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- Frage dich, was man am Automaten auswählt und was der Automat daraufhin liefert. - Die Eingabe steht links vom Zuordnungspfeil, die Ausgabe rechts davon. - Lies für c) die Zeile mit A2 ab.

1. Die Eingaben sind die gedrückten Tasten A1, A2 und A3. 2. Die Ausgaben sind die ausgewählten Getränke Wasser, Apfelschorle und Kakao. 3. Zur Eingabe A2 gehört die Ausgabe Apfelschorle.

a) Eingaben sind die Tasten A1, A2 und A3. b) Ausgaben sind Wasser, Apfelschorle und Kakao. c) Zu A2 gehört Apfelschorle.

- In \(f(x)\) steht in der Klammer das Argument. - Der Wert rechts vom Gleichheitszeichen ist der zugehörige Funktionswert. - Ein Graphpunkt verbindet Argument und Funktionswert als \(x\)- und \(y\)-Koordinate.

1. Das Argument ist \(3\). 2. Der zugehörige Funktionswert ist \(7\). 3. Der zugehörige Graphpunkt ist \(P(3\mid7)\). 4. Die Schreibweise bedeutet: Dem Argument \(3\) ordnet die Funktion \(f\) den Funktionswert \(7\) zu.

a) \(3\) b) \(7\) c) \(P(3\mid7)\) d) \(f\) ordnet dem Argument \(3\) den Funktionswert \(7\) zu.

- Lies die Zuordnung in der angegebenen Pfeilrichtung. - Frage dich, welche Größe den betrachteten Messpunkt festlegt und welche Größe dazu abgelesen wird. - Für die Funktionseigenschaft ist entscheidend, wie viele Ausgaben zu einer einzelnen Eingabe gehören.

1. Die Eingabe ist der Zeitpunkt \(t\) in Stunden; die Ausgabe ist die zugehörige Temperatur \(T\) in Grad Celsius. 2. Der Zeitpunkt ist die unabhängige Größe. Die gemessene Temperatur hängt vom betrachteten Zeitpunkt ab und ist daher die abhängige Größe. 3. Zu jedem angegebenen Zeitpunkt gehört genau ein Temperaturwert. Dass zu zwei verschiedenen Zeitpunkten derselbe Temperaturwert \(15\,^\circ\text{C}\) gehört, widerspricht der Funktionsdefinition nicht.

a) Eingabe: Zeitpunkt \(t\); Ausgabe: Temperatur \(T\). b) Unabhängig: Zeitpunkt; abhängig: Temperatur. c) Ja. Jedem Zeitpunkt ist genau eine Temperatur zugeordnet; derselbe Temperaturwert darf zu mehreren Zeitpunkten gehören.

- Prüfe jede Eingabe der Tabelle einzeln. - Entscheidend ist, wie viele Ausgaben zu einer einzelnen Eingabe gehören.

1. Zu jeder der drei Eingaben ist genau eine Ausgabe angegeben. 2. Damit erfüllt die Zuordnung die Bedingung für eine Funktion.

Ja. Jeder Eingabe ist genau eine Ausgabe zugeordnet.

- Gesucht ist der zentrale Fachbegriff dieses Themas. - Achte besonders auf die Formulierung „jeder Eingabe genau eine Ausgabe“.

1. Die genannte Eindeutigkeitsbedingung ist die grundlegende Bedingung für eine Funktion.

Funktion

- Überlege dir für jeden Fall ein konkretes Beispiel: Was passiert mit der zweiten Größe, wenn du die erste Größe verdoppelst? - Prüfe, ob das Verhältnis zwischen den beiden Größen immer gleich bleibt. - Überlege, ob das Produkt der beiden Größen in einem der Fälle konstant sein könnte. - Gibt es einen Fall, in dem die Zuordnung zwar einer festen Regel folgt, aber nicht proportional ist?

a) Proportional: Da der Preis pro Brötchen fest ist, führt die Verdopplung der Anzahl zur Verdopplung des Preises (Quotientengleichheit). b) Keine von beiden: Kinder wachsen nicht gleichmäßig proportional zu ihrem Alter; ein 10-jähriges Kind ist nicht doppelt so groß wie ein 5-jähriges. c) Antiproportional: Unter der Annahme konstanter, addierbarer Förderleistungen und ohne gegenseitige Beeinflussung halbiert sich die Zeit, wenn man die Anzahl der Pumpen verdoppelt (Produktgleichheit). d) Keine von beiden: Der Flächeninhalt berechnet sich durch \(A = s \cdot s\). Bei Verdopplung der Seitenlänge vervierfacht sich der Flächeninhalt, das Verhältnis \(\frac{A}{s}\) ist nicht konstant.

