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Mathe-Arbeitsblätter Klasse 8

Stellen Sie aus mehr als 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Relative Häufigkeit

Lernziele

  • Berechnet absolute und relative Häufigkeiten.
  • Vergleicht Versuchsreihen.
  • Schätzt Wahrscheinlichkeiten aus relativen Häufigkeiten.

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5530848
Elif dreht ein Glücksrad \(80\)-mal. Als Ergebnis wird jeweils R, B oder G notiert. Sie möchte ihre Versuchsreihe so protokollieren, dass man für jede Ergebniskategorie sowohl die absolute als auch die relative Häufigkeit erkennen kann. a) Nenne die drei sinnvollen Spaltenüberschriften einer solchen Häufigkeitstabelle. b) Welche beiden Kontrollwerte müssen in der Summenzeile für die absoluten beziehungsweise relativen Häufigkeiten stehen?

Denkanstöße

- Überlege, welche Information die beobachtete Kategorie selbst beschreibt und welche beiden Größen gezählt beziehungsweise berechnet werden. - Alle einzelnen Versuche müssen in den absoluten Häufigkeiten genau einmal vorkommen. - Alle Kategorien zusammen machen bei relativen Häufigkeiten den gesamten Versuch aus.

Lösung

1. Sinnvolle Spalten sind „Ergebnis“, „absolute Häufigkeit“ und „relative Häufigkeit“. 2. Die absoluten Häufigkeiten aller drei Kategorien müssen sich zu \(80\) addieren. 3. Die relativen Häufigkeiten müssen sich zu \(1\) beziehungsweise \(100\,\%\) addieren.

Antwort

a) Ergebnis; absolute Häufigkeit; relative Häufigkeit b) Summe absolut: \(80\); Summe relativ: \(1\) beziehungsweise \(100\,\%\)
5563528
Eine Münze wird \(10\)-mal geworfen. Dabei entsteht die Folge \(K, Z, K, K, Z, K, Z, K, K, Z\). Dabei steht \(K\) für Kopf und \(Z\) für Zahl. Das Ereignis \(A\) lautet „Kopf“. a) Bestimme die absolute Häufigkeit von \(A\). b) Bestimme die relative Häufigkeit \(h_{10}(A)\) als vollständig gekürzten Bruch, Dezimalzahl und Prozentsatz.

Denkanstöße

- Markiere in der Ergebnisfolge alle Würfe, bei denen das Ereignis \(A\) eingetreten ist. - Die absolute Häufigkeit ist eine Anzahl. - Für die relative Häufigkeit vergleichst du diese Anzahl mit der Gesamtzahl der durchgeführten Würfe.

Lösung

1. In der Folge tritt \(K\) sechsmal auf. Die absolute Häufigkeit von \(A\) ist daher \(6\). 2. Die relative Häufigkeit ist der Anteil dieser Treffer an allen \(10\) Würfen: \(h_{10}(A)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}=0{,}6=60\,\%\).

Antwort

a) \(6\) b) \(h_{10}(A)=\frac{3}{5}=0{,}6=60\,\%\)
4135558
In einer Analyse eines Zeitungsartikels mit insgesamt \(400\) Buchstaben wurden die Häufigkeiten bestimmter Buchstaben ermittelt. Der Buchstabe „E“ trat \(72\)-mal auf, der Buchstabe „N“ \(40\)-mal und der Buchstabe „Q“ genau \(1\)-mal. a) Berechne die relativen Häufigkeiten für E, N und Q in diesem Textabschnitt. Gib die Ergebnisse in Prozent an. b) Für diese Aufgabe wird für E der Vergleichswert \(17{,}4\,\%\) aus einer großen deutschsprachigen Textsammlung vorgegeben. Vergleiche dein Ergebnis aus a) mit diesem Wert und nenne einen möglichen Grund für eine Abweichung.

