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- Welche Zahl gehört als Faktor vor \(x\)? - Welche Zahl liest du aus dem y-Achsenabschnitt ab? - Setze beide Angaben in die Form \(y=mx+t\) ein.

1. Die Steigung ist \(m=-2\). 2. Aus \(S_y(0|5)\) folgt der y-Achsenabschnitt \(t=5\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(y=-2x+5\).

\(y=-2x+5\).

- Welche Werte für \(x\), \(y\) und \(m\) sind durch den Punkt und die Steigung gegeben? - Welche Größe bleibt in \(y=mx+t\) noch unbekannt?

1. Für \(P(1|4)\) gilt \(x=1\) und \(y=4\). Mit \(m=2\) folgt \(4=2+t\). 2. Daher ist \(t=2\), also lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=2x+2\).

\(t=2\); \(g(x)=2x+2\).

- Wie berechnest du die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Wenn du die Steigung kennst, wie kannst du dann den \(y\)-Achsenabschnitt mithilfe eines der Punkte finden? - Könntest du die Punkte auch in die vorgegebenen Antwortmöglichkeiten einsetzen, um sie zu überprüfen?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{4-(-2)}{3-(-1)} = \frac{6}{4} = 1{,}5\). 2. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(t\) durch Einsetzen des Punktes \(B\) in \(y=mx+t\): \(4 = 1{,}5 \cdot 3 + t\). Daraus folgt \(t=-0{,}5\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(y = 1{,}5x - 0{,}5\).

d) \(y = 1{,}5x - 0{,}5\)

- Schau dir an, wie stark der Wasserstand von einer Stunde zur nächsten zunimmt. Ist dieser Wert immer gleich? - Überlege dir, welcher Wert am Anfang (bei 0 Stunden) schon da war. - Wie oft musst du die stündliche Zunahme dazurechnen, wenn \(t\) Stunden vergangen sind? - Für Teilaufgabe c) kannst du den Wert genau mit deinem Term ausrechnen.

1. Bestimmung der Steigung: Die Differenz des Wasserstands pro Stunde beträgt \(25 - 10 = 15\,\text{cm}\), \(40 - 25 = 15\,\text{cm}\) usw. Der Wasserstand steigt also um \(15\,\text{cm}\) pro Stunde. 2. Aufstellen des Terms: Der Startwert bei \(t = 0\) ist \(10\). Die Zunahme beträgt \(15t\). Der Term lautet: \(h(t) = 10 + 15t\). 3. Berechnung für \(2{,}5\,\text{Stunden}\): Einsetzen von \(t = 2{,}5\) in den Term: \(10 + 15 \cdot 2{,}5 = 10 + 37{,}5 = 47{,}5\). Der Wasserstand nach \(2{,}5\,\text{Stunden}\) beträgt \(47{,}5\,\text{cm}\).

a) Der Wasserstand steigt um \(15\,\text{cm}\) pro Stunde. b) Der Term lautet \(h(t) = 10 + 15t\). c) Nach \(2{,}5\,\text{Stunden}\) beträgt der Wasserstand \(47{,}5\,\text{cm}\).

- Welche Information liefert der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse für den Wert von \(t\)? - Was muss für den Verlauf einer Geraden gelten, damit ihr Funktionswert niemals \(0\) wird? - Welche Koordinaten hat ein Punkt auf der \(x\)-Achse?

1. Aus dem \(y\)-Achsenabschnitt folgt \(t=-3\). Einsetzen der Nullstelle \((6 \mid 0)\) in \(0=6m-3\) ergibt \(m=0{,}5\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=0{,}5x-3\). 2. Damit eine lineare Funktion keine Nullstelle hat, muss ihr Graph als waagerechte Gerade parallel zur \(x\)-Achse verlaufen. Dafür gilt \(m=0\), und der konstante Funktionswert darf nicht \(0\) sein. 3. Da die Gerade durch \(P(2 \mid 5)\) verläuft, ist der Funktionswert überall \(5\). Somit gilt \(f(x)=5\).

a) \(f(x)=0{,}5x-3\) b) \(f(x)=5\). Es gilt \(m=0\); die waagerechte Gerade liegt oberhalb der \(x\)-Achse und hat daher keine Nullstelle.

- Welchen Teil von \(y=mx+t\) kannst du direkt aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ablesen? - Welchen Funktionswert hat eine Nullstelle? - Wie kannst du einen bekannten Punkt nutzen, um die unbekannte Steigung zu bestimmen?

1. Aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(S_y(0 \mid 4)\) folgt direkt der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=4\). 2. Damit ergibt sich der Ansatz \(f(x)=mx+4\). 3. Da \(S_x(-2 \mid 0)\) auf dem Graphen liegt, gilt \(0=-2m+4\). 4. Auflösen ergibt \(m=2\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=2x+4\).

\(f(x)=2x+4\)

- Was bedeutet „nach unten“ für das Vorzeichen der vertikalen Änderung? - Wie hängen die beiden Schritte im Steigungsdreieck mit der Steigung \(m\) zusammen? - Welche zwei Größen bestimmen eine lineare Funktionsgleichung der Form \(f(x)=mx+t\)?

1. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t=-3\). 2. Beim Steigungsdreieck gilt \(\Delta x=4\) und wegen der Bewegung nach unten \(\Delta y=-3\). 3. Die Steigung ist \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-3}{4}=-0{,}75\). 4. Einsetzen in \(f(x)=mx+t\) ergibt \(f(x)=-0{,}75x-3\).

\(f(x)=-0{,}75x-3\) oder \(f(x)=-\frac{3}{4}x-3\)

- Was sagt die Koordinate eines Punktes auf der \(y\)-Achse über die Funktionsgleichung aus? - Wie viele Punkte benötigst du mindestens, um die Steigung einer Geraden eindeutig zu bestimmen? - Erinnere dich an die allgemeine Form der Geradengleichung und die Bedeutung ihrer Parameter. - Setze die Koordinaten des zweiten Punktes in die Geradengleichung ein.

1. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts: Da alle Geraden durch \(S(0 \mid 5)\) verlaufen, muss der Parameter \(t = 5\) sein. 2. Beispiele für Teilaufgabe a): Durch Einsetzen beliebiger Werte für \(m\), zum Beispiel \(m = 1\), \(m = 2\) und \(m = -1\), ergeben sich die Gleichungen \(y = x + 5\), \(y = 2x + 5\) und \(y = -x + 5\). 3. Für Teilaufgabe b) werden die Koordinaten von \(Q(4 \mid 2)\) in \(y = mx + 5\) eingesetzt. 4. Lösen der Gleichung: \(2 = 4m + 5 \implies -3 = 4m \implies m = -0{,}75\).

a) Mögliche Lösungen sind \(y = x + 5\), \(y = 2x + 5\) und \(y = -x + 5\). b) Die Steigung der Geraden durch \(S\) und \(Q\) beträgt \(m = -0{,}75\).

- Welche Wassermenge ist zum Zeitpunkt \(t=0\) bereits vorhanden? - Welche Größe beschreibt die Änderung pro Minute? - Musst du für den gesuchten Wert in die Formel einsetzen oder die Formel nach \(t\) auflösen?

1. Das Anfangsvolumen beträgt \(120\,\text{l}\), die Änderungsrate \(15\,\frac{\text{l}}{\text{min}}\). Daher lautet das Modell \(V(t)=15t+120\). 2. Nach \(20\,\text{min}\) gilt \(V(20)=15 \cdot 20+120=420\). Im Pool befinden sich \(420\,\text{l}\). 3. Für \(600\,\text{l}\) gilt \(600=15t+120\). Daraus folgt \(t=32\). Nach \(32\,\text{min}\) sind \(600\,\text{l}\) erreicht.

a) \(V(t)=15t+120\) b) \(420\,\text{l}\) c) \(32\,\text{min}\)

- Welche allgemeine Form hat eine lineare Funktionsgleichung in diesem Thema? - Wie berechnest du die Steigung aus zwei gegebenen Punkten? - Wie kannst du danach einen der Punkte nutzen, um den fehlenden \(y\)-Achsenabschnitt zu bestimmen?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{5-(-5)}{3-(-2)}=\frac{10}{5}=2\). 2. Einsetzen von \(B(3 \mid 5)\) in \(y=mx+t\) ergibt \(5=2 \cdot 3+t\). Daher ist \(t=-1\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(y=2x-1\).

\(y=2x-1\)

- Welche Eigenschaft haben die Steigungen paralleler Geraden? - Wie berechnest du die Steigung von \(f\) aus den beiden Punkten? - Wie kannst du mit dem Punkt \(P\) den noch fehlenden \(y\)-Achsenabschnitt von \(g\) bestimmen?

1. Die Steigung der Geraden \(f\) ist \(m=\frac{4-1}{2-(-4)}=\frac{3}{6}=0{,}5\). 2. Weil \(g\) parallel zu \(f\) ist, hat \(g\) ebenfalls die Steigung \(m=0{,}5\). 3. Einsetzen von \(P(2 \mid -2)\) in \(y=mx+t\) ergibt \(-2=0{,}5 \cdot 2+t\). Daher ist \(t=-3\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(g:y=0{,}5x-3\).

\(g:y=0{,}5x-3\)

- Was gilt für die Steigungen paralleler Geraden? - Wie kannst du einen bekannten Punkt nutzen, wenn die Steigung feststeht? - Welche allgemeine Form hat die Geradengleichung in diesem Thema?

1. Weil \(g\) parallel zu \(h\) ist, gilt für die Steigung \(m=-2\). 2. Einsetzen von \(P(3 \mid 4)\) in \(y=mx+t\) ergibt \(4=-2 \cdot 3+t\). 3. Daraus folgt \(t=10\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(g:y=-2x+10\).

\(g:y=-2x+10\)

- Welcher Wert beschreibt die Wassermenge zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Wie kannst du aus der Änderung in \(40\) Minuten die Änderung pro Minute bestimmen? - Welchen Funktionswert hat die Wassermenge, wenn die Tonne leer ist?

1. Zu Beginn, also bei \(t=0\), enthält die Tonne \(300\,\text{l}\). Dieser Wert ist der Anfangswert des Modells. 2. Aus den Punkten \((0|300)\) und \((40|220)\) folgt \(m = \frac{220-300}{40-0} = -2\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(V(t) = -2t + 300\). 3. Für eine leere Tonne gilt \(V(t)=0\): \(0=-2t+300\). 4. Daraus folgt \(t=150\). Die Tonne ist nach \(150\,\text{Minuten}\) leer.

a) \(V(t) = -2t + 300\) b) Nach \(150\,\text{Minuten}\)

- Welche Länge zeigt die Tabelle bei einer Masse von \(0\,\text{g}\)? - Wie kannst du aus zwei Tabellenpaaren die konstante Änderung der Länge pro Gramm bestimmen? - Welche Bedeutung haben Anfangswert und Änderungsrate im Experiment?

1. Aus der Tabelle folgt für \(x=0\) die Länge \(12\,\text{cm}\). Daher ist \(t=12\). 2. Mit den Punkten \((0 \mid 12)\) und \((50 \mid 14{,}5)\) ergibt sich \(m=\frac{14{,}5-12}{50-0}=\frac{2{,}5}{50}=0{,}05\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=0{,}05x+12\). 4. Der Achsenabschnitt \(t=12\) beschreibt die Ausgangslänge der unbelasteten Feder von \(12\,\text{cm}\). Die Steigung \(m=0{,}05\) bedeutet, dass die Feder pro zusätzlichem Gramm Masse um \(0{,}05\,\text{cm}\) länger wird.

a) \(f(x)=0{,}05x+12\) b) \(t=12\) beschreibt die unbelastete Federlänge von \(12\,\text{cm}\); \(m=0{,}05\) beschreibt die Längenzunahme in \(\text{cm}\) pro Gramm.

- Welche allgemeine Form hat die Funktionsgleichung einer linearen Funktion in diesem Thema? - Wie kannst du den gegebenen Punkt nutzen, um den noch unbekannten Achsenabschnitt zu bestimmen? - Welche Gleichung entsteht, wenn der Funktionswert vorgegeben ist und der zugehörige \(x\)-Wert gesucht wird?

1. Die lineare Funktion hat die Form \(f(x)=mx+t\) mit \(m=-2\). 2. Einsetzen von \(P(4|1)\) ergibt \(1=-2 \cdot 4+t\), also \(t=9\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=-2x+9\). 4. Für den gesuchten Wert gilt \(11=-2x+9\). 5. Daraus folgt \(x=-1\).

Der gesuchte Wert ist \(x=-1\).

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Welche Koordinate ist an jedem Punkt der \(y\)-Achse gleich Null? - Welche Koordinate ist an jedem Punkt der \(x\)-Achse gleich Null?

1. Einsetzen von \(P(4|-2)\) ergibt \(-2=0{,}5 \cdot 4+t\). 2. Daraus folgt \(t=-4\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=0{,}5x-4\). 3. Für \(x=0\) ist \(f(0)=-4\), also \(S_y(0|-4)\). 4. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=0{,}5x-4\). Daraus folgt \(x=8\), also \(S_x(8|0)\).

\(t=-4\); \(S_y(0|-4)\) und \(S_x(8|0)\)

- Überlege dir, wie viel Wasser am Anfang in der Tonne ist. - Wie verändert sich die Menge jede Minute? - Welche mathematische Form hat eine gleichmäßige Abnahme? - Was bedeutet es für den Wert des Volumens, wenn die Tonne leer ist?

1. Aufstellen der linearen Funktion mit Startwert \(150\) und Abnahmerate \(5\): \(V(t) = 150 - 5t\). 2. Interpretation: Der \(y\)-Achsenabschnitt \(150\) stellt das anfängliche Wasservolumen in Litern dar. Die Steigung \(-5\) gibt an, dass das Volumen pro Minute um \(5\,\text{Liter}\) abnimmt. 3. Berechnung für \(t = 12\): \(V(12) = 150 - 5 \cdot 12 = 150 - 60 = 90\). Das Restvolumen beträgt \(90\,\text{Liter}\). 4. Nullstelle berechnen: \(0 = 150 - 5t \Rightarrow 5t = 150 \Rightarrow t = 30\). Die Tonne ist nach \(30\,\text{Minuten}\) leer.

a) \(V(t) = 150 - 5t\) b) Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Startwert (\(150\,\text{l}\)), die Steigung beträgt \(-5\,\text{l/min}\) und beschreibt die Abnahme durch den Abfluss. c) Nach \(12\,\text{Minuten}\) sind noch \(90\,\text{Liter}\) enthalten. d) Die Tonne ist nach \(30\,\text{Minuten}\) leer.

- Welche Zahl in \(f(x)=mx+t\) beschreibt den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Wie bestimmst du die Steigung aus horizontaler und vertikaler Änderung eines Steigungsdreiecks? - Was gilt für den Achsenabschnitt einer Ursprungsgeraden?

1. In a) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=2\). Die Steigung ist \(m=\frac{-1}{3}\). Daher gilt \(f(x)=-\frac{1}{3}x+2\). 2. In b) ist durch \(P(0|-1{,}5)\) der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-1{,}5\) gegeben. Aus dem Steigungsdreieck folgt \(m=2{,}5\). Daher gilt \(f(x)=2{,}5x-1{,}5\). 3. In c) gilt für eine Ursprungsgerade \(t=0\). Aus dem Steigungsdreieck folgt \(m=\frac{3}{4}\). Daher gilt \(f(x)=\frac{3}{4}x\).

a) \(f(x)=-\frac{1}{3}x+2\) b) \(f(x)=2{,}5x-1{,}5\) c) \(f(x)=\frac{3}{4}x\)

- Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, müssen seine Koordinaten die Geradengleichung erfüllen. - Bestimme zuerst den unbekannten Koeffizienten und schreibe danach die vollständige Gleichung auf. - Prüfe den zweiten Punkt unabhängig durch Einsetzen seiner Koordinaten.

1. \(x=2\) und \(y=-3\) einsetzen: \(2a+5(-3)=-11\). 2. Vereinfachen: \(2a-15=-11 \Rightarrow 2a=4 \Rightarrow a=2\). 3. Die Geradengleichung lautet damit \(2x+5y=-11\). 4. Für \((1|-2)\) ergibt die linke Seite \(2\cdot1+5(-2)=-8\). 5. Da \(-8\neq-11\), liegt der Punkt \((1|-2)\) nicht auf der Geraden.

a) \(a=2\); die Geradengleichung lautet \(2x+5y=-11\). b) Nein, \((1|-2)\) liegt nicht auf der Geraden.

- Welche Rechenoperationen verbinden laut Beschreibung den \(x\)-Wert mit dem \(y\)-Wert? - Wie kannst du prüfen, ob ein gegebenes Koordinatenpaar die aufgestellte Beziehung erfüllt? - Welche Größe ist in Teil c) gegeben und welche soll aus derselben Beziehung bestimmt werden?

1. Die sprachliche Beziehung entspricht \(y=2x+4\). 2. Für \(A(3|10)\) gilt \(2 \cdot 3+4=10\). Daher liegt \(A\) auf der Geraden. 3. Für \(B(-2|1)\) gilt \(2 \cdot (-2)+4=0\). Da \(0 \ne 1\), liegt \(B\) nicht auf der Geraden. 4. Für \(C\) gilt \(15=2x+4\). Daraus folgt \(x=5{,}5\).

a) \(y=2x+4\) b) \(A\) liegt auf der Geraden; \(B\) liegt nicht auf der Geraden. c) \(x=5{,}5\)

- Wie kannst du aus den beiden Punkten zuerst die Steigung bestimmen? - Welche allgemeine Form soll die gesuchte Geradengleichung haben? - Welchen Funktionswert hat eine Nullstelle? - Welche Bedingung erfüllt der Achsenabschnitt einer Ursprungsgeraden?

1. Aus den Punkten folgt \(m=\frac{2-5}{-2-4}=0{,}5\). 2. Mit \(A(4|5)\) gilt \(5=0{,}5 \cdot 4+t\), also \(t=3\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=0{,}5x+3\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=0{,}5x+3\). Daraus folgt \(x=-6\). 4. Eine Ursprungsgerade hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(0\). Hier ist \(t=3\), also verläuft der Graph nicht durch den Ursprung.

a) \(f(x)=0{,}5x+3\) b) \(x=-6\) c) Nein, da \(t=3 \ne 0\).

- Welche Größen der Geradengleichung kennst du bereits? - Wie kannst du den gegebenen Punkt verwenden, um den Achsenabschnitt zu bestimmen? - Welche Koordinate ist an einem Punkt auf der \(y\)-Achse beziehungsweise der \(x\)-Achse gleich Null?

1. Für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) gilt mit \(P\): \(1=-0{,}75 \cdot 4+t\). Daraus folgt \(t=4\). 2. Die Geradengleichung lautet \(y=-0{,}75x+4\). 3. Für \(x=0\) ist \(y=4\), also \(S_y(0|4)\). 4. Für \(y=0\) gilt \(0=-0{,}75x+4\). Daraus folgt \(x=\frac{16}{3}\), also \(S_x(\frac{16}{3}|0)\).

\(S_y(0|4)\) und \(S_x(\frac{16}{3}|0)\)

- Wie berechnet man das Verhältnis der vertikalen zur horizontalen Änderung zwischen zwei Punkten? - Wenn du die Steigung kennst, wie kannst du einen der Punkte nutzen, um den Achsenabschnitt zu finden? - Was gibt die Steigung über die Steilheit einer Geraden an?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(t\): Einsetzen von \(A(1 | 4)\) in \(y = 3x + t\) ergibt \(4 = 3 \cdot 1 + t\), also \(t = 1\). 3. Funktionsgleichung: \(f(x) = 3x + 1\). 4. Steigung: \(m = 3\). 5. Veränderung bei Halbierung der Steigung: Die neue Steigung ist \(m_{neu} = 1{,}5\). Der Graph verläuft flacher, steigt aber weiterhin an.

a) \(f(x) = 3x + 1\) b) \(m = 3\) c) Der Graph wird flacher (die Steigung nimmt ab).

- Welche zwei Punkte des linearen Modells sind durch die Angaben gegeben? - Wie bestimmst du aus ihnen die konstante Änderung pro Minute? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei \(x=0\)? - Welche Gleichung beschreibt den Zeitpunkt, an dem \(100\,\%\) erreicht werden?

1. Die Steigung beträgt \(m=\frac{45-15}{20-0}=1{,}5\). Der Ladestand steigt also pro Minute um \(1{,}5\) Prozentpunkte. 2. Der Anfangswert bei \(x=0\) ist \(15\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(y=1{,}5x+15\). 3. Für \(y=100\) gilt \(100=1{,}5x+15\). Daraus folgt \(85=1{,}5x\) und \(x=\frac{170}{3}\approx 56{,}7\).

a) \(y=1{,}5x+15\) b) Der Ladestand steigt im Modell um \(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute. c) Nach \(\frac{170}{3}\,\text{min}\approx 56{,}7\,\text{min}\).

- Welche beiden Informationen beschreiben Anfangswert und Änderung der Kerzenhöhe? - Welche Höhe entspricht der Hälfte des Anfangswerts? - Welchen Funktionswert hat die Kerzenhöhe beim vollständigen Abbrennen?

