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Geometrische Aufgaben mit LGS

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5532178
Die Abbildung zeigt ein Rechteck. Die waagerechte Seite ist \(3\,\text{cm}\) länger als die senkrechte Seite, der Umfang beträgt \(26\,\text{cm}\). Welches LGS passt zu den in der Abbildung verwendeten Variablen? A: \(x+y=13\), \(x-y=3\) B: \(x+y=26\), \(x-y=3\) C: \(x+y=13\), \(y-x=3\)
Abbildung zur Aufgabe 553217

Denkanstöße

- Lies zuerst aus der Abbildung ab, welche Seite mit \(x\) und welche mit \(y\) bezeichnet ist. - Beim Rechteck kommen beide Seitenlängen im Umfang jeweils zweimal vor. - Übersetze „länger als“ als Differenz der beiden Seitenlängen.

Lösung

1. In der Abbildung bezeichnet \(x\) die waagerechte und \(y\) die senkrechte Seitenlänge. 2. Aus dem Umfang \(26\,\text{cm}\) folgt \(2x+2y=26\), also \(x+y=13\). 3. Die waagerechte Seite ist \(3\,\text{cm}\) länger, also \(x-y=3\). 4. Damit ist A korrekt.

Antwort

A: \(x+y=13\), \(x-y=3\)
4140627
In einem Dreieck ist der Winkel \(\beta\) doppelt so groß wie der Winkel \(\alpha\). Der dritte Winkel \(\gamma\) ist um \(30^\circ\) kleiner als \(\beta\). Berechne die Größen der drei Innenwinkel \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\).

Denkanstöße

- Nutze die Winkelsumme im Dreieck als Gesamtbedingung. - Drücke \(\beta\) und \(\gamma\) vollständig durch \(\alpha\) aus. - Prüfe am Ende sowohl die Winkelsumme als auch beide Beziehungen aus dem Text.

Lösung

1. Es gilt \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\), \(\beta=2\alpha\) und \(\gamma=\beta-30^\circ=2\alpha-30^\circ\). 2. Einsetzen in die Winkelsumme: \(\alpha+2\alpha+(2\alpha-30^\circ)=180^\circ\). 3. Zusammenfassen: \(5\alpha=210^\circ\), also \(\alpha=42^\circ\). 4. Damit ist \(\beta=84^\circ\) und \(\gamma=54^\circ\).

Antwort

\(\alpha=42^\circ\), \(\beta=84^\circ\), \(\gamma=54^\circ\)
4137508
Ein Rechteck hat einen Umfang von \(30\,\text{cm}\). Wenn man die längere Seite um \(3\,\text{cm}\) verkürzt und die kürzere Seite um \(2\,\text{cm}\) verlängert, entsteht ein Quadrat. Berechne die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks.

Denkanstöße

- Was bedeutet es für die Seitenlängen einer Figur, wenn sie ein Quadrat ist? - Kannst du eine Formel für den Umfang eines Rechtecks aufschreiben und die gegebenen Werte einsetzen? - Überlege dir, wie du die neuen Seitenlängen mithilfe der alten Seitenlängen ausdrücken kannst. - Skizziere das ursprüngliche Rechteck und das neue Quadrat.

Lösung

1. Variablen festlegen: \(l\) für die längere Seite und \(w\) für die kürzere Seite in \(\text{cm}\). 2. Gleichung für den Umfang aufstellen: \(2 \cdot (l + w) = 30\), vereinfacht zu \(l + w = 15\). 3. Gleichung für die Quadrat-Eigenschaft aufstellen: Da nach der Änderung ein Quadrat entsteht, müssen die neuen Seiten gleich lang sein: \(l - 3 = w + 2\). Umgeformt ergibt dies \(l - w = 5\). 4. Lineares Gleichungssystem lösen: Addieren der Gleichungen \((l + w) + (l - w) = 15 + 5\) ergibt \(2l = 20\), also \(l = 10\). 5. Einsetzen in die erste Gleichung: \(10 + w = 15\) ergibt \(w = 5\). Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks sind \(10\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\).

Antwort

Die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks betragen \(10\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\).
4137668
In einem Rechteck beträgt der Umfang \(54\,\text{cm}\). Die längere Seite des Rechtecks ist genau \(3\,\text{cm}\) kürzer als das Doppelte der kürzeren Seite. Berechne die Längen der beiden Seiten.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Formel für den Umfang eines Rechtecks. - Wie kannst du den Satz über das Verhältnis der Seitenlängen in eine mathematische Gleichung übersetzen? - Es ist oft hilfreich, eine der Variablen direkt durch die andere zu ersetzen, wenn eine Gleichung bereits nach einer Seite aufgelöst ist.

Lösung

1. Definition der Variablen: Länge \(l\) (längere Seite) und Breite \(b\) (kürzere Seite). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(2 \cdot (l + b) = 54\) (Umfangsformel) und \(l = 2b - 3\) (Verhältnis der Seiten). 3. Vereinfachung der Umfangsgleichung: \(l + b = 27\). 4. Einsetzen des Ausdrucks für \(l\) in die vereinfachte Umfangsgleichung: \((2b - 3) + b = 27\). 5. Zusammenfassen und Lösen nach \(b\): \(3b - 3 = 27 \Rightarrow 3b = 30 \Rightarrow b = 10\). 6. Berechnung der Länge \(l\): \(l = 2 \cdot 10 - 3 = 17\). 7. Ergebnis: Die Seitenlängen betragen \(17\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\).

