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- Liste alle möglichen Ergebnisse des Würfelwurfs auf. - Welche Ergebnisse gehören zu \(A\)? - Welche möglichen Ergebnisse bleiben danach übrig?

1. \(A=\{2; 4; 6\}\). 2. Alle übrigen Ergebnisse aus \(\Omega=\{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\) bilden das Gegenereignis. 3. Daher ist \(\overline{A}=\{1; 3; 5\}\).

\(\overline{A}=\{1; 3; 5\}\).

- Überlege, wie groß die Gesamtwahrscheinlichkeit aller Möglichkeiten ist. - Das Gegenereignis umfasst alles, was nicht zu dem Ereignis gehört.

1. Ereignis und Gegenereignis ergeben zusammen die Wahrscheinlichkeit \(1\). 2. \(P(\overline{A})=1-0{,}37=0{,}63\).

\(P(\overline{A})=0{,}63\), also \(63\,\%\).

- Überlege, wann die Aussage „mindestens einmal“ gerade nicht erfüllt ist. - Beachte beide Würfe gleichzeitig.

1. Das Gegenereignis zu „mindestens einmal Kopf“ ist „kein Kopf“. 2. Bei zwei Würfen bedeutet das „zweimal Zahl“. 3. Daher ist \(\overline{A}=\{ZZ\}\).

\(\overline{A}\) lautet „zweimal Zahl“ und ist \(\{ZZ\}\).

- Formuliere die Verneinung der Eigenschaft, ohne alle Ergebnisse einzeln aufzulisten. - Achte darauf, den vorgegebenen Zahlenbereich beizubehalten.

1. Das Gegenereignis enthält alle Zahlen des Ergebnisraums, die nicht zu \(A\) gehören. 2. Das sind genau die Zahlen von \(1\) bis \(50\), die nicht durch \(5\) teilbar sind.

\(\overline{A}\): „Die gewählte Zahl ist kein Vielfaches von \(5\).“

- Nutze, dass Ereignis und Gegenereignis alle Möglichkeiten abdecken. - Prüfe, ob beide Wahrscheinlichkeiten zusammen das Ganze ergeben.

1. \(P(A)+P(\overline{A})=1\). 2. \(P(A)=1-0{,}62=0{,}38\).

\(P(A)=0{,}38\), also \(38\,\%\).

- Bestimme, welche Möglichkeiten durch das Ereignis bereits erfasst sind. - Fasse alle übrigen Möglichkeiten in einer Aussage zusammen.

1. \(A\) enthält alle roten und blauen Karten. 2. Das Gegenereignis enthält die übrigen Farben Grün und Gelb. 3. Daher lautet \(\overline{A}\): „Grün oder Gelb“.

\(\overline{A}\): „Die Karte ist grün oder gelb.“

- Schreibe das Ganze mit demselben Nenner wie die gegebene Wahrscheinlichkeit. - Prüfe, ob sich dein Ergebnis noch kürzen lässt.

1. \(P(\overline{A})=1-\frac{7}{20}\). 2. \(1=\frac{20}{20}\), daher \(P(\overline{A})=\frac{20}{20}-\frac{7}{20}=\frac{13}{20}\).

\(P(\overline{A})=\frac{13}{20}\).

- Prüfe, welche Summe die beiden Wahrscheinlichkeiten ergeben müssen. - Vergleiche beide Vorschläge mit diesem Gesamtwert.

1. Ereignis und Gegenereignis müssen zusammen \(100\,\%\) ergeben. 2. \(100\,\%-35\,\%=65\,\%\). 3. Jule hat recht. 4. Das Kontrollkriterium ist \(P(A)+P(\overline{A})=1\).

Jule hat recht: \(P(\overline{A})=65\,\%\). Kontrolle: Beide Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen \(100\,\%\).

- Achte darauf, dass im Ereignis \(A\) zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen. - Wann ist eine Aussage mit „und“ insgesamt nicht erfüllt? - Prüfe besonders, wie sich die Grenze „größer als \(2\)“ beim Verneinen verändert.

