\text{min}\) c) Das arithmetische Mittel ist in 7B um \(4{,}5\,\text{min}\) höher; die Mediane sind gleich.

- Bestimme aus Wert und Häufigkeit jeweils die gesamte Höhensumme einer Gruppe. - Bei \(20\) Pflanzen brauchst du für den Median die beiden mittleren Positionen. - Trenne in c) die Beobachtung „Gruppe B ist hier höher“ von einer allgemeinen Behauptung über die Ursache.

1. Gruppe A umfasst \(20\) Pflanzen. Die Höhensumme ist \(10\cdot2+11\cdot4+12\cdot8+13\cdot4+14\cdot2=240\,\text{cm}\), also \(\bar{x}_A=12\,\text{cm}\). 2. Gruppe B umfasst ebenfalls \(20\) Pflanzen. Die Höhensumme ist \(10\cdot3+11\cdot4+12\cdot3+13\cdot4+14\cdot6=246\,\text{cm}\), also \(\bar{x}_B=12{,}3\,\text{cm}\). 3. In Gruppe A sind der \(10.\) und \(11.\) Wert beide \(12\,\text{cm}\), daher ist \(m_A=12\,\text{cm}\). 4. In Gruppe B ist der \(10.\) Wert \(12\,\text{cm}\) und der \(11.\) Wert \(13\,\text{cm}\), daher ist \(m_B=12{,}5\,\text{cm}\). 5. In den vorliegenden Messdaten liegt Gruppe B nach beiden Kennwerten etwas höher. Daraus allein folgt keine allgemeine Ursache-Wirkungs-Aussage über das Düngemittel.

a) Gruppe A: \(12\,\text{cm}\); Gruppe B: \(12{,}3\,\text{cm}\) b) Gruppe A: \(12\,\text{cm}\); Gruppe B: \(12{,}5\,\text{cm}\) c) In diesen Messdaten liegt Gruppe B nach arithmetischem Mittel und Median etwas höher.

- Für den Mittelwert muss jede Punktzahl entsprechend ihrer Häufigkeit in die Punktesumme eingehen. - Welche beiden Positionen bestimmen bei \(20\) Werten den Median? - Für die Spannweite brauchst du in jeder Klasse nur Minimum und Maximum.

1. In Klasse 7a gibt es \(20\) Werte mit der Punktesumme \(1\cdot1+2\cdot5+3\cdot3+4\cdot5+5\cdot6=70\). Daher ist \(\bar{x}_{7a}=70:20=3{,}5\). 2. In Klasse 7b gibt es \(20\) Werte mit der Punktesumme \(1\cdot1+2\cdot5+3\cdot6+4\cdot7+5\cdot1=62\). Daher ist \(\bar{x}_{7b}=62:20=3{,}1\). Nach dem arithmetischen Mittel liegt 7a höher. 3. In 7a liegen nach \(9\) Ergebnissen mit höchstens \(3\) Punkten die Positionen \(10\) und \(11\) bei \(4\) Punkten, also ist \(m_{7a}=4\). In 7b belegt die Punktzahl \(3\) die Positionen \(7\) bis \(12\), also ist \(m_{7b}=3\). 4. In beiden Klassen sind Minimum \(1\) und Maximum \(5\). Beide Spannweiten betragen daher \(5-1=4\) Punkte.

a) 7a: \(3{,}5\); 7b: \(3{,}1\); nach dem arithmetischen Mittel liegt 7a höher. b) 7a: \(4\); 7b: \(3\) c) Beide Spannweiten betragen \(4\) Punkte.

- Addiere zuerst die Häufigkeiten jeder Klasse. - Beim Notendurchschnitt muss jede Note entsprechend ihrer Häufigkeit in die Summe eingehen. - Bei \(25\) geordneten Werten gibt es genau eine mittlere Position.

1. In 7a gibt es \(3+9+5+6+2=25\) Schülerinnen und Schüler; in 7b \(1+6+8+9+1=25\). 2. Für 7a beträgt die Notensumme \(1\cdot3+2\cdot9+3\cdot5+4\cdot6+5\cdot2=70\), also \(\bar{x}_{7a}=70:25=2{,}8\). 3. Für 7b beträgt die Notensumme \(1\cdot1+2\cdot6+3\cdot8+4\cdot9+5\cdot1=78\), also \(\bar{x}_{7b}=78:25=3{,}12\). Da kleinere Schulnoten besser sind, liegt 7a nach dem Notendurchschnitt vorn. 4. Bei \(25\) Werten ist jeweils der \(13.\) Wert der Median. In 7a liegen die ersten \(12\) Werte unter \(3\); in 7b die ersten \(7\). In beiden Klassen liegt die \(13.\) Position bei der Note \(3\). Daher gilt \(m_{7a}=m_{7b}=3\).

a) Beide Klassen: \(25\) Schülerinnen und Schüler b) 7a: \(2{,}8\); 7b: \(3{,}12\); nach dem Notendurchschnitt ist 7a besser. c) Beide Mediane: \(3\)

- Nutze für das arithmetische Mittel die Häufigkeit jeder gelesenen Buchzahl. - Welche beiden Positionen bestimmen bei \(20\) Werten den Median? - Für die Spannweite brauchst du nur den kleinsten und den größten tatsächlich vorkommenden Wert.

1. In 7a wurden insgesamt \(0\cdot1+1\cdot7+2\cdot4+3\cdot6+4\cdot1+5\cdot1=42\) Bücher gelesen. Daher ist \(\bar{x}_{7a}=42:20=2{,}1\). 2. In 7b wurden insgesamt \(0\cdot1+1\cdot6+2\cdot4+3\cdot4+4\cdot5=46\) Bücher gelesen. Daher ist \(\bar{x}_{7b}=46:20=2{,}3\). 3. In 7a liegen die Positionen \(10\) und \(11\) bei \(2\) Büchern, weil bis \(1\) Buch \(8\) Werte und bis \(2\) Bücher \(12\) Werte erreicht sind. In 7b sind bis \(1\) Buch \(7\) Werte und bis \(2\) Bücher \(11\) Werte erreicht. In beiden Klassen ist daher \(m=2\). 4. Für 7a gilt \(R=5-0=5\); für 7b gilt \(R=4-0=4\). Der beobachtete Gesamtbereich ist in 7a größer.

a) 7a: \(2{,}1\) Bücher; 7b: \(2{,}3\) Bücher b) Beide Klassen: \(m=2\) Bücher c) 7a: \(R=5\); 7b: \(R=4\); 7a hat die größere Spannweite.

- Schau dir die Skala genau an, um die Werte an den Boxenrändern abzulesen. - Welcher Kennwert trennt die unteren \(25\,\%\) von den oberen \(75\,\%\) der Daten ab? - Wo findest du im Boxplot die Information über den absolut höchsten gemessenen Wert?

1. Kennwerte für Typ B ablesen: Das linke Ende der Box, also das untere Quartil \(Q_1\), liegt bei \(8500\,\text{h}\). Das rechte Ende der Box, also das obere Quartil \(Q_3\), liegt bei \(10\,000\,\text{h}\). 2. Prüfung des Qualitätskriteriums: - Bei Typ B liegt \(Q_1\) bei \(8500\,\text{h}\). Daher halten mindestens \(75\,\%\) der Lampen \(8500\,\text{h}\) oder länger und damit auch mindestens \(8000\,\text{h}\). - Bei Typ A liegt \(Q_1\) bei \(7500\,\text{h}\) und der Median bei \(8500\,\text{h}\). Aus dem Boxplot allein lässt sich nicht bestimmen, ob mindestens \(75\,\%\) der Lampen \(8000\,\text{h}\) erreichen. Somit erfüllt nur Typ B das Kriterium nachweislich. 3. Vergleich der Maxima: Das rechte Ende der Antenne gibt den Maximalwert an. Typ A erreicht ein Maximum von \(11\,500\,\text{h}\), Typ B ein Maximum von \(10\,500\,\text{h}\). Typ A lieferte somit die langlebigste Einzellampe im Test.

a) Typ B: \(Q_1 = 8500\,\text{h}\), \(Q_3 = 10\,000\,\text{h}\). b) Typ B erfüllt das Kriterium nachweislich, da mindestens \(75\,\%\) der Werte bei \(8500\,\text{h}\) oder darüber liegen. Für Typ A lässt sich das Kriterium aus dem Boxplot nicht sicher beurteilen. c) Typ A hat mit \(11\,500\,\text{h}\) eine höhere maximale Lebensdauer als Typ B (\(10\,500\,\text{h}\)).

