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- Welche Bedingung muss für den Nenner eines Bruchs gelten? - Für welchen \(x\)-Wert wird \(x+3\) null?

1. Der Nenner darf nicht null sein. Daher gilt \(x+3\ne0\). 2. Aus \(x+3=0\) folgt der ausgeschlossene Wert \(x=-3\). 3. Somit ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-3\}\).

Ausgeschlossen ist \(x=-3\); \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-3\}\).

- Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Für welchen Wert von \(x\) ist der Bruch \(1/x\) nicht definiert? - Verändert eine Verschiebung nach oben oder unten diese ausgeschlossene Stelle?

1. Der Nenner \(x\) darf nicht null werden. Daher ist für jeden Wert von \(c\) die Definitionsmenge \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 2. Ein Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse müsste die \(x\)-Koordinate \(0\) besitzen. 3. Die Addition von \(c\) verschiebt den Graphen nur nach oben oder unten und ändert die Definitionsmenge nicht. 4. Deshalb kann der Graph für keinen Wert von \(c\) die \(y\)-Achse schneiden.

Nein. Für jedes \(c\in\mathbb{Q}\) gilt \(0\notin D_f\), daher gibt es keinen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse.

- Welche Zahl darf im Nenner nicht stehen? - Wann kann ein Bruch den Wert \(0\) haben? - Berechne für c) die Funktionswerte zu allen fünf zugelassenen Eingaben und fasse die Ergebnisse als Menge zusammen.

1. Eine Division durch null ist nicht definiert. Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 2. Ein Bruch kann nur dann null sein, wenn sein Zähler null ist. Da der Zähler konstant \(12\) ist, kann der Funktionswert \(0\) nicht auftreten. 3. Für die eingeschränkte Definitionsmenge gilt \(f(1)=12\), \(f(2)=6\), \(f(3)=4\), \(f(4)=3\) und \(f(6)=2\). 4. Somit ist \(W_{\text{neu}}=\{2;3;4;6;12\}\).

a) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) b) \(0\notin W_f\), weil der konstante Zähler \(12\) nicht null ist. c) \(W_{\text{neu}}=\{2;3;4;6;12\}\)

- Für welchen Wert wird der Nenner null? - Welche Werte müssen aus der Grundmenge ausgeschlossen werden? - Was bedeutet eine nicht gekürzte Nennernullstelle für den Graphen, wenn der Zähler dort ungleich null ist?

1. Der Nenner darf nicht null sein. Aus \(x+6=0\) folgt \(x=-6\). 2. Daher ist \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{-6\}\). 3. Bei \(x=-6\) ist der Zähler \(-52\) und damit ungleich null. Als Funktionsterm besitzt der Ausdruck deshalb die senkrechte Asymptote \(x=-6\).

a) \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{-6\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x=-6\)

- Wann ist ein Bruch mathematisch nicht definiert? - Welche Bedingung muss für den Nenner eines Bruchs immer erfüllt sein? - Wie kannst du eine Gleichung umstellen, um den Wert von \(x\) zu finden, der den Nenner null werden lässt? - Was bedeutet der Satz vom Nullprodukt für Terme, in denen Faktoren multipliziert werden?

1. Nenner von \(f(x)\) nullsetzen: \(5x + 20 = 0 \implies 5x = -20 \implies x = -4\). Definitionslücke bei \(x = -4\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4\}\). 2. Nenner von \(g(x)\) nullsetzen: \(0{,}4x - 2 = 0 \implies 0{,}4x = 2 \implies x = 5\). Definitionslücke bei \(x = 5\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{5\}\). 3. Nenner von \(h(x)\) nullsetzen: \(7 - x = 0 \implies x = 7\). Definitionslücke bei \(x = 7\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{7\}\). 4. Nenner von \(k(x)\) nullsetzen: \(x \cdot (x + 4{,}5) = 0\). Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Also \(x = 0\) oder \(x + 4{,}5 = 0 \implies x = -4{,}5\). Definitionslücken bei \(x = 0\) und \(x = -4{,}5\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4{,}5; 0\}\).

a) Lücke: \(x = -4\); \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4\}\) b) Lücke: \(x = 5\); \(D = \mathbb{Q} \setminus \{5\}\) c) Lücke: \(x = 7\); \(D = \mathbb{Q} \setminus \{7\}\) d) Lücken: \(x = 0\) und \(x = -4{,}5\); \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4{,}5; 0\}\)

- Wann ist ein Bruch nicht definiert? - Untersuche dafür nur den Nenner \(x+4\).

1. Der Nenner darf nicht null werden. Daher löst man \(x+4=0\). 2. Es folgt \(x=-4\). Dieser Wert muss ausgeschlossen werden. 3. Somit ist \(D_h=\mathbb{Q}\setminus\{-4\}\).

\(x=-4\) darf nicht eingesetzt werden; \(D_h=\mathbb{Q}\setminus\{-4\}\).

