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- Überlege dir, ob das Ergebnis eines Versuchs jedes Mal anders ausfallen könnte, auch wenn man ihn genau gleich wiederholt. - Welche Rolle spielt die Vorhersehbarkeit bei einem echten Zufallsexperiment? - Unterscheide zwischen Naturgesetzen oder mathematischen Regeln und Ereignissen mit ungewissem Ausgang.

1. Ein Zufallsexperiment muss unter gleichen Bedingungen wiederholbar sein, das Ergebnis darf nicht vorhersagbar sein und die möglichen Ergebnisse müssen bekannt sein. 2. Teilaufgabe a): Kein Zufallsexperiment. Unter gleichen physikalischen Bedingungen ist das Ergebnis (Sieden bei \(100\,^\circ\text{C}\)) sicher vorhersagbar. 3. Teilaufgabe b): Zufallsexperiment. Der Ausgang ist ungewiss, alle möglichen Augenzahlen \(\{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\) sind bekannt und der Wurf ist beliebig oft wiederholbar. 4. Teilaufgabe c): Zufallsexperiment. Man weiß vorab nicht, welche Nummer gezogen wird, auch wenn man die möglichen Nummern kennt. 5. Teilaufgabe d): Kein Zufallsexperiment. Das Ergebnis ist durch die Formel \(U = 2\pi r\) eindeutig festgelegt und nicht vom Zufall abhängig.

a) Kein Zufallsexperiment (Ergebnis ist physikalisch festgelegt). b) Zufallsexperiment (Ausgang ungewiss). c) Zufallsexperiment (Ausgang ungewiss). d) Kein Zufallsexperiment (Ergebnis ist mathematisch eindeutig bestimmt).

- Lies jeden vollständigen Weg im Baum als geordnetes Ergebnis. - Prüfe, ob du alle möglichen Ergebnisfolgen genau einmal notiert hast. - Markiere anschließend die Folgen, in denen genau einmal Kopf vorkommt.

1. Aus dem Baum liest man die vier möglichen geordneten Ergebnisse ab: \(\Omega=\{KK,KZ,ZK,ZZ\}\). 2. Genau einmal Kopf tritt bei \(KZ\) und \(ZK\) ein. Es gibt also \(2\) günstige Ergebnisse unter \(4\) gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. 3. Daher ist \(P(\text{genau einmal Kopf})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).

\(\Omega=\{KK,KZ,ZK,ZZ\}\); \(P(\text{genau einmal Kopf})=\frac{1}{2}\).

- Zähle die Endpunkte des Diagramms. - Prüfe, ob jede Bestellung genau einem Endpunkt entspricht.

1. Möglichkeiten je Sorte: \(2\). 2. Gesamtzahl: \(3\cdot2=6\) Bestellungen.

6 verschiedene Bestellungen.

- Zähle die Wahlmöglichkeiten auf jeder Stufe. - Jeder Endpunkt steht für genau eine vollständige Kombination.

1. Möglichkeiten nach Oberteil und Hose: \(2\cdot3=6\). 2. Mit der Schuhwahl: \(6\cdot2=12\).

12 vollständige Kostüme.

- Frage bei jedem Vorgang, ob das Ergebnis schon vor der Durchführung eindeutig feststeht. - Ein mögliches Ergebnis ist ein einzelner Ausgang des Vorgangs, nicht die ganze Ergebnismenge. - Bei einem Zufallsexperiment reicht als Beispiel genau ein möglicher Ausgang.

1. Bei a) steht das Ergebnis vorher nicht fest. Es ist ein Zufallsexperiment; ein mögliches Ergebnis ist zum Beispiel A. 2. Bei b) ist das Ergebnis durch die Rechnung eindeutig festgelegt. Es ist kein Zufallsexperiment. 3. Bei c) steht die geworfene Augenzahl vorher nicht fest. Es ist ein Zufallsexperiment; ein mögliches Ergebnis ist zum Beispiel \(4\).

a) Zufallsexperiment; zum Beispiel Ergebnis A b) kein Zufallsexperiment c) Zufallsexperiment; zum Beispiel Ergebnis \(4\)

- Wie viele Möglichkeiten hast du pro Ring? - Überlege, wie du die Möglichkeiten der einzelnen Ringe kombinieren musst. - Was ändert sich an der Auswahl pro Ring, wenn nur noch bestimmte Ziffern erlaubt sind? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment?

