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- Welche Bedeutung hat eine fünfte Wurzel? - Welche kleine natürliche Zahl ergibt bei der fünften Potenz \(32\)?

1. Gesucht ist die Zahl, deren fünfte Potenz \(32\) ergibt. Da \(2^5=32\), gilt \(\sqrt[5]{32}=2\).

\(2\)

- Ist der Wurzelexponent \(4\) gerade oder ungerade? - Welche Vorzeichen dürfen reelle Radikanden bei einer geraden Wurzel haben?

1. Der Wurzelexponent \(4\) ist gerade. 2. Eine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl ist in \(\mathbb{R}\) nicht definiert. Daher ist \(\sqrt[4]{-16}\) keine reelle Zahl.

\(\sqrt[4]{-16}\) ist in \(\mathbb{R}\) nicht definiert.

- Schreibe jede Ausgangszahl zunächst als Potenz von \(10\). - Überlege, welche positive Zehnerpotenz beim Quadrieren die jeweilige Ausgangspotenz ergibt. - Bei Zahlen zwischen \(0\) und \(1\) helfen negative ganzzahlige Exponenten. - Prüfe dein Ergebnis jeweils durch Quadrieren.

1. Für jedes \(n\in\mathbb{Z}\) gilt \((10^n)^2=10^{2n}\). Da \(10^n>0\), ist nach der Definition der Quadratwurzel \(\sqrt{10^{2n}}=10^n\). 2. Es ist \(100\,000\,000=10^8\). Daher \(\sqrt{10^8}=10^4=10\,000\). 3. Es ist \(0{,}000001=10^{-6}\). Daher \(\sqrt{10^{-6}}=10^{-3}=0{,}001\). 4. Es ist \(\frac{10^3}{10^7}=10^{-4}\). Daher \(\sqrt{10^{-4}}=10^{-2}=0{,}01\).

a) \(10\,000\) b) \(0{,}001\) c) \(0{,}01\)

- Suche für die allgemeine Aussage eine positive Zahl, deren Quadrat \(5^{2k}\) ist. - Nutze bei negativen Exponenten die Kehrwertbedeutung. - Forme den letzten Radikanden zunächst als Potenz von \(5\) um.

1. Es gilt \((5^k)^2=5^{2k}\). Da \(5^k>0\) für jedes \(k\in\mathbb{Z}\) ist, folgt aus der Definition der Quadratwurzel \(\sqrt{5^{2k}}=5^k\). 2. Für \(\sqrt{5^6}\) gilt \(2k=6\), also \(k=3\). Damit ist der Wert \(5^3=125\). 3. Für \(\sqrt{5^{-4}}\) gilt \(2k=-4\), also \(k=-2\). Damit ist der Wert \(5^{-2}=\frac1{25}\). 4. Es ist \(\frac1{5^2}=5^{-2}\). Daher gilt \(2k=-2\), also \(k=-1\), und \(\sqrt{\frac1{5^2}}=5^{-1}=\frac15\).

Begründung: \((5^k)^2=5^{2k}\) und \(5^k>0\), daher \(\sqrt{5^{2k}}=5^k\). \(\sqrt{5^6}=125\) \(\sqrt{5^{-4}}=\frac1{25}\) \(\sqrt{\frac1{5^2}}=\frac15\)

- Identifiziere in jeder Gleichung die Zahl, die potenziert beziehungsweise als Wurzelwert verwendet wird. - Achte darauf, welche natürliche Zahl den Zusammenhang zwischen Potenz und Wurzel bestimmt. - Vergleiche deine Umformung mit dem gegebenen Beispiel, ohne die konkreten Zahlen daraus zu übernehmen.

1. Aus \(13^2=169\) wird \(\sqrt{169}=13\). 2. Aus \(\sqrt[3]{216}=6\) wird \(6^3=216\). 3. Aus \(0{,}2^5=0{,}00032\) wird \(\sqrt[5]{0{,}00032}=0{,}2\). 4. Aus \(\sqrt[4]{\frac{16}{81}}=\frac23\) wird \(\left(\frac23\right)^4=\frac{16}{81}\).

a) \(\sqrt{169}=13\) b) \(6^3=216\) c) \(\sqrt[5]{0{,}00032}=0{,}2\) d) \(\left(\frac23\right)^4=\frac{16}{81}\)

- Wandle Dezimalzahlen im Exponenten zuerst in Brüche um. - Erinnere dich an die Definition von Potenzen mit rationalen Exponenten: \(x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}\). - Prüfe, ob du die Radikanden als Potenzen kleinerer Basen (wie 2 oder 3) schreiben kannst. - Fasse Produkte von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten unter einer Wurzel zusammen.

1. Berechnung von \(e\): Die \(n\)-te Wurzel aus \(0\) ist immer \(0\), also \(e = 0\). 2. Berechnung von \(d\): Der Exponent \(0{,}25\) entspricht dem Bruch \(\frac{1}{4}\). Somit ist \(d = \sqrt[4]{16} = 2\), da \(2^4 = 16\). 3. Berechnung von \(a\): Da \(3^4 = 81\), ist \(a = \sqrt[4]{81} = 3\). 4. Berechnung von \(b\): Der Exponent \(0{,}4\) entspricht \(\frac{2}{5}\). Es gilt \(b = (32)^{2/5} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4\). 5. Berechnung von \(c\): Nach den Wurzelgesetzen gilt \(c = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6\). 6. Vergleich der Ergebnisse: \(0 < 2 < 3 < 4 < 6\). Die Reihenfolge ist \(e, d, a, b, c\).

Die aufsteigende Reihenfolge ist \(e, d, a, b, c\) mit den Werten \(0 < 2 < 3 < 4 < 6\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten potenziert? - Wie verändert sich die Anzahl der Nachkommastellen beim Quadrieren oder Kubieren einer Dezimalzahl? - Kann das Ergebnis einer Quadratwurzel (oder einer anderen Wurzel mit geradem Exponenten) eine negative Zahl sein? - Versuche, die Umkehroperation der Wurzelbildung anzuwenden, um die Richtigkeit zu prüfen.

