- Zähle im Diagramm die Äste der ersten Stufe. - Prüfe, wie viele Fortsetzungen jeder Ast der ersten Stufe besitzt. - Alternativ kannst du direkt die Blätter zählen; jedes Blatt steht für genau eine Bestellung.

1. Im Baum gehen vom Start drei Äste zu Eissorten aus. 2. Von jeder Eissorte führen zwei Äste zu Soßen. Dadurch hat der Baum insgesamt \(6\) Blätter. 3. Da jedes Blatt genau einer Bestellung entspricht, sind \(6\) verschiedene Bestellungen dargestellt.

\(6\) verschiedene Bestellungen.

- Lies die Anzahl der Äste auf jeder Stufe direkt aus dem Diagramm ab. - Verfolge einen Ast bis zu einem Blatt, um zu erkennen, wie viele Stufen zu einem vollständigen Kostüm gehören. - Jeder Endpunkt steht für genau eine vollständige Kombination.

1. Im Baum gibt es auf der ersten Stufe \(2\) Möglichkeiten. 2. Von jedem dieser Äste gehen auf der zweiten Stufe \(3\) Möglichkeiten aus und danach jeweils \(2\) weitere. 3. Der Baum besitzt damit \(2\cdot3\cdot2=12\) Blätter. Also sind \(12\) vollständige Kostüme möglich.

\(12\) vollständige Kostüme.

- Verfolge jeden Ast vom Start so weit, bis kein weiterer Ast mehr folgt. - Ein vollständiger Pfad muss in diesem Baum nicht auf derselben Stufe enden wie die anderen. - Für c) achte darauf, an welchem Knoten keine weitere Verzweigung gezeichnet ist.

1. Vom Start führt ein Ast direkt zu „Stopp“ und endet dort. Der andere Ast führt zu „Weiter“ und verzweigt danach in „Kopf“ und „Zahl“. Insgesamt gibt es deshalb \(3\) vollständige Pfade. 2. Der gesuchte zweistufige Pfad lautet „Weiter – Zahl“. 3. Der Pfad „Stopp“ endet nach der ersten Stufe, weil vom Knoten „Stopp“ kein weiterer Ast ausgeht.

a) \(3\) vollständige Pfade b) Weiter – Zahl c) Stopp; der Knoten besitzt keinen weiterführenden Ast.

- Lies zuerst aus dem Baum ab, wie viele vollständige Pfade es insgesamt gibt. - Markiere alle Pfade, deren erste Stufe blau ist. - Ergänze die noch nicht markierten Pfade, deren zweite Stufe Zahl ist, ohne doppelt zu zählen.

1. Aus dem Baum liest man \(6\) vollständige Pfade ab: Für jede der drei Möglichkeiten der ersten Stufe gibt es zwei Fortsetzungen. 2. Günstig sind die beiden Pfade, die mit blau beginnen, sowie die beiden weiteren Zahl-Pfade nach rot beziehungsweise grün. Damit sind \(4\) von \(6\) Pfaden günstig. 3. Daher gilt \(P(E)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).

\(\frac{2}{3}\)

- Verfolge jeden Ast vom Start bis zu einem Blatt und zähle die vollständigen Pfade. - Prüfe bei jedem vollständigen Pfad, wie oft K auftritt. - Zähle nur Pfade mit genau zwei K und vergleiche diese Anzahl mit allen Blättern.

1. Aus dem Baum liest man \(8\) vollständige Pfade mit jeweils drei Stufen ab. 2. Genau zwei K enthalten die Pfade K-K-Z, K-Z-K und Z-K-K. Damit sind \(3\) vollständige Pfade günstig. 3. Weil alle vollständigen Pfade gleich wahrscheinlich sind, gilt \(P(E)=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\).

\(\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\)

- Lies jeden vollständigen Weg im Baum als einen Code. - Schließe zuerst die Pfade aus, die mit A beginnen. - Prüfe unter den verbleibenden Pfaden, welche auf \(2\) enden.

1. Aus dem Baum liest man \(6\) vollständige Codes ab. 2. Die Bedingung „nicht mit A beginnen und auf \(2\) enden“ erfüllen genau B2 und C2. Damit sind \(2\) von \(6\) Pfaden günstig. 3. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).

\(\frac{1}{3}\)

- Betrachte vollständige Wege vom Start bis zu einem Endpunkt. - Überlege, wie sich die Zahl möglicher Fortsetzungen nach jeder Entscheidung verändert. - Prüfe, ob das Addieren von Astzahlen tatsächlich vollständige Kombinationen zählt.

1. Jeder vollständige Pfad besteht aus einer Wahl auf jeder der drei Stufen. 2. Aus den \(2\) Möglichkeiten der ersten Stufe, jeweils \(3\) Möglichkeiten der zweiten Stufe und jeweils \(2\) Möglichkeiten der dritten Stufe entstehen \(2\cdot3\cdot2=12\) vollständige Pfade. 3. Die Addition \(2+3+2\) zählt nur die Anzahl der Wahlmöglichkeiten innerhalb der einzelnen Stufen zusammen, nicht die möglichen vollständigen Kombinationen.

