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Vierfeldertafeln

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Schwierigkeit: 1 – 5

5520719

In einer Vierfeldertafel stehen die Zeilen für \(A\) und \(\overline{A}\), die Spalten für \(B\) und \(\overline{B}\). <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>5</td><td>7</td><td>12</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>4</td><td>14</td><td>18</td></tr><tr><td>Summe</td><td>9</td><td>21</td><td>30</td></tr></table> Welche Ereignisverknüpfung gehört zur Zahl \(7\)?

Denkanstöße

- Lies zuerst die Zeilenbezeichnung des Feldes mit der \(7\) ab. - Lies danach die Spaltenbezeichnung desselben Feldes ab. - Ein Innenfeld einer Vierfeldertafel beschreibt das gleichzeitige Eintreten seiner Zeilen- und Spaltenbedingung.

Lösung

1. Die Zahl \(7\) steht in der Zeile \(A\) und in der Spalte \(\overline{B}\). 2. Sie gehört daher zum Ereignis \(A\cap \overline{B}\).

Antwort

Die Zahl \(7\) gehört zu \(A\cap \overline{B}\).

5520729

Eine Vierfeldertafel ist teilweise ausgefüllt. In der Zeile \(A\) stehen insgesamt \(18\) Ergebnisse. Davon liegen \(11\) zugleich in \(B\). <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>11</td><td>?</td><td>18</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>8</td><td>14</td><td>22</td></tr><tr><td>Summe</td><td>19</td><td>21</td><td>40</td></tr></table> Bestimme den fehlenden Wert im Feld \(A\cap \overline{B}\).

Denkanstöße

- Betrachte nur die Zeile \(A\). - Welche Summe müssen die beiden Innenfelder dieser Zeile ergeben? - Ein bekannter Teilwert kann von der Zeilensumme abgezogen werden.

Lösung

1. Die beiden Innenfelder der Zeile \(A\) ergeben zusammen die Zeilensumme \(18\). 2. Daher ist der fehlende Wert \(18-11=7\).

Antwort

Im Feld \(A\cap \overline{B}\) steht \(7\).

5565969

Die Vierfeldertafel zeigt absolute Häufigkeiten. <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>4</td><td>6</td><td>10</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>5</td><td>5</td><td>10</td></tr><tr><td>Summe</td><td>9</td><td>11</td><td>20</td></tr></table> Welche Zahl in der Tabelle ist \(H(A)\)? Erkläre kurz, warum diese Zahl beide Innenfelder der Zeile \(A\) umfasst.

Denkanstöße

- Suche zuerst die vollständige Zeile, die zum Ereignis \(A\) gehört. - Die Spalten unterscheiden nur danach, ob zusätzlich \(B\) eintritt oder nicht. - Welche Zahl fasst beide Fälle der Zeile zusammen?

Lösung

1. Das Ereignis \(A\) umfasst sowohl die Fälle \(A\cap B\) als auch \(A\cap\overline{B}\). 2. In der Zeile \(A\) stehen dafür die Häufigkeiten \(4\) und \(6\). Ihre Summe ist \(10\). 3. Daher ist die Randsumme der Zeile \(A\) gleich \(H(A)=10\).

Antwort

\(H(A)=10\). Die Zeile \(A\) umfasst sowohl \(A\cap B\) als auch \(A\cap\overline{B}\).

5565979

Aus einer Vierfeldertafel sind für \(40\) Beobachtungen zwei Werte eingetragen: <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>10</td><td></td><td></td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Summe</td><td></td><td></td><td>40</td></tr></table> Bestimme die relative Häufigkeit von \(A\cap B\) als gekürzten Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl.

Denkanstöße

- Lies zuerst die absolute Häufigkeit im Feld \(A\cap B\) ab. - Eine relative Häufigkeit bezieht sich hier auf alle beobachteten Fälle. - Gib denselben Anteil anschließend in den drei verlangten Darstellungen an.

Lösung

1. Das Feld \(A\cap B\) enthält die absolute Häufigkeit \(10\). 2. Für die relative Häufigkeit wird durch die Gesamtzahl \(40\) geteilt: \(\frac{10}{40}=\frac{1}{4}=0{,}25\). 3. Das entspricht \(25\,\%\).

Antwort

\(\frac{1}{4}=0{,}25=25\,\%\)

5565989

Aus einer Vierfeldertafel ist die Zeile zum Ereignis \(A\) gegeben: <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>3</td><td>9</td><td>12</td></tr></table> Welcher Anteil der Fälle aus der Gruppe \(A\) liegt zugleich in \(B\)? Gib den Anteil als Prozentzahl an.

Denkanstöße

- Welche Zahl beschreibt hier die gesamte Bezugsgruppe \(A\)? - Welcher Teil dieser Gruppe liegt zugleich in \(B\)? - Bilde den Anteil mit der Teilgruppe im Zähler und der Bezugsgruppe im Nenner.

Lösung

1. Die Bezugsgruppe ist die gesamte Zeile \(A\) mit \(12\) Fällen. 2. Davon liegen \(3\) zugleich in \(B\). Daher gilt \(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=25\,\%\).

Antwort

\(25\,\%\)

5565999

Für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) soll eine Darstellung gewählt werden. Die vier Kombinationen \(A\cap B\), \(A\cap\overline{B}\), \(\overline{A}\cap B\) und \(\overline{A}\cap\overline{B}\) sowie die Summen \(H(A)\), \(H(B)\) und \(H(\Omega)\) sollen direkt ablesbar sein. Welche Darstellung ist für dieses Ziel geeigneter: Mengendiagramm oder Vierfeldertafel? Begründe mit einem Merkmal der gewählten Darstellung.

Denkanstöße

- Welche der beiden Darstellungen besitzt eigene Felder für Zeilen- und Spaltensummen? - Prüfe, ob dort gleichzeitig alle vier Kombinationen der beiden Ereignisse getrennt erscheinen. - Begründe die Wahl mit dem genannten Darstellungsziel, nicht nur mit einer persönlichen Vorliebe.

Lösung

1. Gesucht ist eine Darstellung, in der sowohl die vier Kombinationen als auch Rand- und Gesamtsummen unmittelbar vorgesehen sind. 2. Eine Vierfeldertafel hat vier Innenfelder für die Kombinationen und zusätzliche Randfelder für Zeilen-, Spalten- und Gesamtsummen. 3. Deshalb ist die Vierfeldertafel für dieses Ziel geeigneter.

Antwort

Die Vierfeldertafel ist geeigneter, weil sie die vier Kombinationen und zusätzlich die Rand- und Gesamtsummen direkt zeigt.

4147399

In einer Wohnsiedlung wurden \(100\) Haushalte nach ihren Haustieren befragt. Sei \(A\) das Ereignis „besitzt mindestens einen Hund“ und \(K\) das Ereignis „besitzt mindestens eine Katze“. Es gilt \(H(A)=40\), \(H(K)=30\) und \(H(A\cap K)=15\). a) Übertrage die Daten in eine Vierfeldertafel. b) Bestimme die Anzahl der Haushalte, die weder einen Hund noch eine Katze besitzen.

Denkanstöße

- Trage zuerst die gemeinsame Gruppe \(A\cap K\) ein. - Nutze die beiden gegebenen Ereignishäufigkeiten als Randsummen. - Der Bereich „weder noch“ ist der Rest zur Gesamtzahl \(100\).

Lösung

1. Aus \(H(A)=40\) und \(H(A\cap K)=15\) folgt \(H(A\cap\overline{K})=40-15=25\). 2. Aus \(H(K)=30\) folgt \(H(\overline{A}\cap K)=30-15=15\). 3. Damit gehören \(15+25+15=55\) Haushalte zu mindestens einem der beiden Ereignisse. 4. Weder Hund noch Katze besitzen daher \(100-55=45\) Haushalte.

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(K\)</td><td>\(\overline{K}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>15</td><td>25</td><td>40</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>15</td><td>45</td><td>60</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>30</td><td>70</td><td>100</td></tr></table> b) \(45\) Haushalte besitzen weder einen Hund noch eine Katze.

4153499

In einer Klasse mit \(30\) Jugendlichen zeigt die Vierfeldertafel, wer regelmäßig Sport treibt (\(S\)) und wer ein Musikinstrument spielt (\(M\)). <table><tr><td></td><td>\(M\)</td><td>\(\overline{M}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>\(S\)</td><td>6</td><td>14</td><td>20</td></tr><tr><td>\(\overline{S}\)</td><td>4</td><td>6</td><td>10</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>10</td><td>20</td><td>30</td></tr></table> Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person Sport treibt oder ein Instrument spielt oder beides. Gib das Ergebnis als Bruch und in Prozent an.

Denkanstöße

- Markiere gedanklich die Tabellenfelder, in denen mindestens eine der beiden Eigenschaften zutrifft. - Addiere diese unvereinbaren Innenfelder, ohne ein Feld doppelt zu zählen. - Beziehe die erhaltene absolute Häufigkeit auf die Gesamtzahl \(30\).

Lösung

1. Zur Vereinigung \(S\cup M\) gehören die drei Innenfelder \(S\cap M\), \(S\cap\overline{M}\) und \(\overline{S}\cap M\). 2. Daher ist \(H(S\cup M)=6+14+4=24\). 3. Bezogen auf alle \(30\) Jugendlichen gilt \(P(S\cup M)=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}=0{,}8=80\,\%\).

Antwort

\(P(S\cup M)=\frac{4}{5}=80\,\%\).