- An welcher senkrechten Linie rücken die beiden Kurvenäste immer näher heran? - Welcher \(x\)-Wert wird vom Graphen dort nie angenommen? - Wie hängen bei der elementaren gebrochen-rationalen Funktion Nennernullstelle und senkrechte Asymptote zusammen?

1. Die beiden Äste des Graphen nähern sich bei \(x=2\) einer senkrechten Geraden, ohne diese zu erreichen. Daher ist \(x=2\) ausgeschlossen. 2. Die senkrechte Asymptote ist \(x=2\). 3. Bei einer Funktion der Form \(\frac{a}{x+b}+c\) liegt die senkrechte Asymptote genau bei dem \(x\)-Wert, an dem der Nenner null wird und deshalb eine Definitionslücke entsteht.

a) \(x=2\) ist ausgeschlossen. b) Die senkrechte Asymptote ist \(x=2\); sie liegt an derselben Stelle wie die Definitionslücke.

- Welche Gleichung beschreibt die Stelle, an der der Nenner null wird? - Welcher Wert ist laut Definitionsmenge ausgeschlossen? - Wie muss \(b\) gewählt sein, damit genau dieser Wert den Nenner null macht?

1. Die Definitionslücke liegt dort, wo \(x+b=0\) ist. 2. Der ausgeschlossene Wert ist \(x=-4\). Daher muss \(-4+b=0\) gelten. 3. Somit ist \(b=4\).

\(b=4\), weil dann \(x+b=x+4\) bei \(x=-4\) null wird.

- Welche Bedingung muss der Nenner an einem ausgeschlossenen Wert erfüllen? - Setze für a) die vorgegebene Stelle in den Nenner ein. - Was bleibt vom Nenner übrig, wenn du in c) \(x=0\) einsetzt?

1. Ein Wert ist aus der Definitionsmenge ausgeschlossen, wenn der Nenner dort null wird. Für \(x=3\) gilt daher \(3a-12=0\). 2. Daraus folgt \(3a=12\) und somit \(a=4\). 3. Für \(a=4\) ist der Nenner \(4x-12\) genau bei \(x=3\) null. Daher ist \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\). 4. Für \(x=0\) hat der Nenner unabhängig von \(a\) den Wert \(-12\). Er kann dort also niemals null werden.

a) \(a=4\) b) \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\) c) Bei \(x=0\) ist der Nenner stets \(-12\ne0\); daher ist \(0\) nie ausgeschlossen.

- Welche Bedingung muss für jeden einzelnen Nenner erfüllt sein? - Reicht es aus, dass nur einer der beiden Brüche an einer Stelle nicht definiert ist? - Wie kannst du in einem einzigen Nenner Faktoren verwenden, die bei beiden ausgeschlossenen Stellen null werden?

1. Für den ersten Bruch muss \(x\ne0\) gelten. Für den zweiten Bruch muss \(x-2\ne0\), also \(x\ne2\), gelten. Sarah hat recht. 2. Damit besitzt der gesamte Term die beiden Definitionslücken \(0\) und \(2\). Es ist \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{0;2\}\). 3. Ein einzelner Bruch mit genau diesen beiden Nennernullstellen ist zum Beispiel \(g(x)=\frac{1}{x(x-2)}\).

a) Sarah hat recht; die Definitionslücken sind \(x=0\) und \(x=2\). b) \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{0;2\}\) c) Zum Beispiel \(g(x)=\frac{1}{x(x-2)}\)

- Was bedeutet es für den Nenner eines Bruchs, wenn eine Zahl nicht in der Definitionsmenge liegt? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Definitionslücke vorkommt? - Setze den Wert für \(x\) ein, der ausgeschlossen werden soll.

1. Wenn die Zahl \(3\) nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, muss der Nenner des Bruchs für \(x = 3\) den Wert Null annehmen. 2. Einsetzen von \(x = 3\) in den Nenner \(2x - b\): \(2 \cdot 3 - b = 0\). 3. Lösen der Gleichung nach \(b\): \(6 - b = 0 \implies b = 6\). 4. Überprüfung: Für \(b = 6\) lautet die Funktion \(f(x) = \frac{x + 2}{2x - 6}\). Der Nenner wird bei \(x = 3\) zu \(2 \cdot 3 - 6 = 0\), was die Definitionslücke bestätigt.

\(b = 6\)

- Welche Einschränkung folgt aus dem ursprünglichen Nenner, bevor gekürzt wird? - Was passiert beim Einsetzen von \(x=2\) in den ursprünglichen Bruch? - Für welche Werte ist die gekürzte Schreibweise tatsächlich gleichwertig zum Ausgangsterm?

1. Für die Definitionsmenge muss der ursprüngliche Nenner betrachtet werden. Eine Division durch null ist nicht definiert. 2. Bei \(x=2\) wird der Nenner \(x-2\) null. Deshalb ist der ursprüngliche Bruchterm dort nicht definiert, auch wenn der Zähler ebenfalls null wird. 3. Das Kürzen zu \(T(x)=1\) ist nur für \(x\ne2\) zulässig. 4. Mina hat recht. Es gilt \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\).

