- Prüfe zuerst, ob die Zahl natürlich oder ganzzahlig ist. - Überlege, ob sie sich als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben lässt. - Gesucht ist die kleinste passende Menge, nicht nur irgendeine Menge, die die Zahl enthält.

1. Die Zahl \(-\frac{3}{4}\) ist ein Quotient zweier ganzer Zahlen und damit rational. 2. Sie ist weder natürlich noch ganzzahlig. Die kleinste passende Menge ist daher \(\mathbb{Q}\).

\(\mathbb{Q}\), denn \(-\frac{3}{4}\) ist ein Quotient zweier ganzer Zahlen und keine ganze Zahl.

- Lies die dargestellte Kette von der größeren zur kleineren Zahlenmenge. - Gesucht ist eine Menge, die alle natürlichen Zahlen enthält und selbst in \(\mathbb{Q}\) enthalten ist. - Überlege, zu welcher Menge auch negative ganze Zahlen gehören.

1. Zwischen den rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) und den natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) liegen in der Einschlusskette die ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\). 2. Daher gehört \(\mathbb{Z}\) an die Stelle mit dem Fragezeichen.

\(\mathbb{Z}\)

- Welche positiven ganzen Zahlen liegen in der Nähe von \(\sqrt{5}\)? - Nutze Quadrate, um \(\sqrt{5}\) einzugrenzen. - Beachte beim Vorzeichenwechsel die Reihenfolge auf der Zahlengeraden.

1. Es gilt \(2^2=4<5<9=3^2\). Daher ist \(2<\sqrt{5}<3\). 2. Bei den Gegenzahlen kehrt sich die Reihenfolge um: \(-3<-\sqrt{5}<-2\). 3. Also liegt \(-\sqrt{5}\) auf der Zahlengeraden zwischen \(-3\) und \(-2\).

\(-3<-\sqrt{5}<-2\). Die Zahl liegt zwischen \(-3\) und \(-2\), weil \(4<5<9\).

- Unterscheide zwischen rationalen, irrationalen und reellen Zahlen. - Vergleiche Wurzelwerte mit bekannten Quadratzahlen. - Achte beim Vergleich negativer Zahlen darauf, wie sich die Reihenfolge bei Gegenzahlen verändert.

1. Aussage 1 ist wahr. \(\sqrt{2}\) ist irrational und gehört damit zu den reellen Zahlen, aber nicht zu \(\mathbb{Q}\). 2. Aussage 2 ist wahr. Die rationalen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen. 3. Aussage 3 ist wahr. Aus \(2^2=4<5\) folgt \(2<\sqrt{5}\). Bei den Gegenzahlen kehrt sich die Reihenfolge um: \(-\sqrt{5}<-2\). 4. Aussage 4 ist wahr. Da \(3^2=9<10<16=4^2\), gilt \(3<\sqrt{10}<4\).

1. Wahr; \(\sqrt{2}\) ist irrational und reell. 2. Wahr; jede rationale Zahl ist reell. 3. Wahr; aus \(2<\sqrt{5}\) folgt \(-\sqrt{5}<-2\). 4. Wahr; \(9<10<16\), also \(3<\sqrt{10}<4\).

- Lies in der Abbildung ab, welche Zahlenmengen jeweils in größeren Mengen enthalten sind. - Vereinfache oder untersuche jeden Ausdruck, bevor du die kleinste passende Menge auswählst. - Bei einem positiven Ausdruck kann sein Quadrat helfen, den exakten Wert zu bestimmen.

1. \(\sqrt{2{,}25}=1{,}5\). Die kleinste angegebene Menge ist \(\mathbb{Q}\). 2. \(\sqrt{12}\) ist irrational, weil \(12\) keine Quadratzahl ist. Die kleinste angegebene Menge ist \(\mathbb{R}\). 3. \(\pi-3\) ist irrational: Wäre \(\pi-3\) rational, dann wäre auch \((\pi-3)+3=\pi\) rational. Die kleinste angegebene Menge ist \(\mathbb{R}\). 4. Der Ausdruck ist positiv und sein Quadrat ist \(\left(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{50}{2}=25\). Daher hat er den Wert \(5\), also ist die kleinste Menge \(\mathbb{N}\). 5. \(-3{,}14=-\frac{157}{50}\) ist rational, aber nicht ganzzahlig. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{Q}\).

a) \(\mathbb{Q}\), denn \(\sqrt{2{,}25}=1{,}5\). b) \(\mathbb{R}\), denn \(\sqrt{12}\) ist irrational. c) \(\mathbb{R}\), denn \(\pi-3\) ist irrational. d) \(\mathbb{N}\), denn \(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=5\). e) \(\mathbb{Q}\), denn \(-3{,}14=-\frac{157}{50}\).

