- Welche Zahl gehört als Faktor vor \(x\)? - Welche Zahl liest du aus dem y-Achsenabschnitt ab? - Setze beide Angaben in die Form \(y=mx+t\) ein.

1. Die Steigung ist \(m=-2\). 2. Aus \(S_y(0|5)\) folgt der y-Achsenabschnitt \(t=5\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(y=-2x+5\).

\(y=-2x+5\).

- Welche Werte für \(x\), \(y\) und \(m\) sind durch den Punkt und die Steigung gegeben? - Welche Größe bleibt in \(y=mx+t\) noch unbekannt?

1. Für \(P(1|4)\) gilt \(x=1\) und \(y=4\). Mit \(m=2\) folgt \(4=2+t\). 2. Daher ist \(t=2\), also lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=2x+2\).

\(t=2\); \(g(x)=2x+2\).

- Vergleiche zuerst, wie stark sich die y-Werte ändern. - Vergleiche danach die zugehörige Änderung der x-Werte. - Was sagt das Verhältnis dieser beiden Änderungen über die Gerade aus?

1. Die Änderung der y-Werte ist \(6-2=4\). 2. Die Änderung der x-Werte ist \(3-1=2\). 3. Daher gilt \(m=\frac{4}{2}=2\).

\(m=2\)

- Bestimme zuerst die Steigung aus den beiden Punkten. - Welcher der beiden Punkte liegt auf der y-Achse? - Setze \(m\) und \(t\) in \(y=mx+t\) ein.

1. Die Steigung ist \(m=\frac{4-(-2)}{3-0}=\frac{6}{3}=2\). 2. Der Punkt \(A(0|-2)\) liegt auf der y-Achse. Daher ist \(t=-2\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(y=2x-2\).

\(y=2x-2\)

- Welche beiden Größen brauchst du, um eine lineare Funktion in der Form \(y=mx+t\) anzugeben? - Wie kannst du aus den beiden gegebenen Punkten die Steigung bestimmen? - Wie hilft dir anschließend einer der Punkte, den \(y\)-Achsenabschnitt zu bestimmen?

1. Berechne die Steigung: \(m=\frac{4-(-2)}{3-(-1)}=\frac{6}{4}=1{,}5\). 2. Setze zum Beispiel \(B(3\mid4)\) in \(y=mx+t\) ein: \(4=1{,}5\cdot3+t\). 3. Daraus folgt \(t=-0{,}5\). Also lautet die Funktionsgleichung \(y=1{,}5x-0{,}5\).

\(y=1{,}5x-0{,}5\)

- Welche Differenz haben zwei aufeinanderfolgende Dateigrößen? - Welcher Tabellenwert gehört zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Wie setzt sich bei einer linearen Funktion der Wert nach \(t\) Stunden aus Startwert und gleichmäßiger Änderung zusammen?

1. Die Differenzen aufeinanderfolgender Tabellenwerte betragen jeweils \(15\,\text{MB}\). Die Datei wächst also um \(15\,\text{MB}\) pro Stunde. 2. Bei \(t=0\) sind \(10\,\text{MB}\) gespeichert. Daher gilt \(D(t)=10+15t\). 3. Einsetzen von \(t=2{,}5\) ergibt \(D(2{,}5)=10+15\cdot2{,}5=47{,}5\).

a) \(15\,\text{MB}\) pro Stunde b) \(D(t)=10+15t\) c) \(47{,}5\,\text{MB}\)

- Welche Masse fällt unabhängig von der Höhe an? - Welche Masse kommt pro zusätzlichem Zentimeter hinzu? - Welche Gleichung musst du in Teil c) nach \(x\) lösen?

1. Die feste Masse ist \(4{,}50\,\text{g}\), pro Zentimeter kommen \(2{,}20\,\text{g}\) hinzu. Daher \(M(x)=2{,}20x+4{,}50\). 2. \(4{,}50\,\text{g}\) ist die Masse der Stützstruktur, die unabhängig von der Bauteilhöhe anfällt. 3. \(26{,}50=2{,}20x+4{,}50\) ergibt \(x=10\,\text{cm}\).

a) \(M(x)=2{,}20x+4{,}50\) b) \(4{,}50\,\text{g}\) feste Stützstruktur c) \(10\,\text{cm}\)

- Welchen Teil von \(y=mx+t\) kannst du direkt aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ablesen? - Welchen Funktionswert hat eine Nullstelle? - Wie kannst du einen bekannten Punkt nutzen, um die unbekannte Steigung zu bestimmen?

1. Aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(S_y(0 \mid 4)\) folgt direkt der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=4\). 2. Damit ergibt sich der Ansatz \(f(x)=mx+4\). 3. Da \(S_x(-2 \mid 0)\) auf dem Graphen liegt, gilt \(0=-2m+4\). 4. Auflösen ergibt \(m=2\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=2x+4\).

\(f(x)=2x+4\)

- Welche allgemeine Form hat eine lineare Funktionsgleichung in diesem Thema? - Welche Koordinate ist am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse immer \(0\)? - Setze den bekannten Achsenschnittpunkt in die Funktionsgleichung ein.

1. Mit der gegebenen Steigung hat die Funktion die Form \(g(x)=-0{,}75x+t\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(4 \mid 0)\). Daher gilt \(0=-0{,}75 \cdot 4+t\). 3. Aus \(0=-3+t\) folgt \(t=3\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x)=-0{,}75x+3\).

a) \(t=3\) b) \(g(x)=-0{,}75x+3\)

- Welchen Funktionswert hat ein Punkt auf der \(x\)-Achse? - Setze die bekannte Nullstelle in die gegebene Geradengleichung ein. - Vergleiche anschließend Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt der beiden Funktionen.

1. Da die Nullstelle bei \(x=6\) liegt, gilt \(f(6)=0\). Damit ist \(0=0{,}5 \cdot 6+t\), also \(t=-3\). 2. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=-3\). Somit ist der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(S_y(0 \mid -3)\). 3. Die Funktionen \(f\) und \(g\) haben dieselbe Steigung. Gegenüber \(g(x)=0{,}5x\) ist der Graph von \(f(x)=0{,}5x-3\) um \(3\) Einheiten nach unten verschoben.

a) \(t=-3\) b) \(S_y(0 \mid -3)\) c) Der Graph von \(g\) wird um \(3\) Einheiten nach unten verschoben.

- Was bedeutet „nach unten“ für das Vorzeichen der vertikalen Änderung? - Wie hängen die beiden Schritte im Steigungsdreieck mit der Steigung \(m\) zusammen? - Welche zwei Größen bestimmen eine lineare Funktionsgleichung der Form \(f(x)=mx+t\)?

1. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t=-3\). 2. Beim Steigungsdreieck gilt \(\Delta x=4\) und wegen der Bewegung nach unten \(\Delta y=-3\). 3. Die Steigung ist \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-3}{4}=-0{,}75\). 4. Einsetzen in \(f(x)=mx+t\) ergibt \(f(x)=-0{,}75x-3\).

\(f(x)=-0{,}75x-3\) oder \(f(x)=-\frac{3}{4}x-3\)

- Was sagt die Koordinate eines Punktes auf der \(y\)-Achse über die Funktionsgleichung aus? - Wie viele Punkte benötigst du mindestens, um die Steigung einer Geraden eindeutig zu bestimmen? - Erinnere dich an die allgemeine Form der Geradengleichung und die Bedeutung ihrer Parameter. - Setze die Koordinaten des zweiten Punktes in die Geradengleichung ein.

1. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts: Da alle Geraden durch \(S(0 \mid 5)\) verlaufen, muss der Parameter \(t = 5\) sein. 2. Beispiele für Teilaufgabe a): Durch Einsetzen beliebiger Werte für \(m\), zum Beispiel \(m = 1\), \(m = 2\) und \(m = -1\), ergeben sich die Gleichungen \(y = x + 5\), \(y = 2x + 5\) und \(y = -x + 5\). 3. Für Teilaufgabe b) werden die Koordinaten von \(Q(4 \mid 2)\) in \(y = mx + 5\) eingesetzt. 4. Lösen der Gleichung: \(2 = 4m + 5 \implies -3 = 4m \implies m = -0{,}75\).

a) Mögliche Lösungen sind \(y = x + 5\), \(y = 2x + 5\) und \(y = -x + 5\). b) Die Steigung der Geraden durch \(S\) und \(Q\) beträgt \(m = -0{,}75\).

- Welche Zahl ist bereits zu Beginn erreicht? - Welche Zahl kommt in jeder Minute gleichmäßig hinzu? - Musst du in Teil c) einen Funktionswert berechnen oder die Gleichung nach der Zeit auflösen?

1. Der Anfangswert ist \(120\), die Änderungsrate \(15\) Kartons pro Minute. Daher gilt \(N(t)=15t+120\). 2. \(N(20)=15\cdot20+120=420\). 3. Für \(N(t)=600\) gilt \(600=15t+120\). Daraus folgt \(t=32\).

a) \(N(t)=15t+120\) b) \(420\) Kartons c) \(32\,\text{min}\)

- Welche allgemeine Form hat eine lineare Funktionsgleichung in diesem Thema? - Wie berechnest du die Steigung aus zwei gegebenen Punkten? - Wie kannst du danach einen der Punkte nutzen, um den fehlenden \(y\)-Achsenabschnitt zu bestimmen?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{5-(-5)}{3-(-2)}=\frac{10}{5}=2\). 2. Einsetzen von \(B(3 \mid 5)\) in \(y=mx+t\) ergibt \(5=2 \cdot 3+t\). Daher ist \(t=-1\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(y=2x-1\).

\(y=2x-1\)

- Welche Information über die Steigung liefert die Parallelität? - Welchen Funktionswert hat ein Punkt auf der \(x\)-Achse? - Wie kannst du mit der bekannten Steigung und dem Achsenschnittpunkt den fehlenden \(y\)-Achsenabschnitt bestimmen?

1. Weil \(k\) parallel zu \(h\) ist, gilt \(m=-1{,}5\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(4 \mid 0)\). 3. Einsetzen in \(y=mx+t\) ergibt \(0=-1{,}5 \cdot 4+t\). Daher ist \(t=6\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(k:y=-1{,}5x+6\).

\(k:y=-1{,}5x+6\)

- Was gilt für die Steigungen paralleler Geraden? - Wie kannst du einen bekannten Punkt nutzen, wenn die Steigung feststeht? - Welche allgemeine Form hat die Geradengleichung in diesem Thema?

1. Weil \(g\) parallel zu \(h\) ist, gilt für die Steigung \(m=-2\). 2. Einsetzen von \(P(3 \mid 4)\) in \(y=mx+t\) ergibt \(4=-2 \cdot 3+t\). 3. Daraus folgt \(t=10\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(g:y=-2x+10\).

\(g:y=-2x+10\)

- Berechne die Steigung von \(A\) nach \(B\) und von \(B\) nach \(C\). - Was müsste für diese beiden Steigungen gelten, wenn alle drei Punkte auf derselben Geraden lägen? - Sind die Steigungen verschieden, können die drei Punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

1. Zwischen \(A(1{,}5 \mid 4)\) und \(B(4 \mid 9)\) ist die Steigung \(m_{AB}=\frac{9-4}{4-1{,}5}=\frac{5}{2{,}5}=2\). 2. Zwischen \(B(4 \mid 9)\) und \(C(6 \mid 13{,}5)\) ist die Steigung \(m_{BC}=\frac{13{,}5-9}{6-4}=\frac{4{,}5}{2}=2{,}25\). 3. Die beiden Steigungen sind verschieden. Deshalb liegen die drei Punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden. 4. Drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte bilden ein Dreieck.

Die Punkte liegen nicht auf einer gemeinsamen Geraden, denn \(m_{AB}=2\) und \(m_{BC}=2{,}25\). Sie bilden ein Dreieck.

- Welche Steigung haben \(p\) und \(q\) nach der angegebenen Regel? - Setze für jede Gerade den gegebenen Punkt in \(y=mx+t\) ein. - Bei der Punktprobe müssen die eingesetzten Koordinaten die Gleichung erfüllen.

1. Wegen der angegebenen Senkrecht-Regel haben beide gesuchten Geraden die Steigung \(m=-1\). 2. Für \(p\) gilt mit \(P(-4|0)\): \(0=-1\cdot(-4)+t\). Daraus folgt \(t=-4\). Also ist \(p: y=-x-4\). 3. Für \(q\) gilt mit \(Q(4|0)\): \(0=-1\cdot4+t\). Daraus folgt \(t=4\). Also ist \(q: y=-x+4\). 4. Punktprobe: Für \(p\) ergibt \(-(-4)-4=0\), also liegt \(P\) auf \(p\). Für \(q\) ergibt \(-4+4=0\), also liegt \(Q\) auf \(q\).

a) \(p: y=-x-4\), \(q: y=-x+4\) b) Beide Punktproben ergeben den y-Wert \(0\); die Gleichungen passen zu \(P\) und \(Q\).

- Welcher Wert gehört zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Wie groß ist die Längenänderung in \(40\) Minuten? - Welchen Funktionswert hat die Papierlänge, wenn die Rolle leer ist?

1. Aus \((0\mid300)\) und \((40\mid220)\) folgt \(m=\frac{220-300}{40}=-2\,\text{m/min}\). Somit gilt \(L(t)=-2t+300\). 2. Für eine leere Rolle gilt \(0=-2t+300\). Daraus folgt \(t=150\).

a) \(L(t)=-2t+300\) b) Nach \(150\,\text{min}\)

- Welche Länge zeigt die Tabelle bei einer Masse von \(0\,\text{g}\)? - Wie kannst du aus zwei Tabellenpaaren die konstante Änderung der Länge pro Gramm bestimmen? - Welche Bedeutung haben Anfangswert und Änderungsrate im Experiment?

1. Aus der Tabelle folgt für \(x=0\) die Länge \(12\,\text{cm}\). Daher ist \(t=12\). 2. Mit den Punkten \((0 \mid 12)\) und \((50 \mid 14{,}5)\) ergibt sich \(m=\frac{14{,}5-12}{50-0}=\frac{2{,}5}{50}=0{,}05\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=0{,}05x+12\). 4. Der Achsenabschnitt \(t=12\) beschreibt die Ausgangslänge der unbelasteten Feder von \(12\,\text{cm}\). Die Steigung \(m=0{,}05\) bedeutet, dass die Feder pro zusätzlichem Gramm Masse um \(0{,}05\,\text{cm}\) länger wird.

a) \(f(x)=0{,}05x+12\) b) \(t=12\) beschreibt die unbelastete Federlänge von \(12\,\text{cm}\); \(m=0{,}05\) beschreibt die Längenzunahme in \(\text{cm}\) pro Gramm.

- Welche Größe in \(f(x)=mx+t\) ist bereits gegeben? - Wie kannst du den Punkt \(P\) nutzen, um \(t\) zu bestimmen? - Welche Gleichung entsteht, wenn du anschließend \(f(x)=11\) setzt?

1. Es gilt \(m=-2\). Mit \(P(4\mid1)\) folgt \(1=-2\cdot4+t\). 2. Daraus ergibt sich \(t=9\), also \(f(x)=-2x+9\). 3. Für Teil b gilt \(11=-2x+9\). 4. Daraus folgt \(-2=-2x\) und damit \(x=-1\).

a) \(f(x)=-2x+9\) b) \(x=-1\)

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Welche Koordinate ist an jedem Punkt der \(y\)-Achse gleich Null? - Welche Koordinate ist an jedem Punkt der \(x\)-Achse gleich Null?

1. Einsetzen von \(P(4|-2)\) ergibt \(-2=0{,}5 \cdot 4+t\). 2. Daraus folgt \(t=-4\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=0{,}5x-4\). 3. Für \(x=0\) ist \(f(0)=-4\), also \(S_y(0|-4)\). 4. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=0{,}5x-4\). Daraus folgt \(x=8\), also \(S_x(8|0)\).

\(t=-4\); \(S_y(0|-4)\) und \(S_x(8|0)\)

- Welche Kabellänge ist bei \(t=0\) vorhanden? - Warum muss die Steigung ein negatives Vorzeichen haben? - Welcher Funktionswert kennzeichnet eine leere Trommel?

1. Anfangswert \(150\), Änderungsrate \(-5\,\text{m/min}\): \(L(t)=150-5t\). 2. Der \(y\)-Achsenabschnitt beschreibt \(150\,\text{m}\) Anfangslänge; die Steigung \(-5\) die Abnahme um \(5\,\text{m}\) pro Minute. 3. \(L(12)=150-60=90\,\text{m}\). 4. \(0=150-5t\) ergibt \(t=30\).

a) \(L(t)=150-5t\) b) Anfangslänge \(150\,\text{m}\); Verbrauch \(5\,\text{m/min}\) c) \(90\,\text{m}\) d) \(30\,\text{min}\)

- Welche Zahl in \(f(x)=mx+t\) beschreibt den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Wie bestimmst du die Steigung aus horizontaler und vertikaler Änderung eines Steigungsdreiecks? - Was gilt für den Achsenabschnitt einer Ursprungsgeraden?

1. In a) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=2\). Die Steigung ist \(m=\frac{-1}{3}\). Daher gilt \(f(x)=-\frac{1}{3}x+2\). 2. In b) ist durch \(P(0|-1{,}5)\) der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-1{,}5\) gegeben. Aus dem Steigungsdreieck folgt \(m=2{,}5\). Daher gilt \(f(x)=2{,}5x-1{,}5\). 3. In c) gilt für eine Ursprungsgerade \(t=0\). Aus dem Steigungsdreieck folgt \(m=\frac{3}{4}\). Daher gilt \(f(x)=\frac{3}{4}x\).

a) \(f(x)=-\frac{1}{3}x+2\) b) \(f(x)=2{,}5x-1{,}5\) c) \(f(x)=\frac{3}{4}x\)

- Welche Rechenoperationen verbinden laut Beschreibung den \(x\)-Wert mit dem \(y\)-Wert? - Wie kannst du prüfen, ob ein gegebenes Koordinatenpaar die aufgestellte Beziehung erfüllt? - Welche Größe ist in Teil c) gegeben und welche soll aus derselben Beziehung bestimmt werden?

1. Die sprachliche Beziehung entspricht \(y=2x+4\). 2. Für \(A(3|10)\) gilt \(2 \cdot 3+4=10\). Daher liegt \(A\) auf der Geraden. 3. Für \(B(-2|1)\) gilt \(2 \cdot (-2)+4=0\). Da \(0 \ne 1\), liegt \(B\) nicht auf der Geraden. 4. Für \(C\) gilt \(15=2x+4\). Daraus folgt \(x=5{,}5\).

a) \(y=2x+4\) b) \(A\) liegt auf der Geraden; \(B\) liegt nicht auf der Geraden. c) \(x=5{,}5\)

- Welche Größe in \(y=mx+t\) kennst du bereits? - Wie bestimmt der Punkt \(P\) den noch fehlenden Achsenabschnitt? - Welche Bedingungen gelten an den beiden Koordinatenachsen?

1. Mit \(P(4\mid1)\) gilt \(1=-0{,}75\cdot4+t\). Daraus folgt \(t=4\). 2. Die Geradengleichung lautet \(y=-0{,}75x+4\). 3. Für \(x=0\) erhält man \(S_y(0\mid4)\). 4. Für \(y=0\) gilt \(0=-0{,}75x+4\). Daraus folgt \(x=\frac{16}{3}\), also \(S_x(\frac{16}{3}\mid0)\).

a) \(y=-0{,}75x+4\) b) \(S_y(0\mid4)\), \(S_x(\frac{16}{3}\mid0)\)

- Wie berechnest du die Steigung aus den beiden gegebenen Punkten? - Wenn du die Steigung kennst, wie kannst du einen der Punkte nutzen, um den y-Achsenabschnitt zu finden? - Für die Punktprobe setzt du die x-Koordinate von \(C\) in deine Funktionsgleichung ein. - Was verändert sich an der Steilheit, wenn die Steigung halbiert wird?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = 3\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(t\): Einsetzen von \(A(1 | 4)\) in \(y = 3x + t\) ergibt \(4 = 3 \cdot 1 + t\), also \(t = 1\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x) = 3x + 1\). 4. Punktprobe für \(C(4 | 13)\): \(f(4)=3\cdot4+1=13\). Also liegt \(C\) auf dem Graphen. 5. Bei Halbierung der Steigung gilt \(m_{neu}=1{,}5\). Der y-Achsenabschnitt bleibt \(1\). Der Graph steigt weiter, verläuft aber flacher.

a) \(f(x)=3x+1\) b) Ja, denn \(f(4)=13\). c) Der Graph bleibt steigend, wird aber flacher; der y-Achsenabschnitt bleibt unverändert.

- Welche allgemeine Form hat eine lineare Funktion \(y=mx+t\)? - Übersetze die Nullstelle und den gegebenen Funktionswert jeweils in eine Bedingung an \(g\). - Überlege für die Eindeutigkeit, welche geometrische Information zwei verschiedene Punkte über eine Gerade liefern.

1. Eine lineare Funktion hat die Form \(g(x)=mx+t\). 2. Aus der Nullstelle folgt \(g(3)=3m+t=0\). 3. Aus \(g(-2)=-1\) folgt \(-2m+t=-1\). 4. Subtrahieren der zweiten Bedingung von der ersten ergibt \(5m=1\), also \(m=0{,}2\). Damit ist \(t=-0{,}6\). 5. Also gilt \(g(x)=0{,}2x-0{,}6\). Die Angaben entsprechen den Punkten \((3|0)\) und \((-2|-1)\); durch zwei verschiedene Punkte verläuft genau eine Gerade.

\(g(x)=0{,}2x-0{,}6\). Die Angaben bestimmen die beiden Punkte \((3|0)\) und \((-2|-1)\); durch zwei verschiedene Punkte verläuft genau eine Gerade.