1. Überprüfung durch Potenzieren: \((-0{,}5)^3 = (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) = 0{,}25 \cdot (-0{,}5) = -0{,}125\). Die Aussage ist wahr. 2. Überprüfung durch Quadrieren: \(0{,}08^2 = 0{,}08 \cdot 0{,}08 = 0{,}0064\). Die Aussage ist wahr. 3. Überprüfung durch Potenzieren: \(25^4 = (25^2)^2 = 625^2 = 390\,625\). Da \(390\,625 \neq 625\), ist die Aussage falsch. Korrekt wäre \(\sqrt[4]{625} = 5\). 4. Da das Ergebnis einer Quadratwurzel nach Definition niemals negativ ist, gilt \(\sqrt{(-9)^2} = \sqrt{81} = 9\). Die Aussage ist falsch. 5. Überprüfung durch Potenzieren: \((-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32\). Die Aussage ist wahr.

Die Aussagen 1, 2 und 5 sind wahr. Die Aussagen 3 und 4 sind falsch.

- Berechne zuerst den Zahlenwert für jeden Term einzeln. - Achte besonders auf das Minuszeichen: Steht es innerhalb oder außerhalb der Wurzel? - Erinnere dich daran, wie man Potenzen mit negativer Basis berechnet. - Was bewirkt das Quadrat unter einer Wurzel bei einer negativen Zahl?

1. Berechnung von \(a\): \(\sqrt[3]{-8} = -2\), da \((-2)^3 = -8\). 2. Berechnung von \(b\): \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), da \(0{,}5^2 = 0{,}25\). 3. Berechnung von \(c\): \(\sqrt[4]{81} = 3\), da \(3^4 = 81\). Somit ist \(c = -3\). 4. Berechnung von \(d\): \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\). 5. Berechnung von \(e\): \(\sqrt[5]{32} = 2\), da \(2^5 = 32\). 6. Vergleich der Werte: \(-3 < -2 < 0{,}5 < 2 < 3\). 7. Zuordnung der Terme: \(c < a < b < e < d\).

Die richtige Reihenfolge lautet: \(c < a < b < e < d\) (bzw. \(-3 < -2 < 0{,}5 < 2 < 3\)).

- Überlege dir, welche kleine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Achte bei Dezimalzahlen auf die Anzahl der Nachkommastellen im Vergleich zum Wurzelexponenten. - Kannst du den Radikanden als Potenz einer anderen Zahl schreiben? - Bei Brüchen hilft es oft, Zähler und Nenner getrennt zu betrachten.

1. Bestimmung der dritten Wurzel von \(216\): Da \(6^3 = 216\), gilt \(\sqrt[3]{216} = 6\). 2. Berechnung der vierten Wurzel von \(0{,}0625\): Da \(5^4 = 625\) und die Zahl vier Nachkommastellen hat, ergibt sich \((0{,}5)^4 = 0{,}0625\), also \(\sqrt[4]{0{,}0625} = 0{,}5\). 3. Vereinfachung des Radikanden: \(32^{-1} = (2^5)^{-1} = (2^{-1})^5 = (0{,}5)^5\). Somit ist \(\sqrt[5]{32^{-1}} = 0{,}5\). 4. Anwendung der Wurzelgesetze auf den Bruch: \(\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{3}{10} = 0{,}3\).

a) \(6\) b) \(0{,}5\) c) \(0{,}5\) d) \(0{,}3\)

- Kannst du die Dezimalzahlen in Brüche umschreiben, um die Wurzeln leichter zu erkennen? - Überlege, welche Zahl mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel ergibt. - Achte auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Potenzieren von Dezimalzahlen.

1. Berechnung der Quadratwurzel: \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{1{,}2^2} = 1{,}2\) 2. Berechnung der Kubikwurzel: \(\sqrt[3]{0{,}008} = \sqrt[3]{0{,}2^3} = 0{,}2\) 3. Berechnung der vierten Wurzel: \(\sqrt[4]{0{,}0001} = \sqrt[4]{0{,}1^4} = 0{,}1\) 4. Zusammenführung der Ergebnisse: \(1{,}2 + 0{,}2 - 0{,}1 = 1{,}3\)

\(1{,}3\)

- Überlege dir für jeden Term, welche Zahl mit dem entsprechenden Exponenten potenziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Achte bei negativen Vorzeichen darauf, ob der Wurzelexponent (die kleine Zahl an der Wurzel) gerade oder ungerade ist. - Wandle Brüche gegebenenfalls in Dezimalzahlen um, um sie besser vergleichen zu können.

1. Berechnung der einzelnen Werte: a) \(\sqrt[3]{-0{,}125} = -0{,}5\), da \((-0{,}5)^3 = -0{,}125\) b) \(\sqrt[5]{243} = 3\), da \(3^5 = 243\) c) \(\sqrt[3]{-\frac{27}{64}} = -\frac{3}{4} = -0{,}75\), da \(\left(-\frac{3}{4}\right)^3 = -\frac{27}{64}\) d) \(\sqrt[4]{0{,}0001} = 0{,}1\), da \(0{,}1^4 = 0{,}0001\) 2. Vergleich der Werte: \(-0{,}75 < -0{,}5 < 0{,}1 < 3\) 3. Zuordnung der Terme: \(c < a < d < b\)

a) \(-0{,}5\) b) \(3\) c) \(-0{,}75\) d) \(0{,}1\) Reihenfolge: \(\sqrt[3]{-\frac{27}{64}} < \sqrt[3]{-0{,}125} < \sqrt[4]{0{,}0001} < \sqrt[5]{243}\).

- Suche bei jedem Radikanden nach einer passenden Potenz einer einfachen Zahl. - Rechne in Teil 2 zuerst die Wurzel und anschließend die äußere Potenz aus. - Bei einem positiven Bruch kannst du Zähler und Nenner getrennt betrachten, wenn beide passende Wurzelwerte besitzen. - Kontrolliere deine Ergebnisse durch die jeweils passende Potenzprobe.

1. Da \(0{,}1^3=0{,}001\), gilt \(\sqrt[3]{0{,}001}=0{,}1\). 2. Weil \(2^4=16\), ist \(\sqrt[4]{16}=2\). Daher gilt \((\sqrt[4]{16})^3=2^3=8\). 3. Es gilt \(\sqrt{\frac{25}{144}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{144}}=\frac5{12}\). 4. Weil \(5^4=625\), gilt \(\sqrt[4]{625}=5\).

