Aimathic
Login | English | Deutsch

Mathe-Arbeitsblätter Klasse 8

Stellen Sie aus mehr als 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Darstellungsformen wechseln

Lernziele

  • Erstellt Wertetabellen zu Funktionen.
  • Zeichnet Graphen aus Termen oder Tabellen.
  • Beschreibt funktionale Zusammenhänge in Worten.
  • Bestimmt passende Terme aus gegebenen Informationen.
  • Prüft die Übereinstimmung verschiedener Darstellungen.
  • Erkennt, welche Informationen eine Darstellung nicht festlegt.

Klicken Sie auf Aufgaben, um sie zum Drucken auszuwählen.

5517018
Die Funktion \(f\) ist durch die folgende Wertetabelle vollständig gegeben: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(1\)</td><td>\(3\)</td><td>\(5\)</td><td>\(2\)</td></tr> </table> a) Gib die Koordinaten aller Punkte an, aus denen der Graph dieser Funktion besteht. b) Sollen diese Punkte miteinander verbunden werden? Begründe mit der angegebenen Definitionsmenge.

Denkanstöße

- Jede Tabellenspalte liefert ein Koordinatenpaar \((x\mid f(x))\). - Prüfe, ob die Tabelle nur einzelne Argumente oder ein ganzes Intervall beschreibt. - Eine Verbindung würde zusätzliche Funktionswerte für Zwischenwerte darstellen.

Lösung

1. Die Tabellenspalten liefern die Punkte \((-2\mid1)\), \((0\mid3)\), \((2\mid5)\) und \((4\mid2)\). 2. Die Tabelle gibt die Funktion vollständig nur für die vier aufgeführten Argumente an. Zwischenwerte gehören nicht zur Definitionsmenge. Deshalb besteht der Graph nur aus den vier einzelnen Punkten; sie werden nicht miteinander verbunden.

Antwort

a) \((-2\mid1)\), \((0\mid3)\), \((2\mid5)\), \((4\mid2)\) b) Nein. Die Funktion ist nur für die vier angegebenen Argumente definiert.
5517028
Das Diagramm zeigt den vollständigen Graphen einer Funktion \(g\) für alle Argumente \(x\) mit \(-2\le x\le4\). a) Übertrage die dargestellten Werte für \(x=-2\), \(x=0\), \(x=2\) und \(x=4\) in eine Wertetabelle. b) Begründe, warum hier auch Funktionswerte zu Argumenten zwischen diesen vier Tabellenwerten zum Graphen gehören.
Abbildung zur Aufgabe 551702

Denkanstöße

- Lies für a) zu jedem vorgegebenen Argument die Höhe des Graphen ab. - Unterscheide bei b) zwischen einzelnen markierten Tabellenstellen und dem vollständig eingezeichneten Graphen. - Nutze die Angabe, für welche Argumente die Funktion definiert ist.

Lösung

1. Aus dem Graphen liest man die Punkte \((-2\mid3)\), \((0\mid1)\), \((2\mid4)\) und \((4\mid2)\) ab. 2. Daraus entsteht die Wertetabelle: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><th>\(g(x)\)</th><td>\(3\)</td><td>\(1\)</td><td>\(4\)</td><td>\(2\)</td></tr> </table> 3. Die Funktion ist für jedes Argument zwischen \(-2\) und \(4\) definiert, und die gezeichneten Strecken sind ausdrücklich Teil des vollständigen Graphen. Deshalb gehören auch die Punkte zwischen den vier abgelesenen Tabellenstellen zur Funktion.

Antwort

a) <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><th>\(g(x)\)</th><td>\(3\)</td><td>\(1\)</td><td>\(4\)</td><td>\(2\)</td></tr> </table> b) Weil die Definitionsmenge alle Argumente von \(-2\) bis \(4\) umfasst und die eingezeichneten Strecken zum vollständigen Graphen gehören.
5551558
Die Tabelle gehört zu einer Funktion \(f\). <table><tr><th>\(x\)</th><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td></tr><tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(4\)</td></tr></table> Welche Punktemenge stellt genau dieselbe Funktion dar? A: \(\{(-1\mid2),(0\mid0),(2\mid4)\}\) B: \(\{(2\mid-1),(0\mid0),(4\mid2)\}\) C: \(\{(-1\mid2),(0\mid2),(2\mid4)\}\)

Denkanstöße

- Ein Tabellenpaar aus \(x\) und \(f(x)\) entspricht einem Punkt \((x\mid f(x))\). - Achte darauf, Eingabe und Ausgabe nicht zu vertauschen.

Lösung

1. Zu jedem Tabellenwert wird der Eingabewert zuerst und der Funktionswert danach in die Punktkoordinate geschrieben. 2. Dadurch entstehen die Punkte \((-1\mid2)\), \((0\mid0)\) und \((2\mid4)\). 3. Das ist Punktemenge A.

Antwort

A
5573068
Der Graph zeigt eine Funktion \(f\) nur für die vier Argumente \(0\), \(1\), \(2\) und \(3\). Die Punkte werden deshalb nicht verbunden. a) Lies die vier Funktionswerte ab. b) Der gesuchte Term soll die Form \(f(x)=x+c\) haben. Bestimme \(c\) und gib den vollständigen Funktionsterm an. c) Überprüfe deinen Term an einem der dargestellten Argumente.
Abbildung zur Aufgabe 557306

Denkanstöße

- Lies zuerst die Koordinaten jedes einzelnen Punktes ab. - Vergleiche bei jedem Wertepaar Argument und Funktionswert und bestimme daraus den festen Zusatz \(c\). - Prüfe deinen vorgeschlagenen Term durch Einsetzen eines dargestellten Arguments.

Lösung

1. Die Punkte sind \((0\mid2)\), \((1\mid3)\), \((2\mid4)\) und \((3\mid5)\). Daher gilt \(f(0)=2\), \(f(1)=3\), \(f(2)=4\) und \(f(3)=5\). 2. Bei allen vier Punkten ist der Funktionswert jeweils um \(2\) größer als das Argument. Daher ist \(c=2\) und der Term lautet \(f(x)=x+2\). 3. Beispielsweise ergibt das Einsetzen von \(x=2\): \(f(2)=2+2=4\). Das stimmt mit dem dargestellten Punkt \((2\mid4)\) überein.

Antwort

a) \(f(0)=2\), \(f(1)=3\), \(f(2)=4\), \(f(3)=5\) b) \(f(x)=x+2\) c) Zum Beispiel \(f(2)=4\), passend zum Punkt \((2\mid4)\).
5579938
Eine Funktion \(f\) ist durch die Wertetabelle vollständig gegeben. <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(3\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>1</td><td>2</td><td>4</td><td>3</td></tr> </table> Zeichne den Graphen der Funktion zunächst auf Papier in ein Koordinatensystem. a) Gib anschließend alle Punkte deines Graphen als Koordinaten an. b) Sind in deinem Graphen Verbindungslinien zwischen den Punkten enthalten? Begründe mit der Definitionsmenge.

