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Mathe-Arbeitsblätter Klasse 8

Stellen Sie aus mehr als 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Geometrische Aufgaben mit LGS

Lernziele

  • Zeichnet eine beschriftete geometrische Skizze.
  • Übersetzt geometrische Bedingungen in ein Gleichungssystem.
  • Berechnet unbekannte Größen.
  • Erkennt fehlerhafte geometrische Gleichungsansätze.
  • Prüft die Lösung an der Figur.

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5532178
Die Abbildung zeigt ein Rechteck. Die waagerechte Seite ist \(3\,\text{cm}\) länger als die senkrechte Seite, der Umfang beträgt \(26\,\text{cm}\). Welches LGS passt zu den in der Abbildung verwendeten Variablen? A: \(\begin{cases}x+y=26\\x-y=3\end{cases}\) B: \(\begin{cases}x+y=13\\y-x=3\end{cases}\) C: \(\begin{cases}x+y=13\\x-y=3\end{cases}\)
Abbildung zur Aufgabe 553217

Denkanstöße

- Lies aus der Abbildung ab, welche Seite mit \(x\) und welche mit \(y\) bezeichnet ist. - Beim Rechteck kommen beide Seitenlängen im Umfang jeweils zweimal vor. - Welche Differenz beschreibt „die waagerechte Seite ist länger“?

Lösung

1. In der Abbildung bezeichnet \(x\) die waagerechte und \(y\) die senkrechte Seitenlänge. 2. Aus dem Umfang \(26\,\text{cm}\) folgt \(2x+2y=26\), also \(x+y=13\). 3. Die waagerechte Seite ist \(3\,\text{cm}\) länger, also \(x-y=3\). 4. Damit ist C korrekt.

Antwort

C: \(\begin{cases}x+y=13\\x-y=3\end{cases}\)
4137908
Für einen Bühnenrahmen in Form eines gleichschenkligen Trapezes sind die beiden parallelen Grundseiten unterschiedlich lang. Jeder der beiden Schenkel ist \(7\,\text{cm}\) lang. Der gesamte Umfang beträgt \(48\,\text{cm}\), und die längere Grundseite ist \(8\,\text{cm}\) länger als die kürzere. Definiere Variablen für die beiden Grundseiten, stelle ein LGS auf und bestimme ihre Längen. Prüfe den Umfang.

Denkanstöße

- Welche vier Seiten gehören zum Umfang des gleichschenkligen Trapezes? - Wie lässt sich „\(8\,\text{cm}\) länger“ als zweite Gleichung ausdrücken? - Addieren oder subtrahieren die beiden Gleichungen so, dass eine Variable verschwindet?

Lösung

1. Setze \(x\) für die kürzere und \(y\) für die längere Grundseite in Zentimetern. 2. Aus dem Umfang folgt \(x+y+2\cdot7=48\), also \(x+y=34\). 3. Aus der Längendifferenz folgt \(y-x=8\). Damit lautet das LGS \(\begin{cases}x+y=34\\y-x=8\end{cases}\). 4. Addition der beiden Gleichungen ergibt \(2y=42\), also \(y=21\). 5. Damit ist \(x=13\). 6. Kontrolle: \(13+21+7+7=48\).

Antwort

Die Grundseiten sind \(13\,\text{cm}\) und \(21\,\text{cm}\) lang.
4141728
Ein Dekorationsrahmen hat die Form eines Parallelogramms. Die längere Seitenlänge heißt \(L\), die kürzere \(B\). Der Umfang beträgt \(46\,\text{cm}\). Würde man die längere Seite um \(3\,\text{cm}\) verkürzen und die kürzere Seite um \(2\,\text{cm}\) verlängern, wären die beiden veränderten Seiten gleich lang. Stelle ein LGS für \(L\) und \(B\) auf und bestimme die ursprünglichen Seitenlängen.

Denkanstöße

- Welche Umfangsformel gilt für ein Parallelogramm mit Seiten \(L\) und \(B\)? - Übersetze die Aussage über die veränderten Seiten direkt in eine Gleichung. - Welche Kombination der beiden vereinfachten Gleichungen liefert sofort eine Seitenlänge?

Lösung

1. Aus dem Umfang folgt \(2L+2B=46\), also \(L+B=23\). 2. Aus der Veränderung folgt \(L-3=B+2\), also \(L-B=5\). Damit lautet das LGS \(\begin{cases}L+B=23\\L-B=5\end{cases}\). 3. Addition der beiden Gleichungen ergibt \(2L=28\), also \(L=14\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(B=9\). 5. Kontrolle: \(2\cdot14+2\cdot9=46\) und \(14-3=9+2=11\).

