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- Welche Zahl wird auf der linken Seite zu \(x\) addiert? - Welche Gegenoperation macht diese Addition rückgängig?

1. Subtrahiere auf beiden Seiten \(4\): \(x<5\).

\(x<5\).

- Überlege zuerst, ob der Randwert \(-3\) dazugehören soll. - In welche Richtung setzt sich die Lösungsmenge von \(-3\) aus fort?

1. Die Zahl \(-3\) gehört wegen \(\ge\) zur Lösungsmenge. 2. Gesucht sind alle reellen Zahlen ab \(-3\). Daher lautet das Intervall \([-3;\infty)\).

\([-3;\infty)\).

- Berechne die Kosten von Anbieter B für aufeinanderfolgende ganze Filmzahlen in der Nähe des Pauschalpreises. - Vergleiche diese Ergebnisse mit dem festen Preis von Anbieter A. - Bei welcher Filmzahl übersteigen die Kosten von Anbieter B den Wert \(9{,}99\,\text{€}\) zum ersten Mal?

1. Berechnung für Anbieter B bei \(m = 4\): \(1{,}50 \cdot 4 = 6{,}00\). Ergebnis: \(6{,}00\,\text{€}\). 2. Berechnung für Anbieter B bei \(m = 8\): \(1{,}50 \cdot 8 = 12{,}00\). Ergebnis: \(12{,}00\,\text{€}\). 3. Vergleich der Kosten: Bei \(6\) Filmen zahlt man bei Anbieter B \(1{,}50 \cdot 6 = 9{,}00\,\text{€}\). Bei \(7\) Filmen zahlt man bei Anbieter B \(1{,}50 \cdot 7 = 10{,}50\,\text{€}\). Da Anbieter A konstant \(9{,}99\,\text{€}\) kostet, ist Anbieter A ab dem 7. Film günstiger.

a) \(4\) Filme kosten \(6{,}00\,\text{€}\); \(8\) Filme kosten \(12{,}00\,\text{€}\). b) Ab \(7\) Filmen ist Anbieter A günstiger, da \(1{,}50 \cdot 7 = 10{,}50\,\text{€}\) mehr ist als \(9{,}99\,\text{€}\).

- Stelle die Gesamtkosten beider Tarife nach \(x\) Monaten auf. - Übersetze „günstiger als“ in eine Ungleichung. - Löse die Ungleichung und interpretiere die Grenze für volle Monate.

1. Nach \(4\) Monaten kostet „Power“ \(45+4\cdot25=145\,\text{€}\), „Easy“ \(4\cdot35=140\,\text{€}\). 2. Für \(x\) Monate ist „Power“ günstiger, wenn \(45+25x<35x\). 3. Daraus folgt \(45<10x\), also \(x>4{,}5\). 4. Bei vollen Monaten ist daher der \(5.\) Monat der erste günstigere Zeitpunkt.

a) „Power“ kostet \(145{,}00\,\text{€}\), „Easy“ \(140{,}00\,\text{€}\). b) Ab dem \(5.\) Monat ist „Power“ günstiger.

- Was passiert mit dem Relationszeichen, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst? - Versuche zuerst, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite der Ungleichung zu bringen. - Gehe bei Ungleichungen genau wie bei Gleichungen vor, beachte aber die Sonderregeln für die Multiplikation und Division mit negativen Werten.

1. Teilaufgabe a): Subtraktion von \(2x\) und \(12\) auf beiden Seiten ergibt \(3x < -15\). Division durch \(3\) führt zu \(x < -5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < -5\}\). 2. Teilaufgabe b): Subtraktion von \(x\) und \(4\) auf beiden Seiten ergibt \(-4x \ge 12\). Division durch \(-4\) unter Umkehrung des Relationszeichens führt zu \(x \le -3\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le -3\}\).

a) \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < -5\}\) b) \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le -3\}\)

- Bringe jeweils alle Terme mit \(x\) auf eine Seite und die Zahlen auf die andere. - Wann muss sich bei einer Äquivalenzumformung das Ungleichheitszeichen umkehren? - Achte bei der Intervallschreibweise darauf, ob der Randwert zur Lösungsmenge gehört.

1. Für a) gilt \(4x-9\le2x+5\Rightarrow2x\le14\Rightarrow x\le7\). Die Lösungsmenge ist \(( -\infty;7]\). 2. Für b) gilt \(18-3x>33\Rightarrow-3x>15\Rightarrow x<-5\). Beim Dividieren durch \(-3\) kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Die Lösungsmenge ist \((-\infty;-5)\). 3. Für c) gilt \(\frac{2}{3}x+4<2x-2\Rightarrow6<\frac{4}{3}x\Rightarrow18<4x\Rightarrow x>4{,}5\). Die Lösungsmenge ist \((4{,}5;\infty)\).

a) \((-\infty;7]\) b) \((-\infty;-5)\) c) \((4{,}5;\infty)\)

- Kannst du die Terme auf beiden Seiten zuerst vereinfachen, bevor du nach \(x\) auflöst? - Achte beim Auflösen der Klammern auf die Vorzeichen. - Welche Art von Klammer nutzt man im Intervall, wenn der Randwert mit eingeschlossen ist?

1. Auflösen der Klammern auf beiden Seiten: \(\frac{1}{2} \cdot 6x - \frac{1}{2} \cdot 4 \le 2 \cdot x + 2 \cdot 5 + 1\), vereinfacht zu \(3x - 2 \le 2x + 10 + 1\). 2. Zusammenfassen der Terme auf der rechten Seite ergibt \(3x - 2 \le 2x + 11\). 3. Subtraktion von \(2x\) auf beiden Seiten führt zu \(x - 2 \le 11\). 4. Addition von 2 auf beiden Seiten ergibt \(x \le 13\). 5. In Intervallschreibweise ergibt sich die Lösungsmenge \(L = (-\infty; 13]\).

\(L = (-\infty; 13]\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl eine Lösung einer Ungleichung ist? - Gehe beim Lösen der Ungleichung schrittweise vor, wie bei einer Gleichung. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis aus Teil a) mit deiner Lösungsmenge aus Teil b) übereinstimmt.

1. Prüfung für \(x = 5\): Einsetzen ergibt \(5(5 - 2) \ge 3 \cdot 5 + 4\). Dies führt zu \(5 \cdot 3 \ge 15 + 4\), also \(15 \ge 19\). Da dies eine falsche Aussage ist, ist \(x = 5\) keine Lösung. 2. Auflösen der Klammer in der Ungleichung ergibt \(5x - 10 \ge 3x + 4\). 3. Subtraktion von \(3x\) auf beiden Seiten ergibt \(2x - 10 \ge 4\). 4. Addition von 10 auf beiden Seiten führt zu \(2x \ge 14\). 5. Division durch 2 ergibt \(x \ge 7\). 6. Die Lösungsmenge umfasst alle Zahlen größer oder gleich 7, also \(L = [7; \infty)\).

a) Nein, \(x = 5\) ist keine Lösung, da \(15 \ge 19\) falsch ist. b) \(L = [7; \infty)\)

- Kannst du den Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Wie bringst du alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Ungleichung? - Was musst du tun, um \(x\) allein auf einer Seite stehen zu haben?

1. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl: \(\frac{3}{5} = 0{,}6\). Die Ungleichung lautet nun \(0{,}4x + 0{,}6 > 1{,}8 - 0{,}2x\). 2. Addition von \(0{,}2x\) auf beiden Seiten: \(0{,}6x + 0{,}6 > 1{,}8\). 3. Subtraktion von \(0{,}6\) auf beiden Seiten: \(0{,}6x > 1{,}2\). 4. Division durch \(0{,}6\): \(x > 2\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x > 2\}\).

\(x > 2\) bzw. \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x > 2\}\)

- Übersetze die Bedingungen „gleich null“, „positiv“ und „kleiner als“ jeweils in eine Gleichung oder Ungleichung. - Löse diese Bedingungen getrennt nach \(x\) auf. - Prüfe im letzten Teil, welche Rechenoperationen mit ganzen Zahlen ausgeführt werden.

1. Aus \(8x-24=0\) folgt \(8x=24\) und damit \(x=3\). 2. Für positive Werte gilt \(8x-24>0\), also \(8x>24\) und damit \(x>3\). 3. Aus \(8x-24<16\) folgt \(8x<40\), also \(x<5\). 4. Für ganzzahliges \(x\) ist \(8x\) ganzzahlig; die Subtraktion der ganzen Zahl \(24\) ergibt wieder eine ganze Zahl.

1. \(x=3\) 2. \(x>3\) 3. \(x<5\) 4. Für ganzzahliges \(x\) ist auch \(8x-24\) ganzzahlig.

- Wann darf man durch eine Zahl nicht teilen? - Welches Vorzeichen muss der Nenner haben, damit ein Bruch mit negativem Zähler insgesamt positiv wird? - Wie verhält sich das Vorzeichen eines Bruchs, wenn Zähler und Nenner verschiedene Vorzeichen haben?

1. Ein Bruchterm ist nicht definiert, wenn der Nenner gleich Null ist. Wir lösen die Gleichung \(x + 4 = 0\) und erhalten \(x = -4\). 2. Damit der Bruch \(\frac{-12}{x+4}\) positiv ist, müssen Zähler und Nenner das gleiche Vorzeichen haben. Da der Zähler \(-12\) negativ ist, muss auch der Nenner \(x + 4\) negativ sein: \(x + 4 < 0\). Dies führt zu \(x < -4\). 3. Damit der Bruch negativ ist, müssen Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben. Da der Zähler negativ ist, muss der Nenner \(x + 4\) positiv sein: \(x + 4 > 0\). Dies führt zu \(x > -4\).

1. Nicht definiert für \(x = -4\). 2. Positiv für \(x < -4\). 3. Negativ für \(x > -4\).

- „Positiv“ bedeutet, dass der jeweilige Term größer als \(0\) sein soll. - Isoliere in jeder Ungleichung den Variablenterm. - Beachte die Zeichenumkehr beim Teilen durch eine negative Zahl. - Kontrolliere jede Lösung mit einem passenden Beispielwert.