1) \(0{,}1\) 2) \(8\) 3) \(\frac5{12}\) 4) \(5\)

- Berechne bei jeder Aussage beide Seiten unabhängig voneinander. - Bei Wurzeln mit gleichem Index kannst du prüfen, ob das Produktgesetz sinnvoll eingesetzt werden kann. - Arbeite bei geschachtelten Wurzeln von innen nach außen. - Nutze bei Dezimalzahlen eine Potenzprobe, um den Wurzelwert zu kontrollieren.

1. In a) gilt links \(2\cdot3=6\) und rechts \(\sqrt[3]{216}=6\). Die Aussage ist wahr. 2. In b) ist \(\sqrt{100}=10\) und \(\sqrt[3]{64}=4\). Die Differenz ist \(6\), nicht \(2\). Die Aussage ist falsch. 3. In c) ist \(\sqrt{16}=4\) und anschließend \(\sqrt4=2\). Die Aussage ist wahr. 4. In d) gilt \(0{,}1^4=0{,}0001\). Daher ist \(\sqrt[4]{0{,}0001}=0{,}1\). Die Aussage ist falsch.

a) wahr b) falsch; korrekt ist \(6\) c) wahr d) falsch; korrekt ist \(0{,}1\)

- Wie hängen das Volumen eines Würfels und seine Kantenlänge mathematisch zusammen? - Welche Rechenoperation kehrt das Potenzieren mit drei um? - Wenn du das Volumen eines Körpers kennst, wie kommst du auf die Maße seiner Seiten? - Überlege, wie sich die Seite verändert, wenn sich das gesamte Volumen verachtfacht.

1. Berechnung der Kantenlänge \(a\) für \(V_1 = 216\,\text{dm}^3\): \(a = \sqrt[3]{216} = 6\,\text{dm}\). 2. Berechnung der Kantenlänge \(a_2\) für \(V_2 = 1728\,\text{dm}^3\): \(a_2 = \sqrt[3]{1728} = 12\,\text{dm}\). 3. Bestimmung des Verhältnisses der Kantenlängen: \(a_2 {:} a = 12 {:} 6 = 2\). 4. Erklärung des Zusammenhangs: Da das Volumen um den Faktor \(8\) größer ist (\(1728 {:} 216 = 8\)), vergrößert sich die Kantenlänge um den Faktor \(\sqrt[3]{8} = 2\).

a) \(6\,\text{dm}\) b) \(12\,\text{dm}\) c) Das Verhältnis ist \(2\). Da das Volumen achtmal so groß ist, ist die Kantenlänge \(\sqrt[3]{8} = 2\)-mal so groß.

- Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Wurzelexponenten. - Was passiert, wenn du eine negative Zahl mit sich selbst multiplizierst? Betrachte dabei eine gerade und eine ungerade Anzahl an Faktoren. - Prüfe bei Termen wie \(\sqrt[n]{x^n}\) zuerst, welchen Wert der Ausdruck unter der Wurzel (der Radikand) hat.

1. Untersuchung von \(\sqrt[4]{-81}\): Der Wurzelexponent \(4\) ist gerade und der Radikand \(-81\) ist negativ. In \(\mathbb{R}\) ist dieser Term nicht definiert. 2. Untersuchung von \(\sqrt[5]{-32}\): Der Wurzelexponent \(5\) ist ungerade. Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten sind auch für negative Radikanden definiert. Ergebnis: \(-2\). 3. Untersuchung von \(\sqrt[6]{(-2)^6}\): Zuerst wird die Potenz berechnet: \((-2)^6 = 64\). Da der Radikand positiv ist, ist die Wurzel definiert. Ergebnis: \(\sqrt[6]{64} = 2\). 4. Untersuchung von \(\sqrt[3]{0{,}008}\): Der Radikand ist positiv, daher ist die Wurzel definiert. Ergebnis: \(0{,}2\). 5. Untersuchung von \(\sqrt[10]{-1}\): Der Wurzelexponent \(10\) ist gerade und der Radikand \(-1\) ist negativ. In \(\mathbb{R}\) ist dieser Term nicht definiert.

Definiert sind: 2) \(\sqrt[5]{-32}\) (ungerader Wurzelexponent) 3) \(\sqrt[6]{(-2)^6}\) (Radikand ist positiv, da \((-2)^6 = 64\)) 4) \(\sqrt[3]{0{,}008}\) (positiver Radikand) Nicht definiert sind: 1) \(\sqrt[4]{-81}\) und 5) \(\sqrt[10]{-1}\) (gerader Wurzelexponent bei negativem Radikanden)

- Welche Rolle spielt es, ob der Wurzelexponent gerade oder ungerade ist? - Wann darf man eine Zahl nicht unter eine Wurzel schreiben? - Kannst du eine Ungleichung aufstellen, um den Bereich für \(x\) einzugrenzen? - Überlege dir bei der letzten Teilaufgabe, ob der Ausdruck unter der Wurzel jemals negativ werden kann.

1. Für Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten muss der Radikand (der Ausdruck unter der Wurzel) größer oder gleich Null sein. 2. Bei \(f(x) = \sqrt[4]{5x - 20}\) gilt \(5x - 20 \ge 0\). Daraus folgt \(5x \ge 20\) und somit \(x \ge 4\). Der Definitionsbereich ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 4\}\). 3. Bei \(g(x) = \sqrt[5]{x + 12}\) ist der Wurzelexponent ungerade. Wurzeln mit ungeradem Exponenten sind für alle reellen Zahlen definiert. Somit ist \(D = \mathbb{R}\). 4. Bei \(h(x) = \sqrt[6]{18 - 3x}\) gilt \(18 - 3x \ge 0\) aufgrund des geraden Exponenten. Dies führt zu \(18 \ge 3x\) bzw. \(6 \ge x\). Der Definitionsbereich ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 6\}\). 5. Bei \(k(x) = \sqrt{x^2 + 9}\) muss \(x^2 + 9 \ge 0\) gelten. Da \(x^2\) für alle reellen Zahlen mindestens \(0\) ist, ist \(x^2 + 9\) immer mindestens \(9\). Die Bedingung ist für alle \(x\) erfüllt, also \(D = \mathbb{R}\).