Antwort

Die benachbarten Seiten sind \(14\,\text{cm}\) und \(9\,\text{cm}\) lang.
5565278
Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt ein Rechteck mit den Seitenvariablen \(x\) und \(y\). Der Umfang beträgt \(34\,\text{cm}\), und die waagerechte Seite ist \(5\,\text{cm}\) länger als die senkrechte. a) Beschreibe anhand der Abbildung, wofür \(x\) und \(y\) stehen, und stelle das passende LGS auf. b) Bestimme beide Seitenlängen. c) Prüfe Umfang und Längendifferenz mit deinen Werten.
Abbildung zur Aufgabe 556527

Denkanstöße

- Lies zuerst aus der Abbildung ab, welche Seite zu welcher Variablen gehört. - Im Umfang eines Rechtecks kommt jede Seitenlänge zweimal vor. - Übersetze „\(5\,\text{cm}\) länger“ als Differenzgleichung. - Prüfe beide ursprünglichen geometrischen Angaben.

Lösung

1. In der Abbildung bezeichnet \(x\) die waagerechte und \(y\) die senkrechte Seitenlänge. 2. Aus dem Umfang folgt \(x+y=17\). Aus der Differenz folgt \(x-y=5\). Das LGS lautet \(\begin{cases}x+y=17\\x-y=5\end{cases}\). 3. Addition ergibt \(2x=22\), also \(x=11\). Damit ist \(y=6\). 4. Kontrolle: \(2\cdot11+2\cdot6=34\) und \(11-6=5\).

Antwort

a) \(x\) = waagerechte Seite, \(y\) = senkrechte Seite; \(\begin{cases}x+y=17\\x-y=5\end{cases}\). b) \(x=11\,\text{cm}\), \(y=6\,\text{cm}\). c) Umfang \(34\,\text{cm}\), Differenz \(5\,\text{cm}\).
5565288
\(\alpha\) ist um \(36^\circ\) größer als \(\beta\). Lies aus der nicht maßstabsgetreuen Abbildung die geometrische Beziehung der beiden Winkel ab, stelle daraus zusammen mit der Differenzangabe ein LGS auf und bestimme beide Winkel.
Abbildung zur Aufgabe 556528

Denkanstöße

- Welche zwei sichtbaren Schenkel liegen in der Abbildung auf derselben Geraden? - Welche Winkelsumme entsteht deshalb für \(\alpha\) und \(\beta\)? - Übersetze die Differenzangabe in eine zweite lineare Gleichung.

Lösung

1. Aus der Abbildung erkennt man, dass \(\alpha\) und \(\beta\) zusammen einen gestreckten Winkel bilden. Daher gilt \(\alpha+\beta=180^\circ\). 2. Aus der Differenzangabe folgt \(\alpha-\beta=36^\circ\). Das LGS lautet \(\begin{cases}\alpha+\beta=180^\circ\\\alpha-\beta=36^\circ\end{cases}\). 3. Addition ergibt \(2\alpha=216^\circ\), also \(\alpha=108^\circ\). 4. Mit der ersten Gleichung folgt \(\beta=72^\circ\).

Antwort

Aus der Abbildung folgt das LGS \(\begin{cases}\alpha+\beta=180^\circ\\\alpha-\beta=36^\circ\end{cases}\). Damit \(\alpha=108^\circ\), \(\beta=72^\circ\).
5580008
Ein Hausumriss besteht aus einem Rechteck mit einem dreieckigen Dach. Das Dach sitzt mit seiner ganzen Grundseite auf der oberen Rechteckseite. Die beiden schrägen Dachseiten sind je \(5\,\text{cm}\) lang. Der äußere Umfang des Hausumrisses beträgt \(34\,\text{cm}\). Die Rechteckhöhe ist \(3\,\text{cm}\) größer als die Rechteckbreite. Zeichne auf Papier eine beschriftete Skizze. Nenne die Rechteckbreite \(x\) und die Rechteckhöhe \(y\). a) Welche Strecken gehören zum äußeren Umfang? Stelle daraus die Umfangsgleichung für \(x\) und \(y\) auf. b) Stelle mit der Höhenangabe ein LGS auf, mit dem man \(x\) und \(y\) bestimmen kann.

Denkanstöße

- Markiere in deiner Skizze zuerst die Strecke, die Rechteck und Dach gemeinsam haben. - Geh einmal nur am äußeren Rand entlang. Welche beschrifteten Strecken triffst du dort? - Die Angabe zur Höhe liefert die zweite Gleichung für \(x\) und \(y\).

