- Zähle alle gleich großen Sektoren des Glücksrads. - Zähle danach nur die mit G markierten Gewinnsektoren. - Setze die Zahl der Gewinnsektoren ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Sektoren und kürze.

1. Das Glücksrad hat \(10\) gleich große Sektoren. 2. Davon sind \(4\) mit G markiert. 3. Daher ist \(P(\text{Gewinn})=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=40\,\%\).

\(P(\text{Gewinn})=\frac{2}{5}=40\,\%\)

- Zähle zuerst alle Sektoren des Glücksrads. - Nutze die Buchstabenmarkierungen, um die roten Sektoren zu erkennen. - Bilde den Anteil der roten Sektoren an allen Sektoren und kürze ihn.

1. Alle \(6\) Sektoren sind gleich groß und damit gleich wahrscheinlich. 2. Zwei Sektoren sind rot. Daher ist \(P(\text{rot})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).

\(P(\text{rot})=\frac{1}{3}\)

- Zähle zunächst alle gleich großen Sektoren. - Zähle dann die Sektoren, die nicht mit G gekennzeichnet sind. - Vergleiche günstige und mögliche Sektoren.

1. Das Rad hat \(6\) gleich große Sektoren. Davon tragen \(3\) die Kennzeichnung G. 2. Die übrigen \(3\) Sektoren gehören zum Ereignis „nicht G“. 3. Daher ist \(P(\text{nicht G})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\,\%\).

\(\frac{1}{2}=50\,\%\)

- Betrachte zuerst die beiden Randpunkte der Wahrscheinlichkeitsskala. - Was bedeutet eine Wahrscheinlichkeit von \(0\) für das Eintreten eines Ereignisses? - Was bedeutet eine Wahrscheinlichkeit von \(1\)? - Werte echt zwischen \(0\) und \(1\) beschreiben weder ein unmögliches noch ein sicheres Ereignis.

1. A liegt bei \(0\). Ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit \(0\) ist unmöglich. 2. B liegt bei \(0{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit liegt echt zwischen \(0\) und \(1\); das Ereignis ist möglich, aber nicht sicher. 3. C liegt bei \(1\). Ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit \(1\) ist sicher.

A: unmöglich B: möglich, aber nicht sicher C: sicher

- Betrachte eine vollständige Antwortfolge für alle drei Aufgaben. - Wie lässt sich die Anzahl aller vollständigen Folgen aus den Wahlmöglichkeiten der drei Stufen bestimmen? - Welche Bedingung muss eine vollständige Folge erfüllen, damit sie günstig ist?

1. Für jede der drei Aufgaben gibt es jeweils vier mögliche Antworten. Nach dem allgemeinen Zählprinzip entstehen daher insgesamt \(4\cdot4\cdot4=64\) vollständige Antwortfolgen. 2. Genau eine dieser \(64\) Folgen besteht aus drei richtigen Antworten. 3. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{64}\).

\(\frac{1}{64}\); es gibt \(64\) mögliche und genau \(1\) günstige vollständige Antwortfolge.

- Wie viele geordnete Ergebnisse sind bei drei Würfen insgesamt möglich? - Welche Werte darf nur der dritte Wurf annehmen, wenn die ersten beiden Würfe jeweils \(6\) zeigen sollen? - Teile die Zahl der günstigen gleich wahrscheinlichen Tripel durch die Gesamtzahl der Tripel.

1. Bei drei Würfen gibt es \(6^3=216\) gleich wahrscheinliche geordnete Würfeltripel. 2. Günstig sind genau die fünf Tripel \((6,6,1)\), \((6,6,2)\), \((6,6,3)\), \((6,6,4)\) und \((6,6,5)\). 3. Daher gilt \(P=\frac{5}{216}\).

\(\frac{5}{216}\)

- Für jedes Ereignis brauchst du die Zahl der günstigen Kugeln unter insgesamt \(150\). - Bei Vielfachen kannst du systematisch zählen, wie oft die jeweilige Zahl in \(150\) hineinpasst. - Für die Quadratzahlen reicht es, die Quadrate natürlicher Zahlen bis höchstens \(150\) aufzulisten.

1. Insgesamt gibt es \(150\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse. 2. Die Vielfachen von \(15\) bis \(150\) sind \(15,30,45,60,75,90,105,120,135,150\). Das sind \(10\) Ergebnisse. Daher ist \(P(\text{Vielfaches von 15})=\frac{10}{150}=\frac{1}{15}\approx6{,}67\,\%\). 3. Die Quadratzahlen bis \(150\) sind \(1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144\). Das sind \(12\) Ergebnisse. Daher ist \(P(\text{Quadratzahl})=\frac{12}{150}=\frac{2}{25}=8\,\%\). 4. Zahlen, die auf \(0\) oder \(5\) enden, sind die Vielfachen von \(5\). Bis \(150\) gibt es \(150:5=30\) davon. Daher ist \(P(\text{Endziffer 0 oder 5})=\frac{30}{150}=\frac{1}{5}=20\,\%\).

a) \(\frac{1}{15}\approx6{,}67\,\%\) b) \(\frac{2}{25}=8\,\%\) c) \(\frac{1}{5}=20\,\%\)

- Wie viele Tiere gibt es insgesamt im Tierheim? Das ist dein Nenner. - Wenn nach „kein Hund“ gefragt ist, welche Tiere kommen dann stattdessen infrage? - Um Wahrscheinlichkeiten zu vergleichen, ist es oft hilfreich, sie auf den gleichen Nenner zu bringen oder in Dezimalzahlen umzuwandeln.

1. Wahrscheinlichkeit Vogel: Es gibt \(4\) Vögel bei \(50\) Tieren. \(P(\text{Vogel}) = \frac{4}{50} = \frac{2}{25}\). In Prozent: \(0{,}08 = 8\,\%\). 2. Wahrscheinlichkeit kein Hund: Die Anzahl der Tiere, die keine Hunde sind, ist \(50 - 22 = 28\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{kein Hund}) = \frac{28}{50} = \frac{14}{25} = 0{,}56\), also \(56\,\%\). 3. Vergleich Katze vs. Kleintier: Wahrscheinlichkeit Katze \(P(\text{Katze}) = \frac{18}{50} = 0{,}36\). Wahrscheinlichkeit Kleintier (Vogel oder Kaninchen) \(P(\text{Kleintier}) = \frac{4 + 6}{50} = \frac{10}{50} = 0{,}20\). Da \(0{,}36 > 0{,}20\), ist die Auswahl einer Katze wahrscheinlicher.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{25}\) bzw. \(8\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(56\,\%\). c) Das Ereignis „Katze“ (\(36\,\%\)) ist wahrscheinlicher als das Ereignis „Kleintier“ (\(20\,\%\)).

- Wie viele Karten gibt es insgesamt im Spiel? - Wie viele Karten einer bestimmten Farbe gibt es? - Überlege dir, wie oft jeder Wert (wie zum Beispiel „König“) im gesamten Deck vorkommt. - Was bedeutet „Zahlkarte“ in diesem Zusammenhang und welche Karten gehören dazu?

1. Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse: \(n = 32\). 2. Ereignis a: Es gibt 8 Herz-Karten (7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass). Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(g = 8\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{Herz}) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 3. Ereignis b: Es gibt 4 Könige und 4 Asse, also insgesamt \(g = 4 + 4 = 8\) günstige Karten. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{König oder Ass}) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. Ereignis c: Es gibt 4 verschiedene Zahlenwerte (7, 8, 9, 10) in jeweils 4 Farben. Das ergibt \(g = 4 \cdot 4 = 16\) günstige Karten. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{Zahlkarte}) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

a) \(P(\text{Herz}) = \frac{1}{4} = 25\,\%\) b) \(P(\text{König oder Ass}) = \frac{1}{4} = 25\,\%\) c) \(P(\text{Zahlkarte}) = \frac{1}{2} = 50\,\%\)

- Zähle zuerst genau, wie viele Buchstaben das Wort insgesamt hat. - Erstelle eine Liste, wie oft jeder einzelne Buchstabe im Wort vorkommt. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit, wenn nach „kein H“ gefragt wird? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, wenn zwei verschiedene Buchstaben (wie C oder N) gesucht sind?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Buchstaben im Wort „TASCHENRECHNER“: \(14\) Buchstaben. 2. Häufigkeit der relevanten Buchstaben: E (\(3\)), Vokale (A: \(1\), E: \(3\); insgesamt \(4\)), H (\(2\)), C (\(2\)), N (\(2\)). 3. a) \(P(E) = \frac{3}{14}\). 4. b) \(P(\text{Vokal}) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}\). 5. c) Wahrscheinlichkeit für „H“ ist \(P(H) = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}\). Gegenereignis „kein H“: \(P(\text{kein } H) = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}\). 6. d) Günstige Ergebnisse für „C oder N“: \(2 + 2 = 4\). \(P(C \text{ oder } N) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}\).

a) \(P(E) = \frac{3}{14}\) b) \(P(\text{Vokal}) = \frac{2}{7}\) c) \(P(\text{kein } H) = \frac{6}{7}\) d) \(P(C \text{ oder } N) = \frac{2}{7}\)

- Wie viele Möglichkeiten hast du pro Ring? - Überlege, wie du die Möglichkeiten der einzelnen Ringe kombinieren musst. - Was ändert sich an der Auswahl pro Ring, wenn nur noch bestimmte Ziffern erlaubt sind? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment?

1. Berechnung der Gesamtmöglichkeiten: Da es 3 Ringe mit je 10 Ziffern (0-9) gibt, beträgt die Anzahl der Kombinationen \(10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3 = 1000\). 2. Berechnung mit eingeschränkten Ziffern: Bei 3 Ringen und 5 möglichen Ziffern (1-5) pro Ring ergeben sich \(5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3 = 125\) Möglichkeiten. 3. Wahrscheinlichkeit berechnen: Die Wahrscheinlichkeit bei \(1000\) gleich wahrscheinlichen Möglichkeiten beträgt \(P = \frac{1}{1000}\). 4. Umrechnung in Prozent: \(\frac{1}{1000} = 0{,}001 = 0{,}1\,\%\).

a) Es gibt \(1000\) mögliche Kombinationen. b) Es sind \(125\) Kombinationen möglich. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{1000}\) oder \(0{,}1\,\%\).

- Überlege dir für jede Stelle der Zahl einzeln, wie viele Ziffern zur Auswahl stehen. - Wann ist eine Zahl durch 5 teilbar? Schau dir die Endziffern an. - In einem Laplace-Experiment berechnet man die Wahrscheinlichkeit als Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.

1. Berechnung für a): Da für jede der 3 Stellen 4 Ziffern zur Auswahl stehen, ergibt sich \(4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64\) Möglichkeiten. 2. Berechnung für b): Für die erste Stelle gibt es 4, für die zweite 3 und für die dritte 2 Möglichkeiten. Es ergeben sich \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\) Möglichkeiten. 3. Wahrscheinlichkeit für a): Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 5 endet. Die ersten beiden Stellen sind beliebig (\(4 \cdot 4 = 16\) günstige Fälle). \(P = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. Wahrscheinlichkeit für b): Die letzte Stelle muss die 5 sein (1 Möglichkeit). Für die ersten beiden Stellen bleiben 3 bzw. 2 Ziffern übrig (\(3 \cdot 2 = 6\) günstige Fälle). \(P = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0{,}25\).

a) 64 Zahlen. b) 24 Zahlen. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt in beiden Fällen \(\frac{1}{4}\) (oder \(25\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, den ersten Preis zu vergeben und wie viele dann noch für den zweiten Preis übrig bleiben. - Bei Teilaufgabe b) ist eine ganz bestimmte Reihenfolge gefragt. Wie viele der vielen Möglichkeiten erfüllen genau diese Bedingung? - Bei Teilaufgabe c) ist es egal, wer welchen der beiden Preise bekommt. Wie viele Kombinationen von Julia und Tim sind hier möglich?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten: Da es zwei unterschiedliche Preise gibt und jede Person nur einen gewinnen kann, gibt es für den ersten Preis 12 Möglichkeiten und für den zweiten Preis 11 Möglichkeiten. Gesamtzahl: \(12 \cdot 11 = 132\). 2. Wahrscheinlichkeit für ein spezifisches Ergebnis (Julia Hauptpreis, Tim Trostpreis): Es gibt genau 1 günstiges Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{1}{132}\). 3. Wahrscheinlichkeit, dass beide einen Preis gewinnen: Es gibt zwei günstige Fälle (Julia Hauptpreis und Tim Trostpreis ODER Tim Hauptpreis und Julia Trostpreis). Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist 2. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{2}{132} = \frac{1}{66}\).

a) Es gibt \(132\) mögliche Ergebnisse. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{132}\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{66}\).

- Zähle zuerst alle vollständigen Menüs mit dem Zählprinzip. - Bei a) ist nur eine ganz bestimmte Auswahl günstig. - Bei b) überlege für jede Kategorie, wie viele Alternativen zur genannten Sorte übrig bleiben.

1. Insgesamt gibt es \(4\cdot3\cdot5=60\) gleich wahrscheinliche vollständige Menüs. 2. Für Brezel, Wasser und Apfel gibt es genau ein günstiges Menü. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{60}\). 3. Für b) stehen \(3\) andere Snacks, \(2\) andere Getränke und \(4\) andere Obstsorten zur Verfügung. Das ergibt \(3\cdot2\cdot4=24\) günstige Menüs. 4. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{24}{60}=\frac{2}{5}=40\,\%\).

a) \(\frac{1}{60}\) b) \(\frac{2}{5}=40\,\%\)

- Bestimme mit dem Zählprinzip zuerst die Zahl aller möglichen Einstellungen. - Überlege anschließend für jeden Ring, wie viele Einstellungen dort falsch sind. - Zähle die vollständigen Kombinationen, bei denen alle drei gewählten Einstellungen falsch sind.

1. Insgesamt gibt es \(10\cdot5\cdot4=200\) gleich wahrscheinliche Kombinationen. 2. Für die erste Position gibt es \(9\) falsche Ziffern, für die zweite \(4\) falsche Buchstaben und für die dritte \(3\) falsche Symbole. 3. Damit gibt es \(9\cdot4\cdot3=108\) Kombinationen, bei denen alle drei Positionen falsch sind. 4. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P=\frac{108}{200}=\frac{27}{50}=0{,}54=54\,\%\).

a) \(200\) Kombinationen b) \(\frac{27}{50}=0{,}54=54\,\%\)

- Betrachte die konkreten Fruchtgummis als unterscheidbare mögliche Ziehungen. - Zähle alle geordneten Paare ohne Zurücklegen und danach die rot-roten Paare. - Für „mindestens ein gelbes“ ist das Gegenereignis besonders einfach.

1. Zwei geordnete Ziehungen ohne Zurücklegen ergeben \(25\cdot24=600\) gleich wahrscheinliche Paare konkreter Fruchtgummis. 2. Für rot-rot gibt es \(15\cdot14=210\) günstige Paare. Daher ist \(P(\text{rot, rot})=\frac{210}{600}=\frac{7}{20}=35\,\%\). 3. „Mindestens ein gelbes“ ist das Gegenereignis zu „beide rot“. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(1-\frac{7}{20}=\frac{13}{20}=65\,\%\).

a) \(\frac{7}{20}=35\,\%\) b) \(\frac{13}{20}=65\,\%\)

- Zähle zuerst sorgfältig die Gesamtzahl der Buchstaben für jedes Wort. - Notiere dir, wie oft der gesuchte Buchstabe oder die Buchstabengruppe jeweils vorkommt. - Um Brüche zu vergleichen, kannst du sie entweder auf den gleichen Nenner bringen oder in Dezimalzahlen umwandeln.

1. Wort A „PROZENTRECHNUNG“ hat \(15\) Buchstaben. Das „N“ kommt \(3\)-mal vor. \(P_A(N) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0{,}2\). Die Vokale sind O, E, E, U (insgesamt \(4\)). \(P_A(\text{Vokal}) = \frac{4}{15} \approx 0{,}267\). 2. Wort B „ZINSEN“ hat \(6\) Buchstaben. Das „N“ kommt \(2\)-mal vor. \(P_B(N) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\). Die Vokale sind I, E (insgesamt \(2\)). \(P_B(\text{Vokal}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\). 3. Vergleich für a): Da \(\frac{1}{3} > \frac{1}{5}\), ist die Wahrscheinlichkeit für ein „N“ in Wort B höher. 4. Vergleich für b): Um \(\frac{4}{15}\) und \(\frac{1}{3}\) zu vergleichen, bringt man sie auf den Hauptnenner \(15\). \(\frac{1}{3} = \frac{5}{15}\). Da \(\frac{5}{15} > \frac{4}{15}\), ist die Wahrscheinlichkeit für einen Vokal in Wort B höher.

a) Wort A: \(P = 0{,}2\); Wort B: \(P \approx 0{,}333\). In Wort B ist die Wahrscheinlichkeit höher. b) Wort A: \(P = \frac{4}{15}\); Wort B: \(P = \frac{1}{3}\). In Wort B ist die Wahrscheinlichkeit höher, da \(\frac{1}{3} = \frac{5}{15} > \frac{4}{15}\).

- Wie viele Murmeln liegen insgesamt im Beutel? - Welche Murmeln erfüllen die Bedingung „keine grüne Murmel“? - Wie rechnet man einen Bruch geschickt in eine Prozentangabe um?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Murmeln im Beutel: \(12 + 8 + 5 = 25\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine rote Murmel: Es gibt 12 rote Murmeln. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{rot}) = \frac{12}{25}\). Umrechnung in Prozent: \(\frac{12 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{48}{100} = 48\,\%\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „keine grüne Murmel“: Das Ereignis umfasst rote und blaue Murmeln. Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(12 + 8 = 20\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{nicht grün}) = \frac{20}{25}\). Umrechnung in Prozent: \(\frac{20 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{80}{100} = 80\,\%\).

a) \(48\,\%\) b) \(80\,\%\)

- Wie hoch ist der Anteil der süßen Bärchen an der Gesamtzahl in der jeweiligen Packung? - Kannst du die Gewinnchancen besser vergleichen, wenn du beide als Dezimalzahl oder Prozentsatz schreibst? - Achte darauf, immer die Gesamtzahl aller Bärchen in einer Packung als Nenner zu verwenden.

1. Analyse von Packung A: Gesamtzahl der Bärchen ist \(4 + 16 = 20\). Die Wahrscheinlichkeit für ein süßes Bärchen beträgt \(P_A(\text{süß}) = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0{,}8 = 80\,\%\). 2. Analyse von Packung B: Gesamtzahl der Bärchen ist \(7 + 21 = 28\). Die Wahrscheinlichkeit für ein süßes Bärchen beträgt \(P_B(\text{süß}) = \frac{21}{28} = \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\,\%\). 3. Vergleich: Da \(80\,\% > 75\,\%\) ist, ist die Chance in Packung A größer.

Paul sollte aus Packung A ziehen. Die Wahrscheinlichkeit für ein süßes Bärchen beträgt dort \(80\,\%\), während sie in Packung B nur \(75\,\%\) beträgt.

- Was bedeutet „ohne Zurücklegen“ für die Anzahl der verfügbaren Kugeln beim zweiten Zug? - Kannst du alle Ergebnisse, die den Buchstaben „A“ enthalten, systematisch auflisten? - Welche der Buchstaben A bis F sind Vokale? Wie viele Paare lassen sich nur aus diesen bilden?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Ergebnisse beim Ziehen ohne Zurücklegen: Für die erste Kugel gibt es 6 Möglichkeiten, für die zweite Kugel verbleiben 5 Möglichkeiten: \(6 \cdot 5 = 30\). 2. Ermittlung der Ergebnisse mit „A“: A kann an erster Stelle stehen (gefolgt von B, C, D, E oder F; 5 Möglichkeiten) oder an zweiter Stelle stehen (nach B, C, D, E oder F; 5 Möglichkeiten). Die Kombination (A; A) ist nicht möglich. Gesamtzahl: \(5 + 5 = 10\). 3. Identifikation der Vokale in der Menge: A und E sind die einzigen Vokale. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, gibt es nur die Paare (A; E) und (E; A). Anzahl: \(2 \cdot 1 = 2\).

a) Es gibt 30 mögliche Ergebnisse. b) Es gibt 10 Ergebnisse, die den Buchstaben „A“ enthalten. c) Es gibt 2 Ergebnisse, die nur aus Vokalen bestehen.

- Bestimme für jedes Spiel zuerst die Anzahl aller gleich wahrscheinlichen geordneten Ergebnisse. - Wie viele dieser Ergebnisse erfüllen jeweils genau die Gewinnbedingung? - Vergleiche die beiden entstandenen Brüche.

1. Bei Spiel A gibt es \(6^3=216\) gleich wahrscheinliche geordnete Würfeltripel. Nur \((6,6,6)\) ist günstig. Daher gilt \(P(A)=\frac{1}{216}\approx0{,}00463\). 2. Bei Spiel B gibt es wegen des Zurücklegens \(32^2=1024\) gleich wahrscheinliche geordnete Kartenpaare. Nur das Paar Herz-Ass–Herz-Ass ist günstig. Daher gilt \(P(B)=\frac{1}{1024}\approx0{,}00098\). 3. Wegen \(\frac{1}{216}>\frac{1}{1024}\) ist die Gewinnchance bei Spiel A größer.

Spiel A: \(\frac{1}{216}\approx0{,}46\,\%\) Spiel B: \(\frac{1}{1024}\approx0{,}10\,\%\) Die Gewinnchance ist bei Spiel A größer.

- Wie viele gleich wahrscheinliche vierstellige Einstellungen gibt es insgesamt? - Wie viele davon öffnen das Schloss? - Setze günstige und mögliche Ergebnisse ins Verhältnis.

1. Es gibt \(10^4=10\,000\) gleich wahrscheinliche vierstellige Einstellungen. 2. Genau eine dieser Einstellungen ist günstig. 3. Nach dem Laplace-Modell gilt daher \(P=\frac{1}{10000}=0{,}0001=0{,}01\,\%\).

\(\frac{1}{10000}=0{,}0001=0{,}01\,\%\)

- Wenn du die Gesamtzahl kennst, wie kannst du aus einer Wahrscheinlichkeit die absolute Anzahl berechnen? - Was bedeutet \(45\,\%\) als Bruch oder Dezimalzahl? - Wie viele Kugeln bleiben übrig, wenn du die schwarzen und weißen abgezogen hast?

