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- Zähle die Kästchen zeilenweise oder bestimme Anzahl der Zeilen und Spalten. - Vergleiche anschließend die beiden Gesamtzahlen der Kästchen. - Der gesuchte Flächenfaktor beschreibt, wie oft der kleinere Flächeninhalt im größeren enthalten ist.

1. Das linke Quadrat umfasst \(4\) Einheitsquadrate. 2. Das rechte Quadrat umfasst \(16\) Einheitsquadrate. 3. Der Flächeninhalt wird daher mit \(16:4=4\) multipliziert. Zum Längenfaktor \(2\) gehört der Flächenfaktor \(4\).

Links: \(4\) Einheitsquadrate. Rechts: \(16\) Einheitsquadrate. Der Flächenfaktor ist \(4\).

- Wie hängen der Flächeninhalt und die Seitenlängen bei einer maßstäblichen Vergrößerung zusammen? - Wenn sich alle Längen verdoppeln, was passiert dann mit der Fläche? - Überlege, ob der Umfang eine Fläche oder eine Länge ist.

1. Berechnung des Flächenverhältnisses: \(\frac{A_{\text{neu}}}{A_{\text{alt}}} = \frac{12{,}5\,\text{m}^2}{2\,\text{m}^2} = 6{,}25\). 2. Da bei einer maßstäblichen Vergrößerung das Flächenverhältnis dem Quadrat des Streckungsfaktors \(k\) entspricht, gilt: \(k^2 = 6{,}25\). 3. Berechnung des Streckungsfaktors für die Längen: \(k = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\). 4. Da der Umfang eine Summe von Seitenlängen ist, vergrößert er sich proportional zu den Seitenlängen, also ebenfalls um den Faktor \(k = 2{,}5\).

Die Seitenlängen wurden um den Faktor \(2{,}5\) vergrößert. Der Umfang hat sich ebenfalls um den Faktor \(2{,}5\) vergrößert.

- Schreibe den Prozentsatz zuerst als Dezimalzahl. - Wenn du den Faktor für die Seitenlängen hast, wie viel fehlt dann noch zum ursprünglichen Ganzen (\(100\,\%\))? - Überlege dir ein Beispiel: Was passiert mit einer Seitenlänge von \(10\,\text{cm}\), wenn der Faktor \(0{,}8\) ist?

1. Das Flächenverhältnis beträgt \(0{,}64\), da die neue Fläche \(64\,\%\) der ursprünglichen Fläche entspricht. 2. Es gilt der Zusammenhang \(k^2 = 0{,}64\). 3. Berechnung des Faktors \(k\): \(k = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\). Die Seitenlängen müssen mit \(0{,}8\) multipliziert werden. 4. Berechnung der prozentualen Abnahme: Eine Multiplikation mit \(0{,}8\) entspricht einem neuen Wert von \(80\,\%\). Die Abnahme beträgt somit \(100\,\% - 80\,\% = 20\,\%\).

a) Die Seitenlängen müssen mit dem Faktor \(k = 0{,}8\) multipliziert werden. b) Die Seitenlänge des Quadrats nimmt um \(20\,\%\) ab.

- Wie hängen der Umfang und die Seitenlängen bei ähnlichen Figuren zusammen? - Wenn du alle Seiten einer Figur mit einem Faktor multiplizierst, was passiert dann mit dem Umfang? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Streckfaktor der Seiten und dem Faktor, um den sich die Fläche vergrößert?

1. Berechnung des Umfangs von \(R_1\): \(U_1 = 2 \cdot (4\,\text{cm} + 6\,\text{cm}) = 20\,\text{cm}\). 2. Bestimmung des Ähnlichkeitsfaktors \(k\) durch das Verhältnis der Umfänge: \(k = \frac{U_2}{U_1} = \frac{40}{20} = 2\). 3. Berechnung der Seitenlängen von \(R_2\): \(a_2 = ka = 2 \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\) und \(b_2 = kb = 2 \cdot 6\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). 4. Bestimmung des Flächenverhältnisses: Da das Verhältnis der Längen \(k = 2\) beträgt, ist das Verhältnis der Flächeninhalte \(k^2 = 2^2 = 4\).

Die Seitenlängen von \(R_2\) betragen \(8\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\). Das Verhältnis der Flächeninhalte von \(R_2\) zu \(R_1\) ist \(4\) (bzw. \(4:1\)).

- Überlege zuerst, wie sich der neue Radius mathematisch als Vielfaches des alten Radius ausdrücken lässt. - Welche Formel verbindet den Radius eines Kreises mit seinem Flächeninhalt? - Wie verändert sich \(r^2\), wenn der Radius \(r\) mit einem Faktor multipliziert wird? - Denke an das Verhältnis der Flächeninhalte bei ähnlichen Figuren.

1. Bestimmung des Streckungsfaktors \(k\): Eine Vergrößerung des Radius um \(25\,\%\) entspricht einem neuen Radius von \(125\,\%\) des ursprünglichen Wertes, also \(k = 1{,}25\). 2. Anwendung des Zusammenhangs zwischen Längen- und Flächenänderung: Bei ähnlichen Figuren verhalten sich die Flächeninhalte wie das Quadrat des Ähnlichkeitsfaktors: \(A_{\text{neu}} = k^2 \cdot A_{\text{alt}}\). 3. Berechnung des neuen Flächenfaktors: \(k^2 = 1{,}25^2 = 1{,}5625\). 4. Bestimmung der prozentualen Zunahme: Ein Faktor von \(1{,}5625\) entspricht einer Zunahme um \(0{,}5625\), was \(56{,}25\,\%\) entspricht.

Der Flächeninhalt des Kreises vergrößert sich um \(56{,}25\,\%\).

- Wie hängen das Verhältnis der Flächeninhalte und das Verhältnis der Seitenlängen bei ähnlichen Figuren zusammen? - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn man alle Seitenlängen verdoppelt oder verdreifacht? - Kannst du aus dem Verhältnis der Flächen auf den Faktor für die Längen schließen?

1. Berechnung des Verhältnisses der Flächeninhalte: \(q = \frac{A_{\text{groß}}}{A_{\text{klein}}} = \frac{162\,\text{cm}^2}{18\,\text{cm}^2} = 9\). 2. Zusammenhang zwischen Flächenverhältnis und Ähnlichkeitsfaktor nutzen: Es gilt \(k^2 = q\). 3. Berechnung von \(k\): \(k = \sqrt{9} = 3\). 4. Interpretation des Ergebnisses: Da der Ähnlichkeitsfaktor für Längen \(k = 3\) beträgt, ist jede Seitenlänge des großen Fünfecks genau dreimal so lang wie die entsprechende Seitenlänge des kleinen Fünfecks.

Der Ähnlichkeitsfaktor beträgt \(k = 3\). Das Verhältnis einer Seitenlänge des großen Fünfecks zur entsprechenden Seitenlänge des kleinen Fünfecks beträgt \(3 : 1\).

- Was bedeutet ein Maßstab wie \(1:500\) für die Länge einer Linie auf dem Papier im Vergleich zur Wirklichkeit? - Vergleiche die Maßstäbe: Um welchen Faktor wird eine Strecke gezeichnet, wenn man von \(1:500\) zu \(1:200\) wechselt? - Wenn du den Längenfaktor kennst, wie verändert sich dann die Fläche?