Denkanstöße

- Teile für jede Buchstabenart die absolute Häufigkeit durch die Gesamtzahl \(400\). - Wandle die Dezimalzahl anschließend in Prozent um. - Beim Vergleich zweier Texte darfst du damit rechnen, dass ihre Buchstabenanteile nicht exakt übereinstimmen.

Lösung

1. Für E gilt \(h_{400}(\text{E})=\frac{72}{400}=0{,}18=18\,\%\). 2. Für N gilt \(h_{400}(\text{N})=\frac{40}{400}=0{,}10=10\,\%\). 3. Für Q gilt \(h_{400}(\text{Q})=\frac{1}{400}=0{,}0025=0{,}25\,\%\). 4. Der Wert \(18\,\%\) liegt \(0{,}6\) Prozentpunkte über dem vorgegebenen Vergleichswert. Eine Abweichung ist plausibel, weil einzelne Texte eine besondere Wort- und Themenwahl haben und weil \(400\) Buchstaben nur einen begrenzten Textausschnitt bilden.

Antwort

a) \(h_{400}(\text{E})=18\,\%\), \(h_{400}(\text{N})=10\,\%\), \(h_{400}(\text{Q})=0{,}25\,\%\) b) E liegt um \(0{,}6\) Prozentpunkte über dem vorgegebenen Vergleichswert; eine mögliche Ursache ist die konkrete Wortwahl oder die begrenzte Textlänge.
4140748
In einer Fabrik werden LED-Leuchten in Kartons zu je 20 Stück verpackt. Bei einer Qualitätsprüfung von \(200\) Kartons wurde erfasst, wie viele defekte Leuchten jeweils enthalten sind. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle dargestellt: <table> <tr><th>Anzahl defekter Leuchten</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3 oder mehr</th></tr> <tr><td>Anzahl der Kartons (absolut)</td><td>164</td><td>22</td><td>10</td><td>4</td></tr> </table> Berechne für jede Kategorie die relative Häufigkeit. Gib das Ergebnis sowohl als Dezimalbruch als auch in Prozent an.

Denkanstöße

- Wie berechnet man das Ganze aus den Einzelteilen? - Erinnerst du dich an das Verhältnis von Teilwert zu Gesamtwert? - Wie wandelt man einen Bruch mit dem Nenner 200 am einfachsten in Prozent um?

Lösung

1. Gesamtzahl der untersuchten Kartons bestimmen: \(164 + 22 + 10 + 4 = 200\). 2. Relative Häufigkeit für 0 Defekte berechnen: \(\frac{164}{200} = 0{,}82 = 82\,\%\). 3. Relative Häufigkeit für 1 Defekt berechnen: \(\frac{22}{200} = 0{,}11 = 11\,\%\). 4. Relative Häufigkeit für 2 Defekte berechnen: \(\frac{10}{200} = 0{,}05 = 5\,\%\). 5. Relative Häufigkeit für 3 oder mehr Defekte berechnen: \(\frac{4}{200} = 0{,}02 = 2\,\%\).

Antwort

Die relativen Häufigkeiten sind: 0 Defekte: \(0{,}82\) bzw. \(82\,\%\) 1 Defekt: \(0{,}11\) bzw. \(11\,\%\) 2 Defekte: \(0{,}05\) bzw. \(5\,\%\) 3 oder mehr Defekte: \(0{,}02\) bzw. \(2\,\%\)
4140758
Zwei Bogenschützen, Jan und Marie, haben an einem Trainingstag jeweils mehrere Serien von Schüssen abgegeben. In jeder Serie schossen sie genau fünfmal. Die Tabelle zeigt, wie oft sie pro Serie ins Goldene getroffen haben. <table> <tr><th>Treffer pro Serie</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th></tr> <tr><td>Jan (Anzahl Serien)</td><td>2</td><td>4</td><td>6</td><td>12</td><td>10</td><td>6</td></tr> <tr><td>Marie (Anzahl Serien)</td><td>1</td><td>2</td><td>5</td><td>7</td><td>15</td><td>10</td></tr> </table> a) Bestimme für beide Personen die relative Häufigkeit des Ereignisses „mindestens 4 Treffer“. b) Vergleiche die Ergebnisse. Wer von beiden hat eine höhere relative Häufigkeit für dieses Ereignis erzielt?

