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- Überlege dir, welche Ergebnisse übrig bleiben, wenn man das beschriebene Ereignis aus der Menge aller Möglichkeiten entfernt. - Wie lässt sich die logische Verneinung von Wörtern wie „alle“, „kein“ oder „mindestens“ am einfachsten ausdrücken? - Stell dir vor, du müsstest beweisen, dass die Aussage des Ereignisses falsch ist. Was müsste dafür passieren?

1. Definition des Gegenereignisses: Das Gegenereignis umfasst alle Ergebnisse des Ergebnisraums, die nicht zum ursprünglichen Ereignis gehören. 2. Teilaufgabe a): Das Gegenteil von „alle“ ist „nicht alle“, was bedeutet, dass mindestens ein Schuss das Ziel verfehlt. Ergebnis: Mindestens ein Schuss trifft nicht ins Goldene. 3. Teilaufgabe b): Das Gegenteil von „kein“ ist „mindestens einer“. Ergebnis: Mindestens ein Schuss trifft ins Goldene. 4. Teilaufgabe c): Das Ereignis verlangt Treffer bei Schuss \(1\) UND Schuss \(2\). Das Gegenereignis tritt ein, wenn dies nicht der Fall ist. Ergebnis: Mindestens einer der ersten zwei Schüsse trifft nicht ins Goldene. 5. Teilaufgabe d): „Mindestens \(5\)“ bedeutet \(5\) oder \(6\) Treffer. Die verbleibenden Möglichkeiten sind \(0, 1, 2, 3\) oder \(4\) Treffer. Ergebnis: Höchstens vier Schüsse treffen ins Goldene.

a) Mindestens ein Schuss trifft nicht ins Goldene. b) Mindestens ein Schuss trifft ins Goldene. c) Mindestens einer der ersten zwei Schüsse trifft nicht ins Goldene. d) Höchstens vier Schüsse treffen ins Goldene.

- Ereignis und Gegenereignis decken gemeinsam alle möglichen Fälle ab. - Welche Summe müssen ihre Wahrscheinlichkeiten deshalb ergeben? - Prüfe die beiden vorgeschlagenen Werte an dieser Bedingung.

1. Ein Ereignis und sein Gegenereignis erfassen zusammen alle möglichen Ergebnisse. Daher müssen ihre Wahrscheinlichkeiten zusammen \(1\) ergeben. 2. Bens Werte ergeben \(0{,}6+0{,}5=1{,}1\) und können deshalb nicht stimmen. 3. Richtig ist \(P(\bar A)=1-0{,}6=0{,}4\).

Bens Behauptung ist falsch. Es gilt \(P(\bar A)=0{,}4\).

- Ein Ergebnis beschreibt genau einen möglichen Ausgang des Würfelwurfs. - Ein Ereignis kann mehrere einzelne Ergebnisse zusammenfassen. - Prüfe, welche Elemente von \(\Omega\) die Bedingung „gerade“ erfüllen.

1. Ein einzelnes Ergebnis besteht aus genau einem Element der Ergebnismenge. Beispielsweise kann \(\omega=4\) sein. 2. Das Ereignis „Es fällt eine gerade Zahl“ enthält alle passenden Einzelergebnisse. Daher ist \(A=\{2,4,6\}\).

Zum Beispiel \(\omega=4\); für „gerade Zahl“ gilt \(A=\{2,4,6\}\).

- Betrachte zuerst die beiden Randpunkte der Wahrscheinlichkeitsskala. - Was bedeutet eine Wahrscheinlichkeit von \(0\) für das Eintreten eines Ereignisses? - Was bedeutet eine Wahrscheinlichkeit von \(1\)? - Werte echt zwischen \(0\) und \(1\) beschreiben weder ein unmögliches noch ein sicheres Ereignis.

1. A liegt bei \(0\). Ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit \(0\) ist unmöglich. 2. B liegt bei \(0{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit liegt echt zwischen \(0\) und \(1\); das Ereignis ist möglich, aber nicht sicher. 3. C liegt bei \(1\). Ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit \(1\) ist sicher.

A: unmöglich B: möglich, aber nicht sicher C: sicher

- Überlege dir, welche Möglichkeiten es für die Anzahl (0, 1, 2 oder 3) insgesamt gibt. - Was bleibt übrig, wenn man die genannten Fälle aus der Gesamtmenge aller Möglichkeiten entfernt? - „Mindestens“ und „Höchstens“ sind oft Gegenspieler, aber achte genau auf die Grenzwerte. - Kannst du die Situation mit einer anderen Farbe beschreiben?