Antwort

Die Seiten des Rechtecks sind \(17\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\) lang.
4137908
Der Umfang eines Rechtecks beträgt \(50\,\text{cm}\). Wenn man die ursprüngliche Länge um \(5\,\text{cm}\) vergrößert und die ursprüngliche Breite verdoppelt, vergrößert sich der Umfang auf \(80\,\text{cm}\). Bestimme die ursprüngliche Länge und Breite des Rechtecks.

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Überlege dir, wie die neuen Seitenlängen im Vergleich zu den alten aussehen. - Versuche, für den ersten und den zweiten Zustand jeweils eine Formel aufzustellen. - Kannst du eine der Gleichungen so vereinfachen, dass eine Variable leicht wegfällt?

Lösung

1. Variablen festlegen: \(x\) für die ursprüngliche Länge und \(y\) für die ursprüngliche Breite in \(\text{cm}\). 2. Gleichung für den ursprünglichen Umfang: \(2x + 2y = 50\), vereinfacht zu \(x + y = 25\). 3. Gleichung für den neuen Umfang: \(2 \cdot (x + 5) + 2 \cdot (2y) = 80\). 4. Vereinfachung der zweiten Gleichung: \(2x + 10 + 4y = 80 \implies 2x + 4y = 70 \implies x + 2y = 35\). 5. Subtraktionsverfahren: \((x + 2y) - (x + y) = 35 - 25 \implies y = 10\). 6. Berechnung von \(x\): \(x + 10 = 25 \implies x = 15\). Die ursprüngliche Länge beträgt \(15\,\text{cm}\) und die Breite \(10\,\text{cm}\).

Antwort

Die ursprüngliche Länge beträgt \(15\,\text{cm}\) und die Breite \(10\,\text{cm}\).
4137968
Bei einem Rechteck ist die Länge \(l\) genau \(4\,\text{cm}\) länger als die Breite \(b\). Wenn man die Länge des Rechtecks verdoppelt und die Breite beibehält, vergrößert sich der Umfang des Rechtecks um \(20\,\text{cm}\). Berechne die ursprüngliche Länge und Breite des Rechtecks.

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Was passiert mit der Formel für den Umfang, wenn sich nur eine Seite ändert? - Schreibe auf, wie lang die Seiten vor und nach der Änderung sind. - Welche Information im Text hilft dir, eine Beziehung zwischen Länge und Breite herzustellen?

Lösung

1. Definition der Variablen: \(l\) für die ursprüngliche Länge und \(b\) für die ursprüngliche Breite in \(\text{cm}\). 2. Aufstellen der ersten Gleichung: \(l = b + 4\). 3. Aufstellen der Umfangsformeln: Der ursprüngliche Umfang ist \(U_1 = 2l + 2b\). Der neue Umfang ist \(U_2 = 2 \cdot (2l) + 2b = 4l + 2b\). 4. Aufstellen der zweiten Gleichung aus der Umfangsdifferenz: \(U_2 - U_1 = 20 \implies (4l + 2b) - (2l + 2b) = 20\). 5. Vereinfachen der zweiten Gleichung: \(2l = 20 \implies l = 10\). 6. Berechnung von \(b\): Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(10 = b + 4 \implies b = 6\). Die ursprüngliche Länge beträgt \(10\,\text{cm}\) und die Breite \(6\,\text{cm}\).

Antwort

Die ursprüngliche Länge beträgt \(10\,\text{cm}\) und die ursprüngliche Breite beträgt \(6\,\text{cm}\).
4138028
In einem gleichschenkligen Dreieck ist der Winkel an der Spitze um \(15^\circ\) größer als einer der beiden Basiswinkel. Bestimme die Maße aller drei Innenwinkel des Dreiecks mithilfe eines Gleichungssystems.

Denkanstöße

- Was weißt du über die Summe aller Winkel in einem Dreieck? - Was ist das Besondere an den Basiswinkeln eines gleichschenkligen Dreiecks? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die den Zusammenhang zwischen den Winkeln beschreibt? - Überprüfe am Ende, ob deine berechneten Winkel zusammen \(180^\circ\) ergeben.

Lösung

1. Definition der Variablen: Sei \(\alpha\) der Basiswinkel und \(\gamma\) der Winkel an der Spitze. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: - Winkelsumme im Dreieck: \(2\alpha + \gamma = 180^\circ\) (da Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind). - Bedingung aus dem Text: \(\gamma = \alpha + 15^\circ\). 3. Einsetzen der Bedingung in die Winkelsumme: \(2\alpha + (\alpha + 15^\circ) = 180^\circ\). 4. Zusammenfassen: \(3\alpha + 15^\circ = 180^\circ \implies 3\alpha = 165^\circ\). 5. Lösen nach \(\alpha\): \(\alpha = 55^\circ\). 6. Berechnen von \(\gamma\): \(\gamma = 55^\circ + 15^\circ = 70^\circ\). 7. Die Winkel betragen \(55^\circ\), \(55^\circ\) und \(70^\circ\).

Antwort

Die beiden Basiswinkel betragen jeweils \(55^\circ\) und der Winkel an der Spitze beträgt \(70^\circ\).
4138058
Drei Geraden sind durch die folgenden Gleichungen in der allgemeinen Form gegeben: \(L_1: x - y = -2\) \(L_2: 2x + y = 8\) \(L_3: x + 2y = 4\) Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks, das durch die Schnittpunkte dieser Geraden entsteht.

Denkanstöße

- Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) eignet sich hier am besten für die jeweiligen Paare? - Kannst du die Gleichungen so umstellen, dass eine Variable alleine steht? - Überprüfe deine Ergebnisse, indem du die Koordinaten in die jeweils andere Gleichung des Paares einsetzt.