Denkanstöße

- Was bedeutet das Wort „mindestens“ in Bezug auf die Trefferanzahl? - Musst du zuerst herausfinden, wie viele Serien insgesamt geschossen wurden? - Wie vergleicht man zwei Anteile, wenn die Grundgesamtheit gleich ist?

Lösung

1. Gesamtzahl der Serien für Jan berechnen: \(2 + 4 + 6 + 12 + 10 + 6 = 40\). 2. Anzahl der Serien mit mindestens 4 Treffern für Jan (Kategorien 4 und 5): \(10 + 6 = 16\). 3. Relative Häufigkeit für Jan berechnen: \(\frac{16}{40} = 0{,}4\). 4. Gesamtzahl der Serien für Marie berechnen: \(1 + 2 + 5 + 7 + 15 + 10 = 40\). 5. Anzahl der Serien mit mindestens 4 Treffern für Marie: \(15 + 10 = 25\). 6. Relative Häufigkeit für Marie berechnen: \(\frac{25}{40} = 0{,}625\). 7. Vergleich der Werte: \(0{,}625 > 0{,}4\). Marie hat die höhere relative Häufigkeit.

Antwort

a) Die relative Häufigkeit für mindestens 4 Treffer beträgt bei Jan \(0{,}4\) und bei Marie \(0{,}625\). b) Marie hat eine höhere relative Häufigkeit erzielt.
4140768
In einer Umfrage wurden insgesamt \(250\) Haushalte nach der Anzahl ihrer Haustiere gefragt. - Die relative Häufigkeit für „kein Haustier“ beträgt genau \(0{,}36\). - Die absolute Anzahl der Haushalte mit „genau einem Haustier“ beträgt \(85\). a) Wie viele der befragten Haushalte haben kein Haustier? b) Berechne die relative Häufigkeit für Haushalte mit genau einem Haustier. c) Die restlichen Haushalte besitzen entweder \(2\) oder \(3\) Haustiere. Wie groß muss die Summe der relativen Häufigkeiten dieser beiden Kategorien zusammen sein? Begründe deine Antwort kurz.

Denkanstöße

- Überlege bei a), wie sich eine relative Häufigkeit und die Gesamtzahl zur absoluten Häufigkeit verbinden. - Bei b) kennst du die absolute Häufigkeit und die Gesamtzahl der Befragten. - Prüfe bei c), welcher Anteil nach den ersten beiden Kategorien noch bis zur Gesamtheit fehlt.

Lösung

1. Für „kein Haustier“ gilt \(250\cdot 0{,}36=90\). Also haben \(90\) Haushalte kein Haustier. 2. Für „genau ein Haustier“ beträgt die relative Häufigkeit \(\frac{85}{250}=0{,}34\). 3. Die Summe aller relativen Häufigkeiten ist \(1\). Für die beiden übrigen Kategorien bleibt daher \(1-0{,}36-0{,}34=0{,}30\).

Antwort

a) \(90\) Haushalte b) \(0{,}34\) c) \(0{,}30\), weil die Summe aller relativen Häufigkeiten \(1\) beträgt.
4142488
In einer Umfrage wurden \(40\) Schülerinnen und Schüler einer 8. Klasse gefragt, wie sie morgens zur Schule kommen. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: <table> <tr><td>Verkehrsmittel</td><td>Fahrrad</td><td>Bus</td><td>Zu Fuß</td><td>Auto</td></tr> <tr><td>Anzahl</td><td>10</td><td>16</td><td>10</td><td>4</td></tr> </table> a) Berechne die relativen Häufigkeiten der einzelnen Verkehrsmittel in Prozent. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person aus dieser Klasse *nicht* mit dem Auto zur Schule kommt? Gib das Ergebnis als Bruch und in Prozent an. c) Für ein Kreisdiagramm soll die Größe der Sektoren berechnet werden. Welchen Mittelpunktswinkel hat der Sektor für die Gruppe „Bus“?