- Wie kannst du die Steigung einer Geraden berechnen, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welche allgemeine Form \(y=mx+t\) hat eine lineare Funktionsgleichung? - Wie findest du den y-Achsenabschnitt \(t\), wenn du die Steigung und einen Punkt kennst? - Welchen Funktionswert setzt du ein, um die Nullstelle zu bestimmen?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mithilfe der beiden Punkte: \(m=\frac{-4-11}{2-(-3)}=\frac{-15}{5}=-3\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(t\) durch Einsetzen von \(B(2|-4)\) in \(y=mx+t\): \(-4=-3\cdot2+t\), also \(t=2\). 3. Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=-3x+2\). 4. Für die Nullstelle gilt \(0=-3x+2\). Daraus folgt \(x=\frac{2}{3}\).

Funktionsterm: \(f(x) = -3x + 2\) Nullstelle: \(x = \frac{2}{3}\) bzw. \(N\left(\frac{2}{3} \middle| 0\right)\)

- Welchen y-Achsenabschnitt \(t\) kannst du aus der Funktionsgleichung von \(h\) ablesen? - Welcher Punkt auf der y-Achse gehört damit auch zu \(g\)? - Wie bestimmst du die Steigung aus diesem Punkt und \(P(8|3)\)? - Welchen Funktionswert setzt du ein, um die Nullstelle zu bestimmen?

1. Aus \(h(x)=-2x+7\) liest man den y-Achsenabschnitt \(t=7\) ab. Daher liegt auch \(g\) durch \(Q(0|7)\). 2. Mit \(P(8|3)\) und \(Q(0|7)\) gilt \(m=\frac{7-3}{0-8}=-0{,}5\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=-0{,}5x+7\). 4. Für die Nullstelle gilt \(0=-0{,}5x+7\). Daraus folgt \(x=14\).

Funktionsgleichung: \(g(x) = -0{,}5x + 7\) Nullstelle: \(x = 14\) bzw. \(N(14|0)\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er eine Nullstelle ist? - Kannst du zuerst die Stelle finden, an der die Gerade \(g\) die \(x\)-Achse schneidet? - Wenn du zwei Punkte einer Geraden kennst, wie berechnest du dann die Steigung? - Wie gehst du vor, um aus der Steigung und einem Punkt die vollständige Gleichung zu erhalten?

1. Berechnung der Nullstelle von \(g\): \(0 = \frac{1}{3}x - 1 \Rightarrow 1 = \frac{1}{3}x \Rightarrow x = 3\). Die Nullstelle liegt beim Punkt \(N(3 | 0)\). 2. Bestimmung der Steigung \(m\) der Funktion \(f\) mithilfe der Punkte \(A(5 | 2)\) und \(N(3 | 0)\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 2}{3 - 5} = \frac{-2}{-2} = 1\). 3. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts \(t\) durch Einsetzen von \(N(3 | 0)\) in \(f(x) = 1x + t\): \(0 = 3 + t \Rightarrow t = -3\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = x - 3\).

\(f(x) = x - 3\)

- Welche zwei Punkte des Fortschrittsmodells kennst du? - Welche gleichmäßige Änderung pro Minute ergibt sich daraus? - Welcher Funktionswert steht für einen abgeschlossenen Auftrag?

1. \(m=\frac{45-15}{20}=1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute. 2. Mit \(P(0)=15\) gilt \(P(x)=1{,}5x+15\). 3. \(100=1{,}5x+15\) ergibt \(x=\frac{170}{3}\approx56{,}7\).

a) \(P(x)=1{,}5x+15\) b) \(1{,}5\) Prozentpunkte Fortschritt pro Minute c) Nach \(\frac{170}{3}\,\text{min}\approx56{,}7\,\text{min}\)

- Welche Größe ist der Anfangswert? - Warum ist die Steigung negativ? - Welche Funktionswerte gehören zur halben Anfangslänge und zur leeren Rolle?

1. Anfangswert \(20\), Steigung \(-2{,}5\): \(L(t)=-2{,}5t+20\). 2. Für die halbe Länge gilt \(10=-2{,}5t+20\), also \(t=4\). 3. Für eine leere Rolle gilt \(0=-2{,}5t+20\), also \(t=8\).

a) \(L(t)=-2{,}5t+20\) b) Nach \(4\,\text{h}\) c) Nach \(8\,\text{h}\)

- Welcher Wert beschreibt die Temperatur zum Zeitpunkt Null? - Welches Vorzeichen hat die Steigung, wenn die Temperatur gleichmäßig sinkt? - Wie kannst du eine vorgegebene Zieltemperatur verwenden, um die zugehörige Zeit zu bestimmen?

1. Die lineare Funktion hat die Form \(y=mx+t\). Der Anfangswert ist \(t=22\), die Änderungsrate \(m=-4\). Damit gilt \(y=-4x+22\). 2. Für \(x=5{,}5\) ist \(y=-4 \cdot 5{,}5+22=0\). Nach \(5{,}5\,\text{Stunden}\) beträgt die Temperatur \(0\,^\circ\text{C}\). 3. Für die Zieltemperatur gilt \(-18=-4x+22\). Daraus folgt \(x=10\). Die Zieltemperatur wird nach \(10\,\text{Stunden}\) erreicht.

1) \(y=-4x+22\) 2) \(0\,^\circ\text{C}\) 3) Nach \(10\,\text{Stunden}\)

- Welche Datenmenge ist bereits bei \(x=0\) vorhanden? - Wie verändert sich die Datenmenge pro Woche? - Welche Gleichung beschreibt das Erreichen von \(120\,\text{GB}\)?

1. Anfangswert \(45\), Steigung \(7{,}5\,\text{GB/Woche}\): \(D(x)=7{,}5x+45\). 2. Die Punkte sind \((0\mid45)\), \((2\mid60)\), \((4\mid75)\), \((6\mid90)\), \((8\mid105)\). 3. \(120=7{,}5x+45\) ergibt \(x=10\).

1) \(D(x)=7{,}5x+45\) 2) \((0\mid45)\), \((2\mid60)\), \((4\mid75)\), \((6\mid90)\), \((8\mid105)\) 3) Nach \(10\) Wochen

- Welche Form hat eine lineare Funktion, wenn Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt verwendet werden? - Nutze den gegebenen Punkt, um den noch unbekannten Achsenabschnitt zu bestimmen. - Am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist der Funktionswert \(0\).

1. Setze die bekannte Steigung in \(g(x)=-1{,}5x+t\) ein. 2. Mit \(P(-4|7)\) gilt \(7=-1{,}5(-4)+t=6+t\), also \(t=1\). Damit ist \(g(x)=-1{,}5x+1\). 3. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=-1{,}5x+1\). Daraus folgt \(x=\frac{2}{3}\). 4. Der Schnittpunkt lautet \(N\left(\frac{2}{3}\middle|0\right)\).

a) \(g(x)=-1{,}5x+1\) b) \(N\left(\frac{2}{3}\middle|0\right)\)

- Bestimme zuerst die Steigung aus \(P_1\) und \(P_2\). - Wie findest du danach den y-Achsenabschnitt \(t\) mit einem der beiden Punkte? - Welche Rechnung prüft, ob \(Q(3|-3)\) zur Funktion gehört?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{1-4}{1-(-0{,}5)}=\frac{-3}{1{,}5}=-2\). 2. Mit \(P_2(1|1)\) gilt \(1=-2\cdot1+t\). Daher ist \(t=3\) und somit \(f(x)=-2x+3\). 3. Punktprobe für \(Q(3|-3)\): \(f(3)=-2\cdot3+3=-3\). 4. Der berechnete Funktionswert stimmt mit der y-Koordinate von \(Q\) überein. Also liegt \(Q\) auf dem Graphen.

a) \(f(x)=-2x+3\) b) Ja. Für \(x=3\) gilt \(f(3)=-3\).

- Was gibt die Steigung einer Geraden an und wie kann man sie aus zwei Punkten berechnen? - Welche allgemeine Form hat eine lineare Funktionsgleichung? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den fehlenden Parameter in der Gleichung zu finden? - Überlege, welche Informationen du bereits direkt aus der Aufgabenstellung entnehmen kannst.

1. Berechnung der Steigung für \(f\): \(m_f = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-5 - 7}{4 - (-2)} = \frac{-12}{6} = -2\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts für \(f\): Einsetzen von \(A(-2 \mid 7)\) in \(y = -2x + t\) ergibt \(7 = -2 \cdot (-2) + t\), also \(7 = 4 + t\), woraus \(t = 3\) folgt. Die Gleichung lautet \(f(x) = -2x + 3\). 3. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts für \(g\): Einsetzen von \(m = -1{,}5\) und \(C(2 \mid 1)\) in \(y = mx + t\) ergibt \(1 = -1{,}5 \cdot 2 + t\), also \(1 = -3 + t\), woraus \(t = 4\) folgt. Die Gleichung lautet \(g(x) = -1{,}5x + 4\).

a) \(f(x) = -2x + 3\) b) \(g(x) = -1{,}5x + 4\)

- Beginne mit der Steigung von \(f\) aus den beiden gegebenen Punkten. - Danach fehlt in \(f(x)=mx+t\) nur noch der y-Achsenabschnitt. - Bei parallelen Geraden bleibt die Steigung gleich; der y-Achsenabschnitt kann sich ändern.

1. Die Steigung von \(f\) ist \(m_f=\frac{2-5}{4-(-2)}=-\frac{3}{6}=-0{,}5\). 2. Mit \(B(4|2)\) folgt \(2=-0{,}5\cdot4+t\), also \(t=4\). Damit ist \(f(x)=-0{,}5x+4\). 3. Eine zu \(f\) parallele Gerade hat dieselbe Steigung \(-0{,}5\). Mit dem gegebenen y-Achsenabschnitt \(-1\) erhält man \(g(x)=-0{,}5x-1\).

a) \(f(x)=-0{,}5x+4\). b) \(g(x)=-0{,}5x-1\); übernommen wird die Steigung \(-0{,}5\).

- Wo schneidet jede Gerade die \(y\)-Achse? - Welche zwei Gitterpunkte eignen sich jeweils für ein Steigungsdreieck? - Wie bestimmst du aus Höhen- und Breitenunterschied die Steigung und ihr Vorzeichen? - Wie setzt du Steigung und Achsenabschnitt in \(y=mx+t\) ein?

1. Der Graph von \(f\) schneidet die \(y\)-Achse bei \((0|-1)\), also ist \(t_1=-1\). Zwischen \((0|-1)\) und \((2|0)\) gilt \(m_1=\frac{1}{2}=0{,}5\). Daher lautet die Gleichung \(f(x)=0{,}5x-1\). 2. Der Graph von \(g\) schneidet die \(y\)-Achse bei \((0|3)\), also ist \(t_2=3\). Zwischen \((0|3)\) und \((2|0)\) gilt \(m_2=-\frac{3}{2}=-1{,}5\). Daher lautet die Gleichung \(g(x)=-1{,}5x+3\).

a) \(t_1=-1\), \(m_1=0{,}5\); \(f(x)=0{,}5x-1\) b) \(t_2=3\), \(m_2=-1{,}5\); \(g(x)=-1{,}5x+3\)

- Prüfe zuerst Achsenbeschriftungen und Skalierung des Diagramms. - Welche zwei gut ablesbaren Gitterpunkte eignen sich, um die stündliche Änderung zu bestimmen? - Wie kombinierst du die Änderung mit dem Anfangsvolumen zu einem linearen Modell? - Welchen Funktionswert hat das Volumen bei einem leeren Behälter?

1. Auf der waagerechten Gitterlinie bei \(V=4{,}5\) schneidet der Graph bei \(t=5\). Nach \(5\,\text{h}\) sind also noch \(4{,}5\,\text{m}^3\) vorhanden. 2. Aus zwei geeigneten Punkten ergibt sich die Steigung \(m=-1{,}5\,\text{m}^3/\text{h}\). Das Volumen nimmt pro Stunde um \(1{,}5\,\text{m}^3\) ab. 3. Mit dem Anfangswert \(12\,\text{m}^3\) lautet das Modell \(V(t)=12-1{,}5t\). 4. Für den leeren Behälter gilt \(0=12-1{,}5t\). Daraus folgt \(t=8\,\text{h}\).

a) \(5\,\text{h}\) b) \(-1{,}5\,\text{m}^3/\text{h}\); \(V(t)=12-1{,}5t\); leer nach \(8\,\text{h}\)

- Kannst du die genauen Koordinaten der beiden markierten Punkte auf jeder Geraden ablesen? - Wie berechnet man die Steigung \(m\) mithilfe von zwei gegebenen Punkten? Erinnere dich an die Formel für das Steigungsdreieck. - Wo schneidet die Gerade die \(y\)-Achse? Dieser Wert entspricht dem \(y\)-Achsenabschnitt \(t\). - Setze die ermittelten Werte für \(m\) und \(t\) am Ende in die allgemeine Form \(y = mx + t\) ein.

1. **Gerade \(f\):** - Die zwei markierten Punkte sind \(P_1(0 \mid -1)\) und \(P_2(3 \mid 1)\). - Da der Punkt \(P_1\) auf der \(y\)-Achse liegt, lässt sich der \(y\)-Achsenabschnitt direkt ablesen: \(t = -1\). - Die Steigung \(m\) wird mit der Formel \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) berechnet: \(m = \frac{1 - (-1)}{3 - 0} = \frac{2}{3}\). - Die Funktionsgleichung für \(f\) lautet somit: \(y = \frac{2}{3}x - 1\). 2. **Gerade \(g\):** - Die zwei markierten Punkte sind \(Q_1(-1 \mid 3)\) und \(Q_2(1 \mid -1)\). - Die Steigung \(m\) wird berechnet durch: \(m = \frac{-1 - 3}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2\). - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 1)\), woraus sich \(t = 1\) ergibt. (Alternativ durch Einsetzen eines Punktes in \(y = -2x + t\): \(-1 = -2 \cdot 1 + t \implies t = 1\)). - Die Funktionsgleichung für \(g\) lautet somit: \(y = -2x + 1\).

Gerade \(f\): \(m = \frac{2}{3}\), \(t = -1\), \(y = \frac{2}{3}x - 1\); Gerade \(g\): \(m = -2\), \(t = 1\), \(y = -2x + 1\).

- Lies bei jeder Geraden zuerst den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ab. - Suche zusätzlich einen gut ablesbaren Gitterpunkt auf jeder Geraden. - Vergleiche die waagerechte und senkrechte Änderung zwischen zwei Punkten, um die Steigung zu bestimmen. - Achte darauf, dass eine von links nach rechts fallende Gerade eine negative Steigung hat.

1. Bei \(f\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 1\). Mit den Punkten \((0 \mid 1)\) und \((2 \mid 4)\) ist \(m = \frac{4-1}{2-0} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). Daher gilt \(y = 1{,}5x + 1\). 2. Bei \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = -2\). Mit den Punkten \((0 \mid -2)\) und \((2 \mid -3)\) ist \(m = \frac{-3-(-2)}{2-0} = -\frac{1}{2} = -0{,}5\). Daher gilt \(y = -0{,}5x - 2\). 3. Bei \(h\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 3\). Mit den Punkten \((0 \mid 3)\) und \((3 \mid 0)\) ist \(m = \frac{0-3}{3-0} = -1\). Daher gilt \(y = -x + 3\).

Gerade \(f\): \(y = 1{,}5x + 1\) oder \(y = \frac{3}{2}x + 1\); Gerade \(g\): \(y = -0{,}5x - 2\) oder \(y = -\frac{1}{2}x - 2\); Gerade \(h\): \(y = -x + 3\).

- Lies zuerst die Koordinaten der beiden markierten Punkte sorgfältig ab. - Vergleiche die Änderung der \(y\)-Werte mit der Änderung der \(x\)-Werte. - Wenn die Steigung feststeht, kannst du einen markierten Punkt in \(y=mx+t\) einsetzen.

1. Aus der Grafik liest man \(P_1(1\mid5)\) und \(P_2(4\mid-1)\) ab. 2. Die Steigung ist \(m=\frac{-1-5}{4-1}=\frac{-6}{3}=-2\). 3. Einsetzen von \(P_1\) in \(g(x)=mx+t\) ergibt \(5=-2\cdot1+t\), also \(t=7\). 4. Damit lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=-2x+7\).

a) \(m=-2\) b) \(t=7\); \(y\)-Achsenabschnitt \((0\mid7)\) c) \(g(x)=-2x+7\)

- Vergleiche zuerst die Schnittpunkte der vier Geraden mit der senkrechten Achse. - Suche für jede Gerade zusätzlich einen gut ablesbaren Gitterpunkt. - Ein Steigungsdreieck zeigt, wie sich der Funktionswert bei einer waagerechten Änderung verändert. - Vergleiche nach dem Aufstellen der Gleichungen besonders die konstanten Glieder.

1. Für \(g_1\) kann man \((0 \mid 2)\) und \((2 \mid 4)\) verwenden. Damit ist \(m=\frac{4-2}{2-0}=1\) und \(g_1: y=x+2\). 2. Für \(g_2\) kann man \((0 \mid 2)\) und \((1 \mid 0)\) verwenden. Damit ist \(m=\frac{0-2}{1-0}=-2\) und \(g_2: y=-2x+2\). 3. Für \(g_3\) kann man \((0 \mid 2)\) und \((4 \mid 4)\) verwenden. Damit ist \(m=\frac{4-2}{4-0}=0{,}5\) und \(g_3: y=0{,}5x+2\). 4. Für \(g_4\) kann man \((0 \mid 2)\) und \((4 \mid 0)\) verwenden. Damit ist \(m=\frac{0-2}{4-0}=-0{,}5\) und \(g_4: y=-0{,}5x+2\). 5. Alle vier Geraden haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(t=2\) und schneiden sich daher im Punkt \((0 \mid 2)\).

\(g_1: y=x+2\), \(g_2: y=-2x+2\), \(g_3: y=0{,}5x+2\), \(g_4: y=-0{,}5x+2\). Alle vier Geraden haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(t=2\).

- Lies zuerst bei jeder Geraden den Schnittpunkt mit der senkrechten Achse ab. - Suche anschließend einen zweiten gut ablesbaren Punkt auf jeder Geraden. - Vergleiche die Änderung der Funktionswerte mit der Änderung der \(x\)-Werte. - Die Zuordnungsvorschrift beschreibt mit denselben Termen, welchem Wert ein gegebenes \(x\) zugeordnet wird.

1. Bei \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-2\). Mit den Punkten \((0 \mid -2)\) und \((2 \mid 1)\) ergibt sich \(m=\frac{1-(-2)}{2-0}=\frac{3}{2}=1{,}5\). Damit lautet die Gleichung \(y=1{,}5x-2\) und die Zuordnungsvorschrift \(x \mapsto 1{,}5x-2\). 2. Bei \(h\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=3\). Mit den Punkten \((0 \mid 3)\) und \((3 \mid 0)\) ergibt sich \(m=\frac{0-3}{3-0}=-1\). Damit lautet die Gleichung \(y=-x+3\) und die Zuordnungsvorschrift \(x \mapsto -x+3\).

Gerade \(g\): \(y=1{,}5x-2\), Zuordnungsvorschrift \(x \mapsto 1{,}5x-2\); Gerade \(h\): \(y=-x+3\), Zuordnungsvorschrift \(x \mapsto -x+3\).

- Prüfe zuerst, ob eine der Geraden waagerecht verläuft. - Lies bei den übrigen Geraden den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ab. - Nutze zwei gut erkennbare Gitterpunkte, um die Steigung und ihr Vorzeichen zu bestimmen.

1. Die Gerade \(f\) verläuft waagerecht durch \(y=2\). Ihre Steigung ist \(m=0\), also lautet die Gleichung \(y=2\). 2. Bei \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\). Bei einer Änderung von \(1\) nach rechts fällt die Gerade um \(1\), also ist \(m=-1\). Damit gilt \(y=-x+1\). 3. Bei \(h\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-3\). Zwischen \((0 \mid -3)\) und \((3 \mid 0)\) gilt \(m=\frac{0-(-3)}{3-0}=1\). Damit gilt \(y=x-3\).

\(f: y=2\); \(g: y=-x+1\); \(h: y=x-3\)

- Lies zuerst den Schnittpunkt der Geraden mit der senkrechten Achse ab. - Suche danach einen zweiten Punkt, dessen Koordinaten sich genau am Gitter ablesen lassen. - Vergleiche die senkrechte Änderung mit der waagerechten Änderung zwischen den beiden Punkten.

1. Die Gerade schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0 \mid 1)\). Daher ist \(t=1\). 2. Mit den Punkten \((0 \mid 1)\) und \((2 \mid 2)\) ergibt sich \(m=\frac{2-1}{2-0}=\frac{1}{2}=0{,}5\). 3. Mit \(m=0{,}5\) und \(t=1\) lautet die Funktionsgleichung \(y=0{,}5x+1\).

a) \(t=1\) b) \(m=0{,}5\) c) \(y=0{,}5x+1\)

- Lies bei jeder Geraden zuerst den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ab. - Suche anschließend einen zweiten Punkt, dessen Koordinaten am Gitter eindeutig ablesbar sind. - Vergleiche die senkrechte mit der waagerechten Änderung; das Vorzeichen zeigt, ob die Gerade steigt oder fällt. - Setze Steigung und Achsenabschnitt anschließend in die Form \(y=mx+t\) ein.

1. Bei \(f\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t_f=4\). Mit den Punkten \((0 \mid 4)\) und \((1 \mid 1)\) ergibt sich \(m_f=\frac{1-4}{1-0}=-3\). Daher gilt \(f(x)=-3x+4\). 2. Bei \(h\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t_h=-3\). Mit den Punkten \((0 \mid -3)\) und \((5 \mid -1)\) ergibt sich \(m_h=\frac{-1-(-3)}{5-0}=\frac{2}{5}=0{,}4\). Daher gilt \(h(x)=0{,}4x-3\).

