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- Überlege, welche Art von Dezimaldarstellung eine irrationale Zahl besitzt. - Das Gleichheitszeichen steht für exakte Gleichheit; für gerundete Werte gibt es ein anderes Zeichen. - Beim Runden auf drei Nachkommastellen entscheidet die vierte Nachkommastelle.

1. Die angezeigte Dezimalzahl ist nicht exakt gleich \(\sqrt2\), weil \(\sqrt2\) irrational ist und daher eine unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellung besitzt. Eine endliche Taschenrechneranzeige kann nur eine Näherung zeigen. 2. Exakt schreibt man \(\sqrt2\). Als Näherung kann man zum Beispiel \(\sqrt2\approx1{,}414213562\) schreiben. 3. Für drei Nachkommastellen betrachtet man die vierte Nachkommastelle. Sie ist \(2\), daher wird nicht aufgerundet: \(\sqrt2\approx1{,}414\).

a) Nein. Die Anzeige ist nur eine endliche Näherung an die irrationale Zahl \(\sqrt2\). b) exakt: \(\sqrt2\); näherungsweise: \(\sqrt2\approx1{,}414213562\) c) \(\sqrt2\approx1{,}414\)

- Prüfe bei jedem Radikanden, ob er eine Quadratzahl einer ganzen Zahl ist. - Eine exakt ganzzahlige Quadratwurzel ist rational. - Vergleiche den zweiten Radikanden mit den benachbarten Quadratzahlen.

1. Zu a): \(49\) ist eine Quadratzahl, denn \(7^2=49\). Daher ist \(\sqrt{49}=7\) rational. 2. Zu b): \(20\) ist keine Quadratzahl. Daher ist \(\sqrt{20}\) irrational.

a) rational b) irrational

- Untersuche, ob sich ab einer Stelle ein fester Ziffernblock wiederholt. - Eine endliche oder periodische Dezimaldarstellung gehört zu einer rationalen Zahl. - Achte bei b) darauf, wie sich die Abstände zwischen den Einsen verändern.

1. Zu a): Die Ziffernfolge \(27\) wiederholt sich periodisch. Die Zahl ist daher rational. 2. Zu b): Die Zahl besitzt keine periodische Ziffernfolge, weil die Nullblöcke immer länger werden. Sie ist daher irrational.

a) rational b) irrational

- Rufe dir die Definition einer rationalen Zahl als Quotient zweier ganzer Zahlen in Erinnerung. - Zu welcher Zahlenart gehört \(\pi\)? - Welche Konsequenz hat es, wenn ein Bruch rational ist, die verglichene Zahl aber irrational?

1. \(\pi\) ist irrational und lässt sich daher nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen. 2. \(\frac{22}{7}\) ist rational. Deshalb kann dieser Bruch nicht exakt gleich \(\pi\) sein; er ist nur eine Näherung.

\(\pi\) ist irrational. \(\frac{22}{7}\) ist rational und daher nur eine Näherung für \(\pi\), nicht der exakte Wert.

- Kürze jeden Dezimalbruch vollständig. - Wann ist die Wurzel aus einem vollständig gekürzten Bruch rational? - Prüfe, ob Zähler und Nenner Quadratzahlen sind.

1. \(A = \sqrt{0{,}64} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} = 0{,}8\). 2. \(D = \sqrt{0{,}0064} = \sqrt{\frac{4}{625}} = \frac{2}{25} = 0{,}08\). 3. Für \(B\) gilt \(6{,}4 = \frac{32}{5}\). Im vollständig gekürzten Bruch ist der Nenner \(5\) keine Quadratzahl. Daher kann \(\sqrt{\frac{32}{5}}\) nicht rational sein. 4. Für \(C\) gilt \(0{,}064 = \frac{8}{125}\). Im vollständig gekürzten Bruch sind weder Zähler noch Nenner Quadratzahlen. Daher ist auch \(\sqrt{\frac{8}{125}}\) irrational. Allgemein ist die Quadratwurzel eines positiven vollständig gekürzten Bruchs genau dann rational, wenn Zähler und Nenner Quadratzahlen sind.

a) \(A = 0{,}8\) und \(D = 0{,}08\). b) \(B = \sqrt{\frac{32}{5}}\) und \(C = \sqrt{\frac{8}{125}}\) sind irrational, weil in den vollständig gekürzten Brüchen Zähler und Nenner nicht beide Quadratzahlen sind.

