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Gegeben ist die direkte Proportionalität \(y=5x\). Nenne den Proportionalitätsfaktor \(k\).

Im Koordinatensystem ist der Graph der Zuordnung \(f\) dargestellt. Entscheide, ob \(f\) eine direkte Proportionalität beschreibt. Begründe mit einem Merkmal des Graphen.

Für einen gleichmäßig laufenden Wasserhahn gilt \(V=6t\). Dabei ist \(V\) das eingefüllte Volumen in Litern und \(t\) die Zeit in Minuten. Erkläre die Bedeutung des Proportionalitätsfaktors \(k=6\) im Sachzusammenhang.

Im Diagramm sind drei Geraden \(f\), \(g\) und \(h\) dargestellt. Welche Gerade beschreibt eine direkte Proportionalität? Begründe mit dem Ursprungskriterium und gib für diese Gerade den Wert des \(y\)-Achsenabschnitts \(t\) an.

Zwei Wechselstuben beschreiben den Umtausch von Euro in britische Pfund durch direkt proportionale Zuordnungen. Wechselstube A verwendet \(y=0{,}85x\), wobei \(x\) der Betrag in Euro und \(y\) der Betrag in Pfund ist. Für Wechselstube B gilt: <table> <tr><th>Euro (\(\text{€}\))</th><td>\(10\)</td><td>\(20\)</td><td>\(100\)</td></tr> <tr><th>Pfund (\(\text{£}\))</th><td>\(8{,}60\)</td><td>\(17{,}20\)</td><td>\(86{,}00\)</td></tr> </table> a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) von Wechselstube B und stelle ihre Zuordnung in der Form \(y=kx\) dar. b) Erkläre, warum die Graphen beider Zuordnungen Ursprungsgeraden sind. Welcher Graph ist steiler? c) Bei welcher Wechselstube erhältst du für \(50\,\text{€}\) mehr Pfund? Begründe durch eine Rechnung.

Ein Fahrradfahrer fährt mit konstanter Geschwindigkeit von \(18\,\text{km/h}\). a) Erstelle eine Wertetabelle für die Zuordnung Zeit in Stunden \(\to\) Strecke in Kilometern für \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) und \(5\,\text{h}\). b) Erkläre mithilfe des Diagramms, warum der Graph eine Ursprungsgerade ist und warum in diesem Sachzusammenhang auch die Zwischenpunkte zur Zuordnung gehören. c) Wie viele Kilometer sind nach \(150\,\text{min}\) zurückgelegt? Lies den Wert zunächst aus dem Graphen ab und überprüfe ihn rechnerisch.

Betrachte die folgenden geometrischen Zusammenhänge. Überprüfe, ob eine proportionale Zuordnung vorliegt. a) Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks \(\rightarrow\) Umfang des Dreiecks. b) Radius eines Kreises \(\rightarrow\) Flächeninhalt des Kreises. c) Kantenlänge eines Würfels \(\rightarrow\) Summe aller Kantenlängen. d) Kantenlänge eines Würfels \(\rightarrow\) Oberflächeninhalt des Würfels.

Ein Fahrradverleih bietet zwei verschiedene Tarife an: Tarif A: Keine Grundgebühr, \(2{,}50\,\text{€}\) pro Stunde. Tarif B: \(5{,}00\,\text{€}\) Grundgebühr, \(1{,}00\,\text{€}\) pro Stunde. Untersuche für beide Tarife, ob die Zuordnung „Leihdauer in Stunden \(\rightarrow\) Mietpreis in \(\text{€}\)“ proportional ist. Nutze zur Begründung jeweils ein Beispiel mit konkreten Werten.

Bei einem Dehnungsversuch mit einem Gummiband wurden folgende Werte gemessen: - \(1{,}5\,\text{N}\) Zugkraft führen zu \(3{,}6\,\text{cm}\) Dehnung. - \(3\,\text{N}\) führen zu \(6{,}6\,\text{cm}\). - \(5\,\text{N}\) führen zu \(10{,}0\,\text{cm}\). Überprüfe rechnerisch, ob die Zuordnung „Zugkraft \(\rightarrow\) Dehnung“ für diese Messwerte proportional ist. Begründe.

Ein Carsharing-Anbieter berechnet für die Nutzung eines Kleinwagens eine feste Grundgebühr von \(5{,}00\,\text{€}\) pro Buchung sowie zusätzlich \(0{,}30\,\text{€}\) für jeden gefahrenen Kilometer. a) Berechne die Gesamtkosten für eine Strecke von \(10\,\text{km}\) und für eine Strecke von \(20\,\text{km}\). b) Untersuche, ob die Zuordnung „gefahrene Kilometer \(\to\) Gesamtkosten“ proportional ist. Begründe deine Antwort mithilfe deiner Ergebnisse aus Aufgabenteil a).

Überprüfe, ob die folgende Wertetabelle eine proportionale Zuordnung beschreibt. Berechne dazu die Quotienten \(\frac{y}{x}\) für alle Wertepaare. Ergänze anschließend den \(y\)-Wert für \(x = 20\), falls eine proportionale Zuordnung vorliegt. <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(4\)</td><td>\(7\)</td><td>\(12\)</td><td>\(15\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(14\)</td><td>\(24{,}5\)</td><td>\(42\)</td><td>\(52{,}5\)</td></tr> </table>

Gegeben sind zwei Wertetabellen. Entscheide, welche der beiden Tabellen eine proportionale Zuordnung darstellt und welche nicht. Begründe deine Entscheidung mathematisch mithilfe der Quotientengleichheit. Tabelle A: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(1{,}5\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4{,}5\)</td><td>\(6\)</td></tr> </table> Tabelle B: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4\)</td><td>\(5\)</td></tr> </table>

Die folgende Tabelle gehört zu einer proportionalen Zuordnung. Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) (wobei \(y = kx\)) und berechne die fehlenden Werte \(a\) und \(b\). <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(0{,}8\)</td><td>\(2\)</td><td>\(a\)</td><td>\(6\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(2{,}4\)</td><td>\(6\)</td><td>\(12\)</td><td>\(b\)</td></tr> </table>

Ein bestimmtes Stahlseil hat über seine gesamte Länge dieselbe Masse pro Meter. \(500\,\text{m}\) dieses Seils wiegen \(8{,}50\,\text{kg}\). a) Begründe die direkte Proportionalität zwischen Länge und Masse. Bestimme den Proportionalitätsfaktor in \(\text{kg/m}\) und die Masse von \(100\,\text{m}\). b) Bestimme die Massen für \(100\,\text{m}\), \(250\,\text{m}\), \(750\,\text{m}\) und \(1250\,\text{m}\) und stelle sie in einer Tabelle dar.

Ein Aluminiumprofil besitzt über seine Länge eine konstante Masse pro Meter. Ein \(2{,}5\,\text{m}\) langes Stück wiegt \(4{,}50\,\text{kg}\). a) Berechne die Masse von \(1\,\text{m}\). b) Ergänze für Längen von \(1\), \(3\), \(5\) und \(10\,\text{m}\) die zugehörigen Massen. c) Stelle eine Gleichung für die Masse \(y\) in Abhängigkeit von der Länge \(x\) auf.

Untersuche die folgende Wertetabelle. Handelt es sich um eine proportionale Zuordnung? Wenn ja, gib den Proportionalitätsfaktor \(k\) an (\(y = kx\)) und vervollständige die fehlenden Werte in der Tabelle. <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(2{,}5\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td><td>\(\ldots\)</td><td>\(15\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(6{,}25\)</td><td>\(10\)</td><td>\(\ldots\)</td><td>\(30\)</td><td>\(\ldots\)</td></tr> </table>

Zwei Tabellen zeigen den Zusammenhang zwischen \(x\) und \(y\). Tabelle A: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(5\)</td><td>\(7\)</td><td>\(9\)</td><td>\(11\)</td></tr> </table> Tabelle B: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td><td>\(8\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(2{,}5\)</td><td>\(5\)</td><td>\(10\)</td><td>\(20\)</td></tr> </table> Entscheide für jede Tabelle, ob eine proportionale, eine indirekt proportionale oder keine dieser Zuordnungen vorliegt. Begründe mit Quotienten- oder Produktgleichheit.

Für einen Fruchtpunsch werden für \(25\) Personen genau \(6{,}25\,\text{Liter}\) Saft benötigt. Die Saftmenge \(S\) soll direkt proportional zur Personenzahl \(p\) sein. a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) und stelle die Funktion \(S(p)=kp\) auf. b) Begründe mit dem Funktionsterm, warum der Graph eine Ursprungsgerade ist. c) Berechne mit deiner Funktion den Saftbedarf für \(60\) Personen.

Zwei Typen identischer Kleinteile werden verglichen. Von Typ A wiegen \(8\) Stück zusammen \(6{,}40\,\text{g}\), von Typ B wiegen \(12\) Stück \(9{,}00\,\text{g}\). Für jeden Typ ist die Gesamtmasse direkt proportional zur Stückzahl \(n\). a) Bestimme die Proportionalitätsfaktoren und stelle \(M_A(n)\) und \(M_B(n)\) auf. b) Welche Ursprungsgerade ist weniger steil? Deute dies als Masse pro Stück. c) Bestimme mit der leichteren Variante die Gesamtmasse von \(20\) Teilen.

Zwei Stahlprofile haben jeweils eine konstante Masse pro Meter. Von Profil A wiegen \(0{,}8\,\text{m}\) genau \(1{,}52\,\text{kg}\), von Profil B wiegen \(1{,}2\,\text{m}\) genau \(2{,}16\,\text{kg}\). a) Bestimme die Faktoren \(k_A\) und \(k_B\) und stelle die Massenfunktionen auf. b) Welche Ursprungsgerade ist weniger steil? Deute dies physikalisch. c) Bestimme den Massenunterschied pro Meter.

In einem Labor werden baugleiche Probenhalter verwendet. Drei Halter wiegen zusammen \(13{,}50\,\text{g}\). a) Welche Masse haben \(5\) Halter? b) Wie viele Halter haben zusammen eine Masse von \(31{,}50\,\text{g}\)? c) Handelt es sich um eine proportionale Zuordnung zwischen Stückzahl und Gesamtmasse? Begründe.

Für \(4\) identische Bilderrahmen werden insgesamt \(500\,\text{cm}\) Holzleiste und \(3\,\text{m}\) Aufhängeschnur benötigt. Beide Materialmengen werden direkt proportional zur Rahmenzahl \(p\) geplant. a) Stelle die Funktionen \(H(p)\) für die Holzleistenlänge in Zentimetern und \(S(p)\) für die Schnurlänge in Metern auf. b) Bestimme mit \(H\) die Holzleistenlänge für \(10\) Rahmen. c) Für wie viele Rahmen reichen \(15\,\text{m}\) Aufhängeschnur? d) Warum verlaufen beide Graphen durch den Ursprung?

Betrachte ein Quadrat mit der Seitenlänge \(a\). Wir untersuchen zwei verschiedene Zuordnungen: Zuordnung 1: Seitenlänge \(a\) \(\to\) Umfang \(U\) des Quadrats. Zuordnung 2: Seitenlänge \(a\) \(\to\) Flächeninhalt \(A\) des Quadrats. Erläutere mithilfe des „Verdopplungs-Tests“, warum Zuordnung 1 proportional ist, Zuordnung 2 hingegen nicht. Nutze dazu ein Beispiel mit einer konkreten Seitenlänge (z. B. \(a = 3\,\text{cm}\) und \(a = 6\,\text{cm}\)).

Eine Packung enthält gleichartige kleine Unterlegscheiben. \(40\) Stück haben zusammen eine Masse von \(3{,}20\,\text{g}\). Die Gesamtmasse ist direkt proportional zur Stückzahl. a) Berechne die Masse einer Unterlegscheibe. b) Bestimme die Gesamtmasse von \(150\) Unterlegscheiben. c) Beschreibe den Verlauf des Graphen der Zuordnung \(\text{Stückzahl}\to\text{Gesamtmasse}\).

Ein Umweltsensor erzeugt bei gleichbleibender Messrate in \(12\) Stunden insgesamt \(81\,\text{MB}\) Daten. Die Datenmenge \(D(t)\) ist direkt proportional zur Laufzeit \(t\) in Stunden. a) Stelle eine Funktion \(D(t)=kt\) auf. b) Berechne die Datenmenge nach \(4\) Stunden und nach \(12\) Stunden.

Ein Mineralstoffzusatz soll stets \(0{,}625\,\%\) der Masse \(F\) einer Futtermischung ausmachen. Sei \(M(F)\) die Masse des Zusatzes in Gramm, wenn \(F\) ebenfalls in Gramm angegeben wird. a) Stelle die proportionale Funktion \(M(F)=kF\) auf. b) Pro Portion sollen höchstens \(40\,\text{g}\) des Zusatzes enthalten sein. Wie schwer darf die Futtermischung höchstens sein?

Ein 3D-Drucker verbraucht bei einem langen Druck gleichmäßig Filament. Nach \(3\) Stunden wurden \(24\,\text{g}\) Filament verbraucht. Sei \(F(t)\) die verbrauchte Filamentmasse nach \(t\) Stunden. a) Stelle die proportionale Funktion \(F(t)=kt\) auf. b) Bestimme den Verbrauch nach \(12\) Stunden. c) Eine volle Filamentrolle enthält \(800\,\text{g}\). Wie viel Prozent der Rolle entsprechen dem Verbrauch aus Teil b)?

Eine Messstation verbraucht bei gleichbleibendem Betrieb in \(12\) Stunden \(37{,}5\,\text{Wh}\) Energie. Der Energieverbrauch \(E(t)\) wird als direkt proportional zur Laufzeit \(t\) in Stunden modelliert. a) Stelle die proportionale Funktion \(E(t)\) auf. b) Ein alternatives Messverfahren benötigt für einen neun-stündigen Versuch insgesamt \(25\,\text{Wh}\). Welches Verfahren verbraucht bei \(9\) Stunden weniger Energie?