1. Die Anfangshöhe beträgt \(20\,\text{cm}\), die Änderungsrate \(-2{,}5\,\text{cm/h}\). Daher lautet das Modell \(h(t)=-2{,}5t+20\). 2. Die halbe Anfangshöhe beträgt \(10\,\text{cm}\). Aus \(10=-2{,}5t+20\) folgt \(t=4\). Nach \(4\,\text{Stunden}\) ist die Kerze halb so hoch wie zu Beginn. 3. Beim vollständigen Abbrennen gilt \(h(t)=0\). Aus \(0=-2{,}5t+20\) folgt \(t=8\). Die Kerze ist nach \(8\,\text{Stunden}\) abgebrannt.

a) \(h(t)=-2{,}5t+20\) b) Nach \(4\,\text{Stunden}\) c) Nach \(8\,\text{Stunden}\)

- Welcher Wert beschreibt die Temperatur zum Zeitpunkt Null? - Welches Vorzeichen hat die Steigung, wenn die Temperatur gleichmäßig sinkt? - Wie kannst du eine vorgegebene Zieltemperatur verwenden, um die zugehörige Zeit zu bestimmen?

1. Die lineare Funktion hat die Form \(y=mx+t\). Der Anfangswert ist \(t=22\), die Änderungsrate \(m=-4\). Damit gilt \(y=-4x+22\). 2. Für \(x=5{,}5\) ist \(y=-4 \cdot 5{,}5+22=0\). Nach \(5{,}5\,\text{Stunden}\) beträgt die Temperatur \(0\,^\circ\text{C}\). 3. Für die Zieltemperatur gilt \(-18=-4x+22\). Daraus folgt \(x=10\). Die Zieltemperatur wird nach \(10\,\text{Stunden}\) erreicht.

1) \(y=-4x+22\) 2) \(0\,^\circ\text{C}\) 3) Nach \(10\,\text{Stunden}\)

- Wie kannst du die Gleichung zunächst durch Auflösen der Klammern vereinfachen? - Welche Terme müssen auf welche Seite gebracht werden, damit \(y\) allein steht? - Wie kannst du aus der expliziten Form konkrete Lösungspaare erzeugen? - Welche geometrische Menge stellen alle Lösungspaare einer linearen Gleichung mit zwei Variablen dar?

1. Klammern auflösen: \(3x+6y-5=4x+7y-2\). 2. Umformen ergibt \(-y=x+3\). 3. Daher ist \(y=-x-3\). 4. Für \(x=0\) ergibt sich \(y=-3\), also \((0|-3)\). Für \(x=1\) ergibt sich \(y=-4\), also \((1|-4)\). 5. Für jeden reellen Wert von \(x\) lässt sich genau ein zugehöriger Wert von \(y\) bestimmen. Daher gibt es unendlich viele Lösungspaare; grafisch bilden sie eine Gerade.

a) \(y=-x-3\) b) Zum Beispiel \((0|-3)\) und \((1|-4)\) c) Es gibt unendlich viele Lösungen; sie bilden die Punkte einer Geraden.

- Welche Änderung des Zisterneninhalts gehört zum Zeitraum zwischen den beiden Messungen? - Welches Vorzeichen hat die Steigung, wenn Wasser entnommen wird? - Wie kannst du von einem späteren Messwert auf den Inhalt bei \(t=0\) zurückrechnen? - Welchen Funktionswert hat der Inhalt, wenn die Zisterne leer ist?

1. Zwischen Tag \(5\) und Tag \(12\) sinkt der Inhalt um \(350\,\text{l}\) in \(7\,\text{Tagen}\). Der tägliche Verbrauch beträgt daher \(350:7=50\,\text{l/Tag}\); die Steigung des Modells ist \(-50\). 2. Vom fünften Tag aus zurückgerechnet ergibt sich für den Anfangsbestand \(1200+5 \cdot 50=1450\,\text{l}\). 3. Damit lautet das lineare Modell \(V(t)=-50t+1450\). 4. Für eine leere Zisterne gilt \(V(t)=0\). Aus \(0=-50t+1450\) folgt \(t=29\). Nach \(29\,\text{Tagen}\) ist der Vorrat aufgebraucht.

a) \(50\,\text{l/Tag}\) b) Anfangsbestand: \(1450\,\text{l}\); \(V(t)=-50t+1450\) c) Nach \(29\,\text{Tagen}\)

- Wo schneidet jede Gerade die \(y\)-Achse? - Welche zwei Gitterpunkte eignen sich jeweils für ein Steigungsdreieck? - Wie bestimmst du aus Höhen- und Breitenunterschied die Steigung und ihr Vorzeichen? - Wie setzt du Steigung und Achsenabschnitt in \(y=mx+t\) ein?

1. Der Graph von \(f\) schneidet die \(y\)-Achse bei \((0|-1)\), also ist \(t_1=-1\). Zwischen \((0|-1)\) und \((2|0)\) gilt \(m_1=\frac{1}{2}=0{,}5\). Daher lautet die Gleichung \(f(x)=0{,}5x-1\). 2. Der Graph von \(g\) schneidet die \(y\)-Achse bei \((0|3)\), also ist \(t_2=3\). Zwischen \((0|3)\) und \((2|0)\) gilt \(m_2=-\frac{3}{2}=-1{,}5\). Daher lautet die Gleichung \(g(x)=-1{,}5x+3\).

a) \(t_1=-1\), \(m_1=0{,}5\); \(f(x)=0{,}5x-1\) b) \(t_2=3\), \(m_2=-1{,}5\); \(g(x)=-1{,}5x+3\)

- Prüfe zuerst Achsenbeschriftungen und Skalierung des Diagramms. - Welche zwei gut ablesbaren Punkte eignen sich, um die stündliche Änderung zu bestimmen? - Wie kombinierst du die Änderung mit dem gegebenen Anfangsvolumen zu einem linearen Modell? - Welchen Funktionswert hat das Volumen bei einem leeren Behälter?

1. Bei einem Volumen von \(4{,}5\,\text{m}^3\) liest man am Graphen \(t=5\,\text{h}\) ab. 2. Aus zwei geeigneten Punkten des Graphen ergibt sich die Steigung \(-1{,}5\,\text{m}^3/\text{h}\). Das Volumen nimmt also pro Stunde um \(1{,}5\,\text{m}^3\) ab. 3. Mit dem Anfangswert \(12\,\text{m}^3\) lautet das Modell \(V(t)=12-1{,}5t\). 4. Für den leeren Behälter gilt \(0=12-1{,}5t\). Daraus folgt \(t=8\,\text{h}\).

a) Nach \(5\,\text{h}\) b) Änderung: \(-1{,}5\,\text{m}^3/\text{h}\); \(V(t)=12-1{,}5t\); leer nach \(8\,\text{h}\)

- Kannst du die genauen Koordinaten der beiden markierten Punkte auf jeder Geraden ablesen? - Wie berechnet man die Steigung \(m\) mithilfe von zwei gegebenen Punkten? Erinnere dich an die Formel für das Steigungsdreieck. - Wo schneidet die Gerade die \(y\)-Achse? Dieser Wert entspricht dem \(y\)-Achsenabschnitt \(t\). - Setze die ermittelten Werte für \(m\) und \(t\) am Ende in die allgemeine Form \(y = mx + t\) ein.

1. **Gerade \(f\):** - Die zwei markierten Punkte sind \(P_1(0 \mid -1)\) und \(P_2(3 \mid 1)\). - Da der Punkt \(P_1\) auf der \(y\)-Achse liegt, lässt sich der \(y\)-Achsenabschnitt direkt ablesen: \(t = -1\). - Die Steigung \(m\) wird mit der Formel \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) berechnet: \(m = \frac{1 - (-1)}{3 - 0} = \frac{2}{3}\). - Die Funktionsgleichung für \(f\) lautet somit: \(y = \frac{2}{3}x - 1\). 2. **Gerade \(g\):** - Die zwei markierten Punkte sind \(Q_1(-1 \mid 3)\) und \(Q_2(1 \mid -1)\). - Die Steigung \(m\) wird berechnet durch: \(m = \frac{-1 - 3}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2\). - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 1)\), woraus sich \(t = 1\) ergibt. (Alternativ durch Einsetzen eines Punktes in \(y = -2x + t\): \(-1 = -2 \cdot 1 + t \implies t = 1\)). - Die Funktionsgleichung für \(g\) lautet somit: \(y = -2x + 1\).

Gerade \(f\): \(m = \frac{2}{3}\), \(t = -1\), \(y = \frac{2}{3}x - 1\); Gerade \(g\): \(m = -2\), \(t = 1\), \(y = -2x + 1\).

- Lies bei jeder Geraden zuerst den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ab. - Suche zusätzlich einen gut ablesbaren Gitterpunkt auf jeder Geraden. - Vergleiche die waagerechte und senkrechte Änderung zwischen zwei Punkten, um die Steigung zu bestimmen. - Achte darauf, dass eine von links nach rechts fallende Gerade eine negative Steigung hat.

1. Bei \(f\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 1\). Mit den Punkten \((0 \mid 1)\) und \((2 \mid 4)\) ist \(m = \frac{4-1}{2-0} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). Daher gilt \(y = 1{,}5x + 1\). 2. Bei \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = -2\). Mit den Punkten \((0 \mid -2)\) und \((2 \mid -3)\) ist \(m = \frac{-3-(-2)}{2-0} = -\frac{1}{2} = -0{,}5\). Daher gilt \(y = -0{,}5x - 2\). 3. Bei \(h\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 3\). Mit den Punkten \((0 \mid 3)\) und \((3 \mid 0)\) ist \(m = \frac{0-3}{3-0} = -1\). Daher gilt \(y = -x + 3\).

Gerade \(f\): \(y = 1{,}5x + 1\) oder \(y = \frac{3}{2}x + 1\); Gerade \(g\): \(y = -0{,}5x - 2\) oder \(y = -\frac{1}{2}x - 2\); Gerade \(h\): \(y = -x + 3\).

- Lies zuerst die Koordinaten der beiden markierten Punkte sorgfältig ab. - Vergleiche die Änderung der \(y\)-Werte mit der Änderung der \(x\)-Werte. - Wenn die Steigung feststeht, kannst du einen markierten Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzen. - Nutze den Schnittpunkt mit der senkrechten Achse erst danach als Kontrolle deiner Rechnung.

1. Aus der Grafik liest man \(P_1(1 \mid 5)\) und \(P_2(4 \mid -1)\) ab. 2. Die Steigung ist \(m = \frac{-1-5}{4-1} = \frac{-6}{3} = -2\). 3. Einsetzen von \(P_1\) in \(g(x)=mx+t\) ergibt \(5 = -2 \cdot 1 + t\), also \(t = 7\). Die Grafik bestätigt den Schnittpunkt \((0 \mid 7)\). 4. Damit lautet die Funktionsgleichung \(g(x) = -2x + 7\).

a) \(m=-2\) b) \(t=7\); die Grafik bestätigt den \(y\)-Achsenabschnitt bei \((0 \mid 7)\). c) \(g(x)=-2x+7\)

- Vergleiche zuerst die Schnittpunkte der vier Geraden mit der senkrechten Achse. - Suche für jede Gerade zusätzlich einen gut ablesbaren Gitterpunkt. - Ein Steigungsdreieck zeigt, wie sich der Funktionswert bei einer waagerechten Änderung verändert. - Vergleiche nach dem Aufstellen der Gleichungen besonders die konstanten Glieder.

1. Für \(g_1\) kann man \((0 \mid 2)\) und \((2 \mid 4)\) verwenden. Damit ist \(m=\frac{4-2}{2-0}=1\) und \(g_1: y=x+2\). 2. Für \(g_2\) kann man \((0 \mid 2)\) und \((1 \mid 0)\) verwenden. Damit ist \(m=\frac{0-2}{1-0}=-2\) und \(g_2: y=-2x+2\). 3. Für \(g_3\) kann man \((0 \mid 2)\) und \((4 \mid 4)\) verwenden. Damit ist \(m=\frac{4-2}{4-0}=0{,}5\) und \(g_3: y=0{,}5x+2\). 4. Für \(g_4\) kann man \((0 \mid 2)\) und \((4 \mid 0)\) verwenden. Damit ist \(m=\frac{0-2}{4-0}=-0{,}5\) und \(g_4: y=-0{,}5x+2\). 5. Alle vier Geraden haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(t=2\) und schneiden sich daher im Punkt \((0 \mid 2)\).

\(g_1: y=x+2\), \(g_2: y=-2x+2\), \(g_3: y=0{,}5x+2\), \(g_4: y=-0{,}5x+2\). Alle vier Geraden haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(t=2\).

- Lies zuerst bei jeder Geraden den Schnittpunkt mit der senkrechten Achse ab. - Suche anschließend einen zweiten gut ablesbaren Punkt auf jeder Geraden. - Vergleiche die Änderung der Funktionswerte mit der Änderung der \(x\)-Werte. - Die Zuordnungsvorschrift beschreibt mit denselben Termen, welchem Wert ein gegebenes \(x\) zugeordnet wird.

1. Bei \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-2\). Mit den Punkten \((0 \mid -2)\) und \((2 \mid 1)\) ergibt sich \(m=\frac{1-(-2)}{2-0}=\frac{3}{2}=1{,}5\). Damit lautet die Gleichung \(y=1{,}5x-2\) und die Zuordnungsvorschrift \(x \mapsto 1{,}5x-2\). 2. Bei \(h\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=3\). Mit den Punkten \((0 \mid 3)\) und \((3 \mid 0)\) ergibt sich \(m=\frac{0-3}{3-0}=-1\). Damit lautet die Gleichung \(y=-x+3\) und die Zuordnungsvorschrift \(x \mapsto -x+3\).

Gerade \(g\): \(y=1{,}5x-2\), Zuordnungsvorschrift \(x \mapsto 1{,}5x-2\); Gerade \(h\): \(y=-x+3\), Zuordnungsvorschrift \(x \mapsto -x+3\).

- Prüfe zuerst, ob eine der Geraden waagerecht verläuft. - Lies bei den übrigen Geraden den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ab. - Nutze zwei gut erkennbare Gitterpunkte, um die Steigung und ihr Vorzeichen zu bestimmen.

1. Die Gerade \(f\) verläuft waagerecht durch \(y=2\). Ihre Steigung ist \(m=0\), also lautet die Gleichung \(y=2\). 2. Bei \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\). Bei einer Änderung von \(1\) nach rechts fällt die Gerade um \(1\), also ist \(m=-1\). Damit gilt \(y=-x+1\). 3. Bei \(h\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-3\). Zwischen \((0 \mid -3)\) und \((3 \mid 0)\) gilt \(m=\frac{0-(-3)}{3-0}=1\). Damit gilt \(y=x-3\).

\(f: y=2\); \(g: y=-x+1\); \(h: y=x-3\)

- Lies zuerst den Schnittpunkt der Geraden mit der senkrechten Achse ab. - Suche danach einen zweiten Punkt, dessen Koordinaten sich genau am Gitter ablesen lassen. - Vergleiche die senkrechte Änderung mit der waagerechten Änderung zwischen den beiden Punkten.

1. Die Gerade schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0 \mid 1)\). Daher ist \(t=1\). 2. Mit den Punkten \((0 \mid 1)\) und \((2 \mid 2)\) ergibt sich \(m=\frac{2-1}{2-0}=\frac{1}{2}=0{,}5\). 3. Mit \(m=0{,}5\) und \(t=1\) lautet die Funktionsgleichung \(y=0{,}5x+1\).

a) \(t=1\) b) \(m=0{,}5\) c) \(y=0{,}5x+1\)

- Welche Werte entsprechen jeweils einem Gitterabstand auf der Zeit- und auf der Volumenachse? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du verwenden, um die Änderungsrate zu bestimmen? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei \(t=0\) in diesem Sachzusammenhang? - Wie kannst du dein rechnerisches Ergebnis anschließend am Graphen kontrollieren?

1. Aus dem Diagramm lassen sich zum Beispiel die Punkte \(P_1(0 \mid 10)\) und \(P_2(4 \mid 20)\) ablesen. 2. Die Steigung ist \(m=\frac{20-10}{4-0}=\frac{10}{4}=2{,}5\). Pro Minute kommen also \(2{,}5\,\text{l}\) hinzu. 3. Der Anfangswert beträgt \(10\,\text{l}\). Daher lautet die Funktionsgleichung \(V(t)=2{,}5t+10\). 4. Für \(t=6\) gilt \(V(6)=2{,}5\cdot 6+10=25\). 5. Im Graphen liegt bei \(t=6\) der Funktionswert \(25\), was das Ergebnis bestätigt.

a) \(V(t)=2{,}5t+10\) b) Nach \(6\,\text{min}\) befinden sich \(25\,\text{l}\) Wasser im Behälter.

- Welche Größen stehen auf den beiden Achsen, und wie kannst du den zu \(240\,\text{l}\) gehörenden Zeitwert ablesen? - Welchen Anfangswert zeigt der Graph bei \(t=0\)? - Welche zwei Punkte des Graphen eignen sich, um die konstante Änderungsrate zu bestimmen? - Wie kannst du mit der gefundenen Funktionsgleichung die Zeit zu einem vorgegebenen Volumen berechnen?

1. Im Graphen gehört zum Volumen \(240\,\text{l}\) die Zeit \(t=7\,\text{min}\). 2. Der Graph schneidet die Volumenachse bei \(100\,\text{l}\). Außerdem liegt zum Beispiel der Punkt \((7 \mid 240)\) auf dem Graphen. 3. Die Steigung beträgt \(m=\frac{240-100}{7-0}=20\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(V(t)=20t+100\). 4. Für \(V(t)=360\) gilt \(360=20t+100\). Daraus folgt \(260=20t\) und damit \(t=13\).

a) Nach \(7\,\text{min}\) sind \(240\,\text{l}\) im Tank. b) \(V(t)=20t+100\); \(360\,\text{l}\) werden nach \(13\,\text{min}\) erreicht.

- Wie kannst du im Graphen den Funktionswert zur Zeit \(4\,\text{h}\) ablesen? - Welchen Anfangswert zeigt der Graph bei \(t=0\)? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du verwenden, um die Änderungsrate zu bestimmen? - Wie lässt sich mit der Funktionsgleichung die Zeit zu einer vorgegebenen Höhe bestimmen?

1. Im Graphen lässt sich bei \(t=4\) die Höhe \(18\,\text{cm}\) ablesen. 2. Der Anfangswert beträgt \(24\,\text{cm}\). Zusammen mit dem Punkt \((4 \mid 18)\) ergibt sich die Steigung \(m=\frac{18-24}{4-0}=-1{,}5\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(h(t)=-1{,}5t+24\). 4. Für \(h(t)=9\) gilt \(9=-1{,}5t+24\). Daraus folgt \(-15=-1{,}5t\) und damit \(t=10\).

a) Nach \(4\,\text{h}\) ist die Kerze \(18\,\text{cm}\) hoch. b) \(h(t)=-1{,}5t+24\); die Höhe \(9\,\text{cm}\) wird nach \(10\,\text{h}\) erreicht.

- Welche Werte kannst du an den Schnittpunkten der Geraden mit der \(y\)-Achse direkt ablesen? - Wie kannst du den gemeinsamen Punkt \(S\) zusammen mit einem Achsenschnittpunkt zur Bestimmung der Steigung nutzen? - Welche Vorzeichen müssen die beiden Steigungen aufgrund des Verlaufs der Geraden haben?

1. Für \(f\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-2\). Vom Punkt \((0 \mid -2)\) zum Punkt \(S(2 \mid 1)\) gilt \(\Delta x=2\) und \(\Delta y=3\). Daher ist \(m=\frac{3}{2}=1{,}5\). 2. Somit gilt \(f: y=1{,}5x-2\). 3. Für \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=4\). Vom Punkt \((0 \mid 4)\) zum Punkt \(S(2 \mid 1)\) gilt \(\Delta x=2\) und \(\Delta y=-3\). Daher ist \(m=-\frac{3}{2}=-1{,}5\). 4. Somit gilt \(g: y=-1{,}5x+4\).

Für \(f\): \(m=1{,}5\), \(t=-2\) Für \(g\): \(m=-1{,}5\), \(t=4\)

- Was bedeutet es für die Steigung, wenn eine Gerade parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Welche Werte kannst du an den Schnittpunkten mit der \(y\)-Achse direkt ablesen? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte eignen sich bei \(b\), um die Steigung zu bestimmen?

1. Die Gerade \(a\) verläuft waagerecht. Daher ist ihre Steigung \(m=0\). Sie schneidet die \(y\)-Achse bei \(t=-3\), also gilt \(a: y=-3\). 2. Die Gerade \(b\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t=2\). Mit den Punkten \((0 \mid 2)\) und \((-1 \mid 5)\) ergibt sich \(m=\frac{5-2}{-1-0}=-3\). 3. Damit gilt \(b: y=-3x+2\).

Gerade \(a\): \(y=-3\) mit \(m=0\) und \(t=-3\) Gerade \(b\): \(y=-3x+2\) mit \(m=-3\) und \(t=2\)

- Welche beiden Achsenschnittpunkte kannst du bei jeder Geraden besonders sicher ablesen? - Welche Information liefert der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse über \(t\)? - Wie kannst du aus zwei Achsenschnittpunkten die Steigung berechnen?

1. Für \(f\) kann man den \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid 4)\) und die Nullstelle \((4 \mid 0)\) ablesen. Damit ist \(t=4\) und \(m=\frac{0-4}{4-0}=-1\). 2. Also gilt \(f(x)=-x+4\). 3. Für \(g\) kann man den \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid -2)\) und die Nullstelle \((1 \mid 0)\) ablesen. Damit ist \(t=-2\) und \(m=\frac{0-(-2)}{1-0}=2\). 4. Also gilt \(g(x)=2x-2\).

\(f(x)=-x+4\) \(g(x)=2x-2\)

- Welche Achsenschnittpunkte kannst du im Graphen besonders sicher ablesen? - Wie kannst du mit einem abgelesenen Punkt mehrere Antwortmöglichkeiten schnell prüfen? - Welche Gleichung muss alle Punkte des dargestellten Graphen erfüllen?