- Die Medianlinie liegt innerhalb jeder Box. - Für die Spannweite vergleichst du die beiden Antennenenden. - Für c) betrachtest du nur den Abstand zwischen den beiden Boxkanten.

1. Die Mediane sind \(24\) Punkte in 7A und \(26\) Punkte in 7B. Der Median ist in 7B höher. 2. Die Spannweite von 7A beträgt \(40-12=28\) Punkte, die von 7B \(36-14=22\) Punkte. 7A hat die größere Spannweite. 3. Die Box von 7A reicht von \(18\) bis \(30\) und ist \(12\) Punkte breit. Die Box von 7B reicht von \(22\) bis \(28\) und ist \(6\) Punkte breit. Daher liegen die mittleren \(50\,\%\) in 7B näher beieinander.

a) Klasse 7B b) Klasse 7A c) Klasse 7B; ihre Box ist \(6\) Punkte breit, die von 7A \(12\) Punkte.

- Bei zehn geordneten Werten bilden der fünfte und sechste Wert gemeinsam den Median. - Für \(Q_1\) und \(Q_3\) suchst du jeweils den mittleren Wert der unteren beziehungsweise oberen fünf Werte. - Vergleiche in c) zwei verschiedene Arten von Ausdehnung: den gesamten beobachteten Bereich und den Bereich von \(Q_1\) bis \(Q_3\).

1. Für Felix ist \(Q_1=8100\), weil dies der mittlere Wert der unteren fünf Werte ist. Aus \(9000\) und \(9200\) folgt \(m_F=(9000+9200):2=9100\). In der oberen Hälfte ist \(Q_3=11\,000\). Die Spannweite ist \(14\,000-6200=7800\). 2. Für Lara ist \(Q_1=8500\). Aus \(9100\) und \(9400\) folgt \(m_L=(9100+9400):2=9250\). In der oberen Hälfte ist \(Q_3=10\,200\). Die Spannweite ist \(11\,000-8000=3000\). 3. Gemessen am Median ist Lara mit \(9250\) Schritten aktiver als Felix mit \(9100\). 4. Der Abstand zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\) beträgt bei Felix \(11\,000-8100=2900\), bei Lara \(10\,200-8500=1700\). Sowohl dieser Abstand als auch die Spannweite sind bei Lara kleiner.

a) Felix: \(Q_1=8100\), Median \(9100\), \(Q_3=11\,000\), Spannweite \(7800\) Lara: \(Q_1=8500\), Median \(9250\), \(Q_3=10\,200\), Spannweite \(3000\) b) Lara c) Lara; Spannweite \(3000<7800\) und Abstand \(Q_3-Q_1=1700<2900\).

- Teile bei acht geordneten Werten jede Datenreihe in eine untere und eine obere Hälfte. - Bestimme in jeder Hälfte wieder den mittleren Wert; daraus erhältst du \(Q_1\) und \(Q_3\). - Für b) vergleichst du den Abstand zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\) für beide Spieler.

1. Bei Lukas ist die untere Hälfte \(12;14;16;18\), also \(Q_1=(14+16):2=15\). Die obere Hälfte ist \(20;22;28;34\), also \(Q_3=(22+28):2=25\). 2. Bei Tim ist die untere Hälfte \(18;19;20;21\), also \(Q_1=(19+20):2=19{,}5\). Die obere Hälfte ist \(22;23;24;25\), also \(Q_3=(23+24):2=23{,}5\). 3. Bei Lukas beträgt der Abstand \(25-15=10\) Punkte, bei Tim \(23{,}5-19{,}5=4\) Punkte. Bei Tim liegen die mittleren \(50\,\%\) deshalb enger zusammen. 4. Tims Median ist \(21{,}5\). Die vier Werte \(22,23,24,25\) sind mindestens so groß; Tim erreicht die Bedingung in \(4\) Spielen.

a) Lukas: \(Q_1=15\), \(Q_3=25\); Tim: \(Q_1=19{,}5\), \(Q_3=23{,}5\). b) Tim; der Abstand zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\) beträgt \(4\) Punkte, bei Lukas \(10\) Punkte. c) \(4\) Spiele

- Vergleiche die Endpunkte der Antennen, um Aussagen über die Extremwerte und die Spannweite zu prüfen. - Der Strich innerhalb der Box markiert den Median. Vergleiche seine Position auf der Skala für beide Klassen. - Überlege dir, welcher Anteil der Daten innerhalb der Box (zwischen den Quartilen) liegt. - Die Spannweite berechnet sich aus der Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert.

1. Analyse von Aussage 1: Das Maximum von Klasse 7b liegt bei \(35\), das von Klasse 7a bei \(32\). Da \(35 > 32\), ist die Aussage wahr. 2. Analyse von Aussage 2: Der Median liegt bei Klasse 7a bei \(23{,}5\) und bei Klasse 7b bei \(25{,}5\). Die Aussage ist falsch. 3. Analyse von Aussage 3: Die Box umfasst die mittleren \(50\,\%\) der Daten. Bei Klasse 7b liegt die Box zwischen \(23\) (\(Q_1\)) und \(27{,}5\) (\(Q_3\)). Die Aussage ist wahr. 4. Analyse von Aussage 4: Spannweite 7a: \(32 - 15 = 17\). Spannweite 7b: \(35 - 10 = 25\). Da \(17 < 25\), ist die Aussage wahr.

Die Aussagen 1, 3 und 4 sind wahr.

- Bei Laufzeiten entspricht der schnellste Läufer dem kleinsten dargestellten Wert. - Vergleiche für Teil b) zwei verschiedene Abstände: Minimum bis Maximum und \(Q_1\) bis \(Q_3\). - Welche Bedeutung hat der Median für den Anteil der Werte, die höchstens bei diesem Wert liegen?

1. Die schnellste Zeit ist das Minimum. Gruppe A hat das Minimum \(20\,\text{min}\), Gruppe B \(23\,\text{min}\). Daher kommt der schnellste Läufer aus Gruppe A. 2. Für Gruppe A gilt \(R_A=32-20=12\,\text{min}\); die Boxbreite beträgt \(28-22=6\,\text{min}\). Für Gruppe B gilt \(R_B=29-23=6\,\text{min}\); die Boxbreite beträgt \(27-24=3\,\text{min}\). Nach beiden sichtbaren Streuungsmaßen liegen die Zeiten von Gruppe B enger beieinander. 3. Der Median von Gruppe A ist \(25\,\text{min}\), der von Gruppe B \(26\,\text{min}\). Daher haben in beiden Gruppen mindestens \(50\,\%\) der Läufer höchstens \(26\,\text{min}\) benötigt.

a) Gruppe A; dort beträgt das Minimum \(20\,\text{min}\). b) Gruppe B; ihre Spannweite beträgt \(6\,\text{min}\) statt \(12\,\text{min}\), ihre Boxbreite \(3\,\text{min}\) statt \(6\,\text{min}\). c) In beiden Gruppen.

- Bei fünf geordneten Werten ist der dritte Wert der Gesamtmedian und wird hier bei den beiden Hälften weggelassen. - Bestimme die Mitte der zwei unteren und der zwei oberen Werte jeder Gruppe. - Vergleiche anschließend nur den Abstand zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\).