\(f(x)=-3x+4\) und \(h(x)=0{,}4x-3\)

- Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes zusammen mit der vorgegebenen Steigung in die allgemeine Form \(y=mx+t\) ein. - Danach bleibt nur der Achsenabschnitt als Unbekannte übrig. - Prüfe beim letzten Teil besonders, was eine \(x\)-Koordinate von \(0\) bedeutet.

1. Für a) gilt \(5=-2 \cdot 2+t\). Daraus folgt \(t=9\) und damit \(y=-2x+9\). 2. Für b) gilt \(-1=0{,}5 \cdot (-4)+t\). Daraus folgt \(t=1\) und damit \(y=0{,}5x+1\). 3. Für c) gilt \(0=\frac{4}{3} \cdot 3+t\). Daraus folgt \(t=-4\) und damit \(y=\frac{4}{3}x-4\). 4. Für d) liegt \(P\) auf der \(y\)-Achse. Daher ist direkt \(t=-2{,}5\), also \(y=-1{,}5x-2{,}5\).

a) \(t=9\), \(y=-2x+9\) b) \(t=1\), \(y=0{,}5x+1\) c) \(t=-4\), \(y=\frac{4}{3}x-4\) d) \(t=-2{,}5\), \(y=-1{,}5x-2{,}5\)

- Welche Punkte auf den Geraden lassen sich besonders sicher aus dem Koordinatensystem ablesen? - Welche Information liefert der Schnittpunkt einer Geraden mit der \(y\)-Achse über \(t\)? - Was bedeutet eine waagerechte Gerade für die Steigung? - Wie kannst du aus zwei Punkten die Steigung bestimmen?

1. \(h_1\) verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und den Punkt \((4 \mid 1)\). Daher ist \(m=\frac{1}{4}=0{,}25\) und \(h_1: y=0{,}25x\). 2. Bei \(h_2\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=4\). Mit dem Punkt \((4 \mid 2)\) ergibt sich \(m=\frac{2-4}{4-0}=-0{,}5\). Also gilt \(h_2: y=-0{,}5x+4\). 3. \(h_3\) ist waagerecht und schneidet die \(y\)-Achse bei \(-3\). Daher gilt \(h_3: y=-3\). 4. Bei \(h_4\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=4\). Mit dem Punkt \((-2 \mid 0)\) erhält man \(m=\frac{4-0}{0-(-2)}=2\). Somit gilt \(h_4: y=2x+4\).

\(h_1: y=0{,}25x\), \(h_2: y=-0{,}5x+4\), \(h_3: y=-3\), \(h_4: y=2x+4\)

- Welche Werte entsprechen jeweils einem Gitterabstand auf der Zeit- und auf der Volumenachse? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du für die Änderungsrate verwenden? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei \(t=0\)? - Liegt \(t=12\) noch im dargestellten Bereich? Wenn nicht, nutze deine Funktionsgleichung.

1. Aus dem Diagramm lassen sich zum Beispiel die Punkte \(P_1(0 \mid 10)\) und \(P_2(4 \mid 20)\) ablesen. 2. Die Steigung ist \(m=\frac{20-10}{4-0}=\frac{10}{4}=2{,}5\). Pro Minute kommen also \(2{,}5\,\text{l}\) hinzu. 3. Der Anfangswert beträgt \(10\,\text{l}\). Daher lautet die Funktionsgleichung \(V(t)=2{,}5t+10\). 4. Für \(t=12\) gilt \(V(12)=2{,}5\cdot12+10=40\).

a) \(V(t)=2{,}5t+10\) b) Nach \(12\,\text{min}\) befinden sich \(40\,\text{l}\) Wasser im Behälter.

- Welche Größen stehen auf den beiden Achsen, und wie kannst du den zu \(240\,\text{l}\) gehörenden Zeitwert ablesen? - Welchen Anfangswert zeigt der Graph bei \(t=0\)? - Welche zwei Punkte des Graphen eignen sich, um die konstante Änderungsrate zu bestimmen? - Wie kannst du mit der gefundenen Funktionsgleichung die Zeit zu einem vorgegebenen Volumen berechnen?

1. Im Graphen gehört zum Volumen \(240\,\text{l}\) die Zeit \(t=7\,\text{min}\). 2. Der Graph schneidet die Volumenachse bei \(100\,\text{l}\). Außerdem liegt zum Beispiel der Punkt \((7 \mid 240)\) auf dem Graphen. 3. Die Steigung beträgt \(m=\frac{240-100}{7-0}=20\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(V(t)=20t+100\). 4. Für \(V(t)=360\) gilt \(360=20t+100\). Daraus folgt \(260=20t\) und damit \(t=13\).

a) Nach \(7\,\text{min}\) sind \(240\,\text{l}\) im Tank. b) \(V(t)=20t+100\); \(360\,\text{l}\) werden nach \(13\,\text{min}\) erreicht.

- Wie kannst du im Graphen den Funktionswert zur Zeit \(4\,\text{h}\) ablesen? - Welchen Anfangswert zeigt der Graph bei \(t=0\)? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du verwenden, um die Änderungsrate zu bestimmen? - Wie lässt sich mit der Funktionsgleichung die Zeit zu einer vorgegebenen Höhe bestimmen?

1. Im Graphen lässt sich bei \(t=4\) die Höhe \(18\,\text{cm}\) ablesen. 2. Der Anfangswert beträgt \(24\,\text{cm}\). Zusammen mit dem Punkt \((4 \mid 18)\) ergibt sich die Steigung \(m=\frac{18-24}{4-0}=-1{,}5\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(h(t)=-1{,}5t+24\). 4. Für \(h(t)=9\) gilt \(9=-1{,}5t+24\). Daraus folgt \(-15=-1{,}5t\) und damit \(t=10\).

a) Nach \(4\,\text{h}\) ist die Kerze \(18\,\text{cm}\) hoch. b) \(h(t)=-1{,}5t+24\); die Höhe \(9\,\text{cm}\) wird nach \(10\,\text{h}\) erreicht.

- Welche Werte kannst du an den Schnittpunkten der Geraden mit der \(y\)-Achse direkt ablesen? - Wie kannst du den gemeinsamen Punkt \(S\) zusammen mit einem Achsenschnittpunkt zur Bestimmung der Steigung nutzen? - Welche Vorzeichen müssen die beiden Steigungen aufgrund des Verlaufs der Geraden haben?

1. Für \(f\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-2\). Vom Punkt \((0 \mid -2)\) zum Punkt \(S(2 \mid 1)\) gilt \(\Delta x=2\) und \(\Delta y=3\). Daher ist \(m=\frac{3}{2}=1{,}5\). 2. Somit gilt \(f: y=1{,}5x-2\). 3. Für \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=4\). Vom Punkt \((0 \mid 4)\) zum Punkt \(S(2 \mid 1)\) gilt \(\Delta x=2\) und \(\Delta y=-3\). Daher ist \(m=-\frac{3}{2}=-1{,}5\). 4. Somit gilt \(g: y=-1{,}5x+4\).

Für \(f\): \(m=1{,}5\), \(t=-2\) Für \(g\): \(m=-1{,}5\), \(t=4\)

- Was bedeutet es für die Steigung, wenn eine Gerade parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Welche Werte kannst du an den Schnittpunkten mit der \(y\)-Achse direkt ablesen? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte eignen sich bei \(b\), um die Steigung zu bestimmen?

1. Die Gerade \(a\) verläuft waagerecht. Daher ist ihre Steigung \(m=0\). Sie schneidet die \(y\)-Achse bei \(t=-3\), also gilt \(a: y=-3\). 2. Die Gerade \(b\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t=2\). Mit den Punkten \((0 \mid 2)\) und \((-1 \mid 5)\) ergibt sich \(m=\frac{5-2}{-1-0}=-3\). 3. Damit gilt \(b: y=-3x+2\).

Gerade \(a\): \(y=-3\) mit \(m=0\) und \(t=-3\) Gerade \(b\): \(y=-3x+2\) mit \(m=-3\) und \(t=2\)

- Welche beiden Achsenschnittpunkte kannst du bei jeder Geraden besonders sicher ablesen? - Welche Information liefert der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse über \(t\)? - Wie kannst du aus zwei Achsenschnittpunkten die Steigung berechnen?

1. Für \(f\) kann man den \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid 4)\) und die Nullstelle \((4 \mid 0)\) ablesen. Damit ist \(t=4\) und \(m=\frac{0-4}{4-0}=-1\). 2. Also gilt \(f(x)=-x+4\). 3. Für \(g\) kann man den \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid -2)\) und die Nullstelle \((1 \mid 0)\) ablesen. Damit ist \(t=-2\) und \(m=\frac{0-(-2)}{1-0}=2\). 4. Also gilt \(g(x)=2x-2\).

\(f(x)=-x+4\) \(g(x)=2x-2\)

- Welche Anfangsvolumina kannst du bei \(t=0\) direkt aus dem Graphen ablesen? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte eignen sich für die Steigungsberechnung bei jedem Tank? - Was bedeutet das Vorzeichen der Steigung jeweils im Sachzusammenhang?

1. Für Tank 1 liest man bei \(t=0\) den Anfangswert \(10\,\text{l}\) ab. Außerdem liegt zum Beispiel der Punkt \((5 \mid 30)\) auf \(v_1\). Daher ist \(m=\frac{30-10}{5-0}=4\). 2. Somit gilt für Tank 1 \(V_1(t)=4t+10\). 3. Für Tank 2 liest man bei \(t=0\) den Anfangswert \(50\,\text{l}\) ab. Bei \(t=10\,\text{min}\) ist das Volumen \(0\,\text{l}\). Daher ist \(m=\frac{0-50}{10-0}=-5\). 4. Somit gilt für Tank 2 \(V_2(t)=-5t+50\).

Tank 1: \(V_1(t)=4t+10\) Tank 2: \(V_2(t)=-5t+50\)

- Welche Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse kannst du direkt ablesen? - Welche weiteren Gitterpunkte eignen sich jeweils zur Bestimmung der Steigung? - Wie setzt sich eine lineare Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\) aus Steigung und Achsenabschnitt zusammen?

1. Für \(f\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-2\). Mit den Punkten \((0 \mid -2)\) und \((2 \mid 1)\) ergibt sich \(m=\frac{1-(-2)}{2-0}=\frac{3}{2}=1{,}5\). Daher gilt \(f(x)=1{,}5x-2\). 2. Für \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=3\). Die Gerade schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=6\), also ist \(m=\frac{0-3}{6-0}=-0{,}5\). Daher gilt \(g(x)=-0{,}5x+3\). 3. Für \(h\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\). Mit dem Punkt \((3 \mid 2)\) ergibt sich \(m=\frac{2-1}{3-0}=\frac{1}{3}\). Daher gilt \(h(x)=\frac{1}{3}x+1\).

\(f(x)=1{,}5x-2\); \(g(x)=-0{,}5x+3\); \(h(x)=\frac{1}{3}x+1\)

- Welche zwei gut ablesbaren Punkte sind in der Grafik markiert? - Wie bestimmst du aus diesen Punkten die Steigung \(m\)? - Welchen Wert hat \(y\), wenn \(x=0\)?

1. Aus den markierten Punkten \((0\mid4)\) und \((3\mid10)\) folgt \(m=\frac{10-4}{3}=2\). 2. Der Achsenabschnitt ist \(t=4\). Daher lautet die Funktionsgleichung \(y=2x+4\).

\(y=2x+4\)

- Welche beiden markierten Punkte kannst du besonders sicher ablesen? - Wie bestimmst du aus zwei Punkten die Steigung \(m\)? - Welcher der beiden Punkte liefert den Achsenabschnitt \(t\) unmittelbar?

1. Aus dem Graphen liest man die Punkte \((0\mid6)\) und \((3\mid0)\) ab. 2. Die Steigung ist \(m=\frac{0-6}{3-0}=-2\). 3. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t=6\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(y=-2x+6\). 4. Zur Kontrolle erfüllt auch der zweite markierte Punkt die Gleichung: \(0=-2\cdot3+6\).

\(y=-2x+6\)

- Welche Werte kannst du an den Schnittpunkten der Geraden mit der \(y\)-Achse direkt ablesen? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte eignen sich jeweils für die Steigungsberechnung? - Woran erkennst du am Graphen das Vorzeichen der Steigung?

1. Für \(f\) liegt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(2\), also ist \(t=2\). Mit den Punkten \((0 \mid 2)\) und \((4 \mid 3)\) ergibt sich \(m=\frac{3-2}{4-0}=\frac{1}{4}=0{,}25\). Daher gilt \(f(x)=0{,}25x+2\). 2. Für \(g\) liegt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(1\), also ist \(t=1\). Mit dem Punkt \((4 \mid -2)\) ergibt sich \(m=\frac{-2-1}{4-0}=-\frac{3}{4}=-0{,}75\). Daher gilt \(g(x)=-0{,}75x+1\).

\(f(x)=0{,}25x+2\) und \(g(x)=-0{,}75x+1\)

- Vergleiche, wie sich die Funktionswerte ändern, wenn die Argumente jeweils um \(1\) zunehmen. - Nutze besonders das Wertepaar mit \(x=0\), um den konstanten Anteil der Regel zu erkennen. - Prüfe eine gefundene Regel an mindestens einem Tabellenwert.

1. Wenn das Argument um \(1\) größer wird, wird der Funktionswert jeweils um \(2\) kleiner. Bei \(x=0\) ist der Funktionswert \(1\). Eine passende Beschreibung lautet: Verdopple das Argument, ändere das Vorzeichen und addiere \(1\). 2. Ein passender Funktionsterm ist \(f(x)=1-2x\). 3. Für \(x=-1\) ergibt sich \(f(-1)=1-2\cdot(-1)=3\). Das stimmt mit der Tabelle überein.

a) Verdopple das Argument, ändere das Vorzeichen und addiere \(1\). b) \(f(x)=1-2x\) c) \(f(-1)=3\); der Term passt zur Tabelle.

- Prüfe nicht nur, wie viele Angaben genannt werden, sondern ob sie voneinander unabhängige Informationen liefern. - Welche Information steckt bereits in einer Nullstelle? - Wann legen ein Punkt und eine Steigung genau eine Gerade fest? - Was bedeutet es, wenn zwei Angaben in Wirklichkeit denselben Punkt beschreiben?

1. a) Die beiden Angaben beschreiben denselben einzelnen Punkt. Durch einen Punkt verlaufen unendlich viele Geraden. Die Angaben reichen nicht aus. 2. b) Eine Steigung und ein Punkt bestimmen genau eine Gerade. Die Angaben reichen aus. 3. c) Zwei Punkte mit verschiedenen \(x\)-Koordinaten bestimmen genau eine Gerade. Die Angaben reichen aus. 4. d) Die Nullstelle \(x_0=5\) bedeutet bereits den Punkt \((5\mid0)\). Die zweite Angabe ist daher nur eine Wiederholung; die Angaben reichen nicht aus. 5. e) Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt legen \(y=mx+t\) eindeutig fest. Die Angaben reichen aus.

a) nicht ausreichend b) ausreichend c) ausreichend d) nicht ausreichend e) ausreichend

- Rechne zuerst aus, um wie viele Prozentpunkte der Akkuladestand in einer Stunde sinkt. Bleibt dieser Wert zwischen allen Messpunkten gleich? - Wie viele Stunden sind von 10:00 Uhr bis 16:30 Uhr vergangen? - Wenn du weißt, wie viel der Akku pro Stunde verliert, kannst du ausrechnen, wie lange die verbleibende Akkuladung noch reicht. - Ein Term hilft dir, beliebige Zeiten einzusetzen. Was ist der Startwert und was wird abgezogen?

1. Durchschnittlicher Verbrauch (a): Von 10:00 bis 12:00 Uhr (2 h): \(100 - 84 = 16\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 12:00 bis 14:00 Uhr (2 h): \(84 - 68 = 16\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 14:00 bis 15:00 Uhr (1 h): \(68 - 60 = 8\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 15:00 bis 18:00 Uhr (3 h): \(60 - 36 = 24\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Der Verbrauch ist über den gesamten Zeitraum konstant. 2. Ladestand um 16:30 Uhr (b): Von 10:00 bis 16:30 Uhr sind \(6{,}5\,\text{Stunden}\) vergangen. Einsetzen ergibt \(100 - 8 \cdot 6{,}5 = 48\). Der Ladestand beträgt \(48\,\%\). 3. Zeitpunkt für \(0\,\%\) (c): \(100 - 8x = 0 \Rightarrow 8x = 100 \Rightarrow x = 12{,}5\). \(12{,}5\,\text{Stunden}\) nach 10:00 Uhr ist 22:30 Uhr. 4. Funktionsterm (d): Mit dem Startwert \(100\) und einer Abnahme von \(8\) Prozentpunkten pro Stunde gilt \(y = 100 - 8x\).

a) Der Verbrauch ist konstant und beträgt \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. b) Um 16:30 Uhr beträgt der Ladestand \(48\,\%\). c) Der Akku wird um 22:30 Uhr leer sein. d) Der Term lautet \(y = 100 - 8x\).

- Was passiert mit der Höhe, wenn die Zeit verstreicht? Startet die Höhe bei Null? - Wie viel Zentimeter verliert die Kerze in einer einzigen Stunde? - Kannst du eine Formel schreiben, die mit der Anfangshöhe beginnt?

1. Prüfung der Proportionalität: Eine proportionale Zuordnung müsste bei \(0\,\text{h}\) den Wert \(0\,\text{cm}\) haben. Hier ist die Höhe bei \(0\,\text{h}\) jedoch \(30\,\text{cm}\). Die Zuordnung ist daher nicht proportional. 2. Berechnung der Abnahmerate: In \(4\,\text{h}\) verliert die Kerze \(30\,\text{cm} - 22\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). Die Rate beträgt \(8\,\text{cm} : 4\,\text{h} = 2\,\text{cm/h}\). 3. Aufstellen des Terms: Nach \(x\) Stunden wurden insgesamt \(2x\) Zentimeter abgebrannt. Daher gilt \(h(x) = 30 - 2x\) für \(0 \le x \le 15\). 4. Berechnung für \(x = 7{,}5\): \(h(7{,}5) = 30 - 2 \cdot 7{,}5 = 30 - 15 = 15\). Die Höhe beträgt \(15\,\text{cm}\).

a) Die Zuordnung ist nicht proportional, da sie nicht durch den Ursprung \((0|0)\) verläuft: Zu Beginn ist die Kerze \(30\,\text{cm}\) hoch. b) Solange die Kerze brennt, gilt \(h(x) = 30 - 2x\) für \(0 \le x \le 15\). c) Nach \(7{,}5\,\text{Stunden}\) ist die Kerze noch \(15\,\text{cm}\) hoch.

- Was weißt du über den Funktionswert an einer Nullstelle? Nutze dies, um die fehlende Zahl in der Gleichung zu finden. - Wie berechnet man den \(y\)-Wert eines Punktes, wenn die Funktionsgleichung und der \(x\)-Wert bekannt sind? - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Funktionen für denselben \(x\)-Wert.

1. Bestimmung von \(b\): Da die Nullstelle bei \(x = -2\) liegt, gilt \(p(-2) = 0\). \(3 \cdot (-2) + b = 0 \Rightarrow -6 + b = 0 \Rightarrow b = 6\). Die Funktionsgleichung lautet \(p(x) = 3x + 6\). 2. Berechnung des Punktes \(P\): Berechne \(p(1)\). \(p(1) = 3 \cdot 1 + 6 = 9\). Der Punkt ist \(P(1|9)\). 3. Vergleich mit \(q\): Berechne den Funktionswert \(q(1)\). \(q(1) = -2 \cdot 1 + 5 = 3\). 4. Da \(9 > 3\), liegt der Punkt \(P\) oberhalb des Graphen der Funktion \(q\).

a) Der Parameter ist \(b = 6\). b) Der Punkt \(P(1|9)\) liegt oberhalb des Graphen von \(q\), da \(p(1) = 9\) und \(q(1) = 3\).

- Welchen Wert der Funktionsgleichung kannst du direkt aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ablesen? - Überlege dir die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks und welche Größen gegeben sind. - Wenn du zwei Punkte des Graphen kennst, wie kannst du daraus die Steigung bestimmen?

1. Da der Punkt \(P(0 \mid 6)\) auf der \(y\)-Achse liegt, ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=6\). 2. Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks im ersten Quadranten ist \(A=\frac{1}{2} \cdot x_0 \cdot t\), wobei \(x_0\) die Nullstelle ist. 3. Einsetzen ergibt \(15=\frac{1}{2} \cdot x_0 \cdot 6\). Daraus folgt \(x_0=5\). 4. Mit den Punkten \((0 \mid 6)\) und \((5 \mid 0)\) ist \(m=\frac{0-6}{5-0}=-1{,}2\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x)=-1{,}2x+6\).

a) Die Nullstelle der Funktion \(g\) ist \(x=5\). b) Die Funktionsgleichung lautet \(g(x)=-1{,}2x+6\).

- Welche Information liefert der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse für den Wert von \(t\)? - Was muss für den Verlauf einer Geraden gelten, damit ihr Funktionswert niemals \(0\) wird? - Welche Koordinaten hat ein Punkt auf der \(x\)-Achse?

1. Aus dem \(y\)-Achsenabschnitt folgt \(t=-3\). Einsetzen der Nullstelle \((6 \mid 0)\) in \(0=6m-3\) ergibt \(m=0{,}5\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=0{,}5x-3\). 2. Damit eine lineare Funktion keine Nullstelle hat, muss ihr Graph als waagerechte Gerade parallel zur \(x\)-Achse verlaufen. Dafür gilt \(m=0\), und der konstante Funktionswert darf nicht \(0\) sein. 3. Da die Gerade durch \(P(2 \mid 5)\) verläuft, ist der Funktionswert überall \(5\). Somit gilt \(f(x)=5\).

a) \(f(x)=0{,}5x-3\) b) \(f(x)=5\). Es gilt \(m=0\); die waagerechte Gerade liegt oberhalb der \(x\)-Achse und hat daher keine Nullstelle.