1. Das Ereignis \(A\) verlangt gleichzeitig zwei Bedingungen: Die Augenzahl ist gerade und sie ist größer als \(2\). 2. Das Gegenereignis tritt ein, sobald mindestens eine dieser beiden Bedingungen nicht erfüllt ist. 3. „Nicht gerade“ bedeutet „ungerade“, und „nicht größer als \(2\)“ bedeutet „höchstens \(2\)“. 4. Daher lautet das Gegenereignis: „Die Augenzahl ist ungerade oder höchstens \(2\).“

\(\overline{A}\): „Die Augenzahl ist ungerade oder höchstens \(2\).“

- Welche feste Beziehung gilt zwischen einem Ereignis und seinem Gegenereignis? - Bringe beide Wahrscheinlichkeiten in eine gut vergleichbare Form. - Welche Bedingung muss die Summe erfüllen, damit die Angaben möglich sind?

1. Es ist \(P(B)=\frac{3}{8}=0{,}375\). 2. Für ein Ereignis und sein Gegenereignis muss \(P(B)+P(\overline{B})=1\) gelten. 3. Hier ist \(0{,}375+0{,}65=1{,}025\). 4. Da \(1{,}025\neq1\) gilt, können die beiden angegebenen Wahrscheinlichkeiten nicht zu einem Ereignis und seinem Gegenereignis gehören.

Nein. Für Ereignis und Gegenereignis muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten \(1\) sein; hier ist sie \(1{,}025\).

- Wie bestimmst du bei gleich wahrscheinlichen Möglichkeiten eine Wahrscheinlichkeit aus günstigen und möglichen Fällen? - Was muss eintreten, wenn das Ereignis \(N\) gerade nicht eintritt? - Welche feste Summe haben die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses?

1. \(P(N)=\frac{10}{25}=0{,}4=40\,\%\). 2. \(\overline{N}\) bedeutet: Die gezogene Praline hat keine Nougatfüllung. 3. \(P(\overline{N})=1-P(N)=1-0{,}4=0{,}6=60\,\%\). Alternativ sind \(25-10=15\) Pralinen ohne Nougat vorhanden, also \(\frac{15}{25}=0{,}6\). 4. Alle Pralinen ohne Nougat bilden zusammen genau das Gegenereignis zu \(N\); deshalb ergänzt sich ihre Wahrscheinlichkeit mit \(P(N)\) zu \(1\).

a) \(P(N)=0{,}4=40\,\%=\frac{2}{5}\) b) \(\overline{N}\): „Die gezogene Praline hat keine Nougatfüllung.“ \(P(\overline{N})=0{,}6=60\,\%\). c) Die beiden Wahrscheinlichkeiten ergänzen sich zu \(1\), also gilt \(P(\overline{N})=1-P(N)\).

- Was sagt eine leere Schnittmenge über gemeinsame Ergebnisse aus? - Was sagt \(A \cup B=\Omega\) über die Abdeckung des Ergebnisraums aus? - Welcher Fachbegriff beschreibt zwei Ereignisse, die zusammen alle Ergebnisse und keine gemeinsamen Ergebnisse haben?

1. \(A \cap B=\emptyset\) bedeutet, dass kein Ergebnis gleichzeitig in beiden Ereignissen liegt. 2. \(A \cup B=\Omega\) bedeutet, dass jedes mögliche Ergebnis in mindestens einem der beiden Ereignisse liegt. 3. Damit teilen \(A\) und \(B\) den Ergebnisraum vollständig und ohne Überschneidung auf; sie sind Gegenereignisse zueinander. 4. Beim Würfeln passt zum Beispiel \(A=\{1; 3; 5\}\) und \(B=\{2; 4; 6\}\).

Die Ereignisse sind Gegenereignisse: Sie überschneiden sich nicht und decken zusammen \(\Omega\) ab. Ein Beispiel sind „ungerade Augenzahl“ und „gerade Augenzahl“.