Denkanstöße

- Jede Spalte der Tabelle liefert genau einen Punkt \((x\mid f(x))\). - Achte beim Eintragen darauf, zuerst die \(x\)-Koordinate und dann die zugehörige Höhe zu verwenden. - Entscheide über Verbindungslinien erst, nachdem du die Definitionsmenge betrachtet hast.

Lösung

1. Zu jeder Tabellenspalte gehört ein Graphpunkt \((x\mid f(x))\). 2. Die Punkte sind \((-2\mid1)\), \((0\mid2)\), \((1\mid4)\) und \((3\mid3)\). 3. Die Tabelle gibt die Funktion vollständig nur für die vier angegebenen Argumente an. Zwischenwerte gehören nicht zur Definitionsmenge. Deshalb werden nur die vier einzelnen Punkte gezeichnet und nicht verbunden.

Antwort

a) \((-2\mid1)\), \((0\mid2)\), \((1\mid4)\), \((3\mid3)\) b) Nein. Die Definitionsmenge besteht nur aus \(-2\), \(0\), \(1\) und \(3\); Verbindungslinien würden zusätzliche Werte darstellen.
4224658
Für die Funktion \(f\) gilt \(f(x)=2x-1\). Vervollständige die Wertetabelle. <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr> </table>

Denkanstöße

- Bearbeite die Tabelle Spalte für Spalte. - Setze den jeweiligen \(x\)-Wert in den Funktionsterm ein. - Achte bei negativen Eingaben auf die Vorzeichen.

Lösung

1. Setze jeden vorgegebenen Wert für \(x\) in \(f(x)=2x-1\) ein. 2. Es gilt \(f(-2)=-5\), \(f(-1)=-3\), \(f(0)=-1\), \(f(1)=1\) und \(f(2)=3\). 3. Diese Funktionswerte werden in derselben Reihenfolge in die zweite Tabellenzeile eingetragen.

Antwort

<table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(-5\)</td><td>\(-3\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(1\)</td><td>\(3\)</td></tr> </table>
5516898
Für eine Funktion \(g\) ist der Term \(g(x)=2x+1\) angegeben. Das Diagramm soll angeblich den Graphen von \(g\) zeigen. Prüfe die Behauptung an den Argumenten \(x=0\) und \(x=2\). Entscheide anschließend, ob das Diagramm zu \(g\) gehört, und begründe deine Entscheidung.
Abbildung zur Aufgabe 551689

Denkanstöße

- Berechne die Funktionswerte aus dem angegebenen Term unabhängig vom Diagramm. - Lies anschließend im Diagramm die Werte zu denselben Argumenten ab. - Für die Widerlegung einer Übereinstimmung genügt bereits ein Gegenbeispiel.

Lösung

1. Aus dem Funktionsterm folgt \(g(0)=2\cdot0+1=1\). Im Diagramm liegt der Graph bei \(x=0\) jedoch bei \(y=-1\). 2. Aus dem Funktionsterm folgt \(g(2)=2\cdot2+1=5\). Im Diagramm liegt der Graph bei \(x=2\) jedoch bei \(y=3\). 3. Das Diagramm gehört daher nicht zur Funktion \(g\). Schon ein abweichendes Wertepaar würde ausreichen, um die Behauptung zu widerlegen.

Antwort

Das Diagramm gehört nicht zu \(g\). Beispielsweise gilt nach dem Term \(g(0)=1\), im Diagramm ist bei \(x=0\) aber \(y=-1\).
5517038
Ein Behälter enthält zu Beginn \(10\,\text{l}\) Wasser. Anschließend kommen vier Minuten lang in jeder Minute gleichmäßig \(5\,\text{l}\) hinzu. Die drei Diagramme A, B und C zeigen mögliche Darstellungen dieses Vorgangs. a) Welches Diagramm passt zur Beschreibung? Begründe mit Anfangswert und Veränderung pro Minute. b) Erstelle für das passende Diagramm eine Wertetabelle für \(t=0\,\text{min}\), \(t=2\,\text{min}\) und \(t=4\,\text{min}\).
Abbildung zur Aufgabe 551703

Denkanstöße

- Prüfe zuerst, welches Diagramm bei \(t=0\) den richtigen Anfangswert zeigt. - Vergleiche danach, um wie viele Liter der dargestellte Wert in einer Minute zunimmt. - Nutze für die Tabelle nur das ausgewählte Diagramm und die vorgegebenen Zeitpunkte.

Lösung

1. Zu Beginn müssen \(10\,\text{l}\) dargestellt sein. Außerdem kommen in jeder Minute \(5\,\text{l}\) hinzu. Diese beiden Bedingungen erfüllt Diagramm A. 2. Es gilt \(V(0)=10\,\text{l}\), \(V(2)=10+5\cdot2=20\,\text{l}\) und \(V(4)=10+5\cdot4=30\,\text{l}\). 3. Daraus entsteht die Wertetabelle: <table> <tr><th>\(t\) in \(\text{min}\)</th><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><th>\(V(t)\) in \(\text{l}\)</th><td>\(10\)</td><td>\(20\)</td><td>\(30\)</td></tr> </table>

Antwort

a) Diagramm A. b) <table> <tr><th>\(t\) in \(\text{min}\)</th><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><th>\(V(t)\) in \(\text{l}\)</th><td>\(10\)</td><td>\(20\)</td><td>\(30\)</td></tr> </table>
5517048
Gegeben ist die Funktion \(f(x)=x^2-2\) mit der Definitionsmenge \(D=\{-2;-1;0;1;2\}\). a) Erstelle eine Wertetabelle. b) Gib die Koordinaten aller Punkte an, aus denen der Graph dieser Funktion besteht. c) Erkläre, warum die Punkte nicht zu einer durchgehenden Kurve verbunden werden sollen.

Denkanstöße

- Setze jedes der fünf Argumente einzeln in den Funktionsterm ein. - Jede Tabellenspalte liefert anschließend einen Punkt \((x\mid f(x))\). - Prüfe vor einer möglichen Verbindung, ob auch Zwischenwerte zur Definitionsmenge gehören.

Lösung

1. Es gilt \(f(-2)=2\), \(f(-1)=-1\), \(f(0)=-2\), \(f(1)=-1\) und \(f(2)=2\). 2. Damit ergibt sich die Wertetabelle: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(2\)</td></tr> </table> 3. Der Graph besteht aus den fünf Punkten \((-2\mid2)\), \((-1\mid-1)\), \((0\mid-2)\), \((1\mid-1)\) und \((2\mid2)\). 4. Die Definitionsmenge enthält nur diese fünf Argumente. Zwischenwerte gehören nicht zur Funktion und dürfen daher nicht durch eine durchgehende Kurve ergänzt werden.

