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Bewegungsaufgaben mit LGS

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5532228
Ein Boot fährt flussabwärts mit \(18\,\text{km/h}\) und flussaufwärts mit \(10\,\text{km/h}\). Dabei sei \(v\) die Geschwindigkeit des Boots im stillen Wasser und \(s\) die Strömungsgeschwindigkeit. Welches LGS beschreibt die Situation korrekt? A: \(\begin{cases}v-s=18\\v+s=10\end{cases}\) B: \(\begin{cases}v+s=28\\v-s=8\end{cases}\) C: \(\begin{cases}v+s=18\\v-s=10\end{cases}\)

Denkanstöße

- Überlege getrennt, wie die Strömung flussabwärts und flussaufwärts wirkt. - Die Geschwindigkeit im stillen Wasser ist in beiden Fahrtrichtungen dieselbe Grundgröße.

Lösung

1. Flussabwärts erhöht die Strömung die Geschwindigkeit des Boots, daher gilt \(v+s=18\). 2. Flussaufwärts wirkt die Strömung entgegen, daher gilt \(v-s=10\). 3. Somit ist C korrekt.

Antwort

C: \(\begin{cases}v+s=18\\v-s=10\end{cases}\)
4230177
Ein Fahrsteig an einem Flughafen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit. Wenn Julia in Fahrtrichtung geht, bewegt sie sich mit \(2{,}5\,\text{m/s}\) gegenüber dem Boden. Wenn sie mit derselben Schrittgeschwindigkeit entgegen der Fahrtrichtung geht, beträgt ihre Geschwindigkeit gegenüber dem Boden \(0{,}7\,\text{m/s}\). Berechne Julias Gehgeschwindigkeit und die Geschwindigkeit des Fahrsteigs.

Denkanstöße

- Welche zwei Geschwindigkeiten wirken zusammen? - Wie unterscheiden sich die beiden Situationen in der Bewegungsrichtung? - Welche Rechenoperation mit den beiden Gleichungen entfernt direkt die Geschwindigkeit des Fahrsteigs?

Lösung

1. Setze \(v_J\) für Julias Gehgeschwindigkeit und \(v_F\) für die Geschwindigkeit des Fahrsteigs. Dann gilt \(\begin{cases}v_J+v_F=2{,}5\\v_J-v_F=0{,}7\end{cases}\). 2. Addition ergibt \(2v_J=3{,}2\), also \(v_J=1{,}6\,\text{m/s}\). 3. Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(v_F=0{,}9\,\text{m/s}\).

Antwort

Julias Gehgeschwindigkeit beträgt \(1{,}6\,\text{m/s}\), die Geschwindigkeit des Fahrsteigs \(0{,}9\,\text{m/s}\).
5532238
Zwei Wanderer starten gleichzeitig an den Enden eines \(24\,\text{km}\) langen Weges und gehen einander entgegen. Nach \(3\,\text{h}\) treffen sie sich. Der schnellere Wanderer geht \(2\,\text{km/h}\) schneller als der langsamere. Für ihre Geschwindigkeiten \(v\) und \(w\) ist bereits das LGS \(\begin{cases}v+w=8\\v-w=2\end{cases}\) aufgestellt. a) Löse das LGS. b) Deute beide Werte im Sachzusammenhang. c) Prüfe mit den Geschwindigkeiten sowohl die Geschwindigkeitsdifferenz als auch die in \(3\,\text{h}\) gemeinsam zurückgelegten \(24\,\text{km}\).

Denkanstöße

- Die Gleichungen enthalten einmal Summe und einmal Differenz derselben Größen. - Ordne nach dem Lösen die größere Geschwindigkeit dem schnelleren Wanderer zu. - Für die Kontrolle gilt Strecke = Geschwindigkeit mal Zeit.

Lösung

1. Addition der beiden Gleichungen ergibt \(2v=10\), also \(v=5\,\text{km/h}\). 2. Aus der ersten Gleichung folgt \(w=3\,\text{km/h}\). 3. Damit ist \(v\) die Geschwindigkeit des schnelleren und \(w\) die des langsameren Wanderers. 4. Kontrolle: \(5-3=2\,\text{km/h}\). In \(3\,\text{h}\) legen sie \(15\,\text{km}\) und \(9\,\text{km}\) zurück, zusammen \(24\,\text{km}\).

Antwort

a) \(v=5\,\text{km/h}\), \(w=3\,\text{km/h}\). b) Der schnellere Wanderer geht \(5\,\text{km/h}\), der langsamere \(3\,\text{km/h}\). c) Differenz \(2\,\text{km/h}\); gemeinsame Strecke in \(3\,\text{h}\): \(15+9=24\,\text{km}\).
5565308
Das Diagramm zeigt die Positionen von Nora und Ben auf demselben geraden Weg. Beide bewegen sich in dieselbe Richtung. \(t\) ist die Zeit in Stunden, \(s\) die Position in Kilometern vom gemeinsamen Bezugspunkt. Die Geraden sind mit n für Nora und b für Ben beschriftet. a) Lies für beide Personen die Startposition und die Geschwindigkeit ab. b) Stelle die beiden Positionsgleichungen auf. c) Lies ab, nach welcher Zeit Nora Ben einholt und an welcher Position das geschieht.
Abbildung zur Aufgabe 556530

Denkanstöße

- Die Position bei \(t=0\) ist der Startwert der jeweiligen Geraden. - Die Positionsänderung pro Stunde entspricht der Steigung und damit der Geschwindigkeit. - Der Schnittpunkt bedeutet, dass beide zur gleichen Zeit dieselbe Position haben.