- Welche Würfelergebnisse erfüllen die ursprüngliche Bedingung? - Ereignis und Gegenereignis dürfen kein gemeinsames Ergebnis haben. - Zusammen müssen Ereignis und Gegenereignis den ganzen Ergebnisraum abdecken.

1. \(A=\{5; 6\}\). 2. Das Gegenereignis darf kein Ergebnis aus \(A\) enthalten. 3. Die \(5\) gehört daher nicht zu \(\overline{A}\). 4. Richtig ist \(\overline{A}=\{1; 2; 3; 4\}\).

Der Fehler ist die enthaltene \(5\). Richtig ist \(\overline{A}=\{1; 2; 3; 4\}\).

- Gehört der Grenzwert \(2\) noch zum ursprünglichen Ereignis? - Formuliere die vollständige Verneinung der Ungleichung \(d\leq2\). - Prüfe, ob deine Gegenbedingung mit \(A\) überlappt.

1. Das Ereignis \(A\) enthält alle Fälle mit \(0\leq d\leq2\). 2. Das Gegenereignis enthält deshalb genau die Fälle mit \(d>2\). 3. Damit ist Aussage II richtig.

Aussage II: „Der Bus ist mehr als \(2\) Minuten verspätet.“

- Welche Kennzeichnung tragen die Felder, die nicht zum Ereignis \(A\) gehören? - Zähle diese Felder und vergleiche ihre Anzahl mit der Gesamtzahl aller gleich großen Felder. - Wie erhältst du aus günstigen und möglichen gleich wahrscheinlichen Feldern eine Wahrscheinlichkeit?

1. Auf dem Glücksrad sind \(10\) gleich große Felder zu sehen. Davon tragen \(3\) ein \(G\) und \(7\) ein \(N\). 2. Zum Gegenereignis \(\overline{A}\) gehören daher die \(7\) Felder mit \(N\). 3. Wegen der gleich großen Felder gilt \(P(\overline{A})=\frac{7}{10}=0{,}7\).

Zu \(\overline{A}\) gehören \(7\) Felder; \(P(\overline{A})=\frac{7}{10}=70\,\%\).

- Gehört der Grenzwert \(2\) noch zum Ereignis \(A\)? - Wie lautet die Verneinung von \(X\leq2\)? - Welche einzelnen Werte aus dem Ergebnisraum erfüllen die verneinte Bedingung?

1. \(A\) umfasst die Fälle \(X\leq2\). 2. Die Verneinung lautet \(X>2\). 3. Im Ergebnisraum ergibt sich \(\overline{A}=\{3; 4; 5; 6\}\).

\(\overline{A}: X>2\) und \(\overline{A}=\{3; 4; 5; 6\}\).

- Verneine die gesamte Aussage „beide“, nicht nur einen Teil davon. - Prüfe, ob deine Formulierung alle Fälle außerhalb des Ereignisses umfasst.

1. Das Ereignis \(A\) tritt nur ein, wenn der erste und der zweite Sensor reagieren. 2. Die Verneinung lautet: Mindestens einer der beiden Sensoren reagiert nicht. 3. Dies schließt die Fälle „nur erster nicht“, „nur zweiter nicht“ und „beide nicht“ ein.

\(\overline{A}\): „Mindestens einer der beiden Sensoren reagiert nicht.“

- Welche Elemente aus \(\Omega\) liegen nicht in \(A\)? - Ereignis und Gegenereignis dürfen sich nicht überschneiden. - Zusammen müssen sie ganz \(\Omega\) ergeben.

1. Das Gegenereignis enthält genau alle Elemente aus \(\Omega\), die nicht in \(A\) liegen. 2. Das sind \(b\), \(d\) und \(e\). 3. Nur \(B_1=\{b; d; e\}\) ist das Gegenereignis. 4. \(B_2\) enthält zusätzlich \(c\); \(B_3\) enthält zusätzlich \(a\) und \(f\).

