Kostenlose Arbeitsblätter

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zuordnung „eindeutig“ ist? - Prüfe für jeden Eingabewert, ob genau ein Ausgabewert zugeordnet ist. - Überlege getrennt, ob mehrfach vorkommende Ausgabewerte die Eindeutigkeit verletzen.

1. Analyse von Tabelle a): Jedem \(x\)-Wert aus \(\{1;2;3;4\}\) ist genau ein \(y\)-Wert zugeordnet. Ergebnis: eindeutige Zuordnung (Funktion). 2. Analyse von Tabelle b): Jedem \(x\)-Wert aus \(\{-2;-1;0;1;2\}\) ist genau ein \(y\)-Wert zugeordnet. Dass verschiedene \(x\)-Werte, z. B. \(1\) und \(-1\), denselben \(y\)-Wert haben, widerspricht der Eindeutigkeit nicht. Ergebnis: eindeutige Zuordnung (Funktion). 3. Analyse von Tabelle c): Dem \(x\)-Wert \(5\) werden zwei verschiedene \(y\)-Werte, \(2\) und \(4\), zugeordnet. Ergebnis: keine eindeutige Zuordnung (keine Funktion).

a) Ja, es ist eine Funktion, da jedem \(x\) genau ein \(y\) zugeordnet wird. b) Ja, es ist eine Funktion, da jedem \(x\) genau ein \(y\) zugeordnet wird, auch wenn \(y\)-Werte mehrfach auftreten. c) Nein, es ist keine Funktion, da dem Wert \(x=5\) zwei verschiedene Werte, \(2\) und \(4\), zugeordnet werden.

- Überlege dir, ob es zu einem Eingabewert nur ein einziges Ergebnis geben kann oder mehrere. - Stell dir vor, du müsstest die Zuordnung in eine Tabelle eintragen. Darf in der rechten Spalte für eine Zeile mehr als ein Wert stehen? - Was ist die Definition einer eindeutigen Zuordnung?

1. Teilaufgabe a): Es handelt sich um eine Funktion. Begründung: An einem bestimmten Tag gibt es an einer festgelegten Messstation genau einen Wert für die Höchsttemperatur. Jedem Eingangswert (Tag) wird also genau ein Ausgangswert (Temperatur) zugeordnet. 2. Teilaufgabe b): Es handelt sich nicht um eine Funktion. Begründung: Ein Fahrzeughalter kann mehrere zugelassene Autos und somit mehrere Kennzeichen haben. Einem Eingangswert (Person) können also mehrere Ausgangswerte (Kennzeichen) zugeordnet sein. 3. Teilaufgabe c): Es handelt sich um eine Funktion. Begründung: Jedes Bundesland hat genau eine Landeshauptstadt. Die Zuordnung ist eindeutig.

a) Funktion, da für jeden Tag an der festgelegten Messstation genau eine Höchsttemperatur bestimmt wird. b) Keine Funktion, da ein Fahrzeughalter mehrere Kennzeichen haben kann. c) Funktion, da jedes Bundesland genau eine Hauptstadt besitzt.

- Vergleiche die dargestellte Halbkreislinie gedanklich mit einem vollständigen Kreis. - Prüfe, wie oft eine senkrechte Gerade den dargestellten Graphen schneiden kann.

1. Eine Funktion ordnet jedem \(x\) aus der Definitionsmenge genau einen \(y\)-Wert zu. 2. Der Graph ist eine obere Halbkreislinie. Für jeden dargestellten \(x\)-Wert im Intervall \([-2;2]\) gibt es auf der Kurve genau einen Punkt. 3. Deshalb ist die dargestellte Zuordnung eine Funktion.

Ja. Jedem \(x\)-Wert im Bereich von \(-2\) bis \(2\) wird genau ein \(y\)-Wert zugeordnet.

- Kannst du eine senkrechte Linie finden, die den Graphen mehr als einmal schneidet? - Gibt es \(x\)-Werte, für die es zwei verschiedene Ergebnisse gibt?

1. Anwendung des Kriteriums: Eine Funktion liegt vor, wenn jedem \(x\)-Wert maximal ein \(y\)-Wert zugeordnet ist. 2. Grafische Analyse: Man sieht eine Kurve, die nach rechts geöffnet ist (wie ein liegendes V). Wenn man eine senkrechte Gerade durch den Bereich zwischen \(x = 1\) und \(x = 3\) zieht, schneidet diese den Graphen an zwei Stellen. 3. Beispiel: Bei \(x = 2\) gibt es einen oberen Punkt (bei \(y = 3\)) und einen unteren Punkt (bei \(y = 1\)). 4. Schlussfolgerung: Die Zuordnung ist nicht eindeutig und somit keine Funktion.

Nein, es ist keine Funktion. Die Zuordnung ist nicht eindeutig, da beispielsweise dem \(x\)-Wert \(2\) zwei verschiedene \(y\)-Werte zugeordnet werden.