1. Berechnung der Anzahl der schwarzen Kugeln: \(\frac{1}{3} \cdot 60 = 20\). 2. Umrechnung der Prozentangabe für weiße Kugeln in eine Dezimalzahl: \(45\,\% = 0{,}45\). 3. Berechnung der Anzahl der weißen Kugeln: \(0{,}45 \cdot 60 = 27\). 4. Bestimmung der Anzahl der grauen Kugeln durch Subtraktion von der Gesamtzahl: \(60 - 20 - 27 = 13\).

Es befinden sich 13 graue Kugeln in der Urne.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es unabhängig voneinander an jeder der vier Stellen? - Wie verändert sich die Auswahl, wenn bereits verwendete Ziffern nicht noch einmal vorkommen dürfen? - Welche wenigen Codes erfüllen bei c) die Bedingung „alle vier Stellen gleich“?

1. Für jede der vier Stellen gibt es \(6\) Möglichkeiten. Daher gibt es insgesamt \(6^4=1296\) Codes. 2. Für vier verschiedene Ziffern stehen nacheinander \(6\), \(5\), \(4\) und \(3\) Möglichkeiten zur Verfügung. Damit gibt es \(6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) solche Codes. 3. Für c) sind genau die sechs Codes \(1111\), \(2222\), \(3333\), \(4444\), \(5555\) und \(6666\) günstig. 4. Bei \(1296\) gleich wahrscheinlichen Codes gilt daher \(P=\frac{6}{1296}=\frac{1}{216}\approx0{,}00463\).

a) \(1296\) b) \(360\) c) \(\frac{1}{216}\approx0{,}00463\)

- Nutze die Zahlen und die kurzen Farbmarkierungen direkt auf den Sektoren. - Bei b) genügt es, wenn mindestens eine der beiden Eigenschaften erfüllt ist; zähle einen passenden Sektor nur einmal. - Bei c) müssen beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein.

1. Die Zahlen auf dem Rad sind \(2,3,5,8,12,15,20,25\). Durch \(5\) teilbar sind \(5,15,20,25\). Daher ist \(P(E_1)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=50\,\%\). 2. Primzahlen sind \(2,3,5\). Gelb sind die Sektoren \(12,15\). Insgesamt erfüllen \(2,3,5,12,15\) mindestens eine der Bedingungen. Daher ist \(P(E_2)=\frac{5}{8}=62{,}5\,\%\). 3. Ungerade sind \(3,5,15,25\). Der blaue Sektor mit \(5\) fällt weg. Günstig sind \(3,15,25\). Daher ist \(P(E_3)=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\).

a) \(\frac{1}{2}=50\,\%\) b) \(\frac{5}{8}=62{,}5\,\%\) c) \(\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare entstehen bei zwei Drehungen? - Zähle aus der Abbildung die Sektoren jeder Farbe. - Für b) kannst du die günstigen Paare für jede Farbe getrennt zählen und anschließend addieren.

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(8\cdot8=64\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Grün liegt auf \(2\) Sektoren. Für zweimal Grün sind daher \(2\cdot2=4\) Paare günstig. Somit gilt \(P(E_1)=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}=6{,}25\,\%\). 3. Für zweimal dieselbe Farbe sind \(3^2\) rote, \(3^2\) blaue und \(2^2\) grüne Sektorenpaare günstig. Insgesamt sind das \(9+9+4=22\) Paare. Daher gilt \(P(E_2)=\frac{22}{64}=\frac{11}{32}=34{,}375\,\%\).

a) \(P(E_1)=\frac{1}{16}=6{,}25\,\%\) b) \(P(E_2)=\frac{11}{32}=34{,}375\,\%\)

- Nutze die kurzen Farbmarkierungen auf den Sektoren zum Zählen. - Bei a) kannst du alle nicht roten Sektoren direkt zählen oder vom Ganzen abziehen. - Bei b) werden die passenden grünen und gelben Sektoren zusammengezählt.

1. Das Rad hat \(4\) rote, \(3\) blaue, \(2\) grüne und \(1\) gelben Sektor. 2. Nicht rot sind \(6\) von \(10\) Sektoren. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(60\,\%\). 3. Grün oder gelb sind \(2+1=3\) von \(10\) Sektoren. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(30\,\%\). 4. Blau sind \(3\) von \(10\) Sektoren. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(30\,\%\).

a) \(60\,\%\) b) \(30\,\%\) c) \(30\,\%\)

- Lies die Nummern der Kugeln in jeder Urne direkt aus der Abbildung ab. - Bestimme getrennt, welche dieser Nummern Primzahlen und welche gerade Zahlen sind. - Vergleiche die beiden Urnen jeweils über relative Anteile, nicht über die bloße Zahl günstiger Kugeln.

1. In Urne A liegen die Zahlen \(1,2,3,4,5\). Primzahlen sind \(2,3,5\), also gilt \(P_A(\text{Primzahl})=\frac35=60\,\%\). Gerade Zahlen sind \(2,4\), also gilt \(P_A(\text{gerade})=\frac25=40\,\%\). 2. In Urne B liegen die Zahlen \(1,2,3,4,5,6,7,8\). Primzahlen sind \(2,3,5,7\), also gilt \(P_B(\text{Primzahl})=\frac48=\frac12=50\,\%\). Gerade Zahlen sind \(2,4,6,8\), also gilt \(P_B(\text{gerade})=\frac48=\frac12=50\,\%\). 3. Für Primzahlen gilt \(60\,\%>50\,\%\), daher ist die Wahrscheinlichkeit in Urne A größer. Für gerade Zahlen gilt \(50\,\%>40\,\%\), daher ist sie in Urne B größer.

a) Urne A: \(60\,\%>50\,\%\) b) Urne B: \(50\,\%>40\,\%\)

- Zähle für a) in jeder Urne die blau markierten Kugeln und vergleiche ihren Anteil an allen Kugeln. - Für b) beachte nur die Nummern; die Farben sind dafür nicht entscheidend. - Gleiche absolute Anzahlen bedeuten bei verschieden großen Urnen nicht automatisch gleiche Wahrscheinlichkeiten – und umgekehrt.

1. Urne 1 enthält \(8\) Kugeln, davon \(2\) blau. Daher gilt \(P_1(\text{blau})=\frac28=25\,\%\). Urne 2 enthält \(10\) Kugeln, davon \(3\) blau. Daher gilt \(P_2(\text{blau})=\frac3{10}=30\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit für Blau ist in Urne 2 größer. 2. In Urne 1 tragen die Kugeln mit den Zahlen \(1,3,5,7\) ungerade Zahlen. Das sind \(4\) von \(8\), also \(P_1(\text{ungerade})=\frac48=50\,\%\). 3. In Urne 2 tragen die Kugeln mit den Zahlen \(1,3,5,7,9\) ungerade Zahlen. Das sind \(5\) von \(10\), also \(P_2(\text{ungerade})=\frac5{10}=50\,\%\). Damit sind die Wahrscheinlichkeiten für eine ungerade Zahl gleich groß.

a) Urne 2: \(30\,\%>25\,\%\) b) In beiden Urnen gleich: jeweils \(50\,\%\)

- Nutze neben der Zahl auch die kurzen Farbmarkierungen auf jedem Sektor. - Für a) müssen beide Eigenschaften gleichzeitig gelten; prüfe jeden grünen Sektor auf seine Zahl. - Liste bei c) zunächst rote und gerade Sektoren getrennt auf. - Achte darauf, Sektoren, die beide Bedingungen erfüllen, bei der Vereinigung nicht doppelt zu zählen.

1. Grün und ungerade sind genau die Sektoren \(3\) und \(11\). Daher gilt \(P(\text{grün und ungerade})=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\). 2. Größer als \(10\) sind \(11,12,13,14,15,16\). Daher gilt \(P(\text{Zahl}>10)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\). 3. Rot sind \(1,4,9,14\); gerade sind \(2,4,6,8,10,12,14,16\). Die Sektoren \(4\) und \(14\) gehören zu beiden Gruppen und dürfen bei „rot oder gerade“ nur einmal gezählt werden. Damit sind \(4+8-2=10\) Sektoren günstig. 4. Daher gilt \(P(\text{rot oder gerade})=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}=62{,}5\,\%\).

a) \(\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\) b) \(\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\) c) \(\frac{5}{8}=62{,}5\,\%\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare entstehen insgesamt? - Für a) ist die Reihenfolge der beiden Farben fest. - Für b) ist das Gegenereignis „kein Rot“ einfacher zu zählen.

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(5^2=25\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Für a) stehen beim ersten Dreh \(2\) grüne und beim zweiten \(1\) gelber Sektor zur Verfügung. Daher sind \(2\cdot1=2\) Paare günstig und \(P=\frac{2}{25}=8\,\%\). 3. Für b) ist das Gegenereignis „kein Rot“. Auf \(3\) der \(5\) Sektoren liegt kein Rot, also sind \(3^2=9\) Paare für das Gegenereignis günstig. Damit gilt \(P=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}=64\,\%\).

a) \(\frac{2}{25}=8\,\%\) b) \(\frac{16}{25}=64\,\%\)

- Nutze die kurzen Farbmarkierungen auf den Sektoren zum Zählen. - Überlege bei b), welche Farben übrig bleiben, wenn Blau und Gelb ausgeschlossen sind. - Zähle bei c) die roten und gelben Sektoren zusammen; die Farbkategorien überschneiden sich nicht.

1. Es gibt \(3\) blaue Sektoren unter \(8\). Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{3}{8}\). 2. Weder blau noch gelb bedeutet hier rot oder grün. Es gibt \(2\) rote und \(2\) grüne Sektoren, also \(4\) günstige. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\). 3. Für rot oder gelb sind die \(2\) roten und der \(1\) gelbe Sektor günstig. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{3}{8}\).

a) \(\frac{3}{8}\) b) \(\frac{1}{2}\) c) \(\frac{3}{8}\)

- Nutze Nummer und Buchstabenmarkierung jeder Kugel gemeinsam. - Prüfe bei b), welche Kugeln beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen. - Fasse bei c) alle Kugeln zusammen, die mindestens eine der beiden Bedingungen erfüllen, ohne eine Kugel doppelt zu zählen.

1. Insgesamt gibt es \(12\) gleich wahrscheinliche Kugeln. 2. Für \(E_1\) sind die Nummern \(2,4,6,8,10,12\) günstig. Daher ist \(P(E_1)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\). 3. Blau und größer als \(5\) sind die Kugeln mit den Nummern \(6\) und \(10\). Daher ist \(P(E_2)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\). 4. Durch \(3\) teilbar sind \(3,6,9,12\); rot sind \(1,5,9\). Insgesamt sind damit die sechs Kugeln mit den Nummern \(1,3,5,6,9,12\) günstig. Daher ist \(P(E_3)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\).

a) \(P(E_1)=\frac{1}{2}\) b) \(P(E_2)=\frac{1}{6}\) c) \(P(E_3)=\frac{1}{2}\)

- Zähle in der Abbildung zuerst alle Murmeln und dann die Murmeln der gesuchten Sorte. - Schreibe jeweils den Anteil günstiger Murmeln an allen Murmeln als Bruch. - Kürze den Bruch, bevor du ihn in Prozent umwandelst.

1. Die Abbildung zeigt insgesamt \(20\) Murmeln: \(8\) blaue und \(12\) graue. 2. Für Blau gilt \(P(\text{blau})=\frac{8}{20}=\frac25=40\,\%\). 3. Für Grau gilt \(P(\text{grau})=\frac{12}{20}=\frac35=60\,\%\).

a) \(\frac25=40\,\%\) b) \(\frac35=60\,\%\)

- Entscheidend für die Laplace-Eigenschaft sind die Chancen der einzelnen Sektoren. - Zähle die mit B beziehungsweise R markierten Sektoren. - Vergleiche die jeweilige Zahl günstiger Sektoren mit allen \(12\) Sektoren.

1. Alle \(12\) Sektoren sind gleich groß. Daher sind die einzelnen Sektoren gleich wahrscheinlich und das Drehen ist ein Laplace-Experiment. 2. Drei der \(12\) Sektoren sind blau. Daher ist \(P(E_1)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=25\,\%\). 3. Neun der \(12\) Sektoren sind rot. Daher ist \(P(E_2)=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}=75\,\%\).

a) Alle \(12\) Sektoren sind gleich groß und damit als Einzelergebnisse gleich wahrscheinlich. b) \(P(E_1)=\frac{1}{4}=25\,\%\) c) \(P(E_2)=\frac{3}{4}=75\,\%\)

- Zähle für jede Urne die roten Kugeln und alle Kugeln getrennt. - Bilde jeweils den Anteil der roten Kugeln an allen Kugeln. - Vergleiche die beiden Brüche über einen gemeinsamen Nenner oder über ihre Prozentsätze.

1. Urne A enthält \(3\) rote unter insgesamt \(8\) Kugeln. Daher ist \(P(\text{rot aus A})=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\). 2. Urne B enthält \(2\) rote unter insgesamt \(5\) Kugeln. Daher ist \(P(\text{rot aus B})=\frac{2}{5}=40\,\%\). 3. Da \(40\,\%>37{,}5\,\%\), ist die Wahrscheinlichkeit bei Urne B größer.

Urne B; Urne A: \(\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\), Urne B: \(\frac{2}{5}=40\,\%\).

- Wie viele Sektoren hat das Glücksrad insgesamt? Da alle Sektoren gleich groß sind, handelt es sich um ein Laplace-Experiment. - Welche der Zahlen auf dem Glücksrad erfüllen die Bedingung, größer als 5 zu sein? Zähle, auf wie vielen Sektoren diese Zahlen insgesamt vorkommen. - Welche der Zahlen auf dem Glücksrad sind gerade? Zähle alle Sektoren zusammen, die eine dieser geraden Zahlen zeigen. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment mit der Anzahl der günstigen und der Gesamtzahl der Ergebnisse?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: Das Glücksrad ist in 12 gleich große Sektoren unterteilt, die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben (Laplace-Experiment). 2. Berechnung für Ereignis a) „Zahl größer als 5“: Die Zahlen auf dem Rad sind 2, 5, 10 und 20. Größer als 5 sind die 10 und die 20. Anzahl der günstigen Sektoren: \(3 \text{ Sektoren mit der 10} + 2 \text{ Sektoren mit der 20} = 5\) Sektoren. Damit gilt: \(P(\text{Zahl} > 5) = \frac{5}{12}\) 3. Berechnung für Ereignis b) „Gerade Zahl“: Die geraden Zahlen auf dem Rad sind 2, 10 und 20. Anzahl der günstigen Sektoren: \(4 \text{ Sektoren mit der 2} + 3 \text{ Sektoren mit der 10} + 2 \text{ Sektoren mit der 20} = 9\) Sektoren. Damit gilt: \(P(\text{gerade Zahl}) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\)

a) \(\frac{5}{12}\) b) \(\frac{3}{4}\)

- Nutze die kurzen Buchstabenmarkierungen, um die Sektoren der gesuchten Farben zu zählen. - Bei a) gehören alle roten und alle gelben Sektoren zu den günstigen Ergebnissen. - Bei b) kannst du entweder alle nicht blauen Sektoren zählen oder mit dem Gegenereignis arbeiten.

1. Es gibt \(12\) gleich wahrscheinliche Sektoren. 2. Rot oder gelb sind \(5+4=9\) Sektoren. Daher ist \(P(\text{rot oder gelb})=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}=75\,\%\). 3. Genau ein Sektor ist blau. Für „nicht blau“ sind daher \(11\) Sektoren günstig. Damit ist \(P(\text{nicht blau})=\frac{11}{12}\approx91{,}67\,\%\).

a) \(P(\text{rot oder gelb})=\frac{3}{4}=75\,\%\) b) \(P(\text{nicht blau})=\frac{11}{12}\approx91{,}67\,\%\)

- Wie viele Sektoren hat das Glücksrad insgesamt und sind alle Sektoren gleich groß? - Schreibe dir für jede Teilaufgabe auf, welche der Zahlen auf dem Glücksrad die jeweilige Bedingung erfüllen. - Weißt du noch, was eine Primzahl ist? Überprüfe jede Zahl auf dem Rad einzeln. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment, wenn alle Sektoren gleich wahrscheinlich sind? - Vergiss nicht, die Brüche am Ende vollständig zu kürzen und auch in Prozent anzugeben.

Da alle 8 Sektoren des Glücksrads gleich groß sind, handelt es sich um ein Laplace-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet sich als der Anteil der günstigen Sektoren an der Gesamtzahl der Sektoren (8). 1. Teilaufgabe a): Ungerade Zahlen auf dem Rad sind: 3, 5, 5, 9. Das sind 4 günstige Sektoren. \(P(\text{ungerade}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 50\,\%\) 2. Teilaufgabe b): Primzahlen auf dem Rad sind: 2, 3, 5, 5 (die Zahl 9 ist keine Primzahl, da sie durch 3 teilbar ist; die Zahl 8 ist durch 2 und 4 teilbar). Das sind 4 günstige Sektoren. \(P(\text{Primzahl}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 50\,\%\) 3. Teilaufgabe c): Zahlen größer als 4 auf dem Rad sind: 5, 5, 8, 8, 8, 9. Das sind 6 günstige Sektoren. \(P(\text{größer als 4}) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 75\,\%\) 4. Teilaufgabe d): Durch 3 teilbare Zahlen auf dem Rad sind: 3, 9. Das sind 2 günstige Sektoren. \(P(\text{durch 3 teilbar}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 25\,\%\)

a) \(\frac{1}{2} = 50\,\%\) b) \(\frac{1}{2} = 50\,\%\) c) \(\frac{3}{4} = 75\,\%\) d) \(\frac{1}{4} = 25\,\%\)

- Lies die möglichen Zahlen direkt an beiden Glücksrädern ab und beachte ihre Reihenfolge. - Stelle die Ergebnisse als Paare \((A,B)\) dar. - Zähle für jedes Ereignis systematisch die günstigen Paare.

1. Aus den Abbildungen liest man für A drei und für B vier gleich wahrscheinliche Zahlen ab. Damit gibt es \(3\cdot 4=12\) gleich wahrscheinliche geordnete Paare. 2. Zu a) sind \((1,4)\), \((2,3)\) und \((3,2)\) günstig. Daher gilt \(P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=25\,\%\). 3. Zu b) sind \((1,2)\), \((1,3)\), \((1,4)\), \((2,3)\), \((2,4)\) und \((3,4)\) günstig. Also gilt \(P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}=50\,\%\). 4. Zu c) sind \((1,1)\), \((2,2)\) und \((3,3)\) günstig. Damit gilt \(P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=25\,\%\).

a) \(\frac{1}{4}=25\,\%\) b) \(\frac{1}{2}=50\,\%\) c) \(\frac{1}{4}=25\,\%\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen gibt es bei drei Drehungen? - An welcher der drei Positionen kann die einzige gelbe Drehung stehen? - Für jede blaue Position gibt es mehrere mögliche blaue Sektoren.

1. Auf dem Rad gibt es \(1\) gelben und \(3\) blaue Sektoren. Insgesamt entstehen \(4^3=64\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen. 2. Die gelbe Drehung kann an der ersten, zweiten oder dritten Position stehen. Die möglichen Farbfolgen sind Gelb–Blau–Blau, Blau–Gelb–Blau und Blau–Blau–Gelb. 3. Für jede dieser drei Farbfolgen gibt es für die beiden blauen Positionen jeweils \(3\) mögliche Sektoren. Damit sind \(3\cdot3^2=27\) Sektorenfolgen günstig. 4. Daher gilt \(P(E)=\frac{27}{64}\).

a) Gelb–Blau–Blau, Blau–Gelb–Blau, Blau–Blau–Gelb. b) \(P(E)=\frac{27}{64}\)

- Zähle alle Sektoren und anschließend die mit G markierten Gewinnsektoren. - Kürze den Anteil der Gewinnsektoren vollständig. - Wandle den gekürzten Bruch anschließend in Dezimalzahl und Prozent um.

1. Das Glücksrad besitzt \(16\) gleich große Sektoren, davon \(6\) Gewinnsektoren. 2. Die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\). 3. Es gilt \(\frac{3}{8}=0{,}375=37{,}5\,\%\).

\(\frac{3}{8}=0{,}375=37{,}5\,\%\)

- Lies die Länge des Balkens „markiert“ an der horizontalen Skala ab. - Setze die abgelesene Anzahl zur Gesamtzahl \(25\) ins Verhältnis und kürze den Bruch. - Wandle den Bruch für b) in eine Prozentangabe um.

1. Am Diagramm liest man \(10\) markierte und \(15\) nicht markierte Pralinen ab. Zusammen sind das \(25\) Pralinen. 2. Der Anteil der markierten Pralinen ist \(\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\). 3. Bei gleich wahrscheinlicher Auswahl gilt dieselbe Wahrscheinlichkeit: \(\frac{2}{5}=0{,}4=40\,\%\).

a) \(\frac{2}{5}\) b) \(40\,\%\)

- Bestimme bei Rad A die Primzahlen im angegebenen Zahlenbereich und bei Rad B die durch \(3\) teilbaren Zahlen. - Die Zahl \(1\) ist keine Primzahl. - Vergleiche die beiden Anteile in derselben Darstellungsform. - Übersetze in c) den geforderten Prozentsatz in eine Anzahl von Gewinnfeldern.

1. Bei Rad A sind \(2,3,5,7,11,13\) die sechs Primzahlen von \(1\) bis \(15\). Daher ist \(P(\text{Gewinn bei A})=\frac{6}{15}=40\,\%\). 2. Bei Rad B sind \(3,6,9,12,15,18\) die sechs durch \(3\) teilbaren Zahlen von \(1\) bis \(20\). Daher ist \(P(\text{Gewinn bei B})=\frac{6}{20}=30\,\%\). 3. Weil \(40\,\%>30\,\%\), ist die Gewinnchance bei Rad A höher. 4. \(45\,\%\) von \(20\) Feldern sind \(0{,}45\cdot20=9\) Felder.

a) Rad A: \(40\,\%\); Rad B: \(30\,\%\) b) Rad A, weil \(40\,\%>30\,\%\). c) \(9\) Gewinnfelder

- Bestimme die Gesamtzahl der gleich wahrscheinlichen Sektorenpaare. - Wie viele grüne Sektoren können in jeder Position auftreten? - Für b) ist das Gegenereignis „kein Rot“ einfacher zu zählen.