Nur \(B_1=\{b; d; e\}\) ist \(\overline{A}\).

- Welche Werte erfüllen das ursprüngliche Ereignis? - Welche möglichen Werte bleiben als Gegenereignis übrig? - Wie groß ist ihr Anteil an allen gleich wahrscheinlichen Ergebnissen?

1. \(A=\{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}\). 2. Das Gegenereignis ist \(\overline{A}=\{7; 8; 9\}\). 3. Bei \(10\) gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt \(P(\overline{A})=\frac{3}{10}=0{,}3\).

\(\overline{A}=\{7; 8; 9\}\) und \(P(\overline{A})=0{,}3=30\,\%\).

- Bestimme zuerst die Anzahl außerhalb des Ereignisses. - Beziehe diese Anzahl anschließend auf den gesamten Stichprobenumfang.

1. Nicht bestanden haben \(250-187=63\) Bauteile. 2. Der relative Anteil ist \(\frac{63}{250}=0{,}252\). 3. Das entspricht \(25{,}2\,\%\).

Zum Gegenereignis gehören \(63\) Bauteile; der relative Anteil beträgt \(25{,}2\,\%\).

- Welche Lose gehören zum Gegenereignis von „Gewinn“? - Wie viele dieser Lose gibt es insgesamt? - Welchen Anteil bilden sie an allen gleich wahrscheinlichen Losen?

1. Es gibt \(200-46=154\) Nieten. 2. Wegen der zufälligen Auswahl aus den \(200\) gleichartigen Losen gilt \(P(\overline{A})=\frac{154}{200}=0{,}77\). 3. Das entspricht \(77\,\%\).

\(P(\overline{A})=0{,}77=77\,\%\).

- Gehört die Zahl \(10\) zur ursprünglichen Aussage? - Wie lautet die vollständige Verneinung von „mindestens \(10\)“? - Beschränke die Ergebnismenge auf die tatsächlich möglichen Feldzahlen.

1. \(A=\{10; 11; 12\}\). 2. Die Verneinung von „mindestens \(10\)“ ist „kleiner als \(10\)“. 3. Daher ist \(\overline{A}=\{6; 7; 8; 9\}\).

\(\overline{A}\): „Die Feldzahl ist kleiner als \(10\)“; \(\overline{A}=\{6; 7; 8; 9\}\).

- Denke an alle Möglichkeiten, in denen „beide erfüllt“ nicht stimmt. - Prüfe, ob eine Antwort auch den Fall umfasst, dass beide Bedingungen scheitern.

1. \(A\) verlangt die gleichzeitige Erfüllung beider Bedingungen. 2. Das Gegenereignis umfasst jeden Fall, in dem mindestens eine Bedingung scheitert. 3. Dazu gehört auch, dass beide Bedingungen scheitern. 4. Daher ist Aussage II korrekt.

Aussage II ist korrekt.

- Prüfe besonders den Grenzwert zwischen den beiden Aussagen. - Gegenereignisse müssen zusammen alle Möglichkeiten erfassen.

1. Die Zahl \(5\) erfüllt weder \(A\) noch \(B\). 2. Damit decken die beiden Aussagen nicht alle ganzen Zahlen ab und sind keine Gegenereignisse. 3. Das Gegenereignis zu „größer als \(5\)“ lautet „kleiner oder gleich \(5\)“. 4. Korrekt ist \(B\): „Die Zahl ist kleiner oder gleich \(5\)“.

Nein. Korrekt wäre \(B\): „Die Zahl ist kleiner oder gleich \(5\)“.

- Welche Zahlen in \(\Omega\) sind durch \(2\) oder durch \(3\) teilbar? - Welche möglichen Ergebnisse gehören damit zu \(A\)? - Welche Elemente aus \(\Omega\) bleiben anschließend übrig?