Lösung

1. In der Skizze liegt die Grundseite des Dachs genau auf der oberen Rechteckseite. Diese gemeinsame Strecke liegt innen und gehört nicht zum äußeren Umfang. 2. Außen liegen die untere Rechteckseite mit Länge \(x\), zwei Rechteckseiten mit Länge \(y\) und die beiden schrägen Dachseiten mit je \(5\,\text{cm}\). Daher gilt \(x+2y+10=34\), also \(x+2y=24\). 3. Die Rechteckhöhe ist \(3\,\text{cm}\) größer als die Breite: \(y-x=3\). Das gesuchte LGS lautet \(\begin{cases}x+2y=24\\y-x=3\end{cases}\).

Antwort

a) Zum äußeren Umfang gehören eine Strecke der Länge \(x\), zwei Strecken der Länge \(y\) und zwei Dachseiten mit je \(5\,\text{cm}\). Daher \(x+2y+10=34\). b) \(\begin{cases}x+2y=24\\y-x=3\end{cases}\)
5580018
In einem Dreieck \(ABC\) wird die Seite \(BC\) über \(C\) hinaus bis zu einem Punkt \(D\) verlängert. Der Außenwinkel \(\angle ACD\) ist \(130^\circ\). Der Innenwinkel bei \(A\) ist um \(20^\circ\) größer als der Innenwinkel bei \(B\). Zeichne auf Papier eine beschriftete Skizze mit der verlängerten Seite. Nenne den Winkel bei \(A\) \(\alpha\) und den Winkel bei \(B\) \(\beta\). a) Nutze deine Skizze: Welche Gleichung verbindet \(\alpha\), \(\beta\) und den Außenwinkel? b) Stelle zusammen mit der Differenzangabe ein LGS auf. c) Bestimme \(\alpha\) und \(\beta\). Bestimme anschließend auch den Innenwinkel bei \(C\) und prüfe die Winkelsumme im Dreieck.

Denkanstöße

- Zeichne die Verlängerung bei \(C\) deutlich über den Eckpunkt hinaus. - Welche beiden Innenwinkel liegen dem Außenwinkel nicht direkt an? - Übersetze „um \(20^\circ\) größer“ in eine zweite Gleichung. - Der Innenwinkel bei \(C\) und der Außenwinkel liegen an einer Geraden.

Lösung

1. In der Skizze sieht man den Außenwinkel bei \(C\). Er ist so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. Daher gilt \(\alpha+\beta=130^\circ\). 2. Aus „\(\alpha\) ist um \(20^\circ\) größer als \(\beta\)“ folgt \(\alpha-\beta=20^\circ\). Das LGS lautet \(\begin{cases}\alpha+\beta=130^\circ\\\alpha-\beta=20^\circ\end{cases}\). 3. Addition ergibt \(2\alpha=150^\circ\), also \(\alpha=75^\circ\). Damit ist \(\beta=55^\circ\). 4. Der Innenwinkel bei \(C\) und der Außenwinkel \(130^\circ\) bilden zusammen einen gestreckten Winkel. Daher ist der Innenwinkel bei \(C\) \(50^\circ\). 5. Probe: \(75^\circ+55^\circ+50^\circ=180^\circ\).

Antwort

a) \(\alpha+\beta=130^\circ\) b) \(\begin{cases}\alpha+\beta=130^\circ\\\alpha-\beta=20^\circ\end{cases}\) c) \(\alpha=75^\circ\), \(\beta=55^\circ\), Innenwinkel bei \(C\): \(50^\circ\). Probe: \(75^\circ+55^\circ+50^\circ=180^\circ\).
4138028
In einem gleichschenkligen Dreieck ist der Winkel an der Spitze um \(15^\circ\) größer als einer der beiden Basiswinkel. a) Definiere Variablen für einen Basiswinkel und den Spitzenwinkel und stelle aus den geometrischen Bedingungen ein lineares Gleichungssystem auf. b) Löse das LGS und gib alle drei Innenwinkel an. c) Prüfe deine Werte an der Winkelsumme und an der Differenzangabe.

Denkanstöße

- Welche zwei Winkel sind in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß? - Formuliere die Winkelsumme mit nur zwei Variablen. - Übersetze „um \(15^\circ\) größer“ in eine zweite Gleichung. - Prüfe am Ende beide ursprünglichen Bedingungen.

