- Überlege dir, ob das Ergebnis eines Versuchs jedes Mal anders ausfallen könnte, auch wenn man ihn genau gleich wiederholt. - Welche Rolle spielt die Vorhersehbarkeit bei einem echten Zufallsexperiment? - Unterscheide zwischen Naturgesetzen oder mathematischen Regeln und Ereignissen mit ungewissem Ausgang.

1. Ein Zufallsexperiment muss unter gleichen Bedingungen wiederholbar sein, das Ergebnis darf nicht vorhersagbar sein und die möglichen Ergebnisse müssen bekannt sein. 2. Teilaufgabe a): Kein Zufallsexperiment. Unter gleichen physikalischen Bedingungen ist das Ergebnis (Sieden bei \(100\,^\circ\text{C}\)) sicher vorhersagbar. 3. Teilaufgabe b): Zufallsexperiment. Der Ausgang ist ungewiss, alle möglichen Augenzahlen \(\{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\) sind bekannt und der Wurf ist beliebig oft wiederholbar. 4. Teilaufgabe c): Zufallsexperiment. Man weiß vorab nicht, welche Nummer gezogen wird, auch wenn man die möglichen Nummern kennt. 5. Teilaufgabe d): Kein Zufallsexperiment. Das Ergebnis ist durch die Formel \(U = 2\pi r\) eindeutig festgelegt und nicht vom Zufall abhängig.

a) Kein Zufallsexperiment (Ergebnis ist physikalisch festgelegt). b) Zufallsexperiment (Ausgang ungewiss). c) Zufallsexperiment (Ausgang ungewiss). d) Kein Zufallsexperiment (Ergebnis ist mathematisch eindeutig bestimmt).

- Lies jeden vollständigen Weg im Baum als geordnete Folge. - Prüfe, ob du alle möglichen Folgen genau einmal notiert hast. - Welche Folgen enthalten genau einmal Kopf?

1. Jeder vollständige Pfad des Baums liefert eine geordnete Folge aus Kopf und Zahl. Daher ist \(\Omega=\{KK,KZ,ZK,ZZ\}\). 2. Genau einmal Kopf tritt bei \(KZ\) und \(ZK\) ein. Es gibt also \(2\) günstige unter \(4\) gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. 3. Daher ist \(P(\text{genau einmal Kopf})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).

\(\Omega=\{KK,KZ,ZK,ZZ\}\); \(P(\text{genau einmal Kopf})=\frac{1}{2}\)

- Frage bei jedem Vorgang, ob das Ergebnis schon vor der Durchführung eindeutig feststeht. - Ein mögliches Ergebnis ist ein einzelner Ausgang des Vorgangs, nicht die ganze Ergebnismenge. - Bei einem Zufallsexperiment reicht als Beispiel genau ein möglicher Ausgang.

1. Bei a) steht das Ergebnis vorher nicht fest. Es ist ein Zufallsexperiment; ein mögliches Ergebnis ist zum Beispiel A. 2. Bei b) ist das Ergebnis durch die Rechnung eindeutig festgelegt. Es ist kein Zufallsexperiment. 3. Bei c) steht die geworfene Augenzahl vorher nicht fest. Es ist ein Zufallsexperiment; ein mögliches Ergebnis ist zum Beispiel \(4\).

a) Zufallsexperiment; zum Beispiel Ergebnis A b) kein Zufallsexperiment c) Zufallsexperiment; zum Beispiel Ergebnis \(4\)

- Prüfe, ob Toms \(\omega\) genau einen möglichen Ausgang oder mehrere Ausgänge enthält. - Für das Ereignis \(A\) müssen alle Ergebnisse aus \(\Omega\) gesammelt werden, die die Bedingung erfüllen. - Kontrolliere, ob deine beiden Schreibweisen unterschiedliche Rollen haben: einzelnes Ergebnis und Ereignismenge.

1. Ein einzelnes Ergebnis ist genau ein möglicher Ausgang des Würfelwurfs. Beispielsweise ist \(\omega=4\) ein einzelnes Ergebnis. 2. Das Ereignis „Es fällt eine gerade Zahl“ umfasst alle geraden Ergebnisse aus \(\Omega\). Daher gilt \(A=\{2,4,6\}\).

