- Was ist die wichtigste Voraussetzung für ein Laplace-Experiment? - Überlege, ob die beteiligten Objekte vollkommen symmetrisch sind. - Hat jedes mögliche Ergebnis physikalisch gesehen die exakt gleiche Chance? - Könnte die Form eines Objekts ein bestimmtes Ergebnis bevorzugen?

1. Teilaufgabe a): Keine Laplace-Annahme. Aufgrund der asymmetrischen Form (Kopf und Spitze) sind die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Lagen physikalisch nicht gleich groß. 2. Teilaufgabe b): Laplace-Annahme gerechtfertigt. Jede Karte ist identisch geformt und die Chance, eine bestimmte Karte zu ziehen, ist bei guter Durchmischung für alle 32 Karten gleich \(P = \frac{1}{32}\). 3. Teilaufgabe c): Laplace-Annahme gerechtfertigt. Ein herkömmlicher Spielwürfel ist hochgradig symmetrisch konstruiert. Die Rundungen betreffen alle Kanten gleichmäßig, sodass für jede Augenzahl näherungsweise \(P = \frac{1}{6}\) angenommen werden kann. 4. Teilaufgabe d): Laplace-Annahme gerechtfertigt. Da alle Sektoren den gleichen Mittelpunktswinkel von \(90^\circ\) haben, ist die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe gleich \(P = \frac{1}{4}\).

a) Nein, wegen mangelnder Symmetrie. b) Ja, da alle Karten die gleiche Ziehchance haben. c) Ja, da der Würfel symmetrisch bleibt. d) Ja, da die Sektoren gleich groß sind.

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, wenn man die Anzahl der günstigen und die Anzahl der möglichen Fälle kennt? - Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten der drei Pralinensorten. - Was müsste gelten, damit man von einem Laplace-Experiment spricht?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Pralinen: \(7 + 4 + 1 = 12\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(\text{Vollmilch}) = \frac{7}{12} \approx 0{,}583\), \(P(\text{Zartbitter}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\) und \(P(\text{weiß}) = \frac{1}{12} \approx 0{,}083\). 3. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: Die berechneten Werte \(\frac{7}{12}\), \(\frac{4}{12}\) und \(\frac{1}{12}\) sind alle voneinander verschieden. 4. Schlussfolgerung: Da für ein Laplace-Experiment alle Ergebnisse in \(\Omega\) die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen müssten (\(P = \frac{1}{3}\)), ist die Laplace-Annahme hier widerlegt.

a) \(P(\text{Vollmilch}) = \frac{7}{12}\), \(P(\text{Zartbitter}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\), \(P(\text{weiß}) = \frac{1}{12}\). b) Es handelt sich nicht um ein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse unterschiedlich sind (\(\frac{7}{12} \neq \frac{4}{12} \neq \frac{1}{12}\)).

- Überlege dir zuerst, welche verschiedenen Ergebnisse überhaupt möglich sind. - Berechne für jedes mögliche Ergebnis die Wahrscheinlichkeit. - Vergleiche die berechneten Wahrscheinlichkeiten miteinander. - Was muss für die Wahrscheinlichkeiten gelten, damit man von einem Laplace-Experiment spricht?

1. Ein Experiment ist ein Laplace-Experiment, wenn alle Ergebnisse in \(\Omega\) die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. 2. Fall a): Die Ergebnismenge ist \(\Omega = \{\text{rot}, \text{blau}\}\). Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(\text{rot}) = \frac{10}{20} = 0{,}5\) und \(P(\text{blau}) = \frac{10}{20} = 0{,}5\). Da die Wahrscheinlichkeiten gleich sind, ist es ein Laplace-Experiment. 3. Fall b): Die Ergebnismenge ist \(\Omega = \{\text{rot}, \text{blau}, \text{grün}, \text{gelb}\}\). Jede Farbe hat eine Wahrscheinlichkeit von \(P = \frac{5}{20} = 0{,}25\). Da alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind, ist es ein Laplace-Experiment. 4. Fall c): Die Ergebnismenge ist \(\Omega = \{\text{rot}, \text{blau}, \text{grün}\}\). Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(\text{rot}) = \frac{2}{20} = 0{,}1\), \(P(\text{blau}) = \frac{8}{20} = 0{,}4\) und \(P(\text{grün}) = \frac{10}{20} = 0{,}5\). Da die Wahrscheinlichkeiten verschieden sind, ist es kein Laplace-Experiment.