Lösung

1. Schnittpunkt von \(L_1\) und \(L_2\): Addition der Gleichungen \(x - y = -2\) und \(2x + y = 8\) eliminiert \(y\) und ergibt \(3x = 6\), also \(x = 2\). Einsetzen in \(L_1\) liefert \(2 - y = -2\), woraus \(y = 4\) folgt. Eckpunkt: \((2|4)\). 2. Schnittpunkt von \(L_1\) und \(L_3\): Auflösen von \(L_1\) nach \(y = x + 2\) und Einsetzen in \(L_3\) ergibt \(x + 2 \cdot (x + 2) = 4\). Vereinfachen führt zu \(3x + 4 = 4\), also \(x = 0\). Daraus folgt \(y = 0 + 2 = 2\). Eckpunkt: \((0|2)\). 3. Schnittpunkt von \(L_2\) und \(L_3\): Auflösen von \(L_2\) nach \(y = 8 - 2x\) und Einsetzen in \(L_3\) ergibt \(x + 2 \cdot (8 - 2x) = 4\). Dies führt zu \(-3x + 16 = 4\), also \(-3x = -12\) und \(x = 4\). Daraus folgt \(y = 8 - 2 \cdot 4 = 0\). Eckpunkt: \((4|0)\).

Antwort

Die Eckpunkte des Dreiecks liegen bei \((2|4)\), \((0|2)\) und \((4|0)\).
4138138
Ein rechteckiger Sportplatz hat einen Umfang von \(300\,\text{m}\). Ein zweiter, quadratischer Platz hat als Seitenlänge genau die Länge der längeren Seite des ersten Platzes. Der Umfang des quadratischen Platzes ist um \(160\,\text{m}\) größer als der des rechteckigen Platzes. Wie lang und wie breit ist der rechteckige Sportplatz?

Denkanstöße

- Kannst du die Informationen aus dem Text in zwei separate Gleichungen übersetzen? - Welche Beziehung besteht zwischen der Seitenlänge des Quadrats und den Maßen des Rechtecks? - Wie hängen Umfang und Seitenlängen bei einem Rechteck und bei einem Quadrat zusammen?

Lösung

1. Variablen \(l\) für die Länge und \(w\) für die Breite des rechteckigen Platzes festlegen. 2. Gleichungssystem aufstellen: \(2(l + w) = 300\) und \(4l = 300 + 160\). 3. Die zweite Gleichung nach \(l\) auflösen: \(4l = 460 \Rightarrow l = 115\). 4. Den Wert für \(l\) in die vereinfachte erste Gleichung \(l + w = 150\) einsetzen: \(115 + w = 150 \Rightarrow w = 35\). 5. Die Seitenlängen des rechteckigen Platzes betragen \(115\,\text{m}\) und \(35\,\text{m}\).

Antwort

Der rechteckige Sportplatz ist \(115\,\text{m}\) lang und \(35\,\text{m}\) breit.
4140637
Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich große Basiswinkel \(\alpha\) und \(\beta\) sowie den Spitzenwinkel \(\gamma\). Der Winkel \(\gamma\) ist genau \(1{,}5\)-mal so groß wie die Summe der beiden Basiswinkel. Bestimme alle drei Winkel.

Denkanstöße

- Welche Beziehung gilt zwischen den Basiswinkeln eines gleichschenkligen Dreiecks? - Drücke den Spitzenwinkel mithilfe nur eines Basiswinkels aus. - Nutze anschließend die Winkelsumme im Dreieck und kontrolliere alle Bedingungen.

Lösung

1. Wegen der Gleichschenkligkeit gilt \(\alpha=\beta\). Außerdem ist \(2\alpha+\gamma=180^\circ\). 2. Aus der weiteren Bedingung folgt \(\gamma=1{,}5(\alpha+\beta)=3\alpha\). 3. Einsetzen in die Winkelsumme: \(2\alpha+3\alpha=180^\circ\). 4. Damit ist \(\alpha=36^\circ\), also \(\beta=36^\circ\) und \(\gamma=108^\circ\).

Antwort

\(\alpha=36^\circ\), \(\beta=36^\circ\), \(\gamma=108^\circ\)
4140648
In einem rechtwinkligen Dreieck ist einer der beiden spitzen Winkel \(\alpha\) um \(12^\circ\) größer als das Dreifache des anderen spitzen Winkels \(\beta\). Berechne die Maße der beiden Winkel \(\alpha\) und \(\beta\).

Denkanstöße

- Wie groß ist die Summe der beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck? - Kannst du ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten aufstellen? - Welches Verfahren (Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren) eignet sich hier am besten?

Lösung

1. Aufstellen des Gleichungssystems: Da das Dreieck rechtwinklig ist, beträgt die Summe der beiden spitzen Winkel \(\alpha + \beta = 90^\circ\). Die zweite Bedingung lautet \(\alpha = 3\beta + 12^\circ\). 2. Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste: \((3\beta + 12^\circ) + \beta = 90^\circ\). 3. Zusammenfassen und Lösen nach \(\beta\): \(4\beta + 12^\circ = 90^\circ\), also \(4\beta = 78^\circ\). Dies ergibt \(\beta = 19{,}5^\circ\). 4. Berechnen von \(\alpha\): \(\alpha = 90^\circ - 19{,}5^\circ = 70{,}5^\circ\) (oder über die zweite Gleichung: \(3 \cdot 19{,}5^\circ + 12^\circ = 58{,}5^\circ + 12^\circ = 70{,}5^\circ\)).

