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- Vergleiche die beiden gemessenen Größen so, wie es der Quotient \(U:d\) vorgibt. - Beim Dividieren kürzt sich die gemeinsame Längeneinheit heraus. - Überlege, welche Kreiszahl durch das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser beschrieben wird.

1. \(U:d=31{,}4\,\text{cm}:10\,\text{cm}=3{,}14\). 2. Der Quotient aus Umfang und Durchmesser liefert daher \(\pi\approx3{,}14\).

\(U:d=3{,}14\), also \(\pi\approx3{,}14\).

- Betrachte getrennt, welche der beiden gemessenen Größen vom Messfehler betroffen ist. - Überlege, wie sich ein größerer Zähler bei unverändertem Nenner auf einen Quotienten auswirkt.

1. Im Quotienten \(U:d\) ist der Zähler \(U\) zu groß, während der Nenner \(d\) korrekt bleibt. 2. Dadurch wird der Quotient größer als bei einer fehlerfreien Messung. Der Näherungswert für \(\pi\) ist daher zu groß.

Der Näherungswert für \(\pi\) ist zu groß.

- Überlege, wie Radius und Seitenlänge des Quadrats zusammenhängen, wenn der Kreis genau hineinpasst. - Stelle den Flächenanteil des Kreises am Quadrat zunächst mit den Flächenformeln dar. - Setze den aus dem Raster geschätzten Anteil mit diesem Flächenverhältnis näherungsweise gleich und löse nach \(\pi\) auf.

1. Der geschätzte Flächenanteil des Kreises am Quadrat beträgt \(\frac{392}{500}=0{,}784\). 2. Der Kreisdurchmesser entspricht der Quadratseite \(s\), also ist \(r=\frac{s}{2}\). Damit gilt \(A_{\text{Kreis}}=\pi\left(\frac{s}{2}\right)^2=\frac{\pi s^2}{4}\) und \(A_{\text{Quadrat}}=s^2\). 3. Daher ist der theoretische Flächenanteil \(\frac{A_{\text{Kreis}}}{A_{\text{Quadrat}}}=\frac{\pi}{4}\). 4. Mit der Raster-Näherung folgt \(\frac{\pi}{4}\approx0{,}784\), also \(\pi\approx4\cdot0{,}784=3{,}136\).

Der Näherungswert beträgt \(\pi\approx3{,}136\).

- Berechne für jede Tabellenzeile dasselbe Verhältnis aus Umfang und Durchmesser. - Kleine Unterschiede zwischen den Quotienten können bei Messwerten auftreten; vergleiche deshalb alle drei Ergebnisse. - Für einen gemeinsamen Näherungswert kannst du die drei Quotienten zusammenfassen und ihren Mittelwert bilden.

a) A: \(18{,}9:6=3{,}15\) B: \(31{,}3:10=3{,}13\) C: \(44{,}1:14=3{,}15\) b) 1. Der Mittelwert ist \((3{,}15+3{,}13+3{,}15):3\approx3{,}1433\). 2. Auf zwei Dezimalstellen ergibt sich \(\pi\approx3{,}14\).

a) A: \(3{,}15\) B: \(3{,}13\) C: \(3{,}15\) b) \(\pi\approx3{,}14\)

- Beschreibe zuerst, wo die eingezeichnete Strecke beginnt und endet. - Vergleiche die Begriffe Radius und Durchmesser und ihre Beziehung zueinander. - Prüfe anschließend, welche der beiden Längen beim Verhältnis für die Kreiszahl verwendet wird.

1. Die eingezeichnete Strecke von \(M\) bis zum Kreisrand ist der Radius, nicht der Durchmesser. 2. Zum Radius \(r=5\,\text{cm}\) gehört der Durchmesser \(d=10\,\text{cm}\). 3. Für die Kreiszahl wird der Umfang durch den Durchmesser geteilt: \(31{,}4:10=3{,}14\). 4. Daher ergibt sich \(\pi\approx3{,}14\).

Nora hat durch den Radius statt durch den Durchmesser geteilt. Richtig ist \(\pi\approx3{,}14\).

- Welche zwei Kreisgrößen haben bei jedem Kreis dasselbe Verhältnis? - Überlege, wie ein Faden eine gekrümmte Randlinie messbar machen kann. - Welche Art von Wiederholung hilft gegen zufällige Ablese- oder Anlegefehler?