a) proportional b) weder noch c) antiproportional d) weder noch

- Teste für jede Tabelle nacheinander beide Kriterien: Ist der Quotient immer gleich? Ist das Produkt immer gleich? - Schon ein einziges Paar, das nicht zum Rest passt, schließt die jeweilige Eigenschaft aus. - Bei Tabelle A: Wie verändert sich \(y\), wenn \(x\) um \(1\) größer wird? Ist das ein Merkmal für Proportionalität?

1. Untersuchung Tabelle A: Quotienten \(\frac{y}{x}\): \(\frac{5}{1}=5\); \(\frac{7}{2}=3{,}5\). Nicht quotientengleich, also nicht proportional. Produkte \(x \cdot y\): \(1 \cdot 5 = 5\); \(2 \cdot 7 = 14\). Nicht produktgleich, also nicht antiproportional. Ergebnis für A: Keine dieser Zuordnungen. 2. Untersuchung Tabelle B: Quotienten \(\frac{y}{x}\): \(\frac{2{,}5}{1}=2{,}5\); \(\frac{5}{2}=2{,}5\); \(\frac{10}{4}=2{,}5\); \(\frac{20}{8}=2{,}5\). Ergebnis für B: Da alle Quotienten gleich \(2{,}5\) sind (Quotientengleichheit), liegt eine proportionale Zuordnung vor.

Tabelle A: Keine dieser Zuordnungen, da weder Quotientengleichheit (\(5 \neq 3{,}5\)) noch Produktgleichheit (\(5 \neq 14\)) vorliegt. Tabelle B: Proportionale Zuordnung, da Quotientengleichheit vorliegt (\(\frac{y}{x} = 2{,}5\)).

- Überlege dir: Wenn eine Größe verdoppelt wird, was passiert dann mit der anderen Größe? Wird sie auch doppelt so groß oder wird sie halbiert? - Welcher Wert bleibt bei der Gemüse-Vorbereitung konstant?

1. Zuordnung 1: Proportional. Begründung: Da pro Portion stets die gleiche Wassermenge verwendet wird, verdoppelt sich bei einer Verdopplung der Portionenzahl auch die benötigte Wassermenge. 2. Zuordnung 2: Antiproportional. Begründung: Unter den genannten idealisierten Bedingungen halbiert sich die Arbeitszeit, wenn sich die Anzahl der Helfer verdoppelt. 3. Berechnung für Situation 2: Gesamtzeitaufwand = \(4\,\text{Helfer} \cdot 60\,\text{Minuten} = 240\,\text{Personenminuten}\). 4. Zeit für sechs Helfer: \(\frac{240\,\text{Personenminuten}}{6\,\text{Helfer}} = 40\,\text{Minuten}\).

a) Situation 1 ist proportional (mehr Portionen \(\rightarrow\) mehr Wasser). Situation 2 ist antiproportional (mehr Helfer \(\rightarrow\) weniger Zeit). b) Sechs Helfer benötigen \(40\,\text{Minuten}\).

- Überlege dir zuerst: Wenn sich die eine Größe verdoppelt, verdoppelt oder halbiert sich dann die andere Größe? - Was bleibt in der jeweiligen Situation unverändert? Ist es der Preis pro Kilogramm oder die gesamte Arbeitsmenge? - Kannst du einen Zwischenschritt über die Zahl 1 machen?

Für Teil b) wird vorausgesetzt, dass alle Maler mit gleicher konstanter Leistung arbeiten und sich nicht gegenseitig behindern. 1. Teilaufgabe a): Da der Preis bei gleicher Sorte gleichmäßig mit dem Gewicht steigt, liegt eine proportionale Zuordnung vor. 2. Berechnung für a): Zuerst den Preis für \(1\,\text{kg}\) bestimmen: \(5{,}40\,\text{€} : 3 = 1{,}80\,\text{€}\). Dann den Preis für \(7\,\text{kg}\) berechnen: \(1{,}80\,\text{€} \cdot 7 = 12{,}60\,\text{€}\). 3. Teilaufgabe b): Da mehr Personen für dieselbe Arbeit weniger Zeit benötigen (und das Produkt aus Personen und Zeit konstant bleibt), liegt eine antiproportionale Zuordnung vor. 4. Berechnung für b): Zuerst die gesamte Arbeitszeit in Personenstunden berechnen: \(4\,\text{Personen} \cdot 6\,\text{h} = 24\,\text{Personenstunden}\). Dann die Zeit für 3 Maler bestimmen: \(24\,\text{Personenstunden} : 3\,\text{Personen} = 8\,\text{h}\).