1. Berechnung der Gesamtmöglichkeiten: Da es 3 Ringe mit je 10 Ziffern (0-9) gibt, beträgt die Anzahl der Kombinationen \(10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3 = 1000\). 2. Berechnung mit eingeschränkten Ziffern: Bei 3 Ringen und 5 möglichen Ziffern (1-5) pro Ring ergeben sich \(5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3 = 125\) Möglichkeiten. 3. Wahrscheinlichkeit berechnen: Die Wahrscheinlichkeit bei \(1000\) gleich wahrscheinlichen Möglichkeiten beträgt \(P = \frac{1}{1000}\). 4. Umrechnung in Prozent: \(\frac{1}{1000} = 0{,}001 = 0{,}1\,\%\).

a) Es gibt \(1000\) mögliche Kombinationen. b) Es sind \(125\) Kombinationen möglich. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{1000}\) oder \(0{,}1\,\%\).

- Zähle nach, wie viele Zahlen zwischen 000 und 999 liegen (vergiss die 000 nicht). - Sind bei einer zufälligen Ziehung bestimmte Muster wahrscheinlicher als andere? - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die letzte Ziffer, wenn sie \(7\) sein muss? Wie viele Möglichkeiten bleiben für die ersten beiden Stellen?

1. Bestimmung der Ergebnismenge: Die Nummern von 000 bis 999 umfassen genau \(1000\) verschiedene Möglichkeiten. 2. Beurteilung der Aussage: Es handelt sich um ein Laplace-Experiment. Jede Losnummer hat die gleiche Wahrscheinlichkeit von \(P = \frac{1}{1000}\). Die „Besonderheit“ einer Ziffernfolge beeinflusst die Wahrscheinlichkeit nicht. 3. Günstige Ergebnisse für Endziffer 7 bestimmen: Die Nummern sind 007, 017, 027, ..., 997. Da es 100 Zehnerblöcke gibt (00x bis 99x) und in jedem Block genau eine Zahl auf 7 endet, gibt es \(100\) günstige Ergebnisse. Alternativ: Die letzte Stelle muss eine 7 sein (1 Möglichkeit), während die ersten beiden Stellen beliebig (je 10 Möglichkeiten) sind: \(10 \cdot 10 \cdot 1 = 100\). 4. Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P = \frac{100}{1000} = \frac{1}{10} = 0{,}1 = 10\,\%\).

a) Es gibt \(1000\) verschiedene Losnummern. b) Die Aussage ist falsch. Jede Nummer ist gleich wahrscheinlich (\(P = \frac{1}{1000}\)), da es sich um ein Laplace-Experiment handelt. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{10}\) (oder \(10\,\%\)).

- Überlege dir für jede Stelle der Zahl einzeln, wie viele Ziffern zur Auswahl stehen. - Wann ist eine Zahl durch 5 teilbar? Schau dir die Endziffern an. - In einem Laplace-Experiment berechnet man die Wahrscheinlichkeit als Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.

1. Berechnung für a): Da für jede der 3 Stellen 4 Ziffern zur Auswahl stehen, ergibt sich \(4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64\) Möglichkeiten. 2. Berechnung für b): Für die erste Stelle gibt es 4, für die zweite 3 und für die dritte 2 Möglichkeiten. Es ergeben sich \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\) Möglichkeiten. 3. Wahrscheinlichkeit für a): Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 5 endet. Die ersten beiden Stellen sind beliebig (\(4 \cdot 4 = 16\) günstige Fälle). \(P = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. Wahrscheinlichkeit für b): Die letzte Stelle muss die 5 sein (1 Möglichkeit). Für die ersten beiden Stellen bleiben 3 bzw. 2 Ziffern übrig (\(3 \cdot 2 = 6\) günstige Fälle). \(P = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0{,}25\).

a) 64 Zahlen. b) 24 Zahlen. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt in beiden Fällen \(\frac{1}{4}\) (oder \(25\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, den ersten Preis zu vergeben und wie viele dann noch für den zweiten Preis übrig bleiben. - Bei Teilaufgabe b) ist eine ganz bestimmte Reihenfolge gefragt. Wie viele der vielen Möglichkeiten erfüllen genau diese Bedingung? - Bei Teilaufgabe c) ist es egal, wer welchen der beiden Preise bekommt. Wie viele Kombinationen von Julia und Tim sind hier möglich?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten: Da es zwei unterschiedliche Preise gibt und jede Person nur einen gewinnen kann, gibt es für den ersten Preis 12 Möglichkeiten und für den zweiten Preis 11 Möglichkeiten. Gesamtzahl: \(12 \cdot 11 = 132\). 2. Wahrscheinlichkeit für ein spezifisches Ergebnis (Julia Hauptpreis, Tim Trostpreis): Es gibt genau 1 günstiges Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{1}{132}\). 3. Wahrscheinlichkeit, dass beide einen Preis gewinnen: Es gibt zwei günstige Fälle (Julia Hauptpreis und Tim Trostpreis ODER Tim Hauptpreis und Julia Trostpreis). Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist 2. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{2}{132} = \frac{1}{66}\).

a) Es gibt \(132\) mögliche Ergebnisse. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{132}\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{66}\).