1. Aus dem Graphen lassen sich die Punkte \((0 \mid 6)\) und \((3 \mid 0)\) ablesen. 2. Antwort A erfüllt beide Punkte: \(2\cdot 0+6=6\) und \(2\cdot 3+0=6\). 3. Die anderen Gleichungen scheiden bereits beim Punkt \((0 \mid 6)\) aus: Bei B ergibt sich \(-6\), bei C \(12\) und bei D \(-12\) statt \(6\). 4. Alternativ ergibt sich aus den beiden Punkten die Steigung \(m=\frac{0-6}{3-0}=-2\) und der Achsenabschnitt \(t=6\). Damit gilt \(y=-2x+6\), also umgeformt \(2x+y=6\).

A: \(2x+y=6\)

- Welche besondere Lage hat jede der drei Geraden im Koordinatensystem? - Wie lässt sich bei der schrägen Geraden die Steigung aus zwei Punkten bestimmen? - Was muss für jeden \(x\)-Wert gelten, damit eine Gerade der Graph einer Funktion \(y=f(x)\) ist?

1. Die Gerade \(f\) verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und den Punkt \((2 \mid 3)\). Daher ist \(m=\frac{3-0}{2-0}=1{,}5\) und \(f: y=1{,}5x\). 2. Die Gerade \(g\) verläuft waagerecht durch \(y=-2\). Daher lautet ihre Gleichung \(g: y=-2\). 3. Die Gerade \(h\) verläuft senkrecht durch \(x=-4\). Daher lautet ihre Gleichung \(h: x=-4\). 4. \(f\) und \(g\) sind Funktionsgraphen, weil jedem \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert zugeordnet wird. \(h\) ist kein Graph einer Funktion \(y=f(x)\), weil für \(x=-4\) mehrere \(y\)-Werte auf der Geraden liegen.

\(f: y=1{,}5x\), \(g: y=-2\), \(h: x=-4\) Funktionsgraphen sind \(f\) und \(g\); \(h\) ist kein Graph einer Funktion \(y=f(x)\).

- Welche Werte kannst du an den Schnittpunkten der Geraden mit der \(y\)-Achse direkt ablesen? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte eignen sich jeweils für die Steigungsberechnung? - Woran erkennst du am Graphen das Vorzeichen der Steigung?

1. Für \(f\) liegt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(2\), also ist \(t=2\). Mit den Punkten \((0 \mid 2)\) und \((4 \mid 3)\) ergibt sich \(m=\frac{3-2}{4-0}=\frac{1}{4}=0{,}25\). Daher gilt \(f(x)=0{,}25x+2\). 2. Für \(g\) liegt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(1\), also ist \(t=1\). Mit dem Punkt \((4 \mid -2)\) ergibt sich \(m=\frac{-2-1}{4-0}=-\frac{3}{4}=-0{,}75\). Daher gilt \(g(x)=-0{,}75x+1\).

\(f(x)=0{,}25x+2\) und \(g(x)=-0{,}75x+1\)

- Vergleiche, wie sich die Funktionswerte ändern, wenn die Argumente jeweils um \(1\) zunehmen. - Nutze besonders das Wertepaar mit \(x=0\), um den konstanten Anteil der Regel zu erkennen. - Prüfe eine gefundene Regel an mindestens einem Tabellenwert.

1. Wenn das Argument um \(1\) größer wird, wird der Funktionswert jeweils um \(2\) kleiner. Bei \(x=0\) ist der Funktionswert \(1\). Eine passende Beschreibung lautet: Verdopple das Argument, ändere das Vorzeichen und addiere \(1\). 2. Ein passender Funktionsterm ist \(f(x)=1-2x\). 3. Für \(x=-1\) ergibt sich \(f(-1)=1-2\cdot(-1)=3\). Das stimmt mit der Tabelle überein.

a) Verdopple das Argument, ändere das Vorzeichen und addiere \(1\). b) \(f(x)=1-2x\) c) \(f(-1)=3\); der Term passt zur Tabelle.

- Rechne zuerst aus, um wie viele Prozentpunkte der Akkuladestand in einer Stunde sinkt. Bleibt dieser Wert zwischen allen Messpunkten gleich? - Wie viele Stunden sind von 10:00 Uhr bis 16:30 Uhr vergangen? - Wenn du weißt, wie viel der Akku pro Stunde verliert, kannst du ausrechnen, wie lange die verbleibende Akkuladung noch reicht. - Ein Term hilft dir, beliebige Zeiten einzusetzen. Was ist der Startwert und was wird abgezogen?

1. Durchschnittlicher Verbrauch (a): Von 10:00 bis 12:00 Uhr (2 h): \(100 - 84 = 16\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 12:00 bis 14:00 Uhr (2 h): \(84 - 68 = 16\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 14:00 bis 15:00 Uhr (1 h): \(68 - 60 = 8\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 15:00 bis 18:00 Uhr (3 h): \(60 - 36 = 24\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Der Verbrauch ist über den gesamten Zeitraum konstant. 2. Ladestand um 16:30 Uhr (b): Von 10:00 bis 16:30 Uhr sind \(6{,}5\,\text{Stunden}\) vergangen. Einsetzen ergibt \(100 - 8 \cdot 6{,}5 = 48\). Der Ladestand beträgt \(48\,\%\). 3. Zeitpunkt für \(0\,\%\) (c): \(100 - 8x = 0 \Rightarrow 8x = 100 \Rightarrow x = 12{,}5\). \(12{,}5\,\text{Stunden}\) nach 10:00 Uhr ist 22:30 Uhr. 4. Funktionsterm (d): Mit dem Startwert \(100\) und einer Abnahme von \(8\) Prozentpunkten pro Stunde gilt \(y = 100 - 8x\).

a) Der Verbrauch ist konstant und beträgt \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. b) Um 16:30 Uhr beträgt der Ladestand \(48\,\%\). c) Der Akku wird um 22:30 Uhr leer sein. d) Der Term lautet \(y = 100 - 8x\).

- Welche Kosten fallen unabhängig von der Strecke an? - Welcher Anteil wächst mit jedem gefahrenen Kilometer? - Für den letzten Teil ist der Gesamtpreis gegeben; setze ihn in die Zuordnung ein.

1. Der Gesamtpreis besteht aus dem Grundpreis und dem kilometerabhängigen Anteil. Daher gilt \(y=2{,}20x+4{,}50\). 2. Die Konstante \(4{,}50\,\text{€}\) ist der feste Grundpreis, der unabhängig von der gefahrenen Strecke anfällt. 3. Für \(y=26{,}50\) gilt \(26{,}50=2{,}20x+4{,}50\). Daraus folgen \(22=2{,}20x\) und \(x=10\).

a) \(y=2{,}20x+4{,}50\) b) \(4{,}50\,\text{€}\) ist der streckenunabhängige Grundpreis. c) Der Fahrgast ist \(10\,\text{km}\) gefahren.

- Was passiert mit der Höhe, wenn die Zeit verstreicht? Startet die Höhe bei Null? - Wie viel Zentimeter verliert die Kerze in einer einzigen Stunde? - Kannst du eine Formel schreiben, die mit der Anfangshöhe beginnt?

1. Prüfung der Proportionalität: Eine proportionale Zuordnung müsste bei \(0\,\text{h}\) den Wert \(0\,\text{cm}\) haben. Hier ist die Höhe bei \(0\,\text{h}\) jedoch \(30\,\text{cm}\). Die Zuordnung ist daher nicht proportional. 2. Berechnung der Abnahmerate: In \(4\,\text{h}\) verliert die Kerze \(30\,\text{cm} - 22\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). Die Rate beträgt \(8\,\text{cm} : 4\,\text{h} = 2\,\text{cm/h}\). 3. Aufstellen des Terms: Nach \(x\) Stunden wurden insgesamt \(2x\) Zentimeter abgebrannt. Daher gilt \(h(x) = 30 - 2x\) für \(0 \le x \le 15\). 4. Berechnung für \(x = 7{,}5\): \(h(7{,}5) = 30 - 2 \cdot 7{,}5 = 30 - 15 = 15\). Die Höhe beträgt \(15\,\text{cm}\).

a) Die Zuordnung ist nicht proportional, da sie nicht durch den Ursprung \((0|0)\) verläuft: Zu Beginn ist die Kerze \(30\,\text{cm}\) hoch. b) Solange die Kerze brennt, gilt \(h(x) = 30 - 2x\) für \(0 \le x \le 15\). c) Nach \(7{,}5\,\text{Stunden}\) ist die Kerze noch \(15\,\text{cm}\) hoch.

- Was weißt du über den Funktionswert an einer Nullstelle? Nutze dies, um die fehlende Zahl in der Gleichung zu finden. - Wie berechnet man den \(y\)-Wert eines Punktes, wenn die Funktionsgleichung und der \(x\)-Wert bekannt sind? - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Funktionen für denselben \(x\)-Wert.

1. Bestimmung von \(b\): Da die Nullstelle bei \(x = -2\) liegt, gilt \(p(-2) = 0\). \(3 \cdot (-2) + b = 0 \Rightarrow -6 + b = 0 \Rightarrow b = 6\). Die Funktionsgleichung lautet \(p(x) = 3x + 6\). 2. Berechnung des Punktes \(P\): Berechne \(p(1)\). \(p(1) = 3 \cdot 1 + 6 = 9\). Der Punkt ist \(P(1|9)\). 3. Vergleich mit \(q\): Berechne den Funktionswert \(q(1)\). \(q(1) = -2 \cdot 1 + 5 = 3\). 4. Da \(9 > 3\), liegt der Punkt \(P\) oberhalb des Graphen der Funktion \(q\).

a) Der Parameter ist \(b = 6\). b) Der Punkt \(P(1|9)\) liegt oberhalb des Graphen von \(q\), da \(p(1) = 9\) und \(q(1) = 3\).

- Welchen Wert der Funktionsgleichung kannst du direkt aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ablesen? - Überlege dir die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks und welche Größen gegeben sind. - Wenn du zwei Punkte des Graphen kennst, wie kannst du daraus die Steigung bestimmen?

1. Da der Punkt \(P(0 \mid 6)\) auf der \(y\)-Achse liegt, ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=6\). 2. Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks im ersten Quadranten ist \(A=\frac{1}{2} \cdot x_0 \cdot t\), wobei \(x_0\) die Nullstelle ist. 3. Einsetzen ergibt \(15=\frac{1}{2} \cdot x_0 \cdot 6\). Daraus folgt \(x_0=5\). 4. Mit den Punkten \((0 \mid 6)\) und \((5 \mid 0)\) ist \(m=\frac{0-6}{5-0}=-1{,}2\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x)=-1{,}2x+6\).

a) Die Nullstelle der Funktion \(g\) ist \(x=5\). b) Die Funktionsgleichung lautet \(g(x)=-1{,}2x+6\).

- Welche allgemeine Form hat eine lineare Funktionsgleichung in diesem Thema? - Welche Koordinate ist am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse immer \(0\)? - Setze den bekannten Achsenschnittpunkt in die Funktionsgleichung ein.

1. Mit der gegebenen Steigung hat die Funktion die Form \(g(x)=-0{,}75x+t\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(4 \mid 0)\). Daher gilt \(0=-0{,}75 \cdot 4+t\). 3. Aus \(0=-3+t\) folgt \(t=3\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x)=-0{,}75x+3\).

a) \(t=3\) b) \(g(x)=-0{,}75x+3\)

- Welchen Funktionswert hat ein Punkt auf der \(x\)-Achse? - Setze die bekannte Nullstelle in die gegebene Geradengleichung ein. - Vergleiche anschließend Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt der beiden Funktionen.

1. Da die Nullstelle bei \(x=6\) liegt, gilt \(f(6)=0\). Damit ist \(0=0{,}5 \cdot 6+t\), also \(t=-3\). 2. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=-3\). Somit ist der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(S_y(0 \mid -3)\). 3. Die Funktionen \(f\) und \(g\) haben dieselbe Steigung. Gegenüber \(g(x)=0{,}5x\) ist der Graph von \(f(x)=0{,}5x-3\) um \(3\) Einheiten nach unten verschoben.

a) \(t=-3\) b) \(S_y(0 \mid -3)\) c) Der Graph von \(g\) wird um \(3\) Einheiten nach unten verschoben.

- Achte genau auf die Richtungen im Steigungsdreieck: „nach links“ bedeutet eine negative Änderung in \(x\)-Richtung. - Wie kannst du einen bekannten Punkt nutzen, wenn die Steigung schon feststeht? - Setze die Punktkoordinaten in die allgemeine Form \(y=mx+t\) ein.

1. „\(5\) Einheiten nach links“ bedeutet \(\Delta x=-5\), „\(2\) Einheiten nach oben“ bedeutet \(\Delta y=2\). Daher ist \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2}{-5}=-0{,}4\). 2. Einsetzen von \(m=-0{,}4\) und \(P(2 \mid 1)\) in \(y=mx+t\) ergibt \(1=-0{,}4 \cdot 2+t\). 3. Daraus folgt \(t=1{,}8\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(h(x)=-0{,}4x+1{,}8\).

\(m=-0{,}4\), \(t=1{,}8\) und \(h(x)=-0{,}4x+1{,}8\)

- Wenn zwei Geraden parallel sind, was wissen wir dann über ihr \(m\)? - Überlege dir bei einer horizontalen Geraden: Ändert sich der \(y\)-Wert, wenn du auf der Geraden nach links oder rechts gehst? - Führe die Änderungen Schritt für Schritt nacheinander an den Werten für \(m\) und \(t\) durch.

1. Parallelität zu \(p(x) = -4x + 10\) bedeutet gleiche Steigung, also \(m = -4\). Der \(y\)-Achsenabschnitt von \(q(x) = 0{,}5x - 2\) ist \(t = -2\). Somit lautet die Gleichung \(h(x) = -4x - 2\). 2. Eine horizontale Gerade hat die Steigung \(m = 0\). Wenn sie durch den Punkt \(P(5|3)\) verläuft, muss der \(y\)-Wert für alle \(x\) gleich \(3\) sein, also ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 3\). Die Gleichung lautet \(h(x) = 3\). 3. Die Ausgangsfunktion ist \(f(x) = 1 \cdot x + 0\). Verdopplung der Steigung führt zu \(m = 1 \cdot 2 = 2\). Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten bedeutet \(t = 0 - 3 = -3\). Die neue Gleichung ist \(h(x) = 2x - 3\).

a) \(h(x) = -4x - 2\) b) \(m = 0\) und \(t = 3\); Gleichung: \(h(x) = 3\) c) \(h(x) = 2x - 3\)

- Was gilt für die Steigungen paralleler Geraden? - Wie kannst du mit einem gegebenen Punkt den noch fehlenden \(y\)-Achsenabschnitt bestimmen? - Woran erkennst du, dass zwei Geraden nicht nur parallel, sondern identisch sind?

1. Für \(h\) gilt wegen der Parallelität \(m=1{,}5\) und wegen des Achsenabschnitts \(t=4\). Damit ist \(h: y=1{,}5x+4\). 2. Für \(i\) gilt ebenfalls \(m=1{,}5\). Einsetzen von \(P(2 \mid 1)\) ergibt \(1=1{,}5 \cdot 2+t\), also \(t=-2\). Damit ist \(i: y=1{,}5x-2\). 3. Für \(j\) gilt wegen der Parallelität zur \(x\)-Achse \(m=0\). Der gemeinsame \(y\)-Achsenabschnitt mit \(g\) ist \(t=-2\), also \(j:y=-2\). 4. \(g\) und \(i\) haben dieselbe Gleichung und sind identisch. \(h\) hat dieselbe Steigung, aber einen anderen \(y\)-Achsenabschnitt und ist daher zu beiden echt parallel. \(j\) hat die Steigung \(0\) und ist zu keiner der drei anderen Geraden parallel.

\(h:y=1{,}5x+4\), \(i:y=1{,}5x-2\), \(j:y=-2\). \(g\) und \(i\) sind identisch; \(h\) ist zu \(g\) und \(i\) echt parallel; \(j\) ist zu keiner der drei anderen Geraden parallel.

- Welcher Teil der Kosten ist fix und welcher hängt vom Verbrauch ab? - Kannst du eine Gleichung der Form \(y = mx + n\) für diese Situation aufstellen? - Wie gehst du vor, wenn du prüfen willst, ob ein bestimmtes Wertepaar (Verbrauch in \(\text{kWh}\) und Kosten) die Gleichung erfüllt? - Was musst du tun, wenn der Endbetrag gegeben ist und der Verbrauch gesucht wird?

1. Aufstellen des Modells: Sei \(x\) der Verbrauch und \(y\) die Kosten. Die Gleichung lautet \(y = 0{,}80x + 18{,}50\). 2. Überprüfung für Teil a): Einsetzen von \(x = 40\) ergibt \(y = 0{,}80 \cdot 40 + 18{,}50 = 32 + 18{,}50 = 50{,}50\). Die Behauptung ist korrekt. 3. Berechnung für Teil b): Setze \(y = 74{,}50\) in die Gleichung ein: \(74{,}50 = 0{,}80x + 18{,}50\). 4. Subtraktion der Grundgebühr: \(56{,}00 = 0{,}80x\). 5. Division durch den Preis pro Kilowattstunde: \(x = 56 : 0{,}8 = 70\). Es wurden \(70\,\text{kWh}\) verbraucht.

a) Ja, die Angabe ist korrekt, da der Punkt \((40|50{,}50)\) die Funktionsgleichung erfüllt. b) Es wurden \(70\,\text{kWh}\) verbraucht.

- Vergleiche, um wie viel die Kosten und die Strecke zwischen den beiden Angaben zunehmen. - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei einer Strecke von \(0\,\text{km}\)? - Wenn das Kostenmodell feststeht, wie erhältst du die Kosten für eine bestimmte Strecke?

1. Die Kosten steigen von \(17{,}00\,\text{€}\) auf \(32{,}00\,\text{€}\), während die Strecke von \(10\,\text{km}\) auf \(25\,\text{km}\) steigt. Daher ist \(m=\frac{32-17}{25-10}=1\,\frac{\text{€}}{\text{km}}\). 2. Mit \(K(s)=ms+t\) und dem Wertepaar \((10 \mid 17)\) gilt \(17=10+t\). Somit ist \(t=7\), also beträgt die Grundgebühr \(7{,}00\,\text{€}\). 3. Die Kostenfunktion lautet \(K(s)=s+7\). 4. Für \(40\,\text{km}\) gilt \(K(40)=40+7=47\). Die Lieferung kostet \(47{,}00\,\text{€}\).

a) \(K(s)=s+7\) b) \(7{,}00\,\text{€}\) c) \(47{,}00\,\text{€}\)

- Wie kannst du mit der bekannten Steigung und einem Punkt den fehlenden \(y\)-Achsenabschnitt bestimmen? - Welche \(x\)-Werte sind bei einem Drittel-Bruch praktisch, wenn ganzzahlige Koordinaten entstehen sollen? - Wie prüfst du rechnerisch, ob ein gegebener Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt?

1. Mit \(y=mx+t\), \(m=-\frac{2}{3}\) und \(A(3 \mid 1)\) gilt \(1=-\frac{2}{3} \cdot 3+t\). Daraus folgt \(t=3\). 2. Somit lautet die Funktionsgleichung \(p(x)=-\frac{2}{3}x+3\). 3. Für einen weiteren ganzzahligen Punkt kann man zum Beispiel \(x=0\) wählen. Dann ist \(p(0)=3\), also liegt \(B(0 \mid 3)\) auf dem Graphen. 4. Für \(C\) gilt \(p(-6)=-\frac{2}{3} \cdot (-6)+3=7\). Der Punkt \(C(-6 \mid 7)\) liegt daher auf dem Graphen.

a) \(p(x)=-\frac{2}{3}x+3\) b) Zum Beispiel \(B(0 \mid 3)\) c) Ja, denn \(p(-6)=7\).

- Was verrät ein Punkt der Form \((0 \mid y)\) direkt über den \(y\)-Achsenabschnitt? - Wie berechnest du die Steigung aus den beiden gegebenen Punkten? - Welchen Funktionswert hat die Gerade an ihrer Nullstelle?

1. Da \(C(0 \mid 4)\) auf der \(y\)-Achse liegt, ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=4\). 2. Die Steigung ist \(m=\frac{2-4}{5-0}=-\frac{2}{5}=-0{,}4\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(y=-0{,}4x+4\). 4. Für die Nullstelle gilt \(0=-0{,}4x+4\). Daraus folgt \(x=10\).

a) \(y=-0{,}4x+4\) b) \(x=10\)

- Wie berechnest du die Steigung aus zwei Punkten? - Wie kannst du danach mit einem der Punkte den \(y\)-Achsenabschnitt bestimmen? - Wie prüfst du rechnerisch, ob ein weiterer Punkt die Geradengleichung erfüllt?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{3-2}{3-1}=\frac{1}{2}=0{,}5\). 2. Einsetzen von \(P(1 \mid 2)\) in \(y=mx+t\) ergibt \(2=0{,}5+t\). Damit ist \(t=1{,}5\). 3. Die Geradengleichung lautet \(y=0{,}5x+1{,}5\). 4. Für \(x=7\) ist \(0{,}5 \cdot 7+1{,}5=5\). Der berechnete Wert stimmt mit der \(y\)-Koordinate von \(R\) überein, daher liegt \(R\) auf der Geraden.

a) \(y=0{,}5x+1{,}5\) b) Ja, denn \(0{,}5 \cdot 7+1{,}5=5\).

- Welche Information über die Steigung liefert die Parallelität? - Welchen Funktionswert hat ein Punkt auf der \(x\)-Achse? - Wie kannst du mit der bekannten Steigung und dem Achsenschnittpunkt den fehlenden \(y\)-Achsenabschnitt bestimmen?