1. Bestimmung des Längenverhältnisses zwischen den Plänen: Der Maßstab \(1:200\) bedeutet, dass Strecken im Vergleich zum Maßstab \(1:500\) vergrößert dargestellt werden. Der Streckungsfaktor \(k\) von Plan 1 zu Plan 2 berechnet sich aus dem Verhältnis der Maßstabszahlen: \(k = \frac{500}{200} = 2{,}5\). 2. Anwendung des Flächenverhältnisses: Da die Pläne zueinander ähnlich sind, verhalten sich die Flächen wie \(k^2\). 3. Berechnung des Flächenfaktors: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\). 4. Schlussfolgerung: Der Flächeninhalt im zweiten Plan ist \(6{,}25\)-mal so groß wie im ersten Plan.

Der Flächeninhalt im zweiten Plan ist \(6{,}25\)-mal so groß wie im ersten Plan.

- Wie verhält sich das Volumen, wenn sich die Seitenlängen um einen bestimmten Faktor ändern? - Achte auf die Einheitenumrechnung von Kubikmetern in Kubikzentimeter. - Überlege zuerst, um welchen Faktor das Modellvolumen kleiner als das Originalvolumen ist.

1. Bestimmung des Längenmaßstabs: \(k = \frac{1}{20}\). 2. Berechnung des Volumenmaßstabs: \(k^3 = \left(\frac{1}{20}\right)^3 = \frac{1}{8000}\). 3. Berechnung des Modellvolumens in \(\text{m}^3\): \(V_{\text{Modell}} = 12\,\text{m}^3 : 8000 = 0{,}0015\,\text{m}^3\). 4. Umrechnung in \(\text{cm}^3\): Da \(1\,\text{m}^3 = 1\,000\,000\,\text{cm}^3\), folgt \(0{,}0015 \cdot 1\,000\,000\,\text{cm}^3 = 1500\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Modells beträgt \(1500\,\text{cm}^3\).

- Überlege zuerst, welcher Streckungsfaktor \(k\) einer Erhöhung von \(40\,\%\) entspricht. - Wie hängen der Streckungsfaktor der Längen und der Faktor für den Flächeninhalt zusammen? - Welche Potenz des Streckungsfaktors wird benötigt, um das Volumen zu berechnen? - Denk daran, dass die Zunahme der Teil ist, der über \(100\,\%\) des ursprünglichen Wertes hinausgeht.

1. Bestimmung des Streckungsfaktors \(k\): Eine Erhöhung der Seitenlänge um \(40\,\%\) entspricht einem Faktor von \(k = 1 + 0{,}4 = 1{,}4\). 2. Berechnung des Flächenfaktors: Der Flächeninhalt skaliert mit \(k^2\). Es gilt \(1{,}4^2 = 1{,}96\). 3. Ermittlung der prozentualen Flächenzunahme: Ein Faktor von \(1{,}96\) bedeutet eine Zunahme um \(1{,}96 - 1 = 0{,}96\), also um \(96\,\%\). 4. Berechnung des Volumenfaktors: Das Volumen skaliert mit \(k^3\). Es gilt \(1{,}4^3 = 2{,}744\). 5. Ermittlung der prozentualen Volumenzunahme: Ein Faktor von \(2{,}744\) entspricht einer Zunahme um \(2{,}744 - 1 = 1{,}744\), also um \(174{,}4\,\%\).

a) Der Flächeninhalt vergrößert sich um \(96\,\%\). b) Das Volumen vergrößert sich um \(174{,}4\,\%\).

- Überlege zuerst, wie du aus zwei gegebenen Werten einer Zeile das feste Verhältnis berechnen kannst. - Bleibt dieses Verhältnis für alle Zeilen gleich? - Wie kannst du die Formel für das Verhältnis umstellen, um eine fehlende Länge zu berechnen?

1. Berechnung des konstanten Streckungsfaktors \(k\) aus der ersten Zeile: \(k = \frac{13{,}75}{5{,}5} = 2{,}5\). 2. Bestimmung der Originallänge in der zweiten Zeile: \(l = \frac{l'}{k} = \frac{21{,}25}{2{,}5} = 8{,}5\,\text{cm}\). 3. Bestimmung der Bildlänge in der dritten Zeile: \(l' = lk = 12 \cdot 2{,}5 = 30\,\text{cm}\). 4. Der konstante Wert für die Spalte \(k\) ist in allen Zeilen \(2{,}5\).

Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr><th>Originallänge \(l\) in \(\text{cm}\)</th><th>Bildlänge \(l'\) in \(\text{cm}\)</th><th>Streckungsfaktor \(k = \frac{l'}{l}\)</th></tr> <tr><td>\(5{,}5\)</td><td>\(13{,}75\)</td><td>\(2{,}5\)</td></tr> <tr><td>\(8{,}5\)</td><td>\(21{,}25\)</td><td>\(2{,}5\)</td></tr> <tr><td>\(12\)</td><td>\(30\)</td><td>\(2{,}5\)</td></tr> </table>

- Überlege, wie sich die Fläche verändert, wenn beide Dimensionen (Länge und Breite) mit demselben Faktor gestreckt werden. - Welche Rechenoperation musst du auf den Streckfaktor anwenden, um die Flächenänderung zu bestimmen?

1. Zusammenhang zwischen Streckfaktor \(k\) und Flächeninhalt \(A\) identifizieren: \(A' = A \cdot k^2\). 2. Gegebene Werte einsetzen: \(A' = 80 \cdot 1{,}5^2\). 3. Quadrat des Streckfaktors berechnen: \(1{,}5^2 = 2{,}25\). 4. Endgültigen Flächeninhalt berechnen: \(80 \cdot 2{,}25 = 180\). Das neue Logo hat einen Flächeninhalt von \(180\,\text{cm}^2\).

\(180\,\text{cm}^2\)

- Wie setzt sich der Umfang eines Vielecks aus seinen Seitenlängen zusammen? - Was bedeutet Ähnlichkeit für das Verhältnis entsprechender Seiten? - Drücke die Seiten des ersten Vielecks mit einem gemeinsamen Faktor durch die entsprechenden Seiten des zweiten aus. - Was passiert mit diesem gemeinsamen Faktor, wenn du alle Seiten addierst?

1. Da \(V\) und \(V'\) ähnlich sind, ist das Verhältnis aller entsprechenden Seitenlängen konstant: \(\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=\dots=k\). 2. Daher gilt \(a=ka'\), \(b=kb'\), \(c=kc'\) und so weiter. 3. Für die Umfänge folgt \(U=a+b+c+\dots=k(a'+b'+c'+\dots)=kU'\). 4. Somit ist \(\frac{U}{U'}=k=\frac{a}{a'}\).

Bei ähnlichen Vielecken werden alle Seitenlängen mit demselben Faktor \(k\) skaliert. Deshalb wird auch ihre Summe, also der Umfang, mit \(k\) skaliert. Es gilt \(\frac{U}{U'}=k=\frac{a}{a'}\).

- Wie hängen die Seitenlängen ähnlicher Dreiecke mit ihren Flächeninhalten zusammen? - Bestimme zuerst, um welchen Faktor die Seiten des zweiten Dreiecks größer sind als die des ersten. - Wenn die Seiten um den Faktor \(k\) vergrößert werden, um welchen Faktor vergrößert sich dann die Fläche?

1. Bestimmung des Streckfaktors \(k\): \(k = \frac{DE}{AB} = \frac{10}{5} = 2\). 2. Das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren entspricht dem Quadrat des Streckfaktors: \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = k^2 = 2^2 = 4\). 3. Berechnung von \(x\): \(x = S_{ABC} \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60\,\text{cm}^2\).

\(x = 60\,\text{cm}^2\)

- Was bedeutet Ähnlichkeit für das Verhältnis von Längen und Umfängen? - Wenn sich alle Seiten um den gleichen Faktor ändern, wie ändert sich dann der Umfang?