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(10^2=100\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Für zweimal Grün sind \(2\cdot2=4\) Paare günstig. Daher gilt \(P=\frac{4}{100}=4\,\%\). 3. Für b) ist das Gegenereignis „kein Rot“. Auf \(7\) Sektoren liegt kein Rot, also sind \(7^2=49\) Paare für das Gegenereignis günstig. Damit sind \(100-49=51\) Paare günstig und \(P=\frac{51}{100}=51\,\%\).

a) \(4\,\%\) b) \(51\,\%\)

- Betrachte die einzelnen Sektoren, nicht nur die verschiedenen aufgedruckten Zahlen. - Welche geordneten Zahlenpaare haben die Summe \(4\)? - Prüfe bei einer mehrfach vorkommenden Zahl, wie viele verschiedene Sektorenpaare zu demselben Zahlenpaar gehören.

1. Bei jeder Drehung sind fünf Sektoren gleich wahrscheinlich. Daher gibt es bei zwei Drehungen \(5\cdot5=25\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Für die Werte \(1+3\) und \(3+1\) gibt es jeweils genau ein günstiges Sektorenpaar. 3. Die Zahl \(2\) steht auf zwei Sektoren. Für \(2+2\) gibt es deshalb \(2\cdot2=4\) günstige Sektorenpaare. 4. Insgesamt sind \(1+1+4=6\) der \(25\) Paare günstig. Somit gilt \(P(E)=\frac{6}{25}=0{,}24=24\,\%\).

\(P(E)=\frac{6}{25}=0{,}24=24\,\%\)

- Unterscheide zwischen den drei notierten Farbergebnissen und den zehn gleich großen Sektoren des Rads. - Prüfe, ob jede notierte Farbe auf gleich vielen Sektoren vorkommt. - Bestimme jede Farbwahrscheinlichkeit über die Zahl der zugehörigen Sektoren. - Für c) kannst du die nicht grünen Sektoren direkt zählen oder das Gegenereignis nutzen.

1. Als Farben können Grün, Orange und Lila notiert werden. Daher ist \(\Omega=\{\text{Grün},\text{Orange},\text{Lila}\}\). 2. Diese drei Farbergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich, weil sie auf unterschiedlich vielen der zehn gleich großen Sektoren vorkommen. Deshalb werden die zugrunde liegenden Sektoren gezählt. 3. Grün kommt auf \(2\), Orange auf \(3\) und Lila auf \(5\) Sektoren vor. Daher gilt \(P(\text{Grün})=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\), \(P(\text{Orange})=\frac{3}{10}\) und \(P(\text{Lila})=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\). 4. Nicht Grün umfasst \(8\) der \(10\) Sektoren. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{8}{10}=80\,\%\).

a) \(\Omega=\{\text{Grün},\text{Orange},\text{Lila}\}\) b) Grün: \(\frac{1}{5}\); Orange: \(\frac{3}{10}\); Lila: \(\frac{1}{2}\) c) \(80\,\%\)

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl aller Kugeln. - Übersetze jedes Ereignis in die Anzahl der passenden Kugeln. - Bei „orange oder grau“ werden beide disjunkten Farbgruppen zusammengezählt. - Bei „nicht grau“ kannst du die beiden übrigen Farbgruppen zusammenfassen.

1. Insgesamt befinden sich \(4+7+9=20\) Kugeln in der Urne. 2. Für \(A\) sind \(4\) Kugeln günstig. Daher ist \(P(A)=\frac{4}{20}=0{,}2\). 3. Für \(B\) sind \(7+9=16\) Kugeln günstig. Daher ist \(P(B)=\frac{16}{20}=0{,}8\). 4. Für \(C\) sind die \(4+7=11\) nicht grauen Kugeln günstig. Daher ist \(P(C)=\frac{11}{20}=0{,}55\).

\(P(A)=0{,}2\) \(P(B)=0{,}8\) \(P(C)=0{,}55\)

- Wie viele geordnete Kugelpaare sind wegen des Zurücklegens insgesamt gleich wahrscheinlich? - Zähle in der Abbildung, wie viele A- und N-Kugeln zur Verfügung stehen. - Multipliziere beim Zählen die Anzahl der möglichen Einzelkugeln für die erste und zweite Position.

1. Die Urne enthält \(6\) Kugeln. Wegen des Zurücklegens gibt es \(6^2=36\) gleich wahrscheinliche geordnete Kugelpaare. 2. Für „AN“ können beim ersten Zug \(3\) A-Kugeln und beim zweiten \(2\) N-Kugeln auftreten. Damit sind \(3\cdot2=6\) Paare günstig und \(P(\text{AN})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\). 3. Für „AA“ gibt es \(3\cdot3=9\) günstige Paare. Daher gilt \(P(\text{AA})=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\).

a) \(P(\text{AN})=\frac{1}{6}\) b) \(P(\text{AA})=\frac{1}{4}\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Kugeltripel entstehen wegen des Zurücklegens? - An welcher der drei Positionen kann die eine blaue Kugel stehen? - Zähle für jede Position die möglichen einzelnen roten beziehungsweise blauen Kugeln.

1. Die Urne enthält \(5\) Kugeln. Wegen des Zurücklegens gibt es \(5^3=125\) gleich wahrscheinliche geordnete Kugeltripel. 2. Die eine blaue Position kann auf \(3\) Arten gewählt werden. Für jede rote Position stehen \(2\) einzelne rote Kugeln und für die blaue Position \(3\) einzelne blaue Kugeln zur Verfügung. 3. Damit sind \(3\cdot2^2\cdot3=36\) Tripel günstig. Es gilt \(P=\frac{36}{125}=0{,}288=28{,}8\,\%\).

\(\frac{36}{125}=0{,}288=28{,}8\,\%\)

- Lies die möglichen Zahlen direkt auf den Kugeln der Urne ab. - Behandle die beiden Ziehungen als geordnetes Zahlenpaar. - Liste nur die Paare auf, deren Summe die Grenze \(8\) überschreitet.

1. Aus der Abbildung liest man fünf gleich wahrscheinliche Zahlen pro Zug ab. Mit Zurücklegen gibt es daher \(5\cdot5=25\) gleich wahrscheinliche geordnete Zahlenpaare. 2. Eine Summe größer als \(8\) entsteht bei \((4,5)\), \((5,4)\) und \((5,5)\). 3. Somit gilt \(P=\frac{3}{25}=0{,}12\).

\(P=\frac{3}{25}=12\,\%\)

- Bestimme für jedes Ereignis zuerst die passenden nummerierten Kugeln. - Für die Wahrscheinlichkeit vergleichst du die Zahl der günstigen Kugeln mit allen acht Kugeln. - Prüfe für die Laplace-Frage, ob die einzelnen nummerierten Kugeln dieselbe Ziehchance haben.

1. Die Ergebnismenge ist \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), also \(|\Omega|=8\). 2. Für \(A=\{2,4,6,8\}\) gilt \(P(A)=\frac48=\frac12=0{,}5\). 3. Die blau markierten Kugeln tragen die Zahlen \(1,2,3,4\). Damit ist \(B=\{1,2,3,4\}\) und \(P(B)=\frac48=\frac12=0{,}5\). 4. Für \(C=\{6,7,8\}\) gilt \(P(C)=\frac38=0{,}375\). 5. Jede der acht gleichartigen Kugeln hat dieselbe Ziehchance. Bezogen auf die einzelnen nummerierten Kugeln liegt daher ein Laplace-Experiment vor.

\(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}5\), \(P(C)=0{,}375\). Es ist ein Laplace-Experiment, weil jede der acht nummerierten Kugeln gleich wahrscheinlich gezogen wird.

- Lies aus der Abbildung ab, wie oft die Ziffern \(1\), \(2\) und \(3\) vorkommen. - Bestimme für jedes Ereignis, welche dieser Zifferngruppen dazugehören. - Teile die Anzahl günstiger Kugeln jeweils durch die Gesamtzahl \(12\).

1. Die Abbildung zeigt vier Kugeln mit \(1\), drei Kugeln mit \(2\) und fünf Kugeln mit \(3\), insgesamt \(12\) Kugeln. 2. Für \(A\) sind die drei Kugeln mit \(2\) günstig. Daher ist \(P(A)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\). 3. Für \(B\) sind die drei Kugeln mit \(2\) und die fünf Kugeln mit \(3\) günstig. Daher ist \(P(B)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\). 4. Für \(C\) sind die vier Kugeln mit \(1\) und die fünf Kugeln mit \(3\) günstig. Daher ist \(P(C)=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\).

\(P(A)=\frac{1}{4}\) \(P(B)=\frac{2}{3}\) \(P(C)=\frac{3}{4}\)

- Stelle dir die drei roten und zwei blauen Kugeln als fünf einzelne, unterscheidbare Ziehmöglichkeiten vor. - Durch das Zurücklegen stehen bei der zweiten Ziehung wieder alle fünf Kugeln zur Verfügung. - Zähle die geordneten Paare Rot-Rot und Blau-Blau getrennt.

1. Da nach der ersten Ziehung zurückgelegt wird, gibt es für jede der beiden Ziehungen \(5\) mögliche physische Kugeln. Somit gibt es \(5\cdot5=25\) gleich wahrscheinliche geordnete Kugelpaare. 2. Für Rot-Rot gibt es \(3\cdot3=9\) Paare, für Blau-Blau \(2\cdot2=4\) Paare. 3. Insgesamt sind \(9+4=13\) von \(25\) Paaren günstig. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{13}{25}=52\,\%\).

\(\frac{13}{25}=52\,\%\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Würfelpaare gibt es insgesamt? - Das Gegenereignis „keine \(6\)“ ist leichter zu zählen. - Ziehe die Zahl der Gegenereignis-Paare von der Gesamtzahl ab.

1. Bei zwei Würfen gibt es \(6^2=36\) gleich wahrscheinliche geordnete Würfelpaare. 2. Für das Gegenereignis „keine \(6\)“ sind \(5^2=25\) Paare günstig. 3. Daher gehören \(36-25=11\) Paare zum Ereignis „mindestens eine \(6\)“ und es gilt \(P=\frac{11}{36}\).

\(\frac{11}{36}\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Seitenpaare gibt es bei zwei Würfen? - Das Gegenereignis „zweimal dieselbe Farbe“ ist leichter zu zählen. - Zähle die gleichfarbigen Paare für Rot, Blau und Grün getrennt.

1. Bei zwei Würfen gibt es \(6^2=36\) gleich wahrscheinliche geordnete Seitenpaare. 2. Für zweimal dieselbe Farbe sind \(3^2=9\) rote, \(2^2=4\) blaue und \(1^2=1\) grüne Seitenpaare günstig. Insgesamt sind das \(14\) Paare. 3. Für zwei verschiedene Farben bleiben \(36-14=22\) günstige Paare. Daher gilt \(P=\frac{22}{36}=\frac{11}{18}\).

\(\frac{11}{18}\approx61{,}1\,\%\)

- Bestimme für jedes Ereignis zuerst alle Zahlen zwischen \(1\) und \(25\), die die Bedingung erfüllen. - Vergleiche jeweils die Anzahl der günstigen Ergebnisse mit den \(25\) gleich wahrscheinlichen Karten. - Ordne am Ende die drei erhaltenen Wahrscheinlichkeiten der Größe nach.

1. Die Ergebnismenge \(\Omega\) enthält \(25\) Ergebnisse, also \(|\Omega|=25\). 2. Für A sind die Primzahlen \(\{2,3,5,7,11,13,17,19,23\}\) günstig. Daher gilt \(P(A)=\frac{9}{25}=0{,}36\). 3. Für B sind \(\{6,12,18,24\}\) günstig. Daher gilt \(P(B)=\frac{4}{25}=0{,}16\). 4. Für C sind \(\{1,4,9,16,25\}\) günstig. Daher gilt \(P(C)=\frac{5}{25}=0{,}2\). 5. Wegen \(0{,}16<0{,}2<0{,}36\) lautet die Reihenfolge B, C, A.

\(P(A)=\frac{9}{25}=36\,\%\), \(P(B)=\frac{4}{25}=16\,\%\), \(P(C)=\frac{5}{25}=20\,\%\). Reihenfolge: B, C, A.

- Bestimme zuerst die anfänglichen Anzahlen blauer und weißer Murmeln. - Wenn \(40\,\%\) blau sein sollen, welchen Anteil bilden dann die weißen Murmeln? - Die Zahl der weißen Murmeln bleibt unverändert; nutze sie, um die neue Gesamtzahl zu bestimmen.

1. Anfangs sind \(25\,\%\) von \(40\), also \(10\), Murmeln blau. Damit sind \(30\) Murmeln weiß. 2. Im Zielzustand sollen \(40\,\%\) blau sein. Daher müssen die unveränderten \(30\) weißen Murmeln \(60\,\%\) der Gesamtmenge bilden. 3. Wenn \(30\) Murmeln \(60\,\%\) entsprechen, beträgt die neue Gesamtzahl \(30:0{,}6=50\). 4. Die Gesamtzahl wächst also von \(40\) auf \(50\). Da nur blaue Murmeln hinzugefügt werden, müssen \(50-40=10\) blaue Murmeln ergänzt werden. 5. Kontrolle: Danach sind \(20\) von \(50\) Murmeln blau, also \(\frac{20}{50}=0{,}4=40\,\%\).

Es müssen \(10\) blaue Murmeln hinzugefügt werden.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt für jede der vier Stellen? - Überlege dir für Aufgabenteil a), wie viele verschiedene Ziffern es gibt, die viermal hintereinander stehen könnten. - Was bedeutet es für die restlichen Stellen, wenn die ersten beiden fest vorgegeben sind? - Welche Kombinationen von Ziffern ergeben addiert den Wert 2? Schreibe sie systematisch auf.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der möglichen Kombinationen: Da es vier Stellen mit jeweils 10 Ziffern gibt, ergeben sich \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000\) Möglichkeiten. 2. Berechnung für a): Es gibt genau 10 Kombinationen mit identischen Ziffern (0000, 1111, ..., 9999). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(A) = \frac{10}{10000} = \frac{1}{1000} = 0{,}1\,\%\). 3. Berechnung für b): Die ersten beiden Ziffern sind fest (1 und 9). Für die restlichen zwei Stellen gibt es jeweils 10 Möglichkeiten, also \(1 \cdot 1 \cdot 10 \cdot 10 = 100\) günstige Kombinationen. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(B) = \frac{100}{10000} = \frac{1}{100} = 1\,\%\). 4. Berechnung für c): Kombinationen mit Quersumme 2 finden. Fall 1: Eine Ziffer ist 2, drei sind 0 (2000, 0200, 0020, 0002; 4 Möglichkeiten). Fall 2: Zwei Ziffern sind 1, zwei sind 0 (1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011; 6 Möglichkeiten). Insgesamt gibt es 10 günstige Kombinationen. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(C) = \frac{10}{10000} = \frac{1}{1000} = 0{,}1\,\%\).

a) \(P = \frac{1}{1000} = 0{,}1\,\%\) b) \(P = \frac{1}{100} = 1\,\%\) c) \(P = \frac{1}{1000} = 0{,}1\,\%\)

- Was ist die Definition einer Primzahl? Beachte besonders die Zahl 1. - Überlege dir, welche Zahlen die 20 ohne Rest teilen. - Kannst du die Ungleichung nach \(x\) umstellen, um zu sehen, welche Zahlen infrage kommen? - Zähle genau nach, wie viele Zahlen aus der Menge \(\{1, 2, \dots, 20\}\) die jeweilige Bedingung erfüllen.

1. Die Ergebnismenge umfasst 20 gleich wahrscheinliche Ergebnisse: \(\Omega = \{1, 2, \dots, 20\}\). 2. Zu a): Die Primzahlen zwischen 1 und 20 sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Das sind 8 günstige Ergebnisse. \(P(A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 40\,\%\). 3. Zu b): Die Teiler von 20 sind 1, 2, 4, 5, 10, 20. Das sind 6 günstige Ergebnisse. \(P(B) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 30\,\%\). 4. Zu c): Lösen der Ungleichung: \(3x + 4 < 20 \Rightarrow 3x < 16 \Rightarrow x < 5{,}333\dots\). Die natürlichen Zahlen im Bereich 1 bis 20, die kleiner als \(5{,}333\) sind, lauten 1, 2, 3, 4, 5. Das sind 5 günstige Ergebnisse. \(P(C) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 25\,\%\).

a) \(P = \frac{2}{5} = 40\,\%\) b) \(P = \frac{3}{10} = 30\,\%\) c) \(P = \frac{1}{4} = 25\,\%\)

- Schreibe dir die Vielfachen der 4 nacheinander auf, solange sie nicht größer als 30 sind. - Suche systematisch nach der Ziffer 5 in den Zahlen 1 bis 30. - Was bedeutet Quersumme? Addiere die Ziffern der zweistelligen Zahlen und prüfe das Ergebnis. - Achte darauf, dass bei Teilaufgabe c) nur zweistellige Zahlen gesucht sind.

1. Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse: \(n = 30\). 2. Ereignis a: Die Vielfachen von 4 im Bereich 1 bis 30 sind \(\{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28\}\). Es gibt \(g = 7\) günstige Ergebnisse. Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Vielfaches von 4}) = \frac{7}{30}\). 3. Ereignis b: Die Zahlen, die die Ziffer 5 enthalten, sind \(\{5, 15, 25\}\). Es gibt \(g = 3\) günstige Ergebnisse. Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{enthält Ziffer 5}) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} = 0{,}1\). 4. Ereignis c: Zweistellige Zahlen mit der Quersumme 5 im Bereich 1 bis 30 sind 14 (\(1+4=5\)) und 23 (\(2+3=5\)). Es gibt \(g = 2\) günstige Ergebnisse. Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Quersumme 5}) = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}\).

a) \(P(\text{Vielfaches von 4}) = \frac{7}{30} \approx 23{,}3\,\%\) b) \(P(\text{enthält Ziffer 5}) = \frac{1}{10} = 10\,\%\) c) \(P(\text{Quersumme 5}) = \frac{1}{15} \approx 6{,}7\,\%\)

- Wenn du die Gesamtzahl und die Wahrscheinlichkeit kennst, wie findest du dann die Anzahl der günstigen Ergebnisse? - Überprüfe für das Wort „MATHEMATIKER“ jede Bedingung einzeln. - Reicht es aus, wenn nur eine der beiden Bedingungen (Vokale oder der Buchstabe M) erfüllt ist?

1. a) Berechnung der Anzahlen: Bei \(12\) Buchstaben entspricht \(P = \frac{1}{3}\) einer Anzahl von \(12 \cdot \frac{1}{3} = 4\) Vokalen. \(P = \frac{1}{6}\) entspricht \(12 \cdot \frac{1}{6} = 2\) Buchstaben „M“. 2. b) Analyse von „MATHEMATIKER“: Das Wort hat \(12\) Buchstaben. 3. Zählen der Vokale in „MATHEMATIKER“: A, E, A, I, E. Das sind \(5\) Vokale. 4. Zählen der „M“ in „MATHEMATIKER“: M, M. Das sind \(2\) Buchstaben „M“. 5. Vergleich: Die Anzahl der „M“ (\(2\)) passt zur Bedingung (\(P(M) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\)), aber die Anzahl der Vokale (\(5\)) passt nicht (\(\frac{5}{12} \neq \frac{1}{3}\)). Das Wort erfüllt die Bedingungen also nicht.

a) Das Wort enthält \(4\) Vokale und \(2\) Buchstaben „M“. b) Nein, „MATHEMATIKER“ erfüllt die Bedingungen nicht, da es \(5\) Vokale besitzt (\(P(\text{Vokal}) = \frac{5}{12}\)), gefordert sind jedoch genau \(4\) (\(P = \frac{1}{3}\)).

- Was gibt die Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment über das Verhältnis von Teilmenge zu Gesamtmenge an? - Wenn du die Gesamtzahl kennst, wie findest du den Rest heraus? - Kannst du für den unbekannten Teil eine Variable (wie \(x\)) verwenden?

1. Berechnung der Gesamtanzahl \(T\): Da \(P(\text{rot}) = \frac{n_{\text{rot}}}{T}\) gilt, folgt \(0{,}25 = \frac{12}{T}\). Umstellen ergibt \(T = \frac{12}{0{,}25} = 48\). 2. Bestimmung der Summe von gelben und weißen Bärchen: \(T - n_{\text{rot}} = 48 - 12 = 36\). 3. Berechnung der Einzelanzahlen: Sei \(x\) die Anzahl der weißen Bärchen. Dann gilt für die gelben Bärchen \(2x\). Die Gleichung \(x + 2x = 36\) führt zu \(3x = 36\), also \(x = 12\). Damit gibt es \(2 \cdot 12 = 24\) gelbe Bärchen.

a) Es sind 48 Gummibärchen in der Tüte. b) Es sind insgesamt 36 gelbe und weiße Bärchen enthalten. c) Es sind 24 gelbe Bärchen in der Tüte.

- Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeit für den ersten Beutel. - Wie hängen die Gesamtzahl im zweiten Beutel, die Anzahl der grünen Steine und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Was ändert sich an der Gesamtzahl und der Anzahl der roten Steine, wenn man alles zusammenmischt?

1. Wahrscheinlichkeit in Beutel A: \(P(\text{rot}_A) = \frac{15}{5+15} = \frac{15}{20} = 0{,}75\). 2. Bestimmung der Steine in Beutel B: Es gilt \(P(\text{grün}_B) = 0{,}75\). Mit \(n_{\text{grün}} = 12\) folgt \(\frac{12}{T_B} = 0{,}75\). Daraus ergibt sich \(T_B = \frac{12}{0{,}75} = 16\). Die Anzahl der gelben Steine ist \(16 - 12 = 4\). 3. Wahrscheinlichkeit im kombinierten Gefäß: Gesamtzahl der Steine \(T_{\text{gesamt}} = 20 + 16 = 36\). Anzahl der roten Steine ist weiterhin 15. Die neue Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{rot}_{\text{neu}}) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \approx 0{,}417\).

a) In Beutel B befinden sich 4 gelbe Steine. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{12}\) (oder ca. \(41{,}7\,\%\)).