Antwort

\(\alpha = 70{,}5^\circ\), \(\beta = 19{,}5^\circ\)
4243308
Ein Gärtner möchte ein rechteckiges Blumenbeet mit einem Umfang von \(84\,\text{m}\) anlegen. Dabei soll die Länge des Beets \(6\,\text{m}\) kürzer sein als das Dreifache seiner Breite. Ein Auszubildender behauptet: „Dann muss das Beet ja mindestens \(15\,\text{m}\) breit sein!“ Untersuche, ob der Auszubildende recht hat, indem du die Seitenlängen des Beets berechnest.

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Kannst du die Beziehung zwischen Länge und Breite als Gleichung schreiben? - Wenn du die Breite berechnet hast, vergleiche sie mit dem Wert aus der Behauptung. - Vergiss nicht, dass der Umfang aus zwei Längen und zwei Breiten besteht.

Lösung

1. Definition der Variablen: \(b\) für die Breite in \(\text{m}\) und \(l\) für die Länge in \(\text{m}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems basierend auf Umfang und Längenverhältnis: I: \(2l + 2b = 84\) (bzw. \(l + b = 42\)) II: \(l = 3b - 6\) 3. Einsetzen von Gleichung II in die vereinfachte Gleichung I: \((3b - 6) + b = 42\). 4. Lösen nach \(b\): \(4b - 6 = 42 \Rightarrow 4b = 48 \Rightarrow b = 12\). 5. Bestimmung der Länge \(l\): \(l = 3 \cdot 12 - 6 = 30\). 6. Überprüfung der Behauptung: Die Breite beträgt \(12\,\text{m}\). Da \(12 < 15\), ist die Behauptung des Auszubildenden falsch.

Antwort

Der Auszubildende hat nicht recht. Das Beet ist \(12\,\text{m}\) breit und \(30\,\text{m}\) lang.
4243988
Zwei Metallstangen, Stange \(A\) und Stange \(B\), können durch Verlängerungsstücke ergänzt werden. Es gibt ein langes Stück (\(50\,\text{cm}\)) und ein kurzes Stück (\(10\,\text{cm}\)). - Stange \(A\) ist mit dem langen Stück genau doppelt so lang wie Stange \(B\) mit dem kurzen Stück. - Stange \(B\) ist mit dem langen Stück genau \(\frac{3}{4}\) so lang wie Stange \(A\) mit dem kurzen Stück. Wie lang sind die beiden Metallstangen ursprünglich?

Denkanstöße

- Stelle für jede der beiden Bedingungen eine Gleichung mit zwei Variablen auf. - Achte darauf, wie die Klammern gesetzt werden müssen, wenn sich die Längenänderung auf die gesamte Stange bezieht. - Überlege, wie du den Bruch in der zweiten Gleichung am geschicktesten eliminieren kannst. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die berechneten Längen in die ursprünglichen Bedingungen einsetzt.

Lösung

1. Variablen festlegen: \(a\) für die Länge von Stange \(A\) und \(b\) für die Länge von Stange \(B\) in \(\text{cm}\). 2. Bedingung 1 als Gleichung: \(a + 50 = 2 \cdot (b + 10)\). 3. Bedingung 2 als Gleichung: \(b + 50 = \frac{3}{4} \cdot (a + 10)\). 4. Erste Gleichung nach \(a\) umformen: \(a = 2b + 20 - 50 = 2b - 30\). 5. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(b + 50 = \frac{3}{4} \cdot (2b - 30 + 10) = \frac{3}{4} \cdot (2b - 20)\). 6. Mit \(4\) multiplizieren, um den Bruch zu eliminieren: \(4b + 200 = 3 \cdot (2b - 20) \Rightarrow 4b + 200 = 6b - 60\). 7. Nach \(b\) auflösen: \(260 = 2b \Rightarrow b = 130\). 8. \(a\) berechnen: \(a = 2 \cdot 130 - 30 = 230\).

Antwort

Stange \(A\) ist \(230\,\text{cm}\) lang und Stange \(B\) ist \(130\,\text{cm}\) lang.
5532188
Die Abbildung zeigt ein gleichschenkliges Dreieck mit einem Umfang von \(25\,\text{cm}\). Nutze die Seitenbeschriftungen und die Gleichheitsmarkierungen aus der Abbildung. a) Stelle ein lineares Gleichungssystem für \(x\) und \(y\) auf. b) Löse das System und gib anschließend die drei Seitenlängen des Dreiecks an.
Abbildung zur Aufgabe 553218

Denkanstöße

- Die Strichmarkierungen liefern eine Gleichung zwischen zwei beschrifteten Seiten. - Für die zweite Gleichung brauchst du alle drei Seitenbeschriftungen und den Umfang. - Prüfe nach dem Lösen sowohl die Gleichheitsmarkierung als auch den Umfang.

Lösung

1. Die gleich markierten Schenkel haben die Längen \(x+2\) und \(2y-1\). Daher gilt \(x+2=2y-1\), also \(x-2y=-3\). 2. Aus dem Umfang folgt \(x+(x+2)+(2y-1)=25\). Vereinfacht ist das \(x+y=12\). 3. Aus \(x+y=12\) folgt \(x=12-y\). Einsetzen in \(x-2y=-3\) ergibt \(12-3y=-3\), also \(y=5\) und \(x=7\). 4. Die Seitenlängen sind damit \(7\,\text{cm}\), \(9\,\text{cm}\) und \(9\,\text{cm}\).