Lösung

1. Nora startet bei \(s=0\) und ihre Position wächst um \(4\,\text{km}\) pro Stunde. Daher fährt sie \(4\,\text{km/h}\). 2. Ben startet bei \(s=4\,\text{km}\) und seine Position wächst um \(2\,\text{km}\) pro Stunde. Daher fährt er \(2\,\text{km/h}\). 3. Die Positionsgleichungen sind \(s_N=4t\) und \(s_B=2t+4\). 4. Die Geraden schneiden sich bei \(S(2|8)\). Nora holt Ben nach \(2\,\text{h}\) bei Kilometer 8 ein.

Antwort

a) Nora: Start \(0\,\text{km}\), \(4\,\text{km/h}\); Ben: Start \(4\,\text{km}\), \(2\,\text{km/h}\). b) \(s_N=4t\), \(s_B=2t+4\). c) Nach \(2\,\text{h}\) bei Kilometer 8.
4137717
Ein Ausflugsschiff legt auf einem Fluss eine Strecke von \(36\,\text{km}\) zurück. Wenn es mit der Strömung fährt, benötigt es für diese Distanz genau \(2\) Stunden. Für die Rückfahrt gegen die Strömung braucht das Schiff aufgrund des Widerstands \(3\) Stunden. Berechne die Eigengeschwindigkeit des Schiffes (seine Geschwindigkeit in stehendem Wasser) und die Fließgeschwindigkeit des Flusses in \(\text{km/h}\).

Denkanstöße

- Wie setzen sich die Geschwindigkeiten zusammen, wenn das Wasser das Schiff anschiebt oder bremst? - Kannst du aus der Strecke und der Zeit die jeweilige Geschwindigkeit über Grund berechnen? - Stelle für beide Situationen (mit und gegen die Strömung) eine Gleichung auf. - Welches Verfahren eignet sich am besten, um eine der Unbekannten schnell zu eliminieren?

Lösung

1. Definition der Variablen: \(v_S\) für die Eigengeschwindigkeit des Schiffes und \(v_F\) für die Fließgeschwindigkeit des Wassers. 2. Aufstellen der Geschwindigkeitsgleichungen: Mit der Strömung beträgt die Geschwindigkeit \(v_S + v_F = \frac{36}{2} = 18\,\text{km/h}\). Gegen die Strömung beträgt sie \(v_S - v_F = \frac{36}{3} = 12\,\text{km/h}\). 3. Lösen des Gleichungssystems durch Addition: \((v_S + v_F) + (v_S - v_F) = 18 + 12 \Rightarrow 2v_S = 30 \Rightarrow v_S = 15\,\text{km/h}\). 4. Bestimmung der Fließgeschwindigkeit durch Einsetzen: \(15 + v_F = 18 \Rightarrow v_F = 3\,\text{km/h}\).

Antwort

Die Eigengeschwindigkeit des Schiffes beträgt \(15\,\text{km/h}\) und die Fließgeschwindigkeit des Flusses beträgt \(3\,\text{km/h}\).
4137727
Ein Sportflugzeug fliegt die \(450\,\text{km}\) lange Strecke von Stadt A nach Stadt B bei konstantem Rückenwind in 1 Stunde und 30 Minuten. Auf dem Rückweg weht der Wind mit derselben Stärke von vorne, sodass das Flugzeug für dieselbe Strecke 1 Stunde und 48 Minuten benötigt. Bestimme die Windgeschwindigkeit und die Geschwindigkeit des Flugzeugs bei Windstille.

Denkanstöße

- Wandle beide Flugzeiten zuerst in Stunden um. - Berechne aus Strecke und Zeit die beiden Geschwindigkeiten über Grund. - Wie wirken sich Rückenwind und Gegenwind auf die Eigengeschwindigkeit aus?

Lösung

1. Die Flugzeiten sind \(1{,}5\,\text{h}\) und \(1{,}8\,\text{h}\). Daraus folgen die Geschwindigkeiten über Grund \(450:1{,}5=300\,\text{km/h}\) und \(450:1{,}8=250\,\text{km/h}\). 2. Setze \(v_F\) für die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs und \(v_W\) für die Windgeschwindigkeit. Dann gilt \(\begin{cases}v_F+v_W=300\\v_F-v_W=250\end{cases}\). 3. Addition ergibt \(2v_F=550\), also \(v_F=275\,\text{km/h}\). 4. Mit der ersten Gleichung folgt \(v_W=25\,\text{km/h}\).

Antwort

Die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs beträgt \(275\,\text{km/h}\), die Windgeschwindigkeit \(25\,\text{km/h}\).
4138338
Zwei Inlineskater, Aylin und Ben, starten gleichzeitig an zwei \(45\,\text{km}\) voneinander entfernten Punkten eines langen Radwegs und fahren einander entgegen. Nach genau \(1{,}5\,\text{h}\) begegnen sie sich. Ben fährt im Durchschnitt \(6\,\text{km/h}\) schneller als Aylin. a) Definiere Variablen für beide Geschwindigkeiten und stelle aus Treffzeit, Gesamtstrecke und Geschwindigkeitsdifferenz ein LGS auf. b) Löse das LGS. c) Prüfe beide Angaben mit deinen Ergebnissen.

Denkanstöße

- Welche Strecken legen beide Personen bis zum Treffpunkt zusammen zurück? - Wie hängt Strecke mit Geschwindigkeit und Zeit zusammen? - Nutze die Geschwindigkeitsdifferenz als zweite unabhängige Gleichung.