- Wenn du alle Gewinnwahrscheinlichkeiten kennst, wie groß muss dann die Wahrscheinlichkeit für eine Niete sein? - Wie hängen die Anzahl der Nieten, die Wahrscheinlichkeit für eine Niete und die Gesamtzahl der Lose zusammen?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine Niete: Da es nur diese drei Kategorien gibt, gilt \(P(\text{Niete}) = 1 - P(\text{Hauptgewinn}) - P(\text{Kleingewinn})\). Also \(P(\text{Niete}) = 1 - \frac{1}{50} - \frac{10}{50} = 1 - \frac{11}{50} = \frac{39}{50}\). In Dezimalzahlen: \(P(\text{Niete}) = 1 - 0{,}02 - 0{,}2 = 0{,}78\). 2. Bestimmung der Gesamtzahl \(T\): Es gilt \(P(\text{Niete}) = \frac{n_{\text{Niete}}}{T}\), also \(0{,}78 = \frac{390}{T}\). Daraus folgt \(T = \frac{390}{0{,}78} = 500\). 3. Anzahl der Hauptgewinne: \(n_{\text{Hauptgewinn}} = T \cdot P(\text{Hauptgewinn}) = 500 \cdot \frac{1}{50} = 10\).

a) Insgesamt wurden 500 Lose vorbereitet. b) Es gibt 10 Hauptgewinne.

- Überlege für jede Stelle getrennt, wie viele Ziffern dort möglich sind. - Verbinde die Anzahlen der Möglichkeiten der einzelnen Stellen mit dem Zählprinzip. - Für c) genügt es, die Zahl der noch möglichen Codes in beiden Fällen zu vergleichen.

1. Für jede der vier Stellen gibt es \(10\) Möglichkeiten. Daher gibt es \(10\cdot10\cdot10\cdot10=10^4=10\,000\) Codes. 2. Wenn nur die Ziffern \(1,2,3\) erlaubt sind, gibt es pro Stelle \(3\) Möglichkeiten. Also gibt es \(3^4=81\) Codes. 3. In Fall 1 ist die erste Stelle fest; für die drei übrigen Stellen gibt es je \(10\) Möglichkeiten. Das sind \(10^3=1000\) mögliche Codes. 4. In Fall 2 gibt es an jeder der vier Stellen \(5\) Möglichkeiten. Das sind \(5^4=625\) mögliche Codes. 5. Bei gleich wahrscheinlichen möglichen Codes ist die Trefferchance größer, wenn weniger Codes infrage kommen. Daher ist sie in Fall 2 größer.

a) \(10\,000\) Codes b) \(81\) Codes c) Fall 2; dort kommen \(625\) Codes infrage, in Fall 1 dagegen \(1000\).

- Berechne zuerst, wie viele Kombinationen es für jedes System gibt. - Was bedeutet „sicherer“ im Zusammenhang mit der Anzahl der Möglichkeiten? - Probiere für Aufgabenteil c) nacheinander verschiedene Anzahlen von Stellen aus.

1. Berechnung System A: \(6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^4 = 1296\) Möglichkeiten. 2. Berechnung System B: \(10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3 = 1000\) Möglichkeiten. 3. Vergleich der Sicherheit: System A ist sicherer, da es mit \(1296\) Kombinationen mehr Möglichkeiten bietet als System B mit \(1000\). Die Wahrscheinlichkeit für einen korrekten Rateversuch ist bei System A geringer (\(\frac{1}{1296} < \frac{1}{1000}\)). 4. Bestimmung der Stellenanzahl für System A: \(6^5 = 7776\) \(6^6 = 46\,656\) \(6^7 = 279\,936\) Somit sind mindestens 7 Stellen erforderlich, da \(6^6 < 50\,000\) und \(6^7 > 50\,000\).

a) System A hat \(1296\) Möglichkeiten, System B hat \(1000\) Möglichkeiten. b) System A ist sicherer, da es mehr Kombinationsmöglichkeiten bietet und die Trefferwahrscheinlichkeit beim Raten somit geringer ist. c) System A müsste mindestens 7 Stellen haben.

- Stelle dir die zweistellige Zahl als Kombination aus Zehner- und Einerziffer vor. - Notiere dir alle Paare von Ziffern zwischen 1 und 6, deren Summe 7 ergibt. - Unterscheide bei der Wahrscheinlichkeit genau, wie viele Gesamtmöglichkeiten in a) und b) jeweils zur Verfügung stehen.

1. Anzahl für a): Jeder Wurf hat 6 Möglichkeiten, also \(6 \cdot 6 = 36\) mögliche Zahlen. 2. Anzahl für b): Der erste Wurf hat 6 Möglichkeiten, der zweite nur noch 5 (da er sich vom ersten unterscheiden muss). Es gibt \(6 \cdot 5 = 30\) Zahlen. 3. Günstige Ergebnisse für die Quersumme 7: Die Paare \((1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1)\) ergeben die Quersumme 7. Das sind 6 günstige Ergebnisse. 4. Da in allen 6 Paaren die Ziffern unterschiedlich sind, gelten sie sowohl für a) als auch für b). 5. Wahrscheinlichkeit für a): \(P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). 6. Wahrscheinlichkeit für b): \(P = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}\).

a) 36 Zahlen. b) 30 Zahlen. c) Für a) ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6}\), für b) ist sie \(\frac{1}{5}\).

- Bestimme für jede Stelle, wie viele Buchstaben dort jeweils noch möglich sind. - Wenn Wiederholung verboten ist, nimmt die Zahl der Wahlmöglichkeiten nach jeder belegten Stelle ab. - Bei d) sind die ersten beiden Stellen bereits fest; prüfe nur noch, wie die übrigen Buchstaben angeordnet werden können.

1. Bei a) gibt es für jede der vier Stellen \(4\) Möglichkeiten. Damit gibt es \(4^4=256\) Codes. 2. Bei b) gibt es für die erste Stelle \(4\), danach \(3\), dann \(2\) und schließlich \(1\) Möglichkeit. Das ergibt \(4\cdot3\cdot2\cdot1=24\) Codes. 3. Ohne A stehen pro Stelle nur B, C und D zur Verfügung. Es gibt daher \(3^4=81\) günstige Codes unter den \(256\) möglichen Codes aus a). Also ist \(P=\frac{81}{256}\). 4. Bei d) sind A und D fest vorgegeben. B und C können die beiden restlichen Plätze in \(2\cdot1=2\) Reihenfolgen füllen. Daher ist \(P=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}\).

a) \(256\) Codes b) \(24\) Codes c) \(\frac{81}{256}\) d) \(\frac{1}{12}\)

- Denke bei der Gesamtzahl daran, dass auf jedem Ring die gleiche Anzahl an Ziffern zur Verfügung steht. - Für Teil b): Wie viele Möglichkeiten gibt es, die drei festen Ziffern 1, 2 und 3 auf die drei Positionen zu verteilen? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, drei gleiche Ziffern zu wählen?

1. Gesamtzahl der Kombinationen: Da es 3 Ringe mit jeweils 6 Möglichkeiten gibt, berechnet sich die Gesamtzahl durch \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\). 2. Günstige Ergebnisse für Teil b): Die Ziffern 1, 2 und 3 können in verschiedenen Reihenfolgen auftreten (123, 132, 213, 231, 312, 321). Das sind \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}\). 3. Günstige Ergebnisse für Teil c): Es gibt 6 Kombinationen mit drei gleichen Ziffern (111, 222, 333, 444, 555, 666). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}\).

a) Es gibt \(216\) verschiedene Kombinationen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{36}\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{36}\).

- Die drei Ämter sind verschieden; deshalb spielt es eine Rolle, wer welches Amt erhält. - Nach jeder Vergabe steht eine Person weniger für das nächste Amt zur Verfügung. - Zähle für b) die günstigen Besetzungen auf dieselbe schrittweise Weise wie alle möglichen Besetzungen.

1. Für das erste Amt gibt es \(12\) Möglichkeiten, für das zweite noch \(11\) und für das dritte \(10\). Insgesamt sind \(12\cdot11\cdot10=1320\) Besetzungen möglich. 2. Wenn alle drei Ämter von Mädchen besetzt werden, gibt es nacheinander \(4\), \(3\) und \(2\) Möglichkeiten. Das sind \(4\cdot3\cdot2=24\) günstige Besetzungen. 3. Daher ist \(P=\frac{24}{1320}=\frac{1}{55}\approx1{,}8\,\%\).

a) \(1320\) Besetzungen b) \(\frac{1}{55}\approx1{,}8\,\%\)

- Wie viele Möglichkeiten gibt es für jede einzelne Stelle des Codes? - Überlege, wie viele der vielen Kombinationen tatsächlich das Schloss öffnen. - Wenn du eine Information über eine Ziffer hast, reduziert das die Anzahl der Unbekannten. - Was ist das Gegenteil von „mindestens ein Fehler“?

1. Berechnung der Gesamtmöglichkeiten: Da es 4 Ringe mit je 10 Ziffern gibt, beträgt die Anzahl der Kombinationen \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000\). 2. Wahrscheinlichkeit für einen Treffer: Da nur eine Kombination korrekt ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Richtig}) = \frac{1}{10000} = 0{,}0001 = 0{,}01\,\%\). 3. Einfluss der bekannten Ziffer: Wenn die erste Ziffer feststeht, gibt es nur noch \(10^3 = 1000\) Möglichkeiten für die restlichen drei Ringe. Die Wahrscheinlichkeit steigt auf \(\frac{1}{1000} = 0{,}001 = 0{,}1\,\%\). Sie verzehnfacht sich also, da der Suchraum kleiner wird. 4. Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fehler: Dies ist das Gegenereignis zu „alle Ziffern sind korrekt“. \(P(\text{mind. ein Fehler}) = 1 - P(\text{Richtig}) = 1 - \frac{1}{10000} = \frac{9999}{10000} = 0{,}9999 = 99{,}99\,\%\).

a) \(10\,000\) Möglichkeiten. b) \(P = 0{,}0001\) (oder \(0{,}01\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit steigt auf \(0{,}001\) (oder \(0{,}1\,\%\)), da nur noch \(1000\) Kombinationen möglich sind. d) \(P = 0{,}9999\) (oder \(99{,}99\,\%\)).

- Zähle vollständige Antwortfolgen mit dem Zählprinzip. - Für „keine richtig“ gibt es bei jeder Frage nur die falschen Antwortmöglichkeiten. - Für „mindestens eine richtig“ ist das Gegenereignis einfacher zu zählen. - Vergleiche in c) die Zahl aller noch möglichen vollständigen Antwortfolgen für Mina und Elias.

1. Für Elias gibt es \(3^6=729\) gleich wahrscheinliche vollständige Antwortfolgen. 2. Für „alle sechs falsch“ stehen bei jeder Frage \(2\) falsche Antworten zur Verfügung. Daher gibt es \(2^6=64\) günstige Antwortfolgen und \(P(\text{keine richtig})=\frac{64}{729}\approx0{,}0878\). 3. Das Gegenereignis lautet „mindestens eine richtig“. Daher ist \(P(\text{mindestens eine richtig})=1-\frac{64}{729}=\frac{665}{729}\approx0{,}9122\). 4. Mina hat pro Frage noch \(2\) mögliche Antworten, also insgesamt \(2^6=64\) gleich wahrscheinliche Antwortfolgen. Nur eine davon ist vollständig richtig. Ihre Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{1}{64}=0{,}015625\). 5. Elias hat für sechs richtige Antworten ebenfalls nur eine günstige Antwortfolge unter \(729\), also \(\frac{1}{729}\). Minas Chance ist damit deutlich größer.

a) \(\frac{64}{729}\approx0{,}0878\) b) \(\frac{665}{729}\approx0{,}9122\) c) Mina: \(\frac{1}{64}=0{,}015625\); Elias: \(\frac{1}{729}\). Minas Chance ist größer.

- Zähle vollständige geordnete Wurffolgen mit dem Zählprinzip. - Für „keine 6“ sind bei jedem Wurf nur fünf Augenzahlen erlaubt. - „Mindestens eine 6“ lässt sich über sein Gegenereignis zählen. - Vergleiche bei d) nicht die auffällige Form der Folgen, sondern ihre Rolle als einzelne Ergebnisse.

1. Bei drei Würfen gibt es \(6^3=216\) gleich wahrscheinliche geordnete Wurffolgen. 2. Ohne eine \(6\) stehen pro Wurf nur \(5\) Augenzahlen zur Verfügung. Es gibt \(5^3=125\) günstige Folgen. Daher ist \(P(\text{keine 6})=\frac{125}{216}\approx0{,}5787\). 3. Das Gegenereignis zu „keine 6“ ist „mindestens eine 6“. Daher ist \(P(\text{mindestens eine 6})=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}\approx0{,}4213\). 4. Sowohl \((6;6;6)\) als auch \((1;2;3)\) ist genau eine der \(216\) gleich wahrscheinlichen Folgen. Beide haben daher die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{216}\). Jonas' Aussage ist falsch.

a) \(216\) b) \(\frac{125}{216}\approx0{,}5787\) c) \(\frac{91}{216}\approx0{,}4213\) d) Die Aussage ist falsch; beide konkreten Folgen haben die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{216}\).

- Betrachte vollständige Sektortripel der drei Räder als gleich wahrscheinliche Ergebnisse. - Zähle für „kein G“ auf jedem Rad die nicht markierten Sektoren. - Für „mindestens ein G“ ist das Gegenereignis einfacher zu bestimmen.

1. Ein vollständiges Ergebnis besteht aus je einem Sektor der drei Räder. Insgesamt gibt es \(6\cdot8\cdot10=480\) gleich wahrscheinliche Sektortripel. 2. Für dreimal G gibt es genau ein günstiges Sektortripel. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{480}\). 3. Für kein G stehen auf den drei Rädern \(5,7\) und \(9\) Sektoren zur Verfügung. Das sind \(5\cdot7\cdot9=315\) günstige Sektortripel. Daher ist \(P(\text{kein G})=\frac{315}{480}=\frac{21}{32}\). 4. „Mindestens einmal G“ ist das Gegenereignis. Daher ist \(P=1-\frac{21}{32}=\frac{11}{32}\).

a) \(\frac{1}{480}\) b) \(\frac{21}{32}\) c) \(\frac{11}{32}\)

- Kannst du alle möglichen Kombinationen der Schlüsselzuordnung systematisch auflisten? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, drei Gegenstände auf drei Plätze zu verteilen? - Überlege dir für jedes Ereignis, wie viele der aufgelisteten Kombinationen die Bedingung erfüllen. - Was bedeutet es für den dritten Schlüssel, wenn bereits zwei Schlüssel ihren Schlössern fest zugeordnet sind?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten: Es gibt \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) verschiedene Arten, die drei Schlüssel auf die drei Schlösser zu verteilen. 2. Ereignis a): Es gibt nur eine einzige Kombination, bei der alle drei Schlüssel korrekt zugeordnet sind. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(a) = \frac{1}{6}\). 3. Ereignis b): Wir untersuchen die Fälle, in denen kein Schlüssel passt. Bezeichnen wir die richtigen Zuordnungen mit \((1, 2, 3)\), so sind die Fehlbesetzungen ohne Treffer \((2, 3, 1)\) und \((3, 1, 2)\). Dies sind \(2\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(b) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 4. Ereignis c): Wir suchen die Fälle mit genau einem Treffer. Dies sind \((1, 3, 2)\), \((3, 2, 1)\) und \((2, 1, 3)\). Dies sind \(3\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(c) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

a) \(P(\text{alle richtig}) = \frac{1}{6}\) b) \(P(\text{keiner richtig}) = \frac{1}{3}\) c) \(P(\text{genau einer richtig}) = \frac{1}{2}\)

- Hilft dir ein Baumdiagramm, um die verschiedenen Pfade der Ziehung darzustellen? - Wie viele Socken sind nach dem ersten Zug noch in der Schublade? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für „verschiedene Farben“ direkt aus der Wahrscheinlichkeit für „gleiche Farbe“ berechnen? - Beachte, dass die Socken nicht zurückgelegt werden.

1. Berechnung der Gesamtmöglichkeiten: Beim ersten Zug gibt es \(8\) Socken, beim zweiten noch \(7\). Insgesamt gibt es \(8 \cdot 7 = 56\) mögliche Ziehungsfolgen. 2. Ereignis a): Für zwei schwarze Socken gibt es beim ersten Zug \(4\) Möglichkeiten und beim zweiten Zug \(3\) Möglichkeiten. Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(4 \cdot 3 = 12\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{zwei schwarze}) = \frac{12}{56} = \frac{3}{14}\). 3. Ereignis b): Für zwei weiße Socken gibt es ebenfalls \(4 \cdot 3 = 12\) Möglichkeiten. Die Gesamtzahl für „gleiche Farbe“ ist \(12 + 12 = 24\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{24}{56} = \frac{3}{7}\). 4. Ereignis c): Unterschiedliche Farben bedeutet entweder schwarz-weiß (\(4 \cdot 4 = 16\)) oder weiß-schwarz (\(4 \cdot 4 = 16\)). Gesamtzahl: \(16 + 16 = 32\). Alternativ über das Gegenereignis: \(1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{verschiedene Farben}) = \frac{4}{7}\).

a) \(P(\text{zwei schwarze}) = \frac{3}{14}\) b) \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{3}{7}\) c) \(P(\text{verschiedene Farben}) = \frac{4}{7}\)

- Zähle zuerst alle möglichen Sitzordnungen schrittweise. - Für a) kannst du zuerst einen Randplatz für Anna festlegen und dann die übrigen Personen anordnen. - Für b) überlege, welche benachbarten Platzpaare es gibt und in welcher Reihenfolge Anna und Ben darin sitzen können.

1. Insgesamt gibt es \(4\cdot3\cdot2\cdot1=24\) gleich wahrscheinliche Sitzordnungen. 2. Bei a) hat Anna \(2\) mögliche Randplätze. Für die drei übrigen Personen gibt es danach \(3\cdot2\cdot1=6\) Anordnungen. Das sind \(12\) günstige Sitzordnungen und damit \(P=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\). 3. Bei b) gibt es \(3\) benachbarte Platzpaare für Anna und Ben und für jedes Paar \(2\) Reihenfolgen der beiden. Clara und David können die übrigen Plätze in \(2\) Reihenfolgen besetzen. Das sind \(3\cdot2\cdot2=12\) günstige Sitzordnungen und damit \(P=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\). 4. Bei c) ist genau eine Sitzordnung günstig. Daher ist \(P=\frac{1}{24}\).

a) \(\frac{1}{2}\) b) \(\frac{1}{2}\) c) \(\frac{1}{24}\)

- Überlege zuerst, wie viele Jetons einer Farbe im Behälter sein müssen, wenn du die Gesamtzahl und die anderen Farben kennst. - „Nicht blau“ bedeutet, dass der Jeton eine der anderen vorhandenen Farben hat. - Wenn Jetons entfernt werden, ändert sich nicht nur die Anzahl dieser Farbe, sondern auch die Gesamtzahl aller Jetons im Behälter. - Kannst du eine kleine Gleichung aufstellen, um die neue Gesamtzahl zu finden?

1. Berechnung der Anzahl grüner Jetons: \(40 - 15 - 10 = 15\). 2. Lösung zu a): Die Wahrscheinlichkeit für Grün ist \(P(\text{Grün}) = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}\). 3. Lösung zu b): Es gibt \(15 + 15 = 30\) Jetons, die nicht blau sind. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{nicht Blau}) = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}\). 4. Lösung zu c): Sei \(x\) die Anzahl der entfernten roten Jetons. Die neue Gesamtzahl der Jetons ist \(40 - x\). Die Anzahl der blauen Jetons bleibt 10. Es gilt die Gleichung \(\frac{10}{40 - x} = \frac{1}{3}\). Durch Überkreuzmultiplizieren erhält man \(30 = 40 - x\). Daraus folgt \(x = 10\). Es wurden also 10 rote Jetons entfernt.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{3}{8}\) (oder \(37{,}5\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{3}{4}\) (oder \(75\,\%\)). c) Es wurden 10 rote Jetons entfernt.

- Zähle zunächst, wie viele gerade Zahlen zwischen \(1\) und \(20\) liegen. - Betrachte vollständige geordnete Dreierziehungen als Ergebnisse. - Da nicht zurückgelegt wird, nimmt die Zahl der verfügbaren Kärtchen nach jeder Ziehung ab.

1. Für drei geordnete Ziehungen ohne Zurücklegen gibt es insgesamt \(20\cdot19\cdot18=6840\) gleich wahrscheinliche Kärtchentripel. 2. Unter den Zahlen \(1\) bis \(20\) sind \(10\) gerade. Für drei gerade Kärtchen gibt es daher \(10\cdot9\cdot8=720\) günstige geordnete Tripel. 3. Die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{720}{6840}=\frac{2}{19}\approx10{,}5\,\%\).

\(\frac{2}{19}\approx10{,}5\,\%\)

- Lies zuerst aus der Abbildung ab, wie viele der gleich großen Sektoren zu R, B und G gehören. - Für eine feste Farbreihenfolge kannst du die passenden Sektormöglichkeiten in den drei Stufen zählen. - Bei „mindestens einmal G“ ist es hilfreich, zunächst alle Folgen ohne G zu betrachten.

1. Bei drei Drehungen gibt es \(5^3=125\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektortripel. 2. Für G-G-G gibt es nur \(1^3=1\) günstiges Sektortripel. Daher ist \(P=\frac{1}{125}=0{,}8\,\%\). 3. Für R-B-R stehen \(2\), \(2\) und \(2\) passende Sektoren zur Verfügung. Das sind \(2\cdot2\cdot2=8\) günstige Tripel. Daher ist \(P=\frac{8}{125}=6{,}4\,\%\). 4. Ohne G stehen bei jeder Drehung \(4\) Sektoren zur Verfügung. Es gibt \(4^3=64\) Tripel ohne G. Daher ist \(P(\text{mindestens einmal G})=1-\frac{64}{125}=\frac{61}{125}=48{,}8\,\%\).

a) \(\frac{1}{125}=0{,}8\,\%\) b) \(\frac{8}{125}=6{,}4\,\%\) c) \(\frac{61}{125}=48{,}8\,\%\)

- Zähle zuerst alle vierstelligen Codes. - Wenn eine Stelle falsch sein soll, gibt es dort neun mögliche Ziffern. - Für „mindestens eine Stelle richtig“ ist das Gegenereignis „keine Stelle richtig“ leichter zu zählen.