a) Proportionale Zuordnung; der Preis für \(7\,\text{kg}\) beträgt \(12{,}60\,\text{€}\). b) Antiproportionale Zuordnung; die \(3\) Maler benötigen \(8\) Stunden. Die Zeitangabe gilt unter diesen Annahmen.

- Erinnere dich an die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt eines Quadrats. - Was genau muss passieren, damit man eine Zuordnung „proportional“ nennt? - Rechne die Werte für eine beliebige Seitenlänge aus und vergleiche sie mit den Werten für die doppelte Seitenlänge.

1. Zuordnung 1 (Umfang): Bei \(a = 3\,\text{cm}\) ist \(U = 4 \cdot 3 = 12\,\text{cm}\). Bei Verdopplung auf \(a = 6\,\text{cm}\) ist \(U = 4 \cdot 6 = 24\,\text{cm}\). Da sich bei Verdopplung der Eingangsgröße auch die Ausgangsgröße verdoppelt, ist die Zuordnung proportional. 2. Zuordnung 2 (Fläche): Bei \(a = 3\,\text{cm}\) ist \(A = 3^2 = 9\,\text{cm}^2\). Bei Verdopplung auf \(a = 6\,\text{cm}\) ist \(A = 6^2 = 36\,\text{cm}^2\). Da \(36\) das Vierfache von \(9\) ist (und nicht das Doppelte), ist die Zuordnung nicht proportional.

Zuordnung 1 ist proportional, weil die Verdopplung der Seitenlänge \(a\) zu einer Verdopplung des Umfangs \(U\) führt (\(12\,\text{cm} \to 24\,\text{cm}\)). Zuordnung 2 ist nicht proportional, weil die Verdopplung der Seitenlänge \(a\) zu einer Vervierfachung des Flächeninhalts \(A\) führt (\(9\,\text{cm}^2 \to 36\,\text{cm}^2\)).

- Vergleiche, wie sich die Funktionswerte ändern, wenn die Argumente jeweils um \(1\) zunehmen. - Nutze besonders das Wertepaar mit \(x=0\), um den konstanten Anteil der Regel zu erkennen. - Prüfe eine gefundene Regel an mindestens einem Tabellenwert.

1. Wenn das Argument um \(1\) größer wird, wird der Funktionswert jeweils um \(2\) kleiner. Bei \(x=0\) ist der Funktionswert \(1\). Eine passende Beschreibung lautet: Verdopple das Argument, ändere das Vorzeichen und addiere \(1\). 2. Ein passender Funktionsterm ist \(f(x)=1-2x\). 3. Für \(x=-1\) ergibt sich \(f(-1)=1-2\cdot(-1)=3\). Das stimmt mit der Tabelle überein.

a) Verdopple das Argument, ändere das Vorzeichen und addiere \(1\). b) \(f(x)=1-2x\) c) \(f(-1)=3\); der Term passt zur Tabelle.

- Beim Zuordnungspfeil steht das Argument links und der Funktionswert rechts. - Ein Graphpunkt hat die Form \((\text{Argument}\mid\text{Funktionswert})\). - Überlege bei c), welche Information die Gleichung tatsächlich über das Argument \(5\) enthält.

1. Mit Zuordnungspfeilen lauten die Aussagen \(-2\mapsto5\) und \(1\mapsto0{,}5\). 2. Die zugehörigen Graphpunkte sind \(P(-2\mid5)\) und \(Q(1\mid0{,}5)\). 3. Die Aussage \(g(-2)=5\) legt nur fest, welcher Funktionswert zum Argument \(-2\) gehört. Sie sagt nichts darüber aus, welcher Funktionswert zum Argument \(5\) gehört. Eingabe und Ausgabe dürfen daher nicht einfach vertauscht werden.

a) \(-2\mapsto5\); \(1\mapsto0{,}5\) b) \(P(-2\mid5)\); \(Q(1\mid0{,}5)\) c) Aus einer Zuordnung darf man Eingabe und Ausgabe nicht ohne weitere Information vertauschen.