1. Für a) gilt \(4x-12>0\). Daraus folgen \(4x>12\) und \(x>3\). 2. Für b) gilt \(18-6x>0\). Daraus folgt \(-6x>-18\); Division durch \(-6\) ergibt \(x<3\). 3. Für c) gilt \(-3x-21>0\). Daraus folgt \(-3x>21\); Division durch \(-3\) ergibt \(x<-7\).

a) \(x>3\) b) \(x<3\) c) \(x<-7\)

- Prüfe bei jeder Zeile sowohl die Rechnung als auch die Richtung des Relationszeichens. - Welche Regel gilt beim Multiplizieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl? - Vergleiche die resultierenden Zahlen zusätzlich auf der Zahlengeraden.

1. Bei a) sind die Produkte \(-20\) und \(-30\). Beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl muss sich das Relationszeichen umkehren. Korrekt ist daher \(-20>-30\); die angegebene Umformung ist falsch. 2. Bei b) wurde das Relationszeichen beim Multiplizieren mit \(-0{,}5\) korrekt umgekehrt. Die Umformung \(2<4\) ist richtig. 3. Bei c) wurde das Relationszeichen beim Multiplizieren mit \(-1\) korrekt umgekehrt. Die Umformung \(-5\geq-9\) ist richtig.

a) Falsch. Korrekt ist \(-20>-30\). b) Richtig. c) Richtig.

- Forme jede Ungleichung ähnlich wie eine Gleichung um. - Beachte besonders den Fall, dass du durch eine negative Zahl dividierst. - Löse Klammern oder Brüche erst so weit auf, dass die Variable isoliert werden kann. - Prüfe die Richtung deiner Lösung mit einem Beispielwert.

1. Aus \(4x-11<17\) folgt \(4x<28\), also \(x<7\). 2. Aus \(15-2x\geq21\) folgt \(-2x\geq6\). Division durch \(-2\) kehrt das Relationszeichen um und ergibt \(x\leq-3\). 3. Aus \(3(x+4)\leq5x+2\) folgt \(3x+12\leq5x+2\), also \(10\leq2x\) und damit \(x\geq5\). 4. Aus \(\frac{x-2}{3}>2\) folgt \(x-2>6\), also \(x>8\).

a) \(x<7\) b) \(x\leq-3\) c) \(x\geq5\) d) \(x>8\)

- Unterscheide zunächst, ob die angegebene Zahl positiv oder negativ ist. - Bei einer positiven Multiplikation oder Division bleibt die Reihenfolge erhalten. - Bei einer negativen Multiplikation oder Division muss die Reihenfolge neu betrachtet werden. - Prüfe die fertige Aussage jeweils numerisch.

1. Division durch die positive Zahl \(6\) erhält die Richtung: \(3<5\). 2. Division durch die positive Zahl \(4\) erhält die Richtung: \(-3>-5\). 3. Multiplikation mit \(-3\) kehrt die Richtung um: \(-15<6\). 4. Division durch \(-2\) kehrt die Richtung um: \(4>2\).

1) \(3<5\) 2) \(-3>-5\) 3) \(-15<6\) 4) \(4>2\)

- Ordne bei jeder Bedingung zuerst die kleinere Grenze links und die größere rechts an. - Prüfe für jede Grenze, ob sie selbst zur Lösungsmenge gehört. - Wähle danach die passende offene oder geschlossene Intervallgrenze.

1. Die Bedingungen lauten geordnet: a) \(-3<x<6\), b) \(4<x\leq11\), c) \(-7{,}5<x<-2\), d) \(8{,}4<x<15\). 2. Echte Ungleichungen führen zu offenen Intervallgrenzen; bei \(\leq\) oder \(\geq\) wird der Randwert eingeschlossen. 3. Damit ergeben sich a) \(L=]-3;6[\), b) \(L=]4;11]\), c) \(L=]-7{,}5;-2[\), d) \(L=]8{,}4;15[\).

a) \(L=]-3;6[\) b) \(L=]4;11]\) c) \(L=]-7{,}5;-2[\) d) \(L=]8{,}4;15[\)

- Übersetze zuerst „liegt zwischen“ in eine Ungleichungskette. - Führe auf allen drei Teilen der Kette dieselbe zulässige Umformung aus. - Beachte am Ende, dass nur natürliche Zahlen gesucht sind.

1. Übersetzung des Textes in eine Ungleichungskette: \(15<5n-7<35\). 2. Addition von \(7\) auf allen Seiten: \(22<5n<42\). 3. Division der gesamten Ungleichung durch \(5\): \(\frac{22}{5}<n<\frac{42}{5}\). 4. Damit gilt \(4{,}4<n<8{,}4\). 5. Die natürlichen Zahlen in diesem Bereich sind \(5,6,7,8\).

Die gesuchten Zahlen sind \(5\), \(6\), \(7\) und \(8\).

- Lies \(|x-2|\) als Abstand von einem festen Punkt auf der Zahlengeraden. - Welche beiden Randpunkte liegen genau \(4\) Einheiten von diesem Punkt entfernt? - Sind diese Randpunkte wegen \(\leq\) Teil der Lösungsmenge?

1. \(|x-2|\) ist der Abstand der Zahl \(x\) vom Punkt \(2\). 2. Die Bedingung verlangt einen Abstand von höchstens \(4\), also \(-4\leq x-2\leq4\). 3. Addition von \(2\) auf allen drei Seiten ergibt \(-2\leq x\leq6\). 4. Damit ist \(L=\{x\in\mathbb{Q}\mid-2\leq x\leq6\}\).

\(L=\{x\in\mathbb{Q}\mid-2\leq x\leq6\}\). Das sind genau die rationalen Zahlen, deren Abstand von \(2\) höchstens \(4\) beträgt.

- Löse zuerst die Ungleichung unabhängig von den markierten Punkten. - Lies danach die Werte von \(A\), \(B\) und \(C\) auf der Zahlengeraden ab. - Was bedeutet ein nicht strenges Ungleichheitszeichen für den Randwert der Lösungsmenge?

1. Aus \(3x+2\le14\) folgt \(3x\le12\) und damit \(x\le4\). 2. Auf der Zahlengeraden liegt \(A\) bei \(-2\), \(B\) bei \(4\) und \(C\) bei \(6\). 3. \(A=-2\) und \(B=4\) erfüllen \(x\le4\). Der Randwert \(B=4\) gehört wegen des Zeichens \(\le\) zur Lösungsmenge; \(C=6\) ist größer als \(4\). 4. In Intervallschreibweise lautet die Lösungsmenge \((-\infty;4]\).

\(x\le4\), also \((-\infty;4]\). Von den markierten Zahlen gehören \(A=-2\) und \(B=4\) zur Lösungsmenge. \(B=4\) ist als Randwert eingeschlossen.

- Lies zuerst nur die Position des markierten Randwerts auf der Zahlengeraden ab. - Welche Richtung auf der Zahlengeraden entspricht Zahlen, die größer als der Randwert sind? - Was bedeutet das Wort „echt“ für die Aufnahme des Randwerts?

1. Auf der Zahlengeraden liegt \(K\) bei \(-2{,}5\). 2. Alle gesuchten Zahlen sind echt größer als \(-2{,}5\). Daher gilt \(x>-2{,}5\). 3. In Intervallschreibweise ist die Lösungsmenge \((-2{,}5;\infty)\). 4. Der Randwert \(-2{,}5\) gehört wegen „echt größer“ nicht zur Lösungsmenge.

\(K=-2{,}5\). Die Lösungsmenge ist \(x>-2{,}5\), also \((-2{,}5;\infty)\). Der Randwert ist ausgeschlossen.

- Kannst du in eigenen Worten beschreiben, was mit dem Umfang einer Figur gemeint ist? - Wie würdest du den Umfang für das Dreieck und die Raute jeweils als mathematischen Term ausdrücken? - Welches mathematische Symbol nutzt man, um auszudrücken, dass eine Größe "größer als" eine andere ist? - Überlege dir, ob jede beliebige Zahl für \(x\) eingesetzt werden kann. Können Seitenlängen negativ sein? - Gibt es eine Regel, die besagt, wie lang die Seiten eines Dreiecks im Verhältnis zueinander sein müssen, damit man es überhaupt zeichnen kann? - Schau dir die Antwortmöglichkeiten an. Helfen dir die Bedingungen für die Existenz der Figuren dabei, die Auswahl einzuschränken?

1. Umfang des Dreiecks bestimmen: \(U_D = (x + 3) + (x - 1) + 8 = 2x + 10\). 2. Umfang der Raute bestimmen: \(U_R = 4 \cdot x = 4x\). 3. Ungleichung für die Bedingung \(U_D > U_R\) aufstellen: \(2x + 10 > 4x\). 4. Lösung der Ungleichung nach \(x\): \(10 > 2x \implies x < 5\). 5. Prüfung der geometrischen Existenzbedingungen für das Dreieck: Alle Seitenlängen müssen positiv sein (\(x - 1 > 0 \implies x > 1\)) und die Dreiecksungleichung (\(a+b > c\)) muss gelten: \((x + 3) + (x - 1) > 8 \implies 2x + 2 > 8 \implies 2x > 6 \implies x > 3\). 6. Zusammenführung aller Bedingungen (\(x < 5\) und \(x > 3\)): \(3 < x < 5\).

c) \(3 < x < 5\)

- Was bedeutet „Grundgebühr“ für deine Rechnung, auch wenn man gar keine Daten verbraucht? - Erstelle eine kleine Tabelle für verschiedene Werte von \(x\), um zu sehen, wie sich die Kosten entwickeln. - Suche den Punkt, an dem beide Anbieter genau gleich viel kosten.

1. Aufstellen der Terme: - Anbieter A: \(K_A = 10 + 0{,}50x\) - Anbieter B: \(K_B = 1{,}50x\) 2. Berechnungen für \(5\,\text{GB}\): - Anbieter A: \(10 + 0{,}50 \cdot 5 = 10 + 2{,}50 = 12{,}50\,\text{€}\). - Anbieter B: \(1{,}50 \cdot 5 = 7{,}50\,\text{€}\). 3. Berechnungen für \(15\,\text{GB}\): - Anbieter A: \(10 + 0{,}50 \cdot 15 = 10 + 7{,}50 = 17{,}50\,\text{€}\). - Anbieter B: \(1{,}50 \cdot 15 = 22{,}50\,\text{€}\). 4. Vergleich: Bei \(10\,\text{GB}\) sind die Kosten gleich: \(10 + 0{,}50 \cdot 10 = 15\,\text{€}\) und \(1{,}50 \cdot 10 = 15\,\text{€}\). Ab mehr als \(10\,\text{GB}\) ist Anbieter A günstiger, da jede zusätzliche Einheit bei A nur \(0{,}50\,\text{€}\) kostet, bei B hingegen \(1{,}50\,\text{€}\).

a) Anbieter A: \(K_A = 10 + 0{,}50x\); Anbieter B: \(K_B = 1{,}50x\). b) Bei \(5\,\text{GB}\): A kostet \(12{,}50\,\text{€}\), B kostet \(7{,}50\,\text{€}\). Bei \(15\,\text{GB}\): A kostet \(17{,}50\,\text{€}\), B kostet \(22{,}50\,\text{€}\). c) Ab einem Datenvolumen von mehr als \(10\,\text{GB}\) ist Anbieter A günstiger.

