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- Prüfe zuerst, ob die Zahl natürlich oder ganzzahlig ist. - Überlege, ob sie sich als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben lässt. - Gesucht ist die kleinste passende Menge, nicht nur irgendeine Menge, die die Zahl enthält.

1. Die Zahl \(-\frac{3}{4}\) ist ein Quotient zweier ganzer Zahlen und damit rational. 2. Sie ist weder natürlich noch ganzzahlig. Die kleinste passende Menge ist daher \(\mathbb{Q}\).

\(\mathbb{Q}\)

- Lies die dargestellte Kette von der größeren zur kleineren Zahlenmenge. - Gesucht ist eine Menge, die alle natürlichen Zahlen enthält und selbst in \(\mathbb{Q}\) enthalten ist. - Überlege, zu welcher Menge auch negative ganze Zahlen gehören.

1. Zwischen den rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) und den natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) liegen in der Einschlusskette die ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\). 2. Daher gehört \(\mathbb{Z}\) an die Stelle mit dem Fragezeichen.

\(\mathbb{Z}\)

- Nutze die Mengenübersicht: Jede natürliche Zahl ist auch ganz, jede ganze Zahl auch rational und jede rationale Zahl auch reell. - Vereinfache oder untersuche jeden Ausdruck, bevor du ihn einer Menge zuordnest. - Bei einer positiven Zahl kannst du ihren Wert manchmal bestimmen, indem du ihr Quadrat berechnest.

1. Zu a): \(\sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). Als endlicher Dezimalbruch ist \(1{,}5\) rational, aber nicht ganzzahlig. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{Q}\). 2. Zu b): \(\sqrt{12}\) ist irrational, da \(12\) keine Quadratzahl ist. Die kleinste der angegebenen Mengen ist daher \(\mathbb{R}\). 3. Zu c): \(\pi\) ist irrational. Würde \(\pi - 3\) rational sein, wäre auch \((\pi - 3) + 3 = \pi\) rational. Das ist ein Widerspruch. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{R}\). 4. Zu d): Der Ausdruck ist positiv. Sein Quadrat ist \(\left(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{50}{2} = 25\). Daher hat der Ausdruck den Wert \(5\), also ist die kleinste Menge \(\mathbb{N}\). 5. Zu e): \(-3{,}14 = -\frac{157}{50}\) ist rational, aber nicht ganzzahlig. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{Q}\).

a) \(\mathbb{Q}\) b) \(\mathbb{R}\) c) \(\mathbb{R}\) d) \(\mathbb{N}\) e) \(\mathbb{Q}\)

- Wie berechnet man genau die Mitte zwischen zwei Zahlen? - Wenn du eine Zahl gefunden hast, die zwischen zwei anderen liegt, kannst du das Verfahren dann auf die neuen Zwischenräume anwenden? - Was würde passieren, wenn du versuchst, die Zahl, die am nächsten an der Null liegt, immer wieder zu halbieren?

1. Berechnung der ersten Zahl als Mittelwert von \(a = \frac{3}{4}\) und \(b = 1\): \(m_1 = \frac{\frac{3}{4} + 1}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8}\). 2. Berechnung der zweiten Zahl als Mittelwert von \(a = \frac{3}{4}\) und \(m_1 = \frac{7}{8}\): \(m_2 = \frac{\frac{6}{8} + \frac{7}{8}}{2} = \frac{13}{16}\). 3. Berechnung der dritten Zahl als Mittelwert von \(m_1 = \frac{7}{8}\) und \(b = 1\): \(m_3 = \frac{\frac{7}{8} + \frac{8}{8}}{2} = \frac{15}{16}\). Die drei Zahlen sind \(\frac{7}{8}\), \(\frac{13}{16}\) und \(\frac{15}{16}\). 4. Begründung zur kleinsten positiven rationalen Zahl: Angenommen, es gäbe eine kleinste positive rationale Zahl \(r > 0\). Da die rationalen Zahlen dicht liegen, muss zwischen \(0\) und \(r\) eine weitere rationale Zahl liegen (z. B. der Mittelwert \(\frac{r}{2}\)). Da \(\frac{r}{2} < r\) und ebenfalls positiv und rational ist, kann \(r\) nicht die kleinste sein. Dies lässt sich unendlich oft wiederholen.