a) Ja, es ist ein Laplace-Experiment. \(\Omega = \{\text{rot}, \text{blau}\}\). b) Ja, es ist ein Laplace-Experiment. \(\Omega = \{\text{rot}, \text{blau}, \text{grün}, \text{gelb}\}\). c) Nein, es ist kein Laplace-Experiment. \(\Omega = \{\text{rot}, \text{blau}, \text{grün}\}\).

- Vergleiche die Anzahl der Kugeln jeder Farbe. Was müsste gelten, damit jede Farbe die gleiche Chance hat? - Orientier dich an der Farbe, die am häufigsten vorkommt. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind?

1. Berechnung der Gesamtzahl und Wahrscheinlichkeiten: Gesamtzahl \(n = 12 + 8 + 4 = 24\). Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(\text{rot}) = \frac{12}{24} = 0{,}5\), \(P(\text{blau}) = \frac{8}{24} \approx 0{,}33\) und \(P(\text{grün}) = \frac{4}{24} \approx 0{,}17\). Da die Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind, ist es kein Laplace-Experiment bezüglich der Farben. 2. Anpassung für Laplace-Bedingung: Alle Farben müssen die gleiche Anzahl an Kugeln haben. Die höchste Anzahl ist 12 (rot). 3. Berechnung der hinzuzufügenden Kugeln: Für Blau müssen \(12 - 8 = 4\) Kugeln hinzugefügt werden. Für Grün müssen \(12 - 4 = 8\) Kugeln hinzugefügt werden. 4. Neue Wahrscheinlichkeit: Die neue Gesamtzahl ist \(12 + 12 + 12 = 36\). Da es drei gleich wahrscheinliche Farben gibt, gilt für jede Farbe \(P = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\).

a) Die Wahrscheinlichkeiten der Farben sind unterschiedlich (\(\frac{12}{24}\), \(\frac{8}{24}\), \(\frac{4}{24}\)). b) Es müssen 4 blaue und 8 grüne Kugeln hinzugefügt werden. c) Für jede der drei Farben beträgt die Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{1}{3}\).

- Zähle in der Abbildung, wie viele gleich große Felder zu jeder Farbe gehören. - Prüfe, ob die drei Farbergebnisse dadurch dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. - Überlege für b), welche feinere Beschreibung jedes gleich große Feld als eigenes Ergebnis auffassen könnte.

1. Das Glücksrad besitzt \(10\) gleich große Felder. Davon sind \(5\) blau, \(3\) rot und \(2\) gelb. 2. Daher gilt \(P(\text{blau})=\frac{5}{10}=0{,}5\), \(P(\text{rot})=\frac{3}{10}=0{,}3\) und \(P(\text{gelb})=\frac{2}{10}=0{,}2\). Die drei Farbergebnisse sind also nicht gleich wahrscheinlich. 3. Für eine Laplace-Ergebnismenge können die zehn einzelnen Felder unterschieden werden, zum Beispiel durch Nummerierung: \(\Omega'=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\). Jedes dieser Ergebnisse hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{10}\).

a) Die drei Farbergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich: \(P(\text{blau})=0{,}5\), \(P(\text{rot})=0{,}3\), \(P(\text{gelb})=0{,}2\). b) Zum Beispiel \(\Omega'=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), wenn die einzelnen gleich großen Felder unterschieden werden.