1. Insgesamt gibt es \(10^4=10\,000\) gleich wahrscheinliche Codes. 2. In a) ist genau ein Code richtig. Daher ist \(P=\frac{1}{10000}=0{,}0001=0{,}01\,\%\). 3. In b) ist die erste Stelle fest richtig. Für jede der drei übrigen Stellen gibt es \(9\) falsche Ziffern. Das ergibt \(9^3=729\) günstige Codes und \(P=\frac{729}{10000}=0{,}0729=7{,}29\,\%\). 4. Für das Gegenereignis „keine Stelle ist richtig“ gibt es \(9^4=6561\) Codes. Daher ist \(P(\text{mindestens eine richtig})=1-\frac{6561}{10000}=\frac{3439}{10000}=34{,}39\,\%\).

a) \(0{,}01\,\%\) b) \(7{,}29\,\%\) c) \(34{,}39\,\%\)

- Lies aus der Abbildung ab, wie viele Sektoren bei einer Drehung Gewinn und wie viele Niete bedeuten. - Für b) suche ein Gegenereignis, das sich als einzige feste Ergebnisfolge beschreiben lässt. - Übersetze „erster Gewinn beim dritten Drehen“ in eine eindeutige Folge aus G und N, bevor du konkrete Sektorfolgen zählst.

1. Bei drei Drehungen gibt es \(10^3=1000\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektortripel. 2. Für G-G-G sind bei jeder Drehung \(2\) Sektoren günstig. Es gibt \(2^3=8\) günstige Tripel, also \(P(\text{G-G-G})=\frac{8}{1000}=0{,}008=0{,}8\,\%\). 3. Das Gegenereignis zu „mindestens einmal N“ ist G-G-G. Daher gilt \(P(\text{mindestens einmal N})=1-0{,}008=0{,}992=99{,}2\,\%\). 4. „Erster Gewinn beim dritten Drehen“ bedeutet N-N-G. Dafür gibt es \(8\cdot8\cdot2=128\) günstige Tripel. Somit ist \(P=\frac{128}{1000}=0{,}128=12{,}8\,\%\).

a) \(0{,}008=0{,}8\,\%\) b) \(0{,}992=99{,}2\,\%\) c) \(0{,}128=12{,}8\,\%\)

- Zähle alle vierstelligen Wurffolgen mit dem Zählprinzip. - Für „mindestens eine \(6\)“ ist das Gegenereignis „keine \(6\)“ leichter zu zählen. - Für „genau eine \(6\)“ musst du zusätzlich berücksichtigen, an welcher der vier Positionen die \(6\) steht.

1. Insgesamt gibt es \(6^4=1296\) gleich wahrscheinliche Wurffolgen. 2. Ohne eine \(6\) gibt es \(5^4=625\) Folgen. Daher gehören zu \(E\) genau \(1296-625=671\) Folgen und \(P(E)=\frac{671}{1296}\approx51{,}77\,\%\). 3. Für genau eine \(6\) kann deren Position auf \(4\) Arten gewählt werden. An den drei übrigen Positionen sind jeweils \(5\) andere Augenzahlen möglich. Somit gibt es \(4\cdot5^3=500\) günstige Folgen und \(P(F)=\frac{500}{1296}\approx38{,}58\,\%\). 4. Da \(671>500\), ist \(E\) wahrscheinlicher. Außerdem enthält \(E\) neben allen Folgen aus \(F\) auch Folgen mit zwei, drei oder vier Sechsen.

\(P(E)=\frac{671}{1296}\approx51{,}77\,\%\) \(P(F)=\frac{500}{1296}\approx38{,}58\,\%\) \(E\) ist wahrscheinlicher.

- Zähle geordnete Paare verschiedener Personen; dann sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. - Bei b) gibt es zwei mögliche Geschlechterreihenfolgen. - Bei c) zählen Mädchen-Mädchen und Jungen-Jungen als zwei getrennte günstige Gruppen.

1. Als geordnete Auswahl zweier verschiedener Personen gibt es \(20\cdot19=380\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse. 2. Für zwei Jungen gibt es \(8\cdot7=56\) geordnete Paare. Daher ist \(P=\frac{56}{380}=\frac{14}{95}\approx14{,}7\,\%\). 3. Für genau ein Mädchen und einen Jungen gibt es \(12\cdot8\) Paare in der Reihenfolge Mädchen-Junge und \(8\cdot12\) in der Reihenfolge Junge-Mädchen. Das sind \(192\) günstige Paare. Daher ist \(P=\frac{192}{380}=\frac{48}{95}\approx50{,}5\,\%\). 4. Für gleiches Geschlecht gibt es \(12\cdot11=132\) Mädchen-Mädchen-Paare und \(8\cdot7=56\) Jungen-Jungen-Paare. Insgesamt sind \(188\) Paare günstig. Daher ist \(P=\frac{188}{380}=\frac{47}{95}\approx49{,}5\,\%\).

a) \(\frac{14}{95}\approx14{,}7\,\%\) b) \(\frac{48}{95}\approx50{,}5\,\%\) c) \(\frac{47}{95}\approx49{,}5\,\%\)

- Bestimme zuerst, wie oft die einzelnen Buchstaben auf den neun Kärtchen vorkommen. - Zähle geordnete Paare konkreter Kärtchen ohne Zurücklegen. - Für „mindestens ein I“ kannst du zuerst die Paare ohne I zählen.

1. In STATISTIK kommt S zweimal, T dreimal, A einmal, I zweimal und K einmal vor. Für zwei geordnete Ziehungen gibt es \(9\cdot8=72\) gleich wahrscheinliche Paare konkreter Kärtchen. 2. Für T-T gibt es \(3\cdot2=6\) günstige Paare. Daher ist \(P=\frac{6}{72}=\frac{1}{12}\approx8{,}3\,\%\). 3. Es gibt \(7\) Kärtchen ohne S. Für zwei davon gibt es \(7\cdot6=42\) günstige Paare. Daher ist \(P(\text{kein S})=\frac{42}{72}=\frac{7}{12}\approx58{,}3\,\%\). 4. Es gibt ebenfalls \(7\) Kärtchen ohne I. Das Gegenereignis „kein I“ hat daher die Wahrscheinlichkeit \(\frac{42}{72}=\frac{7}{12}\). Somit ist \(P(\text{mindestens ein I})=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}\approx41{,}7\,\%\).

a) \(\frac{1}{12}\approx8{,}3\,\%\) b) \(\frac{7}{12}\approx58{,}3\,\%\) c) \(\frac{5}{12}\approx41{,}7\,\%\)

- Bestimme für beide Experimente die Beutelzusammensetzung nach den drei roten Ziehungen. - Beim Zurücklegen wird die gezogene Kugel vor dem nächsten Zug wieder ergänzt. - Vergleiche jeweils die Zahl der blauen Kugeln mit der dann vorhandenen Gesamtzahl.

1. Bei Experiment A wird jede gezogene Kugel zurückgelegt. Nach den drei roten Ziehungen liegen deshalb weiterhin \(5\) rote und \(5\) blaue Kugeln im Beutel. Die Wahrscheinlichkeit für Blau im nächsten Zug ist \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\). 2. Bei Experiment B wurden drei rote Kugeln entfernt. Es liegen noch \(2\) rote und \(5\) blaue Kugeln im Beutel, insgesamt also \(7\). 3. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für Blau im nächsten Zug bei Experiment B \(\frac{5}{7}\approx71{,}4\,\%\). 4. Der Unterschied entsteht allein dadurch, dass sich beim Ziehen ohne Zurücklegen die Zusammensetzung des Beutels verändert, beim Ziehen mit Zurücklegen aber nicht.

Experiment A: \(\frac{1}{2}=50\,\%\) Experiment B: \(\frac{5}{7}\approx71{,}4\,\%\) Ohne Zurücklegen sind nach drei roten Ziehungen anteilig mehr blaue Kugeln im Beutel.

- Berechne für beide Höhlen separat, wie viele verschiedene Wege insgesamt möglich sind. - Nutze das Produkt der Möglichkeiten an den einzelnen Abzweigungen. - Vergleiche am Ende die beiden Wahrscheinlichkeiten: Welcher Bruch stellt einen größeren Anteil dar?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Pfade für Höhle A: Es gibt zwei Stufen mit je \(5\) Optionen, also \(5 \cdot 5 = 25\) mögliche Pfade. Die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg ist \(P(A) = \frac{1}{25}\). 2. Berechnung der Gesamtzahl der Pfade für Höhle B: Es gibt drei Stufen mit je \(3\) Optionen, also \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) mögliche Pfade. Die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg ist \(P(B) = \frac{1}{27}\). 3. Vergleich der Brüche: Da \(25 < 27\), ist der Bruch \(\frac{1}{25}\) größer als \(\frac{1}{27}\) (\(0{,}04 > 0{,}037\)). 4. Schlussfolgerung: In Höhle A ist die Wahrscheinlichkeit größer.

In Höhle A ist die Wahrscheinlichkeit mit \(\frac{1}{25}\) größer als in Höhle B mit \(\frac{1}{27}\).

- Erstelle dir eine Liste aller möglichen Ergebnisse von 1 bis 12. - Achte bei der „oder“-Bedingung darauf, Zahlen nicht doppelt zu zählen, wenn sie beide Bedingungen erfüllen. - Überlege bei Teilaufgabe c), wie viele der 12 Felder genau gewonnen werden müssen, um auf die Zielwahrscheinlichkeit zu kommen.

1. Der Würfel hat \(12\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse. 2. Ereignis a): Primzahlen zwischen \(1\) und \(12\) sind \(2, 3, 5, 7, 11\). Das sind \(5\) günstige Ergebnisse. \(P(\text{Primzahl}) = \frac{5}{12}\). 3. Ereignis b): Durch \(3\) teilbar sind \(\{3, 6, 9, 12\}\). Durch \(4\) teilbar sind \(\{4, 8, 12\}\). Die Menge der günstigen Ergebnisse (Oder-Verknüpfung) ist \(\{3, 4, 6, 8, 9, 12\}\). Das sind \(6\) Zahlen. \(P(\text{durch 3 oder 4}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 4. Ereignis c): Für eine Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{3}\) bei \(12\) Möglichkeiten werden \(12 \cdot \frac{1}{3} = 4\) günstige Ergebnisse benötigt. Die aktuelle Regel „größer als 9“ umfasst die Zahlen \(\{10, 11, 12\}\) (also \(3\) Zahlen). Um auf \(4\) Zahlen zu kommen, kann man die Grenze senken: „Die Zahl ist größer als \(8\)“. Dann sind \(\{9, 10, 11, 12\}\) günstig.

a) \(P = \frac{5}{12}\) b) \(P = 0{,}5\) c) Mögliche Regel: „Die Zahl ist größer als \(8\)“ (oder: „Die Zahl ist kleiner als \(5\)“).

- Erstelle eine Liste der Zahlen von 1 bis 20 und ordne jede Zahl einer Klasse zu. - Beachte, dass die Zahl 1 weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl ist. - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl „zusammengesetzt“ ist? - Stelle sicher, dass jede Zahl in genau einer Kategorie landet.

1. Bestimmung der Gesamtzahl: Es gibt 20 Kugeln, also \(n = 20\). 2. Bestimmung der günstigen Ergebnisse für Klasse \(A\) (Primzahlen bis 20): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Das sind 8 Zahlen. \(P(A) = \frac{8}{20} = 0{,}4\). 3. Bestimmung der günstigen Ergebnisse für Klasse \(B\) (zusammengesetzt und durch 4 teilbar): Die Vielfachen von 4 sind 4, 8, 12, 16, 20. Da alle diese Zahlen mehr als zwei Teiler haben, gehören alle 5 zur Klasse \(B\). \(P(B) = \frac{5}{20} = 0{,}25\). 4. Bestimmung der günstigen Ergebnisse für Klasse \(C\): Dies sind die restlichen Zahlen (1, 6, 9, 10, 14, 15, 18). Es sind \(20 - 8 - 5 = 7\) Zahlen. \(P(C) = \frac{7}{20} = 0{,}35\). 5. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist somit \(P(A) = 0{,}4\); \(P(B) = 0{,}25\); \(P(C) = 0{,}35\).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet: \(P(A) = 0{,}4\) \(P(B) = 0{,}25\) \(P(C) = 0{,}35\)

- „Verschiedene Buchstaben“ bedeutet, dass jeder Buchstabe nur einmal zählt, auch wenn er im Wort mehrfach vorkommt. - Ordne die verschiedenen Buchstaben zuerst nach Vokalen und Konsonanten. - Prüfe bei den Konsonanten anschließend, welche davon auch im Wort „ZINS“ vorkommen; alle übrigen gehören zur dritten Farbe.

1. Die verschiedenen Buchstaben in „PROZENTSATZ“ sind P, R, O, Z, E, N, T, S und A. Es gibt also \(9\) Steine. 2. Rot sind die Vokale O, E und A. Daher gilt \(P(\text{Rot})=\frac39=\frac13\). 3. Blau sind die Konsonanten Z, N und S, die auch in „ZINS“ vorkommen. Daher gilt \(P(\text{Blau})=\frac39=\frac13\). 4. Grün bleiben P, R und T. Daher gilt \(P(\text{Grün})=\frac39=\frac13\).

\(P(\text{Rot})=\frac13\), \(P(\text{Blau})=\frac13\), \(P(\text{Grün})=\frac13\)

- Manchmal ist es einfacher zu zählen, wie viele Zahlen keine „5“ enthalten, und dies von der Gesamtzahl abzuziehen. - Wie verändert sich die Anzahl der verfügbaren Karten im zweiten Schritt, wenn du die Karte nicht zurücklegst? - Vergleiche die Brüche, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst oder in Dezimalzahlen umwandelst.

1. Teilaufgabe a (mit Zurücklegen): Gesamtzahl der Zahlen ist \(5 \cdot 5 = 25\). Die Anzahl der Zahlen ohne eine „5“ ist \(4 \cdot 4 = 16\). Die Anzahl der Zahlen mit mindestens einer „5“ ist \(25 - 16 = 9\) (oder Aufzählung: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{9}{25} = 0{,}36\). 2. Teilaufgabe b (ohne Zurücklegen): Gesamtzahl der Zahlen ist \(5 \cdot 4 = 20\). Die Anzahl der Zahlen ohne eine „5“ ist \(4 \cdot 3 = 12\). Die Anzahl der Zahlen mit mindestens einer „5“ ist \(20 - 12 = 8\) (Aufzählung wie oben, aber ohne 55). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 3. Vergleich: Die Wahrscheinlichkeit in b) ist höher (\(0{,}40 > 0{,}36\)). Dies liegt daran, dass beim Ziehen ohne Zurücklegen die Gesamtzahl der Möglichkeiten stärker abnimmt als die Anzahl der günstigen Möglichkeiten, da im zweiten Schritt die Chance auf die „5“ steigt, wenn sie im ersten Schritt nicht gezogen wurde.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}36\) (oder \(36\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}4\) (oder \(40\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit ist im Fall b) höher, da durch das fehlende Zurücklegen die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen stärker sinkt als die Anzahl der Kombinationen mit einer „5“.

- Zähle die gleich wahrscheinlichen geordneten Tripel einzelner Gummibärchen. - Zähle die günstigen Tripel für Rot, Gelb und Grün getrennt. - Addiere die günstigen Anzahlen, bevor du durch die Gesamtzahl der Ergebnisse teilst.

1. Wegen des Zurücklegens gibt es \(20^3=8000\) gleich wahrscheinliche geordnete Tripel einzelner Gummibärchen. 2. Für drei rote Gummibärchen sind \(10^3=1000\) Tripel günstig, für drei gelbe \(6^3=216\) und für drei grüne \(4^3=64\). 3. Insgesamt sind \(1000+216+64=1280\) Tripel günstig. Daher gilt \(P=\frac{1280}{8000}=\frac{4}{25}=0{,}16\).

\(\frac{4}{25}=0{,}16=16\,\%\)

- Gehe die Zahlen von 1 bis 25 systematisch durch, um keine zu vergessen. - Achte bei Ereignis B darauf, dass auch Zahlen wie 20 oder 22 die Bedingung erfüllen. - Vergleiche die Anzahl der günstigen Ergebnisse für beide Fälle.

1. Die Gesamtzahl der Lose beträgt 25. 2. Für Ereignis A (durch 4 teilbar) sind die günstigen Zahlen: \(4, 8, 12, 16, 20, 24\). Das sind 6 Ergebnisse. 3. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(A) = \frac{6}{25} = 0{,}24 = 24\,\%\). 4. Für Ereignis B (enthält Ziffer „2“) sind die günstigen Zahlen: \(2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25\). Das sind 8 Ergebnisse. 5. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(B) = \frac{8}{25} = 0{,}32 = 32\,\%\). 6. Da \(0{,}32 > 0{,}24\), ist Ereignis B wahrscheinlicher.

Ereignis B ist wahrscheinlicher. Die Wahrscheinlichkeit für A beträgt \(24\,\%\) und für B \(32\,\%\).

- Lies die möglichen Zahlen direkt aus dem Glücksrad ab und bestimme getrennt die Gewinnmenge von Tim und Sarah. - „Fair“ bedeutet hier, dass beide Gewinnereignisse gleich wahrscheinlich sind. - Für b) suchst du die Zahlen, die beide Gewinnbedingungen gleichzeitig erfüllen.

1. Das Glücksrad hat \(8\) gleich große Felder mit den Zahlen \(1\) bis \(8\). 2. Für Tim sind die Primzahlen \(\{2,3,5,7\}\) günstig. Daher gilt \(P(\text{Tim})=\frac48=\frac12=50\,\%\). 3. Für Sarah sind \(\{5,6,7,8\}\) günstig. Daher gilt \(P(\text{Sarah})=\frac48=\frac12=50\,\%\). Das Spiel ist bezüglich der Gewinnchancen fair. 4. Beide gewinnen gleichzeitig bei den Zahlen \(5\) und \(7\). Somit gilt \(P(\text{beide})=\frac28=\frac14=25\,\%\).

a) Ja. Beide haben die Gewinnwahrscheinlichkeit \(50\,\%\). b) \(\frac14=25\,\%\)

- Berechne zuerst für beide Klassen den Anteil der Gewinne an der Gesamtzahl der Lose. - Wie kannst du Brüche mit unterschiedlichen Nennern am besten vergleichen? - In Teil b) soll die Wahrscheinlichkeit der Klasse 8b auf den Wert der Klasse 8a sinken. Wie verändert sich dabei die Gesamtzahl der Lose, wenn die Anzahl der Gewinne gleich bleibt?

1. Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit für Klasse 8a: \(P(8a) = \frac{30}{120} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit für Klasse 8b: \(P(8b) = \frac{40}{150} = \frac{4}{15} \approx 0{,}267\). 3. Vergleich: Da \(0{,}267 > 0{,}25\), ist die Gewinnwahrscheinlichkeit in Klasse 8b höher. 4. Zielbedingung für Teil b): Die Wahrscheinlichkeit in 8b soll \(0{,}25\) betragen. Sei \(x\) die neue Gesamtzahl der Lose bei gleichbleibenden 40 Gewinnen: \(\frac{40}{x} = 0{,}25\). 5. Berechnung der neuen Gesamtzahl: \(x = \frac{40}{0{,}25} = 160\). 6. Ermittlung der zusätzlichen Nieten: \(160 - 150 = 10\).

a) In Klasse 8b ist die Gewinnwahrscheinlichkeit mit ca. \(26{,}7\,\%\) höher als in Klasse 8a (\(25\,\%\)). b) Es müssten 10 zusätzliche Nieten hinzugefügt werden.

- Bestimme zuerst, wie viele verschiedene T-Shirts es insgesamt im Laden gibt. - Wie viele dieser T-Shirts erfüllen genau die im Aufgabentext genannten Bedingungen? - Nutze die Formel für die Laplace-Wahrscheinlichkeit: Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.

1. Gesamtanzahl der Varianten berechnen: \(4 \text{ Farben} \cdot 3 \text{ Größen} \cdot 2 \text{ Schnitte} = 24\) Varianten. 2. Wahrscheinlichkeit für ein rotes T-Shirt in Größe L: Es gibt 2 günstige Varianten (Rot-L-V-Ausschnitt und Rot-L-Rundhals). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}\). 3. Wahrscheinlichkeit für einen Rundhals-Ausschnitt: Es gibt \(4 \cdot 3 \cdot 1 = 12\) günstige Varianten. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 50\,\%\).

a) Es gibt insgesamt \(24\) Varianten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{12} \approx 8{,}3\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{2} = 50\,\%\).

- Zerlege das Los in seine Bestandteile: Farbe, 1. Ziffer, 2. Ziffer, 3. Ziffer. - Wie viele Möglichkeiten hast du für jede Stelle? - Was muss für die letzten beiden Ziffern gelten, damit es ein „Super-Los“ ist?

1. Gesamtanzahl der Lose: \(2 \text{ Farben} \cdot 3 \text{ Möglichkeiten für Ziffer 1} \cdot 10 \text{ Möglichkeiten für Ziffer 2} \cdot 10 \text{ Möglichkeiten für Ziffer 3} = 2 \cdot 3 \cdot 10 \cdot 10 = 600\). 2. Anzahl der Super-Lose: Die Farbe (2) und die erste Ziffer (3) sind frei wählbar. Für das Paar aus zweiter und dritter Ziffer gibt es 10 Möglichkeiten (\(00, 11, \dots, 99\)). Also \(2 \cdot 3 \cdot 10 = 60\) Super-Lose. 3. Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P(\text{Super-Los}) = \frac{60}{600} = \frac{1}{10} = 10\,\%\).

