- Ereignis und Gegenereignis decken gemeinsam alle möglichen Fälle ab. - Welche Summe müssen ihre Wahrscheinlichkeiten deshalb ergeben? - Prüfe die beiden vorgeschlagenen Werte an dieser Bedingung.

1. Ein Ereignis und sein Gegenereignis erfassen zusammen alle möglichen Ergebnisse. Daher müssen ihre Wahrscheinlichkeiten zusammen \(1\) ergeben. 2. Bens Werte ergeben \(0{,}6+0{,}5=1{,}1\) und können deshalb nicht stimmen. 3. Richtig ist \(P(\bar A)=1-0{,}6=0{,}4\).

Bens Behauptung ist falsch. Es gilt \(P(\bar A)=0{,}4\).

- Überlege dir, welche Möglichkeiten es für die Anzahl (0, 1, 2 oder 3) insgesamt gibt. - Was bleibt übrig, wenn man die genannten Fälle aus der Gesamtmenge aller Möglichkeiten entfernt? - „Mindestens“ und „Höchstens“ sind oft Gegenspieler, aber achte genau auf die Grenzwerte. - Kannst du die Situation mit einer anderen Farbe beschreiben?

1. Bestimmung von \(\bar{A}\): Das Ereignis \(A\) umfasst den Fall (3 blau). Das Gegenereignis umfasst alle anderen Fälle, also (0, 1 oder 2 blau). In Worten: Mindestens ein Stift ist rot. 2. Bestimmung von \(\bar{B}\): Das Ereignis \(B\) umfasst (2 rot, 3 rot). Das Gegenereignis umfasst (0 rot, 1 rot). In Worten: Höchstens ein Stift ist rot. 3. Bestimmung von \(\bar{C}\): Das Ereignis \(C\) umfasst (0 blau, 1 blau). Das Gegenereignis umfasst (2 blau, 3 blau). In Worten: Mindestens zwei Stifte sind blau. 4. Bestimmung von \(\bar{D}\): Das Ereignis \(D\) umfasst genau den Fall (2 rot). Das Gegenereignis umfasst alle anderen Möglichkeiten für die Anzahl roter Stifte. In Worten: Es werden \(0\), \(1\) oder \(3\) rote Stifte gezogen.

a) \(\bar{A}\): Mindestens ein Stift ist rot. b) \(\bar{B}\): Höchstens ein Stift ist rot. c) \(\bar{C}\): Mindestens zwei Stifte sind blau. d) \(\bar{D}\): Es werden \(0\), \(1\) oder \(3\) rote Stifte gezogen.

- Überlege bei jeder Aussage, welche Fälle übrig bleiben, wenn sie nicht eintritt. - Was ist das Gegenteil von „alle“ und von „kein“? - Bei „mindestens“ hilft es, zuerst die möglichen Trefferzahlen aufzuschreiben.

1. Bei a) darf für das Gegenereignis nicht jeder Schuss ins Goldene treffen. Also trifft mindestens ein Schuss nicht ins Goldene. 2. Bei b) ist das Gegenereignis erreicht, sobald mindestens ein Schuss ins Goldene trifft. 3. Bei c) müssen für das Ereignis die ersten beiden Schüsse ins Goldene treffen. Beim Gegenereignis trifft mindestens einer dieser beiden Schüsse nicht ins Goldene. 4. „Mindestens \(5\)“ bedeutet \(5\) oder \(6\) Treffer ins Goldene. Das Gegenereignis umfasst \(0,1,2,3\) oder \(4\) Treffer, also höchstens vier.

a) Mindestens ein Schuss trifft nicht ins Goldene. b) Mindestens ein Schuss trifft ins Goldene. c) Mindestens einer der ersten zwei Schüsse trifft nicht ins Goldene. d) Höchstens vier Schüsse treffen ins Goldene.

- Was bedeutet es, wenn ein Ergebnis nicht zu einem Ereignis gehört? - Wie viele Elemente hat die gesamte Menge und wie viele davon gehören zum gesuchten Ereignis? - Erinnere dich an die Definition einer Quadratzahl.