Bei einer gleichmäßig dicken Kunststoffplatte ist die Masse der aufgetragenen Deckschicht direkt proportional zur Schichtdicke \(p\) in Millimetern. Eine \(2\,\text{mm}\) dicke Schicht hat eine Masse von \(50\,\text{g}\). a) Stelle die proportionale Funktion \(M(p)=kp\) auf. b) Welche Schichtdicke gehört zu einer Masse von \(112{,}5\,\text{g}\)?

Ein Langzeit-Messgerät erzeugt Daten proportional zur Betriebsdauer. Nach \(45\) Tagen sind \(20\,\text{GB}\) gespeichert. Sei \(D(t)\) die Datenmenge nach \(t\) Tagen. a) Stelle \(D(t)=kt\) auf und bestimme, nach wie vielen Tagen \(40\,\text{GB}\) erreicht sind. b) Wie groß ist die Datenmenge nach \(180\) Tagen? Begründe das Ergebnis zusätzlich mit der direkten Proportionalität, ohne die vollständige Rechnung neu zu beginnen.

Zwei Audiorekorder nehmen mit unterschiedlichen konstanten Datenraten auf. Rekorder A erzeugt in \(4\) Minuten \(20\,\text{MB}\) Audiodaten, Rekorder B in \(4\) Minuten \(25\,\text{MB}\). Für beide ist die Datenmenge direkt proportional zur Aufnahmezeit \(m\) in Minuten. a) Stelle die Funktionen \(D_A(m)\) und \(D_B(m)\) auf. b) Vergleiche beide Datenmengen nach \(9\) Minuten.

Während eines kurzen Schauers fallen bei gleichbleibender Intensität in \(60\,\text{min}\) insgesamt \(19\,\text{mm}\) Niederschlag. Die Niederschlagshöhe \(N(t)\) werde in diesem Zeitfenster als direkt proportional zur Zeit \(t\) in Minuten modelliert. a) Stelle die proportionale Funktion \(N(t)\) auf. b) Welche Niederschlagshöhe ergibt das Modell nach \(45\,\text{min}\)?

Ein Sensor speichert während einer Messung Daten mit konstanter Rate. In \(24\) Minuten entstehen \(6\,\text{MB}\). Sei \(D(t)\) die gespeicherte Datenmenge nach \(t\) Minuten. a) Stelle die proportionale Funktion \(D(t)\) auf. b) Nach welcher Laufzeit sind \(15\,\text{MB}\) gespeichert?

Ein Regenfass enthält zu Beginn eines Gewitters bereits \(20\,\text{Liter}\) Wasser. Während des Gewitters regnet es sehr gleichmäßig, sodass jede Stunde genau \(8\,\text{Liter}\) Wasser in das Fass fließen. a) Begründe, warum der Zusammenhang zwischen der Zeit \(t\) (in Stunden) und der Wassermenge \(V\) (in Litern) durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann. b) Gib die Funktionsgleichung für diesen Zusammenhang an. c) Wie würde sich die Funktionsgleichung ändern, wenn das Fass zu Beginn leer gewesen wäre? Ist die Funktion dann immer noch linear?

Von einem gleichmäßig aufgebauten Kabel wird die Masse verschiedener Längen gemessen. <table> <tr><td>Länge \(s\) in \(\text{m}\)</td><td>\(100\)</td><td>\(250\)</td><td>\(400\)</td><td>\(550\)</td></tr> <tr><td>Masse \(m\) in \(\text{kg}\)</td><td>\(6{,}2\)</td><td>\(15{,}5\)</td><td>\(24{,}8\)</td><td>\(34{,}1\)</td></tr> </table> Überprüfe, ob die Masse direkt proportional zur Kabellänge ist. Bestimme gegebenenfalls den Proportionalitätsfaktor und erkläre seine Bedeutung im Sachkontext.

Drei Punkte im Koordinatensystem haben die Koordinaten \(P_1(1{,}2 \mid 3{,}6)\), \(P_2(2{,}5 \mid 7{,}5)\) und \(P_3(5 \mid 15{,}5)\). Entscheide, ob diese drei Punkte auf einer Ursprungsgeraden liegen können. Begründe deine Antwort mathematisch durch die Untersuchung der Proportionalität.

Betrachte die folgenden zwei Alltagssituationen und untersuche sie auf direkte Proportionalität: a) Anzahl gleich teurer Eintrittskarten ohne Mengenrabatt \(\rightarrow\) Gesamtpreis. b) Gefahrene Kilometer mit einem Taxi \(\rightarrow\) Fahrpreis, wenn eine feste Grundgebühr und zusätzlich ein fester Preis pro Kilometer berechnet werden. Entscheide für beide Fälle, ob eine proportionale Zuordnung vorliegt. Begründe deine Antwort und erläutere beim Taxi, wie sich die Grundgebühr auf die Proportionalität auswirkt.

Zwei Beschichtungsverfahren benötigen bei gleichbleibender Schichtdicke Material direkt proportional zur bearbeiteten Fläche. Verfahren A: Für \(80\,\text{m}^2\) werden \(6{,}40\,\text{l}\) benötigt. Verfahren B: Für \(150\,\text{m}^2\) werden \(9{,}00\,\text{l}\) benötigt. a) Bestimme die Proportionalitätsfaktoren \(k_A\) und \(k_B\) in \(\text{l}/\text{m}^2\) und stelle \(M_A(x)=k_Ax\) sowie \(M_B(x)=k_Bx\) auf. b) Welche Ursprungsgerade ist steiler? Begründe mit den Proportionalitätsfaktoren. c) Berechne den Materialbedarf für \(400\,\text{m}^2\) bei beiden Verfahren. Welche Fläche lässt sich jeweils mit \(12\,\text{l}\) beschichten?

Zwei Dosierer geben während eines Prüfablaufs gleichmäßig Schmierstoff ab. Dosierer A gibt \(42\,\text{g}\) in \(600\,\text{s}\) ab, Dosierer B \(36\,\text{g}\) in \(450\,\text{s}\). Die abgegebene Masse sei jeweils direkt proportional zur Zeit \(t\). a) Bestimme die Funktionen \(M_A(t)=k_At\) und \(M_B(t)=k_Bt\). Gib \(k_A\) und \(k_B\) in \(\text{g/s}\) an. b) Welcher Graph ist steiler? Welcher Dosierer gibt pro Sekunde weniger Schmierstoff ab? Begründe mit \(k_A\) und \(k_B\). c) Berechne die abgegebene Masse beider Dosierer nach \(1400\,\text{s}\).

Beurteile die Aussage: „Jede lineare Funktion ist auch eine proportionale Funktion.“ Begründe deine Entscheidung, indem du die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion \(y=mx+t\) mit der einer proportionalen Funktion \(y=kx\) vergleichst. Gib zusätzlich ein konkretes Beispiel für eine lineare Funktion an, die nicht proportional ist.

Untersuche die folgenden vier Alltagssituationen. Entscheide für jeden Fall, ob es sich um eine direkte Proportionalität handelt oder nicht. Begründe deine Entscheidung kurz. a) Die Anzahl der verkauften Kinokarten und die Gesamteinnahmen an der Kinokasse (bei festem Ticketpreis). b) Das Alter eines Baumes und seine aktuelle Höhe in Metern. c) Die Seitenlänge eines Quadrats und sein Umfang. d) Die Fahrzeit eines Zuges und die zurückgelegte Strecke bei einer konstanten Geschwindigkeit von \(120\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\).

Zwei Kraftsensoren liefern im betrachteten Messbereich unterschiedliche Ausgangsspannungen \(U\) in Volt in Abhängigkeit von der Kraft \(F\) in Newton. Sensor A: \(U_A(F)=0{,}20F\) Sensor B: \(U_B(F)=0{,}10F+1{,}00\) Untersuche, bei welchem Sensor die Ausgangsspannung direkt proportional zur Kraft ist. Begründe deine Entscheidung mithilfe der Eigenschaften einer Ursprungsgeraden.

Gegeben ist die folgende Wertetabelle einer direkt proportionalen Zuordnung: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(1{,}5\)</td><td>\(4\)</td><td>\(7{,}5\)</td><td>\(10\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(4{,}5\)</td><td>\(12\)</td><td>\(22{,}5\)</td><td>\(30\)</td></tr> </table> a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) und gib die Funktionsgleichung in der Form \(y = kx\) an. b) Berechne die fehlenden \(y\)-Werte für \(x = 0{,}5\) und \(x = 100\). c) Erkläre, wie sich der Graph dieser Funktion im Koordinatensystem verändern würde, wenn der Proportionalitätsfaktor verdoppelt würde.

Bei einer Langstreckenfahrt mit einem Pkw wurde in regelmäßigen Abständen der bisherige Benzinverbrauch dokumentiert. Die folgende Tabelle zeigt die gefahrene Strecke \(s\) und den verbrauchten Kraftstoff \(B\): <table> <tr><td>Strecke \(s\) (in \(\text{km}\))</td><td>\(150\)</td><td>\(280\)</td><td>\(420\)</td><td>\(550\)</td></tr> <tr><td>Verbrauch \(B\) (in \(\text{l}\))</td><td>\(10{,}2\)</td><td>\(19{,}0\)</td><td>\(28{,}6\)</td><td>\(37{,}4\)</td></tr> </table> a) Überprüfe rechnerisch, ob die Zuordnung \(s \to B\) proportional ist. b) Nenne einen Grund, warum solche Messdaten in der Realität oft leicht von einer exakten Proportionalität abweichen. Was gibt der Quotient \(\frac{B}{s}\) in diesem Sachzusammenhang an?

Welche der folgenden linearen Funktionsgleichungen stellen eine direkte Proportionalität dar? Begründe deine Auswahl mit der Form \(y=kx\) und dem Ursprungskriterium. a) \(y=3{,}5x\) b) \(y=\frac{1}{2}x\) c) \(y=2x+1\) d) \(y=-2x+5\) e) \(y=-4x\)

Eine drehbare Beobachtungsplattform rotiert bei einem Test mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Die Tabelle zeigt den Drehwinkel \(\alpha\): <table><tr><td>Zeit \(t\) in \(\text{min}\)</td><td>\(4\)</td><td>\(10\)</td><td>\(15\)</td></tr><tr><td>Winkel \(\alpha\) in Grad</td><td>\(30\)</td><td>\(75\)</td><td>\(112{,}5\)</td></tr></table> a) Prüfe, ob Zeit und Drehwinkel direkt proportional sind. b) Bestimme den Faktor \(k\) und deute ihn. c) Durch welchen besonderen Punkt muss der Graph verlaufen? Begründe.

Eine Prüfkammer läuft unter gleichbleibenden Bedingungen. In der Tabelle ist die Laufzeit \(x\) in Stunden dem Energieverbrauch \(E\) in Kilowattstunden zugeordnet. <table> <tr><td>Laufzeit \(x\) in \(\text{h}\)</td><td>\(2{,}5\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td><td>\(7{,}5\)</td></tr> <tr><td>Energie \(E\) in \(\text{kWh}\)</td><td>\(4{,}50\)</td><td>\(7{,}20\)</td><td>\(10{,}80\)</td><td>\(13{,}50\)</td></tr> </table> a) Überprüfe rechnerisch, ob Energieverbrauch und Laufzeit direkt proportional sind. b) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) und erkläre seine Bedeutung. c) Berechne den Energieverbrauch bei \(12\,\text{h}\) Laufzeit.

Gegeben sind zwei Wertetabellen. Überprüfe für jede Tabelle, ob sie eine proportionale Zuordnung und/oder eine lineare Funktion beschreibt. Begründe deine Entscheidung mathematisch. Tabelle 1: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(1{,}5\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4{,}5\)</td><td>\(6\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td><td>\(8\)</td></tr> </table> Tabelle 2: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(3\)</td><td>\(7\)</td><td>\(11\)</td></tr> </table>

Ein Abfüllautomat gibt gleichmäßig \(12\,\text{kg}\) Granulat pro Minute ab. Die abgefüllte Masse \(M\) ist direkt proportional zur Zeit \(t\). a) Stelle für \(t\) in Minuten die Funktion \(M(t)=kt\) auf und erkläre, warum ihr Graph eine Ursprungsgerade ist. b) Ein Vorratsbehälter soll mit \(1{,}5\,\text{t}\) Granulat befüllt werden. Bestimme mit der Funktion die benötigte Zeit und gib sie in Stunden und Minuten an.

Eine Wanderin legt auf einem gleichmäßig begehbaren Abschnitt in \(2\,\text{h}\) genau \(9\,\text{km}\) zurück. Für diesen Abschnitt wird eine konstante Geschwindigkeit angenommen. a) Begründe die direkte Proportionalität zwischen Gehzeit und Strecke und stelle \(s(t)=kt\) auf. b) Welche Strecke legt sie in \(3{,}5\,\text{h}\) zurück?

Während einer Phase gleichmäßigen Regens steigt die gemessene Niederschlagshöhe in \(12\,\text{min}\) um \(0{,}6\,\text{mm}\). Für die folgenden Modellrechnungen wird angenommen, dass diese Niederschlagsrate bis zum jeweils betrachteten Zeitpunkt konstant bleibt. Die Niederschlagshöhe \(N(t)\) wird daher als direkt proportional zur Zeit \(t\) in Minuten modelliert. a) Erstelle eine Wertetabelle für \(10\), \(20\), \(30\) und \(60\) Minuten. b) Gib die Funktion der Ursprungsgeraden an. c) Deute die Steigung. d) Nach welcher Zeit sind im Modell \(5\,\text{mm}\) Niederschlag gefallen?