Es gibt insgesamt \(600\) verschiedene Lose. Davon sind \(60\) Stück „Super-Lose“. Die Wahrscheinlichkeit, ein solches zu ziehen, liegt bei \(10\,\%\).

- Wie viele geordnete Auswahlen von drei verschiedenen Personen sind insgesamt möglich? - Für genau zwei Frauen kann der Mann an drei verschiedenen Positionen stehen. - Welches Gegenereignis zu (3) wurde bereits in (1) gezählt?

1. Insgesamt gibt es \(10\cdot9\cdot8=720\) gleich wahrscheinliche geordnete Auswahlen. 2. Für (1) sind \(4\cdot3\cdot2=24\) Auswahlen günstig. Daher gilt \(P=\frac{24}{720}=\frac{1}{30}\). 3. Für (2) kann die Position des einen Mannes auf \(3\) Arten gewählt werden. Die beiden Frauen können geordnet auf \(6\cdot5\) Arten und der Mann auf \(4\) Arten gewählt werden. Damit sind \(3\cdot6\cdot5\cdot4=360\) Auswahlen günstig und \(P=\frac{360}{720}=\frac{1}{2}\). 4. Für (3) ist das Gegenereignis „nur Männer“. Daher gilt \(P=1-\frac{1}{30}=\frac{29}{30}\).

(1) \(\frac{1}{30}\approx3{,}3\,\%\) (2) \(\frac{1}{2}=50\,\%\) (3) \(\frac{29}{30}\approx96{,}7\,\%\)

- Zähle geordnete Auswahlen einzelner Früchte, nicht nur Farbfolgen. - Für b) ist das Gegenereignis „drei Äpfel“ einfacher zu zählen. - Welche Gesamtzahl und welche Apfelzahl gelten zu Beginn von c)?

1. Für drei Ziehungen gibt es \(15\cdot14\cdot13=2730\) gleich wahrscheinliche geordnete Auswahlen. Für Birne–Apfel–Birne sind \(6\cdot9\cdot5=270\) Auswahlen günstig. Daher gilt in a) \(P=\frac{270}{2730}=\frac{9}{91}\). 2. Für b) ist das Gegenereignis „drei Äpfel“. Dafür sind \(9\cdot8\cdot7=504\) Auswahlen günstig. Somit gilt \(P=1-\frac{504}{2730}=\frac{53}{65}\). 3. Nach dem bereits gezogenen Apfel bleiben \(14\) Früchte, darunter \(8\) Äpfel. Für die zwei weiteren Ziehungen gibt es \(14\cdot13=182\) geordnete Auswahlen, davon \(8\cdot7=56\) mit zwei Äpfeln. Daher gilt in c) \(P=\frac{56}{182}=\frac{4}{13}\).

a) \(\frac{9}{91}\) b) \(\frac{53}{65}\) c) \(\frac{4}{13}\)

- Zähle zuerst die geordneten Möglichkeiten für die erste und zweite Socke. - Für „gleiche Farbe“ kannst du die günstigen grauen und blauen Paare getrennt zählen. - Welches Gegenereignis zu „mindestens eine blaue Socke“ hat nur eine Farbart?

1. Für die erste Socke gibt es \(10\) und für die zweite noch \(9\) Möglichkeiten. Insgesamt gibt es \(10\cdot9=90\) gleich wahrscheinliche geordnete Paare. 2. Für zwei graue Socken gibt es \(6\cdot5=30\) günstige Paare, für zwei blaue \(4\cdot3=12\). Damit sind \(42\) Paare günstig und \(P(\text{gleiche Farbe})=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}\). 3. Das Gegenereignis zu „mindestens eine blaue Socke“ ist „zwei graue Socken“. Dafür sind \(30\) der \(90\) Paare günstig. Somit gilt \(P(\text{mindestens eine blau})=1-\frac{30}{90}=\frac{2}{3}\).

a) \(90\) geordnete Paare. b) \(\frac{7}{15}\approx46{,}7\,\%\) c) \(\frac{2}{3}\approx66{,}7\,\%\)

- Welche Bedingungen gelten bei jedem Ereignis für die erste, zweite und dritte Stelle? - Wie viele gleich wahrscheinliche Tripel sind bei drei Drehungen insgesamt möglich? - Welche Ergebnisse erfüllen jeweils die geforderte Bedingung?

1. Für \(A\) muss die erste Zahl \(1\) sein, während die zweite und dritte Zahl jeweils \(2\) oder \(3\) sind. Daher gilt \(A=\{(1,2,2),(1,2,3),(1,3,2),(1,3,3)\}\). 2. Für \(B\) dürfen die ersten beiden Zahlen nicht \(1\) sein, die dritte Zahl ist \(1\). Daher gilt \(B=\{(2,2,1),(2,3,1),(3,2,1),(3,3,1)\}\). 3. Für \(C\) ist die dritte Stelle fest, die ersten beiden Stellen haben jeweils drei Möglichkeiten. Es gibt also \(3\cdot3=9\) Ergebnisse. Für \(D\) hat die dritte Stelle zwei Möglichkeiten, also gibt es \(3\cdot3\cdot2=18\) Ergebnisse. 4. Insgesamt gibt es \(3^3=27\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Damit gilt \(P(A)=\frac{4}{27}\), \(P(B)=\frac{4}{27}\), \(P(C)=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\) und \(P(D)=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}\).

a) \(A=\{(1,2,2),(1,2,3),(1,3,2),(1,3,3)\}\); \(B=\{(2,2,1),(2,3,1),(3,2,1),(3,3,1)\}\) b) \(C\): \(9\) Ergebnisse; \(D\): \(18\) Ergebnisse c) \(P(A)=\frac{4}{27}\); \(P(B)=\frac{4}{27}\); \(P(C)=\frac{1}{3}\); \(P(D)=\frac{2}{3}\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Tripel einzelner Kugeln entstehen durch das Zurücklegen? - Bei genau zwei blauen Kugeln kann die rote Kugel an drei Positionen stehen. - Für „mindestens eine rote Kugel“ ist das Gegenereignis kürzer zu zählen.

1. Wegen des Zurücklegens gibt es insgesamt \(5^3=125\) gleich wahrscheinliche geordnete Kugeltripel. 2. Für a) kann in jeder Position eine von \(2\) roten Kugeln auftreten. Damit sind \(2^3=8\) Tripel günstig und \(P=\frac{8}{125}\). 3. Für b) wird die Position der einen roten Kugel auf \(3\) Arten gewählt. Für die beiden blauen Positionen gibt es jeweils \(3\) Möglichkeiten und für die rote \(2\). Damit sind \(3\cdot3^2\cdot2=54\) Tripel günstig und \(P=\frac{54}{125}\). 4. Für c) ist das Gegenereignis „drei blaue Kugeln“. Dafür gibt es \(3^3=27\) Tripel. Somit gilt \(P=1-\frac{27}{125}=\frac{98}{125}\).

a) \(\frac{8}{125}=6{,}4\,\%\) b) \(\frac{54}{125}=43{,}2\,\%\) c) \(\frac{98}{125}=78{,}4\,\%\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Zahlenpaare sind bei zwei Ziehungen mit Zurücklegen möglich? - Welche Zahlenpaare erfüllen jeweils die Bedingung des Ereignisses? - Arbeite bei jeder Teilaufgabe systematisch, damit kein günstiger Fall fehlt oder doppelt gezählt wird.

1. Bei zwei Ziehungen mit Zurücklegen gibt es \(4\cdot4=16\) gleich wahrscheinliche geordnete Ergebnisse. 2. Für a) sind \((1,4)\), \((2,3)\), \((3,2)\) und \((4,1)\) günstig. Daher gilt \(P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0{,}25\). 3. Für b) sind \((1,1)\), \((1,4)\), \((2,2)\), \((3,3)\), \((4,1)\) und \((4,4)\) günstig. Daher gilt \(P=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}=0{,}375\). 4. Für c) sind \((2,1)\), \((3,1)\), \((3,2)\), \((4,1)\), \((4,2)\) und \((4,3)\) günstig. Daher gilt \(P=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}=0{,}375\).

a) \(\frac{1}{4}=0{,}25\) b) \(\frac{3}{8}=0{,}375\) c) \(\frac{3}{8}=0{,}375\)

- Wie viele Möglichkeiten gibt es an jeder Position, solange Wiederholungen erlaubt sind? - Was verändert sich bei jeder weiteren Position, wenn ein Zeichen nicht erneut verwendet werden darf? - Bei c) sind alle erzeugten fünfstelligen Codes gleich wahrscheinlich; du kannst günstige und mögliche Strukturen vergleichen.

1. Insgesamt stehen \(10+8=18\) Zeichen zur Verfügung. 2. Bei Wiederholung gibt es an jeder der fünf Stellen \(18\) Möglichkeiten. Daher sind \(18^5=1\,889\,568\) Codes möglich. 3. Ohne Wiederholung gibt es nacheinander \(18\), \(17\), \(16\), \(15\) und \(14\) Möglichkeiten. Damit erhält man \(18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14=1\,028\,160\) Codes. 4. Für c) sind \(10^5=100\,000\) der \(18^5=1\,889\,568\) gleich wahrscheinlichen Codes günstig. Daher gilt \(P=\frac{100000}{1889568}=\frac{3125}{59049}\approx0{,}05292\).

a) \(1\,889\,568\) Codes b) \(1\,028\,160\) Codes c) \(\frac{3125}{59049}\approx5{,}29\,\%\)

- Welche Auswahlmöglichkeiten bleiben an einer Position übrig, wenn bereits verwendete Ziffern ausgeschlossen sind? - Bei b) ist nur die unmittelbar vorherige Ziffer für die nächste Position gesperrt. - Welche beiden ersten Entscheidungen legen bei einem abwechselnden Code bereits die restlichen Stellen fest?

1. Für a) stehen nacheinander \(6\), \(5\), \(4\) und \(3\) Ziffern zur Verfügung. Daher gibt es \(6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) Codes. 2. Für b) gibt es für die erste Stelle \(6\) Möglichkeiten. An jeder weiteren Stelle sind \(5\) Ziffern zulässig. Somit gibt es \(6\cdot5^3=750\) zulässige Codes. 3. Für c) kann die erste Ziffer auf \(6\) Arten gewählt werden und die zweite auf \(5\) andere Arten. Danach ist das Wechselmuster festgelegt. Es gibt also \(6\cdot5=30\) günstige zulässige Codes. 4. Damit gilt \(P=\frac{30}{750}=\frac{1}{25}=0{,}04\).

a) \(360\) b) \(750\) c) \(\frac{1}{25}=4\,\%\)

- Wie viele Farbentscheidungen gibt es an jeder Position, wenn Wiederholungen erlaubt sind? - Wie verändert sich die Zahl der noch verfügbaren Farben, wenn keine Farbe erneut vorkommen darf? - Welches Gegenereignis zu c) lässt sich durch eine einzige Folge von Auswahlzahlen erfassen?

1. Bei erlaubter Wiederholung gibt es an jeder der fünf Positionen \(12\) Möglichkeiten. Daher sind \(12^5=248\,832\) Muster möglich. 2. Ohne Wiederholung stehen nacheinander \(12\), \(11\), \(10\), \(9\) und \(8\) Farben zur Verfügung. Damit gibt es \(12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8=95\,040\) Muster. 3. Das Gegenereignis zu „mindestens eine Farbe kommt mehrfach vor“ lautet „alle fünf Farben sind verschieden“. 4. Von den \(248\,832\) gleich wahrscheinlichen Mustern haben \(95\,040\) fünf verschiedene Farben. Daher gilt \(P(\text{alle Farben verschieden})=\frac{95040}{248832}=\frac{55}{144}\). Somit ist \(P(\text{mindestens eine Wiederholung})=1-\frac{55}{144}=\frac{89}{144}\approx0{,}6181\).

a) \(248\,832\) b) \(95\,040\) c) \(\frac{89}{144}\approx61{,}81\,\%\)

- Liste für die kleine Zielsumme die geordneten Tripel systematisch auf. - Überlege bei drei verschiedenen Zahlen, wie viele ihrer möglichen Reihenfolgen streng fallend sind. - Bei „größte Zahl höchstens \(4\)“ muss jede der drei Stellen aus derselben Teilmenge stammen.

1. Bei drei Ziehungen gibt es \(10^3=1000\) gleich wahrscheinliche Zahlentripel. Die Summe \(5\) entsteht bei \((1,1,3)\), \((1,3,1)\), \((3,1,1)\), \((1,2,2)\), \((2,1,2)\) und \((2,2,1)\). Daher gilt \(P=\frac{6}{1000}=0{,}006\). 2. Für drei verschiedene Zahlen gibt es \(10\cdot9\cdot8=720\) geordnete Tripel. Zu jeder Auswahl von drei verschiedenen Zahlen gehören sechs Reihenfolgen; genau eine davon ist streng fallend. Daher gibt es \(720:6=120\) günstige Tripel und somit \(P=\frac{120}{1000}=0{,}12\). 3. Die größte Zahl ist höchstens \(4\), wenn bei jeder Ziehung eine Zahl aus \(1\) bis \(4\) erscheint. Es gibt \(4^3=64\) günstige Tripel. Daher gilt \(P=\frac{64}{1000}=0{,}064\).

1. \(P=0{,}006\) 2. \(P=0{,}12\) 3. \(P=0{,}064\)

- Zähle alle gleich großen Sektoren und danach die mit G markierten Sektoren. - Kürze den Bruch aus günstigen durch möglichen Sektoren vollständig. - Für b) bestimme den entsprechenden Anteil von \(150\).

1. Das Glücksrad hat \(12\) gleich große Sektoren. Davon sind \(4\) mit G markiert. 2. Die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn ist \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\). 3. Der Anteil \(\frac{1}{3}\) von \(150\) Drehungen entspricht \(150\cdot\frac{1}{3}=50\) Hauptgewinnen.

a) \(\frac{1}{3}\) b) \(50\) Hauptgewinne

- Zähle die B-markierten Sektoren und alle gleich großen Sektoren. - Für b) kannst du entweder die übrigen Sektoren zählen oder das Gegenereignis nutzen. - In c) wird der in a) bestimmte Anteil auf \(120\) Drehungen übertragen.

1. Es gibt \(3\) blaue Sektoren unter insgesamt \(8\) gleich großen Sektoren. Daher ist \(P(\text{blau})=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\). 2. Das Gegenereignis umfasst die übrigen \(5\) Sektoren. Daher ist \(P(\text{nicht blau})=\frac{5}{8}=62{,}5\,\%\). 3. Der Anteil \(\frac{3}{8}\) von \(120\) entspricht \(120\cdot\frac{3}{8}=45\) Treffern.

a) \(\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\) b) \(\frac{5}{8}=62{,}5\,\%\) c) \(45\) Treffer

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare entstehen insgesamt? - Welche Farben kommen auf beiden Rädern vor? - Welche geordneten Zahlenpaare haben eine Summe von mindestens \(6\)?

1. Glücksrad A hat \(5\) und Glücksrad B \(4\) gleich große Sektoren. Daher gibt es \(5\cdot4=20\) gleich wahrscheinliche geordnete Kombinationen. 2. Für dieselbe Farbe gibt es \(2\cdot1=2\) Rot-Rot-Kombinationen und \(2\cdot2=4\) Blau-Blau-Kombinationen. Damit gilt \(P=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=30\,\%\). 3. Für eine Summe von mindestens \(6\) gibt es zehn günstige Zahlenpaare. Daher gilt \(P=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}=50\,\%\).

a) \(\frac{3}{10}=30\,\%\) b) \(\frac{1}{2}=50\,\%\)

- Schreibe für a) zuerst die roten Zahlen und die Primzahlen getrennt auf. - Vergleiche beide Listen, bevor du die günstigen Felder zählst. - Bei b) müssen Farb- und Zahlbedingung gleichzeitig erfüllt sein.

1. Für A sind die roten Sektoren \(1,5,9,13\). Primzahlen sind \(2,3,5,7,11,13\). Ohne doppelte Zählung sind \(1,2,3,5,7,9,11,13\) günstig, also \(8\) von \(12\). Daher ist \(P(A)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\approx66{,}7\,\%\). 2. Gelb und gerade sind die Sektoren mit \(8\) und \(12\). Daher ist \(P(B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\approx16{,}7\,\%\).

a) \(P(A)=\frac{2}{3}\approx66{,}7\,\%\) b) \(P(B)=\frac{1}{6}\approx16{,}7\,\%\)

- Wie oft kommen die einzelnen Zahlen und Farben auf dem Rad vor? - Welche geordneten Zahlenpaare erfüllen a) beziehungsweise b)? - Wie viele geordnete Sektorenpaare sind insgesamt gleich wahrscheinlich?

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(6\cdot6=36\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Die Zahl \(1\) steht auf zwei, die Zahl \(2\) auf drei und die Zahl \(3\) auf einem Sektor. Daher gilt \(P(\text{zweimal gleiche Zahl})=\frac{2^2+3^2+1^2}{36}=\frac{7}{18}\approx0{,}3889\). 3. Eine Summe größer als \(4\) entsteht durch die Zahlenpaare \((2,3)\), \((3,2)\) und \((3,3)\). Unter Berücksichtigung der Sektorhäufigkeiten gibt es \(3\cdot1+1\cdot3+1\cdot1=7\) günstige Sektorenpaare. Damit gilt \(P=\frac{7}{36}\approx0{,}1944\). 4. Für c) gibt es \(2\cdot2=4\) günstige Sektorenpaare. Daher ist \(P=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\approx0{,}1111\).

a) \(\frac{7}{18}\approx38{,}9\,\%\) b) \(\frac{7}{36}\approx19{,}4\,\%\) c) \(\frac{1}{9}\approx11{,}1\,\%\)

- Lies sowohl die Zahl als auch die kurze Farbmarkierung jedes Sektors. - Bei a) müssen beide Eigenschaften zugleich gelten. - Bei b) genügt mindestens eine der beiden Eigenschaften; zähle gemeinsame Treffer nicht doppelt.

1. Ungerade sind \(1,3,5,7\). Davon liegen \(1\) und \(5\) auf roten Sektoren. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=25\,\%\). 2. Größer als \(4\) sind \(5,6,7,8\). Blau sind \(2\) und \(6\). Ohne doppelte Zählung sind \(2,5,6,7,8\) günstig. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{5}{8}=62{,}5\,\%\).

a) \(\frac{1}{4}=25\,\%\) b) \(\frac{5}{8}=62{,}5\,\%\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare gibt es insgesamt? - Wie viele rote Sektoren besitzt jedes Rad? - Welche Zahlenpaare ergeben die Summe \(6\)?

1. Glücksrad A hat \(4\) und Glücksrad B \(6\) gleich große Sektoren. Daher gibt es \(4\cdot6=24\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Auf A ist ein Sektor rot, auf B sind drei Sektoren rot. Damit sind \(1\cdot3=3\) Sektorenpaare für a) günstig und \(P=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}\). 3. Für b) sind die Zahlenpaare \((1,5)\), \((2,4)\), \((3,3)\) und \((4,2)\) günstig. Sie entsprechen vier gleich wahrscheinlichen Sektorenpaaren. Daher gilt \(P=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}\).

a) \(\frac{1}{8}\) b) \(\frac{1}{6}\)

- Zähle bei jedem Rad die G-markierten und alle Sektoren. - Bilde jeweils den Bruch günstige Sektoren durch alle Sektoren. - Wandle beide Brüche in Prozent um, um sie direkt zu vergleichen.

1. Glücksrad A hat \(10\) gleich große Sektoren, davon \(4\) Gewinnsektoren. Daher ist \(P(\text{Gewinn bei A})=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=40\,\%\). 2. Glücksrad B hat \(8\) gleich große Sektoren, davon \(3\) Gewinnsektoren. Daher ist \(P(\text{Gewinn bei B})=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\). 3. Weil \(40\,\%>37{,}5\,\%\), ist die Gewinnchance bei A größer.

a) A: \(\frac{2}{5}=40\,\%\); B: \(\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\) b) Glücksrad A

- Zähle zuerst alle geordneten Dreierziehungen ohne Zurücklegen. - Für a) entscheidet die Hunderterstelle, ob die Zahl größer als \(700\) sein kann. - Für b) suche zunächst die drei Ziffern mit der passenden Summe und zähle dann ihre möglichen Reihenfolgen. - Für c) genügt ein Blick auf die möglichen Einerziffern.

1. Insgesamt können \(4\cdot3\cdot2=24\) gleich wahrscheinliche dreistellige Zahlen entstehen. 2. Für eine Zahl größer als \(700\) muss die Hunderterstelle \(7\) oder \(9\) sein. Danach gibt es jeweils \(3\cdot2=6\) Möglichkeiten. Somit sind \(12\) Ergebnisse günstig und \(P=\frac{12}{24}=\frac12=50\,\%\). 3. Die Quersumme \(15\) entsteht genau mit den Ziffern \(3,5,7\). Diese drei Ziffern können in \(3\cdot2\cdot1=6\) Reihenfolgen angeordnet werden. Daher ist \(P=\frac{6}{24}=\frac14=25\,\%\). 4. Alle vorhandenen Ziffern sind ungerade. Deshalb kann keine gerade Zahl entstehen und die Wahrscheinlichkeit ist \(0\).

a) \(\frac12=50\,\%\) b) \(\frac14=25\,\%\) c) \(0=0\,\%\)

- Lies auf jeder Kugel sowohl die Zahl als auch die kurze Farbmarkierung. - Bei a) genügt eine der beiden Eigenschaften; eine Kugel, die beide erfüllt, wird nur einmal gezählt. - Bei b) müssen beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein.

1. Insgesamt liegen \(8\) Kugeln in der Urne. 2. Für A sind die drei roten Kugeln sowie die geraden Kugeln R2, B2 und Gr2 relevant. Ohne R2 doppelt zu zählen sind R1, R2, R3, B2 und Gr2 günstig. Daher ist \(P(A)=\frac{5}{8}=62{,}5\,\%\). 3. Für B kommen die nicht grünen Kugeln mit einer Zahl größer als \(1\) infrage: R2, R3, B2 und B3. Das sind \(4\) Kugeln. Daher ist \(P(B)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=50\,\%\).

a) \(P(A)=\frac{5}{8}=62{,}5\,\%\) b) \(P(B)=\frac{1}{2}=50\,\%\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare entstehen insgesamt? - Welche Zahlenpaare haben eine Summe von mindestens \(6\)? - Wie oft werden diese Zahlenpaare durch die mehrfach vorkommenden Sektoren tatsächlich dargestellt?