- Prüfe die Eingaben links einzeln und zähle jeweils die ausgehenden Pfeile. - Für eine Funktion darf eine einzelne Eingabe nicht zwei verschiedene Ausgaben besitzen.

1. Von der Eingabe \(Y\) gehen zwei Pfeile aus: einer zu \(Q\) und einer zu \(R\). 2. Damit besitzt dieselbe Eingabe zwei verschiedene Ausgaben. 3. Die Zuordnung ist deshalb keine Funktion.

Nein. Bei der Eingabe \(Y\) gibt es zwei Ausgaben, \(Q\) und \(R\).

- Prüfe die Eingaben links einzeln und zähle jeweils die ausgehenden Pfeile. - Für eine Funktion darf eine einzelne Eingabe nicht zwei verschiedene Ausgaben besitzen.

1. Von der Eingabe \(Y\) gehen zwei Pfeile aus: einer zu \(Q\) und einer zu \(R\). 2. Damit besitzt dieselbe Eingabe zwei verschiedene Ausgaben. 3. Die Zuordnung ist deshalb keine Funktion.

Nein. Bei der Eingabe \(Y\) gibt es zwei Ausgaben, \(Q\) und \(R\).

- Betrachte die Messung zu einem festgelegten Zeitpunkt. - Wann würde bei der Rückrichtung ein Größenwert zu mehreren Personen führen? - Welche Eigenschaft müssen die Größenwerte besitzen, damit die Rückrichtung eindeutig ist?

1. Bedingung für Eindeutigkeit: Die Zuordnung ist eindeutig, wenn jede Person zu einem festgelegten Messzeitpunkt genau einen Wert für die Körpergröße besitzt. 2. Bedingung für eine nicht eindeutige Umkehrzuordnung: Haben mindestens zwei Personen dieselbe gemessene Körpergröße, werden diesem Größenwert mehrere Personen zugeordnet. Dann ist die Umkehrzuordnung nicht eindeutig. 3. Voraussetzung für Umkehrbarkeit: Jede in der Klasse vorkommende Körpergröße muss genau einer Person zugeordnet sein. Alle gemessenen Körpergrößen müssen also verschieden sein.

a) Die Zuordnung ist eindeutig, wenn jede Person zu einem festgelegten Zeitpunkt genau eine Körpergröße hat. b) Die Umkehrzuordnung ist nicht eindeutig, sobald mindestens zwei Personen dieselbe gemessene Körpergröße haben. c) Die Zuordnung ist umkehrbar, wenn alle gemessenen Körpergrößen in der Klasse verschieden sind.

- Überlege, ob ein Element der ersten Menge zu mehr als einem Element der zweiten Menge führen kann. - Stell dir vor, du drückst eine Taste am Automaten: Kannst du sicher sein, welcher Preis erscheint? - Suche für Teil c) eine Zuordnung, bei der jeder Person oder jedem Gegenstand genau ein Wert zugeordnet wird.

1. Zuordnung Fachnummer \(\to\) Preis: Jedem Fach ist im Automaten genau ein Preis zugeordnet. Da es keine Fachnummer gibt, die gleichzeitig zwei verschiedene Preise hat, ist diese Zuordnung eindeutig. 2. Zuordnung Preis \(\to\) Fachnummer: Mindestens ein Preis steht an mehreren Fächern, da verschiedene Produkte gleich viel kosten. Da einem Preis somit mehrere Fachnummern zugeordnet sind, ist diese Zuordnung nicht eindeutig. 3. Beispiel aus dem Schulalltag: Die Zuordnung „Schülerin oder Schüler \(\to\) Geburtsdatum“ ist eindeutig, da jede Person genau ein Geburtsdatum besitzt.

a) Die Zuordnung ist eindeutig, da jede Fachnummer genau einen Preis hat. b) Die Zuordnung ist nicht eindeutig, da verschiedene Fächer denselben Preis haben können. c) Beispiel: Die Zuordnung „Schülerin oder Schüler \(\to\) Geburtsdatum“ ist eindeutig, da jede Person genau ein Geburtsdatum besitzt.

- Prüfe für a) die Zuordnung immer in der angegebenen Richtung von der Uhrzeit zur Temperatur. - Bei b) ist einmal ein Funktionswert zu deuten und anschließend rückwärts nach allen passenden Argumenten zu suchen. - Für c) vertauschst du gedanklich Eingaben und Ausgaben und prüfst erneut die Eindeutigkeit.