1) \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 4\}\) 2) \(D = \mathbb{R}\) 3) \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 6\}\) 4) \(D = \mathbb{R}\)

- Überlege zuerst, ob der Wurzelexponent gerade oder ungerade ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie mit einer geraden Zahl potenziert? - Erinnere dich an die Definition des Betrags \(|x|\). - Prüfe für einen beispielhaften Wert aus dem angegebenen Bereich, ob dein vereinfachter Term das richtige Vorzeichen liefert.

1. Für a): Es gilt \(\sqrt{x^2} = |x|\). Da \(a \le 8\), ist der Ausdruck \(a-8 \le 0\). Somit ist \(|a-8| = -(a-8) = 8-a\). 2. Für b): Bei ungeraden Wurzelexponenten gilt \(\sqrt[n]{x^n} = x\). Da hier \(b+5 \ge 0\) durch die Bedingung gegeben ist, bleibt das Ergebnis \(b+5\). 3. Für c): Es gilt \(\sqrt[4]{x^4} = |x|\). Da \(c \le 2\), ist \(c-2 \le 0\). Somit ist \(|c-2| = -(c-2) = 2-c\). 4. Für d): Es gilt \(\sqrt[6]{x^6} = |x|\). Da \(x \ge 1\), ist \(1-x \le 0\). Somit ist \(|1-x| = -(1-x) = x-1\).

a) \(8-a\) b) \(b+5\) c) \(2-c\) d) \(x-1\)

- Prüfe, ob Wurzelindex und Potenzexponent einen gemeinsamen positiven Teiler haben. - Achte darauf, dass die hier verwendeten Basen nichtnegativ sind; dadurch entstehen beim Reduzieren keine Vorzeichenprobleme. - Nach dem Reduzieren kannst du die verbleibende Wurzel durch eine passende Potenzprobe bestimmen.

1. Für nichtnegative Radikanden kann ein gemeinsamer positiver Faktor von Wurzelindex und Potenzexponent gekürzt werden, sofern beide dadurch ganzzahlig bleiben. 2. \(\sqrt[6]{125^2}=\sqrt[3]{125}=5\), weil \(5^3=125\). 3. \(\sqrt[4]{2{,}25^2}=\sqrt{2{,}25}=1{,}5\), weil \(1{,}5^2=2{,}25\). 4. \(\sqrt[8]{16^2}=\sqrt[4]{16}=2\), weil \(2^4=16\). 5. \(\sqrt[6]{0{,}001^2}=\sqrt[3]{0{,}001}=0{,}1\), weil \(0{,}1^3=0{,}001\).

a) \(5\) b) \(1{,}5\) c) \(2\) d) \(0{,}1\)

- Suche zuerst zwei ganze Zahlen, zwischen denen das Ergebnis liegen muss. - Probiere dann Werte mit einer Nachkommastelle aus. - Wie kannst du sicherstellen, ob du auf- oder abrunden musst?

1. Grobe Eingrenzung durch Potenzen ganzer Zahlen: \(2^5 = 32\) und \(3^5 = 243\). Der Wert liegt zwischen \(2\) und \(3\). 2. Systematisches Testen von Dezimalzahlen: - \(2{,}5^5 = 97{,}65625\) - \(2{,}6^5 = 118{,}81376\) 3. Da \(97{,}65625 < 100 < 118{,}81376\), liegt \(\sqrt[5]{100}\) im Intervall \([2{,}5; 2{,}6]\). 4. Für die Rundung auf eine Dezimalstelle wird die Mitte \(2{,}55\) geprüft: \(2{,}55^5 \approx 107{,}82\). Da \(100 < 107{,}82\), gilt \(\sqrt[5]{100} < 2{,}55\), also wird auf \(2{,}5\) gerundet.

\(\sqrt[5]{100} \approx 2{,}5\)

- Bestimme zuerst, welche Ausdrücke wegen gerader Potenzen sicher nichtnegativ sind. - Prüfe in Teil 1 durch eine Potenzprobe, welcher einfachere nichtnegative Wurzelterm dieselbe sechste Potenz besitzt. - Löse Beträge erst auf, nachdem du mit den gegebenen Ungleichungen das Vorzeichen des inneren Ausdrucks bestimmt hast.

1. Setze \(c=|b-3|\). Dann ist \((b-3)^2=c^2\). Der nichtnegative Wert \(\sqrt[3]{c}\) besitzt die sechste Potenz \(c^2\), also gilt \(\sqrt[6]{(b-3)^2}=\sqrt[3]{|b-3|}\). Wegen \(b<3\) ist \(|b-3|=3-b\). Daher lautet das Ergebnis \(\sqrt[3]{3-b}\). 2. Für einen geraden Wurzelexponenten gilt \(\sqrt[10]{(x-1)^{10}}=|x-1|\). Wegen \(x<1\) ist \(|x-1|=1-x\).

1) \(\sqrt[3]{3-b}\) 2) \(1-x\)

- Prüfe bei jedem Ausdruck zuerst, ob der äußere Exponent gerade oder ungerade ist. - Nutze bei passenden Wurzel- und Potenzexponenten die jeweilige Potenzprobe. - In d) kann ein neuer Name für den Wurzelwert helfen, damit nur noch ganzzahlige Potenzen vorkommen. - Vergiss in c) nicht, dass der Koeffizient ebenfalls mitpotenziert wird.

1. In a) verschwindet das Minuszeichen durch die gerade vierte Potenz: \((-\sqrt[4]{10})^4=(\sqrt[4]{10})^4=10\). 2. In b) bleibt das Minuszeichen wegen der ungeraden fünften Potenz erhalten: \((-\sqrt[5]{3})^5=-3\). 3. In c) gilt \((-2\sqrt{x})^2=(-2)^2(\sqrt{x})^2=4x\). 4. Setze für d) \(u=\sqrt[3]{y^2}\). Dann gilt \(u^3=y^2\). Also ist \(u^6=(u^3)^2=(y^2)^2=y^4\). Daher \((\sqrt[3]{y^2})^6=y^4\).

a) \(10\) b) \(-3\) c) \(4x\) d) \(y^4\)

- Was passiert, wenn man eine Quadratwurzel quadriert? - Gibt es eine ähnliche Regel für die dritte Wurzel und die dritte Potenz? - Berechne zuerst den Wert innerhalb der Klammer, bevor du die äußere Potenz betrachtest.