4386769

Bei \(80\) Jugendlichen wird erfasst, ob sie ein Instrument spielen \(I\) und ob sie in einem Verein sind \(V\). Ergänze die Vierfeldertafel. <table><tr><th></th><th>\(V\)</th><th>\(\overline{V}\)</th><th>Summe</th></tr><tr><th>\(I\)</th><td>\(18\)</td><td>\(14\)</td><td></td></tr><tr><th>\(\overline{I}\)</th><td>\(22\)</td><td></td><td></td></tr><tr><th>Summe</th><td></td><td></td><td>\(80\)</td></tr></table>

Denkanstöße

- Ergänze zuerst Zeilen oder Spalten mit nur einer fehlenden Zahl. - Kontrolliere am Ende, ob beide Gesamtsummen übereinstimmen.

Lösung

1. In der Zeile \(I\) gilt \(18+14=32\). 2. In der Spalte \(V\) gilt \(18+22=40\). 3. Damit ist die Spaltensumme \(\overline{V}\) gleich \(80-40=40\). 4. Das Feld \(\overline{I}\cap\overline{V}\) ist \(40-14=26\). 5. Die Zeilensumme \(\overline{I}\) ist \(22+26=48\).

Antwort

<table><tr><th></th><th>\(V\)</th><th>\(\overline{V}\)</th><th>Summe</th></tr><tr><th>\(I\)</th><td>\(18\)</td><td>\(14\)</td><td>\(32\)</td></tr><tr><th>\(\overline{I}\)</th><td>\(22\)</td><td>\(26\)</td><td>\(48\)</td></tr><tr><th>Summe</th><td>\(40\)</td><td>\(40\)</td><td>\(80\)</td></tr></table>

4386779

Eine Vierfeldertafel zu \(120\) Bestellungen enthält fehlerhafte Einträge. Die Gesamtsumme \(120\), die gesamte erste Zeile und die Spaltensumme \(42\) für Expressbestellungen wurden bereits geprüft und sind korrekt. Genau zwei der übrigen Einträge sind falsch. Finde und korrigiere sie. <table><tr><th></th><th>Express \(E\)</th><th>kein Express \(\overline{E}\)</th><th>Summe</th></tr><tr><th>Abholstation \(A\)</th><td>\(24\)</td><td>\(36\)</td><td>\(60\)</td></tr><tr><th>keine Abholstation \(\overline{A}\)</th><td>\(18\)</td><td>\(44\)</td><td>\(62\)</td></tr><tr><th>Summe</th><td>\(42\)</td><td>\(78\)</td><td>\(120\)</td></tr></table>

Denkanstöße

- Kontrolliere Zeilen- und Spaltensummen unabhängig voneinander. - Bestimme zuerst den fehlerhaften Innenwert und aktualisiere danach die zugehörige Zeilensumme.

Lösung

1. Aus der geprüften Gesamtsumme und der geprüften Express-Spaltensumme folgt für „kein Express“: \(120-42=78\). Dieser Eintrag ist also korrekt. 2. In der Express-Spalte gilt \(24+18=42\), also ist auch der Innenwert \(18\) korrekt. 3. Für das Feld \(\overline{A}\cap\overline{E}\) gilt daher \(78-36=42\). Die eingetragene \(44\) muss durch \(42\) ersetzt werden. 4. Die zweite Zeilensumme lautet anschließend \(18+42=60\). Die eingetragene \(62\) muss durch \(60\) ersetzt werden.

Antwort

Die \(44\) muss durch \(42\) ersetzt werden; die zweite Zeilensumme \(62\) muss durch \(60\) ersetzt werden.

4386789

In einer Vierfeldertafel werden \(200\) Fahrten nach „mit Umstieg“ \(U\) und „pünktlich“ \(Z\) erfasst. <table><tr><th></th><th>\(Z\)</th><th>\(\overline{Z}\)</th><th>Summe</th></tr><tr><th>\(U\)</th><td>\(72\)</td><td>\(28\)</td><td>\(100\)</td></tr><tr><th>\(\overline{U}\)</th><td>\(84\)</td><td>\(16\)</td><td>\(100\)</td></tr><tr><th>Summe</th><td>\(156\)</td><td>\(44\)</td><td>\(200\)</td></tr></table> Bestimme \(P(U\cap\overline{Z})\), \(P(\overline{U}\cap Z)\) und \(P(U\cup Z)\).

Denkanstöße

- Ordne jeden Ereignisausdruck zunächst einem oder mehreren Innenfeldern zu. - Teile die passende Anzahl durch die Gesamtzahl der Fahrten.

Lösung

1. \(P(U\cap\overline{Z})=\frac{28}{200}=0{,}14\). 2. \(P(\overline{U}\cap Z)=\frac{84}{200}=0{,}42\). 3. Für \(U\cup Z\) zählen die Felder \(72\), \(28\) und \(84\). 4. \(P(U\cup Z)=\frac{184}{200}=0{,}92\).

Antwort

\(P(U\cap\overline{Z})=0{,}14\), \(P(\overline{U}\cap Z)=0{,}42\), \(P(U\cup Z)=0{,}92\).

5520739

Im Mengendiagramm markieren I, II, III und IV die vier Bereiche zu den Ereignissen \(A\) und \(B\). Übertrage die vier Regionsbezeichnungen in die passenden Innenfelder der Vierfeldertafel. <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>?</td><td>?</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>?</td><td>?</td></tr></table>

Abbildung zur Aufgabe 552073

Denkanstöße

- Beschreibe für jede Region zuerst ihre Lage bezüglich des Kreises \(A\). - Entscheide danach, ob dieselbe Region innerhalb oder außerhalb von \(B\) liegt. - Die Zeile der Tabelle codiert \(A\), die Spalte \(B\).

Lösung

1. II liegt in beiden Kreisen und gehört daher zu \(A\cap B\). 2. I liegt in \(A\), aber außerhalb von \(B\), und gehört zu \(A\cap\overline{B}\). 3. III liegt außerhalb von \(A\), aber in \(B\), und gehört zu \(\overline{A}\cap B\). 4. IV liegt innerhalb von \(\Omega\), aber außerhalb beider Kreise, und gehört zu \(\overline{A}\cap\overline{B}\).

Antwort

<table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>II</td><td>I</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>III</td><td>IV</td></tr></table>

5522969

Die Vierfeldertafel zeigt absolute Häufigkeiten aus \(80\) Beobachtungen. <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>16</td><td>24</td><td>40</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>20</td><td>20</td><td>40</td></tr><tr><td>Summe</td><td>36</td><td>44</td><td>80</td></tr></table> a) Übertrage die Tabelle vollständig in eine Vierfeldertafel der relativen Häufigkeiten. b) Interpretiere den Wert im Feld \(\overline{A}\cap\overline{B}\) als Wahrscheinlichkeit. c) Bestimme \(P(A\cup B)\) aus der relativen Vierfeldertafel.

Denkanstöße

- Relative Häufigkeiten entstehen, indem du jeden Tabellenwert auf die Gesamtzahl der Beobachtungen beziehst. - Prüfe nach der Umrechnung, ob die Gesamtsumme der relativen Häufigkeiten \(1\) ergibt. - Für die Vereinigung zählen alle Innenfelder außer dem Feld „weder \(A\) noch \(B\)“.

Lösung

1. Jede absolute Häufigkeit wird durch \(80\) geteilt. So entstehen die Innenwerte \(0{,}20\), \(0{,}30\), \(0{,}25\) und \(0{,}25\). 2. Die Randsummen lauten \(0{,}50\), \(0{,}50\), \(0{,}45\) und \(0{,}55\); die Gesamtsumme ist \(1{,}00\). 3. Das Feld \(\overline{A}\cap\overline{B}\) hat den relativen Anteil \(0{,}25\). Als Wahrscheinlichkeit bedeutet das \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}25=25\,\%\). 4. Zur Vereinigung gehören die drei übrigen Innenfelder: \(0{,}20+0{,}30+0{,}25=0{,}75\). Daher gilt \(P(A\cup B)=0{,}75\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}30\)</td><td>\(0{,}50\)</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}50\)</td></tr><tr><td>Summe</td><td>\(0{,}45\)</td><td>\(0{,}55\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr></table> b) \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}25=25\,\%\). c) \(P(A\cup B)=0{,}75\).

5565869

In einer Gruppe mit \(40\) Jugendlichen werden zwei Merkmale betrachtet: \(C\): „ist Mitglied im Chor“ und \(I\): „spielt ein Instrument“. Insgesamt sind \(24\) Jugendliche im Chor. Von den Chormitgliedern spielen \(25\,\%\) ein Instrument. <table><tr><td></td><td>\(I\)</td><td>\(\overline{I}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(C\)</td><td>?</td><td>?</td><td>24</td></tr><tr><td>\(\overline{C}\)</td><td>–</td><td>–</td><td>16</td></tr><tr><td>Summe</td><td>–</td><td>–</td><td>40</td></tr></table> Die mit „–“ gekennzeichneten Felder werden in dieser Aufgabe nicht benötigt. Bestimme die beiden fehlenden Häufigkeiten in der Zeile \(C\).

Denkanstöße

- Entscheide zuerst, auf welche Gruppe sich die Angabe \(25\,\%\) bezieht. - Nutze diese Bezugsgruppe, um die absolute Häufigkeit im Feld \(C\cap I\) zu bestimmen. - Die beiden Innenfelder einer Tabellenzeile müssen zusammen ihre Zeilensumme ergeben.

Lösung

1. Die Prozentangabe bezieht sich nur auf die \(24\) Chormitglieder. Daher gilt \(H(C\cap I)=0{,}25\cdot24=6\). 2. Die übrigen Chormitglieder spielen kein Instrument. Also ist \(H(C\cap\overline{I})=24-6=18\).

Antwort

In der Zeile \(C\) stehen \(H(C\cap I)=6\) und \(H(C\cap\overline{I})=18\).