- Bestimme mit dem Zählprinzip zuerst die Zahl aller möglichen Einstellungen. - Überlege anschließend für jeden Ring, wie viele Einstellungen dort falsch sind. - Zähle die vollständigen Kombinationen, bei denen alle drei gewählten Einstellungen falsch sind.

1. Insgesamt gibt es \(10\cdot5\cdot4=200\) gleich wahrscheinliche Kombinationen. 2. Für die erste Position gibt es \(9\) falsche Ziffern, für die zweite \(4\) falsche Buchstaben und für die dritte \(3\) falsche Symbole. 3. Damit gibt es \(9\cdot4\cdot3=108\) Kombinationen, bei denen alle drei Positionen falsch sind. 4. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P=\frac{108}{200}=\frac{27}{50}=0{,}54=54\,\%\).

a) \(200\) Kombinationen b) \(\frac{27}{50}=0{,}54=54\,\%\)

- Kannst du alle möglichen Kombinationen der Schlüsselzuordnung systematisch auflisten? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, drei Gegenstände auf drei Plätze zu verteilen? - Überlege dir für jedes Ereignis, wie viele der aufgelisteten Kombinationen die Bedingung erfüllen. - Was bedeutet es für den dritten Schlüssel, wenn bereits zwei Schlüssel ihren Schlössern fest zugeordnet sind?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten: Es gibt \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) verschiedene Arten, die drei Schlüssel auf die drei Schlösser zu verteilen. 2. Ereignis a): Es gibt nur eine einzige Kombination, bei der alle drei Schlüssel korrekt zugeordnet sind. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(a) = \frac{1}{6}\). 3. Ereignis b): Wir untersuchen die Fälle, in denen kein Schlüssel passt. Bezeichnen wir die richtigen Zuordnungen mit \((1, 2, 3)\), so sind die Fehlbesetzungen ohne Treffer \((2, 3, 1)\) und \((3, 1, 2)\). Dies sind \(2\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(b) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 4. Ereignis c): Wir suchen die Fälle mit genau einem Treffer. Dies sind \((1, 3, 2)\), \((3, 2, 1)\) und \((2, 1, 3)\). Dies sind \(3\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(c) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

a) \(P(\text{alle richtig}) = \frac{1}{6}\) b) \(P(\text{keiner richtig}) = \frac{1}{3}\) c) \(P(\text{genau einer richtig}) = \frac{1}{2}\)

- Stelle dir vor, du führst den Versuch durch. Was könntest du am Ende auf deinem Notizzettel stehen haben? - Achte bei mehrstufigen Versuchen darauf, alle Kombinationen der einzelnen Stufen zu berücksichtigen. - In einer Menge werden die einzelnen Möglichkeiten meist durch Kommas getrennt und in geschweifte Klammern geschrieben.

1. Für Teilaufgabe a) besteht das Experiment aus einer Drehung. Die möglichen Ausgänge sind die vier Farben. Somit gilt: \(\Omega = \{R, B, G, Gr\}\). 2. Für Teilaufgabe b) handelt es sich um ein zweistufiges Experiment. Jedes Ergebnis besteht aus einem Paar. Die Möglichkeiten sind: (Kopf, Kopf), (Kopf, Zahl), (Zahl, Kopf) und (Zahl, Zahl). Somit gilt: \(\Omega = \{(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)\}\). 3. Für Teilaufgabe c) sind die möglichen Ergebnisse die Ziffern auf den Karten. Somit gilt: \(\Omega = \{1, 3, 5, 7\}\).

a) \(\Omega = \{R, B, G, Gr\}\) b) \(\Omega = \{(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)\}\) c) \(\Omega = \{1, 3, 5, 7\}\)

- Was bedeutet „ohne Zurücklegen“ für die Anzahl der verfügbaren Kugeln beim zweiten Zug? - Kannst du alle Ergebnisse, die den Buchstaben „A“ enthalten, systematisch auflisten? - Welche der Buchstaben A bis F sind Vokale? Wie viele Paare lassen sich nur aus diesen bilden?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Ergebnisse beim Ziehen ohne Zurücklegen: Für die erste Kugel gibt es 6 Möglichkeiten, für die zweite Kugel verbleiben 5 Möglichkeiten: \(6 \cdot 5 = 30\). 2. Ermittlung der Ergebnisse mit „A“: A kann an erster Stelle stehen (gefolgt von B, C, D, E oder F; 5 Möglichkeiten) oder an zweiter Stelle stehen (nach B, C, D, E oder F; 5 Möglichkeiten). Die Kombination (A; A) ist nicht möglich. Gesamtzahl: \(5 + 5 = 10\). 3. Identifikation der Vokale in der Menge: A und E sind die einzigen Vokale. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, gibt es nur die Paare (A; E) und (E; A). Anzahl: \(2 \cdot 1 = 2\).

a) Es gibt 30 mögliche Ergebnisse. b) Es gibt 10 Ergebnisse, die den Buchstaben „A“ enthalten. c) Es gibt 2 Ergebnisse, die nur aus Vokalen bestehen.