Mina hat recht. Im ursprünglichen Term wird der Nenner bei \(x=2\) null; das Kürzen ist nur für \(x\neq2\) zulässig und macht den ausgeschlossenen Wert nicht wieder erlaubt. Daher gilt \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\).

- Wie groß und welches Vorzeichen hat der Nenner jeweils links und rechts von \(x=1\)? - Vergleiche nicht nur die Vorzeichen, sondern auch die Beträge der beiden Werte auf jeder Seite. - Welche Änderung siehst du, wenn der Abstand von \(x\) zur Definitionslücke kleiner wird?

1. Für \(x=0{,}9\) gilt \(f(x)=2:(-0{,}1)-1=-21\). 2. Für \(x=0{,}99\) gilt \(f(x)=2:(-0{,}01)-1=-201\). 3. Für \(x=1{,}01\) gilt \(f(x)=2:0{,}01-1=199\). 4. Für \(x=1{,}1\) gilt \(f(x)=2:0{,}1-1=19\). 5. Links von \(1\) sind die Werte hier negativ und ihr Betrag wird beim Heranrücken an \(1\) sehr groß. Rechts von \(1\) sind die Werte positiv und werden beim Heranrücken ebenfalls betragsmäßig sehr groß.

<table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(0{,}9\)</td><td>\(0{,}99\)</td><td>\(1{,}01\)</td><td>\(1{,}1\)</td></tr> <tr><td>\(f(x)\)</td><td>\(-21\)</td><td>\(-201\)</td><td>\(199\)</td><td>\(19\)</td></tr> </table> Links von der Definitionslücke werden die Werte stark negativ, rechts davon stark positiv; je näher \(x\) an \(1\) liegt, desto größer wird hier der Betrag von \(f(x)\).

- Was bedeutet es für eine Funktion, wenn ihr Nenner bei einem \(x\)-Wert null wird? - Wodurch unterscheidet sich eine Nullstelle von einer Definitionslücke? - Welche Rolle spielt der Summand außerhalb des Bruchs für die waagrechte Asymptote? - Wie kannst du einen behaupteten Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse prüfen?

1. Alis Aussage ist falsch. Bei \(x=-2\) ist der Nenner null, daher ist \(g(-2)\) nicht definiert. Dort liegt die Definitionslücke und die senkrechte Asymptote \(x=-2\), keine Nullstelle. 2. Minas Aussage ist richtig. Der Summand \(-1\) bestimmt die waagrechte Asymptote \(y=-1\). Der Bruchterm kann nie null werden, daher gilt \(g(x)\ne-1\). 3. Leos Aussage ist richtig: \(g(2)=\frac{4}{4}-1=0\), also \(S_x(2\mid0)\). 4. Die Definitionsmenge ist \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\).

Ali: falsch; bei \(x=-2\) liegt die Definitionslücke und die senkrechte Asymptote. Mina: richtig; \(y=-1\) ist die waagrechte Asymptote und kein Funktionswert. Leo: richtig; \(S_x(2\mid0)\). \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\).

- Wann ist ein Bruchterm nicht definiert? - Zerlege Zähler und Nenner in Faktoren, bevor du kürzt. - Bestimme die Definitionsmenge immer am ursprünglichen Term. - Zwei Funktionen sind nur bei gleicher Zuordnungsvorschrift und gleicher Definitionsmenge identisch.

1. Bestimmung der Definitionsmengen: Der Nenner von \(f\) ist \(x^2 - 9\). Seine Nullstellen sind \(x = 3\) und \(x = -3\), also \(D_f = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 3\}\). Der Nenner von \(g\) ist \(x - 3\). Seine Nullstelle ist \(x = 3\), also \(D_g = \mathbb{Q} \setminus \{3\}\). 2. Vereinfachung von \(f(x)\): \(2x+6 = 2(x+3)\) und \(x^2-9=(x+3)(x-3)\). Daher gilt für alle \(x \in D_f\): \(f(x)=\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{2}{x-3}\). Die Definitionslücke bei \(x=-3\) bleibt trotz des Kürzens bestehen. 3. Die Terme liefern auf \(D_f\) dieselben Werte, aber die Definitionsmengen unterscheiden sich. Da eine Funktion durch Zuordnungsvorschrift und Definitionsmenge bestimmt ist, sind \(f\) und \(g\) nicht identisch.

a) \(D_f = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 3\}\) und \(D_g = \mathbb{Q} \setminus \{3\}\). b) Für alle \(x \in D_f\) gilt \(f(x) = \frac{2}{x-3}\); die Lücke bei \(x=-3\) bleibt bestehen. c) Nein, die Funktionen sind wegen ihrer unterschiedlichen Definitionsmengen nicht identisch.