Eine Drohne fliegt in einem kurzen geraden Abschnitt mit konstanter Geschwindigkeit. In \(4\,\text{s}\) legt sie \(48\,\text{m}\) zurück. a) Welche Strecke legt sie in \(11\,\text{s}\) zurück? b) Wie lange benötigt sie für \(180\,\text{m}\)? c) Welche Steigung hat die zugehörige Ursprungsgerade im Zeit-Strecke-Diagramm und was bedeutet sie?

Ein Radfahrer fährt mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit. Die Tabelle zeigt die zurückgelegte Strecke \(s\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\). a) Überprüfe, ob die Zuordnung proportional ist. b) Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle. <table> <tr><td>Zeit \(t\) (in \(\text{h}\))</td><td>\(1{,}5\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3{,}5\)</td><td>\(5\)</td><td></td></tr> <tr><td>Strecke \(s\) (in \(\text{km}\))</td><td>\(27\)</td><td>\(36\)</td><td>\(63\)</td><td></td><td>\(108\)</td></tr> </table>

In einem Onlinespiel gibt es zwei Währungen: Goldmünzen (\(G\)) und Silbermünzen (\(S\)). Der Wechselkurs ist fest: Für \(4\) Goldmünzen erhält man genau \(14\) Silbermünzen. 1) Stelle die Funktionsgleichung für die Anzahl der Silbermünzen in Abhängigkeit von der Anzahl der Goldmünzen auf. 2) Berechne, wie viele Silbermünzen ein Spieler für \(16\) Goldmünzen erhält. 3) Bestimme rechnerisch, wie viele Goldmünzen man eintauschen muss, um genau \(105\) Silbermünzen zu erhalten.

Eine Wandergruppe bewegt sich mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit. Die folgende Tabelle zeigt die zurückgelegte Strecke \(y\) (in \(\text{km}\)) in Abhängigkeit von der Zeit \(x\) (in \(\text{h}\)): <table> <tr> <td>Zeit \(x\) in \(\text{h}\)</td> <td>\(1\)</td> <td>\(2\)</td> <td>\(3\)</td> <td>\(4\)</td> <td>\(5\)</td> </tr> <tr> <td>Strecke \(y\) in \(\text{km}\)</td> <td>\(4{,}5\)</td> <td>\(9{,}0\)</td> <td>\(13{,}5\)</td> <td>\(18{,}0\)</td> <td>\(22{,}5\)</td> </tr> </table> 1) Wähle zwei beliebige Zeitwerte \(x_1\) und \(x_2\) aus der Tabelle und bilde das Verhältnis \(\frac{x_1}{x_2}\). Vergleiche dieses mit dem Verhältnis der zugehörigen Streckenwerte \(\frac{y_1}{y_2}\). Was fällt dir auf? 2) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k = \frac{y}{x}\) und gib eine Funktionsgleichung an, die den Zusammenhang zwischen \(x\) und \(y\) beschreibt. 3) Berechne die Strecke, die die Gruppe nach \(6{,}5\,\text{Stunden}\) zurückgelegt hat, wenn sie das Tempo beibehält. 4) Beschreibe, wie der Graph dieser Zuordnung im Koordinatensystem aussieht.

An einem Marktstand werden Heidelbeeren für \(1{,}20\,\text{€}\) pro \(100\,\text{g}\) angeboten. 1) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die den Preis \(y\) (in \(\text{€}\)) in Abhängigkeit von der Masse \(x\) (in \(\text{kg}\)) beschreibt. 2) Ein zweiter Stand bietet Heidelbeeren für einen Kilopreis von \(10{,}00\,\text{€}\) an. Beschreibe, wie sich die Graphen der beiden Angebote im Koordinatensystem unterscheiden würden, wenn man beide einzeichnet. 3) Begründe mathematisch, warum es sich hierbei um eine direkte Proportionalität handelt. 4) Berechne den Preis für eine Menge von \(350\,\text{g}\) am ersten Marktstand.

Drei proportionale Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) werden im Koordinatensystem als Ursprungsgeraden dargestellt. Die Funktionsgleichung von \(f\) lautet \(f(x) = \frac{3}{4}x\). Die Gerade \(g\) hat die Gleichung \(g(x) = 1{,}2x\). Die Gerade \(h\) verläuft durch den Punkt \(P(5 \mid 2)\). a) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden \(h\). b) Ordne die drei Funktionen nach der Steilheit ihrer Graphen, beginnend mit der flachsten Steigung. c) Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt \(Q(8 \mid 6)\) auf dem Graphen von \(f\) liegt.

Eine Ursprungsgerade verläuft im Koordinatensystem durch den Punkt \(P(5 \mid -2)\). 1. Bestimme die Funktionsgleichung dieser Geraden in der Form \(y = mx\). 2. Begründe ohne Zeichnung, durch welche Quadranten des Koordinatensystems die Gerade verläuft. 3. Gib die Koordinaten eines weiteren Punktes \(Q\) an, der auf dieser Geraden liegt (außer dem Ursprung).

Der Schneidkopf einer Folienanlage bewegt sich während eines geraden Schnitts mit konstanter Geschwindigkeit. Die Tabelle zeigt die zurückgelegte Schnittlänge \(y\) in Metern in Abhängigkeit von der Zeit \(x\) in Sekunden. <table> <tr><td>Zeit \(x\) in \(\text{s}\)</td><td>\(10\)</td><td>\(20\)</td><td>\(35\)</td><td>\(50\)</td></tr> <tr><td>Schnittlänge \(y\) in \(\text{m}\)</td><td>\(4\)</td><td>\(8\)</td><td>\(14\)</td><td>\(20\)</td></tr> </table> a) Berechne für jedes Wertepaar den Quotienten \(\frac{y}{x}\). Was folgt daraus? b) Stelle die Funktionsgleichung auf. c) Welche Schnittlänge legt der Kopf in einer Minute zurück? d) Beschreibe den Graphen im Koordinatensystem. Welche besondere Bezeichnung hat eine solche Gerade?

Gegeben sind die drei proportionalen Funktionen mit den folgenden Gleichungen: \(f(x) = 2{,}5x\) \(g(x) = -0{,}4x\) \(h(x) = \frac{1}{4}x\) a) Welche der zugehörigen Geraden verläuft am steilsten im Koordinatensystem? Begründe deine Antwort mithilfe der Steigungswerte. b) Durch welche Quadranten verläuft der Graph der Funktion \(g\)? Erkläre den Zusammenhang mit dem Vorzeichen der Steigung. c) Bestimme für jede der drei Funktionen einen Punkt \(P(x \mid y)\) mit \(x > 0\), der auf dem Graphen liegt.

Gegeben ist eine direkte Proportionalität \(y = kx\). Es ist bekannt, dass für den Wert \(x = 8\) der Funktionswert \(y = 6\) ist. a) Bestimme die Funktionsgleichung. b) Berechne den Wert von \(y\) für \(x = 15\).

Gegeben sind die Funktionen \(f(x) = x\) und \(g(x) = \frac{1}{4} \cdot x\). 1. Berechne die Funktionswerte \(f(x)\) und \(g(x)\) für \(x = 4\) und \(x = 8\). 2. Beschreibe das Verhältnis der Funktionswerte \(g(x)\) zu \(f(x)\) für einen beliebigen Wert \(x \neq 0\). 3. Erkläre, wie der Graph von \(g\) aus dem Graphen von \(f\) durch eine Veränderung in \(y\)-Richtung (Stauchung oder Streckung) hervorgeht.

Ein Hubtisch startet auf Bodenhöhe und wird mit konstanter Geschwindigkeit angehoben. Die Abbildung zeigt seine Höhe \(h\) in Zentimetern in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Sekunden. a) Begründe anhand des Graphen die direkte Proportionalität und bestimme den Faktor mit Einheit. Deute ihn. b) Lies die Höhe nach \(5\,\text{s}\) ab. c) Berechne, nach welcher Zeit \(20\,\text{cm}\) Höhe erreicht werden.

An einem Marktstand ist der Preis für Kartoffeln direkt proportional zur eingekauften Masse. Nutze den dargestellten Graphen und bestimme die Funktionsgleichung der Form \(y=kx\), die diesen Zusammenhang beschreibt.

Eine Verpackungsmaschine produziert gleichmäßig Bauteile. Der Graph zeigt die Stückzahl \(N\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Minuten. a) Begründe anhand des Graphen die direkte Proportionalität, bestimme den Faktor und deute ihn. b) Wie viele Bauteile sind nach \(7\,\text{min}\) produziert? c) Wie lange dauert die Produktion von \(225\) Bauteilen?

Das Diagramm zeigt den Querschnitt einer geplanten Fahrradrampe. Eine Gittereinheit entspricht auf beiden Achsen in der Realität \(20\,\text{cm}\). Die Oberkante beginnt im Ursprung \(O(0\mid0)\). a) Bestimme die Steigung der Rampe und die zugehörige Funktionsgleichung. b) Begründe, warum die Steigung denselben Zahlenwert hat, wenn du die waagerechte und senkrechte Änderung statt in Gittereinheiten in Zentimetern angibst.

Saskia und Jonas betrachten im Mathematikunterricht den Graphen einer Zuordnung \(g\). Saskia behauptet: „Da der Graph eine Gerade ist, muss es sich um eine proportionale Zuordnung handeln.“ Jonas entgegnet: „Das stimmt nicht. Aber man sieht am Graphen: Wenn man den \(x\)-Wert um \(2\) erhöht, nimmt der \(y\)-Wert immer um genau \(1\) zu.“ Beurteile die beiden Aussagen. Wer hat recht? Begründe deine Entscheidung mithilfe des Graphen.

In der Abbildung siehst du zwei Funktionen. Eine davon stellt eine direkte Proportionalität dar. Identifiziere diese Funktion und gib ihre Gleichung an. Bestimme auch die Funktionsgleichung für die andere Gerade.

Ein Quader hat eine feste Breite von \(2\,\text{cm}\) und eine feste Höhe von \(5\,\text{cm}\). Die Länge \(x\) des Quaders kann variiert werden. Prüfe rechnerisch, ob die folgenden Zuordnungen proportional sind: a) \(x\mapsto \text{Volumen }V\) b) \(x\mapsto \text{Oberflächeninhalt }O\)

Die Zahlengerade zeigt die Laufzeit einer Geldanlage innerhalb eines Jahres. Marker A kennzeichnet das Ende der Anlage. Bei \(2400\,\text{€}\) und \(4\,\%\) Jahreszins ist der einfache Zinsbetrag direkt proportional zur Anzahl \(m\) der Monate. Lies die Laufzeit aus der Grafik ab, stelle die proportionale Funktion \(Z(m)\) auf und berechne den dargestellten Zinsbetrag.

Die dargestellte Gerade ist eine Ursprungsgerade. Das eingezeichnete Steigungsdreieck gehört zu ihr. a) Bestimme aus dem Steigungsdreieck den Proportionalitätsfaktor \(k\). b) Berechne für den markierten Punkt \(P\) den Quotienten \(y:x\) und vergleiche ihn mit \(k\). c) Gib die Funktionsgleichung an.

Eine Bank erhebt beim Umtausch von Euro (\(\text{€}\)) in US-Dollar (\(\text{USD}\)) eine feste Bearbeitungsgebühr von \(5\,\text{€}\). Nur der restliche Betrag wird zum Kurs von \(1\,\text{€} = 1{,}10\,\text{USD}\) umgetauscht. Die Bank nimmt nur Einzahlungen von mindestens \(5\,\text{€}\) an. a) Erstelle eine Tabelle für den Umtausch von \(20\,\text{€}\), \(50\,\text{€}\) und \(100\,\text{€}\) in Dollar. b) Stelle einen Term auf, der den erhaltenen Dollar-Betrag \(D\) in Abhängigkeit vom eingezahlten Euro-Betrag \(x\) angibt. c) Prüfe, ob es sich bei dieser Zuordnung (Euro zu Dollar) um eine proportionale Zuordnung handelt. Begründe deine Antwort mathematisch.

Für eine Salzlösung werden pro \(100\,\text{g}\) Wasser genau \(2{,}8\,\text{g}\) Salz verwendet. a) Begründe, warum Wassermasse und Salzmasse bei diesem Mischungsverhältnis direkt proportional sind. b) Erstelle eine Wertetabelle für \(50\,\text{g}\), \(100\,\text{g}\), \(250\,\text{g}\) und \(500\,\text{g}\) Wasser. c) Ein leerer Becher wiegt \(180\,\text{g}\), mit dem eingefüllten Wasser \(530\,\text{g}\). Wie viel Salz wird für diese Wassermasse benötigt?

Ein Kopiergerät verbraucht für \(500\) Seiten genau \(12{,}5\,\text{ml}\) Tinte. Das Diagramm zeigt die direkt proportionale Zuordnung Seitenzahl \(x\) \(\to\) Tintenverbrauch \(y\). a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) in \(\text{ml}\) pro Seite und stelle die Funktion in der Form \(y=kx\) auf. b) Erkläre am Funktionsterm und am Diagramm, warum der Graph eine Ursprungsgerade ist. c) Eine neue Patrone enthält \(40\,\text{ml}\) Tinte. Lies aus dem Diagramm ab, wie viele Seiten damit gedruckt werden können, und überprüfe den Wert rechnerisch.

Ein Kiosk verkauft lose Bonbons. Ein Beutel mit \(125\,\text{g}\) kostet \(1{,}50\,\text{€}\). a) Berechne, wie viel ein Beutel mit \(300\,\text{g}\) kosten müsste, wenn der Preis proportional zum Gewicht wäre. b) Tatsächlich kostet der \(300\,\text{g}\)-Beutel nur \(3{,}30\,\text{€}\). Erkläre, warum Händler Preise oft so gestalten, dass sie bei größeren Mengen nicht mehr proportional zum Gewicht sind.