Antwort

a) <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(2\)</td></tr> </table> b) \((-2\mid2)\), \((-1\mid-1)\), \((0\mid-2)\), \((1\mid-1)\), \((2\mid2)\) c) Die Definitionsmenge besteht nur aus fünf Einzelwerten; Zwischenwerte gehören nicht zur Funktion.
5517058
Der Graph und die Tabelle sollen dieselbe Funktion \(f\) darstellen. In der Tabelle ist genau ein Funktionswert falsch. <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(1\)</td><td>\(3\)</td><td>\(2\)</td><td>\(5\)</td><td>\(3\)</td></tr> </table> a) Finde den falschen Tabellenwert. b) Korrigiere ihn. c) Erkläre, wie du die Übereinstimmung zwischen Tabelle und Graph systematisch prüfen kannst.
Abbildung zur Aufgabe 551705

Denkanstöße

- Gehe die Tabellenargumente der Reihe nach durch. - Lies zu jedem \(x\)-Wert den Graphwert ab und vergleiche ihn mit der Tabelle. - Sobald ein Paar nicht übereinstimmt, prüfe die übrigen Paare trotzdem, weil genau ein Fehler angekündigt ist.

Lösung

1. Aus dem Graphen liest man für \(x=1\) den Funktionswert \(4\) ab. In der Tabelle steht dort \(5\). Dieser Wert ist falsch. 2. Die korrekte Zuordnung lautet \(f(1)=4\). 3. Zur systematischen Prüfung vergleicht man für jedes in der Tabelle aufgeführte Argument den Tabellenwert mit der Höhe des Graphen an derselben \(x\)-Stelle.

Antwort

a) Falsch ist der Tabellenwert \(f(1)=5\). b) Richtig ist \(f(1)=4\). c) Vergleiche für jedes Argument den Tabellenwert mit dem zugehörigen Graphwert.
5524228
Für eine Funktion \(f\) sind einige Zuordnungen bekannt: \(-3\mapsto9\), \(-1\mapsto1\), \(0\mapsto0\), \(2\mapsto4\), \(4\mapsto16\). Zur Auswahl stehen vier Rechenregeln: „Eingabe verdoppeln“, „Eingabe quadrieren“, „Eingabe um \(3\) erhöhen“ und „Betrag der Eingabe bilden“. a) Welche der vier Rechenregeln passt zu allen fünf Zuordnungen? Begründe, warum die anderen Regeln nicht zu allen Paaren passen. b) Gib zu der passenden Regel einen Funktionsterm an. c) Bestimme mit derselben Regel \(f(5)\) und \(f(-2)\).

Denkanstöße

- Teste jede angebotene Regel an mehreren der gegebenen Zuordnungen, einschließlich einer negativen Eingabe. - Eine Regel scheidet aus, sobald sie auch nur ein gegebenes Wertepaar nicht erzeugt. - Verwende für c) genau die in a) ausgewählte Regel.

Lösung

1. Die Regel „Eingabe quadrieren“ passt zu allen fünf Paaren. „Eingabe verdoppeln“ scheitert zum Beispiel an \(-3\mapsto9\), denn das Verdoppeln von \(-3\) ergibt \(-6\). „Eingabe um \(3\) erhöhen“ ergibt bei \(-3\) den Wert \(0\) statt \(9\). Der Betrag von \(-3\) ist \(3\) statt \(9\). 2. Der passende Funktionsterm ist \(f(x)=x^2\). 3. Damit gilt \(f(5)=25\) und \(f(-2)=4\).

Antwort

a) Die Eingabe wird quadriert. Verdoppeln liefert bei \(-3\) den Wert \(-6\), Erhöhen um \(3\) liefert \(0\) und der Betrag liefert \(3\); keine dieser drei Regeln ergibt dort \(9\). b) \(f(x)=x^2\) c) \(f(5)=25\); \(f(-2)=4\)
5524258
Das Diagramm zeigt vollständig den Graphen einer Funktion \(f\) mit der Definitionsmenge \(D_f=\{-2;-1;0;1;2\}\). a) Übertrage die fünf dargestellten Werte in eine Wertetabelle. b) Welcher der folgenden Funktionsterme passt zu allen fünf dargestellten Wertepaaren: \(3-x\), \(x+3\), \(3x\) oder \(x^2+1\)? Begründe deine Wahl durch einen Vergleich mit den Punkten. c) Erkläre, warum die dargestellten Punkte nicht zu einer durchgehenden Kurve verbunden werden sollen.
Abbildung zur Aufgabe 552425

Denkanstöße

- Lies für die Tabelle zu jedem dargestellten \(x\)-Wert die Höhe des zugehörigen Punkts ab. - Teste die angebotenen Terme an mehr als einem dargestellten Argument; ein widersprechender Punkt reicht zum Ausschließen. - Vergleiche die ausdrücklich angegebene Definitionsmenge mit den Zwischenstellen auf der \(x\)-Achse.

Lösung

1. Aus dem Diagramm liest man die Wertepaare \((-2\mid5)\), \((-1\mid4)\), \((0\mid3)\), \((1\mid2)\) und \((2\mid1)\) ab. Diese Werte werden in die Wertetabelle übertragen. 2. Der Term \(f(x)=3-x\) erzeugt alle fünf dargestellten Werte. \(x+3\) scheitert zum Beispiel bei \(x=1\), denn dort wäre der Wert \(4\) statt \(2\). \(3x\) liefert bei \(x=0\) den Wert \(0\) statt \(3\). \(x^2+1\) liefert bei \(x=0\) den Wert \(1\) statt \(3\). 3. Die Definitionsmenge enthält nur die fünf angegebenen Argumente. Für Werte zwischen ihnen ist die Funktion hier nicht definiert; eine Verbindungslinie würde zusätzliche Funktionswerte vortäuschen.

Antwort

a) <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(5\)</td><td>\(4\)</td><td>\(3\)</td><td>\(2\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> b) \(f(x)=3-x\). Die drei anderen Terme widersprechen mindestens einem dargestellten Punkt. c) Weil \(D_f\) nur aus den fünf angegebenen Argumenten besteht; Verbindungen würden nicht gegebene Zwischenwerte suggerieren.
5524278
In beiden Diagrammen sind zunächst nur einzelne Werte eingezeichnet. a) Diagramm a) beschreibt die Anzahl gekaufter Kinokarten und den Gesamtpreis. Eine Karte kostet \(3\,\text{€}\). Sollten die eingezeichneten Punkte zu einer durchgehenden Linie verbunden werden? Begründe. b) Diagramm b) beschreibt den zurückgelegten Weg von Sofia, die während der dargestellten \(15\,\text{Minuten}\) ohne Pause mit gleichbleibendem Tempo fährt. Sollten die eingezeichneten Punkte verbunden werden? Begründe. c) Welche falsche Aussage würde eine durchgehende Verbindung in Diagramm a) zum Beispiel bei \(x=2{,}5\) nahelegen?
Abbildung zur Aufgabe 552427

Denkanstöße

- Frage dich in jedem Kontext, welche Werte die waagerechte Größe überhaupt annehmen kann. - Unterscheide einzelne zählbare Stückzahlen von einer Größe, die sich während eines Vorgangs kontinuierlich verändert. - Eine Verbindungslinie behauptet auch Werte zwischen zwei eingezeichneten Punkten.