1. Weil \(k\) parallel zu \(h\) ist, gilt \(m=-1{,}5\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(4 \mid 0)\). 3. Einsetzen in \(y=mx+t\) ergibt \(0=-1{,}5 \cdot 4+t\). Daher ist \(t=6\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(k:y=-1{,}5x+6\).

\(k:y=-1{,}5x+6\)

- Bestimme zuerst die Steigung der ersten Geraden. - Welche Steigung muss die parallele zweite Gerade haben? - Wenn Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt bekannt sind, wie lautet die Geradengleichung? - Wie erhältst du anschließend die fehlende \(y\)-Koordinate von \(E\)?

1. Die Steigung von \(g_1\) ist \(m=\frac{-2-7}{1-(-2)}=-3\). 2. Wegen \(g_1 \parallel g_2\) hat \(g_2\) ebenfalls die Steigung \(m=-3\). 3. Mit dem gegebenen \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\) lautet die Gleichung von \(g_2\): \(y=-3x+1\). 4. Für \(E\) gilt \(y_E=-3 \cdot 3+1=-8\).

a) \(g_2:y=-3x+1\) b) \(y_E=-8\)

- Welches Vorzeichen hat die Änderungsrate, wenn die Höhe abnimmt? - Welche bekannte Höhe gehört zur Zeit \(t=3\)? - Wie kannst du von diesem späteren Wert auf die Anfangshöhe zurückrechnen?

1. Weil die Kerze pro Stunde um \(2{,}5\,\text{cm}\) kürzer wird, beträgt die Änderungsrate \(-2{,}5\,\frac{\text{cm}}{\text{h}}\). 2. Nach \(3\) Stunden gilt \(h(3)=18\). Daher hat das Modell die Form \(18=-2{,}5 \cdot 3+\text{Anfangswert}\). 3. Der Anfangswert beträgt \(25{,}5\,\text{cm}\). 4. Damit lautet die Funktionsgleichung \(h(t)=-2{,}5t+25{,}5\).

a) \(h(t)=-2{,}5t+25{,}5\) b) \(25{,}5\,\text{cm}\)

- Wie kannst du mit einer bekannten Steigung und einem Punkt den fehlenden \(y\)-Achsenabschnitt bestimmen? - Welchen Funktionswert hat eine Nullstelle? - Wie notierst du den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse?

1. Einsetzen von \(m=-2\) und \(A(4 \mid 6)\) in \(y=mx+t\) ergibt \(6=-2 \cdot 4+t\). 2. Daraus folgt \(t=14\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=-2x+14\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=-2x+14\). Daher ist \(x=7\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(7 \mid 0)\).

a) \(f(x)=-2x+14\) b) Nullstelle: \(x=7\); \(S_x(7 \mid 0)\)

- Welchen Wert liefert die Tabelle an der Stelle \(x=0\)? - Wie kannst du aus zwei Tabellenpunkten die Steigung bestimmen? - Wie prüfst du mit der fertigen Funktionsgleichung einen weiteren Punkt?

1. Aus der Tabelle folgt \(f(0)=-3\). Daher ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-3\). 2. Mit den Punkten \((-2 \mid -7)\) und \((0 \mid -3)\) ist \(m=\frac{-3-(-7)}{0-(-2)}=2\). Somit gilt \(f(x)=2x-3\). 3. Der fehlende Tabellenwert ist \(f(3)=2 \cdot 3-3=3\). 4. Für \(P\) gilt \(f(10)=2 \cdot 10-3=17\). Damit liegt \(P(10 \mid 17)\) auf dem Graphen.

a) \(f(x)=2x-3\) und \(f(3)=3\) b) Ja, denn \(f(10)=17\).

- Welche konstante Änderung von \(y\) gehört bei einer linearen Funktion zu einer bestimmten Änderung von \(x\)? - Wie verändert sich die Steigung in Teil b)? - Wie kannst du mit der neuen Steigung und dem festgehaltenen Punkt den neuen \(y\)-Achsenabschnitt bestimmen?

1. Die Steigung der ursprünglichen Funktion ist \(m=\frac{5{,}5-4}{5-2}=0{,}5\). 2. Von \(x=5\) bis \(x=11\) wächst \(x\) um \(6\). Daher wächst \(y\) um \(0{,}5 \cdot 6=3\), also ist \(y_3=8{,}5\). 3. Die neue Steigung lautet \(m_h=2 \cdot 0{,}5=1\). 4. Mit \((2 \mid 4)\) in \(h(x)=x+t_h\) gilt \(4=2+t_h\). Daher ist \(t_h=2\). 5. Die neue Funktionsgleichung lautet \(h(x)=x+2\).

a) \(y_3=8{,}5\) b) \(h(x)=x+2\)

- Wie berechnest du die Steigung zwischen den beiden gegebenen Punkten? - Wie kannst du danach einen Punkt nutzen, um den \(y\)-Achsenabschnitt zu bestimmen? - Welche Gleichung muss der Punkt \(C\) erfüllen?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{-2-7}{2-(-1)}=-3\). 2. Einsetzen von \(B(2 \mid -2)\) in \(y=-3x+t\) ergibt \(-2=-6+t\). Daher ist \(t=4\). 3. Die Geradengleichung lautet \(y=-3x+4\). 4. Für \(C\) gilt \(-11=-3x+4\). Daraus folgt \(x=5\).

a) \(y=-3x+4\) b) \(x=5\)

- Was gilt für die Steigungen paralleler Geraden? - Welche Information kannst du aus einem Punkt mit \(x=0\) direkt ablesen? - Welchen Funktionswert hat eine Nullstelle?

1. Aus \(P(0 \mid 3)\) folgt für \(g\) der \(y\)-Achsenabschnitt \(t_g=3\). Die Steigung ist \(m_g=\frac{5-3}{4-0}=0{,}5\). Damit gilt \(g(x)=0{,}5x+3\). 2. Weil \(h\) parallel zu \(g\) ist, gilt \(m_h=0{,}5\). Mit \(R(2 \mid 1)\) folgt \(1=0{,}5 \cdot 2+t_h\), also \(t_h=0\). Daher ist \(h(x)=0{,}5x\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=0{,}5x\). Somit ist \(x=0\) und \(S_x(0 \mid 0)\).

a) \(g(x)=0{,}5x+3\) und \(h(x)=0{,}5x\) b) Nullstelle: \(x=0\); \(S_x(0 \mid 0)\)

- Vergleiche den verwendeten Quotienten mit der Bedeutung der Steigung als Änderung in vertikaler Richtung pro horizontaler Änderung. - Achte beim Bilden von Differenzen darauf, beide Koordinaten in derselben Punktreihenfolge zu verwenden. - Wenn die Steigung feststeht, nutze einen der gegebenen Punkte, um den noch fehlenden Parameter der Geraden zu bestimmen.

1. Max hat Zähler und Nenner vertauscht: Er hat \(\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\) statt \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) berechnet. 2. Die korrekte Steigung ist \(m=\frac{1-5}{4-2}=-2\). 3. Einsetzen von \(C(2 \mid 5)\) in \(y=-2x+t\) ergibt \(5=-4+t\). Daher ist \(t=9\). 4. Die korrekte Geradengleichung lautet \(y=-2x+9\).

Max hat die Differenz der \(x\)-Werte durch die Differenz der \(y\)-Werte geteilt. Korrekt ist \(y=-2x+9\).

- Wie berechnest du die Steigung aus den Punkten \(A\) und \(B\)? - Wie kannst du danach die Geradengleichung bestimmen? - Welche Bedingung muss der Punkt \(C\) erfüllen, wenn er auf derselben Geraden liegt?

1. Die Steigung zwischen \(A\) und \(B\) ist \(m=\frac{10-4}{3-1}=3\). 2. Mit \(A(1 \mid 4)\) in \(y=3x+t\) gilt \(4=3+t\). Daher ist \(t=1\). 3. Die Geradengleichung lautet \(y=3x+1\). 4. Für \(C\) gilt \(19=3x+1\). Daraus folgt \(x=6\).

Die \(x\)-Koordinate von \(C\) ist \(6\).

- Vergleiche die Steigungen zwischen mehreren Punktpaaren. - Welcher Punkt passt nicht zur konstanten Steigung der anderen drei? - Welchen \(y\)-Achsenabschnitt kannst du aus einem Punkt mit \(x=0\) direkt ablesen? - Wie setzt du Steigung und Achsenabschnitt zur Geradengleichung zusammen?

1. Zwischen \(S\) und \(T\) ist \(m_{ST}=\frac{-1-(-7)}{0-(-2)}=3\). 2. Zwischen \(T\) und \(U\) ist \(m_{TU}=\frac{2-(-1)}{1-0}=3\). Damit liegen \(S,T,U\) auf einer Geraden. 3. Zwischen \(U\) und \(V\) ist \(m_{UV}=\frac{7-2}{3-1}=2{,}5\). Daher liegt \(V\) nicht auf dieser Geraden. 4. Aus \(T(0 \mid -1)\) folgt der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-1\). Mit \(m=3\) lautet die Geradengleichung \(y=3x-1\).

Der Punkt \(V(3 \mid 7)\) liegt nicht auf der Geraden. Für die übrigen drei Punkte gilt \(y=3x-1\).

- Welche Informationen aus dem Text kannst du als Punkte in einem Koordinatensystem darstellen? - Wie kannst du aus zwei Punkten die Änderung der Kerzenhöhe pro Stunde bestimmen? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert an der Stelle Null im Sachkontext? - Welchen Funktionswert hat die Kerzenhöhe beim vollständigen Abbrennen?

1. Aus den Punkten \(P_1(2|15)\) und \(P_2(5|9)\) folgt für die Steigung \(m = \frac{9-15}{5-2} = -2\). Die Kerze verliert also \(2\,\text{cm}\) pro Stunde. 2. Für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) gilt \(15 = -2 \cdot 2 + t\), also \(t = 19\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x) = -2x + 19\). 3. Zu Beginn ist die Kerze \(f(0) = 19\,\text{cm}\) hoch. 4. Beim vollständigen Abbrennen gilt \(f(x)=0\): \(0=-2x+19\), also \(x=9{,}5\). Die Kerze ist nach \(9{,}5\,\text{Stunden}\) abgebrannt. 5. Im Sachkontext gilt \(0 \le x \le 9{,}5\), weil weder eine negative Zeit noch eine negative Kerzenhöhe sinnvoll ist.

1. \(f(x) = -2x + 19\) 2. \(19\,\text{cm}\) 3. Nach \(9{,}5\,\text{Stunden}\) 4. \(x \in [0;9{,}5]\)

- Welche Größe beschreibt die Änderung des Wasservolumens pro Minute? - Wie kannst du aus den beiden Messpunkten zuerst die Änderungsrate bestimmen? - Was bedeutet der Funktionswert bei \(x=0\) in diesem Zusammenhang? - Achte beim Fassungsvermögen darauf, beide Volumenangaben in derselben Einheit zu verwenden.

1. Aus den Wertepaaren \((10|450)\) und \((25|825)\) folgt \(m = \frac{825-450}{25-10} = 25\). Die Zuflussrate beträgt \(25\,\text{l/min}\). 2. Für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) gilt \(450 = 25 \cdot 10 + t\), also \(t = 200\). Damit ist \(V(x) = 25x + 200\). 3. Bei \(x=0\) befinden sich \(200\,\text{Liter}\) im Becken. 4. Das Fassungsvermögen beträgt \(1{,}2\,\text{m}^3 = 1200\,\text{Liter}\). 5. Für ein volles Becken gilt \(1200 = 25x + 200\). Daraus folgt \(x=40\). Nach \(40\,\text{Minuten}\) ist das Becken voll.

1. \(V(x) = 25x + 200\) 2. \(200\,\text{Liter}\) 3. Nach \(40\,\text{Minuten}\)

- Welche beiden Punkte des linearen Modells kannst du aus dem Text ablesen? - Was beschreibt die Änderung der Kerzenhöhe pro Stunde? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei \(t=0\) im Sachzusammenhang?

1. Bei \(t=0\) ist die Kerze \(24\,\text{cm}\) hoch. Das ist der Anfangswert des Modells. 2. Aus den Punkten \((0|24)\) und \((3|18)\) folgt \(m = \frac{18-24}{3-0} = -2\). Damit lautet die Gleichung \(h(t) = -2t + 24\). 3. Die Steigung \(m=-2\) bedeutet, dass die Kerze pro Stunde um \(2\,\text{cm}\) kürzer wird. Der Anfangswert \(24\,\text{cm}\) ist die Kerzenhöhe zu Beginn. 4. Nach \(5\,\text{Stunden}\) gilt \(h(5)=-2 \cdot 5+24=14\). Die Kerze ist dann \(14\,\text{cm}\) hoch.

a) \(h(t) = -2t + 24\) b) Die Steigung \(m=-2\) beschreibt eine Abnahme um \(2\,\text{cm}\) pro Stunde. Der Anfangswert \(24\,\text{cm}\) ist die Höhe der Kerze zu Beginn. c) \(14\,\text{cm}\)

- Was passiert, wenn du alle bekannten Werte in die Steigungsformel einsetzt? - Wie kannst du eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen, die im Nenner steht? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Steigung mit deinem gefundenen Wert erneut berechnest.

1. Aufstellen der Steigungsformel mit den gegebenen Werten: \(m = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}\). 2. Einsetzen der bekannten Werte: \(-3 = \frac{8 - (-4)}{x - 2}\). 3. Vereinfachen des Zählers: \(-3 = \frac{12}{x - 2}\). 4. Umformen der Gleichung: \(-3(x - 2) = 12 \implies x - 2 = -4\). 5. Bestimmen von \(x\): \(x = -2\).

Die x-Koordinate des Punktes \(Q\) ist \(-2\).

- Welche zwei Punkte legen die gesuchte Gerade in Teil a) fest? - Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein gegebener Punkt auf einer Geraden liegt? - Denke für Teil c) an eine Gerade, die im Punkt \(A\) festgehalten wird: Wie verändert sich ihr Verlauf rechts von \(A\), wenn sie flacher wird?

1. Für die Gerade durch \(A\) und \(B\) gilt \(m = \frac{45-25}{20-10} = 2\). 2. Für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) gilt \(25 = 2 \cdot 10 + t\), also \(t=5\). Damit ist \(g(x)=2x+5\). 3. Für \(C(30|62)\) ergibt sich \(g(30)=2 \cdot 30+5=65\). Da \(65 \ne 62\), liegt \(C\) nicht auf der Geraden. 4. Bei \(x=30\) liegt der Wert der Geraden über dem Messwert von \(C\). Da die Gerade weiterhin durch \(A\) verlaufen soll, muss ihre Steigung verkleinert werden, damit sie bei größeren \(x\)-Werten flacher ansteigt.

a) \(g(x)=2x+5\) b) Nein. Es gilt \(g(30)=65 \ne 62\). c) Die Steigung muss verkleinert werden.

- Welche beiden Messpunkte beschreiben Zeit und Volumen? - Wie kannst du aus ihnen zuerst die Änderung des Volumens pro Minute bestimmen? - Was bedeutet der Funktionswert bei \(t=0\) im Sachzusammenhang? - Welche Gleichung beschreibt den Zeitpunkt, an dem das Fassungsvermögen erreicht ist?

1. Aus den Punkten \((10|1500)\) und \((25|3000)\) folgt \(m = \frac{3000-1500}{25-10}=100\). Pro Minute kommen \(100\,\text{Liter}\) hinzu. 2. Mit dem Messpunkt bei \(t=10\) gilt \(1500=100 \cdot 10+500\). Der Anfangswert beträgt also \(500\,\text{Liter}\), und das Modell lautet \(V(t)=100t+500\). 3. Bei \(t=0\) befinden sich nach dem Modell \(500\,\text{Liter}\) im Tank. 4. Für den vollen Tank gilt \(6000=100t+500\). Daraus folgt \(t=55\). Der Tank ist nach \(55\,\text{Minuten}\) voll.

a) \(V(t)=100t+500\) b) \(500\,\text{Liter}\) c) Nach \(55\,\text{Minuten}\)

- Welche Änderung der Kosten gehört zur Änderung der gefahrenen Kilometer zwischen den beiden Angaben? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei einer Strecke von \(0\,\text{km}\)? - Wie nutzt du die gefundene Funktionsgleichung für eine andere Fahrtstrecke?

1. Aus den Wertepaaren \((5|14{,}50)\) und \((12|28{,}50)\) folgt \(m = \frac{28{,}50-14{,}50}{12-5}=2\). Die Kosten steigen um \(2{,}00\,\text{€}\) pro gefahrenem Kilometer. 2. Mit \(K(5)=14{,}50\) ergibt sich der Anfangswert zu \(14{,}50-2 \cdot 5=4{,}50\). Damit lautet die Funktion \(K(x)=2x+4{,}50\). 3. Die Steigung beschreibt den Preis pro Kilometer. Der Anfangswert \(4{,}50\,\text{€}\) ist der feste Grundpreis. 4. Für \(20\,\text{km}\) gilt \(K(20)=2 \cdot 20+4{,}50=44{,}50\). Die Fahrt kostet \(44{,}50\,\text{€}\).

a) \(K(x)=2x+4{,}50\) b) \(m=2\) bedeutet \(2{,}00\,\text{€}\) pro Kilometer; der Anfangswert \(4{,}50\,\text{€}\) ist der Grundpreis. c) \(44{,}50\,\text{€}\)

- Welches Vorzeichen muss die Steigung haben, wenn die Temperatur mit zunehmender Höhe sinkt? - Wie kannst du aus den beiden Messpunkten die Temperaturänderung pro Höhenmeter bestimmen? - Was bedeutet Meereshöhe für den Wert von \(h\)? - Welcher Funktionswert gehört zur Nullgradgrenze?

1. Aus den Punkten \((500|12)\) und \((3000|-3)\) folgt \(m = \frac{-3-12}{3000-500}=-0{,}006\). 2. Für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) gilt \(12=-0{,}006 \cdot 500+t\), also \(t=15\). Damit lautet das Modell \(T(h)=-0{,}006h+15\). 3. Auf Meereshöhe gilt \(T(0)=15\,^\circ\text{C}\). 4. Für die Nullgradgrenze gilt \(0=-0{,}006h+15\). Daraus folgt \(h=2500\). Die Nullgradgrenze liegt nach dem Modell bei \(2500\,\text{m}\).

a) \(T(h)=-0{,}006h+15\) b) \(15\,^\circ\text{C}\) c) \(2500\,\text{m}\)

- Welche Größen der Form \(y=mx+t\) kennst du bereits, und welche musst du noch bestimmen? - Welche Eigenschaft hat jeder Punkt auf der \(x\)-Achse? - Wie kannst du deine berechneten Werte als Punkte zum Zeichnen des Graphen nutzen?

1. Einsetzen von \(m=-0{,}5\) und \(P(4|1)\) in \(y=mx+t\) ergibt \(1=-0{,}5 \cdot 4+t\). Daraus folgt \(t=3\), also \(k(x)=-0{,}5x+3\). 2. Für die Nullstelle gilt \(0=-0{,}5x+3\). Daraus folgt \(x=6\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(6|0)\). 3. Zum Zeichnen eignen sich zum Beispiel die Punkte \(S_y(0|3)\), \(P(4|1)\) und \(S_x(6|0)\). Die Gerade durch diese Punkte bestätigt den berechneten Schnittpunkt.

1. \(k(x)=-0{,}5x+3\) 2. Nullstelle: \(x=6\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(6|0)\) 3. Der Graph verläuft unter anderem durch \(S_y(0|3)\), \(P(4|1)\) und \(S_x(6|0)\); die Zeichnung bestätigt die Rechnung.

- Welche Änderung der Funktionswerte gehört jeweils zu einer Änderung der \(x\)-Werte? - Welche Bedingung müssen die Steigungen zwischen den gegebenen Punkten erfüllen, wenn alle Punkte auf einer Geraden liegen? - Wie hilft dir die Funktionsgleichung dabei, sowohl einen fehlenden Funktionswert als auch einen fehlenden \(x\)-Wert zu bestimmen?

1. Zwischen \((1|5)\) und \((2|8)\) gilt \(m_1=\frac{8-5}{2-1}=3\). Zwischen \((2|8)\) und \((4|14)\) gilt \(m_2=\frac{14-8}{4-2}=3\). Die Werte sind daher mit einer linearen Funktion vereinbar. 2. Für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) gilt \(5=3 \cdot 1+t\), also \(t=2\). Damit ist \(f(x)=3x+2\). 3. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=2\). 4. Für \(f(x)=26\) gilt \(26=3x+2\). Daraus folgt \(x=8\).

Die Werte gehören zur linearen Funktion \(f(x)=3x+2\). Für \(x=0\) ist \(f(x)=2\); für \(f(x)=26\) ist \(x=8\).

- Welche Größe kannst du aus den beiden gegebenen Punkten zuerst bestimmen? - Achte beim Berechnen der Steigung besonders auf die Vorzeichen der Koordinaten. - Wie kannst du nach dem Bestimmen der Funktionsgleichung fehlende Tabellenwerte in beide Richtungen ermitteln?

1. Aus \(A(-2|7)\) und \(B(2|-1)\) folgt \(m=\frac{-1-7}{2-(-2)}=-2\). 2. Für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) gilt mit \(B\): \(-1=-2 \cdot 2+t\), also \(t=3\). Damit ist \(f(x)=-2x+3\). 3. Für \(x=5\) gilt \(f(5)=-2 \cdot 5+3=-7\). 4. Für \(f(x)=10\) gilt \(10=-2x+3\). Daraus folgt \(x=-3{,}5\).

a) \(f(x)=-2x+3\) b) Für \(x=5\) ist \(f(x)=-7\). Für \(f(x)=10\) ist \(x=-3{,}5\).