- Prüfe bei Wurzeln aus natürlichen Zahlen, ob der Radikand eine Quadratzahl ist. - Welche Dezimaldarstellungen gehören sicher zu rationalen Zahlen? - Bei einem bereits gegebenen Bruch kannst du direkt die Definition rationaler Zahlen verwenden.

1. \(\sqrt{121}=11\). Daher ist die Zahl rational. 2. \(0{,}\overline{45}\) ist periodisch und lässt sich als Bruch schreiben, zum Beispiel als \(\frac{45}{99}=\frac{5}{11}\). Daher ist sie rational. 3. \(\pi\) ist irrational. 4. \(20\) ist keine Quadratzahl. Daher ist \(\sqrt{20}\) irrational. 5. \(\frac{22}{7}\) ist bereits als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt und damit rational.

a) Rational \((\mathbb{Q})\) b) Rational \((\mathbb{Q})\), da die Dezimaldarstellung periodisch ist. c) Irrational \((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\) d) Irrational \((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\), da \(20\) keine Quadratzahl ist. e) Rational \((\mathbb{Q})\)

- Denk an die Definition von irrationalen Zahlen. - Was passiert, wenn du eine Wurzel mit sich selbst multiplizierst? - Reicht ein einziges Beispiel aus, um eine allgemeine Regel zu beweisen oder zu widerlegen?

1. Prüfung der Behauptung durch Suche nach einem Gegenbeispiel. 2. Wähle zwei irrationale Zahlen, zum Beispiel \(a = \sqrt{2}\) und \(b = \sqrt{2}\). 3. Berechne das Produkt: \(a \cdot b = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\). 4. Die Zahl \(2\) ist eine rationale Zahl (da sie als Bruch \(\frac{2}{1}\) darstellbar ist). 5. Da das Produkt zweier irrationaler Zahlen eine rationale Zahl ergeben kann, ist die ursprüngliche Behauptung falsch.

Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist das Produkt \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\). Hier sind beide Faktoren irrational, das Ergebnis \(2\) ist jedoch rational.

- Welche Gleichung verbindet bei einem rechtwinkligen Dreieck die beiden Katheten mit der Hypotenuse? - Prüfe nach der Berechnung von \(d^2\), ob der erhaltene Wert eine Quadratzahl ist. - Eine allgemeine „niemals“-Aussage ist bereits durch ein einziges Gegenbeispiel widerlegt.

1. In a) gilt nach dem Satz des Pythagoras \(d^2=1^2+1^2=2\). Daher ist \(d=\sqrt{2}\). Da \(2\) keine Quadratzahl ist, ist \(\sqrt{2}\) irrational. 2. In b) gilt \(d^2=3^2+4^2=9+16=25\). Daher ist \(d=5\), also rational. 3. Die Aussage ist falsch. Das Rechteck mit Seitenlängen \(3\) und \(4\) ist ein Gegenbeispiel, denn seine Diagonale hat die rationale Länge \(5\).

a) \(d=\sqrt{2}\), also irrational. b) \(d=5\), also rational. Die Aussage ist falsch; ein Rechteck mit Seitenlängen \(3\) und \(4\) hat die rationale Diagonalenlänge \(5\).

- Suche zu jedem Radikanden eine natürliche Zahl, deren Quadrat genau diesen Wert ergibt. - Vergleiche die nichtquadratischen Zahlen mit den benachbarten Quadratzahlen. - Formuliere die Regel als „genau dann, wenn“-Aussage.

1. \(36=6^2\), also ist \(\sqrt{36}=6\) rational. 2. \(45\) ist keine Quadratzahl. Daher ist \(\sqrt{45}\) irrational. 3. \(64=8^2\), also ist \(\sqrt{64}=8\) rational. 4. \(70\) ist keine Quadratzahl. Daher ist \(\sqrt{70}\) irrational. 5. \(121=11^2\), also ist \(\sqrt{121}=11\) rational. 6. Für eine natürliche Zahl \(n\) ist \(\sqrt n\) genau dann rational, wenn \(n\) eine Quadratzahl ist. Ist \(n\) keine Quadratzahl, so ist \(\sqrt n\) irrational.

Rational: \(\sqrt{36}\), \(\sqrt{64}\), \(\sqrt{121}\). Irrational: \(\sqrt{45}\), \(\sqrt{70}\). Regel: Für \(n\in\mathbb N\) ist \(\sqrt n\) genau dann rational, wenn \(n\) eine Quadratzahl ist.