- Betrachte vollständige Wege vom Start bis zu einem Endpunkt. - Überlege, wie sich die Zahl möglicher Fortsetzungen nach jeder Entscheidung verändert. - Prüfe, ob das Addieren von Astzahlen tatsächlich vollständige Kombinationen zählt.

1. Jeder vollständige Pfad besteht aus einer Wahl auf jeder der drei Stufen. 2. Aus den \(2\) Möglichkeiten der ersten Stufe, jeweils \(3\) Möglichkeiten der zweiten Stufe und jeweils \(2\) Möglichkeiten der dritten Stufe entstehen \(2\cdot3\cdot2=12\) vollständige Pfade. 3. Die Addition \(2+3+2\) zählt nur die Anzahl der Wahlmöglichkeiten innerhalb der einzelnen Stufen zusammen, nicht die möglichen vollständigen Kombinationen.

Es gibt \(12\) Endmöglichkeiten.

- Beginne mit einem festen Buchstaben und kombiniere ihn mit jeder möglichen Ziffer. - Wiederhole dasselbe systematisch für die übrigen Buchstaben. - Prüfe am Ende mit dem Zählprinzip, wie viele Kombinationen deine Liste enthalten muss.

1. Zu jedem der drei möglichen Buchstaben können beide Ziffern auftreten. 2. Die vollständige Ergebnismenge ist \(\Omega=\{\text{A1},\text{A2},\text{B1},\text{B2},\text{C1},\text{C2}\}\). 3. Es gibt \(3\cdot2=6\) mögliche Kombinationen. Die Liste enthält genau diese sechs Kombinationen und ist daher vollständig.

\(\Omega=\{\text{A1},\text{A2},\text{B1},\text{B2},\text{C1},\text{C2}\}\)

- Lies bei a) nur die Zahlenbeschriftungen der Sektoren ab. - Lies bei b) nur die Farbmarkierungen beziehungsweise ihre Buchstaben ab. - Überlege bei c), ob sich der Drehvorgang oder nur die Beschreibung des Ergebnisses geändert hat.

1. Wenn die Zahl notiert wird, sind die sechs möglichen Ergebnisse \(\Omega_1=\{1,2,3,4,5,6\}\). 2. Wenn nur die Farbe notiert wird, sind die möglichen Ergebnisse \(\Omega_2=\{\text{Rot},\text{Blau},\text{Grün}\}\). 3. Der physische Drehvorgang ist derselbe. Unterschiedlich ist nur, welche Eigenschaft des getroffenen Sektors als Ergebnis festgehalten wird.

a) \(\Omega_1=\{1,2,3,4,5,6\}\) b) \(\Omega_2=\{\text{Rot},\text{Blau},\text{Grün}\}\) c) Die Ergebnismenge hängt davon ab, welche Information nach dem Dreh als Ergebnis notiert wird.

- Nutze eine Richtung der Tabelle für die drei Symbole und die andere für die beiden Zahlen. - Jede Zelle soll genau eine Kombination der beiden Schritte enthalten. - Kontrolliere mit dem Zählprinzip, wie viele ausgefüllte Zellen entstehen müssen.

1. Die drei Symbole bilden die Zeilen und die beiden Zahlen die Spalten der Tabelle. 2. Jede Tabellenzelle enthält genau eine Kombination aus Symbol und Zahl. 3. Die vollständige Darstellung lautet: <table> <tr><th></th><th>1</th><th>2</th></tr> <tr><th>S</th><td>S1</td><td>S2</td></tr> <tr><th>K</th><td>K1</td><td>K2</td></tr> <tr><th>D</th><td>D1</td><td>D2</td></tr> </table>

<table> <tr><th></th><th>1</th><th>2</th></tr> <tr><th>S</th><td>S1</td><td>S2</td></tr> <tr><th>K</th><td>K1</td><td>K2</td></tr> <tr><th>D</th><td>D1</td><td>D2</td></tr> </table>

- Überlege für jede Stelle getrennt, wie viele Ziffern dort möglich sind. - Verbinde die Anzahlen der Möglichkeiten der einzelnen Stellen mit dem Zählprinzip. - Für c) genügt es, die Zahl der noch möglichen Codes in beiden Fällen zu vergleichen.

