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- Wie berechnet man den Anteil eines Ergebnisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit, wenn alle Zahlen von 1 bis 10 die gleiche Chance haben? - Schau dir an, wie sich der Abstand zwischen deinem berechneten Wert und dem theoretischen Wert verändert, wenn die Anzahl der Versuche größer wird.

1. Berechnung der relativen Häufigkeiten \(h_n\): - Für \(n = 100\): \(h_{100} = \frac{13}{100} = 0{,}13\) - Für \(n = 1000\): \(h_{1000} = \frac{92}{1000} = 0{,}092\) - Für \(n = 10\,000\): \(h_{10000} = \frac{1045}{10000} = 0{,}1045\) - Für \(n = 100\,000\): \(h_{100000} = \frac{9982}{100000} = 0{,}09982\) 2. Bestimmung der theoretischen Wahrscheinlichkeit \(P\): Da es \(10\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse gibt, gilt \(P(\text{„7“}) = \frac{1}{10} = 0{,}1\). 3. Vergleich und Interpretation: Die Abweichungen betragen \(|0{,}13 - 0{,}1| = 0{,}03\); \(|0{,}092 - 0{,}1| = 0{,}008\); \(|0{,}1045 - 0{,}1| = 0{,}0045\) und \(|0{,}09982 - 0{,}1| = 0{,}00018\). Mit zunehmender Anzahl der Versuche \(n\) stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten in den dargestellten Versuchsreihen zunehmend um die theoretische Wahrscheinlichkeit von \(0{,}1\). Dies veranschaulicht das empirische Gesetz der großen Zahlen.

a) Die relativen Häufigkeiten sind \(0{,}13\); \(0{,}092\); \(0{,}1045\) und \(0{,}09982\). b) Die theoretische Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = 0{,}1\). c) Mit steigender Versuchsanzahl liegen die relativen Häufigkeiten in den dargestellten Versuchsreihen zunehmend nahe bei \(0{,}1\). Dies veranschaulicht das empirische Gesetz der großen Zahlen, wonach sich die relative Häufigkeit bei häufiger Durchführung eines Zufallsexperiments um die theoretische Wahrscheinlichkeit stabilisiert.

- Unterscheide die Wahrscheinlichkeit des nächsten einzelnen Wurfs von der relativen Häufigkeit in einer langen Serie. - Überlege, ob das empirische Gesetz einen Ausgleich schon beim unmittelbar nächsten Versuch verlangt. - Nutze die Angabe, dass die Münze fair ist.

1. Bei einer fairen Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit für Zahl bei jedem einzelnen Wurf \(50\,\%\). Die fünf bisherigen Ergebnisse verändern diese Chance des nächsten Wurfs nicht. 2. Das empirische Gesetz der großen Zahlen sagt, dass sich relative Häufigkeiten in langen Versuchsreihen typischerweise in der Nähe der theoretischen Wahrscheinlichkeit stabilisieren. 3. Es verlangt aber keinen kurzfristigen Ausgleich nach einer auffälligen Serie. Deshalb bleibt die Wahrscheinlichkeit für Zahl beim sechsten Wurf \(50\,\%\).

Lukas hat nicht recht. Beim sechsten Wurf beträgt die Wahrscheinlichkeit für Zahl weiterhin \(50\,\%\); das empirische Gesetz der großen Zahlen erzwingt keinen kurzfristigen Ausgleich.

- Vergleiche nicht nur die absoluten Säulenhöhen der beiden Diagramme. - Berechne für jede Simulation den Anteil der Kopf-Ergebnisse an allen Versuchen. - Eine faire Münze hat für Kopf die theoretische Wahrscheinlichkeit \(0{,}5\).

1. In Simulation A ist \(h_A(K)=\frac{31}{50}=0{,}62\). 2. In Simulation B ist \(h_B(K)=\frac{2511}{5000}=0{,}5022\). 3. Für eine faire Münze ist \(P(K)=0{,}5\). Simulation B liegt mit \(0{,}5022\) deutlich näher an diesem Wert und beruht außerdem auf wesentlich mehr Versuchen. 4. Daher stützt Simulation B die Annahme einer fairen Münze überzeugender.

Simulation B; \(h_B(K)=0{,}5022\) liegt deutlich näher bei \(0{,}5\) als \(h_A(K)=0{,}62\) und stammt aus der größeren Versuchsreihe.