Lösung

1. Setze \(\alpha\) für einen Basiswinkel und \(\gamma\) für den Spitzenwinkel. 2. Da die beiden Basiswinkel gleich groß sind, gilt \(2\alpha+\gamma=180^\circ\). Aus der Differenzangabe folgt \(\gamma-\alpha=15^\circ\). Das LGS lautet \(\begin{cases}2\alpha+\gamma=180^\circ\\\gamma-\alpha=15^\circ\end{cases}\). 3. Aus der zweiten Gleichung folgt \(\gamma=\alpha+15^\circ\). Einsetzen in die erste ergibt \(3\alpha+15^\circ=180^\circ\), also \(\alpha=55^\circ\). 4. Damit ist \(\gamma=70^\circ\). Die Winkel sind \(55^\circ\), \(55^\circ\) und \(70^\circ\). 5. Kontrolle: \(55^\circ+55^\circ+70^\circ=180^\circ\) und \(70^\circ-55^\circ=15^\circ\).

Antwort

a) Zum Beispiel \(\alpha\) = Basiswinkel, \(\gamma\) = Spitzenwinkel; \(\begin{cases}2\alpha+\gamma=180^\circ\\\gamma-\alpha=15^\circ\end{cases}\) b) \(55^\circ\), \(55^\circ\), \(70^\circ\). c) Winkelsumme \(180^\circ\), Differenz \(15^\circ\); beide Bedingungen sind erfüllt.
4138058
Drei Geraden sind durch die folgenden Gleichungen in der allgemeinen Form gegeben: \(L_1: x - y = -2\) \(L_2: 2x + y = 8\) \(L_3: x + 2y = 4\) Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks, das durch die Schnittpunkte dieser Geraden entsteht.

Denkanstöße

- Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) eignet sich hier am besten für die jeweiligen Paare? - Kannst du die Gleichungen so umstellen, dass eine Variable alleine steht? - Überprüfe deine Ergebnisse, indem du die Koordinaten in die jeweils andere Gleichung des Paares einsetzt.

Lösung

1. Schnittpunkt von \(L_1\) und \(L_2\): Addition der Gleichungen \(x - y = -2\) und \(2x + y = 8\) eliminiert \(y\) und ergibt \(3x = 6\), also \(x = 2\). Einsetzen in \(L_1\) liefert \(2 - y = -2\), woraus \(y = 4\) folgt. Eckpunkt: \((2|4)\). 2. Schnittpunkt von \(L_1\) und \(L_3\): Auflösen von \(L_1\) nach \(y = x + 2\) und Einsetzen in \(L_3\) ergibt \(x + 2 \cdot (x + 2) = 4\). Vereinfachen führt zu \(3x + 4 = 4\), also \(x = 0\). Daraus folgt \(y = 0 + 2 = 2\). Eckpunkt: \((0|2)\). 3. Schnittpunkt von \(L_2\) und \(L_3\): Auflösen von \(L_2\) nach \(y = 8 - 2x\) und Einsetzen in \(L_3\) ergibt \(x + 2 \cdot (8 - 2x) = 4\). Dies führt zu \(-3x + 16 = 4\), also \(-3x = -12\) und \(x = 4\). Daraus folgt \(y = 8 - 2 \cdot 4 = 0\). Eckpunkt: \((4|0)\).

Antwort

Die Eckpunkte des Dreiecks liegen bei \((2|4)\), \((0|2)\) und \((4|0)\).
4138148
Ein konvexes fünfeckiges Logo besitzt drei gleich große Innenwinkel \(\alpha\) und zwei gleich große Innenwinkel \(\beta\). Jeder Winkel \(\beta\) ist um \(30^\circ\) größer als ein Winkel \(\alpha\). Stelle mithilfe der Innenwinkelsumme eines Fünfecks ein LGS auf, bestimme \(\alpha\) und \(\beta\) und prüfe die Winkelsumme.

Denkanstöße

- Welche Innenwinkelsumme hat ein Fünfeck? - Wie oft kommt \(\alpha\) und wie oft \(\beta\) im Logo vor? - Übersetze die Differenzangabe in eine zweite lineare Gleichung.

Lösung

1. Die Innenwinkelsumme eines Fünfecks beträgt \(540^\circ\). 2. Daher gilt \(3\alpha+2\beta=540^\circ\). 3. Aus der Differenzangabe folgt \(\beta-\alpha=30^\circ\). Das LGS ist \(\begin{cases}3\alpha+2\beta=540^\circ\\\beta-\alpha=30^\circ\end{cases}\). 4. Aus der zweiten Gleichung folgt \(\beta=\alpha+30^\circ\). 5. Einsetzen in die erste ergibt \(3\alpha+2(\alpha+30^\circ)=540^\circ\), also \(5\alpha=480^\circ\) und damit \(\alpha=96^\circ\). 6. Es folgt \(\beta=126^\circ\). 7. Kontrolle: \(3\cdot96^\circ+2\cdot126^\circ=540^\circ\).