- Überlege dir, wie viel jedes zusätzliche T-Shirt bei beiden Anbietern kostet. - Wie viel spart man pro Shirt bei „PrintIt“ im Vergleich zum „ShirtShop“? - Wie viele dieser „Ersparnisse“ pro Shirt braucht man, um die feste Gebühr von \(24\,\text{€}\) auszugleichen?

1. Kostenberechnung für \(5\) Shirts: „PrintIt“: \(24 + 5 \cdot 7 = 59\,\text{€}\) „ShirtShop“: \(5 \cdot 10 = 50\,\text{€}\) 2. Kostenberechnung für \(10\) Shirts: „PrintIt“: \(24 + 10 \cdot 7 = 94\,\text{€}\) „ShirtShop“: \(10 \cdot 10 = 100\,\text{€}\) 3. Bestimmung des Schnittpunkts (Gleichsetzen der Kosten): \(24 + 7x = 10x\) \(24 = 3x\) \(x = 8\) 4. Analyse: Bei genau \(8\) T-Shirts kosten beide Angebote \(80\,\text{€}\). Ab dem \(9\). T-Shirt ist „PrintIt“ günstiger.

a) Bei 5 Shirts: PrintIt \(59\,\text{€}\), ShirtShop \(50\,\text{€}\). Bei 10 Shirts: PrintIt \(94\,\text{€}\), ShirtShop \(100\,\text{€}\). b) Ab 9 T-Shirts ist das Angebot von „PrintIt“ günstiger (bei 8 Shirts sind sie gleich teuer).

- Stelle Einnahmen und Gesamtkosten jeweils als Term in der Stückzahl dar. - „Kein Verlust“ bedeutet Einnahmen mindestens so groß wie Kosten. - Beim Gewinn ziehst du alle Kosten von den Einnahmen ab. - Runde erst nach dem Lösen auf eine mögliche ganze Stückzahl auf.

1. Sei \(w\) die Anzahl der verkauften Waffeln. Für „kein Verlust“ gilt \(1{,}50w\geq42+0{,}35w\). 2. Daraus folgt \(1{,}15w\geq42\), also \(w\geq36{,}521\ldots\). Wegen der ganzzahligen Stückzahl sind mindestens \(37\) Waffeln nötig. 3. Für mindestens \(120\,\text{€}\) Gewinn gilt \(1{,}50w-(42+0{,}35w)\geq120\). 4. Daraus folgt \(1{,}15w\geq162\), also \(w\geq140{,}869\ldots\). Daher sind mindestens \(141\) Waffeln nötig.

a) Mindestens \(37\) Waffeln. b) Mindestens \(141\) Waffeln.

- Unterscheide sorgfältig zwischen monatlicher und jährlicher Grundgebühr. - Stelle für den Jahresvergleich beide Kostenterme mit derselben Minutenvariable auf. - Löse die Ungleichung und beachte die ganzzahlige Minutenanzahl.

1. Ein Zwölftel der Grundgebühr beträgt \(114:12=9{,}50\,\text{€}\). 2. Für \(80\) Minuten kostet „Smart“ \(9{,}50+80\cdot0{,}05=13{,}50\,\text{€}\), „Basic“ \(80\cdot0{,}15=12{,}00\,\text{€}\). 3. Für \(x\) Jahresminuten ist „Smart“ günstiger, wenn \(114+0{,}05x<0{,}15x\). 4. Daraus folgt \(114<0{,}10x\), also \(x>1140\). 5. Die kleinste ganze Minutenanzahl ist \(1141\).

a) „Smart“ kostet \(13{,}50\,\text{€}\), „Basic“ \(12{,}00\,\text{€}\). b) Ab \(1141\) Gesprächsminuten pro Jahr ist „Smart“ günstiger.

- Stelle für beide Anbieter einen Kostenterm mit derselben Kilometerzahl auf. - Welches Relationszeichen beschreibt „A ist günstiger“? - Löse die resultierende lineare Ungleichung nach der Kilometerzahl auf.

1. Bei \(40\,\text{km}\) kostet A \(15+0{,}20\cdot40=23{,}00\,\text{€}\), B \(0{,}45\cdot40=18{,}00\,\text{€}\). 2. Für \(x\) Kilometer ist A günstiger, wenn \(15+0{,}20x<0{,}45x\). 3. Daraus folgt \(15<0{,}25x\), also \(x>60\).

a) Anbieter A kostet \(23{,}00\,\text{€}\), Anbieter B \(18{,}00\,\text{€}\). b) Bei mehr als \(60\,\text{km}\) pro Monat ist Anbieter A günstiger.

- Bestimme zunächst die Stellen, an denen der Graph von \(f\) die beiden Randgeraden schneidet. - Nutze anschließend die positive Steigung von \(f\), um zu entscheiden, für welche \(x\)-Werte die Funktionswerte zwischen den beiden Grenzen liegen. - Prüfe, ob die Randpunkte selbst zum inneren Bereich gehören.

1. Bestimmung des \(x\)-Wertes für die obere Grenze (\(y = 2\)): Setze \(f(x) = 2\). \(0{,}5x - 1 = 2\) \(0{,}5x = 3\) \(x = 6\) 2. Bestimmung des \(x\)-Wertes für die untere Grenze (\(y = -3\)): Setze \(f(x) = -3\). \(0{,}5x - 1 = -3\) \(0{,}5x = -2\) \(x = -4\) 3. Da die Funktion \(f\) eine positive Steigung hat, steigen die \(y\)-Werte mit wachsendem \(x\). Die \(y\)-Werte liegen also zwischen \(-3\) und \(2\), wenn die \(x\)-Werte zwischen \(-4\) und \(6\) liegen.

Die Punkte des Graphen von \(f\) liegen für alle \(x\)-Werte im Bereich \(-4 < x < 6\) innerhalb des Streifens.

- Welches mathematische Zeichen drückt die Bedingung „oberhalb“ aus? - Setze die bekannte Koordinate in die Ungleichung ein. - Denk beim Lösen von Ungleichungen daran, was passiert, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst.

1. Aufstellen der Ungleichung für „oberhalb“: \(y_S > -2x_S + 6\). 2. Einsetzen des gegebenen \(y\)-Werts: \(10 > -2x + 6\). 3. Subtraktion von 6 auf beiden Seiten: \(4 > -2x\). 4. Division durch \(-2\) (Umkehrung des Relationszeichens beachten): \(-2 < x\) bzw. \(x > -2\).

Der Punkt \(S\) liegt oberhalb der Geraden, wenn \(x > -2\) ist.

- Was bedeutet „senkrecht oberhalb“ für die x-Koordinate des Punktes im Vergleich zum Punkt auf der Geraden? - Wie kannst du die Entfernung zwischen einem Punkt auf der Geraden und einem Punkt darüber berechnen? - Stelle für den zweiten Teil eine Ungleichung auf, die die Bedingung „unterhalb“ beschreibt.

1. Teil a: Berechnung des \(y\)-Werts der Geraden an der Stelle \(x = 6\): \(y_f = \frac{2}{3} \cdot 6 - 1 = 4 - 1 = 3\). 2. Da \(A\) genau 4 Einheiten darüber liegt, addiere 4 zum Ergebnis: \(y_A = 3 + 4 = 7\). 3. Teil b: Aufstellen der Ungleichung für „unterhalb“: \(y_B < \frac{2}{3}x_B - 1\). 4. Einsetzen von \(y_B = 3\): \(3 < \frac{2}{3}x_B - 1\). 5. Addition von 1: \(4 < \frac{2}{3}x_B\). 6. Multiplikation mit \(\frac{3}{2}\): \(6 < x_B\). Die Bedingung lautet \(x_B > 6\).

a) \(y_A = 7\) b) Es muss gelten: \(x_B > 6\).

- Vereinfache zuerst beide Seiten der Ungleichung. - Welche Rechenoperation bringt alle Terme mit \(x\) auf eine Seite? - Beachte am Ende sowohl die Intervallgrenze als auch die vorgegebene Grundmenge \(\mathbb{Q}\).

1. Auflösen der Klammer ergibt \(\frac{3}{4}x-2>\frac{1}{2}x+2\). 2. Nach Subtraktion von \(\frac{1}{2}x\) und Addition von \(2\) gilt \(\frac{1}{4}x>4\). 3. Multiplikation mit \(4\) liefert \(x>16\). 4. Wegen der vorgegebenen Grundmenge \(\mathbb{Q}\) ist die Lösungsmenge \((16;\infty)\cap\mathbb{Q}\).

\(x\in(16;\infty)\cap\mathbb{Q}\).

- Bei verschachtelten Klammern ist es oft am sichersten, von innen nach außen zu arbeiten. - Was ändert sich an den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen direkt davor steht? - Fasse auf jeder Seite der Ungleichung so weit wie möglich zusammen, bevor du Terme von einer Seite auf die andere verschiebst.

1. Auflösen der inneren Klammer: \(2 - [3x - x - 5] \le 8 - 4x + 1\). 2. Zusammenfassen in der eckigen Klammer: \(2 - [2x - 5] \le 9 - 4x\). 3. Auflösen der eckigen Klammer (Minuszeichen beachten): \(2 - 2x + 5 \le 9 - 4x\), vereinfacht \(7 - 2x \le 9 - 4x\). 4. Addition von \(4x\) und Subtraktion von \(7\) auf beiden Seiten: \(2x \le 2\). 5. Division durch \(2\): \(x \le 1\). 6. Lösungsmenge: \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le 1\}\).

\(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le 1\}\)

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Achte darauf, alle Längenangaben in derselben Einheit (zum Beispiel Zentimeter) zu verwenden. - Was bedeutet „darf die Gesamtlänge nicht überschreiten“ für das mathematische Zeichen in deiner Rechnung?