Ein Gärtner behauptet: „Die Zuordnung ‚Anzahl der gepflanzten Apfelbäume \(\to\) Erntemenge in Kilogramm‘ ist proportional.“ a) Unter welchen idealisierten Bedingungen hätte der Gärtner recht? b) Nenne zwei Gründe aus der Realität, warum diese Zuordnung in der Praxis meistens doch nicht exakt proportional ist.

Eine Datei wird mit gleichbleibender Geschwindigkeit heruntergeladen. In \(6\,\text{min}\) werden genau \(15\,\text{MB}\) übertragen. a) Wie viele Megabyte werden pro Minute übertragen? b) Stelle eine Funktion \(D(t)\) für das übertragene Datenvolumen nach \(t\) Minuten auf. c) Wie lange dauert die Übertragung von \(50\,\text{MB}\)? d) Begründe, warum Zeit und übertragenes Datenvolumen in diesem Modell direkt proportional sind.

Ein Dokumentenscanner verarbeitet bei gleichbleibender Geschwindigkeit in \(8\) Minuten \(120\) Seiten. a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor für Zeit \(\rightarrow\) Seitenzahl und deute ihn. b) Wie viele Seiten können in \(45\) Minuten verarbeitet werden? c) Für ein Archiv müssen \(1200\) Seiten gescannt werden. Wie viele Stunden und Minuten benötigt der Scanner?

In einem Kopierladen stehen zwei verschiedene Tarife zur Auswahl: Tarif A: Jede Kopie kostet \(0{,}10\,\text{€}\). Tarif B: Eine monatliche Grundgebühr von \(2{,}50\,\text{€}\) und jede Kopie kostet zusätzlich \(0{,}05\,\text{€}\). a) Stelle für beide Tarife einen Term auf, der die Gesamtkosten \(G\) in Abhängigkeit von der Anzahl der Kopien \(x\) beschreibt. b) Untersuche, welcher der beiden Tarife eine proportionale Zuordnung darstellt. Begründe deine Antwort mithilfe der Terme oder einer Eigenschaft proportionaler Zuordnungen.

Gegeben sind zwei Wertetabellen, die jeweils eine proportionale Zuordnung beschreiben: **Tabelle A:** <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(5\)</td><td>\(10\)</td><td>\(15\)</td></tr> </table> **Tabelle B:** <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(3\)</td><td>\(6\)</td><td>\(9\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(6\)</td><td>\(12\)</td><td>\(18\)</td></tr> </table> a) Bestimme für beide Tabellen den Proportionalitätsfaktor \(k\) und gib die Zuordnungsvorschriften in der Form \(y = kx\) an. b) Beschreibe eine Gemeinsamkeit, die die Graphen beider Zuordnungen im Koordinatensystem haben. c) Welcher der beiden Graphen verläuft steiler? Begründe deine Entscheidung mithilfe der Proportionalitätsfaktoren.

Zwei Verpackungsmaschinen arbeiten mit unterschiedlichen konstanten Leistungen. Maschine A verpackt \(120\) Teile in \(3\,\text{min}\), Maschine B \(150\) Teile in \(5\,\text{min}\). Bei beiden ist die Stückzahl \(y\) direkt proportional zur Zeit \(x\) in Minuten. a) Stelle für beide Maschinen die Zuordnungsvorschrift auf. b) Welcher Graph ist steiler? Erkläre die Bedeutung der Steilheit im Sachkontext. c) Beide Maschinen starten gleichzeitig. Wie viele Teile hat Maschine A verpackt, wenn Maschine B gerade \(360\) Teile fertiggestellt hat?

Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft im Koordinatensystem durch den Punkt \(P(4 \mid 14)\). a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) und gib die Zuordnungsgleichung an. b) Überprüfe durch Rechnung, ob der Punkt \(Q(7 \mid 24{,}5)\) ebenfalls auf diesem Graphen liegt. c) Anna behauptet: „Wenn ich den \(x\)-Wert verdopple, verdoppelt sich bei dieser Zuordnung auch immer der \(y\)-Wert.“ Hat sie recht? Begründe deine Antwort allgemein mithilfe der Zuordnungsgleichung \(y = kx\).

Das Diagramm zeigt die Datenmenge eines gleichmäßig arbeitenden Messsystems. Auf der \(x\)-Achse steht die Zeit in Minuten, auf der \(y\)-Achse die erzeugte Datenmenge in Gigabyte. Der Punkt \(P(15\mid4{,}5)\) liegt auf dem Graphen. a) Deute den Punkt \(P\). b) Bestimme den Proportionalitätsfaktor und deute ihn. c) Welche Datenmenge entsteht in \(40\) Minuten? d) Wie lange dauert es bis \(18\,\text{GB}\)?

Eine kleine Solaranlage aus mehreren Modulen liefert unter konstanten Testbedingungen in \(15\,\text{min}\) genau \(225\,\text{Wh}\) elektrische Energie. Die erzeugte Energie \(E\) wird in diesem Test als direkt proportional zur Zeit \(t\) modelliert. a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) in \(\text{Wh/min}\), stelle die Funktion \(E(t)=kt\) auf und erkläre, warum ihr Graph eine Ursprungsgerade ist. b) Wie lange dauert es nach diesem Modell, bis \(4500\,\text{Wh}\) erzeugt sind? Gib das Ergebnis in Stunden an. c) Eine zweite baugleiche Solaranlage arbeitet gleichzeitig unter denselben Bedingungen. Stelle die gemeinsame Funktion \(E_2(t)\) auf und beschreibe, wie sich die Steigung der Ursprungsgeraden verändert.

Ein Dokumentenscanner verarbeitet in \(10\) Minuten \(200\) Seiten. Die Seitenzahl ist direkt proportional zur Laufzeit. Für ein Digitalisierungsprojekt sollen drei baugleiche Scanner gleichzeitig \(3000\) Seiten bearbeiten. Eine Mitarbeiterin behauptet: „Nach \(45\) Minuten sind wir fertig.“ a) Stelle für einen Scanner \(N_1(t)\) und für drei Scanner \(N_3(t)\) auf. b) Vergleiche die Steigungen und deute sie. c) Prüfe die Behauptung und bestimme die tatsächliche Zeit.

Zwei Messgeräte speichern bei gleichbleibender Abtastrate Daten. Das gespeicherte Datenvolumen sei jeweils direkt proportional zur Messdauer. Gerät A: \(1{,}50\,\text{MB}\) in \(500\,\text{s}\) Gerät B: \(2{,}40\,\text{MB}\) in \(1000\,\text{s}\) a) Welches Gerät erzeugt pro Sekunde weniger Daten? Begründe rechnerisch. b) Wenn man \(\text{Messdauer}\to\text{Datenvolumen}\) grafisch darstellt, welcher Graph verläuft steiler? Erkläre den Zusammenhang zwischen Datenrate und Steigung.

Ein Mähroboter bearbeitet bei gleichbleibender Arbeitsweise in \(15\,\text{min}\) eine Rasenfläche von \(450\,\text{m}^2\). Die bearbeitete Fläche sei direkt proportional zur Zeit. a) Stelle die Funktion \(A_1(t)\) auf. b) Ein zweiter Roboter bearbeitet pro Minute die doppelte Fläche. Gib \(A_2(t)\) an. c) Wie lange benötigen die beiden Roboter jeweils für \(2700\,\text{m}^2\), und wie viel Zeit spart der schnellere?

Eine Läuferin bewegt sich auf einer geraden Trainingsstrecke zunächst mit konstanter Geschwindigkeit. In \(15\,\text{s}\) legt sie \(60\,\text{m}\) zurück. a) Bestimme die Geschwindigkeit \(k\) in \(\text{m/s}\), stelle \(s(t)=kt\) auf und deute \(k\) als Steigung der Ursprungsgeraden. b) Welche Strecke legt sie in \(25\,\text{s}\) zurück? c) In einem schnelleren Abschnitt steigt ihre Geschwindigkeit um \(1\,\text{m/s}\). Stelle die neue Funktion auf und bestimme, wie lange sie nun für \(60\,\text{m}\) benötigt.

Für eine Schutzbeschichtung werden bei gleichbleibender Schichtdicke auf \(600\,\text{m}^2\) Stahlfläche genau \(42\,\text{kg}\) Beschichtungsmaterial benötigt. Der Materialbedarf ist direkt proportional zur beschichteten Fläche. a) Stelle eine Funktionsgleichung der Form \(M(x)=kx\) auf, die den Materialbedarf \(M(x)\) in Kilogramm in Abhängigkeit von der Fläche \(x\) in Quadratmetern beschreibt. Welche Bedeutung hat \(k\) in diesem Sachkontext? b) Bei einer raueren Oberfläche steigt der Materialbedarf um \(1{,}2\,\text{kg}\) je \(100\,\text{m}^2\). Wie viel Material werden unter diesen Bedingungen für \(350\,\text{m}^2\) benötigt?

Zwei Messsysteme erzeugen kontinuierlich Daten. System A erzeugt in \(4\) Stunden \(12\,\text{GB}\), System B in \(6\) Stunden \(15\,\text{GB}\). Bei beiden ist die Datenmenge direkt proportional zur Laufzeit. a) Bestimme die Datenrate beider Systeme. b) Wie viele Gigabyte entstehen in \(5\) Stunden insgesamt, wenn beide gleichzeitig laufen? c) Gib die drei Funktionen für A, B und die kombinierte Datenmenge an und ordne ihre Ursprungsgeraden nach Steilheit.

Ein tropfender Wasserhahn verliert gleichmäßig Wasser. In der folgenden Tabelle ist die Zeit \(t\) in Minuten (\(\text{min}\)) und die dazugehörige Wassermenge \(V\) in Millilitern (\(\text{ml}\)) angegeben, die in einem Messbecher aufgefangen wurde. <table> <tr><td>Zeit \(t\) in \(\text{min}\)</td><td>\(4\)</td><td>\(8\)</td><td>\(12\)</td><td>\(20\)</td></tr> <tr><td>Volumen \(V\) in \(\text{ml}\)</td><td>\(60\)</td><td>\(120\)</td><td>\(180\)</td><td>\(300\)</td></tr> </table> a) Bestimme einen Term, mit dem man das Volumen \(V\) berechnen kann, wenn die Zeit \(t\) bekannt ist. b) Wie viel Wasser hat sich nach \(45\,\text{min}\) und wie viel nach einer Stunde (\(60\,\text{min}\)) im Messbecher angesammelt? c) Nach welcher Zeit befinden sich genau \(1{,}5\,\text{Liter}\) Wasser im Becher?

An einem Marktstand werden Walnüsse lose verkauft. Der Preis \(P\) verhält sich proportional zum Gewicht \(g\). Für \(250\,\text{g}\) Walnüsse bezahlt man \(4{,}50\,\text{€}\). a) Stelle einen Term auf, der den Preis \(P\) (in \(\text{€}\)) in Abhängigkeit vom Gewicht \(g\) (in \(\text{g}\)) angibt. b) Berechne den Preis für eine Portion von \(350\,\text{g}\) und für eine Tüte mit \(1{,}2\,\text{kg}\). c) Ein Kunde möchte genau für \(11{,}70\,\text{€}\) Walnüsse kaufen. Welches Gewicht in Gramm erhält er dafür?

Für Einladungskarten werden pro \(100\) Karten \(2{,}5\,\text{m}\) Zierband benötigt. Ein Meter Band kostet \(1{,}72\,\text{€}\). Zwei Gruppen gestalten jeweils \(45\) Karten. a) Stelle die direkt proportionale Funktion \(B(n)=kn\) auf, die der Kartenanzahl \(n\) die benötigte Bandlänge in Metern zuordnet. Begründe, warum der Graph eine Ursprungsgerade ist. b) Bestimme den Bandbedarf für beide Gruppen zusammen. c) Berechne die Kosten für diese Bandlänge.

Ein mobiler Satelliten-Datendienst für einen abgelegenen Fotostandort berechnet \(10{,}56\,\text{€}\) für \(6\,\text{GB}\) übertragenes Datenvolumen. Bei einer Fotoserie entstehen durchschnittlich \(3{,}2\,\text{GB}\) Daten pro \(100\) RAW-Fotos; das zu übertragende Datenvolumen \(V(n)\) sei direkt proportional zur Fotozahl \(n\). a) Berechne den Preis pro Gigabyte. b) Bestimme \(k\) in \(\text{GB/Foto}\) und stelle \(V(n)=kn\) auf. Deute \(k\) als Steigung. c) Für wie viele Fotos reichen theoretisch \(6\,\text{GB}\)? d) Prüfe mit der Funktion, ob \(8{,}50\,\text{€}\) Übertragungskosten für \(150\) Fotos ausreichen.

Bei einer Veranstaltung werden Einlassbänder gleichmäßig ausgegeben. In \(15\,\text{s}\) werden \(3\) Bänder ausgegeben. Die Bandzahl \(N(t)\) werde als direkt proportional zur Zeit \(t\) in Minuten modelliert. Das Material für \(1000\) Bänder kostet \(23{,}00\,\text{€}\). a) Bestimme \(k\) in Bändern pro Minute und stelle \(N(t)=kt\) auf. Begründe die Ursprungsgerade. b) Wie lange dauert die Ausgabe von \(720\) Bändern? c) Berechne die Materialkosten für \(720\) Bänder. d) Für eine größere Veranstaltung fallen \(41{,}40\,\text{€}\) Materialkosten an. Bestimme zuerst die Bandzahl und dann die gesamte Ausgabedauer.