a) Drei mögliche Zahlen sind \(\frac{7}{8}\), \(\frac{13}{16}\) und \(\frac{15}{16}\). b) Da zwischen der Zahl \(0\) und jeder noch so kleinen positiven rationalen Zahl \(r\) wegen der Dichtheit (z. B. durch Halbieren) immer eine noch kleinere positive rationale Zahl liegt, kann es keine kleinste geben.

- Überlege dir, wie man den Punkt genau in der Mitte zwischen zwei Zahlen berechnet. - Was passiert, wenn du eine Gleichung umstellst? - Kannst du dir ein Intervall vorstellen, das so klein ist, dass keine „komplizierten“ Zahlen mehr hineinpassen?

1. Prüfung von Aussage a): Zwischen zwei rationalen Zahlen \(a\) und \(b\) liegt immer ihr Mittelwert \(\frac{a+b}{2}\). Da die Summe rationaler Zahlen sowie der Quotient einer rationalen Zahl durch eine von null verschiedene rationale Zahl wieder rational sind, ist der Mittelwert rational. Die Aussage ist wahr. 2. Prüfung von Aussage b): Angenommen, die Summe einer rationalen Zahl \(r\) und einer irrationalen Zahl \(i\) wäre eine rationale Zahl \(s\). Dann müsste \(i = s - r\) gelten. Da die Differenz zweier rationaler Zahlen rational ist, wäre \(i\) rational, was im Widerspruch zur Voraussetzung steht. Die Aussage ist wahr. 3. Prüfung von Aussage c): In jedem noch so kleinen Intervall reeller Zahlen finden sich aufgrund der Dichtheit der irrationalen Zahlen stets unendlich viele irrationale Zahlen (z. B. durch Verschiebung von \(\sqrt{2}\)). Es gibt also kein Intervall ohne irrationale Zahlen. Die Aussage ist falsch.

a) Wahr. b) Wahr. c) Falsch.

- Bilde für ein arithmetisches Mittel zuerst die Summe und teile anschließend durch zwei. - Schreibe für Teil c) beide Grenzen mit dem Nenner \(80\). - Achte darauf, keine bereits gefundene Zahl erneut zu verwenden.

1. \(m_1 = \frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{4}}{2} = \frac{\frac{9}{20}}{2} = \frac{9}{40}\). 2. \(m_2 = \frac{\frac{1}{5}+\frac{9}{40}}{2} = \frac{\frac{17}{40}}{2} = \frac{17}{80}\). 3. Es gilt \(a = \frac{16}{80}\) und \(b = \frac{20}{80}\). Zwischen diesen Brüchen liegen \(\frac{17}{80}\), \(\frac{18}{80}\) und \(\frac{19}{80}\). Da \(\frac{17}{80}=m_2\) und \(\frac{18}{80}=\frac{9}{40}=m_1\), ist beispielsweise \(\frac{19}{80}\) eine weitere passende Zahl.

a) \(m_1=\frac9{40}\) b) \(m_2=\frac{17}{80}\) c) Zum Beispiel \(\frac{19}{80}\).

- Überlege zuerst, welche Zahl du für \(x\) einsetzen musst, damit die Gleichung stimmt. - Erinnere dich an die Definitionen: Sind natürliche Zahlen auch in den ganzen Zahlen enthalten? - Wann genau entsteht eine rationale Zahl, die keine ganze Zahl mehr ist? - Was passiert, wenn du die Wurzel aus einer Zahl ziehst, die keine Quadratzahl ist?