5565879

Bei \(50\) beobachteten Busfahrten werden zwei Ereignisse erfasst: \(Z\): „der Bus kommt höchstens \(2\) Minuten nach Fahrplan an“ und \(A\): „der Bus ist stark ausgelastet“. Die Vierfeldertafel enthält absolute Häufigkeiten. <table><tr><td></td><td>\(A\)</td><td>\(\overline{A}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(Z\)</td><td>14</td><td>6</td><td>20</td></tr><tr><td>\(\overline{Z}\)</td><td>12</td><td>18</td><td>30</td></tr><tr><td>Summe</td><td>26</td><td>24</td><td>50</td></tr></table> Mila behauptet: „Die relative Häufigkeit von \(Z\cap A\) ist \(\frac{14}{20}=0{,}70\), weil in der Zeile \(Z\) insgesamt \(20\) Fahrten stehen.“ a) Erkläre den Fehler und gib die korrekte relative Häufigkeit von \(Z\cap A\) an. b) Bestimme außerdem die relative Häufigkeit von \(\overline{Z}\cap\overline{A}\) und interpretiere sie als Wahrscheinlichkeit für eine weitere vergleichbare Busfahrt.

Denkanstöße

- Frage dich, auf welche Grundgesamtheit sich die relative Häufigkeit eines Innenfeldes beziehen soll. - Vergleiche die Gesamtzahl aller Beobachtungen mit der Zeilensumme, die Mila als Nenner verwendet. - Wende dieselbe Bezugsgruppe auf das zweite Innenfeld an. - In Teil b) soll die beobachtete relative Häufigkeit anschließend als Näherung für eine Wahrscheinlichkeit gedeutet werden.

Lösung

1. Eine relative Häufigkeit eines Innenfeldes bezieht sich hier auf alle \(50\) beobachteten Fahrten, nicht nur auf die \(20\) Fahrten der Zeile \(Z\). 2. Daher ist die relative Häufigkeit von \(Z\cap A\) gleich \(\frac{14}{50}=0{,}28\). Milas Wert \(0{,}70\) beschreibt stattdessen den Anteil der stark ausgelasteten Fahrten innerhalb der Teilgruppe \(Z\). 3. Für \(\overline{Z}\cap\overline{A}\) gilt entsprechend \(\frac{18}{50}=0{,}36\). 4. Als aus den Beobachtungen gewonnene Wahrscheinlichkeit wird für eine weitere vergleichbare Fahrt \(P(\overline{Z}\cap\overline{A})\approx0{,}36=36\,\%\) verwendet.

Antwort

a) Der Nenner muss die Gesamtzahl \(50\) sein. Die korrekte relative Häufigkeit ist \(\frac{14}{50}=0{,}28\). b) \(\frac{18}{50}=0{,}36\); für eine weitere vergleichbare Fahrt gilt näherungsweise \(P(\overline{Z}\cap\overline{A})\approx0{,}36=36\,\%\).

4101439

Eine Gesundheitsstudie mit \(1000\) Teilnehmenden untersucht die Gewohnheiten „regelmäßig Sport“ (\(S\)) und „gesunde Ernährung“ (\(G\)). Gegeben sind \(H(S)=600\), \(H(G)=550\) und \(H(S\cap G)=400\). a) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel für diese Daten. b) Was bedeuten die Ereignisse \(S\cap G\) und \(\overline{S}\cap\overline{G}\) im Sachzusammenhang? c) Wie viele Teilnehmende treiben regelmäßig Sport oder ernähren sich gesund oder tun beides? Gib die entsprechende Formel an. d) Berechne \(H(\overline{S}\cup G)\) ohne Taschenrechner.

Denkanstöße

- Trage zuerst die gegebene Schnittmenge und die beiden Randsummen ein. - Ergänze die übrigen Innenfelder aus den jeweiligen Zeilen- und Spaltensummen. - Bei einer Vereinigung muss die gemeinsame Gruppe so berücksichtigt werden, dass sie insgesamt nur einmal gezählt wird.

Lösung

1. Aus \(H(S\cap G)=400\) und \(H(S)=600\) folgt \(H(S\cap\overline{G})=600-400=200\). 2. Aus \(H(G)=550\) folgt \(H(\overline{S}\cap G)=550-400=150\). 3. Damit bleiben \(1000-(400+200+150)=250\) Teilnehmende für \(\overline{S}\cap\overline{G}\). Die Randsummen ergeben sich zu \(600,400\) beziehungsweise \(550,450\). 4. \(S\cap G\) bedeutet: regelmäßig Sport und gesunde Ernährung. \(\overline{S}\cap\overline{G}\) bedeutet: weder regelmäßig Sport noch gesunde Ernährung. 5. Für die Vereinigung gilt \(H(S\cup G)=H(S)+H(G)-H(S\cap G)=600+550-400=750\). 6. Weiter gilt \(H(\overline{S}\cup G)=H(\overline{S})+H(G)-H(\overline{S}\cap G)=400+550-150=800\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(G\)</td><td>\(\overline{G}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(S\)</td><td>400</td><td>200</td><td>600</td></tr><tr><td>\(\overline{S}\)</td><td>150</td><td>250</td><td>400</td></tr><tr><td>Summe</td><td>550</td><td>450</td><td>1000</td></tr></table> b) \(S\cap G\): regelmäßig Sport und gesunde Ernährung; \(\overline{S}\cap\overline{G}\): weder regelmäßig Sport noch gesunde Ernährung. c) \(H(S\cup G)=H(S)+H(G)-H(S\cap G)=750\). d) \(H(\overline{S}\cup G)=800\).

4101449

In einer Tierarztpraxis wurden \(200\) Tierbesitzende befragt. Sei \(A\) das Ereignis „besitzt einen Hund“ und \(K\) das Ereignis „besitzt eine Katze“. <table><tr><td></td><td>\(K\)</td><td>\(\overline{K}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>30</td><td></td><td>85</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td></td><td>55</td><td></td></tr><tr><td>Gesamt</td><td></td><td>110</td><td>200</td></tr></table> a) Wie viele der befragten Personen besitzen weder Hund noch Katze? b) Ergänze alle fehlenden Werte in der Tabelle. c) Erkläre die Bedeutung der Schnittmenge \(\overline{A}\cap K\) im Sachzusammenhang. d) Bestimme \(H(A\cup K)\) sowie \(H(A\cup\overline{K})\).

Denkanstöße

- Ordne „weder Hund noch Katze“ dem Feld zu, in dem beide Ereignisse verneint sind. - Nutze Zeilen- und Spaltensummen, um die leeren Felder schrittweise zu ergänzen. - Für die Vereinigungen kannst du die passenden unvereinbaren Felder zusammenfassen oder den Additionssatz verwenden.

Lösung

1. Das Feld \(\overline{A}\cap\overline{K}\) beschreibt „weder Hund noch Katze“ und enthält \(55\) Personen. 2. Aus der Spaltensumme zu \(\overline{K}\) folgt \(H(A\cap\overline{K})=110-55=55\). 3. Aus insgesamt \(200\) Personen folgen \(H(K)=200-110=90\) und \(H(\overline{A})=200-85=115\). Damit ist \(H(\overline{A}\cap K)=115-55=60\). 4. \(\overline{A}\cap K\) bedeutet: kein Hund, aber eine Katze. 5. Es gilt \(H(A\cup K)=85+90-30=145\). 6. Außerdem gilt \(H(A\cup\overline{K})=85+110-55=140\).

Antwort

a) \(55\) Personen. b) <table><tr><td></td><td>\(K\)</td><td>\(\overline{K}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>30</td><td>55</td><td>85</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>60</td><td>55</td><td>115</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>90</td><td>110</td><td>200</td></tr></table> c) Personen, die keinen Hund, aber eine Katze besitzen. d) \(H(A\cup K)=145\) und \(H(A\cup\overline{K})=140\).

4101459

An einer Schule wurden \(500\) Schülerinnen und Schüler zu ihren Interessen an Mathematik (\(M\)) und Physik (\(P\)) befragt. Die Ergebnisse sind teilweise in der Vierfeldertafel eingetragen: <table><tr><td></td><td>\(P\)</td><td>\(\overline{P}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(M\)</td><td>120</td><td></td><td>300</td></tr><tr><td>\(\overline{M}\)</td><td></td><td>70</td><td></td></tr><tr><td>Summe</td><td>250</td><td></td><td>500</td></tr></table> a) Vervollständige die Tabelle. b) Beschreibe die Bedeutung der Zahlen \(120\) und \(70\) im Sachzusammenhang und gib die entsprechenden Ereignisse in Mengenschreibweise an. c) Was bedeutet \(M\cap\overline{P}\) in Worten? d) Berechne \(H(M\cup P)\) und \(H(\overline{M}\cup P)\) ohne Taschenrechner.

Denkanstöße

- Nutze zuerst die gegebenen Randwerte, um die fehlenden Innenfelder zu bestimmen. - Ordne die beiden erklärten Zahlen jeweils der passenden Kombination aus Ereignis und Gegenereignis zu. - Bei einer Vereinigung darf die Schnittmenge insgesamt nur einmal gezählt werden.

Lösung

1. Aus \(H(P)=250\) folgt \(H(\overline{M}\cap P)=250-120=130\). 2. Aus \(H(M)=300\) folgt \(H(M\cap\overline{P})=300-120=180\). 3. Damit ist \(H(\overline{M})=130+70=200\) und \(H(\overline{P})=180+70=250\). 4. Die \(120\) stehen für \(M\cap P\), also Interesse an beiden Fächern. Die \(70\) stehen für \(\overline{M}\cap\overline{P}\), also Interesse an keinem der beiden Fächer. 5. \(M\cap\overline{P}\) bedeutet: Interesse an Mathematik, aber nicht an Physik. 6. Es gilt \(H(M\cup P)=300+250-120=430\) und \(H(\overline{M}\cup P)=200+250-130=320\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(P\)</td><td>\(\overline{P}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(M\)</td><td>120</td><td>180</td><td>300</td></tr><tr><td>\(\overline{M}\)</td><td>130</td><td>70</td><td>200</td></tr><tr><td>Summe</td><td>250</td><td>250</td><td>500</td></tr></table> b) \(120\): \(M\cap P\), Interesse an beiden Fächern. \(70\): \(\overline{M}\cap\overline{P}\), Interesse an keinem der beiden Fächer. c) Interesse an Mathematik, aber nicht an Physik. d) \(H(M\cup P)=430\) und \(H(\overline{M}\cup P)=320\).