Antwort

a) Zum Beispiel: \(x-2y=-3\), \(x+y=12\) b) \(x=7\), \(y=5\); Seitenlängen \(7\,\text{cm}\), \(9\,\text{cm}\), \(9\,\text{cm}\)
5532198
In der nicht maßstabsgetreuen Abbildung liegen die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) nebeneinander an einer Geraden. Zusätzlich ist \(\alpha\) um \(24^\circ\) größer als \(\beta\). Jona stellt als erste Gleichung \(\alpha+\beta=360^\circ\) auf. Erkläre seinen Fehler, stelle das richtige LGS auf und bestimme beide Winkel.
Abbildung zur Aufgabe 553219

Denkanstöße

- Beschreibe zuerst, welche geometrische Gesamtfigur die beiden markierten Winkel bilden. - Übersetze „um \(24^\circ\) größer“ in eine Differenzbeziehung. - Prüfe am Ende Summe und Differenz deiner Winkel.

Lösung

1. Die beiden Winkel bilden zusammen einen gestreckten Winkel. Deshalb beträgt ihre Summe \(180^\circ\), nicht \(360^\circ\). 2. Das richtige LGS lautet \(\alpha+\beta=180^\circ\) und \(\alpha-\beta=24^\circ\). 3. Addieren ergibt \(2\alpha=204^\circ\), also \(\alpha=102^\circ\). 4. Damit ist \(\beta=78^\circ\).

Antwort

Jona hat einen Vollwinkel statt eines gestreckten Winkels verwendet. Richtig ist \(\alpha+\beta=180^\circ\), \(\alpha-\beta=24^\circ\). Daher \(\alpha=102^\circ\) und \(\beta=78^\circ\).
4137518
Ein rechteckiges Gartenbeet hat einen Umfang von \(40\,\text{m}\). Der Gärtner beschließt, die Form des Beetes zu verändern. Er vergrößert die Länge um \(2\,\text{m}\) und verkleinert die Breite um \(2\,\text{m}\). Dadurch verringert sich der Flächeninhalt des Beetes um \(12\,\text{m}^2\). Bestimme die ursprünglichen Maße des Beetes.

Denkanstöße

- Stelle zuerst eine Gleichung für den Umfang auf und vereinfache sie so weit wie möglich. - Schreibe Terme für den alten und den neuen Flächeninhalt auf. - Achte beim Subtrahieren der Flächeninhalte besonders auf die Klammern und die Vorzeichen. - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier nach der Vereinfachung an?

Lösung

1. Variablen definieren: \(l\) für die Länge und \(w\) für die Breite in \(\text{m}\). 2. Umfangsgleichung: \(2 \cdot (l + w) = 40 \implies l + w = 20\). 3. Flächengleichung aufstellen: Ursprüngliche Fläche \(A_1 = l \cdot w\). Neue Fläche \(A_2 = (l + 2) \cdot (w - 2)\). 4. Bedingung für die Flächenänderung: \(A_1 - A_2 = 12\). Einsetzen ergibt \(l \cdot w - (l + 2) \cdot (w - 2) = 12\). 5. Vereinfachen: \(l \cdot w - (l \cdot w - 2l + 2w - 4) = 12 \implies 2l - 2w + 4 = 12 \implies 2l - 2w = 8 \implies l - w = 4\). 6. LGS lösen: Aus \(l + w = 20\) und \(l - w = 4\) folgt durch Addition \(2l = 24\), also \(l = 12\). Durch Einsetzen erhält man \(w = 8\). Das Beet war ursprünglich \(12\,\text{m}\) lang und \(8\,\text{m}\) breit.

Antwort

Das ursprüngliche Beet hat eine Länge von \(12\,\text{m}\) und eine Breite von \(8\,\text{m}\).
4138008
Ein Rechteck hat eine Länge \(l\) und eine Breite \(b\). Wenn man die Länge um \(2\,\text{cm}\) vergrößert und die Breite um \(1\,\text{cm}\) verkleinert, ändert sich der Flächeninhalt des Rechtecks nicht. Wenn man hingegen die Länge um \(1\,\text{cm}\) verkleinert und die Breite um \(2\,\text{cm}\) vergrößert, nimmt der Flächeninhalt um \(12\,\text{cm}^2\) zu. Bestimme die ursprünglichen Maße des Rechtecks.

Denkanstöße

- Beschreibe den ursprünglichen und jeden veränderten Flächeninhalt zunächst als Produkt der jeweiligen Seitenlängen. - Übersetze beide Aussagen über die Flächeninhalte in Gleichungen, bevor du sie vereinfachst. - Vereinfache jede Flächengleichung vollständig und untersuche erst danach, welche Art von Gleichungssystem übrig bleibt. - Prüfe die gefundenen Maße an beiden Veränderungen aus dem Aufgabentext.

Lösung

1. Sei \(l\) die ursprüngliche Länge und \(b\) die ursprüngliche Breite in \(\text{cm}\). 2. Aus der ersten Bedingung folgt \((l+2)(b-1)=lb\). Ausmultiplizieren und vereinfachen ergibt \(-l+2b=2\). 3. Aus der zweiten Bedingung folgt \((l-1)(b+2)=lb+12\). Ausmultiplizieren und vereinfachen ergibt \(2l-b=14\). 4. Aus \(-l+2b=2\) folgt \(l=2b-2\). 5. Einsetzen in \(2l-b=14\): \(2(2b-2)-b=14 \Rightarrow 3b=18 \Rightarrow b=6\). 6. Damit ist \(l=2\cdot6-2=10\).