Denkanstöße

- Wie viele Personen wurden insgesamt befragt? - Was bedeutet „relativ“ im Gegensatz zu „absolut“? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis suchst, wie viele günstige Ergebnisse gibt es im Vergleich zu allen möglichen Ergebnissen? - Ein ganzer Kreis entspricht \(100\,\%\). Welchem Winkel entspricht das?

Lösung

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Schüler: \(10 + 16 + 10 + 4 = 40\). 2. Berechnung der relativen Häufigkeiten: - Fahrrad: \(\frac{10}{40} = 0{,}25 = 25\,\%\) - Bus: \(\frac{16}{40} = 0{,}4 = 40\,\%\) - Zu Fuß: \(\frac{10}{40} = 0{,}25 = 25\,\%\) - Auto: \(\frac{4}{40} = 0{,}1 = 10\,\%\) 3. Wahrscheinlichkeit für „nicht mit dem Auto“: - Anzahl der Personen, die nicht das Auto nutzen: \(40 - 4 = 36\). - Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{nicht Auto}) = \frac{36}{40} = \frac{9}{10} = 0{,}9 = 90\,\%\). 4. Berechnung des Mittelpunktswinkels für „Bus“: - Formel: \(\text{relativer Anteil} \cdot 360^\circ\). - Rechnung: \(0{,}4 \cdot 360^\circ = 144^\circ\).

Antwort

a) Fahrrad: \(25\,\%\), Bus: \(40\,\%\), Zu Fuß: \(25\,\%\), Auto: \(10\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{9}{10}\) bzw. \(90\,\%\). c) Der Mittelpunktswinkel für den Sektor „Bus“ beträgt \(144^\circ\).
4375068
Bei 200 Durchläufen eines zweistufigen Experiments wurden die absoluten Häufigkeiten im Baum festgehalten. Bestimme die relative Häufigkeit des Ereignisses \(B\).
Abbildung zur Aufgabe 437506

Denkanstöße

- Sammle alle Endknoten, die zum Ereignis gehören. - Beziehe ihre Gesamtzahl auf die Zahl aller Durchläufe.

Lösung

1. Häufigkeit von \(B\): \(72+20=92\). 2. Relative Häufigkeit: \(h(B)=92:200=0{,}46\).

Antwort

\(0{,}46=46\,\%\).
5530858
Bei \(50\) Drehungen eines Glücksrads wurden die Ergebnisse R, B und G gezählt. In der Tabelle hat sich ein Fehler eingeschlichen. <table> <tr><th>Ergebnis</th><th>absolute Häufigkeit</th><th>relative Häufigkeit</th></tr> <tr><td>R</td><td>\(18\)</td><td>\(0{,}36\)</td></tr> <tr><td>B</td><td>\(22\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr> <tr><td>G</td><td>\(10\)</td><td>\(0{,}20\)</td></tr> </table> Finde und korrigiere den Fehler. Nenne anschließend eine Kontrolle, mit der du deine Korrektur prüfen kannst.

Denkanstöße

- Berechne für jede Zeile die relative Häufigkeit aus absoluter Häufigkeit und Gesamtzahl der Versuche. - Vergleiche deine berechneten Werte mit den Tabellenwerten. - Nutze die Summen der absoluten und relativen Häufigkeiten als Gegenprobe.

Lösung

1. Für B muss die relative Häufigkeit aus \(22\) von \(50\) Versuchen berechnet werden: \(\frac{22}{50}=0{,}44\). 2. Die Einträge für R und G stimmen: \(\frac{18}{50}=0{,}36\) und \(\frac{10}{50}=0{,}20\). 3. Als Kontrolle ergibt die Summe \(0{,}36+0{,}44+0{,}20=1\). Außerdem ist \(18+22+10=50\).