1. Definition der Variablen: Sei \(h\) die Höhe des Gitters in \(\text{cm}\). Dann ist die Breite \(b = 2h\). 2. Aufstellen der Ungleichung für den Umfang \(U\): \(U = 2 \cdot (h + b) = 2 \cdot (h + 2h) = 6h\). 3. Berücksichtigung der Materialbegrenzung: \(6h \le 500\), da \(5\,\text{m} = 500\,\text{cm}\). 4. Lösen der Ungleichung: \(h \le \frac{500}{6} \approx 83{,}33\). 5. Bestimmung des maximalen ganzzahligen Wertes: Da \(h\) eine ganze Zahl in \(\text{cm}\) sein soll, ist die größtmögliche Höhe \(h = 83\,\text{cm}\).

Die größtmögliche Höhe des Gitters beträgt \(83\,\text{cm}\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Kanten die Grundfläche, die Deckfläche und der Mantel eines solchen Prismas haben. - Stelle eine Formel für die gesamte Drahtlänge auf, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt. - Vergiss nicht, dass Seitenlängen immer positiv sein müssen.

1. Bestimmung der Anzahl der Kanten: Ein gerades Prisma mit dreieckiger Grundfläche hat insgesamt 6 Grund- und Deckkanten der Länge \(a\) sowie 3 Seitenkanten der Länge \(h\). 2. Aufstellen der Beziehung zwischen \(h\) und \(a\): \(h = a + 10\). 3. Aufstellen der Gesamtlänge \(L\): \(L = 6a + 3h = 6a + 3(a + 10) = 9a + 30\). 4. Lösen der Ungleichung: \(9a + 30 \le 120 \implies 9a \le 90 \implies a \le 10\). 5. Da \(a\) eine Seitenlänge ist, muss \(a > 0\) gelten. Die möglichen ganzzahligen Werte für \(a\) sind somit \(\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10\}\).

Die möglichen ganzzahligen Seitenlängen für \(a\) sind alle natürlichen Zahlen von \(1\,\text{cm}\) bis \(10\,\text{cm}\).

- Kannst du für jeden Tarif eine Rechenvorschrift aufstellen, die die Kosten in Abhängigkeit von den Minuten angibt? - Was genau bedeutet es mathematisch, wenn ein Tarif „günstiger“ ist als ein anderer? - Wie gehst du vor, wenn du herausfinden willst, wann zwei verschiedene Angebote genau gleich viel kosten? - Achte darauf, die festen Kosten (Grundgebühr) und die veränderlichen Kosten (Minutenpreis) richtig zu kombinieren.

1. Aufstellen der Kostenfunktionen für die Gesprächsdauer \(x\) in Minuten: \(K_S(x) = 4{,}95 + 0{,}12x\) und \(K_P(x) = 9{,}95 + 0{,}08x\). 2. Berechnung der Kosten für \(80\,\text{Minuten}\): \(K_S(80) = 4{,}95 + 0{,}12 \cdot 80 = 14{,}55\,\text{€}\) und \(K_P(80) = 9{,}95 + 0{,}08 \cdot 80 = 16{,}35\,\text{€}\). 3. Ansatz zur Bestimmung der Kostenschwelle durch die Ungleichung \(K_P(x) < K_S(x)\): \(9{,}95 + 0{,}08x < 4{,}95 + 0{,}12x\). 4. Umformung der Ungleichung: Subtraktion von \(4{,}95\) und \(0{,}08x\) ergibt \(5{,}00 < 0{,}04x\). 5. Division durch \(0{,}04\) liefert das Ergebnis \(x > 125\).

a) Bei \(80\,\text{Minuten}\) kostet der Tarif „Smart“ \(14{,}55\,\text{€}\) und der Tarif „Power“ \(16{,}35\,\text{€}\). b) Der Tarif „Power“ ist bei mehr als \(125\,\text{Minuten}\) Gesprächsdauer günstiger.

- Löse beide Ungleichungen getrennt voneinander nach \(x\) auf. - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Teilen durch negative Zahlen in der zweiten Ungleichung. - Vergleiche am Ende die beiden Intervalle. Sind sie identisch?

1. Lösung der Ungleichung (1): \(6x + 12 \le 36 \Rightarrow 6x \le 24 \Rightarrow x \le 4\). Das Intervall ist \(I_1 = (-\infty; 4]\). 2. Lösung der Ungleichung (2): \(-3x \ge -12\). Division durch \(-3\) erfordert das Umkehren des Relationszeichens: \(x \le 4\). Das Intervall ist \(I_2 = (-\infty; 4]\). 3. Vergleich: Da \(I_1 = I_2\), besitzen beide Ungleichungen dieselbe Lösungsmenge.

Ja, beide Ungleichungen haben dieselbe Lösungsmenge. Das Intervall ist für beide \((-\infty; 4]\).

- Was genau ist gesucht und welche Informationen sind gegeben? - Kannst du für beide Tarife einen Term aufstellen, der die Kosten beschreibt? - Was muss für die Kosten gelten, damit beide Tarife genau gleich teuer sind? - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn man mehr oder weniger als die berechnete Kilometerzahl fährt?

1. Aufstellen der Kostengleichungen für die Kilometerzahl \(x\): \(K_{\text{Basis}}(x) = 25 + 0{,}30x\) und \(K_{\text{Flex}}(x) = 10 + 0{,}55x\) 2. Gleichsetzen der Terme zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(25 + 0{,}30x = 10 + 0{,}55x\) 3. Subtraktion von \(10\) und \(0{,}30x\) auf beiden Seiten: \(15 = 0{,}25x\) 4. Division durch \(0{,}25\): \(x = 60\) 5. Da der Kilometerpreis bei „Basis“ niedriger ist, ist dieser Tarif bei allen Strecken über \(60\,\text{km}\) günstiger.

Der Tarif „Basis“ ist ab einer Strecke von mehr als \(60\,\text{km}\) kostengünstiger.

- Kannst du die monatlichen Gesamtkosten als Gleichung darstellen? - Beachte, dass man im Alltag meist nur eine ganze Anzahl an Filmen leihen kann. - Was passiert mit der Schwelle, wenn die Kosten pro Film bei Anbieter A sinken?

1. Aufstellen der Gleichung für Teil a: \(7{,}50 + 2{,}00x = 18{,}50\) 2. Isolieren von \(x\): \(2{,}00x = 11\), woraus \(x = 5{,}5\) folgt. Da nur ganze Filme geliehen werden können, ist die Flatrate ab \(6\) Filmen günstiger. 3. Aufstellen der Gleichung für Teil b mit neuem Preis: \(7{,}50 + 1{,}50x = 18{,}50\) 4. Isolieren von \(x\): \(1{,}50x = 11\), woraus \(x \approx 7{,}33\) folgt. 5. Interpretation des Ergebnisses: Die Flatrate lohnt sich nun erst ab mindestens \(8\) Filmen pro Monat.

a) Die Flatrate ist ab \(6\) Filmen pro Monat günstiger. b) Nach der Preissenkung lohnt sich die Flatrate erst ab \(8\) Filmen pro Monat.

- Stelle zuerst eine Ungleichung auf, die den Vergleich der beiden Terme beschreibt. - Versuche, alle Glieder mit \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite zu bringen. - Wie gehst du mit dem Bruch oder der Dezimalzahl vor dem \(x\) am besten um?

1. Aufstellen der Ungleichung: \(\frac{1}{2}x + 4 > 2x - 5\). 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x\): Subtraktion von \(\frac{1}{2}x\) auf beiden Seiten ergibt \(4 > 1{,}5x - 5\). 3. Isolieren von \(x\): Addition von 5 ergibt \(9 > 1{,}5x\). 4. Division durch \(1{,}5\): \(6 > x\) bzw. \(x < 6\). 5. Resultat: Die Lösungsmenge umfasst alle rationalen Zahlen kleiner als 6, also \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < 6\}\).

\(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < 6\}\)

- Für ein Dreieck muss die Summe je zweier Seiten größer als die dritte Seite sein. - Stelle alle drei Bedingungen auf und löse sie getrennt nach \(x\). - Berücksichtige außerdem, dass Seitenlängen positiv sein müssen. - Schneide anschließend alle gefundenen Bereiche miteinander.

1. Die Dreiecksungleichungen liefern \(x+12>3x-2\), also \(x<7\). 2. Aus \(x+(3x-2)>12\) folgt \(4x>14\), also \(x>3{,}5\). 3. Die dritte Dreiecksungleichung liefert nur die schwächere Bedingung \(x>-5\); positive Seitenlängen sind im Bereich \(x>3{,}5\) bereits gesichert. 4. Insgesamt gilt \(3{,}5<x<7\). 5. Die kleinste ganze Zahl in diesem Bereich ist \(4\).

Es gilt \(3{,}5<x<7\). Die kleinste mögliche ganze Zahl ist \(4\).

- Wie kannst du die Brüche loswerden, indem du die gesamte Ungleichung mit einer geschickt gewählten Zahl multiplizierst? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruchstrich. Was bedeutet das für die Terme im Zähler? - Was passiert mit dem Ungleichheitszeichen, wenn du mit einer positiven Zahl multiplizierst?

1. Multiplikation der gesamten Ungleichung mit dem Hauptnenner \(6\), um die Nenner zu eliminieren: \(2(2x+1) - 3(x-2) \le 12\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern: \(4x + 2 - 3x + 6 \le 12\). 3. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(x + 8 \le 12\). 4. Subtraktion von \(8\) auf beiden Seiten: \(x \le 4\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le 4\}\).

\(x \le 4\) bzw. \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le 4\}\)

- Übersetze „positiv“ zuerst in eine Ungleichung mit \(0\). - Isoliere anschließend den Variablenterm. - Welche Besonderheit gilt beim Teilen einer Ungleichung durch eine negative Zahl? - Prüfe die gefundene Seite der Grenze mit einem Beispielwert.

1. Für einen positiven Termwert gilt \(-4x-12>0\). 2. Addition von \(12\) ergibt \(-4x>12\). 3. Division durch \(-4\) kehrt das Relationszeichen um und liefert \(x<-3\). 4. Die Zeichenumkehr ist notwendig, weil Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl die Ordnung umkehrt.