- Bei einem Punkt \((x\mid y)\) ist \(x\) das Argument und \(y\) der Funktionswert. - Suche für b) die Stelle des Graphen mit der \(y\)-Koordinate \(0\). - Prüfe für c) jede Aussage an dem Punkt mit dem angegebenen Argument.

1. Der Punkt \(P(-1\mid4)\) bedeutet \(f(-1)=4\). 2. Der Graph enthält den Punkt \((2\mid0)\). Zum Funktionswert \(0\) gehört daher das Argument \(2\). 3. Der Graph enthält den Punkt \((4\mid3)\). Daher ist \(f(4)=3\) richtig. Die beiden anderen Aussagen stimmen nicht mit den dargestellten Punkten überein.

a) \(f(-1)=4\) b) \(2\) c) \(f(4)=3\)

- Prüfe nicht zuerst die Ausgaben, sondern jedes einzelne Argument. - Frage dich, ob irgendeinem Argument zwei verschiedene Funktionswerte zugeordnet sind. - Wiederholte Funktionswerte sind etwas anderes als mehrere Funktionswerte zu derselben Eingabe.

Miras Aussage ist falsch. Die Argumente \(-2\) und \(2\) dürfen denselben Funktionswert \(3\) haben. Entscheidend ist, dass jedem einzelnen Argument genau ein Funktionswert zugeordnet wird. Das ist in der Tabelle erfüllt.

Miras Aussage ist falsch. Mehrere Argumente dürfen denselben Funktionswert haben; jedes Argument muss nur eindeutig genau einen Funktionswert besitzen.

- Verfolge jeden Pfeil einzeln von der linken zur rechten Spalte. - Prüfe für die Funktionseigenschaft jede Eingabe links, nicht jede Ausgabe rechts. - Überlege, ob eine gemeinsam genutzte Ausgabe dieselbe Art von Konflikt erzeugt wie zwei verschiedene Ausgaben zu einer Eingabe.

1. Die Pfeile zeigen \(A\mapsto P\), \(B\mapsto Q\), \(C\mapsto Q\) und \(D\mapsto R\). 2. Von jeder Eingabe links geht genau ein Pfeil zu einer Ausgabe rechts. Daher ist die Zuordnung eine Funktion. 3. Die Ausgabe \(Q\) gehört sowohl zu \(B\) als auch zu \(C\). Das ist erlaubt, weil verschiedene Eingaben denselben Funktionswert haben dürfen.

a) \(A\mapsto P\), \(B\mapsto Q\), \(C\mapsto Q\), \(D\mapsto R\) b) Ja. Jede Eingabe besitzt genau eine Ausgabe. c) \(Q\); ja, mehrere Eingaben dürfen dieselbe Ausgabe haben.

- Teste jede angebotene Regel an mehreren der gegebenen Zuordnungen, einschließlich einer negativen Eingabe. - Eine Regel scheidet aus, sobald sie auch nur ein gegebenes Wertepaar nicht erzeugt. - Verwende für c) genau die in a) ausgewählte Regel.

1. Die Regel „Eingabe quadrieren“ passt zu allen fünf Paaren. Die anderen Regeln scheitern bereits bei mindestens einem gegebenen Paar, zum Beispiel bei einer negativen Eingabe oder bei \(x=0\). 2. Der passende Funktionsterm ist \(f(x)=x^2\). 3. Damit gilt \(f(5)=25\) und \(f(-2)=4\).

a) Die Eingabe wird quadriert. b) \(f(x)=x^2\) c) \(f(5)=25\); \(f(-2)=4\)

- Unterscheide zwischen dem Namen einer Funktion und der Rechenvorschrift, mit der sie Werte erzeugt. - Eine Funktionsgleichung verbindet den Funktionsnamen mit dem allgemeinen Term. - Vergleiche bei D und E die Reihenfolge von Argument und Funktionswert mit den beiden Punktkoordinaten.