- Wie kannst du mit einer Punktprobe prüfen, ob \(P\) auf \(g_1\) liegt? - Welche besondere Eigenschaft hat die Funktionsgleichung einer Ursprungsgeraden? - Wie hilft dir bei \(g_3\) die Kombination aus gegebener Steigung und bekanntem Punkt?

1. Für \(g_1\) gilt bei \(x=4\): \(-4+5=1\). Damit liegt \(P(4|1)\) auf \(g_1\). 2. Für die Ursprungsgerade \(g_2\) gilt \(y=mx\). Mit \(P(4|1)\) folgt \(1=4m\), also \(m=0{,}25\). Damit ist \(g_2:y=0{,}25x\). 3. Für \(g_3\) gilt \(y=0{,}5x+t\). Einsetzen von \(P\) ergibt \(1=0{,}5 \cdot 4+t\), also \(t=-1\). Damit ist \(g_3:y=0{,}5x-1\).

1. Ja, \(P\) liegt auf \(g_1\). 2. \(g_2:y=0{,}25x\) 3. \(g_3:y=0{,}5x-1\)

- Wenn eine Gerade durch den Ursprung und einen weiteren Punkt geht, wie berechnest du ihre Steigung? - Stell dir vor, du hältst einen Stift auf einen Punkt auf einem Blatt Papier. In wie viele Richtungen kannst du den Stift drehen? - Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei gegebenen Punkten?

1. \(g\) ist eine Ursprungsgerade der Form \(y = mx\). Mit \(S(3|2)\) gilt \(2 = 3m\), also \(m = \frac{2}{3}\). Damit lautet die Gleichung \(y = \frac{2}{3}x\). 2. Durch einen einzelnen Punkt in der Ebene verlaufen unendlich viele Geraden mit unterschiedlichen Steigungen. Jede dieser Geraden außer \(g\) selbst schneidet \(g\) im Punkt \(S\). 3. Die Steigung von \(h\) durch \(S(3|2)\) und \(S_y(0|5)\) ist \(m = \frac{2 - 5}{3 - 0} = -1\). Da der \(y\)-Achsenabschnitt \(5\) ist, lautet die Gleichung \(y = -x + 5\).

1. Die Gleichung von \(g\) ist \(y = \frac{2}{3}x\). 2. Durch einen Punkt verlaufen unendlich viele Geraden mit unterschiedlichen Steigungen. 3. Die Gleichung von \(h\) ist \(y = -x + 5\).

- Kannst du die Steigung bestimmen, wenn du einen Punkt und den \(y\)-Achsenabschnitt kennst? - Wie prüfst du, ob ein Wertepaar eine Gleichung erfüllt?

1. Berechnung der Steigung \(m\) durch Einsetzen von \(P(-2 \mid 5)\): \(5 = m(-2) - 1\). 2. Auflösen nach \(m\): \(6 = -2m \implies m = -3\). Die Gleichung ist \(f(x) = -3x - 1\). 3. Punktprobe für \(Q(1 \mid -4)\): \(f(1) = -3 \cdot 1 - 1 = -4\). 4. Vergleich: Da der berechnete \(y\)-Wert mit der \(y\)-Koordinate von \(Q\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen.

a) Die Steigung ist \(m = -3\). b) Ja, der Punkt \(Q(1 \mid -4)\) liegt auf dem Graphen, da \(f(1) = -4\) gilt.

- Welcher Ladestand gehört zum Zeitpunkt \(x=0\)? - Wie kannst du aus der Änderung des Ladestands und der vergangenen Zeit die Steigung bestimmen? - Welcher Funktionswert beschreibt einen vollständig geladenen Akku? - Welche Zeit- und Ladestandswerte sind im Sachkontext sinnvoll?

1. Die lineare Funktion hat die Form \(y=mx+t\). Zu Beginn gilt \(y=10\), also \(t=10\). 2. In \(24\,\text{Minuten}\) steigt der Ladestand um \(30\) Prozentpunkte. Daher ist \(m=30:24=1{,}25\). Das Modell lautet \(y=1{,}25x+10\). 3. Für eine vollständige Ladung gilt \(100=1{,}25x+10\). 4. Daraus folgt \(x=72\). Der Akku ist nach \(72\,\text{Minuten}\) vollständig geladen. 5. Im sinnvollen Modellbereich \(0 \le x \le 72\) ist der Graph die Strecke auf der Geraden durch \((0|10)\), \((24|40)\) und \((72|100)\).

a) \(y=1{,}25x+10\) b) Nach \(72\,\text{Minuten}\) c) Im Modellbereich \(0 \le x \le 72\) verläuft der Graph durch \((0|10)\), \((24|40)\) und \((72|100)\).

- Wie viel steigt der Wasserspiegel in einer einzigen Stunde? - Wenn du die Änderung pro Stunde kennst, kannst du dann ausrechnen, wie lange es gedauert hat, um auf \(40\,\text{cm}\) zu kommen? - Achte auf die Einheiten: \(1{,}60\,\text{m}\) sind wie viele Zentimeter? - Wie viel Platz ist ab \(100\,\text{cm}\) noch bis zum Rand?

1. Zeitdifferenz: \(15{:}00 - 13{:}00 = 2\,\text{h}\). Höhendifferenz: \(100\,\text{cm} - 40\,\text{cm} = 60\,\text{cm}\). Der Anstieg der Wasserhöhe beträgt \(60\,\text{cm} : 2\,\text{h} = 30\,\text{cm/h}\). Diese Rate entspricht der Steigung der Geraden. 2. Zeitpunkt mit Wasserhöhe \(0\): Von \(13{:}00\,\text{Uhr}\) bei \(40\,\text{cm}\) wird rückwärts gerechnet. Die benötigte Zeit beträgt \(40\,\text{cm} : 30\,\text{cm/h} = \frac{4}{3}\,\text{h} = 1\,\text{h}\,20\,\text{min}\). 3. Der Pool war daher um \(11{:}40\,\text{Uhr}\) leer. 4. Die Gesamttiefe beträgt \(1{,}60\,\text{m} = 160\,\text{cm}\). Von \(100\,\text{cm}\) fehlen noch \(60\,\text{cm}\). 5. Dafür werden \(60\,\text{cm} : 30\,\text{cm/h} = 2\,\text{h}\) benötigt. 6. Der Pool ist um \(17{:}00\,\text{Uhr}\) vollständig gefüllt.

a) Die Wasserhöhe steigt um \(30\,\text{cm/h}\). Dieser Wert ist die Steigung des Funktionsgraphen. b) Der Pool war um \(11{:}40\,\text{Uhr}\) leer. c) Der Pool ist um \(17{:}00\,\text{Uhr}\) vollständig gefüllt und beginnt dann überzulaufen.

- Welche Größe kannst du aus den beiden Punkten von \(p\) zuerst bestimmen? - Welche Eigenschaft hat der Punkt einer Geraden an ihrer Nullstelle? - Welche Angaben über \(q\) kennst du nach dem Bestimmen der Nullstelle von \(p\)?

1. Für \(p\) gilt \(m=\frac{0-4}{3-1}=-2\). 2. Mit \(B(3|0)\) folgt für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\): \(0=-2 \cdot 3+t\), also \(t=6\). Damit ist \(p:y=-2x+6\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=-2x+6\), also \(x=3\). 4. Die Steigung von \(q\) ist halb so groß: \(m_q=-1\). Da \(q\) ebenfalls durch \((3|0)\) verläuft, gilt \(0=-3+t_q\), also \(t_q=3\). Damit ist \(q:y=-x+3\).

a) \(p:y=-2x+6\) b) \(x=3\) c) \(q:y=-x+3\)

- Welcher Funktionswert gehört zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Wie kannst du aus Anfangshöhe und Höhe nach vier Stunden die Änderung pro Stunde bestimmen? - Welchen Funktionswert hat die Kerzenhöhe beim vollständigen Abbrennen? - Wie wandelst du den Dezimalanteil einer Stunde in Minuten um?

1. Zu Beginn, also bei \(t=0\), ist die Kerze \(24\,\text{cm}\) hoch. Das ist der Anfangswert des Modells. 2. Mit dem weiteren Punkt \((4|14)\) folgt \(m=\frac{14-24}{4-0}=-2{,}5\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(h(t)=-2{,}5t+24\). 4. Beim vollständigen Abbrennen gilt \(h(t)=0\). Aus \(0=-2{,}5t+24\) folgt \(t=9{,}6\,\text{h}\). 5. Der Dezimalanteil entspricht \(0{,}6 \cdot 60=36\,\text{min}\). Die Kerze ist nach \(9\,\text{h}\,36\,\text{min}\) vollständig abgebrannt.

a) \(h(t)=-2{,}5t+24\) b) Nach \(9\,\text{h}\,36\,\text{min}\)

- Welche beiden Messpunkte gehören zum linearen Temperaturmodell? - Was sagt das Vorzeichen der Änderungsrate über die Temperaturentwicklung aus? - Wie kannst du aus einem Messpunkt und der Änderungsrate auf den Wert bei \(t=0\) schließen?

1. Aus den Punkten \((2|75)\) und \((10|55)\) folgt \(m=\frac{55-75}{10-2}=-2{,}5\). 2. Mit \(T(2)=75\) ergibt sich der Anfangswert zu \(75-(-2{,}5 \cdot 2)=80\). Damit lautet das Modell \(T(t)=-2{,}5t+80\). 3. Die Steigung \(-2{,}5\) bedeutet, dass die Temperatur pro Minute um \(2{,}5\,^\circ\text{C}\) sinkt. Der Anfangswert \(80\,^\circ\text{C}\) ist die Temperatur bei \(t=0\).

a) \(T(t)=-2{,}5t+80\) b) Die Steigung beschreibt eine Abnahme um \(2{,}5\,^\circ\text{C}\) pro Minute; der Anfangswert \(80\,^\circ\text{C}\) ist die Temperatur bei \(t=0\).

- Welche beiden Messpunkte beschreiben Zeit und Volumen? - Wie kannst du daraus die Füllrate pro Minute bestimmen? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei \(t=0\)? - Welche Zeit in Minuten entspricht einer halben Stunde?

1. Aus den Punkten \((5|13{,}5)\) und \((12|24)\) folgt \(m=\frac{24-13{,}5}{12-5}=1{,}5\). Die Füllrate beträgt \(1{,}5\,\text{l/min}\). 2. Mit \(V(5)=13{,}5\) ergibt sich der Anfangswert zu \(13{,}5-1{,}5 \cdot 5=6\). Damit ist \(V(t)=1{,}5t+6\). 3. Bei \(t=0\) enthält der Behälter \(6\,\text{Liter}\). 4. Eine halbe Stunde sind \(30\,\text{Minuten}\). Es gilt \(V(30)=1{,}5 \cdot 30+6=51\). Nach einer halben Stunde sind \(51\,\text{Liter}\) im Behälter.

a) \(V(t)=1{,}5t+6\) b) \(6\,\text{Liter}\) c) \(51\,\text{Liter}\)

- Wie hängen Breite und Höhe eines Steigungsdreiecks mit der Steigung zusammen? - Welche Größen kennst du bereits, wenn du \(P\) in die Form \(y=mx+t\) einsetzt? - Wie führst du eine Punktprobe für \(Q\) durch?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2}{4}=0{,}5\). 2. Einsetzen von \(m=0{,}5\) und \(P(2|1)\) in \(y=mx+t\) ergibt \(1=0{,}5 \cdot 2+t\), also \(t=0\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(k(x)=0{,}5x\). 3. Für \(x=10\) gilt \(k(10)=0{,}5 \cdot 10=5\). Das stimmt mit der \(y\)-Koordinate von \(Q\) überein, also liegt \(Q\) auf der Geraden.

a) \(m=0{,}5\) b) \(t=0\); \(k(x)=0{,}5x\) c) Ja, \(Q(10|5)\) liegt auf \(k\).

- Welche Größe muss zwischen den gegebenen Punkten konstant sein, damit sie auf einer Geraden liegen? - Wie kannst du nach dem Bestimmen der Steigung den Achsenabschnitt ermitteln? - Welche besondere Form hat die Gleichung einer proportionalen Zuordnung?

1. Zwischen den benachbarten Punkten ergeben sich die Steigungen \(m_1=\frac{5-11}{-1-(-4)}=-2\), \(m_2=\frac{-1-5}{2-(-1)}=-2\) und \(m_3=\frac{-7-(-1)}{5-2}=-2\). Die Steigung ist konstant, also gehören die Werte zu einer linearen Funktion. 2. Mit dem Punkt \((2|-1)\) gilt \(-1=-2 \cdot 2+t\). Daraus folgt \(t=3\), also \(y=-2x+3\). 3. Eine proportionale Zuordnung hat die Form \(y=kx\) und damit den \(y\)-Achsenabschnitt \(0\). Hier ist \(t=3\), deshalb ist die Zuordnung nicht proportional.

a) Die Steigung ist zwischen allen benachbarten Punkten konstant \(-2\); daher ist die Funktion linear. b) \(y=-2x+3\) c) Nein. Wegen \(t=3 \ne 0\) ist die Zuordnung nicht proportional.

- Welche Koordinaten hat der bekannte Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse? - Wie kannst du aus diesem Punkt und \(P\) die Steigung bestimmen? - Was bedeutet eine gleiche Steigung für die Lage zweier verschiedener Geraden?

1. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(4|0)\); außerdem liegt \(P(-2|3)\) auf dem Graphen. 2. Aus diesen Punkten folgt \(m=\frac{3-0}{-2-4}=-0{,}5\). 3. Für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) gilt mit \(S_x\): \(0=-0{,}5 \cdot 4+t\), also \(t=2\). Damit ist \(h(x)=-0{,}5x+2\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0|2)\). 5. Auch \(g\) hat die Steigung \(-0{,}5\). Die Graphen von \(g\) und \(h\) sind daher parallel.

a) \(h(x)=-0{,}5x+2\) b) \(S_y(0|2)\) c) Beide Geraden haben die Steigung \(-0{,}5\) und sind parallel.

- Welche beiden Größen musst du für die erste Geradengleichung aus \(A\) und \(B\) bestimmen? - Was bleibt bei der zweiten Geraden gleich, und welche Größe wird verändert? - Welche Koordinate ist am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gleich Null?

1. Für \(g\) gilt \(m_g=\frac{2-(-1)}{2-(-4)}=0{,}5\). 2. Mit \(B(2|2)\) folgt für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\): \(2=0{,}5 \cdot 2+t\), also \(t=1\). Damit ist \(g(x)=0{,}5x+1\). 3. Die Steigung von \(h\) ist doppelt so groß, also \(m_h=1\). Da der Achsenabschnitt gleich bleibt, gilt \(h(x)=x+1\). 4. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=x+1\), also \(x=-1\). Damit ist \(S_x(-1|0)\).

a) \(g(x)=0{,}5x+1\), \(h(x)=x+1\) b) \(S_x(-1|0)\)

- Überlege dir zuerst, welcher Wert fest vorgegeben ist und welcher Wert sich pro Minute ändert. - Was bedeutet „proportional“ für den Graphen oder die Gleichung einer Funktion? - Setze für die Teilaufgaben b) und c) die gegebenen Werte in deine Gleichung ein und löse nach der gesuchten Größe auf.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Das Startguthaben beträgt \(20\,\text{€}\), und pro Minute verringert es sich um \(0{,}12\,\text{€}\). Die Gleichung lautet \(G(t) = 20 - 0{,}12t\). 2. Berechnung für \(t = 45\): \(G(45) = 20 - 0{,}12 \cdot 45 = 20 - 5{,}4 = 14{,}6\). Das Restguthaben beträgt \(14{,}60\,\text{€}\). 3. Berechnung der Zeit für \(G = 5\): Setze \(5 = 20 - 0{,}12t\). Umformen ergibt \(0{,}12t = 15\), also \(t = \frac{15}{0{,}12} = 125\). Nach \(125\) Minuten sind noch \(5\,\text{€}\) vorhanden. 4. Prüfung auf Proportionalität: Eine proportionale Funktion hat die Form \(y = mx\) und geht durch den Ursprung \((0|0)\). Da der \(y\)-Achsenabschnitt hier \(20\) ist (bei \(t=0\) ist \(G=20\)), ist die Funktion nicht proportional.

a) \(G(t) = 20 - 0{,}12t\) b) Das Restguthaben beträgt \(14{,}60\,\text{€}\). c) Nach \(125\) Minuten. d) Nein, die Funktion ist nicht proportional, da der Graph nicht durch den Koordinatenursprung verläuft (\(G(0) = 20 \neq 0\)).

- Welche Angaben reichen aus, um die Gleichung von \(g\) zu vervollständigen? - Welche besondere Form hat die Gleichung einer Ursprungsgeraden? - Welche Beziehung müssen die Steigungen zweier Geraden für Parallelität erfüllen? - Welche Koordinate ist an einem Punkt auf der \(x\)-Achse gleich Null?

1. Für \(g\) gilt \(y=2x+t\). Einsetzen von \(P(-2|5)\) ergibt \(5=2 \cdot (-2)+t\), also \(t=9\). Damit ist \(g:y=2x+9\). 2. Die Gerade \(h\) ist eine Ursprungsgerade. Aus \(Q(4|10)\) folgt \(m_h=\frac{10}{4}=2{,}5\). Daher ist \(h:y=2{,}5x\). 3. Wegen \(m_g=2\) und \(m_h=2{,}5\) sind die Geraden nicht parallel. 4. Für den Schnittpunkt von \(g\) mit der \(x\)-Achse gilt \(0=2x+9\). Daraus folgt \(x=-4{,}5\), also \(S_x(-4{,}5|0)\).

a) \(g:y=2x+9\), \(h:y=2{,}5x\) b) Nein, die Geraden sind nicht parallel. c) \(S_x(-4{,}5|0)\)

- Wie kannst du aus den beiden Punkten von \(k\) die Steigung bestimmen? - Welche Beziehung besteht zwischen den Steigungen paralleler Geraden? - Welche Punktkoordinaten kennst du bei einer gegebenen Nullstelle?

1. Für \(k\) gilt \(m_k=\frac{6-4}{2-(-2)}=0{,}5\). 2. Mit \(B(2|6)\) folgt \(6=0{,}5 \cdot 2+t_k\), also \(t_k=5\). Damit ist \(k:y=0{,}5x+5\). 3. Wegen der Parallelität gilt \(m_l=0{,}5\). 4. Die Nullstelle \(x=4\) liefert den Punkt \((4|0)\). Einsetzen in \(y=0{,}5x+t_l\) ergibt \(0=0{,}5 \cdot 4+t_l\), also \(t_l=-2\). 5. Damit ist \(l:y=0{,}5x-2\).

\(k:y=0{,}5x+5\) und \(l:y=0{,}5x-2\)

- Welche Größe kannst du aus \(R\) und \(S\) zuerst für \(f\) bestimmen? - Welche Eigenschaft teilen parallele Geraden, und was bedeutet es zusätzlich, dass \(g\) durch den Ursprung verläuft? - Wie kannst du aus einem vorgegebenen Funktionswert den zugehörigen \(x\)-Wert bestimmen?

1. Für \(f\) gilt \(m_f=\frac{-4-5}{2-(-1)}=-3\). 2. Mit \(R(-1|5)\) folgt \(5=-3 \cdot (-1)+t_f\), also \(t_f=2\). Damit ist \(f:y=-3x+2\). 3. Weil \(g\) parallel zu \(f\) ist, hat \(g\) ebenfalls die Steigung \(-3\). Als Ursprungsgerade gilt daher \(g:y=-3x\). 4. Für \(y=-12\) gilt \(-12=-3x\). Daraus folgt \(x=4\).

\(f:y=-3x+2\), \(g:y=-3x\); der gesuchte Wert ist \(x=4\).

- Was passiert, wenn du die gegebenen Koordinaten für \(x\) und \(y\) in die Gleichung einsetzt? - Kannst du einen der Koeffizienten frei wählen, um den anderen zu berechnen? - Wie kannst du aus einer fertigen Gleichung neue Lösungen gewinnen?

1. Einsetzen des Zahlenpaars \((x=3, y=-1)\) in die allgemeine Form \(ax + by = 10\) ergibt die Bedingung \(a \cdot 3 + b \cdot (-1) = 10\) bzw. \(3a - b = 10\). 2. Wahl eines ganzzahligen Wertes für \(a\), zum Beispiel \(a = 4\). 3. Berechnung des zugehörigen Wertes für \(b\): \(3 \cdot 4 - b = 10 \Rightarrow 12 - b = 10 \Rightarrow b = 2\). 4. Die resultierende Gleichung lautet \(4x + 2y = 10\). 5. Finden weiterer Lösungen durch Einsetzen beliebiger \(x\)-Werte in diese Gleichung: Für \(x = 0\) folgt \(2y = 10 \Rightarrow y = 5\). Lösung: \((0 | 5)\). Für \(x = 1\) folgt \(4 \cdot 1 + 2y = 10 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3\). Lösung: \((1 | 3)\).

a) Eine mögliche Gleichung ist \(4x + 2y = 10\). (Andere Lösungen wie \(3x - y = 10\) oder \(2x - 4y = 10\) sind ebenfalls möglich). b) Für die Gleichung \(4x + 2y = 10\) sind zum Beispiel \((0 | 5)\) und \((1 | 3)\) weitere Lösungen.

- Wie kannst du aus den beiden gegebenen Lösungspaaren die Steigung bestimmen? - Wie hilft dir anschließend eines der Paare beim Bestimmen des Achsenabschnitts? - Was musst du in die fertige Gleichung einsetzen, um \(y_P\) zu finden?