- Schätze für a) die beiden Wurzeln genügend genau ab. - Für b) kannst du die Intervallgrenzen quadrieren. - Vergleiche in c) das Quadrat von \(2{,}8\) mit dem Radikanden \(8\).

1. Es gilt \(\sqrt{5}\approx2{,}236\) und \(\sqrt{6}\approx2{,}449\). Daher liegt zum Beispiel \(q=2{,}3\) dazwischen. 2. Für \(2{,}5<\sqrt{n}<3\) muss \(6{,}25<n<9\) gelten. Daher sind zum Beispiel \(\sqrt{7}\) oder \(\sqrt{8}\) passende irrationale Zahlen. 3. Es gilt \(2{,}8^2=7{,}84<8\). Daher ist \(2{,}8<\sqrt{8}\), also liegt \(\sqrt{8}\) rechts von \(2{,}8\).

a) Zum Beispiel \(q=2{,}3\). b) Zum Beispiel \(\sqrt{7}\) oder \(\sqrt{8}\). c) \(\sqrt{8}\) liegt rechts von \(2{,}8\), denn \(2{,}8^2=7{,}84<8\).

- Eine endliche Dezimalzahl ist rational. - Für b) kannst du eine bekannte irrationale Zahl geeignet verändern, ohne sie rational zu machen. - Vergleiche in c) den Radikanden mit dem Quadrat der rechten Intervallgrenze.

1. Eine mögliche rationale Zahl ist \(q=3{,}05\). 2. Eine mögliche irrationale Zahl ist \(i=3+\frac{\sqrt{2}}{20}\). Wegen \(1{,}4<\sqrt{2}<1{,}5\) gilt \(3{,}07<i<3{,}075\), also liegt \(i\) im verlangten Intervall. Die Zahl ist irrational, weil \(\frac{\sqrt{2}}{20}\) irrational ist und die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl irrational ist. 3. Es gilt \(3{,}1^2=9{,}61<9{,}7\). Daher ist \(\sqrt{9{,}7}>3{,}1\) und liegt nicht im Intervall.

a) Zum Beispiel \(q=3{,}05\). b) Zum Beispiel \(i=3+\frac{\sqrt{2}}{20}\); diese Zahl ist irrational. c) Nein. Aus \(9{,}61<9{,}7\) folgt \(3{,}1<\sqrt{9{,}7}\).

- Was muss für eine Zahl gelten, damit sie in einem Intervall \([a; b]\) liegt? - Wie kannst du eine Wurzel mit den Grenzen vergleichen, ohne die Wurzel direkt zu ziehen? - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, um sie direkt vergleichen zu können.

1. Überprüfung von \(\sqrt{29}\): Berechne die Quadrate der Intervallgrenzen: \(5{,}38^2 = 28{,}9444\) und \(5{,}39^2 = 29{,}0521\). Da \(28{,}9444 < 29 < 29{,}0521\), liegt \(\sqrt{29}\) im Intervall. 2. Überprüfung von \(\frac{43}{8}\): Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um: \(43 {:} 8 = 5{,}375\). Da \(5{,}375 < 5{,}38\), liegt die Zahl unterhalb des Intervalls. 3. Überprüfung von \(5{,}382\): Da \(5{,}38 < 5{,}382 < 5{,}39\), liegt diese Dezimalzahl innerhalb des Intervalls.

a) Ja, da \(5{,}38^2 < 29 < 5{,}39^2\). b) Nein, da \(\frac{43}{8} = 5{,}375 < 5{,}38\). c) Ja, da \(5{,}38 < 5{,}382 < 5{,}39\).

- Überlege zuerst, welche Zahl du für \(x\) einsetzen musst, damit die Gleichung stimmt. - Erinnere dich an die Definitionen: Sind natürliche Zahlen auch in den ganzen Zahlen enthalten? - Wann genau entsteht eine rationale Zahl, die keine ganze Zahl mehr ist? - Was passiert, wenn du die Wurzel aus einer Zahl ziehst, die keine Quadratzahl ist?