Antwort

Länge: \(10\,\text{cm}\); Breite: \(6\,\text{cm}\)
4138148
Ein Rechteck hat einen Umfang von \(40\,\text{cm}\). Wenn man eine Seite um \(3\,\text{cm}\) verlängert und die andere um \(2\,\text{cm}\) verkürzt, bleibt der Flächeninhalt des Rechtecks unverändert. Berechne die ursprünglichen Seitenlängen des Rechtecks.

Denkanstöße

- Stelle eine Formel für den Umfang und eine für den Flächeninhalt auf. - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn sich der Flächeninhalt „nicht verändert“? - Wie kannst du das Produkt zweier Klammern wie \((x + 3)(y - 2)\) vereinfachen?

Lösung

1. Seitenlängen als \(x\) und \(y\) definieren und Gleichungssystem aufstellen: \(2(x + y) = 40\) und \((x + 3)(y - 2) = xy\). 2. Erste Gleichung zu \(x = 20 - y\) umformen. 3. Zweite Gleichung ausmultiplizieren und vereinfachen: \(xy - 2x + 3y - 6 = xy \Rightarrow -2x + 3y = 6\). 4. Substitution von \(x\): \(-2(20 - y) + 3y = 6 \Rightarrow -40 + 2y + 3y = 6 \Rightarrow 5y = 46 \Rightarrow y = 9{,}2\). 5. Berechnung der zweiten Seite: \(x = 20 - 9{,}2 = 10{,}8\). 6. Die ursprünglichen Seitenlängen sind \(10{,}8\,\text{cm}\) und \(9{,}2\,\text{cm}\).

Antwort

Die Seitenlängen des Rechtecks betragen \(10{,}8\,\text{cm}\) und \(9{,}2\,\text{cm}\).
4141728
Ein Rechteck hat eine besondere Eigenschaft: Verkürzt man seine Länge um \(3\,\text{cm}\) und verlängert gleichzeitig seine Breite um \(2\,\text{cm}\), so entsteht ein Quadrat. Dieses Quadrat hat denselben Flächeninhalt wie das ursprüngliche Rechteck. Stelle aus den beiden Bedingungen ein lineares Gleichungssystem für die ursprüngliche Länge \(L\) und Breite \(B\) auf und bestimme die Seitenlängen.

Denkanstöße

- Übersetze zuerst die Aussage „es entsteht ein Quadrat“ in eine Beziehung zwischen den veränderten Seitenlängen. - Schreibe die Flächengleichheit zunächst als Produktgleichung und vereinfache sie vollständig. - Prüfe, welche zwei linearen Gleichungen nach dem Vereinfachen vorliegen, und löse genau dieses Gleichungssystem. - Kontrolliere am Ende sowohl die Quadratbedingung als auch die Flächengleichheit.

Lösung

1. Aus der Quadratbedingung folgt \(L-3=B+2\), also \(L-B=5\). 2. Aus der Flächengleichheit folgt \(LB=(L-3)(B+2)\). 3. Ausmultiplizieren und auf beiden Seiten \(LB\) abziehen ergibt \(2L-3B=6\). 4. Damit lautet das lineare Gleichungssystem \(L-B=5\) und \(2L-3B=6\). 5. Die erste Gleichung mit \(2\) multiplizieren: \(2L-2B=10\). 6. Davon die zweite Gleichung subtrahieren: \(B=4\). 7. Aus \(L-B=5\) folgt \(L=9\). 8. Die veränderten Seiten sind jeweils \(6\,\text{cm}\); ihre Fläche \(36\,\text{cm}^2\) stimmt mit \(9\cdot4=36\,\text{cm}^2\) überein.

Antwort

\(L=9\,\text{cm}\), \(B=4\,\text{cm}\)
4243648
Ein Gärtner möchte ein rechteckiges Beet anlegen. Er experimentiert mit den Maßen: Würde er die geplante Länge um \(2\,\text{m}\) vergrößern und gleichzeitig die Breite um \(1\,\text{m}\) verringern, so bliebe der Flächeninhalt des Beetes exakt gleich. Würde er jedoch die geplante Länge um \(3\,\text{m}\) verringern und die Breite um \(3\,\text{m}\) vergrößern, so würde der Flächeninhalt des Beetes um \(6\,\text{m}^2\) zunehmen. Bestimme die ursprünglich geplanten Maße (Länge und Breite) des Beetes.

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Stelle für jede der beiden Änderungen eine Gleichung auf, die den neuen Flächeninhalt mit dem alten vergleicht. - Kürzen sich Terme weg, wenn du die Klammern auflöst? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um das entstandene Gleichungssystem zu lösen?

Lösung

1. Definition der Variablen: \(l\) für die ursprüngliche Länge und \(w\) für die ursprüngliche Breite in Metern. Der Flächeninhalt ist \(A = lw\). 2. Aufstellen der ersten Gleichung: \((l + 2)(w - 1) = lw\). Ausmultiplizieren ergibt \(lw - l + 2w - 2 = lw\), was zu \(-l + 2w = 2\) vereinfacht wird. 3. Aufstellen der zweiten Gleichung: \((l - 3)(w + 3) = lw + 6\). Ausmultiplizieren ergibt \(lw + 3l - 3w - 9 = lw + 6\), was zu \(3l - 3w = 15\) bzw. \(l - w = 5\) vereinfacht wird. 4. Lösen des Systems: Aus der zweiten Gleichung folgt \(l = w + 5\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(-(w + 5) + 2w = 2 \implies -w - 5 + 2w = 2 \implies w = 7\). 5. Berechnung der Länge: \(l = 7 + 5 = 12\).