1. Für jede der vier Stellen gibt es \(10\) Möglichkeiten. Daher gibt es \(10\cdot10\cdot10\cdot10=10^4=10\,000\) Codes. 2. Wenn nur die Ziffern \(1,2,3\) erlaubt sind, gibt es pro Stelle \(3\) Möglichkeiten. Also gibt es \(3^4=81\) Codes. 3. In Fall 1 ist die erste Stelle fest; für die drei übrigen Stellen gibt es je \(10\) Möglichkeiten. Das sind \(10^3=1000\) mögliche Codes. 4. In Fall 2 gibt es an jeder der vier Stellen \(5\) Möglichkeiten. Das sind \(5^4=625\) mögliche Codes. 5. Bei gleich wahrscheinlichen möglichen Codes ist die Trefferchance größer, wenn weniger Codes infrage kommen. Daher ist sie in Fall 2 größer.

a) \(10\,000\) Codes b) \(81\) Codes c) Fall 2; dort kommen \(625\) Codes infrage, in Fall 1 dagegen \(1000\).

- Berechne zuerst, wie viele Kombinationen es für jedes System gibt. - Was bedeutet „sicherer“ im Zusammenhang mit der Anzahl der Möglichkeiten? - Probiere für Aufgabenteil c) nacheinander verschiedene Anzahlen von Stellen aus.

1. Berechnung System A: \(6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^4 = 1296\) Möglichkeiten. 2. Berechnung System B: \(10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3 = 1000\) Möglichkeiten. 3. Vergleich der Sicherheit: System A ist sicherer, da es mit \(1296\) Kombinationen mehr Möglichkeiten bietet als System B mit \(1000\). Die Wahrscheinlichkeit für einen korrekten Rateversuch ist bei System A geringer (\(\frac{1}{1296} < \frac{1}{1000}\)). 4. Bestimmung der Stellenanzahl für System A: \(6^5 = 7776\) \(6^6 = 46\,656\) \(6^7 = 279\,936\) Somit sind mindestens 7 Stellen erforderlich, da \(6^6 < 50\,000\) und \(6^7 > 50\,000\).

a) System A hat \(1296\) Möglichkeiten, System B hat \(1000\) Möglichkeiten. b) System A ist sicherer, da es mehr Kombinationsmöglichkeiten bietet und die Trefferwahrscheinlichkeit beim Raten somit geringer ist. c) System A müsste mindestens 7 Stellen haben.

- Stelle dir die zweistellige Zahl als Kombination aus Zehner- und Einerziffer vor. - Notiere dir alle Paare von Ziffern zwischen 1 und 6, deren Summe 7 ergibt. - Unterscheide bei der Wahrscheinlichkeit genau, wie viele Gesamtmöglichkeiten in a) und b) jeweils zur Verfügung stehen.

1. Anzahl für a): Jeder Wurf hat 6 Möglichkeiten, also \(6 \cdot 6 = 36\) mögliche Zahlen. 2. Anzahl für b): Der erste Wurf hat 6 Möglichkeiten, der zweite nur noch 5 (da er sich vom ersten unterscheiden muss). Es gibt \(6 \cdot 5 = 30\) Zahlen. 3. Günstige Ergebnisse für die Quersumme 7: Die Paare \((1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1)\) ergeben die Quersumme 7. Das sind 6 günstige Ergebnisse. 4. Da in allen 6 Paaren die Ziffern unterschiedlich sind, gelten sie sowohl für a) als auch für b). 5. Wahrscheinlichkeit für a): \(P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). 6. Wahrscheinlichkeit für b): \(P = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}\).

a) 36 Zahlen. b) 30 Zahlen. c) Für a) ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6}\), für b) ist sie \(\frac{1}{5}\).

- Denke bei der Gesamtzahl daran, dass auf jedem Ring die gleiche Anzahl an Ziffern zur Verfügung steht. - Für Teil b): Wie viele Möglichkeiten gibt es, die drei festen Ziffern 1, 2 und 3 auf die drei Positionen zu verteilen? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, drei gleiche Ziffern zu wählen?

1. Gesamtzahl der Kombinationen: Da es 3 Ringe mit jeweils 6 Möglichkeiten gibt, berechnet sich die Gesamtzahl durch \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\). 2. Günstige Ergebnisse für Teil b): Die Ziffern 1, 2 und 3 können in verschiedenen Reihenfolgen auftreten (123, 132, 213, 231, 312, 321). Das sind \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}\). 3. Günstige Ergebnisse für Teil c): Es gibt 6 Kombinationen mit drei gleichen Ziffern (111, 222, 333, 444, 555, 666). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}\).

a) Es gibt \(216\) verschiedene Kombinationen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{36}\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{36}\).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es für jede einzelne Stelle des Codes? - Überlege, wie viele der vielen Kombinationen tatsächlich das Schloss öffnen. - Wenn du eine Information über eine Ziffer hast, reduziert das die Anzahl der Unbekannten. - Was ist das Gegenteil von „mindestens ein Fehler“?