1. Anwendung der Identität \( (\sqrt[n]{a})^n = a \) für den ersten Ausdruck: \( 3{,}5 \cdot 4 + 11 = 14 + 11 = 25 \). 2. Anwendung der Identität auf den zweiten Ausdruck: \( 5^2 + 2 = 25 + 2 = 27 \). 3. Anwendung der Identität auf den dritten Ausdruck unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs: \( x + \sqrt{x} \).

a) \( 25 \) b) \( 27 \) c) \( x + \sqrt{x} \)

- Denke an die Potenzgesetze für Produkte: Wie verhält sich die Potenz bei einem Produkt in der Klammer? - Wie verrechnet man Potenzen von Potenzen, wie zum Beispiel \( (k^2)^3 \)? - Kannst du Zähler und Nenner getrennt vereinfachen, bevor du teilst?

1. Anwendung des Potenzgesetzes \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) auf den ersten Term: \( 3^2 \cdot (\sqrt{y+2})^2 = 9 \cdot (y+2) = 9y + 18 \). 2. Anwendung des Potenzgesetzes auf den zweiten Term: \( (k^2)^3 \cdot (\sqrt[3]{k})^3 = k^{2 \cdot 3} \cdot k = k^6 \cdot k = k^7 \). 3. Vereinfachung des Zählers und Nenners im dritten Term durch Aufheben von Wurzel und Potenz: \( \frac{50 - 2}{4} = \frac{48}{4} = 12 \).

a) \( 9y + 18 \) b) \( k^7 \) c) \( 12 \)

- Suche eine positive Zahl, deren Quadrat genau \(a^{4m}\) ergibt. - Nutze beim Quadrieren einer Potenz das Potenzgesetz für eine Potenz von einer Potenz. - Die Positivitätsbedingung entscheidet, welches Vorzeichen die Quadratwurzel liefert.

1. Es gilt \((a^{2m})^2=a^{4m}\). Weil \(a>0\) ist, ist auch \(a^{2m}>0\). Nach der Definition der Quadratwurzel ist daher \(\sqrt{a^{4m}}=a^{2m}\). 2. Für a) ist \(4m=4\), also \(m=1\). Damit ist \(\sqrt{3^4}=3^2=9\). 3. Für b) ist \(4m=12\), also \(m=3\). Damit ist \(\sqrt{2^{12}}=2^6=64\). 4. Für c) ist \(4m=16\), also \(m=4\). Wegen \(x>0\) folgt \(\sqrt{x^{16}}=x^8\).

Allgemein: \(\sqrt{a^{4m}}=a^{2m}\) a) \(9\) b) \(64\) c) \(x^8\)

- Könntest du beide Seiten des Vergleichs so umformen, dass sie leichter vergleichbar sind? - Manchmal hilft es, beide Zahlen zu quadrieren, um die Wurzel zu eliminieren. - Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Achte bei Brüchen und Dezimalzahlen genau auf die Stellenwerte.

1. Berechnung von \(\sqrt{0{,}49}\): Da \(0{,}7^2 = 0{,}49\), ist \(\sqrt{0{,}49} = 0{,}7\). Da \(0{,}7 > 0{,}07\), folgt \(\sqrt{0{,}49} > 0{,}07\). 2. Berechnung beider Seiten: \(\sqrt[3]{27} = 3\) (da \(3^3 = 27\)) und \(\sqrt{9} = 3\) (da \(3^2 = 9\)). Also gilt \(\sqrt[3]{27} = \sqrt{9}\). 3. Berechnung von \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}}\): Da \((\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}\), ist die Wurzel \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Da \(0{,}5 > 0{,}25\) (was \(\frac{1}{4}\) entspricht), folgt \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}} > \frac{1}{4}\). 4. Vergleich durch Quadrieren: \((\sqrt{20})^2 = 20\) und \(4{,}5^2 = 20{,}25\). Da \(20 < 20{,}25\), folgt \(\sqrt{20} < 4{,}5\).

a) \(\sqrt{0{,}49} > 0{,}07\) b) \(\sqrt[3]{27} = \sqrt{9}\) c) \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}} > \frac{1}{4}\) d) \(\sqrt{20} < 4{,}5\)

- Vergleiche zuerst Paare mit gleichem Radikanden und Paare mit gleichem Wurzelexponenten. - Für genau einen Vergleich reichen diese beiden Beobachtungen noch nicht aus. - Überlege für dieses Paar, wie du beide Wurzeln auf denselben Wurzelexponenten bringen kannst.

1. Bei gleichem Radikanden größer als \(1\) ist die vierte Wurzel kleiner als die dritte Wurzel. Daher gilt \(b<a\) und \(d<c\). 2. Bei gleichem Wurzelexponenten führt der größere positive Radikand zum größeren Wurzelwert. Daher gilt \(b<d\) und \(a<c\). 3. Für den noch offenen Vergleich von \(a\) und \(d\) werden beide auf den Wurzelindex \(12\) erweitert: \(a=\sqrt[12]{5^4}=\sqrt[12]{625}\) und \(d=\sqrt[12]{10^3}=\sqrt[12]{1000}\). Da \(625<1000\), gilt \(a<d\). 4. Insgesamt folgt \(b<a<d<c\). 5. Zur Kontrolle: \(b\approx1{,}50\), \(a\approx1{,}71\), \(d\approx1{,}78\), \(c\approx2{,}15\).

\(b<a<d<c\) Näherungswerte: \(b\approx1{,}50\), \(a\approx1{,}71\), \(d\approx1{,}78\), \(c\approx2{,}15\)

- Unterscheide bei negativen Radikanden zwischen geraden und ungeraden Wurzelexponenten. - Prüfe, welche Werte eine definierte gerade Wurzel als Ergebnis annehmen kann. - Eine Aussage über Wurzeln lässt sich oft durch die passende Potenzprobe kontrollieren.