1. Bestimmung von \(\bar{A}\): Das Ereignis \(A\) umfasst den Fall (3 blau). Das Gegenereignis umfasst alle anderen Fälle, also (0, 1 oder 2 blau). In Worten: Mindestens ein Stift ist rot. 2. Bestimmung von \(\bar{B}\): Das Ereignis \(B\) umfasst (2 rot, 3 rot). Das Gegenereignis umfasst (0 rot, 1 rot). In Worten: Höchstens ein Stift ist rot. 3. Bestimmung von \(\bar{C}\): Das Ereignis \(C\) umfasst (0 blau, 1 blau). Das Gegenereignis umfasst (2 blau, 3 blau). In Worten: Mindestens zwei Stifte sind blau. 4. Bestimmung von \(\bar{D}\): Das Ereignis \(D\) umfasst genau den Fall (2 rot). Das Gegenereignis umfasst alle anderen Möglichkeiten für die Anzahl roter Stifte. In Worten: Es werden \(0\), \(1\) oder \(3\) rote Stifte gezogen.

a) \(\bar{A}\): Mindestens ein Stift ist rot. b) \(\bar{B}\): Höchstens ein Stift ist rot. c) \(\bar{C}\): Mindestens zwei Stifte sind blau. d) \(\bar{D}\): Es werden \(0\), \(1\) oder \(3\) rote Stifte gezogen.

- Was bedeutet es, wenn ein Ergebnis nicht zu einem Ereignis gehört? - Wie viele Elemente hat die gesamte Menge und wie viele davon gehören zum gesuchten Ereignis? - Erinnere dich an die Definition einer Quadratzahl.

1. Identifikation der Quadratzahlen in \(\Omega\): \(A = \{1, 4, 9\}\) 2. Bestimmung des Gegenereignisses \(\bar{A}\) durch Ausschluss von \(A\) aus \(\Omega\): \(\bar{A} = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 10\}\) 3. Identifikation der Zahlen größer als 7: \(B = \{8, 9, 10\}\) 4. Bestimmung des Gegenereignisses \(\bar{B}\): \(\bar{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(\bar{A})\) nach Laplace: Anzahl der günstigen Ergebnisse (\(7\)) dividiert durch Anzahl der möglichen Ergebnisse (\(10\)), resultierend in \(P(\bar{A}) = \frac{7}{10} = 0{,}7\)

- \(A = \{1, 4, 9\}\), \(\bar{A} = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 10\}\) - \(B = \{8, 9, 10\}\), \(\bar{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) - \(P(\bar{A}) = 0{,}7\)

- Nutze die gleich großen Sektoren als gleich wahrscheinliche Ergebnisse. - Für das Ereignis zählen nur die Sektoren, die das Zeichen \(M\) tragen. - Ereignis und Gegenereignis müssen zusammen alle Sektoren des Rads erfassen.

1. Das Glücksrad hat \(10\) gleich große Sektoren. Davon sind \(4\) mit \(M\) markiert. Daher ist \(P(E)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\). 2. Das Gegenereignis tritt ein, wenn der Zeiger auf einem Feld ohne Markierung \(M\) stehen bleibt. 3. Es gibt \(6\) nicht markierte Sektoren. Daher ist \(P(\bar E)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\). Außerdem gilt \(\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1\).

1. \(P(E)=\frac{2}{5}\) 2. \(\bar E\): „Der Zeiger bleibt auf einem Feld ohne Markierung \(M\) stehen.“ 3. \(P(\bar E)=\frac{3}{5}\)

- Was bedeutet das Wort „Gegenereignis“ im Zusammenhang mit einem Zufallsexperiment? - Überlege, welche Kugelfarben das Gegenteil von „gelb“ beschreiben. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und die Wahrscheinlichkeit seines Gegenereignisses zusammen? - Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis selbst, um dann das Gegenereignis zu bestimmen.

1. Formulierung des Gegenereignisses: Das Gegenereignis \(\bar{E}\) tritt genau dann ein, wenn das Ereignis \(E\) nicht eintritt. Wenn keine gelbe Kugel gezogen wird, bedeutet das, dass eine rote oder eine blaue Kugel gezogen wird. In Worten lautet das Gegenereignis: „Die gezogene Kugel ist nicht gelb“ (oder alternativ: „Die gezogene Kugel ist rot oder blau“). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: - Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\) („gelbe Kugel“) beträgt \(P(E) = \frac{7}{12}\), da 7 von 12 Kugeln gelb sind. - Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnet sich über die Formel \(P(\bar{E}) = 1 - P(E)\). - Einsetzen liefert \(P(\bar{E}) = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}\). - Alternativ kann man die günstigen Ergebnisse für das Gegenereignis direkt zählen: Es gibt \(4 + 1 = 5\) Kugeln, die nicht gelb sind (rot oder blau). Damit ist \(P(\bar{E}) = \frac{5}{12}\).

a) „Die gezogene Kugel ist nicht gelb“ (oder: „Die gezogene Kugel ist rot oder blau“) b) \(\frac{5}{12}\)

- Überlege dir zuerst, was das Gegenteil davon ist, dass mindestens einmal Grün gedreht wird. - Wie viele Sektoren auf dem Glücksrad sind nicht grün? - Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Dreh kein Grün zu erhalten. - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für zwei aufeinanderfolgende, unabhängige Ereignisse? - Nutze den Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und der seines Gegenereignisses.