1. Jedem aufgezeichneten Messzeitpunkt ist in der Tabelle genau ein Temperaturwert zugeordnet. Daher ist \(t\mapsto T(t)\) auf der angegebenen Definitionsmenge eine Funktion. 2. \(T(15)=7{,}5\) bedeutet: Um \(15{:}00\) Uhr wurden \(7{,}5\,^\circ\text{C}\) gemessen. Der Funktionswert \(1{,}2\,^\circ\text{C}\) tritt bei den Argumenten \(t=9\) und \(t=21\) auf. 3. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion, weil der Eingabe \(1{,}2\,^\circ\text{C}\) zwei verschiedene Messzeitpunkte, \(9{:}00\) Uhr und \(21{:}00\) Uhr, zugeordnet würden.

a) Ja. Jedem aufgezeichneten Messzeitpunkt ist genau ein Temperaturwert zugeordnet. b) Um \(15{:}00\) Uhr wurden \(7{,}5\,^\circ\text{C}\) gemessen; \(T(t)=1{,}2\) gilt für \(t=9\) und \(t=21\). c) Nein. \(1{,}2\,^\circ\text{C}\) gehört zu zwei verschiedenen Messzeitpunkten.

- Woran erkennst du in einer Liste von Koordinatenpaaren, dass einem Eingabewert mehrere Ausgabewerte zugeordnet werden? - Welchen Punkt kannst du so verändern, dass der Konflikt beim Wert \(x = 2\) verschwindet? - Tausche für die Umkehrung gedanklich die Rollen von \(x\) und \(y\) und prüfe erneut auf Eindeutigkeit.

1. Überprüfung der Eindeutigkeit für \(M\): Der \(x\)-Wert \(2\) tritt in den Punkten \(P_2(2 \mid 6)\) und \(P_4(2 \mid 1)\) auf. Einem \(x\)-Wert werden somit zwei verschiedene \(y\)-Werte zugeordnet. Daher beschreibt \(M\) keine Funktion. 2. Der Konflikt beim Eingabewert \(x = 2\) muss beseitigt werden. Man kann zum Beispiel \(P_4(2 \mid 1)\) durch \(P_4(4 \mid 1)\) ersetzen. Dann gilt \(M' = \{(1 \mid 3); (2 \mid 6); (3 \mid 3); (4 \mid 1)\}\), und jedem vorkommenden \(x\)-Wert ist genau ein \(y\)-Wert zugeordnet. 3. Die \(y\)-Werte der neuen Punktmenge sind \(3\), \(6\), \(3\) und \(1\). Der Wert \(y = 3\) tritt bei \(x = 1\) und \(x = 3\) auf. Die Umkehrzuordnung ist daher nicht eindeutig.

a) Die Menge beschreibt keine Funktion, da dem \(x\)-Wert \(2\) zwei verschiedene \(y\)-Werte, nämlich \(6\) und \(1\), zugeordnet werden. b) Beispiel: Ändere \(P_4(2 \mid 1)\) in \(P_4(4 \mid 1)\). Dann ist jedem vorkommenden \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert zugeordnet. c) Nein. Der \(y\)-Wert \(3\) gehört zu den beiden \(x\)-Werten \(1\) und \(3\).

- Suche für a) eine Zahl aus \(D\), die mehr als einen verschiedenen Primfaktor besitzt. - Bei b) ist nicht entscheidend, wie viele Primfaktoren vorkommen, sondern ob die Regel für jede Eingabe genau eine einzige Anzahl liefert. - Prüfe bei c) wieder ausschließlich die Anzahl der Ausgaben zu einer festen Eingabe.

1. Die ursprüngliche Zuordnung ist nicht eindeutig. Zum Beispiel besitzt \(6\) die verschiedenen Primfaktoren \(2\) und \(3\); derselben Eingabe würden also zwei Ausgaben zugeordnet. 2. Die reparierte Zuordnung liefert für jede Zahl aus \(D\) genau eine Anzahl. Für \(1\) ist die Ausgabe \(0\), für \(6\) ist sie \(2\), und für \(8\) ist sie \(1\). Damit ist die reparierte Zuordnung eine Funktion auf \(D\). 3. Jede rationale Zahl \(x\) besitzt genau einen Betrag \(|x|\). Deshalb ist auch die Betragszuordnung eine Funktion.

a) Nicht eindeutig; zum Beispiel werden \(6\) die beiden Ausgaben \(2\) und \(3\) zugeordnet. b) Ja. Die neue Regel ist eine Funktion; die Ausgaben sind \(0\), \(2\) und \(1\) für \(n=1\), \(n=6\) und \(n=8\). c) Ja. Jede rationale Zahl besitzt genau einen Betrag.

- Welche Bedingung muss eine Zuordnung erfüllen, damit sie eine Funktion ist? - Wie viele \(y\)-Werte dürfen zu einem einzelnen \(x\)-Wert gehören? - Vergleiche eine waagerechte Achse mit einer senkrechten Achse aus Sicht eines festen \(x\)-Werts.

1. Die Gleichung der \(x\)-Achse lautet \(y=0\). 2. Die \(x\)-Achse ist der Graph einer Funktion, da jedem \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert, nämlich \(0\), zugeordnet wird. 3. Die Gleichung der \(y\)-Achse lautet \(x=0\). 4. Nach der Definition einer Funktion darf jedem \(x\)-Wert nur ein \(y\)-Wert zugeordnet sein. Auf der \(y\)-Achse gehören zum \(x\)-Wert \(0\) jedoch viele verschiedene \(y\)-Werte. Somit ist diese Zuordnung nicht eindeutig und kein Funktionsgraph \(x\mapsto y\).

a) Die Gleichung ist \(y=0\). Die \(x\)-Achse ist der Graph einer Funktion, da jedem \(x\) eindeutig der Wert \(0\) zugeordnet wird. b) Die Gleichung ist \(x=0\). Die \(y\)-Achse ist kein Funktionsgraph \(x\mapsto y\), da zum \(x\)-Wert \(0\) mehrere \(y\)-Werte gehören.