4147289

An einer Schule werden \(25\) Jugendliche der 9. Klasse zu ihren Freizeitaktivitäten befragt. Es geht um die Merkmale \(M\): „spielt ein Musikinstrument“ und \(S\): „treibt regelmäßig Sport“. Aus der Befragung ist bekannt: - \(12\) Jugendliche spielen ein Musikinstrument. - \(15\) Jugendliche treiben regelmäßig Sport. - \(4\) Jugendliche machen weder das eine noch das andere. a) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten. b) Bestimme die Anzahl der Jugendlichen, die sowohl ein Instrument spielen als auch regelmäßig Sport treiben. c) Wie viel Prozent der Jugendlichen treiben zwar Sport, spielen aber kein Instrument?

Denkanstöße

- Was ist die Gesamtzahl der befragten Personen? - Welche Informationen stehen für die Zeilen- und Spaltensummen zur Verfügung? - Wie kannst du die inneren Felder berechnen, wenn du eine Randsumme und einen Teilwert kennst? - Achte bei der Prozentrechnung darauf, welche Teilgruppe genau betrachtet wird.

Lösung

1. Es gilt \(H(M)=12\), \(H(S)=15\), \(H(\overline{M}\cap \overline{S})=4\) und insgesamt \(25\). 2. Die Randsummen der Gegenereignisse sind \(H(\overline{M})=25-12=13\) und \(H(\overline{S})=25-15=10\). 3. Daraus folgen \(H(\overline{M}\cap S)=13-4=9\), \(H(M\cap S)=15-9=6\) und \(H(M\cap \overline{S})=12-6=6\). 4. Damit sind alle vier Innenfelder und alle Randsummen der Vierfeldertafel bestimmt. 5. Für b) ist \(H(M\cap S)=6\). 6. Für c) gilt \(\frac{9}{25}=0{,}36=36\,\%\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(S\)</td><td>\(\overline{S}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(M\)</td><td>6</td><td>6</td><td>12</td></tr><tr><td>\(\overline{M}\)</td><td>9</td><td>4</td><td>13</td></tr><tr><td>Summe</td><td>15</td><td>10</td><td>25</td></tr></table> b) \(6\) Jugendliche treiben Sport und spielen ein Instrument. c) \(36\,\%\) der Jugendlichen treiben Sport, spielen aber kein Instrument.

4147299

Ein Elektronikfachmarkt wertet die Verkaufsdaten von \(200\) verkauften Smartphones aus. Dabei werden zwei Eigenschaften betrachtet: \(A\): „besitzt ein Android-Betriebssystem“ und \(F\): „wurde mit einer passenden Schutzfolie verkauft“. Folgende Daten liegen vor: - \(120\) der verkauften Geräte sind Android-Smartphones. - Insgesamt wurden \(90\) Geräte mit einer Schutzfolie verkauft. - \(70\,\%\) der Android-Smartphones wurden ohne Schutzfolie verkauft. a) Berechne die absolute Anzahl der Android-Smartphones, die mit einer Schutzfolie verkauft wurden. b) Vervollständige eine Vierfeldertafel für diesen Sachverhalt. c) Ermittle die Anzahl der Geräte, die kein Android-Betriebssystem besitzen, aber mit einer Schutzfolie verkauft wurden.

Denkanstöße

- Wie berechnet man eine absolute Zahl aus einer Prozentangabe, die sich auf eine Teilgruppe bezieht? - Achte darauf, dass die Summe der Zeilen und Spalten immer stimmen muss. - Kannst du die Angabe „\(70\,\%\) der Android-Smartphones“ direkt einem Feld oder einer Summe zuordnen?

Lösung

1. Von den \(120\) Android-Smartphones wurden \(70\,\%\) ohne Schutzfolie verkauft: \(0{,}7\cdot 120=84\). 2. Damit wurden \(120-84=36\) Android-Smartphones mit Schutzfolie verkauft. 3. Ohne Android sind \(200-120=80\) Geräte; ohne Schutzfolie sind \(200-90=110\) Geräte. 4. Mit Schutzfolie und ohne Android sind \(90-36=54\) Geräte. Ohne Android und ohne Schutzfolie sind \(80-54=26\) Geräte. 5. Diese vier Innenfelder ergeben zusammen mit den Randsummen die vollständige Vierfeldertafel.

Antwort

a) \(36\) Android-Smartphones wurden mit einer Schutzfolie verkauft. b) <table><tr><td></td><td>\(F\)</td><td>\(\overline{F}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>36</td><td>84</td><td>120</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>54</td><td>26</td><td>80</td></tr><tr><td>Summe</td><td>90</td><td>110</td><td>200</td></tr></table> c) \(54\) Geräte ohne Android-Betriebssystem wurden mit einer Schutzfolie verkauft.

4147309

In einer Qualitätskontrolle werden \(500\) Bauteile auf zwei mögliche Defekte \(D_1\) und \(D_2\) geprüft. Es ist bekannt: - \(465\) Bauteile weisen keinen der beiden Defekte auf. - \(20\) Bauteile haben den Defekt \(D_1\). - \(25\) Bauteile haben den Defekt \(D_2\). a) Erstelle eine Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten. b) Berechne die Anzahl der Bauteile, die beide Defekte gleichzeitig aufweisen. c) Ein Bauteil gilt als „leicht beschädigt“, wenn es genau einen der beiden Defekte hat. Wie viele Bauteile in der Stichprobe sind leicht beschädigt?

Denkanstöße

- Was bedeutet es für die Felder der Tabelle, wenn ein Bauteil „keinen der beiden Defekte“ hat? - Überlege genau, welche Kombinationen von Defekten unter den Begriff „genau ein Defekt“ fallen. - Kannst du die Informationen Schritt für Schritt von außen nach innen in die Tabelle eintragen?

Lösung

1. Es gilt \(H(\overline{D_1}\cap \overline{D_2})=465\), \(H(D_1)=20\), \(H(D_2)=25\) und insgesamt \(500\). 2. Die Gegenereignis-Randsummen sind \(H(\overline{D_1})=500-20=480\) und \(H(\overline{D_2})=500-25=475\). 3. Daraus folgt \(H(D_1\cap \overline{D_2})=475-465=10\). 4. Somit ist \(H(D_1\cap D_2)=20-10=10\) und \(H(\overline{D_1}\cap D_2)=25-10=15\). 5. Genau einen Defekt haben \(10+15=25\) Bauteile.

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(D_2\)</td><td>\(\overline{D_2}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(D_1\)</td><td>10</td><td>10</td><td>20</td></tr><tr><td>\(\overline{D_1}\)</td><td>15</td><td>465</td><td>480</td></tr><tr><td>Summe</td><td>25</td><td>475</td><td>500</td></tr></table> b) \(10\) Bauteile haben beide Defekte. c) \(25\) Bauteile sind leicht beschädigt.

4147379

In einem Ferienlager mit \(150\) Jugendlichen spielen \(90\) Fußball. Von den Fußballspielenden sind \(40\,\%\) Mädchen. Zudem gibt es \(30\) Mädchen, die nicht Fußball spielen. a) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten für die Merkmale Geschlecht (Mädchen/Jungen) und Fußball (spielt Fußball/spielt nicht Fußball). b) Wie viel Prozent der Jungen im Ferienlager spielen Fußball? Runde auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Prüfe genau, auf welche Gruppe sich die Angabe \(40\,\%\) bezieht. - Ergänze nach den Innenfeldern die Zeilen- und Spaltensummen der Vierfeldertafel. - Für b) ist nicht die gesamte Lagergruppe die Bezugsgruppe, sondern nur die Gruppe der Jungen.

Lösung

1. Von den \(90\) Fußballspielenden sind \(90\cdot0{,}4=36\) Mädchen. 2. Damit spielen \(90-36=54\) Jungen Fußball. 3. Insgesamt gibt es \(36+30=66\) Mädchen und damit \(150-66=84\) Jungen. 4. Von den \(84\) Jungen spielen \(84-54=30\) nicht Fußball. Insgesamt spielen somit \(30+30=60\) Jugendliche nicht Fußball. 5. Für den in b) gefragten Anteil ist die Bezugsgruppe die Gruppe der \(84\) Jungen: \(\frac{54}{84}\approx0{,}642857\), also \(64{,}3\,\%\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>Fußball</td><td>kein Fußball</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>Mädchen</td><td>36</td><td>30</td><td>66</td></tr><tr><td>Jungen</td><td>54</td><td>30</td><td>84</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>90</td><td>60</td><td>150</td></tr></table> b) Etwa \(64{,}3\,\%\) der Jungen spielen Fußball.

4147389

Ein Elektronikbauteil wird an zwei verschiedenen Maschinen produziert. Von 200 geprüften Bauteilen stammen 120 von Maschine A, der Rest von Maschine B. Bei der Qualitätskontrolle zeigt sich, dass \(5\,\%\) der Bauteile von Maschine A und \(10\,\%\) der Bauteile von Maschine B defekt sind. a) Stelle die Situation in einer Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten dar. b) Wie hoch ist der prozentuale Anteil der defekten Bauteile an der Gesamtmenge aller geprüften Bauteile?

Denkanstöße

- Beginne damit, die Gesamtzahlen für Maschine A und Maschine B festzulegen. - Berechne dann die Anzahl der defekten Stücke für jede Maschine einzeln. - Wie viele Bauteile sind insgesamt defekt? - Um den Gesamtanteil zu finden, teile die Summe aller defekten Teile durch die Gesamtzahl der Bauteile.