1. A ist der Funktionsname, B der Funktionsterm, C die Funktionsgleichung, D eine konkrete Zuordnung und E der zugehörige Graphpunkt. 2. In \(k(-2)=-11\) ist \(-2\) das Argument und \(-11\) der Funktionswert. 3. Die Aussage \(k(-2)=-11\) bedeutet, dass zum Argument \(-2\) der Funktionswert \(-11\) gehört. Im Koordinatensystem wird genau dieses Wertepaar durch den Punkt \(Q(-2\mid-11)\) dargestellt. 4. Der Funktionsterm \(4x-3\) ist die allgemeine Rechenvorschrift mit der Variablen \(x\). Der Wert \(-11\) entsteht erst, wenn das konkrete Argument \(-2\) eingesetzt wird.

a) A: Funktionsname; B: Funktionsterm; C: Funktionsgleichung; D: konkrete Zuordnung; E: Graphpunkt b) Argument: \(-2\); Funktionswert: \(-11\) c) D und E beschreiben dasselbe Wertepaar: \(k(-2)=-11\) entspricht \(Q(-2\mid-11)\). d) B ist die allgemeine Rechenvorschrift; \(-11\) ist ein einzelner Funktionswert für das Argument \(-2\).

- Erinnere dich an die Bedingung, die in der Definition einer Funktion vorkommt. - Vergleiche diese Bedingung mit Maras Forderung nach einer Rechenformel. - Betrachte einen einzelnen Mantel und frage, wie viele Ausgaben ihm zugeordnet sind.

1. Ob eine Funktion vorliegt, hängt nicht davon ab, ob eine Rechenformel angegeben ist. 2. Entscheidend ist, dass jedem Mantel genau eine Garderobenmarke zugeordnet ist. 3. Nach der Beschreibung ist diese Bedingung erfüllt; die Zuordnung ist daher eine Funktion.

Maras Behauptung ist falsch. Eine Rechenformel ist nicht erforderlich; entscheidend ist, dass jedem Mantel genau eine Garderobenmarke zugeordnet ist.

- Überlege in Teil a), was passiert, wenn der Kopierer doppelt so lange läuft. - In Teil c) ist die Gesamtmenge der Seiten fest vorgegeben. Wie ändert sich die Zeit, wenn der Kopierer schneller arbeitet? - Prüfe für die Tabellen, ob das Verhältnis (Quotient) oder das Produkt der Werte immer gleich bleibt.

1. Berechnung für Teil a): Multiplikation der Geschwindigkeit mit der Zeit. Für \(4\,\text{min}\): \(45 \cdot 4 = 180\) Seiten. Für \(10\,\text{min}\): \(45 \cdot 10 = 450\) Seiten. Für \(15\,\text{min}\): \(45 \cdot 15 = 675\) Seiten. 2. Zuordnungstyp für Teil b): Der Quotient aus Seitenanzahl und Zeit (\(\frac{y}{x} = 45\)) ist konstant, also ist die Zuordnung proportional. 3. Berechnung für Teil c): Division der Gesamtseiten durch die Geschwindigkeit. Bei \(30\,\text{Seiten}/\text{min}\): \(540 : 30 = 18\,\text{min}\). Bei \(45\,\text{Seiten}/\text{min}\): \(540 : 45 = 12\,\text{min}\). Bei \(60\,\text{Seiten}/\text{min}\): \(540 : 60 = 9\,\text{min}\). 4. Zuordnungstyp für Teil d): Das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit (\(v \cdot t = 540\)) ist konstant, daher ist diese Zuordnung antiproportional.

a) In \(4\,\text{min}\) werden \(180\) Seiten, in \(10\,\text{min}\) werden \(450\) Seiten und in \(15\,\text{min}\) werden \(675\) Seiten gedruckt. b) Dies ist eine proportionale Zuordnung. c) Bei \(30\,\text{Seiten}/\text{min}\) dauert es \(18\,\text{min}\), bei \(45\,\text{Seiten}/\text{min}\) sind es \(12\,\text{min}\) und bei \(60\,\text{Seiten}/\text{min}\) sind es \(9\,\text{min}\). d) <table> <tbody> <tr><td>Geschwindigkeit (\(\text{Seiten}/\text{min}\))</td><td>30</td><td>45</td><td>60</td></tr> <tr><td>Zeit (\(\text{min}\))</td><td>18</td><td>12</td><td>9</td></tr> </tbody> </table> Dies ist eine antiproportionale Zuordnung.

- Was bedeutet „Personenstunden“? Es ist das Produkt aus der Arbeitszeit und der Anzahl der gleichzeitig arbeitenden Personen. - Wenn mehr Leute mithelfen, wird die Dauer für dieselbe Aufgabe kürzer oder länger? - In Teil c) kommt mit jedem Raum die gleiche Menge an Arbeit hinzu. Welcher Zuordnungstyp beschreibt so ein gleichmäßiges Wachstum?