Es gibt \(12\) Endmöglichkeiten.

- Lies die Äste direkt vom Start aus für die erste Stufe. - Verfolge anschließend jeden Knoten der ersten Stufe und notiere seine möglichen Fortsetzungen. - Für ein vollständiges Ergebnis werden die Beschriftungen eines Pfads in ihrer Reihenfolge zusammengefügt.

1. Auf der ersten Stufe sind A, B oder C möglich. Von jedem dieser Knoten führt die zweite Stufe zu K oder Z. 2. Daher ist \(\Omega=\{\text{AK},\text{AZ},\text{BK},\text{BZ},\text{CK},\text{CZ}\}\). 3. Beim Pfad A-Z liest man die Knoten in ihrer Reihenfolge vom Start bis zum Blatt: zuerst A, danach Z. Das vollständige Ergebnis ist deshalb AZ.

a) Erste Stufe: A, B oder C; zweite Stufe nach jedem dieser Ergebnisse: K oder Z. b) \(\Omega=\{\text{AK},\text{AZ},\text{BK},\text{BZ},\text{CK},\text{CZ}\}\) c) Der Pfad A-Z wird in Stufenreihenfolge gelesen und ergibt das Ergebnis AZ.

- Vergleiche die zweiten Äste nach X mit den zweiten Ästen nach Y. - Laut Text müssen nach jedem ersten Ergebnis dieselben drei Zahlen möglich sein. - Zähle erst nach der Korrektur alle Endpunkte des Baums.

1. Nach X sind die drei zweiten Möglichkeiten \(1,2,3\) vollständig eingetragen. 2. Nach Y sind nur \(1\) und \(3\) eingetragen. Es fehlt der Ast Y–2. 3. Nach der Korrektur gibt es zu X drei und zu Y drei vollständige Pfade, insgesamt also \(6\).

a) Es fehlt der Ast Y–2. b) \(6\) vollständige Pfade

- Vergleiche die im Text genannten Möglichkeiten der zweiten Stufe mit jedem zweiten Astpaar im Bild. - Jede Möglichkeit einer Stufe darf an einem Knoten genau einmal vorkommen. - Schreibe anschließend jeden vollständigen Pfad als Kombination der beiden Stufen auf.

1. Nach dem ersten Ergebnis R muss in der zweiten Stufe je ein Ast zu u und zu v führen. Im gezeichneten Baum steht dort u zweimal; v fehlt. 2. Die korrekten vollständigen Ergebnisfolgen sind Lu, Lv, Ru und Rv.

a) Nach R ist u doppelt eingetragen und v fehlt. b) \(\{\text{Lu},\text{Lv},\text{Ru},\text{Rv}\}\)

- Zähle die Äste, die direkt vom Start ausgehen. - Prüfe, wie viele zweite Äste an jedem Knoten der ersten Stufe folgen. - Suche eine Rechnung, die diese wiederholte Struktur beschreibt, statt jeden Endpunkt einzeln zu zählen.

1. In der ersten Stufe gibt es \(4\) Möglichkeiten: A, B, C und D. 2. Nach jeder dieser Möglichkeiten gibt es in der zweiten Stufe \(3\) Möglichkeiten: \(1,2,3\). 3. Daher besitzt der vollständige Baum \(4\cdot3=12\) vollständige Pfade.

a) \(12\) vollständige Pfade b) \(4\cdot3=12\), weil zu jeder der \(4\) Möglichkeiten der ersten Stufe \(3\) Möglichkeiten der zweiten Stufe gehören.

- Verfolge jeden Pfad immer vom Start bis zu einem Endpunkt. - Die Reihenfolge der Buchstaben in einer Ergebnisfolge entspricht der Reihenfolge der Stufen. - Bei einer möglichen Ergebnisfolge müssen beide Buchstaben auf demselben vollständigen Pfad liegen.

1. Nach R kann in der zweiten Stufe A oder B folgen. Daraus entstehen RA und RB. 2. Nach B kann in der zweiten Stufe C, D oder E folgen. Daraus entstehen BC, BD und BE. 3. Damit lauten alle vollständigen Ergebnisfolgen RA, RB, BC, BD und BE. 4. BA ist nicht möglich, weil die Reihenfolge der Stufen fest ist: Nach dem ersten Ergebnis B gibt es nur die Äste C, D und E.

a) \(\{\text{RA},\text{RB},\text{BC},\text{BD},\text{BE}\}\) b) BA ist kein vollständiger Pfad des Baums; nach dem ersten Ergebnis B sind nur C, D und E möglich.