1. Bei ähnlichen Figuren entspricht das Verhältnis der Umfänge dem Streckfaktor \(k\). 2. Es gilt also \(\frac{DE}{AB} = \frac{U_{DEF}}{U_{ABC}} = \frac{5}{2} = 2{,}5\). 3. Berechnung der Seite \(DE\): \(DE = AB \cdot 2{,}5 = 6 \cdot 2{,}5 = 15\,\text{cm}\).

Die Seite \(DE\) ist \(15\,\text{cm}\) lang.

- Übersetze \(120\,\%\) zuerst in einen Längenfaktor. - Wie hängt der Flächenfaktor vom Längenfaktor ab? - Wie hängt der Volumenfaktor vom Längenfaktor ab?

1. Der Längenfaktor beträgt \(k=1{,}2\). 2. Flächen skalieren mit \(k^2\). Daher ist der Flächenfaktor \(1{,}2^2=1{,}44\). Die Oberfläche beträgt also \(144\,\%\) des ursprünglichen Werts. 3. Volumina skalieren mit \(k^3\). Daher ist der Volumenfaktor \(1{,}2^3=1{,}728\). Das Volumen beträgt also \(172{,}8\,\%\) des ursprünglichen Werts. 4. Leas Aussage ist falsch, weil der Längenfaktor bei Flächen zweimal und bei Volumina dreimal wirkt.

Leas Aussage ist falsch. Die Oberfläche beträgt \(144\,\%\), das Volumen \(172{,}8\,\%\) des ursprünglichen Werts.

- Wie viele Einheitswürfel liegen im größeren Körper in Länge, Breite und Höhe? - Multipliziere die Anzahlen in den drei Raumrichtungen. - Wie oft wirkt der Längenfaktor bei einem Volumen?

1. Der Würfel in a) besteht aus \(1\) Einheitswürfel. 2. Bei doppelter Kantenlänge passen in jede der drei Raumrichtungen jeweils \(2\) Einheitswürfel. 3. Daher enthält der größere Würfel \(2\cdot2\cdot2=8\) Einheitswürfel. 4. Der Längenfaktor \(2\) führt somit zum Volumenfaktor \(2^3=8\).

Das Volumen wird mit dem Faktor \(8\) multipliziert, weil \(2\cdot2\cdot2=2^3=8\) gilt.

- Welche Formel gilt für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn beide Katheten bekannt sind? - Vergleiche anschließend die beiden Flächeninhalte. - Wie hängt das Flächenverhältnis ähnlicher Figuren mit dem Längenfaktor \(k\) zusammen?

1. Der Flächeninhalt von \(D_1\) ist \(A_1=\frac{1}{2}\cdot 3\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2\). 2. Das Flächenverhältnis ist \(\frac{A_2}{A_1}=\frac{54}{6}=9\). 3. Für ähnliche Figuren gilt \(\frac{A_2}{A_1}=k^2\). Daher ist \(k=\sqrt{9}=3\).

Der Flächeninhalt von \(D_1\) beträgt \(6\,\text{cm}^2\). Der Streckungsfaktor von \(D_1\) zu \(D_2\) ist \(k=3\).

- Was bedeutet es für die Längen einer Figur, wenn die Fläche um einen bestimmten Faktor wächst? - Ist eine Höhe eine Längenangabe oder eine Flächenangabe? - Welche mathematische Operation kehrt das Quadrieren um?

1. Das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren entspricht dem Quadrat des Streckungsfaktors \(k\): \(\frac{A'}{A} = k^2 = 2{,}25\). 2. Bestimmung des Streckungsfaktors für Längen: \(k = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). 3. Höhen sind Streckenlängen. Bei ähnlichen Figuren verhalten sich alle entsprechenden Längen wie der Streckungsfaktor \(k\). 4. Somit gilt für das Verhältnis der Höhen: \(\frac{h_a'}{h_a} = k = 1{,}5\). Das Verhältnis ist \(1{,}5 : 1\) oder \(3 : 2\).

Die Höhe \(h_a'\) verhält sich zur Höhe \(h_a\) wie \(1{,}5 : 1\) (oder \(3 : 2\)). Die Höhe des vergrößerten Dreiecks ist also das \(1{,}5\)-fache der ursprünglichen Höhe.

- Achte darauf, alle Längenangaben zuerst in dieselbe Einheit umzurechnen. - Wenn sich Längen um einen Faktor \(k\) ändern, wie ändern sich dann Flächeninhalte? - Wie hängen der Streckfaktor der Längen und der Faktor für das Volumen zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Litern und Kubikmetern.

1. Berechnung des Ähnlichkeitsfaktors: Umrechnung der Einheiten auf \(\text{cm}\): \(12\,\text{m} = 1200\,\text{cm}\). Der Faktor ist \(k = \frac{30}{1200} = \frac{1}{40} = 0{,}025\). Dies entspricht dem Maßstab \(1{:}40\). 2. Verhältnis der Oberflächen: Das Verhältnis der Flächen entspricht \(k^2\) bzw. dem Kehrwert \(\left(\frac{1}{k}\right)^2\). Mit \(\frac{1}{k} = 40\) ergibt sich \(40^2 = 1600\). Die echte Fläche ist \(1600\)-mal so groß. 3. Berechnung des Volumens: Das Volumen skaliert mit \(k^3\). Das Verhältnis der Volumina ist \(40^3 = 64\,000\). 4. Berechnung des realen Volumens: \(27\,\text{l} \cdot 64\,000 = 1\,728\,000\,\text{l}\). Da \(1000\,\text{l} = 1\,\text{m}^3\) gilt, beträgt das Volumen \(1728\,\text{m}^3\).

a) Der Ähnlichkeitsfaktor beträgt \(k = \frac{1}{40} = 0{,}025\); der Maßstab ist \(1{:}40\). b) Die Außenfläche des Originals ist \(1600\)-mal so groß wie die des Modells. c) Der echte Wasserturm fasst \(1728\,\text{m}^3\).

- Was passiert mit der zweiten Seite, wenn die erste Seite um einen bestimmten Faktor vergrößert wird und die Form gleich bleiben soll? - Wenn eine Fläche verneunfacht wird, um welchen Faktor müssen dann die einzelnen Seiten gestreckt worden sein? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Längenfaktor \(k\) und dem Flächenfaktor.

1. Berechnung des Seitenverhältnisses oder des Faktors für Teil a: Die Breite wird von \(10\,\text{cm}\) auf \(60\,\text{cm}\) vergrößert, also \(k = \frac{60}{10} = 6\). Die Länge muss ebenfalls mit \(k=6\) multipliziert werden: \(15\,\text{cm} \cdot 6 = 90\,\text{cm}\). 2. Zusammenhang zwischen Fläche und Faktor für Teil b: Das Flächenverhältnis entspricht \(k^2\). Es gilt \(k^2 = 9\), woraus folgt \(k = \sqrt{9} = 3\). 3. Berechnung der neuen Seitenlängen für Teil b: \(a_{\text{neu}} = 10\,\text{cm} \cdot 3 = 30\,\text{cm}\) und \(b_{\text{neu}} = 15\,\text{cm} \cdot 3 = 45\,\text{cm}\).

a) Die Länge des Posters beträgt \(90\,\text{cm}\). b) Der Ähnlichkeitsfaktor ist \(k = 3\). Die Seitenlängen betragen \(30\,\text{cm}\) und \(45\,\text{cm}\).