1. Gemessen werden der Umfang \(U\) des Deckels und sein Durchmesser \(d\). Den Umfang kann man mit dem Faden einmal um den Rand erfassen und anschließend die Fadenlänge am Lineal ablesen. 2. Als Näherungswert wird der Quotient \(\frac{U}{d}\) gebildet, weil dieser bei Kreisen näherungsweise konstant ist und \(\pi\) entspricht. 3. Um zufällige Messfehler zu verringern, werden Umfang und Durchmesser mehrfach gemessen oder es werden mehrere runde Gegenstände untersucht. Aus den erhaltenen Quotienten wird anschließend ein Mittelwert gebildet.

Miss Umfang \(U\) und Durchmesser \(d\), berechne jeweils \(U:d\) und wiederhole die Messung bzw. das Experiment mehrfach. Ein geeigneter Näherungswert für \(\pi\) ist der Mittelwert der Quotienten.

- Wie groß ist die Fläche eines einzelnen Quadrats auf dem Papier? - Welche Formel verbindet den Flächeninhalt eines Kreises mit seinem Radius und der Kreiszahl? - Wie berechnet man den Unterschied zwischen einem gemessenen Wert und einem Referenzwert in Prozent?

1. Berechnung des Flächeninhalts eines einzelnen Kästchens: \(0{,}5\,\text{cm} \cdot 0{,}5\,\text{cm} = 0{,}25\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Gesamtflächeninhalts \(A\) aus der Anzahl der Kästchen: \(452 \cdot 0{,}25\,\text{cm}^2 = 113\,\text{cm}^2\). 3. Aufstellen der Formel für den Kreisflächeninhalt \(A = \pi r^2\) und Umstellen nach \(\pi\): \(\pi \approx \frac{A}{r^2}\). 4. Einsetzen der Werte: \(\pi \approx \frac{113}{6^2} = \frac{113}{36} \approx 3{,}13888\ldots\). 5. Berechnung der prozentualen Abweichung: \(\frac{|3{,}13888\ldots - 3{,}14159\ldots|}{3{,}14159\ldots} \cdot 100\,\% \approx 0{,}086\,\%\). 6. Gerundete Ergebnisse: a) \(113\,\text{cm}^2\), b) \(\approx 3{,}1389\), c) \(0{,}09\,\%\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(113\,\text{cm}^2\). b) Der Näherungswert für \(\pi\) ist etwa \(3{,}1389\). c) Die Abweichung beträgt etwa \(0{,}09\,\%\).

- Wenn ein Rad einmal abrollt, welche Strecke legt es im Vergleich zu seinem Umfang zurück? - Wie verändert sich der berechnete Umfang, wenn man die Messung über mehrere Umdrehungen verteilt? - Welche Beziehung besteht zwischen dem Durchmesser und dem Umfang eines Kreises?

1. Berechnung des Umfangs \(U\) durch Division der Gesamtstrecke durch die Anzahl der Umdrehungen: \(U = \frac{377\,\text{cm}}{10} = 37{,}7\,\text{cm}\). 2. Verwendung der Umfangsformel \(U = \pi d\), um \(\pi\) zu isolieren: \(\pi = \frac{U}{d}\). 3. Einsetzen der Werte für den ersten Fall: \(\pi \approx \frac{37{,}7}{12} \approx 3{,}14166\ldots\). 4. Wiederholung der Rechnung für die korrigierte Strecke: \(U_{\text{neu}} = \frac{378\,\text{cm}}{10} = 37{,}8\,\text{cm}\). 5. Berechnung des neuen Wertes für \(\pi\): \(\pi_{\text{neu}} = \frac{37{,}8}{12} = 3{,}15\).

a) Der Umfang beträgt \(37{,}7\,\text{cm}\). b) Der experimentelle Wert für \(\pi\) ist etwa \(3{,}1417\). c) Mit der korrigierten Strecke ergäbe sich ein Wert von \(3{,}15\) für \(\pi\).

- Welche der drei Flächen liegt vollständig innerhalb welcher anderen Fläche? - Setze für die Kreisfläche \(\pi r^2\) ein und überlege, wodurch du die ganze Ungleichung teilen kannst. - Die Breite eines Zahlenintervalls ist die Differenz aus oberer und unterer Grenze.