- Überlege dir zuerst, was eine mathematische Funktion auszeichnet. Wann ist eine Zuordnung „eindeutig“? - Schau dir für Aufgabenteil a) die Punkte auf dem Graphen genau bei den x-Werten 0, 2, 4, 6, 8, 10 und 12 an und lies die zugehörigen y-Werte ab. - Wenn du wissen möchtest, ob jedem Eingangswert genau ein Ausgangswert zugeordnet wird, hilft dir die Vorstellung: Kann die Uhrzeit zur selben Sekunde zwei verschiedene Wassertiefen haben? - Für Aufgabenteil b) suche auf der \(y\)-Achse den Wert 4 und gehe waagerecht nach rechts. Welche x-Werte gehören dazu? - Überlege für die Rückrichtung, ob es eindeutig ist, wenn du jemandem sagst: „Der Wasserstand ist 4 Meter. Welche Uhrzeit haben wir genau?“

1. Wertetabelle durch Ablesen der Punkte auf dem Graphen erstellen: <table> <thead> <tr> <th>Zeit \(t\) (in \(\text{h}\))</th> <td>0</td> <td>2</td> <td>4</td> <td>6</td> <td>8</td> <td>10</td> <td>12</td> </tr> </thead> <tbody> <tr> <th>Tiefe \(h\) (in \(\text{m}\))</th> <td>1</td> <td>2</td> <td>4</td> <td>5</td> <td>4</td> <td>2</td> <td>1</td> </tr> </tbody> </table> 2. Überprüfung der Zuordnung \(\text{Uhrzeit} \rightarrow \text{Wassertiefe}\): Jedem Zeitpunkt \(t\) wird genau eine Wassertiefe \(h\) zugeordnet. Da jedem Element der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge zugeordnet ist, handelt es sich um eine eindeutige Zuordnung und somit um eine Funktion. 3. Uhrzeiten für eine Wassertiefe von \(4\,\text{m}\): Aus dem Graphen liest man bei \(h = 4\,\text{m}\) die Zeitpunkte \(t = 4\,\text{h}\) und \(t = 8\,\text{h}\) ab. 4. Überprüfung der Zuordnung \(\text{Wassertiefe} \rightarrow \text{Uhrzeit}\): Einer Wassertiefe von \(4\,\text{m}\) werden zwei verschiedene Zeitpunkte (\(4\,\text{h}\) und \(8\,\text{h}\)) zugeordnet. Da diese Zuordnung nicht eindeutig ist (einem Ausgangswert werden mehrere unterschiedliche Werte zugeordnet), handelt es sich um keine Funktion.

a) Wertetabelle: <table> <tr> <th>Zeit \(t\) (\(\text{h}\))</th> <td>0</td><td>2</td><td>4</td><td>6</td><td>8</td><td>10</td><td>12</td> </tr> <tr> <th>Tiefe \(h\) (\(\text{m}\))</th> <td>1</td><td>2</td><td>4</td><td>5</td><td>4</td><td>2</td><td>1</td> </tr> </table> Ja, die Zuordnung \(\text{Uhrzeit} \rightarrow \text{Wassertiefe}\) ist eine Funktion, da jedem Zeitpunkt genau eine Wassertiefe zugeordnet wird (Eindeutigkeit). b) Die Wassertiefe beträgt nach \(4\,\text{h}\) und nach \(8\,\text{h}\) genau \(4\,\text{m}\). Nein, die umgekehrte Zuordnung \(\text{Wassertiefe} \rightarrow \text{Uhrzeit}\) ist keine Funktion, da einer Wassertiefe (z. B. \(4\,\text{m}\)) mehrere verschiedene Uhrzeiten zugeordnet werden (Mehrdeutigkeit).

- Welche Koordinate ist auf jeder dargestellten Geraden konstant? - Prüfe für die Funktionsfrage einen festen \(x\)-Wert. - Wie viele Punkte des jeweiligen Graphen können dieselbe \(x\)-Koordinate haben, ohne die Eindeutigkeit zu verletzen?