- Wie verändert sich der Flächeninhalt, wenn alle Seitenlängen mit einem Faktor multipliziert werden? - Berechne zunächst den Flächeninhalt des ursprünglichen Rechtecks. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Flächenverhältnis und dem Längenverhältnis bei ähnlichen Figuren?

1. Berechnung des Flächeninhalts des ersten Rechtecks: \(A = ab = 4\,\text{cm} \cdot 9\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung des Verhältnisses der Flächeninhalte: \(\frac{A_1}{A} = \frac{144\,\text{cm}^2}{36\,\text{cm}^2} = 4\). 3. Da bei ähnlichen Figuren das Flächenverhältnis \(k^2\) entspricht, gilt \(k^2 = 4\), woraus der Ähnlichkeitsfaktor \(k = \sqrt{4} = 2\) folgt. 4. Berechnung der neuen Seitenlängen: \(a_1 = 4\,\text{cm} \cdot 2 = 8\,\text{cm}\) und \(b_1 = 9\,\text{cm} \cdot 2 = 18\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des zweiten Rechtecks betragen \(a_1 = 8\,\text{cm}\) und \(b_1 = 18\,\text{cm}\).

- Bestimme zuerst den Flächeninhalt des kleineren rechtwinkligen Dreiecks. - Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren mit dem Längenfaktor zusammen? - Was passiert mit jeder entsprechenden Seitenlänge, wenn der Faktor \(k\) bekannt ist?

1. Der Flächeninhalt von \(D_1\) ist \(A_1=\frac{1}{2}\cdot5\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=30\,\text{cm}^2\). 2. Das Flächenverhältnis ist \(\frac{A_2}{A_1}=\frac{120}{30}=4\). Für ähnliche Figuren gilt \(\frac{A_2}{A_1}=k^2\), also \(k=2\). 3. Die Katheten werden mit demselben Längenfaktor vergrößert: \(a_2=2\cdot5\,\text{cm}=10\,\text{cm}\) und \(b_2=2\cdot12\,\text{cm}=24\,\text{cm}\).

\(k=2\), \(a_2=10\,\text{cm}\), \(b_2=24\,\text{cm}\)

- Wie hängen der Längenmaßstab und der Volumenmaßstab zusammen? - Kannst du aus dem Verhältnis der Volumina auf das Verhältnis der Längen schließen? - Wenn du den Längenmaßstab kennst, wie berechnest du dann das Verhältnis der Oberflächen? - Denke an die Umrechnung zwischen \(\text{dm}^2\) und \(\text{m}^2\).

1. Umrechnung der Volumina auf eine Einheit: \(V_{\text{Skulptur}} = 270\,\text{m}^3 = 270\,000\,\text{dm}^3\). 2. Berechnung des Volumenverhältnisses: \(\frac{V_{\text{Skulptur}}}{V_{\text{Modell}}} = \frac{270000}{10} = 27\,000\). 3. Bestimmung des Längenmaßstabs: \(n^3 = 27\,000 \Rightarrow n = \sqrt[3]{27\,000} = 30\). Der Maßstab ist \(1:30\). 4. Berechnung der echten Oberfläche: \(A_{\text{Skulptur}} = A_{\text{Modell}} \cdot 30^2 = 25\,\text{dm}^2 \cdot 900 = 22\,500\,\text{dm}^2\). 5. Umrechnung in \(\text{m}^2\): \(22\,500\,\text{dm}^2 : 100 = 225\,\text{m}^2\).

a) Der Maßstab beträgt \(1:30\). b) Die Oberfläche der Skulptur beträgt \(225\,\text{m}^2\).

- Was passiert mit dem Rauminhalt, wenn man einen Körper in alle drei Richtungen gleichmäßig streckt? - Wie verändert sich eine Fläche, wenn man die Seitenlängen verdoppelt? - Wenn das Volumen um den Faktor 2 wachsen soll, welcher mathematische Zusammenhang besteht dann zur Kantenlänge?

1. Zu a): Bei Verdoppelung der Kantenlängen ist \(k=2\). Das Volumen vergrößert sich um \(k^3 = 2^3 = 8\). Neues Volumen: \(80\,\text{l} \cdot 8 = 640\,\text{l}\). 2. Zu b): Die Oberfläche verhält sich wie \(k^2\). Bei \(k=2\) gilt \(k^2 = 2^2 = 4\). Der Materialbedarf vervierfacht sich also. 3. Zu c): Gesucht ist \(k\), sodass \(V_{\text{neu}} = k^3 \cdot V_{\text{alt}}\). Hier soll \(k^3 = 2\) sein. 4. Berechnung von \(k\): \(k = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}2599\). Gerundet müssen die Kantenlängen um den Faktor \(1{,}26\) vergrößert werden.

a) Das Fassungsvermögen beträgt \(640\,\text{l}\). b) Der Materialbedarf vervierfacht sich, da die Oberfläche mit dem Quadrat des Längenmaßstabs (\(2^2 = 4\)) wächst. c) Die Kantenlängen müssen um den Faktor \(\approx 1{,}26\) vergrößert werden.

- Wie hängt der Flächenfaktor bei ähnlichen Figuren vom Längenfaktor ab? - Ein Flächenfaktor von \(2{,}25\) bedeutet, dass die neue Fläche wie viel Prozent der alten Fläche beträgt? - Prüfe Sofias Behauptung zunächst mit dem von ihr vorgeschlagenen Längenfaktor. - Welche Operation macht das Quadrieren rückgängig, wenn der gewünschte Flächenfaktor \(2\) ist?

1. Bei \(k = 1{,}5\) ist der Flächenfaktor \(k^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25\). 2. Die neue Fläche entspricht \(225\,\%\) der ursprünglichen Fläche; die Zunahme beträgt daher \(125\,\%\). 3. Bei einer Verdopplung der Seitenlängen wäre \(k = 2\) und damit der Flächenfaktor \(k^2 = 4\). Sofias Aussage ist also falsch. 4. Für eine Verdopplung des Flächeninhalts muss \(k^2 = 2\) gelten. Daher ist \(k = \sqrt{2} \approx 1{,}41\).

a) Der Flächeninhalt nimmt um \(125\,\%\) zu. b) Sofias Aussage ist falsch. Die Seitenlängen müssen mit \(k = \sqrt{2} \approx 1{,}41\) multipliziert werden.

- Was sagt das Verhältnis der Umfänge über das Verhältnis der Seitenlängen aus? - Wenn du das Verhältnis der Längen kennst, wie verhalten sich dann die entsprechenden Flächen zueinander? - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, die den Unterschied zwischen den beiden Flächen nutzt.

1. Bestimmung des Ähnlichkeitsfaktors \(k\) aus dem Umfangsverhältnis: \(k = \frac{5}{3}\). 2. Verhältnis der Flächeninhalte aufstellen: \(\frac{A_2}{A_1} = k^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}\). 3. Aufstellen der Differenzgleichung: \(A_2 - A_1 = 100\). 4. Einsetzen von \(A_2 = \frac{25}{9} A_1\) in die Differenzgleichung: \(\frac{25}{9} A_1 - A_1 = 100 \implies \frac{16}{9} A_1 = 100\). 5. Berechnung von \(A_1\): \(A_1 = \frac{100 \cdot 9}{16} = 56{,}25\,\text{cm}^2\). 6. Berechnung von \(A_2\): \(A_2 = 56{,}25\,\text{cm}^2 + 100\,\text{cm}^2 = 156{,}25\,\text{cm}^2\).

Die Flächeninhalte der beiden Dreiecke betragen \(A_1 = 56{,}25\,\text{cm}^2\) und \(A_2 = 156{,}25\,\text{cm}^2\).