1. In Gruppe 1 ist die untere Hälfte \(40;60\), also \(Q_1=(40+60):2=50\). Die obere Hälfte ist \(140;240\), also \(Q_3=(140+240):2=190\). 2. In Gruppe 2 ist die untere Hälfte \(80;100\), also \(Q_1=(80+100):2=90\). Die obere Hälfte ist \(140;160\), also \(Q_3=(140+160):2=150\). 3. Der mittlere Bereich ist in Gruppe 1 \(190-50=140\,\text{min}\) breit und in Gruppe 2 \(150-90=60\,\text{min}\) breit. 4. Daher liegen die mittleren \(50\,\%\) in Gruppe 2 enger beieinander.

a) Gruppe 1: \(Q_1=50\), \(Q_3=190\); Gruppe 2: \(Q_1=90\), \(Q_3=150\) b) Gruppe 1: \(140\,\text{min}\); Gruppe 2: \(60\,\text{min}\) c) Gruppe 2

- Betrachte in a) nur den linken Teil jedes Boxplots bis zur ersten Boxkante. - Vergleiche Minimum und \(Q_1\) getrennt. - Für b) zählt ausschließlich die Lage der Medianlinien; sie kann zu einer anderen Reihenfolge führen.

1. Bei Team Alpha reicht das untere Viertel vom Minimum \(40\) bis zu \(Q_1=50\). Bei Team Beta reicht es vom Minimum \(45\) bis zu \(Q_1=65\). 2. Sowohl das Minimum als auch \(Q_1\) liegen bei Beta höher. Im unteren Viertel hat daher Team Beta die höheren Punktzahlen. 3. Die Mediane zeigen eine andere Reihenfolge: \(m_{\text{Alpha}}=75\) und \(m_{\text{Beta}}=70\). Gemessen am Median liegt Team Alpha höher.

a) Team Beta; Minimum \(45>40\) und \(Q_{1,\text{Beta}}=65>50=Q_{1,\text{Alpha}}\). b) Team Alpha; \(75>70\).

- Vergleiche für Teil a) sowohl die gesamte Länge von Minimum bis Maximum als auch die Breite der Box. - Der Median ist die Linie innerhalb jeder Box; bei Lieferzeiten bedeutet ein kleinerer Wert eine schnellere typische Lieferung. - Die Boxgrenzen sind \(Q_1\) und \(Q_3\) und begrenzen die mittleren \(50\,\%\) der Daten.

1. Die Spannweiten betragen bei Flinkpost \(48-12=36\,\text{h}\), bei Paketstern \(30-18=12\,\text{h}\) und bei Stadtboten \(60-24=36\,\text{h}\). Die Boxbreiten betragen bei Flinkpost \(28-20=8\,\text{h}\), bei Paketstern \(26-22=4\,\text{h}\) und bei Stadtboten \(42-30=12\,\text{h}\). Nach beiden Maßen liegen die beobachteten Zeiten bei Paketstern am engsten beieinander. 2. Die Mediane sind \(24\,\text{h}\) bei Flinkpost, \(24\,\text{h}\) bei Paketstern und \(36\,\text{h}\) bei Stadtboten. Gemessen am Median sind Flinkpost und Paketstern gleich schnell und schneller als Stadtboten. 3. Bei Flinkpost liegen die mittleren \(50\,\%\) zwischen \(20\,\text{h}\) und \(28\,\text{h}\), bei Paketstern zwischen \(22\,\text{h}\) und \(26\,\text{h}\).

a) Paketstern; Spannweite \(12\,\text{h}\) und Boxbreite \(4\,\text{h}\) sind jeweils am kleinsten. b) Flinkpost und Paketstern sind gemessen am Median mit jeweils \(24\,\text{h}\) gleich schnell. c) Flinkpost: \(20\,\text{h}\) bis \(28\,\text{h}\); Paketstern: \(22\,\text{h}\) bis \(26\,\text{h}\).

- Die Enden der Antennen markieren den kleinsten und den größten beobachteten Wert. - Für die Breite der Box brauchst du den Abstand zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\). - Überlege bei Teil d), welcher Anteil der Werte bei oder oberhalb von \(Q_3\) liegt.

1. Für Plantage Süd liest man als Minimum \(130\,\text{g}\) und als Maximum \(210\,\text{g}\) ab. 2. Bei Plantage Nord reicht die Box von \(145\,\text{g}\) bis \(175\,\text{g}\), ihre Breite beträgt also \(175-145=30\,\text{g}\). 3. Bei Plantage Süd reicht die Box von \(150\,\text{g}\) bis \(180\,\text{g}\), ihre Breite beträgt ebenfalls \(180-150=30\,\text{g}\). 4. Die Boxen sind gleich breit. Daher streuen die mittleren \(50\,\%\) in beiden Stichproben in diesem Sinn gleich stark. 5. Bei Plantage Süd liegt \(Q_3\) bei \(180\,\text{g}\). Daher liegen mindestens \(25\,\%\) der Werte bei \(180\,\text{g}\) oder darüber. Bei Plantage Nord liegt \(Q_3\) nur bei \(175\,\text{g}\).

a) \(130\,\text{g}\) und \(210\,\text{g}\) b) Plantage Nord: \(30\,\text{g}\); Plantage Süd: \(30\,\text{g}\) c) Bei beiden Plantagen streuen die mittleren \(50\,\%\) gleich stark. d) Plantage Süd

- Die Medianlinie liegt innerhalb der Box und beschreibt die Mitte der geordneten Daten. - Für die Spannweite brauchst du nur die beiden Enden der Antennen. - Vergleiche bei Teil c) den Abstand zwischen den beiden Boxkanten, nicht die gesamte Antennenlänge.

1. Der Median der Gamer liegt bei \(215\,\text{ms}\), der der Nicht-Gamer bei \(260\,\text{ms}\). Gemessen am Median haben die Gamer in der Stichprobe die geringere typische Reaktionszeit. 2. Bei den Gamern beträgt die Spannweite \(280-180=100\,\text{ms}\). Bei den Nicht-Gamern beträgt sie \(380-210=170\,\text{ms}\). Damit ist die Spannweite bei den Nicht-Gamern größer. 3. Die Box der Gamer reicht von \(200\,\text{ms}\) bis \(230\,\text{ms}\) und ist damit \(30\,\text{ms}\) breit. Die Box der Nicht-Gamer reicht von \(240\,\text{ms}\) bis \(290\,\text{ms}\) und ist \(50\,\text{ms}\) breit. Daher liegen die mittleren \(50\,\%\) bei den Gamern näher beieinander.

a) Gamer: \(215\,\text{ms}\); Nicht-Gamer: \(260\,\text{ms}\). Gemessen am Median reagieren die Gamer in der Stichprobe typischerweise schneller. b) Nicht-Gamer: \(170\,\text{ms}\) gegenüber \(100\,\text{ms}\) c) Bei den Gamern; ihre Box ist \(30\,\text{ms}\) breit, die der Nicht-Gamer \(50\,\text{ms}\).

- Welche Linien begrenzen die Box links und rechts (oder oben und unten)? - Welcher Anteil der Daten liegt oberhalb des unteren Quartils \(Q_1\)?

1. Ablesen der Quartile für Klasse 7c: \(Q_1 = 20\), \(Q_3 = 40\). 2. Ablesen der Quartile für Klasse 7d: \(Q_1 = 30\), \(Q_3 = 42\). 3. Damit sich sicher schließen lässt, dass mindestens drei Viertel der Werte bei \(30\) oder darüber liegen, muss das untere Quartil mindestens \(30\) betragen. 4. Bei Klasse 7d liegt \(Q_1\) bei \(30\). Daher haben dort mindestens \(75\,\%\) der Schüler \(30\) Punkte oder mehr erreicht. Bei Klasse 7c liegt \(Q_1\) bei \(20\); aus dem Boxplot lässt sich für die Grenze von \(30\) Punkten kein Anteil von mindestens \(75\,\%\) sicher ablesen.

a) Klasse 7c: \(Q_1 = 20\), \(Q_3 = 40\). Klasse 7d: \(Q_1 = 30\), \(Q_3 = 42\). b) Bei Klasse 7d lässt sich dies sicher schließen, weil das untere Quartil genau bei \(30\) Punkten liegt. Damit haben mindestens \(75\,\%\) der Schüler \(30\) Punkte oder mehr erreicht.