Lösung

1. Anzahl der Bauteile von Maschine B: \(200 - 120 = 80\). 2. Anzahl der defekten Bauteile von Maschine A: \(120 \cdot 0{,}05 = 6\). 3. Anzahl der einwandfreien Bauteile von Maschine A: \(120 - 6 = 114\). 4. Anzahl der defekten Bauteile von Maschine B: \(80 \cdot 0{,}10 = 8\). 5. Anzahl der einwandfreien Bauteile von Maschine B: \(80 - 8 = 72\). 6. Gesamtzahl der defekten Bauteile: \(6 + 8 = 14\). 7. Gesamtzahl der einwandfreien Bauteile: \(114 + 72 = 186\). 8. Anteil der Defekten an der Gesamtmenge: \(\frac{14}{200} = 0{,}07 = 7\,\%\).

Antwort

a) Die Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>defekt</td><td>einwandfrei</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>Maschine A</td><td>6</td><td>114</td><td>120</td></tr> <tr><td>Maschine B</td><td>8</td><td>72</td><td>80</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>14</td><td>186</td><td>200</td></tr> </table> b) Der Anteil der defekten Bauteile an der Gesamtmenge beträgt \(7\,\%\).

4147419

In einer Qualitätskontrolle werden \(1000\) Bauteile auf Materialfehler (\(M\)) und Formfehler (\(F\)) geprüft. Gegeben sind \(H(\overline{M})=920\), \(H(\overline{M}\cap F)=35\) und \(H(M\cap F)=20\). a) Ergänze die vollständige Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten. b) Wie viele Bauteile haben insgesamt einen Formfehler? c) Berechne \(H(\overline{M}\cup\overline{F})\) und erkläre das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Nutze die Gegenereignis-Randsumme, um zuerst \(H(M)\) zu bestimmen. - Die Häufigkeit von \(F\) setzt sich aus den beiden Feldern der Spalte \(F\) zusammen. - Überlege bei c), welches Ereignis genau das Gegenereignis zu „beide Fehler“ ist.

Lösung

1. Es gilt \(H(M)=1000-920=80\). 2. Aus den beiden Feldern der Spalte \(F\) folgt \(H(F)=20+35=55\). 3. Damit ist \(H(M\cap\overline{F})=80-20=60\) und \(H(\overline{M}\cap\overline{F})=920-35=885\). Somit gilt \(H(\overline{F})=945\). 4. Insgesamt haben \(55\) Bauteile einen Formfehler. 5. Für die Vereinigung gilt \(H(\overline{M}\cup\overline{F})=920+945-885=980\). Das sind genau die Bauteile, die nicht beide Fehler gleichzeitig haben, also höchstens einen der beiden Fehler.

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(F\)</td><td>\(\overline{F}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(M\)</td><td>20</td><td>60</td><td>80</td></tr><tr><td>\(\overline{M}\)</td><td>35</td><td>885</td><td>920</td></tr><tr><td>Summe</td><td>55</td><td>945</td><td>1000</td></tr></table> b) \(55\) Bauteile. c) \(H(\overline{M}\cup\overline{F})=980\). Diese \(980\) Bauteile haben höchstens einen der beiden Fehler.

4147439

In einem Sportverein mit \(400\) Mitgliedern wurden die Nutzung des Fitnessraums (\(F\)) und die Teilnahme an Gruppenkursen (\(G\)) erfasst. Es gilt \(H(F)=220\), \(H(G)=150\) und \(H(F\cap G)=90\). a) Übertrage die Informationen in eine Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten und vervollständige sie. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass ein zufällig ausgewähltes Mitglied weder den Fitnessraum nutzt noch an Gruppenkursen teilnimmt. c) Berechne \(P(F\cup G)\).

Denkanstöße

- Trage die Schnittmenge und die beiden gegebenen Randsummen zuerst ein. - Ergänze die übrigen Felder durch Differenzen zu den Zeilen- und Spaltensummen. - Für die Wahrscheinlichkeiten vergleichst du die passenden absoluten Häufigkeiten mit der Gesamtzahl \(400\).

Lösung

1. Aus \(H(F)=220\) und \(H(F\cap G)=90\) folgt \(H(F\cap\overline{G})=130\). 2. Aus \(H(G)=150\) folgt \(H(\overline{F}\cap G)=60\). 3. Es gilt \(H(\overline{F})=180\), also ist \(H(\overline{F}\cap\overline{G})=180-60=120\). Die übrigen Randsummen folgen daraus. 4. Damit ist \(P(\overline{F}\cap\overline{G})=\frac{120}{400}=0{,}30=30\,\%\). 5. Zur Vereinigung gehören \(90+130+60=280\) Mitglieder. Daher gilt \(P(F\cup G)=\frac{280}{400}=0{,}70\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(G\)</td><td>\(\overline{G}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(F\)</td><td>90</td><td>130</td><td>220</td></tr><tr><td>\(\overline{F}\)</td><td>60</td><td>120</td><td>180</td></tr><tr><td>Summe</td><td>150</td><td>250</td><td>400</td></tr></table> b) \(30\,\%\). c) \(P(F\cup G)=0{,}70\).

4147449

Gegeben ist eine unvollständige Vierfeldertafel der relativen Häufigkeiten für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\). <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td></td><td></td><td>\(0{,}65\)</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>\(0{,}15\)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Summe</td><td>\(0{,}40\)</td><td></td><td>\(1{,}00\)</td></tr></table> a) Vervollständige die Tabelle. b) Bestimme \(P(\overline{A}\cap\overline{B})\). c) Berechne \(P(A\cup B)\) und erkläre kurz den Rechenweg.

Denkanstöße

- Jede Zeile und Spalte muss zu ihrer angegebenen Randsumme passen; die Gesamtsumme ist \(1\). - Beginne mit der Spalte \(B\), in der bereits eine Randsumme und ein Innenfeld gegeben sind. - Überlege für c), welche Zelle in \(P(A)+P(B)\) zweimal vorkommt.

Lösung

1. Aus den Randsummen folgen \(P(\overline{A})=1-0{,}65=0{,}35\) und \(P(\overline{B})=1-0{,}40=0{,}60\). 2. In der Spalte \(B\) ist \(P(A\cap B)=0{,}40-0{,}15=0{,}25\). 3. Damit gilt \(P(A\cap\overline{B})=0{,}65-0{,}25=0{,}40\) und \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}35-0{,}15=0{,}20\). 4. Für die Vereinigung gilt \(P(A\cup B)=0{,}65+0{,}40-0{,}25=0{,}80\). Die Schnittmenge wird subtrahiert, weil sie in \(P(A)+P(B)\) zweimal enthalten ist.

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}40\)</td><td>\(0{,}65\)</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>\(0{,}15\)</td><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}35\)</td></tr><tr><td>Summe</td><td>\(0{,}40\)</td><td>\(0{,}60\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr></table> b) \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}20\). c) \(P(A\cup B)=0{,}80\); die Schnittmenge wird beim Addieren der beiden Ereigniswahrscheinlichkeiten sonst doppelt gezählt.

4147459

An einer Schule mit \(250\) Jugendlichen der 9. Klasse wurde gefragt, wer Mathematik (\(M\)) und Musik (\(S\)) mag. Es gilt \(H(M)=150\), \(H(S)=100\) und \(H(M\cap S)=60\). a) Erstelle eine Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten. b) Vergleiche: Ist es wahrscheinlicher, dass eine zufällig gewählte Person genau eines der beiden Fächer mag oder dass sie keines der beiden Fächer mag? Begründe durch Rechnung. c) Berechne \(P(M\cup S)\) in Prozent.

Denkanstöße

- Trage zuerst die Schnittmenge ein und ergänze daraus die beiden übrigen Felder in den Ereigniszeilen beziehungsweise -spalten. - „Genau eines“ besteht aus zwei unvereinbaren Innenfeldern der Vierfeldertafel. - Für den Vergleich in b) müssen beide Anzahlen auf dieselbe Gesamtzahl \(250\) bezogen werden.

Lösung

1. Es gilt \(H(M\cap\overline{S})=150-60=90\) und \(H(\overline{M}\cap S)=100-60=40\). 2. Damit gehören \(90+60+40=190\) Jugendliche zu mindestens einem der beiden Ereignisse; also gilt \(H(\overline{M}\cap\overline{S})=250-190=60\). 3. Genau eines der Fächer mögen \(90+40=130\) Jugendliche. Das entspricht \(\frac{130}{250}=0{,}52=52\,\%\). 4. Keines mögen \(60\) Jugendliche, also \(\frac{60}{250}=0{,}24=24\,\%\). Damit ist „genau eines“ wahrscheinlicher. 5. Für die Vereinigung gilt \(P(M\cup S)=\frac{190}{250}=0{,}76=76\,\%\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(S\)</td><td>\(\overline{S}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(M\)</td><td>60</td><td>90</td><td>150</td></tr><tr><td>\(\overline{M}\)</td><td>40</td><td>60</td><td>100</td></tr><tr><td>Summe</td><td>100</td><td>150</td><td>250</td></tr></table> b) „Genau eines“ ist mit \(52\,\%\) wahrscheinlicher als „keines“ mit \(24\,\%\). c) \(P(M\cup S)=76\,\%\).

4147479

An einer Schule wurden \(120\) Jugendliche zu ihren Essgewohnheiten in der Mittagspause befragt. \(70\) der Befragten sind Mädchen. Insgesamt bringen \(40\) Personen eine Lunchbox von zu Hause mit; die übrigen essen in der Mensa. Von den Jungen bringen \(15\) eine Lunchbox mit. a) Vervollständige eine Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten. b) Wie groß ist der Anteil der Mädchen, die in der Mensa essen? Gib ihn in Prozent an und runde auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die Zahl der Jungen aus der Gesamtzahl und der Zahl der Mädchen. - Nutze die Gesamtzahl der Lunchboxen, um die entsprechende Zahl bei den Mädchen zu finden. - Für b) ist nur die Gruppe der Mädchen die Bezugsgruppe.

