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Mathe-Arbeitsblätter Klasse 8

Stellen Sie aus mehr als 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Zuordnungen und Funktionen

Lernziele

  • Erklärt Funktionen als eindeutige Zuordnungen.
  • Unterscheidet Argument und Funktionswert.
  • Verwendet Funktionsschreibweisen passend.
  • Erklärt, warum verschiedene Argumente denselben Funktionswert haben dürfen.

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5516838
Ein Getränkeautomat hat die Tasten A1, A2 und A3. Beim Drücken einer Taste wird genau ein Getränk ausgewählt: A1 \(\mapsto\) Wasser A2 \(\mapsto\) Apfelschorle A3 \(\mapsto\) Kakao a) Was ist bei dieser Zuordnung jeweils die Eingabe? b) Was ist jeweils die Ausgabe? c) Welche Ausgabe gehört zur Eingabe A2?

Denkanstöße

- Frage dich, was man am Automaten auswählt und was der Automat daraufhin liefert. - Die Eingabe steht links vom Zuordnungspfeil, die Ausgabe rechts davon. - Lies für c) die Zeile mit A2 ab.

Lösung

1. Die Eingaben sind die gedrückten Tasten A1, A2 und A3. 2. Die Ausgaben sind die ausgewählten Getränke Wasser, Apfelschorle und Kakao. 3. Zur Eingabe A2 gehört die Ausgabe Apfelschorle.

Antwort

a) Eingaben sind die Tasten A1, A2 und A3. b) Ausgaben sind Wasser, Apfelschorle und Kakao. c) Zu A2 gehört Apfelschorle.
5524208
Bei einer Messung werden zu vier Zeitpunkten die Außentemperaturen notiert: <table> <tr><th>Zeitpunkt \(t\) in h</th><td>8</td><td>10</td><td>12</td><td>14</td></tr> <tr><th>Temperatur \(T\) in \(^\circ\text{C}\)</th><td>12</td><td>15</td><td>18</td><td>15</td></tr> </table> a) Welche Größe ist bei der Zuordnung „Zeitpunkt \(\mapsto\) Temperatur“ die Eingabe und welche die Ausgabe? b) Welche Größe ist die unabhängige und welche die abhängige Größe? c) Erkläre, warum diese Zuordnung eine Funktion ist, obwohl der Wert \(15\,^\circ\text{C}\) zweimal vorkommt.

Denkanstöße

- Lies die Zuordnung in der angegebenen Pfeilrichtung. - Frage dich, welche Größe den betrachteten Messpunkt festlegt und welche Größe dazu abgelesen wird. - Für die Funktionseigenschaft ist entscheidend, wie viele Ausgaben zu einer einzelnen Eingabe gehören.

Lösung

1. Die Eingabe ist der Zeitpunkt \(t\) in Stunden; die Ausgabe ist die zugehörige Temperatur \(T\) in Grad Celsius. 2. Der Zeitpunkt ist die unabhängige Größe. Die gemessene Temperatur hängt vom betrachteten Zeitpunkt ab und ist daher die abhängige Größe. 3. Zu jedem angegebenen Zeitpunkt gehört genau ein Temperaturwert. Dass zu zwei verschiedenen Zeitpunkten derselbe Temperaturwert \(15\,^\circ\text{C}\) gehört, widerspricht der Funktionsdefinition nicht.

Antwort

a) Eingabe: Zeitpunkt \(t\); Ausgabe: Temperatur \(T\). b) Unabhängig: Zeitpunkt; abhängig: Temperatur. c) Ja. Jedem Zeitpunkt ist genau eine Temperatur zugeordnet; derselbe Temperaturwert darf zu mehreren Zeitpunkten gehören.
5551508
Ergänze den Satz mit dem mathematischen Fachbegriff: Eine Zuordnung, bei der jeder zulässigen Eingabe genau eine Ausgabe zugeordnet ist, heißt \(\square\).