1. Lösung der Gleichung \(x + 15 = 11\): \(x = -4\). Da \(-4\) eine negative ganze Zahl ist, ist die kleinste Menge \(\mathbb{Z}\). 2. Lösung der Gleichung \(8x = 6\): \(x = \frac{6}{8} = 0{,}75\). Da dies ein endlicher Dezimalbruch ist, ist die kleinste Menge \(\mathbb{Q}\). 3. Lösung der Gleichung \(x^2 = 7\): \(x_1 = \sqrt{7}\) und \(x_2 = -\sqrt{7}\). Da \(7\) keine Quadratzahl ist, sind die Lösungen irrational. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{R}\). Begründung: Die Quadratwurzel aus einer Primzahl ist stets irrational und kann nicht als Bruch dargestellt werden. 4. Lösung der Gleichung \(x^2 = 1{,}21\): \(x_1 = 1{,}1\) und \(x_2 = -1{,}1\). Da \(1{,}1 = \frac{11}{10}\), handelt es sich um rationale Zahlen. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{Q}\). 5. Lösung der Gleichung \(x - 9 = 21\): \(x = 30\). Da \(30\) eine positive ganze Zahl ist, ist die kleinste Menge \(\mathbb{N}\).

a) \(\mathbb{Z}\) b) \(\mathbb{Q}\) c) \(\mathbb{R}\) (Begründung: \(\sqrt{7}\) ist irrational) d) \(\mathbb{Q}\) e) \(\mathbb{N}\)

- „Irrational“ beschreibt die fehlende Darstellung als Bruch, nicht eine fehlende Genauigkeit. - Denke an die Beziehung zwischen \(\mathbb Q\), den irrationalen Zahlen und \(\mathbb R\). - Frage dich, welche Zahlen fehlen würden, wenn man ausschließlich Brüche zuließe.

1. \(\sqrt2\) ist irrational, weil sie nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. 2. Irrational bedeutet nicht ungenau. Das Symbol \(\sqrt2\) bezeichnet einen exakten Wert; lediglich seine Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch. 3. Rationale und irrationale Zahlen zusammen bilden die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb R\). 4. Die Erweiterung ist notwendig, weil es exakte mathematische Größen gibt, die in \(\mathbb Q\) keinen Wert besitzen, aber in \(\mathbb R\) enthalten sind.

a) irrational b) \(\sqrt2\notin\mathbb Q\), ist aber als Quadratwurzel von \(2\) exakt bestimmt. c) \(\mathbb R\) d) Die Erweiterung ist nötig, damit auch exakte irrationale Größen als Zahlen erfasst werden.

- Endliche und periodische Dezimaldarstellungen gehören zu rationalen Zahlen. - Eine unendliche nicht periodische Dezimaldarstellung kennzeichnet eine irrationale Zahl. - Prüfe bei Quadratwurzeln zuerst, ob der Radikand eine Quadratzahl ist.

1. \(0{,}125\) besitzt eine endliche Dezimaldarstellung und ist daher rational. 2. \(0{,}\overline{27}\) ist unendlich periodisch und daher rational. 3. Die angegebene Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch; die Zahl ist daher irrational. 4. \(\sqrt{49}=7\). Die Zahl hat eine endliche Dezimaldarstellung und ist rational. 5. \(5\) ist keine Quadratzahl einer natürlichen Zahl. Daher ist \(\sqrt5\) irrational; ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch.

1) endlich; rational 2) unendlich periodisch; rational 3) unendlich nicht periodisch; irrational 4) endlich; rational 5) unendlich nicht periodisch; irrational

- Suche nach einem Gegenbeispiel, um eine „Immer“-Aussage zu widerlegen. - Denke an periodische Dezimalbrüche. Was weißt du über ihre Darstellung als Bruch? - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Mengen „disjunkt“ sind? - Wie würdest du die Mitte zwischen zwei Zahlen auf dem Zahlenstrahl berechnen?

1. Aussage 1 ist falsch. Gegenbeispiel: \(\sqrt{2}\) und \(-\sqrt{2}\) sind beide irrational, aber ihre Summe \(\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0\) ist rational. 2. Aussage 2 ist falsch. Periodische Dezimalzahlen wie \(0{,}\bar{3} = \frac{1}{3}\) haben unendlich viele Nachkommastellen, sind aber rational. 3. Aussage 3 ist wahr. Eine Zahl kann nicht gleichzeitig rational (als Bruch darstellbar) und irrational (nicht als Bruch darstellbar) sein. Die Mengen sind disjunkt. 4. Aussage 4 ist wahr. Man kann zum Beispiel immer den Mittelwert \(\frac{a+b}{2}\) zweier rationaler Zahlen \(a\) und \(b\) bilden, der ebenfalls rational ist.