1. Das einbeschriebene Quadrat liegt vollständig im Kreis, der Kreis wiederum vollständig im umbeschriebenen Quadrat. Deshalb gilt \(A_i<A_{\text{Kreis}}<A_a\). 2. Mit \(2r^2<\pi r^2<4r^2\) und \(r>0\) folgt nach Division durch \(r^2\): \(2<\pi<4\). 3. Aus \(3r^2<\pi r^2<3{,}216r^2\) folgt entsprechend \(3<\pi<3{,}216\). 4. Die Intervallbreite beträgt \(3{,}216-3=0{,}216\).

a) Das einbeschriebene Quadrat liegt im Kreis und der Kreis im umbeschriebenen Quadrat, also \(A_i<A_{\text{Kreis}}<A_a\). b) \(2<\pi<4\) c) \(0{,}216\)

- Überlege dir zuerst, welchen Anteil der quadratischen Fläche die Kreisscheibe einnimmt. - Warum ist das Verhältnis der Massen gleich dem Verhältnis der Flächen? - Stelle eine Formel auf, in der die Masse des Quadrats, die Masse des Kreises und \(\pi\) vorkommen.

1. Berechnung der theoretischen Masse (Teil a): Das Massenverhältnis entspricht dem Flächenverhältnis. Da der Kreis genau in das Quadrat passt (\(d = a = 30\,\text{cm}\)), ist das Verhältnis \(\frac{A_{\text{Kreis}}}{A_{\text{Quadrat}}} = \frac{\pi r^2}{(2r)^2} = \frac{\pi}{4}\). 2. Anwendung auf die Masse: \(m_{\text{Kreis}} = 720\,\text{g} \cdot \frac{\pi}{4} \approx 180 \cdot 3{,}1416\,\text{g} = 565{,}488\,\text{g}\). 3. Bestimmung von \(\pi\) aus dem Messwert (Teil b): Umstellen der Formel \(\frac{m_{\text{Kreis}}}{m_{\text{Quadrat}}} = \frac{\pi}{4}\) nach \(\pi\). 4. Berechnung: \(\pi \approx 4 \cdot \frac{565\,\text{g}}{720\,\text{g}} = 4 \cdot \frac{113}{144} = \frac{113}{36} \approx 3{,}1389\).

a) Die theoretische Masse beträgt ca. \(565{,}49\,\text{g}\). b) Aus dem Messwert ergibt sich \(\pi \approx 3{,}1389\).

- Welche Formel verbindet den Umfang und den Durchmesser eines Kreises? - Wie hängen die Masse und die Fläche bei Körpern aus demselben Material zusammen? - Vergleiche die Ergebnisse beider Rechnungen mit dem Referenzwert \(3{,}14159\).

1. Berechnung für Gruppe A (Umfangsmethode): Verwendung der Formel \(U = \pi d\). Umstellen ergibt \(\pi \approx \frac{U}{d} = \frac{157\,\text{cm}}{50\,\text{cm}} = 3{,}14\). 2. Berechnung für Gruppe B (Flächen-/Massenmethode): Das Verhältnis der Massen entspricht \(\frac{\pi}{4}\), wenn der Kreisdurchmesser der Quadratseite entspricht. Hier ist \(d = 2 \cdot 10\,\text{cm} = 20\,\text{cm}\), was der Seitenlänge entspricht. 3. Formel für Gruppe B: \(\pi \approx 4 \cdot \frac{m_{\text{Kreis}}}{m_{\text{Quadrat}}} = 4 \cdot \frac{19\,\text{g}}{24\,\text{g}} = \frac{19}{6} \approx 3{,}1667\). 4. Vergleich mit dem Referenzwert: Abweichung Gruppe A: \(|3{,}14159 - 3{,}14| = 0{,}00159\). Abweichung Gruppe B: \(|3{,}14159 - 3{,}16667| \approx 0{,}02508\). 5. Ergebnis: Gruppe A liegt näher am Referenzwert.

Gruppe A ermittelt \(\pi \approx 3{,}14\), Gruppe B ermittelt \(\pi \approx 3{,}1667\). Gruppe A liegt näher am Referenzwert.