1. Bestimmung des Gegenereignisses \(\bar{E}\): Das Gegenereignis zu „Mindestens einmal wird Grün gedreht“ lautet „Kein einziges Mal wird Grün gedreht“ (oder „Zweimal wird eine andere Farbe als Grün gedreht“). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Dreh ohne Grün: Es gibt 3 Sektoren, die nicht grün sind (2 gelbe und 1 roter). Bei insgesamt 8 Sektoren ist die Wahrscheinlichkeit \(P(\text{nicht Grün}) = \frac{3}{8}\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses \(\bar{E}\) bei zwei Drehungen: Da die Drehungen unabhängig voneinander sind, gilt \(P(\bar{E}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{64}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit von \(E\): Über die Gegenwahrscheinlichkeit ergibt sich \(P(E) = 1 - P(\bar{E}) = 1 - \frac{9}{64} = \frac{55}{64}\).

Das Gegenereignis \(\bar{E}\) lautet: „Kein einziges Mal wird Grün gedreht“ (oder „Es wird zweimal eine andere Farbe als Grün gedreht“). Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\) beträgt \(\frac{55}{64}\).

- Überlege zuerst, wie viele gleich große Felder das Glücksrad insgesamt hat und wie viele davon die jeweilige Farbe tragen. - Die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses lässt sich am einfachsten berechnen, indem man die Wahrscheinlichkeit des Hauptereignisses von der Gesamtwahrscheinlichkeit abzieht. - Überlege für den zweiten Teil, welche Farben übrig bleiben, wenn der Zeiger weder auf Gelb noch auf Blau landen darf.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\) (rotes Feld): Da das Glücksrad 8 gleich große Sektoren hat und 3 davon rot sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit \(P(E) = \frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses \(\bar{E}\): Das Gegenereignis \(\bar{E}\) bedeutet „nicht rot“ (also blau oder gelb). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\bar{E}) = 1 - P(E) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} = 0{,}625 = 62{,}5\,\%\). 3. Formulierung des Gegenereignisses \(\bar{A}\): Das Ereignis \(A\) umfasst gelbe und blaue Felder. Das Gegenereignis \(\bar{A}\) bedeutet demnach, dass der Zeiger weder auf Gelb noch auf Blau landet. Da es nur rote, blaue und gelbe Felder gibt, entspricht dies dem Ereignis „Der Zeiger landet auf einem roten Feld“. 4. Berechnung von \(P(\bar{A})\): Da \(\bar{A}\) identisch mit \(E\) ist, gilt \(P(\bar{A}) = P(E) = \frac{3}{8} = 37{,}5\,\%\).

a) \(P(E) = \frac{3}{8}\) (oder \(37{,}5\,\%\)) und \(P(\bar{E}) = \frac{5}{8}\) (oder \(62{,}5\,\%\)). b) Das Gegenereignis \(\bar{A}\) lautet: „Der Zeiger landet auf einem roten Feld“ (oder „weder auf Gelb noch auf Blau“). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\bar{A}) = \frac{3}{8}\) (oder \(37{,}5\,\%\)).

- Was bedeutet es für das Ergebnis der drei Drehungen, wenn das Ereignis „mindestens einmal Rot“ nicht eintrifft? - Kannst du das Gegenteil dieses Ereignisses beschreiben? - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung kein Rot (also Blau) zu erhalten? - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen drei Drehungen nur Blau erscheint? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und der seines Gegenereignisses?

1. Formulierung des Gegenereignisses \(\bar{A}\): Das Gegenteil von „mindestens einmal Rot“ bei drei Drehungen ist „kein einziges Mal Rot“ beziehungsweise „dreimal Blau“. 2. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeit: Da vier von fünf Sektoren blau sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Blau bei einer Drehung \(P(B) = \frac{4}{5}\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: Da bei allen drei Drehungen Blau auftreten muss, gilt nach der Pfadmultiplikationsregel: \(P(\bar{A}) = \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{64}{125}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(A\): Mithilfe der Gegenereignisformel gilt: \(P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{64}{125} = \frac{61}{125}\).

a) Das Gegenereignis \(\bar{A}\) lautet: „Das Rad zeigt kein einziges Mal Rot“ (oder „Das Rad zeigt dreimal Blau“). b) Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses beträgt \(P(\bar{A}) = \frac{64}{125}\). c) Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses beträgt \(P(A) = \frac{61}{125}\).