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Verhältnis entsprechender Längen und dem Verhältnis der Volumina bei ähnlichen Körpern? - Berechne zuerst den Faktor, mit dem die Höhe vergrößert wurde. - Beachte den Unterschied zwischen Längen-, Flächen- und Volumenänderungen bei maßstäblichen Vergrößerungen.

1. Berechnung des Längenfaktors \(k\) zwischen den Modellen: \(k = \frac{40\,\text{cm}}{25\,\text{cm}} = 1{,}6\). 2. Anwendung des Volumenverhältnisses für ähnliche Körper: \(V_2 = V_1 \cdot k^3\). 3. Einsetzen der Werte: \(V_2 = 1{,}2\,\text{dm}^3 \cdot 1{,}6^3 = 1{,}2\,\text{dm}^3 \cdot 4{,}096 = 4{,}9152\,\text{dm}^3\). 4. Umrechnung in Liter: Da \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) gilt, beträgt das Volumen \(4{,}9152\,\text{l}\).

Das Volumen des größeren Modells beträgt \(4{,}9152\,\text{l}\).

- Bringe die beiden Flächeninhalte zunächst auf dieselbe Flächeneinheit. - Wie hängen Flächenverhältnis und Längenverhältnis bei maßstäblichen Abbildungen zusammen? - Rechne die reale Mauerlänge vor der Maßstabsrechnung in Zentimeter um.

1. Umrechnung der realen Fläche: \(450\,\text{m}^2 = 4\,500\,000\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung des Flächenverhältnisses: \(\frac{A_{\text{real}}}{A_{\text{Plan}}} = \frac{4500000}{50} = 90\,000\). 3. Die Maßstabszahl ist die Quadratwurzel des Flächenverhältnisses: \(n = \sqrt{90\,000} = 300\). Der Maßstab beträgt somit \(1{:}300\). 4. Umrechnung der realen Mauerlänge: \(45\,\text{m} = 4500\,\text{cm}\). 5. Berechnung der Planlänge: \(l_{\text{Plan}} = 4500\,\text{cm} : 300 = 15\,\text{cm}\).

a) Der Maßstab beträgt \(1{:}300\). b) Die Mauer ist im Plan \(15\,\text{cm}\) lang.

- Versuche, die Flächeninhalte der Dreiecke \(D_2\) und \(D_3\) nacheinander in Abhängigkeit vom Flächeninhalt von \(D_1\) auszudrücken. - Welchen Schritt musst du gehen, um von einem bekannten Flächenverhältnis auf das Verhältnis der Seitenlängen zu kommen? - Überlege dir zuerst, wie viel größer die Fläche von \(D_2\) im Vergleich zu \(D_1\) ist.

1. Bestimmung des Flächenverhältnisses von \(D_2\) zu \(D_1\) über das Quadrat des Längenverhältnisses: \(\frac{A_2}{A_1} = 1{,}5^2 = 2{,}25\). 2. Aufstellen der Beziehung für den Flächeninhalt von \(D_3\): \(A_3 = 4A_2 = 4(2{,}25A_1) = 9A_1\). 3. Berechnung des Längenverhältnisses \(k_{31}\) zwischen \(D_3\) und \(D_1\) durch Wurzelziehen aus dem Flächenverhältnis: \(k_{31} = \sqrt{\frac{A_3}{A_1}} = \sqrt{9} = 3\).

Das Verhältnis der Seitenlängen von \(D_3\) zu \(D_1\) beträgt \(3\) (bzw. \(3:1\)).

- Bestimme zuerst den dritten Winkel des Ausgangsdreiecks. - Welche Eigenschaften bleiben bei ähnlichen Figuren erhalten? - Prüfe die Behauptung auch daran, welche Winkelsumme ein Dreieck immer haben muss.

1. Im Ausgangsdreieck ist \(\angle R = 180^\circ - 55^\circ - 35^\circ = 90^\circ\). 2. Bei einer maßstäblichen Vergrößerung entstehen ähnliche Figuren; entsprechende Winkel bleiben gleich groß. 3. Daher sind im vergrößerten Dreieck \(\angle P' = 55^\circ\), \(\angle Q' = 35^\circ\) und \(\angle R' = 90^\circ\). 4. Mareks Aussage ist falsch: Seitenlängen ändern sich mit dem Faktor \(k\), Winkelweiten aber nicht. Eine Verdreifachung der Winkel würde außerdem die Innenwinkelsumme eines Dreiecks verletzen.

a) \(\angle P' = 55^\circ\), \(\angle Q' = 35^\circ\), \(\angle R' = 90^\circ\) b) Die Aussage ist falsch. Bei ähnlichen Figuren bleiben entsprechende Winkel gleich groß, unabhängig vom Längenfaktor.

- Wie hängen der Längenmaßstab und der Flächenmaßstab bei ähnlichen Figuren zusammen? - Wenn eine Länge verdoppelt wird, vervierfacht sich die Fläche. Was passiert bei einer Verfünfzigfachung? - Achte auf die Einheitenumrechnung von \(\text{cm}^2\) zu \(\text{m}^2\).

1. Bestimmung des Streckungsfaktors \(k\): Da der Maßstab \(1{:}50\) von Modell zu Realität ist, gilt \(k = 50\). 2. Berechnung des Flächenverhältnisses: Das Verhältnis der Flächeninhalte entspricht \(k^2\), also \(50^2 = 2500\). 3. Berechnung der realen Fläche: \(120\,\text{cm}^2 \cdot 2500 = 300\,000\,\text{cm}^2\). 4. Umrechnung in Quadratmeter: \(300\,000\,\text{cm}^2 : 10\,000 = 30\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der realen Länge: \(15\,\text{cm} \cdot 50 = 750\,\text{cm}\). 6. Umrechnung in Meter: \(750\,\text{cm} : 100 = 7{,}5\,\text{m}\).

a) Der tatsächliche Flächeninhalt beträgt \(30\,\text{m}^2\). b) Die Seite ist in der Realität \(7{,}5\,\text{m}\) lang.

- Wenn zwei Körper ähnlich sind, gilt das Verhältnis für alle entsprechenden Längen, also auch für Radius und Höhe. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Längenverhältnis \(k\), Flächenverhältnis \(k^2\) und Volumenverhältnis \(k^3\). - Wie berechnet man \(k\), wenn \(k^3\) bekannt ist? - Achte beim Prozentwert darauf, ob nach dem neuen Gesamtwert oder nur nach der Zunahme gefragt ist.

1. Bestimmung des Faktors für Teil a): Da der Radius verdoppelt wird und die Körper ähnlich sind, beträgt der Streckungsfaktor \(k = 2\). Das Volumen skaliert mit \(k^3 = 2^3 = 8\). Somit passt das kleine Volumen \(8\)-mal in das große. 2. Berechnung für Teil b): Die Mantelfläche skaliert mit \(k^2 = 2^2 = 4\). Eine Vervierfachung entspricht einer Zunahme um \(300\,\%\). 3. Berechnung für Teil c): Gegeben ist der Volumenfaktor \(k^3 = 27\). Daraus folgt durch Ziehen der Kubikwurzel der Streckungsfaktor \(k = \sqrt[3]{27} = 3\). 4. Oberflächenzunahme für Teil c): Die Oberfläche skaliert mit \(k^2 = 3^2 = 9\). Eine Verneunfachung bedeutet eine Zunahme um \(800\,\%\).

a) Es müssten \(8\) Gefäße entleert werden. b) Die Mantelfläche ist um \(300\,\%\) größer. c) Der Streckungsfaktor beträgt \(k = 3\); die Oberfläche ist um \(800\,\%\) größer.