Lösung

1. Setze \(v_A\) für Aylins und \(v_B\) für Bens Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\). 2. Aus der Begegnung folgt \(1{,}5v_A+1{,}5v_B=45\). Aus der Differenz folgt \(v_B-v_A=6\). Das LGS lautet \(\begin{cases}1{,}5v_A+1{,}5v_B=45\\v_B-v_A=6\end{cases}\). 3. Die erste Gleichung vereinfacht sich zu \(v_A+v_B=30\). Zusammen mit der zweiten ergibt sich \(2v_B=36\), also \(v_B=18\) und \(v_A=12\). 4. Kontrolle: \(1{,}5\cdot12+1{,}5\cdot18=45\) und \(18-12=6\).

Antwort

a) \(\begin{cases}1{,}5v_A+1{,}5v_B=45\\v_B-v_A=6\end{cases}\) b) Aylin: \(12\,\text{km/h}\), Ben: \(18\,\text{km/h}\) c) Beide Angaben werden erfüllt.
4243368
Zwei Züge fahren mit jeweils konstanter Geschwindigkeit. Es wird beobachtet, dass Zug A in 4 Stunden und Zug B in 3 Stunden zusammen eine Strecke von \(620\,\text{km}\) zurücklegen. Zudem ist bekannt, dass die Strecke, die Zug A in 2 Stunden bewältigt, um \(140\,\text{km}\) kürzer ist als die Strecke, die Zug B in 3 Stunden schafft. Bestimme die Geschwindigkeiten der beiden Züge in \(\text{km/h}\).

Denkanstöße

- Was wird in der Aufgabe gesucht? Definiere passende Variablen für die Geschwindigkeiten. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Zeit und Weg. - Versuche, für jede der beiden Beobachtungen eine eigene Gleichung aufzustellen. - Achte genau darauf, welcher Zug in der zweiten Beobachtung eine größere Strecke zurücklegt. - Wie kannst du das Gleichungssystem so umformen, dass eine Variable wegfällt?

Lösung

1. Definition der Variablen: \(v_A\) als Geschwindigkeit von Zug A und \(v_B\) als Geschwindigkeit von Zug B in \(\text{km/h}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems basierend auf der Formel für die Strecke (\(s = vt\)): \(4v_A + 3v_B = 620\) und \(2v_A = 3v_B - 140\). 3. Anwendung des Einsetzungsverfahrens: Die zweite Gleichung liefert direkt den Term \(3v_B = 2v_A + 140\). 4. Einsetzen dieses Terms in die erste Gleichung: \(4v_A + (2v_A + 140) = 620\). 5. Zusammenfassen und Lösen der Gleichung nach \(v_A\): \(6v_A + 140 = 620 \implies 6v_A = 480 \implies v_A = 80\). 6. Ermittlung von \(v_B\) durch Einsetzen von \(v_A\) in den Term aus Schritt 3: \(3v_B = 2 \cdot 80 + 140 = 300 \implies v_B = 100\).

Antwort

Zug A fährt mit einer Geschwindigkeit von \(80\,\text{km/h}\), Zug B mit \(100\,\text{km/h}\).
4243397
Ein Kurierfahrer möchte ein Paket pünktlich zustellen. Er berechnet zwei Szenarien für seine Fahrt: Wenn er mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von \(60\,\text{km/h}\) fährt, kommt er \(10\,\text{Minuten}\) nach dem vereinbarten Termin an. Erhöht er seine Geschwindigkeit auf \(80\,\text{km/h}\), erreicht er sein Ziel bereits \(5\,\text{Minuten}\) vor dem Termin. Berechne die Entfernung zum Zielort und die für die Fahrt eingeplante Zeit.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie du die Zeitangaben in Minuten in die Einheit Stunden umrechnen kannst, damit sie zur Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\) passen. - Kannst du für beide Szenarien einen Term für die Strecke aufstellen? - Was weißt du über die Entfernung in beiden Fällen? - Versuche, ein Gleichungssystem mit der Zeit und der Strecke als Unbekannte zu bilden.

Lösung

1. Festlegen der Variablen: Sei \(t\) die geplante Fahrzeit in Stunden und \(s\) die Entfernung in \(\text{km}\). 2. Umrechnung der Zeitdifferenzen in Stunden: \(10\,\text{Minuten} = \frac{1}{6}\,\text{h}\) und \(5\,\text{Minuten} = \frac{1}{12}\,\text{h}\). 3. Aufstellen der Gleichungen für die Entfernung: \(s = 60 \cdot (t + \frac{1}{6})\) und \(s = 80 \cdot (t - \frac{1}{12})\). 4. Gleichsetzen der Ausdrücke für \(s\): \(60t + 10 = 80t - \frac{80}{12}\). 5. Vereinfachen und Lösen nach \(t\): \(60t + 10 = 80t - \frac{20}{3} \Rightarrow 20t = 10 + \frac{20}{3} \Rightarrow 20t = \frac{50}{3} \Rightarrow t = \frac{50}{60}\,\text{h}\). 6. Umrechnung der Zeit: \(t = \frac{5}{6}\,\text{h} = 50\,\text{Minuten}\). 7. Berechnung der Entfernung \(s\): \(s = 60 \cdot (\frac{50}{60} + \frac{10}{60}) = 60 \cdot 1 = 60\,\text{km}\).