1. Die Gerade \(g\) verläuft vertikal durch alle dargestellten Punkte mit der \(x\)-Koordinate \(3\). Eine passende Gleichung ist \(x=3\). 2. Die Gerade \(g\) ist kein Graph einer Funktion \(x\mapsto y\). Zum \(x\)-Wert \(3\) gehören auf der Geraden viele verschiedene \(y\)-Werte. 3. Die Gerade \(h\) verläuft horizontal durch alle dargestellten Punkte mit der \(y\)-Koordinate \(-2\). Eine passende Gleichung ist \(y=-2\). 4. Die Gerade \(h\) ist der Graph einer Funktion, denn jedem \(x\)-Wert wird genau der eine Wert \(y=-2\) zugeordnet.

a) \(g:x=3\); \(h:y=-2\). b) \(g\) ist kein Funktionsgraph \(x\mapsto y\), weil zu \(x=3\) mehrere \(y\)-Werte gehören. \(h\) ist ein Funktionsgraph, weil jedem \(x\)-Wert genau \(y=-2\) zugeordnet wird.

- Prüfe für die Funktionsfrage, wie viele \(y\)-Werte zu einem festen \(x\)-Wert gehören. - Suche bei jedem Graphen einige leicht ablesbare Punkte. - Prüfe diese Punkte in den beiden angegebenen Gleichungen.

1. Der Graph in Abbildung a) stellt eine Funktion dar, da jedem \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert zugeordnet wird. Der Graph in Abbildung b) stellt keine Funktion dar, da es \(x\)-Werte mit zwei verschiedenen zugehörigen \(y\)-Werten gibt; zum Beispiel gehören zu \(x=2\) die Werte \(y=2\) und \(y=-2\). 2. Zu Abbildung a) gehört Gleichung (I) \(y=\frac{1}{2}x+1\). Zu Abbildung b) gehört Gleichung (II) \(x=y^2-2\); zum Beispiel liefert \(y=2\) den Punkt \((2\mid2)\).

1. a) ist eine Funktion; b) ist keine Funktion, weil zu einem \(x\)-Wert zwei \(y\)-Werte gehören können. 2. a) gehört zu (I); b) gehört zu (II).

- Überlege, wie viele \(y\)-Werte zu einem bestimmten \(x\)-Wert gehören dürfen. - Prüfe gedanklich, wie oft eine senkrechte Gerade den jeweiligen Graphen schneiden kann. - Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung.

1. Graph a): Jede senkrechte Gerade schneidet den Graphen an höchstens einer Stelle. Daher stellt er eine Funktion dar. 2. Graph b): Für \(x\)-Werte zwischen \(-2\) und \(2\) schneidet eine senkrechte Gerade den Graphen an zwei Stellen. Daher stellt er keine Funktion dar. 3. Graph c): Jede senkrechte Gerade schneidet den Graphen höchstens einmal. Daher stellt er eine Funktion dar. 4. Graph d): Für positive \(x\)-Werte schneidet eine senkrechte Gerade die Figur an zwei Stellen. Daher stellt er keine Funktion dar.

Die Graphen a) und c) stellen Funktionen dar; die Graphen b) und d) sind keine Funktionen, da bestimmten \(x\)-Werten mehr als ein \(y\)-Wert zugeordnet wird.

- Prüfe nicht zuerst die Ausgaben, sondern jedes einzelne Argument. - Frage dich, ob irgendeinem Argument zwei verschiedene Funktionswerte zugeordnet sind. - Wiederholte Funktionswerte sind etwas anderes als mehrere Funktionswerte zu derselben Eingabe.

Miras Aussage ist falsch. Die Argumente \(-2\) und \(2\) dürfen denselben Funktionswert \(3\) haben. Entscheidend ist, dass jedem einzelnen Argument genau ein Funktionswert zugeordnet wird. Das ist in der Tabelle erfüllt.

Miras Aussage ist falsch. Mehrere Argumente dürfen denselben Funktionswert haben; jedes Argument muss nur eindeutig genau einen Funktionswert besitzen.

- Prüfe die Funktionseigenschaft immer in der jeweils angegebenen Zuordnungsrichtung. - Suche bei der umgekehrten Zuordnung einen Wert aus \(W\), zu dem mehrere Zahlen aus \(D\) gehören. - Vergleiche anschließend, was sich durch die Einschränkung auf die nichtnegativen Werte ändert.

1. Zu jedem Element aus \(D\) gehört durch das Quadrieren genau ein Wert aus \(W\). Deshalb ist die Zuordnung von \(D\) nach \(W\) eine Funktion. 2. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion. Zum Wert \(4\) gehören zum Beispiel die beiden Zahlen \(-2\) und \(2\). Damit besitzt die Eingabe \(4\) in der umgekehrten Zuordnung mehr als eine Ausgabe. 3. Nach der Einschränkung auf \(D_+=\{0;1;2;3\}\) gehört zu jedem Wert aus \(W\) genau eine Zahl aus \(D_+\): \(0\mapsto0\), \(1\mapsto1\), \(4\mapsto2\), \(9\mapsto3\). Die umgekehrte Zuordnung ist daher eine Funktion.

a) Ja. Jedem Element aus \(D\) ist genau ein Wert aus \(W\) zugeordnet. b) Nein. Zum Beispiel wird \(4\) sowohl \(-2\) als auch \(2\) zugeordnet. c) Ja. Auf \(D_+\) hat jeder Wert aus \(W\) genau eine zugehörige Zahl.