- Achte genau auf die Richtungen im Steigungsdreieck: „nach links“ bedeutet eine negative Änderung in \(x\)-Richtung. - Wie kannst du einen bekannten Punkt nutzen, wenn die Steigung schon feststeht? - Setze die Punktkoordinaten in die allgemeine Form \(y=mx+t\) ein.

1. „\(5\) Einheiten nach links“ bedeutet \(\Delta x=-5\), „\(2\) Einheiten nach oben“ bedeutet \(\Delta y=2\). Daher ist \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2}{-5}=-0{,}4\). 2. Einsetzen von \(m=-0{,}4\) und \(P(2 \mid 1)\) in \(y=mx+t\) ergibt \(1=-0{,}4 \cdot 2+t\). 3. Daraus folgt \(t=1{,}8\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(h(x)=-0{,}4x+1{,}8\).

\(m=-0{,}4\), \(t=1{,}8\) und \(h(x)=-0{,}4x+1{,}8\)

- Wenn zwei Geraden parallel sind, was wissen wir dann über ihr \(m\)? - Überlege dir bei einer horizontalen Geraden: Ändert sich der \(y\)-Wert, wenn du auf der Geraden nach links oder rechts gehst? - Führe die Änderungen Schritt für Schritt nacheinander an den Werten für \(m\) und \(t\) durch.

1. Parallelität zu \(p(x) = -4x + 10\) bedeutet gleiche Steigung, also \(m = -4\). Der \(y\)-Achsenabschnitt von \(q(x) = 0{,}5x - 2\) ist \(t = -2\). Somit lautet die Gleichung \(h(x) = -4x - 2\). 2. Eine horizontale Gerade hat die Steigung \(m = 0\). Wenn sie durch den Punkt \(P(5|3)\) verläuft, muss der \(y\)-Wert für alle \(x\) gleich \(3\) sein, also ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 3\). Die Gleichung lautet \(h(x) = 3\). 3. Die Ausgangsfunktion ist \(f(x) = 1 \cdot x + 0\). Verdopplung der Steigung führt zu \(m = 1 \cdot 2 = 2\). Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten bedeutet \(t = 0 - 3 = -3\). Die neue Gleichung ist \(h(x) = 2x - 3\).

a) \(h(x) = -4x - 2\) b) \(m = 0\) und \(t = 3\); Gleichung: \(h(x) = 3\) c) \(h(x) = 2x - 3\)

- Was gilt für die Steigungen paralleler Geraden? - Wie kannst du mit einem gegebenen Punkt den noch fehlenden \(y\)-Achsenabschnitt bestimmen? - Woran erkennst du, dass zwei Geraden nicht nur parallel, sondern identisch sind?

1. Für \(h\) gilt wegen der Parallelität \(m=1{,}5\) und wegen des Achsenabschnitts \(t=4\). Damit ist \(h: y=1{,}5x+4\). 2. Für \(i\) gilt ebenfalls \(m=1{,}5\). Einsetzen von \(P(2 \mid 1)\) ergibt \(1=1{,}5 \cdot 2+t\), also \(t=-2\). Damit ist \(i: y=1{,}5x-2\). 3. Für \(j\) gilt wegen der Parallelität zur \(x\)-Achse \(m=0\). Der gemeinsame \(y\)-Achsenabschnitt mit \(g\) ist \(t=-2\), also \(j:y=-2\). 4. \(g\) und \(i\) haben dieselbe Gleichung und sind identisch. \(h\) hat dieselbe Steigung, aber einen anderen \(y\)-Achsenabschnitt und ist daher zu beiden echt parallel. \(j\) hat die Steigung \(0\) und ist zu keiner der drei anderen Geraden parallel.

\(h:y=1{,}5x+4\), \(i:y=1{,}5x-2\), \(j:y=-2\). \(g\) und \(i\) sind identisch; \(h\) ist zu \(g\) und \(i\) echt parallel; \(j\) ist zu keiner der drei anderen Geraden parallel.

- Welche Steigung erhältst du aus \(P\) und \(Q\)? - Wie bestimmst du danach den Achsenabschnitt \(t\)? - Welchen Funktionswert muss die Gleichung bei der jeweiligen \(x\)-Koordinate liefern, damit der Punkt auf der Geraden liegt?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{-2-7}{2-(-1)}=-3\). 2. Mit \(P(-1\mid7)\) gilt \(7=-3\cdot(-1)+t\). Daraus folgt \(t=4\), also \(y=-3x+4\). 3. Für \(R\) liefert die Funktion bei \(x=0\) den Wert \(4\). Da \(4\ne5\), liegt \(R\) nicht auf \(g\). 4. Für \(S\) gilt bei \(x=1\): \(-3\cdot1+4=1\). Daher liegt \(S\) auf \(g\).

a) \(y=-3x+4\) b) \(R\) liegt nicht auf \(g\); \(S\) liegt auf \(g\).

- Welcher Teil der Kosten hängt vom Verbrauch ab und welcher bleibt konstant? - Welche Größen entsprechen in \(K(x)=mx+t\) der Steigung \(m\) und dem Achsenabschnitt \(t\)? - Wie kannst du ein gegebenes Wertepaar mit deiner Funktionsgleichung prüfen? - Wie gehst du vor, wenn statt des Verbrauchs der Rechnungsbetrag gegeben ist?

1. Der verbrauchsabhängige Preis ist die Steigung \(m=0{,}80\), die Grundgebühr ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=18{,}50\). Daher gilt \(K(x)=0{,}80x+18{,}50\). 2. Für \(x=40\) ergibt sich \(K(40)=0{,}80\cdot40+18{,}50=50{,}50\). Die Angabe passt zum Tarifmodell. 3. Für Teil b gilt \(74{,}50=0{,}80x+18{,}50\). Nach Subtraktion von \(18{,}50\) folgt \(56=0{,}80x\). 4. Division durch \(0{,}80\) ergibt \(x=70\). Es wurden \(70\,\text{kWh}\) verbraucht.

a) \(K(x)=0{,}80x+18{,}50\); die Angabe für \(40\,\text{kWh}\) ist korrekt. b) \(70\,\text{kWh}\)

- Vergleiche, um wie viel die Kosten und die Strecke zwischen den beiden Angaben zunehmen. - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei einer Strecke von \(0\,\text{km}\)? - Wenn das Kostenmodell feststeht, wie erhältst du die Kosten für eine bestimmte Strecke?

1. Die Kosten steigen von \(17{,}00\,\text{€}\) auf \(32{,}00\,\text{€}\), während die Strecke von \(10\,\text{km}\) auf \(25\,\text{km}\) steigt. Daher ist \(m=\frac{32-17}{25-10}=1\,\frac{\text{€}}{\text{km}}\). 2. Mit \(K(s)=ms+t\) und dem Wertepaar \((10 \mid 17)\) gilt \(17=10+t\). Somit ist \(t=7\), also beträgt die Grundgebühr \(7{,}00\,\text{€}\). 3. Die Kostenfunktion lautet \(K(s)=s+7\). 4. Für \(40\,\text{km}\) gilt \(K(40)=40+7=47\). Die Lieferung kostet \(47{,}00\,\text{€}\).

a) \(K(s)=s+7\) b) \(7{,}00\,\text{€}\) c) \(47{,}00\,\text{€}\)

- Welches Vorzeichen hat die Änderungsrate, wenn die Höhe abnimmt? - Welche Höhe entspricht der Hälfte von \(25\,\text{cm}\)? - Wie wandelst du den Bruchteil einer Stunde in Minuten um? - Setze für Teil c) \(t=5\) in deine Funktionsgleichung ein und vergleiche das Ergebnis mit der y-Koordinate des Punktes.

1. Die Kerze verliert pro Stunde \(1{,}2\,\text{cm}\), daher beträgt die Steigung \(-1{,}2\). Der Anfangswert ist \(25\,\text{cm}\). Somit gilt \(h(t)=-1{,}2t+25\). 2. Die halbe Anfangshöhe beträgt \(12{,}5\,\text{cm}\). Aus \(12{,}5=-1{,}2t+25\) folgt \(1{,}2t=12{,}5\) und damit \(t=\frac{125}{12}\,\text{h}=10\,\text{h}+\frac{5}{12}\,\text{h}\). Da \(\frac{5}{12}\cdot60=25\), sind das genau \(10\) Stunden und \(25\) Minuten. 3. Für \(t=5\) gilt \(h(5)=-1{,}2\cdot5+25=19\). Daher liegt \(P(5\mid19)\) auf dem Graphen. Der Punkt bedeutet: Nach \(5\) Stunden ist die Kerze \(19\,\text{cm}\) hoch.

a) \(h(t)=-1{,}2t+25\) b) Genau \(10\) Stunden und \(25\) Minuten. c) Ja. \(h(5)=19\). Nach \(5\) Stunden ist die Kerze \(19\,\text{cm}\) hoch.

- Wie kannst du mit der bekannten Steigung und einem Punkt den fehlenden \(y\)-Achsenabschnitt bestimmen? - Welche \(x\)-Werte sind bei einem Drittel-Bruch praktisch, wenn ganzzahlige Koordinaten entstehen sollen? - Wie prüfst du rechnerisch, ob ein gegebener Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt?

1. Mit \(y=mx+t\), \(m=-\frac{2}{3}\) und \(A(3 \mid 1)\) gilt \(1=-\frac{2}{3} \cdot 3+t\). Daraus folgt \(t=3\). 2. Somit lautet die Funktionsgleichung \(p(x)=-\frac{2}{3}x+3\). 3. Für einen weiteren ganzzahligen Punkt kann man zum Beispiel \(x=0\) wählen. Dann ist \(p(0)=3\), also liegt \(B(0 \mid 3)\) auf dem Graphen. 4. Für \(C\) gilt \(p(-6)=-\frac{2}{3} \cdot (-6)+3=7\). Der Punkt \(C(-6 \mid 7)\) liegt daher auf dem Graphen.

a) \(p(x)=-\frac{2}{3}x+3\) b) Zum Beispiel \(B(0 \mid 3)\) c) Ja, denn \(p(-6)=7\).

- Was verrät ein Punkt der Form \((0 \mid y)\) direkt über den \(y\)-Achsenabschnitt? - Wie berechnest du die Steigung aus den beiden gegebenen Punkten? - Welchen Funktionswert hat die Gerade an ihrer Nullstelle?

1. Da \(C(0 \mid 4)\) auf der \(y\)-Achse liegt, ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=4\). 2. Die Steigung ist \(m=\frac{2-4}{5-0}=-\frac{2}{5}=-0{,}4\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(y=-0{,}4x+4\). 4. Für die Nullstelle gilt \(0=-0{,}4x+4\). Daraus folgt \(x=10\).

a) \(y=-0{,}4x+4\) b) \(x=10\)

- Wie berechnest du die Steigung aus zwei Punkten? - Wie kannst du danach mit einem der Punkte den \(y\)-Achsenabschnitt bestimmen? - Wie prüfst du rechnerisch, ob ein weiterer Punkt die Geradengleichung erfüllt?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{3-2}{3-1}=\frac{1}{2}=0{,}5\). 2. Einsetzen von \(P(1 \mid 2)\) in \(y=mx+t\) ergibt \(2=0{,}5+t\). Damit ist \(t=1{,}5\). 3. Die Geradengleichung lautet \(y=0{,}5x+1{,}5\). 4. Für \(x=7\) ist \(0{,}5 \cdot 7+1{,}5=5\). Der berechnete Wert stimmt mit der \(y\)-Koordinate von \(R\) überein, daher liegt \(R\) auf der Geraden.

a) \(y=0{,}5x+1{,}5\) b) Ja, denn \(0{,}5 \cdot 7+1{,}5=5\).

- Welche Eigenschaft haben die Steigungen paralleler Geraden? - Wie berechnest du die Steigung von \(f\) aus den beiden Punkten? - Wie kannst du mit dem Punkt \(P\) den noch fehlenden \(y\)-Achsenabschnitt von \(g\) bestimmen?

1. Die Steigung der Geraden \(f\) ist \(m=\frac{4-1}{2-(-4)}=\frac{3}{6}=0{,}5\). 2. Weil \(g\) parallel zu \(f\) ist, hat \(g\) ebenfalls die Steigung \(m=0{,}5\). 3. Einsetzen von \(P(2 \mid -2)\) in \(y=mx+t\) ergibt \(-2=0{,}5 \cdot 2+t\). Daher ist \(t=-3\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(g:y=0{,}5x-3\).

\(g:y=0{,}5x-3\)

- Bestimme zuerst die Steigung der ersten Geraden. - Welche Steigung muss die parallele zweite Gerade haben? - Wenn Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt bekannt sind, wie lautet die Geradengleichung? - Wie erhältst du anschließend die fehlende \(y\)-Koordinate von \(E\)?

1. Die Steigung von \(g_1\) ist \(m=\frac{-2-7}{1-(-2)}=-3\). 2. Wegen \(g_1 \parallel g_2\) hat \(g_2\) ebenfalls die Steigung \(m=-3\). 3. Mit dem gegebenen \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\) lautet die Gleichung von \(g_2\): \(y=-3x+1\). 4. Für \(E\) gilt \(y_E=-3 \cdot 3+1=-8\).

a) \(g_2:y=-3x+1\) b) \(y_E=-8\)

- Welches Vorzeichen hat die Änderungsrate, wenn die Höhe abnimmt? - Welche bekannte Höhe gehört zur Zeit \(t=3\)? - Wie kannst du von diesem späteren Wert auf die Anfangshöhe zurückrechnen?

1. Weil die Kerze pro Stunde um \(2{,}5\,\text{cm}\) kürzer wird, beträgt die Änderungsrate \(-2{,}5\,\frac{\text{cm}}{\text{h}}\). 2. Nach \(3\) Stunden gilt \(h(3)=18\). Daher hat das Modell die Form \(18=-2{,}5 \cdot 3+\text{Anfangswert}\). 3. Der Anfangswert beträgt \(25{,}5\,\text{cm}\). 4. Damit lautet die Funktionsgleichung \(h(t)=-2{,}5t+25{,}5\).

a) \(h(t)=-2{,}5t+25{,}5\) b) \(25{,}5\,\text{cm}\)

- Wie kannst du mit einer bekannten Steigung und einem Punkt den fehlenden \(y\)-Achsenabschnitt bestimmen? - Welchen Funktionswert hat eine Nullstelle? - Wie notierst du den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse?

1. Einsetzen von \(m=-2\) und \(A(4 \mid 6)\) in \(y=mx+t\) ergibt \(6=-2 \cdot 4+t\). 2. Daraus folgt \(t=14\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=-2x+14\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=-2x+14\). Daher ist \(x=7\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(7 \mid 0)\).

a) \(f(x)=-2x+14\) b) Nullstelle: \(x=7\); \(S_x(7 \mid 0)\)

- Welchen Wert liefert die Tabelle an der Stelle \(x=0\)? - Wie kannst du aus zwei Tabellenpunkten die Steigung bestimmen? - Wie prüfst du mit der fertigen Funktionsgleichung einen weiteren Punkt?

1. Aus der Tabelle folgt \(f(0)=-3\). Daher ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-3\). 2. Mit den Punkten \((-2 \mid -7)\) und \((0 \mid -3)\) ist \(m=\frac{-3-(-7)}{0-(-2)}=2\). Somit gilt \(f(x)=2x-3\). 3. Der fehlende Tabellenwert ist \(f(3)=2 \cdot 3-3=3\). 4. Für \(P\) gilt \(f(10)=2 \cdot 10-3=17\). Damit liegt \(P(10 \mid 17)\) auf dem Graphen.

a) \(f(x)=2x-3\) und \(f(3)=3\) b) Ja, denn \(f(10)=17\).

- Welche konstante Änderung von \(y\) gehört bei einer linearen Funktion zu einer bestimmten Änderung von \(x\)? - Wie verändert sich die Steigung in Teil b)? - Wie kannst du mit der neuen Steigung und dem festgehaltenen Punkt den neuen \(y\)-Achsenabschnitt bestimmen?

1. Die Steigung der ursprünglichen Funktion ist \(m=\frac{5{,}5-4}{5-2}=0{,}5\). 2. Von \(x=5\) bis \(x=11\) wächst \(x\) um \(6\). Daher wächst \(y\) um \(0{,}5 \cdot 6=3\), also ist \(y_3=8{,}5\). 3. Die neue Steigung lautet \(m_h=2 \cdot 0{,}5=1\). 4. Mit \((2 \mid 4)\) in \(h(x)=x+t_h\) gilt \(4=2+t_h\). Daher ist \(t_h=2\). 5. Die neue Funktionsgleichung lautet \(h(x)=x+2\).

a) \(y_3=8{,}5\) b) \(h(x)=x+2\)

- Wie berechnest du die Steigung zwischen den beiden gegebenen Punkten? - Wie kannst du danach einen Punkt nutzen, um den \(y\)-Achsenabschnitt zu bestimmen? - Welche Gleichung muss der Punkt \(C\) erfüllen?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{-2-7}{2-(-1)}=-3\). 2. Einsetzen von \(B(2 \mid -2)\) in \(y=-3x+t\) ergibt \(-2=-6+t\). Daher ist \(t=4\). 3. Die Geradengleichung lautet \(y=-3x+4\). 4. Für \(C\) gilt \(-11=-3x+4\). Daraus folgt \(x=5\).

a) \(y=-3x+4\) b) \(x=5\)

- Was gilt für die Steigungen paralleler Geraden? - Welche Information kannst du aus einem Punkt mit \(x=0\) direkt ablesen? - Welchen Funktionswert hat eine Nullstelle?

1. Aus \(P(0 \mid 3)\) folgt für \(g\) der \(y\)-Achsenabschnitt \(t_g=3\). Die Steigung ist \(m_g=\frac{5-3}{4-0}=0{,}5\). Damit gilt \(g(x)=0{,}5x+3\). 2. Weil \(h\) parallel zu \(g\) ist, gilt \(m_h=0{,}5\). Mit \(R(2 \mid 1)\) folgt \(1=0{,}5 \cdot 2+t_h\), also \(t_h=0\). Daher ist \(h(x)=0{,}5x\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=0{,}5x\). Somit ist \(x=0\) und \(S_x(0 \mid 0)\).

a) \(g(x)=0{,}5x+3\) und \(h(x)=0{,}5x\) b) Nullstelle: \(x=0\); \(S_x(0 \mid 0)\)

- Welche Steigung ergibt sich aus den Punkten \(A\) und \(B\)? - Wie bestimmst du mit einem der Punkte anschließend den Achsenabschnitt \(t\)? - Welchen Funktionswert musst du für den Punkt \(C\) in deine fertige Gleichung einsetzen?

1. Aus \(A\) und \(B\) folgt \(m=\frac{10-4}{3-1}=3\). 2. Mit \(A(1\mid4)\) in \(y=3x+t\) gilt \(4=3+t\). Daher ist \(t=1\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(y=3x+1\). 4. Für \(C\) gilt \(19=3x+1\). Daraus folgt \(x=6\).

a) \(y=3x+1\) b) \(x=6\)

- Vergleiche die Steigungen zwischen mehreren Punktpaaren. - Welcher Punkt passt nicht zur konstanten Steigung der anderen drei? - Welchen \(y\)-Achsenabschnitt kannst du aus einem Punkt mit \(x=0\) direkt ablesen? - Wie setzt du Steigung und Achsenabschnitt zur Geradengleichung zusammen?

1. Zwischen \(S\) und \(T\) ist \(m_{ST}=\frac{-1-(-7)}{0-(-2)}=3\). 2. Zwischen \(T\) und \(U\) ist \(m_{TU}=\frac{2-(-1)}{1-0}=3\). Damit liegen \(S,T,U\) auf einer Geraden. 3. Zwischen \(U\) und \(V\) ist \(m_{UV}=\frac{7-2}{3-1}=2{,}5\). Daher liegt \(V\) nicht auf dieser Geraden. 4. Aus \(T(0 \mid -1)\) folgt der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-1\). Mit \(m=3\) lautet die Geradengleichung \(y=3x-1\).

Der Punkt \(V(3 \mid 7)\) liegt nicht auf der Geraden. Für die übrigen drei Punkte gilt \(y=3x-1\).

- Vergleiche, wie sich die Filamentlänge zwischen den beiden Messzeiten verändert. - Wie kannst du vom Wert nach \(2\) Stunden auf den Wert bei \(t=0\) zurückrechnen? - Wie setzt sich eine lineare Funktion aus Änderungsrate und Anfangswert zusammen? - Welcher Funktionswert gehört zu einer leeren Rolle?

1. Aus den Punkten \((2|15)\) und \((5|9)\) folgt \(m=\frac{9-15}{5-2}=-2\,\text{m/h}\). Die Filamentlänge nimmt also pro Stunde um \(2\,\text{m}\) ab. 2. Zwei Stunden vor dem Messwert \(15\,\text{m}\) waren bei derselben Abnahme noch \(15+2\cdot2=19\,\text{m}\) auf der Rolle. 3. Damit gilt \(L(t)=-2t+19\). 4. Für eine leere Rolle gilt \(0=-2t+19\). Daraus folgt \(t=9{,}5\). 5. Sachlich sinnvoll ist \(0\le t\le9{,}5\).

a) Abnahme um \(2\,\text{m}\) pro Stunde b) \(19\,\text{m}\) c) \(L(t)=-2t+19\) d) Nach \(9{,}5\,\text{h}\) e) \(t\in[0;9{,}5]\)

- Welche beiden Messpunkte beschreiben die Produktion? - Wie viele Etiketten kommen pro Minute hinzu? - Was bedeutet \(N(0)\) in diesem Zusammenhang? - Welcher Funktionswert gehört zum vollständig bearbeiteten Auftrag?