- Welche Ergebnisfolgen sind ausgeschlossen, wenn mindestens ein Treffer verlangt wird? - Beschreibe das Gegenteil mit möglichst wenigen Pfaden.

1. Gegenereignis: „keine rote Kugel“, also \(\overline{R}\,\overline{R}\). 2. Wahrscheinlichkeit: \(0{,}7\cdot0{,}7=0{,}49\).

Gegenereignis: „keine rote Kugel“; Wahrscheinlichkeit \(0{,}49\).

- Wann kann ein Produkt ungerade sein? - Kannst du das Gegenteil des gesuchten Ereignisses einfacher beschreiben?

1. Gegenereignis „Produkt ungerade“: beide Zahlen ungerade. 2. Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: \(\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{4}=\frac{1}{4}\). 3. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\).

\(\frac{3}{4}=75\,\%\).

- Das gewünschte Ereignis hat mehrere Pfade. - Kannst du sein Gegenteil mit nur einem Pfad beschreiben?

1. Das Gegenereignis lautet „keine 6“. Entlang dieses Pfades gilt \(P(\text{keine 6})=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}\). 2. Daher ist \(P(\text{mindestens eine 6})=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\).

\(\frac{11}{36}\)

- Suche eine gemeinsame Beschreibung, die für alle drei markierten Endpunkte gilt. - Prüfe, welcher Endpunkt als einziger nicht markiert ist. - Das Gegenereignis muss genau die nicht markierten möglichen Ergebnisse enthalten.

1. Die markierten Ergebnisse sind \(KK\), \(KZ\) und \(ZK\). 2. Eine gemeinsame Beschreibung lautet: „mindestens einmal Kopf“. 3. Der einzige nicht markierte Endpunkt ist \(ZZ\). Das Gegenereignis lautet daher „kein Kopf“.

Ereignis: „mindestens einmal Kopf“; Gegenereignis: „kein Kopf“, also \(ZZ\).

- Ereignis und Gegenereignis decken zusammen alle Möglichkeiten ab. - Prüfe zusätzlich jeden vorgeschlagenen Wert an den Grenzen der Wahrscheinlichkeitsskala. - Eine Wahrscheinlichkeit darf weder negativ noch größer als \(1\) sein.

1. Ereignis und Gegenereignis ergänzen sich zur Wahrscheinlichkeit \(1\). Daher ist \(P(\bar A)=1-0{,}35=0{,}65\). 2. Die Werte \(1{,}35\) und \(-0{,}35\) sind bereits deshalb unmöglich, weil Wahrscheinlichkeiten nur zwischen \(0\) und \(1\) liegen können. 3. Auch \(P(B)=1{,}2\) ist keine mögliche Wahrscheinlichkeit, weil \(1{,}2>1\) ist.

a) \(P(\bar A)=0{,}65\); die beiden anderen Vorschläge sind unmöglich. b) Nein, denn Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen \(0\) und \(1\).

- Nutze zuerst den Zusammenhang zwischen einem Ereignis und seinem Gegenereignis. - Übersetze die gefundene Wahrscheinlichkeit anschließend in einen Anteil von \(250\) Losen. - Prüfe, ob Gewinnlose und Nieten zusammen wieder alle \(250\) Lose ergeben könnten.

1. A und \(\bar A\) ergänzen sich. Daher ist \(P(A)=1-0{,}72=0{,}28\). 2. Bei \(250\) gleich wahrscheinlichen Losen entsprechen \(0{,}28\cdot250=70\) Lose dem Ereignis A.

a) \(P(A)=0{,}28=28\,\%\) b) \(70\) Gewinnlose

- Formuliere zuerst, was genau nicht eintreten darf, wenn das jeweilige Ereignis nicht eintritt. - Prüfe, ob Ereignis und Gegenereignis zusammen wirklich alle \(40\) Kugeln erfassen. - Bei einer Bedingung mit „und“ lohnt es sich, das Gegenereignis an konkreten Kugeln zu testen.