- Kann eine Person zu einem bestimmten Zeitpunkt an zwei verschiedenen Orten gleichzeitig sein? - Wenn man hin- und herläuft, kommt man dann an bestimmten Punkten öfter vorbei? - Was bedeutet Stillstand für den Verlauf eines Graphen in einem Koordinatensystem?

1. Zuordnung Zeit \(\to\) Entfernung: Zu jedem beliebig gewählten Zeitpunkt nach dem Start befindet sich der Wanderer an genau einem Ort und hat somit genau eine bestimmte Entfernung zur Hütte. Die Zuordnung ist eindeutig. 2. Zuordnung Entfernung \(\to\) Zeit: Die Umkehrzuordnung scheitert aus zwei Gründen: Während der Pause gehört derselben Entfernung ein ganzes Zeitintervall an. Außerdem erreicht der Wanderer durch das Zurücklaufen bestimmte Entfernungswerte mehrfach (einmal beim Hinweg, einmal beim Rückweg). Somit sind einer Entfernung mehrere Zeitpunkte zugeordnet. Die Zuordnung ist nicht eindeutig. 3. Graph der Pause: Während der Pause ändert sich die Entfernung über einen gewissen Zeitraum nicht. Der Graph verläuft in diesem Zeitintervall waagerecht (parallel zur Zeitachse).

a) Die Zuordnung ist eindeutig. b) Die Zuordnung ist nicht eindeutig: Während der Pause gehört dieselbe Entfernung zu mehreren Zeiten, und beim Zurücklaufen werden weitere Entfernungen erneut erreicht. c) Während der Pause verläuft der Graph waagerecht.

- Was passiert mit dem Akkustand, wenn das Handy geladen wird? Suche nach einem Anstieg in der Tabelle. - Für den Durchschnitt teilst du die gesamte Änderung durch die Anzahl der vergangenen Stunden. - Eine Funktion muss eindeutig sein. Kann man bei einem bestimmten Akkustand sicher sagen, wie spät es war?

1. Identifikation des Ladevorgangs: Zwischen 16:00 Uhr (\(44\,\%\)) und 18:00 Uhr (\(88\,\%\)) steigt der Ladestand deutlich an, was auf einen Ladevorgang hindeutet. 2. Berechnung des durchschnittlichen Verbrauchs: Zeitraum von 07:00 bis 12:00 Uhr sind \(5\,\text{Stunden}\). Verbrauch: \(100\,\% - 60\,\% = 40\) Prozentpunkte. Durchschnitt pro Stunde: \(40 : 5 = 8\) Prozentpunkte pro Stunde. 3. Prüfung der Umkehrzuordnung: Der Ladestand \(60\,\%\) tritt zu zwei verschiedenen Uhrzeiten auf (12:00 Uhr und 14:00 Uhr). Damit ist die Zuordnung Ladestand \(\to\) Uhrzeit nicht eindeutig und somit keine Funktion.

a) Das Handy wurde zwischen 16:00 und 18:00 Uhr geladen, da der Ladestand dort ansteigt. b) Der durchschnittliche Verbrauch beträgt \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. c) Nein, die Umkehrzuordnung ist keine Funktion, da dem Wert \(60\,\%\) zwei verschiedene Uhrzeiten (12:00 und 14:00) zugeordnet werden.

- Prüfe die Tarifgrenzen besonders bei \(20\,\text{g}\) und \(50\,\text{g}\). - Für die Funktionseigenschaft musst du prüfen, wie viele Portowerte zu einem festen Gewicht gehören. - Kehre für Teil c) die Zuordnungsrichtung gedanklich um und frage, ob ein Portowert das Gewicht eindeutig festlegt.

1. An den Tarifgrenzen erhält man \(15\,\text{g}\rightarrow0{,}85\,\text{€}\), \(20\,\text{g}\rightarrow0{,}85\,\text{€}\), \(25\,\text{g}\rightarrow1{,}00\,\text{€}\), \(50\,\text{g}\rightarrow1{,}00\,\text{€}\) und \(100\,\text{g}\rightarrow1{,}60\,\text{€}\). 2. Die Zuordnung Gewicht \(\rightarrow\) Porto ist eine Funktion, da jedes Gewicht im angegebenen Bereich genau einem Portowert zugeordnet ist. 3. Die Umkehrung Porto \(\rightarrow\) Gewicht ist keine Funktion. Beispielsweise gehören zum Portowert \(0{,}85\,\text{€}\) viele verschiedene positive Gewichte bis einschließlich \(20\,\text{g}\).

a) <table> <tr><td>Gewicht in \(\text{g}\)</td><td>15</td><td>20</td><td>25</td><td>50</td><td>100</td></tr> <tr><td>Porto in \(\text{€}\)</td><td>\(0{,}85\)</td><td>\(0{,}85\)</td><td>\(1{,}00\)</td><td>\(1{,}00\)</td><td>\(1{,}60\)</td></tr> </table> b) Es ist eine Funktion, da jedem Gewicht genau ein Preis zugeordnet wird. c) Die Umkehrung ist keine Funktion, da einem Preis mehrere verschiedene Gewichte zugeordnet werden können.