Der Term ist für alle \(x<-3\) positiv. Das Relationszeichen kehrt sich beim Teilen durch \(-4\) um.

- Übersetze die sprachlichen Bedingungen zunächst in mathematische Relationen. - Beachte die Regel für das Relationszeichen beim Teilen durch einen negativen Koeffizienten. - Vergleiche für den letzten Teil den Koeffizienten vor \(x\) mit der Änderungsrichtung des Terms.

1. Aus \(15-3x<0\) folgt \(-3x<-15\). Division durch \(-3\) kehrt das Relationszeichen um und ergibt \(x>5\). 2. Aus \(15-3x>21\) folgt \(-3x>6\), also nach Division durch \(-3\) die Bedingung \(x<-2\). 3. Aus \(15-3x=-3\) folgt \(-3x=-18\) und damit \(x=6\). 4. Wegen des negativen Koeffizienten \(-3\) nimmt der Termwert ab, wenn \(x\) größer wird.

1. \(x>5\) 2. \(x<-2\) 3. \(x=6\) 4. Der Termwert wird mit wachsendem \(x\) kleiner.

- Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn du nur das Vorzeichen des Zählers änderst? - Suche zuerst die Stelle, an der der Nenner den Wert Null annimmt. - Überlege dir, ob der Zähler Einfluss auf die Definitionsmenge hat.

a) Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner darf nicht Null sein. \(2x - 10 = 0 \implies 2x = 10 \implies x = 5\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{5\}\). b) Negativitätsbedingung für \(B(x)\): Da der Zähler \(8\) positiv ist, ist der Bruch genau dann negativ, wenn der Nenner negativ ist. \(2x - 10 < 0 \implies 2x < 10 \implies x < 5\). c) Änderung des Zählers: Wenn der Zähler durch \(-8\) ersetzt wird, kehrt sich das Vorzeichenverhalten um. Der Term ist dann positiv, wenn der Nenner negativ ist (\(x < 5\)), und negativ, wenn der Nenner positiv ist (\(x > 5\)). Die Definitionslücke bei \(x = 5\) bleibt gleich.

a) \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{5\}\) b) Der Term ist negativ für \(x < 5\). c) Das Vorzeichenverhalten kehrt sich um: Der Term wird für \(x < 5\) positiv und für \(x > 5\) negativ, da sich das Vorzeichen des Zählers ändert.

- Was weißt du über das Vorzeichen einer Quadratzahl wie \(x^2\)? - Wenn der Nenner eines Bruches immer positiv ist, wie entscheidet dann der Zähler über das Vorzeichen des Gesamtergebnisses? - Kann ein Zähler wie \(x^2 + 5\) jemals den Wert Null erreichen?

a) Überprüfung des Nenners: Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{Q}\), ist \(x^2 + 1 \geq 1\). Der Nenner wird nie null, daher ist der Term für alle \(x\) definiert (\(D = \mathbb{Q}\)). b) Vorzeichenanalyse: Da der Nenner \(x^2 + 1\) immer positiv ist, hängt das Vorzeichen nur vom Zähler \(x - 5\) ab. Der Term ist negativ für \(x < 5\), positiv für \(x > 5\) und gleich null für \(x = 5\). c) Analyse der Zähleränderung: Ein Bruch wird nur dann null, wenn der Zähler null ist. Der Ausdruck \(x^2 + 5\) ist jedoch stets \(\geq 5\) und besitzt keine Nullstelle in \(\mathbb{Q}\).

a) Da \(x^2 + 1\) für jede rationale Zahl mindestens 1 ist, wird der Nenner nie null. b) Negativ für \(x < 5\), positiv für \(x > 5\), null für \(x = 5\). c) Ein Bruch ist nur dann null, wenn sein Zähler null ist; \(x^2 + 5\) ist jedoch immer größer als null.

- Übersetze „kleiner als null“ und „nicht positiv“ zuerst in Relationszeichen. - Isoliere anschließend den Variablenterm. - Beachte, ob du mit einer positiven oder negativen Zahl multiplizierst oder dividierst. - Prüfe, ob der jeweilige Grenzwert zur Lösungsmenge gehört.

1. Für a) gilt \(\frac{1}{4}z+2<0\). Subtraktion von \(2\) ergibt \(\frac{1}{4}z<-2\); Multiplikation mit \(4\) liefert \(z<-8\). 2. Für b) gilt \(15-3z\leq0\). Daraus folgt \(-3z\leq-15\). Division durch \(-3\) kehrt das Relationszeichen um und liefert \(z\geq5\).

a) \(z<-8\) b) \(z\geq5\)

- Stelle zuerst einen Term für den Ladezustand nach \(t\) Stunden auf. - Übersetze „geringer als“ in eine Ungleichung. - Beachte beim Teilen durch den negativen Koeffizienten die Richtung des Relationszeichens. - Bestimme zusätzlich die physikalisch sinnvolle obere Zeitgrenze.

1. Der Ladezustand nach \(t\) Stunden wird durch \(80-12t\) beschrieben. 2. Für einen Ladezustand unter \(20\,\%\) gilt \(80-12t<20\). 3. Umformen ergibt \(-12t<-60\). Division durch \(-12\) kehrt das Relationszeichen um und liefert \(t>5\). 4. Vollständig entladen ist der Akku bei \(80-12t=0\), also bei \(t=\frac{20}{3}\approx6{,}67\). 5. Im sinnvollen Zeitraum gilt daher \(5<t\leq\frac{20}{3}\).

Eine passende Ungleichung ist \(80-12t<20\). Unter Berücksichtigung der vollständigen Entladung gilt \(5<t\leq\frac{20}{3}\) Stunden.

- Beseitige die Brüche mit einem positiven gemeinsamen Nenner. - Achte beim Auflösen auf das Minus vor dem zweiten Bruchterm. - Beachte die Zeichenumkehr, falls du am Ende mit \(-1\) multiplizierst. - Nutze die gefundene Lösungsmenge anschließend für die ganzzahlige Zusatzfrage.

1. Multiplikation der gesamten Ungleichung mit dem positiven Hauptnenner \(12\) ergibt \(3(x+1)-4(x-2)\geq6\). 2. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen liefert \(-x+11\geq6\). 3. Daraus folgt \(-x\geq-5\). Multiplikation mit \(-1\) kehrt das Relationszeichen um und ergibt \(x\leq5\). 4. Die größte ganze Zahl in dieser Lösungsmenge ist \(5\).

a) \(x\leq5\) b) Die größte ganze Zahl ist \(5\).

- Übersetze „denselben Wert“ zunächst in eine Gleichung. - Übersetze „kleiner als“ anschließend in eine Ungleichung mit denselben beiden Termen. - Vergleiche die beiden Umformungswege und achte auf die Art des Ergebnisses.

1. Für gleiche Termwerte gilt \(5x-3=2x+9\). Daraus folgen \(3x=12\) und \(x=4\). 2. Für \(T_1(x)<T_2(x)\) gilt \(5x-3<2x+9\). Daraus folgt \(3x<12\), also \(x<4\).

a) \(x=4\) b) \(x<4\)

- Übersetze „positiv“, „negativ“ und „null“ jeweils in eine Relation zu \(0\). - Der Nenner \(3\) ist positiv; welche Auswirkung hat das auf das Relationszeichen? - Beachte beim späteren Teilen durch den negativen Koeffizienten von \(x\) die Zeichenumkehr.

1. Für positive Werte gilt \(\frac{5-2x}{3}>0\). Multiplikation mit \(3\) und anschließendes Umformen führen zu \(-2x>-5\), also \(x<2{,}5\). 2. Für negative Werte gilt \(\frac{5-2x}{3}<0\). Daraus folgt \(-2x<-5\), also \(x>2{,}5\). 3. Für den Wert null gilt \(\frac{5-2x}{3}=0\). Daraus folgt \(x=2{,}5\).

a) \(x<2{,}5\) b) \(x>2{,}5\) c) \(x=2{,}5\)

- Überlege zuerst, welche Operation in jedem Teil auf beide Seiten angewendet wird. - Addition derselben Zahl verändert die Reihenfolge nicht. - Unterscheide bei Multiplikation und Division zwischen positiven und negativen Faktoren. - Prüfe die Regel mit einem einfachen Zahlenpaar \(x<y\).

1. Addition derselben Zahl erhält die Richtung: \(x+10<y+10\). 2. Multiplikation mit der positiven Zahl \(5\) erhält die Richtung: \(5x<5y\). 3. Multiplikation mit \(-1\) kehrt die Richtung um: \(-x>-y\). 4. Division durch \(-2\) kehrt die Richtung um: \(\frac{x}{-2}>\frac{y}{-2}\).

a) \(<\) b) \(<\) c) \(>\) d) \(>\)

- Interpretiere den Betrag als Abstand von \(0\) auf der Zahlengeraden. - Überlege, welche zwei Grenzen ein vorgegebener maximaler Abstand erzeugt. - Achte darauf, ob die Randwerte eingeschlossen sind. - Ein Abstand kann nicht negativ sein.

1. \(|x|<7\) bedeutet, dass der Abstand von \(x\) zu \(0\) kleiner als \(7\) ist. Daher gilt \(-7<x<7\). 2. \(|x|\leq3{,}5\) entspricht \(-3{,}5\leq x\leq3{,}5\), also \(L=[-3{,}5;3{,}5]\). 3. Das offene, um \(0\) symmetrische Intervall \(]-9{,}2;9{,}2[\) wird durch \(|x|<9{,}2\) beschrieben. 4. Ein Betrag ist immer größer oder gleich \(0\). Daher kann \(|x|<-1\) niemals erfüllt sein.

a) \(-7<x<7\) b) \(L=[-3{,}5;3{,}5]\) c) \(|x|<9{,}2\) d) Es gibt keine Lösung, weil ein Betrag nicht negativ sein kann.

- Wie kannst du die Brüche in der Ungleichung auf einen Schlag beseitigen? - Was musst du beim Zusammenfassen von Termen auf beiden Seiten beachten? - Wie gehst du vor, um zu testen, ob eine bestimmte Zahl eine Bedingung erfüllt? - Warum bleibt das Relationszeichen beim Multiplizieren mit dem positiven Hauptnenner unverändert?