Lösung

1. Es gibt \(120-70=50\) Jungen. 2. Von den \(40\) Personen mit Lunchbox sind \(15\) Jungen. Daher bringen \(40-15=25\) Mädchen eine Lunchbox mit. 3. Von den \(70\) Mädchen essen somit \(70-25=45\) in der Mensa. Von den \(50\) Jungen essen \(50-15=35\) in der Mensa. 4. Insgesamt essen \(45+35=80\) Personen in der Mensa. 5. Für b) ist die Bezugsgruppe die Gruppe der \(70\) Mädchen. Der Anteil beträgt \(\frac{45}{70}=\frac{9}{14}\approx0{,}6429\), also etwa \(64{,}3\,\%\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>Lunchbox \(L\)</td><td>Mensa \(\overline{L}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>Mädchen \(M\)</td><td>25</td><td>45</td><td>70</td></tr><tr><td>Jungen \(\overline{M}\)</td><td>15</td><td>35</td><td>50</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>40</td><td>80</td><td>120</td></tr></table> b) Der Anteil beträgt \(\frac{45}{70}\approx64{,}3\,\%\).

4147499

An einem Gymnasium wurde eine Umfrage unter \(120\) Jugendlichen der 9. Klasse zu Fußball (\(F\)) und Leichtathletik (\(L\)) durchgeführt. <table><tr><td></td><td>\(L\)</td><td>\(\overline{L}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>\(F\)</td><td>15</td><td>35</td><td>50</td></tr><tr><td>\(\overline{F}\)</td><td>25</td><td>45</td><td>70</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>40</td><td>80</td><td>120</td></tr></table> Eine Person wird zufällig ausgewählt. a) Beschreibe \(F\cap L\) und \(F\cup L\) in eigenen Worten. b) Bestimme \(P(F\cap\overline{L})\) und \(P(\overline{F}\cap L)\). c) Berechne \(P(F\cup L)\). d) Addiere die Wahrscheinlichkeiten für „nur Fußball“, „nur Leichtathletik“ und „beides“. Mit welchem Ereignis stimmt diese Summe überein?

Denkanstöße

- Unterscheide sprachlich „beide“ von „mindestens eine“. - Lies die beiden in b) gesuchten Innenfelder direkt aus der Tabelle und beziehe sie auf \(120\). - Für die Vereinigung gehören genau drei der vier Innenfelder dazu.

Lösung

1. \(F\cap L\) bedeutet, dass eine Person beide Sportarten betreibt. \(F\cup L\) bedeutet, dass sie mindestens eine der beiden Sportarten betreibt. 2. Aus der Tabelle folgt \(P(F\cap\overline{L})=\frac{35}{120}=\frac{7}{24}\) und \(P(\overline{F}\cap L)=\frac{25}{120}=\frac{5}{24}\). 3. Für die Vereinigung gilt \(P(F\cup L)=\frac{50}{120}+\frac{40}{120}-\frac{15}{120}=\frac{75}{120}=\frac{5}{8}=0{,}625\). 4. Die drei unvereinbaren Bereiche „nur Fußball“, „nur Leichtathletik“ und „beides“ ergeben \(\frac{35+25+15}{120}=\frac{75}{120}=0{,}625\). Ihre Summe ist daher ebenfalls \(P(F\cup L)\).

Antwort

a) \(F\cap L\): beide Sportarten; \(F\cup L\): mindestens eine der beiden Sportarten. b) \(P(F\cap\overline{L})=\frac{7}{24}\) und \(P(\overline{F}\cap L)=\frac{5}{24}\). c) \(P(F\cup L)=\frac{5}{8}=0{,}625\). d) Die Summe ist \(0{,}625\) und entspricht \(P(F\cup L)\).

4147519

Eine Umfrage unter \(200\) Schülerinnen und Schülern untersucht die Nutzung des Fahrrads (\(B\)) und des öffentlichen Nahverkehrs (\(Ö\)) für den Schulweg. <table><tr><td></td><td>\(Ö\)</td><td>\(\overline{Ö}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>\(B\)</td><td>20</td><td>60</td><td>80</td></tr><tr><td>\(\overline{B}\)</td><td>90</td><td>30</td><td>120</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>110</td><td>90</td><td>200</td></tr></table> a) Berechne \(P(B\cup Ö)\). b) Vergleiche \(P(B)+P(Ö)\) mit \(P(B\cup Ö)\) und erkläre die Ursache der Differenz. c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nutzt eine Person höchstens eines der beiden Verkehrsmittel?

Denkanstöße

- Vergleiche die beiden Randsummen mit den drei Innenfeldern, die zur Vereinigung gehören. - Prüfe, welches Innenfeld beim Addieren von \(P(B)\) und \(P(Ö)\) zweimal enthalten ist. - „Höchstens eines“ schließt nur den Fall „beide gleichzeitig“ aus.

Lösung

1. Zur Vereinigung gehören die drei Innenfelder außer \(\overline{B}\cap\overline{Ö}\). Daher gilt \(P(B\cup Ö)=\frac{20+60+90}{200}=\frac{170}{200}=0{,}85\). 2. Es gilt \(P(B)=\frac{80}{200}=0{,}4\) und \(P(Ö)=\frac{110}{200}=0{,}55\). Die Summe ist \(0{,}95\) und damit um \(0{,}10\) größer als \(P(B\cup Ö)\). 3. Die Differenz \(0{,}10\) ist genau \(P(B\cap Ö)=\frac{20}{200}\), weil die Schnittmenge in \(P(B)+P(Ö)\) zweimal gezählt wird. 4. „Höchstens eines“ ist das Gegenereignis zu „beide“. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(1-P(B\cap Ö)=1-0{,}10=0{,}90\).

Antwort

a) \(P(B\cup Ö)=0{,}85\). b) \(P(B)+P(Ö)=0{,}95\). Die Summe ist um \(0{,}10=P(B\cap Ö)\) größer, weil die Schnittmenge doppelt gezählt wird. c) \(0{,}90\).

4147769

In einer Jahrgangsstufe mit \(120\) Jugendlichen wurde eine Umfrage zum Thema „Musizieren“ durchgeführt. Von den insgesamt \(64\) Mädchen der Stufe spielen \(28\) ein Instrument. Insgesamt gaben \(40\) Jugendliche an, ein Instrument zu spielen. a) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten für die Merkmale Geschlecht (Mädchen/Jungen) und Musizieren (spielt Instrument / spielt kein Instrument). b) Wie viele der Jungen spielen kein Instrument? c) Wie viel Prozent der Jungen spielen ein Instrument? Runde auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst aus der Gesamtzahl und der Zahl der Mädchen, wie viele Jungen zur Jahrgangsstufe gehören. - Nutze die Gesamtzahl der Jugendlichen mit Instrument, um das entsprechende Feld bei den Jungen zu ergänzen. - Für den Prozentsatz in c) ist nur die Gruppe der Jungen die Bezugsgruppe.

Lösung

1. Es gibt \(120-64=56\) Jungen. 2. Von den Mädchen spielen \(64-28=36\) kein Instrument. 3. Insgesamt spielen \(40\) Jugendliche ein Instrument. Daher spielen \(40-28=12\) Jungen ein Instrument. 4. Somit spielen \(56-12=44\) Jungen kein Instrument. 5. Insgesamt spielen \(36+44=80\) Jugendliche kein Instrument; damit stimmen die Spaltensummen \(40+80=120\). 6. Der Anteil der Jungen mit Instrument beträgt \(\frac{12}{56}=\frac{3}{14}\approx0{,}2143\). Auf eine Dezimalstelle gerundet sind das \(21{,}4\,\%\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>Instrument \(I\)</td><td>Kein Instrument \(\overline{I}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>Mädchen \(M\)</td><td>28</td><td>36</td><td>64</td></tr><tr><td>Jungen \(\overline{M}\)</td><td>12</td><td>44</td><td>56</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>40</td><td>80</td><td>120</td></tr></table> b) \(44\) Jungen spielen kein Instrument. c) \(21{,}4\,\%\) der Jungen spielen ein Instrument.

4147779

An einer Umfrage zum Leseverhalten nahmen \(500\) Jugendliche teil. \(45\,\%\) der Befragten sind Jungen. Von den Mädchen gaben \(60\,\%\) an, regelmäßig Bücher zu lesen. Von den Jungen lesen \(120\) nicht regelmäßig Bücher. a) Erstelle eine Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten. b) Berechne den Anteil der Jugendlichen (insgesamt), die regelmäßig Bücher lesen, in Prozent.

Denkanstöße

- Rechne zuerst alle Prozentangaben in absolute Personenzahlen um. - Achte darauf, auf welche Gruppe sich die Prozentangabe bezieht (auf alle Befragten oder nur auf die Mädchen?). - Wie viele regelmäßig Lesende gibt es insgesamt, wenn du die regelmäßig lesenden Jungen und die regelmäßig lesenden Mädchen addierst?

Lösung

1. Berechnung der Anzahl der Jungen: \(0{,}45 \cdot 500 = 225\). 2. Berechnung der Anzahl der Mädchen: \(500 - 225 = 275\). 3. Berechnung der regelmäßig lesenden Mädchen: \(0{,}60 \cdot 275 = 165\). 4. Berechnung der nicht regelmäßig lesenden Mädchen: \(275 - 165 = 110\). 5. Berechnung der regelmäßig lesenden Jungen: \(225 - 120 = 105\). 6. Berechnung der Gesamtzahl der regelmäßig lesenden Jugendlichen: \(165 + 105 = 270\). 7. Berechnung der Gesamtzahl der nicht regelmäßig lesenden Jugendlichen: \(110 + 120 = 230\). 8. Berechnung des Gesamtanteils der regelmäßig lesenden Jugendlichen: \(\frac{270}{500} = 0{,}54 = 54\,\%\).