Antwort

\(\alpha=96^\circ\), \(\beta=126^\circ\)
4243648
In einem Trapez sind die beiden Grundseiten parallel. Die Innenwinkel \(\alpha\) und \(\beta\) liegen am selben Schenkel. Daher ergänzen sie sich zu \(180^\circ\). Zusätzlich gilt: Das Doppelte von \(\alpha\) ist um \(24^\circ\) größer als \(\beta\). a) Begründe die Gleichung aus der Parallelität und stelle ein LGS auf. b) Bestimme \(\alpha\) und \(\beta\). c) Prüfe beide Bedingungen.

Denkanstöße

- Welche Winkelbeziehung entsteht an einem Schenkel eines Trapezes wegen der parallelen Grundseiten? - Wie übersetzt du „Das Doppelte von \(\alpha\) ist um \(24^\circ\) größer als \(\beta\)“? - Welche Variable verschwindet beim Addieren der beiden Gleichungen?

Lösung

1. Weil die Grundseiten parallel sind, sind die Innenwinkel am selben Schenkel supplementär. Daher gilt \(\alpha+\beta=180^\circ\). 2. Die zweite Aussage liefert \(2\alpha-\beta=24^\circ\). Damit lautet das LGS \(\begin{cases}\alpha+\beta=180^\circ\\2\alpha-\beta=24^\circ\end{cases}\). 3. Addition der beiden Gleichungen ergibt \(3\alpha=204^\circ\), also \(\alpha=68^\circ\). 4. Aus der ersten Gleichung folgt \(\beta=112^\circ\). 5. Kontrolle: \(68^\circ+112^\circ=180^\circ\) und \(2\cdot68^\circ-112^\circ=24^\circ\).

Antwort

a) \(\begin{cases}\alpha+\beta=180^\circ\\2\alpha-\beta=24^\circ\end{cases}\) b) \(\alpha=68^\circ\), \(\beta=112^\circ\) c) Beide Bedingungen sind erfüllt.
5532188
Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt ein gleichschenkliges Dreieck mit einem Umfang von \(25\,\text{cm}\). Nutze die Seitenbeschriftungen und die Gleichheitsmarkierungen aus der Abbildung. a) Stelle ein lineares Gleichungssystem für \(x\) und \(y\) auf. b) Löse das System und gib anschließend die drei Seitenlängen des Dreiecks an.
Abbildung zur Aufgabe 553218

Denkanstöße

- Welche Gleichung folgt direkt aus den gleich markierten Schenkeln? - Welche zweite Gleichung erhältst du aus allen drei Seiten und dem Umfang? - Prüfe nach dem Lösen sowohl die Gleichheitsmarkierung als auch den Umfang.

Lösung

1. Die gleich markierten Schenkel haben die Längen \(x+2\) und \(2y-1\). Daher gilt \(x+2=2y-1\), also \(x-2y=-3\). 2. Aus dem Umfang folgt \(x+(x+2)+(2y-1)=25\). Vereinfacht ergibt das \(x+y=12\). 3. Aus \(x+y=12\) folgt \(x=12-y\). Einsetzen in \(x-2y=-3\) ergibt \(y=5\) und damit \(x=7\). 4. Die Seitenlängen sind \(7\,\text{cm}\), \(9\,\text{cm}\) und \(9\,\text{cm}\).

Antwort

a) Zum Beispiel: \(\begin{cases}x-2y=-3\\x+y=12\end{cases}\) b) \(x=7\), \(y=5\); Seitenlängen: \(7\,\text{cm}\), \(9\,\text{cm}\), \(9\,\text{cm}\).
5532198
Nutze die nicht maßstabsgetreue Abbildung mit den markierten Winkeln \(\alpha\) und \(\beta\). Zusätzlich ist \(\alpha\) um \(24^\circ\) größer als \(\beta\). Jona stellt als erste Gleichung \(\alpha+\beta=360^\circ\) auf. Erkläre mithilfe der Abbildung seinen Fehler, stelle das richtige LGS auf und bestimme beide Winkel.
Abbildung zur Aufgabe 553219

Denkanstöße

- Welche beiden sichtbaren Schenkel bilden in der Abbildung gemeinsam eine Gerade? - Welche Winkelsumme gehört zu einem gestreckten Winkel? - Übersetze anschließend „um \(24^\circ\) größer“ in eine zweite Gleichung.