- Beim Quadrat ist der Flächeninhalt das Quadrat der Seitenlänge. - Prüfe, ob \(2\) eine Quadratzahl ist. - Unterscheide zwischen einer exakten symbolischen Darstellung und einer gerundeten Dezimaldarstellung.

1. Für ein Quadrat gilt \(A=s^2\). Mit \(A=2\,\text{cm}^2\) folgt \(s^2=2\,\text{cm}^2\). 2. Da eine Seitenlänge nicht negativ ist, gilt \(s=\sqrt2\,\text{cm}\). 3. Die Zahl \(2\) ist keine Quadratzahl einer natürlichen Zahl. Daher ist \(\sqrt2\) irrational. 4. Eine irrationale Zahl besitzt keine endliche oder periodische Dezimaldarstellung. Deshalb ist \(1{,}414\,\text{cm}\) nur ein gerundeter Näherungswert, während \(\sqrt2\,\text{cm}\) den exakten Wert bezeichnet.

a) \(s=\sqrt2\,\text{cm}\) b) irrational c) \(1{,}414\,\text{cm}\) ist gerundet; \(\sqrt2\,\text{cm}\) ist die exakte Seitenlänge.

- Wandle jede gemischte Zahl zuerst in einen vollständig gekürzten Bruch um. - Prüfe anschließend getrennt, ob Zähler und Nenner Quadratzahlen sind. - Bei einem vollständig gekürzten positiven Bruch ist die Quadratwurzel genau dann rational, wenn sowohl Zähler als auch Nenner Quadratzahlen sind.

1. Zu a): \(3\frac{1}{16} = \frac{49}{16}\). Da \(49 = 7^2\) und \(16 = 4^2\), gilt \(\sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4}\). Das Ergebnis ist rational. 2. Zu b): \(2\frac{14}{25} = \frac{64}{25}\). Da \(64 = 8^2\) und \(25 = 5^2\), gilt \(\sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{8}{5}\). Das Ergebnis ist rational. 3. Zu c): \(1\frac{4}{5} = \frac{9}{5}\). Der Bruch ist vollständig gekürzt. Für die Quadratwurzel eines positiven vollständig gekürzten Bruchs gilt: Sie ist genau dann rational, wenn Zähler und Nenner Quadratzahlen sind. Zwar ist \(9\) eine Quadratzahl, \(5\) aber nicht. Daher ist \(\sqrt{\frac{9}{5}}\) irrational. 4. Zu d): \(7\frac{1}{9} = \frac{64}{9}\). Da \(64 = 8^2\) und \(9 = 3^2\), gilt \(\sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{8}{3}\). Das Ergebnis ist rational.

a) \(\frac{7}{4}\), rational b) \(\frac{8}{5}\), rational c) \(\sqrt{\frac{9}{5}}\), irrational d) \(\frac{8}{3}\), rational

- Nutze bei a) die Definition einer rationalen Zahl als Quotient ganzer Zahlen. - Bei Aussagen mit „immer“ genügt ein einziges Gegenbeispiel zum Widerlegen. - Erinnere dich bei c) an die Bruchdarstellung periodischer Dezimalzahlen und teste bei d) einfache irrationale Wurzeln.

1. Aussage a) ist wahr. Jede ganze Zahl \(z\) lässt sich als \(\frac{z}{1}\) schreiben und ist daher rational. 2. Aussage b) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(\sqrt{9} = 3\); dieser Wurzelwert ist rational. 3. Aussage c) ist wahr. Jede periodische Dezimalzahl lässt sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen; zum Beispiel ist \(0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}\). 4. Aussage d) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\). Beide Faktoren sind irrational, das Produkt ist rational.

a) Wahr, denn \(z = \frac{z}{1}\). b) Falsch; Gegenbeispiel: \(\sqrt{9} = 3\). c) Wahr; periodische Dezimalzahlen sind rational. d) Falsch; Gegenbeispiel: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\).

- Was ist der entscheidende Unterschied zwischen einer periodischen und einer nichtperiodischen unendlichen Dezimalzahl? - Wie kann man eine rein periodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln? Erinnere dich an den Trick mit der Multiplikation mit einer Zehnerpotenz. - Überlege, ob sich bei der zweiten Zahl wirklich ein Muster wiederholt oder ob es sich nur nach einer Regel verändert.