1. Falsch (Gegenbeispiel: \(\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0\)). 2. Falsch (Gegenbeispiel: \(0{,}\bar{3} = \frac{1}{3}\)). 3. Wahr (Rationale und irrationale Zahlen schließen sich gegenseitig aus). 4. Wahr (Man kann stets den Mittelwert bilden).

- Nutze deinen Taschenrechner, um die Dezimalwerte der Wurzeln zu schätzen. - Um eine Wurzel \(\sqrt{n}\) in einem Intervall zu finden, hilft es, die Grenzen des Intervalls zu quadrieren. - Erinnere dich an die Definition von „dicht“: Gilt sie wirklich für *jedes* Paar von Zahlen aus der Menge?

1. Bestimmung einer rationalen Zahl zwischen \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\) und \(\sqrt{6} \approx 2{,}449\): Jede rationale Zahl in diesem Bereich ist korrekt, z. B. \(q = 2{,}3\) oder \(q = 2{,}4\). 2. Suche nach einer irrationalen Zahl \(\sqrt{n}\) zwischen \(2{,}5\) und \(3\): Es muss gelten \(2{,}5^2 < n < 3^2\), also \(6{,}25 < n < 9\). Mögliche Werte für \(n\) sind \(7\) oder \(8\). Da \(\sqrt{7}\) und \(\sqrt{8}\) irrational sind, sind dies gültige Lösungen. 3. Untersuchung der Dichtheit: Zwischen \(\sqrt{1} = 1\) und \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) liegt keine weitere Zahl der Form \(\sqrt{n}\), da es zwischen den Radikanden \(1\) und \(2\) keine weitere natürliche Zahl gibt. Da die Bedingung „zwischen zwei beliebigen Zahlen liegt mindestens eine weitere der Menge“ hier verletzt ist, liegt diese Menge nicht dicht.

a) Zum Beispiel \(q = 2{,}3\). b) Zum Beispiel \(\sqrt{7}\) oder \(\sqrt{8}\). c) Nein, die Menge ist nicht dicht. Zwischen \(\sqrt{1}\) und \(\sqrt{2}\) liegt keine weitere Zahl der Form \(\sqrt{n}\), da keine natürliche Zahl zwischen \(1\) und \(2\) existiert.

- Wie berechnet man das arithmetische Mittel zweier Brüche? - Um Brüche zu vergleichen, ist es hilfreich, sie auf denselben Nenner zu bringen. - Wenn man immer wieder einen neuen Punkt in der Mitte finden kann, nimmt dieser Prozess jemals ein Ende?

1. Berechnung des Mittelwerts: \(m = \frac{a+b}{2} = \frac{\frac{2}{3} + \frac{3}{4}}{2}\). Hauptnenner bilden: \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) und \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\). 2. Summe bilden: \(\frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}\). Mittelwert: \(m = \frac{17}{12} {:} 2 = \frac{17}{24}\). Da \(17\) und \(24\) ganze Zahlen sind, ist \(m\) rational. 3. Größenvergleich: Um \(a, m, b\) zu vergleichen, bringen wir sie auf den Nenner \(24\). \(a = \frac{16}{24}\), \(m = \frac{17}{24}\), \(b = \frac{18}{24}\). Es gilt offensichtlich \(16 < 17 < 18\), also \(a < m < b\). 4. Schlussfolgerung: Da man zwischen zwei beliebige rationale Zahlen immer wieder deren Mittelwert (der rational ist) legen kann, gibt es unendlich viele rationale Zahlen zwischen \(a\) und \(b\).

a) \(m = \frac{17}{24}\). Da es als Bruch ganzer Zahlen darstellbar ist, ist es rational. b) Mit dem Nenner \(24\) ergibt sich \(\frac{16}{24} < \frac{17}{24} < \frac{18}{24}\). c) Es gibt unendlich viele rationale Zahlen zwischen \(a\) und \(b\).