1. Aus \((10\mid450)\) und \((25\mid825)\) folgt \(m=\frac{825-450}{25-10}=25\) Etiketten pro Minute. 2. Aus \(450=25\cdot10+t\) folgt \(t=200\). Daher gilt \(N(x)=25x+200\). 3. Für den abgeschlossenen Auftrag gilt \(1200=25x+200\). Daraus folgt \(x=40\).

1. \(N(x)=25x+200\) 2. \(200\) Etiketten 3. Nach \(40\,\text{min}\)

- Welche beiden Punkte des linearen Modells kannst du aus dem Text ablesen? - Was beschreibt die Änderung der Kerzenhöhe pro Stunde? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei \(t=0\) im Sachzusammenhang?

1. Bei \(t=0\) ist die Kerze \(24\,\text{cm}\) hoch. Das ist der Anfangswert des Modells. 2. Aus den Punkten \((0|24)\) und \((3|18)\) folgt \(m = \frac{18-24}{3-0} = -2\). Damit lautet die Gleichung \(h(t) = -2t + 24\). 3. Die Steigung \(m=-2\) bedeutet, dass die Kerze pro Stunde um \(2\,\text{cm}\) kürzer wird. Der Anfangswert \(24\,\text{cm}\) ist die Kerzenhöhe zu Beginn. 4. Nach \(5\,\text{Stunden}\) gilt \(h(5)=-2 \cdot 5+24=14\). Die Kerze ist dann \(14\,\text{cm}\) hoch.

a) \(h(t) = -2t + 24\) b) Die Steigung \(m=-2\) beschreibt eine Abnahme um \(2\,\text{cm}\) pro Stunde. Der Anfangswert \(24\,\text{cm}\) ist die Höhe der Kerze zu Beginn. c) \(14\,\text{cm}\)

- Welche Größe in \(y=mx+t\) ist noch unbekannt, wenn die Steigung schon gegeben ist? - Wie kannst du den Punkt \(P\) verwenden, um \(t\) zu bestimmen? - Welche Gleichung entsteht anschließend, wenn du die \(y\)-Koordinate von \(Q\) einsetzt?

1. Setze \(m=-3\) und \(P(2\mid-4)\) in \(y=mx+t\) ein: \(-4=-3\cdot2+t\). 2. Daraus folgt \(t=2\). Die Gerade hat also die Gleichung \(y=-3x+2\). 3. Für \(Q(x\mid8)\) gilt \(8=-3x+2\). 4. Nach Subtraktion von \(2\) folgt \(6=-3x\), also \(x=-2\).

\(y=-3x+2\); die fehlende Koordinate ist \(x=-2\), also \(Q(-2\mid8)\).

- Welche zwei Punkte legen die gesuchte Gerade in Teil a) fest? - Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein gegebener Punkt auf einer Geraden liegt? - Denke für Teil c) an eine Gerade, die im Punkt \(A\) festgehalten wird: Wie verändert sich ihr Verlauf rechts von \(A\), wenn sie flacher wird?

1. Für die Gerade durch \(A\) und \(B\) gilt \(m = \frac{45-25}{20-10} = 2\). 2. Für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) gilt \(25 = 2 \cdot 10 + t\), also \(t=5\). Damit ist \(g(x)=2x+5\). 3. Für \(C(30|62)\) ergibt sich \(g(30)=2 \cdot 30+5=65\). Da \(65 \ne 62\), liegt \(C\) nicht auf der Geraden. 4. Bei \(x=30\) liegt der Wert der Geraden über dem Messwert von \(C\). Da die Gerade weiterhin durch \(A\) verlaufen soll, muss ihre Steigung verkleinert werden, damit sie bei größeren \(x\)-Werten flacher ansteigt.

a) \(g(x)=2x+5\) b) Nein. Es gilt \(g(30)=65 \ne 62\). c) Die Steigung muss verkleinert werden.

- Welche Änderung der fertigen Flyer gehört zur Zeitspanne zwischen den beiden Messungen? - Wie kannst du vom Wert nach \(10\) Minuten auf \(t=0\) zurückrechnen? - Wie setzt sich die Funktionsgleichung aus Produktionsrate und Anfangswert zusammen? - Welcher Funktionswert bedeutet, dass alle \(6000\) Flyer fertig sind?

1. Aus \((10|1500)\) und \((25|3000)\) folgt \(m=\frac{3000-1500}{25-10}=100\) Flyer pro Minute. 2. In den ersten \(10\) Minuten werden bei dieser Rate \(100\cdot10=1000\) Flyer fertig. Zu Beginn der Messung waren daher \(1500-1000=500\) Flyer fertig. 3. Damit gilt \(N(t)=100t+500\). 4. Für den vollständigen Auftrag gilt \(6000=100t+500\). Daraus folgt \(t=55\).

a) \(100\) Flyer pro Minute b) \(500\) Flyer c) \(N(t)=100t+500\) d) Nach \(55\,\text{min}\)

- Welche zwei Punkte der Kostenfunktion sind gegeben? - Wie bestimmst du zuerst die Kostenänderung pro zusätzlichem Meter? - Was bedeutet ein positiver Wert von \(K(0)\) bei einem Auftrag ohne Schnittlänge?

1. Aus \((5\mid14{,}5)\) und \((12\mid28{,}5)\) folgt \(m=\frac{28{,}5-14{,}5}{12-5}=2\,\text{€/m}\). 2. Aus \(14{,}5=2\cdot5+t\) folgt \(t=4{,}5\). Damit gilt \(K(x)=2x+4{,}50\). 3. Die Steigung beschreibt \(2{,}00\,\text{€}\) pro Meter Schnittlänge; der Anfangswert ist die Einrichtungsgebühr. 4. \(K(20)=44{,}50\).

a) \(K(x)=2x+4{,}50\) b) \(2{,}00\,\text{€}\) pro Meter; \(4{,}50\,\text{€}\) Einrichtungsgebühr c) \(44{,}50\,\text{€}\)

- Welches Vorzeichen muss die Steigung haben, wenn die Temperatur mit zunehmender Höhe sinkt? - Wie kannst du aus den beiden Messpunkten die Temperaturänderung pro Höhenmeter bestimmen? - Was bedeutet Meereshöhe für den Wert von \(h\)? - Welcher Funktionswert gehört zur Nullgradgrenze?

1. Aus den Punkten \((500|12)\) und \((3000|-3)\) folgt \(m = \frac{-3-12}{3000-500}=-0{,}006\). 2. Für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) gilt \(12=-0{,}006 \cdot 500+t\), also \(t=15\). Damit lautet das Modell \(T(h)=-0{,}006h+15\). 3. Auf Meereshöhe gilt \(T(0)=15\,^\circ\text{C}\). 4. Für die Nullgradgrenze gilt \(0=-0{,}006h+15\). Daraus folgt \(h=2500\). Die Nullgradgrenze liegt nach dem Modell bei \(2500\,\text{m}\).

a) \(T(h)=-0{,}006h+15\) b) \(15\,^\circ\text{C}\) c) \(2500\,\text{m}\)

- Welche Größen in \(y=mx+t\) kennst du bereits, und welche musst du noch bestimmen? - Welche Eigenschaft hat jeder Punkt auf der \(x\)-Achse? - Welche bereits berechneten oder gegebenen Punkte eignen sich zur Kontrolle eines gezeichneten Graphen?

1. Setze \(m=-0{,}5\) und \(P(4\mid1)\) in \(y=mx+t\) ein: \(1=-0{,}5\cdot4+t\). Daraus folgt \(t=3\), also \(k(x)=-0{,}5x+3\). 2. Für die Nullstelle gilt \(0=-0{,}5x+3\). Daraus folgt \(x=6\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(6\mid0)\). 3. Geeignet sind zum Beispiel \(S_y(0\mid3)\), \(P(4\mid1)\) und \(S_x(6\mid0)\). Alle drei Punkte erfüllen die Funktionsgleichung; der dritte Punkt bestätigt die berechnete Nullstelle.

1. \(k(x)=-0{,}5x+3\) 2. Nullstelle: \(x=6\); Schnittpunkt: \(S_x(6\mid0)\) 3. Zum Beispiel \(S_y(0\mid3)\), \(P(4\mid1)\), \(S_x(6\mid0)\)

- Welche \(x\)-Koordinate hat der gemeinsame Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse? - Welche Information liefert ein Punkt der Form \((0 \mid y)\) für \(y=mx+t\)? - Liegt der zweite bekannte Punkt rechts höher oder tiefer als der erste?

1. Für die Nullstelle von \(f\) gilt \(-\frac{1}{2}x+4=0\). Daraus folgt \(x=8\), also liegt der gemeinsame Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(S_x(8 \mid 0)\). 2. Der Punkt \(P(0 \mid -4)\) liefert den \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-4\). 3. Für \(S_x(8 \mid 0)\) gilt \(0=8m-4\). Daraus folgt \(m=0{,}5\) und somit \(g(x)=0{,}5x-4\). 4. Ohne Rechnung erkennt man das positive Vorzeichen der Steigung daran, dass die Gerade von \(P(0 \mid -4)\) zu \(S_x(8 \mid 0)\) nach rechts ansteigt.

\(g(x)=0{,}5x-4\). Die Steigung ist positiv, weil der Graph zwischen \(P(0 \mid -4)\) und \(S_x(8 \mid 0)\) nach rechts ansteigt.

- Welche Änderung der Funktionswerte gehört jeweils zu einer Änderung der \(x\)-Werte? - Welche Bedingung müssen die Steigungen zwischen den gegebenen Punkten erfüllen, wenn alle Punkte auf einer Geraden liegen? - Wie hilft dir die Funktionsgleichung dabei, sowohl einen fehlenden Funktionswert als auch einen fehlenden \(x\)-Wert zu bestimmen?

1. Zwischen \((1|5)\) und \((2|8)\) gilt \(m_1=\frac{8-5}{2-1}=3\). Zwischen \((2|8)\) und \((4|14)\) gilt \(m_2=\frac{14-8}{4-2}=3\). Die Werte sind daher mit einer linearen Funktion vereinbar. 2. Für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) gilt \(5=3 \cdot 1+t\), also \(t=2\). Damit ist \(f(x)=3x+2\). 3. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=2\). 4. Für \(f(x)=26\) gilt \(26=3x+2\). Daraus folgt \(x=8\).

Die Werte gehören zur linearen Funktion \(f(x)=3x+2\). Für \(x=0\) ist \(f(x)=2\); für \(f(x)=26\) ist \(x=8\).

- Welche Größe kannst du aus den beiden gegebenen Punkten zuerst bestimmen? - Achte beim Berechnen der Steigung besonders auf die Vorzeichen der Koordinaten. - Wie kannst du nach dem Bestimmen der Funktionsgleichung fehlende Tabellenwerte in beide Richtungen ermitteln?

1. Aus \(A(-2|7)\) und \(B(2|-1)\) folgt \(m=\frac{-1-7}{2-(-2)}=-2\). 2. Für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) gilt mit \(B\): \(-1=-2 \cdot 2+t\), also \(t=3\). Damit ist \(f(x)=-2x+3\). 3. Für \(x=5\) gilt \(f(5)=-2 \cdot 5+3=-7\). 4. Für \(f(x)=10\) gilt \(10=-2x+3\). Daraus folgt \(x=-3{,}5\).

a) \(f(x)=-2x+3\) b) Für \(x=5\) ist \(f(x)=-7\). Für \(f(x)=10\) ist \(x=-3{,}5\).

- Bestimme zuerst die Nullstelle der gegebenen Funktion \(g\). - Welchen Punkt haben zwei Funktionen gemeinsam, wenn ihre Nullstelle gleich ist? - Wie kannst du aus diesem Punkt und der bekannten Steigung die zweite Geradengleichung bestimmen?

1. Für die Nullstelle von \(g\) gilt \(0=0{,}5x-2\). Daraus folgt \(x=4\), also ist der gemeinsame Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse \(S_x(4 \mid 0)\). 2. Für \(f(x)=3x+t\) und den Punkt \(S_x(4 \mid 0)\) gilt \(0=12+t\). Daher ist \(t=-12\) und \(f(x)=3x-12\). 3. Somit gilt \(f(10)=30-12=18\).

\(f(10)=18\)

- Wie kannst du mit einer Punktprobe prüfen, ob \(P\) auf \(g_1\) liegt? - Welche besondere Eigenschaft hat die Funktionsgleichung einer Ursprungsgeraden? - Wie hilft dir bei \(g_3\) die Kombination aus gegebener Steigung und bekanntem Punkt?

1. Für \(g_1\) gilt bei \(x=4\): \(-4+5=1\). Damit liegt \(P(4|1)\) auf \(g_1\). 2. Für die Ursprungsgerade \(g_2\) gilt \(y=mx\). Mit \(P(4|1)\) folgt \(1=4m\), also \(m=0{,}25\). Damit ist \(g_2:y=0{,}25x\). 3. Für \(g_3\) gilt \(y=0{,}5x+t\). Einsetzen von \(P\) ergibt \(1=0{,}5 \cdot 4+t\), also \(t=-1\). Damit ist \(g_3:y=0{,}5x-1\).

1. Ja, \(P\) liegt auf \(g_1\). 2. \(g_2:y=0{,}25x\) 3. \(g_3:y=0{,}5x-1\)

- Wenn eine Gerade durch den Ursprung und einen weiteren Punkt geht, wie berechnest du ihre Steigung? - Stell dir vor, du hältst einen Stift auf einen Punkt auf einem Blatt Papier. In wie viele Richtungen kannst du den Stift drehen? - Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei gegebenen Punkten?

1. \(g\) ist eine Ursprungsgerade der Form \(y = mx\). Mit \(S(3|2)\) gilt \(2 = 3m\), also \(m = \frac{2}{3}\). Damit lautet die Gleichung \(y = \frac{2}{3}x\). 2. Durch einen einzelnen Punkt in der Ebene verlaufen unendlich viele Geraden mit unterschiedlichen Steigungen. Jede dieser Geraden außer \(g\) selbst schneidet \(g\) im Punkt \(S\). 3. Die Steigung von \(h\) durch \(S(3|2)\) und \(S_y(0|5)\) ist \(m = \frac{2 - 5}{3 - 0} = -1\). Da der \(y\)-Achsenabschnitt \(5\) ist, lautet die Gleichung \(y = -x + 5\).

1. Die Gleichung von \(g\) ist \(y = \frac{2}{3}x\). 2. Durch einen Punkt verlaufen unendlich viele Geraden mit unterschiedlichen Steigungen. 3. Die Gleichung von \(h\) ist \(y = -x + 5\).

- Kannst du die Steigung bestimmen, wenn du einen Punkt und den \(y\)-Achsenabschnitt kennst? - Wie prüfst du, ob ein Wertepaar eine Gleichung erfüllt?

1. Berechnung der Steigung \(m\) durch Einsetzen von \(P(-2 \mid 5)\): \(5 = m(-2) - 1\). 2. Auflösen nach \(m\): \(6 = -2m \implies m = -3\). Die Gleichung ist \(f(x) = -3x - 1\). 3. Punktprobe für \(Q(1 \mid -4)\): \(f(1) = -3 \cdot 1 - 1 = -4\). 4. Vergleich: Da der berechnete \(y\)-Wert mit der \(y\)-Koordinate von \(Q\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen.

a) Die Steigung ist \(m = -3\). b) Ja, der Punkt \(Q(1 \mid -4)\) liegt auf dem Graphen, da \(f(1) = -4\) gilt.

- Welche zwei Punkte der Fortschrittsfunktion sind gegeben? - Was bedeutet die Steigung in Prozentpunkten pro Minute? - Welche Fortschrittswerte begrenzen den sinnvollen Sachbereich?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{40-10}{24}=1{,}25\) Prozentpunkte pro Minute. Mit dem Anfangswert \(10\) gilt \(P(x)=1{,}25x+10\). 2. Für \(P(x)=100\) gilt \(100=1{,}25x+10\). Daraus folgt \(x=72\). 3. Sinnvoll ist \(0\le x\le72\). Geeignete Punkte sind zum Beispiel \((0\mid10)\), \((24\mid40)\) und \((72\mid100)\).

a) \(P(x)=1{,}25x+10\) b) \(72\,\text{min}\) c) \(0\le x\le72\); z. B. \((0\mid10)\), \((24\mid40)\), \((72\mid100)\)

- Welche Höhenänderung findet zwischen 13:00 Uhr und 15:00 Uhr statt? - Wie wird eine Uhrzeit vor 13:00 Uhr durch einen negativen \(x\)-Wert dargestellt? - Achte darauf, die maximale Höhe in Zentimeter umzuwandeln.

1. Aus \((0\mid40)\) und \((2\mid100)\) folgt \(m=30\,\text{cm/h}\). Daher gilt \(h(x)=30x+40\). 2. Für Bodenhöhe gilt \(0=30x+40\), also \(x=-\frac43\). Das sind \(1\,\text{h}\,20\,\text{min}\) vor 13:00 Uhr, also 11:40 Uhr. 3. \(1{,}60\,\text{m}=160\,\text{cm}\). Aus \(160=30x+40\) folgt \(x=4\), also 17:00 Uhr.

a) \(h(x)=30x+40\); Steigung \(30\,\text{cm/h}\) b) 11:40 Uhr c) 17:00 Uhr

- Welche Größe kannst du aus den beiden Punkten von \(p\) zuerst bestimmen? - Welche Eigenschaft hat der Punkt einer Geraden an ihrer Nullstelle? - Welche Angaben über \(q\) kennst du nach dem Bestimmen der Nullstelle von \(p\)?

1. Für \(p\) gilt \(m=\frac{2-4}{2-1}=-2\). 2. Mit \(A(1|4)\) folgt für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\): \(4=-2\cdot1+t\), also \(t=6\). Damit ist \(p:y=-2x+6\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=-2x+6\), also \(x=3\). 4. Die Steigung von \(q\) ist halb so groß: \(m_q=-1\). Da \(q\) ebenfalls durch \((3|0)\) verläuft, gilt \(0=-3+t_q\), also \(t_q=3\). Damit ist \(q:y=-x+3\).

a) \(p:y=-2x+6\) b) \(x=3\) c) \(q:y=-x+3\)

- Welche Information beschreibt bei jeder Flüssigkeit die Änderungsrate, welche den Anfangswert? - Wie kannst du bei Flüssigkeit 3 aus den beiden Messpunkten zuerst die Änderungsrate bestimmen? - Welche Größen musst du vergleichen, wenn nach der höchsten Anfangstemperatur oder der schnellsten Erwärmung gefragt wird? - Wie nutzt du die drei Gleichungen für den Vergleich zu einem gemeinsamen Zeitpunkt?

1. Flüssigkeit 1 ist bereits gegeben: \(T_1(t)=4t+20\). 2. Flüssigkeit 2 startet bei \(15\,^\circ\text{C}\) und gewinnt pro Minute \(5\,^\circ\text{C}\). Daher gilt \(T_2(t)=5t+15\). 3. Für Flüssigkeit 3 ist \(m=\frac{35-26}{5-2}=3\). Mit dem Messpunkt bei \(t=2\) folgt der Anfangswert \(26-3 \cdot 2=20\). Daher gilt \(T_3(t)=3t+20\). 4. Die höchsten Anfangstemperaturen haben Flüssigkeit 1 und 3 mit jeweils \(20\,^\circ\text{C}\). 5. Die größte Erwärmungsrate hat Flüssigkeit 2 mit \(5\,^\circ\text{C/min}\). 6. Nach \(10\,\text{Minuten}\) gilt \(T_1(10)=60\,^\circ\text{C}\), \(T_2(10)=65\,^\circ\text{C}\) und \(T_3(10)=50\,^\circ\text{C}\).

a) \(T_1(t)=4t+20\), \(T_2(t)=5t+15\), \(T_3(t)=3t+20\) b) Flüssigkeit 1 und 3 mit jeweils \(20\,^\circ\text{C}\) c) Flüssigkeit 2 mit \(5\,^\circ\text{C/min}\) d) Flüssigkeit 1: \(60\,^\circ\text{C}\); Flüssigkeit 2: \(65\,^\circ\text{C}\); Flüssigkeit 3: \(50\,^\circ\text{C}\)

- Wie groß ist die Längenänderung in den ersten vier Stunden? - Welches Vorzeichen hat die Steigung, wenn die verbleibende Folienlänge beim Abwickeln abnimmt? - Wie wandelst du den Dezimalteil einer Stunde in Minuten um?

1. Die Steigung beträgt \(m=\frac{14-24}{4}=-2{,}5\,\text{m/h}\). Daher gilt \(L(t)=-2{,}5t+24\). 2. Für eine leere Rolle gilt \(0=-2{,}5t+24\), also \(t=9{,}6\,\text{h}\). \(0{,}6\,\text{h}=36\,\text{min}\).

a) \(L(t)=-2{,}5t+24\) b) Nach \(9\,\text{h}\,36\,\text{min}\)

- Welche beiden Messpunkte gehören zum linearen Temperaturmodell? - Was sagt das Vorzeichen der Änderungsrate über die Temperaturentwicklung aus? - Wie kannst du aus einem Messpunkt und der Änderungsrate auf den Wert bei \(t=0\) schließen?

1. Aus den Punkten \((2|75)\) und \((10|55)\) folgt \(m=\frac{55-75}{10-2}=-2{,}5\). 2. Mit \(T(2)=75\) ergibt sich der Anfangswert zu \(75-(-2{,}5 \cdot 2)=80\). Damit lautet das Modell \(T(t)=-2{,}5t+80\). 3. Die Steigung \(-2{,}5\) bedeutet, dass die Temperatur pro Minute um \(2{,}5\,^\circ\text{C}\) sinkt. Der Anfangswert \(80\,^\circ\text{C}\) ist die Temperatur bei \(t=0\).

a) \(T(t)=-2{,}5t+80\) b) Die Steigung beschreibt eine Abnahme um \(2{,}5\,^\circ\text{C}\) pro Minute; der Anfangswert \(80\,^\circ\text{C}\) ist die Temperatur bei \(t=0\).