1. Wahr. Es gilt \((-5)^3=-125\), und eine dritte Wurzel ist auch für negative Radikanden reell definiert. 2. Falsch. Für negative reelle Radikanden ist die vierte Wurzel über \(\mathbb{R}\) nicht definiert. Für nichtnegative Radikanden ist ihr Wert per Definition nichtnegativ. Daher kann keine reelle Zahl \(a\) den Wert \(-2\) liefern. 3. Falsch. Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten sind für negative Radikanden reell definiert. Es gilt \(\sqrt[5]{-1}=-1\), weil \((-1)^5=-1\).

1. Wahr 2. Falsch 3. Falsch

- Berechne zuerst die einzelnen Wurzelwerte, bevor du die Grundrechenarten ausführst. - Erinnere dich daran, welche Bedingung für den Radikanden gelten muss, wenn der Wurzelexponent eine gerade Zahl ist. - Achte bei Subtraktionen besonders auf das Vorzeichen der Ergebnisse.

1. Ausdruck a): \(\sqrt[3]{-125} = -5\) (ungerade Wurzel) und \(\sqrt[4]{16} = 2\). Die Summe ist \(-5 + 2 = -3\). 2. Ausdruck b): \(\sqrt[6]{-64}\) hat einen geraden Wurzelexponenten (6) und einen negativen Radikanden (\(-64\)). Dieser Teil ist in \(\mathbb{R}\) nicht definiert, daher hat der gesamte Ausdruck keinen reellen Wert. 3. Ausdruck c): \(\sqrt[5]{-1} = -1\) und \(\sqrt[3]{-1} = -1\). Die Differenz ist \(-1 - (-1) = -1 + 1 = 0\). 4. Ausdruck d): \(\sqrt[4]{0{,}0001} = 0{,}1\) (da \(0{,}1^4 = 0{,}0001\)) und \(\sqrt[3]{-0{,}001} = -0{,}1\) (da \((-0{,}1)^3 = -0{,}001\)). Der Quotient ist \(\frac{0{,}1}{-0{,}1} = -1\).

a) \(-3\) b) Nicht definiert (gerade Wurzel aus einer negativen Zahl) c) \(0\) d) \(-1\)

- Bestimme zuerst den gemeinsamen Bereich, in dem beide Wurzelausdrücke reell definiert sind. - Ersetze in Teil c) den gemeinsamen Radikanden durch eine neue nichtnegative Variable. - Wenn zwei unterschiedliche Wurzeln desselben nichtnegativen Werts gleich sind, kann eine weitere Hilfsvariable für einen der Wurzelwerte den Vergleich auf eine Potenzgleichung zurückführen.

1. Bei \(f\) ist der Wurzelexponent gerade. Daher muss \(x-3\ge0\) gelten, also \(D_f=[3;\infty[\). 2. Bei \(g\) ist der Wurzelexponent ungerade. Die dritte Wurzel ist für jeden reellen Radikanden definiert, also \(D_g=\mathbb{R}\). 3. Für c) muss wegen des gemeinsamen Definitionsbereichs \(x\ge3\) gelten. Setze \(u=x-3\), also \(u\ge0\). 4. Setze zusätzlich \(t=\sqrt[4]{u}\). Dann ist \(t\ge0\) und \(u=t^4\). Aus \(\sqrt[4]{u}=\sqrt[3]{u}\) folgt \(t=\sqrt[3]{t^4}\). 5. Kubieren liefert \(t^3=t^4\), also \(t^3(1-t)=0\). Damit ist \(t=0\) oder \(t=1\). 6. Daher ist \(u=0\) oder \(u=1\). Aus \(x-3=u\) folgen \(x=3\) und \(x=4\).

a) \(D_f=[3;\infty[\), \(D_g=\mathbb{R}\) b) Gerade Wurzeln benötigen einen nichtnegativen Radikanden; ungerade Wurzeln sind auch für negative Radikanden reell definiert. c) \(x=3\) und \(x=4\)

- Bei einer geraden Wurzel aus einer passenden geraden Potenz spielt der Betrag eine Rolle. - Bestimme vor dem Auflösen eines Betrags das Vorzeichen des inneren Ausdrucks aus den gegebenen Bedingungen. - In Teil b) lässt sich der Exponent \(12\) als ein Vielfaches des Wurzelexponenten \(6\) auffassen.

1. Es gilt \(\sqrt[4]{(x-y)^4}=|x-y|\). Wegen \(x<y\) ist \(x-y<0\), also \(|x-y|=y-x\). 2. Für b) gilt \((a-b)^{12}=((a-b)^2)^6\). Daher ist \(\sqrt[6]{(a-b)^{12}}=|(a-b)^2|=(a-b)^2\), weil ein Quadrat nichtnegativ ist. Für \(a=3\), \(b=5\) ergibt sich \((-2)^2=4\); nach dem Vertauschen ergibt sich \(2^2=4\). Das Ergebnis bleibt gleich. 3. Es gilt \(\sqrt{(z-10)^6}=|(z-10)^3|\). Wegen \(z<10\) ist \((z-10)^3<0\), also \(|(z-10)^3|=-(z-10)^3=(10-z)^3\).

a) \(y-x\) b) \(4\); beim Vertauschen bleibt der Wert \(4\). c) \((10-z)^3\)

- Ersetze eine gerade Wurzel aus einer gleich hohen geraden Potenz zunächst durch einen Betrag. - Entscheide bei den Ausdrücken mit Differenzen anschließend, ob der Inhalt des Betrags positiv oder negativ ist. - Vergleiche \(4\) mit \(\sqrt{17}\) und \(2\) mit \(\sqrt3\) durch passende Quadrate.

1. \(\sqrt{(-13)^2}=|-13|=13\). 2. \(\sqrt[4]{(-3)^4}=|-3|=3\). 3. \(\sqrt{(4-\sqrt{17})^2}=|4-\sqrt{17}|\). Da \(4=\sqrt{16}<\sqrt{17}\), ist der innere Ausdruck negativ. Daher ist das Ergebnis \(\sqrt{17}-4\). 4. \(\sqrt[6]{(2-\sqrt3)^6}=|2-\sqrt3|\). Da \(2=\sqrt4>\sqrt3\), ist der innere Ausdruck positiv. Daher ist das Ergebnis \(2-\sqrt3\).