1. Zu \(A\) gehören die \(10\) gelben Kugeln. Das Gegenereignis lautet: „Die gezogene Kugel ist nicht gelb.“ Dazu gehören \(40-10=30\) Kugeln. 2. Zu \(B\) gehören die vier Kugeln mit der Zahl \(5\), je eine pro Farbe. Das Gegenereignis lautet: „Die gezogene Kugel trägt nicht die Zahl \(5\).“ Dazu gehören \(40-4=36\) Kugeln. 3. Zu \(C\) gehören die \(9\) blauen Kugeln mit den Zahlen \(1\) bis \(9\). Das Gegenereignis lautet: „Die gezogene Kugel ist nicht blau oder sie trägt die Zahl \(10\).“ Dazu gehören \(40-9=31\) Kugeln.

a) \(\bar A\): „Die gezogene Kugel ist nicht gelb.“; \(10\) Kugeln gehören zu \(A\), \(30\) zu \(\bar A\). b) \(\bar B\): „Die gezogene Kugel trägt nicht die Zahl \(5\).“; \(4\) Kugeln gehören zu \(B\), \(36\) zu \(\bar B\). c) \(\bar C\): „Die gezogene Kugel ist nicht blau oder sie trägt die Zahl \(10\).“; \(9\) Kugeln gehören zu \(C\), \(31\) zu \(\bar C\).

- Versuche, die Informationen in einer Vierfeldertafel oder einem Venn-Diagramm darzustellen. - Denk daran, dass Personen, die beides machen, in beiden Gruppen (Instrument und Sport) mitgezählt wurden. - Wie viele verschiedene Personen sind insgesamt in der Sport- oder Instrumentengruppe?

1. Die Gesamtzahl beträgt \(24\). Für Instrument gilt \(|I|=14\), für Sport \(|S|=10\), und \(|I\cap S|=6\). 2. Mindestens eines von beidem machen \(|I\cup S|=14+10-6=18\) Jugendliche. Also machen \(24-18=6\) keines von beidem. Damit ist die Wahrscheinlichkeit in a) \(\frac{6}{24}=\frac{1}{4}\). 3. Nur ein Instrument spielen \(14-6=8\) Jugendliche. Damit ist die Wahrscheinlichkeit in b) \(\frac{8}{24}=\frac{1}{3}\). 4. Nils' Rechnung zählt die \(6\) Jugendlichen aus der Schnittmenge zweimal. Deshalb sind nur \(18\) verschiedene Jugendliche in mindestens einer der beiden Gruppen.

a) \(P=\frac{1}{4}\) b) \(P=\frac{1}{3}\) c) Die Summe \(14+10\) zählt die \(6\) Jugendlichen aus der Schnittmenge doppelt. Nur \(18\) Jugendliche machen mindestens eines von beidem; \(6\) machen keines.

- Ordne die Angaben zunächst nach Herkunft und Zustand in einer Übersicht. - Beachte bei „oder“, dass defekte Rheintec-Bauteile bereits zur Gruppe Rheintec gehören. - Übersetze „nicht von Nordwerk und nicht defekt“ in eine positive Beschreibung der Herkunft und des Zustands.

1. Gesamtzahl der Bauteile: \(n=50\). 2. Insgesamt sind \(5+2=7\) Bauteile defekt. Daher ist \(P(\text{defekt})=\frac{7}{50}=0{,}14\). 3. Von Nordwerk sind \(30-5=25\) Bauteile einwandfrei. Daher ist \(P(\text{Nordwerk und einwandfrei})=\frac{25}{50}=0{,}5\). 4. Für „Rheintec oder defekt“ zählen alle \(20\) Rheintec-Bauteile sowie zusätzlich die \(5\) defekten Nordwerk-Bauteile. Somit sind \(25\) Ergebnisse günstig und \(P(\text{Rheintec oder defekt})=\frac{25}{50}=0{,}5\). 5. „Nicht von Nordwerk und nicht defekt“ bedeutet: von Rheintec und einwandfrei. Das trifft auf \(20-2=18\) Bauteile zu. Daher ist \(P=\frac{18}{50}=\frac{9}{25}=0{,}36\).

a) \(P=0{,}14\) b) \(P=0{,}5\) c) \(P=0{,}5\) d) \(P=0{,}36\)

- Schreibe dir zuerst alle Zahlen von 1 bis 20 auf. - Markiere die Zahlen, die zum Ereignis gehören. Die restlichen gehören zum Gegenereignis. - Was bedeutet „höchstens“ mathematisch? Welches Zeichen (\(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\)) passt dazu? - Denke daran, dass die 1 keine Primzahl ist.