- Bestimme zuerst die Anzahl der Haushalte in jedem Viertel, indem du die Prozentwerte aus Diagramm 1 auf die Gesamtzahl von 400 anwendest. - Berechne anschließend für jedes Viertel einzeln, wie viele Haushalte mindestens zwei Fahrräder haben. Nutze dazu die Prozentwerte aus Diagramm 2 und deine Ergebnisse aus dem ersten Schritt. - Vergleiche die berechneten absoluten Zahlen der Haushalte, um Tims Behauptung zu prüfen. - Addiere die Haushalte mit mindestens zwei Fahrrädern aus beiden Vierteln und berechne deren Anteil an der Gesamtzahl aller Haushalte.

1. Berechnung der absoluten Anzahl der Haushalte pro Viertel mit den Werten aus Diagramm 1: - Eichengrund: \(0{,}45 \cdot 400 = 180\) Haushalte. - Lindenhof: \(0{,}55 \cdot 400 = 220\) Haushalte. 2. Berechnung der Anzahl der Haushalte mit mindestens zwei Fahrrädern mit den Werten aus Diagramm 2: - Eichengrund: \(0{,}60 \cdot 180 = 108\) Haushalte. - Lindenhof: \(0{,}40 \cdot 220 = 88\) Haushalte. 3. Überprüfung von Tims Aussage: - Da \(108 > 88\), gibt es im Eichengrund absolut mehr Haushalte mit mindestens zwei Fahrrädern. Tims Aussage ist somit falsch. 4. Berechnung des Gesamtanteils: - Gesamtzahl der Haushalte mit mindestens zwei Fahrrädern: \(108 + 88 = 196\). - Anteil an der Gesamtzahl aller befragten Haushalte: \(\frac{196}{400} = 0{,}49 = 49\,\%\).

a) Im Eichengrund wurden \(180\) Haushalte befragt, im Lindenhof \(220\) Haushalte. b) Tims Aussage ist falsch. Im Eichengrund gibt es \(108\) Haushalte mit mindestens zwei Fahrrädern, im Lindenhof nur \(88\). c) Insgesamt besitzen \(49\,\%\) aller befragten Haushalte mindestens zwei Fahrräder.

- Bestimme für den Median zuerst die Gesamtzahl der Kinder und dann die beiden mittleren Positionen. - Für die Spannweite zählen nur die kleinste und die größte Trefferzahl, die tatsächlich vorkommen. - Für Teil c) addierst du die Häufigkeiten bei \(6\) Treffern und allen größeren Trefferzahlen.

1. Beide Klassen umfassen jeweils \(30\) Kinder. Für den Median sind deshalb der \(15.\) und der \(16.\) geordnete Wert entscheidend. 2. In Klasse A liegen bis einschließlich \(3\) Treffer genau \(15\) Werte und die nächsten Werte bei \(4\) Treffern. Daher sind die beiden mittleren Werte \(3\) und \(4\), also \(m_A=3{,}5\). 3. In Klasse B liegen bis einschließlich \(5\) Treffer \(13\) Werte und bis einschließlich \(6\) Treffer \(15\) Werte. Der \(15.\) Wert ist \(6\), der \(16.\) Wert ist \(7\). Daher ist \(m_B=6{,}5\). 4. Klasse A reicht von \(0\) bis \(10\) Treffern, also ist die Spannweite \(10\). Klasse B reicht von \(2\) bis \(9\), also ist die Spannweite \(7\). Die größere Spannweite hat Klasse A. 5. In Klasse A haben \(1+1+2+2=6\) Kinder mindestens \(6\) Treffer. In Klasse B sind es \(2+6+5+4=17\) Kinder. Nur in Klasse B sind das mehr als die Hälfte von \(30\).

a) Klasse A: \(m_A=3{,}5\); Klasse B: \(m_B=6{,}5\) b) Klasse A: Spannweite \(10\); Klasse B: Spannweite \(7\). Klasse A hat die größere Spannweite. c) Klasse B: \(17\) von \(30\) Kindern; in Klasse A sind es \(6\) von \(30\).

- Für Teil a) suchst du jeweils die höchste Säule. - Addiere in Teil b) nur die beiden Häufigkeiten zu \(9\) und \(10\) Punkten. - Bestimme vor dem Median zuerst die Gesamtzahl der Personen in jeder Gruppe. - Nutze aufsummierte Häufigkeiten, um die mittlere Position beziehungsweise die beiden mittleren Positionen zu finden.

1. Die höchste Säule von Gruppe A liegt bei \(5\) Punkten, die von Gruppe B bei \(8\) Punkten. 2. In Gruppe B erreichen \(10\) Personen genau \(9\) Punkte und \(6\) Personen genau \(10\) Punkte, zusammen also \(16\) Personen. 3. Gruppe A umfasst \(67\) Personen. Der Median ist daher der 34. geordnete Wert. Bis \(4\) Punkte sind \(25\) Personen erfasst, bis \(5\) Punkte \(40\); somit ist \(m_A=5\). 4. Gruppe B umfasst \(64\) Personen. Der Median liegt zwischen dem 32. und 33. geordneten Wert. Bis \(7\) Punkte sind es genau \(32\) Personen, der 33. Wert hat \(8\) Punkte. Daher ist \(m_B=(7+8):2=7{,}5\). 5. Der deutlich größere Median von Gruppe B zeigt, dass die Punktzahlen dieser Gruppe insgesamt höher liegen.

a) Gruppe A: \(5\) Punkte; Gruppe B: \(8\) Punkte. b) \(16\) Personen. c) \(m_A=5\) Punkte und \(m_B=7{,}5\) Punkte. Die Punktzahlen von Gruppe B liegen insgesamt höher.

- Betrachte für Teil 1 nicht nur den häufigsten Wert, sondern die Lage aller Werte auf der Punkteachse. - Welche kleinste und größte erreichte Punktzahl kommt in jeder Klasse vor? - Prüfe nach der Spannweite zusätzlich, ob die übrigen Werte sichtbar gebündelt oder über einen breiteren Bereich verteilt sind.

1. Die Verteilung von Klasse 7B liegt insgesamt weiter rechts als die von Klasse 7A. Daher ist ein höheres arithmetisches Mittel für 7B zu erwarten. Tatsächlich liegt das Mittel bei 7A bei \(5\) Punkten und bei 7B bei \(6{,}5\) Punkten. 2. In Klasse 7A reichen die beobachteten Werte von \(1\) bis \(9\), also ist \(R_A=9-1=8\) Punkte. In Klasse 7B reichen sie von \(4\) bis \(9\), also ist \(R_B=9-4=5\) Punkte. 3. Bei 7B ist nicht nur die Spannweite kleiner; auch die Werte sind sichtbar stärker im Bereich von \(5\) bis \(8\) Punkten gebündelt. Damit stützen sowohl die Extremwerte als auch die Form der Verteilung die Aussage, dass die beobachteten Ergebnisse enger beieinanderliegen.

1. Klasse 7B; ihre Verteilung liegt insgesamt weiter rechts. 2. Klasse 7A: Spannweite \(8\); Klasse 7B: Spannweite \(5\). Bei Klasse 7B sprechen sowohl die kleinere Spannweite als auch die sichtbare Bündelung für enger beieinanderliegende Ergebnisse.