1. Berechnung der Gesamtmöglichkeiten: Da es 4 Ringe mit je 10 Ziffern gibt, beträgt die Anzahl der Kombinationen \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000\). 2. Wahrscheinlichkeit für einen Treffer: Da nur eine Kombination korrekt ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Richtig}) = \frac{1}{10000} = 0{,}0001 = 0{,}01\,\%\). 3. Einfluss der bekannten Ziffer: Wenn die erste Ziffer feststeht, gibt es nur noch \(10^3 = 1000\) Möglichkeiten für die restlichen drei Ringe. Die Wahrscheinlichkeit steigt auf \(\frac{1}{1000} = 0{,}001 = 0{,}1\,\%\). Sie verzehnfacht sich also, da der Suchraum kleiner wird. 4. Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fehler: Dies ist das Gegenereignis zu „alle Ziffern sind korrekt“. \(P(\text{mind. ein Fehler}) = 1 - P(\text{Richtig}) = 1 - \frac{1}{10000} = \frac{9999}{10000} = 0{,}9999 = 99{,}99\,\%\).

a) \(10\,000\) Möglichkeiten. b) \(P = 0{,}0001\) (oder \(0{,}01\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit steigt auf \(0{,}001\) (oder \(0{,}1\,\%\)), da nur noch \(1000\) Kombinationen möglich sind. d) \(P = 0{,}9999\) (oder \(99{,}99\,\%\)).

- Zähle zuerst alle möglichen Sitzordnungen schrittweise. - Für a) kannst du zuerst einen Randplatz für Anna festlegen und dann die übrigen Personen anordnen. - Für b) überlege, welche benachbarten Platzpaare es gibt und in welcher Reihenfolge Anna und Ben darin sitzen können.

1. Insgesamt gibt es \(4\cdot3\cdot2\cdot1=24\) gleich wahrscheinliche Sitzordnungen. 2. Bei a) hat Anna \(2\) mögliche Randplätze. Für die drei übrigen Personen gibt es danach \(3\cdot2\cdot1=6\) Anordnungen. Das sind \(12\) günstige Sitzordnungen und damit \(P=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\). 3. Bei b) gibt es \(3\) benachbarte Platzpaare für Anna und Ben und für jedes Paar \(2\) Reihenfolgen der beiden. Clara und David können die übrigen Plätze in \(2\) Reihenfolgen besetzen. Das sind \(3\cdot2\cdot2=12\) günstige Sitzordnungen und damit \(P=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\). 4. Bei c) ist genau eine Sitzordnung günstig. Daher ist \(P=\frac{1}{24}\).

a) \(\frac{1}{2}\) b) \(\frac{1}{2}\) c) \(\frac{1}{24}\)

- Berechne für beide Höhlen separat, wie viele verschiedene Wege insgesamt möglich sind. - Nutze das Produkt der Möglichkeiten an den einzelnen Abzweigungen. - Vergleiche am Ende die beiden Wahrscheinlichkeiten: Welcher Bruch stellt einen größeren Anteil dar?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Pfade für Höhle A: Es gibt zwei Stufen mit je \(5\) Optionen, also \(5 \cdot 5 = 25\) mögliche Pfade. Die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg ist \(P(A) = \frac{1}{25}\). 2. Berechnung der Gesamtzahl der Pfade für Höhle B: Es gibt drei Stufen mit je \(3\) Optionen, also \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) mögliche Pfade. Die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg ist \(P(B) = \frac{1}{27}\). 3. Vergleich der Brüche: Da \(25 < 27\), ist der Bruch \(\frac{1}{25}\) größer als \(\frac{1}{27}\) (\(0{,}04 > 0{,}037\)). 4. Schlussfolgerung: In Höhle A ist die Wahrscheinlichkeit größer.

In Höhle A ist die Wahrscheinlichkeit mit \(\frac{1}{25}\) größer als in Höhle B mit \(\frac{1}{27}\).

- Sind die möglichen Ergebnisse vor der Durchführung klar festgelegt? - Entsteht die Ungewissheit durch einen Zufallsmechanismus oder durch bewusste Entscheidungen? - Warum müssen Wiederholungsbedingungen vergleichbar, aber nicht buchstäblich vollständig identisch sein?

1. Bei einem Zufallsexperiment sind die möglichen Ergebnisse vorab festgelegt, das konkrete Ergebnis ist vor der Durchführung ungewiss und der zufällige Vorgang kann unter hinreichend gleichartigen Bedingungen wiederholt werden. Vollständig identische Bedingungen sind dabei eine idealisierte Formulierung und keine wörtlich erfüllbare Forderung. 2. Bei einer Klassensprecherwahl entscheiden Menschen bewusst. Das Ergebnis ist zwar vorher ungewiss, entsteht aber nicht durch einen festgelegten Zufallsmechanismus, sondern durch individuelle Entscheidungen, Absprachen und Meinungsbildung. Deshalb wird die Wahl selbst nicht als Zufallsexperiment modelliert. 3. Beim gut gemischten Ziehen eines Namens aus einer Lostrommel ist der Zufallsmechanismus festgelegt. Die möglichen Ergebnisse sind die Namen der Klasse, und bei gleich gestalteten Ziehungen ist vorab ungewiss, welcher Name gezogen wird. 4. Fazit: Nicht die Forderung nach exakt identischen Bedingungen entscheidet den Vergleich. Ausschlaggebend ist, dass die Lostrommel einen wiederholbaren Zufallsmechanismus liefert, die Wahl dagegen auf bewussten Entscheidungen beruht.