1. Beschreibung der Gegenereignisse: \(\bar{E}_1\): Die Zahl ist keine Primzahl. \(\bar{E}_2\): Die Zahl ist kein Vielfaches von 4. \(\bar{E}_3\): Die Zahl ist höchstens 15. \(\bar{E}_4\): Die Zahl ist größer als 18. 2. Berechnung der Anzahlen: - Primzahlen (\(E_1\)): \(\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}\), also 8 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_1\): \(20 - 8 = 12\). - Vielfache von 4 (\(E_2\)): \(\{4, 8, 12, 16, 20\}\), also 5 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_2\): \(20 - 5 = 15\). - Zahlen größer 15 (\(E_3\)): \(\{16, 17, 18, 19, 20\}\), also 5 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_3\): \(20 - 5 = 15\). - Zahlen bis 18 (\(E_4\)): \(\{1, 2, \dots, 18\}\), also 18 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_4\): \(20 - 18 = 2\) (nämlich 19 und 20).

1. \(\bar{E}_1\): Keine Primzahl; \(\bar{E}_2\): Kein Vielfaches von 4; \(\bar{E}_3\): Höchstens 15; \(\bar{E}_4\): Größer als 18. 2. Anzahl der Ergebnisse: \(\bar{E}_1: 12\); \(\bar{E}_2: 15\); \(\bar{E}_3: 15\); \(\bar{E}_4: 2\).

- Was sind Quadratzahlen? Multipliziere kleine natürliche Zahlen mit sich selbst. - Welche Zahlen zwischen 1 und 10 sind Primzahlen? - Wenn du die Gewinnzahlen kennst, welche Zahlen führen dann zum Verlust? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Glücksrad mit gleich großen Feldern?

1. Ergebnismenge \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\). 2. Bestimmung von \(G\): Quadratzahlen sind \(\{1, 4, 9\}\). Primzahlen sind \(\{2, 3, 5, 7\}\). Die Vereinigungsmenge ist \(G = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}\). 3. Gegenereignis \(\bar{G}\): Die verbleibenden Zahlen sind \(\{6, 8, 10\}\). In Worten: Die Zahl ist 6, 8 oder 10. 4. Wahrscheinlichkeiten: \(P(G) = \frac{7}{10} = 0{,}7\). \(P(\bar{G}) = \frac{3}{10} = 0{,}3\). 5. Zusammenhang: Für ein Ereignis und sein Gegenereignis gilt \(P(G) + P(\bar{G}) = 1\).

a) \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\); \(G = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}\). b) \(\bar{G}\): Die Zahl ist 6, 8 oder 10. c) \(P(G) = 0{,}7\); \(P(\bar{G}) = 0{,}3\). Für ein Ereignis und sein Gegenereignis ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten \(1\).

- Schreibe dir für Aussagen über Anzahlen zunächst die möglichen Werte von \(0\) bis \(20\) auf. - Achte bei Formulierungen wie „höchstens“ und „mehr als“ darauf, ob der Grenzwert dazugehört. - Ein Gegenereignis muss genau alle möglichen Ergebnisse enthalten, die nicht zum ursprünglichen Ereignis gehören.

1. Bei a) umfasst das Ereignis genau den Wert \(1\). Das Gegenereignis umfasst alle anderen möglichen Anzahlen von \(0\) bis \(20\): Kein Akku oder mindestens zwei Akkus sind defekt. 2. „Höchstens drei“ umfasst \(0,1,2,3\) defekte Akkus. Das Gegenereignis lautet daher: Mindestens vier Akkus sind defekt. 3. „Mehr als \(15\) voll funktionsfähig“ bedeutet \(16\) bis \(20\) voll funktionsfähige Akkus. Das Gegenereignis lautet: Höchstens \(15\) Akkus sind voll funktionsfähig. 4. Für eine ganze Anzahl von Akkus ist das Gegenereignis zu „gerade“ die Aussage „ungerade“.

a) Kein Akku oder mindestens zwei Akkus sind defekt. b) Mindestens vier Akkus sind defekt. c) Höchstens \(15\) Akkus sind voll funktionsfähig. d) Die Anzahl der defekten Akkus ist ungerade.

- Prüfe für jede Aussage, welche möglichen Ergebnisse sie ausschließt. - Bei c) reicht es für das Gegenereignis bereits aus, dass eine der beiden geforderten Stellen keine Ziffer ist. - Formulierungen über Anzahlen kannst du zunächst mit den möglichen Werten \(0,1,2,3,4\) prüfen.