1. Die Zahlen \(1\) und \(2\) stehen jeweils auf einem Sektor; die Zahlen \(3\) und \(5\) jeweils auf zwei Sektoren. Bei zwei Drehungen gibt es insgesamt \(6\cdot6=36\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Günstig sind die Zahlenpaare \((1,5)\), \((2,5)\), \((3,3)\), \((3,5)\), \((5,1)\), \((5,2)\), \((5,3)\) und \((5,5)\). 3. Unter Berücksichtigung der Sektorhäufigkeiten entsprechen diese Fälle \(2+2+4+4+2+2+4+4=24\) günstigen Sektorenpaaren. 4. Daher gilt \(P=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}\).

\(\frac{2}{3}\)

- Zähle zuerst die \(64\) gleich wahrscheinlichen geordneten Sektorenpaare. - Für a) werden die günstigen Paare für Rot, Blau und Grün getrennt gezählt. - Bei b) ist das Gegenereignis „kein Grün“ einfacher zu zählen. - Für c) ist die Reihenfolge fest vorgegeben.

1. Insgesamt gibt es \(8^2=64\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Für a) sind \(3^2+4^2+1^2=26\) Paare günstig. Daher gilt \(P=\frac{26}{64}=\frac{13}{32}=40{,}625\,\%\). 3. Für b) sind beim Gegenereignis „kein Grün“ \(7^2=49\) Paare günstig. Somit gehören \(64-49=15\) Paare zum Ereignis und \(P=\frac{15}{64}=23{,}4375\,\%\). 4. Für c) gibt es \(3\) mögliche rote Sektoren beim ersten und \(4\) blaue beim zweiten Dreh. Daher sind \(3\cdot4=12\) Paare günstig und \(P=\frac{12}{64}=\frac{3}{16}=18{,}75\,\%\).

a) \(\frac{13}{32}=40{,}625\,\%\) b) \(\frac{15}{64}=23{,}4375\,\%\) c) \(\frac{3}{16}=18{,}75\,\%\)

- Lies die Anzahl der B- und Gr-Kugeln aus der Abbildung ab. - Bei \(25\,\%\) muss die Zahl der blauen Kugeln genau ein Viertel aller Kugeln ausmachen. - Die Zahl der blauen Kugeln bleibt in b) unverändert.

1. In der Urne sind \(15\) Kugeln, davon \(6\) blau. Daher ist \(P(\text{blau})=\frac{6}{15}=\frac25=40\,\%\). 2. Die Zahl der blauen Kugeln bleibt \(6\). Für \(25\,\%=\frac14\) muss die Gesamtzahl \(24\) betragen. 3. Es sind bereits \(15\) Kugeln vorhanden. Daher müssen \(24-15=9\) graue Kugeln ergänzt werden.

a) \(\frac25=40\,\%\) b) \(9\) graue Kugeln

- Zähle bei jedem Rad alle Sektoren und die mit T markierten Sektoren. - Schreibe beide Trefferwahrscheinlichkeiten als Brüche. - Bringe die Brüche zum direkten Vergleich auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Rad A hat \(12\) gleich große Sektoren, davon \(8\) mit T. Daher ist \(P(\text{Treffer bei A})=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\). 2. Rad B hat \(10\) gleich große Sektoren, davon \(7\) mit T. Daher ist \(P(\text{Treffer bei B})=\frac{7}{10}\). 3. Mit dem gemeinsamen Nenner \(30\) gilt \(\frac{2}{3}=\frac{20}{30}\) und \(\frac{7}{10}=\frac{21}{30}\). Daher ist die Trefferwahrscheinlichkeit bei B größer.

Rad B; \(\frac{7}{10}>\frac{2}{3}\).

- Lies die Kombination aus Buchstabenmarkierung und Zahl auf jeder Kugel ab. - Bei „oder“ genügt mindestens eine der beiden Eigenschaften; zähle eine Kugel trotzdem nur einmal. - Bei „und“ müssen beide Eigenschaften gleichzeitig erfüllt sein. - Bei „weder ... noch ...“ darf keine der beiden genannten Eigenschaften zutreffen.

1. Insgesamt gibt es \(10\) gleich wahrscheinliche Kugeln. 2. Für a) sind R1, R2, R3, B2 und Gr2 günstig. Damit ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\). 3. Für b) sind B1 und B3 günstig. Damit ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\). 4. Für c) sind B2, B3, B4, Gr2 und Gr3 günstig. Damit ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\).

a) \(\frac{1}{2}=50\,\%\) b) \(\frac{1}{5}=20\,\%\) c) \(\frac{1}{2}=50\,\%\)

- Stelle für jede Teilaufgabe eine Liste der passenden Sektoren zusammen. - Vergleiche bei c) die Zahlen kleiner als \(6\) mit den blauen Sektoren. - Formuliere d) zuerst mit eigenen Worten, bevor du die passenden Sektoren zählst.

1. Alle \(10\) Felder sind gleich groß und damit gleich wahrscheinlich. 2. Gerade sind die fünf Felder \(2,4,6,8,10\). Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}=50\,\%\). 3. Grün oder gelb sind die sechs Felder \(1,2,5,7,8,10\). Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{10}=\frac{3}{5}=60\,\%\). 4. Kleiner als \(6\) sind \(1,2,3,4,5\); zusätzlich ist Feld \(9\) blau. Damit sind sechs Felder günstig und die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{6}{10}=\frac{3}{5}=60\,\%\). 5. Weder grün noch ungerade bedeutet: gerade und nicht grün. Günstig sind \(4,6,10\). Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{3}{10}=30\,\%\).

a) \(\frac{1}{2}=50\,\%\) b) \(\frac{3}{5}=60\,\%\) c) \(\frac{3}{5}=60\,\%\) d) \(\frac{3}{10}=30\,\%\)

- Betrachte jede Drehung als Auswahl eines von acht gleich wahrscheinlichen Sektoren. - Ordne jedem Ergebnis ein geordnetes Paar aus erstem und zweitem Sektor zu. - Zähle für jedes Ereignis die günstigen Paare; bei der Summe kannst du mit den größten Zahlen beginnen.

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(8\cdot 8=64\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Für \(A\) sind bei jeder Drehung vier ungerade Zahlen möglich. Daher sind \(4\cdot 4=16\) Paare günstig und \(P(A)=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}=25\,\%\). 3. Für \(B\) sind die zehn geordneten Zahlenpaare \((8,5)\), \((8,6)\), \((8,7)\), \((8,8)\), \((7,6)\), \((7,7)\), \((7,8)\), \((6,7)\), \((6,8)\) und \((5,8)\) günstig. Somit gilt \(P(B)=\frac{10}{64}=\frac{5}{32}=15{,}625\,\%\). 4. Für \(C\) gibt es vier mögliche blaue Sektoren beim ersten und zwei mögliche rote Sektoren beim zweiten Drehen. Damit sind \(4\cdot 2=8\) Paare günstig und \(P(C)=\frac{8}{64}=\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\).

\(P(A)=\frac{1}{4}=25\,\%\) \(P(B)=\frac{5}{32}=15{,}625\,\%\) \(P(C)=\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\)

- Betrachte bei zwei Drehungen geordnete Paare der tatsächlich vorhandenen Sektoren. - Prüfe bei a) und b), wie oft jede Zahl auf dem Rad vorkommt. - Für c) und d) kann es einfacher sein, zunächst die nicht gesuchten Paare zu zählen. - Nutze die Buchstabenmarkierungen zusätzlich zu den Farben der Sektoren.

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(8\cdot8=64\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Zu jeder der vier Zahlen gehören zwei Sektoren. Für zweimal dieselbe Zahl gibt es deshalb \(4\cdot2\cdot2=16\) günstige Paare. Damit ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\). 3. Die Zahlpaare mit Summe \(4\) sind \((1,3),(2,2),(3,1)\). Zu jedem Zahlpaar gehören \(2\cdot2=4\) Sektorenpaare. Somit sind \(12\) Paare günstig und die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{12}{64}=\frac{3}{16}\). 4. Für dieselbe Farbe gibt es bei jeder der vier Farben \(2\cdot2=4\) Sektorenpaare, insgesamt also \(16\). Unterschiedliche Farben ergeben daher \(64-16=48\) günstige Paare und die Wahrscheinlichkeit \(\frac{48}{64}=\frac{3}{4}\). 5. Ohne die Zahl \(1\) stehen bei jeder Drehung \(6\) Sektoren zur Verfügung, also \(6\cdot6=36\) Paare. Mindestens eine \(1\) liefern daher \(64-36=28\) Paare und die Wahrscheinlichkeit \(\frac{28}{64}=\frac{7}{16}\).

a) \(\frac{1}{4}=25\,\%\) b) \(\frac{3}{16}=18{,}75\,\%\) c) \(\frac{3}{4}=75\,\%\) d) \(\frac{7}{16}=43{,}75\,\%\)

- Prüfe die drei Gewinnbedingungen einzeln an den nummerierten und farbigen Sektoren. - Erstelle danach eine gemeinsame Liste aller Sektoren, bei denen mindestens eine Bedingung erfüllt ist. - Vergleiche die gemeinsame Liste mit den drei einzelnen Listen: Taucht eine Zahl mehrfach auf?

1. Die \(10\) Sektoren sind gleich wahrscheinlich. 2. Für den Hauptgewinn sind die gelben Primzahlfelder \(2\) und \(7\) günstig. 3. Für den kleinen Preis sind die lila geraden Felder \(6,8,10\) günstig. Für den Trostpreis sind \(1\) und \(10\) günstig. 4. Insgesamt gewinnt man bei den sechs verschiedenen Sektoren \(1,2,6,7,8,10\). Daher ist \(P(\text{mindestens ein Preis})=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}=60\,\%\).

\(P(\text{mindestens ein Preis})=\frac{3}{5}=60\,\%\)

- Bestimme zuerst, wie viele geordnete Sektorenpaare aus den beiden Rädern insgesamt entstehen. - Zähle bei a) die blau markierten Sektoren auf jedem Rad getrennt. - Prüfe bei b) die Beschriftungen auf Primzahlen; die Zahl \(1\) gehört nicht dazu. - Aus den beiden Einzelzahlen für günstige Sektoren kannst du die Zahl günstiger Sektorenpaare bestimmen.

1. Insgesamt gibt es \(8\cdot6=48\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Auf Rad 1 sind \(4\) Sektoren blau, auf Rad 2 sind \(2\) Sektoren blau. Damit gibt es \(4\cdot2=8\) günstige Paare und \(P(\text{beide blau})=\frac{8}{48}=\frac{1}{6}\approx16{,}7\,\%\). 3. Auf Rad 1 tragen \(4\) Sektoren eine Primzahl, auf Rad 2 sind es \(3\). Damit gibt es \(4\cdot3=12\) günstige Paare und \(P(\text{beide Primzahl})=\frac{12}{48}=\frac{1}{4}=25\,\%\).

a) \(\frac{1}{6}\approx16{,}7\,\%\) b) \(\frac{1}{4}=25\,\%\)

- Arbeite mit den \(36\) gleich wahrscheinlichen geordneten Sektorenpaaren, nicht nur mit den drei verschiedenen Zahlen. - Liste für a) zunächst die Zahlenpaare auf, deren Summe \(4\) ist. - Berücksichtige danach, wie oft jede Zahl auf dem Rad vorkommt. - Formuliere für b) das Gegenereignis zu „Summe mindestens \(3\)“.

1. Zwei Drehungen liefern \(6\cdot6=36\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Für Summe \(4\) sind die Zahlenpaare \((1,3),(3,1),(2,2)\) möglich. Da die \(1\) auf drei, die \(2\) auf zwei und die \(3\) auf einem Sektor steht, gibt es \(3\cdot1+1\cdot3+2\cdot2=10\) günstige Sektorenpaare. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{10}{36}=\frac{5}{18}\). 3. Das Gegenereignis zu „Summe mindestens \(3\)“ ist „Summe \(2\)“. Dafür müssen beide Drehungen eine \(1\) liefern. Es gibt \(3\cdot3=9\) solche Sektorenpaare. 4. Somit sind \(36-9=27\) Paare für eine Summe von mindestens \(3\) günstig. Die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{27}{36}=\frac{3}{4}\).

a) \(\frac{5}{18}\) b) \(\frac{3}{4}\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen entstehen insgesamt? - Für drei verschiedene Farben wird die Auswahlmöglichkeit von Drehung zu Drehung kleiner. - Bei genau zweimal Rot musst du die Position und die Farbe der einen nicht-roten Drehung zählen.

1. Insgesamt gibt es \(4^3=64\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen. 2. Für a) kann die erste Farbe auf \(4\) Arten gewählt werden, die zweite auf \(3\) und die dritte auf \(2\) Arten. Damit sind \(4\cdot3\cdot2=24\) Folgen günstig und \(P=\frac{24}{64}=\frac{3}{8}\). 3. Für b) kann die eine nicht-rote Position auf \(3\) Arten gewählt werden. Dort sind \(3\) nicht-rote Sektoren möglich. Damit sind \(3\cdot3=9\) Folgen günstig und \(P=\frac{9}{64}\).

a) \(\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\) b) \(\frac{9}{64}\approx14{,}1\,\%\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche Sektorenfolgen gibt es insgesamt? - Für a) zählst du nur Folgen aus den nicht-gelben Sektoren. - Bei b) kann die eine nicht-rote Drehung an drei Positionen stehen. - Vergleiche die beiden Brüche in derselben Form.

1. Insgesamt entstehen \(8^3=512\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen. 2. Für \(E_1\) sind bei jeder Drehung \(6\) nicht-gelbe Sektoren möglich. Daher sind \(6^3=216\) Folgen günstig und \(P(E_1)=\frac{216}{512}=\frac{27}{64}\). 3. Für \(E_2\) kann die eine nicht-rote Position auf \(3\) Arten gewählt werden. Für die beiden roten Positionen gibt es jeweils \(4\) rote Sektoren und für die nicht-rote Position \(4\) andere Sektoren. Damit sind \(3\cdot4^2\cdot4=192\) Folgen günstig und \(P(E_2)=\frac{192}{512}=\frac{3}{8}\). 4. Es gilt \(\frac{27}{64}>\frac{3}{8}\). Daher ist \(E_1\) wahrscheinlicher.

a) \(P(E_1)=\frac{27}{64}\approx42{,}2\,\%\) b) \(P(E_2)=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\) c) \(E_1\) ist wahrscheinlicher, weil \(\frac{27}{64}>\frac{3}{8}\).

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen gibt es insgesamt? - Für a) und d) kann es helfen, zwischen gelben und nicht-gelben Sektoren zu unterscheiden. - Für b) ist das Gegenereignis „kein Orange“ kürzer zu zählen. - Bei c) ist die Reihenfolge der Farben fest vorgegeben.

1. Insgesamt gibt es \(8^3=512\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen. 2. Für a) kann die eine nicht-gelbe Position auf \(3\) Arten gewählt werden. Für jede gelbe Position gibt es \(4\) Sektoren und für die nicht-gelbe Position ebenfalls \(4\). Damit sind \(3\cdot4^2\cdot4=192\) Folgen günstig und \(P=\frac{192}{512}=\frac{3}{8}\). 3. Für b) ist das Gegenereignis „kein Orange“. Dafür stehen bei jeder Drehung \(7\) Sektoren zur Verfügung. Somit gilt \(P=1-\frac{7^3}{8^3}=1-\frac{343}{512}=\frac{169}{512}\). 4. Für c) gibt es \(3\) grüne Sektoren für die erste, \(4\) gelbe für die zweite und \(1\) orangefarbenen für die dritte Drehung. Damit sind \(3\cdot4\cdot1=12\) Folgen günstig und \(P=\frac{12}{512}=\frac{3}{128}\). 5. Für d) sind entweder keine oder genau eine gelbe Drehung günstig. Ohne Gelb gibt es \(4^3=64\) Folgen; bei genau einer gelben Drehung gibt es \(3\cdot4\cdot4^2=192\) Folgen. Insgesamt sind \(256\) Folgen günstig und \(P=\frac{256}{512}=\frac{1}{2}\).

a) \(\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\) b) \(\frac{169}{512}\approx33{,}01\,\%\) c) \(\frac{3}{128}\approx2{,}34\,\%\) d) \(\frac{1}{2}=50\,\%\)

- Bestimme zuerst, wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Folgen bei drei Drehungen insgesamt möglich sind. - Ordne die acht Zahlen für jede Teilaufgabe in die jeweils benötigten Gruppen ein. - Zähle die günstigen Folgen über die Anzahl der zulässigen Möglichkeiten an jeder Position.

1. Bei drei Drehungen gibt es \(8^3=512\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen. 2. Zu a): Vier Zahlen sind gerade und vier ungerade. Für gerade-ungerade-gerade gibt es \(4\cdot4\cdot4=64\) günstige Folgen. Daher ist \(P=\frac{64}{512}=\frac{1}{8}\). 3. Zu b): Die Quadratzahlen sind \(1\) und \(4\); sechs Zahlen sind keine Quadratzahlen. Es gibt \(2\cdot6\cdot6=72\) günstige Folgen. Somit gilt \(P=\frac{72}{512}=\frac{9}{64}\). 4. Zu c): Größer als \(5\) sind \(6\), \(7\) und \(8\). Daher gibt es \(3^3=27\) günstige Folgen und \(P=\frac{27}{512}\approx5{,}27\,\%\). 5. Zu d): Für jede der acht Zahlen gibt es genau eine Folge mit dreimal derselben Zahl. Somit gilt \(P=\frac{8}{512}=\frac{1}{64}\).

a) \(\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\) b) \(\frac{9}{64}=14{,}0625\,\%\) c) \(\frac{27}{512}\approx5{,}27\,\%\) d) \(\frac{1}{64}=1{,}5625\,\%\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen gibt es bei drei Drehungen? - Für b) wird jede der vier Farben als dreifach gleiche Folge gezählt. - Für c) musst du bestimmen, welche Farbe doppelt und welche nur einmal vorkommt. - Für d) ist das Gegenereignis „kein Gelb“ einfacher zu zählen.

1. Insgesamt gibt es \(4^3=64\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen. 2. Für a) ist genau eine Farbfolge günstig. Daher gilt \(P=\frac{1}{64}\). 3. Für b) sind die vier Folgen mit dreimal derselben Farbe günstig. Daher gilt \(P=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}\). 4. Für c) kann die doppelt vorkommende Farbe auf \(4\) Arten und die zweite Farbe anschließend auf \(3\) Arten gewählt werden. Die einmal vorkommende Farbe kann an \(3\) Positionen stehen. Damit sind \(4\cdot3\cdot3=36\) Folgen günstig und \(P=\frac{36}{64}=\frac{9}{16}\). 5. Für d) ist das Gegenereignis „kein Gelb“. Dafür stehen bei jeder Drehung \(3\) Sektoren zur Verfügung. Somit gilt \(P=1-\frac{3^3}{4^3}=\frac{37}{64}\).

a) \(\frac{1}{64}\) b) \(\frac{1}{16}\) c) \(\frac{9}{16}\) d) \(\frac{37}{64}\)

- Betrachte die einzelnen Sektoren als gleich wahrscheinliche Ergebnisse. - Zähle für a) und b), wie viele Sektoren an der ersten und zweiten Position zulässig sind. - Gruppiere für c) die Sektoren nach ihrer Farbe und zähle die gleichfarbigen Paare.

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(8\cdot8=64\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Zu a): Die Zahl \(1\) steht auf zwei Sektoren und die Zahl \(2\) auf drei. Für \((1,2)\) gibt es \(2\cdot3=6\), für \((2,1)\) ebenfalls \(6\) günstige Sektorenpaare. Daher ist \(P=\frac{12}{64}=\frac{3}{16}\). 3. Zu b): Für die erste Drehung gibt es zwei Sektoren mit \(1\), für die zweite sechs Sektoren mit einer Zahl größer als \(1\). Somit ist \(P=\frac{2\cdot6}{64}=\frac{3}{16}\). 4. Zu c): Die fünf Farben kommen auf \(2\), \(3\), \(1\), \(1\) und \(1\) Sektoren vor. Daher sind \(2^2+3^2+1^2+1^2+1^2=16\) Sektorenpaare günstig und \(P=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\).

a) \(\frac{3}{16}\) b) \(\frac{3}{16}\) c) \(\frac{1}{4}\)

- Zähle in der Abbildung die Sektoren jeder Farbe. - Wie viele gleich wahrscheinliche Sektorenpaare entstehen bei zwei Drehungen? - Für dieselbe Farbe werden die günstigen Paare jeder Farbe getrennt gezählt. - Bei c) ist das Gegenereignis „kein Gelb“ einfacher zu zählen.

1. Auf dem Rad liegen \(5\) blaue, \(3\) rote und \(2\) gelbe Sektoren. Daher gelten \(P(\text{Blau})=\frac{5}{10}=0{,}5\), \(P(\text{Rot})=\frac{3}{10}=0{,}3\) und \(P(\text{Gelb})=\frac{2}{10}=0{,}2\). 2. Bei zwei Drehungen gibt es \(10^2=100\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. Für zweimal dieselbe Farbe sind \(5^2+3^2+2^2=38\) Paare günstig. Damit gilt \(P=\frac{38}{100}=38\,\%\). 3. Für c) ist das Gegenereignis „kein Gelb“. Dafür sind \(8^2=64\) Paare günstig. Also gehören \(100-64=36\) Paare zum Ereignis und \(P=36\,\%\). 4. Da \(36\,\%>35\,\%\), hat Mira recht.

a) Blau: \(0{,}5\); Rot: \(0{,}3\); Gelb: \(0{,}2\) b) \(38\,\%\) c) Ja. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(36\,\%\) und liegt damit über \(35\,\%\).

- Zähle zuerst alle geordneten Sektorentripel, die bei drei Drehungen entstehen können. - Nutze die Buchstabenmarkierungen, um die Zahl blauer, gelber und grüner Sektoren abzulesen. - Bei b) kann das eine gelbe Ergebnis an drei verschiedenen Positionen stehen. - Bei c) zählen bei jeder Drehung alle Sektoren, die nicht grün sind.