- Welche Masseänderung gehört zur Zeitspanne zwischen den beiden Messungen? - Wie kannst du vom Messwert nach \(5\) Minuten auf den Startwert zurückrechnen? - Welche beiden Werte brauchst du für den linearen Funktionsterm? - Eine halbe Stunde sind wie viele Minuten?

1. Aus \((5|13{,}5)\) und \((12|24)\) folgt \(m=\frac{24-13{,}5}{12-5}=1{,}5\,\text{g/min}\). 2. In den ersten \(5\) Minuten nimmt die Masse um \(1{,}5\cdot5=7{,}5\,\text{g}\) zu. Zu Beginn der Messung betrug sie daher \(13{,}5-7{,}5=6\,\text{g}\). 3. Damit gilt \(M(t)=1{,}5t+6\). 4. \(M(30)=1{,}5\cdot30+6=51\,\text{g}\).

a) \(1{,}5\,\text{g/min}\) b) \(6\,\text{g}\) c) \(M(t)=1{,}5t+6\) d) \(51\,\text{g}\)

- Wie hängen Breite und Höhe eines Steigungsdreiecks mit der Steigung zusammen? - Welche Größen kennst du bereits, wenn du \(P\) in die Form \(y=mx+t\) einsetzt? - Wie führst du eine Punktprobe für \(Q\) durch?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2}{4}=0{,}5\). 2. Einsetzen von \(m=0{,}5\) und \(P(2|1)\) in \(y=mx+t\) ergibt \(1=0{,}5 \cdot 2+t\), also \(t=0\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(k(x)=0{,}5x\). 3. Für \(x=10\) gilt \(k(10)=0{,}5 \cdot 10=5\). Das stimmt mit der \(y\)-Koordinate von \(Q\) überein, also liegt \(Q\) auf der Geraden.

a) \(m=0{,}5\) b) \(t=0\); \(k(x)=0{,}5x\) c) Ja, \(Q(10|5)\) liegt auf \(k\).

- Welche Größe muss zwischen den gegebenen Punkten konstant sein, damit sie auf einer Geraden liegen? - Wie kannst du nach dem Bestimmen der Steigung den Achsenabschnitt ermitteln? - Welche besondere Form hat die Gleichung einer proportionalen Zuordnung?

1. Zwischen den benachbarten Punkten ergeben sich die Steigungen \(m_1=\frac{5-11}{-1-(-4)}=-2\), \(m_2=\frac{-1-5}{2-(-1)}=-2\) und \(m_3=\frac{-7-(-1)}{5-2}=-2\). Die Steigung ist konstant, also gehören die Werte zu einer linearen Funktion. 2. Mit dem Punkt \((2|-1)\) gilt \(-1=-2 \cdot 2+t\). Daraus folgt \(t=3\), also \(y=-2x+3\). 3. Eine proportionale Zuordnung hat die Form \(y=kx\) und damit den \(y\)-Achsenabschnitt \(0\). Hier ist \(t=3\), deshalb ist die Zuordnung nicht proportional.

a) Die Steigung ist zwischen allen benachbarten Punkten konstant \(-2\); daher ist die Funktion linear. b) \(y=-2x+3\) c) Nein. Wegen \(t=3 \ne 0\) ist die Zuordnung nicht proportional.

- Welche Koordinaten hat der bekannte Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse? - Wie kannst du aus diesem Punkt und \(P\) die Steigung bestimmen? - Was bedeutet eine gleiche Steigung für die Lage zweier verschiedener Geraden?

1. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(4|0)\); außerdem liegt \(P(-2|3)\) auf dem Graphen. 2. Aus diesen Punkten folgt \(m=\frac{3-0}{-2-4}=-0{,}5\). 3. Für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) gilt mit \(S_x\): \(0=-0{,}5 \cdot 4+t\), also \(t=2\). Damit ist \(h(x)=-0{,}5x+2\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0|2)\). 5. Auch \(g\) hat die Steigung \(-0{,}5\). Die Graphen von \(g\) und \(h\) sind daher parallel.

a) \(h(x)=-0{,}5x+2\) b) \(S_y(0|2)\) c) Beide Geraden haben die Steigung \(-0{,}5\) und sind parallel.

- Welche beiden Größen musst du für die erste Geradengleichung aus \(A\) und \(B\) bestimmen? - Was bleibt bei der zweiten Geraden gleich, und welche Größe wird verändert? - Welche Koordinate ist am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gleich Null?

1. Für \(g\) gilt \(m_g=\frac{2-(-1)}{2-(-4)}=0{,}5\). 2. Mit \(B(2|2)\) folgt für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\): \(2=0{,}5 \cdot 2+t\), also \(t=1\). Damit ist \(g(x)=0{,}5x+1\). 3. Die Steigung von \(h\) ist doppelt so groß, also \(m_h=1\). Da der Achsenabschnitt gleich bleibt, gilt \(h(x)=x+1\). 4. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=x+1\), also \(x=-1\). Damit ist \(S_x(-1|0)\).

a) \(g(x)=0{,}5x+1\), \(h(x)=x+1\) b) \(S_x(-1|0)\)

- Überlege dir zuerst, welcher Wert fest vorgegeben ist und welcher Wert sich pro Minute ändert. - Was bedeutet „proportional“ für den Graphen oder die Gleichung einer Funktion? - Setze für die Teilaufgaben b) und c) die gegebenen Werte in deine Gleichung ein und löse nach der gesuchten Größe auf.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Das Startguthaben beträgt \(20\,\text{€}\), und pro Minute verringert es sich um \(0{,}12\,\text{€}\). Die Gleichung lautet \(G(t) = 20 - 0{,}12t\). 2. Berechnung für \(t = 45\): \(G(45) = 20 - 0{,}12 \cdot 45 = 20 - 5{,}4 = 14{,}6\). Das Restguthaben beträgt \(14{,}60\,\text{€}\). 3. Berechnung der Zeit für \(G = 5\): Setze \(5 = 20 - 0{,}12t\). Umformen ergibt \(0{,}12t = 15\), also \(t = \frac{15}{0{,}12} = 125\). Nach \(125\) Minuten sind noch \(5\,\text{€}\) vorhanden. 4. Prüfung auf Proportionalität: Eine proportionale Funktion hat die Form \(y = mx\) und geht durch den Ursprung \((0|0)\). Da der \(y\)-Achsenabschnitt hier \(20\) ist (bei \(t=0\) ist \(G=20\)), ist die Funktion nicht proportional.

a) \(G(t) = 20 - 0{,}12t\) b) Das Restguthaben beträgt \(14{,}60\,\text{€}\). c) Nach \(125\) Minuten. d) Nein, die Funktion ist nicht proportional, da der Graph nicht durch den Koordinatenursprung verläuft (\(G(0) = 20 \neq 0\)).

- Welche Angaben reichen aus, um die Gleichung von \(g\) zu vervollständigen? - Welche besondere Form hat die Gleichung einer Ursprungsgeraden? - Welche Beziehung müssen die Steigungen zweier Geraden für Parallelität erfüllen? - Welche Koordinate ist an einem Punkt auf der \(x\)-Achse gleich Null?

1. Für \(g\) gilt \(y=2x+t\). Einsetzen von \(P(-2|5)\) ergibt \(5=2 \cdot (-2)+t\), also \(t=9\). Damit ist \(g:y=2x+9\). 2. Die Gerade \(h\) ist eine Ursprungsgerade. Aus \(Q(4|10)\) folgt \(m_h=\frac{10}{4}=2{,}5\). Daher ist \(h:y=2{,}5x\). 3. Wegen \(m_g=2\) und \(m_h=2{,}5\) sind die Geraden nicht parallel. 4. Für den Schnittpunkt von \(g\) mit der \(x\)-Achse gilt \(0=2x+9\). Daraus folgt \(x=-4{,}5\), also \(S_x(-4{,}5|0)\).

a) \(g:y=2x+9\), \(h:y=2{,}5x\) b) Nein, die Geraden sind nicht parallel. c) \(S_x(-4{,}5|0)\)

- Wie kannst du aus den beiden Punkten von \(k\) die Steigung bestimmen? - Welche Beziehung besteht zwischen den Steigungen paralleler Geraden? - Welche Punktkoordinaten kennst du bei einer gegebenen Nullstelle?

1. Für \(k\) gilt \(m_k=\frac{6-4}{2-(-2)}=0{,}5\). 2. Mit \(B(2|6)\) folgt \(6=0{,}5 \cdot 2+t_k\), also \(t_k=5\). Damit ist \(k:y=0{,}5x+5\). 3. Wegen der Parallelität gilt \(m_l=0{,}5\). 4. Die Nullstelle \(x=4\) liefert den Punkt \((4|0)\). Einsetzen in \(y=0{,}5x+t_l\) ergibt \(0=0{,}5 \cdot 4+t_l\), also \(t_l=-2\). 5. Damit ist \(l:y=0{,}5x-2\).

\(k:y=0{,}5x+5\) und \(l:y=0{,}5x-2\)

- Welche Größe kannst du aus \(R\) und \(S\) zuerst für \(f\) bestimmen? - Welche Eigenschaft teilen parallele Geraden, und was bedeutet es zusätzlich, dass \(g\) durch den Ursprung verläuft? - Wie kannst du aus einem vorgegebenen Funktionswert den zugehörigen \(x\)-Wert bestimmen?

1. Für \(f\) gilt \(m_f=\frac{-4-5}{2-(-1)}=-3\). 2. Mit \(R(-1|5)\) folgt \(5=-3 \cdot (-1)+t_f\), also \(t_f=2\). Damit ist \(f:y=-3x+2\). 3. Weil \(g\) parallel zu \(f\) ist, hat \(g\) ebenfalls die Steigung \(-3\). Als Ursprungsgerade gilt daher \(g:y=-3x\). 4. Für \(y=-12\) gilt \(-12=-3x\). Daraus folgt \(x=4\).

\(f:y=-3x+2\), \(g:y=-3x\); der gesuchte Wert ist \(x=4\).

- Wie kannst du aus den beiden gegebenen Punkten die Steigung bestimmen? - Wie hilft dir anschließend einer der Punkte beim Bestimmen des Achsenabschnitts \(t\)? - Was setzt du in die fertige Funktionsgleichung ein, um \(y_P\) zu finden?

1. Aus \(A\) und \(B\) folgt \(m=\frac{3-5}{-2-2}=0{,}5\). 2. Mit \(A(2\mid5)\) gilt \(5=0{,}5\cdot2+t\), also \(t=4\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(y=0{,}5x+4\). 4. Für \(x=10\) ergibt sich \(y_P=0{,}5\cdot10+4=9\).

a) \(y=0{,}5x+4\) b) \(y_P=9\)

- Welche beiden Messpunkte sind gegeben? - Wie groß ist die Masseänderung pro Stunde? - Wie kannst du von einem späteren Messwert auf die Masse bei \(t=0\) zurückrechnen?

1. Aus \((2\mid18)\) und \((5\mid13{,}5)\) folgt \(m=\frac{13{,}5-18}{3}=-1{,}5\,\text{kg/h}\). 2. Zwei Stunden vor dem Messwert \(18\,\text{kg}\) waren bei einer Abnahme von \(1{,}5\,\text{kg/h}\) noch \(18+1{,}5\cdot2=21\,\text{kg}\) vorhanden. Daher gilt \(M(t)=-1{,}5t+21\). 3. Der Anfangswert \(21\,\text{kg}\) ist die Masse bei Messbeginn; die Steigung bedeutet eine Abnahme um \(1{,}5\,\text{kg}\) pro Stunde.

a) \(M(t)=-1{,}5t+21\) b) Anfangswert: \(21\,\text{kg}\); Steigung: Abnahme um \(1{,}5\,\text{kg/h}\)

- Welche Größen der Geradengleichung von \(q\) kennst du bereits? - Wie kannst du den gemeinsamen Punkt \(S\) nutzen, um den noch fehlenden Achsenabschnitt zu bestimmen? - Welche Eigenschaft haben parallele Geraden, und was bedeutet zusätzlich der Durchgang durch den Ursprung?

1. Für \(q\) gilt \(q(x)=2x+t\). 2. Da \(S(4|2)\) auf \(q\) liegt, gilt \(2=2 \cdot 4+t\). Daraus folgt \(t=-6\), also \(q(x)=2x-6\). 3. Eine zu \(p\) parallele Gerade hat dieselbe Steigung \(-0{,}5\). 4. Da \(r\) durch den Ursprung verläuft, ist ihr \(y\)-Achsenabschnitt \(0\). Damit ist \(r(x)=-0{,}5x\).

a) \(q(x)=2x-6\) b) \(r(x)=-0{,}5x\)

- Wie kannst du aus den beiden Punkten zuerst die Steigung bestimmen? - Welche allgemeine Form soll die gesuchte Geradengleichung haben? - Welchen Funktionswert hat eine Nullstelle? - Welche Bedingung erfüllt der Achsenabschnitt einer Ursprungsgeraden?

1. Aus den Punkten folgt \(m=\frac{2-5}{-2-4}=0{,}5\). 2. Mit \(A(4|5)\) gilt \(5=0{,}5 \cdot 4+t\), also \(t=3\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=0{,}5x+3\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=0{,}5x+3\). Daraus folgt \(x=-6\). 4. Eine Ursprungsgerade hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(0\). Hier ist \(t=3\), also verläuft der Graph nicht durch den Ursprung.

a) \(f(x)=0{,}5x+3\) b) \(x=-6\) c) Nein, da \(t=3 \ne 0\).

- Achte beim Berechnen der Steigung besonders auf die Vorzeichen der Koordinaten. - Wie kannst du nach der Steigung den noch fehlenden Achsenabschnitt bestimmen? - Welche Koordinate ist an einem Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gleich Null? - Wie funktioniert eine Punktprobe für \(R\)?

1. Aus \(P\) und \(Q\) folgt \(m=\frac{-5-7}{4-(-2)}=-2\). 2. Mit \(P(-2|7)\) gilt \(7=-2 \cdot (-2)+t\), also \(t=3\). Damit ist \(f(x)=-2x+3\). 3. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=-2x+3\). Daraus folgt \(x=1{,}5\), also \(S_x(1{,}5|0)\). 4. Für \(R(1|1)\) gilt \(f(1)=-2 \cdot 1+3=1\). Daher liegt \(R\) auf der Geraden.

a) \(f(x)=-2x+3\) b) \(S_x(1{,}5|0)\) c) Ja, \(R(1|1)\) liegt auf der Geraden.

- Welchen Funktionswert hat \(g\) an seiner Nullstelle? - Was gilt für die Steigungen paralleler Geraden? - Wie kannst du mit der bekannten Steigung und dem Punkt \(P\) die Gleichung von \(h\) vervollständigen?

1. Für die Nullstelle von \(g\) gilt \(0=-2x+4\). Daraus folgt \(x=2\). 2. Wegen der Parallelität hat \(h\) ebenfalls die Steigung \(-2\). 3. Mit \(P(1|1)\) gilt \(1=-2 \cdot 1+t\), also \(t=3\). Damit ist \(h(x)=-2x+3\). 4. Da \(h\) den \(y\)-Achsenabschnitt \(3\) und nicht \(0\) hat, verläuft sie nicht durch den Ursprung.

a) \(x=2\) b) \(h(x)=-2x+3\) c) Nein.

- Wie bestimmst du aus zwei Punkten die Steigung \(m\)? - Wie findest du danach mit einem der Punkte den Achsenabschnitt \(t\)? - Welche Koordinate ist auf der \(x\)-Achse beziehungsweise der \(y\)-Achse gleich null?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{4-1}{2-(-4)}=\frac{1}{2}\). 2. Mit \(B(2\mid4)\) gilt \(4=\frac{1}{2}\cdot2+t\), also \(t=3\). Damit lautet die Geradengleichung \(y=\frac{1}{2}x+3\). 3. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(x=0\). Daher ist \(S_y(0\mid3)\). 4. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(y=0\). Aus \(0=\frac{1}{2}x+3\) folgt \(x=-6\), also \(S_x(-6\mid0)\).

a) \(y=\frac{1}{2}x+3\) b) \(S_x(-6\mid0)\), \(S_y(0\mid3)\)

- Welche beiden Achsenschnittpunkte der ersten Geraden sind gegeben? - Wie verändert sich die Steigung der zweiten Geraden laut Aufgabenstellung? - Welchen gemeinsamen Punkt auf der \(x\)-Achse kannst du für \(h\) nutzen?

1. Die Gerade \(g\) verläuft durch \(S_x(4|0)\) und \(S_y(0|-2)\). Daher ist \(m_g=\frac{0-(-2)}{4-0}=0{,}5\). 2. Die Steigung von \(h\) ist doppelt so groß, also \(m_h=1\). 3. Da \(h\) durch \((4|0)\) verläuft, gilt \(0=4+t_h\). Somit ist \(t_h=-4\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(h:y=x-4\). 5. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0|-4)\).

\(h:y=x-4\); \(S_y(0|-4)\)

- Welcher der gegebenen Punkte ist bereits ein Achsenschnittpunkt? - Wie kannst du aus zwei Punkten zuerst die Steigung und anschließend den Achsenabschnitt \(t\) bestimmen? - Welche rechtwinklige Figur entsteht zusammen mit den Koordinatenachsen?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{0-3}{4-(-2)}=-\frac{3}{6}=-0{,}5\). 2. Da \(B(4 \mid 0)\) auf der \(x\)-Achse liegt, ist der Schnittpunkt \(S_x(4 \mid 0)\) bereits bekannt. 3. Setze \(B\) in \(y=-0{,}5x+t\) ein: \(0=-0{,}5\cdot 4+t\). Daraus folgt \(t=2\). Somit ist \(S_y(0 \mid 2)\). 4. Das Dreieck hat die Eckpunkte \((0 \mid 0)\), \(S_x(4 \mid 0)\) und \(S_y(0 \mid 2)\). Seine Kathetenlängen sind \(4\) und \(2\). 5. Der Flächeninhalt beträgt \(A=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4\) Flächeneinheiten.

\(S_x(4 \mid 0)\), \(S_y(0 \mid 2)\); Flächeninhalt \(4\) Flächeneinheiten

- Was wissen wir über die Steigungen von zwei Geraden, die parallel zueinander liegen? - Was ist die Bedingung für einen Punkt, der auf der x-Achse liegt (Nullstelle)? - Kannst du die Informationen über den Punkt und die Steigung nutzen, um eine neue Gleichung aufzustellen?

1. Bestimmung von \(k\): Da \(k \parallel h\), ist \(m_k = \frac{2}{3}\). Einsetzen von \(P(6 | 1)\) in \(y = \frac{2}{3}x + t\): \(1 = \frac{2}{3} \cdot 6 + t \Rightarrow 1 = 4 + t \Rightarrow t = -3\). Somit ist \(k(x) = \frac{2}{3}x - 3\). 2. Nullstelle von \(k\): Setze \(k(x) = 0 \Rightarrow 0 = \frac{2}{3}x - 3 \Rightarrow 3 = \frac{2}{3}x \Rightarrow x = 4{,}5\). 3. Bestimmung von \(l\): Die Gerade \(l\) geht durch \((4{,}5 | 0)\) mit \(m = -2\). Einsetzen in \(y = mx + t\): \(0 = -2 \cdot 4{,}5 + t \Rightarrow 0 = -9 + t \Rightarrow t = 9\). 4. Ergebnis: \(l(x) = -2x + 9\).

a) \(k(x) = \frac{2}{3}x - 3\) b) \(x = 4{,}5\) c) \(l(x) = -2x + 9\)

- Welche beiden Punkte kannst du aus der Tabelle ablesen? - Wie kannst du nach der Steigung den Achsenabschnitt bestimmen? - Welche Rolle spielt \(t\) für die vertikale Lage einer Geraden?

1. Aus den Tabellenpunkten folgt \(m=\frac{1-(-5)}{1-(-2)}=2\). 2. Mit \((1|1)\) gilt \(1=2 \cdot 1+t\), also \(t=-1\). Damit ist \(f(x)=2x-1\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=2x-1\), also \(x=0{,}5\). 4. Wird \(t\) um \(3\) erhöht, bleiben alle Funktionswerte bei gleichem \(x\) um \(3\) größer. Der Graph wird daher parallel um \(3\) Einheiten nach oben verschoben.

a) \(f(x)=2x-1\) b) \(x=0{,}5\) c) Der Graph wird parallel um \(3\) Einheiten nach oben verschoben.

- Welche Größe kannst du aus \(A\) und \(B\) zuerst bestimmen? - Wie führst du eine Punktprobe für \(C\) durch? - Was gilt für die Steigungen paralleler Geraden? - Welchen Funktionswert hat ein Punkt auf der \(x\)-Achse?

1. Für \(k\) gilt \(m_k=\frac{-3-5}{-2-2}=2\). 2. Mit \(A(2|5)\) folgt \(5=2\cdot2+t_k\), also \(t_k=1\). Damit ist \(k(x)=2x+1\). 3. Für \(C(5|11)\) gilt \(k(5)=2\cdot5+1=11\). Daher liegt \(C\) auf \(k\). 4. Wegen der Parallelität gilt \(m_l=2\). Mit \(P(1|1)\) folgt \(1=2\cdot1+t_l\), also \(t_l=-1\). Damit ist \(l(x)=2x-1\). 5. Für den Schnittpunkt von \(k\) mit der \(x\)-Achse gilt \(0=2x+1\). Daraus folgt \(x=-0{,}5\). Also ist \(S_x(-0{,}5|0)\).

a) \(k(x)=2x+1\) b) Ja, \(C(5|11)\) liegt auf \(k\). c) \(l(x)=2x-1\) d) \(S_x(-0{,}5|0)\)

- Welche Größe muss zwischen den Messpunkten gleich bleiben, damit der Verlauf linear ist? - Welche Information liefert die Tabelle direkt für den Zeitpunkt \(t=0\)? - Wie kannst du mit der gefundenen Funktionsgleichung einen späteren Temperaturwert berechnen? - Wie gehst du vor, wenn stattdessen eine Zieltemperatur vorgegeben ist?