- Prüfe in jedem Fall, welche Ergebnisse in der gewählten Ergebnismenge unterschieden werden. - Für ein Laplace-Experiment müssen diese Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein. - Begründe die Gleichheit oder Ungleichheit aus der Fairness, den Anzahlen beziehungsweise den gleich großen Sektoren.

1. Münze: Die Ergebnismenge ist \(\Omega=\{\text{Kopf},\text{Zahl}\}\). Da die Münze fair ist, sind beide Ergebnisse gleich wahrscheinlich mit \(P=0{,}5\); es liegt ein Laplace-Experiment vor. 2. Urne: Die Ergebnismenge ist \(\Omega=\{\text{rot},\text{blau}\}\). Es ist kein Laplace-Experiment, da \(P(\text{rot})=\frac{4}{10}=0{,}4\) und \(P(\text{blau})=\frac{6}{10}=0{,}6\) verschieden sind. 3. Glücksrad: Die Ergebnismenge ist \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\). Da alle Sektoren gleich groß sind, hat jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit \(\frac18\); es handelt sich um ein Laplace-Experiment.

a) \(\Omega=\{\text{Kopf},\text{Zahl}\}\); Laplace-Experiment. b) \(\Omega=\{\text{rot},\text{blau}\}\); kein Laplace-Experiment, da \(0{,}4\neq0{,}6\). c) \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\); Laplace-Experiment.

- Vergleiche die Größen der vier Gruppen. - Wovon hängt die Chance für ein Hobby ab, wenn eine Person ausgewählt wird? - Welche Personen gehören bei c) zum gesuchten Ereignis?

1. Die vier Hobby-Gruppen sind unterschiedlich groß. Bei der zufälligen Auswahl sind die einzelnen Personen gleich wahrscheinlich, nicht die vier Hobby-Kategorien. 2. Für Lesen sind \(30\) von \(200\) Personen günstig. Es gilt \(P(\text{Lesen})=\frac{30}{200}=0{,}15=15\,\%\). 3. Sport und Musik umfassen zusammen \(80+50=130\) Personen. Es gilt \(P(\text{Sport oder Musik})=\frac{130}{200}=0{,}65=65\,\%\).

a) Die vier Hobby-Gruppen sind unterschiedlich groß. Gleich wahrscheinlich ausgewählt werden die einzelnen Personen, nicht die vier Kategorien. b) \(15\,\%\) c) \(65\,\%\)

- Zähle nach, wie viele Zahlen zwischen 000 und 999 liegen (vergiss die 000 nicht). - Sind bei einer zufälligen Ziehung bestimmte Muster wahrscheinlicher als andere? - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die letzte Ziffer, wenn sie \(7\) sein muss? Wie viele Möglichkeiten bleiben für die ersten beiden Stellen?

1. Bestimmung der Ergebnismenge: Die Nummern von 000 bis 999 umfassen genau \(1000\) verschiedene Möglichkeiten. 2. Beurteilung der Aussage: Es handelt sich um ein Laplace-Experiment. Jede Losnummer hat die gleiche Wahrscheinlichkeit von \(P = \frac{1}{1000}\). Die „Besonderheit“ einer Ziffernfolge beeinflusst die Wahrscheinlichkeit nicht. 3. Günstige Ergebnisse für Endziffer 7 bestimmen: Die Nummern sind 007, 017, 027, ..., 997. Da es 100 Zehnerblöcke gibt (00x bis 99x) und in jedem Block genau eine Zahl auf 7 endet, gibt es \(100\) günstige Ergebnisse. Alternativ: Die letzte Stelle muss eine 7 sein (1 Möglichkeit), während die ersten beiden Stellen beliebig (je 10 Möglichkeiten) sind: \(10 \cdot 10 \cdot 1 = 100\). 4. Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P = \frac{100}{1000} = \frac{1}{10} = 0{,}1 = 10\,\%\).

a) Es gibt \(1000\) verschiedene Losnummern. b) Die Aussage ist falsch. Jede Nummer ist gleich wahrscheinlich (\(P = \frac{1}{1000}\)), da es sich um ein Laplace-Experiment handelt. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{10}\) (oder \(10\,\%\)).