- Vergleiche die \(x\)-Koordinaten der vier Punkte. - Eine Funktion darf einem Eingabewert nicht mehrere Ausgabewerte zuordnen. - Nach dem Tausch sollte die unabhängige Variable neu benannt werden.

1. Die vier Punkte \((4\mid-2)\), \((4\mid0)\), \((4\mid2)\) und \((4\mid5)\) haben alle die \(x\)-Koordinate \(4\). Sie liegen auf der vertikalen Geraden \(x=4\); die vier Punkte bilden jedoch nur eine Teilmenge dieser Geraden. 2. Dem Eingabewert \(x=4\) werden mehrere verschiedene \(y\)-Werte zugeordnet. Daher ist die Zuordnung nicht eindeutig und keine Funktion \(y=f(x)\). 3. Nach dem Tausch sind \(-2\), \(0\), \(2\) und \(5\) die Eingabewerte, und jedem wird der Wert \(4\) zugeordnet. Mit der neuen Eingabevariablen \(u\) gilt \(f(u)=4\) für \(u\in\{-2;0;2;5\}\).

a) Die vier Punkte liegen auf der Geraden \(x=4\). b) Die Zuordnung ist keine Funktion \(x\mapsto y\), weil dem Wert \(x=4\) mehrere \(y\)-Werte zugeordnet werden. c) Nach dem Tausch gilt \(f(u)=4\) für \(u\in\{-2;0;2;5\}\).

- Prüfe zuerst, welche Gleichung die sichtbare Form jedes Graphen beschreibt. - Für die Funktionsfrage ist entscheidend, ob zu einem festen \(x\)-Wert mehr als ein \(y\)-Wert auftreten kann. - Wenn du eine Gleichung nach \(y\) umstellst, achte darauf, ob dadurch ein oder mehrere mögliche \(y\)-Werte entstehen.

1. Graph (1) gehört zu Gleichung A, denn aus \(2y-3x=0\) folgt \(y=1{,}5x\). 2. Graph (2) gehört zu Gleichung B. Für \(x>0\) gehören jeweils zwei Werte \(y\) zu demselben Wert \(x\). 3. Graph (3) gehört zu Gleichung C, denn aus \(x^2+y=4\) folgt \(y=4-x^2\). 4. Graph (1) ist eine Funktion, weil jedem \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert zugeordnet wird. 5. Graph (2) ist keine Funktion, weil es \(x\)-Werte mit zwei verschiedenen zugehörigen \(y\)-Werten gibt. 6. Graph (3) ist eine Funktion, weil jedem \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert zugeordnet wird. 7. Für Graph (1) lautet die nach \(y\) umgestellte Gleichung \(y=1{,}5x\). Für Graph (3) lautet sie \(y=4-x^2\).

a) A gehört zu Graph (1), B zu Graph (2) und C zu Graph (3). b) Graph (1) und Graph (3) sind Funktionen. Graph (2) ist keine Funktion, weil einem \(x\)-Wert zwei verschiedene \(y\)-Werte zugeordnet sein können. c) Graph (1): \(y=1{,}5x\); Graph (3): \(y=4-x^2\).

- Überlege, was waagerechte, steigende und senkrechte Abschnitte im Sachzusammenhang bedeuten. - Kann sich eine Person zu einem Zeitpunkt an mehreren Orten befinden oder sich ohne Zeitverzug bewegen? - Prüfe für jeden Zeitwert, wie viele Entfernungswerte der Graph zeigt. - Eine Funktion ordnet jedem Wert der Definitionsmenge genau einen Wert der abhängigen Größe zu.

1. Graph A ist realistisch: Die Entfernung steigt oder bleibt konstant, etwa beim Warten an einer Ampel von Minute \(2\) bis \(5\) oder bei einer Pause von Minute \(8\) bis \(10\). 2. Graph B ist unrealistisch: Bei Minute \(2\) springt die Entfernung augenblicklich von \(100\,\text{m}\) auf \(300\,\text{m}\). Zudem verläuft ein Teilstück von rechts nach links, sodass Zeitwerten zwischen Minute \(5\) und \(6\) mehrere Entfernungen zugeordnet werden. 3. Eine Funktion ordnet jedem Zeitpunkt genau eine Entfernung zu. 4. Graph A ist ein Funktionsgraph, da jedem Zeitpunkt genau eine Entfernung zugeordnet ist. 5. Graph B ist kein Funktionsgraph. Bei \(t=2\) treten mehrere Entfernungen auf, und auch für Zeitwerte zwischen \(5\) und \(6\) ist die Zuordnung nicht eindeutig.

a) Graph A ist realistisch; Graph B ist wegen der augenblicklichen Ortsveränderung und des rückwärts verlaufenden Zeitabschnitts im Sachzusammenhang unmöglich. b) Graph A ist ein Funktionsgraph, da jedem Zeitpunkt genau eine Entfernung zugeordnet wird. Graph B ist kein Funktionsgraph, da einzelnen Zeitwerten mehrere Entfernungen zugeordnet werden.