1. Analyse von \(x\): Die Ziffernfolge ist periodisch (\(1{,}\overline{23}\)). Periodische Dezimalbrüche sind immer rational, da sie als Bruch darstellbar sind. 2. Analyse von \(y\): Die Ziffernfolge ist unendlich und nichtperiodisch, da sich das Muster (Anzahl der Zweien) ständig ändert. Solche Zahlen sind irrational. 3. Umwandlung von \(x\) in einen Bruch: Sei \(x = 1{,}\overline{23}\). \(100x = 123{,}\overline{23}\) \(100x - x = 123{,}\overline{23} - 1{,}\overline{23}\) \(99x = 122\) \(x = \frac{122}{99}\). Prüfung auf Kürzbarkeit: \(122 = 2 \cdot 61\), \(99 = 3^2 \cdot 11\). Es gibt keine gemeinsamen Teiler; der Bruch ist bereits gekürzt.

1. \(x\) ist rational (\(\mathbb{Q}\)), \(y\) ist irrational (\(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)). 2. \(x\) ist periodisch (\(1{,}\overline{23}\)); periodische Dezimalzahlen sind rational. \(y\) ist unendlich und nichtperiodisch; daher ist \(y\) irrational. 3. \(x = \frac{122}{99}\).

- Überlege dir, was passieren würde, wenn das Ergebnis der Rechnung rational wäre. - Könnte man die Gleichung so umstellen, dass die irrationale Zahl allein auf einer Seite steht? - Was weißt du über das Rechnen mit Brüchen (rationalen Zahlen)? Bleibt das Ergebnis ein Bruch? - Suche für das Gegenbeispiel nach zwei Zahlen, die sich gegenseitig „aufheben“.

1. Annahme zum Widerspruch: Die Summe \(q = r + s\) sei eine rationale Zahl. 2. Da \(r\) und \(q\) rational sind, lässt sich die Gleichung nach \(s\) umstellen: \(s = q - r\). 3. Die Differenz zweier rationaler Zahlen ist stets rational. Daraus würde folgen, dass \(s\) eine rationale Zahl ist. 4. Dies steht im Widerspruch zur Voraussetzung, dass \(s\) irrational ist. Somit muss die Summe \(r + s\) irrational sein. 5. Gegenbeispiel für b): Wählt man zwei irrationale Zahlen wie \(a = \sqrt{2}\) und \(b = -\sqrt{2}\), so ergibt deren Summe \(a + b = 0\). Da \(0\) eine rationale Zahl ist, ist die Summe zweier irrationaler Zahlen nicht zwingend irrational.

a) Angenommen, die Summe \(r+s=q\) wäre rational. Dann wäre \(s=q-r\) ebenfalls rational (Differenz zweier rationaler Zahlen), was der Voraussetzung widerspricht. b) Nein, die Summe muss nicht irrational sein. Ein Gegenbeispiel ist \(\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0\).

- Kannst du die Wurzelterme mithilfe von Rechenregeln zusammenfassen? - Versuche, bei größeren Zahlen unter der Wurzel Faktoren zu finden, die Quadratzahlen sind. - Erkennst du in Teilaufgabe c) eine bekannte Formel aus der Algebra? - Was passiert mit einer Wurzel, wenn man sie mit sich selbst multipliziert oder quadriert?

1. Zu a): Anwendung der Produktregel für Wurzeln: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16}\). Das Ergebnis ist \(4\), eine rationale Zahl. 2. Zu b): Teilweises Wurzelziehen bei \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\). Die Summe ist \(\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\). Da \(\sqrt{3}\) irrational ist, ist auch das Produkt mit der rationalen Zahl \(4\) irrational. 3. Zu c): Anwendung der dritten binomischen Formel: \((5 - \sqrt{6}) \cdot (5 + \sqrt{6}) = 5^2 - (\sqrt{6})^2\). Dies ergibt \(25 - 6 = 19\). Das Ergebnis ist eine rationale Zahl.

a) Rational, da \(\sqrt{16} = 4\). b) Irrational, da \(\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\). c) Rational, da \(25 - 6 = 19\) (3. binomische Formel).

- Vergleiche geeignete Dezimalzahlen mit \(\sqrt7\), indem du ihre Quadrate mit \(7\) vergleichst. - Erinnere dich daran, was eine rationale Zahl von einer irrationalen Zahl unterscheidet. - Überlege, zu welcher Zahlenmenge endliche Dezimalzahlen gehören.