1. Aus den beiden Lösungspaaren folgt \(m=\frac{3-5}{-2-2}=0{,}5\). 2. Mit \((2|5)\) gilt \(5=0{,}5 \cdot 2+t\), also \(t=4\). 3. Die Gleichung lautet \(y=0{,}5x+4\). 4. Für \(x=10\) ergibt sich \(y_P=0{,}5 \cdot 10+4=9\).

a) \(y=0{,}5x+4\) b) \(y_P=9\)

- Welche beiden Messpunkte kannst du aus dem Text bilden? - Wie kannst du daraus zuerst die Änderung der Höhe pro Stunde bestimmen? - Wie kannst du anschließend vom Messwert auf die Höhe zum Zeitpunkt \(t=0\) zurückrechnen?

1. Aus den Punkten \((2|18)\) und \((5|13{,}5)\) folgt \(m=\frac{13{,}5-18}{5-2}=-1{,}5\). 2. Mit dem Messpunkt bei \(t=2\) ergibt sich der Anfangswert zu \(18-(-1{,}5 \cdot 2)=21\). Daher lautet die Funktionsgleichung \(h(t)=-1{,}5t+21\). 3. Der Anfangswert \(21\,\text{cm}\) ist die Höhe der Kerze beim Anzünden. Die Steigung \(-1{,}5\) bedeutet, dass die Kerze pro Stunde um \(1{,}5\,\text{cm}\) kürzer wird.

a) \(h(t)=-1{,}5t+21\) b) Anfangswert: \(21\,\text{cm}\); Steigung: Abnahme um \(1{,}5\,\text{cm}\) pro Stunde.

- Welche Angaben bestimmen jeweils die Gleichungen von \(g_1\) und \(g_2\)? - Was gilt für die beiden Funktionswerte genau am Schnittpunkt? - Wie kannst du nach dem Bestimmen der gemeinsamen \(x\)-Koordinate die \(y\)-Koordinate finden?

1. Für \(g_1\) ist durch \(A(0|2)\) der \(y\)-Achsenabschnitt \(t_1=2\) gegeben. Aus \(A\) und \(B\) folgt \(m_1=\frac{4-2}{4-0}=0{,}5\). Damit ist \(g_1:y=0{,}5x+2\). 2. Für \(g_2\) gilt mit \(C(6|2)\): \(2=-1 \cdot 6+t_2\), also \(t_2=8\). Damit ist \(g_2:y=-x+8\). 3. Am Schnittpunkt sind die Funktionswerte gleich: \(0{,}5x+2=-x+8\). 4. Daraus folgt \(1{,}5x=6\) und damit \(x=4\). 5. Einsetzen ergibt \(y=4\). Der Schnittpunkt ist \(S(4|4)\).

\(g_1:y=0{,}5x+2\), \(g_2:y=-x+8\); \(S(4|4)\)

- Welche Größen der Geradengleichung von \(q\) kennst du bereits? - Wie kannst du den gemeinsamen Punkt \(S\) nutzen, um den noch fehlenden Achsenabschnitt zu bestimmen? - Welche Eigenschaft haben parallele Geraden, und was bedeutet zusätzlich der Durchgang durch den Ursprung?

1. Für \(q\) gilt \(q(x)=2x+t\). 2. Da \(S(4|2)\) auf \(q\) liegt, gilt \(2=2 \cdot 4+t\). Daraus folgt \(t=-6\), also \(q(x)=2x-6\). 3. Eine zu \(p\) parallele Gerade hat dieselbe Steigung \(-0{,}5\). 4. Da \(r\) durch den Ursprung verläuft, ist ihr \(y\)-Achsenabschnitt \(0\). Damit ist \(r(x)=-0{,}5x\).

a) \(q(x)=2x-6\) b) \(r(x)=-0{,}5x\)

- Achte beim Berechnen der Steigung besonders auf die Vorzeichen der Koordinaten. - Wie kannst du nach der Steigung den noch fehlenden Achsenabschnitt bestimmen? - Welche Koordinate ist an einem Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gleich Null? - Wie funktioniert eine Punktprobe für \(R\)?

1. Aus \(P\) und \(Q\) folgt \(m=\frac{-5-7}{4-(-2)}=-2\). 2. Mit \(P(-2|7)\) gilt \(7=-2 \cdot (-2)+t\), also \(t=3\). Damit ist \(f(x)=-2x+3\). 3. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=-2x+3\). Daraus folgt \(x=1{,}5\), also \(S_x(1{,}5|0)\). 4. Für \(R(1|1)\) gilt \(f(1)=-2 \cdot 1+3=1\). Daher liegt \(R\) auf der Geraden.

a) \(f(x)=-2x+3\) b) \(S_x(1{,}5|0)\) c) Ja, \(R(1|1)\) liegt auf der Geraden.

- Welchen Funktionswert hat \(g\) an seiner Nullstelle? - Was gilt für die Steigungen paralleler Geraden? - Wie kannst du mit der bekannten Steigung und dem Punkt \(P\) die Gleichung von \(h\) vervollständigen?

1. Für die Nullstelle von \(g\) gilt \(0=-2x+4\). Daraus folgt \(x=2\). 2. Wegen der Parallelität hat \(h\) ebenfalls die Steigung \(-2\). 3. Mit \(P(1|1)\) gilt \(1=-2 \cdot 1+t\), also \(t=3\). Damit ist \(h(x)=-2x+3\). 4. Da \(h\) den \(y\)-Achsenabschnitt \(3\) und nicht \(0\) hat, verläuft sie nicht durch den Ursprung.

a) \(x=2\) b) \(h(x)=-2x+3\) c) Nein.

- Wie kannst du aus den beiden Punkten zuerst die Steigung bestimmen? - Welche Form der Geradengleichung nutzt in diesem Thema den Achsenabschnitt \(t\)? - Welche Koordinate ist an einem Punkt auf der jeweiligen Koordinatenachse gleich Null?

1. Aus \(A\) und \(B\) folgt \(m=\frac{4-1}{2-(-4)}=0{,}5\). 2. Mit \(B(2|4)\) gilt \(4=0{,}5 \cdot 2+t\), also \(t=3\). Die Geradengleichung lautet \(y=0{,}5x+3\). 3. Für die \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Daher ist \(S_y(0|3)\). 4. Für die \(x\)-Achse gilt \(y=0\). Aus \(0=0{,}5x+3\) folgt \(x=-6\), also \(S_x(-6|0)\).

\(S_x(-6|0)\) und \(S_y(0|3)\)

- Welche beiden Achsenschnittpunkte der ersten Geraden sind gegeben? - Wie verändert sich die Steigung der zweiten Geraden laut Aufgabenstellung? - Welchen gemeinsamen Punkt auf der \(x\)-Achse kannst du für \(h\) nutzen?

1. Die Gerade \(g\) verläuft durch \(S_x(4|0)\) und \(S_y(0|-2)\). Daher ist \(m_g=\frac{0-(-2)}{4-0}=0{,}5\). 2. Die Steigung von \(h\) ist doppelt so groß, also \(m_h=1\). 3. Da \(h\) durch \((4|0)\) verläuft, gilt \(0=4+t_h\). Somit ist \(t_h=-4\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(h:y=x-4\). 5. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0|-4)\).

\(h:y=x-4\); \(S_y(0|-4)\)

- Was wissen wir über die Steigungen von zwei Geraden, die parallel zueinander liegen? - Was ist die Bedingung für einen Punkt, der auf der x-Achse liegt (Nullstelle)? - Kannst du die Informationen über den Punkt und die Steigung nutzen, um eine neue Gleichung aufzustellen?

1. Bestimmung von \(k\): Da \(k \parallel h\), ist \(m_k = \frac{2}{3}\). Einsetzen von \(P(6 | 1)\) in \(y = \frac{2}{3}x + t\): \(1 = \frac{2}{3} \cdot 6 + t \Rightarrow 1 = 4 + t \Rightarrow t = -3\). Somit ist \(k(x) = \frac{2}{3}x - 3\). 2. Nullstelle von \(k\): Setze \(k(x) = 0 \Rightarrow 0 = \frac{2}{3}x - 3 \Rightarrow 3 = \frac{2}{3}x \Rightarrow x = 4{,}5\). 3. Bestimmung von \(l\): Die Gerade \(l\) geht durch \((4{,}5 | 0)\) mit \(m = -2\). Einsetzen in \(y = mx + t\): \(0 = -2 \cdot 4{,}5 + t \Rightarrow 0 = -9 + t \Rightarrow t = 9\). 4. Ergebnis: \(l(x) = -2x + 9\).

a) \(k(x) = \frac{2}{3}x - 3\) b) \(x = 4{,}5\) c) \(l(x) = -2x + 9\)

- Welche Größe haben parallele Geraden gemeinsam? - Wie kannst du mit der bekannten Steigung und dem Punkt \(P\) die Gleichung von \(h\) vervollständigen? - Welche Bedingung erfüllen die Funktionswerte von \(h\) und \(k\) am Schnittpunkt?

1. Wegen der Parallelität gilt \(m_h=-\frac{2}{3}\). Mit \(P(6|2)\) folgt \(2=-\frac{2}{3} \cdot 6+t\), also \(t=6\). Damit ist \(h(x)=-\frac{2}{3}x+6\). 2. Am Schnittpunkt gilt \(-\frac{2}{3}x+6=x-3\). 3. Daraus folgt \(9=\frac{5}{3}x\), also \(x=\frac{27}{5}=5{,}4\). 4. Einsetzen in \(k\) ergibt \(y=5{,}4-3=2{,}4\). Der Schnittpunkt ist \(S(5{,}4|2{,}4)\).

a) \(h(x)=-\frac{2}{3}x+6\) b) \(S(5{,}4|2{,}4)\)

- Wie kannst du aus jeweils zwei Punkten zuerst die Steigung einer Geraden bestimmen? - Bei welcher der beiden Geraden kannst du den \(y\)-Achsenabschnitt direkt aus einem Punkt ablesen? - Welche Gleichung beschreibt die gemeinsame \(x\)-Koordinate am Schnittpunkt?

1. Für \(f\) gilt \(m_f=\frac{9-1}{3-(-1)}=2\). Mit \(B(3|9)\) folgt \(9=2 \cdot 3+t_f\), also \(t_f=3\). Damit ist \(f(x)=2x+3\). 2. Für \(g\) gilt \(m_g=\frac{0-10}{5-0}=-2\). Durch \(C(0|10)\) ist \(t_g=10\), also \(g(x)=-2x+10\). 3. Am Schnittpunkt gilt \(2x+3=-2x+10\). Daraus folgt \(4x=7\), also \(x=1{,}75\). 4. Einsetzen in \(f\) ergibt \(y=6{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S(1{,}75|6{,}5)\).

a) \(f(x)=2x+3\), \(g(x)=-2x+10\) b) \(S(1{,}75|6{,}5)\)

- Welche beiden Punkte kannst du aus der Tabelle ablesen? - Wie kannst du nach der Steigung den Achsenabschnitt bestimmen? - Welche Rolle spielt \(t\) für die vertikale Lage einer Geraden?

1. Aus den Tabellenpunkten folgt \(m=\frac{1-(-5)}{1-(-2)}=2\). 2. Mit \((1|1)\) gilt \(1=2 \cdot 1+t\), also \(t=-1\). Damit ist \(f(x)=2x-1\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=2x-1\), also \(x=0{,}5\). 4. Wird \(t\) um \(3\) erhöht, bleiben alle Funktionswerte bei gleichem \(x\) um \(3\) größer. Der Graph wird daher parallel um \(3\) Einheiten nach oben verschoben.

a) \(f(x)=2x-1\) b) \(x=0{,}5\) c) Der Graph wird parallel um \(3\) Einheiten nach oben verschoben.

- Welche Größe kannst du aus \(A\) und \(B\) zuerst bestimmen? - Wie führst du eine Punktprobe für \(C\) durch? - Was gilt für die Steigungen paralleler Geraden? - Welche Koordinate ist an einem Punkt auf der \(y\)-Achse gleich Null?

1. Für \(k\) gilt \(m_k=\frac{-3-5}{-2-2}=2\). 2. Mit \(A(2|5)\) folgt \(5=2 \cdot 2+t_k\), also \(t_k=1\). Damit ist \(k(x)=2x+1\). 3. Für \(C(5|11)\) gilt \(k(5)=2 \cdot 5+1=11\). Daher liegt \(C\) auf \(k\). 4. Wegen der Parallelität gilt \(m_l=2\). Mit \(P(1|1)\) folgt \(1=2 \cdot 1+t_l\), also \(t_l=-1\). Damit ist \(l(x)=2x-1\). 5. Für \(x=0\) gilt \(k(0)=1\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0|1)\).

a) \(k(x)=2x+1\) b) Ja, \(C(5|11)\) liegt auf \(k\). c) \(l(x)=2x-1\) d) \(S_y(0|1)\)

- Welche Größe muss zwischen den Messpunkten gleich bleiben, damit der Verlauf linear ist? - Welche Information liefert die Tabelle direkt für den Zeitpunkt \(t=0\)? - Wie kannst du mit der gefundenen Funktionsgleichung einen späteren Temperaturwert berechnen? - Wie gehst du vor, wenn stattdessen eine Zieltemperatur vorgegeben ist?

1. Zwischen \(0\) und \(8\,\text{min}\) gilt \(m_1=\frac{74-90}{8-0}=-2\,^\circ\text{C/min}\). Zwischen \(8\) und \(20\,\text{min}\) gilt \(m_2=\frac{50-74}{20-8}=-2\,^\circ\text{C/min}\). Da die Steigungen gleich sind, ist der Verlauf linear. 2. Bei \(t=0\) beträgt die Temperatur \(90\,^\circ\text{C}\). Das ist der Anfangswert. Daher lautet das Modell \(T(t)=-2t+90\). 3. Für \(t=15\) gilt \(T(15)=-2 \cdot 15+90=60\). Die Temperatur beträgt \(60\,^\circ\text{C}\). 4. Für \(T=26\) gilt \(26=-2t+90\). Daraus folgt \(t=32\,\text{min}\).

a) Beide Intervallsteigungen betragen \(-2\,^\circ\text{C/min}\); daher ist der Verlauf linear. b) \(T(t)=-2t+90\) c) \(60\,^\circ\text{C}\) d) Nach \(32\,\text{min}\)

- Welche Wassermenge ist bereits vorhanden, bevor die Zeitmessung beginnt? - Wie verändert sich die Wassermenge in jeder weiteren Minute? - Prüfe an mehreren Zeiten, ob deine Gleichung dieselben Werte wie die Situation liefert. - Für die gesuchte Zeit kannst du in deine Gleichung die Wassermenge \(200\,\text{l}\) einsetzen.

1. Zu Beginn sind \(40\,\text{l}\) im Fass. In jeder Minute kommen \(4\,\text{l}\) hinzu. Daher gilt \(y=40+4x\). 2. Für die gefragten Zeiten erhält man: \(y(0)=40\,\text{l}\), \(y(10)=80\,\text{l}\), \(y(15)=100\,\text{l}\), \(y(30)=160\,\text{l}\). 3. Trage die Punkte \((0\mid40)\), \((10\mid80)\), \((15\mid100)\) und \((30\mid160)\) ein und verbinde sie im betrachteten Zeitraum geradlinig. 4. Für \(200\,\text{l}\) gilt \(200=40+4x\). Daraus folgt \(160=4x\) und damit \(x=40\). Nach \(40\,\text{min}\) sind \(200\,\text{l}\) erreicht.

1. \(y=40+4x\) 2. <table> <tr><td>Zeit \(x\) in \(\text{min}\)</td><td>0</td><td>10</td><td>15</td><td>30</td></tr> <tr><td>Wassermenge \(y\) in \(\text{l}\)</td><td>40</td><td>80</td><td>100</td><td>160</td></tr> </table> 3. Der Graph verläuft durch \((0\mid40)\), \((10\mid80)\), \((15\mid100)\) und \((30\mid160)\). 4. Nach \(40\,\text{min}\) enthält das Fass \(200\,\text{l}\).

- Welche beiden Größen beschreiben den Startzustand und die Änderung pro Minute? - Wie groß ist die gesamte Änderung des Ladestands bis zur Vollladung? - Wie kannst du aus Änderung und Zeit die Ladegeschwindigkeit des zweiten Geräts bestimmen? - Welche beiden Ladezeiten musst du am Ende vergleichen?

1. Der Anfangswert beträgt \(12\,\%\), die Steigung \(0{,}8\) Prozentpunkte pro Minute. Daher gilt \(L(t)=0{,}8t+12\). 2. Das zweite Gerät muss den Ladestand um \(88\) Prozentpunkte erhöhen. In \(80\,\text{Minuten}\) entspricht das \(88:80=1{,}1\) Prozentpunkten pro Minute. 3. Beim ersten Gerät gilt für eine Vollladung \(100=0{,}8t+12\). Daraus folgt \(t=110\,\text{min}\). 4. Gegenüber \(80\,\text{min}\) spart das Schnellladegerät \(30\,\text{min}\).

a) \(L(t)=0{,}8t+12\) b) \(1{,}1\) Prozentpunkte pro Minute c) \(30\,\text{Minuten}\)

- Achte darauf, dass die Höhe abnimmt. Welches Vorzeichen hat die Änderungsrate? - Sind alle Zeitangaben in der gleichen Einheit? - Welchen Wert hat die Höhe, wenn der Ballon den Boden berührt? - Wie rechnet man Sekunden in Minuten und verbleibende Sekunden um?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Die Anfangshöhe ist \(840\,\text{m}\), die Änderungsrate beträgt \(-1{,}5\,\text{m/s}\). Die Gleichung lautet \(h(t) = 840 - 1{,}5t\). 2. Berechnung der Höhe nach \(4\) Minuten: Zuerst Umrechnung der Zeit in Sekunden: \(4 \cdot 60 = 240\,\text{s}\). Einsetzen in die Funktion: \(h(240) = 840 - 1{,}5 \cdot 240 = 840 - 360 = 480\). Die Höhe beträgt \(480\,\text{m}\). 3. Berechnung der Landezeit: Der Boden entspricht der Höhe \(h = 0\). Setze \(0 = 840 - 1{,}5t\). Umstellen ergibt \(1{,}5t = 840\). Division durch \(1{,}5\) liefert \(t = 560\,\text{s}\). 4. Umrechnung in Minuten: \(560 : 60 = 9\) Rest \(20\). Der Ballon landet nach \(9\) Minuten und \(20\) Sekunden.

1) \(h(t) = 840 - 1{,}5t\) 2) Nach \(4\) Minuten ist der Ballon in \(480\,\text{m}\) Höhe. 3) Er erreicht den Boden nach \(560\) Sekunden (bzw. \(9\) Minuten und \(20\) Sekunden).

- Wie kannst du die Brüche eliminieren? Welcher gemeinsame Nenner bietet sich an? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch. - Um eine ganzzahlige Lösung zu finden, muss der Zähler des Bruchs durch den Nenner ohne Rest teilbar sein. Probiere kleine Werte für \(x\) aus.

1. Hauptnenner finden (\(12\)) und die gesamte Gleichung damit multiplizieren: \(4(x + 2y) - 3(2x - y) = 12\). 2. Klammern auflösen: \(4x + 8y - 6x + 3y = 12\). 3. Zusammenfassen zu \(ax + by = c\): \(-2x + 11y = 12\). 4. Nach \(y\) umstellen: \(11y = 2x + 12 \implies y = \frac{2x + 12}{11}\). 5. Ganzzahlige Lösung durch systematisches Probieren für \(x\) finden: Wenn \(x = 5\), dann ist \(y = \frac{2 \cdot 5 + 12}{11} = \frac{22}{11} = 2\). Ein ganzzahliges Paar ist \((5 \mid 2)\). Alternativ: Wenn \(x = -6\), dann ist \(y = \frac{-12 + 12}{11} = 0\). Ein weiteres Paar ist \((-6 \mid 0)\).

a) \(-2x + 11y = 12\) b) \(y = \frac{2x + 12}{11}\) (oder \(y = \frac{2}{11}x + \frac{12}{11}\)) c) Ein mögliches ganzzahliges Paar ist \((5 \mid 2)\) oder \((-6 \mid 0)\).

- Welche zwei Punkte des linearen Modells liefern die beiden Messungen? - Wie kannst du aus der Änderung des Kilometerstands und der Zeitdifferenz die Änderungsrate bestimmen? - Wie kannst du anschließend von einem Messpunkt auf den Wert bei \(t=0\) zurückrechnen? - Welche Umrechnung brauchst du von Kilometern pro Minute zu Kilometern pro Stunde?

1. Aus den Punkten \((20|84)\) und \((50|135)\) folgt die Steigung \(m=\frac{135-84}{50-20}=1{,}7\,\text{km/min}\). 2. Mit dem Messwert bei \(t=20\) ergibt sich der Anfangswert zu \(84-1{,}7 \cdot 20=50\,\text{km}\). 3. Daher lautet das Modell \(K(t)=1{,}7t+50\). 4. Die Geschwindigkeit beträgt \(1{,}7 \cdot 60=102\,\text{km/h}\).

\(K(t)=1{,}7t+50\); Geschwindigkeit: \(102\,\text{km/h}\); Kilometerstand bei \(t=0\): \(50\,\text{km}\)

- Welche Information liefert der Schnittpunkt eines Graphen mit der \(y\)-Achse direkt? - Suche für jede Gerade zwei gut ablesbare Gitterpunkte. - Wie bestimmst du aus horizontaler und vertikaler Änderung die Steigung? - Achte darauf, ob die Gerade von links nach rechts steigt oder fällt.