- Schau dir zuerst an, bei welchem Wert die höchste Säule in jedem Diagramm steht. Das ist die „häufigste Strecke“. - Überprüfe auch, bis zu welchem Wert auf der waagerechten Achse die Säulen überhaupt eingetragen sind. - „Mindestens \(8\,\text{km}\)“ bedeutet, dass du alle Säulen ab der Markierung für \(8\,\text{km}\) (einschließlich der 8) zusammenzählen musst.

1. Zuordnung der Diagramme: - Diagramm A zeigt die höchste Säule (den Modus) bei \(4\,\text{km}\) und die Werte enden bei \(7\,\text{km}\). Dies passt exakt zu der Beschreibung auf **Kärtchen 1** (Verein Blau-Weiß). - Diagramm B zeigt die höchste Säule bei \(6\,\text{km}\) und die Werte reichen bis \(10\,\text{km}\). Dies entspricht der Beschreibung auf **Kärtchen 2** (Verein Grün-Gold). 2. Berechnung für Verein Grün-Gold (Diagramm B): - Gesucht ist die Anzahl der Mitglieder mit einer Laufleistung von \(\ge 8\,\text{km}\). - Anzahl bei \(8\,\text{km}\): 6 Mitglieder. - Anzahl bei \(9\,\text{km}\): 4 Mitglieder. - Anzahl bei \(10\,\text{km}\): 2 Mitglieder. - Gesamtzahl: \(6 + 4 + 2 = 12\).

a) Diagramm A gehört zum Verein Blau-Weiß, Diagramm B gehört zum Verein Grün-Gold. b) Im Verein Grün-Gold sind 12 Mitglieder mindestens \(8\,\text{km}\) gelaufen.

- Für die Spannweite brauchst du nur den kleinsten und den größten tatsächlich vorkommenden Wert. - Vergleiche für die Form, wo sich viele Beobachtungen stapeln und wo kaum Werte liegen. - Beim Mittelwert musst du jede Punktzahl mit ihrer Häufigkeit berücksichtigen. - Frage dich anschließend, welche sichtbaren Unterschiede durch die eine Zahl \(\bar{x}\) verloren gehen.

1. Klasse A reicht von \(4\) bis \(8\) Punkten, also beträgt die Spannweite \(8-4=4\). Klasse B reicht von \(2\) bis \(10\) Punkten, also beträgt die Spannweite \(10-2=8\). 2. In Klasse A häufen sich die Werte bei \(6\) Punkten. In Klasse B liegen viele Werte an den beiden Seiten der Verteilung, während die Mitte schwächer besetzt ist. Klasse A ist damit stärker um einen mittleren Wert gebündelt. 3. Für Klasse A ist die Punktsumme \(4\cdot2+5\cdot6+6\cdot10+7\cdot6+8\cdot2=156\). Bei \(26\) Personen gilt \(\bar{x}_A=156:26=6\). 4. Für Klasse B ist die Punktsumme \(2\cdot8+3\cdot4+6\cdot2+9\cdot4+10\cdot8=156\). Daher gilt ebenfalls \(\bar{x}_B=156:26=6\). 5. Trotz gleicher Mittelwerte unterscheiden sich Spannweite und Form deutlich. Das arithmetische Mittel beschreibt die Lage, aber nicht die Verteilung der Werte um diese Lage.

a) Klasse A: \(4\); Klasse B: \(8\) b) Klasse A ist stärker um die Mitte gebündelt; Klasse B weist zwei deutlich getrennte Häufungsbereiche auf. c) In beiden Klassen gilt \(\bar{x}=6\) Punkte. d) Gleiche Mittelwerte können zu deutlich verschiedenen Spannweiten und Verteilungsformen gehören.

- Berücksichtige bei der Mittelwertberechnung sowohl die Bildschirmzeit als auch ihre jeweilige Häufigkeit. - Welche beiden Werte bestimmen die Spannweite jeder Gruppe? - Betrachte zusätzlich, wie die Beobachtungen über die gesamte Werteachse verteilt sind.

1. Für Gruppe 1 ist die gewichtete Summe \(1\cdot2+2\cdot3+4\cdot4+2\cdot5+1\cdot6=40\,\text{h}\). Bei \(10\) Personen gilt \(\bar{x}_1=40:10=4\,\text{h}\). 2. Für Gruppe 2 ist die gewichtete Summe \(2\cdot0+1\cdot1+1\cdot2+2\cdot4+1\cdot6+1\cdot7+2\cdot8=40\,\text{h}\). Daher gilt auch \(\bar{x}_2=4\,\text{h}\). 3. Die Spannweite von Gruppe 1 ist \(R_1=6-2=4\,\text{h}\), die von Gruppe 2 \(R_2=8-0=8\,\text{h}\). 4. In Gruppe 1 häufen sich die Werte sichtbar bei \(4\,\text{h}\) und nehmen zu beiden Seiten ab. Gruppe 2 besitzt Werte über fast den gesamten Bereich von \(0\) bis \(8\,\text{h}\). Zusammen mit der kleineren Spannweite zeigt dies für Gruppe 1 die stärkere Bündelung.

a) Beide Gruppen: \(\bar{x}=4\,\text{h}\) b) Gruppe 1: \(R_1=4\,\text{h}\); Gruppe 2: \(R_2=8\,\text{h}\) c) Gruppe 1; dafür sprechen die kleinere Spannweite und die sichtbare Konzentration um \(4\,\text{h}\).

- Vergleiche bei jedem Diagramm, ob die Beobachtungen eher in der Mitte oder in zwei getrennten Bereichen gehäuft sind. - Suche für Klasse 7B nach einer sichtbaren Lücke oder einem Tal zwischen zwei Häufungen. - Beschreibe beim übrigen Diagramm, ob einzelne Werte stark hervorstechen oder die Häufigkeiten ähnlich groß sind.

1. Diagramm 1 hat die größten Häufigkeiten bei den mittleren Noten \(3\) und \(4\), während \(1\) und \(6\) selten vorkommen. Daher gehört Klasse 7A zu Diagramm 1. 2. Diagramm 2 besitzt zwei deutliche Häufungen bei \(2\) und \(5\), während die Noten \(3\) und \(4\) selten vorkommen. Daher gehört Klasse 7B zu Diagramm 2. 3. Diagramm 3 bleibt übrig. Dort sind die Häufigkeiten über die Noten \(1\) bis \(6\) annähernd gleichmäßig verteilt.

Klasse 7A: Diagramm 1 Klasse 7B: Diagramm 2 Übrig bleibt Diagramm 3; seine Häufigkeiten sind annähernd gleichmäßig über die Noten verteilt.

- Für Teil a) musst du die Häufigkeiten aller Noten einer Klasse addieren. - Bei Teil b) zählen nur die Beobachtungen zu den Noten \(1\) und \(2\). - Für die Spannweite brauchst du die kleinste und die größte Note, die tatsächlich vorkommen. - Überlege anschließend, welche Informationen über die inneren Häufigkeiten in dieser einen Spannweitenzahl fehlen.

1. Für 7a ergibt sich die Gesamtzahl \(4+9+7+5+3+2=30\). Für 7b ergibt sich \(2+6+12+8+2=30\). 2. In 7a gibt es \(4+9=13\) gute Noten, in 7b \(2+6=8\). Damit hat 7a mehr gute Noten. 3. In 7a kommen die Noten von \(1\) bis \(6\) vor, also ist \(R_{7a}=6-1=5\). In 7b kommen die Noten von \(1\) bis \(5\) vor, also ist \(R_{7b}=5-1=4\). 4. Die größere Spannweite in 7a bedeutet nur, dass der Abstand zwischen der besten und der schlechtesten tatsächlich vorkommenden Note größer ist. Sie beschreibt nicht, wie sich alle Noten innerhalb dieses Bereichs verteilen.

a) In beiden Klassen jeweils \(30\) Schülerinnen und Schüler b) 7a: \(13\); 7b: \(8\). In 7a gab es mehr gute Noten. c) \(R_{7a}=5\), \(R_{7b}=4\). Der beobachtete Notenbereich ist in 7a größer; die Spannweite allein beschreibt die Häufigkeitsverteilung innerhalb dieses Bereichs nicht.