Antwort

Die Entfernung zum Zielort beträgt \(60\,\text{km}\) und die eingeplante Fahrzeit beträgt \(50\,\text{Minuten}\).
4243498
Zwei kleine Elektroboote starten an zwei \(60\,\text{km}\) voneinander entfernten Stegen eines langen Kanals und fahren einander entgegen. Starten beide gleichzeitig, treffen sie sich nach \(2\,\text{h}\). Bei einem zweiten Versuch startet Boot B \(3\,\text{h}\) früher als Boot A; dann begegnen sie sich \(1\,\text{h}\) nach dem Start von A. Beide Boote fahren in jedem Versuch mit ihrer jeweils konstanten Geschwindigkeit. Bestimme die Geschwindigkeiten der beiden Boote.

Denkanstöße

- Wie lange fährt jedes Boot im zweiten Versuch bis zur Begegnung? - In beiden Versuchen addieren sich die zurückgelegten Strecken zu \(60\,\text{km}\). - Vereinfache die erste Gleichung, bevor du sie in die zweite einsetzt.

Lösung

1. Setze \(v_A\) und \(v_B\) für die Geschwindigkeiten in \(\text{km/h}\). 2. Beim gleichzeitigen Start gilt \(2v_A+2v_B=60\), also \(v_A+v_B=30\). 3. Beim zweiten Versuch fährt B insgesamt \(4\,\text{h}\), A nur \(1\,\text{h}\). Daher gilt \(v_A+4v_B=60\). Das LGS lautet \(\begin{cases}v_A+v_B=30\\v_A+4v_B=60\end{cases}\). 4. Aus der ersten Gleichung folgt \(v_A=30-v_B\). 5. Einsetzen in die zweite ergibt \(30-v_B+4v_B=60\), also \(v_B=10\). 6. Damit ist \(v_A=20\).

Antwort

Boot A fährt \(20\,\text{km/h}\), Boot B \(10\,\text{km/h}\).
4243787
Lukas macht eine Radtour mit seinem E-Bike über eine Strecke von insgesamt \(54\,\text{km}\). Den ersten Teil der Strecke fährt er im „Eco“-Modus mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von \(18\,\text{km/h}\). Für den zweiten Teil schaltet er in den „Sport“-Modus und erreicht dort eine Durchschnittsgeschwindigkeit von \(27\,\text{km/h}\). Insgesamt ist er genau \(2{,}5\,\text{Stunden}\) unterwegs. Bestimme, wie viele Kilometer Lukas in jedem der beiden Modi zurückgelegt hat.

Denkanstöße

- Wie hängen Geschwindigkeit, Weg und Zeit zusammen? - Kannst du für jeden Teilabschnitt einen Ausdruck für die benötigte Zeit aufstellen? - Welche zwei Informationen über die gesamte Tour sind im Text gegeben? - Versuche, die Zeitgleichung durch Multiplikation mit einer geeigneten Zahl bruchfrei zu machen.

Lösung

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Strecke im Eco-Modus und \(y\) für die Strecke im Sport-Modus (in \(\text{km}\)). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(x + y = 54\) (Gesamtstrecke) und \(\frac{x}{18} + \frac{y}{27} = 2{,}5\) (Gesamtzeit als Summe der Teilzeiten \(t = \frac{s}{v}\)). 3. Multiplikation der zweiten Gleichung mit dem Hauptnenner \(54\): \(3x + 2y = 135\). 4. Einsetzen von \(y = 54 - x\) in die umgeformte Zeitgleichung: \(3x + 2 \cdot (54 - x) = 135\). 5. Auflösen nach \(x\): \(3x + 108 - 2x = 135 \implies x = 27\). 6. Berechnen von \(y\): \(y = 54 - 27 = 27\). Lukas ist in beiden Modi jeweils \(27\,\text{km}\) gefahren.

Antwort

Lukas ist \(27\,\text{km}\) im Eco-Modus und \(27\,\text{km}\) im Sport-Modus gefahren.
4244088
Ein Frachtschiff fährt zwischen zwei Häfen, die \(24\,\text{km}\) voneinander entfernt sind. Flussaufwärts benötigt es bei gleichbleibender Motorleistung \(2\) Stunden, flussabwärts \(1{,}5\) Stunden. a) Definiere Variablen für die Eigengeschwindigkeit des Schiffs in stehendem Wasser und die Fließgeschwindigkeit. Leite aus beiden Fahrten ein LGS her und löse es. b) Prüfe deine beiden Geschwindigkeiten, indem du daraus die Fahrzeiten für \(24\,\text{km}\) flussaufwärts und flussabwärts zurückrechnest. c) Wie viele Stunden benötigt ein antriebsloses Floß für die gesamte Strecke flussabwärts?

Denkanstöße

- Berechne zuerst aus Strecke und Zeit die beiden beobachteten Geschwindigkeiten über Grund. - Wie wirken Eigen- und Strömungsgeschwindigkeit flussaufwärts beziehungsweise flussabwärts zusammen? - Prüfe die Fahrzeiten wieder, indem du \(24\,\text{km}\) durch die jeweilige Geschwindigkeit über Grund teilst. - Ein antriebsloses Floß besitzt keine Eigengeschwindigkeit gegenüber dem Wasser.

