In einem Klassenraum wurde an einem Vormittag stündlich die Temperatur gemessen. Die Messreihe ist in der folgenden Tabelle dargestellt:
<table>
<thead>
<tr>
<th>Uhrzeit \(t\)</th>
<th>08:00</th>
<th>09:00</th>
<th>10:00</th>
<th>11:00</th>
<th>12:00</th>
<th>13:00</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>Temperatur \(T(t)\) in \(^\circ\text{C}\)</td>
<td>\(18{,}2\)</td>
<td>\(18{,}9\)</td>
<td>\(19{,}6\)</td>
<td>\(31{,}5\)</td>
<td>\(21{,}0\)</td>
<td>\(21{,}7\)</td>
</tr>
</tbody>
</table>
a) Ein Messwert fällt gegenüber dem Muster der übrigen Daten deutlich auf. Identifiziere diesen Wert und begründe deine Entscheidung mathematisch. Erkläre auch, warum man aus der Tabelle allein nicht sicher auf einen Messfehler schließen kann.
b) Bestimme die Wertemenge der bereinigten Messreihe, wenn du den auffälligen Wert ausschließt.
c) Welche Definitionsmenge gehört zur ursprünglichen Messreihe? Verwende dafür die vollen Stunden als Zahlenwerte, also zum Beispiel \(8\) für 08:00 Uhr.
d) Schätze die Temperatur um 11:00 Uhr, wenn sich das erkennbare Muster der übrigen Messwerte fortgesetzt hätte.
Denkanstöße
- Vergleiche die Änderungen zwischen den aufeinanderfolgenden Messwerten, ohne den auffälligen Wert vorschnell als Fehler zu bezeichnen.
- Zur Wertemenge gehören die tatsächlich berücksichtigten Temperaturwerte, nicht alle Werte zwischen ihnen.
- Zur Definitionsmenge der Messreihe gehören nur die Uhrzeiten, zu denen gemessen wurde.
- Überlege für die Schätzung, welche Änderung pro Stunde die übrigen Messwerte gemeinsam zeigen.
Lösung
1. Ohne den Wert um 11:00 Uhr liegen die übrigen Messwerte auf einem Muster mit einer Zunahme von \(0{,}7\,^\circ\text{C}\) pro Stunde: Von 08:00 bis 10:00 Uhr steigt die Temperatur in jeder Stunde um \(0{,}7\,^\circ\text{C}\), und von 10:00 bis 12:00 Uhr steigt sie insgesamt um \(1{,}4\,^\circ\text{C}\). Daher fällt \(31{,}5\,^\circ\text{C}\) deutlich aus diesem Muster. Aus der Tabelle allein folgt aber nicht sicher, dass ein Messfehler vorliegt; auch ein reales Ereignis könnte einen ungewöhnlichen Messwert verursacht haben.
2. Ohne den auffälligen Wert ist \(W_T=\{18{,}2;18{,}9;19{,}6;21{,}0;21{,}7\}\,^\circ\text{C}\).
3. Zu sechs vollen Stunden wurde gemessen. Daher ist \(D_T=\{8;9;10;11;12;13\}\), wobei die Zahlen für 08:00 Uhr bis 13:00 Uhr stehen.
4. Das erkennbare Muster ist eine Zunahme um \(0{,}7\,^\circ\text{C}\) pro Stunde. Für 11:00 Uhr ergibt sich daher als Schätzwert \(19{,}6\,^\circ\text{C}+0{,}7\,^\circ\text{C}=20{,}3\,^\circ\text{C}\).
Antwort
a) Auffällig ist \(31{,}5\,^\circ\text{C}\) um 11:00 Uhr. Die übrigen Werte passen zu einer Zunahme von \(0{,}7\,^\circ\text{C}\) pro Stunde; ein Messfehler ist damit aber nicht bewiesen.
b) \(W_T=\{18{,}2;18{,}9;19{,}6;21{,}0;21{,}7\}\,^\circ\text{C}\)
c) \(D_T=\{8;9;10;11;12;13\}\)
d) \(20{,}3\,^\circ\text{C}\)