1) \(13\) 2) \(3\) 3) \(\sqrt{17}-4\) 4) \(2-\sqrt3\)

- Welche ganze Zahl ergibt hoch drei etwa 30? - Überlege, wie du durch Probieren mit einer Nachkommastelle den Bereich eingrenzen kannst. - Kannst du die beiden Zahlen mit einem festen Wert wie \(3{,}1\) vergleichen?

1. Eingrenzung von \(a = \sqrt[3]{30}\): Da \(3^3 = 27\) und \(4^3 = 64\), liegt der Wert zwischen \(3\) und \(4\). 2. Prüfung für \(a\): \(3{,}1^3 = 29{,}791\) und \(3{,}2^3 = 32{,}768\). Somit gilt \(3{,}1 < \sqrt[3]{30} < 3{,}2\). Ein mögliches Intervall der Länge \(0{,}1\) ist \([3{,}1; 3{,}2]\). 3. Eingrenzung von \(b = \sqrt[4]{90}\): Da \(3^4 = 81\) und \(4^4 = 256\), liegt der Wert zwischen \(3\) und \(4\). 4. Prüfung für \(b\): \(3{,}0^4 = 81\) und \(3{,}1^4 = 92{,}3521\). Somit gilt \(3{,}0 < \sqrt[4]{90} < 3{,}1\). Ein mögliches Intervall der Länge \(0{,}1\) ist \([3{,}0; 3{,}1]\). 5. Vergleich: Da \(\sqrt[3]{30} > 3{,}1\) und \(\sqrt[4]{90} < 3{,}1\), folgt \(a > b\).

\(a = \sqrt[3]{30}\) ist größer als \(b = \sqrt[4]{90}\). Intervalle: \(3{,}1 < a < 3{,}2\) und \(3{,}0 < b < 3{,}1\).

- Überlege zuerst, ob das Ergebnis einer geraden Wurzel jemals negativ sein kann. - Wie kannst du feststellen, welche der beiden Zahlen in der Differenz größer ist, ohne einen Taschenrechner zu benutzen? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn sie quadriert und anschließend die Wurzel gezogen wird? - Erinnere dich an die Definition des Betrags \(\sqrt{x^2} = |x|\).

Die Vereinfachung basiert auf der Regel \(\sqrt[2n]{A^2} = \sqrt[n]{|A|}\). 1. Teilaufgabe a: Kürzen des Exponenten ergibt \(\sqrt{|3-\sqrt{11}|}\). Da \(3 = \sqrt{9}\) und \(\sqrt{9} < \sqrt{11}\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist somit \(\sqrt{11}-3\). Ergebnis: \(\sqrt{\sqrt{11}-3}\). 2. Teilaufgabe b: Kürzen ergibt \(\sqrt[3]{|\sqrt{2}-\sqrt{7}|}\). Da \(\sqrt{2} < \sqrt{7}\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist \(\sqrt{7}-\sqrt{2}\). Ergebnis: \(\sqrt[3]{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\). 3. Teilaufgabe c: Kürzen ergibt \(\sqrt[5]{|4-\sqrt{17}|}\). Da \(4 = \sqrt{16}\) und \(\sqrt{16} < \sqrt{17}\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist \(\sqrt{17}-4\). Ergebnis: \(\sqrt[5]{\sqrt{17}-4}\).

a) \(\sqrt{\sqrt{11}-3}\) b) \(\sqrt[3]{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\) c) \(\sqrt[5]{\sqrt{17}-4}\)

- Vergleiche in Teil b) den Definitionsstatus beider Ausdrücke am vorgegebenen Wert. - Achte darauf, dass Aussagen über negative Radikanden von der Art der Wurzel abhängen. - Bestimme für \(x<5\) das Vorzeichen von \(x-5\), bevor du einen Betrag auflöst.

1. Für \(x=1\) gilt \(T(1)=\sqrt[4]{(-4)^2}=\sqrt[4]{16}=2\). 2. Die vorgeschlagene Form liefert bei \(x=1\) den Ausdruck \(\sqrt{-4}\). Eine Quadratwurzel mit negativem Radikanden ist über \(\mathbb{R}\) nicht definiert. Der ursprüngliche Term ist dagegen definiert und hat den Wert \(2\). Die behauptete Vereinfachung ist daher falsch. 3. Allgemein ist \(\sqrt[4]{(x-5)^2}=\sqrt{|x-5|}\). Für \(x<5\) gilt \(|x-5|=5-x\). Somit ist \(T(x)=\sqrt{5-x}\).

a) \(2\) b) Bei \(x=1\) ist \(\sqrt{x-5}=\sqrt{-4}\) über \(\mathbb{R}\) nicht definiert, der ursprüngliche Term aber gleich \(2\). c) \(\sqrt{5-x}\)

- Berechne zunächst beide Ausdrücke an den beiden vorgegebenen Stellen. - Nutze in Teil b) die Verbindung zwischen Wurzelnotation und rationalen Exponenten und kürze den Exponentenbruch, wenn möglich. - Vergleiche in Teil c) die Radikanden \(x^2\) und \(|x|\) hinsichtlich ihres Vorzeichens.

1. Für \(x=16\) gilt \(A=\sqrt[4]{256}=4\) und \(B=\sqrt{16}=4\). Für \(x=-16\) gilt ebenfalls \(A=\sqrt[4]{256}=4\) und \(B=\sqrt{16}=4\). 2. Für \(x>0\) gilt \(A=(x^2)^{\frac14}=x^{\frac24}=x^{\frac12}\). Außerdem ist wegen \(|x|=x\) auch \(B=\sqrt{x}=x^{\frac12}\). Somit ist \(A=B\). 3. Bei \(A\) ist der Radikand \(x^2\) für alle reellen \(x\) nichtnegativ. Bei \(B\) stellt der Betrag sicher, dass auch für negative \(x\) ein nichtnegativer Radikand entsteht.

a) Für \(x=16\) und \(x=-16\) gilt jeweils \(A=B=4\). b) Für \(x>0\): \(A=x^{\frac12}=B\) c) Das Quadrat in \(A\) und der Betrag in \(B\) sorgen jeweils für einen nichtnegativen Radikanden.