- Eine endliche Dezimalzahl ist rational. - Für eine irrationale Zahl kannst du eine bekannte irrationale Zahl geeignet verkleinern und verschieben. - Welche Zahl liegt genau in der Mitte zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen?

1. Eine mögliche rationale Zahl ist \(q = 3{,}05\). 2. Eine mögliche irrationale Zahl ist \(i = 3 + \frac{\sqrt{2}}{20}\). Wegen \(1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5\) gilt \(3{,}07 < 3 + \frac{\sqrt{2}}{20} < 3{,}075\), also liegt \(i\) im verlangten Intervall. Die Zahl ist irrational, weil \(\frac{\sqrt{2}}{20}\) irrational ist und die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl irrational ist. 3. Für beliebige reelle Zahlen \(x < y\) liegt ihr arithmetisches Mittel \(m = \frac{x+y}{2}\) ebenfalls in \(\mathbb{R}\), und es gilt \(x < m < y\). Daher ist \(\mathbb{R}\) dicht geordnet.

a) Zum Beispiel \(q = 3{,}05\). b) Zum Beispiel \(i = 3 + \frac{\sqrt{2}}{20}\). c) Für \(x < y\) ist \(\frac{x+y}{2}\) eine reelle Zahl mit \(x < \frac{x+y}{2} < y\).

- Was muss für eine Zahl gelten, damit sie in einem Intervall \([a; b]\) liegt? - Wie kannst du eine Wurzel mit den Grenzen vergleichen, ohne die Wurzel direkt zu ziehen? - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, um sie direkt vergleichen zu können.

1. Überprüfung von \(\sqrt{29}\): Berechne die Quadrate der Intervallgrenzen: \(5{,}38^2 = 28{,}9444\) und \(5{,}39^2 = 29{,}0521\). Da \(28{,}9444 < 29 < 29{,}0521\), liegt \(\sqrt{29}\) im Intervall. 2. Überprüfung von \(\frac{43}{8}\): Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um: \(43 {:} 8 = 5{,}375\). Da \(5{,}375 < 5{,}38\), liegt die Zahl unterhalb des Intervalls. 3. Überprüfung von \(5{,}382\): Da \(5{,}38 < 5{,}382 < 5{,}39\), liegt diese Dezimalzahl innerhalb des Intervalls.

a) Ja, da \(5{,}38^2 < 29 < 5{,}39^2\). b) Nein, da \(\frac{43}{8} = 5{,}375 < 5{,}38\). c) Ja, da \(5{,}38 < 5{,}382 < 5{,}39\).

- Nutze bei a) die Bruchdarstellung rationaler Zahlen und achte auf die Bedingung an den Divisor. - Suche für b) je ein Quadrat mit rationaler und mit irrationaler Wurzel. - Für c) genügt ein einziges Paar irrationaler Faktoren, dessen Produkt rational ist, um die allgemeine Behauptung zu widerlegen.

1. Seien \(\frac ab\) und \(\frac cd\) rationale Zahlen mit \(b\neq0\), \(d\neq0\) und \(c\neq0\). Dann gilt \(\frac ab : \frac cd = \frac{ad}{bc}\), also wieder eine rationale Zahl. Deshalb ist \(\mathbb Q\) unter Division durch von null verschiedene rationale Zahlen abgeschlossen. 2. Beim Wurzelziehen bleibt \(\mathbb Q\) nicht abgeschlossen. Zum Beispiel ist \(2\in\mathbb Q\), aber \(\sqrt2\notin\mathbb Q\). 3. Ein Beispiel mit rationalen Lösungen ist \(x^2=4\), dessen Lösungen \(x=\pm2\) sind. Ein Beispiel mit reellen, aber nicht rationalen Lösungen ist \(x^2=2\), dessen Lösungen \(x=\pm\sqrt2\) sind. 4. Maries Behauptung ist falsch. Die beiden Faktoren \(\sqrt2\) und \(\sqrt2\) sind irrational, aber \(\sqrt2\cdot\sqrt2=2\) ist rational.