1. Es gilt \(2^2=4\) und \(3^2=9\), also \(2<\sqrt7<3\). Weiter ist \(2{,}6^2=6{,}76\) und \(2{,}7^2=7{,}29\). Daher gilt \(2{,}6<\sqrt7<2{,}7\). 2. Eine irrationale Zahl lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Insbesondere ist \(\sqrt7\) nicht rational. 3. Alle endlichen Dezimalzahlen und damit alle bei einer solchen Intervallschachtelung verwendeten endlichen Dezimalgrenzen sind rational. 4. Könnte eine dieser rationalen Grenzen irgendwann exakt \(\sqrt7\) sein, wäre \(\sqrt7\) rational. Das widerspricht ihrer Irrationalität. Man kann \(\sqrt7\) beliebig genau eingrenzen, aber nicht durch eine endliche rationale Dezimalzahl exakt treffen.

a) \(2{,}6<\sqrt7<2{,}7\) b) Die Behauptung ist falsch. Jede endliche Dezimalgrenze ist rational, \(\sqrt7\) aber irrational. Die Intervalle können beliebig klein werden, ohne dass ein rationaler Endpunkt exakt \(\sqrt7\) ist.

- Was unterscheidet die Dezimaldarstellung einer rationalen von der einer irrationalen Zahl? - Wie kannst du sicherstellen, dass sich eine Ziffernfolge immer wiederholt? - Wie kannst du eine Folge entwerfen, die zwar einer Regel folgt, aber nie in eine feste Wiederholung (Periode) verfällt?

1. Definition einer rationalen Zahl: Ein Dezimalbruch ist rational, wenn er abbricht oder unendlich periodisch ist. 2. Konstruktion einer rationalen Zahl: Durch Wiederholung des Blocks \(45\) entsteht die rein periodische Zahl \(0{,}\overline{45} = 0{,}4545454545...\). Die nächsten zehn Ziffern sind \(4, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5\). 3. Definition einer irrationalen Zahl: Ein Dezimalbruch ist irrational, wenn er unendlich und nichtperiodisch ist. 4. Konstruktion einer irrationalen Zahl: Ein Muster mit zunehmender Anzahl an Nullen zwischen den Einsen, zum Beispiel \(0{,}450100100010...\). Die nächsten zehn Ziffern sind \(0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0\). Da sich die Anzahl der Nullen ständig vergrößert, kann sich kein fester Ziffernblock unendlich oft wiederholen.

a) Beispiel: \(0{,}454545454545...\) (Ziffern: \(4, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5\)). Die Zahl ist rational, da sie periodisch ist. b) Beispiel: \(0{,}450100100010...\) (Ziffern: \(0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0\)). Die Zahl ist irrational, da das Muster (immer eine Null mehr) sicherstellt, dass die Dezimaldarstellung nichtperiodisch und unendlich ist.

- Für a) genügt irgendeine endliche Dezimalzahl im offenen Intervall. - Überlege bei b), wie eine rein periodische Dezimaldarstellung aussehen kann, die mit \(0{,}45\ldots\) beginnt. - Multipliziere die Ungleichung in c) mit \(200\), um mögliche Zähler einzugrenzen. - Für d) brauchst du ein nicht abbrechendes Muster, das sich niemals periodisch wiederholt.

1. Eine mögliche abbrechende Dezimalzahl ist \(0{,}454\). 2. Eine mögliche rein periodische Dezimalzahl ist \(0{,}\overline{455}=\frac{455}{999}\approx0{,}455455\ldots\); sie liegt zwischen \(0{,}45\) und \(0{,}46\). 3. Für \(\frac{z}{200}\) muss \(0{,}45<\frac{z}{200}<0{,}46\) gelten. Daraus folgt \(90<z<92\), also \(z=91\). Damit ist \(\frac{91}{200}=0{,}455\) eine passende Zahl. 4. Eine mögliche irrationale Zahl ist \(0{,}4501001000100001\ldots\), wobei die Anzahl der Nullen zwischen zwei Einsen jeweils um eins wächst. Die Dezimaldarstellung bricht nicht ab und wird nicht periodisch.

a) Zum Beispiel \(0{,}454\) b) Zum Beispiel \(0{,}\overline{455}\) c) \(\frac{91}{200}\) d) Zum Beispiel \(0{,}4501001000100001\ldots\), wobei die Anzahl der Nullen zwischen zwei Einsen jeweils wächst.