Antwort

Das Beet ist ursprünglich \(12\,\text{m}\) lang und \(7\,\text{m}\) breit.
4243928
Gegeben sind zwei Quadrate. Die Summe ihrer Seitenlängen beträgt \(22\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt des größeren Quadrats ist um \(88\,\text{cm}^2\) größer als der Flächeninhalt des kleineren Quadrats. Berechne die Seitenlängen der beiden Quadrate.

Denkanstöße

- Übersetze die Angaben über die Seitenlängensumme und die Flächendifferenz in zwei Gleichungen. - Die Differenz zweier Quadrate lässt sich als Produkt aus Differenz und Summe der Seitenlängen schreiben. - Nutze danach das entstandene lineare Gleichungssystem.

Lösung

1. Sei \(x\) die Seitenlänge des größeren und \(y\) die Seitenlänge des kleineren Quadrats. Dann gilt \(x+y=22\) und \(x^2-y^2=88\). 2. Mit \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) folgt \((x-y) \cdot 22=88\), also \(x-y=4\). 3. Aus \(x+y=22\) und \(x-y=4\) ergibt das Additionsverfahren \(2x=26\), also \(x=13\). 4. Damit ist \(y=9\).

Antwort

Die Seitenlängen betragen \(13\,\text{cm}\) und \(9\,\text{cm}\).
4280688
Ein Theatersaal hat eine feste Anzahl an Sitzreihen mit jeweils der gleichen Anzahl an Plätzen pro Reihe. Für eine Modernisierung werden zwei Varianten geprüft: Variante A: Würde man 2 zusätzliche Reihen einbauen und in jeder Reihe 5 Plätze mehr schaffen, könnten 200 Zuschauer mehr Platz finden. Variante B: Würde man 5 Reihen entfernen und jede verbleibende Reihe um 2 Plätze kürzen, gäbe es insgesamt 150 Plätze weniger als bisher. Berechne, wie viele Reihen der Saal aktuell hat und wie viele Plätze sich in einer Reihe befinden.

Denkanstöße

- Stelle für jedes Szenario eine Gleichung auf, die den neuen Zustand mit dem alten Zustand vergleicht. - Achte beim Ausmultiplizieren der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Nach dem Vereinfachen erhältst du ein klassisches System mit zwei Variablen. - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du die Werte in die ursprünglichen Bedingungen einsetzt.

Lösung

1. Variablen festlegen: \(x\) für die Anzahl der Reihen, \(y\) für die Anzahl der Plätze pro Reihe. 2. Gleichungssystem aufstellen: \((x + 2) \cdot (y + 5) = xy + 200\) und \((x - 5) \cdot (y - 2) = xy - 150\). 3. Terme vereinfachen: Gleichung 1: \(xy + 5x + 2y + 10 = xy + 200 \implies 5x + 2y = 190\). Gleichung 2: \(xy - 2x - 5y + 10 = xy - 150 \implies 2x + 5y = 160\). 4. System lösen (z. B. Additionsverfahren): Erste Gleichung mit 5 multiplizieren (\(25x + 10y = 950\)), zweite Gleichung mit \(-2\) multiplizieren (\(-4x - 10y = -320\)). 5. Addition der Gleichungen: \(21x = 630 \implies x = 30\). 6. Einsetzen zur Bestimmung von \(y\): \(2 \cdot 30 + 5y = 160 \implies 60 + 5y = 160 \implies 5y = 100 \implies y = 20\).

Antwort

Der Theatersaal hat aktuell 30 Reihen mit jeweils 20 Plätzen pro Reihe.
5532208
In einem Dreieck beträgt der dritte Winkel \(50^\circ\). Für die beiden anderen Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) gilt daher \(\alpha+\beta=130^\circ\). Konstruiere eine zweite lineare Winkelbedingung, sodass eindeutig \(\alpha=80^\circ\) und \(\beta=50^\circ\) folgt. Formuliere die Bedingung in Worten und als Gleichung und zeige mit dem entstehenden LGS, dass sie funktioniert. Mehrere gleichwertige Formulierungen sind möglich.

Denkanstöße

- Arbeite rückwärts von den gewünschten Winkelwerten. - Suche eine lineare Beziehung zwischen \(\alpha\) und \(\beta\), die beide Zielwerte erfüllt. - Die neue Bedingung darf nicht nur eine Umformung von \(\alpha+\beta=130^\circ\) sein. - Löse dein selbst konstruiertes System zur Kontrolle vollständig.

Lösung

1. Eine passende zusätzliche Bedingung ist: \(\alpha\) ist um \(30^\circ\) größer als \(\beta\). 2. Als Gleichung lautet sie \(\alpha-\beta=30^\circ\). 3. Zusammen mit \(\alpha+\beta=130^\circ\) ergibt Addition \(2\alpha=160^\circ\), also \(\alpha=80^\circ\). 4. Damit ist \(\beta=50^\circ\). Die gewünschte Lösung wird eindeutig erreicht.

Antwort

Zum Beispiel: „\(\alpha\) ist um \(30^\circ\) größer als \(\beta\).“ Dann gilt \(\alpha-\beta=30^\circ\) zusammen mit \(\alpha+\beta=130^\circ\), woraus eindeutig \(\alpha=80^\circ\) und \(\beta=50^\circ\) folgt.
4138038
Eine Figur soll die Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes mit einem Umfang von \(24\,\text{cm}\) haben. Die beiden Schenkel und die kürzere der beiden parallelen Seiten sollen alle gleich lang sein. Die längere Basis soll genau dreimal so lang sein wie eine dieser drei kürzeren Seiten. Berechne die daraus folgenden Seitenlängen und begründe mathematisch, ob ein solches nicht entartetes Trapez als ebene Figur existiert.