Lösung

1. Die Abbildung zeigt, dass \(\alpha\) und \(\beta\) zusammen einen gestreckten Winkel an einer Geraden bilden. Deshalb gilt \(\alpha+\beta=180^\circ\), nicht \(360^\circ\). 2. Aus der Differenzangabe folgt \(\alpha-\beta=24^\circ\). Das richtige LGS lautet \(\begin{cases}\alpha+\beta=180^\circ\\\alpha-\beta=24^\circ\end{cases}\). 3. Addieren ergibt \(2\alpha=204^\circ\), also \(\alpha=102^\circ\). 4. Damit ist \(\beta=78^\circ\).

Antwort

Jona verwechselt den in der Abbildung erkennbaren gestreckten Winkel mit einem Vollwinkel. Richtig ist \(\begin{cases}\alpha+\beta=180^\circ\\\alpha-\beta=24^\circ\end{cases}\). Daher \(\alpha=102^\circ\), \(\beta=78^\circ\).
5565298
Nutze die nicht maßstabsgetreue Abbildung eines gleichschenkligen Dreiecks. Der Umfang beträgt \(32\,\text{cm}\), und jeder der beiden gleich langen Schenkel ist \(4\,\text{cm}\) länger als die Basis. Mia schlägt als Umfangsgleichung \(2x+y=32\) vor. Erkläre ihren Modellierungsfehler, stelle das richtige LGS auf und bestimme die Seitenlängen.
Abbildung zur Aufgabe 556529

Denkanstöße

- Welche Seiten tragen in der Abbildung die gleiche Beschriftung und die gleichen Strichmarkierungen? - Welche Seitenlänge kommt im Umfang deshalb zweimal vor? - Wie übersetzt du „jeder Schenkel ist 4 cm länger als die Basis“?

Lösung

1. In der Abbildung bezeichnet \(x\) die Basis und \(y\) jeden der beiden gleich langen Schenkel. Deshalb kommt \(y\) im Umfang zweimal vor, nicht \(x\). 2. Die richtige Umfangsgleichung ist \(x+2y=32\). 3. Weil jeder Schenkel \(4\,\text{cm}\) länger als die Basis ist, gilt \(y-x=4\). Das LGS lautet \(\begin{cases}x+2y=32\\y-x=4\end{cases}\). 4. Aus der zweiten Gleichung folgt \(y=x+4\). Einsetzen in die erste ergibt \(x+2(x+4)=32\), also \(x=8\) und \(y=12\).

Antwort

Mia hat Basis und Schenkel beim doppelten Auftreten im Umfang vertauscht. Richtig ist \(\begin{cases}x+2y=32\\y-x=4\end{cases}\). Die Basis ist \(8\,\text{cm}\) lang, die beiden Schenkel jeweils \(12\,\text{cm}\).
4137518
Ein rechteckiges Gartenbeet hat einen Umfang von \(40\,\text{m}\). Der Gärtner beschließt, die Form des Beetes zu verändern. Er vergrößert die Länge um \(2\,\text{m}\) und verkleinert die Breite um \(2\,\text{m}\). Dadurch verringert sich der Flächeninhalt des Beetes um \(12\,\text{m}^2\). Bestimme die ursprünglichen Maße des Beetes.

Denkanstöße

- Stelle zuerst eine Gleichung für den Umfang auf und vereinfache sie so weit wie möglich. - Schreibe Terme für den alten und den neuen Flächeninhalt auf. - Achte beim Subtrahieren der Flächeninhalte besonders auf die Klammern und die Vorzeichen. - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier nach der Vereinfachung an?

Lösung

1. Variablen definieren: \(l\) für die Länge und \(w\) für die Breite in \(\text{m}\). 2. Umfangsgleichung: \(2 \cdot (l + w) = 40 \implies l + w = 20\). 3. Flächengleichung aufstellen: Ursprüngliche Fläche \(A_1 = l \cdot w\). Neue Fläche \(A_2 = (l + 2) \cdot (w - 2)\). 4. Bedingung für die Flächenänderung: \(A_1 - A_2 = 12\). Einsetzen ergibt \(l \cdot w - (l + 2) \cdot (w - 2) = 12\). 5. Vereinfachen: \(l \cdot w - (l \cdot w - 2l + 2w - 4) = 12 \implies 2l - 2w + 4 = 12 \implies 2l - 2w = 8 \implies l - w = 4\). 6. LGS lösen: Aus \(l + w = 20\) und \(l - w = 4\) folgt durch Addition \(2l = 24\), also \(l = 12\). Durch Einsetzen erhält man \(w = 8\). Das Beet war ursprünglich \(12\,\text{m}\) lang und \(8\,\text{m}\) breit.