Denkanstöße

- Markiere im Satz die Bedingung „jeder Eingabe genau eine Ausgabe“. - Überlege, welcher Fachbegriff genau durch diese Bedingung beschrieben wird.

Lösung

1. Die genannte Eindeutigkeitsbedingung ist die grundlegende Bedingung für eine Funktion.

Antwort

Funktion
5551588
In einem Schwimmbad werden zu drei Uhrzeiten Wassertemperaturen gemessen: <table><tr><th>Uhrzeit in h</th><td>8</td><td>10</td><td>12</td></tr><tr><th>Wassertemperatur in \(^\circ\text{C}\)</th><td>\(20{,}5\)</td><td>\(22{,}0\)</td><td>\(23{,}5\)</td></tr></table> Eine Funktion \(f\) soll diese Messdaten beschreiben. Welche Größe muss als Eingabe und welche als Ausgabe verwendet werden? Gib jeweils die Einheit an und schreibe die Zuordnung für die Messung um \(10\) Uhr in Funktionsschreibweise.

Denkanstöße

- Frage dich, welche Größe ausgewählt wird und welche Messgröße davon abhängt. - In \(f(x)\) steht das Argument in der Klammer; der zugehörige Messwert steht auf der anderen Seite der Gleichung.

Lösung

1. Die Messung ordnet jedem aufgezeichneten Zeitpunkt genau die dort gemessene Temperatur zu. Daher ist die Eingabe die Uhrzeit in Stunden und die Ausgabe die Wassertemperatur in \(^\circ\text{C}\). 2. Für die Messung um \(10\) Uhr gilt \(f(10)=22{,}0\).

Antwort

Eingabe: Uhrzeit in Stunden. Ausgabe: Wassertemperatur in \(^\circ\text{C}\). Für \(10\) Uhr gilt \(f(10)=22{,}0\).
5572978
In einer Schulbibliothek trägt jedes einzelne Buchexemplar einen eigenen Barcode. Beim Scannen wird jedem Barcode genau der Titel des zugehörigen Buches angezeigt. Von manchen Titeln besitzt die Bibliothek mehrere Exemplare. a) Was ist bei der Zuordnung \(\text{Barcode}\mapsto\text{Buchtitel}\) die Eingabe und was die Ausgabe? b) Ist diese Zuordnung eine Funktion? Begründe. c) Dürfen zwei verschiedene Barcodes denselben Buchtitel als Ausgabe haben, ohne dass die Zuordnung aufhört, eine Funktion zu sein?

Denkanstöße

- Prüfe die Zuordnung immer ausgehend von einer einzelnen Eingabe. - Für die Funktionsdefinition ist wichtig, wie viele Ausgaben zu demselben Barcode gehören. - Wiederholte Ausgaben bei verschiedenen Eingaben sind nicht automatisch ein Problem.

Lösung

1. Eingabe ist der Barcode eines einzelnen Buchexemplars, Ausgabe ist der zugehörige Buchtitel. 2. Zu jedem Barcode gehört genau ein Buchexemplar und damit genau ein Titel. Deshalb ist die Zuordnung eine Funktion. 3. Verschiedene Barcodes dürfen denselben Titel liefern. Für eine Funktion ist nur entscheidend, dass zu jeder einzelnen Eingabe genau eine Ausgabe gehört.

Antwort

a) Eingabe: Barcode; Ausgabe: Buchtitel b) Ja. Jedem Barcode ist genau ein Buchtitel zugeordnet. c) Ja. Verschiedene Eingaben dürfen denselben Funktionswert haben.
5579898
Die Tabelle gehört zu einer Funktion \(f\). <table> <tr><th>\(x\)</th><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>4</td><td>7</td><td>7</td></tr> </table> a) In der Aussage \(f(2)=7\): Welche Zahl ist das Argument und welche der Funktionswert? b) Schreibe die Zuordnung zur Eingabe \(3\) in Funktionsschreibweise. c) Erkläre, warum die beiden gleichen Funktionswerte bei \(x=2\) und \(x=3\) kein Problem für eine Funktion sind.