- Was bedeutet ein Maßstab von \(1:50\) für die Umrechnung von Planmaßen in reale Maße? - Wie verhält sich der Flächeninhalt, wenn sich die Seitenlängen in einem bestimmten Verhältnis ändern? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Längenstreckfaktor \(k\) und dem Flächenfaktor \(k^2\).

1. Berechnung der realen Maße: Die Länge beträgt \(12\,\text{cm} \cdot 50 = 600\,\text{cm} = 6\,\text{m}\). Die Breite beträgt \(8\,\text{cm} \cdot 50 = 400\,\text{cm} = 4\,\text{m}\). 2. Berechnung des realen Flächeninhalts: \(A = 6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). 3. Bestimmung des neuen Maßstabs: Wenn die Fläche vervierfacht wird (\(k^2 = 4\)), verdoppeln sich die Seitenlängen im Plan (\(k = 2\)). Die neuen Planmaße sind \(24\,\text{cm}\) und \(16\,\text{cm}\). Der Maßstab berechnet sich aus \(\frac{24\,\text{cm}}{600\,\text{cm}} = \frac{1}{25}\). Der neue Maßstab ist somit \(1:25\).

a) Das Zimmer ist in der Realität \(6\,\text{m}\) lang und \(4\,\text{m}\) breit. b) Der reale Flächeninhalt beträgt \(24\,\text{m}^2\). c) Der neue Maßstab ist \(1:25\).

- Achte darauf, dass alle Volumenangaben in derselben Einheit (z. B. \(\text{dm}^3\)) vorliegen, bevor du rechnest. - Der Maßstab bezieht sich immer auf die Längen des Objekts, nicht auf das Volumen. - Wenn du den Volumenfaktor kennst, wie bestimmst du daraus den Längenfaktor?

1. Umrechnung der Einheiten auf eine gemeinsame Basis: \(54\,\text{m}^3 = 54\,000\,\text{dm}^3\). 2. Aufstellen der Gleichung für den Volumenfaktor: \(V_{\text{Real}} = V_{\text{Modell}} \cdot k^3\). 3. Berechnung des Volumenverhältnisses: \(k^3 = \frac{54000}{16} = 3375\). 4. Bestimmung des Längenfaktors durch Ziehen der Kubikwurzel: \(k = \sqrt[3]{3375} = 15\). 5. Angabe des Maßstabs als Verhältnis der Längen: Der Maßstab ist \(1{:}15\).

Das Modell wurde im Maßstab \(1{:}15\) gebaut.

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Überlege, wie sich Streckenlängen verändern, wenn eine Figur maßstäblich vergrößert wird. - Gibt es einen festen Zusammenhang zwischen dem Streckenverhältnis und dem Flächenverhältnis bei ähnlichen Figuren?

1. Umfang des Originals berechnen: \(U_{\text{alt}} = 2 \cdot (10\,\text{cm} + 15\,\text{cm}) = 50\,\text{cm}\). 2. Umfang der Vergrößerung in Zentimeter umrechnen: \(U_{\text{neu}} = 150\,\text{cm}\). 3. Vergrößerungsfaktor \(k\) bestimmen: \(k = \frac{U_{\text{neu}}}{U_{\text{alt}}} = \frac{150}{50} = 3\). 4. Neue Seitenlängen berechnen: \(10\,\text{cm} \cdot 3 = 30\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm} \cdot 3 = 45\,\text{cm}\). 5. Flächenverhältnis bestimmen: Das Verhältnis der Flächen ähnlicher Figuren entspricht dem Quadrat des Streckungsfaktors, also \(k^2 = 3^2 = 9\). Das Verhältnis beträgt \(1:9\).

a) Der Vergrößerungsfaktor ist \(k = 3\). b) Die neuen Seitenlängen betragen \(30\,\text{cm}\) und \(45\,\text{cm}\). c) Das Verhältnis der Flächeninhalte beträgt \(1:9\).

- Wie ändert sich das Volumen eines Körpers, wenn alle drei Raumdimensionen vergrößert werden? - Erinnerst du dich an die Regel zur Potenzierung von Brüchen? - Kannst du den Bruch vor der Multiplikation mit dem Volumen kürzen?

1. Zusammenhang zwischen Streckfaktor \(k\) und Volumen \(V\) identifizieren: \(V' = V \cdot k^3\). 2. Potenz des Bruchs berechnen: \(\left(\frac{6}{5}\right)^3 = \frac{6^3}{5^3} = \frac{216}{125}\). 3. Multiplikation mit dem Ausgangsvolumen durchführen: \(250 \cdot \frac{216}{125}\). 4. Ausdruck vereinfachen und berechnen: \(\frac{250}{125} \cdot 216 = 2 \cdot 216 = 432\). Das Volumen des größeren Körpers beträgt \(432\,\text{cm}^3\).

\(432\,\text{cm}^3\)

- Wenn der Faktor für die Fläche bekannt ist, wie kommst du dann zurück auf den Faktor für die einfache Länge? - Welche Beziehung besteht zwischen dem Längenfaktor und dem Volumenfaktor? - Versuche zuerst \(k\) zu finden, bevor du das neue Volumen berechnest.

1. Berechnung des Streckfaktors \(k\) aus dem Flächenfaktor: \(k^2 = 2{,}25 \Rightarrow k = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). 2. Bestimmung des Volumenfaktors durch Kubieren von \(k\): \(k^3 = 1{,}5^3 = 3{,}375\). 3. Anwendung des Volumenfaktors auf das ursprüngliche Volumen: \(V' = 400 \cdot 3{,}375\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(400 \cdot 3{,}375 = 1350\). Der Streckfaktor beträgt \(k = 1{,}5\) und das neue Volumen beträgt \(1350\,\text{ml}\).

a) \(k = 1{,}5\) b) \(1350\,\text{ml}\)

- Wie verändert sich der Flächeninhalt einer Figur, wenn alle ihre Seitenlängen mit einem bestimmten Faktor multipliziert werden? - Bestimme zuerst den Faktor, mit dem die Seitenlängen des ersten Dreiecks multipliziert werden, um die entsprechenden Seitenlängen des zweiten Dreiecks zu erhalten. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Längenverhältnis und dem Flächenverhältnis bei ähnlichen Figuren.

1. Bestimmung des Ähnlichkeitsfaktors \(k\) über die Grundseiten: \(k = \frac{g_2}{g_1} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\). 2. Das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren entspricht dem Quadrat des Ähnlichkeitsfaktors: \(\frac{A_2}{A_1} = k^2\). 3. Berechnung von \(k^2\): \(k^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}\). 4. Berechnung von \(A_2\): \(A_2 = A_1 \cdot \frac{16}{9} = 54 \cdot \frac{16}{9} = 6 \cdot 16 = 96\). Der Flächeninhalt \(A_2\) beträgt \(96\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks beträgt \(96\,\text{cm}^2\).

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Flächenverhältnis und dem Längenfaktor ähnlicher Figuren? - Vereinfache zuerst das Verhältnis der beiden Flächeninhalte. - Welche positive Zahl musst du quadrieren, um dieses Flächenverhältnis zu erhalten?

1. Das Flächenverhältnis ist \(\frac{75}{27}=\frac{25}{9}\). 2. Für ähnliche Figuren gilt \(\frac{A_2}{A_1}=k^2\). Daher ist \(k=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}\). 3. Die entsprechende Seitenlänge ist \(x=9\,\text{cm}\cdot\frac{5}{3}=15\,\text{cm}\).