Zwei Dokumentenscanner arbeiten mit konstanten Geschwindigkeiten. Scanner A verarbeitet \(12\) Seiten pro Minute, Scanner B \(7\) Seiten pro Minute. Für beide wird die Seitenzahl als direkt proportional zur Laufzeit \(t\) modelliert. Jede digitalisierte Seite benötigt im Mittel \(2{,}5\,\text{MB}\) Speicher. a) Stelle die Funktionen \(N_A(t)\) und \(N_B(t)\) auf und vergleiche ihre Steigungen. b) Wie viele Seiten mehr verarbeitet Scanner A in \(8\) Minuten? c) Welchem zusätzlichen Speicherbedarf entspricht dieser Unterschied? d) Wie lange muss Scanner B laufen, um genauso viele Seiten zu verarbeiten wie Scanner A in \(7\) Minuten?

Zwei Kameras erzeugen bei gleichbleibender Aufnahmequalität Daten mit konstanten Raten. Kamera A erzeugt in \(60\) Minuten \(9\,\text{GB}\), Kamera B in \(80\) Minuten \(11\,\text{GB}\). Die Datenmenge ist jeweils direkt proportional zur Aufnahmezeit \(t\) in Minuten. a) Stelle die Funktionen \(D_A(t)\) und \(D_B(t)\) auf. b) Vergleiche \(D_A(90)\) mit \(D_B(100)\). Welche Datenmenge ist größer?

Ein Teleskop überträgt bei gleichbleibender Datenrate in \(240\,\text{s}\) genau \(36\) Aufnahmen an ein Archiv. Die Zahl \(N(t)\) der übertragenen Aufnahmen werde als direkt proportional zur Zeit \(t\) in Sekunden modelliert. a) Bestimme aus dem Wertepaar \((240,36)\) die Funktion \(N(t)=kt\). b) Wie viele Aufnahmen werden in \(360\,\text{s}\) übertragen? c) Die \(54\) Aufnahmen aus Teil b) entsprechen genau \(1{,}5\,\%\) eines vollständigen Beobachtungsarchivs. Wie viele Aufnahmen umfasst dieses Archiv?

Eine Malerin mischt für einen bestimmten Grünton blaue und gelbe Farbe. In der folgenden Tabelle sind verschiedene Mischungen aufgeführt, die alle denselben Farbton ergeben sollen: <table> <tr><td>Blau (in \(\text{ml}\))</td><td>\(150\)</td><td>\(225\)</td><td>\(450\)</td></tr> <tr><td>Gelb (in \(\text{ml}\))</td><td>\(250\)</td><td>\(375\)</td><td>\(?\)</td></tr> </table> a) Weise rechnerisch nach, dass die Zuordnung „Menge Blau \(\rightarrow\) Menge Gelb“ proportional ist. b) Berechne die fehlende Menge an gelber Farbe für \(450\,\text{ml}\) Blau. c) Die Malerin möchte insgesamt genau \(1\,\text{Liter}\) dieser grünen Farbmischung herstellen. Wie viel Milliliter blaue Farbe muss sie dafür verwenden?

Ein mobiles Solarpanel lädt einen Akku auf. Unter gleichbleibenden Bedingungen steigt die gespeicherte Energie alle \(15\,\text{Minuten}\) um \(4\,\text{Wattstunden}\) (\(\text{Wh}\)). Gehe davon aus, dass der Akku zu Beginn leer ist und mindestens \(50\,\text{Wh}\) speichern kann. a) Wie viel Energie (in \(\text{Wh}\)) wurde nach einer Ladezeit von \(2\,\text{Stunden}\) gespeichert? b) Nach welcher Zeit (in Stunden, Minuten und Sekunden) hat das Panel genau \(50\,\text{Wh}\) geliefert? c) Stelle die Funktionsgleichung der Form \(y = kx\) auf, wobei \(x\) die Zeit in Minuten und \(y\) die Energie in \(\text{Wh}\) angibt. Erkläre kurz, was der Faktor \(k\) in diesem Sachzusammenhang bedeutet.

Ein Radfahrer fährt auf einer geraden, ebenen Strecke mit konstanter Geschwindigkeit. In \(12\,\text{min}\) legt er \(2{,}4\,\text{km}\) zurück. a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) in \(\text{km/h}\), stelle für \(t\) in Stunden die Funktion \(s(t)=kt\) auf und begründe, warum ihr Graph eine Ursprungsgerade ist. b) Bestimme mit der Funktion die Strecke nach \(45\,\text{min}\). c) Der Radfahrer soll im selben Modell die doppelte Strecke aus Teil b) zurücklegen. Bestimme mit \(s(t)\) die dazugehörige Zeit und erkläre den Zusammenhang mit direkter Proportionalität.

Bei einem Stadioneingang werden Besucherinnen und Besucher durch ein Drehkreuz gezählt. Zwei Messwerte sind: <table><tr><td>Zeit \(t\) in \(\text{min}\)</td><td>\(5\)</td><td>\(12\)</td></tr><tr><td>Personenzahl \(N\)</td><td>\(120\)</td><td>\(288\)</td></tr></table> a) Prüfe rechnerisch, ob die Werte zu einer direkten Proportionalität passen. b) Bestimme die Durchgangsrate. c) Wie viele Personen würden bei gleichbleibender Rate in \(25\,\text{min}\) das Drehkreuz passieren?

In einer Kaffeerösterei verliert Kaffee beim Rösten an Gewicht. Aus \(25\,\text{kg}\) Rohkaffee entstehen nach dem Röstvorgang \(21\,\text{kg}\) Röstkaffee. Die Menge des Röstkaffees ist proportional zur eingesetzten Rohkaffeemenge. a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\), der angibt, wie viel Kilogramm Röstkaffee man aus \(1\,\text{kg}\) Rohkaffee erhält. b) Wie viel Rohkaffee muss die Rösterei einplanen, wenn sie einen Auftrag über \(150\,\text{kg}\) Röstkaffee erhalten hat? Runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen. c) Ein kleinerer Sack enthält \(12{,}5\,\text{kg}\) Rohkaffee. Wie viel Röstkaffee ergibt sich daraus?

Ein Baumarkt vergleicht die Ergiebigkeit von zwei Wandfarben. Sorte A: Ein \(5\text{-Liter}\)-Eimer reicht für eine Fläche von \(42{,}5\,\text{m}^2\). Sorte B: Die Ergiebigkeit wird durch die Funktionsgleichung \(y = 9x\) beschrieben, wobei \(x\) die Farbmenge in Litern und \(y\) die Fläche in \(\text{m}^2\) angibt. a) Welche Farbe ist ergiebiger? Begründe deine Entscheidung, indem du die Quadratmeteranzahl pro Liter für beide Sorten vergleichst. b) Familie Müller möchte eine Fläche von \(63\,\text{m}^2\) streichen. Wie viele Liter Farbe benötigt sie von der ergiebigeren Sorte?

Bei einem kurzen Test einer Beregnungsanlage werden auf einer waagerechten Fläche pro \(100\,\text{m}^2\) genau \(6{,}4\,\text{l}\) Wasser verteilt. Für diesen Test sei die Wassermenge direkt proportional zur Fläche \(A\). a) Gib eine Funktion \(V(A)\) in Litern in Abhängigkeit von \(A\) in Quadratmetern an. b) Welche Wassermenge wird auf \(450\,\text{m}^2\) verteilt? c) Für einen kleinen Testbereich stehen \(12\,\text{l}\) Wasser zur Verfügung. Welche Fläche kann damit im Modell beregnet werden?

Eine Bibliothek digitalisiert Rückgabevorgänge mit identischen Scanplätzen. Ein einzelner Scanplatz verarbeitet bei gleichbleibender Rate in \(12\,\text{min}\) genau \(180\) Rückgaben. a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor für einen Scanplatz in Rückgaben pro Stunde und stelle \(R(t)=kt\) für \(t\) Stunden auf. b) Wie viele Rückgaben verarbeitet ein Scanplatz in einer \(7{,}5\)-stündigen Schicht? c) Für \(n\) gleichzeitig arbeitende, gleich schnelle Scanplätze gilt \(R_n(t)=n\cdot R(t)\). Bestimme die kleinste ganze Anzahl von Scanplätzen, die in \(3\) Stunden \(13\,500\) Rückgaben verarbeitet. Deute die Änderung der Steigung.

Ein Backup-System überträgt Daten mit konstanter Rate. Die Funktion \(D(t)=12t\) beschreibt die übertragene Datenmenge \(D\) in Gigabyte nach \(t\) Stunden. Für das Backup stehen \(150\,\text{GB}\) Speicher zur Verfügung. a) Berechne die Datenmenge nach \(4{,}5\) Stunden. b) Nach welcher Zeit sind \(150\,\text{GB}\) übertragen? c) Ein zweites System arbeitet mit doppelter Rate. Gib die neue Funktion an und bestimme die Zeitersparnis bis \(150\,\text{GB}\).

Anja beobachtet an einem sonnigen Tag den Schatten eines vertikalen Stabes auf dem Schulhof. Um 10:00 Uhr markiert sie die Position des Schattens. Um 12:30 Uhr stellt sie fest, dass der Schatten einen Winkel von \(37{,}5^\circ\) überstrichen hat. Nimm für das Modell an, dass sich der Schattenwinkel im betrachteten Zeitraum gleichmäßig ändert. a) Berechne die Winkeländerung pro Stunde (in Grad pro Stunde). b) Gib eine Funktionsgleichung an, die den Winkel \(\alpha\) (in Grad) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Stunden seit der ersten Messung) beschreibt. c) Welchen Winkel hat der Schatten insgesamt überstrichen, wenn Anja ihre letzte Messung um 16:15 Uhr vornimmt?

Ein Zug fährt auf einem längeren Streckenabschnitt mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Die Tabelle zeigt: <table><tr><td>Zeit \(t\) in \(\text{h}\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(1{,}5\)</td><td>\(2\)</td></tr><tr><td>Strecke \(s\) in \(\text{km}\)</td><td>\(60\)</td><td>\(180\)</td><td>\(240\)</td></tr></table> a) Prüfe rechnerisch die direkte Proportionalität. b) Welche Bedingung der Fahrt muss gelten, damit das Modell exakt passt? c) Stelle die Funktionsgleichung auf.

Eine Anlage trägt auf ein Dichtband gleichmäßig Klebstoff auf. Für \(300\,\text{cm}\) Band werden \(4{,}50\,\text{g}\) Klebstoff benötigt, für \(500\,\text{cm}\) sind es \(7{,}50\,\text{g}\). a) Begründe, warum Klebstoffmenge und Bandlänge direkt proportional sind. b) Bestimme die Funktion \(M(x)\), die die Klebstoffmasse \(M\) in Gramm in Abhängigkeit von der Bandlänge \(x\) in Zentimetern beschreibt. c) Wie viel Klebstoff wird für \(800\,\text{cm}\) benötigt? Welche Bandlänge kann mit \(18\,\text{g}\) beschichtet werden?

Zwei Schwimmer bewegen sich bei einem kurzen Geschwindigkeitstest jeweils gleichmäßig. Schwimmer A legt in \(5\,\text{s}\) \(12{,}5\,\text{m}\) und in \(12\,\text{s}\) \(30\,\text{m}\) zurück. Für Schwimmer B gilt \(s_B(t)=2{,}4t\), mit \(t\) in Sekunden und \(s\) in Metern. a) Zeige, dass die beiden Messwerte von A zu einer direkten Proportionalität passen, und stelle \(s_A(t)=k_At\) auf. Welche der beiden Ursprungsgeraden ist steiler? b) Bestimme mit \(s_A\) die Strecke von A nach \(20\,\text{s}\). c) Bestimme mit \(s_B\), nach welcher Zeit B \(60\,\text{m}\) erreicht.

Eine Ursprungsgerade verläuft durch den Punkt \(P(4{,}5 \mid 1{,}8)\). a) Bestimme die Funktionsgleichung dieser Geraden. b) Prüfe rechnerisch, ob der Punkt \(Q(7 \mid 2{,}8)\) ebenfalls auf dieser Geraden liegt. c) Ein weiterer Punkt \(R(a \mid 4{,}4)\) liegt auf der Geraden. Berechne den Wert für \(a\).

Zwei Züge fahren auf längeren Streckenabschnitten jeweils mit konstanter Modellgeschwindigkeit. Zug A legt \(480\,\text{km}\) in \(4\,\text{h}\) zurück, Zug B \(525\,\text{km}\) in \(5\,\text{h}\). Die Strecke \(s\) sei jeweils direkt proportional zur Fahrzeit \(t\). a) Bestimme \(s_A(t)=k_At\) und \(s_B(t)=k_Bt\). Welche Ursprungsgerade ist steiler und welcher Zug fährt schneller? b) Wie lange benötigt jeder Zug rechnerisch für \(1050\,\text{km}\)? c) Eine Strecke von \(1050\,\text{km}\) soll im Modell in höchstens \(9\,\text{h}\) zurückgelegt werden. Welcher Zug erfüllt diese Bedingung?

Ein Wanderer hat für drei Etappen Weg und Zeit notiert: - Etappe 1: \(6\,\text{km}\) in \(1{,}5\,\text{h}\) - Etappe 2: \(10\,\text{km}\) in \(2{,}5\,\text{h}\) - Etappe 3: \(15\,\text{km}\) in \(4\,\text{h}\) Bestimme für jede Etappe den Quotienten aus Weg und Zeit. Prüfe damit, ob die aufgezeichneten Etappen eine direkte Proportionalität zwischen Weg und Zeit zeigen. Formuliere außerdem, was sich aus solchen Etappenwerten über die Geschwindigkeit innerhalb einer einzelnen Etappe sicher sagen lässt.