1. Identifikation der Quadratzahlen in \(\Omega\): \(A = \{1, 4, 9\}\) 2. Bestimmung des Gegenereignisses \(\bar{A}\) durch Ausschluss von \(A\) aus \(\Omega\): \(\bar{A} = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 10\}\) 3. Identifikation der Zahlen größer als 7: \(B = \{8, 9, 10\}\) 4. Bestimmung des Gegenereignisses \(\bar{B}\): \(\bar{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(\bar{A})\) nach Laplace: Anzahl der günstigen Ergebnisse (\(7\)) dividiert durch Anzahl der möglichen Ergebnisse (\(10\)), resultierend in \(P(\bar{A}) = \frac{7}{10} = 0{,}7\)

- \(A = \{1, 4, 9\}\), \(\bar{A} = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 10\}\) - \(B = \{8, 9, 10\}\), \(\bar{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) - \(P(\bar{A}) = 0{,}7\)

- Nutze die gleich großen Sektoren als gleich wahrscheinliche Ergebnisse. - Für das Ereignis zählen nur die Sektoren, die das Zeichen \(M\) tragen. - Ereignis und Gegenereignis müssen zusammen alle Sektoren des Rads erfassen.

1. Das Glücksrad hat \(10\) gleich große Sektoren. Davon sind \(4\) mit \(M\) markiert. Daher ist \(P(E)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\). 2. Das Gegenereignis tritt ein, wenn der Zeiger auf einem Feld ohne Markierung \(M\) stehen bleibt. 3. Es gibt \(6\) nicht markierte Sektoren. Daher ist \(P(\bar E)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\). Außerdem gilt \(\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1\).

1. \(P(E)=\frac{2}{5}\) 2. \(\bar E\): „Der Zeiger bleibt auf einem Feld ohne Markierung \(M\) stehen.“ 3. \(P(\bar E)=\frac{3}{5}\)

- Welche Ergebnisse gehören genau dann zum Gegenereignis, wenn „gelb“ nicht eintritt? - Lies aus der Abbildung ab, wie viele Kugeln insgesamt und wie viele davon nicht gelb sind. - Für eine Laplace-Auswahl aus den Kugeln vergleichst du günstige mit allen möglichen Kugeln.

1. Das Gegenereignis tritt genau dann ein, wenn keine gelbe Kugel gezogen wird. Es lautet: „Die gezogene Kugel ist nicht gelb“, also „rot oder blau“. 2. In der Abbildung sind \(7\) von \(12\) Kugeln gelb. Damit sind \(5\) Kugeln nicht gelb. 3. Daher gilt \(P(\bar{E})=\frac{5}{12}\).

a) „Die gezogene Kugel ist nicht gelb“ (oder: „Die gezogene Kugel ist rot oder blau“). b) \(\frac{5}{12}\)

- Zähle für jedes Ereignis die passenden gleich großen Felder in der Abbildung. - Beim Gegenereignis gehören genau die Felder dazu, die nicht zum ursprünglichen Ereignis gehören. - Welche Farbe bleibt in b) übrig, wenn Blau und Rot ausgeschlossen sind?

1. Von \(8\) gleich großen Feldern sind \(3\) rot. Daher gilt \(P(E)=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\). 2. Das Gegenereignis zu „rot“ ist „nicht rot“. Somit gilt \(P(\bar{E})=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}=62{,}5\,\%\). 3. Das Gegenereignis zu „blau oder rot“ ist „weder blau noch rot“. Da nur die drei dargestellten Farben vorkommen, ist damit genau „gelb“ gemeint. 4. Ein von \(8\) Feldern ist gelb. Daher gilt \(P(\bar{A})=\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\).

a) \(P(E)=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\) und \(P(\bar{E})=\frac{5}{8}=62{,}5\,\%\). b) \(\bar{A}\): „Der Zeiger landet auf einem gelben Feld“ (oder: „weder auf Blau noch auf Rot“). \(P(\bar{A})=\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\).

- Suche eine gemeinsame Beschreibung, die für alle drei markierten Endpunkte gilt. - Prüfe, welcher Endpunkt als einziger nicht markiert ist. - Das Gegenereignis muss genau die nicht markierten möglichen Ergebnisse enthalten.

1. Die markierten Ergebnisse sind \(KK\), \(KZ\) und \(ZK\). 2. Eine gemeinsame Beschreibung lautet: „mindestens einmal Kopf“. 3. Der einzige nicht markierte Endpunkt ist \(ZZ\). Das Gegenereignis lautet daher „kein Kopf“.

Ereignis: „mindestens einmal Kopf“; Gegenereignis: „kein Kopf“, also \(ZZ\).