- Die Frage verlangt keine Entscheidung danach, welcher Wert „schöner“ aussieht. - Vergleiche die Anzahl der Wiederholungen der drei Gruppen. - Denke daran, was das empirische Gesetz der großen Zahlen über Schwankungen bei langen Versuchsreihen aussagt.

1. Die relativen Häufigkeiten sind bei A \(\frac{14}{20}=0{,}70\), bei B \(\frac{96}{200}=0{,}48\) und bei C \(\frac{1018}{2000}=0{,}509\). 2. Gruppe C hat mit \(2000\) Versuchen die mit Abstand größte Stichprobe. 3. Nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen schwanken relative Häufigkeiten bei langen Versuchsreihen typischerweise weniger stark. Deshalb liefert C im Allgemeinen die verlässlichste Schätzung, unabhängig davon, welcher der drei beobachteten Werte zufällig näher am unbekannten wahren Wert liegt.

Gruppe C, weil ihre Schätzung auf \(2000\) Versuchen und damit auf der längsten Versuchsreihe beruht.

- Vergleiche die Aussage „Stabilisierung bei vielen Versuchen“ mit der Forderung „jede Versuchsreihe muss gleich ausfallen“. - Addiere für b) zuerst alle Kopfergebnisse und alle Würfe. - Bilde die relative Häufigkeit erst aus den zusammengefassten Gesamtzahlen.

1. Unterschiedliche Ergebnisse bei mehreren Versuchsreihen sind normale zufällige Schwankungen und widersprechen dem empirischen Gesetz der großen Zahlen nicht. 2. Zusammen wurden \(47+55+51=153\) Kopfergebnisse in \(300\) Würfen beobachtet. 3. Die gemeinsame relative Häufigkeit ist \(\frac{153}{300}=0{,}51=51\,\%\).

a) Nein. Verschiedene Versuchsreihen können unterschiedliche relative Häufigkeiten liefern. b) \(0{,}51=51\,\%\)

- Berechne jede relative Häufigkeit als absolute Häufigkeit geteilt durch die jeweilige Gesamtzahl. - Vergleiche danach besonders die unterschiedlichen Beobachtungszahlen. - Das empirische Gesetz der großen Zahlen beschreibt Stabilisierung bei vielen Wiederholungen, nicht eine Garantie für einen exakt festen Wert.

1. Gruppe A: \(h_A(S)=\frac{2}{50}=0{,}04=4\,\%\). 2. Gruppe B: \(h_B(S)=\frac{36}{500}=0{,}072=7{,}2\,\%\). 3. Gruppe C: \(h_C(S)=\frac{310}{5000}=0{,}062=6{,}2\,\%\). 4. Bei vergleichbaren Versuchsbedingungen schwanken relative Häufigkeiten bei größeren Beobachtungszahlen typischerweise weniger stark. Deshalb liefert Gruppe C mit \(5000\) Beobachtungen vermutlich die stabilste empirische Schätzung. Das bedeutet nicht, dass jeder andere Text denselben Anteil haben muss.

a) Gruppe A: \(4\,\%\); Gruppe B: \(7{,}2\,\%\); Gruppe C: \(6{,}2\,\%\) b) Gruppe C liefert vermutlich die stabilste Schätzung, weil relative Häufigkeiten bei größeren Beobachtungszahlen typischerweise weniger stark schwanken.

- Berechne zuerst beide relativen Häufigkeiten. - Vergleiche die Anzahl der Würfe in den beiden Klassen. - Prüfe, welcher beobachtete Wert bei der größeren Versuchsreihe in der Nähe der theoretischen Wahrscheinlichkeit \(0{,}5\) liegt.

1. Klasse 8a: \(h_{8a}=\frac{140}{250}=0{,}56\). 2. Klasse 8b: \(h_{8b}=\frac{1280}{2500}=0{,}512\). 3. Bei wachsender Versuchszahl stabilisiert sich die relative Häufigkeit typischerweise in der Nähe der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeit. Eine monotone Annäherung bei jeder Vergrößerung ist nicht garantiert. 4. Deshalb ist das Ergebnis der Klasse 8b mit \(2500\) Würfen aussagekräftiger als das Ergebnis aus nur \(250\) Würfen. Sein Wert \(0{,}512\) liegt zudem nahe bei \(0{,}5\).

a) Klasse 8a: \(0{,}56\); Klasse 8b: \(0{,}512\) b) Das Ergebnis der Klasse 8b ist verlässlicher, weil es auf deutlich mehr Würfen beruht und sich relative Häufigkeiten bei großen Versuchszahlen typischerweise stärker stabilisieren.