- Lies die Beschriftungen der ersten Stufe direkt am ersten Astfächer ab. - Verfolge danach jeden dieser Äste bis zur zweiten Stufe und kombiniere die Beschriftungen in Pfadreihenfolge. - Die Tabelle ordnet dieselben vollständigen Pfade nur anders an; sie darf keine zusätzlichen Kombinationen enthalten.

1. Aus dem Baum liest man auf der ersten Stufe \(1\) und \(2\), auf der zweiten Stufe jeweils R, G und B ab. Die vollständigen Pfade sind deshalb 1R, 1G, 1B, 2R, 2G und 2B. 2. Diese Pfade werden in eine Tabelle mit den Zeilen \(1,2\) und den Spalten R, G, B übertragen. 3. Damit ist \(\Omega=\{\text{1R},\text{1G},\text{1B},\text{2R},\text{2G},\text{2B}\}\). 4. Für \(E\) muss die zweite Stelle G sein. Daher gehören 1G und 2G zu \(E\).

a) <table> <tr><th></th><th>R</th><th>G</th><th>B</th></tr> <tr><th>1</th><td>\(1R\)</td><td>\(1G\)</td><td>\(1B\)</td></tr> <tr><th>2</th><td>\(2R\)</td><td>\(2G\)</td><td>\(2B\)</td></tr> </table> b) \(\Omega=\{\text{1R},\text{1G},\text{1B},\text{2R},\text{2G},\text{2B}\}\) c) \(1G\) und \(2G\)

- Die erste Stufe gehört zur Münze, die zweite zum Glücksrad. - Jeder Ast der ersten Stufe muss mit allen Möglichkeiten des Glücksrads weitergehen. - Ein vollständiger Weg verbindet genau ein Münzergebnis mit genau einer Zahl.

1. In der ersten Stufe gehen die beiden Äste K für Kopf und Z für Zahl vom Start aus. 2. Nach K und nach Z folgen jeweils die drei Äste \(1,2,3\). 3. Die vollständigen Pfade ergeben \(\Omega=\{\text{K1},\text{K2},\text{K3},\text{Z1},\text{Z2},\text{Z3}\}\).

a) K und Z b) Nach jedem ersten Ast: \(1,2,3\) c) \(\Omega=\{\text{K1},\text{K2},\text{K3},\text{Z1},\text{Z2},\text{Z3}\}\)

- Zeichne zuerst nur die erste Stufe. - Behandle A und B danach getrennt; die zweite Stufe ist nicht bei beiden gleich. - Ein vollständiger Pfad beginnt am Start und endet nach der zweiten Auswahl.

1. Vom Start gehen die Äste A und B aus. 2. Nach A folgen die drei Äste \(1,2,3\). Nach B folgen die beiden Äste K und Z. 3. Die vollständigen Ergebnisse sind \(\{\text{A1},\text{A2},\text{A3},\text{BK},\text{BZ}\}\). 4. Der Baum hat \(3+2=5\) vollständige Pfade, weil nach A drei und nach B zwei vollständige Fortsetzungen möglich sind.

a) Vom Start: A und B; nach A: \(1,2,3\); nach B: K und Z b) \(\{\text{A1},\text{A2},\text{A3},\text{BK},\text{BZ}\}\) c) \(5\) vollständige Pfade; nach A gibt es \(3\), nach B \(2\) vollständige Fortsetzungen.

- Lies aus dem Baum ab, welche Zahlen auf der ersten und zweiten Stufe vorkommen. - Prüfe für jeden Ast der ersten Stufe, welche Fortsetzungen eine größere Zahl tragen. - Zähle anschließend günstige und alle vollständigen Pfade.

1. Aus dem Baum liest man \(16\) vollständige Pfade ab. 2. Günstig sind die Pfade \((1;2)\), \((1;3)\), \((1;4)\), \((2;3)\), \((2;4)\) und \((3;4)\). Das sind \(6\) Pfade. 3. Da alle vollständigen Pfade gleich wahrscheinlich sind, gilt \(P(E)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\).

\(\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\)

- Lies zuerst aus dem Baum ab, wie viele vollständige Pfade vorhanden sind. - Markiere alle Pfade, deren erster Eintrag P ist. - Ergänze anschließend nur die noch nicht markierten Pfade mit einer Zahl kleiner als \(3\). - Vergleiche günstige und alle gleich wahrscheinlichen Blätter.

1. Aus dem Baum liest man \(8\) vollständige Pfade ab. 2. Das Ereignis \(E\) enthält alle vier Pfade, die mit P beginnen. Zusätzlich gehören nach Q noch die Pfade Q-1 und Q-2 dazu. Insgesamt sind \(6\) Pfade günstig. 3. Da alle vollständigen Pfade gleich wahrscheinlich sind, gilt \(P(E)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=75\,\%\).

\(P(E)=\frac{3}{4}=75\,\%\)