1. Zwischen \(0\) und \(8\,\text{min}\) gilt \(m_1=\frac{74-90}{8-0}=-2\,^\circ\text{C/min}\). Zwischen \(8\) und \(20\,\text{min}\) gilt \(m_2=\frac{50-74}{20-8}=-2\,^\circ\text{C/min}\). Da die Steigungen gleich sind, ist der Verlauf linear. 2. Bei \(t=0\) beträgt die Temperatur \(90\,^\circ\text{C}\). Das ist der Anfangswert. Daher lautet das Modell \(T(t)=-2t+90\). 3. Für \(t=15\) gilt \(T(15)=-2 \cdot 15+90=60\). Die Temperatur beträgt \(60\,^\circ\text{C}\). 4. Für \(T=26\) gilt \(26=-2t+90\). Daraus folgt \(t=32\,\text{min}\).

a) Beide Intervallsteigungen betragen \(-2\,^\circ\text{C/min}\); daher ist der Verlauf linear. b) \(T(t)=-2t+90\) c) \(60\,^\circ\text{C}\) d) Nach \(32\,\text{min}\)

- Welche Wassermenge ist bereits vorhanden, bevor die Zeitmessung beginnt? - Wie verändert sich die Wassermenge in jeder weiteren Minute? - Welche Angaben beschreiben einen Geradenabschnitt eindeutig, ohne dass du ihn als Antwort zeichnen musst? - Für die gesuchte Zeit kannst du \(200\,\text{l}\) als Funktionswert einsetzen.

1. Zu Beginn sind \(40\,\text{l}\) im Fass. Pro Minute kommen \(4\,\text{l}\) hinzu. Daher gilt \(y=4x+40\). 2. Es gilt \(y(0)=40\), \(y(10)=80\), \(y(15)=100\) und \(y(30)=160\). 3. Der betrachtete Graphabschnitt beginnt bei \((0\mid40)\). Seine Steigung ist \(m=4\). Für \(200\,\text{l}\) wird in Teil 4 der Zeitpunkt \(x=40\) bestimmt, also endet der Modellabschnitt bei \((40\mid200)\). 4. Setze \(y=200\): \(200=4x+40\). Daraus folgt \(160=4x\) und damit \(x=40\).

1. \(y=4x+40\) 2. <table><tr><td>Zeit \(x\) in \(\text{min}\)</td><td>0</td><td>10</td><td>15</td><td>30</td></tr><tr><td>Wassermenge \(y\) in \(\text{l}\)</td><td>40</td><td>80</td><td>100</td><td>160</td></tr></table> 3. Startpunkt \((0\mid40)\), Endpunkt \((40\mid200)\), Steigung \(m=4\) 4. \(40\,\text{min}\)

- Wie setzt sich der Fortschritt aus Startwert und Bearbeitungsrate zusammen? - Wie viele Prozentpunkte fehlen von \(12\,\%\) bis \(100\,\%\)? - Welche beiden Gesamtzeiten musst du in Teil c) vergleichen?

1. Für Rechner A gilt \(P_A(t)=0{,}8t+12\). 2. Rechner B muss \(88\) Prozentpunkte in \(80\) Minuten bearbeiten. Seine Rate ist \(88:80=1{,}1\) Prozentpunkte pro Minute. 3. Für Rechner A gilt \(100=0{,}8t+12\), also \(t=110\,\text{min}\). Rechner B benötigt \(80\,\text{min}\); die Ersparnis beträgt \(30\,\text{min}\).

a) \(P_A(t)=0{,}8t+12\) b) \(1{,}1\) Prozentpunkte pro Minute c) \(30\,\text{min}\)

- Achte darauf, dass die Höhe abnimmt. Welches Vorzeichen hat die Änderungsrate? - Sind alle Zeitangaben in der gleichen Einheit? - Welchen Wert hat die Höhe, wenn der Ballon den Boden berührt? - Wie rechnet man Sekunden in Minuten und verbleibende Sekunden um?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Die Anfangshöhe ist \(840\,\text{m}\), die Änderungsrate beträgt \(-1{,}5\,\text{m/s}\). Die Gleichung lautet \(h(t) = 840 - 1{,}5t\). 2. Berechnung der Höhe nach \(4\) Minuten: Zuerst Umrechnung der Zeit in Sekunden: \(4 \cdot 60 = 240\,\text{s}\). Einsetzen in die Funktion: \(h(240) = 840 - 1{,}5 \cdot 240 = 840 - 360 = 480\). Die Höhe beträgt \(480\,\text{m}\). 3. Berechnung der Landezeit: Der Boden entspricht der Höhe \(h = 0\). Setze \(0 = 840 - 1{,}5t\). Umstellen ergibt \(1{,}5t = 840\). Division durch \(1{,}5\) liefert \(t = 560\,\text{s}\). 4. Umrechnung in Minuten: \(560 : 60 = 9\) Rest \(20\). Der Ballon landet nach \(9\) Minuten und \(20\) Sekunden.

1) \(h(t) = 840 - 1{,}5t\) 2) Nach \(4\) Minuten ist der Ballon in \(480\,\text{m}\) Höhe. 3) Er erreicht den Boden nach \(560\) Sekunden (bzw. \(9\) Minuten und \(20\) Sekunden).

- Welche Bestandsänderung findet zwischen Tag 5 und Tag 12 statt? - Welches Vorzeichen hat die Steigung bei Verbrauch? - Wie kannst du vom Bestand an Tag 5 auf Tag 0 zurückrechnen? - Welcher Funktionswert kennzeichnet einen aufgebrauchten Vorrat?

1. Zwischen Tag \(5\) und Tag \(12\) sinkt der Bestand um \(350\,\text{kg}\) in \(7\) Tagen. Der Verbrauch beträgt \(50\,\text{kg/Tag}\); die Steigung ist \(-50\). 2. Zurückgerechnet ist der Anfangsbestand \(1200+5\cdot50=1450\,\text{kg}\). Damit gilt \(M(t)=-50t+1450\). 3. \(0=-50t+1450\) ergibt \(t=29\).

a) \(50\,\text{kg/Tag}\) b) \(1450\,\text{kg}\); \(M(t)=-50t+1450\) c) Nach \(29\,\text{Tagen}\)

- Welche zwei Punkte des linearen Modells liefern die beiden Messungen? - Wie kannst du aus der Änderung des Kilometerstands und der Zeitdifferenz die Änderungsrate bestimmen? - Wie kannst du anschließend von einem Messpunkt auf den Wert bei \(t=0\) zurückrechnen? - Welche Umrechnung brauchst du von Kilometern pro Minute zu Kilometern pro Stunde?

1. Aus den Punkten \((20|84)\) und \((50|135)\) folgt die Steigung \(m=\frac{135-84}{50-20}=1{,}7\,\text{km/min}\). 2. Mit dem Messwert bei \(t=20\) ergibt sich der Anfangswert zu \(84-1{,}7 \cdot 20=50\,\text{km}\). 3. Daher lautet das Modell \(K(t)=1{,}7t+50\). 4. Die Geschwindigkeit beträgt \(1{,}7 \cdot 60=102\,\text{km/h}\).

\(K(t)=1{,}7t+50\); Geschwindigkeit: \(102\,\text{km/h}\); Kilometerstand bei \(t=0\): \(50\,\text{km}\)

- Welche zwei Messpunkte gehören jeweils zu einer Rolle? - Wie bestimmst du die Verbrauchsrate aus zwei Punkten? - Wie kannst du die Anfangslänge aus einer Rate und einem Messpunkt zurückrechnen? - Was sagt der Betrag einer negativen Steigung über den Verbrauch aus?

1. Für Rolle A gilt \(m_A=\frac{10-16}{5-2}=-2\,\text{m/h}\). Mit \((2\mid16)\) folgt der Anfangswert \(20\,\text{m}\). Also \(L_A(t)=-2t+20\). 2. Für Rolle B gilt \(m_B=\frac{8{,}1-15}{6-3}=-2{,}3\,\text{m/h}\). Mit \((3\mid15)\) folgt der Anfangswert \(21{,}9\,\text{m}\). Also \(L_B(t)=-2{,}3t+21{,}9\). 3. Rolle B enthält anfangs mehr Filament und wird wegen der betragsmäßig größeren negativen Steigung schneller verbraucht.

\(L_A(t)=-2t+20\), \(L_B(t)=-2{,}3t+21{,}9\). Rolle B enthält anfangs mehr Filament; Drucker B verbraucht es schneller.

- Bestimme die Steigung aus den Punkten \(A\) und \(B\). - Nutze einen der Punkte, um den y-Achsenabschnitt \(t\) zu bestimmen. - Welchen y-Wert musst du für den Punkt \(C\) in deine Gleichung einsetzen?

1. Die Steigung der Geraden durch \(A\) und \(B\) ist \(m=\frac{-2-7}{4-(-2)}=\frac{-9}{6}=-1{,}5\). 2. Mit \(A(-2|7)\) gilt \(7=-1{,}5\cdot(-2)+t\). Daraus folgt \(t=4\). Also lautet die Geradengleichung \(y=-1{,}5x+4\). 3. Für den Punkt \(C(x|-5)\) gilt \(-5=-1{,}5x+4\). 4. Daraus folgt \(-9=-1{,}5x\) und damit \(x=6\).

a) \(g: y=-1{,}5x+4\) b) \(x=6\)

- Überlege dir zuerst, welche Größe die unabhängige Variable (x-Achse) und welche die abhängige Variable (y-Achse) ist. - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Wertepaare bekannt sind? - Der Achsenabschnitt repräsentiert in Sachzusammenhängen oft einen Startwert. - Um einen gesuchten Wert der unabhängigen Variable zu finden, musst du die Funktionsgleichung nach dieser Variable auflösen.

1. Zur Bestimmung der Steigerungsrate \(m\) werden die gegebenen Punkte \(P_1(500 \mid 25)\) und \(P_2(2000 \mid 70)\) genutzt: \(m = \frac{70 - 25}{2000 - 500} = \frac{45}{1500} = 0{,}03\). 2. Einsetzen eines Punktes in \(T(d) = 0{,}03d + t\) zur Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: \(25 = 0{,}03 \cdot 500 + t \Rightarrow 25 = 15 + t \Rightarrow t = 10\). Die Funktionsgleichung lautet \(T(d) = 0{,}03d + 10\). 3. Die Temperatur an der Erdoberfläche entspricht dem Wert bei \(d = 0\), also \(T(0) = 10\). Die Temperatur beträgt \(10\,^\circ\text{C}\). 4. Zur Bestimmung der Tiefe für \(100\,^\circ\text{C}\) wird die Gleichung \(100 = 0{,}03d + 10\) gelöst: \(90 = 0{,}03d \Rightarrow d = 3000\). Die Tiefe beträgt \(3000\,\text{m}\).

a) \(T(d) = 0{,}03d + 10\) b) \(10\,^\circ\text{C}\) c) \(3000\,\text{m}\)

- Behandle den Parameter \(a\) beim Rechnen wie eine normale Zahl. - Denk daran, dass du Brüche kürzen kannst, wenn im Zähler und Nenner derselbe Faktor steht. - Was bedeutet es für die Steigung, wenn sich der Parameter beim Berechnen des Differenzenquotienten herauskürzt? - Wie gehst du vor, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu berechnen?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mit den Koordinaten der Punkte \(P\) und \(Q\): \(m = \frac{8a - 2a}{3a - a} = \frac{6a}{2a} = 3\). Da sich \(a\) kürzt, ist die Steigung \(m = 3\) konstant und unabhängig von \(a\). 2. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b_a\) durch Einsetzen von \(P(a \mid 2a)\) in \(y = 3x + b_a\): \(2a = 3a + b_a \Rightarrow b_a = -a\). Die Funktionsgleichung lautet \(f_a(x) = 3x - a\). 3. Berechnung der Nullstelle durch Nullsetzen des Funktionsterms: \(0 = 3x - a \Rightarrow 3x = a \Rightarrow x = \frac{a}{3}\).

a) \(f_a(x) = 3x - a\) b) Die Steigung \(m = 3\) ist unabhängig von \(a\). c) Die Nullstelle liegt bei \(x = \frac{a}{3}\).

- Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welche allgemeine Form hat eine Geradengleichung? - Wie kannst du den y-Achsenabschnitt berechnen, wenn du die Steigung und einen Punkt kennst? - Was musst du tun, wenn eine Koordinate eines Punktes auf der Geraden fehlt?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mit den Punkten \(A\) und \(B\): \(m = \frac{1 - 4}{5 - (-2{,}5)} = \frac{-3}{7{,}5} = -0{,}4\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(t\) durch Einsetzen von \(B(5 \mid 1)\) in \(y = mx + t\): \(1 = -0{,}4 \cdot 5 + t \Rightarrow 1 = -2 + t \Rightarrow t = 3\). Die Geradengleichung lautet \(y = -0{,}4x + 3\). 3. Berechnung von \(y_1\): \(y_1 = -0{,}4 \cdot 10 + 3 = -4 + 3 = -1\). 4. Berechnung von \(x_2\): \(6 = -0{,}4 \cdot x_2 + 3 \Rightarrow 3 = -0{,}4 \cdot x_2 \Rightarrow x_2 = -7{,}5\). 5. Berechnung von \(y_3\): \(y_3 = -0{,}4 \cdot 0 + 3 = 3\). 6. Berechnung von \(x_4\): \(0 = -0{,}4 \cdot x_4 + 3 \Rightarrow 0{,}4 \cdot x_4 = 3 \Rightarrow x_4 = 7{,}5\).

\(y_1 = -1\); \(x_2 = -7{,}5\); \(y_3 = 3\); \(x_4 = 7{,}5\)

- Kannst du aus den gegebenen Punkten \(C\) und \(D\) die Funktionsvorschrift \(f(x) = mx + t\) herleiten? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf dem Graphen einer Funktion liegt? - Wie gehst du vor, wenn der Funktionswert \(y\) gegeben ist und das Argument \(x\) gesucht wird?

1. Bestimmung der Steigung \(m\): \(m = \frac{6 - 1}{3 - 1} = \frac{5}{2} = 2{,}5\). 2. Ermittlung des y-Achsenabschnitts \(t\) mit \(C(1 \mid 1)\): \(1 = 2{,}5 \cdot 1 + t \Rightarrow t = -1{,}5\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 2{,}5x - 1{,}5\). 3. Berechnung der fehlenden \(y\)-Werte: \(f(4) = 2{,}5 \cdot 4 - 1{,}5 = 8{,}5\); \(f(0) = 2{,}5 \cdot 0 - 1{,}5 = -1{,}5\). 4. Berechnung der fehlenden \(x\)-Werte: \(11 = 2{,}5x - 1{,}5 \Rightarrow 12{,}5 = 2{,}5x \Rightarrow x = 5\); \(0 = 2{,}5x - 1{,}5 \Rightarrow 1{,}5 = 2{,}5x \Rightarrow x = 0{,}6\).

Die fehlenden Werte lauten (in der Reihenfolge der Tabelle): \(y = 8{,}5\) (für \(x=4\)), \(x = 5\) (für \(y=11\)), \(y = -1{,}5\) (für \(x=0\)) und \(x = 0{,}6\) (für \(y=0\)).

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Was weißt du über die Steigungen zweier Geraden, die parallel zueinander verlaufen? - Welchen Ansatz für eine Geradengleichung kannst du nutzen, um die fehlenden Parameter zu bestimmen? - Wie nutzt man einen gegebenen Punkt, um den fehlenden y-Achsenabschnitt einer Geraden zu berechnen?

1. Berechnung der Steigung der Geraden \(l\) mithilfe der gegebenen Punkte \(Q\) und \(R\): \(m_l = \frac{0 - 3}{2 - 0{,}5} = \frac{-3}{1{,}5} = -2\). 2. Bestimmung der Steigung der parallelen Geraden \(k\): Da \(k \parallel l\), gilt \(m_k = m_l = -2\). 3. Einsetzen der Steigung \(m_k\) und der Koordinaten des Punktes \(S(-4|5)\) in die Geradengleichung \(y = mx + t\): \(5 = -2 \cdot (-4) + t\). 4. Berechnung des y-Achsenabschnitts: \(5 = 8 + t \implies t = -3\). 5. Zusammenführen der Ergebnisse zur fertigen Gleichung: \(y = -2x - 3\).

\(y = -2x - 3\)

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander liegen? - Wie gehst du vor, um den \(y\)-Achsenabschnitt zu bestimmen, wenn die Steigung und ein Punkt bekannt sind? - Welche Bedingung muss für die \(y\)-Koordinate an der Stelle gelten, an der ein Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Kannst du die berechnete Gleichung nutzen, um den gesuchten Punkt zu finden?

1. Bestimmung der Steigung: Da \(h\) parallel zu \(k\) verläuft, gilt \(m_h = m_k = \frac{2}{3}\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: Einsetzen von \(P(6 \mid 1)\) in \(y = \frac{2}{3}x + t\) ergibt \(1 = \frac{2}{3} \cdot 6 + t\), also \(1 = 4 + t\). Daraus folgt \(t = -3\). Die Funktionsgleichung ist \(h(x) = \frac{2}{3}x - 3\). 3. Berechnung des Schnittpunktes mit der \(x\)-Achse: Bedingung \(h(x) = 0\) setzen: \(0 = \frac{2}{3}x - 3\). Umstellen ergibt \(3 = \frac{2}{3}x\), also \(x = 4{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(N(4{,}5 \mid 0)\).

Funktionsgleichung: \(h(x) = \frac{2}{3}x - 3\) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(4{,}5 \mid 0)\)

- Welche Information liefert der Schnittpunkt eines Graphen mit der \(y\)-Achse direkt? - Suche für jede Gerade zwei gut ablesbare Gitterpunkte. - Wie bestimmst du aus horizontaler und vertikaler Änderung die Steigung? - Achte darauf, ob die Gerade von links nach rechts steigt oder fällt.

1. Bei \(f\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-1\). Zwischen \((0|-1)\) und \((1|1)\) gilt \(m=\frac{2}{1}=2\). Daher ist \(f(x)=2x-1\). 2. Bei \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=2\). Zwischen \((0|2)\) und \((2|1)\) gilt \(m=-\frac{1}{2}=-0{,}5\). Daher ist \(g(x)=-0{,}5x+2\). 3. Bei \(h\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\). Zwischen \((0|1)\) und \((3|2)\) gilt \(m=\frac{1}{3}\). Daher ist \(h(x)=\frac{1}{3}x+1\).

\(f(x)=2x-1\), \(g(x)=-0{,}5x+2\), \(h(x)=\frac{1}{3}x+1\)

- Welche Gitterpunkte auf der Geraden lassen sich besonders sicher ablesen? - Wie berechnest du die Steigung aus zwei Punkten und wie deutest du ihr Vorzeichen hier? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei \(t=0\) im Tankmodell? - Welchen Funktionswert hat das Volumen bei einem leeren Tank?

1. Geeignete Punkte sind zum Beispiel \(P_1(0|250)\) und \(P_2(5|150)\). 2. Die Steigung ist \(m=\frac{150-250}{5-0}=-20\,\frac{\text{l}}{\text{min}}\). Pro Minute fließen also \(20\,\text{l}\) aus dem Tank ab. 3. Bei \(t=0\) zeigt der Graph \(250\,\text{l}\). Das ist der Anfangswert. Daher lautet die Funktionsgleichung \(V(t)=-20t+250\). 4. Für einen leeren Tank gilt \(0=-20t+250\). Daraus folgt \(t=12{,}5\). Der Tank ist nach \(12{,}5\,\text{Minuten}\) leer.

a) \(m=-20\,\frac{\text{l}}{\text{min}}\); pro Minute fließen \(20\,\text{l}\) ab. b) Anfangswert: \(250\,\text{l}\); \(V(t)=-20t+250\) c) Nach \(12{,}5\,\text{Minuten}\)

- Welche Informationen zu Achsenabschnitt und Steigung kannst du bei \(f\) und \(g\) direkt aus dem Diagramm gewinnen? - Welche Steigung muss \(h\) wegen der Parallelität besitzen? - Welche zwei Punkte bestimmen die Gerade \(k\)? - Wie kannst du nach der jeweiligen Steigung den noch unbekannten Achsenabschnitt bestimmen?

1. Bei \(f\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=2\). Zwischen \((0|2)\) und \((3|3)\) gilt \(m=\frac{1}{3}\). Daher ist \(f(x)=\frac{1}{3}x+2\). 2. Bei \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-1\). Zwischen \((0|-1)\) und \((2|-2)\) gilt \(m=-\frac{1}{2}\). Daher ist \(g(x)=-\frac{1}{2}x-1\). 3. Wegen \(h \parallel f\) hat \(h\) die Steigung \(\frac{1}{3}\). Mit \(P(-3|3)\) gilt \(3=\frac{1}{3} \cdot (-3)+t_h\), also \(t_h=4\). Damit ist \(h(x)=\frac{1}{3}x+4\). 4. Für die Gerade durch \(P(-3|3)\) und \(Q(1|-1)\) gilt \(m_k=\frac{-1-3}{1-(-3)}=-1\). Mit \(Q\) folgt \(-1=-1+t_k\), also \(t_k=0\). Damit ist \(k(x)=-x\).

a) \(f(x)=\frac{1}{3}x+2\), \(g(x)=-\frac{1}{2}x-1\) b) \(h(x)=\frac{1}{3}x+4\) c) \(k(x)=-x\)

- Welche Informationen zu Achsenabschnitt und Steigung kannst du für beide Geraden aus dem Diagramm lesen? - Welche Bedingung erfüllen die Funktionswerte am Schnittpunkt? - Nutze das Diagramm in Teil b) erst nach deiner Rechnung als Kontrolle. - Wie kannst du durch Einsetzen prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?