1. Bei \(f\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-1\). Zwischen \((0|-1)\) und \((1|1)\) gilt \(m=\frac{2}{1}=2\). Daher ist \(f(x)=2x-1\). 2. Bei \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=2\). Zwischen \((0|2)\) und \((2|1)\) gilt \(m=-\frac{1}{2}=-0{,}5\). Daher ist \(g(x)=-0{,}5x+2\). 3. Bei \(h\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\). Zwischen \((0|1)\) und \((3|2)\) gilt \(m=\frac{1}{3}\). Daher ist \(h(x)=\frac{1}{3}x+1\).

\(f(x)=2x-1\), \(g(x)=-0{,}5x+2\), \(h(x)=\frac{1}{3}x+1\)

- Welche Gitterpunkte auf der Geraden lassen sich besonders sicher ablesen? - Wie berechnest du die Steigung aus zwei Punkten und wie deutest du ihr Vorzeichen hier? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei \(t=0\) im Tankmodell? - Welchen Funktionswert hat das Volumen bei einem leeren Tank?

1. Geeignete Punkte sind zum Beispiel \(P_1(0|250)\) und \(P_2(5|150)\). 2. Die Steigung ist \(m=\frac{150-250}{5-0}=-20\,\frac{\text{l}}{\text{min}}\). Pro Minute fließen also \(20\,\text{l}\) aus dem Tank ab. 3. Bei \(t=0\) zeigt der Graph \(250\,\text{l}\). Das ist der Anfangswert. Daher lautet die Funktionsgleichung \(V(t)=-20t+250\). 4. Für einen leeren Tank gilt \(0=-20t+250\). Daraus folgt \(t=12{,}5\). Der Tank ist nach \(12{,}5\,\text{Minuten}\) leer.

a) \(m=-20\,\frac{\text{l}}{\text{min}}\); pro Minute fließen \(20\,\text{l}\) ab. b) Anfangswert: \(250\,\text{l}\); \(V(t)=-20t+250\) c) Nach \(12{,}5\,\text{Minuten}\)

- Welche Informationen zu Achsenabschnitt und Steigung kannst du bei \(f\) und \(g\) direkt aus dem Diagramm gewinnen? - Welche Steigung muss \(h\) wegen der Parallelität besitzen? - Welche zwei Punkte bestimmen die Gerade \(k\)? - Wie kannst du nach der jeweiligen Steigung den noch unbekannten Achsenabschnitt bestimmen?

1. Bei \(f\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=2\). Zwischen \((0|2)\) und \((3|3)\) gilt \(m=\frac{1}{3}\). Daher ist \(f(x)=\frac{1}{3}x+2\). 2. Bei \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-1\). Zwischen \((0|-1)\) und \((2|-2)\) gilt \(m=-\frac{1}{2}\). Daher ist \(g(x)=-\frac{1}{2}x-1\). 3. Wegen \(h \parallel f\) hat \(h\) die Steigung \(\frac{1}{3}\). Mit \(P(-3|3)\) gilt \(3=\frac{1}{3} \cdot (-3)+t_h\), also \(t_h=4\). Damit ist \(h(x)=\frac{1}{3}x+4\). 4. Für die Gerade durch \(P(-3|3)\) und \(Q(1|-1)\) gilt \(m_k=\frac{-1-3}{1-(-3)}=-1\). Mit \(Q\) folgt \(-1=-1+t_k\), also \(t_k=0\). Damit ist \(k(x)=-x\).

a) \(f(x)=\frac{1}{3}x+2\), \(g(x)=-\frac{1}{2}x-1\) b) \(h(x)=\frac{1}{3}x+4\) c) \(k(x)=-x\)

- Welche Informationen zu Achsenabschnitt und Steigung kannst du für beide Geraden aus dem Diagramm lesen? - Welche Bedingung erfüllen die Funktionswerte am Schnittpunkt? - Nutze das Diagramm in Teil b) erst nach deiner Rechnung als Kontrolle. - Wie kannst du durch Einsetzen prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?

1. Bei \(f\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(1\). Zwischen \((0|1)\) und \((2|2)\) gilt \(m_f=0{,}5\). Daher ist \(f(x)=0{,}5x+1\). 2. Bei \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(4\). Zwischen \((0|4)\) und \((1|3)\) gilt \(m_g=-1\). Daher ist \(g(x)=-x+4\). 3. Für den Schnittpunkt gilt \(0{,}5x+1=-x+4\). Daraus folgt \(x=2\) und damit \(y=2\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|2)\); dies stimmt mit dem im Graphen sichtbaren Schnittpunkt überein. 4. Für \(P(8|5)\) gilt \(f(8)=5\). Daher liegt \(P\) auf \(f\). 5. Für \(Q(-2|5)\) gilt \(g(-2)=6\). Daher liegt \(Q\) nicht auf \(g\).

a) \(f(x)=0{,}5x+1\), \(g(x)=-x+4\) b) \(S(2|2)\); der Graph bestätigt das Ergebnis. c) \(P\) liegt auf \(f\); \(Q\) liegt nicht auf \(g\).

- Achte besonders darauf, welche Werte ein Kästchen auf der \(x\)- und auf der \(y\)-Achse jeweils darstellt. - Welche beiden Achsenschnittpunkte kannst du sicher ablesen? - Wie kannst du aus zwei Punkten die Steigung bestimmen? - Nutze den Graphen in Teil b) als Kontrolle deiner Rechnung.

1. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(S_y(0|10)\) und die \(x\)-Achse bei \(S_x(-2|0)\). 2. Damit ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=10\). 3. Die Steigung ist \(m=\frac{10-0}{0-(-2)}=5\). Daher lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=5x+10\). 4. Für \(x=6\) gilt \(g(6)=5 \cdot 6+10=40\). Der Punkt \((6|40)\) ist auch im Graphen ablesbar.

a) \(g(x)=5x+10\) b) \(g(6)=40\)

- Welche Achsenabschnitte und geeigneten weiteren Punkte kannst du für beide Geraden ablesen? - Wie kannst du Dezimal- oder Bruchkoeffizienten beseitigen, wenn ganzzahlige Koeffizienten verlangt sind? - Welche Gleichung entsteht für die gemeinsame \(x\)-Koordinate am Schnittpunkt? - Nutze den sichtbaren Schnittpunkt erst nach der Rechnung zur Kontrolle.

1. Für \(f\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-2\). Mit \((0|-2)\) und \((2|1)\) ergibt sich \(m=1{,}5\). Daher ist \(f:y=1{,}5x-2\). 2. Für \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=3\). Mit \((0|3)\) und \((2|1)\) ergibt sich \(m=-1\). Daher ist \(g:y=-x+3\). 3. Für \(f\) folgt aus \(y=1{,}5x-2\) die ganzzahlige Form \(3x-2y=4\). Für \(g\) folgt \(x+y=3\). 4. Für den Schnittpunkt gilt \(1{,}5x-2=-x+3\). Daraus folgt \(x=2\) und anschließend \(y=1\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|1)\); dies stimmt mit der Darstellung im Graphen überein.

a) \(f:y=1{,}5x-2\), \(g:y=-x+3\) b) \(f:3x-2y=4\), \(g:x+y=3\) c) \(S(2|1)\); der Graph bestätigt das Ergebnis.

- Welche beiden Koordinatenpaare liefern die markierten Messpunkte? - Die Zuflussrate beschreibt, wie stark sich das Volumen pro Minute verändert. - Nutze nach der Bestimmung der Rate einen der Messpunkte, um den noch unbekannten Anfangswert zu finden. - Welche Form hat eine lineare Volumenfunktion, wenn Rate und Anfangswert bekannt sind?

1. Aus der Grafik liest man \(P_1(2 \mid 400)\) und \(P_2(8 \mid 1000)\) ab. Die Zuflussrate ist \(\frac{1000-400}{8-2} = 100\,\frac{\text{l}}{\text{min}}\). 2. Mit \(P_1\) gilt \(400 = 100 \cdot 2 + V(0)\). Daraus folgt \(V(0)=200\,\text{l}\). 3. Das Modell lautet \(V(t)=100t+200\). 4. Nach \(15\) Minuten gilt \(V(15)=100 \cdot 15+200=1700\,\text{l}\).

a) \(100\,\text{l/min}\) b) \(V(0)=200\,\text{l}\) c) \(V(t)=100t+200\) d) \(1700\,\text{l}\)

- Lies bei jeder Geraden zuerst den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ab. - Suche anschließend einen zweiten Punkt, dessen Koordinaten am Gitter eindeutig ablesbar sind. - Vergleiche die senkrechte mit der waagerechten Änderung; das Vorzeichen zeigt, ob die Gerade steigt oder fällt. - Setze Steigung und Achsenabschnitt anschließend in die Form \(y=mx+t\) ein.

1. Bei \(f\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t_f=4\). Mit den Punkten \((0 \mid 4)\) und \((1 \mid 1)\) ergibt sich \(m_f=\frac{1-4}{1-0}=-3\). Daher gilt \(f(x)=-3x+4\). 2. Bei \(h\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t_h=-3\). Mit den Punkten \((0 \mid -3)\) und \((5 \mid -1)\) ergibt sich \(m_h=\frac{-1-(-3)}{5-0}=\frac{2}{5}=0{,}4\). Daher gilt \(h(x)=0{,}4x-3\).

\(f(x)=-3x+4\) und \(h(x)=0{,}4x-3\)

- Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes zusammen mit der vorgegebenen Steigung in die allgemeine Form \(y=mx+t\) ein. - Danach bleibt nur der Achsenabschnitt als Unbekannte übrig. - Prüfe beim letzten Teil besonders, was eine \(x\)-Koordinate von \(0\) bedeutet.

1. Für a) gilt \(5=-2 \cdot 2+t\). Daraus folgt \(t=9\) und damit \(y=-2x+9\). 2. Für b) gilt \(-1=0{,}5 \cdot (-4)+t\). Daraus folgt \(t=1\) und damit \(y=0{,}5x+1\). 3. Für c) gilt \(0=\frac{4}{3} \cdot 3+t\). Daraus folgt \(t=-4\) und damit \(y=\frac{4}{3}x-4\). 4. Für d) liegt \(P\) auf der \(y\)-Achse. Daher ist direkt \(t=-2{,}5\), also \(y=-1{,}5x-2{,}5\).

a) \(t=9\), \(y=-2x+9\) b) \(t=1\), \(y=0{,}5x+1\) c) \(t=-4\), \(y=\frac{4}{3}x-4\) d) \(t=-2{,}5\), \(y=-1{,}5x-2{,}5\)

- Lies zuerst den gemeinsamen Schnittpunkt aller Geraden ab. - Weil dieser Punkt auf der \(y\)-Achse liegt, kennst du damit zugleich den gemeinsamen Achsenabschnitt. - Bestimme für jede Gerade mit einem weiteren Gitterpunkt ihre Steigung. - Überlege für die fünfte Gerade, welche Steigung eine waagerechte Gerade besitzt.

1. Alle vier Geraden schneiden sich auf der \(y\)-Achse bei \(-2\). Daher ist \(P(0 \mid -2)\). 2. Für alle vier Geraden gilt damit \(t=-2\). Bei \(h_1\) liefert der Punkt \((1 \mid 0)\) die Steigung \(m=\frac{0-(-2)}{1-0}=2\), also \(h_1: y=2x-2\). 3. Bei \(h_2\) liefert der Punkt \((2 \mid -4)\) die Steigung \(m=\frac{-4-(-2)}{2-0}=-1\), also \(h_2: y=-x-2\). 4. Bei \(h_3\) liefert der Punkt \((2 \mid -1)\) die Steigung \(m=\frac{-1-(-2)}{2-0}=0{,}5\), also \(h_3: y=0{,}5x-2\). 5. Bei \(h_4\) liefert der Punkt \((1 \mid -5)\) die Steigung \(m=\frac{-5-(-2)}{1-0}=-3\), also \(h_4: y=-3x-2\). 6. Eine Gerade parallel zur \(x\)-Achse hat die Steigung \(m=0\). Durch \(P(0 \mid -2)\) ergibt sich daher \(h_5: y=-2\).

a) \(P(0 \mid -2)\) b) \(h_1: y=2x-2\); \(h_2: y=-x-2\); \(h_3: y=0{,}5x-2\); \(h_4: y=-3x-2\) c) \(h_5: y=-2\)

- Welche Information liefert der gemeinsame Punkt auf der \(y\)-Achse über den Parameter \(t\)? - Wie kannst du aus zwei gut ablesbaren Punkten einer Geraden ihre Steigung bestimmen? - Was bedeutet „betragsmäßig kleiner“ für eine negative Steigung im Vergleich zu \(g_1\)?

1. Da alle Geraden durch \(A(0 \mid 1{,}5)\) verlaufen, ist ihr \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1{,}5\). 2. Für \(g_1\) kann neben \(A\) der Punkt \((1 \mid -0{,}5)\) abgelesen werden. Damit ist \(m=\frac{-0{,}5-1{,}5}{1-0}=-2\), also \(g_1: y=-2x+1{,}5\). 3. Für \(g_2\) kann neben \(A\) der Punkt \((1 \mid 2)\) abgelesen werden. Damit ist \(m=\frac{2-1{,}5}{1-0}=0{,}5\), also \(g_2: y=0{,}5x+1{,}5\). 4. \(g_3\) verläuft waagerecht. Daher ist \(m=0\) und \(g_3: y=1{,}5\). 5. Gemeinsam ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1{,}5\). 6. Für \(g_4\) muss \(-2<m<0\) gelten. Mit \(m=-1\) erhält man zum Beispiel \(g_4: y=-x+1{,}5\).

a) \(g_1: y=-2x+1{,}5\); \(g_2: y=0{,}5x+1{,}5\); \(g_3: y=1{,}5\) b) Der gemeinsame Parameter ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1{,}5\). c) Zum Beispiel \(g_4: y=-x+1{,}5\). Allgemein ist jedes \(m\) mit \(-2<m<0\) möglich.

- Welche Punkte auf den Geraden lassen sich besonders sicher aus dem Koordinatensystem ablesen? - Welche Information liefert der Schnittpunkt einer Geraden mit der \(y\)-Achse über \(t\)? - Was bedeutet eine waagerechte Gerade für die Steigung? - Wie kannst du aus zwei Punkten die Steigung bestimmen?

1. \(h_1\) verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und den Punkt \((4 \mid 1)\). Daher ist \(m=\frac{1}{4}=0{,}25\) und \(h_1: y=0{,}25x\). 2. Bei \(h_2\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=4\). Mit dem Punkt \((4 \mid 2)\) ergibt sich \(m=\frac{2-4}{4-0}=-0{,}5\). Also gilt \(h_2: y=-0{,}5x+4\). 3. \(h_3\) ist waagerecht und schneidet die \(y\)-Achse bei \(-3\). Daher gilt \(h_3: y=-3\). 4. Bei \(h_4\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=4\). Mit dem Punkt \((-2 \mid 0)\) erhält man \(m=\frac{4-0}{0-(-2)}=2\). Somit gilt \(h_4: y=2x+4\).

\(h_1: y=0{,}25x\), \(h_2: y=-0{,}5x+4\), \(h_3: y=-3\), \(h_4: y=2x+4\)

- Welche zwei gut ablesbaren Punkte des Graphen kannst du für die Steigung verwenden? - Was sagt das Vorzeichen der Steigung über die Veränderung der Kerzenhöhe aus? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei \(t=0\)? - Wie kannst du dein Ergebnis für \(12\,\text{h}\) anschließend am Graphen überprüfen?

1. Aus dem Diagramm lassen sich zum Beispiel die Punkte \(P_1(0 \mid 80)\) und \(P_2(8 \mid 40)\) ablesen. 2. Die Steigung ist \(m=\frac{40-80}{8-0}=-5\). Die Kerze wird also pro Stunde um \(5\,\text{mm}\) kürzer. 3. Der Anfangswert beträgt \(80\,\text{mm}\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(h(t)=-5t+80\). 4. Für \(t=12\) gilt \(h(12)=-5\cdot 12+80=20\). 5. Im Graphen lässt sich bei \(t=12\) ebenfalls die Höhe \(20\,\text{mm}\) ablesen.

a) \(h(t)=-5t+80\) b) Nach \(12\,\text{h}\) ist die Kerze noch \(20\,\text{mm}\) hoch.

- Welche Form einer linearen Funktionsgleichung verbindet Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt? - Wie kannst du den gegebenen Punkt nutzen, um den noch unbekannten Parameter zu bestimmen? - Welche Gleichung beschreibt anschließend die Stelle, an der der Funktionswert \(11\) erreicht wird?

1. Schreibe die Funktion in der Form \(g(x)=mx+t\). 2. Mit \(m=2{,}5\) und \(P(2 \mid 1)\) gilt \(1=2{,}5\cdot 2+t\). Daraus folgt \(t=-4\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=2{,}5x-4\). 4. Für den Funktionswert \(11\) gilt \(11=2{,}5x-4\). 5. Daraus folgt \(15=2{,}5x\) und damit \(x=6\).

Der Funktionswert \(11\) wird bei \(x=6\) angenommen.

- Welche Bedeutung haben die Funktionswerte bei \(t=0\) für Anton und Bea? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du bei jeder Geraden zur Bestimmung der Steigung verwenden? - Warum hat eine der beiden Geraden eine negative Steigung? - Bis zu welchem Zeitpunkt kann \(s_B(t)\) als nichtnegative Entfernung vom Punkt \(0\,\text{km}\) interpretiert werden?

1. Für Anton ist der Anfangswert \(0\). Nach \(2\,\text{h}\) befindet er sich bei \(10\,\text{km}\). Daher ist die Steigung \(m=\frac{10-0}{2-0}=5\), also \(s_A(t)=5t\). 2. Für Bea ist der Anfangswert \(18\). Nach \(2\,\text{h}\) befindet sie sich bei \(10\,\text{km}\). Daher ist die Steigung \(m=\frac{10-18}{2-0}=-4\), also \(s_B(t)=-4t+18\). 3. Für Bea beschreibt dieses Entfernungsmodell nur Zeiten bis \(s_B(t)=0\). Aus \(-4t+18=0\) folgt \(t=4{,}5\,\text{h}\). Deshalb endet die gemeinsame dargestellte Zeitspanne bei \(4{,}5\,\text{h}\).

Für Anton gilt \(s_A(t)=5t\). Für Bea gilt im dargestellten Bereich \(s_B(t)=-4t+18\) für \(0\le t\le 4{,}5\).

- Wie kannst du aus den Koordinaten von \(P\) und \(Q\) die Steigung bestimmen? - Wie lässt sich anschließend mit einem der beiden Punkte der Parameter \(t\) bestimmen? - Welche rechnerische Bedingung muss \(R\) erfüllen, damit der Punkt auf \(g\) liegt?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{-2-4}{2-(-1)}=\frac{-6}{3}=-2\). 2. Setze zum Beispiel \(Q(2 \mid -2)\) in \(y=-2x+t\) ein: \(-2=-2\cdot 2+t\). Daraus folgt \(t=2\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x)=-2x+2\). Die gezeichnete Gerade stimmt mit dieser Gleichung überein. 4. Für \(R(4 \mid -6)\) ergibt die Punktprobe \(g(4)=-2\cdot 4+2=-6\). Damit liegt \(R\) auf der Geraden.

a) \(g(x)=-2x+2\) b) Ja, \(R(4 \mid -6)\) liegt auf der Geraden.

- Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du auf jeder Geraden wählen? - Wie bestimmst du daraus jeweils die Steigung \(m\) und den Achsenabschnitt \(t\)? - Wie kannst du eine Gleichung mit einem Bruch so umformen, dass in \(Ax+By=C\) nur ganze Koeffizienten stehen?

1. Für die Gerade \(a\) kann man die Punkte \((0 \mid -2)\) und \((3 \mid 0)\) ablesen. Damit ist \(m=\frac{0-(-2)}{3-0}=\frac{2}{3}\) und \(t=-2\). Also gilt \(a: y=\frac{2}{3}x-2\). 2. Multipliziere mit \(3\): \(3y=2x-6\). Umgestellt ergibt das \(2x-3y=6\). 3. Für die Gerade \(b\) kann man die Punkte \((0 \mid 3)\) und \((3 \mid 0)\) ablesen. Damit ist \(m=\frac{0-3}{3-0}=-1\) und \(t=3\). Also gilt \(b: y=-x+3\). 4. Umgestellt ergibt das \(x+y=3\).

Gerade \(a\): \(y=\frac{2}{3}x-2\) und \(2x-3y=6\) Gerade \(b\): \(y=-x+3\) und \(x+y=3\)

- Welche Anfangsvolumina kannst du bei \(t=0\) direkt aus dem Graphen ablesen? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte eignen sich für die Steigungsberechnung bei jedem Tank? - Was bedeutet das Vorzeichen der Steigung jeweils im Sachzusammenhang?

1. Für Tank 1 liest man bei \(t=0\) den Anfangswert \(10\,\text{l}\) ab. Außerdem liegt zum Beispiel der Punkt \((5 \mid 30)\) auf \(v_1\). Daher ist \(m=\frac{30-10}{5-0}=4\). 2. Somit gilt für Tank 1 \(V_1(t)=4t+10\). 3. Für Tank 2 liest man bei \(t=0\) den Anfangswert \(50\,\text{l}\) ab. Bei \(t=10\,\text{min}\) ist das Volumen \(0\,\text{l}\). Daher ist \(m=\frac{0-50}{10-0}=-5\). 4. Somit gilt für Tank 2 \(V_2(t)=-5t+50\).

Tank 1: \(V_1(t)=4t+10\) Tank 2: \(V_2(t)=-5t+50\)

- Welche Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse kannst du direkt ablesen? - Welche weiteren Gitterpunkte eignen sich jeweils zur Bestimmung der Steigung? - Wie setzt sich eine lineare Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\) aus Steigung und Achsenabschnitt zusammen?