Antwort

Der Eintrag bei B muss \(0{,}44\) statt \(0{,}40\) lauten. Kontrolle: Die relativen Häufigkeiten ergeben zusammen \(1\).
5563538
Zwei Gruppen untersuchen dasselbe Ereignis \(A\): „Beim Würfeln fällt eine Sechs“. <table> <tr><th>Gruppe</th><th>Anzahl der Würfe</th><th>Absolute Häufigkeit von \(A\)</th></tr> <tr><td>A</td><td>\(40\)</td><td>\(8\)</td></tr> <tr><td>B</td><td>\(100\)</td><td>\(17\)</td></tr> </table> a) In welcher Gruppe trat \(A\) absolut häufiger auf? b) Berechne für beide Gruppen die relative Häufigkeit von \(A\) in Prozent. In welcher Gruppe ist sie größer? c) Erkläre, warum die Antwort aus a) allein nicht genügt, um die Anteile der Sechsen zu vergleichen.

Denkanstöße

- Unterscheide zwischen einer Trefferanzahl und einem Trefferanteil. - Berechne für jede Gruppe den Anteil „Treffer durch Anzahl der Würfe“. - Frage dich bei c), was passiert, wenn zwei absolute Häufigkeiten aus unterschiedlich großen Stichproben stammen.

Lösung

1. Absolut trat das Ereignis in Gruppe B häufiger auf, denn dort wurden \(17\) statt \(8\) Sechsen gezählt. 2. Für Gruppe A gilt \(h_{40}(A)=\frac{8}{40}=0{,}2=20\,\%\). 3. Für Gruppe B gilt \(h_{100}(A)=\frac{17}{100}=0{,}17=17\,\%\). 4. Damit ist die relative Häufigkeit in Gruppe A größer. Absolute Häufigkeiten sind bei unterschiedlich vielen Versuchen nicht direkt als Anteile vergleichbar; die relative Häufigkeit berücksichtigt die jeweilige Gesamtzahl.

Antwort

a) Gruppe B b) Gruppe A: \(20\,\%\); Gruppe B: \(17\,\%\). Die relative Häufigkeit ist in Gruppe A größer. c) Die Gruppen haben unterschiedlich viele Würfe durchgeführt. Erst die relative Häufigkeit bezieht die Trefferzahl auf die jeweilige Versuchszahl.
5563548
Ein fairer Würfel wird \(60\)-mal geworfen. Das Ereignis \(A\) lautet „Es fällt eine Sechs“. In der Versuchsreihe tritt \(A\) genau \(13\)-mal ein. a) Bestimme \(h_{60}(A)\) in Prozent. Runde auf zwei Nachkommastellen. b) Gib die theoretische Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) in Prozent an. Runde ebenfalls auf zwei Nachkommastellen. c) Jemand behauptet: „Bei einem fairen Würfel muss \(h_{60}(A)=P(A)\) gelten. Sonst sind die Versuchsdaten falsch.“ Beurteile die Aussage.

Denkanstöße

- Trenne die beobachteten Versuchsdaten von der theoretischen Modellwahrscheinlichkeit. - Für die relative Häufigkeit verwendest du die beobachtete Trefferzahl und die Zahl der Würfe. - Überlege bei c), ob eine endliche Zufallsreihe bei jeder Wiederholung exakt denselben Anteil liefern muss.

Lösung

1. Die beobachtete relative Häufigkeit ist \(h_{60}(A)=\frac{13}{60}\approx21{,}67\,\%\). 2. Für einen fairen Würfel gilt theoretisch \(P(A)=\frac{1}{6}\approx16{,}67\,\%\). 3. Die Werte müssen in einer endlichen Versuchsreihe nicht genau übereinstimmen. \(h_{60}(A)\) beschreibt die tatsächlich beobachtete Versuchsreihe, während \(P(A)\) die theoretische Wahrscheinlichkeit im Modell angibt. Die Abweichung macht die Daten daher nicht falsch.