Zum Beispiel \(\omega=4\); für das Ereignis „Es fällt eine gerade Zahl“ gilt \(A=\{2,4,6\}\).

- Stelle dir vor, du führst den Versuch durch. Was könntest du am Ende auf deinem Notizzettel stehen haben? - Achte bei mehrstufigen Versuchen darauf, alle Kombinationen der einzelnen Stufen zu berücksichtigen. - In einer Menge werden die einzelnen Möglichkeiten meist durch Kommas getrennt und in geschweifte Klammern geschrieben.

1. Für Teilaufgabe a) besteht das Experiment aus einer Drehung. Die möglichen Ausgänge sind die vier Farben. Somit gilt: \(\Omega = \{R, B, G, Gr\}\). 2. Für Teilaufgabe b) handelt es sich um ein zweistufiges Experiment. Jedes Ergebnis besteht aus einem Paar. Die Möglichkeiten sind: (Kopf, Kopf), (Kopf, Zahl), (Zahl, Kopf) und (Zahl, Zahl). Somit gilt: \(\Omega = \{(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)\}\). 3. Für Teilaufgabe c) sind die möglichen Ergebnisse die Ziffern auf den Karten. Somit gilt: \(\Omega = \{1, 3, 5, 7\}\).

a) \(\Omega = \{R, B, G, Gr\}\) b) \(\Omega = \{(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)\}\) c) \(\Omega = \{1, 3, 5, 7\}\)

- Beginne mit einem festen Buchstaben und kombiniere ihn mit jeder möglichen Ziffer. - Wiederhole dasselbe systematisch für die übrigen Buchstaben. - Prüfe am Ende mit dem Zählprinzip, wie viele Kombinationen deine Liste enthalten muss.

1. Zu jedem der drei möglichen Buchstaben können beide Ziffern auftreten. 2. Die vollständige Ergebnismenge ist \(\Omega=\{\text{A1},\text{A2},\text{B1},\text{B2},\text{C1},\text{C2}\}\). 3. Es gibt \(3\cdot2=6\) mögliche Kombinationen. Die Liste enthält genau diese sechs Kombinationen und ist daher vollständig.

\(\Omega=\{\text{A1},\text{A2},\text{B1},\text{B2},\text{C1},\text{C2}\}\)

- Lies bei a) nur die Zahlenbeschriftungen der Sektoren ab. - Lies bei b) nur die Farbmarkierungen beziehungsweise ihre Buchstaben ab. - Überlege bei c), ob sich der Drehvorgang oder nur die Beschreibung des Ergebnisses geändert hat.

1. Wenn die Zahl notiert wird, sind die sechs möglichen Ergebnisse \(\Omega_1=\{1,2,3,4,5,6\}\). 2. Wenn nur die Farbe notiert wird, sind die möglichen Ergebnisse \(\Omega_2=\{\text{Rot},\text{Blau},\text{Grün}\}\). 3. Der physische Drehvorgang ist derselbe. Unterschiedlich ist nur, welche Eigenschaft des getroffenen Sektors als Ergebnis festgehalten wird.

a) \(\Omega_1=\{1,2,3,4,5,6\}\) b) \(\Omega_2=\{\text{Rot},\text{Blau},\text{Grün}\}\) c) Die Ergebnismenge hängt davon ab, welche Information nach dem Dreh als Ergebnis notiert wird.

- Nutze eine Richtung der Tabelle für die drei Symbole und die andere für die beiden Zahlen. - Jede Zelle soll genau eine Kombination der beiden Schritte enthalten. - Kontrolliere mit dem Zählprinzip, wie viele ausgefüllte Zellen entstehen müssen.