\(x = 15\,\text{cm}\)

- Wie erhältst du aus dem Verhältnis zweier Flächeninhalte den zugehörigen linearen Ähnlichkeitsfaktor? - Wie verhalten sich die Umfänge ähnlicher Figuren zum linearen Ähnlichkeitsfaktor? - Nutze anschließend die gegebene Summe der beiden Umfänge.

1. Das Flächenverhältnis ist \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}\). 2. Für ähnliche Figuren gilt \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = k^2\). Daher ist \(k = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). 3. Die Umfänge verhalten sich ebenfalls mit dem linearen Faktor, also \(y = 1{,}5x\). 4. Aus \(x + 1{,}5x = 45\,\text{cm}\) folgt \(2{,}5x = 45\,\text{cm}\) und damit \(x = 18\,\text{cm}\). 5. Somit ist \(y = 27\,\text{cm}\).

\(x = 18\,\text{cm}\) \(y = 27\,\text{cm}\)

- Überlege dir, warum die Dreiecke \(MNC\) und \(ABC\) die gleiche Form haben (ähnlich sind). - Wie verhalten sich die Seitenlängen der beiden Dreiecke zueinander, wenn \(M\) die Mitte von \(BC\) ist? - Wenn man alle Seitenlängen einer Figur halbiert, wie ändert sich dann ihr Flächeninhalt? - Denke an den Zusammenhang zwischen dem Längenverhältnis (Streckfaktor) und dem Flächenverhältnis bei ähnlichen Figuren.

1. Die Dreiecke \(MNC\) und \(BAC\) sind ähnlich zueinander (\(\triangle MNC \sim \triangle BAC\)), da sie den Winkel bei \(C\) gemeinsam haben und aufgrund der Parallelität von \(MN\) und \(AB\) die entsprechenden Stufenwinkel gleich groß sind. 2. Da \(M\) der Mittelpunkt der Strecke \(BC\) ist, beträgt das Verhältnis der entsprechenden Seitenlängen (Streckfaktor) \(k = \frac{MC}{BC} = \frac{1}{2}\). 3. Das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren entspricht dem Quadrat ihres Längenverhältnisses: \(\frac{A_{MNC}}{A_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\). 4. Das gesuchte Flächenverhältnis beträgt somit \(1{:}4\).

\(1{:}4\)

- Betrachte die Schritte nacheinander: Zuerst die Beziehung zwischen A und B, dann zwischen B und C. - Wie hängen die Streckungsfaktoren zusammen, wenn man über eine Zwischenstufe vergrößert? - Erinnere dich daran, wie sich eine Längenänderung auf den Flächeninhalt auswirkt.

1. Teilaufgabe a: Berechnung des Flächenverhältnisses \(\frac{A_B}{A_A} = \frac{1250}{200} = 6{,}25\). Der Längenstreckungsfaktor ist \(k_{AB} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\). Das Verhältnis der Seitenlängen von A zu B ist somit \(1 : 2{,}5\). 2. Teilaufgabe b: Da \(U_C = 2U_B\), ist der Streckungsfaktor von B nach C \(k_{BC} = 2\). 3. Der Gesamtstreckungsfaktor von A nach C ist \(k_{AC} = k_{AB}k_{BC} = 2{,}5 \cdot 2 = 5\). 4. Das Verhältnis der Flächeninhalte von C zu A ist \(k_{AC}^2 = 5^2 = 25\). Der Flächeninhalt von Modell C ist also 25-mal so groß wie der von Modell A.

a) Das Verhältnis der Seitenlängen von Modell A zu Modell B beträgt \(1 : 2{,}5\). b) Der Flächeninhalt von Modell C ist 25-mal so groß wie der von Modell A.

- Gilt die Ähnlichkeit nur für die Seiten eines Dreiecks oder auch für andere Längen wie den Umkreisradius? - Wie berechnet man den Faktor, wenn man zwei entsprechende Längen gegeben hat? - Welche Regel gilt für das Verhältnis von Flächeninhalten bei ähnlichen Figuren?

1. Berechnung des Ähnlichkeitsfaktors \(k\): Da alle linearen Maße ähnlicher Figuren (Seiten, Höhen, Radien) im gleichen Verhältnis stehen, gilt \(k = \frac{R'}{R} = \frac{6{,}0}{4{,}5} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\). 2. Berechnung der Seitenlänge \(c'\): Es gilt \(c' = kc = \frac{4}{3} \cdot 7{,}2\,\text{cm} = 9{,}6\,\text{cm}\). 3. Verhältnis der Umkreisflächen: Das Flächenverhältnis entspricht dem Quadrat des Ähnlichkeitsfaktors. \(\frac{A'_{\text{Umkreis}}}{A_{\text{Umkreis}}} = k^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} \approx 1{,}78\). Das Verhältnis beträgt somit \(16 : 9\).

a) \(k = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\) b) \(c' = 9{,}6\,\text{cm}\) c) Das Verhältnis ist \(16 : 9\) (oder ca. \(1{,}78\)).

- Wie hängen der Flächeninhalt und der Streckungsfaktor \(k\) zusammen? - Wenn du \(k\) kennst, wie verändern sich dann die Längen (wie Umfang oder Seiten)? - Gilt die Ähnlichkeit nur für die Außenseiten eines Dreiecks oder für alle Linien innerhalb der Figur? - Überlege dir, ob eine Seitenhalbierende eine „Länge“ oder eine „Fläche“ ist.

1. Berechnung des Flächenverhältnisses: \(\frac{A_2}{A_1} = \frac{150}{24} = 6{,}25\). 2. Da für ähnliche Flächen \(k^2 = \frac{A_2}{A_1}\) gilt, folgt \(k = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\). 3. Berechnung des Umfangs \(U_2\): Da das Umfangsverhältnis dem Längenverhältnis entspricht, gilt \(U_2 = kU_1 = 2{,}5 \cdot 24 = 60\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Seitenlänge \(a_2\): \(a_2 = ka_1 = 2{,}5 \cdot 6 = 15\,\text{cm}\). 5. Erklärung zu den Seitenhalbierenden: Da bei einer ähnlichen Abbildung alle Längenmaße mit dem Faktor \(k\) gestreckt werden, gilt für jede entsprechende Strecke (also auch Seitenhalbierende, Höhen oder Winkelhalbierende), dass ihr Verhältnis \(\frac{s_2}{s_1}\) ebenfalls gleich \(k\) ist. In diesem Fall ist \(s_2 = 2{,}5s_1\).

a) Der Ähnlichkeitsfaktor ist \(k = 2{,}5\). b) Der Umfang \(U_2\) beträgt \(60\,\text{cm}\). c) Die Seitenlänge \(a_2\) beträgt \(15\,\text{cm}\). d) Das Verhältnis der Seitenhalbierenden \(\frac{s_2}{s_1}\) ist ebenfalls \(k = 2{,}5\), da bei ähnlichen Figuren alle entsprechenden Längen im gleichen Verhältnis stehen.

- Wie hängen die Seitenlängen zusammen, wenn das Verhältnis bekannt ist? - Erinnere dich daran, wie sich die Fläche einer Figur ändert, wenn man sie halbiert. - Was muss für die Seitenverhältnisse gelten, damit zwei Rechtecke ähnlich sind? - Wie viele A4-Blätter passen in einen A0-Bogen?