1. Bei \(f\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(1\). Zwischen \((0|1)\) und \((2|2)\) gilt \(m_f=0{,}5\). Daher ist \(f(x)=0{,}5x+1\). 2. Bei \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(4\). Zwischen \((0|4)\) und \((1|2)\) gilt \(m_g=-2\). Daher ist \(g(x)=-2x+4\). 3. Für den Schnittpunkt gilt \(0{,}5x+1=-2x+4\). Daraus folgt \(2{,}5x=3\), also \(x=\frac65\). Damit ist \(y=\frac85\). Der Schnittpunkt ist \(S\left(\frac65\middle|\frac85\right)\). Im Graphen liegt der Schnittpunkt entsprechend ungefähr bei \((1{,}2|1{,}6)\). 4. Für \(P(8|5)\) gilt \(f(8)=5\). Daher liegt \(P\) auf \(f\). 5. Für \(Q(-2|5)\) gilt \(g(-2)=8\). Daher liegt \(Q\) nicht auf \(g\).

a) \(f(x)=0{,}5x+1\), \(g(x)=-2x+4\) b) \(S\left(\frac65\middle|\frac85\right)\); im Graphen ungefähr \((1{,}2|1{,}6)\). c) \(P\) liegt auf \(f\); \(Q\) liegt nicht auf \(g\).

- Achte besonders darauf, welche Werte ein Kästchen auf der \(x\)- und auf der \(y\)-Achse jeweils darstellt. - Welche beiden Achsenschnittpunkte kannst du sicher ablesen? - Wie kannst du aus zwei Punkten die Steigung bestimmen? - Für Teil b) liegt der gesuchte x-Wert außerhalb des dargestellten Bereichs. Nutze deshalb deine Funktionsgleichung.

1. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(S_y(0|10)\) und die \(x\)-Achse bei \(S_x(-2|0)\). 2. Damit ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=10\). 3. Die Steigung ist \(m=\frac{10-0}{0-(-2)}=5\). Daher lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=5x+10\). 4. Für \(x=8\) gilt \(g(8)=5\cdot8+10=50\). Der Wert liegt außerhalb des dargestellten x-Bereichs und wird deshalb mit der Funktionsgleichung berechnet.

a) \(g(x)=5x+10\) b) \(g(8)=50\)

- Welche Achsenabschnitte und weiteren Gitterpunkte kannst du für beide Geraden ablesen? - Welchen Funktionswert setzt du ein, wenn du eine Nullstelle suchst? - Welche Gleichheit gilt für die beiden Funktionswerte am Schnittpunkt? - Nutze den sichtbaren Schnittpunkt erst nach der Rechnung zur Kontrolle.

1. Für \(f\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-2\). Mit \((0\mid-2)\) und \((2\mid1)\) ergibt sich \(m=1{,}5\). Daher ist \(f(x)=1{,}5x-2\). 2. Für \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=3\). Mit \((0\mid3)\) und \((2\mid2)\) ergibt sich \(m=-0{,}5\). Daher ist \(g(x)=-0{,}5x+3\). 3. Für die Nullstelle von \(f\) gilt \(0=1{,}5x-2\), also \(x_0=\frac43\). Für \(g\) gilt \(0=-0{,}5x+3\), also \(x_0=6\). 4. Am Schnittpunkt gilt \(1{,}5x-2=-0{,}5x+3\). Daraus folgt \(2x=5\), also \(x=2{,}5\). Dann ist \(y=1{,}75\). Damit ist \(S(2{,}5\mid1{,}75)\). Im Graphen lässt sich dieser Punkt nur näherungsweise kontrollieren.

a) \(f(x)=1{,}5x-2\), \(g(x)=-0{,}5x+3\) b) \(f:\ x_0=\frac43\); \(g:\ x_0=6\) c) \(S(2{,}5\mid1{,}75)\)

- Welche beiden Koordinatenpaare liefern die markierten Messpunkte? - Die Zuflussrate beschreibt, wie stark sich das Volumen pro Minute verändert. - Nutze nach der Bestimmung der Rate einen der Messpunkte, um den noch unbekannten Anfangswert zu finden. - Welche Form hat eine lineare Volumenfunktion, wenn Rate und Anfangswert bekannt sind?

1. Aus der Grafik liest man \(P_1(2\mid400)\) und \(P_2(8\mid1000)\) ab. Die Zuflussrate ist \(\frac{1000-400}{8-2}=100\,\frac{\text{l}}{\text{min}}\). 2. Mit \(P_1\) gilt \(400=100\cdot2+V(0)\). Daraus folgt \(V(0)=200\,\text{l}\). 3. Das Modell lautet \(V(t)=100t+200\). 4. Nach \(15\) Minuten gilt \(V(15)=100\cdot15+200=1700\,\text{l}\).

a) \(100\,\text{l/min}\) b) \(V(0)=200\,\text{l}\) c) \(V(t)=100t+200\) d) \(1700\,\text{l}\)

- Suche im Diagramm den Punkt, an dem sich tatsächlich alle vier Geraden schneiden. - Weil dieser Punkt auf der \(y\)-Achse liegt, kennst du damit zugleich den gemeinsamen Achsenabschnitt. - Bestimme für jede Gerade mit einem weiteren Gitterpunkt ihre Steigung. - Welche Steigung besitzt eine waagerechte Gerade?

1. Alle vier Geraden schneiden sich auf der \(y\)-Achse bei \(-2\). Daher ist \(P(0\mid-2)\). 2. Für alle vier Geraden gilt damit \(t=-2\). Bei \(h_1\) liefert der Punkt \((1\mid0)\) die Steigung \(m=2\), also \(h_1:y=2x-2\). 3. Bei \(h_2\) liefert der Punkt \((2\mid-4)\) die Steigung \(m=-1\), also \(h_2:y=-x-2\). 4. Bei \(h_3\) liefert der Punkt \((2\mid-1)\) die Steigung \(m=0{,}5\), also \(h_3:y=0{,}5x-2\). 5. Bei \(h_4\) liefert der Punkt \((1\mid-5)\) die Steigung \(m=-3\), also \(h_4:y=-3x-2\). 6. Eine Gerade parallel zur \(x\)-Achse hat die Steigung \(m=0\). Durch \(P(0\mid-2)\) ergibt sich daher \(h_5:y=-2\).

a) \(P(0\mid-2)\) b) \(h_1:y=2x-2\); \(h_2:y=-x-2\); \(h_3:y=0{,}5x-2\); \(h_4:y=-3x-2\) c) \(h_5:y=-2\)

- Welche Information liefert der gemeinsame Punkt auf der \(y\)-Achse über den Parameter \(t\)? - Wie kannst du aus zwei gut ablesbaren Punkten einer Geraden ihre Steigung bestimmen? - Was bedeutet „betragsmäßig kleiner“ für eine negative Steigung im Vergleich zu \(g_1\)?

1. Da alle Geraden durch \(A(0\mid1{,}5)\) verlaufen, ist ihr \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1{,}5\). 2. Für \(g_1\) kann neben \(A\) der Punkt \((1\mid-0{,}5)\) abgelesen werden. Damit ist \(m=-2\), also \(g_1:y=-2x+1{,}5\). 3. Für \(g_2\) kann neben \(A\) der Punkt \((1\mid2)\) abgelesen werden. Damit ist \(m=0{,}5\), also \(g_2:y=0{,}5x+1{,}5\). 4. \(g_3\) verläuft waagerecht. Daher ist \(m=0\) und \(g_3:y=1{,}5\). 5. Gemeinsam ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1{,}5\). 6. Für \(g_4\) muss \(-2<m<0\) gelten. Mit \(m=-1\) erhält man zum Beispiel \(g_4:y=-x+1{,}5\).

a) \(g_1:y=-2x+1{,}5\); \(g_2:y=0{,}5x+1{,}5\); \(g_3:y=1{,}5\) b) \(t=1{,}5\) c) Zum Beispiel \(g_4:y=-x+1{,}5\); allgemein gilt \(-2<m<0\).

- Welche zwei gut ablesbaren Punkte des Graphen kannst du für die Steigung verwenden? - Was sagt das Vorzeichen der Steigung über die Veränderung der Kerzenhöhe aus? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei \(t=0\)? - Setze für Teil b) \(t=12\) in deine Funktionsgleichung ein. Ist das Ergebnis kleiner als die Anfangshöhe und noch positiv?

1. Aus dem Diagramm lassen sich zum Beispiel die Punkte \(P_1(0 \mid 80)\) und \(P_2(8 \mid 40)\) ablesen. 2. Die Steigung ist \(m=\frac{40-80}{8-0}=-5\). Die Kerze wird also pro Stunde um \(5\,\text{mm}\) kürzer. 3. Der Anfangswert beträgt \(80\,\text{mm}\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(h(t)=-5t+80\). 4. Für \(t=12\) gilt \(h(12)=-5\cdot 12+80=20\).

a) \(h(t)=-5t+80\) b) Nach \(12\,\text{h}\) ist die Kerze noch \(20\,\text{mm}\) hoch.

- Welche Größe in \(g(x)=mx+t\) ist schon bekannt? - Wie hilft der Punkt \(P\), den Achsenabschnitt \(t\) zu bestimmen? - Setze danach den verlangten Funktionswert in deine fertige Gleichung ein.

1. Mit \(m=2{,}5\) und \(P(2\mid1)\) gilt \(1=2{,}5\cdot2+t\). 2. Daraus folgt \(t=-4\), also \(g(x)=2{,}5x-4\). 3. Für Teil b gilt \(11=2{,}5x-4\). 4. Somit ist \(15=2{,}5x\) und daher \(x=6\).

a) \(g(x)=2{,}5x-4\) b) \(x=6\)

- Welche Bedeutung haben die Funktionswerte bei \(t=0\) für Anton und Bea? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du bei jeder Geraden zur Bestimmung der Steigung verwenden? - Warum hat eine der beiden Geraden eine negative Steigung? - Bis zu welchem Zeitpunkt kann \(s_B(t)\) als nichtnegative Entfernung vom Punkt \(0\,\text{km}\) interpretiert werden?

1. Für Anton ist der Anfangswert \(0\). Nach \(2\,\text{h}\) befindet er sich bei \(10\,\text{km}\). Daher ist die Steigung \(m=\frac{10-0}{2-0}=5\), also \(s_A(t)=5t\). 2. Für Bea ist der Anfangswert \(18\). Nach \(2\,\text{h}\) befindet sie sich bei \(10\,\text{km}\). Daher ist die Steigung \(m=\frac{10-18}{2-0}=-4\), also \(s_B(t)=-4t+18\). 3. Für Bea beschreibt dieses Entfernungsmodell nur Zeiten bis \(s_B(t)=0\). Aus \(-4t+18=0\) folgt \(t=4{,}5\,\text{h}\). Deshalb endet die gemeinsame dargestellte Zeitspanne bei \(4{,}5\,\text{h}\).

Für Anton gilt \(s_A(t)=5t\). Für Bea gilt im dargestellten Bereich \(s_B(t)=-4t+18\) für \(0\le t\le 4{,}5\).

- Wie kannst du aus den Koordinaten von \(P\) und \(Q\) die Steigung bestimmen? - Wie lässt sich anschließend mit einem der beiden Punkte der Parameter \(t\) bestimmen? - Welche rechnerische Bedingung muss \(R\) erfüllen, damit der Punkt auf \(g\) liegt?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{-2-4}{2-(-1)}=\frac{-6}{3}=-2\). 2. Setze zum Beispiel \(Q(2 \mid -2)\) in \(y=-2x+t\) ein: \(-2=-2\cdot 2+t\). Daraus folgt \(t=2\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x)=-2x+2\). 4. Für \(R(4 \mid -6)\) ergibt die Punktprobe \(g(4)=-2\cdot 4+2=-6\). Damit liegt \(R\) auf der Geraden.

a) \(g(x)=-2x+2\) b) Ja, \(R(4 \mid -6)\) liegt auf der Geraden.

- Welche markierten Punkte gehören jeweils zu derselben Geraden? - Wie bestimmst du daraus Steigung und y-Achsenabschnitt? - Welche Gleichung gilt am gemeinsamen Punkt der beiden Geraden?

1. Für \(a\) kann man die Punkte \((0|-2)\) und \((4|0)\) verwenden. Damit ist \(m_a=\frac{0-(-2)}{4-0}=\frac12\) und \(t_a=-2\). Also gilt \(a(x)=0{,}5x-2\). 2. Für \(b\) kann man die Punkte \((0|3)\) und \((2|1)\) verwenden. Damit ist \(m_b=\frac{1-3}{2-0}=-1\) und \(t_b=3\). Also gilt \(b(x)=-x+3\). 3. Gleichsetzen: \(0{,}5x-2=-x+3\). Daraus folgt \(1{,}5x=5\) und damit \(x=\frac{10}{3}\). 4. Einsetzen ergibt \(y=-\frac13\). Der Schnittpunkt ist \(S\left(\frac{10}{3}\middle|-\frac13\right)\). In der Zeichnung liegt er entsprechend ungefähr bei \((3{,}3|-0{,}3)\).

a) \(a(x)=0{,}5x-2\); \(b(x)=-x+3\) b) \(S\left(\frac{10}{3}\middle|-\frac13\right)\), ungefähr \((3{,}3|-0{,}3)\)

- Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du bei jeder schrägen Geraden wählen? - Wie lässt sich nach der Steigung der Achsenabschnitt \(t\) bestimmen? - Was bedeutet eine waagerechte Gerade für die Steigung und den Funktionsterm?

1. Für \(f_1\) können die Punkte \((-2 \mid 2)\) und \((2 \mid 1)\) verwendet werden. Die Steigung ist \(m=\frac{1-2}{2-(-2)}=-\frac{1}{4}=-0{,}25\). Mit einem der Punkte folgt \(t=1{,}5\). Daher gilt \(f_1(x)=-0{,}25x+1{,}5\). 2. Für \(f_2\) kann man die Punkte \((0 \mid -2)\) und \((1 \mid 1)\) ablesen. Damit ist \(m=\frac{1-(-2)}{1-0}=3\) und \(t=-2\). Daher gilt \(f_2(x)=3x-2\). 3. \(f_3\) ist waagerecht und hat stets den Funktionswert \(2\). Daher gilt \(f_3(x)=2\).

\(f_1(x)=-0{,}25x+1{,}5\); \(f_2(x)=3x-2\); \(f_3(x)=2\)

- Welche beiden Koordinatenänderungen gehören in Zähler und Nenner der Steigung? - Prüfe Leilas Gleichung mit dem Punkt \(B\). Passt dessen y-Wert? - Wenn die richtige Steigung feststeht, kann einer der gegebenen Punkte den y-Achsenabschnitt bestimmen.

1. Bei der Steigungsberechnung müssen die Änderungen der y-Koordinaten durch die Änderungen der x-Koordinaten geteilt werden. Leila hat Zähler und Nenner vertauscht. 2. Richtig ist \(m=\frac{3-5}{5-1}=\frac{-2}{4}=-0{,}5\). 3. Mit \(A(1|5)\) gilt \(5=-0{,}5\cdot1+t\). Daraus folgt \(t=5{,}5\). 4. Die richtige Funktionsgleichung lautet \(y=-0{,}5x+5{,}5\). 5. Für \(x=1\) ergibt sich \(-0{,}5+5{,}5=5\), für \(x=5\) ergibt sich \(-2{,}5+5{,}5=3\). Beide Punkte liegen auf der Geraden.

Leila hat bei der Steigung \(\Delta x\) durch \(\Delta y\) statt \(\Delta y\) durch \(\Delta x\) geteilt. Richtig ist \(m=-0{,}5\) und damit \(y=-0{,}5x+5{,}5\). Die Gleichung erfüllt sowohl \(A(1|5)\) als auch \(B(5|3)\).

- Welche beiden Messpunkte kannst du im Koordinatensystem \((h\mid T)\) verwenden? - Wie bestimmst du aus zwei Punkten zuerst die Steigung \(m\) und danach den Achsenabschnitt \(t\)? - Prüfe bei der sehr großen Höhe, ob die Modellannahme einer konstanten Änderungsrate noch plausibel ist.

1. Aus den Messpunkten \((600\mid16)\) und \((1400\mid11{,}2)\) folgt \(m=\frac{11{,}2-16}{1400-600}=-0{,}006\). 2. Setze \((600\mid16)\) in \(T(h)=mh+t\) ein: \(16=-0{,}006\cdot600+t\). Damit ist \(t=19{,}6\) und \(T(h)=-0{,}006h+19{,}6\). 3. Für den Gipfel gilt \(T(2500)=-0{,}006\cdot2500+19{,}6=4{,}6\). Das Modell liefert also \(4{,}6\,^\circ\text{C}\). 4. Für \(12\,000\,\text{m}\) gilt \(T(12\,000)=-0{,}006\cdot12\,000+19{,}6=-52{,}4\). Das Modell liefert \(-52{,}4\,^\circ\text{C}\). 5. Das Modell setzt eine konstante Temperaturabnahme voraus. In großen Höhen ändern sich jedoch die atmosphärischen Bedingungen, sodass diese konstante Änderungsrate nicht über beliebig große Höhenbereiche gilt.

a) \(T(h)=-0{,}006h+19{,}6\); auf \(2500\,\text{m}\): \(4{,}6\,^\circ\text{C}\) b) \(-52{,}4\,^\circ\text{C}\) c) Die konstante Änderungsrate ist nur in einem begrenzten Höhenbereich ein sinnvolles Modell.

- Wie viel Datenmenge kommt in einer Minute hinzu? - Welche Datenmenge fehlt vom Anfangswert bis zur Kapazitätsgrenze? - Was bedeutet die Steigung des Graphen in diesem Zusammenhang? - Wie verändert sich die Zeit für dieselbe Datenmenge, wenn die Rate halbiert wird?

1. Die Übertragungsrate beträgt \(150:20=7{,}5\,\text{GB/min}\). Damit ist \(S(t)=7{,}5t+200\). 2. Bei voller Kapazität gilt \(1200=7{,}5t+200\). Also \(t=\frac{1000}{7{,}5}=133\frac{1}{3}\,\text{min}\). Das sind \(2\,\text{h}\,13\,\text{min}\,20\,\text{s}\). 3. Bei halbierter Rate halbiert sich die Steigung. Für dieselbe noch zu übertragende Datenmenge verdoppelt sich die benötigte Zeit.

a) \(7{,}5\,\text{GB/min}\); \(S(t)=7{,}5t+200\) b) \(2\,\text{h}\,13\,\text{min}\,20\,\text{s}\) c) Die Steigung halbiert sich; die benötigte Zeit verdoppelt sich.

- Welche beiden Größen brauchst du, um die Gleichung der Geraden durch \(A\) und \(B\) zu bestimmen? - Welche Punkte begrenzen zusammen mit dem Ursprung das Dreieck im ersten Quadranten? - Wie hängt der Flächeninhalt dieses rechtwinkligen Dreiecks mit den beiden Achsenabschnitten zusammen?

1. Aus \(A(-2|6)\) und \(B(4|-3)\) folgt \(m=\frac{-3-6}{4-(-2)}=-1{,}5\). 2. Für den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) gilt mit \(A\): \(6=-1{,}5 \cdot (-2)+t\), also \(t=3\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=-1{,}5x+3\). 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0|3)\). Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=-1{,}5x+3\), also \(S_x(2|0)\). 4. Das Dreieck hat Grundseite \(2\) und Höhe \(3\). Daher ist \(A=\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3=3\,\text{FE}\).

a) \(f(x)=-1{,}5x+3\) b) \(3\,\text{FE}\)

- Welche beiden Achsenschnittpunkte bestimmen die Steigung von \(f\)? - Was bleibt bei \(p\) unverändert und welche Größe wird verdoppelt? - Wie kannst du den neuen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bestimmen? - Vergleiche anschließend nur die beiden \(x\)-Koordinaten der Achsenschnittpunkte.

1. Für \(f\) ist \(m=\frac{0-(-2)}{3-0}=\frac{2}{3}\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t=-2\), also \(f:y=\frac{2}{3}x-2\). 2. Bei \(p\) ist die Steigung \(m_p=\frac{4}{3}\), während der Achsenabschnitt \(-2\) bleibt. Daher gilt \(p:y=\frac{4}{3}x-2\). 3. Für den Schnittpunkt von \(p\) mit der \(x\)-Achse gilt \(0=\frac{4}{3}x-2\). Daraus folgt \(x=1{,}5\), also \(S_{x,p}(1{,}5|0)\). 4. Der \(x\)-Achsenabschnitt von \(f\) liegt bei \(3\), der von \(p\) bei \(1{,}5\). Bei gleichem von Null verschiedenem \(y\)-Achsenabschnitt halbiert sich hier der \(x\)-Achsenabschnitt, wenn sich die Steigung verdoppelt.

a) \(m=\frac{2}{3}\), \(f:y=\frac{2}{3}x-2\) b) \(p:y=\frac{4}{3}x-2\) c) \(S_{x,p}(1{,}5|0)\); der \(x\)-Wert ist halb so groß wie bei \(f\).

- Wie viele Minuten liegen zwischen den beiden Messungen? - Welche Änderung pro Minute ergibt sich daraus? - Was bedeutet ein negativer Zeitwert beim Zurückrechnen auf \(100\,\%\)?

1. In \(80\) Minuten sinkt der Füllstand um \(20\) Prozentpunkte. Das sind \(0{,}25\) Prozentpunkte pro Minute beziehungsweise \(15\) Prozentpunkte pro Stunde. 2. Mit \(F(0)=80\) gilt \(F(t)=-0{,}25t+80\). 3. \(100=-0{,}25t+80\) ergibt \(t=-80\), also 08:40 Uhr. 4. \(0=-0{,}25t+80\) ergibt \(t=320\), also 15:20 Uhr.

a) \(15\) Prozentpunkte pro Stunde; \(F(t)=-0{,}25t+80\) b) 08:40 Uhr c) 15:20 Uhr