Es wird vorausgesetzt, dass alle Fliesenleger gleich schnell und mit konstanter Leistung arbeiten und sich nicht gegenseitig behindern. 1. Berechnung der Dauer für Teil a): Die Gesamtzahl der Personenstunden wird durch die Personenanzahl geteilt. Für \(2\) Personen: \(120 : 2 = 60\,\text{h}\). Für \(3\) Personen: \(120 : 3 = 40\,\text{h}\). Für \(5\) Personen: \(120 : 5 = 24\,\text{h}\). Für \(8\) Personen: \(120 : 8 = 15\,\text{h}\). 2. Term für Teil b): Die Dauer \(d\) ist der Quotient aus der Zahl der Personenstunden und der Personenanzahl, also \(d = \frac{120}{p}\). 3. Berechnung der Gesamtstunden für Teil c): Multiplikation der Stunden pro Raum mit der Anzahl der Räume. Für \(4\) Räume: \(15 \cdot 4 = 60\) Arbeitsstunden. Für \(6\) Räume: \(15 \cdot 6 = 90\) Arbeitsstunden. Für \(10\) Räume: \(15 \cdot 10 = 150\) Arbeitsstunden. 4. Zuordnungstyp für Teil d): Da die Gesamtstunden mit der Anzahl der Räume gleichmäßig steigen (\(\text{Stunden} = 15 \cdot \text{Räume}\)), ist dies eine proportionale Zuordnung.

a) Bei \(2\) Personen dauert es \(60\,\text{h}\), bei \(3\) Personen \(40\,\text{h}\), bei \(5\) Personen \(24\,\text{h}\) und bei \(8\) Personen \(15\,\text{h}\). b) Der Term lautet \(d = \frac{120}{p}\). c) Für \(4\) Räume werden \(60\) Stunden, für \(6\) Räume \(90\) Stunden und für \(10\) Räume \(150\) Stunden benötigt. d) Es handelt sich um eine proportionale Zuordnung. Die Berechnung setzt gleiche konstante Einzelproduktivität ohne gegenseitige Behinderung voraus.

- Überlege für jede Situation einzeln: Wenn die eine Größe steigt, was passiert mit der anderen? - Achte in Situation 2 darauf, wie viele Pferde nach dem Verkauf noch da sind. - Suche nach einer konstanten Größe: dem Verbrauch pro Kilometer beziehungsweise der Gesamtzahl der Pferdetage.

Situation 1 (Kraftstoffverbrauch): 1. Zuordnungsart: proportional, da unter gleichbleibenden Bedingungen die doppelte Strecke den doppelten Kraftstoffverbrauch verursacht. 2. Verbrauch pro Kilometer: \(6\,\text{l} : 100\,\text{km} = 0{,}06\,\text{l}/\text{km}\) 3. Verbrauch für \(250\,\text{km}\): \(250\,\text{km} \cdot 0{,}06\,\text{l}/\text{km} = 15\,\text{l}\) Situation 2 (Futtervorrat; gleicher Tagesverbrauch je Pferd): 1. Zuordnungsart: antiproportional, da weniger Tiere denselben Vorrat in längerer Zeit verbrauchen. 2. Gesamtvorrat in Pferdetagen: \(10\,\text{Pferde} \cdot 12\,\text{Tage} = 120\,\text{Pferdetage}\) 3. Neue Anzahl der Pferde: \(10 - 2 = 8\,\text{Pferde}\) 4. Dauer für \(8\) Pferde: \(120 : 8 = 15\,\text{Tage}\)

Situation 1: Proportionale Zuordnung. Das Auto verbraucht auf \(250\,\text{km}\) insgesamt \(15\,\text{l}\). Situation 2: Antiproportionale Zuordnung. Der Vorrat reicht für \(8\) Pferde insgesamt \(15\) Tage.

- Achte darauf, was in der jeweiligen Situation gleich bleibt. - In Teil a) geht es um ein festes Mischverhältnis zweier Stoffe. - In Teil b) wird eine feste Gesamtmenge auf unterschiedlich große Gläser verteilt.