Lösung

1. Setze \(v\) für die Eigengeschwindigkeit und \(s\) für die Strömungsgeschwindigkeit in \(\text{km/h}\). 2. Flussaufwärts beträgt die effektive Geschwindigkeit \(24:2=12\,\text{km/h}\), also \(v-s=12\). 3. Flussabwärts beträgt sie \(24:1{,}5=16\,\text{km/h}\), also \(v+s=16\). Damit lautet das LGS \(\begin{cases}v-s=12\\v+s=16\end{cases}\). 4. Addition liefert \(2v=28\), also \(v=14\,\text{km/h}\). Damit ist \(s=2\,\text{km/h}\). 5. Kontrolle: \(24:(14-2)=2\,\text{h}\) und \(24:(14+2)=1{,}5\,\text{h}\). 6. Ein Floß bewegt sich mit der Strömungsgeschwindigkeit. Daher benötigt es \(24:2=12\,\text{h}\).

Antwort

a) Zum Beispiel \(v\) = Eigengeschwindigkeit, \(s\) = Strömungsgeschwindigkeit; \(\begin{cases}v-s=12\\v+s=16\end{cases}\). Damit \(v=14\,\text{km/h}\), \(s=2\,\text{km/h}\). b) Rückrechnung: \(2\,\text{h}\) flussaufwärts und \(1{,}5\,\text{h}\) flussabwärts. c) \(12\,\text{h}\).
4321988
Zwei Radfahrer, Jonas und Marie, machen eine Fahrradtour auf derselben Strecke. Jonas startet zu Hause und fährt konstant \(15\,\text{km/h}\). Marie startet gleichzeitig von einem Treffpunkt, der bereits \(10\,\text{km}\) von Jonas' Haus entfernt ist, und fährt konstant \(10\,\text{km/h}\). Das Diagramm zeigt ihre Entfernung \(s\) von Jonas' Haus in Abhängigkeit von der Fahrzeit \(t\). Die Geraden sind mit j für Jonas und m für Marie beschriftet. 1. Stelle für Jonas und Marie jeweils eine lineare Gleichung für \(s\) in Abhängigkeit von \(t\) auf. 2. Lies den Schnittpunkt aus dem Diagramm ab und erkläre seine Bedeutung im Sachzusammenhang. 3. Berechne den Schnittpunkt rechnerisch und bestätige damit das grafische Ergebnis.
Abbildung zur Aufgabe 432198

Denkanstöße

- Welche Startentfernung und welche Geschwindigkeit gehören jeweils zu Jonas und Marie? - Wie erscheinen Startwert und Geschwindigkeit in einer linearen Positionsgleichung? - Was bedeutet ein Schnittpunkt zweier Weg-Zeit-Geraden im Sachzusammenhang?

Lösung

1. Jonas startet bei \(s=0\) mit \(15\,\text{km/h}\), daher gilt \(s_J(t)=15t\). Marie startet bei \(s=10\,\text{km}\) mit \(10\,\text{km/h}\), daher gilt \(s_M(t)=10t+10\). 2. Im Diagramm schneiden sich die Geraden bei \(S(2|30)\). Nach \(2\,\text{h}\) holt Jonas Marie bei Kilometer 30 ein. 3. Rechnerisch gilt am Treffpunkt \(15t=10t+10\). Daraus folgt \(5t=10\), also \(t=2\,\text{h}\). Einsetzen ergibt \(s=30\,\text{km}\) und bestätigt das Diagramm.

Antwort

1. Jonas: \(s_J(t)=15t\); Marie: \(s_M(t)=10t+10\). 2. \(S(2|30)\); nach \(2\,\text{h}\) holt Jonas Marie bei Kilometer 30 ein. 3. Rechnerisch ergibt sich ebenfalls \(t=2\,\text{h}\) und \(s=30\,\text{km}\).
5532248
Das Diagramm zeigt die Positionen von Lara und Noah auf einem geraden Weg. \(t\) ist die Zeit in Stunden, \(s\) die Position in Kilometern gemessen vom selben Startpunkt. Die Geraden sind mit la für Lara und n für Noah beschriftet. a) Lies aus dem Diagramm die Startpositionen und die Geschwindigkeiten beider Personen ab. Gib bei Noah zusätzlich die Bewegungsrichtung an. b) Stelle die beiden linearen Positionsgleichungen auf. c) Bestimme aus dem Schnittpunkt, wann und wo sich Lara und Noah treffen.
Abbildung zur Aufgabe 553224

Denkanstöße

- Der Achsenabschnitt bei \(t=0\) zeigt die Startposition jeder Person. - Die Änderung der Position pro Stunde entspricht der Steigung; ihr Vorzeichen zeigt die Richtung. - Was bedeutet der gemeinsame Punkt beider Geraden für Zeit und Position?

Lösung

1. Lara startet bei \(s=0\) und ihre Position steigt pro Stunde um \(4\,\text{km}\). Ihre Geschwindigkeit beträgt \(4\,\text{km/h}\). 2. Noah startet bei \(s=18\,\text{km}\). Seine Position sinkt pro Stunde um \(2\,\text{km}\); er bewegt sich also mit \(2\,\text{km/h}\) in Richtung kleinerer Positionswerte. 3. Die Positionsgleichungen sind \(s_L=4t\) und \(s_N=18-2t\). 4. Der Schnittpunkt ist \(S(3|12)\). Beide treffen sich nach \(3\,\text{h}\) bei Kilometer 12.

