- Wann ist ein Bruch nicht definiert? - Untersuche dafür nur den Nenner \(x+4\).

1. Der Nenner darf nicht null werden. Daher löst man \(x+4=0\). 2. Es folgt \(x=-4\). Dieser Wert muss ausgeschlossen werden. 3. Somit ist \(D_h=\mathbb{Q}\setminus\{-4\}\).

\(x=-4\) darf nicht eingesetzt werden; \(D_h=\mathbb{Q}\setminus\{-4\}\).

- Welche Bedingung muss für den Nenner eines Bruchs gelten? - Für welchen \(x\)-Wert wird \(x+3\) null?

1. Der Nenner darf nicht null sein. Daher gilt \(x+3\ne0\). 2. Aus \(x+3=0\) folgt der ausgeschlossene Wert \(x=-3\). 3. Somit ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-3\}\).

Ausgeschlossen ist \(x=-3\); \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-3\}\).

- Welcher Teil des Funktionsterms darf nicht den Wert null annehmen? - Welche einfache Gleichung erhältst du aus dem Nenner? - Welcher Wert muss anschließend aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden?

1. Eine Definitionslücke entsteht dort, wo der Nenner null wird. 2. Aus \(2x-6=0\) folgt \(2x=6\) und damit \(x=3\). 3. Die Definitionslücke liegt bei \(x=3\). Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\).

Definitionslücke: \(x=3\) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\)

- Setze den Nenner gleich null. - Achte beim Auflösen darauf, dass vor \(x\) ein Minuszeichen steht. - Welcher Wert darf nicht zur Definitionsmenge gehören?

1. Der Nenner darf nicht null werden. 2. Aus \(3-x=0\) folgt \(x=3\). 3. Deshalb liegt die Definitionslücke bei \(x=3\) und \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\).

Definitionslücke: \(x=3\) \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\)

- Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Für welchen Wert von \(x\) ist der Bruch \(1/x\) nicht definiert? - Verändert eine Verschiebung nach oben oder unten diese ausgeschlossene Stelle?

1. Der Nenner \(x\) darf nicht null werden. Daher ist für jeden Wert von \(c\) die Definitionsmenge \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 2. Ein Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse müsste die \(x\)-Koordinate \(0\) besitzen. 3. Die Addition von \(c\) verschiebt den Graphen nur nach oben oder unten und ändert die Definitionsmenge nicht. 4. Deshalb kann der Graph für keinen Wert von \(c\) die \(y\)-Achse schneiden.

Nein. Für jedes \(c\in\mathbb{Q}\) gilt \(0\notin D_f\), daher gibt es keinen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse.

- Für welchen \(x\)-Wert wird der Nenner null? - Welcher \(y\)-Wert entspricht der waagrechten Asymptote und wird deshalb nicht erreicht? - Wie hängen Definitionslücke und senkrechte Asymptote zusammen?

1. Der Nenner darf nicht null sein. Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=1\), also ist \(W_f=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\). 2. Für \(x=-2\) wird der Nenner \(x+2\) gleich null. Eine Division durch null ist nicht definiert. 3. Die senkrechte Asymptote ist \(x=-2\), die waagrechte Asymptote ist \(y=1\).

a) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\), \(W_f=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\) b) Für \(x=-2\) wird der Nenner null; eine Division durch null ist nicht definiert. c) Senkrechte Asymptote: \(x=-2\); waagrechte Asymptote: \(y=1\)

- An welcher senkrechten Linie rücken die beiden Kurvenäste immer näher heran? - Welcher \(x\)-Wert wird vom Graphen dort nie angenommen? - Wie hängen bei der elementaren gebrochen-rationalen Funktion Nennernullstelle und senkrechte Asymptote zusammen?

1. Die beiden Äste des Graphen nähern sich bei \(x=2\) einer senkrechten Geraden, ohne diese zu erreichen. Daher ist \(x=2\) ausgeschlossen. 2. Die senkrechte Asymptote ist \(x=2\). 3. Bei einer Funktion der Form \(\frac{a}{x+b}+c\) liegt die senkrechte Asymptote genau bei dem \(x\)-Wert, an dem der Nenner null wird und deshalb eine Definitionslücke entsteht.

a) \(x=2\) ist ausgeschlossen. b) Die senkrechte Asymptote ist \(x=2\); sie liegt an derselben Stelle wie die Definitionslücke.