- Prüfe für jede Urne, wie viele Kugeln zu jeder möglichen Farbe gehören. - Für ein Laplace-Experiment müssen die Farbergebnisse gleich wahrscheinlich sein. - Vergleiche für b) jeweils die Zahl der roten Kugeln mit der Gesamtzahl der Kugeln in derselben Urne.

1. Bei Urne A sind von insgesamt \(9\) Kugeln jeweils \(3\) blau, \(3\) rot und \(3\) gelb. Damit gilt für jede Farbe \(P=\frac{3}{9}=\frac13\). Die drei Farbergebnisse sind gleich wahrscheinlich; Urne A liefert bezüglich der Farbe ein Laplace-Experiment. 2. Bei Urne B sind von \(9\) Kugeln \(4\) blau, \(2\) rot und \(3\) gelb. Daher gilt \(P(\text{blau})=\frac49\), \(P(\text{rot})=\frac29\) und \(P(\text{gelb})=\frac39=\frac13\). Die Farbergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich; Urne B liefert kein Laplace-Experiment. 3. Für eine rote Kugel gilt bei Urne A \(P(\text{rot})=\frac13\) und bei Urne B \(P(\text{rot})=\frac29\).

a) Nur Urne A ist bezüglich der Farbe ein Laplace-Experiment. b) Urne A: \(\frac13\); Urne B: \(\frac29\)

- Lies aus der Abbildung ab, wie oft jede der beiden Farben vorkommt. - Zwei mögliche Farbergebnisse sind nur dann gleich wahrscheinlich, wenn die zugrunde liegenden gleichartigen Kugeln entsprechend verteilt sind. - Überlege für b), wie sechs Kugeln auf zwei Farben verteilt werden müssen, damit beide Anteile gleich groß sind.

1. In der Urne befinden sich \(5\) rote und \(1\) blaue Kugel, insgesamt also \(6\) Kugeln. 2. Die beiden Farbergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich. Für Rot gilt \(P(\text{rot})=\frac56\), nicht \(\frac12\). 3. Damit Rot und Blau bei insgesamt \(6\) Kugeln gleich wahrscheinlich sind, müssen beide Farben gleich oft vorkommen. Es müssen also \(3\) rote und \(3\) blaue Kugeln vorhanden sein. 4. Eine mögliche Änderung ist, \(2\) rote Kugeln durch \(2\) blaue Kugeln zu ersetzen.

a) Die Aussage ist falsch; \(P(\text{rot})=\frac56\). b) Es müssen \(3\) rote und \(3\) blaue Kugeln vorhanden sein, zum Beispiel durch Ersetzen von \(2\) roten Kugeln durch \(2\) blaue.

- Vergleiche in der Abbildung die Größen der drei Felder, nicht nur ihre Beschriftungen. - Überlege, in wie viele gleich große Flächenstücke sich das Rad gedanklich zerlegen lässt. - Erst auf der Ebene gleich großer Teilflächen darfst du günstige und alle Möglichkeiten zählen.

1. Die drei beschrifteten Felder sind nicht gleich groß und daher nicht gleich wahrscheinlich. Man darf deshalb nicht einfach zwei günstige Beschriftungen durch drei Beschriftungen teilen. 2. In der Abbildung sind A und B gleich groß; C nimmt zusammen so viel Fläche ein wie A und B. Damit besteht das Rad aus vier gleich großen Vierteln: A belegt eines, B eines und C zwei. 3. A oder B bedeckt somit \(2\) von \(4\) gleich großen Vierteln. Daher ist \(P(\text{A oder B})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\), nicht \(\frac{2}{3}\).