Antwort

a) \(h_{60}(A)\approx21{,}67\,\%\) b) \(P(A)\approx16{,}67\,\%\) c) Die Aussage ist falsch. Eine relative Häufigkeit aus endlich vielen Versuchen darf von der theoretischen Wahrscheinlichkeit abweichen.
5563558
Bei einem Zufallsexperiment wurden \(200\) Ergebnisse gezählt. <table> <tr><th>Farbe</th><th>Absolute Häufigkeit</th><th>Relative Häufigkeit</th></tr> <tr><td>Rot</td><td>\(72\)</td><td>\(\square\)</td></tr> <tr><td>Blau</td><td>\(81\)</td><td>\(\square\)</td></tr> <tr><td>Grün</td><td>\(47\)</td><td>\(\square\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(200\)</td><td></td></tr> </table> a) Berechne für jede Farbe die relative Häufigkeit als Dezimalzahl und als Prozentsatz. b) Erkläre, warum du bei allen drei Farben durch \(200\) teilst. c) Addiere die drei relativen Häufigkeiten. Was zeigt dir das Ergebnis?

Denkanstöße

- Welche beiden Zahlen brauchst du, um den Anteil einer Farbe zu bestimmen? - Worauf bezieht sich der Anteil einer Farbe? - Was bedeutet es, wenn die Anteile aller möglichen Farben zusammen genau das Ganze ergeben?

Lösung

1. Die relative Häufigkeit ist jeweils die absolute Häufigkeit geteilt durch die Gesamtzahl \(200\). 2. Für Rot gilt \(\frac{72}{200}=0{,}36=36\,\%\). 3. Für Blau gilt \(\frac{81}{200}=0{,}405=40{,}5\,\%\). 4. Für Grün gilt \(\frac{47}{200}=0{,}235=23{,}5\,\%\). 5. Der Nenner ist immer \(200\), weil jede relative Häufigkeit den Anteil an allen durchgeführten Versuchen angibt. 6. Es gilt \(0{,}36+0{,}405+0{,}235=1\). Die drei Farben erfassen zusammen alle Versuche.

Antwort

a) Rot: \(0{,}36=36\,\%\); Blau: \(0{,}405=40{,}5\,\%\); Grün: \(0{,}235=23{,}5\,\%\) b) Jede Farbe wird mit der Gesamtzahl aller \(200\) Versuche verglichen. c) Die Summe ist \(1=100\,\%\). Damit sind alle Versuche erfasst.
5580408
Ein unbekanntes Glücksrad wird \(40\)-mal gedreht. Dabei landet der Zeiger \(14\)-mal auf Blau. a) Bestimme die relative Häufigkeit von Blau. b) Nutze die Versuchsreihe, um die unbekannte Wahrscheinlichkeit für Blau zu schätzen. c) Erkläre, warum diese Schätzung nicht die genaue Wahrscheinlichkeit sein muss.

Denkanstöße

- Stelle die Zahl der blauen Treffer der Gesamtzahl der Drehungen gegenüber. - Welche beobachtete Größe kann als Näherung dienen, wenn die wahre Wahrscheinlichkeit unbekannt ist? - Würde eine zweite Serie mit \(40\) Drehungen unbedingt genau denselben Anteil liefern?

Lösung

1. Die relative Häufigkeit ist \(h(\text{Blau})=\frac{14}{40}=0{,}35=35\,\%\). 2. Die beobachtete relative Häufigkeit liefert die Schätzung \(P(\text{Blau})\approx0{,}35\). 3. Bei einer endlichen Versuchsreihe treten zufällige Schwankungen auf. Eine andere Serie von \(40\) Drehungen kann deshalb eine andere relative Häufigkeit ergeben.