Denkanstöße

- Stelle eine Gleichung für den Umfang und eine zweite für das vorgegebene Seitenverhältnis auf. - Zerlege die gedachte Figur gedanklich mit einer Diagonale in zwei Dreiecke. - Welche strenge Ungleichung gilt in jedem nicht entarteten Dreieck für eine Seite und die beiden anderen Seiten?

Lösung

1. Sei \(x\) die Länge der drei gleich langen kürzeren Seiten und \(y\) die Länge der längeren Basis. 2. Aus dem Umfang folgt \(y+3x=24\). Aus dem Seitenverhältnis folgt \(y=3x\). 3. Einsetzen ergibt \(3x+3x=24 \Rightarrow x=4\). 4. Damit ist \(y=12\). Die vier Seitenlängen wären also \(12\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\). 5. Bezeichne die längere Basis mit \(AB\), die kürzere mit \(CD\) und die Schenkel mit \(AD\) und \(BC\). Eine Diagonale \(AC\) zerlegt ein nicht entartetes Trapez in zwei Dreiecke. Für \(\triangle ACD\) gilt nach der Dreiecksungleichung \(AC<AD+DC=8\,\text{cm}\). 6. Für \(\triangle ABC\) müsste zugleich \(AB<AC+CB\) gelten. Damit wäre \(AB<8\,\text{cm}+4\,\text{cm}=12\,\text{cm}\). Tatsächlich ist aber \(AB=12\,\text{cm}\). Das ist ein Widerspruch; ein nicht entartetes Trapez existiert daher nicht.

Antwort

Die Seitenlängen wären \(12\,\text{cm}\) und dreimal \(4\,\text{cm}\). Ein nicht entartetes Trapez existiert nicht: Die Dreiecksungleichung in den beiden durch eine Diagonale entstehenden Dreiecken würde \(AB<AD+DC+CB=12\,\text{cm}\) verlangen, obwohl \(AB=12\,\text{cm}\) ist.
5532218
Ein Rechteck hat den Umfang \(34\,\text{cm}\). Verlängert man seine Länge um \(1\,\text{cm}\) und verkürzt die Breite um \(1\,\text{cm}\), wird seine Fläche um \(4\,\text{cm}^2\) kleiner. a) Zeige durch Ausmultiplizieren, dass aus der Flächenbedingung eine lineare Gleichung in Länge \(l\) und Breite \(b\) entsteht. b) Stelle zusammen mit der Umfangsbedingung ein LGS auf und bestimme \(l\) und \(b\). c) Verallgemeinere die Flächenbedingung: Die Länge wird um einen festen Wert \(k\,\text{cm}\) verlängert und die Breite um denselben Wert verkürzt, wobei \(k\ne0\) ist. Die Fläche soll dabei um \(D\,\text{cm}^2\) kleiner werden. Leite durch Ausmultiplizieren eine Beziehung zwischen \(l\), \(b\), \(k\) und \(D\) her und begründe, warum sie für feste \(k\) und \(D\) linear in \(l\) und \(b\) ist. d) Nutze deine Beziehung und die in b) bestimmten Seitenlängen, um für \(k=2\) die Flächenabnahme zu bestimmen, ohne alte und neue Fläche getrennt auszurechnen.

Denkanstöße

- Schreibe Umfang und veränderte Fläche zunächst vollständig mit \(l\) und \(b\) auf. - Achte beim Ausmultiplizieren darauf, welche Produktterme auf beiden Seiten vorkommen. - Behandle \(k\) und \(D\) in c) als feste Größen und ordne die übrigen Terme nach \(l\) und \(b\). - Nutze in d) die bereits gefundene Beziehung zwischen \(l\) und \(b\), statt zwei Flächen vollständig neu zu berechnen.

Lösung

1. Aus dem Umfang folgt \(2l+2b=34\), also \(l+b=17\). 2. Die Flächenbedingung lautet \((l+1)(b-1)=lb-4\). Ausmultiplizieren ergibt \(lb-l+b-1=lb-4\). Die Produktterme \(lb\) fallen weg, also \(l-b=3\). 3. Das LGS \(l+b=17\), \(l-b=3\) liefert durch Addition \(2l=20\), also \(l=10\) und \(b=7\). 4. Allgemein bedeutet die Flächenabnahme \((l+k)(b-k)=lb-D\). Ausmultiplizieren ergibt \(lb-kl+kb-k^2=lb-D\). 5. Nach dem Kürzen von \(lb\) folgt \(k(l-b)+k^2=D\). Für feste \(k\ne0\) und \(D\) ist das eine lineare Beziehung in \(l\) und \(b\); der Produktterm \(lb\) verschwindet unabhängig von den konkreten Seitenlängen. 6. Für \(l-b=3\) und \(k=2\) gilt \(D=2\cdot3+2^2=10\). Die Fläche nimmt also um \(10\,\text{cm}^2\) ab.

Antwort

a) Aus \((l+1)(b-1)=lb-4\) folgt linear \(l-b=3\). b) \(l=10\,\text{cm}\), \(b=7\,\text{cm}\) c) \(k(l-b)+k^2=D\); für feste \(k\ne0\) und \(D\) ist dies linear in \(l\) und \(b\). d) Für \(k=2\) nimmt die Fläche um \(10\,\text{cm}^2\) ab.

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