Lösung

1. In Diagramm a) ist die Anzahl der Kinokarten eine diskrete Größe. Zwischen zwei und drei Karten gibt es in diesem Kontext keine Eingabe. Die Punkte sollen daher nicht zu einer durchgehenden Linie verbunden werden. 2. In Diagramm b) nimmt die Zeit während der Fahrt kontinuierlich Zwischenwerte an. Unter der gegebenen Annahme gleichbleibenden Tempos gehören auch zu Zwischenzeiten passende Wegwerte. Hier ist eine Verbindung der Punkte durch eine Gerade sinnvoll. 3. Eine Verbindung in Diagramm a) würde zum Beispiel suggerieren, dass \(2{,}5\) Karten gekauft werden könnten und dazu ein Preis gehöre. Diese Eingabe ist im Sachkontext nicht zulässig.

Antwort

a) Nein. Die Kartenanzahl ist diskret; nur ganze Anzahlen sind zulässig. b) Ja. Zeit und Weg ändern sich während der gleichmäßigen Fahrt kontinuierlich; die Zwischenwerte sind im Modell sinnvoll. c) Sie würde fälschlich einen Preis für \(2{,}5\) Kinokarten darstellen.
5551568
Für die endliche Definitionsmenge \(D_f=\{-1;0;2\}\) gilt \(f(x)=x+2\). Drei Darstellungen sollen dieselbe Funktion wiedergeben: A: <table><tr><th>\(x\)</th><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td></tr><tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr></table> B: \(\{(-1\mid1),(2\mid0),(2\mid4)\}\) C: \(-1\mapsto1\), \(0\mapsto2\), \(2\mapsto5\) Prüfe jede Darstellung A, B und C. Welche stellt genau dieselbe Funktion dar? Korrigiere jede falsche Darstellung.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die drei Funktionswerte aus dem Term und der endlichen Definitionsmenge. - In einem Punkt \((x\mid y)\) steht das Argument zuerst und der Funktionswert an zweiter Stelle. - Eine Darstellung ist nur dann dieselbe Funktion, wenn jede einzelne Zuordnung übereinstimmt.

Lösung

1. Aus \(f(x)=x+2\) folgen auf \(D_f\) die Zuordnungen \(-1\mapsto1\), \(0\mapsto2\) und \(2\mapsto4\). 2. Darstellung A enthält genau diese drei Zuordnungen und ist richtig. 3. In B ist beim mittleren Punkt die Koordinatenreihenfolge vertauscht: Richtig ist \((0\mid2)\) statt \((2\mid0)\). Die korrigierte Punktemenge lautet \(\{(-1\mid1),(0\mid2),(2\mid4)\}\). 4. In C ist die letzte Ausgabe falsch. Richtig ist \(2\mapsto4\) statt \(2\mapsto5\).

Antwort

A ist richtig. B muss zu \(\{(-1\mid1),(0\mid2),(2\mid4)\}\) korrigiert werden. C muss bei der letzten Zuordnung zu \(2\mapsto4\) korrigiert werden.
5551618
Der Graph zeigt den Versandpreis \(P\) in Abhängigkeit von der Masse \(m\) eines Pakets für \(0<m\le5\,\text{kg}\). Ein ausgefüllter Randpunkt gehört zur dargestellten Preisstufe, ein offener Randpunkt nicht. a) Formuliere aus dem Graphen die vollständige Tarifregel in Worten: Gib für jede Preisstufe den zugehörigen Massebereich mit den richtigen Grenzen an. b) Erkläre am Übergang bei \(m=1\,\text{kg}\), welche Bedeutung der ausgefüllte Punkt bei \((1\mid4)\) und der offene Punkt bei \((1\mid6)\) haben. Welcher Preis gilt deshalb für ein Paket mit genau \(1\,\text{kg}\), welcher für eines mit \(1{,}01\,\text{kg}\)?
Abbildung zur Aufgabe 555161

Denkanstöße

- Lies jede waagerechte Stufe getrennt ab: Welche Massewerte gehören zu ihr und welcher Preis steht auf dieser Höhe? - Nutze die im Aufgabentext erklärte Bedeutung offener und ausgefüllter Randpunkte. - Formuliere die Grenzen so, dass jeder zulässige Massewert genau einer Preisstufe zugeordnet wird.

Lösung

1. Die erste waagerechte Stufe liegt bei \(4\,\text{€}\) und reicht von Massen größer als \(0\,\text{kg}\) bis einschließlich \(1\,\text{kg}\). Die zweite Stufe liegt bei \(6\,\text{€}\) für Massen größer als \(1\,\text{kg}\) bis einschließlich \(3\,\text{kg}\). Die dritte Stufe liegt bei \(9\,\text{€}\) für Massen größer als \(3\,\text{kg}\) bis einschließlich \(5\,\text{kg}\). 2. Der ausgefüllte Punkt bei \((1\mid4)\) zeigt, dass \(m=1\,\text{kg}\) zur ersten Preisstufe gehört. Der offene Punkt bei \((1\mid6)\) zeigt, dass die zweite Preisstufe den Wert \(m=1\,\text{kg}\) nicht enthält. Daher kostet ein Paket mit genau \(1\,\text{kg}\) \(4\,\text{€}\), ein Paket mit \(1{,}01\,\text{kg}\) dagegen \(6\,\text{€}\).

Antwort

a) Pakete mit einer Masse über \(0\,\text{kg}\) bis einschließlich \(1\,\text{kg}\) kosten \(4\,\text{€}\). Pakete über \(1\,\text{kg}\) bis einschließlich \(3\,\text{kg}\) kosten \(6\,\text{€}\). Pakete über \(3\,\text{kg}\) bis einschließlich \(5\,\text{kg}\) kosten \(9\,\text{€}\). b) Genau \(1\,\text{kg}\) gehört zur \(4\,\text{€}\)-Stufe; \(1{,}01\,\text{kg}\) gehört zur \(6\,\text{€}\)-Stufe.
5563158
Gegeben ist die Funktion \(f(x)=x+2\) mit der Definitionsmenge \(D=\{0;1;2;3\}\). a) Erstelle eine Wertetabelle für alle Argumente aus \(D\). b) Gib die vier Punkte an, die den Graphen dieser Funktion bilden. c) Soll man diese vier Punkte im Koordinatensystem durch Linien verbinden? Begründe kurz.

Denkanstöße

- Setze nacheinander jedes Element der Definitionsmenge in den Funktionsterm ein. - Zu einem Wertepaar \(x\) und \(f(x)\) gehört im Koordinatensystem der Punkt \((x\mid f(x))\). - Prüfe bei c), ob auch Argumente zwischen den vier Zahlen zur Definitionsmenge gehören.

Lösung

1. Für die vier Argumente erhält man \(f(0)=2\), \(f(1)=3\), \(f(2)=4\) und \(f(3)=5\). 2. Zum Graphen gehören die Punkte \((0\mid2)\), \((1\mid3)\), \((2\mid4)\) und \((3\mid5)\). 3. Die Definitionsmenge enthält nur die vier angegebenen Zahlen. Für Werte zwischen ihnen sind keine Funktionswerte festgelegt. Deshalb werden nur die vier einzelnen Punkte dargestellt und nicht verbunden.