Antwort

a) Die Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten: <table> <tr><td></td><td>Liest regelmäßig</td><td>Liest nicht regelmäßig</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>Mädchen</td><td>165</td><td>110</td><td>275</td></tr> <tr><td>Jungen</td><td>105</td><td>120</td><td>225</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>270</td><td>230</td><td>500</td></tr> </table> b) Insgesamt lesen \(54\,\%\) der Jugendlichen regelmäßig Bücher.

4147789

Ein Unternehmen mit \(800\) Beschäftigten untersuchte den Zusammenhang zwischen Rauchgewohnheiten und der Teilnahme an einem betrieblichen Fitnessprogramm. Es ist bekannt, dass \(25\,\%\) der Belegschaft rauchen. Von den Rauchern nehmen lediglich \(20\,\%\) am Fitnessprogramm teil. Bei den Nichtrauchern gibt es \(320\) Personen, die nicht am Programm teilnehmen. a) Vervollständige eine Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten für dieses Unternehmen. b) Vergleiche die Teilnahmequoten am Fitnessprogramm zwischen Rauchern und Nichtrauchern. Runde die Teilnahmequote der Nichtraucher auf eine Dezimalstelle und begründe, in welcher Gruppe die Teilnahmequote höher ist.

Denkanstöße

- Beginne damit, die Belegschaft in Raucher und Nichtraucher aufzuteilen. - Nutze dann die Information über die \(20\,\%\), um das Feld innerhalb der Gruppe der Raucher zu füllen. - Um Gruppen zu vergleichen, solltest du nicht die absoluten Zahlen, sondern die relativen Anteile innerhalb der jeweiligen Gruppe betrachten. - Was bedeutet „Teilnahmequote“ in Bezug auf die jeweilige Teilgruppe?

Lösung

1. Berechnung der Anzahl der Raucher: \(0{,}25 \cdot 800 = 200\). 2. Anzahl der Nichtraucher: \(800 - 200 = 600\). 3. Anzahl der Raucher im Programm: \(0{,}20 \cdot 200 = 40\). 4. Anzahl der Raucher nicht im Programm: \(200 - 40 = 160\). 5. Anzahl der Nichtraucher im Programm: \(600 - 320 = 280\). 6. Gesamtzahl Programmteilnehmer: \(40 + 280 = 320\). 7. Gesamtzahl Nicht-Teilnehmer: \(160 + 320 = 480\). 8. Vergleich der Quoten: Quote Raucher = \(20\,\%\) (gegeben). Quote Nichtraucher = \(\frac{280}{600} \approx 0{,}4667 = 46{,}7\,\%\). 9. Die Teilnahmequote ist bei den Nichtrauchern höher: \(46{,}7\,\%\) gegenüber \(20\,\%\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>Programm</td><td>Kein Programm</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>Raucher</td><td>40</td><td>160</td><td>200</td></tr><tr><td>Nichtraucher</td><td>280</td><td>320</td><td>600</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>320</td><td>480</td><td>800</td></tr></table> b) Bei den Rauchern nehmen \(20\,\%\) teil. Bei den Nichtrauchern liegt die Quote bei \(\frac{280}{600} \approx 46{,}7\,\%\). Die Teilnahmequote ist somit bei den Nichtrauchern höher.

4152149

An einer Musikschule werden \(120\) Jugendliche befragt, welche Instrumente sie spielen. \(75\) spielen Geige (\(V\)), \(50\) Querflöte (\(F\)) und \(20\) beide Instrumente. Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten und bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person genau eines der beiden Instrumente spielt.

Denkanstöße

- Trage zuerst die gemeinsame Gruppe ein und ziehe sie von den beiden Ereignishäufigkeiten ab. - Der vierte Innenwert ergibt sich als Rest zur Gesamtzahl \(120\). - „Genau eines“ umfasst die beiden Innenfelder außerhalb der Überlappung.

Lösung

1. Es gilt \(H(V\cap F)=20\), also \(H(V\cap\overline{F})=75-20=55\) und \(H(\overline{V}\cap F)=50-20=30\). 2. Damit gehören \(55+20+30=105\) Jugendliche zu mindestens einem der Ereignisse. Folglich gilt \(H(\overline{V}\cap\overline{F})=120-105=15\). 3. Die Randsummen sind \(H(V)=75\), \(H(\overline{V})=45\), \(H(F)=50\) und \(H(\overline{F})=70\). 4. Genau eines der beiden Instrumente spielen \(55+30=85\) Jugendliche. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{85}{120}=\frac{17}{24}\approx0{,}7083\), also etwa \(70{,}8\,\%\).

Antwort

<table><tr><td></td><td>\(F\)</td><td>\(\overline{F}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(V\)</td><td>20</td><td>55</td><td>75</td></tr><tr><td>\(\overline{V}\)</td><td>30</td><td>15</td><td>45</td></tr><tr><td>Summe</td><td>50</td><td>70</td><td>120</td></tr></table> Die Wahrscheinlichkeit für genau eines der beiden Instrumente beträgt \(\frac{17}{24}\approx70{,}8\,\%\).

4153599

Ein Unternehmen prüft eine Charge von \(500\) Bauteilen auf zwei verschiedene Defekte \(A\) und \(B\). Es ist bekannt, dass \(25\) Bauteile den Defekt \(A\) aufweisen und \(15\) Bauteile den Defekt \(B\). Nur \(5\) Bauteile weisen beide Defekte gleichzeitig auf. a) Erstelle eine Vierfeldertafel, die die relativen Häufigkeiten der Defekte darstellt. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Bauteil genau einen der beiden Defekte aufweist. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil fehlerfrei ist?

Denkanstöße

- Achte auf den Unterschied zwischen absoluten Zahlen und relativen Anteilen. - Was bedeutet „genau ein Defekt“ für die Kombination der Ereignisse? - Wie berechnet man die relative Häufigkeit aus der absoluten Anzahl und der Gesamtzahl?

Lösung

1. Es gilt \(H(A\cap B)=5\), \(H(A\cap \overline{B})=25-5=20\) und \(H(\overline{A}\cap B)=15-5=10\). 2. Fehlerfrei sind \(500-(20+10+5)=465\) Bauteile. 3. Die vier relativen Häufigkeiten sind \(\frac{5}{500}=0{,}01\), \(\frac{20}{500}=0{,}04\), \(\frac{10}{500}=0{,}02\) und \(\frac{465}{500}=0{,}93\). 4. Die Randsummen sind für \(A\) und \(\overline{A}\) gleich \(0{,}05\) und \(0{,}95\), für \(B\) und \(\overline{B}\) gleich \(0{,}03\) und \(0{,}97\). 5. Genau einen Defekt hat ein Bauteil mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}04+0{,}02=0{,}06\). 6. Fehlerfrei ist ein Bauteil mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}93\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}01\)</td><td>\(0{,}04\)</td><td>\(0{,}05\)</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>\(0{,}02\)</td><td>\(0{,}93\)</td><td>\(0{,}95\)</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>\(0{,}03\)</td><td>\(0{,}97\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr></table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}06=6\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}93=93\,\%\).

4153609

In einer Schulkantine wurden \(200\) Jugendliche zu ihren Essgewohnheiten befragt. Es ergab sich, dass \(80\) Schüler Vegetarier sind (\(V\)) und \(150\) Schüler gerne Pizza essen (\(P\)). Insgesamt \(190\) der befragten Schüler sind entweder Vegetarier oder essen gerne Pizza (oder beides). a) Berechne die Anzahl der Schüler, die sowohl Vegetarier sind als auch gerne Pizza essen. b) Erstelle die zugehörige Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten. c) Jannis behauptet: „Die Mehrheit der Vegetarier isst gerne Pizza.“ Prüfe mithilfe der Daten, ob diese Aussage korrekt ist. Begründe deine Antwort.

Denkanstöße

- Wie kannst du die Anzahl der Schüler berechnen, die in der Schnittmenge beider Gruppen liegen? - Was bedeutet der Begriff „Mehrheit“ mathematisch in Bezug auf einen Anteil? - Schau dir nur die Gruppe der Vegetarier an, um die letzte Teilaufgabe zu lösen.

Lösung

1. Mit \(H(V\cup P)=H(V)+H(P)-H(V\cap P)\) gilt \(190=80+150-H(V\cap P)\). 2. Daraus folgt \(H(V\cap P)=40\). 3. Die übrigen Innenfelder sind \(H(V\cap \overline{P})=80-40=40\), \(H(\overline{V}\cap P)=150-40=110\) und \(H(\overline{V}\cap \overline{P})=200-190=10\). 4. Die Randsummen sind \(H(\overline{V})=120\) und \(H(\overline{P})=50\). 5. Unter den \(80\) Vegetariern essen \(40\) gerne Pizza. Der Anteil beträgt \(\frac{40}{80}=0{,}5=50\,\%\). 6. Eine Mehrheit erfordert mehr als \(50\,\%\). Die Behauptung ist daher falsch.

Antwort

a) Es sind \(40\) Schüler. b) <table><tr><td></td><td>\(P\)</td><td>\(\overline{P}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>\(V\)</td><td>40</td><td>40</td><td>80</td></tr><tr><td>\(\overline{V}\)</td><td>110</td><td>10</td><td>120</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>150</td><td>50</td><td>200</td></tr></table> c) Die Aussage ist nicht korrekt. Genau \(50\,\%\) der Vegetarier essen gerne Pizza; das ist keine Mehrheit.