Antwort

a) Lara: Start bei \(0\,\text{km}\), \(4\,\text{km/h}\); Noah: Start bei \(18\,\text{km}\), \(2\,\text{km/h}\) in Richtung kleinerer Positionswerte. b) \(s_L=4t\), \(s_N=18-2t\). c) Nach \(3\,\text{h}\) treffen sie sich bei Kilometer 12.
5532258
Bei zwei Trainingseinheiten fahren Aylin und Bo mit konstanten Geschwindigkeiten \(v\) und \(w\) in \(\text{km/h}\). In der ersten Einheit fährt Aylin \(30\) Minuten und Bo \(45\) Minuten; zusammen legen sie \(21\,\text{km}\) zurück. In der zweiten Einheit fährt Aylin \(1\) Stunde und Bo \(30\) Minuten; zusammen legen sie \(26\,\text{km}\) zurück. Bo schreibt für die erste Einheit \(30v+45w=21\). Erkläre den Modellierungsfehler, stelle das richtige LGS auf und bestimme beide Geschwindigkeiten.

Denkanstöße

- Prüfe vor der Gleichungsaufstellung, ob Zeit- und Geschwindigkeitseinheiten zusammenpassen. - Schreibe alle Fahrzeiten in derselben Zeiteinheit wie bei \(\text{km/h}\). - Jede Gleichung beschreibt eine Summe zweier zurückgelegter Strecken. - Kontrolliere die Geschwindigkeiten an beiden Trainingseinheiten.

Lösung

1. Die Geschwindigkeiten sind in \(\text{km/h}\) gegeben. Deshalb müssen die Fahrzeiten in Stunden eingesetzt werden; \(30\) Minuten sind \(0{,}5\,\text{h}\), \(45\) Minuten sind \(0{,}75\,\text{h}\). 2. Das richtige LGS lautet \(0{,}5v+0{,}75w=21\) und \(v+0{,}5w=26\). 3. Multiplizieren der ersten Gleichung mit \(4\) ergibt \(2v+3w=84\). Multiplizieren der zweiten mit \(2\) ergibt \(2v+w=52\). 4. Subtraktion liefert \(2w=32\), also \(w=16\). 5. Aus \(v+0{,}5w=26\) folgt \(v=18\).

Antwort

Bo hat Minuten direkt mit Geschwindigkeiten in \(\text{km/h}\) multipliziert. Richtig ist \(0{,}5v+0{,}75w=21\), \(v+0{,}5w=26\). Aylin fährt \(18\,\text{km/h}\), Bo \(16\,\text{km/h}\).
4137738
Ein Radfahrer fährt eine \(20\,\text{km}\) lange Strecke hin und zurück. Auf dem Hinweg hat er Rückenwind und fährt \(32\,\text{km/h}\), auf dem Rückweg bei gleich starkem Gegenwind \(24\,\text{km/h}\). a) Definiere Variablen für die Geschwindigkeit bei Windstille und die Windgeschwindigkeit. Stelle aus Hin- und Rückfahrt ein LGS auf, löse es und prüfe beide beobachteten Geschwindigkeiten. b) Der Radfahrer behauptet: „Der Wind auf dem Hinweg hat mir genauso viel Zeit gespart, wie er mich auf dem Rückweg gekostet hat. Insgesamt war ich also genauso schnell wie bei Windstille.“ Prüfe die Behauptung, indem du beide Gesamtfahrzeiten vergleichst. Gib die Zeiten in Minuten auf eine Dezimalstelle an.

Denkanstöße

- Unterscheide die eigene Fahrgeschwindigkeit von der Windgeschwindigkeit. - Welche Summe beziehungsweise Differenz entsteht bei Rücken- und Gegenwind? - Prüfe die beiden gefundenen Geschwindigkeiten direkt an den Angaben. - Berechne für Teil b) die Fahrzeiten mit \(t=s:v\).

Lösung

1. Setze \(v_R\) für die Geschwindigkeit bei Windstille und \(v_W\) für die Windgeschwindigkeit. Dann gilt \(\begin{cases}v_R+v_W=32\\v_R-v_W=24\end{cases}\). 2. Addition liefert \(2v_R=56\), also \(v_R=28\,\text{km/h}\). Damit ist \(v_W=4\,\text{km/h}\). 3. Kontrolle: \(28+4=32\) und \(28-4=24\). 4. Mit Wind beträgt die Hinwegzeit \(20:32=0{,}625\,\text{h}=37{,}5\,\text{min}\), die Rückwegzeit \(20:24=\frac{5}{6}\,\text{h}=50\,\text{min}\). Insgesamt sind das \(87{,}5\,\text{min}\). 5. Ohne Wind beträgt die Gesamtzeit \(40:28=\frac{10}{7}\,\text{h}\approx85{,}7\,\text{min}\). 6. Da \(87{,}5\,\text{min}>85{,}7\,\text{min}\), ist die Behauptung falsch.

Antwort

a) Zum Beispiel \(v_R\) = Geschwindigkeit bei Windstille, \(v_W\) = Windgeschwindigkeit; \(\begin{cases}v_R+v_W=32\\v_R-v_W=24\end{cases}\). Damit \(v_R=28\,\text{km/h}\), \(v_W=4\,\text{km/h}\); beide Geschwindigkeitsangaben werden erfüllt. b) Die Behauptung ist falsch. Mit Wind dauert die Hin- und Rückfahrt \(87{,}5\,\text{min}\), bei Windstille \(\approx85{,}7\,\text{min}\).
4243478
Ein Ausflugsdampfer legt auf einem Fluss eine Strecke von \(60\,\text{km}\) mit der Strömung und anschließend \(36\,\text{km}\) gegen die Strömung zurück. Die gesamte Fahrt dauert \(6\) Stunden. Ein anderes Mal benötigt der Dampfer für \(40\,\text{km}\) mit der Strömung und \(60\,\text{km}\) gegen die Strömung insgesamt \(7\) Stunden. Berechne die Eigengeschwindigkeit des Dampfers bei stehendem Wasser und die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses.