Antwort

a) <table> <tr><th>\(x\)</th><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> </table> b) \((0\mid2)\), \((1\mid3)\), \((2\mid4)\), \((3\mid5)\) c) Nein. Wegen der endlichen Definitionsmenge besteht der Graph nur aus diesen vier Punkten.
5563168
Für einen Workshop fällt einmalig eine Materialgrundgebühr von \(4{,}00\,\text{€}\) an. Zusätzlich kostet das Material für jede teilnehmende Person \(1{,}50\,\text{€}\). Die Funktion \(K\) ordnet der Teilnehmerzahl \(n\) die gesamten Materialkosten zu. a) Formuliere einen Funktionsterm für \(K(n)\). b) Berechne mit deinem Term die Materialkosten für \(8\) Teilnehmende. c) Erkläre, welche Bedeutung die beiden Zahlen in deinem Funktionsterm im Sachzusammenhang haben.

Denkanstöße

- Trenne den Kostenanteil, der immer anfällt, von dem Anteil, der von der Teilnehmerzahl abhängt. - Überlege, wie oft der Betrag pro Person bei \(n\) Teilnehmenden vorkommt. - Prüfe deinen Term an einem kleinen Beispiel, bevor du ihn für \(8\) Teilnehmende verwendest.

Lösung

1. Zu den festen \(4{,}00\,\text{€}\) kommen für jede teilnehmende Person \(1{,}50\,\text{€}\) hinzu. Daher gilt \(K(n)=4+1{,}5n\). 2. Für \(n=8\) ergibt sich \(K(8)=4+1{,}5\cdot8=16\). Die Materialkosten betragen \(16{,}00\,\text{€}\). 3. Die Zahl \(4\) steht für die einmalige Grundgebühr; die Zahl \(1{,}5\) steht für die zusätzlichen Materialkosten pro teilnehmender Person.

Antwort

a) \(K(n)=4+1{,}5n\) b) \(16{,}00\,\text{€}\) c) \(4\) ist die Grundgebühr; \(1{,}5\) sind die Kosten in Euro pro teilnehmender Person.
5572948
Das Diagramm zeigt den vollständigen Graphen einer Funktion \(f\) für \(-3\le x\le4\). a) Beschreibe die drei Graphabschnitte in Worten. Gib jeweils an, für welche Argumente \(f\) steigt, gleich bleibt oder fällt. b) Ergänze deine Beschreibung um die Funktionswerte an den vier Eckpunkten. c) Lea sagt: „Von \(x=-3\) bis \(x=1\) steigt die Funktion, denn \(f(-3)<f(1)\).“ Erkläre, warum diese Beschreibung trotz des richtigen Vergleichs der beiden Randwerte falsch ist.
Abbildung zur Aufgabe 557294

Denkanstöße

- Zerlege den Graphen an den Stellen, an denen sich seine Richtung ändert. - Beschreibe jeden Abschnitt unabhängig davon, was die beiden äußeren Randwerte des gesamten Graphen machen. - Für c) prüfst du nicht nur Anfang und Ende, sondern jeden Teil zwischen \(-3\) und \(1\).

Lösung

1. Von \(x=-3\) bis \(x=-1\) steigt der Graph. Von \(x=-1\) bis \(x=1\) bleibt der Funktionswert gleich. Von \(x=1\) bis \(x=4\) fällt der Graph. 2. Die Eckpunkte sind \((-3\mid1)\), \((-1\mid4)\), \((1\mid4)\) und \((4\mid0)\). Eine vollständige verbale Beschreibung lautet daher: Der Funktionswert steigt zunächst von \(1\) auf \(4\), bleibt anschließend bei \(4\) und fällt danach auf \(0\). 3. Aus \(f(-3)<f(1)\) folgt nur, dass der spätere Randwert größer ist. Zwischen \(x=-1\) und \(x=1\) steigt der Graph nicht, sondern verläuft waagerecht. Deshalb ist „steigt von \(-3\) bis \(1\)“ als Beschreibung des gesamten Abschnitts falsch.

Antwort

a) Steigend für \(-3\le x\le-1\), gleichbleibend für \(-1\le x\le1\), fallend für \(1\le x\le4\). b) \((-3\mid1)\), \((-1\mid4)\), \((1\mid4)\), \((4\mid0)\); also von \(1\) auf \(4\), dann konstant \(4\), dann auf \(0\). c) Zwischen \(x=-1\) und \(x=1\) bleibt \(f\) konstant; der Vergleich nur der beiden Randwerte beschreibt den Verlauf dazwischen nicht.
5573078
Für die Funktion \(f(x)=2x+1\) soll eine Wertetabelle erstellt werden. In der Tabelle ist genau ein Funktionswert falsch. <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(1\)</td><td>\(4\)</td><td>\(7\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(-3\)</td><td>\(3\)</td><td>\(3\)</td><td>\(15\)</td></tr> </table> a) Finde den falschen Funktionswert. b) Korrigiere ihn. c) Erkläre, wie du systematisch prüfen kannst, ob eine Wertetabelle zu einem Funktionsterm passt.

Denkanstöße

- Prüfe die Tabelle Spalte für Spalte und verwende jeweils das Argument aus genau dieser Spalte. - Ein einziger abweichender Termwert reicht, um den angekündigten Fehler zu finden. - Formuliere für c) ein Verfahren, das auch bei einer anderen Wertetabelle funktionieren würde.

Lösung

1. Für jede Tabellenspalte wird der dort stehende Wert von \(x\) in \(f(x)=2x+1\) eingesetzt. 2. Es gilt \(f(-2)=-3\), \(f(1)=3\), \(f(4)=9\) und \(f(7)=15\). Daher ist nur der Tabellenwert \(f(4)=3\) falsch. 3. Der richtige Wert ist \(f(4)=9\). 4. Zur systematischen Prüfung setzt man jedes Tabellenargument in den Funktionsterm ein und vergleicht das Ergebnis mit dem Funktionswert in derselben Spalte.

Antwort

a) Falsch ist \(f(4)=3\). b) Richtig ist \(f(4)=9\). c) Setze jedes Tabellenargument in den Term ein und vergleiche das Ergebnis mit dem Wert in derselben Spalte.
5573088
Ein Funktionenplotter soll den Term \(f(x)=x+10\) darstellen. Im eingestellten Fenster gilt \(-4\le x\le4\) und \(-4\le y\le4\). Das Diagramm zeigt genau diese Plotterausgabe. a) Ein Schüler schließt aus der Ausgabe: „Der Term besitzt für die dargestellten \(x\)-Werte keine Funktionswerte.“ Beurteile seine Aussage. b) Bestimme den kleinsten und den größten Funktionswert, die für \(-4\le x\le4\) auftreten. Erkläre damit die Plotterausgabe. c) Gib ein geeignetes neues Fenster für die \(y\)-Achse mit ganzzahligen Grenzen an, in dem der gesamte Graphabschnitt für \(-4\le x\le4\) sichtbar wäre. d) Nenne einen Punkt, der im neuen Fenster sicher auf dem Graphen liegen müsste.
Abbildung zur Aufgabe 557308

Denkanstöße

- Unterscheide zwischen „kein Funktionswert vorhanden“ und „im gewählten Ausschnitt nicht sichtbar“. - Berechne die Funktionswerte an den beiden Randargumenten des eingestellten x-Bereichs. - Das neue y-Fenster muss den gesamten dabei auftretenden Wertebereich enthalten.