\(P(\text{A oder B})=\frac{1}{2}\). Jonas zählt die drei Beschriftungen, obwohl die zugehörigen Felder unterschiedlich groß und damit nicht gleich wahrscheinlich sind.

- Prüfe, ob alle sechs möglichen Auflageflächen geometrisch gleichartig sind. - Überlege, welche Symmetrieeigenschaft einen gewöhnlichen fairen Würfel auszeichnet und ob sie hier vorliegt. - Unterscheide zwischen einem geometrischen Hinweis auf Ungleichheit und einer exakten Berechnung von Landewahrscheinlichkeiten.

1. Die beiden quadratischen Flächen haben den Flächeninhalt \(3\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=9\,\text{cm}^2\). 2. Die vier rechteckigen Flächen haben den Flächeninhalt \(3\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}=18\,\text{cm}^2\). 3. Der Körper besitzt damit nicht die Symmetrie eines gewöhnlichen Würfels. Seine möglichen Auflageflächen unterscheiden sich in Form und Größe; auch die geometrische Lage des Schwerpunkts relativ zu den verschiedenen Auflageflächen ist nicht gleichartig. 4. Aus der bloßen Zahl von sechs Flächen folgt deshalb nicht \(P(1)=\dots=P(6)=\frac16\). Aus den Flächeninhalten allein lassen sich die tatsächlichen Landewahrscheinlichkeiten allerdings ebenfalls nicht exakt bestimmen. 5. Für exakte Wahrscheinlichkeiten wären ein geeignetes physikalisches Modell oder Versuchsdaten nötig. Die Laplace-Annahme ist für diesen Körper daher nicht begründet.

Jonas' Aussage ist nicht begründet. Der Quader hat sechs Flächen, aber nicht die Symmetrie eines fairen Würfels. Deshalb folgt aus der Anzahl der Flächen nicht automatisch eine Wahrscheinlichkeit von \(\frac16\) für jede Zahl. Die tatsächlichen Landewahrscheinlichkeiten müssten experimentell oder mit einem geeigneten physikalischen Modell bestimmt werden.

- Unterscheide zwischen den drei Symbolarten und den einzelnen Plättchen. - Für ein Laplace-Modell müssen die Ergebnisse der gewählten Ergebnismenge gleich wahrscheinlich sein. - Prüfe bei a), ob die drei Symbolarten von gleich vielen Plättchen getragen werden. - Verwende bei c) die Ergebnismenge aus b), nicht nur die drei Symbolnamen.

1. In \(\Omega_1\) sind die drei Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich, weil sie von unterschiedlich vielen einzelnen Plättchen vertreten werden: \(12\), \(8\) und \(10\). Daher ist \(\Omega_1\) keine Laplace-Ergebnismenge. 2. Man kann die \(30\) einzelnen Plättchen als Ergebnisse unterscheiden, zum Beispiel als \(A_1,\dots,A_{12},B_1,\dots,B_8,O_1,\dots,O_{10}\). Nach der Modellannahme sind diese \(30\) Einzelergebnisse gleich wahrscheinlich; damit liegt auf dieser Ergebnismenge ein Laplace-Modell vor. 3. Für Birne sind \(8\) von \(30\) Einzelergebnissen günstig. Daher gilt \(P(\text{Birne})=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}\). 4. Für „kein Apfel“ sind die \(8+10=18\) Birnen- und Orangenplättchen günstig. Daher gilt \(P(\text{kein Apfel})=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}\).

a) Nein. In \(\Omega_1\) sind Apfel, Birne und Orange nicht gleich wahrscheinlich. b) Zum Beispiel die \(30\) einzelnen Plättchen als getrennte Ergebnisse. c) \(P(\text{Birne})=\frac{4}{15}\); \(P(\text{kein Apfel})=\frac{3}{5}\).