1. Lösung der Gleichung \(x + 15 = 11\): \(x = -4\). Da \(-4\) eine negative ganze Zahl ist, ist die kleinste Menge \(\mathbb{Z}\). 2. Lösung der Gleichung \(8x = 6\): \(x = \frac{6}{8} = 0{,}75\). Da dies ein endlicher Dezimalbruch ist, ist die kleinste Menge \(\mathbb{Q}\). 3. Lösung der Gleichung \(x^2 = 7\): \(x_1 = \sqrt{7}\) und \(x_2 = -\sqrt{7}\). Da \(7\) keine Quadratzahl ist, sind die Lösungen irrational. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{R}\). Begründung: Die Quadratwurzel aus einer Primzahl ist stets irrational und kann nicht als Bruch dargestellt werden. 4. Lösung der Gleichung \(x^2 = 1{,}21\): \(x_1 = 1{,}1\) und \(x_2 = -1{,}1\). Da \(1{,}1 = \frac{11}{10}\), handelt es sich um rationale Zahlen. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{Q}\). 5. Lösung der Gleichung \(x - 9 = 21\): \(x = 30\). Da \(30\) eine positive ganze Zahl ist, ist die kleinste Menge \(\mathbb{N}\).

a) \(\mathbb{Z}\) b) \(\mathbb{Q}\) c) \(\mathbb{R}\) (Begründung: \(\sqrt{7}\) ist irrational) d) \(\mathbb{Q}\) e) \(\mathbb{N}\)

- Lies zuerst die markierten Zahlen auf der Zahlengeraden ab. - Forme den Vergleich so um, dass du \(\sqrt{3}\) mit positiven Dezimalzahlen vergleichst. - Bei positiven Zahlen kann ein Vergleich über die Quadrate helfen. - Überlege für c), was beim Addieren einer rationalen Zahl zu einer irrationalen Zahl passiert.

1. Aus der Abbildung liest man \(A=3{,}7\) und \(B=3{,}8\) ab. 2. Für den Vergleich zieht man \(2\) ab. Es genügt zu prüfen, ob \(1{,}7<\sqrt{3}<1{,}8\) gilt. Es ist \(1{,}7^2=2{,}89<3<3{,}24=1{,}8^2\). Daher gilt \(3{,}7<2+\sqrt{3}<3{,}8\), also liegt \(x\) zwischen A und B. 3. \(\sqrt{3}\) ist irrational. Die Summe der rationalen Zahl \(2\) und der irrationalen Zahl \(\sqrt{3}\) ist irrational. Daher ist \(x\) irrational.

a) \(A=3{,}7\), \(B=3{,}8\) b) Ja. Aus \(2{,}89<3<3{,}24\) folgt \(3{,}7<x<3{,}8\). c) \(x\) ist irrational.

- „Irrational“ beschreibt die fehlende Darstellung als Bruch, nicht eine fehlende Genauigkeit. - Denke an die Beziehung zwischen \(\mathbb Q\), den irrationalen Zahlen und \(\mathbb R\). - Frage dich, welche Zahlen fehlen würden, wenn man ausschließlich Brüche zuließe.

1. \(\sqrt2\) ist irrational, weil sie nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. 2. Irrational bedeutet nicht ungenau. Das Symbol \(\sqrt2\) bezeichnet einen exakten Wert; lediglich seine Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch. 3. Rationale und irrationale Zahlen zusammen bilden die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb R\). 4. Die Erweiterung ist notwendig, weil es exakte mathematische Größen gibt, die in \(\mathbb Q\) keinen Wert besitzen, aber in \(\mathbb R\) enthalten sind.

a) irrational b) \(\sqrt2\notin\mathbb Q\), ist aber als Quadratwurzel von \(2\) exakt bestimmt. c) \(\mathbb R\) d) Die Erweiterung ist nötig, damit auch exakte irrationale Größen als Zahlen erfasst werden.

- Formuliere in a) nicht nur eine Eigenschaft von \(\sqrt2\), sondern die allgemeinere Vorstellung, die durch das Beispiel scheitert. - Unterscheide in b) zwischen einer immer besseren Näherung und einer exakten Darstellung. - Überlege in c), welcher Zahlbereich sowohl rationale als auch irrationale Zahlen umfasst.

1. Widerlegt wird die Erwartung, dass sich jedes Größenverhältnis als Quotient ganzer Zahlen und damit als rationale Zahl darstellen lässt. 2. Mehr Nachkommastellen liefern nur immer genauere rationale Näherungen. Sie machen aus einer irrationalen Zahl keinen exakten Bruch und beseitigen daher die Grenze des rationalen Zahlbereichs nicht. 3. Der Zahlbereich wird von \(\mathbb{Q}\) zu \(\mathbb{R}\) erweitert. Dadurch können auch irrationale Größen wie \(\sqrt2\) als exakte Zahlen beschrieben und auf der Zahlengeraden eindeutig eingeordnet werden.

a) Die Erwartung „Jedes Größenverhältnis ist als Quotient ganzer Zahlen darstellbar“ ist falsch. b) Endliche oder periodische Dezimalzahlen bleiben rational und können \(\sqrt2\) nur annähern, nicht exakt darstellen. c) Man erweitert \(\mathbb{Q}\) zu \(\mathbb{R}\); damit werden irrationale Größen als exakte Zahlen erfasst.