a) Die Division zweier rationaler Zahlen mit von null verschiedenem Divisor ergibt wieder eine rationale Zahl; beim Wurzelziehen gilt das nicht, zum Beispiel \(\sqrt2\notin\mathbb Q\). b) Zum Beispiel \(x^2=4\) mit \(x=\pm2\) in \(\mathbb Q\) und \(x^2=2\) mit \(x=\pm\sqrt2\) in \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\). c) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(\sqrt2\cdot\sqrt2=2\).

- „Dicht“ bedeutet, dass zwischen zwei Zahlen der Menge wieder Zahlen derselben Menge liegen; es bedeutet nicht automatisch „alle Punkte“. - Welche Zahlen sind reell, lassen sich aber nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen? - Nimm für Teil 3 probeweise an, \(2 + \sqrt{3}\) wäre rational, und subtrahiere \(2\).

1. Die Behauptung ist falsch. Die rationalen Zahlen liegen zwar dicht: Zwischen je zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegt wieder eine rationale Zahl. Dennoch gibt es reelle Zahlen, die nicht rational sind, zum Beispiel \(\sqrt{2}\). Dichtheit bedeutet daher nicht, dass die rationalen Zahlen alle Punkte der Zahlengeraden erfassen. 2. Zu \(\mathbb{Q}\) kommen die irrationalen Zahlen hinzu. Zusammen bilden rationale und irrationale Zahlen die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\). 3. Jede reelle Zahl besitzt eine exakte Position auf der Zahlengeraden, also auch \(x = 2 + \sqrt{3}\). Die Zahl ist irrational: Wäre \(x\) rational, dann wäre auch \(x - 2 = \sqrt{3}\) rational. Das widerspricht der Irrationalität von \(\sqrt{3}\).

1) Die Behauptung ist falsch: \(\mathbb{Q}\) ist dicht, enthält aber nicht alle Punkte der Zahlengeraden. 2) Die irrationalen Zahlen; zusammen mit \(\mathbb{Q}\) bilden sie \(\mathbb{R}\). 3) \(x\) besitzt eine exakte Position auf der Zahlengeraden und ist irrational.

- Überlege dir, wie die Lösung \(x\) aussieht, wenn du die Gleichung nach \(x\) umstellst. - Setze für \(a\) und \(b\) verschiedene kleine natürliche Zahlen ein, um zu sehen, welche Art von Ergebnis herauskommt. - Denke daran, dass eine Menge nur dann die richtige Antwort ist, wenn die Lösung immer (für jede Wahl von \(a\) und \(b\)) darin liegt. - Erinnere dich an die Definitionen der Zahlenbereiche: Wann entstehen negative Zahlen, Brüche oder Wurzeln, die nicht aufgehen?

1. Auflösen nach \(x\): \(x = a + ab = a(1+b)\). Da \(a\) und \(b\) natürliche Zahlen sind, ist auch deren Produkt und Summe eine natürliche Zahl. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{N}\). 2. Auflösen nach \(x\): \(x = b - a^2\). Da \(a^2\) größer als \(b\) sein kann (z. B. \(a=2, b=1 \implies x=-3\)), ist die Lösung nicht immer in \(\mathbb{N}\), aber stets eine ganze Zahl. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{Z}\). 3. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{b+1}{a}\). Da \(a\) kein Teiler von \(b+1\) sein muss (z. B. \(a=3, b=1 \implies x=\frac{2}{3}\)), ist die Lösung ein Bruch. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{Q}\). 4. Auflösen nach \(x\): \(x = \pm \sqrt{ab+1}\). Da \(ab+1\) keine Quadratzahl sein muss (z. B. \(a=1, b=1 \implies x=\pm \sqrt{2}\)), kann die Lösung irrational sein. Da \(a, b \ge 1\), ist der Radikand immer positiv, also existieren stets reelle Lösungen. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{R}\).