Antwort

Das ursprüngliche Beet hat eine Länge von \(12\,\text{m}\) und eine Breite von \(8\,\text{m}\).
4138008
Ein Rechteck hat eine Länge \(l\) und eine Breite \(b\). Wenn man die Länge um \(2\,\text{cm}\) vergrößert und die Breite um \(1\,\text{cm}\) verkleinert, ändert sich der Flächeninhalt des Rechtecks nicht. Wenn man hingegen die Länge um \(1\,\text{cm}\) verkleinert und die Breite um \(2\,\text{cm}\) vergrößert, nimmt der Flächeninhalt um \(12\,\text{cm}^2\) zu. Bestimme die ursprünglichen Maße des Rechtecks.

Denkanstöße

- Beschreibe den ursprünglichen und jeden veränderten Flächeninhalt zunächst als Produkt der jeweiligen Seitenlängen. - Übersetze beide Aussagen über die Flächeninhalte in Gleichungen, bevor du sie vereinfachst. - Vereinfache jede Flächengleichung vollständig und untersuche erst danach, welche Art von Gleichungssystem übrig bleibt. - Prüfe die gefundenen Maße an beiden Veränderungen aus dem Aufgabentext.

Lösung

1. Sei \(l\) die ursprüngliche Länge und \(b\) die ursprüngliche Breite in \(\text{cm}\). 2. Aus der ersten Bedingung folgt \((l+2)(b-1)=lb\). Ausmultiplizieren und vereinfachen ergibt \(-l+2b=2\). 3. Aus der zweiten Bedingung folgt \((l-1)(b+2)=lb+12\). Ausmultiplizieren und vereinfachen ergibt \(2l-b=14\). 4. Aus \(-l+2b=2\) folgt \(l=2b-2\). 5. Einsetzen in \(2l-b=14\): \(2(2b-2)-b=14 \Rightarrow 3b=18 \Rightarrow b=6\). 6. Damit ist \(l=2\cdot6-2=10\).

Antwort

Länge: \(10\,\text{cm}\); Breite: \(6\,\text{cm}\)
4243928
Zwei Quadrate haben Seitenlängen \(x\) und \(y\) mit \(x>y\). Die Summe der Seitenlängen beträgt \(22\,\text{cm}\), und die Differenz der Flächeninhalte beträgt \(88\,\text{cm}^2\). Formuliere aus den Angaben zunächst die Beziehungen für \(x\) und \(y\). Nutze die Differenz zweier Quadrate, um daraus ein lineares Gleichungssystem zu erhalten, und löse dieses System. Bestimme die beiden Seitenlängen.

Denkanstöße

- Formuliere zuerst die Summe der Seitenlängen und die Differenz der Flächen als Gleichungen. - Wie lässt sich \(x^2-y^2\) als Produkt schreiben, wenn \(x+y\) bereits bekannt ist? - Sobald du zwei lineare Gleichungen hast, löse das entstehende Gleichungssystem mit einem passenden bekannten Verfahren.

Lösung

1. Aus der Seitensumme folgt \(x+y=22\). 2. Aus der Flächendifferenz folgt \(x^2-y^2=88\). Mit \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) und \(x+y=22\) ergibt sich \(x-y=4\). 3. Damit liegt das lineare Gleichungssystem \(x+y=22\) und \(x-y=4\) vor. 4. Addieren der beiden Gleichungen ergibt \(2x=26\), also \(x=13\). 5. Einsetzen in \(x+y=22\) liefert \(y=9\).

Antwort

Lineares Gleichungssystem: \(x+y=22\) und \(x-y=4\). Lösung: \(x=13\,\text{cm}\), \(y=9\,\text{cm}\).
5532208
In einem Dreieck beträgt der dritte Winkel \(50^\circ\). Für die beiden anderen Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) gilt daher \(\alpha+\beta=130^\circ\). Konstruiere eine zweite lineare Winkelbedingung, sodass eindeutig \(\alpha=80^\circ\) und \(\beta=50^\circ\) folgt. Die neue Bedingung muss beide Variablen \(\alpha\) und \(\beta\) enthalten, darf keinen der beiden Zielwinkel einzeln direkt festlegen und darf kein Vielfaches von \(\alpha+\beta=130^\circ\) sein. Formuliere die Bedingung in Worten und als Gleichung und zeige mit dem entstehenden LGS, dass sie funktioniert. Mehrere Antworten sind möglich.