1. Durch \(2\) teilbar sind \(2\), \(4\), \(6\), \(8\); durch \(3\) teilbar sind \(3\), \(6\), \(9\). 2. Damit ist \(A=\{2; 3; 4; 6; 8; 9\}\). 3. Die übrigen Ergebnisse aus \(\Omega\) sind \(1\), \(5\) und \(7\). 4. Somit ist \(\overline{A}=\{1; 5; 7\}\).

\(\overline{A}=\{1; 5; 7\}\).

- Lies zuerst ab, welche Regionen zur Vereinigung \(A\cup B\) gehören. - Ein Gegenereignis enthält innerhalb von \(\Omega\) genau die Ergebnisse, die nicht zum ursprünglichen Ereignis gehören. - Betrachte bei Teil b) zunächst nur die Überlappung der beiden Kreise.

1. \(A\cup B\) umfasst alle Ergebnisse, die in mindestens einem der beiden Kreise liegen. Sein Gegenereignis liegt daher außerhalb beider Kreise. Das ist Region IV. 2. \(A\cap B\) ist nur die Überlappung der beiden Kreise, also Region II. 3. Das Gegenereignis zu \(A\cap B\) umfasst alle übrigen Regionen: I, III und IV.

a) Region IV. b) Die Regionen I, III und IV.

- Was bedeutet \(A \cup B\) in Worten? - Wie lautet das genaue Gegenteil von „mindestens eines tritt ein“? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses zusammen?

1. \(A \cup B\) bedeutet: Mindestens eines der Ereignisse \(A\) oder \(B\) tritt ein. 2. Das Gegenereignis dazu lautet: Keines der beiden Ereignisse tritt ein. 3. „Keines tritt ein“ bedeutet gleichzeitig \(A\) tritt nicht ein und \(B\) tritt nicht ein, also \(\overline{A} \cap \overline{B}\). 4. Für ein Ereignis und sein Gegenereignis ergänzen sich die Wahrscheinlichkeiten zu \(1\). Daher gilt \(P(\overline{A} \cap \overline{B})=1-P(A \cup B)\). 5. Beide Seiten beschreiben die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weder \(A\) noch \(B\) eintritt.

\(\overline{A} \cap \overline{B}\) ist das Gegenereignis zu \(A \cup B\). Deshalb gilt \(P(\overline{A} \cap \overline{B})=1-P(A \cup B)\). Sprachlich beschreiben beide Seiten die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keines der beiden Ereignisse eintritt.

- Welche Teilbedingungen von \(A\) dürfen beim Gegenereignis noch erfüllt sein? - Nutze die Beschriftungen der gleich großen Felder, um nur die zum Gegenereignis gehörenden Felder zu zählen. - Ereignis und Gegenereignis dürfen kein gemeinsames Ergebnis besitzen; prüfe Tareks Aussage an einem konkreten Feld.

1. Das Gegenereignis zu „gerade oder kleiner als \(3\)“ verlangt, dass beide Teilbedingungen nicht erfüllt sind. Daher lautet \(\overline{A}\): „Die Zahl ist ungerade und mindestens \(3\).“ 2. Auf dem Glücksrad erfüllen nur die Felder mit \(3\) und \(5\) diese Bedingung. Von acht gleich großen Feldern sind das zwei, also \(P(\overline{A})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\). 3. Mit der Gegenereignisregel folgt \(P(A)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=75\,\%\). 4. Tareks Aussage verwendet „oder“ statt „und“. Zum Beispiel ist das Feld \(4\) mindestens \(3\) und würde nach seiner Aussage zum Gegenereignis gehören; zugleich ist \(4\) gerade und gehört damit zu \(A\). Ein Ereignis und sein Gegenereignis dürfen aber kein gemeinsames Ergebnis haben.

a) \(\overline{A}\): „Die Zahl ist ungerade und mindestens \(3\).“ b) \(P(\overline{A})=\frac{1}{4}\) und \(P(A)=\frac{3}{4}=75\,\%\). c) Tarek verknüpft die negierten Bedingungen falsch mit „oder“. Das Feld \(4\) wäre dann zugleich in \(A\) und in seinem angeblichen Gegenereignis.