- Teile die Zahl der Sechsen durch die Gesamtzahl der Würfe. - Unterscheide eine langfristige Aussage über relative Häufigkeiten von einer Vorhersage für den nächsten Versuchsblock. - Prüfe, ob das empirische Gesetz tatsächlich eine bestimmte Zahl von Sechsen in den nächsten \(600\) Würfen vorschreibt.

1. Die relative Häufigkeit ist \(\frac{85}{600}=\frac{17}{120}\approx0{,}1417\approx14{,}17\,\%\). 2. Die theoretische Wahrscheinlichkeit einer \(6\) beträgt bei jedem Wurf \(\frac{1}{6}\approx16{,}67\,\%\). 3. Das empirische Gesetz der großen Zahlen beschreibt, dass sich relative Häufigkeiten bei sehr vielen Wiederholungen typischerweise in der Nähe der theoretischen Wahrscheinlichkeit stabilisieren. 4. Es verlangt aber nicht, dass ein bisheriges „Defizit“ in der unmittelbar folgenden Versuchsserie durch besonders viele Sechsen ausgeglichen wird. Miras Schlussfolgerung ist daher falsch.

a) \(\frac{17}{120}\approx0{,}1417\approx14{,}17\,\%\) b) Die Aussage ist falsch. Das empirische Gesetz der großen Zahlen beschreibt langfristige Stabilisierung, erzwingt aber keinen kurzfristigen Ausgleich in den nächsten \(600\) Würfen.

- Berechne zuerst den beobachteten Schwarzanteil der ersten Versuchsreihe. - Übersetze die drei möglichen Beutelzusammensetzungen in Anteile schwarzer Kugeln. - Vergleiche bei b) die Abstände des beobachteten Werts zu diesen drei möglichen Anteilen.

1. In der ersten Reihe ist \(h(\text{schwarz})=\frac{124}{200}=0{,}62\). 2. Bei \(10\) Kugeln entsprechen \(5,6,7\) schwarze Kugeln den theoretischen Anteilen \(0{,}5,0{,}6,0{,}7\). Der beobachtete Wert \(0{,}62\) liegt am nächsten bei \(0{,}6\). Daher sind \(6\) schwarze Kugeln die sinnvollste Schätzung. 3. Der Wert \(0{,}603\) aus \(2000\) Ziehungen liegt ebenfalls sehr nahe bei \(0{,}6\) und deutlich weiter von \(0{,}5\) und \(0{,}7\) entfernt. 4. Nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen stützt die längere Versuchsreihe daher die Zusammensetzung mit \(6\) schwarzen und \(4\) weißen Kugeln am stärksten.

a) Vermutlich \(6\) schwarze Kugeln. b) „\(6\) schwarz, \(4\) weiß“, weil \(0{,}603\) am nächsten beim theoretischen Anteil \(0{,}6\) liegt und die Schätzung auf einer langen Versuchsreihe beruht.

- Für \(30\,\%\) Erfolg müssen drei der zehn gleich wahrscheinlichen Ziffern als Erfolg gelten. - Zähle in b) nur die Ziffern \(0,1,2\). - Vergleiche bei c) eine kurze Versuchsreihe mit der langfristigen Aussage des empirischen Gesetzes der großen Zahlen.

1. Für Erfolgswahrscheinlichkeit \(0{,}3\) müssen genau \(3\) der \(10\) gleich wahrscheinlichen Ziffern als Erfolg festgelegt werden. Eine mögliche Zuordnung ist Erfolg bei \(0,1,2\), Misserfolg bei \(3,4,5,6,7,8,9\). 2. In der angegebenen Folge sind \(0,2,1,2\) Erfolge. Die absolute Häufigkeit beträgt daher \(4\). 3. Die relative Häufigkeit ist \(\frac{4}{10}=0{,}4=40\,\%\). 4. Bei nur zehn Versuchen können relative Häufigkeiten merklich von der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeit abweichen. Erst bei vielen Wiederholungen ist eine stärkere Stabilisierung zu erwarten.

a) Zum Beispiel: Erfolg bei \(0,1,2\), Misserfolg bei \(3,4,5,6,7,8,9\). b) Absolute Häufigkeit: \(4\); relative Häufigkeit: \(0{,}4=40\,\%\). c) Zehn Versuche sind eine kurze Reihe; zufällige Schwankungen können deshalb noch deutlich sichtbar sein.