1. Multiplikation der gesamten Ungleichung mit dem Hauptnenner 10, um die Brüche zu eliminieren: \(2(2x - 3) \le 5(x + 2) - 10\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern auf beiden Seiten: \(4x - 6 \le 5x + 10 - 10\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(4x - 6 \le 5x\). 4. Isolieren von \(x\) durch Subtraktion von \(4x\): \(-6 \le x\) bzw. \(x \ge -6\). Damit ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \ge -6\}\). 5. Prüfung für \(x = 0\): Einsetzen in die ursprüngliche Ungleichung ergibt \(\frac{2 \cdot 0 - 3}{5} = -0{,}6\) auf der linken Seite und \(\frac{0 + 2}{2} - 1 = 0\) auf der rechten Seite. Da \(-0{,}6 \le 0\) eine wahre Aussage ist, gehört \(x = 0\) zur Lösungsmenge.

a) \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \ge -6\}\) b) Ja, \(x = 0\) ist eine Lösung, da \(-0{,}6 \le 0\) wahr ist.

- Wie kannst du die Klammerausdrücke in den Termen vereinfachen, bevor du sie vergleichst? - Was passiert mit den quadratischen Gliedern, wenn du die Terme gegenüberstellst? - Achte genau auf das Zeichen: Soll der eine Term kleiner oder „kleiner gleich“ dem anderen sein? - Wenn du eine Lösung wie \(x > a\) hast, welche ganze Zahl folgt als Nächstes auf \(a\)?

1. Aufstellen der Ungleichung \(T_1(x) < T_2(x)\): \((x + 4)^2 < x(x + 10) - 2\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf \(T_1\): \(x^2 + 8x + 16\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes auf \(T_2\): \(x^2 + 10x - 2\). 4. Vereinfachen der Ungleichung durch Subtraktion von \(x^2\) auf beiden Seiten: \(8x + 16 < 10x - 2\). 5. Umformen der linearen Ungleichung: Subtraktion von \(8x\) und Addition von 2 ergibt \(18 < 2x\). 6. Division durch 2 führt zu \(9 < x\) bzw. \(x > 9\). 7. Bestimmung der kleinsten ganzen Zahl: Da \(x\) echt größer als 9 sein muss, ist die kleinste ganze Zahl \(10\).

a) \(x > 9\) b) Die kleinste ganze Zahl ist \(10\).

- Wie kannst du Brüche in einer Ungleichung eliminieren, bevor du mit dem Umstellen beginnst? - Was musst du beim Auflösen von Klammern beachten, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Denke daran, was mit dem Relationszeichen passiert, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst. - Versuche alle Terme mit \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite der Ungleichung zu bringen.

1. Multiplikation der Ungleichung mit dem Hauptnenner \(8\): \(2(x-3) - 4(x+1) \leq x\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern: \(2x - 6 - 4x - 4 \leq x\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(-2x - 10 \leq x\). 4. Addition von \(2x\) auf beiden Seiten: \(-10 \leq 3x\). 5. Division durch \(3\): \(x \geq -\frac{10}{3}\). Die Lösungsmenge ist \(L_1 = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq -\frac{10}{3}\}\). 6. Ausmultiplizieren der Klammer in der zweiten Ungleichung: \(7 - 6x + 2 > 5x + 20\). 7. Zusammenfassen: \(9 - 6x > 5x + 20\). 8. Subtraktion von \(5x\) und \(9\): \(-11x > 11\). 9. Division durch \(-11\) (Umkehrung des Relationszeichens): \(x < -1\). Die Lösungsmenge ist \(L_2 = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < -1\}\).

1) \(x \geq -\frac{10}{3}\) 2) \(x < -1\)

- Löse zunächst jede Ungleichung für sich allein. - Was bedeutet das Wort „und“ für die beiden gefundenen Lösungsmengen? - Hilft es dir, die Lösungen der einzelnen Ungleichungen auf einem Zahlenstrahl zu markieren? - Gibt es einen Bereich, in dem beide Bedingungen gleichzeitig wahr sind?

1. Lösung der ersten Ungleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(6\) ergibt \(6 - 2(2x-5) \le 3(3x+1)\). 2. Klammern auflösen: \(6 - 4x + 10 \le 9x + 3\), also \(16 - 4x \le 9x + 3\). 3. Terme ordnen: \(13 \le 13x\), woraus \(x \ge 1\) folgt. 4. Lösung der zweiten Ungleichung: Klammer auflösen ergibt \(6x - 2 > 5x - 4\). 5. Terme ordnen: \(x > -2\). 6. Bestimmung der Schnittmenge: Die Bedingungen \(x \ge 1\) und \(x > -2\) sind gleichzeitig erfüllt, wenn \(x \ge 1\) gilt.

\(x \ge 1\)

- Betrachte jede Ungleichung zuerst einzeln und löse sie nach \(x\) auf. - Achte darauf, wie sich der Bereich der möglichen Werte einschränkt, wenn beide Bedingungen gleichzeitig gelten müssen. - Erinnere dich daran, was eine „ganze Zahl“ ist, bevor du die endgültige Menge angibst.

1. Erste Ungleichung lösen: \(5x - 3 > 2x + 6 \implies 3x > 9 \implies x > 3\). 2. Zweite Ungleichung lösen: \(\frac{2x+8}{4} \leq 5 \implies 2x + 8 \leq 20 \implies 2x \leq 12 \implies x \leq 6\). 3. Schnittmenge bilden: Das System ist für alle \(x\) mit \(3 < x \leq 6\) erfüllt. 4. Ganze Zahlen im Intervall finden: Die ganzzahligen Lösungen sind \(4\), \(5\) und \(6\).

\(x \in \{4; 5; 6\}\)

- Wie kannst du Brüche in einer Ungleichung eliminieren, um die Rechnung zu vereinfachen? - Was musst du beim Auflösen von Klammern beachten, vor denen ein Minuszeichen steht? - Denke daran, dass eine Zahl nur dann Lösung des Systems ist, wenn sie beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllt. - Es kann helfen, die Teillösungen beider Ungleichungen auf einem Zahlenstrahl zu markieren und nach Überlappungen zu suchen.

1. Lösen der ersten Ungleichung: Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner 6 erhält man \(2(2x+1) - (x-2) \le 12\). Vereinfachen ergibt \(4x + 2 - x + 2 \le 12\), also \(3x + 4 \le 12\). Daraus folgt \(3x \le 8\) und somit \(x \le \frac{8}{3}\) (bzw. \(x \le 2\frac{2}{3}\)). 2. Lösen der zweiten Ungleichung: Ausmultiplizieren ergibt \(4 - 3x - 3 < 2x + 11\), vereinfacht zu \(1 - 3x < 2x + 11\). Durch Umformen erhält man \(-10 < 5x\), woraus \(x > -2\) folgt. 3. Bestimmen der Schnittmenge: Die Kombination beider Bedingungen ergibt das Intervall \(-2 < x \le \frac{8}{3}\).

\(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid -2 < x \le \frac{8}{3}\}\)

- Löse zunächst jede Ungleichung einzeln nach \(x\) auf. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du Terme mit \(x\) auf eine Seite bringst. - Vergleiche die beiden gefundenen Zahlenbereiche. Gibt es einen Bereich, in dem beide Bedingungen wahr sind? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn sich die Bereiche der Teillösungen nicht überschneiden?

1. Lösen der ersten Ungleichung: Multiplikation mit 2 ergibt \(10 - (x+2) < 2\). Auflösen der Klammer führt zu \(10 - x - 2 < 2\), also \(8 - x < 2\). Daraus ergibt sich \(x > 6\). 2. Lösen der zweiten Ungleichung: Multiplikation mit 2 ergibt \(4(x-3) \le x+4\). Ausmultiplizieren liefert \(4x - 12 \le x + 4\). Nach Umformen erhält man \(3x \le 16\), also \(x \le \frac{16}{3}\) (was etwa \(5{,}33\) entspricht). 3. Vergleich der Teilmengen: Es wird eine Zahl gesucht, für die gleichzeitig \(x > 6\) und \(x \le 5\frac{1}{3}\) gilt. Da \(5\frac{1}{3} < 6\) ist, existiert keine solche Zahl. Die Lösungsmenge ist somit leer.

Es gibt keine solche Zahl \(x\). Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\).

- Übersetze „höchstens“, „nicht negativ“ und „größer als“ jeweils zuerst in ein Relationszeichen. - Forme die entstehenden Ungleichungen wie lineare Gleichungen um. - Beachte die Zeichenumkehr, wenn du durch einen negativen Koeffizienten dividierst. - Prüfe, ob die jeweilige Grenze eingeschlossen ist.

1. „Höchstens \(10\)“ führt zu \(4(x+2)\leq10\). Daraus folgen \(4x+8\leq10\), \(4x\leq2\) und \(x\leq0{,}5\). 2. „Nicht negativ“ führt zu \(15-5x\geq0\). Daraus folgt \(-5x\geq-15\); Division durch \(-5\) ergibt \(x\leq3\). 3. Der Termvergleich ergibt \(5x-8>2x+1\). Daraus folgen \(3x>9\) und \(x>3\).

1) \(x\leq0{,}5\) 2) \(x\leq3\) 3) \(x>3\)

- Bis zu welchem Rechenschritt ist Nikos Umformung noch äquivalent zur ursprünglichen Ungleichung? - Welche besondere Regel gilt beim Multiplizieren oder Dividieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl? - Kann ein einfach einzusetzender Wert die beiden vorgeschlagenen Lösungsbereiche unterscheiden?

1. Der erste Schritt ist richtig: Aus \(-4x+7\le19\) folgt \(-4x\le12\). 2. Beim Dividieren durch die negative Zahl \(-4\) muss sich das Ungleichheitszeichen umkehren. Daher gilt \(x\ge-3\). 3. Zum Beispiel erfüllt \(x=0\) die ursprüngliche Ungleichung, denn \(7\le19\). Nikos Ergebnis \(x\le-3\) würde \(0\) jedoch ausschließen. 4. Die richtige Lösungsmenge ist \([-3;\infty)\).

Beim Dividieren durch \(-4\) wurde das Ungleichheitszeichen nicht umgekehrt. Richtig ist \(x\ge-3\), also \([-3;\infty)\). Der Wert \(x=0\) bestätigt den Fehler in Nikos Ergebnis.

- Suche im Diagramm zuerst den Punkt, an dem beide Geraden denselben Funktionswert haben. - Vergleiche auf beiden Seiten dieses Schnittpunkts, welcher Graph tiefer liegt. - Achte darauf, ob das Ungleichheitszeichen den Gleichheitsfall einschließt. - Forme anschließend die angegebene Ungleichung mit Äquivalenzumformungen um und vergleiche beide Ergebnisse.