1. Berechnung der Seitenlängen A0: Sei \(x\) die kurze Seite, dann ist \(\sqrt{2}x\) die lange Seite. Die Fläche ist \(x \cdot \sqrt{2}x = 10\,000\,\text{cm}^2\). Daraus folgt \(\sqrt{2}x^2 = 10\,000\), also \(x^2 = \frac{10000}{\sqrt{2}} \approx 7071{,}07\). Die kurze Seite ist \(x \approx 84{,}1\,\text{cm}\). Die lange Seite ist \(84{,}0896 \cdot \sqrt{2} \approx 118{,}9\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Fläche A4: Jede Halbierung halbiert den Flächeninhalt. Nach 4 Halbierungsschritten (A0 zu A1, A1 zu A2, A2 zu A3, A3 zu A4) ist die Fläche \(\frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}\) der Ausgangsfläche. \(10\,000\,\text{cm}^2 : 16 = 625\,\text{cm}^2\). 3. Begründung der Ähnlichkeit: Bei jedem Halbierungsschritt wird das Seitenverhältnis von \(\sqrt{2}:1\) zu \(1:\frac{\sqrt{2}}{2}\). Da \(\frac{1}{\sqrt{2}/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\), bleibt das Verhältnis der langen zur kurzen Seite konstant. Da alle Winkel \(90\,^\circ\) bleiben und die Seitenverhältnisse identisch sind, sind die Figuren ähnlich.

a) Die Seitenlängen betragen \(\approx 84{,}1\,\text{cm}\) und \(\approx 118{,}9\,\text{cm}\). b) Der Flächeninhalt eines A4-Bogens beträgt \(625\,\text{cm}^2\). c) Ein A4-Bogen ist ähnlich zum A0-Bogen, da durch die mathematische Eigenschaft des Verhältnisses \(\sqrt{2}:1\) beim Halbieren der langen Seite das Verhältnis der neuen Seitenlängen wieder \(\sqrt{2}:1\) ergibt.

- Nutze das Verhältnis der gegebenen Oberflächen, um zuerst auf \(k^2\) und dann auf \(k\) zu schließen. - Überlege, wie sich die Masse verhält, wenn sich das Volumen eines Objekts bei gleichbleibendem Material ändert. - Wenn die Masse verdoppelt wird, welcher Faktor gilt dann für das Volumen? - Wie gelangst du vom Volumenfaktor zum Flächenfaktor?

1. Berechnung des Streckungsfaktors \(k\): Aus dem Verhältnis der Oberflächen folgt \(k^2 = \frac{1{,}8}{0{,}8} = 2{,}25\). Somit ist \(k = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). 2. Berechnung der Masse der größeren Skulptur: Da die Masse bei gleicher Dichte proportional zum Volumen ist, gilt \(m_{\text{groß}} = k^3 \cdot m_{\text{klein}}\). Mit \(k^3 = 1{,}5^3 = 3{,}375\) ergibt sich \(m_{\text{groß}} = 3{,}375 \cdot 15\,\text{kg} = 50{,}625\,\text{kg}\). 3. Berechnung für die dritte Version: Das Volumenverhältnis zur kleinsten Skulptur beträgt \(k^3 = 2\). Daraus folgt der Streckungsfaktor \(k = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}2599\). 4. Ermittlung der Oberflächenzunahme: Das Flächenverhältnis beträgt \(k^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}5874\). 5. Prozentuale Zunahme: \(1{,}5874 - 1 = 0{,}5874\), was gerundet \(58{,}7\,\%\) entspricht.

a) Der Streckungsfaktor beträgt \(k = 1{,}5\). b) Die größere Skulptur wiegt \(50{,}625\,\text{kg}\). c) Die Oberfläche ist um etwa \(58{,}7\,\%\) größer.

- Was bedeutet eine Zunahme „um \(125\,\%\)“ für den Gesamtwert im Vergleich zum Anfangswert? - Wie hängen der Faktor für Flächen und der Faktor für Längen zusammen? - Wenn du den Faktor für die Längen kennst, wie berechnest du dann den Faktor für das Volumen? - Unterscheide am Ende genau zwischen dem neuen Gesamtwert und der reinen Zunahme.

1. Bestimmung des Flächenfaktors: Eine Erhöhung um \(125\,\%\) bedeutet, dass die neue Oberfläche das \(2{,}25\)-fache der alten Oberfläche beträgt (\(100\,\% + 125\,\% = 225\,\%\)). Also ist \(k^2 = 2{,}25\). 2. Berechnung des Längenfaktors \(k\): \(k = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). 3. Berechnung des Volumenfaktors: Das neue Volumen ist das \(k^3\)-fache des alten Volumens. \(1{,}5^3 = 3{,}375\). 4. Umrechnung in eine prozentuale Zunahme: Ein Faktor von \(3{,}375\) entspricht \(337{,}5\,\%\) des ursprünglichen Wertes. 5. Berechnung der Steigerung: \(337{,}5\,\% - 100\,\% = 237{,}5\,\%\).

Das Volumen des Werkstücks hat sich um \(237{,}5\,\%\) erhöht.

- Was bedeutet ein Maßstab von \(1:50\,000\) für die Längen? - Wie berechnet man die Fläche eines Quadrats? - Wenn sich Längen um einen Faktor \(k\) ändern, wie ändert sich dann der Flächeninhalt? - Achte auf die Einheitenumrechnung von Zentimetern zu Metern und von Quadratmetern zu Hektar.

1. Tatsächliche Seitenlänge: \(s_{\text{real}} = 1{,}2\,\text{cm} \cdot 50\,000 = 60\,000\,\text{cm}\). Umrechnung in Meter: \(60\,000\,\text{cm} = 600\,\text{m}\). 2. Tatsächlicher Flächeninhalt: \(A_{\text{real}} = (600\,\text{m})^2 = 360\,000\,\text{m}^2\). Umrechnung in Hektar: \(360\,000\,\text{m}^2 : 10\,000 = 36\,\text{ha}\). 3. Flächeninhalt auf der Karte: \(A_{\text{Karte}} = (1{,}2\,\text{cm})^2 = 1{,}44\,\text{cm}^2\). 4. Verhältnis der Flächen: Der Ähnlichkeitsfaktor der Längen ist \(k = \frac{1}{50000}\). Das Verhältnis der Flächeninhalte entspricht \(k^2\). 5. Berechnung von \(k^2\): \(k^2 = \left(\frac{1}{50000}\right)^2 = \frac{1}{2500000000}\). Das bedeutet, die echte Fläche ist \(2{,}5\) Milliarden Mal größer als die Fläche auf der Karte.

a) Die tatsächliche Seitenlänge beträgt \(600\,\text{m}\). b) Der tatsächliche Flächeninhalt beträgt \(36\,\text{ha}\). c) Das Flächenverhältnis beträgt \(1 : 2\,500\,000\,000\) (bzw. \(1 : (50\,000)^2\)).

- Drücke eine der Flächen durch die andere aus, indem du das Quadrat des Seitenverhältnisses nutzt. - Nutze die Information über die Differenz der Flächen für eine Gleichung.

1. Aufstellen des Zusammenhangs der Flächeninhalte: Da \(k = \frac{4}{3}\) ist, gilt \(\frac{S_2}{S_1} = k^2 = \frac{16}{9}\), also \(S_2 = \frac{16}{9} S_1\). 2. Einsetzen in die Differenzgleichung: \(\frac{16}{9} S_1 - S_1 = 28\). 3. Lösen nach \(S_1\): \(\frac{7}{9} S_1 = 28 \implies S_1 = \frac{28 \cdot 9}{7} = 4 \cdot 9 = 36\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung von \(S_2\): \(S_2 = 36 + 28 = 64\,\text{cm}^2\).

\(x = 36\,\text{cm}^2, y = 64\,\text{cm}^2\)