- Lies die Mittelpunktswinkel direkt aus der Abbildung ab und vergleiche jeden Sektor mit dem Vollkreis. - Prüfe für b), ob alle vier Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen. - Überlege für c), wie ein Vollkreis auf vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse verteilt werden müsste.

1. Ein voller Kreis hat \(360^\circ\). Aus den dargestellten Sektorwinkeln folgt \(P(A)=\frac{120}{360}=\frac13\), \(P(B)=\frac{120}{360}=\frac13\), \(P(C)=\frac{60}{360}=\frac16\) und \(P(D)=\frac{60}{360}=\frac16\). 2. Die vier Ergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich. Damit ist die Laplace-Bedingung für \(\Omega=\{A,B,C,D\}\) nicht erfüllt. 3. Für vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse muss jeder Sektor ein Viertel des Vollkreises einnehmen. Daher beträgt jeder neue Mittelpunktswinkel \(\frac{360^\circ}{4}=90^\circ\).

a) \(P(A)=\frac13\), \(P(B)=\frac13\), \(P(C)=\frac16\), \(P(D)=\frac16\) b) Kein Laplace-Experiment, weil die vier Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind. c) Jeder Sektor muss einen Mittelpunktswinkel von \(90^\circ\) haben.

- Liste für die Summen \(2\) und \(7\) die geordneten Würfelpaare auf, die sie erzeugen. - Zähle, wie viele geordnete Paare zweier Würfel insgesamt möglich sind. - Achte darauf, dass in a) Summen die Ergebnisse sind, in b) dagegen die einzelnen geordneten Würfelpaare.

1. Die Summe \(2\) entsteht nur beim Paar \((1;1)\). Die Summe \(7\) entsteht bei \((1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1)\). 2. Unter den \(6\cdot6=36\) gleich wahrscheinlichen geordneten Würfelpaaren hat die Summe \(2\) daher die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{36}\), die Summe \(7\) die Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\). Die Summen sind nicht gleich wahrscheinlich; in a) liegt kein Laplace-Experiment vor. 3. Bei b) werden die \(36\) geordneten Würfelpaare selbst als Ergebnisse betrachtet. Im Modell mit zwei fairen Würfeln sind diese geordneten Paare gleich wahrscheinlich. Daher ist b) ein Laplace-Experiment mit \(|\Omega|=36\).

a) Nein. Zum Beispiel gilt \(P(2)=\frac{1}{36}\) und \(P(7)=\frac{1}{6}\). b) Ja. Die \(36\) geordneten Paare sind gleich wahrscheinlich; \(|\Omega|=36\).

- Wie viele Felder gibt es insgesamt und wie viele davon entfallen auf ein bestimmtes Ergebnis? - Ein Laplace-Experiment erfordert immer die exakt gleiche Wahrscheinlichkeit für alle möglichen Ausgänge. - Fasse bei Teilaufgabe c) die Ergebnisse „1“ und „3“ zu einer Gruppe zusammen.

1. Zu a): Damit das Experiment bezüglich \(\Omega = \{1, 2, 3\}\) ein Laplace-Experiment ist, muss jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{1}{3}\) haben. Bei 12 Feldern entspricht das \(\frac{1}{3} \cdot 12 = 4\) Feldern pro Zahl. 2. Zu b): Die Gesamtzahl der Felder ist 12. Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(1) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\), \(P(2) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) und \(P(3) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). Da die Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind (\(\frac{1}{6} \neq \frac{1}{3} \neq \frac{1}{2}\)), ist es kein Laplace-Experiment. 3. Zu c): Die Ergebnismenge ist \(\Omega' = \{\text{gerade}, \text{ungerade}\}\). Gerade Zahlen auf dem Rad sind nur die 2 (4 Felder). Ungerade Zahlen sind die 1 und die 3 (zusammen \(2 + 6 = 8\) Felder). 4. Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(\text{gerade}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) und \(P(\text{ungerade}) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\). Da \(\frac{1}{3} \neq \frac{2}{3}\), ist die Aussage falsch; es ist kein Laplace-Experiment.