1. Wenn nicht alle vier Zeichen Buchstaben sind, muss mindestens ein Zeichen eine Ziffer sein. 2. Wenn das Passwort nicht mindestens eine Ziffer enthält, enthält es keine Ziffer; damit sind alle vier Zeichen Buchstaben. 3. Das Ereignis aus c) tritt nur ein, wenn beide äußeren Zeichen Ziffern sind. Sein Gegenereignis tritt deshalb ein, sobald mindestens eines der beiden äußeren Zeichen ein Buchstabe ist. 4. Möglich sind \(0,1,2,3\) oder \(4\) Buchstaben. Wenn es nicht höchstens zwei sind, müssen es mindestens drei sein.

a) Mindestens ein Zeichen ist eine Ziffer. b) Alle vier Zeichen sind Buchstaben. c) Mindestens eines der beiden äußeren Zeichen ist ein Buchstabe. d) Mindestens drei Zeichen sind Buchstaben.

- Gehe die Zahlen nacheinander durch und prüfe die Bedingungen für Primzahlen und Quersummen. - Wie hängen die Anzahl der Elemente in einer Menge und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Was musst du tun, um alle Elemente zu finden, die NICHT in einer Menge sind?

1. Identifikation der Primzahlen in \(\Omega\): \(E = \{11, 13, 17, 19\}\) 2. Bestimmung des Gegenereignisses durch Komplementbildung: \(\bar{E} = \{12, 14, 15, 16, 18, 20\}\) 3. Prüfung der Quersummen (1+1=2, 1+2=3, ...): Durch 3 teilbare Quersummen haben 12, 15 und 18. Somit \(F = \{12, 15, 18\}\) 4. Bestimmung des Gegenereignisses: \(\bar{F} = \{11, 13, 14, 16, 17, 19, 20\}\) 5. Vergleich der Mächtigkeiten: \(|E| = 4\) und \(|F| = 3\). Da \(|E| > |F|\), ist das Ereignis \(E\) wahrscheinlicher, da bei einer Laplace-Wahrscheinlichkeit mehr günstige Ergebnisse vorliegen.

1. \(E = \{11, 13, 17, 19\}\), \(\bar{E} = \{12, 14, 15, 16, 18, 20\}\) 2. \(F = \{12, 15, 18\}\), \(\bar{F} = \{11, 13, 14, 16, 17, 19, 20\}\) 3. \(E\) ist wahrscheinlicher, da es mit 4 Elementen mehr Ergebnisse umfasst als \(F\) mit 3 Elementen.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es für jede Stelle der Zahl? Erstelle am besten einen Baum oder eine Liste. - Was ist das logische Gegenteil von „mindestens zwei“? - Denke daran, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis immer feststeht.

1. Systematische Auflistung aller Kombinationen von 1 und 2: \(\Omega = \{111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222\}\). Die Gesamtanzahl ist \(|\Omega| = 8\). 2. Identifikation der Zahlen mit zwei oder drei Einsen: \(G = \{111, 112, 121, 211\}\) 3. Formulierung des Gegenereignisses: \(\bar{G}\) bedeutet „weniger als zweimal die Ziffer 1“ oder „höchstens einmal die Ziffer 1“. Die Menge ist \(\bar{G} = \{122, 212, 221, 222\}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(G) = \frac{4}{8} = 0{,}5\) und \(P(\bar{G}) = \frac{4}{8} = 0{,}5\). 5. Nachweis der Summe: \(P(G) + P(\bar{G}) = 0{,}5 + 0{,}5 = 1\).

1. \(\Omega = \{111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222\}\) 2. \(G = \{111, 112, 121, 211\}\) 3. \(\bar{G}\): „Die Zahl enthält höchstens einmal die Ziffer 1“. \(\bar{G} = \{122, 212, 221, 222\}\) 4. \(P(G) = 0{,}5\); \(P(\bar{G}) = 0{,}5\); Summe: \(0{,}5 + 0{,}5 = 1\)

- Was bedeutet „fair“ im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeiten? - Erinnere dich daran, welche Zahlen als Primzahlen definiert sind (ist die 1 dabei?). - Suche für den zweiten Teil nach Zahlen, die in beiden Gewinnmengen gleichzeitig vorkommen.

1. Gesamtzahl der Felder: 8. 2. Günstige Ergebnisse für Tim (Primzahlen): \(\{2, 3, 5, 7\}\). Anzahl: 4. 3. Gewinnwahrscheinlichkeit Tim: \(P(\text{Tim}) = \frac{4}{8} = 0{,}5 = 50\,\%\). 4. Günstige Ergebnisse für Sarah (Zahlen > 4): \(\{5, 6, 7, 8\}\). Anzahl: 4. 5. Gewinnwahrscheinlichkeit Sarah: \(P(\text{Sarah}) = \frac{4}{8} = 0{,}5 = 50\,\%\). 6. Da beide Wahrscheinlichkeiten gleich groß sind (\(50\,\%\)), ist das Spiel fair. 7. Für das gleichzeitige Gewinnen müssen beide Bedingungen erfüllt sein (Primzahl UND Zahl > 4). Dies trifft auf die Zahlen \(\{5, 7\}\) zu. Anzahl: 2. 8. Die Wahrscheinlichkeit für einen gleichzeitigen Gewinn beträgt \(P(\text{beide}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 25\,\%\).

a) Ja, das Spiel ist fair, da beide eine Gewinnwahrscheinlichkeit von \(50\,\%\) haben. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide gleichzeitig gewinnen, beträgt \(\frac{1}{4}\) (oder \(25\,\%\)).