- Ereignis und Gegenereignis decken zusammen alle möglichen Fälle ab. - Überlege bei b), welche Größe bis zur Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\) noch fehlt. - Prüfe bei c) nicht nur jeden Einzelwert, sondern die Beziehung zwischen Ereignis und Gegenereignis.

1. Ereignis und Gegenereignis ergänzen sich zur Wahrscheinlichkeit \(1\). Daher gilt \(P(\bar A)=1-0{,}35=0{,}65\). 2. Ebenso gilt \(P(B)=1-P(\bar B)=1-0{,}42=0{,}58\). 3. Für \(C\) und \(\bar C\) müsste die Summe genau \(1\) sein. Hier ist \(0{,}58+0{,}52=1{,}10\). Die Behauptung ist daher falsch.

a) \(0{,}65\) b) \(0{,}58\) c) Falsch, denn \(0{,}58+0{,}52=1{,}10\neq1\).

- Nutze zuerst den Zusammenhang zwischen einem Ereignis und seinem Gegenereignis. - Übersetze die gefundene Wahrscheinlichkeit anschließend in einen Anteil von \(250\) Losen. - Prüfe, ob Gewinnlose und Nieten zusammen wieder alle \(250\) Lose ergeben könnten.

1. A und \(\bar A\) ergänzen sich. Daher ist \(P(A)=1-0{,}72=0{,}28\). 2. Bei \(250\) gleich wahrscheinlichen Losen entsprechen \(0{,}28\cdot250=70\) Lose dem Ereignis A.

a) \(P(A)=0{,}28=28\,\%\) b) \(70\) Gewinnlose

- Formuliere zuerst, was genau nicht eintreten darf, wenn das jeweilige Ereignis nicht eintritt. - Prüfe, ob Ereignis und Gegenereignis zusammen wirklich alle \(40\) Kugeln erfassen. - Bei einer Bedingung mit „und“ lohnt es sich, das Gegenereignis an konkreten Kugeln zu testen.

1. Zu \(A\) gehören die \(10\) gelben Kugeln. Das Gegenereignis lautet: „Die gezogene Kugel ist nicht gelb.“ Dazu gehören \(40-10=30\) Kugeln. 2. Zu \(B\) gehören die vier Kugeln mit der Zahl \(5\), je eine pro Farbe. Das Gegenereignis lautet: „Die gezogene Kugel trägt nicht die Zahl \(5\).“ Dazu gehören \(40-4=36\) Kugeln. 3. Zu \(C\) gehören die \(9\) blauen Kugeln mit den Zahlen \(1\) bis \(9\). Das Gegenereignis lautet: „Die gezogene Kugel ist nicht blau oder sie trägt die Zahl \(10\).“ Dazu gehören \(40-9=31\) Kugeln.

a) \(\bar A\): „Die gezogene Kugel ist nicht gelb.“; \(10\) Kugeln gehören zu \(A\), \(30\) zu \(\bar A\). b) \(\bar B\): „Die gezogene Kugel trägt nicht die Zahl \(5\).“; \(4\) Kugeln gehören zu \(B\), \(36\) zu \(\bar B\). c) \(\bar C\): „Die gezogene Kugel ist nicht blau oder sie trägt die Zahl \(10\).“; \(9\) Kugeln gehören zu \(C\), \(31\) zu \(\bar C\).

- Schreibe dir zuerst alle Zahlen von 1 bis 20 auf. - Markiere die Zahlen, die zum Ereignis gehören. Die restlichen gehören zum Gegenereignis. - Was bedeutet „höchstens“ mathematisch? Welches Zeichen (\(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\)) passt dazu? - Denke daran, dass die 1 keine Primzahl ist.

1. Beschreibung der Gegenereignisse: \(\bar{E}_1\): Die Zahl ist keine Primzahl. \(\bar{E}_2\): Die Zahl ist kein Vielfaches von 4. \(\bar{E}_3\): Die Zahl ist höchstens 15. \(\bar{E}_4\): Die Zahl ist größer als 18. 2. Berechnung der Anzahlen: - Primzahlen (\(E_1\)): \(\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}\), also 8 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_1\): \(20 - 8 = 12\). - Vielfache von 4 (\(E_2\)): \(\{4, 8, 12, 16, 20\}\), also 5 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_2\): \(20 - 5 = 15\). - Zahlen größer 15 (\(E_3\)): \(\{16, 17, 18, 19, 20\}\), also 5 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_3\): \(20 - 5 = 15\). - Zahlen bis 18 (\(E_4\)): \(\{1, 2, \dots, 18\}\), also 18 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_4\): \(20 - 18 = 2\) (nämlich 19 und 20).