Antwort

a) \(h(\text{Blau})=0{,}35=35\,\%\) b) \(P(\text{Blau})\approx0{,}35\) c) Die relative Häufigkeit kann bei einer endlichen Versuchsreihe zufällig schwanken; sie ist deshalb nur eine Schätzung.
5580418
Zwei Gruppen testen dasselbe Zufallsspiel. Gruppe A gewinnt bei \(60\) Versuchen \(24\)-mal. Gruppe B gewinnt bei \(140\) Versuchen \(58\)-mal. a) Berechne für beide Gruppen die relative Gewinnhäufigkeit in Prozent. Runde bei Bedarf auf eine Nachkommastelle. b) Fasse beide Versuchsreihen zusammen und schätze daraus die Gewinnwahrscheinlichkeit des Spiels. c) Erkläre, warum du die beiden Prozentwerte aus a) nicht einfach mitteln solltest.

Denkanstöße

- Welche Rolle spielen die unterschiedlichen Versuchszahlen \(60\) und \(140\)? - Wie viele Gewinne und wie viele Versuche gibt es insgesamt? - Was passiert beim einfachen Mittelwert mit den beiden Gruppen: Zählen sie dann gleich stark?

Lösung

1. Für Gruppe A gilt \(h_A=\frac{24}{60}=0{,}4=40\,\%\). 2. Für Gruppe B gilt \(h_B=\frac{58}{140}\approx0{,}414=41{,}4\,\%\). 3. Zusammen wurden \(60+140=200\) Versuche durchgeführt und \(24+58=82\) Gewinne beobachtet. Damit ist die gemeinsame relative Häufigkeit \(\frac{82}{200}=0{,}41=41\,\%\), also \(P(\text{Gewinn})\approx0{,}41\). 4. Ein einfacher Mittelwert der beiden Prozentwerte würde beide Gruppen gleich stark gewichten, obwohl Gruppe B deutlich mehr Versuche enthält. Für die gemeinsame Schätzung sollen dagegen alle einzelnen Versuche gleich zählen.

Antwort

a) Gruppe A: \(40\,\%\); Gruppe B: \(\approx41{,}4\,\%\) b) Gemeinsam: \(\frac{82}{200}=41\,\%\); daher \(P(\text{Gewinn})\approx0{,}41\) c) Die Gruppen sind unterschiedlich groß. Ein einfacher Mittelwert würde die kleinere Gruppe zu stark gewichten.
4135578
Ein Computerprogramm hat in einem Textabschnitt mit genau \(250\) Buchstaben die Vokale gezählt: A: \(15\), E: \(45\), I: \(20\), O: \(8\), U: \(12\). a) Berechne die relative Häufigkeit der Vokale insgesamt. b) Für einen Vergleich wird für E ein Anteil von \(17{,}4\,\%\) vorgegeben. Leo behauptet: „Dann muss in jedem Text mit \(250\) Buchstaben E genau \(43{,}5\)-mal vorkommen.“ Nimm begründet Stellung.

Denkanstöße

- Addiere zuerst die fünf absoluten Vokalhäufigkeiten. - Prüfe, ob eine tatsächliche Buchstabenanzahl überhaupt eine Dezimalzahl sein kann. - Ein Prozentwert aus einer Textsammlung legt die Zusammensetzung eines einzelnen Textes nicht exakt fest.

Lösung

1. Insgesamt wurden \(15+45+20+8+12=100\) Vokale gezählt. 2. Ihre relative Häufigkeit ist \(\frac{100}{250}=0{,}4=40\,\%\). 3. Der rechnerische Vergleich \(250\cdot0{,}174=43{,}5\) liefert keine mögliche tatsächliche Buchstabenanzahl, denn Anzahlen sind ganzzahlig. 4. Der vorgegebene Prozentsatz beschreibt außerdem nur einen Vergleichswert für eine Textsammlung. Ein einzelner Text kann wegen seiner Wortwahl und begrenzten Länge davon abweichen. Leos Aussage ist daher falsch.