- Lies die Punktzahlen für jedes der fünf Mitglieder aus beiden Diagrammen ab. - Erinnere dich, wie man das arithmetische Mittel berechnet: Addiere alle Werte einer Gruppe und teile das Ergebnis durch die Anzahl der Werte. - Vergleiche die beiden berechneten Mittelwerte miteinander.

1. Berechnung des Durchschnitts für Gruppe A: Die Werte sind \(2\), \(4\), \(5\), \(5\) und \(9\). Die Summe beträgt \(2 + 4 + 5 + 5 + 9 = 25\). Das arithmetische Mittel ist \(25 {:} 5 = 5\). 2. Berechnung des Durchschnitts für Gruppe B: Die Werte sind \(3\), \(4\), \(6\), \(7\) und \(10\). Die Summe beträgt \(3 + 4 + 6 + 7 + 10 = 30\). Das arithmetische Mittel ist \(30 {:} 5 = 6\). 3. Vergleich: Da \(6 > 5\), ist der Punktedurchschnitt in Gruppe B höher.

Der Punktedurchschnitt ist in Gruppe B höher. (Gruppe A: \(5\) Punkte im Durchschnitt; Gruppe B: \(6\) Punkte im Durchschnitt).

- Vergleiche nicht nur die Mitte, sondern auch die Abstände der Werte. - Suche eine einfache Kennzahl für die Streuung. - Gleiche Summen können sehr unterschiedlich verteilt sein.

1. Beide Summen sind \(40\), daher ist der Mittelwert jeweils \(10\). 2. Spannweite A: \(11-9=2\). 3. Spannweite B: \(20-0=20\). 4. Reihe A liegt eng um den Mittelwert, Reihe B enthält starke Abweichungen. 5. Der gleiche Mittelwert allein reicht nicht für die Beschreibung der Verteilung.

Nein. A hat Spannweite \(2\), B Spannweite \(20\); die Verteilungen sind trotz gleichen Mittelwerts sehr verschieden.

- Lies für Teil a) nur die Medianlinien und für Teil b) die beiden Boxkanten ab. - Vergleiche in Teil c) besonders die größten dargestellten Werte beider Ateliers. - Welcher Kennwert reagiert stärker auf einen sehr hohen Einzelwert: Mittelwert oder Median?

1. Die Mediane sind \(m_{\text{Nord}}=20\,\text{min}\) und \(m_{\text{Süd}}=25\,\text{min}\). Gemessen am Median ist Nord typisch schneller. 2. Bei Nord beträgt die Boxbreite \(25-15=10\,\text{min}\), bei Süd \(30-20=10\,\text{min}\). Die mittleren \(50\,\%\) haben damit dieselbe Breite. 3. Nord hat mit \(70\,\text{min}\) einen sehr hohen tatsächlichen Maximalwert, während das Maximum von Süd bei \(35\,\text{min}\) liegt. 4. Sehr hohe Werte wirken sich auf den arithmetischen Mittelwert stärker aus als auf den Median. Dadurch ist ein Mittelwert von \(25\,\text{min}\) bei Nord trotz des kleineren Medians plausibel und liegt über dem Mittelwert von Süd mit \(24\,\text{min}\).

a) Nord: \(20\,\text{min}\); Süd: \(25\,\text{min}\). Nord ist gemessen am Median typisch schneller. b) Beide Boxen sind \(10\,\text{min}\) breit. c) Der sehr hohe Maximalwert von \(70\,\text{min}\) bei Nord kann den Mittelwert nach oben ziehen; daher kann \(\bar{x}_{\text{Nord}}=25\,\text{min}\) trotz des kleineren Medians über \(\bar{x}_{\text{Süd}}=24\,\text{min}\) liegen.

- Berechne Mittelwert, Median und Spannweite für jede Route getrennt. - Welche zwei Werte gehen ausschließlich in die Spannweite ein? - Überlege, ob zwei Datensätze mit gleicher Spannweite trotzdem im Inneren unterschiedlich aussehen könnten.

1. Für Route A ist die Summe \(126\), also \(\bar{x}_A=126:7=18\). Der mittlere geordnete Wert ist \(m_A=18\). Die Spannweite ist \(R_A=22-14=8\). 2. Für Route B ist die Summe \(133\), also \(\bar{x}_B=133:7=19\). Der Median ist ebenfalls \(m_B=18\). Die Spannweite ist \(R_B=31-10=21\). 3. Beide Routen haben denselben Median, Route B jedoch den größeren Mittelwert. 4. Route A hat die kleinere Spannweite. Das bedeutet, dass bei A der Abstand zwischen dem kleinsten und dem größten beobachteten Tageswert geringer ist. Daraus allein folgt nicht, wie alle Werte innerhalb dieses Bereichs verteilt sind.

a) Route A: \(\bar{x}_A=18\), \(m_A=18\); Route B: \(\bar{x}_B=19\), \(m_B=18\). b) Route A hat mit \(R_A=8\) die kleinere Spannweite gegenüber \(R_B=21\). Ihr beobachteter Gesamtbereich ist kleiner; die Spannweite allein beschreibt jedoch nicht die gesamte Verteilung der sieben Werte.

- Berücksichtige beim Mittelwert jeden Hinweiswert zusammen mit seiner Häufigkeit. - Bestimme beim Median zuerst, welche Positionen bei \(26\) Beobachtungen in der Mitte liegen. - Vergleiche nach den beiden Kennwerten, wo sich die Beobachtungen in jedem Diagramm häufen.

1. In Raum Blau wurden \(26\) Teams beobachtet. Die Hinweissumme ist \(0\cdot2+1\cdot6+2\cdot10+3\cdot6+4\cdot2=52\). Daher ist \(\bar{x}_B=52:26=2\). 2. Beim Ordnen liegen der 13. und der 14. Wert beide bei \(2\), also ist der Median ebenfalls \(2\). 3. In Raum Orange wurden ebenfalls \(26\) Teams beobachtet. Die Hinweissumme ist \(0\cdot5+1\cdot5+2\cdot6+3\cdot5+4\cdot5=52\), also ist auch hier das arithmetische Mittel \(2\). Der 13. und der 14. Wert liegen ebenfalls bei \(2\), daher ist auch der Median \(2\). 4. Trotz gleicher Lagekennwerte unterscheiden sich die Verteilungen sichtbar: Bei Raum Blau häufen sich die Werte stark bei \(2\), während sie bei Raum Orange deutlich gleichmäßiger über \(0\) bis \(4\) verteilt sind. 5. Gleiche Mittelwerte und Mediane bedeuten daher nicht, dass zwei Datensätze gleich verteilt sind.

Beide Datensätze haben das arithmetische Mittel \(2\) und den Median \(2\) Hinweise. Raum Blau ist deutlich stärker bei \(2\) gebündelt; Raum Orange ist annähernd gleichmäßig über \(0\) bis \(4\) verteilt. Gleiche Lagekennwerte bestimmen die Verteilungsform nicht.

- Vergleiche zunächst die beiden Datenreihen als Ganzes. Fällt ein Wert deutlich aus dem übrigen Bereich heraus? - Überlege, wie sich arithmetisches Mittel und Median verändern würden, wenn nur der größte Wert deutlich größer würde. - Welches Streuungsmaß beschreibt genau den Abstand zwischen der kleinsten und der größten Beobachtung?