- Welche Zahlen kannst du schon anhand ihres Vorzeichens grob einordnen? - Wie kannst du eine positive Quadratwurzel mit einer positiven Dezimalzahl vergleichen, ohne die Wurzel auszurechnen? - Wenn du zwei positive Zahlen verglichen hast: Was ändert sich bei ihren Gegenzahlen?

1. Für \(\sqrt{10}\) und \(3{,}1\) gilt \(3{,}1^2=9{,}61<10\). Daher ist \(3{,}1<\sqrt{10}\). Bei den Gegenzahlen kehrt sich die Reihenfolge um, also gilt \(-\sqrt{10}<-3{,}1\). 2. Für \(\sqrt{2}\) und \(1{,}5\) gilt \(2<2{,}25=1{,}5^2\). Daher ist \(\sqrt{2}<1{,}5\). 3. Negative Zahlen liegen links von \(0\), positive Zahlen rechts davon. Insgesamt gilt \(-\sqrt{10}<-3{,}1<0<\sqrt{2}<1{,}5\).

\(-\sqrt{10}<-3{,}1<0<\sqrt{2}<1{,}5\). Es gilt \(3{,}1^2=9{,}61<10\), also \(3{,}1<\sqrt{10}\) und damit \(-\sqrt{10}<-3{,}1\). Außerdem gilt \(2<1{,}5^2\), also \(\sqrt{2}<1{,}5\).

- Überlege dir, wie die Lösung \(x\) aussieht, wenn du die Gleichung nach \(x\) umstellst. - Setze für \(a\) und \(b\) verschiedene kleine natürliche Zahlen ein, um zu sehen, welche Art von Ergebnis herauskommt. - Denke daran, dass eine Menge nur dann die richtige Antwort ist, wenn die Lösung immer (für jede Wahl von \(a\) und \(b\)) darin liegt. - Erinnere dich an die Definitionen der Zahlenbereiche: Wann entstehen negative Zahlen, Brüche oder Wurzeln, die nicht aufgehen?

1. Auflösen nach \(x\): \(x = a + ab = a(1+b)\). Da \(a\) und \(b\) natürliche Zahlen sind, ist auch deren Produkt und Summe eine natürliche Zahl. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{N}\). 2. Auflösen nach \(x\): \(x = b - a^2\). Da \(a^2\) größer als \(b\) sein kann (z. B. \(a=2, b=1 \implies x=-3\)), ist die Lösung nicht immer in \(\mathbb{N}\), aber stets eine ganze Zahl. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{Z}\). 3. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{b+1}{a}\). Da \(a\) kein Teiler von \(b+1\) sein muss (z. B. \(a=3, b=1 \implies x=\frac{2}{3}\)), ist die Lösung ein Bruch. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{Q}\). 4. Auflösen nach \(x\): \(x = \pm \sqrt{ab+1}\). Da \(ab+1\) keine Quadratzahl sein muss (z. B. \(a=1, b=1 \implies x=\pm \sqrt{2}\)), kann die Lösung irrational sein. Da \(a, b \ge 1\), ist der Radikand immer positiv, also existieren stets reelle Lösungen. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{R}\).

1) \(\mathbb{N}\) 2) \(\mathbb{Z}\) 3) \(\mathbb{Q}\) 4) \(\mathbb{R}\)

- Stelle die Gleichung zunächst so um, dass \(x^2\) allein steht. - Überlege für b), wann die Quadratwurzel eines positiven rationalen Quotienten rational, aber nicht ganzzahlig sein kann. - Prüfe bei c), ob die Formulierung „beide Primzahlen“ verlangt, dass die beiden Primzahlen verschieden sind.