1. Die drei Symbole bilden die Zeilen und die beiden Zahlen die Spalten der Tabelle. 2. Jede Tabellenzelle enthält genau eine Kombination aus Symbol und Zahl. 3. Die vollständige Darstellung lautet: <table> <tr><th></th><th>1</th><th>2</th></tr> <tr><th>S</th><td>S1</td><td>S2</td></tr> <tr><th>K</th><td>K1</td><td>K2</td></tr> <tr><th>D</th><td>D1</td><td>D2</td></tr> </table>

<table> <tr><th></th><th>1</th><th>2</th></tr> <tr><th>S</th><td>S1</td><td>S2</td></tr> <tr><th>K</th><td>K1</td><td>K2</td></tr> <tr><th>D</th><td>D1</td><td>D2</td></tr> </table>

- Entscheide zuerst, welche Information nach dem Wurf jeweils tatsächlich notiert wird. - Eine Ergebnismenge muss genau zu dieser Beobachtungsregel passen. - Prüfe bei c), ob alle Einträge auf derselben Beschreibungsebene liegen und sich als einzelne Ergebnisse gegenseitig ausschließen.

1. Bei genauer Beobachtung kann jede der sechs Augenzahlen ein Ergebnis sein. Daher gilt \(\Omega_1=\{1,2,3,4,5,6\}\). 2. Bei der zweiten Beobachtungsweise werden nur zwei Arten von Ergebnissen unterschieden. Daher gilt \(\Omega_2=\{\text{gerade},\text{ungerade}\}\). 3. Der Eintrag \(2\) gehört zur genauen Augenzahl und nicht zur gewählten Beobachtung „gerade oder ungerade“. Außerdem würde er sich mit „gerade“ überschneiden. Die vorgeschlagene Menge mischt damit zwei verschiedene Ergebnisbeschreibungen.

a) \(\Omega_1=\{1,2,3,4,5,6\}\) b) \(\Omega_2=\{\text{gerade},\text{ungerade}\}\) c) \(2\) ist bei dieser Beobachtungsweise kein eigenes Ergebnis, sondern gehört bereits zu „gerade“. Die vorgeschlagene Menge mischt zwei verschiedene Beobachtungsweisen.

- Vergleiche genau, wie das Ergebnis in beiden Situationen entsteht. - Ist „vorher unbekannt“ dasselbe wie „durch Zufall erzeugt“? - Was ist bei beiden Vorgängen vor dem Start festgelegt, und was nicht?

1. Bei der Wahl entscheiden die Schülerinnen und Schüler bewusst, wem sie ihre Stimme geben. Das Ergebnis entsteht also nicht durch eine feste Zufallsregel. 2. Deshalb wird die Wahl hier nicht als Zufallsexperiment betrachtet, auch wenn vorher noch nicht feststeht, wer gewählt wird. 3. Beim Ziehen aus der gut gemischten Lostrommel entscheidet dagegen ein festgelegter Zufallsvorgang, welcher Name gezogen wird. Das ist ein Zufallsexperiment.

Die Wahl selbst ist hier kein Zufallsexperiment, weil die Stimmen bewusst abgegeben werden. Das Ziehen eines Namens aus der gut gemischten Lostrommel ist dagegen ein Zufallsexperiment.

- Prüfe systematisch, ob zu K und zu Z jeweils alle sechs Augenzahlen vorkommen. - Eine Ergebnismenge enthält jedes einzelne Ergebnis nur einmal. - Nutze \(2\cdot6\), um zu kontrollieren, wie viele verschiedene Ergebnisse vorhanden sein müssen.

1. In Leons Liste fehlt Z6. 2. K3 steht zweimal in der Liste und darf in einer Menge nicht doppelt als unterschiedliches Ergebnis gezählt werden. 3. Korrekt ist \(\Omega=\{\text{K1},\text{K2},\text{K3},\text{K4},\text{K5},\text{K6},\text{Z1},\text{Z2},\text{Z3},\text{Z4},\text{Z5},\text{Z6}\}\).

Es fehlt Z6 und K3 ist doppelt aufgeführt. \(\Omega=\{\text{K1},\text{K2},\text{K3},\text{K4},\text{K5},\text{K6},\text{Z1},\text{Z2},\text{Z3},\text{Z4},\text{Z5},\text{Z6}\}\)