1. Drei Drehungen ergeben \(8^3=512\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorentripel. 2. Für dreimal Blau stehen bei jeder Drehung \(2\) blaue Sektoren zur Wahl. Es gibt \(2^3=8\) günstige Tripel. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{8}{512}=\frac{1}{64}\approx1{,}56\,\%\). 3. Genau einmal Gelb kann an jeder der drei Positionen auftreten. Für die gelbe Position gibt es \(3\) Sektoren, für jede der beiden anderen Positionen je \(5\) nicht gelbe Sektoren. Somit gibt es \(3\cdot3\cdot5\cdot5=225\) günstige Tripel und die Wahrscheinlichkeit \(\frac{225}{512}\approx43{,}95\,\%\). 4. Für kein Grün stehen bei jeder Drehung \(5\) nicht grüne Sektoren zur Verfügung. Es gibt \(5^3=125\) günstige Tripel. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{125}{512}\approx24{,}41\,\%\).

a) \(\frac{1}{64}\approx1{,}56\,\%\) b) \(\frac{225}{512}\approx43{,}95\,\%\) c) \(\frac{125}{512}\approx24{,}41\,\%\)

- Welche gleich wahrscheinlichen geordneten Zahlenpaare können bei zwei Drehungen entstehen? - Welche Paare erfüllen jeweils die Bedingung von \(A\) beziehungsweise \(B\)? - Vergleiche die Anzahlen der günstigen Paare mit derselben Gesamtzahl möglicher Ergebnisse.

1. Bei zwei Drehungen entstehen \(5\cdot5=25\) gleich wahrscheinliche geordnete Zahlenpaare. 2. Für \(A\) sind \((1,5)\), \((2,4)\), \((3,3)\), \((4,2)\) und \((5,1)\) günstig. Daher gilt \(P(A)=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}=0{,}2\). 3. Für \(B\) sind zehn geordnete Paare günstig: \((2,1)\), \((3,1)\), \((3,2)\), \((4,1)\), \((4,2)\), \((4,3)\), \((5,1)\), \((5,2)\), \((5,3)\), \((5,4)\). Daher gilt \(P(B)=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}=0{,}4\). 4. Da \(0{,}4>0{,}2\), ist \(B\) wahrscheinlicher.

Ereignis \(B\) ist wahrscheinlicher. Es gilt \(P(A)=20\,\%\) und \(P(B)=40\,\%\).

- Nutze das Zählprinzip für die vier aufeinanderfolgenden Stellen. - Bei a) entscheidet die letzte Ziffer über die Teilbarkeit durch \(2\). - Bei b) entscheidet die Tausenderziffer darüber, ob die Zahl größer als \(5000\) ist. - Prüfe für c) eine Zahleneigenschaft, die bei jeder Anordnung der vier Ziffern gleich bleibt.

1. Für die vier Stellen gibt es nacheinander \(4\), dann \(3\), dann \(2\) und schließlich \(1\) Wahlmöglichkeit. Insgesamt entstehen \(4\cdot3\cdot2\cdot1=24\) gleich wahrscheinliche Zahlen. 2. Für eine gerade Zahl muss die letzte Ziffer \(2\) oder \(8\) sein. Dafür gibt es \(2\) Möglichkeiten; die übrigen drei Ziffern können auf \(3\cdot2\cdot1=6\) Arten angeordnet werden. Somit sind \(12\) Zahlen günstig und die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\). 3. Für eine Zahl größer als \(5000\) muss die Tausenderziffer \(5\) oder \(8\) sein. Wieder gibt es \(2\cdot6=12\) günstige Zahlen. Die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{1}{2}\). 4. Jede mögliche Zahl hat die Quersumme \(2+3+5+8=18\) und ist deshalb durch \(3\) teilbar. Alle möglichen vierstelligen Zahlen sind größer als \(3\), also ist keine prim. Die Wahrscheinlichkeit ist \(0\).

a) \(\frac{1}{2}\) b) \(\frac{1}{2}\) c) \(0\)

- Zähle geordnete Paare tatsächlich vorhandener Kugeln; nach dem ersten Zug bleiben \(5\) Kugeln übrig. - Zähle die günstigen Paare Orange-Orange und Violett-Violett getrennt. - Vergleiche den gekürzten Bruch aus a) mit \(\frac{1}{2}\).

1. Für die erste Kugel gibt es \(6\) Möglichkeiten und für die zweite noch \(5\). Damit gibt es \(6\cdot5=30\) gleich wahrscheinliche geordnete Kugelpaare. 2. Für zwei orangefarbene Kugeln gibt es \(4\cdot3=12\) Paare. Für zwei violette Kugeln gibt es \(2\cdot1=2\) Paare. 3. Insgesamt sind \(14\) von \(30\) Paaren günstig. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{14}{30}=\frac{7}{15}\). 4. Es gilt \(\frac{7}{15}<\frac{1}{2}\). Die Wahrscheinlichkeit liegt also unter \(50\,\%\).

a) \(\frac{7}{15}\) b) unter \(50\,\%\)

- Lies die fünf Zahlen direkt auf den Kugeln ab. - Stelle die beiden Ziehungen als geordnetes Paar dar. - Wie kannst du sicherstellen, dass du alle möglichen geordneten Paare genau einmal erfasst?

1. Aus der Abbildung liest man die Zahlen \(1\) bis \(5\) ab. Ohne Zurücklegen entstehen \(5\cdot4=20\) gleich wahrscheinliche geordnete Paare. 2. Günstig sind \((1,2)\), \((1,3)\), \((1,4)\), \((1,5)\), \((2,3)\), \((2,4)\), \((2,5)\), \((3,4)\), \((3,5)\) und \((4,5)\). Das sind \(10\) Paare. 3. Daher gilt \(P=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\). Alternativ sind „zweite Zahl größer“ und „erste Zahl größer“ symmetrisch; Gleichheit ist ohne Zurücklegen unmöglich.

\(P=\frac{1}{2}=50\,\%\)

- Zähle zuerst, wie viele Kugeln insgesamt in der Urne liegen. - Liste für jedes Ereignis alle Zahlen aus der Urne auf, die die Bedingung erfüllen. - Nutze die Laplace-Regel: Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Gesamtzahl der Ergebnisse.

1. Gesamtzahl der Ergebnisse: \(n = 20\). 2. Ereignis \(E_1\): Primzahlen zwischen \(1\) und \(20\) sind \(\{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19\}\). Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(8\). Wahrscheinlichkeit: \(P(E_1) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 3. Ereignis \(E_2\): Vielfache von \(4\) sind \(\{4; 8; 12; 16; 20\}\). Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(5\). Wahrscheinlichkeit: \(P(E_2) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. Ereignis \(E_3\): Quadratzahlen sind \(\{1; 4; 9; 16\}\). Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(4\). Wahrscheinlichkeit: \(P(E_3) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0{,}2\).

a) \(E_1 = \{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19\}\); \(P(E_1) = 0{,}4\) b) \(E_2 = \{4; 8; 12; 16; 20\}\); \(P(E_2) = 0{,}25\) c) \(E_3 = \{1; 4; 9; 16\}\); \(P(E_3) = 0{,}2\)

- Denke nicht an die wechselnde Zahl noch nicht getesteter Schlüssel, sondern an die Position des richtigen Schlüssels in der vollständigen Reihenfolge. - Welche der \(15\) möglichen Positionen entspricht „genau beim vierten Versuch“? - Welche Positionen gehören zu „spätestens beim vierten Versuch“? - Vergleiche für c) die Zahl günstiger Positionen für die beiden exakten Versuchszahlen.

1. Der richtige Schlüssel ist mit gleicher Wahrscheinlichkeit an jeder der \(15\) Positionen der festgelegten Versuchsreihenfolge. 2. Genau der vierte Versuch ist erfolgreich, wenn der richtige Schlüssel an Position \(4\) liegt. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{15}\). 3. Spätestens beim vierten Versuch bedeutet, dass der richtige Schlüssel auf einer der ersten vier Positionen liegt. Dafür sind \(4\) von \(15\) Positionen günstig, also beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{4}{15}\). 4. Für Erfolg genau beim ersten und genau beim vierten Versuch ist jeweils genau eine der \(15\) Positionen günstig. Beide Wahrscheinlichkeiten sind daher \(\frac{1}{15}\).

a) \(\frac{1}{15}\) b) \(\frac{4}{15}\) c) Beide sind gleich groß: jeweils \(\frac{1}{15}\).

- Zähle geordnete Paare tatsächlich vorhandener Lose; nach dem ersten Zug bleiben \(9\) Lose. - Das Gegenereignis zu „mindestens ein Gewinnlos“ ist leichter zu zählen. - Bestimme, wie viele geordnete Paare aus zwei Nieten möglich sind.

1. Für das erste und zweite Los gibt es \(10\cdot9=90\) gleich wahrscheinliche geordnete Lospaare. 2. Das Gegenereignis „zwei Nieten“ umfasst \(7\cdot6=42\) Paare. 3. Damit enthalten \(90-42=48\) Paare mindestens ein Gewinnlos. Die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{48}{90}=\frac{8}{15}\).

\(\frac{8}{15}\)

- Unterscheide die einzelnen roten und blauen Kugeln gedanklich voneinander. - Zähle, wie viele geordnete Kugelpaare insgesamt möglich sind. - Zähle Rot–Blau und Blau–Rot jeweils als Anzahl geordneter physischer Kugelpaare. - Vergleiche erst danach die beiden Anteile.

1. Zwei Ziehungen ohne Zurücklegen ergeben \(5\cdot4=20\) gleich wahrscheinliche geordnete Paare physischer Kugeln. 2. Für Rot–Blau gibt es \(3\cdot2=6\) Paare. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\). 3. Für Blau–Rot gibt es \(2\cdot3=6\) Paare. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit ebenfalls \(\frac{3}{10}\). 4. Mias Aussage ist falsch: Beide Reihenfolgen sind gleich wahrscheinlich.

Mias Aussage ist falsch. Rot–Blau und Blau–Rot haben jeweils die Wahrscheinlichkeit \(\frac{3}{10}\).

- Zähle die möglichen Folgen schrittweise nach dem Zählprinzip, ohne eine neue Kurzschreibweise einzuführen. - Bei a) sind die ersten beiden Plätze schon festgelegt; nur die übrigen Plätze können noch besetzt werden. - Bei b) überlege zuerst, an wie vielen Stellen ein benachbartes Zweierpaar beginnen kann und welche zwei Reihenfolgen A und O darin haben können.

1. Für die erste Stelle gibt es \(6\), für die zweite \(5\), dann \(4,3,2,1\) Möglichkeiten. Insgesamt gibt es \(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720\) gleich wahrscheinliche Folgen. 2. Bei a) sind F und A fest vorgegeben. Die vier übrigen Buchstaben können auf \(4\cdot3\cdot2\cdot1=24\) Arten angeordnet werden. Daher ist \(P=\frac{24}{720}=\frac{1}{30}\). 3. Bei b) kann das benachbarte Vokalpaar an \(5\) möglichen Positionen beginnen. Innerhalb des Paares gibt es \(2\) Reihenfolgen. Die vier Konsonanten können auf \(4\cdot3\cdot2\cdot1=24\) Arten auf die übrigen Plätze verteilt werden. 4. Damit gibt es \(5\cdot2\cdot24=240\) günstige Folgen und \(P=\frac{240}{720}=\frac{1}{3}\).

a) \(\frac{1}{30}\) b) \(\frac{1}{3}\)

- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, den ersten, zweiten und dritten Platz aus 8 Läufern zu besetzen? - Überlege dir für Teil b), wie viele verschiedene Anordnungen es für die drei Läufer auf den ersten drei Plätzen gibt. - Wenn die Läufer 1, 2 und 3 keine Medaille gewinnen, aus wie vielen Läufern müssen dann die ersten drei Plätze bestehen?

1. Gesamtzahl der möglichen Belegungen der ersten drei Plätze: Es gibt \(8 \cdot 7 \cdot 6 = 336\) Möglichkeiten. 2. Wahrscheinlichkeit für die exakte Reihenfolge (1, 2, 3): Es gibt nur 1 günstiges Ergebnis. \(P(a) = \frac{1}{336}\). 3. Wahrscheinlichkeit für die Bahnen 1, 2, 3 in beliebiger Reihenfolge: Es gibt \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) mögliche Reihenfolgen für diese drei Läufer auf den ersten drei Plätzen. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(b) = \frac{6}{336} = \frac{1}{56}\). Da \(6 \cdot \frac{1}{336} = \frac{6}{336}\), ist die Wahrscheinlichkeit genau sechsmal so hoch. 4. Wahrscheinlichkeit, dass keiner der drei eine Medaille gewinnt: Die ersten drei Plätze müssen durch die restlichen \(8 - 3 = 5\) Läufer besetzt werden. Anzahl der Möglichkeiten: \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(c) = \frac{60}{336} = \frac{5}{28}\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{336}\). b) Da es \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) verschiedene Reihenfolgen für die drei Läufer gibt, ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{336}\), was genau \(6 \cdot \frac{1}{336}\) entspricht. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{28}\).

- Prüfe kleine natürliche Werte für \(n\) nacheinander. - Wie viele Stationszuordnungen sind bei einem festen \(n\) insgesamt gleich wahrscheinlich? - Wie viele Zuordnungen bleiben günstig, wenn jede Station höchstens einmal vergeben werden darf? - Für die Minimalität musst du den letzten Wert oberhalb und den ersten Wert unterhalb der Grenze vergleichen.

1. Für \(n=1\) gibt es genau eine Zuordnung; sie ist günstig. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(1\). 2. Für \(n=2\) gibt es \(2^2=4\) gleich wahrscheinliche Zuordnungen. In \(2\) davon erhalten die beiden Gruppen verschiedene Stationen. Daher ist \(P=\frac{2}{4}=0{,}5\). 3. Für \(n=3\) gibt es \(3^3=27\) Zuordnungen. Für drei verschiedene Stationen gibt es \(3\cdot2\cdot1=6\) günstige Zuordnungen. Daher ist \(P=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}\approx0{,}2222\). 4. Für \(n=4\) gibt es \(4^4=256\) Zuordnungen. Für vier verschiedene Stationen gibt es \(4\cdot3\cdot2\cdot1=24\) günstige Zuordnungen. Daher ist \(P=\frac{24}{256}=\frac{3}{32}=0{,}09375\). 5. Bei \(n=3\) liegt die Wahrscheinlichkeit noch über \(10\,\%\), bei \(n=4\) erstmals darunter. Der kleinste gesuchte Wert ist daher \(n=4\).

\(n=4\)

- Betrachte das Gegenereignis „alle Geburtsmonate verschieden“. - Wie viele gleich wahrscheinliche Monatszuordnungen gibt es für einen festen Wert von \(k\)? - Wie viele Möglichkeiten bleiben für die nächste Person, wenn bisher alle Monate verschieden sind? - Vergleiche benachbarte Werte von \(k\), damit die Minimalität gesichert ist.

1. Das Gegenereignis lautet: Alle \(k\) Jugendlichen haben verschiedene Geburtsmonate. 2. Für \(k=4\) gibt es \(12^4\) gleich wahrscheinliche Monatszuordnungen. Für vier verschiedene Monate sind \(12\cdot11\cdot10\cdot9\) Zuordnungen günstig. Daher gilt \(P(\text{alle verschieden})=\frac{55}{96}\approx0{,}5729\) und somit \(P(\text{mindestens zwei gleich})\approx0{,}4271\). 3. Für \(k=5\) gibt es \(12^5\) gleich wahrscheinliche Zuordnungen. Für fünf verschiedene Monate sind \(12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\) günstig. Damit gilt \(P(\text{alle verschieden})=\frac{55}{144}\approx0{,}3819\) und \(P(\text{mindestens zwei gleich})=1-\frac{55}{144}=\frac{89}{144}\approx0{,}6181\). 4. Mit jeder zusätzlichen Person kann eine bereits vorhandene Monatsübereinstimmung nicht wieder verschwinden; die Kollisionswahrscheinlichkeit nimmt daher nicht ab. Da die Grenze bei \(k=4\) noch nicht und bei \(k=5\) überschritten wird, ist \(k=5\) minimal.

\(k=5\)

- Zähle die Zahl der Sektoren auf jedem Rad und bilde daraus die Gesamtzahl geordneter Sektorentripel. - Für a) ist auf jedem Rad nur ein bestimmter Sektor günstig. - Bei b) kann das eine rote Ergebnis an drei verschiedenen Positionen stehen; zähle diese Fälle getrennt. - Nutze die Buchstabenmarkierungen, um rote und blaue Sektoren sicher zu unterscheiden.

1. Insgesamt gibt es \(4\cdot5\cdot6=120\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorentripel. 2. Für a) gibt es genau ein Sektorentripel mit den Beschriftungen \(1,1,1\). Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{120}\). 3. Für b) werden die drei möglichen Farbmuster getrennt gezählt. B-B-R liefert \(3\cdot3\cdot3=27\), B-R-B liefert \(3\cdot2\cdot3=18\), R-B-B liefert \(1\cdot3\cdot3=9\) Sektorentripel. 4. Insgesamt sind \(27+18+9=54\) von \(120\) Tripeln günstig. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{54}{120}=\frac{9}{20}=45\,\%\).

a) \(\frac{1}{120}\) b) \(\frac{9}{20}=45\,\%\)

- Arbeite für die beiden Drehungen mit \(100\) gleich wahrscheinlichen geordneten Sektorenpaaren. - Zähle bei a) die Paare Grün-Grün, Blau-Blau und Rot-Rot getrennt. - Für b) ist das Gegenereignis „kein Rot“ leichter zu zählen. - Vergleiche bei c), was nach dem ersten Ergebnis beim Glücksrad und in der Urne jeweils unverändert bleibt oder sich verändert.

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(10\cdot10=100\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. Für dieselbe Farbe sind \(4\cdot4+3\cdot3+3\cdot3=34\) Paare günstig. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{34}{100}=34\,\%\). 2. Für „kein Rot“ stehen bei jeder Drehung \(7\) nicht rote Sektoren zur Verfügung. Das sind \(7\cdot7=49\) von \(100\) Paaren. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Rot \(1-\frac{49}{100}=\frac{51}{100}=51\,\%\). 3. Beim Ziehen ohne Zurücklegen wird nach der ersten Kugel gerade von der gezogenen Farbe eine Kugel entfernt. Für eine zweite Kugel derselben Farbe gibt es deshalb weniger passende Kugeln als zuvor. Beim Glücksrad bleibt die Zusammensetzung dagegen bei der zweiten Drehung unverändert. Daher ist „zweimal dieselbe Farbe“ beim Ziehen ohne Zurücklegen weniger wahrscheinlich.

a) \(34\,\%\) b) \(51\,\%\) c) Ohne Zurücklegen ist nach dem ersten Zug eine Kugel der bereits gezogenen Farbe weniger vorhanden; beim Glücksrad ändern sich die Sektoren nicht. Deshalb ist eine Wiederholung derselben Farbe in der Urne weniger wahrscheinlich.

- Überlege, wie die Zahl der Blätter eines gleichmäßig verzweigten zweistufigen Baums mit den Astzahlen der beiden Stufen zusammenhängt. - Die beiden gesuchten Astzahlen sind positive ganze Zahlen. - Nutze neben der Gesamtzahl \(24\) auch die Information über den Unterschied der beiden Astzahlen. - Prüfe deine gefundenen Astzahlen anschließend an beiden Bedingungen.

1. Die Zahl der vollständigen Pfade ist das Produkt aus der Zahl der Möglichkeiten der ersten Stufe und der Zahl der Möglichkeiten der zweiten Stufe. 2. Gesucht sind daher zwei positive ganze Zahlen mit Produkt \(24\), wobei die erste Zahl um \(2\) größer ist als die zweite. 3. Die Faktoren \(6\) und \(4\) erfüllen beide Bedingungen: \(6\cdot4=24\) und \(6-4=2\). 4. Vom Start gehen also \(6\) Äste aus; an jedem der sechs Knoten folgen \(4\) zweite Äste.

Erste Stufe: \(6\) Äste; zweite Stufe: jeweils \(4\) Äste.

- Trenne zuerst die beobachtete Versuchsreihe von dem theoretischen Modell des Glücksrads. - Prüfe für die Modellwahrscheinlichkeit, wie viele gleich große Sektoren zum Ereignis \(A\) gehören. - Für die Laplace-Frage ist entscheidend, ob die Ergebnisse der ausdrücklich gewählten Ergebnismenge gleich wahrscheinlich sind. - Vergleiche bei d) eine endliche relative Häufigkeit nicht so, als müsste sie exakt mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit übereinstimmen.

1. Die relative Häufigkeit ist \(h_{80}(A)=\frac{32}{80}=\frac{2}{5}=40\,\%\). 2. Drei der acht gleich großen Sektoren tragen \(G\). Daher gilt \(P(A)=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\). 3. Für die Ergebnismenge \(\Omega=\{G,N\}\) ist das Experiment nicht Laplace, denn \(P(G)=\frac{3}{8}\) und \(P(N)=\frac{5}{8}\) sind verschieden. Die acht einzelnen Sektoren sind zwar gleich wahrscheinlich, die beiden zusammengefassten Ergebnisse aber nicht. 4. Genau der theoretische Anteil von \(G\) bei \(80\) Drehungen entspricht \(80\cdot\frac{3}{8}=30\) Treffern. 5. Beobachtet wurden \(32\) statt \(30\) Treffer. Eine endliche Zufallsreihe darf von der theoretischen Wahrscheinlichkeit abweichen; die kleine Abweichung allein beweist keine Manipulation.

a) \(h_{80}(A)=\frac{2}{5}=40\,\%\) b) \(P(A)=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\). Mit \(\Omega=\{G,N\}\) ist es kein Laplace-Experiment, weil \(G\) und \(N\) nicht gleich wahrscheinlich sind. c) \(30\) Treffer d) Die Aussage ist nicht begründet. \(32\) statt \(30\) Treffern können bei einer endlichen Zufallsreihe durch normale Schwankungen entstehen und beweisen keine Manipulation.