- Wie kannst du zwei Wurzeln vergleichen, wenn sie nicht denselben Wurzelexponenten haben? - Suche nach einer Möglichkeit, beide Wurzeln so umzuformen, dass sie denselben „Namen“ (Index) haben. - Was passiert mit dem Radikanden (der Zahl unter der Wurzel), wenn du den Wurzelexponenten vergrößerst?

1. Um Wurzeln mit unterschiedlichen Exponenten zu vergleichen, werden sie auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten (das kleinste gemeinsame Vielfache der Indizes) gebracht. 2. Teil a): \( \text{kgV}(3, 2) = 6 \). Es gilt \( \sqrt[3]{5} = \sqrt[6]{5^2} = \sqrt[6]{25} \) und \( \sqrt{3} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27} \). Da \( 25 < 27 \), folgt \( \sqrt[3]{5} < \sqrt{3} \). 3. Teil b): \( \text{kgV}(4, 3) = 12 \). Es gilt \( \sqrt[4]{10} = \sqrt[12]{10^3} = \sqrt[12]{1000} \) und \( \sqrt[3]{4} = \sqrt[12]{4^4} = \sqrt[12]{256} \). Da \( 1000 > 256 \), folgt \( \sqrt[4]{10} > \sqrt[3]{4} \). 4. Teil c): \( \text{kgV}(6, 3) = 6 \). Es gilt \( \sqrt[6]{10} \) und \( \sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9} \). Da \( 10 > 9 \), folgt \( \sqrt[6]{10} > \sqrt[3]{3} \).

a) \( \sqrt[3]{5} < \sqrt{3} \) b) \( \sqrt[4]{10} > \sqrt[3]{4} \) c) \( \sqrt[6]{10} > \sqrt[3]{3} \)

- Berechne zuerst den vollständigen Radikanden von \(T\). - Welche Umkehroperation hilft bei der Gleichung \(\sqrt{x}=2\)? - Lies zur Kontrolle den zu \(y=2\) gehörenden x-Wert am Funktionsgraphen ab.

1. Im Radikanden gilt \(\frac{1}{4}\cdot 2^4 = \frac{1}{4}\cdot 16 = 4\). Daher ist \(T = \sqrt{4} = 2\). 2. Gesucht ist \(x\) mit \(\sqrt{x} = 2\). Quadrieren ergibt \(x = 4\). 3. Am Graphen liegt zum Funktionswert \(2\) der Punkt mit der Koordinate \((4\mid 2)\). Damit bestätigt der Graph \(x=4\).

1. \(T = 2\) 2. \(x = 4\)

- Suche eine exakte Darstellung, in der beide Zahlen nach demselben Vergleichskriterium beurteilt werden können. - Die beiden Wurzelindizes lassen sich so verändern, dass sie übereinstimmen, ohne den Wert der Wurzel zu ändern. - Prüfe nach einer solchen Umformung, welche Größen direkt miteinander verglichen werden können.

1. Zum exakten Vergleich werden beide Wurzeln auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten gebracht. Für die Indizes \(3\) und \(4\) eignet sich \(12\). 2. Es gilt \(u=\sqrt[3]{5}=\sqrt[12]{5^4}=\sqrt[12]{625}\). 3. Außerdem gilt \(v=\sqrt[4]{8}=\sqrt[12]{8^3}=\sqrt[12]{512}\). 4. Da \(625>512\), folgt \(\sqrt[12]{625}>\sqrt[12]{512}\). 5. Somit ist \(u>v\).

\(u>v\), also \(\sqrt[3]{5}>\sqrt[4]{8}\).

- Erinnere dich an den Unterschied zwischen \(\sqrt[n]{a^n}\) bei geradem und ungeradem \(n\). - Wie ist der Betrag einer Zahl definiert, wenn die Zahl selbst negativ ist? - Schätze die Werte von \(\sqrt{5}\) und \(\pi\) grob ab, um das Vorzeichen der Differenz zu bestimmen. - Wann ist der Betrag einer Zahl gleich ihrer Gegenzahl?

1. Bei ungeradem Exponenten gilt \(\sqrt[n]{a^n} = a\), also \(\sqrt[3]{(-5)^3} = -5\). Bei geradem Exponenten gilt \(\sqrt{a^2} = |a|\), also \(\sqrt{(-5)^2} = 5\). Die Summe ist \(-5 + 5 = 0\). 2. Es gilt \(\sqrt[4]{(\sqrt{5}-3)^4} = |\sqrt{5}-3|\). Da \(\sqrt{5} \approx 2{,}236 < 3\), ist die Basis negativ. Der Betrag ist \(3-\sqrt{5}\). 3. Es gilt \(\sqrt{(3-\pi)^2} = |3-\pi|\). Da \(\pi \approx 3{,}141 > 3\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist \(\pi-3\). 4. Die linke Seite \(\sqrt[8]{x^8}\) entspricht \(|x|\). Die Gleichung \(|x| = -x\) ist nach der Definition des Betrags genau dann erfüllt, wenn \(x \le 0\).

a) \(0\) b) \(3-\sqrt{5}\) c) \(\pi-3\) d) \(x \le 0\)

- Prüfe die Behauptung zuerst tatsächlich mit den vorgegebenen negativen Zahlen. - Vergleiche, was bei geraden und ungeraden Potenzen mit dem Vorzeichen geschieht. - Die korrigierte Formel muss sowohl für positive als auch für negative Werte von \(a\) dasselbe nichtnegative Wurzelergebnis beschreiben.

1. Für \(n=4\), \(a=-3\) gilt \(\sqrt[4]{(-3)^4}=\sqrt[4]{81}=3\ne-3\). Die Behauptung ist in diesem Fall falsch. 2. Für \(n=3\), \(a=-2\) gilt \(\sqrt[3]{(-2)^3}=\sqrt[3]{-8}=-2\). Hier ist die Behauptung richtig. 3. Für gerades \(n\) ist \(a^n\ge0\), und die definierte gerade Wurzel liefert einen nichtnegativen Wert. Deshalb gilt allgemein \(\sqrt[n]{a^n}=|a|\).

a) falsch, denn \(\sqrt[4]{(-3)^4}=3\) b) wahr, denn \(\sqrt[3]{(-2)^3}=-2\) c) Für gerades \(n\) gilt \(\sqrt[n]{a^n}=|a|\).