Die Klassensprecherwahl wird nicht als Zufallsexperiment modelliert, weil ihr Ergebnis durch bewusste Entscheidungen und nicht durch einen festgelegten Zufallsmechanismus entsteht. Das Ziehen aus einer gut gemischten Lostrommel ist dagegen ein Zufallsexperiment mit klaren möglichen Ergebnissen und unter hinreichend gleichartigen Bedingungen wiederholbaren Ziehungen.

- Bestimme zuerst, wie viele verschiedene T-Shirts es insgesamt im Laden gibt. - Wie viele dieser T-Shirts erfüllen genau die im Aufgabentext genannten Bedingungen? - Nutze die Formel für die Laplace-Wahrscheinlichkeit: Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.

1. Gesamtanzahl der Varianten berechnen: \(4 \text{ Farben} \cdot 3 \text{ Größen} \cdot 2 \text{ Schnitte} = 24\) Varianten. 2. Wahrscheinlichkeit für ein rotes T-Shirt in Größe L: Es gibt 2 günstige Varianten (Rot-L-V-Ausschnitt und Rot-L-Rundhals). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}\). 3. Wahrscheinlichkeit für einen Rundhals-Ausschnitt: Es gibt \(4 \cdot 3 \cdot 1 = 12\) günstige Varianten. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 50\,\%\).

a) Es gibt insgesamt \(24\) Varianten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{12} \approx 8{,}3\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{2} = 50\,\%\).

- Zerlege das Los in seine Bestandteile: Farbe, 1. Ziffer, 2. Ziffer, 3. Ziffer. - Wie viele Möglichkeiten hast du für jede Stelle? - Was muss für die letzten beiden Ziffern gelten, damit es ein „Super-Los“ ist?

1. Gesamtanzahl der Lose: \(2 \text{ Farben} \cdot 3 \text{ Möglichkeiten für Ziffer 1} \cdot 10 \text{ Möglichkeiten für Ziffer 2} \cdot 10 \text{ Möglichkeiten für Ziffer 3} = 2 \cdot 3 \cdot 10 \cdot 10 = 600\). 2. Anzahl der Super-Lose: Die Farbe (2) und die erste Ziffer (3) sind frei wählbar. Für das Paar aus zweiter und dritter Ziffer gibt es 10 Möglichkeiten (\(00, 11, \dots, 99\)). Also \(2 \cdot 3 \cdot 10 = 60\) Super-Lose. 3. Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P(\text{Super-Los}) = \frac{60}{600} = \frac{1}{10} = 10\,\%\).

Es gibt insgesamt \(600\) verschiedene Lose. Davon sind \(60\) Stück „Super-Lose“. Die Wahrscheinlichkeit, ein solches zu ziehen, liegt bei \(10\,\%\).

- Prüfe systematisch, ob zu K und zu Z jeweils alle sechs Augenzahlen vorkommen. - Eine Ergebnismenge enthält jedes einzelne Ergebnis nur einmal. - Nutze \(2\cdot6\), um zu kontrollieren, wie viele verschiedene Ergebnisse vorhanden sein müssen.

1. In Leons Liste fehlt Z6. 2. K3 steht zweimal in der Liste und darf in einer Menge nicht doppelt als unterschiedliches Ergebnis gezählt werden. 3. Korrekt ist \(\Omega=\{\text{K1},\text{K2},\text{K3},\text{K4},\text{K5},\text{K6},\text{Z1},\text{Z2},\text{Z3},\text{Z4},\text{Z5},\text{Z6}\}\).

Es fehlt Z6 und K3 ist doppelt aufgeführt. \(\Omega=\{\text{K1},\text{K2},\text{K3},\text{K4},\text{K5},\text{K6},\text{Z1},\text{Z2},\text{Z3},\text{Z4},\text{Z5},\text{Z6}\}\)

- Zähle die möglichen Folgen schrittweise nach dem Zählprinzip, ohne eine neue Kurzschreibweise einzuführen. - Bei a) sind die ersten beiden Plätze schon festgelegt; nur die übrigen Plätze können noch besetzt werden. - Bei b) überlege zuerst, an wie vielen Stellen ein benachbartes Zweierpaar beginnen kann und welche zwei Reihenfolgen A und O darin haben können.