1. Teilaufgabe a): Das Mischverhältnis bleibt gleich, daher ist die Zuordnung Sirupmenge \(\to\) Wassermenge proportional. 2. Berechnung für a): Pro Liter Sirup werden \(10\,\text{l} : 2 = 5\,\text{l}\) Wasser benötigt. Für \(5\,\text{l}\) Sirup sind es demnach \(5 \cdot 5\,\text{l} = 25\,\text{l}\) Wasser. 3. Teilaufgabe b): Die Gesamtmenge des Getränks ist fest. Je größer das einzelne Glas ist, desto weniger Gläser können gefüllt werden. Das Produkt aus Glasgröße und Anzahl ist konstant, daher ist die Zuordnung antiproportional. 4. Berechnung für b): \(12\,\text{l} : 0{,}3\,\text{l} = 40\). Es können \(40\) Gläser gefüllt werden.

a) Es werden \(25\,\text{l}\) Wasser benötigt. b) Man könnte \(40\) Gläser füllen. c) In Teil a) liegt eine proportionale Zuordnung vor; in Teil b) liegt eine antiproportionale Zuordnung vor.

- Prüfe zuerst, welche Gleichung die sichtbare Form jedes Graphen beschreibt. - Für die Funktionsfrage ist entscheidend, ob zu einem festen \(x\)-Wert mehr als ein \(y\)-Wert auftreten kann. - Wenn du eine Gleichung nach \(y\) umstellst, achte darauf, ob dadurch ein oder mehrere mögliche \(y\)-Werte entstehen.

1. Graph (1) gehört zu Gleichung A, denn aus \(2y-3x=0\) folgt \(y=1{,}5x\). 2. Graph (2) gehört zu Gleichung B. Für \(x>0\) gehören jeweils zwei Werte \(y\) zu demselben Wert \(x\). 3. Graph (3) gehört zu Gleichung C, denn aus \(x^2+y=4\) folgt \(y=4-x^2\). 4. Graph (1) ist eine Funktion, weil jedem \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert zugeordnet wird. 5. Graph (2) ist keine Funktion, weil es \(x\)-Werte mit zwei verschiedenen zugehörigen \(y\)-Werten gibt. 6. Graph (3) ist eine Funktion, weil jedem \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert zugeordnet wird. 7. Für Graph (1) lautet die nach \(y\) umgestellte Gleichung \(y=1{,}5x\). Für Graph (3) lautet sie \(y=4-x^2\).

a) A gehört zu Graph (1), B zu Graph (2) und C zu Graph (3). b) Graph (1) und Graph (3) sind Funktionen. Graph (2) ist keine Funktion, weil einem \(x\)-Wert zwei verschiedene \(y\)-Werte zugeordnet sein können. c) Graph (1): \(y=1{,}5x\); Graph (3): \(y=4-x^2\).

- Berechne die Funktionswerte aus dem angegebenen Term unabhängig vom Diagramm. - Lies anschließend im Diagramm die Werte zu denselben Argumenten ab. - Für die Widerlegung einer Übereinstimmung genügt bereits ein Gegenbeispiel.

1. Aus dem Funktionsterm folgt \(g(0)=2\cdot0+1=1\). Im Diagramm liegt der Graph bei \(x=0\) jedoch bei \(y=-1\). 2. Aus dem Funktionsterm folgt \(g(2)=2\cdot2+1=5\). Im Diagramm liegt der Graph bei \(x=2\) jedoch bei \(y=3\). 3. Das Diagramm gehört daher nicht zur Funktion \(g\). Schon ein abweichendes Wertepaar würde ausreichen, um die Behauptung zu widerlegen.

Das Diagramm gehört nicht zu \(g\). Beispielsweise gilt nach dem Term \(g(0)=1\), im Diagramm ist bei \(x=0\) aber \(y=-1\).

- Markiere zuerst die Zuordnung, die bereits vollständig vorgegeben ist. - Die beiden Argumente \(0\) und \(3\) müssen denselben Funktionswert bekommen. - Vergiss nicht, dass in der Wertemenge jeder der drei Werte tatsächlich vorkommen muss.

1. Der Wert \(1\) ist bereits durch \(f(-2)=1\) festgelegt. 2. Da \(f(0)=f(3)\) gelten soll und die Wertemenge genau \(\{1;4;6\}\) sein muss, müssen \(0\) und \(3\) beide den Wert \(4\) erhalten. Sonst könnten nicht alle drei Werte \(1\), \(4\) und \(6\) auftreten. 3. Für \(x=5\) bleibt damit der Wert \(6\). Außerdem ist \(6>4\), also gilt \(f(5)>f(3)\). 4. Die Wertetabelle ist: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(3\)</td><td>\(5\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(1\)</td><td>\(4\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td></tr> </table>

<table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(3\)</td><td>\(5\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(1\)</td><td>\(4\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td></tr> </table> Alle Bedingungen sind erfüllt.