Lösung

1. Nein. Der Term liefert zu jedem dargestellten Argument einen Funktionswert; das eingestellte Fenster kann einen vorhandenen Graphen trotzdem vollständig außerhalb des sichtbaren Bereichs liegen lassen. 2. Es gilt \(f(-4)=6\) und \(f(4)=14\). Für die dargestellten Argumente liegen die Funktionswerte daher zwischen \(6\) und \(14\). Das aktuelle Fenster zeigt auf der senkrechten Achse aber nur Werte von \(-4\) bis \(4\). 3. Zum Beispiel eignet sich \(5\le y\le15\). Darin liegen alle Funktionswerte des betrachteten Graphabschnitts. 4. Beispielsweise gilt \(f(0)=10\), also muss der Punkt \((0\mid10)\) sichtbar sein.

Antwort

a) Nein. Der Graph liegt lediglich vollständig außerhalb des eingestellten y-Bereichs. b) Kleinster Wert: \(6\); größter Wert: \(14\). c) Zum Beispiel \(5\le y\le15\). d) Zum Beispiel \((0\mid10)\).
5573098
Für eine Versandbox mit Schlüsselanhängern werden unabhängig von der Stückzahl \(3\) Ersatzringe beigelegt. Jeder bestellte Schlüsselanhänger benötigt zusätzlich \(4\) Ringe. Es werden nur ganze positive Stückzahlen bestellt. Die Anzahl der Schlüsselanhänger sei \(x\), die insgesamt bereitgelegte Ringzahl \(R(x)\). a) Erstelle für \(x=1\), \(2\), \(4\) und \(6\) eine Wertetabelle. b) Gib die zugehörigen Graphpunkte an. Sollen diese Punkte im Sachzusammenhang durch eine durchgehende Linie verbunden werden? Begründe. c) Stelle einen Funktionsterm für \(R(x)\) auf. d) Vergleiche in deiner Tabelle die Werte für \(x=1\) und \(x=2\). Um wie viel wächst \(R(x)\), wenn ein Schlüsselanhänger dazukommt? Was bedeutet die Zahl \(3\) im Term?

Denkanstöße

- Trenne die Ringzahl, die mit jedem weiteren Schlüsselanhänger hinzukommt, von der festen Zahl der Ersatzringe. - Prüfe bei b), welche \(x\)-Werte im Sachzusammenhang überhaupt möglich sind. - Vergleiche für d) zwei Tabellenwerte, deren \(x\)-Werte sich genau um \(1\) unterscheiden.

Lösung

1. Zu jedem Schlüsselanhänger gehören \(4\) Ringe; zusätzlich kommen immer \(3\) Ersatzringe hinzu. Daher gilt \(R(x)=4x+3\). Für \(x=1,2,4,6\) ergeben sich die Werte \(7,11,19,27\). 2. Die Graphpunkte sind \((1\mid7)\), \((2\mid11)\), \((4\mid19)\) und \((6\mid27)\). Im Sachzusammenhang sind nur ganze positive Stückzahlen erlaubt; Zwischenwerte wie \(x=2{,}5\) gehören nicht zur Definitionsmenge. Deshalb werden die Punkte nicht zu einer durchgehenden Linie verbunden. 3. Der Funktionsterm lautet \(R(x)=4x+3\). 4. Von \(x=1\) zu \(x=2\) steigt die Ringzahl von \(7\) auf \(11\), also um \(4\). Das passt zu den \(4\) Ringen pro Schlüsselanhänger. Die Zahl \(3\) im Term steht für die \(3\) Ersatzringe, die unabhängig von \(x\) dazukommen.

Antwort

a) <table> <tr><th>\(x\)</th><td>1</td><td>2</td><td>4</td><td>6</td></tr> <tr><th>\(R(x)\)</th><td>7</td><td>11</td><td>19</td><td>27</td></tr> </table> b) \((1\mid7)\), \((2\mid11)\), \((4\mid19)\), \((6\mid27)\); nicht durchgehend verbinden, weil nur ganze positive Stückzahlen erlaubt sind. c) \(R(x)=4x+3\) d) \(R(x)\) wächst von \(7\) auf \(11\), also um \(4\), wenn ein Schlüsselanhänger dazukommt. Die \(3\) im Term steht für die \(3\) Ersatzringe.
5579948
Für die Funktion \(g\) gilt \(g(x)=2-x\) für alle Zahlen \(x\) mit \(-2\le x\le2\). a) Erstelle eine Wertetabelle für \(x=-2\), \(-1\), \(0\), \(1\) und \(2\). Zeichne danach den Graphen auf Papier in ein Koordinatensystem. b) Gib die beiden Randpunkte und den Punkt mit \(x=0\) an. c) Erkläre getrennt: - Warum gehört zu jeder \(x\)-Stelle zwischen \(-2\) und \(2\) ein Punkt des Graphen? - Warum liegen diese Punkte auf einer geraden Strecke?

Denkanstöße

- Berechne zuerst die fünf Funktionswerte durch Einsetzen in den Term. - Nutze beim Zeichnen die Punkte aus der Wertetabelle als sichere Punkte des Graphen. - Unterscheide bei c) zwei Fragen: Welche \(x\)-Werte sind erlaubt, und wie verändert der Term den Funktionswert bei gleich großen Änderungen von \(x\)?

Lösung

1. Einsetzen in \(g(x)=2-x\) ergibt \(g(-2)=4\), \(g(-1)=3\), \(g(0)=2\), \(g(1)=1\) und \(g(2)=0\). 2. Die Randpunkte des betrachteten Graphen sind \((-2\mid4)\) und \((2\mid0)\). Für \(x=0\) liegt der Punkt \((0\mid2)\) auf dem Graphen. 3. Die Definitionsmenge enthält jede Zahl zwischen \(-2\) und \(2\). Deshalb gehört zu jeder solchen \(x\)-Stelle ein Funktionswert und damit ein Punkt des Graphen. 4. Wenn \(x\) um denselben Betrag wächst, ändert sich \(g(x)=2-x\) immer um den entgegengesetzten Betrag. Diese gleichbleibende Änderung gilt im ganzen betrachteten Bereich. Deshalb liegen die Graphpunkte auf einer geraden Strecke.

Antwort

a) <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><th>\(g(x)\)</th><td>4</td><td>3</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td></tr> </table> b) Randpunkte: \((-2\mid4)\) und \((2\mid0)\); weiterer Punkt: \((0\mid2)\) c) Zu jeder \(x\)-Stelle zwischen \(-2\) und \(2\) gehört ein Punkt, weil alle diese Zahlen zur Definitionsmenge gehören. Die Punkte liegen auf einer geraden Strecke, weil sich \(g(x)=2-x\) bei gleichen Änderungen von \(x\) immer um gleich große Beträge ändert.
4119198
Ein Bus fährt von Haltestelle A nach Haltestelle B. Die Haltestellen sind genau \(1\,\text{km}\) voneinander entfernt. Die Fahrt lässt sich idealisiert so beschreiben: - Auf den ersten \(200\,\text{m}\) steigt die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg gleichmäßig von \(0\) auf \(40\,\text{km/h}\). - Die nächsten \(600\,\text{m}\) fährt der Bus mit dieser konstanten Geschwindigkeit von \(40\,\text{km/h}\). - Auf den letzten \(200\,\text{m}\) sinkt die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg gleichmäßig von \(40\) auf \(0\,\text{km/h}\). Erstelle eine Wertetabelle für die Zuordnung Weg \(s\) in \(\text{m}\) \(\mapsto\) Geschwindigkeit \(v\) in \(\text{km/h}\) für die Wegpunkte \(s\in\{0;100;200;500;800;900;1000\}\).