1. \(\bar{E}_1\): Keine Primzahl; \(\bar{E}_2\): Kein Vielfaches von 4; \(\bar{E}_3\): Höchstens 15; \(\bar{E}_4\): Größer als 18. 2. Anzahl der Ergebnisse: \(\bar{E}_1: 12\); \(\bar{E}_2: 15\); \(\bar{E}_3: 15\); \(\bar{E}_4: 2\).

- Was sind Quadratzahlen? Multipliziere kleine natürliche Zahlen mit sich selbst. - Welche Zahlen zwischen 1 und 10 sind Primzahlen? - Wenn du die Gewinnzahlen kennst, welche Zahlen führen dann zum Verlust? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Glücksrad mit gleich großen Feldern?

1. Ergebnismenge \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\). 2. Bestimmung von \(G\): Quadratzahlen sind \(\{1, 4, 9\}\). Primzahlen sind \(\{2, 3, 5, 7\}\). Die Vereinigungsmenge ist \(G = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}\). 3. Gegenereignis \(\bar{G}\): Die verbleibenden Zahlen sind \(\{6, 8, 10\}\). In Worten: Die Zahl ist 6, 8 oder 10. 4. Wahrscheinlichkeiten: \(P(G) = \frac{7}{10} = 0{,}7\). \(P(\bar{G}) = \frac{3}{10} = 0{,}3\). 5. Zusammenhang: Für ein Ereignis und sein Gegenereignis gilt \(P(G) + P(\bar{G}) = 1\).

a) \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\); \(G = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}\). b) \(\bar{G}\): Die Zahl ist 6, 8 oder 10. c) \(P(G) = 0{,}7\); \(P(\bar{G}) = 0{,}3\). Für ein Ereignis und sein Gegenereignis ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten \(1\).

- Schreibe dir für Aussagen über Anzahlen zunächst die möglichen Werte von \(0\) bis \(20\) auf. - Achte bei Formulierungen wie „höchstens“ und „mehr als“ darauf, ob der Grenzwert dazugehört. - Ein Gegenereignis muss genau alle möglichen Ergebnisse enthalten, die nicht zum ursprünglichen Ereignis gehören.

1. Bei a) umfasst das Ereignis genau den Wert \(1\). Das Gegenereignis umfasst alle anderen möglichen Anzahlen von \(0\) bis \(20\): Kein Akku oder mindestens zwei Akkus sind defekt. 2. „Höchstens drei“ umfasst \(0,1,2,3\) defekte Akkus. Das Gegenereignis lautet daher: Mindestens vier Akkus sind defekt. 3. „Mehr als \(15\) voll funktionsfähig“ bedeutet \(16\) bis \(20\) voll funktionsfähige Akkus. Das Gegenereignis lautet: Höchstens \(15\) Akkus sind voll funktionsfähig. 4. Für eine ganze Anzahl von Akkus ist das Gegenereignis zu „gerade“ die Aussage „ungerade“.

a) Kein Akku oder mindestens zwei Akkus sind defekt. b) Mindestens vier Akkus sind defekt. c) Höchstens \(15\) Akkus sind voll funktionsfähig. d) Die Anzahl der defekten Akkus ist ungerade.

- Prüfe für jede Aussage, welche möglichen Ergebnisse sie ausschließt. - Bei c) reicht es für das Gegenereignis bereits aus, dass eine der beiden geforderten Stellen keine Ziffer ist. - Formulierungen über Anzahlen kannst du zunächst mit den möglichen Werten \(0,1,2,3,4\) prüfen.

1. Wenn nicht alle vier Zeichen Buchstaben sind, muss mindestens ein Zeichen eine Ziffer sein. 2. Wenn das Passwort nicht mindestens eine Ziffer enthält, enthält es keine Ziffer; damit sind alle vier Zeichen Buchstaben. 3. Das Ereignis aus c) tritt nur ein, wenn beide äußeren Zeichen Ziffern sind. Sein Gegenereignis tritt deshalb ein, sobald mindestens eines der beiden äußeren Zeichen ein Buchstabe ist. 4. Möglich sind \(0,1,2,3\) oder \(4\) Buchstaben. Wenn es nicht höchstens zwei sind, müssen es mindestens drei sein.

a) Mindestens ein Zeichen ist eine Ziffer. b) Alle vier Zeichen sind Buchstaben. c) Mindestens eines der beiden äußeren Zeichen ist ein Buchstabe. d) Mindestens drei Zeichen sind Buchstaben.