- Lies die Schreibweise \(f(x)=y\) von innen nach außen: Was steht in der Klammer, was rechts vom Gleichheitszeichen? - Übertrage Argument und Funktionswert in derselben Reihenfolge auf einen Punkt \((x\mid y)\). - Entscheidend für eine Funktion ist die Eindeutigkeit von der Eingabe zur Ausgabe.

1. In \(f(-2)=5\) ist \(-2\) das Argument und \(5\) der Funktionswert. 2. Der zugehörige Graphpunkt ist \(P(-2\mid5)\), nicht \(P(5\mid-2)\). 3. Der Funktionswert \(5\) darf zu verschiedenen Argumenten gehören. Hier gilt \(f(-2)=5\) und \(f(4)=5\). Das widerspricht der Funktionseigenschaft nicht, solange jedem einzelnen Argument genau ein Funktionswert zugeordnet ist.

Jonas hat Argument und Funktionswert vertauscht, dadurch auch die Punktkoordinaten vertauscht, und die Wiederholung eines Funktionswerts fälschlich als Verstoß gegen die Funktionseigenschaft gedeutet. Richtig ist: Argument \(-2\), Funktionswert \(5\), Punkt \(P(-2\mid5)\); derselbe Funktionswert darf zu mehreren Argumenten gehören.

- Lies bei einem festen \(x\)-Wert die zugehörige Höhe des Graphen ab. - Ein Punkt \((x\mid y)\) entspricht der Aussage \(f(x)=y\). - Prüfe bei der Funktionseigenschaft immer die Richtung vom Argument zum Funktionswert. - Mehrere Stellen mit derselben Höhe sind nicht automatisch ein Widerspruch.

1. Aus dem Graphen liest man \(f(-1)=-1\) und \(f(2)=3\) ab. 2. Der Punkt \(B(2\mid3)\) bedeutet \(f(2)=3\). 3. Die Behauptung ist falsch. Ein Funktionswert darf zu mehreren verschiedenen Argumenten gehören. Entscheidend ist, dass zu jedem einzelnen Argument genau ein Funktionswert gehört. Der dargestellte Graph erfüllt diese Bedingung. 4. Eindeutig sein muss der Funktionswert zu einem vorgegebenen Argument. Umgekehrt kann derselbe Funktionswert zu mehreren Argumenten gehören.

a) \(f(-1)=-1\); \(f(2)=3\) b) \(f(2)=3\) c) Die Aussage ist falsch. Mehrere Argumente dürfen denselben Funktionswert haben. d) Zu jedem vorgegebenen Argument muss genau ein Funktionswert gehören.

- Wie viel Arbeit (in Personentagen) muss insgesamt erledigt werden? - Wie viel Arbeit ist nach den ersten vier Tagen noch übrig? - Wie lange brauchen die verbliebenen Arbeiter für diesen Rest? - Vergleiche die neue Dauer mit der Zeit, die ohne den Abzug der Arbeiter noch nötig gewesen wäre.

Es wird vorausgesetzt, dass alle Maler gleich schnell und mit konstanter Leistung arbeiten und sich weder vor noch nach der Abordnung gegenseitig behindern. 1. Berechnung der gesamten Arbeitsleistung: \(12 \cdot 10 = 120\,\text{Personentage}\) 2. Bereits erbrachte Leistung nach \(4\) Tagen: \(12 \cdot 4 = 48\,\text{Personentage}\) 3. Verbleibende Arbeitsleistung: \(120 - 48 = 72\,\text{Personentage}\) 4. Anzahl der verbliebenen Maler: \(12 - 4 = 8\,\text{Maler}\) 5. Benötigte Zeit für die Restarbeit: \(72 : 8 = 9\,\text{Tage}\) 6. Vergleich mit der ursprünglich geplanten Restzeit: Die ursprüngliche Restzeit betrug \(6\) Tage (\(10 - 4\)). Die Verzögerung beträgt somit \(9 - 6 = 3\,\text{Tage}\).

Die Fertigstellung verzögert sich insgesamt um \(3\) Tage. Dies gilt unter der Annahme gleicher konstanter Einzelproduktivität ohne gegenseitige Behinderung.