Denkanstöße

- Arbeite rückwärts mit beiden Zielwerten gleichzeitig. - Suche eine lineare Beziehung, in der sowohl \(\alpha\) als auch \(\beta\) vorkommen. - Prüfe, ob deine neue Gleichung wirklich eine andere Information als die Summengleichung enthält. - Löse dein konstruiertes System vollständig zur Kontrolle.

Lösung

1. Eine passende zusätzliche Bedingung ist: \(\alpha\) ist um \(30^\circ\) größer als \(\beta\). 2. Als Gleichung lautet sie \(\alpha-\beta=30^\circ\). Beide Variablen kommen vor, und die Gleichung ist kein Vielfaches der Summengleichung. 3. Das entstehende LGS lautet \(\begin{cases}\alpha+\beta=130^\circ\\\alpha-\beta=30^\circ\end{cases}\). Addition ergibt \(2\alpha=160^\circ\), also \(\alpha=80^\circ\). 4. Damit ist \(\beta=50^\circ\). Die gewünschte Lösung wird eindeutig erreicht.

Antwort

Zum Beispiel: „\(\alpha\) ist um \(30^\circ\) größer als \(\beta\).“ Dann gilt \(\begin{cases}\alpha+\beta=130^\circ\\\alpha-\beta=30^\circ\end{cases}\). Daraus folgt eindeutig \(\alpha=80^\circ\), \(\beta=50^\circ\).
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Ein Rechteck hat den Umfang \(34\,\text{cm}\). Verlängert man seine Länge um \(1\,\text{cm}\) und verkürzt die Breite um \(1\,\text{cm}\), wird seine Fläche um \(4\,\text{cm}^2\) kleiner. a) Zeige durch Ausmultiplizieren, dass aus der Flächenbedingung eine lineare Gleichung in Länge \(l\) und Breite \(b\) entsteht. b) Stelle zusammen mit der Umfangsbedingung ein LGS auf und bestimme \(l\) und \(b\). c) Verallgemeinere die Flächenbedingung: Die Länge wird um einen festen Wert \(k\,\text{cm}\) verlängert und die Breite um denselben Wert verkürzt, wobei \(k\ne0\) ist. Die Fläche soll dabei um \(D\,\text{cm}^2\) kleiner werden. Leite durch Ausmultiplizieren eine Beziehung zwischen \(l\), \(b\), \(k\) und \(D\) her und begründe, warum sie für feste \(k\) und \(D\) linear in \(l\) und \(b\) ist. d) Nutze deine Beziehung und die in b) bestimmten Seitenlängen, um für \(k=2\) die Flächenabnahme zu bestimmen, ohne alte und neue Fläche getrennt auszurechnen.

Denkanstöße

- Schreibe Umfang und veränderte Fläche zunächst vollständig mit \(l\) und \(b\) auf. - Achte beim Ausmultiplizieren darauf, welche Produktterme auf beiden Seiten vorkommen. - Behandle \(k\) und \(D\) in c) als feste Größen und ordne die übrigen Terme nach \(l\) und \(b\). - Nutze in d) die bereits gefundene Beziehung zwischen \(l\) und \(b\), statt zwei Flächen vollständig neu zu berechnen.

Lösung

1. Aus dem Umfang folgt \(2l+2b=34\), also \(l+b=17\). 2. Die Flächenbedingung lautet \((l+1)(b-1)=lb-4\). Ausmultiplizieren ergibt \(lb-l+b-1=lb-4\). Die Produktterme \(lb\) fallen weg, also \(l-b=3\). 3. Das LGS \(l+b=17\), \(l-b=3\) liefert durch Addition \(2l=20\), also \(l=10\) und \(b=7\). 4. Allgemein bedeutet die Flächenabnahme \((l+k)(b-k)=lb-D\). Ausmultiplizieren ergibt \(lb-kl+kb-k^2=lb-D\). 5. Nach dem Kürzen von \(lb\) folgt \(k(l-b)+k^2=D\). Für feste \(k\ne0\) und \(D\) ist das eine lineare Beziehung in \(l\) und \(b\); der Produktterm \(lb\) verschwindet unabhängig von den konkreten Seitenlängen. 6. Für \(l-b=3\) und \(k=2\) gilt \(D=2\cdot3+2^2=10\). Die Fläche nimmt also um \(10\,\text{cm}^2\) ab.

Antwort

a) Aus \((l+1)(b-1)=lb-4\) folgt linear \(l-b=3\). b) \(l=10\,\text{cm}\), \(b=7\,\text{cm}\) c) \(k(l-b)+k^2=D\); für feste \(k\ne0\) und \(D\) ist dies linear in \(l\) und \(b\). d) Für \(k=2\) nimmt die Fläche um \(10\,\text{cm}^2\) ab.

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