Denkanstöße

- Welche Formel verbindet Weg, Zeit und Geschwindigkeit? - Wie verändert sich die Geschwindigkeit des Bootes, wenn es mit oder gegen die Strömung fährt? - Kannst du die Gesamtfahrzeit als Summe zweier einzelner Zeitabschnitte darstellen? - Es könnte hilfreich sein, zuerst die Geschwindigkeiten relativ zum Ufer als unbekannte Größen zu behandeln. - Erinnerst du dich an ein Verfahren, um Gleichungen mit Variablen im Nenner einfacher zu lösen?

Lösung

1. Definition der Variablen: \(v_b\) als Eigengeschwindigkeit des Bootes und \(v_s\) als Strömungsgeschwindigkeit des Wassers. 2. Bestimmung der Geschwindigkeiten relativ zum Ufer: mit der Strömung \(x = v_b + v_s\), gegen die Strömung \(y = v_b - v_s\). 3. Aufstellen des Gleichungssystems basierend auf \(t = \frac{s}{v}\): \(\frac{60}{x} + \frac{36}{y} = 6\) und \(\frac{40}{x} + \frac{60}{y} = 7\). 4. Substitution zur Vereinfachung (\(u = \frac{1}{x}\), \(w = \frac{1}{y}\)): \(60u + 36w = 6\) und \(40u + 60w = 7\). 5. Lösen des linearen Systems: Aus der ersten Gleichung folgt \(10u + 6w = 1 \Rightarrow w = \frac{1 - 10u}{6}\). Einsetzen in die zweite Gleichung: \(40u + 60 \cdot \frac{1 - 10u}{6} = 7 \Rightarrow 40u + 10 - 100u = 7 \Rightarrow -60u = -3 \Rightarrow u = \frac{1}{20}\). Daraus folgt \(w = \frac{1 - 0{,}5}{6} = \frac{1}{12}\). 6. Rücksubstitution: \(x = 20\,\text{km/h}\) und \(y = 12\,\text{km/h}\). 7. Berechnung der gesuchten Werte: \(v_b = \frac{20 + 12}{2} = 16\,\text{km/h}\) und \(v_s = 20 - 16 = 4\,\text{km/h}\).

Antwort

Die Eigengeschwindigkeit des Dampfers beträgt \(16\,\text{km/h}\) und die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses beträgt \(4\,\text{km/h}\).
4243548
In einer Computersimulation legen drei Fahrzeuge – ein Traktor, ein Lkw und ein Rennwagen – dieselbe virtuelle Teststrecke zurück. Der Lkw fährt um \(20\,\text{km/h}\) schneller als der Traktor und benötigt dadurch 3 Stunden weniger. Der Rennwagen ist um \(30\,\text{km/h}\) schneller als der Lkw und benötigt für dieselbe Strecke 2 Stunden weniger als der Lkw. Wie groß sind die Geschwindigkeiten der drei Fahrzeuge und wie lang ist die Teststrecke?

Denkanstöße

- Wähle Geschwindigkeit und Fahrzeit eines Fahrzeugs als Ausgangsvariablen. - Drücke die Werte der beiden anderen Fahrzeuge relativ dazu aus. - Welche Größe ist in allen drei Fahrten identisch und lässt sich jeweils als Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit darstellen? - Was passiert mit dem gemeinsamen Produktterm nach dem Ausmultiplizieren?

Lösung

1. Setze \(v_T\) für die Geschwindigkeit des Traktors und \(t_T\) für seine Fahrzeit. Dann fährt der Lkw mit \(v_T+20\) in \(t_T-3\) Stunden und der Rennwagen mit \(v_T+50\) in \(t_T-5\) Stunden. 2. Weil die Strecke jeweils gleich ist, gilt \(v_Tt_T=(v_T+20)(t_T-3)\) und \(v_Tt_T=(v_T+50)(t_T-5)\). 3. Nach Ausmultiplizieren und Kürzen erhältst du das lineare LGS \(\begin{cases}20t_T-3v_T=60\\10t_T-v_T=50\end{cases}\). 4. Aus der zweiten Gleichung folgt \(v_T=10t_T-50\). Einsetzen in die erste ergibt \(t_T=9\,\text{h}\), damit \(v_T=40\,\text{km/h}\). 5. Folglich fährt der Lkw \(60\,\text{km/h}\), der Rennwagen \(90\,\text{km/h}\). Die Strecke ist \(40\cdot9=360\,\text{km}\) lang.

Antwort

Traktor: \(40\,\text{km/h}\); Lkw: \(60\,\text{km/h}\); Rennwagen: \(90\,\text{km/h}\). Die Teststrecke ist \(360\,\text{km}\) lang.
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Ein Linienbus legt täglich dieselbe Strecke mit einer konstanten Durchschnittsgeschwindigkeit zurück. An Tagen mit besonders wenig Verkehr kann der Bus seine Geschwindigkeit im Durchschnitt um \(10\,\text{km/h}\) steigern und spart dadurch \(4\,\text{Minuten}\) Fahrzeit ein. Bei starkem Regen hingegen sinkt die Durchschnittsgeschwindigkeit um \(10\,\text{km/h}\), wodurch der Bus \(6\,\text{Minuten}\) länger als üblich unterwegs ist. Bestimme die übliche Durchschnittsgeschwindigkeit des Busses und die Länge der gefahrenen Strecke.