- Gehe die Zahlen nacheinander durch und prüfe die Bedingungen für Primzahlen und Quersummen. - Wie hängen die Anzahl der Elemente in einer Menge und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Was musst du tun, um alle Elemente zu finden, die NICHT in einer Menge sind?

1. Identifikation der Primzahlen in \(\Omega\): \(E = \{11, 13, 17, 19\}\) 2. Bestimmung des Gegenereignisses durch Komplementbildung: \(\bar{E} = \{12, 14, 15, 16, 18, 20\}\) 3. Prüfung der Quersummen (1+1=2, 1+2=3, ...): Durch 3 teilbare Quersummen haben 12, 15 und 18. Somit \(F = \{12, 15, 18\}\) 4. Bestimmung des Gegenereignisses: \(\bar{F} = \{11, 13, 14, 16, 17, 19, 20\}\) 5. Vergleich der Mächtigkeiten: \(|E| = 4\) und \(|F| = 3\). Da \(|E| > |F|\), ist das Ereignis \(E\) wahrscheinlicher, da bei einer Laplace-Wahrscheinlichkeit mehr günstige Ergebnisse vorliegen.

1. \(E = \{11, 13, 17, 19\}\), \(\bar{E} = \{12, 14, 15, 16, 18, 20\}\) 2. \(F = \{12, 15, 18\}\), \(\bar{F} = \{11, 13, 14, 16, 17, 19, 20\}\) 3. \(E\) ist wahrscheinlicher, da es mit 4 Elementen mehr Ergebnisse umfasst als \(F\) mit 3 Elementen.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es für jede Stelle der Zahl? Erstelle am besten einen Baum oder eine Liste. - Was ist das logische Gegenteil von „mindestens zwei“? - Denke daran, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis immer feststeht.

1. Systematische Auflistung aller Kombinationen von 1 und 2: \(\Omega = \{111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222\}\). Die Gesamtanzahl ist \(|\Omega| = 8\). 2. Identifikation der Zahlen mit zwei oder drei Einsen: \(G = \{111, 112, 121, 211\}\) 3. Formulierung des Gegenereignisses: \(\bar{G}\) bedeutet „weniger als zweimal die Ziffer 1“ oder „höchstens einmal die Ziffer 1“. Die Menge ist \(\bar{G} = \{122, 212, 221, 222\}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(G) = \frac{4}{8} = 0{,}5\) und \(P(\bar{G}) = \frac{4}{8} = 0{,}5\). 5. Nachweis der Summe: \(P(G) + P(\bar{G}) = 0{,}5 + 0{,}5 = 1\).

1. \(\Omega = \{111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222\}\) 2. \(G = \{111, 112, 121, 211\}\) 3. \(\bar{G}\): „Die Zahl enthält höchstens einmal die Ziffer 1“. \(\bar{G} = \{122, 212, 221, 222\}\) 4. \(P(G) = 0{,}5\); \(P(\bar{G}) = 0{,}5\); Summe: \(0{,}5 + 0{,}5 = 1\)

- Schreibe die Primzahlen und die blauen Zahlen zunächst in zwei getrennte Listen. - Vergleiche die beiden Listen, bevor du \(A\) als eine Menge aufschreibst. - Welche Zahlen von \(1\) bis \(12\) fehlen danach in \(A\)?

1. Die Primzahlen von \(1\) bis \(12\) sind \(2,3,5,7,11\). Die blauen Sektoren tragen die Zahlen \(9,10,11,12\). 2. Für „Primzahl oder blau“ gilt \(A=\{2,3,5,7,9,10,11,12\}\). 3. Zum Gegenereignis gehören die übrigen Ergebnisse \(\{1,4,6,8\}\). In Worten: „Die Zahl ist keine Primzahl und der Sektor ist nicht blau.“ 4. Daher gilt \(P(\bar{A})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\approx33{,}3\,\%\).

a) \(A=\{2,3,5,7,9,10,11,12\}\) b) „Die Zahl ist keine Primzahl und der Sektor ist nicht blau.“; \(P(\bar{A})=\frac{1}{3}\approx33{,}3\,\%\)