1. Wegen des sehr hohen Werts \(24\,\text{min}\) bei Radwerk Grün ist der Median für die typische Wartezeit geeigneter als das arithmetische Mittel, weil er von einem einzelnen Extremwert weniger beeinflusst wird. 2. Beim Speichenhof ist der mittlere der sieben geordneten Werte \(8\), also beträgt der Median \(8\,\text{min}\). Bei Radwerk Grün ist der mittlere Wert \(9\), also beträgt der Median \(9\,\text{min}\). Gemessen am Median ist die typische Wartezeit beim Speichenhof kürzer. 3. Für den beobachteten Gesamtbereich eignet sich die Spannweite. Beim Speichenhof gilt \(R=11-6=5\,\text{min}\), bei Radwerk Grün \(R=24-5=19\,\text{min}\). 4. Damit ist auch der Abstand zwischen kleinster und größter beobachteter Wartezeit beim Speichenhof deutlich kleiner.

a) Geeignet ist der Median: Speichenhof \(8\,\text{min}\), Radwerk Grün \(9\,\text{min}\). Die typische Wartezeit ist damit beim Speichenhof kürzer. b) Für den Gesamtbereich eignet sich die Spannweite: Speichenhof \(5\,\text{min}\), Radwerk Grün \(19\,\text{min}\).

- Welche beiden Kennwerte gehen in die Spannweite ein? - Welche beiden Kennwerte begrenzen die Box und damit die mittleren \(50\,\%\) der Daten? - Prüfe, ob beide Streuungsvergleiche dieselbe Rangfolge der Datensätze ergeben.

1. Für Datensatz A ist die Spannweite \(R_A=18-2=16\). Die Boxbreite ist \(11-9=2\). 2. Für Datensatz B ist die Spannweite \(R_B=14-6=8\). Die Boxbreite ist \(13-7=6\). 3. Nach der Spannweite liegen bei B Minimum und Maximum näher beieinander. 4. Betrachtet man dagegen die mittleren \(50\,\%\), liegen die Werte bei A enger beieinander, weil seine Boxbreite nur \(2\) statt \(6\) beträgt. 5. Miras Aussage ist daher zu pauschal. Welcher Datensatz als „weniger gestreut“ gilt, hängt davon ab, ob man den gesamten beobachteten Bereich oder die mittlere Hälfte betrachtet.

a) Datensatz A: Spannweite \(16\), Boxbreite \(2\). Datensatz B: Spannweite \(8\), Boxbreite \(6\). b) Miras Aussage ist zu pauschal. B hat die kleinere Spannweite, aber A die deutlich schmalere Box und damit die enger liegenden mittleren \(50\,\%\).

- Übersetze die Häufigkeiten gedanklich in Positionen einer geordneten Datenreihe. - Welcher Lagekennwert beschreibt einen mittleren typischen Wert, ohne dass du alle Werte einzeln hinschreiben musst? - Welche beiden Quartile begrenzen genau die mittleren \(50\,\%\) der Daten?

1. Beide Häufigkeitstabellen enthalten jeweils \(20\) Beobachtungen. Für die typische Warteschlange ist zum Beispiel der Median ein geeigneter Lagekennwert. 2. Beim Pauseneck liegen der 10. und 11. geordnete Wert beide bei \(2\), also ist der Median \(2\). Beim Treffpunkt liegen der 10. und 11. Wert beide bei \(3\), also ist der Median \(3\). Nach dem Median ist die typische Warteschlange beim Pauseneck kürzer. Auch das arithmetische Mittel wäre hier vertretbar und führt mit \(2{,}35<2{,}65\) zur gleichen Rangfolge. 3. Für die mittleren \(50\,\%\) eignet sich die Boxbreite \(Q_3-Q_1\). Beim Pauseneck ist \(Q_1=2\) und \(Q_3=3\), also beträgt die Boxbreite \(1\). 4. Beim Treffpunkt ist \(Q_1=1\) und \(Q_3=4\), also beträgt die Boxbreite \(3\). 5. Damit liegen beim Pauseneck sowohl die typische Warteschlange niedriger als auch die mittleren \(50\,\%\) enger beieinander.

Eine mögliche Wahl ist der Median für die typische Warteschlange und die Boxbreite für die mittleren \(50\,\%\). Pauseneck: \(m=2\), \(Q_3-Q_1=3-2=1\). Treffpunkt: \(m=3\), \(Q_3-Q_1=4-1=3\). Damit ist die typische Warteschlange beim Pauseneck kürzer und die mittlere Hälfte der Beobachtungen dort enger gebündelt. Für die erste Frage ist auch ein anderer sinnvoll begründeter Lagekennwert zulässig.

- Betrachte für Teil a), wo die Mitte jeder geordneten Datenreihe liegt und ob einzelne Werte weit von den übrigen entfernt sind. - Für Teil b) zählt jede benötigte Minute. Welche Größe berücksichtigt deshalb alle sieben Werte? - Vergleiche, wie ein sehr großer Einzelwert Median, Summe und arithmetisches Mittel beeinflusst.

1. Für einen typischen einzelnen Auftrag ist der Median sinnvoll, weil Team Nordlicht einen einzelnen sehr hohen Wert besitzt. Bei Nordlicht ist der 4. Wert \(10\), also beträgt der Median \(10\,\text{min}\). Bei Werkstern ist der 4. Wert \(11\), also beträgt der Median \(11\,\text{min}\). Danach ist Nordlicht typischerweise schneller. 2. Für die gesamte benötigte Zeit müssen alle sieben Werte berücksichtigt werden. Team Nordlicht benötigt insgesamt \(82\,\text{min}\), Team Werkstern \(76\,\text{min}\). Entsprechend betragen die arithmetischen Mittel \(\frac{82}{7}\approx11{,}7\,\text{min}\) beziehungsweise \(\frac{76}{7}\approx10{,}9\,\text{min}\). Für die Gesamtzeit ist Werkstern günstiger. 3. Der Wert \(25\,\text{min}\) erhöht Summe und arithmetisches Mittel von Nordlicht deutlich, verschiebt den Median aber nicht entsprechend. Deshalb können ein typischer Einzelauftrag und die Gesamtbelastung zu verschiedenen Entscheidungen führen.

a) Mit dem Median ist Team Nordlicht typischerweise schneller: \(10\,\text{min}\) gegenüber \(11\,\text{min}\) bei Werkstern. b) Insgesamt ist Team Werkstern schneller: Nordlicht benötigt \(82\,\text{min}\), Werkstern \(76\,\text{min}\). c) Der einzelne hohe Wert bei Nordlicht beeinflusst Summe und arithmetisches Mittel stark, den Median dagegen wesentlich weniger.

- Berechne die zentralen Kennwerte für beide Datenreihen getrennt und vergleiche sie erst danach. - Welche beiden Werte bestimmen jeweils die Spannweite? - Für Teil c) musst du die Reihenfolge der Durchläufe beachten, nicht nur die ungeordnete Menge der Werte.

1. Für Team Grün ist die Summe der Fehlerzahlen \(64\), also \(\bar{x}_{\text{Grün}}=64:8=8\). Die beiden mittleren geordneten Werte sind \(8\) und \(8\), daher ist \(m_{\text{Grün}}=8\). Die Spannweite ist \(R_{\text{Grün}}=10-6=4\). 2. Für Team Lila ist die Summe ebenfalls \(64\), also \(\bar{x}_{\text{Lila}}=8\). Die mittleren geordneten Werte sind \(7\) und \(9\), daher ist \(m_{\text{Lila}}=(7+9):2=8\). Die Spannweite ist \(R_{\text{Lila}}=15-1=14\). 3. Beide Teams haben denselben Mittelwert und Median, Team Grün aber die kleinere Spannweite zwischen Minimum und Maximum. 4. Bei Team Lila steigt die Fehlerzahl von Durchlauf zu Durchlauf gleichmäßig an. Diese zeitliche Reihenfolge geht verloren, wenn man nur die drei Kennwerte betrachtet.

a) Beide Teams haben \(\bar{x}=8\) und \(m=8\). b) Team Grün hat mit \(R=4\) die kleinere Spannweite; bei Team Lila beträgt sie \(14\). c) Bei Team Lila ist ein stetiger Anstieg der Fehlerzahlen über die Durchläufe sichtbar.