1. Die beiden Geraden schneiden sich bei \(x=2\). Links von diesem Schnittpunkt liegt der Graph von \(f\) unter dem Graphen von \(g\); am Schnittpunkt sind beide Funktionswerte gleich. Graphisch folgt daher \(x\le2\). 2. Der Randwert \(2\) gehört zur Lösungsmenge, weil bei \(x=2\) Gleichheit gilt und das Zeichen \(\le\) den Gleichheitsfall einschließt. 3. Rechnerisch gilt \(2x-1\le-x+5\). Addieren von \(x\) und \(1\) ergibt \(3x\le6\), also \(x\le2\). Das bestätigt die graphische Lösung.

a) \((-\infty;2]\) b) Der Randwert \(2\) gehört dazu, weil sich die Geraden dort schneiden und Gleichheit zugelassen ist. c) Rechnerisch ergibt sich ebenfalls \(x\le2\).

- Stelle zuerst für beide Rechtecke einen Umfangsterm auf. - Übersetze „größer als“ in eine Ungleichung zwischen diesen Termen. - Löse die Ungleichung nach \(x\) auf. - Schneide das Ergebnis anschließend mit der Bedingung für positive Seitenlängen.

1. Für Rechteck A gilt \(U_A=2(x+x+6)=4x+12\). 2. Für Rechteck B gilt \(U_B=2(x+3x)=8x\). 3. Die Bedingung \(U_A>U_B\) ergibt \(4x+12>8x\). 4. Daraus folgt \(12>4x\), also \(x<3\). 5. Zusammen mit \(x>0\) ergibt sich \(0<x<3\).

Der Umfang von Rechteck A ist für \(0<x<3\) größer.

- Hier gibt es zwei Bedingungen: eine für die maximale Größe und eine für die minimale Stabilität. - Das Gurtmaß ist hier der Umfang der quadratischen Grundfläche. - Stelle für beide Bedingungen jeweils eine Ungleichung auf und finde den Bereich, der beide erfüllt.

1. Definition der Terme: Seitenkante der Grundfläche ist \(x\), Länge ist \(l = 3x\). 2. Umfang der quadratischen Grundfläche: \(U = 4x\). 3. Aufstellen der ersten Bedingung (Länge-plus-Gurtmaß-Bedingung): \(l + U \le 360 \implies 3x + 4x \le 360 \implies 7x \le 360\). 4. Lösen der ersten Ungleichung: \(x \le \frac{360}{7} \approx 51{,}43\). 5. Aufstellen der zweiten Bedingung (Mindestlänge): \(l \ge 120 \implies 3x \ge 120 \implies x \ge 40\). 6. Kombination der Ergebnisse: \(40 \le x \le 51{,}43\). 7. Da \(x\) ganzzahlig sein soll, sind die möglichen Werte \(40; 41; 42; \dots; 51\).

Für die Seitenkante \(x\) kommen alle ganzzahligen Werte von \(40\,\text{cm}\) bis einschließlich \(51\,\text{cm}\) infrage.

- Was ändert sich an den Kosten von Modell B, wenn man mehr Kilometer fährt? - Kannst du die Kosten für Modell A bei einer festen Strecke von \(100\,\text{km}\) berechnen und mit dem Pauschalpreis vergleichen? - In Teil c suchst du eine neue Grundgebühr. Wie sieht die Gleichung aus, wenn das Ergebnis am Ende \(44\,\text{€}\) sein soll? - Denke daran, dass „exakt gleiche Kosten“ mathematisch bedeutet, dass die Terme beider Modelle mit einem Gleichheitszeichen verbunden werden können.

1. Aufstellen der Funktionen für die Kosten in Abhängigkeit von der nichtnegativen Strecke \(x\): \(K_A(x) = 24 + 0{,}25x\) und \(K_B(x) = 44\). 2. Bestimmung des Schnittpunkts zur Beantwortung von Teil a: \(24 + 0{,}25x = 44 \implies 0{,}25x = 20 \implies x = 80\). Bei \(80\,\text{km}\) sind beide Modelle gleich teuer; Modell A ist daher für \(0 \le x < 80\,\text{km}\) günstiger. 3. Kostenvergleich für Teil b bei \(x = 100\): \(K_A(100) = 24 + 0{,}25 \cdot 100 = 49\,\text{€}\). Da \(49\,\text{€} > 44\,\text{€}\), ist Modell B günstiger. 4. Berechnung der neuen Grundgebühr \(G\) für Teil c: Ansatz \(G + 0{,}25 \cdot 100 = 44\). 5. Auflösen nach \(G\): \(G + 25 = 44 \implies G = 19\,\text{€}\).

a) Modell A ist für Fahrtstrecken \(x\) mit \(0 \le x < 80\,\text{km}\) günstiger. Bei genau \(80\,\text{km}\) sind beide Modelle gleich teuer. b) Er sollte Modell B wählen, da Modell A bei \(100\,\text{km}\) Kosten in Höhe von \(49\,\text{€}\) verursacht, während Modell B nur \(44\,\text{€}\) kostet. c) Die Grundgebühr von Modell A müsste auf \(19\,\text{€}\) gesenkt werden.

- Stelle dir vor, \(k\) wäre eine normale Zahl und löse die Ungleichung nach \(x\) auf. Dein Ergebnis wird \(k\) enthalten. - Welche Bedingung muss für den Ausdruck auf der rechten Seite gelten, damit er mit der gewünschten Grenze im Intervall übereinstimmt? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, um den fehlenden Wert zu finden?

1. Auflösen der Ungleichung nach \(x\): \(2x + k > 10 \Rightarrow 2x > 10 - k \Rightarrow x > \frac{10 - k}{2}\). 2. Abgleich mit der Ziel-Lösung: Die Lösungsmenge soll \(x > 7\) sein. Also muss gelten: \(\frac{10 - k}{2} = 7\). 3. Berechnung von \(k\): \(10 - k = 14 \Rightarrow -k = 4 \Rightarrow k = -4\).

Der Wert für \(k\) muss \(-4\) sein.

- Vereinfache beide Seiten der Ungleichung so weit wie möglich, bevor du nach \(x\) auflöst. - Was bedeutet es für die Lösung, wenn die Variable \(x\) während der Rechnung vollständig verschwindet? - Überlege, ob die verbleibende mathematische Aussage (ohne \(x\)) immer wahr oder immer falsch ist.

1. Teilaufgabe a): Ausmultiplizieren der Klammer ergibt \(6x - 8 < 6x - 5\). Subtraktion von \(6x\) führt zur Aussage \(-8 < -5\). Da diese Aussage für alle \(x\) wahr ist, ist die Lösungsmenge der gesamte Grundbereich: \(L = \mathbb{Q}\). 2. Teilaufgabe b): Auflösen der Klammer ergibt \(4 - x - 5 \ge 10 - x\), vereinfacht \(-1 - x \ge 10 - x\). Addition von \(x\) führt zur Aussage \(-1 \ge 10\). Da dies eine falsche Aussage ist, gibt es kein \(x\), das die Ungleichung erfüllt. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\).

a) \(L = \mathbb{Q}\) b) \(L = \emptyset\) (leere Menge)

- Stelle für jede Auswahl von zwei Seiten eine Dreiecksungleichung auf. - Löse die drei Ungleichungen getrennt und kombiniere ihre Bedingungen. - Prüfe zusätzlich, ob alle Seitenlängen positiv sind. - Zähle erst danach die ganzen Zahlen im gemeinsamen Bereich.

1. Aus \(2x+(x+10)>30\) folgt \(3x>20\), also \(x>\frac{20}{3}\). 2. Aus \(2x+30>x+10\) folgt \(x>-20\); diese Bedingung ist gegenüber der positiven Seitenlänge nicht einschränkend. 3. Aus \((x+10)+30>2x\) folgt \(x<40\). 4. Insgesamt gilt \(\frac{20}{3}<x<40\). 5. Die ganzzahligen Werte sind \(7,8,\ldots,39\). Ihre Anzahl beträgt \(39-7+1=33\).

Es gilt \(\frac{20}{3}<x<40\). Für ganzzahliges \(x\) gibt es \(33\) mögliche Werte.

- Stelle zunächst einen Term für die Kerzenlänge nach \(h\) Stunden auf. - Übersetze „kürzer als“ in eine Ungleichung. - Beachte beim Teilen durch eine negative Zahl die Richtung des Relationszeichens. - Bestimme zusätzlich den Zeitpunkt des vollständigen Abbrennens als obere physikalische Grenze.

1. Für eine Kerzenlänge unter \(10\,\text{cm}\) gilt \(25-1{,}2h<10\). 2. Subtraktion von \(25\) ergibt \(-1{,}2h<-15\). 3. Division durch \(-1{,}2\) kehrt das Relationszeichen um und liefert \(h>12{,}5\). 4. Vollständig abgebrannt ist die Kerze bei \(25-1{,}2h=0\), also bei \(h=\frac{125}{6}\approx20{,}83\). 5. Im sinnvollen Zeitraum gilt daher \(12{,}5<h\leq\frac{125}{6}\).

Bis zum vollständigen Abbrennen ist die Kerze für \(12{,}5<h\leq\frac{125}{6}\) Stunden kürzer als \(10\,\text{cm}\).

- Forme die Gleichung im ersten Teil so um, dass ein Produkt gleich null ist. - Unterscheide beim Teilen einer Ungleichung danach, ob der Divisor positiv oder negativ ist. - Prüfe die beiden Vorzeichenfälle für \(a\) getrennt. - Teste deine Bedingungen bei Bedarf mit einfachen positiven und negativen Beispielwerten.

1. Aus \(ab=a\) folgt \(a(b-1)=0\). Daher gilt entweder \(a=0\) bei beliebigem \(b\) oder \(b=1\). 2. Für \(a>0\) darf die Ungleichung \(ab<a\) durch \(a\) geteilt werden, ohne das Relationszeichen zu ändern. Es folgt \(b<1\). 3. Für \(a<0\) kehrt sich beim Teilen durch \(a\) das Relationszeichen um. Es folgt \(b>1\).

1) \(a=0\) mit beliebigem \(b\) oder \(b=1\). 2) Für \(a>0\) gilt \(b<1\). 3) Für \(a<0\) gilt \(b>1\).