- Vereinfache Summe und Differenz zunächst exakt. - Um eine positive Zahl als untere oder obere Grenze für \(\sqrt2\) zu prüfen, vergleiche ihr Quadrat mit \(2\). - Übertrage anschließend das ganze Intervall auf den Ausdruck für \(d\).

1. Für die Summe gilt \(s=\sqrt2+(2-\sqrt2)=2\). Damit ist \(s\) rational. 2. Für die Differenz gilt \(d=\sqrt2-(2-\sqrt2)=2\sqrt2-2\). 3. Es ist \(1{,}4142^2=1{,}99996164<2\) und \(1{,}4143^2=2{,}00024449>2\). Daher gilt \(1{,}4142<\sqrt2<1{,}4143\). 4. Multiplikation mit \(2\) und anschließende Subtraktion von \(2\) ergibt \(0{,}8284<d<0{,}8286\). 5. In diesem gesamten Intervall lauten die ersten drei Ziffern nach dem Komma \(828\).

a) \(s=2\), also rational. b) Die ersten drei Ziffern nach dem Komma von \(d\) sind \(828\).

- Wähle zuerst einen einfachen rationalen Wurzelwert mit genau einer Nachkommastelle und quadriere ihn. - Schreibe eine rationale Zahl als vollständig gekürzten Bruch und überlege, welche Primfaktoren ihr Nenner haben darf, wenn ihr Quadrat ein endlicher Dezimalbruch ist. - Wie verändert sich die Anzahl der Nachkommastellen beim Quadrieren einer endlichen Dezimalzahl?

1. Wähle beispielsweise \(\sqrt{z} = 0{,}5\). Dann ist \(z = 0{,}5^2 = 0{,}25\), und es gilt \(0{,}01 < 0{,}25 < 1\). 2. Sei eine endliche Dezimalzahl das Quadrat einer rationalen Zahl. Schreibe diese rationale Zahl als vollständig gekürzten Bruch \(\frac{p}{q}\). Da \(\frac{p^2}{q^2}\) eine endliche Dezimalzahl ist, kann \(q\) nur die Primfaktoren 2 und 5 enthalten. Damit besitzt auch \(\frac{p}{q}\) eine endliche Dezimaldarstellung. Hat diese Darstellung ohne überflüssige Endnullen \(n\) Nachkommastellen, so besitzt ihr Quadrat zunächst \(2n\) Nachkommastellen. Beim Entfernen von Endnullen verschwinden wegen des Quadrierens stets jeweils zwei Stellen. Daher bleibt die Anzahl der Nachkommastellen gerade. 3. Die Zahl \(0{,}1\) hat in ihrer Darstellung ohne überflüssige Endnullen genau eine Nachkommastelle. Sie kann daher nicht das Quadrat einer rationalen Zahl sein. Folglich ist \(\sqrt{0{,}1}\) irrational.

a) Zum Beispiel \(z = 0{,}25\), denn \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\). b) Ist eine endliche Dezimalzahl das Quadrat einer rationalen Zahl, so hat ihre Darstellung ohne überflüssige Endnullen eine gerade Anzahl an Nachkommastellen. c) \(\sqrt{0{,}1}\) ist irrational.

- Schau dir an, wie sich die Länge der Blöcke aus Einsen oder Dreien verändert. - Wann ist ein Dezimalbruch rational und wann irrational? Hat das etwas mit Mustern oder Wiederholungen zu tun? - Addiere die Zahlen Stelle für Stelle untereinander. Fällt dir ein Muster im Ergebnis auf? - Erinnerst du dich, wie man rein periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandelt?

1. Bildungsgesetz \(x\): Nach dem Komma folgen Blöcke aus \(n\) Einsen, die jeweils von einer einzelnen Null abgeschlossen werden (\(n = 1, 2, 3, \ldots\)). 2. Bildungsgesetz \(y\): Nach dem Komma folgen Blöcke aus \(n\) Dreien, die jeweils von einer einzelnen Vier abgeschlossen werden (\(n = 1, 2, 3, \ldots\)). 3. Begründung der Irrationalität: Da die Anzahl der Einsen bzw. Dreien in jedem Block um eins zunimmt, kann die Ziffernfolge niemals periodisch werden. Unendliche, nichtperiodische Dezimalbrüche sind irrational. 4. Berechnung der Summe: An jeder Nachkommastelle \(k\) werden entweder die Ziffern \(1\) und \(3\) oder die Ziffern \(0\) und \(4\) addiert. In beiden Fällen ergibt die Summe der Ziffern \(4\). 5. Ergebnis: Die Summe ist \(0{,}4444\ldots = 0{,}\overline{4}\). 6. Umwandlung in einen Bruch: \(0{,}\overline{4} = \frac{4}{9}\).