Denkanstöße

- Verwende für alle drei Situationen dieselbe Strecke und achte darauf, Minuten in Stunden umzuwandeln. - Drücke die Strecke jeweils als Geschwindigkeit mal Fahrzeit aus. - Vereinfache beide entstehenden Gleichungen vollständig, bevor du entscheidest, wie das Gleichungssystem zu lösen ist. - Prüfe deine Ergebnisse anschließend in beiden veränderten Fahrsituationen.

Lösung

1. Sei \(v\) die übliche Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\) und \(t\) die übliche Fahrzeit in \(\text{h}\). Dann ist die Strecke \(s=vt\). 2. Die Zeitänderungen sind \(4\,\text{min}=\frac{1}{15}\,\text{h}\) und \(6\,\text{min}=\frac{1}{10}\,\text{h}\). 3. Da die Strecke gleich bleibt, gilt \(vt=(v+10)(t-\frac{1}{15})\) und \(vt=(v-10)(t+\frac{1}{10})\). 4. Die erste Gleichung vereinfacht sich zu \(150t-v=10\). 5. Die zweite Gleichung vereinfacht sich zu \(v-100t=10\). 6. Addieren ergibt \(50t=20\), also \(t=0{,}4\,\text{h}\). 7. Aus \(v-100t=10\) folgt \(v=50\,\text{km/h}\). 8. Damit ist \(s=50\,\text{km/h}\cdot0{,}4\,\text{h}=20\,\text{km}\).

Antwort

Übliche Durchschnittsgeschwindigkeit: \(50\,\text{km/h}\); Strecke: \(20\,\text{km}\)
5532268
Die Kurierfahrerin Anna und der Kurierfahrer Ben fahren mit konstanten Geschwindigkeiten. In einer Testfahrt fährt Anna \(2\,\text{h}\), Ben \(1\,\text{h}\); zusammen legen sie \(48\,\text{km}\) zurück. In einer zweiten Testfahrt fährt Anna \(1\,\text{h}\), Ben \(2\,\text{h}\); zusammen sind es \(42\,\text{km}\). a) Definiere Variablen für beide Geschwindigkeiten und stelle ein LGS auf. b) Das Diagramm stellt die beiden Gleichungen im Koordinatensystem der Geschwindigkeiten dar. Erkläre die Bedeutung des Schnittpunkts und bestimme die Geschwindigkeiten exakt. c) Anschließend starten Anna und Ben an entgegengesetzten Enden einer \(60\,\text{km}\) langen Strecke. Ben soll so viel früher starten, dass beide genau in der Streckenmitte gleichzeitig ankommen. Wie viele Minuten früher muss Ben starten? d) Für eine dritte Testfahrt fährt Anna \(a\) volle Stunden und Ben \(b\) volle Stunden, wobei \(a\) und \(b\) positive ganze Zahlen und jeweils höchstens \(4\) sind. Zusammen sollen sie \(84\,\text{km}\) zurücklegen. Bestimme alle möglichen Paare \((a|b)\) und begründe, dass deine Liste vollständig ist.
Abbildung zur Aufgabe 553226

Denkanstöße

- In jeder Testfahrt ist die Summe der beiden Teilstrecken bekannt; verbinde Fahrzeit und Geschwindigkeit mit der zurückgelegten Strecke. - Was bedeutet ein Punkt, der auf beiden Geraden des Geschwindigkeitsdiagramms liegt? - Für Teil c) legen beide bis zum Treffpunkt dieselbe halbe Strecke zurück. - Formuliere für Teil d) die Gesamtstrecke mit den bereits bestimmten Geschwindigkeiten und nutze anschließend die Ganzzahligkeits- und Bereichsbedingungen systematisch.

Lösung

1. Setze \(v_A\) für Annas und \(v_B\) für Bens Geschwindigkeit. Dann gilt \(\begin{cases}2v_A+v_B=48\\v_A+2v_B=42\end{cases}\). 2. Im Diagramm beschreibt jede Gerade alle Geschwindigkeitspaare, die genau eine Testfahrt erfüllen. Der Schnittpunkt erfüllt beide Bedingungen gleichzeitig. 3. Aus \(v_B=48-2v_A\) und der zweiten Gleichung folgt \(v_A+2(48-2v_A)=42\), also \(v_A=18\,\text{km/h}\) und \(v_B=12\,\text{km/h}\). 4. Bis zur Streckenmitte sind es jeweils \(30\,\text{km}\). Anna benötigt \(30:18=\frac{5}{3}\,\text{h}\), Ben \(30:12=\frac{5}{2}\,\text{h}\). Die Differenz beträgt \(\frac{5}{6}\,\text{h}=50\) Minuten. 5. Für die dritte Testfahrt gilt \(18a+12b=84\), also \(3a+2b=14\). 6. Da \(2b\) gerade ist, muss auch \(14-3a\) gerade sein; damit ist \(a\) gerade. Unter \(1\le a\le4\) kommen nur \(a=2\) und \(a=4\) infrage. Daraus folgen \(b=4\) bzw. \(b=1\). Damit ist die Liste vollständig.

Antwort

a) Zum Beispiel: \(\begin{cases}2v_A+v_B=48\\v_A+2v_B=42\end{cases}\). b) Der Schnittpunkt ist das Geschwindigkeitspaar, das beide Testfahrten erfüllt: \(v_A=18\,\text{km/h}\), \(v_B=12\,\text{km/h}\). c) Ben muss 50 Minuten früher starten. d) \((a|b)=(2|4)\) oder \((4|1)\).

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