1. Für die erste Stelle gibt es \(6\), für die zweite \(5\), dann \(4,3,2,1\) Möglichkeiten. Insgesamt gibt es \(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720\) gleich wahrscheinliche Folgen. 2. Bei a) sind F und A fest vorgegeben. Die vier übrigen Buchstaben können auf \(4\cdot3\cdot2\cdot1=24\) Arten angeordnet werden. Daher ist \(P=\frac{24}{720}=\frac{1}{30}\). 3. Bei b) kann das benachbarte Vokalpaar an \(5\) möglichen Positionen beginnen. Innerhalb des Paares gibt es \(2\) Reihenfolgen. Die vier Konsonanten können auf \(4\cdot3\cdot2\cdot1=24\) Arten auf die übrigen Plätze verteilt werden. 4. Damit gibt es \(5\cdot2\cdot24=240\) günstige Folgen und \(P=\frac{240}{720}=\frac{1}{3}\).

a) \(\frac{1}{30}\) b) \(\frac{1}{3}\)

- Bestimme für jede Stelle, wie viele Buchstaben dort jeweils noch möglich sind. - Wenn Wiederholung verboten ist, nimmt die Zahl der Wahlmöglichkeiten nach jeder belegten Stelle ab. - Bei d) sind die ersten beiden Stellen bereits fest; prüfe nur noch, wie die übrigen Buchstaben angeordnet werden können.

1. Bei a) gibt es für jede der vier Stellen \(4\) Möglichkeiten. Damit gibt es \(4^4=256\) Codes. 2. Bei b) gibt es für die erste Stelle \(4\), danach \(3\), dann \(2\) und schließlich \(1\) Möglichkeit. Das ergibt \(4\cdot3\cdot2\cdot1=24\) Codes. 3. Ohne A stehen pro Stelle nur B, C und D zur Verfügung. Es gibt daher \(3^4=81\) günstige Codes unter den \(256\) möglichen Codes aus a). Also ist \(P=\frac{81}{256}\). 4. Bei d) sind A und D fest vorgegeben. B und C können die beiden restlichen Plätze in \(2\cdot1=2\) Reihenfolgen füllen. Daher ist \(P=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}\).

a) \(256\) Codes b) \(24\) Codes c) \(\frac{81}{256}\) d) \(\frac{1}{12}\)

- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, den ersten, zweiten und dritten Platz aus 8 Läufern zu besetzen? - Überlege dir für Teil b), wie viele verschiedene Anordnungen es für die drei Läufer auf den ersten drei Plätzen gibt. - Wenn die Läufer 1, 2 und 3 keine Medaille gewinnen, aus wie vielen Läufern müssen dann die ersten drei Plätze bestehen?

1. Gesamtzahl der möglichen Belegungen der ersten drei Plätze: Es gibt \(8 \cdot 7 \cdot 6 = 336\) Möglichkeiten. 2. Wahrscheinlichkeit für die exakte Reihenfolge (1, 2, 3): Es gibt nur 1 günstiges Ergebnis. \(P(a) = \frac{1}{336}\). 3. Wahrscheinlichkeit für die Bahnen 1, 2, 3 in beliebiger Reihenfolge: Es gibt \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) mögliche Reihenfolgen für diese drei Läufer auf den ersten drei Plätzen. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(b) = \frac{6}{336} = \frac{1}{56}\). Da \(6 \cdot \frac{1}{336} = \frac{6}{336}\), ist die Wahrscheinlichkeit genau sechsmal so hoch. 4. Wahrscheinlichkeit, dass keiner der drei eine Medaille gewinnt: Die ersten drei Plätze müssen durch die restlichen \(8 - 3 = 5\) Läufer besetzt werden. Anzahl der Möglichkeiten: \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(c) = \frac{60}{336} = \frac{5}{28}\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{336}\). b) Da es \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) verschiedene Reihenfolgen für die drei Läufer gibt, ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{336}\), was genau \(6 \cdot \frac{1}{336}\) entspricht. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{28}\).

- Die drei Ämter sind verschieden; deshalb spielt es eine Rolle, wer welches Amt erhält. - Nach jeder Vergabe steht eine Person weniger für das nächste Amt zur Verfügung. - Zähle für b) die günstigen Besetzungen auf dieselbe schrittweise Weise wie alle möglichen Besetzungen.

1. Für das erste Amt gibt es \(12\) Möglichkeiten, für das zweite noch \(11\) und für das dritte \(10\). Insgesamt sind \(12\cdot11\cdot10=1320\) Besetzungen möglich. 2. Wenn alle drei Ämter von Mädchen besetzt werden, gibt es nacheinander \(4\), \(3\) und \(2\) Möglichkeiten. Das sind \(4\cdot3\cdot2=24\) günstige Besetzungen. 3. Daher ist \(P=\frac{24}{1320}=\frac{1}{55}\approx1{,}8\,\%\).

a) \(1320\) Besetzungen b) \(\frac{1}{55}\approx1{,}8\,\%\)