1. Für \(f\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-2\). Mit den Punkten \((0 \mid -2)\) und \((2 \mid 1)\) ergibt sich \(m=\frac{1-(-2)}{2-0}=\frac{3}{2}=1{,}5\). Daher gilt \(f(x)=1{,}5x-2\). 2. Für \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=3\). Die Gerade schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=6\), also ist \(m=\frac{0-3}{6-0}=-0{,}5\). Daher gilt \(g(x)=-0{,}5x+3\). 3. Für \(h\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\). Mit dem Punkt \((3 \mid 2)\) ergibt sich \(m=\frac{2-1}{3-0}=\frac{1}{3}\). Daher gilt \(h(x)=\frac{1}{3}x+1\).

\(f(x)=1{,}5x-2\); \(g(x)=-0{,}5x+3\); \(h(x)=\frac{1}{3}x+1\)

- Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse im Taxitarif? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte eignen sich zur Bestimmung der Kostenänderung pro Kilometer? - Wie setzt sich die Form \(y=mx+t\) aus Kilometerpreis und Grundgebühr zusammen?

1. Die Gerade schneidet die \(y\)-Achse bei \(y=4\). Daher ist der Achsenabschnitt \(t=4\); dies entspricht der Grundgebühr von \(4\,\text{€}\). 2. Verwende zum Beispiel die Punkte \(P_1(0 \mid 4)\) und \(P_2(3 \mid 10)\). Die Steigung ist \(m=\frac{10-4}{3-0}=2\). 3. Die Steigung entspricht einem Kilometerpreis von \(2\,\frac{\text{€}}{\text{km}}\). 4. Damit lautet die Funktionsgleichung \(y=2x+4\).

\(y=2x+4\)

- Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du bei jeder schrägen Geraden wählen? - Wie lässt sich nach der Steigung der Achsenabschnitt \(t\) bestimmen? - Was bedeutet eine waagerechte Gerade für die Steigung und den Funktionsterm?

1. Für \(f_1\) können die Punkte \((-2 \mid 2)\) und \((2 \mid 1)\) verwendet werden. Die Steigung ist \(m=\frac{1-2}{2-(-2)}=-\frac{1}{4}=-0{,}25\). Mit einem der Punkte folgt \(t=1{,}5\). Daher gilt \(f_1(x)=-0{,}25x+1{,}5\). 2. Für \(f_2\) kann man die Punkte \((0 \mid -2)\) und \((1 \mid 1)\) ablesen. Damit ist \(m=\frac{1-(-2)}{1-0}=3\) und \(t=-2\). Daher gilt \(f_2(x)=3x-2\). 3. \(f_3\) ist waagerecht und hat stets den Funktionswert \(2\). Daher gilt \(f_3(x)=2\).

\(f_1(x)=-0{,}25x+1{,}5\); \(f_2(x)=3x-2\); \(f_3(x)=2\)

- Welche Werte kannst du direkt aus dem Graphen bei \(x=400\) und am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ablesen? - Wie hängt die insgesamt verbrauchte Kraftstoffmenge mit der gefahrenen Strecke zusammen? - Welche zwei Punkte des Graphen eignen sich zur Bestimmung der Steigung? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei \(x=0\)?

1. Bei \(x=400\) lässt sich im Graphen ungefähr \(y=36\) ablesen. Es sind also noch etwa \(36\,\text{l}\) im Tank. 2. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=1000\). Nach \(1000\,\text{km}\) ist der Tank leer. 3. Auf \(1000\,\text{km}\) werden \(60\,\text{l}\) verbraucht. Pro \(100\,\text{km}\) sind das \(\frac{60}{1000}\cdot 100=6\,\text{l}\). 4. Der Anfangswert beträgt \(60\,\text{l}\). Die Steigung ist \(m=\frac{0-60}{1000-0}=-0{,}06\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(y=-0{,}06x+60\).

1) Nach \(400\,\text{km}\) sind noch etwa \(36\,\text{l}\) im Tank. 2) Der Tank ist nach \(1000\,\text{km}\) leer. 3) Der Durchschnittsverbrauch beträgt \(6\,\text{l}\) pro \(100\,\text{km}\). 4) \(y=-0{,}06x+60\)

- Welche beiden Koordinatenänderungen gehören in Zähler und Nenner der Steigung? - Prüfe Leilas Gleichung mit dem Punkt \(B\). Passt dessen y-Wert? - Wenn die richtige Steigung feststeht, kann einer der gegebenen Punkte den y-Achsenabschnitt bestimmen.

1. Bei der Steigungsberechnung müssen die Änderungen der y-Koordinaten durch die Änderungen der x-Koordinaten geteilt werden. Leila hat Zähler und Nenner vertauscht. 2. Richtig ist \(m=\frac{3-5}{5-1}=\frac{-2}{4}=-0{,}5\). 3. Mit \(A(1|5)\) gilt \(5=-0{,}5\cdot1+t\). Daraus folgt \(t=5{,}5\). 4. Die richtige Funktionsgleichung lautet \(y=-0{,}5x+5{,}5\). 5. Für \(x=1\) ergibt sich \(-0{,}5+5{,}5=5\), für \(x=5\) ergibt sich \(-2{,}5+5{,}5=3\). Beide Punkte liegen auf der Geraden.

Leila hat bei der Steigung \(\Delta x\) durch \(\Delta y\) statt \(\Delta y\) durch \(\Delta x\) geteilt. Richtig ist \(m=-0{,}5\) und damit \(y=-0{,}5x+5{,}5\). Die Gleichung erfüllt sowohl \(A(1|5)\) als auch \(B(5|3)\).

- Wie stark ändert sich die Temperatur, wenn man \(100\) Meter höher steigt? - Überlege dir, wie viel kälter es im Vergleich zur Messung auf \(600\,\text{m}\) wird. - Glaubst du, dass die Natur sich immer exakt an eine gerade Linie hält, egal wie hoch man geht?

1. Berechnung des Temperaturabfalls pro Meter: Die Höhendifferenz beträgt \(1400\,\text{m} - 600\,\text{m} = 800\,\text{m}\). Der Temperaturunterschied beträgt \(11{,}2\,^\circ\text{C} - 16\,^\circ\text{C} = -4{,}8\,^\circ\text{C}\). Die Rate ist \(-4{,}8 : 800 = -0{,}006\,^\circ\text{C/m}\) (bzw. \(0{,}6\,^\circ\text{C}\) pro \(100\,\text{m}\)). 2. Berechnung für \(2500\,\text{m}\) (a): Die Differenz zu \(600\,\text{m}\) ist \(1900\,\text{m}\). Temperaturänderung: \(1900\,\text{m} \cdot (-0{,}006\,^\circ\text{C/m}) = -11{,}4\,^\circ\text{C}\). Endtemperatur: \(16\,^\circ\text{C} + (-11{,}4\,^\circ\text{C}) = 4{,}6\,^\circ\text{C}\). 3. Berechnung für \(12\,000\,\text{m}\) (b): Die Differenz zu \(600\,\text{m}\) ist \(11\,400\,\text{m}\). Temperaturänderung: \(11\,400\,\text{m} \cdot (-0{,}006\,^\circ\text{C/m}) = -68{,}4\,^\circ\text{C}\). Endtemperatur: \(16\,^\circ\text{C} + (-68{,}4\,^\circ\text{C}) = -52{,}4\,^\circ\text{C}\). 4. Begründung (c): Das Modell nimmt an, dass die Bedingungen in der Atmosphäre überall gleich sind. In der Realität gibt es verschiedene Luftschichten (wie die Stratosphäre), in denen sich das Temperaturverhalten ändert, sowie Wettereffekte, die das lineare Modell für extreme Höhen ungenau machen.

a) Auf \(2500\,\text{m}\) Höhe beträgt die Temperatur voraussichtlich \(4{,}6\,^\circ\text{C}\). b) Das Modell sagt für \(12\,000\,\text{m}\) eine Temperatur von \(-52{,}4\,^\circ\text{C}\) voraus. c) Lineare Modelle sind oft nur in einem begrenzten Bereich gültig. In extremen Höhen ändern sich die atmosphärischen Bedingungen (z. B. Übergang zur Stratosphäre), sodass die konstante Abnahmerate nicht mehr stimmt.

- Welches Vorzeichen hat die Änderungsrate, wenn die Höhe abnimmt? - Welche Höhe entspricht der Hälfte von \(25\,\text{cm}\)? - Wie wandelst du den Nachkommaanteil einer Stunde in Minuten um? - Welche geometrische Größe ändert sich bei einer Pyramide mit der Höhe?

1. Die Kerze verliert pro Stunde \(1{,}2\,\text{cm}\), daher beträgt die Steigung \(-1{,}2\). Der Anfangswert ist \(25\,\text{cm}\). Somit gilt \(h(t)=-1{,}2t+25\). 2. Die halbe Anfangshöhe beträgt \(12{,}5\,\text{cm}\). Aus \(12{,}5=-1{,}2t+25\) folgt \(t=\frac{12{,}5}{1{,}2}\approx10{,}4167\,\text{h}\). 3. Der Nachkommaanteil entspricht \(0{,}4167 \cdot 60\approx25\) Minuten. Die Zeit beträgt daher etwa \(10\) Stunden und \(25\) Minuten. 4. Bei einer Pyramidenform ändert sich die Querschnittsfläche mit der Höhe. Bei gleichem Wachsverbrauch pro Stunde führt dieselbe Volumenabnahme deshalb nicht zu einer konstanten Höhenabnahme; die Änderungsrate der Höhe ist nicht konstant.

a) \(h(t)=-1{,}2t+25\) b) Etwa \(10\) Stunden und \(25\) Minuten. c) Die Querschnittsfläche ändert sich mit der Höhe; deshalb ist die Höhenabnahme bei konstantem Wachsverbrauch nicht konstant und damit nicht linear.

- Wie viel Liter fließen in einer einzigen Minute in das Becken? - Wie viel Wasser muss insgesamt noch hinzugefügt werden, um das Maximum zu erreichen? - Überlege, was die Steigung in diesem Sachzusammenhang bedeutet. Wenn weniger Wasser pro Zeit fließt, wird die Gerade dann steiler oder flacher? - Wie hängen Zuflussgeschwindigkeit und Zeitdauer bei gleicher Menge zusammen?

1. Berechnung der Zuflussrate: \(150\,\text{l} : 20\,\text{min} = 7{,}5\,\text{l/min}\). 2. Funktionsgleichung: Mit dem Startwert \(200\,\text{l}\) ergibt sich \(V(t) = 7{,}5t + 200\). 3. Berechnung der Fülldauer: Das Becken ist voll, wenn \(V(t) = 1200\). \(1200 = 7{,}5t + 200 \Rightarrow 1000 = 7{,}5t \Rightarrow t = \frac{1000}{7{,}5} = 133\frac{1}{3}\,\text{Minuten}\). 4. Umrechnung: \(133\frac{1}{3}\,\text{Minuten} = 2\,\text{Stunden}\) (\(120\,\text{min}\)) und \(13\frac{1}{3}\,\text{Minuten}\) (\(13\,\text{min}\,20\,\text{s}\)). 5. Analyse der Änderung: Wenn sich der Zufluss halbiert, halbiert sich die Steigung der Geraden (\(m = 3{,}75\)). Da die zu füllende Differenz (\(1000\,\text{l}\)) gleich bleibt, verdoppelt sich die benötigte Zeit auf \(266\frac{2}{3}\,\text{Minuten}\).

a) Zuflussrate: \(7{,}5\,\text{l/min}\); Funktionsgleichung: \(V(t) = 7{,}5t + 200\). b) Das Becken ist nach \(2\,\text{Stunden}\), \(13\,\text{Minuten}\) und \(20\,\text{Sekunden}\) voll. c) Die Steigung des Graphen würde sich halbieren (der Graph wird flacher). Die benötigte Zeit bis zur vollständigen Füllung würde sich verdoppeln.

- Welche beiden Größen brauchst du, um die Gleichung der Geraden durch \(A\) und \(B\) zu bestimmen? - Welche Punkte begrenzen zusammen mit dem Ursprung das Dreieck im ersten Quadranten? - Wie hängt der Flächeninhalt dieses rechtwinkligen Dreiecks mit den beiden Achsenabschnitten zusammen?

1. Aus \(A(-2|6)\) und \(B(4|-3)\) folgt \(m=\frac{-3-6}{4-(-2)}=-1{,}5\). 2. Für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) gilt mit \(A\): \(6=-1{,}5 \cdot (-2)+t\), also \(t=3\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=-1{,}5x+3\). 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0|3)\). Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=-1{,}5x+3\), also \(S_x(2|0)\). 4. Das Dreieck hat Grundseite \(2\) und Höhe \(3\). Daher ist \(A=\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3=3\,\text{FE}\).

a) \(f(x)=-1{,}5x+3\) b) \(3\,\text{FE}\)

- Welche Information beschreibt bei jeder Flüssigkeit die Änderungsrate, welche den Anfangswert? - Wie kannst du bei Flüssigkeit 3 aus den beiden Messpunkten zuerst die Änderungsrate bestimmen? - Welche Größen musst du vergleichen, wenn nach der höchsten Anfangstemperatur oder der schnellsten Erwärmung gefragt wird? - Wie nutzt du die drei Gleichungen für den Vergleich zu einem gemeinsamen Zeitpunkt?

1. Flüssigkeit 1 ist bereits gegeben: \(T_1(t)=4t+20\). 2. Flüssigkeit 2 startet bei \(15\,^\circ\text{C}\) und gewinnt pro Minute \(5\,^\circ\text{C}\). Daher gilt \(T_2(t)=5t+15\). 3. Für Flüssigkeit 3 ist \(m=\frac{35-26}{5-2}=3\). Mit dem Messpunkt bei \(t=2\) folgt der Anfangswert \(26-3 \cdot 2=20\). Daher gilt \(T_3(t)=3t+20\). 4. Die höchsten Anfangstemperaturen haben Flüssigkeit 1 und 3 mit jeweils \(20\,^\circ\text{C}\). 5. Die größte Erwärmungsrate hat Flüssigkeit 2 mit \(5\,^\circ\text{C/min}\). 6. Nach \(10\,\text{Minuten}\) gilt \(T_1(10)=60\,^\circ\text{C}\), \(T_2(10)=65\,^\circ\text{C}\) und \(T_3(10)=50\,^\circ\text{C}\).

a) \(T_1(t)=4t+20\), \(T_2(t)=5t+15\), \(T_3(t)=3t+20\) b) Flüssigkeit 1 und 3 mit jeweils \(20\,^\circ\text{C}\) c) Flüssigkeit 2 mit \(5\,^\circ\text{C/min}\) d) Flüssigkeit 1: \(60\,^\circ\text{C}\); Flüssigkeit 2: \(65\,^\circ\text{C}\); Flüssigkeit 3: \(50\,^\circ\text{C}\)

- Welche beiden Achsenschnittpunkte bestimmen die Steigung von \(f\)? - Was bleibt bei \(p\) unverändert und welche Größe wird verdoppelt? - Wie kannst du den neuen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bestimmen? - Vergleiche anschließend nur die beiden \(x\)-Koordinaten der Achsenschnittpunkte.

1. Für \(f\) ist \(m=\frac{0-(-2)}{3-0}=\frac{2}{3}\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t=-2\), also \(f:y=\frac{2}{3}x-2\). 2. Bei \(p\) ist die Steigung \(m_p=\frac{4}{3}\), während der Achsenabschnitt \(-2\) bleibt. Daher gilt \(p:y=\frac{4}{3}x-2\). 3. Für den Schnittpunkt von \(p\) mit der \(x\)-Achse gilt \(0=\frac{4}{3}x-2\). Daraus folgt \(x=1{,}5\), also \(S_{x,p}(1{,}5|0)\). 4. Der \(x\)-Achsenabschnitt von \(f\) liegt bei \(3\), der von \(p\) bei \(1{,}5\). Bei gleichem von Null verschiedenem \(y\)-Achsenabschnitt halbiert sich hier der \(x\)-Achsenabschnitt, wenn sich die Steigung verdoppelt.

a) \(m=\frac{2}{3}\), \(f:y=\frac{2}{3}x-2\) b) \(p:y=\frac{4}{3}x-2\) c) \(S_{x,p}(1{,}5|0)\); der \(x\)-Wert ist halb so groß wie bei \(f\).

- Was bedeutet die Steigung in diesem Kontext? Ist sie positiv oder negativ? - Stelle für die zweite Phase die Geradengleichung sorgfältig auf. Beachte, dass diese Phase erst bei Minute 40 startet. - Für Teilaufgabe d) kannst du die verbleibende Ladung durch den Verlust pro Minute teilen. - Überlege genau, was mit „weiteren Minuten“ in Teil d) gemeint ist.

1. Punkte definieren: \(A(0 \mid 10)\), \(B(40 \mid 90)\), \(C(60 \mid 60)\). 2. Funktionsgleichungen aufstellen: - Laden (\(0 \le x \le 40\)): Steigung \(m_1 = \frac{90-10}{40} = 2\). Gleichung: \(y = 2x + 10\). - Nutzen (\(40 \le x \le 60\)): Steigung \(m_2 = \frac{60-90}{60-40} = -1{,}5\). Gleichung: \(y = 90 - 1{,}5(x - 40)\) bzw. \(y = -1{,}5x + 150\). 3. Vergleich der Geschwindigkeiten: Ladegeschwindigkeit \(2\) Prozentpunkte pro Minute, Entladegeschwindigkeit \(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute. Differenz: \(0{,}5\,\) Prozentpunkte pro Minute. 4. Berechnung für \(y = 75\): - Laden: \(75 = 2x + 10 \implies 2x = 65 \implies x = 32{,}5\,\text{min}\). - Nutzen: \(75 = -1{,}5x + 150 \implies 1{,}5x = 75 \implies x = 50\,\text{min}\). 5. Restlaufzeit: Aktuelle Ladung \(60\,\%\), Entladerate \(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute. \(60 : 1{,}5 = 40\). Nach weiteren \(40\,\text{Minuten}\) ist der Akku leer.

a) Laden: \(y = 2x + 10\); Nutzen: \(y = -1{,}5x + 150\). b) Die Ladegeschwindigkeit (\(2\) Prozentpunkte pro Minute) ist um \(0{,}5\) Prozentpunkte pro Minute höher als die Entladegeschwindigkeit (\(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute). c) Nach \(32{,}5\,\text{Minuten}\) und nach \(50\,\text{Minuten}\). d) Der Akku wäre nach weiteren \(40\,\text{Minuten}\) leer (also insgesamt \(100\,\text{Minuten}\) nach Beobachtungsbeginn).

- Wie viele Minuten liegen zwischen den beiden Messzeiten und um wie viele Prozentpunkte ändert sich der Ladestand? - Wie kannst du diese Änderungsrate in eine Steigung pro Minute und anschließend pro Stunde übersetzen? - Welcher Punkt des Modells gehört per Definition zu \(t=0\)? - Was bedeutet ein negativer Wert von \(t\) bei der Rückrechnung in Teil b)?

1. Von 10:00 Uhr bis 11:20 Uhr vergehen \(80\,\text{min}\). In dieser Zeit sinkt der Ladestand um \(20\) Prozentpunkte. Das sind \(20:80=0{,}25\) Prozentpunkte pro Minute beziehungsweise \(15\) Prozentpunkte pro Stunde. 2. Mit \(t=0\) um 10:00 Uhr ist der Anfangswert des gewählten Modells \(80\). Daher lautet die Funktionsgleichung \(L(t)=-0{,}25t+80\). 3. Für eine volle Ladung gilt \(100=-0{,}25t+80\). Daraus folgt \(t=-80\). Das sind \(80\,\text{min}\) vor 10:00 Uhr, also 08:40 Uhr. 4. Für einen leeren Akku gilt \(0=-0{,}25t+80\). Daraus folgt \(t=320\). Das sind \(5\,\text{h}\,20\,\text{min}\) nach 10:00 Uhr, also 15:20 Uhr.

a) Verlust: \(15\) Prozentpunkte pro Stunde; \(L(t)=-0{,}25t+80\) b) 08:40 Uhr c) 15:20 Uhr

- Welche beiden Messpunkte gehören jeweils zu einer Kerze? - Wie kannst du aus zwei Messpunkten die Höhenänderung pro Stunde bestimmen? - Wie kannst du mit einer Änderungsrate und einem Messpunkt auf die Höhe bei \(t=0\) zurückrechnen? - Welche Werte musst du vergleichen, um Anfangshöhe und Abbrandgeschwindigkeit zu beurteilen?

1. Für Kerze A ergibt sich aus den Punkten \((2|16)\) und \((5|10)\) die Steigung \(m_A=\frac{10-16}{5-2}=-2\,\text{cm/h}\). 2. Mit dem Messwert bei \(t=2\) folgt der Anfangswert \(16-(-2 \cdot 2)=20\,\text{cm}\). Daher gilt \(h_A(t)=-2t+20\). 3. Für Kerze B ergibt sich aus \((3|15)\) und \((6|8{,}1)\) die Steigung \(m_B=\frac{8{,}1-15}{6-3}=-2{,}3\,\text{cm/h}\). 4. Mit dem Messwert bei \(t=3\) folgt der Anfangswert \(15-(-2{,}3 \cdot 3)=21{,}9\,\text{cm}\). Daher gilt \(h_B(t)=-2{,}3t+21{,}9\). 5. Kerze B war mit \(21{,}9\,\text{cm}\) höher als Kerze A mit \(20\,\text{cm}\). Wegen der betragsmäßig größeren negativen Steigung brennt Kerze B mit \(2{,}3\,\text{cm/h}\) schneller ab.

\(h_A(t)=-2t+20\), \(h_B(t)=-2{,}3t+21{,}9\). Kerze B war zu Beginn höher und brennt schneller ab.