- Erinnere dich daran, welche Zahlen im Bereich von 1 bis 12 Primzahlen sind. Ist die 1 eine Primzahl? - Schreibe dir zuerst alle Zahlen auf, die eine Primzahl sind oder auf einem blauen Feld liegen. Das ist die Ergebnismenge von \(A\). - Das Gegenereignis \(\bar{A}\) enthält genau alle Ergebnisse aus der Gesamtmenge \(\{1, 2, \dots, 12\}\), die nicht zu \(A\) gehören. - Wie lautet das logische Gegenteil von „Bedingung 1 ODER Bedingung 2“? - Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die Anzahl der günstigen Ergebnisse für das Gegenereignis durch die Gesamtzahl der Sektoren teilst.

1. Bestimmung der Ergebnismenge des Ereignisses \(A\): - Die Primzahlen im Bereich von 1 bis 12 sind: 2, 3, 5, 7, 11 (Hinweis: Die Zahl 1 ist keine Primzahl). - Die blauen Sektoren zeigen die Zahlen: 9, 10, 11, 12. - Da \(A\) eintritt, wenn mindestens eine der beiden Bedingungen erfüllt ist, vereinigen wir diese Mengen: \(A = \{2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12\}\) 2. Beschreibung des Gegenereignisses \(\bar{A}\) in Worten: Das Gegenereignis von „Zahl ist Primzahl oder Sektor ist blau“ ist das logische Gegenteil. In Worten: „Die gedrehte Zahl ist keine Primzahl und der Sektor ist nicht blau.“ 3. Bestimmung der Ergebnismenge von \(\bar{A}\): Es sind alle Zahlen von 1 bis 12, die nicht im Ereignis \(A\) vorkommen: \(\bar{A} = \{1, 4, 6, 8\}\) 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(\bar{A})\): Da alle 12 Sektoren gleich groß sind, ist es ein Laplace-Experiment. Es gibt 4 günstige Ergebnisse für das Gegenereignis. \(P(\bar{A}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%\)

a) \(A = \{2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12\}\) b) In Worten: „Die gedrehte Zahl ist keine Primzahl und der Sektor ist nicht blau.“ Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\bar{A}) = \frac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%\).

- Überlege dir, was passieren muss, damit die Farben *nicht* unterschiedlich sind. - Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe bei einer einzelnen Drehung. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades (zum Beispiel Blau gefolgt von Blau) in einem Baumdiagramm? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für „zweimal die gleiche Farbe“ kennst, wie groß ist dann der Rest bis zum sicheren Ereignis (\(100\,\%\))?

1. Bestimmung des Gegenereignisses \(\bar{E}\): Das Gegenereignis zu „Bei den beiden Drehungen erscheinen zwei verschiedene Farben“ lautet „Bei beiden Drehungen erscheint dieselbe Farbe“. Das bedeutet, es treten die Ergebnisse (Orange, Orange), (Blau, Blau) oder (Gelb, Gelb) auf. 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die Einzelfarben bei einer Drehung: \(P(\text{Orange}) = \frac{5}{10} = 0{,}5\) \(P(\text{Blau}) = \frac{3}{10} = 0{,}3\) \(P(\text{Gelb}) = \frac{2}{10} = 0{,}2\) 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses \(\bar{E}\) mithilfe der Pfadregeln: \(P(\bar{E}) = P(\text{Orange, Orange}) + P(\text{Blau, Blau}) + P(\text{Gelb, Gelb})\) \(P(\bar{E}) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 + 0{,}3 \cdot 0{,}3 + 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}25 + 0{,}09 + 0{,}04 = 0{,}38\). 4. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) über die Komplementärregel: \(P(E) = 1 - P(\bar{E}) = 1 - 0{,}38 = 0{,}62\). Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\) beträgt \(0{,}62\) (bzw. \(62\,\%\)).

Das Gegenereignis \(\bar{E}\) lautet: „Bei beiden Drehungen erscheint dieselbe Farbe“. Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses beträgt \(P(\bar{E}) = 0{,}38\). Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\) beträgt \(P(E) = 0{,}62\) (bzw. \(62\,\%\)).