1. Aus \(ax^2=b\) folgt \(x^2=\frac{b}{a}\). Weil \(a\) und \(b\) positiv sind, gilt \(\frac{b}{a}>0\). Daher besitzt die Gleichung in \(\mathbb{R}\) genau die beiden Lösungen \(x=\sqrt{\frac{b}{a}}\) und \(x=-\sqrt{\frac{b}{a}}\). 2. Wähle zum Beispiel \(a=9\) und \(b=4\). Dann gilt \(x^2=\frac{4}{9}\), also \(x=\pm\frac{2}{3}\). Beide Lösungen sind rational, aber nicht ganzzahlig. 3. Pauls Aussage ist falsch. Sind \(a\) und \(b\) dieselbe Primzahl, zum Beispiel \(a=b=3\), dann gilt \(x^2=1\) und damit \(x=\pm1\). Diese Lösungen sind rational. 4. Für verschiedene Primzahlen \(a\neq b\) wäre \(\sqrt{\frac{b}{a}}\) tatsächlich irrational, aber die Behauptung schließt den Fall \(a=b\) nicht aus.

a) Es gibt genau die beiden reellen Lösungen \(x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}\), weil \(\frac{b}{a}>0\). b) Zum Beispiel \(a=9\), \(b=4\); dann ist \(x=\pm\frac{2}{3}\). c) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(a=b=3\) ergibt \(x=\pm1\in\mathbb{Q}\).

- Die gesuchten Grenzen in a) stehen in der Abbildung und müssen nicht aus dem Text übernommen werden. - Bei positiven Zahlen kannst du ihre Lage relativ zu \(\sqrt2\) durch den Vergleich ihrer Quadrate mit \(2\) prüfen. - Unterscheide in c) die Zahl selbst von einer endlichen Beschreibung ihrer Lage.

1. Aus der Abbildung liest man die Grenzen \(1{,}41\) und \(1{,}42\) ab. Es gilt \(1{,}41^2=1{,}9881<2\) und \(1{,}42^2=2{,}0164>2\). Daher liegt \(\sqrt2\) zwischen diesen beiden Zahlen. 2. Es gilt \(1{,}414^2=1{,}999396<2\) und \(1{,}415^2=2{,}002225>2\). Somit ist \(1{,}414<\sqrt2<1{,}415\). 3. \(\sqrt2\) bezeichnet eine einzige exakte reelle Zahl und damit einen eindeutig bestimmten Punkt auf der Zahlengeraden. Die endlichen Dezimalintervalle beschreiben ihre Lage nur näherungsweise und können schrittweise verengt werden.

a) \(1{,}41<\sqrt2<1{,}42\) b) \(1{,}414<\sqrt2<1{,}415\) c) \(\sqrt2\) ist exakt und entspricht einem eindeutigen Punkt; endliche Dezimalintervalle grenzen diesen Punkt nur näherungsweise ein.

- Für a) betrachte die negativen Zahlen auf dem Zahlenstrahl. - Bei b) überlege dir, ob das Quadrat eines Bruchs (der keine ganze Zahl ist) jemals eine ganze Zahl ergeben kann. - Bei c) denke an die Umkehroperation des Quadrierens und achte auf das Vorzeichen. - Für d) kannst du eine Zahl zwischen \(16\) und \(25\) wählen und daraus die Wurzel ziehen.

1. Teil a): Gesucht ist eine negative ganze Zahl oder Null (falls \(0 \notin \mathbb{N}\) definiert ist). Beispiel: \(x = -3\). 2. Teil b): Wenn \(x\) rational und keine ganze Zahl ist, kann \(x^2\) keine natürliche Zahl sein. Beweis: Sei \(x = \frac{p}{q}\) gekürzt. Dann ist \(x^2 = \frac{p^2}{q^2}\). Damit dies eine natürliche Zahl ist, müsste \(q^2\) ein Teiler von \(p^2\) sein, was nur für \(q=1\) möglich ist (da der Bruch gekürzt ist). Dann wäre \(x\) aber eine ganze Zahl. Ergebnis: Eine solche Zahl existiert nicht. 3. Teil c): Die Gleichung \(x^2 = 5\) hat die Lösungen \(x = \sqrt{5}\) und \(x = -\sqrt{5}\). Da \(x < 0\) sein muss, ist die Lösung \(x = -\sqrt{5}\). 4. Teil d): Gesucht ist eine Wurzel einer natürlichen Zahl \(a\), die keine Quadratzahl ist, wobei \(4 < \sqrt{a} < 5\). Das entspricht \(16 < a < 25\). Beispiel: \(x = \sqrt{17}\) oder \(x = \sqrt{20}\).

a) Zum Beispiel \(x = -1\). b) Eine solche Zahl existiert nicht. c) \(x = -\sqrt{5}\). d) Zum Beispiel \(x = \sqrt{18}\) (oder jede andere Wurzel aus einer Nicht-Quadratzahl zwischen \(16\) und \(25\)).