- Welche Position muss bei sieben geordneten Werten den Median \(10\) enthalten? - Welche Gesamtsumme brauchen sieben Werte mit arithmetischem Mittel \(10\)? - Lege für jeden Datensatz zunächst Minimum und Maximum so fest, dass die gewünschte Spannweite entsteht, und fülle dann die inneren Werte passend zur Summe auf.

1. Bei sieben Werten ist der 4. geordnete Wert der Median. Daher muss in beiden Datensätzen an 4. Stelle eine \(10\) stehen. 2. Für \(\bar{x}=10\) muss die Summe jedes Datensatzes \(7\cdot 10=70\) betragen. 3. Eine mögliche Wahl für A ist \(8;9;10;10;10;11;12\). Die Summe ist \(70\), der 4. Wert ist \(10\), und die Spannweite ist \(12-8=4\). 4. Eine mögliche Wahl für B ist \(3;7;9;10;11;13;17\). Die Summe ist ebenfalls \(70\), der 4. Wert ist \(10\), und die Spannweite ist \(17-3=14\). 5. Damit erfüllen beide Datensätze dieselben Lagebedingungen, unterscheiden sich aber deutlich im beobachteten Gesamtbereich.

Eine mögliche Lösung ist A: \(8;9;10;10;10;11;12\), B: \(3;7;9;10;11;13;17\). Beide Summen sind \(70\), daher gilt jeweils \(\bar{x}=10\); jeweils der 4. Wert ist \(10\), also \(m=10\). Die Spannweiten sind \(4\) beziehungsweise \(14\).

- Prüfe zuerst, ob die Mittelwerte die Gruppen überhaupt unterscheiden. - Welche fünf Kennwerte enthält ein Boxplot zusätzlich zu einer bloßen Angabe des Mittelwerts? - Vergleiche sowohl den gesamten beobachteten Bereich als auch die Breite der mittleren Hälfte.

1. Beide Datensätze haben die Summe \(88\). Daher gilt \(\bar{x}_A=\bar{x}_B=88:11=8\,\text{min}\). Die Mittelwerte allein unterscheiden die Gruppen nicht. 2. Bei beiden Gruppen ist der 6. Wert der Median, also \(m_A=m_B=8\,\text{min}\). 3. Für A ist die untere Hälfte \(3;4;5;6;7\), also \(Q_{1,A}=5\); die obere Hälfte ist \(9;10;11;12;13\), also \(Q_{3,A}=11\). Minimum und Maximum sind \(3\) und \(13\). 4. Für B ist die untere Hälfte \(1;5;6;7;8\), also \(Q_{1,B}=6\); die obere Hälfte ist \(8;9;10;11;15\), also \(Q_{3,B}=10\). Minimum und Maximum sind \(1\) und \(15\). 5. Boxplots sind für den verlangten Vergleich informativer: B hat mit \(15-1=14\,\text{min}\) die größere Spannweite als A mit \(13-3=10\,\text{min}\), zugleich ist bei B die mittlere Hälfte mit Boxbreite \(10-6=4\,\text{min}\) enger als bei A mit \(11-5=6\,\text{min}\). Diese Unterschiede sieht man an den identischen Mittelwerten nicht.

a) \(\bar{x}_A=\bar{x}_B=8\,\text{min}\). b) Die Boxplot-Zusammenfassungen liefern mehr Vergleichsinformation. A: Minimum \(3\), \(Q_1=5\), \(m=8\), \(Q_3=11\), Maximum \(13\). B: Minimum \(1\), \(Q_1=6\), \(m=8\), \(Q_3=10\), Maximum \(15\). c) Zum Beispiel: B hat die größere Spannweite, aber die kleinere Boxbreite. Beides bleibt bei den gleichen Mittelwerten unsichtbar.

- Berechne die Kennwerte für beide Linien getrennt und notiere, welcher Vergleich jeweils welche Linie begünstigt. - Die Spannweite betrachtet den gesamten beobachteten Bereich; der Abstand zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\) beschreibt die mittleren \(50\,\%\). - Überlege bei c), welcher Lagekennwert eine typische einzelne Fahrt beschreibt. - Überlege bei d), welcher Lagekennwert mit der gesamten Fahrzeit vieler gleichartiger Fahrten zusammenhängt und welche Kennzahl sehr große beobachtete Fahrzeiten sichtbar macht.

1. Für Linie A ist die Summe \(200\,\text{min}\). Damit gilt \(\bar{x}_A=200:9\approx22{,}2\,\text{min}\). Der fünfte Wert ist der Median, also \(m_A=20\,\text{min}\). Die Spannweite beträgt \(42-18=24\,\text{min}\). 2. Die untere Hälfte von A ist \(18;\,19;\,19;\,20\). Daher ist \(Q_{1,A}=(19+19):2=19\,\text{min}\). Die obere Hälfte ist \(20;\,21;\,21;\,42\). Daher ist \(Q_{3,A}=(21+21):2=21\,\text{min}\). Die mittleren \(50\,\%\) liegen somit in einem Bereich von \(21-19=2\,\text{min}\). 3. Für Linie B ist die Summe \(195\,\text{min}\). Damit gilt \(\bar{x}_B=195:9\approx21{,}7\,\text{min}\). Der Median ist \(m_B=22\,\text{min}\). Die Spannweite beträgt \(26-17=9\,\text{min}\). 4. Die untere Hälfte von B ist \(17;\,18;\,19;\,21\). Daher ist \(Q_{1,B}=(18+19):2=18{,}5\,\text{min}\). Die obere Hälfte ist \(23;\,24;\,25;\,26\). Daher ist \(Q_{3,B}=(24+25):2=24{,}5\,\text{min}\). Die mittleren \(50\,\%\) liegen somit in einem Bereich von \(24{,}5-18{,}5=6\,\text{min}\). 5. Tarek stützt sich auf den Bereich zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\): Bei A liegen die mittleren \(50\,\%\) mit \(2\,\text{min}\) enger zusammen als bei B mit \(6\,\text{min}\). Mina stützt sich auf die Spannweite: B hat mit \(9\,\text{min}\) einen deutlich kleineren gesamten beobachteten Bereich als A mit \(24\,\text{min}\). Die beiden Kennwerte beschreiben unterschiedliche Aspekte der Streuung. Ohne ein festgelegtes Ziel ergibt sich deshalb keine eindeutige allgemeine Rangfolge. 6. Für eine typische einzelne Fahrt spricht der niedrigere Median von A. Auch die mittleren \(50\,\%\) liegen bei A enger zusammen. Daher spricht das in c) genannte Ziel für Linie A. 7. Für viele Fahrten insgesamt spricht das niedrigere arithmetische Mittel von B. Außerdem hat B in den beobachteten Daten keinen sehr hohen Einzelwert wie die \(42\,\text{min}\) bei A und besitzt die kleinere Spannweite. Daher spricht das in d) genannte Ziel für Linie B.

a) Linie A: \(\bar{x}_A\approx22{,}2\,\text{min}\), \(m_A=20\,\text{min}\), Spannweite \(24\,\text{min}\), \(Q_1=19\,\text{min}\), \(Q_3=21\,\text{min}\). Linie B: \(\bar{x}_B\approx21{,}7\,\text{min}\), \(m_B=22\,\text{min}\), Spannweite \(9\,\text{min}\), \(Q_1=18{,}5\,\text{min}\), \(Q_3=24{,}5\,\text{min}\). b) A hat bei den mittleren \(50\,\%\) den kleineren Bereich von \(2\,\text{min}\), B die kleinere Spannweite von \(9\,\text{min}\). Die Kennwerte beschreiben unterschiedliche Aspekte der Streuung; ohne festgelegtes Vergleichsziel folgt keine eindeutige allgemeine Rangfolge. c) Eher Linie A. d) Eher Linie B.