In einem Labor werden drei Metallzylinder untersucht, die angeblich aus demselben Material bestehen. - Zylinder A: Volumen \(V = 20\,\text{cm}^3\), Masse \(m = 178\,\text{g}\) - Zylinder B: Volumen \(V = 50\,\text{cm}^3\), Masse \(m = 445\,\text{g}\) - Zylinder C: Volumen \(V = 12\,\text{cm}^3\), Masse \(m = 105\,\text{g}\) a) Begründe rechnerisch, ob alle drei Zylinder aus demselben Material bestehen können. b) Wie schwer müsste Zylinder C sein, damit er denselben Proportionalitätsfaktor wie die anderen beiden besitzt?

Gegeben sind die Funktionen \(f(x)=1{,}5x\), \(g(x)=1{,}5x+4\) und \(h(x)=3\). a) Welche dieser Funktionen beschreibt eine direkte Proportionalität? Begründe mithilfe der Lage des Graphen im Koordinatensystem. b) Welches geometrische Merkmal haben die Graphen aller drei linearen Funktionen gemeinsam? c) Überprüfe für \(g\) die Verdopplungsregel mit \(x_1=2\) und \(x_2=4\).

Zwei Datenarchive wachsen während eines Versuchs unterschiedlich. Archiv A ist zu Beginn leer und wächst gleichmäßig um \(0{,}40\,\text{MB}\) pro Minute. Archiv B enthält zu Beginn bereits \(10\,\text{MB}\) Metadaten und wächst anschließend um \(0{,}30\,\text{MB}\) pro Minute. a) Stelle für beide Archive eine Funktion für das Datenvolumen \(y\) in Megabyte in Abhängigkeit von der Zeit \(x\) in Minuten auf. b) Bei welchem Archiv ist das Datenvolumen direkt proportional zur Zeit? Begründe mathematisch. c) Wie wirkt sich der Anfangsbestand von Archiv B auf den Graphen im Vergleich zu einer Ursprungsgeraden aus?

In einer Schreinerei werden Holzleisten nach Gewicht verkauft. Eine \(2{,}5\,\text{m}\) lange Leiste wiegt \(1{,}4\,\text{kg}\). a) Stelle die Funktionsgleichung auf, die das Gewicht \(y\) (in kg) in Abhängigkeit von der Länge \(x\) (in m) angibt. b) Ein Kunde behauptet: „Eine doppelt so lange Leiste wiegt auch doppelt so viel.“ Begründe mithilfe der Eigenschaften einer proportionalen Funktion, ob diese Aussage korrekt ist. c) Berechne, wie lang eine Leiste ist, die genau \(3{,}5\,\text{kg}\) wiegt.

Ein Kabelwickler verarbeitet gleichmäßig \(150\,\text{m}\) Kabel in \(4\,\text{min}\). Die verarbeitete Kabellänge \(L\) sei direkt proportional zur Zeit \(t\). a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) und die Funktion \(L(t)=kt\). Welche Bedeutung hat \(k\) für die zugehörige Ursprungsgerade? b) Welche Kabellänge verarbeitet die Anlage in \(10\,\text{min}\), und wie lange benötigt sie für \(525\,\text{m}\)? c) Nenne einen Grund, warum das Modell \(L(t)=kt\) bei einem sehr langen Auftrag, etwa \(50\,000\,\text{m}\), in der Realität nicht über die gesamte Zeit exakt gelten könnte.

Bei einer Messreihe zum Benzinverbrauch eines Autos wurden folgende Werte ermittelt: <table> <tr><td>Strecke (in \(\text{km}\))</td><td>\(80\)</td><td>\(150\)</td><td>\(240\)</td><td>\(310\)</td></tr> <tr><td>Verbrauch (in \(\text{l}\))</td><td>\(5{,}2\)</td><td>\(9{,}8\)</td><td>\(15{,}5\)</td><td>\(20{,}2\)</td></tr> </table> a) Berechne für jedes Wertepaar den Quotienten aus Verbrauch und Strecke und runde ihn auf vier Dezimalstellen. Sind die Werte näherungsweise quotientengleich? Erkläre, was „näherungsweise“ hier bedeutet. b) Verwende als Proportionalitätsfaktor das arithmetische Mittel der vier Quotienten und runde \(k\) auf vier Dezimalstellen. c) Nutze den gerundeten Wert aus b), um den voraussichtlichen Verbrauch auf einer Strecke von \(600\,\text{km}\) zu bestimmen.

Zwei Inline-Skater bewegen sich auf einer geraden Strecke jeweils mit konstanter Geschwindigkeit. Skater A legt in \(40\,\text{s}\) \(200\,\text{m}\) zurück, Skater B in \(75\,\text{s}\) \(300\,\text{m}\). a) Bestimme die Geschwindigkeiten und deute sie als Proportionalitätsfaktoren. b) Wer ist schneller? c) Welcher Graph liegt in einem Zeit-Strecke-Diagramm für \(t>0\) oberhalb? Begründe ohne Zeichnung.

Ein Hersteller von Kupferdraht führt Qualitätskontrollen durch. Dabei wird für verschiedene Drahtrollen die Länge \(l\) und die zugehörige Masse \(m\) gemessen: <table> <tr><td>Länge \(l\) (in \(\text{m}\))</td><td>\(10\)</td><td>\(25\)</td><td>\(40\)</td><td>\(60\)</td><td>\(100\)</td></tr> <tr><td>Masse \(m\) (in \(\text{g}\))</td><td>\(185\)</td><td>\(462{,}5\)</td><td>\(740\)</td><td>\(1110\)</td><td>\(1850\)</td></tr> </table> a) Untersuche, ob zwischen der Länge und der Masse des Drahtes eine proportionale Zuordnung besteht. b) Bestimme den Proportionalitätsfaktor und erkläre dessen physikalische Bedeutung für den Draht.

In einer Versuchsreihe wird die Masse \(m\) einer Flüssigkeit für verschiedene Volumina \(V\) gemessen. Die Ergebnisse sind in der Tabelle dargestellt: <table> <tr><td>Volumen \(V\) in \(\text{cm}^3\)</td><td>\(50\)</td><td>\(150\)</td><td>\(300\)</td></tr> <tr><td>Masse \(m\) in \(\text{g}\)</td><td>\(40\)</td><td>\(120\)</td><td>\(240\)</td></tr> </table> a) Überprüfe, ob die Masse direkt proportional zum Volumen ist. b) Bestimme die Funktionsgleichung \(m(V) = kV\). Was gibt der Proportionalitätsfaktor \(k\) physikalisch an? c) Berechne die Masse der Flüssigkeit für ein Volumen von \(450\,\text{cm}^3\).

Bei zwei Metalldrähten ist die Masse direkt proportional zur Länge. Draht A wiegt bei \(5\,\text{m}\) genau \(125\,\text{g}\), Draht B bei \(8\,\text{m}\) genau \(192\,\text{g}\). a) Bestimme die Funktionen \(M_A(l)=k_A l\) und \(M_B(l)=k_B l\) für die Masse in Gramm bei einer Länge \(l\) in Metern. b) Welche der beiden Ursprungsgeraden ist steiler? Deute dies als Masse pro Meter. c) Berechne mit \(M_A\) die Masse von \(20\,\text{m}\) Draht A. d) Bestimme mit \(M_B\) die Länge, bei der Draht B \(125\,\text{g}\) wiegt. Runde auf eine Dezimalstelle.

Bei einer direkten Proportionalität ist der Quotient \(y:x\) für alle von 0 verschiedenen Eingabewerte gleich. Untersuche die folgenden Vorschriften: a) \(y=12x\): Bestimme \(y:x\) für \(x=2\) und \(x=5\). b) \(y=3x+6\): Bestimme \(y:x\) für \(x=2\) und \(x=4\). c) \(y=kx\) mit festem \(k\): Erkläre ohne Einsetzen konkreter Zahlen, warum der Quotient stets \(k\) ist. Entscheide jeweils, ob eine direkte Proportionalität vorliegt.

Für eine direkt proportionale Zuordnung gilt die Verdopplungsregel \(f(2x)=2f(x)\). Prüfe diese Eigenschaft jeweils symbolisch: a) \(f(x)=0{,}8x\) b) \(f(x)=0{,}8x+2\) c) \(f(x)=4\) Entscheide anschließend, welche Funktion direkt proportional ist.

In einem Kopierladen hängen die Preise für Schwarz-Weiß-Kopien aus: - 10 Kopien kosten \(0{,}80\,\text{€}\). - 50 Kopien kosten \(4{,}00\,\text{€}\). - 100 Kopien kosten \(7{,}50\,\text{€}\). a) Untersuche, ob der Preis proportional zur Anzahl der Kopien ist. Zeige deine Überlegungen rechnerisch auf. b) Nenne einen möglichen Grund aus dem Alltag, warum ein Ladenbesitzer die Preise so gestalten könnte, dass keine Proportionalität vorliegt.

Schüler führen ein Experiment zur Dehnung einer Schraubenfeder durch. Sie messen, um wie viele Zentimeter (\(s\)) sich die Feder verlängert, wenn sie verschiedene Massen (\(m\)) daran hängen. Die Feder ist für Lasten bis zu \(500\,\text{g}\) ausgelegt. Ergebnisse: - Bei \(20\,\text{g}\) dehnt sich die Feder um \(3{,}0\,\text{cm}\). - Bei \(50\,\text{g}\) dehnt sich die Feder um \(7{,}5\,\text{cm}\). a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) für die Zuordnung Masse \(\rightarrow\) Dehnung. Gib auch die Einheit an. b) Berechne die zu erwartende Dehnung für eine Masse von \(120\,\text{g}\). c) Die Schüler überlegen, ob die Dehnung auch bei einer Masse von \(5\,\text{kg}\) proportional bleibt. Beurteile diese Überlegung unter Berücksichtigung der Materialeigenschaften einer Feder.

Eine Wandergruppe dokumentiert ihren Ausflug in den Schwarzwald. Die Tabelle gibt an, wie viele Kilometer die Gruppe nach einer bestimmten Zeit zurückgelegt hat: <table> <tr><td>Zeit \(t\) (in \(\text{h}\))</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(2{,}5\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4{,}5\)</td></tr> <tr><td>Weg \(s\) (in \(\text{km}\))</td><td>\(0\)</td><td>\(4{,}8\)</td><td>\(9{,}6\)</td><td>\(9{,}6\)</td><td>\(11{,}4\)</td><td>\(16{,}8\)</td></tr> </table> a) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit in \(\text{km/h}\) für jedes Zeitintervall zwischen den Messungen. b) Entscheide, ob eine proportionale Funktion den gesamten Wanderweg beschreiben kann. Begründe deine Antwort. c) Was ist vermutlich im Zeitraum zwischen \(t=2\) und \(t=2{,}5\) passiert? d) Vergleiche die Wandergeschwindigkeit vor und nach diesem speziellen Zeitraum. Was lässt sich feststellen?

Untersuche die Wertepaare in der folgenden Tabelle auf Proportionalität. <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(3\)</td><td>\(5\)</td><td>\(8\)</td><td>\(10\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(10\)</td><td>\(16\)</td><td>\(25\)</td><td>\(31\)</td></tr> </table> Begründe deine Entscheidung mathematisch. Falls die Zuordnung nicht proportional ist, beschreibe, wie sich das Verhältnis \(\frac{y}{x}\) mit steigendem \(x\) verändert.

Zwei Ausflugsboote fahren auf geraden Flussabschnitten jeweils mit konstanter Geschwindigkeit. Für Boot A wurden die Werte \((10\,\text{min},2200\,\text{m})\), \((25\,\text{min},5500\,\text{m})\) und \((40\,\text{min},8800\,\text{m})\) gemessen. Für Boot B gelten \((12\,\text{min},2700\,\text{m})\), \((20\,\text{min},4500\,\text{m})\) und \((45\,\text{min},10125\,\text{m})\). a) Zeige für beide Boote die direkte Proportionalität. b) Welches Boot ist schneller? c) Welche Strecke legt das schnellere Boot in \(60\,\text{min}\) zurück?

Zwei Förderbänder transportieren Schüttgut gleichmäßig. Förderband A bewegt \(180\,\text{kg}\) in \(2\,\text{min}\), Förderband B \(6{,}6\,\text{t}\) pro Stunde. Für \(t\) in Stunden sei \(M(t)\) die transportierte Masse in Tonnen. a) Bestimme die proportionalen Funktionen \(M_A(t)=k_At\) und \(M_B(t)=k_Bt\). Welche Ursprungsgerade ist steiler? b) Beide Förderbänder arbeiten gleichzeitig. Stelle die gemeinsame Funktion \(M_G(t)=k_Gt\) auf. c) Ein Vorrat von \(12\,\text{t}\) soll vollständig abtransportiert werden. Wie lange dauert das bei gleichzeitigem Betrieb?

Ein Regionalzug fährt konstant mit \(144\,\text{km/h}\). Die zurückgelegte Strecke ist direkt proportional zur Fahrzeit. a) Stelle für \(t\) in Stunden die Streckenfunktion \(s(t)=kt\) in Kilometern auf. Erkläre kurz, warum ihr Graph eine Ursprungsgerade ist. b) Rechne die Geschwindigkeit in \(\text{m/s}\) um. Der Zug ist \(200\,\text{m}\) lang und überquert eine \(600\,\text{m}\) lange Brücke vollständig. Wie viele Sekunden dauert das vom Auffahren der Zugspitze bis zum Verlassen der Brücke durch das Zugende? c) Bestimme mit der Streckenfunktion die Strecke nach 12 Minuten.

In einem Chemielabor wird die Masse \(m\) verschiedener Volumina \(V\) einer Flüssigkeit gemessen. Die Messwerte liegen auf einer Ursprungsgeraden. Für ein Volumen von \(V = 60\,\text{cm}^3\) wird eine Masse von \(m = 48\,\text{g}\) ermittelt. a) Bestimme die Dichte \(\rho\) der Flüssigkeit als Proportionalitätsfaktor in der Einheit \(\text{g/cm}^3\). b) Welches Volumen \(V\) nimmt eine Menge dieser Flüssigkeit ein, wenn ihre Masse \(m = 100\,\text{g}\) beträgt?