Antwort

a) \(40\,\%\) b) Leos Aussage ist falsch. \(43{,}5\) ist nur ein rechnerischer Vergleichswert; in einem einzelnen Text ist die Anzahl ganzzahlig und kann vom vorgegebenen Anteil abweichen.
4142498
An einer Schule mit insgesamt \(120\) Jugendlichen im 8. Jahrgang wählen alle Schülerinnen und Schüler genau einen Wahlpflichtkurs. Bekannt ist: - \(30\,\%\) der Jugendlichen wählen Französisch. - \(45\) Jugendliche wählen Technik. - Der Rest wählt Informatik. a) Wie viele Jugendliche haben sich für den Kurs Französisch entschieden? b) Bestimme die relative Häufigkeit für das Fach Technik. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Jugendlicher den Kurs Informatik belegt hat?

Denkanstöße

- Kannst du zuerst ausrechnen, wie viele Personen in jeder Gruppe sind? - Die Summe aller relativen Häufigkeiten muss immer \(1\) (oder \(100\,\%\)) ergeben. - Wie hängen die Anzahl der Informatik-Schüler und die Gesamtzahl mit der Wahrscheinlichkeit zusammen?

Lösung

1. Anzahl Französisch-Schüler berechnen: \(30\,\%\) von \(120\) ist \(0{,}3 \cdot 120 = 36\). 2. Relative Häufigkeit für Technik berechnen: \(\frac{45}{120} = \frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\). 3. Anzahl oder Anteil für Informatik bestimmen: - Über Anteile: \(100\,\% - 30\,\% - 37{,}5\,\% = 32{,}5\,\%\). - Über Anzahlen: \(120 - 36 - 45 = 39\). 4. Wahrscheinlichkeit für Informatik: \(P(\text{Informatik}) = \frac{39}{120} = 0{,}325 = 32{,}5\,\%\).

Antwort

a) \(36\) Jugendliche wählen Französisch. b) Die relative Häufigkeit für Technik beträgt \(0{,}375\) (oder \(37{,}5\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}325\) (oder \(32{,}5\,\%\)).
4142508
Das abgebildete Kreisdiagramm zeigt die Verteilung der Noten einer Mathematikarbeit. a) Berechne die relative Häufigkeit der Note \(3\). b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig herausgegriffene Arbeit mit „gut“ (Note \(2\)) oder „sehr gut“ (Note \(1\)) bewertet wurde? c) In der Klasse haben genau \(4\) Schülerinnen und Schüler die Note \(4\) erhalten. Bestimme daraus die Gesamtzahl der Schülerinnen und Schüler in dieser Klasse.
Abbildung zur Aufgabe 414250

Denkanstöße

- Ein vollständiger Kreis entspricht \(360^\circ\) und der relativen Häufigkeit \(1\). - Lies für b) die beiden zugehörigen Sektorwinkel aus dem Diagramm ab und betrachte ihren gemeinsamen Anteil am Vollkreis. - Überlege bei c), welchem Bruchteil des Kreises der Sektor für Note \(4\) entspricht und wie du daraus die ganze Klasse zurückrechnest.

Lösung

1. Der Sektor für Note \(3\) hat einen Mittelpunktswinkel von \(90^\circ\). Daher beträgt die relative Häufigkeit \(\frac{90}{360}=\frac14=25\,\%\). 2. Die Sektoren für Note \(1\) und Note \(2\) umfassen zusammen \(30^\circ+120^\circ=150^\circ\). Deshalb gilt \(P(\text{Note 1 oder 2})=\frac{150}{360}=\frac{5}{12}\approx41{,}7\,\%\). 3. Der Sektor für Note \(4\) umfasst \(60^\circ\), also \(\frac{60}{360}=\frac16\) des Kreises. Wenn \(\frac16\) der Klasse \(4\) Personen entspricht, umfasst die Klasse \(4\cdot6=24\) Personen.

Antwort

a) \(25\,\%\) b) \(\frac{5}{12}\approx41{,}7\,\%\) c) \(24\) Schülerinnen und Schüler

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