Denkanstöße

- Teile die Fahrt in die drei beschriebenen Wegabschnitte ein. - Überlege, welchen Wert eine Größe in der Mitte eines Abschnitts hat, wenn sie dort gleichmäßig vom Anfangs- zum Endwert steigt oder fällt. - Prüfe für jeden gefragten Wegpunkt, zu welchem der drei Abschnitte er gehört.

Lösung

1. Auf den ersten \(200\,\text{m}\) steigt die Geschwindigkeit gleichmäßig von \(0\) auf \(40\,\text{km/h}\). Bei \(s=0\,\text{m}\) gilt daher \(v=0\,\text{km/h}\), bei der Hälfte des Abschnitts, also bei \(s=100\,\text{m}\), gilt \(v=20\,\text{km/h}\), und bei \(s=200\,\text{m}\) gilt \(v=40\,\text{km/h}\). 2. Von \(s=200\,\text{m}\) bis \(s=800\,\text{m}\) bleibt die Geschwindigkeit konstant bei \(40\,\text{km/h}\). Damit gilt dies insbesondere für \(s=500\,\text{m}\) und \(s=800\,\text{m}\). 3. Auf den letzten \(200\,\text{m}\) sinkt die Geschwindigkeit gleichmäßig von \(40\) auf \(0\,\text{km/h}\). Bei \(s=900\,\text{m}\), also in der Mitte dieses Abschnitts, gilt \(v=20\,\text{km/h}\); bei \(s=1000\,\text{m}\) gilt \(v=0\,\text{km/h}\).

Antwort

<table> <tr><th>Weg \(s\) in \(\text{m}\)</th><td>0</td><td>100</td><td>200</td><td>500</td><td>800</td><td>900</td><td>1000</td></tr> <tr><th>Geschwindigkeit \(v\) in \(\text{km/h}\)</th><td>0</td><td>20</td><td>40</td><td>40</td><td>40</td><td>20</td><td>0</td></tr> </table>
5517068
Ein Schulbus startet an der Schule. Nach \(20\,\text{min}\) ist er \(6\,\text{km}\) von der Schule entfernt. Dort wartet er \(10\,\text{min}\). Anschließend fährt er weiter und ist nach insgesamt \(50\,\text{min}\) \(10\,\text{km}\) von der Schule entfernt. Die Diagramme A, B und C zeigen mögliche Darstellungen der Entfernung \(s\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\). a) Welches Diagramm passt zur Beschreibung? Begründe deine Wahl. b) Erstelle für den passenden Graphen eine Wertetabelle zu \(t=0\,\text{min}\), \(20\,\text{min}\), \(30\,\text{min}\) und \(50\,\text{min}\). c) Nenne jeweils einen konkreten Widerspruch zwischen der Beschreibung und den beiden nicht passenden Diagrammen.
Abbildung zur Aufgabe 551706

Denkanstöße

- Übersetze jede Information aus dem Text zunächst in einen Punkt oder einen Abschnitt des Graphen. - Während einer Wartezeit bleibt die Entfernung unverändert. - Prüfe die drei vorgegebenen Zeitpunkte \(20\), \(30\) und \(50\) Minuten in jedem Diagramm. - Nutze den ausgewählten Graphen anschließend als Grundlage für die Tabelle.

Lösung

1. Diagramm A passt. Es beginnt bei \((0\mid0)\), erreicht nach \(20\,\text{min}\) die Entfernung \(6\,\text{km}\), bleibt bis Minute \(30\) bei \(6\,\text{km}\) und erreicht nach \(50\,\text{min}\) \(10\,\text{km}\). 2. Die Wertetabelle lautet: <table> <tr><th>\(t\) in \(\text{min}\)</th><td>\(0\)</td><td>\(20\)</td><td>\(30\)</td><td>\(50\)</td></tr> <tr><th>\(s(t)\) in \(\text{km}\)</th><td>\(0\)</td><td>\(6\)</td><td>\(6\)</td><td>\(10\)</td></tr> </table> 3. Diagramm B zeigt während der angekündigten Wartezeit von Minute \(20\) bis Minute \(30\) eine weiter zunehmende Entfernung und widerspricht damit der Pause. Diagramm C zeigt nach \(20\,\text{min}\) nur \(4\,\text{km}\) statt der beschriebenen \(6\,\text{km}\).

Antwort

a) Diagramm A. b) <table> <tr><th>\(t\) in \(\text{min}\)</th><td>\(0\)</td><td>\(20\)</td><td>\(30\)</td><td>\(50\)</td></tr> <tr><th>\(s(t)\) in \(\text{km}\)</th><td>\(0\)</td><td>\(6\)</td><td>\(6\)</td><td>\(10\)</td></tr> </table> c) B widerspricht der Pause; C widerspricht der Entfernung von \(6\,\text{km}\) nach \(20\,\text{min}\).
5524268
Aus quadratischen Plättchen wird ein quadratisches Mosaik gelegt. Auf jeder Seite liegen \(x\) Plättchen, wobei \(x\in\{1;2;3;4\}\). Die Funktion \(N\) ordnet \(x\) die Gesamtzahl der Plättchen zu. Zwei Tabellen stehen zur Auswahl: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td></tr> <tr><th>Tabelle A</th><td>1</td><td>4</td><td>9</td><td>16</td></tr> <tr><th>Tabelle B</th><td>1</td><td>4</td><td>12</td><td>16</td></tr> </table> Außerdem sind zwei Graphen a) und b) sowie zwei Terme gegeben: \(N_1(x)=x^2\) und \(N_2(x)=2x\). a) Welche Tabelle passt zum Sachtext? b) Welcher der beiden Graphen passt dazu? c) Welcher Term beschreibt die Zuordnung? d) Zeige für jede der drei falschen Darstellungen an einem konkreten Argument, dass sie nicht dieselbe Funktion beschreibt. Erkläre außerdem, warum dafür mindestens zwei verschiedene Argumente geprüft werden müssen.
Abbildung zur Aufgabe 552426

Denkanstöße

- Ermittle zuerst aus der Mosaikform, wie die Gesamtzahl der Plättchen von der Seitenlänge abhängt. - Vergleiche jede Darstellung mit denselben Eingaben; eine Darstellung ist nur dann dieselbe Funktion, wenn alle zugehörigen Werte übereinstimmen. - Prüfe bei d), ob derselbe Testwert tatsächlich jede falsche Darstellung erkennen würde oder ob eine davon dort zufällig mit der richtigen Funktion übereinstimmt.