4155729

An einer Schule wurden \(200\) Jugendliche der Klassenstufen 9 (\(K_9\)) und 10 (\(K_{10}\)) zu ihrem Essenswunsch in der Kantine befragt. Es gibt \(90\) Jugendliche in Stufe 9 und \(110\) in Stufe 10. In Stufe 9 wählten \(60\,\%\) das vegetarische Gericht (\(V\)), in Stufe 10 waren es \(40\,\%\). a) Berechne die absoluten Häufigkeiten und stelle eine Vierfeldertafel auf. b) Vergleiche \(P(K_9\cap V)\) und \(P(K_{10}\cap V)\) bezogen auf die gesamte befragte Gruppe. c) Das Ereignis \(E=(K_9\cap V)\cup(K_{10}\cap V)\). Erläutere \(E\) im Sachkontext und berechne \(P(E)\).

Denkanstöße

- Rechne die Prozentangaben zunächst innerhalb der jeweiligen Klassenstufe in absolute Häufigkeiten um. - In b) werden beide Schnittmengen auf dieselbe Gesamtzahl \(200\) bezogen. - Überlege für c), was die Vereinigung der vegetarisch Wählenden aus beiden Klassenstufen zusammenfasst.

Lösung

1. In Stufe 9 wählen \(0{,}60\cdot90=54\) vegetarisch und \(90-54=36\) nicht vegetarisch. 2. In Stufe 10 wählen \(0{,}40\cdot110=44\) vegetarisch und \(110-44=66\) nicht vegetarisch. 3. Insgesamt gilt damit \(H(V)=54+44=98\) und \(H(\overline{V})=36+66=102\). 4. Bezogen auf alle \(200\) Jugendlichen ist \(P(K_9\cap V)=\frac{54}{200}=0{,}27\) und \(P(K_{10}\cap V)=\frac{44}{200}=0{,}22\). Das erste Ereignis ist wahrscheinlicher. 5. Da \(K_9\) und \(K_{10}\) die befragte Gruppe aufteilen, beschreibt \(E\) alle Jugendlichen, die vegetarisch gewählt haben. Also gilt \(P(E)=\frac{98}{200}=0{,}49\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(V\)</td><td>\(\overline{V}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>\(K_9\)</td><td>54</td><td>36</td><td>90</td></tr><tr><td>\(K_{10}\)</td><td>44</td><td>66</td><td>110</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>98</td><td>102</td><td>200</td></tr></table> b) \(0{,}27>0{,}22\); \(K_9\cap V\) ist wahrscheinlicher. c) \(E\) bedeutet „vegetarisches Gericht gewählt“. \(P(E)=0{,}49\).

5522979

Das Mengendiagramm zeigt die relativen Häufigkeiten der vier Bereiche zu den Ereignissen \(A\) und \(B\). a) Übertrage die Werte in eine vollständige Vierfeldertafel der relativen Häufigkeiten. b) Bestimme anschließend \(P(\overline{A}\cup B)\).

Abbildung zur Aufgabe 552297

Denkanstöße

- Ordne jeden Diagrammbereich zuerst einer Schnittmenge aus Ereignis und Gegenereignis zu. - Bilde danach die Zeilen- und Spaltensummen der Vierfeldertafel. - Übersetze den Ausdruck in b) in Diagrammbereiche und entscheide dann, ob direktes Addieren oder ein Gegenereignis günstiger ist.

Lösung

1. Die Überlappung gehört zu \(A\cap B\) und hat den Wert \(0{,}16\). Nur in \(A\) liegen \(0{,}22\), nur in \(B\) liegen \(0{,}29\), und außerhalb beider Kreise liegen \(0{,}33\). 2. Die Zeilensummen sind \(0{,}16+0{,}22=0{,}38\) für \(A\) und \(0{,}29+0{,}33=0{,}62\) für \(\overline{A}\). 3. Die Spaltensummen sind \(0{,}16+0{,}29=0{,}45\) für \(B\) und \(0{,}22+0{,}33=0{,}55\) für \(\overline{B}\). 4. Zu \(\overline{A}\cup B\) gehören alle Bereiche außer \(A\cap\overline{B}\). Daher gilt \(P(\overline{A}\cup B)=1-0{,}22=0{,}78\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}16\)</td><td>\(0{,}22\)</td><td>\(0{,}38\)</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>\(0{,}29\)</td><td>\(0{,}33\)</td><td>\(0{,}62\)</td></tr><tr><td>Summe</td><td>\(0{,}45\)</td><td>\(0{,}55\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr></table> b) \(P(\overline{A}\cup B)=0{,}78\).

5565889

Bei einem Fotowettbewerb werden \(80\) eingereichte Bilder nach zwei Merkmalen erfasst: \(F\): „Hochformat“ und \(S\): „Schwarz-Weiß“. \(46\) Bilder sind im Hochformat, \(38\) sind Schwarz-Weiß und \(21\) erfüllen beide Merkmale. Für die spätere Auswertung sollen sowohl die vier Kombinationen der beiden Merkmale als auch die Größen der Teilgruppen „Hochformat“ und „Schwarz-Weiß“ ohne zusätzliche Addition direkt ablesbar sein. Zur Auswahl stehen ein Mengendiagramm und eine Vierfeldertafel. a) Entscheide, welche der beiden Darstellungen für dieses Ziel geeigneter ist, und begründe deine Wahl. b) Bestimme die vier Teilhäufigkeiten \(H(F\cap S)\), \(H(F\cap\overline{S})\), \(H(\overline{F}\cap S)\) und \(H(\overline{F}\cap\overline{S})\). Gib außerdem an, welche bereits gegebene Häufigkeit als Bezugsgruppe für den Anteil der Schwarz-Weiß-Bilder unter den Hochformatbildern dienen würde. c) Wie viele Bilder erfüllen genau eines der beiden Merkmale?

Denkanstöße

- Vergleiche die Darstellungen danach, ob die Größe einer gesamten Teilgruppe als eigener Randwert sichtbar wäre oder erst aus mehreren Bereichen addiert werden müsste. - Überlege anschließend, welche der vier Kombinationen bereits direkt gegeben ist. - Die beiden Einzelhäufigkeiten enthalten jeweils auch die gemeinsame Gruppe. - Für einen Anteil „unter den Hochformatbildern“ muss die Bezugsgruppe genau aus den Hochformatbildern bestehen.

Lösung

1. Eine Vierfeldertafel ist für das genannte Ziel geeigneter, weil sie die vier Kombinationen in den Innenfeldern und zugleich die Größen der betrachteten Teilgruppen als Zeilen- und Spaltensummen direkt zeigt. In einem Mengendiagramm müssten diese Gruppengrößen aus mehreren Bereichen addiert werden. 2. In das Feld \(F\cap S\) gehören die \(21\) Bilder mit beiden Merkmalen. 3. Nur Hochformat sind \(46-21=25\) Bilder, nur Schwarz-Weiß sind \(38-21=17\) Bilder. 4. Mindestens eines der Merkmale erfüllen \(25+21+17=63\) Bilder. Daher erfüllen \(80-63=17\) keines der beiden Merkmale. 5. Für den Anteil der Schwarz-Weiß-Bilder unter den Hochformatbildern ist die Bezugsgruppe \(F\), also die bereits gegebene Häufigkeit \(H(F)=46\). 6. Genau eines der beiden Merkmale erfüllen \(25+17=42\) Bilder.

Antwort

a) Die Vierfeldertafel ist geeigneter, weil sie die vier Kombinationen und die Teilgruppengrößen als Innenfelder bzw. Zeilen-/Spaltensummen direkt sichtbar macht. b) \(H(F\cap S)=21\), \(H(F\cap\overline{S})=25\), \(H(\overline{F}\cap S)=17\), \(H(\overline{F}\cap\overline{S})=17\); Bezugsgruppe für „Schwarz-Weiß unter Hochformat“ ist \(H(F)=46\). c) \(42\) Bilder.

5565899

Die relativen Häufigkeiten einer Vierfeldertafel werden hier als Wahrscheinlichkeiten interpretiert. Es gilt \(P(A)=0{,}62\) und \(P(B)=0{,}47\). Setze \(x=P(A\cap B)\). a) Drücke die drei übrigen Innenfelder der Vierfeldertafel in Abhängigkeit von \(x\) aus. b) Bestimme alle möglichen Werte von \(x\). Begründe den Wertebereich damit, dass kein Feld der Vierfeldertafel eine negative relative Häufigkeit haben darf.

Denkanstöße

- Beginne mit den beiden Randsummen und dem unbekannten Innenfeld \(x\). - Jede Zeilen- und Spaltensumme ist die Summe der beiden zugehörigen Innenfelder. - Drücke auch das Feld „weder \(A\) noch \(B\)“ mit \(x\) aus. - Welche Ungleichungen folgen daraus, dass relative Häufigkeiten nicht negativ sein können?

Lösung

1. Aus der Zeilensumme \(P(A)=0{,}62\) folgt \(P(A\cap\overline{B})=0{,}62-x\). 2. Aus der Spaltensumme \(P(B)=0{,}47\) folgt \(P(\overline{A}\cap B)=0{,}47-x\). 3. Das vierte Feld ergibt sich aus der Zeilensumme \(P(\overline{A})=0{,}38\): \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}38-(0{,}47-x)=x-0{,}09\). 4. Alle Innenfelder müssen mindestens \(0\) sein. Daraus folgen \(x\le0{,}62\), \(x\le0{,}47\) und \(x\ge0{,}09\). 5. Die stärkeren Schranken sind deshalb \(0{,}09\le x\le0{,}47\).

Antwort

a) \(P(A\cap\overline{B})=0{,}62-x\), \(P(\overline{A}\cap B)=0{,}47-x\), \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=x-0{,}09\). b) \(0{,}09\le x\le0{,}47\).

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.