- Lies die Balken in der Reihenfolge der wachsenden Versuchszahlen. - Achte nicht nur darauf, ob die Werte steigen oder fallen, sondern darauf, wie groß die Änderungen werden. - Für b) ist die längste Versuchsreihe die wichtigste dargestellte Information. - Unterscheide „sich annähern und stabilisieren“ von „ab einem Zeitpunkt exakt gleich bleiben“.

1. Die relative Häufigkeit verändert sich von \(65\,\%\) über \(54\,\%\) und \(51{,}2\,\%\) auf \(50{,}6\,\%\). Die Schwankungen werden kleiner und die Werte stabilisieren sich in der Nähe von etwa \(51\,\%\). 2. Die längste dargestellte Reihe umfasst \(2000\) Versuche und liefert die Schätzung \(0{,}506=50{,}6\,\%\). 3. Zufällige Schwankungen bleiben auch bei längeren Reihen möglich. Das empirische Gesetz der großen Zahlen verlangt keine exakt konstanten relativen Häufigkeiten.

a) Die relative Häufigkeit stabilisiert sich zunehmend; die Änderungen werden kleiner. b) ungefähr \(0{,}506=50{,}6\,\%\) c) Zufällige Schwankungen bleiben möglich; Stabilisierung bedeutet nicht exakte Gleichheit.

- Jede der zehn Zufallsziffern ist gleich wahrscheinlich und kann genau einem Sektoranteil entsprechen. - Die Zahl der zugeordneten Ziffern muss die Sektoranzahlen \(2:3:5\) widerspiegeln. - Eine simulierte Drehung braucht genau eine Zufallsziffer. - Überlege bei c), welche Anteile die drei Kategorien am ursprünglichen Glücksrad haben.

1. Zwei der zehn Ziffern müssen A, drei Ziffern B und fünf Ziffern C zugeordnet werden. Eine mögliche Zuordnung ist A bei \(0,1\), B bei \(2,3,4\) und C bei \(5,6,7,8,9\). 2. Jede Zufallsziffer simuliert genau eine Drehung. Für \(500\) Drehungen werden daher \(500\) Zufallsziffern benötigt. 3. Bei vielen Wiederholungen sollten sich die relativen Häufigkeiten ungefähr bei \(\frac{2}{10}=0{,}2\), \(\frac{3}{10}=0{,}3\) und \(\frac{5}{10}=0{,}5\) stabilisieren.

a) Zum Beispiel A: \(0,1\); B: \(2,3,4\); C: \(5,6,7,8,9\) b) \(500\) Zufallsziffern c) ungefähr A: \(0{,}2\), B: \(0{,}3\), C: \(0{,}5\)

- Berechne zuerst, wie groß der Anteil der defekten Teile bei jeder Maschine ist. - Überlege dir: Wenn man sehr viele Teile prüft, sollte das Ergebnis dann näher am Zielwert liegen oder weiter weg? - Welche Maschine zeigt trotz einer sehr großen Anzahl an Prüfungen eine deutliche Abweichung?

1. Berechnung der relativen Häufigkeiten \(h\): - Maschine A: \(h_A = \frac{12}{200} = 0{,}06\) - Maschine B: \(h_B = \frac{105}{2000} = 0{,}0525\) - Maschine C: \(h_C = \frac{1160}{20000} = 0{,}058\) 2. Abweichungen vom Sollwert \(0{,}05\): - Maschine A: \(0{,}01\) - Maschine B: \(0{,}0025\) - Maschine C: \(0{,}008\) 3. Mit wachsender Zahl geprüfter Bauteile werden zufällige Schwankungen der relativen Häufigkeit normalerweise kleiner. Die Abweichung von Maschine A beruht nur auf \(200\) Prüfungen, während Maschine C trotz \(20\,000\) Prüfungen noch deutlich über \(0{,}05\) liegt. 4. Daher liefern die Daten bei Maschine C den stärksten Hinweis auf eine abweichende Ausschussquote. Die Beobachtung ist jedoch kein mathematischer Beweis dafür, dass die Maschine fehlerhaft arbeitet.

a) Maschine A: \(0{,}06\); Maschine B: \(0{,}0525\); Maschine C: \(0{,}058\). b) Maschine C liefert den stärksten Hinweis auf eine abweichende Ausschussquote, weil die relative Häufigkeit trotz der sehr großen Stichprobe deutlich über \(0{,}05\) liegt. Aus den Daten allein folgt aber kein sicherer Beweis.