a) Bei \(x\) folgt auf \(n\) Einsen eine Null; bei \(y\) folgt auf \(n\) Dreien eine Vier (\(n\) steigt jeweils an). b) Die Zahlen sind irrational, da die Ziffernfolgen durch die wachsenden Blocklängen nicht periodisch sind. c) Die Summe ist \(0{,}\overline{4}\), was dem Bruch \(\frac{4}{9}\) entspricht.

- Trenne die Eigenschaft „nach einer Regel gebildet“ von der Definition rationaler Dezimaldarstellungen. - Suche in der fortgesetzten Ziffernfolge nach Strukturen, deren Länge nicht durch eine feste Periode begrenzt werden könnte. - Prüfe auch den Sonderfall einer Periode, die nur aus Nullen bestünde.

1. Eine reelle Zahl ist genau dann rational, wenn ihre Dezimaldarstellung abbricht oder ab einer Stelle periodisch wird. 2. Die Dezimaldarstellung von \(a\) bricht nicht ab, weil immer weitere natürliche Zahlen angefügt werden. 3. Sie ist auch nicht schließlich periodisch. Für jedes \(m\in\mathbb N\) enthält der angefügte Zahlenblock \(10^m\) eine Folge von \(m\) Nullen. Daher treten beliebig lange Nullfolgen auf. 4. Eine feste schließlich periodische Dezimaldarstellung, deren Periode nicht nur aus Nullen besteht, besitzt eine feste obere Schranke für die Länge aufeinanderfolgender Nullen. Bestünde die Periode nur aus Nullen, würde die Dezimaldarstellung schließlich abbrechen. Beides trifft auf \(a\) nicht zu. 5. Damit ist \(a\) irrational. Ein vorhersagbares Bildungsgesetz allein genügt nicht für Rationalität.

Leons Behauptung ist falsch. Die Dezimaldarstellung bricht nicht ab und ist nicht schließlich periodisch. Insbesondere entstehen durch die Blöcke \(10^m\) beliebig lange Nullfolgen, was mit einer festen nichttrivialen Periode unvereinbar ist. Daher ist \(a\) irrational.

- Wie wandelt man rein periodische Dezimalzahlen in Brüche um? Welche Rolle spielt die Neun im Nenner? - Vergleiche die Zahlen Stelle für Stelle von links nach rechts, um ihre Größe zu bestimmen. - Erinnere dich daran, dass jeder abbrechende Dezimalbruch eine rationale Zahl ist.

1. Umwandlung von \(x\): Da \(x = 0{,}1212...\) eine rein periodische Zahl mit der Periodenlänge 2 ist, gilt \(x = \frac{12}{99}\). Kürzen durch 3 ergibt \(x = \frac{4}{33}\). 2. Analyse von \(y\): Das Bildungsgesetz von \(y\) sieht Blöcke von Einsen und Zweien mit jeweils zunehmender Länge vor. Da die Blocklängen ständig wachsen, gibt es keine feste Periode. Eine unendliche, nichtperiodische Dezimalzahl ist irrational. 3. Vergleich der Stellen: \(x = 0{,}121212...\) \(y = 0{,}121122...\) An der vierten Nachkommastelle hat \(x\) eine \(2\) und \(y\) eine \(1\). Somit ist \(y < x\). 4. Konstruktion von \(z\): Eine rationale Zahl zwischen \(y\) und \(x\) ist zum Beispiel der abbrechende Dezimalbruch \(z = 0{,}1212\). Es gilt \(0{,}121122... < 0{,}121200 < 0{,}121212...\).

a) \(x = \frac{4}{33}\) b) \(y\) ist irrational, da die Ziffernfolge durch die systematische Vergrößerung der Blöcke unendlich und nichtperiodisch ist. c) Beispiel: \(z = 0{,}1212\). Begründung: \(0{,}121122\ldots < 0{,}121200 < 0{,}121212\ldots\). Daher liegt \(z\) zwischen \(y\) und \(x\).