- Lies die beiden Durchmesser aus der Abbildung ab und ordne ihnen die angegebenen Umfänge zu. - Vergleiche nicht nur die beiden Quotienten, sondern auch den Größenfaktor der Durchmesser. - Überlege, wie sich der Umfang eines Kreises verändert, wenn alle Längen mit demselben Faktor vergrößert werden.

a) Kleiner Kreis: \(12{,}6:4=3{,}15\). Großer Kreis: \(37{,}7:12\approx3{,}14\). b) 1. Der Durchmesser wird vom kleinen zum großen Kreis mit dem Faktor \(3\) vergrößert. 2. Bei einer Vergrößerung eines Kreises wächst der Umfang mit demselben Faktor. Deshalb bleibt das Verhältnis \(U:d\) unverändert und entspricht näherungsweise \(\pi\). 3. Die kleine Abweichung zwischen \(3{,}15\) und \(3{,}14\) ist mit der begrenzten Genauigkeit der angegebenen Messwerte vereinbar.

a) Kleiner Kreis: \(3{,}15\) Großer Kreis: \(3{,}14\) b) Umfang und Durchmesser ändern sich bei einer Vergrößerung mit demselben Faktor; deshalb bleibt \(U:d\) nahezu konstant und liefert einen Näherungswert für \(\pi\).

- In Variante B verteilt sich der Ablesefehler auf mehrere Umdrehungen. - Vergleiche den absoluten Messfehler jeweils mit der Länge, an der er auftritt. - Für den Umfang einer einzigen Umdrehung musst du bei Variante B sowohl Messwert als auch absoluten Fehler durch dieselbe Anzahl teilen.

1. In Variante A ist der geschätzte Umfang \(U_A=25{,}0\,\text{cm}\). Der mögliche relative Fehler beträgt \(\frac{0{,}2}{25{,}0}\cdot100\,\%=0{,}8\,\%\). 2. In Variante B ist der Umfang pro Umdrehung \(U_B=250{,}0\,\text{cm}:10=25{,}0\,\text{cm}\). Der mögliche absolute Fehler pro Umdrehung beträgt nach dem Teilen durch \(10\) nur \(0{,}02\,\text{cm}\). 3. Der mögliche relative Fehler der Umfangsmessung ist damit \(\frac{0{,}02}{25{,}0}\cdot100\,\%=0{,}08\,\%\). 4. Variante B ist günstiger, weil derselbe absolute Ablesefehler auf eine zehnmal längere Gesamtstrecke wirkt. Da die Durchmessermessung in beiden Varianten gleich ist, verbessert B den von der Umfangsmessung kommenden Anteil der \(\pi\)-Näherung.

a) Variante A: \(U_A=25{,}0\,\text{cm}\), relativer Fehler bis \(0{,}8\,\%\). Variante B: \(U_B=25{,}0\,\text{cm}\), relativer Fehler bis \(0{,}08\,\%\). b) Variante B ist günstiger, weil die Umfangsmessung relativ zehnmal genauer wird.

- Eine Unterabschätzung darf niemals Fläche mitzählen, die außerhalb des Kreises liegt. - Eine Oberabschätzung muss den gesamten Kreis sicher überdecken. - Welche Beziehung verbindet Kreisfläche, Radius und \(\pi\)? - Überlege, was mit dem Anteil der unsicheren Randzellen passiert, wenn die Zellen kleiner werden.

1. Für eine sichere Unterabschätzung werden nur Kästchen gezählt, die vollständig innerhalb des Kreises liegen. Dann gilt \(N_{\text{in}}\,\text{cm}^2\le A\). 2. Für eine sichere Oberabschätzung werden alle Kästchen gezählt, die vom Kreisinneren oder Kreisrand getroffen werden. Diese Kästchen überdecken den ganzen Kreis, also gilt \(A\le N_{\text{out}}\,\text{cm}^2\). 3. Wegen \(A=\pi r^2=9\pi\,\text{cm}^2\) folgt \(\frac{N_{\text{in}}}{9}\le\pi\le\frac{N_{\text{out}}}{9}\). 4. Mit feineren Gitterzellen werden die Randkästchen kleiner; dadurch können Unter- und Oberabschätzung näher zusammenrücken.

a) Innen vollständig liegende Kästchen für die Untergrenze; alle vom Kreis getroffenen Kästchen für die Obergrenze. b) \(\frac{N_{\text{in}}}{9}\le\pi\le\frac{N_{\text{out}}}{9}\) c) Ein feineres Raster mit kleineren Zellen verwenden.