- Welche Gleichung beschreibt die Stelle, an der der Nenner null wird? - Welcher Wert ist laut Definitionsmenge ausgeschlossen? - Wie muss \(b\) gewählt sein, damit genau dieser Wert den Nenner null macht?

1. Die Definitionslücke liegt dort, wo \(x+b=0\) ist. 2. Der ausgeschlossene Wert ist \(x=-4\). Daher muss \(-4+b=0\) gelten. 3. Somit ist \(b=4\).

\(b=4\), weil dann \(x+b=x+4\) bei \(x=-4\) null wird.

- Was muss an einer Nullstelle mit dem Funktionswert passieren? - Was passiert dagegen, wenn der Nenner eines Bruchs null wird? - Für Teil b) setzt du den gesamten Funktionswert gleich null.

1. Für \(x=1\) wird der Nenner null. Der Funktionswert ist dort nicht definiert; deshalb ist \(x=1\) eine Definitionslücke und keine Nullstelle. 2. Für die Nullstelle muss der Funktionswert null sein: \(0=\frac{2}{x-1}-1\). 3. Daraus folgt \(\frac{2}{x-1}=1\), also \(x-1=2\) und \(x=3\).

a) \(x=1\) ist eine Definitionslücke, keine Nullstelle. b) Nullstelle: \(x=3\)

- Welche Bedingung muss der Nenner an der vorgegebenen Definitionslücke erfüllen? - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in den Nenner \(x+b\) ein. - Welche Zahl muss zu \(-4\) addiert werden, damit null entsteht?

1. Die Definitionslücke liegt dort, wo der Nenner null wird. Deshalb muss für \(x=-4\) gelten: \(-4+b=0\). 2. Daraus folgt \(b=4\). 3. Der Funktionsterm lautet damit \(f(x)=\frac{3}{x+4}+2\).

\(b=4\), also \(f(x)=\frac{3}{x+4}+2\)

- Welche Gleichung musst du für die Definitionslücke aus dem Nenner bilden? - Lies die Lage der gestrichelten Geraden am x-Gitter ab. - Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob die Funktion an dieser gestrichelten Geraden überhaupt eine Definitionslücke hat? - Welche Verbindung besteht bei dieser Funktionsform zwischen Definitionslücke und senkrechter Asymptote?

1. Die Definitionslücke entsteht bei \(2x-4=0\). Daraus folgt \(2x=4\) und damit \(x=2\). 2. Die gestrichelte Gerade liegt im Bild bei \(x=3\). Dort ist die Funktion definiert; tatsächlich ist \(f(3)=\frac{6}{2}+1=4\). Maras Gerade kann deshalb keine senkrechte Asymptote sein. 3. Die korrekte senkrechte Asymptote ist \(x=2\). Dort wird der Nenner null und die Graphäste nähern sich dieser Geraden an.

a) Definitionslücke: \(x=2\) b) Maras Gerade \(x=3\) ist falsch; dort ist \(f(3)=4\) definiert. c) Senkrechte Asymptote: \(x=2\)

- Was bedeutet es für eine Funktion, wenn ihr Nenner bei einem \(x\)-Wert null wird? - Wodurch unterscheidet sich eine Nullstelle von einer Definitionslücke? - Welche Rolle spielt der Summand außerhalb des Bruchs für die waagrechte Asymptote? - Wie kannst du einen behaupteten Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse prüfen?

1. Alis Aussage ist falsch. Bei \(x=-2\) ist der Nenner null, daher ist \(g(-2)\) nicht definiert. Dort liegt die Definitionslücke und die senkrechte Asymptote \(x=-2\), keine Nullstelle. 2. Minas Aussage ist richtig. Der Summand \(-1\) bestimmt die waagrechte Asymptote \(y=-1\). Der Bruchterm kann nie null werden, daher gilt \(g(x)\ne-1\). 3. Leos Aussage ist richtig: \(g(2)=\frac{4}{4}-1=0\), also \(S_x(2\mid0)\). 4. Die Definitionsmenge ist \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\).

Ali: falsch; bei \(x=-2\) liegt die Definitionslücke und die senkrechte Asymptote. Mina: richtig; \(y=-1\) ist die waagrechte Asymptote und kein Funktionswert. Leo: richtig; \(S_x(2\mid0)\). \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\).