1) \(\mathbb{N}\) 2) \(\mathbb{Z}\) 3) \(\mathbb{Q}\) 4) \(\mathbb{R}\)

- Stelle die Gleichung zunächst so um, dass \(x^2\) allein steht. - Überlege für b), wann die Quadratwurzel eines positiven rationalen Quotienten rational, aber nicht ganzzahlig sein kann. - Prüfe bei c), ob die Formulierung „beide Primzahlen“ verlangt, dass die beiden Primzahlen verschieden sind.

1. Aus \(ax^2=b\) folgt \(x^2=\frac ba\). Weil \(a\) und \(b\) positiv sind, gilt \(\frac ba>0\). Daher besitzt die Gleichung in \(\mathbb R\) genau die beiden Lösungen \(x=\sqrt{\frac ba}\) und \(x=-\sqrt{\frac ba}\). 2. Wähle zum Beispiel \(a=9\) und \(b=4\). Dann gilt \(x^2=\frac49\), also \(x=\pm\frac23\). Beide Lösungen sind rational, aber nicht ganzzahlig. 3. Pauls Aussage ist falsch. Sind \(a\) und \(b\) dieselbe Primzahl, zum Beispiel \(a=b=3\), dann gilt \(x^2=1\) und damit \(x=\pm1\). Diese Lösungen sind rational. 4. Für verschiedene Primzahlen \(a\neq b\) wäre \(\sqrt{\frac ba}\) tatsächlich irrational, aber die Behauptung schließt den Fall \(a=b\) nicht aus.

a) Es gibt genau die beiden reellen Lösungen \(x=\pm\sqrt{\frac ba}\), weil \(\frac ba>0\). b) Zum Beispiel \(a=9\), \(b=4\); dann ist \(x=\pm\frac23\). c) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(a=b=3\) ergibt \(x=\pm1\in\mathbb Q\).

- Bei positiven Zahlen kannst du ihre Lage relativ zu \(\sqrt2\) untersuchen, indem du ihre Quadrate mit \(2\) vergleichst. - Suche innerhalb des markierten Hundertstelintervalls zwei aufeinanderfolgende Tausendstel, zwischen deren Quadraten \(2\) liegt. - Unterscheide bei Teil c zwischen der Zahl selbst und einer endlichen Dezimalbeschreibung ihrer Lage.

1. Es gilt \(1{,}41^2=1{,}9881<2\) und \(1{,}42^2=2{,}0164>2\). Da beide Intervallgrenzen positiv sind, folgt \(1{,}41<\sqrt2<1{,}42\). 2. Für die Tausendstelgrenzen gilt \(1{,}414^2=1{,}999396<2\) und \(1{,}415^2=2{,}002225>2\). Daher liegt \(\sqrt2\) im Intervall \([1{,}414;1{,}415]\). 3. \(\sqrt2\) bezeichnet eine einzige exakte reelle Zahl und damit einen eindeutig bestimmten Punkt auf der Zahlengeraden. Die endlichen Dezimalintervalle sind nur Näherungen: Sie werden beim Verfeinern immer enger und enthalten weiterhin diesen exakten Punkt. Eine endliche Dezimaldarstellung der Zahl selbst ist dafür nicht erforderlich.

a) \(1{,}41^2<2<1{,}42^2\), also \(1{,}41<\sqrt2<1{,}42\). b) \([1{,}414;1{,}415]\) c) \(\sqrt2\) ist exakt und entspricht einem eindeutigen Punkt der Zahlengeraden; die endlichen Dezimalintervalle grenzen diesen Punkt nur näherungsweise ein.

- Für a) betrachte die negativen Zahlen auf dem Zahlenstrahl. - Bei b) überlege dir, ob das Quadrat eines Bruchs (der keine ganze Zahl ist) jemals eine ganze Zahl ergeben kann. - Bei c) denke an die Umkehroperation des Quadrierens und achte auf das Vorzeichen. - Für d) kannst du eine Zahl zwischen \(16\) und \(25\) wählen und daraus die Wurzel ziehen.