Zwei Plattenwerkstoffe haben bei gleichbleibender Dicke eine direkt proportionale Beziehung zwischen Fläche \(x\) in Quadratmetern und Masse \(y\) in Kilogramm. Werkstoff A: \(3\,\text{m}^2\) haben eine Masse von \(13{,}50\,\text{kg}\). Werkstoff B: \(y=4{,}80x\). a) Welcher Werkstoff hat die größere Masse pro Quadratmeter? Begründe durch Vergleich der Steigungen der zugehörigen Ursprungsgeraden. b) Um wie viel unterscheiden sich die Massen bei einer Fläche von \(2{,}5\,\text{m}^2\)?

Eine Solaranlage liefert während eines Versuchstages bei nahezu gleichbleibender Einstrahlung in \(30\,\text{min}\) jeweils \(125\,\text{kWh}\) elektrische Energie. Die erzeugte Energie \(E\) sei in diesem Zeitfenster direkt proportional zur Laufzeit \(t\). a) Bestimme die Erzeugungsrate in \(\text{MWh/h}\) und stelle für \(t\) in Stunden die Funktion \(E(t)=kt\) auf. b) Nach welcher Laufzeit sind \(1\,\text{MWh}\) Energie erzeugt? c) Die Messung beginnt um 07:45 Uhr. Zu welcher Uhrzeit ist die Energiemenge aus Teil b) erreicht?

Jonas arbeitet in den Ferien in einem Eiscafé. Sein Verdienst ist direkt proportional zu seiner Arbeitszeit. Nach \(6\,\text{Stunden}\) hat er \(81{,}00\,\text{€}\) verdient. a) Berechne den Verdienst für eine Arbeitszeit von \(14\,\text{Stunden}\). b) Wie viele Stunden müsste Jonas arbeiten, um sich ein Tablet für \(472{,}50\,\text{€}\) kaufen zu können? c) Wie verändert sich sein Verdienst, wenn er seine Arbeitszeit verdreifacht? Begründe deine Antwort mithilfe der Eigenschaften einer direkten Proportionalität.

In einem Physikexperiment wird die Dehnung einer Feder untersucht. Die Dehnung \(s\) (in \(\text{cm}\)) ist direkt proportional zur angehängten Masse \(m\) (in \(\text{g}\)). Bei einer Masse von \(100\,\text{g}\) dehnt sich die Feder um \(2{,}5\,\text{cm}\). a) Bestimme die Funktionsgleichung der zugehörigen Ursprungsgeraden \(s(m) = km\). b) Berechne die Dehnung der Feder für eine Masse von \(250\,\text{g}\). c) Welche Masse wurde angehängt, wenn eine Dehnung von genau \(10\,\text{cm}\) gemessen wird?

Zwei verschiedene Handytarife bieten Internet-Datenpakete an. Entscheide durch Rechnung, welcher der beiden Tarife eine proportionale Zuordnung zwischen Datenvolumen und Preis darstellt. Begründe deine Entscheidung und berechne für den proportionalen Tarif den Preis für ein Datenvolumen von \(120\,\text{GB}\). **Tarif A:** <table> <tr><td>Datenvolumen (in \(\text{GB}\))</td><td>\(10\)</td><td>\(50\)</td></tr> <tr><td>Preis (in \(\text{€}\))</td><td>\(1{,}00\)</td><td>\(5{,}00\)</td></tr> </table> **Tarif B:** <table> <tr><td>Datenvolumen (in \(\text{GB}\))</td><td>\(10\)</td><td>\(50\)</td></tr> <tr><td>Preis (in \(\text{€}\))</td><td>\(5{,}50\)</td><td>\(7{,}50\)</td></tr> </table>

Zwei einfache Kreditmodelle werden mit \(360\) Tagen pro Jahr betrachtet. Lukas: \(1200\,\text{€}\) Kredit, \(10\,\%\) Jahreszins. Leonie: \(1500\,\text{€}\) Kredit, \(6\,\%\) Jahreszins. Für beide ist der Zinsbetrag direkt proportional zur Laufzeit \(t\) in Tagen. a) Stelle die proportionalen Funktionen \(Z_L(t)\) und \(Z_E(t)\) auf. b) Lukas zahlt nach \(90\) Tagen zurück. Nach wie vielen Tagen zahlt Leonie genau denselben Zinsbetrag?

Eine astronomische Kamera überträgt bei gleichbleibender Datenrate in \(15\,\text{s}\) genau \(1{,}2\,\text{MB}\) Bilddaten. a) Bestimme die Funktion für das übertragene Datenvolumen \(y\) in Megabyte nach \(x\) Sekunden. b) Berechne \(y\) für \(x=10,25,40,50,100\). c) Nach wie vielen Sekunden wurden genau \(10\,\text{MB}\) übertragen?

Zwei verschiedene Flüssigkeiten, A und B, werden untersucht. Das Volumen \(V\) (in \(\text{cm}^3\)) und die zugehörige Masse \(m\) (in \(\text{g}\)) stehen jeweils in einem direkt proportionalen Verhältnis (Dichte). Bei Flüssigkeit A wiegen \(20\,\text{cm}^3\) genau \(16\,\text{g}\). Bei Flüssigkeit B wiegen \(15\,\text{cm}^3\) genau \(13{,}5\,\text{g}\). 1) Bestimme für beide Flüssigkeiten den Proportionalitätsfaktor (die Dichte \(\rho\) in \(\text{g}/\text{cm}^3\)). 2) Wenn man die Zusammenhänge in einem \(V\)-\(m\)-Koordinatensystem als Ursprungsgeraden darstellt: Welche Gerade verläuft steiler? Begründe deine Entscheidung mithilfe der berechneten Dichtewerte. 3) Wie viel Gramm wiegen \(50\,\text{cm}^3\) von Flüssigkeit B? 4) Welches Volumen nimmt eine Portion von Flüssigkeit A ein, wenn sie eine Masse von \(64\,\text{g}\) hat?

Ein Messsystem erzeugt bei gleichbleibender Aufzeichnungsrate in \(100\,\text{s}\) genau \(6\,\text{MB}\) Sensordaten. Das Datenvolumen \(y\) sei direkt proportional zur Aufzeichnungszeit \(x\) in Sekunden. a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor und stelle die Funktionsgleichung auf. b) Erstelle eine Wertetabelle für \(x=50\,\text{s}\), \(150\,\text{s}\), \(200\,\text{s}\), \(250\,\text{s}\) und \(500\,\text{s}\). c) Was bedeutet der Punkt \(P(100\mid6)\) im Koordinatensystem dieses Sachzusammenhangs? d) Nach welcher Aufzeichnungszeit sind \(45\,\text{MB}\) Daten entstanden? Gib das Ergebnis auch in Minuten und Sekunden an.

Zwei Server verarbeiten bei einem Leistungstest rechenintensive Analyseaufträge mit jeweils konstanter Rate. Server A verarbeitet \(15\) Analyseaufträge pro Minute. Server B benötigt für \(12\) Analyseaufträge genau \(45\,\text{s}\). a) Berechne für beide Server die Rate in Analyseaufträgen pro Minute. Welcher ist schneller? b) Stelle für den schnelleren Server eine Funktion \(y=kx\) auf, wobei \(x\) die Zeit in Minuten und \(y\) die Zahl der verarbeiteten Analyseaufträge ist. c) Wie lange benötigt der schnellere Server für \(1000\) Analyseaufträge? Gib das Ergebnis in Minuten und Sekunden an. d) Nach einer Optimierung steigt seine Rate um \(20\,\%\). Wie lautet die neue Funktionsgleichung?

Beim Recycling von Altpapier können aus \(25\,\text{kg}\) Altpapier etwa \(18\,\text{kg}\) neues Recyclingpapier gewonnen werden. Gehe davon aus, dass die Menge des gewonnenen Papiers proportional zur Menge des eingesetzten Altpapiers ist. a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die die Menge des Recyclingpapiers \(y\) (in \(\text{kg}\)) in Abhängigkeit von der Menge des Altpapiers \(x\) (in \(\text{kg}\)) beschreibt. b) Berechne, wie viel Recyclingpapier man aus \(100\,\text{kg}\) und wie viel man aus \(35\,\text{kg}\) Altpapier erhält. c) Eine Schule möchte mindestens \(500\,\text{kg}\) Recyclingpapier für ihre Hefte herstellen lassen. Wie viel Altpapier muss dafür mindestens gesammelt werden? Gib die Masse auf eine Dezimalstelle an und runde dabei nach oben, damit im Modell mindestens die Zielmenge erreicht wird. d) Welche Bedeutung hat die Steigung \(k\) der Funktion in diesem Sachzusammenhang?

Zwei verschiedene Solarmodule werden auf ihre Leistungsfähigkeit getestet. Modul A liefert bei konstanter Sonneneinstrahlung in \(5\,\text{Stunden}\) insgesamt \(1{,}2\,\text{kWh}\) elektrische Energie. Für Modul B wird die erzeugte Energie \(E\) (in \(\text{kWh}\)) nach der Zeit \(t\) (in \(\text{Stunden}\)) durch die Funktionsgleichung \(E(t) = 0{,}25t\) beschrieben. a) Berechne, wie viel Energie Modul A nach \(8\,\text{Stunden}\) geliefert hat. b) Welches der beiden Module erzeugt pro Stunde mehr Energie? Begründe deine Entscheidung durch Vergleich der Proportionalitätsfaktoren. c) Wie lange müsste Modul A in der Sonne stehen, um genau die Energiemenge zu erzeugen, die Modul B in \(6\,\text{Stunden}\) liefert?

Auf einem Wochenmarkt ist der Preis \(P\) (in \(\text{€}\)) für Bio-Äpfel direkt proportional zur Masse \(m\) (in \(\text{kg}\)). Für \(2{,}5\,\text{kg}\) zahlt man \(6{,}25\,\text{€}\). 1. Bestimme den Proportionalitätsfaktor und gib die Funktionsgleichung an, die den Preis in Abhängigkeit von der Masse beschreibt. 2. Erstelle eine Wertetabelle für \(1\,\text{kg}\), \(2\,\text{kg}\), \(3\,\text{kg}\) und \(4\,\text{kg}\). 3. Gib zwei Punkte an, durch die der Graph sicher verläuft, und beschreibe seine Lage im Koordinatensystem. Du kannst mit der Skalierung \(1\,\text{cm}\) entspricht \(1\,\text{kg}\) auf der x-Achse und \(1\,\text{cm}\) entspricht \(2\,\text{€}\) auf der y-Achse eine Hilfsskizze zeichnen. 4. Bestimme, wie viel \(3{,}5\,\text{kg}\) Äpfel kosten und welche Masse man für \(5{,}00\,\text{€}\) erhält. Falls du eine Hilfsskizze angefertigt hast, vergleiche die Rechenergebnisse mit deiner Zeichnung.

Zwei Kerzen unterschiedlicher Dicke brennen gleichmäßig ab. Der Höhenverlust \(h\) (in \(\text{cm}\)) ist dabei direkt proportional zur Brenndauer \(t\) (in \(\text{h}\)). - Kerze A verliert in \(2\,\text{Stunden}\) genau \(3\,\text{cm}\) an Höhe. - Kerze B verliert in \(3\,\text{Stunden}\) genau \(3\,\text{cm}\) an Höhe. 1. Bestimme für beide Kerzen die Funktionsgleichungen \(h_A(t)\) und \(h_B(t)\), die den jeweiligen Höhenverlust beschreiben. 2. Welche Kerze brennt schneller ab? Begründe deine Antwort mithilfe der Steigungen der zugehörigen Funktionsgraphen. 3. Berechne für beide Kerzen den Höhenverlust nach einer Brenndauer von \(4{,}5\,\text{Stunden}\). 4. Nach welcher Zeit haben beide Kerzen zusammen einen Höhenverlust von insgesamt \(10\,\text{cm}\) erreicht?

Ein Lieferwagen fährt eine Strecke mit konstant \(60\,\text{km/h}\). Ein Motorrad fährt dieselbe Strecke mit konstant \(80\,\text{km/h}\). Sei \(s\) die Streckenlänge in Kilometern und \(\Delta t(s)\) der Zeitvorsprung des Motorrads in Stunden. a) Stelle einen Term für \(\Delta t(s)\) auf und vereinfache ihn. b) Erkläre, warum \(\Delta t\) direkt proportional zu \(s\) ist. Was passiert mit dem Zeitvorsprung, wenn die Strecke verdoppelt wird? c) Für welche Streckenlänge kommt das Motorrad genau \(15\,\text{Minuten}\) früher an?

Gleichartige kleine Bauteile haben jeweils dieselbe Masse. Eine Messung ergibt: <table> <tr><td>Stückzahl \(n\)</td><td>\(10\)</td><td>\(20\)</td><td>\(50\)</td><td>\(100\)</td></tr> <tr><td>Gesamtmasse \(M\) in \(\text{g}\)</td><td>\(0{,}80\)</td><td>\(1{,}60\)</td><td>\(4{,}00\)</td><td>\(8{,}00\)</td></tr> </table> 1) Zeige rechnerisch, dass die Gesamtmasse direkt proportional zur Stückzahl ist. 2) Stelle eine Funktion \(M(n)\) auf. 3) Wie viele Bauteile haben zusammen eine Masse von \(14{,}40\,\text{g}\)? 4) Für den Versand käme zusätzlich eine Verpackung mit \(2{,}00\,\text{g}\) Masse hinzu. Wäre dann die Gesamtmasse des versandfertigen Pakets noch direkt proportional zur Stückzahl? Begründe.