Denkanstöße

- Vergleiche \(f(2)=7\) mit den Tabellenüberschriften \(x\) und \(f(x)\). - Nutze für b) dieselbe Schreibweise wie in \(f(2)=7\), aber mit der Eingabe \(3\). - Prüfe bei c) die Eindeutigkeit immer von einer einzelnen Eingabe aus.

Lösung

1. In \(f(2)=7\) ist \(2\) das Argument. Der zugehörige Funktionswert ist \(7\). 2. Für die Eingabe \(3\) zeigt die Tabelle den Wert \(7\). Daher gilt \(f(3)=7\). 3. Verschiedene Argumente dürfen denselben Funktionswert besitzen. Entscheidend ist, dass zu jedem einzelnen Argument genau ein Funktionswert gehört.

Antwort

a) Argument: \(2\); Funktionswert: \(7\) b) \(f(3)=7\) c) Verschiedene Argumente dürfen denselben Funktionswert haben; jedes Argument hat hier genau einen Wert.
5524218
Das Diagramm zeigt eine Zuordnung. Die Punkte links sind Eingaben, die Punkte rechts Ausgaben. Jeder Pfeil wird von links nach rechts gelesen. a) Schreibe alle vier Zuordnungen mit einem Zuordnungspfeil auf. b) Erkläre, warum die dargestellte Zuordnung eine Funktion ist. c) Welche Ausgabe gehört zu zwei verschiedenen Eingaben? Ist das bei einer Funktion erlaubt?
Abbildung zur Aufgabe 552421

Denkanstöße

- Verfolge jeden Pfeil einzeln von der linken zur rechten Spalte. - Prüfe für die Funktionseigenschaft jede Eingabe links, nicht jede Ausgabe rechts. - Überlege, ob eine gemeinsam genutzte Ausgabe dieselbe Art von Konflikt erzeugt wie zwei verschiedene Ausgaben zu einer Eingabe.

Lösung

1. Die Pfeile zeigen \(A\mapsto P\), \(B\mapsto Q\), \(C\mapsto Q\) und \(D\mapsto R\). 2. Von jeder Eingabe links geht genau ein Pfeil zu einer Ausgabe rechts. Daher ist die Zuordnung eine Funktion. 3. Die Ausgabe \(Q\) gehört sowohl zu \(B\) als auch zu \(C\). Das ist erlaubt, weil verschiedene Eingaben denselben Funktionswert haben dürfen.

Antwort

a) \(A\mapsto P\), \(B\mapsto Q\), \(C\mapsto Q\), \(D\mapsto R\) b) Ja. Jede Eingabe besitzt genau eine Ausgabe. c) \(Q\); ja, mehrere Eingaben dürfen dieselbe Ausgabe haben.
5551518
Für eine Theatergarderobe wird jedem abgegebenen Mantel genau eine Garderobenmarke zugeordnet. Die Zuordnung ist nur durch eine Liste von Mantel-Markennummer-Paaren festgelegt; eine Rechenformel gibt es nicht. Mara behauptet: „Ohne Rechenformel kann die Zuordnung keine Funktion sein.“ Beurteile die Behauptung und nenne das tatsächlich entscheidende Kriterium.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Bedingung, die in der Definition einer Funktion vorkommt. - Vergleiche diese Bedingung mit Maras Forderung nach einer Rechenformel. - Betrachte einen einzelnen Mantel und frage, wie viele Ausgaben ihm zugeordnet sind.

Lösung

1. Ob eine Funktion vorliegt, hängt nicht davon ab, ob eine Rechenformel angegeben ist. 2. Entscheidend ist, dass jedem Mantel genau eine Garderobenmarke zugeordnet ist. 3. Nach der Beschreibung ist diese Bedingung erfüllt; die Zuordnung ist daher eine Funktion.

Antwort

Maras Behauptung ist falsch. Eine Rechenformel ist nicht erforderlich; entscheidend ist, dass jedem Mantel genau eine Garderobenmarke zugeordnet ist.

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.

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