- Prüfe für einen x-Wert im Inneren des Kreises, wie viele Punkte des Kreisrandes dieselbe x-Koordinate haben. - Überlege, welche waagerechte Trennung zwei eindeutige Teilkurven erzeugt.

1. Bei einer Funktion muss jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet sein. Beim Kreisrand gehören zu den meisten x-Werten zwei y-Werte: einer auf dem oberen und einer auf dem unteren Halbkreis. Daher ist der gesamte Kreisrand kein Funktionsgraph. 2. Teilt man den Kreisrand in den oberen und den unteren Halbkreis, gehört in jedem Teil zu jedem x-Wert höchstens ein y-Wert. Beide Teilkurven sind daher jeweils Funktionsgraphen.

a) Der gesamte Kreisrand ist kein Funktionsgraph, weil den meisten x-Werten zwei verschiedene y-Werte zugeordnet sind. b) Man zerlegt den Kreisrand in den oberen und den unteren Halbkreis; jeder Halbkreis ist für sich ein Funktionsgraph.

- Lies bei einem festen \(x\)-Wert die zugehörige Höhe des Graphen ab. - Ein Punkt \((x\mid y)\) entspricht der Aussage \(f(x)=y\). - Prüfe bei der Funktionseigenschaft immer die Richtung vom Argument zum Funktionswert. - Mehrere Stellen mit derselben Höhe sind nicht automatisch ein Widerspruch.

1. Aus dem Graphen liest man \(f(-1)=-1\) und \(f(2)=3\) ab. 2. Der Punkt \(B(2\mid3)\) bedeutet \(f(2)=3\). 3. Die Behauptung ist falsch. Ein Funktionswert darf zu mehreren verschiedenen Argumenten gehören. Entscheidend ist, dass zu jedem einzelnen Argument genau ein Funktionswert gehört. Der dargestellte Graph erfüllt diese Bedingung. 4. Eindeutig sein muss der Funktionswert zu einem vorgegebenen Argument. Umgekehrt kann derselbe Funktionswert zu mehreren Argumenten gehören.

a) \(f(-1)=-1\); \(f(2)=3\) b) \(f(2)=3\) c) Die Aussage ist falsch. Mehrere Argumente dürfen denselben Funktionswert haben. d) Zu jedem vorgegebenen Argument muss genau ein Funktionswert gehören.

- Was bedeutet „angefangene Stunde“ für die Kosten, wenn man nur eine Minute über die volle Stunde kommt? - Wenn du \(1{,}50\,\text{€}\) bezahlst, weißt du dann, ob du \(10\), \(30\) oder \(60\) Minuten geparkt hast? - Überlege dir, wie ein Graph aussehen müsste, bei dem man von jedem \(y\)-Wert (Preis) genau auf einen \(x\)-Wert (Zeit) schließen kann.

1. Berechnung der Gebühren: \(30\,\text{min}\) (innerhalb 1. Std.): \(1{,}50\,\text{€}\) \(60\,\text{min}\) (genau 1 Std.): \(1{,}50\,\text{€}\) \(61\,\text{min}\) (2. Std. angefangen): \(1{,}50\,\text{€} + 1{,}00\,\text{€} = 2{,}50\,\text{€}\) \(120\,\text{min}\) (genau 2 Std.): \(2{,}50\,\text{€}\) 2. Die Zuordnung Gebühr \(\rightarrow\) Parkdauer ist keine Funktion, da einem Gebührenwert (z. B. \(1{,}50\,\text{€}\)) mehrere Parkdauern zugeordnet sind, etwa \(30\,\text{min}\) und \(60\,\text{min}\). Die Aussage des Kunden ist falsch, da keine Eindeutigkeit vorliegt. 3. Damit die Umkehrzuordnung eine Funktion ist, müsste der Preis streng mit der exakten Parkdauer steigen, zum Beispiel nach \(P(t) = kt\) ohne Aufrundung auf volle Minuten oder Stunden. Dann hätten keine zwei verschiedenen Parkdauern denselben Preis.

a) Gebühren: \(30\,\text{min} \rightarrow 1{,}50\,\text{€}\); \(60\,\text{min} \rightarrow 1{,}50\,\text{€}\); \(61\,\text{min} \rightarrow 2{,}50\,\text{€}\); \(120\,\text{min} \rightarrow 2{,}50\,\text{€}\). b) Die Aussage ist falsch, da die Zuordnung Gebühr \(\rightarrow\) Parkdauer nicht eindeutig ist. Einem Preis sind Zeitintervalle zugeordnet, kein einzelner Zeitwert. c) Der Preis müsste ohne Aufrundung streng mit der exakten Parkdauer steigen, zum Beispiel proportional nach \(P(t) = kt\).