Lösung

1. Ein quadratisches Mosaik mit \(x\) Plättchen pro Seite enthält \(x\cdot x=x^2\) Plättchen. Für \(x=1,2,3,4\) entstehen die Werte \(1,4,9,16\). Daher passt Tabelle A. 2. Graph a) zeigt genau die Punkte \((1\mid1)\), \((2\mid4)\), \((3\mid9)\) und \((4\mid16)\). Daher passt Graph a). 3. Der passende Term ist \(N_1(x)=x^2\). 4. Tabelle B weicht bei \(x=3\) ab, denn dort steht \(12\) statt \(9\). Graph b) weicht bei \(x=2\) ab, denn dort liegt der Punkt bei \(6\) statt bei \(4\). Für \(N_2\) gilt bei \(x=3\): \(2\cdot3=6\) statt \(9\). Mit \(x=3\) lassen sich also Tabelle B und \(N_2\) widerlegen, aber Graph b) stimmt dort. Mit \(x=2\) lässt sich Graph b) widerlegen, während Tabelle B und \(N_2\) dort den Wert \(4\) liefern. Deshalb reicht kein einziges Argument aus, um alle drei falschen Darstellungen zu erkennen.

Antwort

a) Tabelle A b) Graph a) c) \(N_1(x)=x^2\) d) Zum Beispiel: Tabelle B ist bei \(x=3\) falsch, Graph b) bei \(x=2\), und \(N_2\) bei \(x=3\). Mindestens \(x=2\) und \(x=3\) müssen geprüft werden, weil keine einzelne dieser Eingaben alle drei falschen Darstellungen zugleich entlarvt.
5524288
Über eine Funktion \(f\) ist nur die folgende Tabelle bekannt: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(1\)</td><td>\(3\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> Lea zeichnet im Koordinatensystem die drei Punkte und verbindet benachbarte Punkte jeweils durch eine gerade Strecke. Danach behauptet sie: „Aus der Tabelle folgt \(f(1)=2\).“ a) Welche drei Funktionswerte sind durch die Tabelle tatsächlich festgelegt? b) Ist Leas Aussage \(f(1)=2\) durch die Tabelle bewiesen? Begründe. c) Welche zusätzliche Annahme hat Lea beim Wechsel von der Tabelle zum verbundenen Graphen gemacht?

Denkanstöße

- Trenne Informationen, die ausdrücklich in der Tabelle stehen, von Informationen über Zwischenwerte. - Frage dich, ob \(x=1\) in der gegebenen Tabelle überhaupt vorkommt. - Eine Verbindung zwischen Punkten enthält mehr Aussagen als die Punkte allein.

Lösung

1. Die Tabelle legt nur \(f(-2)=1\), \(f(0)=3\) und \(f(2)=1\) fest. 2. Leas Aussage ist nicht durch die Tabelle bewiesen. Die Tabelle sagt weder ausdrücklich, dass \(1\) zur Definitionsmenge gehört, noch welchen Funktionswert \(1\) gegebenenfalls besitzt. 3. Lea nimmt zusätzlich an, dass zwischen den angegebenen Punkten jeweils genau der geradlinige Verlauf gilt. Diese Information steht nicht in der Tabelle.

Antwort

a) \(f(-2)=1\), \(f(0)=3\), \(f(2)=1\) b) Nein. Die Tabelle legt \(f(1)\) nicht fest. c) Lea nimmt ohne Begründung an, dass der Graph zwischen den bekannten Punkten geradlinig verläuft und dort überhaupt definiert ist.
5573108
Zwei digitale Darstellungen sollen angeblich dieselbe Funktion beschreiben. In einer Tabellenkalkulation ist die Funktion \(f\) nur für die Definitionsmenge \(D_f=\{0;1;2;3\}\) festgelegt. In jeder Tabellenzeile wird mit dem Term \(f(x)=x(x-2)\) gerechnet: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>0</td><td>\(-1\)</td><td>0</td><td>3</td></tr> </table> Ein Funktionenplotter stellt dagegen \(g(x)=x^2-2x\) für alle Zahlen \(x\) mit \(0\le x\le3\) dar. Das Diagramm zeigt diese Plotterausgabe. a) Überprüfe die vier Tabellenwerte mit dem Term von \(f\). Zeige außerdem an einem der vier Argumente, dass \(g\) dort denselben Wert besitzt. b) Noah sagt: „Die Terme liefern an den Tabellenstellen dieselben Werte, also sind \(f\) und \(g\) dieselbe Funktion.“ Beurteile die Aussage. Deine Begründung muss die Definitionsmengen berücksichtigen. c) Nenne selbst ein Argument, das zur Definitionsmenge von \(g\), aber nicht zu \(D_f\) gehört, und bestimme den zugehörigen Funktionswert von \(g\). d) Beschreibe genau, wie Definitionsmenge und Plotterdarstellung von \(g\) geändert werden müssen, damit anschließend wirklich dieselbe Funktion wie \(f\) dargestellt wird.
Abbildung zur Aufgabe 557310

Denkanstöße

- Prüfe zuerst die Tabellenwerte, aber entscheide b) nicht allein anhand dieser vier Werte. - Zu einer Funktion gehört neben der Zuordnungsregel auch die Menge der zulässigen Argumente. - Suche für c) eine Zahl zwischen zwei benachbarten Tabellenargumenten. - Überlege für d), welche sichtbaren Punkte des durchgehenden Plottergraphen nach der Änderung nicht mehr zur Funktion gehören dürfen.

Lösung

1. Für \(f\) gilt \(f(0)=0(0-2)=0\), \(f(1)=1(1-2)=-1\), \(f(2)=2(2-2)=0\) und \(f(3)=3(3-2)=3\). Die Tabelle ist damit korrekt. Zum Beispiel ist auch \(g(1)=1^2-2\cdot1=-1\). 2. Noahs Aussage ist falsch. Zwar stimmen die beiden Terme an den vier Argumenten aus \(D_f\) überein, aber die Definitionsmengen sind verschieden: \(f\) ist nur für \(0,1,2,3\) festgelegt, während \(g\) für jede Zahl zwischen \(0\) und \(3\) definiert ist. 3. Zum Beispiel gehört \(x=1{,}5\) zu \(g\), aber nicht zu \(D_f\). Es ist \(g(1{,}5)=1{,}5^2-2\cdot1{,}5=-0{,}75\). 4. Für \(g\) muss die Definitionsmenge auf \(\{0;1;2;3\}\) beschränkt werden. Im Plotter dürfen dann nur die vier zugehörigen Punkte dargestellt werden; die verbindende Kurve zwischen ihnen gehört nicht mehr zur Funktion.

Antwort

a) \(f(0)=0\), \(f(1)=-1\), \(f(2)=0\), \(f(3)=3\); zum Beispiel \(g(1)=-1\). b) Nein. Die Werte stimmen an den vier Tabellenargumenten überein, aber die Definitionsmengen sind verschieden. c) Zum Beispiel \(x=1{,}5\) mit \(g(1{,}5)=-0{,}75\). d) \(D_g\) auf \(\{0;1;2;3\}\) beschränken und nur die vier zugehörigen Punkte darstellen.

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.

Kostenlose Mathe-Arbeitsblätter zusammenstellen