1. Teil a): Gesucht ist eine negative ganze Zahl oder Null (falls \(0 \notin \mathbb{N}\) definiert ist). Beispiel: \(x = -3\). 2. Teil b): Wenn \(x\) rational und keine ganze Zahl ist, kann \(x^2\) keine natürliche Zahl sein. Beweis: Sei \(x = \frac{p}{q}\) gekürzt. Dann ist \(x^2 = \frac{p^2}{q^2}\). Damit dies eine natürliche Zahl ist, müsste \(q^2\) ein Teiler von \(p^2\) sein, was nur für \(q=1\) möglich ist (da der Bruch gekürzt ist). Dann wäre \(x\) aber eine ganze Zahl. Ergebnis: Eine solche Zahl existiert nicht. 3. Teil c): Die Gleichung \(x^2 = 5\) hat die Lösungen \(x = \sqrt{5}\) und \(x = -\sqrt{5}\). Da \(x < 0\) sein muss, ist die Lösung \(x = -\sqrt{5}\). 4. Teil d): Gesucht ist eine Wurzel einer natürlichen Zahl \(a\), die keine Quadratzahl ist, wobei \(4 < \sqrt{a} < 5\). Das entspricht \(16 < a < 25\). Beispiel: \(x = \sqrt{17}\) oder \(x = \sqrt{20}\).

a) Zum Beispiel \(x = -1\). b) Eine solche Zahl existiert nicht. c) \(x = -\sqrt{5}\). d) Zum Beispiel \(x = \sqrt{18}\) (oder jede andere Wurzel aus einer Nicht-Quadratzahl zwischen \(16\) und \(25\)).

- Gibt es eine Zahl mit nur zwei Nachkommastellen, die größer als \(0{,}01\) und kleiner als \(0{,}02\) ist? - Wenn du zwei Zahlen mit vielen Nachkommastellen addierst und durch \(2\) teilst, wie verändert sich die Anzahl der Nachkommastellen? - Denk an ein Mikroskop: Wenn du bei einer dichten Menge immer stärker vergrößerst, wirst du dann jemals einen leeren Raum zwischen den Zahlen finden?

1. Untersuchung von \(D\): Zwischen \(0{,}01\) und \(0{,}02\) müsste eine Zahl mit höchstens zwei Nachkommastellen liegen. Da es zwischen \(1\) und \(2\) (Hundertsteln) keine weitere ganze Zahl gibt, enthält \(D\) keine Zahl in diesem Intervall. Somit ist \(D\) nicht dicht. 2. Erweiterung auf endlich viele Nachkommastellen: Diese Menge ist dicht. Zwischen zwei beliebigen solchen Zahlen \(x\) und \(y\) (mit \(x < y\)) liegt immer ihr Mittelwert \(\frac{x+y}{2}\). Da \(x\) und \(y\) endlich viele Nachkommastellen haben, hat auch ihre Summe und deren Hälfte endlich viele Nachkommastellen (maximal eine Stelle mehr als die Ausgangszahlen). 3. Unterschied: Eine dichte Menge hat keine „Lücken“ im Sinne von kleinsten Abständen; man kann immer weiter „hineinzoomen“ und findet neue Elemente. Eine Menge mit festen Abständen (wie Millimeter-Markierungen) erscheint zwar fein verteilt, hat aber eine feste Grenze der Auflösung, unterhalb derer man keine weiteren Elemente der Menge mehr findet.

a) Nein, sie ist nicht dicht, da zwischen \(0{,}01\) und \(0{,}02\) keine weitere Zahl aus \(D\) liegt. b) Ja, diese Menge ist dicht, da der Mittelwert zweier Zahlen mit endlich vielen Nachkommastellen ebenfalls nur endlich viele Nachkommastellen besitzt und zwischen ihnen liegt. c) Bei einer dichten Menge gibt es keinen kleinsten Abstand zwischen zwei Elementen; man findet in jedem noch so kleinen Intervall weitere Elemente. Mengen mit festen Abständen (wie Millimeter) haben eine minimale Distanz, unterhalb derer keine weiteren Punkte der Menge liegen.