a) Es müssen jeweils genau 4 Felder mit jeder der Zahlen 1, 2 und 3 beschriftet sein. b) \(P(1) = \frac{1}{6}\), \(P(2) = \frac{1}{3}\), \(P(3) = \frac{1}{2}\). Es ist kein Laplace-Experiment. c) Die Aussage ist falsch. Da \(P(\text{gerade}) = \frac{1}{3}\) und \(P(\text{ungerade}) = \frac{2}{3}\) gilt, sind die Wahrscheinlichkeiten nicht gleich.

- Betrachte nicht nur die vier Farbnamen, sondern die einzelnen gleich großen Sektoren. - Wie viele geordnete Sektorpaare entstehen bei zwei Drehungen insgesamt? - Vergleiche die Zahl der Sektorpaare für blau-blau und gelb-gelb.

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(10\cdot10=100\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorpaare. 2. Für blau-blau kann bei jeder Drehung einer von \(7\) blauen Sektoren getroffen werden. Es gibt \(7\cdot7=49\) günstige Sektorpaare. Daher ist \(P(\text{blau, blau})=\frac{49}{100}=49\,\%\). 3. Die vier Farbreihenfolgen fassen unterschiedlich viele gleich wahrscheinliche Sektorpaare zusammen. Zum Beispiel gibt es für gelb-gelb nur \(3\cdot3=9\) Sektorpaare. Deshalb sind die vier Farbreihenfolgen nicht gleich wahrscheinlich.

a) \(49\,\%\) b) Die vier Farbreihenfolgen bestehen aus unterschiedlich vielen gleich wahrscheinlichen Sektorpaaren; daher darf man nicht durch \(4\) teilen.

- Unterscheide beobachtete relative Häufigkeiten von theoretischen Wahrscheinlichkeiten. - Frage, ob \(200\) Versuche überhaupt exakt gleiche Häufigkeiten erwarten lassen. - Überlege, wodurch die Gleichwahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment begründet werden muss.

1. Die vier beobachteten Häufigkeiten liegen tatsächlich nahe beieinander; die relativen Häufigkeiten sind \(0{,}24\), \(0{,}265\), \(0{,}25\) und \(0{,}245\). 2. Diese empirischen Werte sind mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen vereinbar, beweisen sie aber nicht. 3. Ob ein Laplace-Experiment vorliegt, wird durch das Modell beziehungsweise die Bauart des Zufallsgeräts begründet: Die einzelnen Ergebnisse müssen theoretisch gleich wahrscheinlich sein. Endliche Versuchsreihen können nur empirische Hinweise liefern und schwanken zufällig.

Kaans Aussage ist zu stark. Die Daten passen zu einem Laplace-Modell, beweisen aber nicht, dass A, B, C und D theoretisch gleich wahrscheinlich sind.

- Zähle zunächst die Sektoren jeder Farbe. - Teile die Gesamtzahl \(6\) gleichmäßig auf die drei gewünschten Farbergebnisse auf. - Vergleiche die Zielanzahlen mit den aktuellen Anzahlen und ändere genau einen Sektor.

1. Im Ausgangszustand gibt es \(3\) rote, \(2\) blaue und \(1\) grünen Sektor. 2. Für drei gleich wahrscheinliche Farbergebnisse müssen bei insgesamt \(6\) Sektoren auf jede Farbe \(2\) Sektoren entfallen. 3. Daher muss einer der roten Sektoren grün gefärbt werden. Danach gibt es je \(2\) rote, blaue und grüne Sektoren, also für jede Farbe die Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).

Einen roten Sektor grün färben. Danach gibt es von jeder Farbe \(2\) Sektoren und jede Farbe hat Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{3}\).