Zwei verschiedene 3D-Drucker, Modell „Alpha“ und Modell „Beta“, drucken Bauteile mit jeweils konstanter Geschwindigkeit. Modell Alpha benötigt \(2\,\text{h}\), um ein Volumen von \(50\,\text{cm}^3\) zu drucken. Für Modell Beta gilt die Funktionsgleichung \(V=22{,}5t\), wobei \(V\) das Volumen in \(\text{cm}^3\) und \(t\) die Zeit in Stunden angibt. a) Welcher Drucker arbeitet schneller? Begründe deine Antwort, indem du die Proportionalitätsfaktoren vergleichst. b) Erstelle für Modell Alpha eine Wertetabelle für \(t=1\), \(2\), \(3\) und \(4\) Stunden. c) Ein Designer möchte ein Objekt mit einem Gesamtvolumen von \(180\,\text{cm}^3\) drucken. Berechne den Zeitunterschied in Minuten zwischen den beiden Druckern für diesen Auftrag.

Eine Rückgabestation in einer Bibliothek erfasst bei gleichmäßigem Betrieb in \(6\,\text{min}\) genau \(72\) Bücher. 1) Erstelle eine Wertetabelle für die Zahl \(N\) der erfassten Bücher bei \(t=0,5,10,15,20\) Minuten. 2) Begründe die direkte Proportionalität und gib \(N(t)\) an. 3) Wie viele Bücher werden in \(45\,\text{min}\) erfasst? 4) Ein Rückgabestapel umfasst \(600\) Bücher. Nach wie vielen Minuten ist er vollständig erfasst? 5) Eine schnellere Station schafft \(15\) Bücher pro Minute. Beschreibe die Änderung des Graphen.

Ein Server überträgt Daten mit konstanter Rate. Nach \(15\) Minuten sind genau \(4\,\text{GB}\) übertragen. 1) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) für Zeit \(t\) in Stunden zu Datenmenge \(D\) in Gigabyte und deute ihn. 2) Wie verändert sich der Graph bei doppelter Übertragungsrate? 3) Welche Datenmenge wird in \(1{,}5\) Stunden übertragen? 4) Wie viele Minuten werden für \(10\,\text{GB}\) benötigt?

Eine Ursprungsgerade \(p\) ist durch ein Steigungsdreieck gegeben: Startet man im Koordinatenursprung und geht \(3\) Einheiten nach rechts sowie \(2\) Einheiten nach oben, erreicht man einen weiteren Punkt der Geraden. a) Gib die Funktionsgleichung der Geraden \(p\) an. b) Bei einer proportionalen Zuordnung verändert sich der \(y\)-Wert in Abhängigkeit vom \(x\)-Wert. Erkläre ohne Rechnung, wie sich der \(y\)-Wert verändert, wenn man den \(x\)-Wert verdreifacht. c) Berechne, welcher \(x\)-Wert zum Funktionswert \(y = 10\) gehört.

Gegeben sind die Funktionsgleichungen dreier Ursprungsgeraden: \(f(x) = -1{,}5x\) \(g(x) = -\frac{1}{3}x\) \(h(x) = -4x\) 1. Ordne die Graphen der Funktionen nach ihrer Steilheit, beginnend mit dem flachsten Graphen. Nutze zur Begründung die Beträge der Steigungen. 2. Ein Punkt \(R\) liegt auf dem Graphen von \(f\). Seine \(y\)-Koordinate ist \(6\). Berechne die zugehörige \(x\)-Koordinate. 3. Der Proportionalitätsfaktor von \(h\) wird mit \(-1\) multipliziert. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Geraden im Vergleich zur ursprünglichen Geraden \(h\) verändert.

Zwei Geraden, die eine direkte Proportionalität beschreiben, verlaufen jeweils durch einen der folgenden Punkte: Gerade \(g_1\) verläuft durch \(P(2 \mid 5)\). Gerade \(g_2\) verläuft durch \(Q(5 \mid 2)\). a) Bestimme die Funktionsgleichungen der Form \(y = kx\) für beide Geraden. b) Welche der beiden Geraden verläuft steiler? Begründe deine Antwort mithilfe der Beträge der Steigungen. c) Eine neue Gerade \(g_3\) entsteht, indem man den Proportionalitätsfaktor von \(g_1\) mit \(-1\) multipliziert. Durch welche Quadranten des Koordinatensystems verläuft \(g_3\)?

Für \(a>0\) Kilogramm Mehl werden in einem Rezept \(w\) Milliliter Wasser benötigt. Die benötigte Wassermenge sei direkt proportional zur Mehlmenge. a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(p\) und stelle die Funktion \(W(m)=pm\) für \(m\) Kilogramm Mehl auf. b) Drücke die Wassermenge \(x\) für eine Mehlmenge von \(m\) Kilogramm mithilfe von \(a\), \(w\) und \(m\) aus.

Eine Etikettiermaschine arbeitet mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Nach \(4\,\text{min}\) hat sie \(140\) Verpackungen etikettiert, nach \(10\,\text{min}\) sind es \(350\). a) Bestimme die Funktion \(f(x)=kx\), wobei \(x\) die Zeit in Minuten und \(f(x)\) die Anzahl der etikettierten Verpackungen angibt. Erläutere die Bedeutung von \(k\). b) Bei einer Kontrollmessung wird der Punkt \(P(15\mid520)\) notiert. Prüfe rechnerisch, ob dieser Punkt zum Modell passt, und deute das Ergebnis. c) Begründe allgemein: Welchen Wert muss für jeden Punkt \(Q(x_Q\mid y_Q)\) mit \(x_Q\neq0\) auf dem Graphen der Quotient \(\frac{y_Q}{x_Q}\) haben? Was gilt für einen Punkt \(R(x_R\mid y_R)\) mit \(x_R\neq0\), der nicht auf der Geraden liegt?

Der Umfang \(U\) eines regelmäßigen Sechsecks ist direkt proportional zu seiner Seitenlänge \(a\). 1) Stelle die Funktionsgleichung \(U(a)\) auf. 2) Welchen konstanten Wert hat das Verhältnis \(\frac{U}{a}\) für jede beliebige Seitenlänge \(a > 0\)? 3) Leon behauptet, dass ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seitenlänge von \(4{,}5\,\text{cm}\) einen Umfang von \(27{,}5\,\text{cm}\) hat. Prüfe rechnerisch mithilfe der Funktionsgleichung, ob diese Aussage wahr sein kann. 4) Wie verändert sich der Umfang, wenn die Seitenlänge verdoppelt wird? Begründe deine Antwort allgemein.

Gegeben sind zwei lineare Funktionen \(f\) und \(g\), deren Graphen Ursprungsgeraden sind. Der Graph von \(f\) hat die Steigung \(m_f = -2\). Der Graph von \(g\) verläuft durch den Punkt \(A(4 \mid -6)\). 1. Bestimme die Funktionsgleichungen für \(f\) und \(g\). 2. Welche der beiden Geraden fällt steiler ab? Begründe deine Antwort. 3. Überprüfe durch Rechnung, ob der Punkt \(R(-1{,}5 \mid 3)\) auf dem Graphen von \(f\), auf dem Graphen von \(g\) oder auf keinem von beiden liegt.

Bei einer direkten Proportionalität zwischen den Größen \(x\) und \(y\) führt eine Zunahme von \(x\) um \(4\) stets zu einer Zunahme von \(y\) um \(14\). a) Bestimme die Funktionsgleichung in der Form \(y = kx\). b) Welcher Wert für \(x\) muss eingesetzt werden, damit der Funktionswert \(y = 49\) beträgt?

Zwei Datenformate erzeugen bei einer Messaufzeichnung Datenvolumen direkt proportional zur Aufzeichnungszeit \(x\) in Sekunden. Format A: \(y=0{,}40x\), wobei \(y\) in Megabyte gemessen wird. Format B: Nach \(100\,\text{s}\) sind \(35\,\text{MB}\) entstanden. a) Bestimme die Funktionsgleichung für Format B. b) Vergleiche die Datenmengen nach \(500\,\text{s}\). Welches Format benötigt weniger Speicher und um wie viel? c) Welcher Graph verläuft steiler? Begründe mithilfe der Proportionalitätsfaktoren. d) Prüfe rechnerisch, ob \(P(120\mid48)\) auf dem Graphen von Format A liegt.

Betrachtet wird eine Gerade \(h\), die durch den Punkt \(Q(3 | -2)\) verläuft. 1. Bestimme die Steigung \(m\) der Geraden unter der Bedingung, dass die Gerade auch durch den Koordinatenursprung verläuft. Nutze hierfür den Ansatz der Punkt-Steigungs-Form. 2. Zeige allgemein mithilfe der Formel für den \(y\)-Achsenabschnitt \(b = y_1 - m \cdot x_1\), dass jede Gerade, die durch den Ursprung und einen beliebigen Punkt \(P_1(x_1 | y_1)\) (mit \(x_1 \neq 0\)) verläuft, den \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 0\) besitzt.

Vier Graphen von Funktionen der Form \(y = mx\) sind im Koordinatensystem dargestellt. a) Ordne den Graphen \(p_1\) bis \(p_4\) die passenden Steigungen aus der Menge \(\{2;\, 0{,}5;\, -1;\, -0{,}25\}\) zu. b) Was passiert mit dem Verlauf des Graphen, wenn der Betrag der Steigung \(\lvert m\rvert\) immer kleiner wird und sich der Null nähert? c) Welchen Punkt haben alle Graphen dieser Form gemeinsam? Wie nennt man solche Funktionen?

Eine Solaranlage liefert unter konstanten Testbedingungen gleichmäßig Energie. Der Graph stellt die erzeugte Energie \(E\) in Kilowattstunden in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Stunden dar. a) Bestimme die Leistung als Proportionalitätsfaktor und die Funktion. b) Wie viel Energie ist nach \(4{,}5\) Stunden erzeugt? c) Nach welcher Zeit sind \(15\,\text{kWh}\) erreicht?

Die Gerade \(g\) verläuft durch den Koordinatenursprung und den Punkt \(A\). 1. Gib die Koordinaten des Punktes \(A\) an. 2. Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden \(g\) in der Form \(y = mx\). 3. Berechne den \(x\)-Wert für einen Punkt \(P(x \mid -7{,}5)\), der ebenfalls auf dieser Geraden liegt.

Ein Zylinder hat eine feste Höhe von \(h=10\,\text{cm}\). Der Radius \(r\) der Grundfläche ist veränderbar. Untersuche, ob die folgenden Größen proportional zum Radius \(r\) sind: a) der Mantelflächeninhalt \(M\) b) der Flächeninhalt der Grundfläche \(G\)

Durch eine Fehlkonfiguration überträgt ein Server konstant \(50\,\text{MB}\) Daten pro Sekunde nach außen. Die übertragene Datenmenge \(D(t)\) wird als direkt proportional zur Zeit \(t\) in Minuten modelliert. Der interne Abrechnungssatz beträgt \(2{,}10\,\text{€}\) pro Terabyte Übertragung; rechne mit \(1\,\text{TB}=1000\,\text{GB}\). a) Bestimme den Faktor in Gigabyte pro Minute und stelle \(D(t)=kt\) auf. b) Berechne die Datenmenge an einem Tag. c) Bestimme die Übertragungskosten pro Tag. d) Stelle für die kumulierten Kosten nach \(d\) vollen Tagen eine proportionale Funktion \(C(d)=k_Cd\) auf. Nach wie vielen vollen Tagen übersteigen die Kosten erstmals \(18{,}50\,\text{€}\)?

Eine Recyclinganlage sortiert gleichmäßig alle \(5\,\text{min}\) genau \(800\,\text{g}\) Kunststoffgranulat aus. Sei \(M(t)\) die bis zum Zeitpunkt \(t\) aussortierte Masse in Kilogramm, wobei \(t\) in Minuten gemessen wird. a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor und stelle \(M(t)=kt\) auf. Welche Masse wird in \(7\) Tagen aussortiert? b) Zu Tagesbeginn steht ein leerer Behälter mit einem Fassungsvermögen von \(12\,\text{kg}\) bereit. Bestimme mit \(M(t)\), nach wie vielen Minuten er jeweils voll ist. Wie oft muss er innerhalb eines Tages vollständig geleert werden, damit er nie überläuft, und welche Masse befindet sich am Tagesende nach diesen Leerungen noch darin? c) Am Tagesende soll der Behälter zusätzlich leer sein. Wie viele Leerungen sind damit insgesamt nötig?

Betrachte die Menge aller Ursprungsgeraden mit der Form \(y = mx\). a) Wie verändert sich die Lage der Geraden im Vergleich zur ersten Winkelhalbierenden (\(y = x\)), wenn für die Steigung \(0 < m < 1\) gilt? b) Eine Gerade \(p\) hat die Gleichung \(y = 4x\). Durch Spiegelung an der \(y\)-Achse entsteht eine neue Gerade \(q\). Gib die Funktionsgleichung von \(q\) an und begründe deine Entscheidung. c) Gib die Funktionsgleichung einer Geraden an, die im I. und III. Quadranten verläuft und flacher ist als die Gerade \(y = 0{,}5x\).

Betrachte die Ursprungsgerade \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x)=1{,}5x\). Ein neuer Graph \(h\) entsteht, indem man alle \(y\)-Werte (Ordinaten) des Graphen von \(f\) verdreifacht, während die \(x\)-Werte gleich bleiben. a) Bestimme die Funktionsgleichung der neuen Funktion \(h\). b) Vergleiche die Steigung von \(h\) mit der Steigung von \(f\). Wie hat sich die Steilheit des Graphen verändert? c) Zeige allgemein: Wenn man die \(y\)-Werte einer beliebigen Ursprungsgeraden \(y=mx\) um einen Faktor \(k>0\) streckt oder staucht, erhält man wieder eine Ursprungsgerade. Gib die neue Steigung in Abhängigkeit von \(m\) und \(k\) an.