- Isoliere bei jeder Aufgabe zuerst den Betragsterm. - Ein kleiner Betrag beschreibt einen Bereich zwischen zwei Grenzen. - Ein ausreichend großer Betrag beschreibt zwei Bereiche außerhalb eines zentralen Abschnitts. - Prüfe bei den Grenzen, ob sie wegen des Relationszeichens dazugehören.

1. Für a) gilt \(-10<2x+6<10\). Subtraktion von \(6\) und Division durch \(2\) ergeben \(-8<x<2\). 2. Daher ist \(L_a=\{x\in\mathbb{Q}\mid-8<x<2\}\). 3. Für b) ergibt die Addition von \(5\) und Division durch \(4\) zunächst \(|x-1|\geq3\). 4. Das bedeutet \(x-1\geq3\) oder \(x-1\leq-3\). 5. Damit gilt \(x\geq4\) oder \(x\leq-2\), also \(L_b=\{x\in\mathbb{Q}\mid x\leq-2\text{ oder }x\geq4\}\).

a) \(L_a=\{x\in\mathbb{Q}\mid-8<x<2\}\) b) \(L_b=\{x\in\mathbb{Q}\mid x\leq-2\text{ oder }x\geq4\}\)

- Beim Rechnen mit Brüchen hilft es, die gesamte Ungleichung mit dem Hauptnenner zu multiplizieren, um die Brüche zu eliminieren. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht. - Stelle dir die Teillösungen auf einem Zahlenstrahl vor, um die gemeinsamen Werte leichter zu finden.

1. Erste Ungleichung mit dem Hauptnenner \(6\) multiplizieren: \(3(3x - 5) - 2(x + 1) < 12\). 2. Klammern auflösen und zusammenfassen: \(9x - 15 - 2x - 2 < 12 \implies 7x - 17 < 12 \implies 7x < 29\). 3. Nach \(x\) isolieren: \(x < \frac{29}{7} \approx 4{,}14\). 4. Zweite Ungleichung lösen: \(1 - (6 - 3x) \geq -5 \implies 1 - 6 + 3x \geq -5 \implies -5 + 3x \geq -5\). 5. Nach \(x\) isolieren: \(3x \geq 0 \implies x \geq 0\). 6. Schnittmenge der Intervalle bestimmen: \(0 \leq x < \frac{29}{7}\). 7. Ganze Zahlen identifizieren: Die Lösungen sind \(0; 1; 2; 3; 4\).

\(x \in \{0; 1; 2; 3; 4\}\)

- Was bedeutet „aufgerundet“ mathematisch für die Kostenberechnung in Tarif A? - Erstelle für Tarif A eine kleine Wertetabelle oder eine abschnittsweise Definition, um den Überblick zu behalten. - Um herauszufinden, wann ein Tarif günstiger ist, kannst du eine Ungleichung aufstellen. - Da Tarif A eine Treppenfunktion ist, ist es hilfreich, die Untersuchung für jedes Kilogramm-Intervall einzeln durchzuführen.

1. Berechnung der Werte für Aufgabenteil a): Für \(x = 0{,}5\): Tarif A: \(2 \cdot 1 = 2{,}00\,\text{€}\); Tarif B: \(1{,}5 \cdot 0{,}5 + 1 = 1{,}75\,\text{€}\). Für \(x = 1{,}0\): Tarif A: \(2 \cdot 1 = 2{,}00\,\text{€}\); Tarif B: \(1{,}5 \cdot 1{,}0 + 1 = 2{,}50\,\text{€}\). Für \(x = 2{,}2\): Tarif A: \(2 \cdot 3 = 6{,}00\,\text{€}\); Tarif B: \(1{,}5 \cdot 2{,}2 + 1 = 4{,}30\,\text{€}\). 2. Lösung der Ungleichung \(f(x) < g(x)\) für Aufgabenteil b): Betrachtung der Intervalle \((k-1; k]\) für \(k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\). Intervall \((0; 1]\): \(2 < 1{,}5x + 1 \Rightarrow 1 < 1{,}5x \Rightarrow x > \frac{2}{3}\). Also \(x \in (\frac{2}{3}; 1]\). Intervall \((1; 2]\): \(4 < 1{,}5x + 1 \Rightarrow 3 < 1{,}5x \Rightarrow x > 2\). Keine Lösung in diesem Intervall. Intervall \((2; 3]\): \(6 < 1{,}5x + 1 \Rightarrow 5 < 1{,}5x \Rightarrow x > \frac{10}{3} \approx 3{,}33\). Keine Lösung in diesem Intervall, da \(x \le 3\). Für höhere Intervalle wächst der Wert von Tarif A schneller als der von Tarif B, sodass keine weiteren Lösungen existieren.

a) \(0{,}5\,\text{kg}\): A: \(2{,}00\,\text{€}\), B: \(1{,}75\,\text{€}\); \(1{,}0\,\text{kg}\): A: \(2{,}00\,\text{€}\), B: \(2{,}50\,\text{€}\); \(2{,}2\,\text{kg}\): A: \(6{,}00\,\text{€}\), B: \(4{,}30\,\text{€}\). b) Tarif A ist für \(\frac{2}{3} < x \le 1\) (ca. \(0{,}67\,\text{kg} < x \le 1\,\text{kg}\)) günstiger als Tarif B.

- Was bedeutet es für die Vorzeichen von \(x\) und \(y\), wenn ein Punkt im II. Quadranten liegt? - Versuche zuerst, \(x\) und \(y\) so aufzulösen, dass sie nur noch vom Parameter \(a\) abhängen. - Wann ist ein Bruch positiv? Was muss dann für den Nenner gelten? - Wie verhält sich das Vorzeichen des Zählers, wenn du bereits weißt, welches Vorzeichen der Nenner hat?

1. Erste Gleichung nach \(x\) umstellen: \(x = 5 - y\). 2. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(2(5 - y) + ay = 12\). 3. Klammer auflösen und nach \(y\) sortieren: \(10 - 2y + ay = 12 \Rightarrow y(a - 2) = 2\). 4. \(y\) in Abhängigkeit von \(a\) ausdrücken: \(y = \frac{2}{a - 2}\). 5. \(x\) berechnen: \(x = 5 - \frac{2}{a - 2} = \frac{5(a - 2) - 2}{a - 2} = \frac{5a - 12}{a - 2}\). 6. Bedingung \(y > 0\) anwenden: \(\frac{2}{a - 2} > 0 \Rightarrow a - 2 > 0 \Rightarrow a > 2\). 7. Bedingung \(x < 0\) anwenden: Da \(a - 2 > 0\) (aus Schritt 6), muss der Zähler negativ sein: \(5a - 12 < 0 \Rightarrow 5a < 12 \Rightarrow a < 2{,}4\). 8. Beide Bedingungen kombinieren: \(2 < a < 2{,}4\).

Die gesuchte Bedingung lautet \(2 < a < 2{,}4\).

- Wann hat ein lineares Gleichungssystem genau eine Lösung, wann keine und wann unendlich viele? - Nutze die Symmetrie des Systems aus: Was passiert, wenn du \(x\) und \(y\) vertauschst? - Wie kannst du eine Variable eliminieren, um die andere in Abhängigkeit von \(k\) zu berechnen? - Achte darauf, dass „eindeutige Lösung“ bestimmte Werte für \(k\) ausschließt.

1. Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten: \((k-4)x+(4-k)y=0\), also \((k-4)(x-y)=0\). 2. Für \(k=4\) sind beide Gleichungen identisch; es gibt keine eindeutige Lösung. Für \(k\neq4\) folgt \(x=y\). 3. Setze \(x=y\) in die erste Gleichung ein: \((k+4)x=8\). 4. Für \(k=-4\) entsteht der Widerspruch \(0=8\); daher gibt es keine Lösung. Für \(k\neq-4\) gilt \(x=y=\frac{8}{k+4}\). 5. Die Werte sind positiv genau dann, wenn \(k+4>0\), also \(k>-4\). 6. Zusätzlich muss für Eindeutigkeit \(k\neq4\) gelten. Somit ist \(k\in(-4;4)\cup(4;\infty)\).

Für \(k > -4\) mit Ausnahme von \(k = 4\) (oder: \(k \in (-4; 4) \cup (4; \infty)\)).

- Löse zunächst beide Ungleichungen getrennt und bilde anschließend die Schnittmenge ihrer Lösungsbereiche. - Welche grundsätzlichen Formen kann die Lösungsmenge einer einzelnen linearen Ungleichung haben, nachdem alle \(x\)-Terme zusammengefasst wurden? - Arbeite für Teil c) von den beiden Randwerten des gewünschten Intervalls rückwärts und achte auf die geforderte Vorzeichenumkehr.

1. Aus \(2x-1>-5\) folgt \(2x>-4\) und damit \(x>-2\). 2. Aus \(-3x+4\ge-11\) folgt \(-3x\ge-15\). Beim Dividieren durch \(-3\) kehrt sich das Ungleichheitszeichen um, also gilt \(x\le5\). 3. Beide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein. Daher ist die gemeinsame Lösungsmenge \((-2;5]\). 4. Jede einzelne lineare Ungleichung \(ax+b\le cx+d\) lässt sich zu \((a-c)x\le d-b\) zusammenfassen. Ist \(a-c>0\), entsteht eine Lösungsmenge der Form \(x\le r\); ist \(a-c<0\), eine der Form \(x\ge r\). Für \(a-c=0\) ist die Lösungsmenge entweder \(\mathbb{R}\) oder leer. Keine dieser Möglichkeiten ist ein beschränktes Intervall mit zwei verschiedenen endlichen Randwerten. Mara hat daher nicht recht. 5. Ein mögliches anderes System ist \(4x>-8\) und \(-2x\ge-10\). Die erste Ungleichung liefert \(x>-2\), die zweite wegen des Vorzeichenwechsels \(x\le5\). Ihre gemeinsame Lösungsmenge ist wieder \((-2;5]\).

a) \((-2;5]\) b) Mara hat nicht recht. Eine einzelne lineare Ungleichung in einer Variablen hat als Lösungsmenge eine Halbgerade, ganz \(\mathbb{R}\) oder die leere Menge, aber kein beschränktes Intervall mit zwei verschiedenen endlichen Randwerten. c) Zum Beispiel \(4x>-8\) und \(-2x\ge-10\).