Mathe-Arbeitsblätter Klasse 9

Stellen Sie aus mehr als 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Vierfeldertafeln

Lernziele

Erstellt Vierfeldertafeln aus Sachangaben.
Ergänzt Felder mithilfe von Randsummen.
Deutet Innenfelder als Schnittereignisse.
Unterscheidet Schnitt- und Randwahrscheinlichkeiten.
Rechnet zwischen absoluten und relativen Häufigkeiten um.
Entnimmt Wahrscheinlichkeiten verknüpfter Ereignisse.

Schwierigkeit: 1 – 5

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5520719

In einer Vierfeldertafel stehen die Zeilen für \(A\) und \(\overline{A}\), die Spalten für \(B\) und \(\overline{B}\). <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>5</td><td>7</td><td>12</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>4</td><td>14</td><td>18</td></tr><tr><td>Summe</td><td>9</td><td>21</td><td>30</td></tr></table> Welche Ereignisverknüpfung gehört zur Zahl \(7\)?

Denkanstöße

- Lies zuerst die Zeilenbezeichnung des Feldes mit der \(7\) ab. - Lies danach die Spaltenbezeichnung desselben Feldes ab. - Ein Innenfeld einer Vierfeldertafel beschreibt das gleichzeitige Eintreten seiner Zeilen- und Spaltenbedingung.

Lösung

1. Die Zahl \(7\) steht in der Zeile \(A\) und in der Spalte \(\overline{B}\). 2. Sie gehört daher zum Ereignis \(A\cap \overline{B}\).

Antwort

Die Zahl \(7\) gehört zu \(A\cap \overline{B}\).

5520729

Eine Vierfeldertafel ist teilweise ausgefüllt. In der Zeile \(A\) stehen insgesamt \(18\) Ergebnisse. Davon liegen \(11\) zugleich in \(B\). <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>11</td><td>?</td><td>18</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>8</td><td>14</td><td>22</td></tr><tr><td>Summe</td><td>19</td><td>21</td><td>40</td></tr></table> Bestimme den fehlenden Wert im Feld \(A\cap \overline{B}\).

Denkanstöße

- Betrachte nur die Zeile \(A\). - Welche Summe müssen die beiden Innenfelder dieser Zeile ergeben? - Ein bekannter Teilwert kann von der Zeilensumme abgezogen werden.

Lösung

1. Die beiden Innenfelder der Zeile \(A\) ergeben zusammen die Zeilensumme \(18\). 2. Daher ist der fehlende Wert \(18-11=7\).

Antwort

Im Feld \(A\cap \overline{B}\) steht \(7\).

5565869

Im Jugendchor „Klangfarben“ sind \(24\) Jugendliche. \(6\) von ihnen spielen ein Instrument. <table><tr><td></td><td>Instrument</td><td>kein Instrument</td><td>Summe</td></tr><tr><td>Chor</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td><td>24</td></tr></table> Trage die beiden fehlenden Häufigkeiten ein.

Denkanstöße

- In welches der beiden Felder gehört die Angabe \(6\)? - Beide Felder zusammen müssen die Summe \(24\) ergeben. - Prüfe am Ende, ob deine beiden Zahlen zusammen \(24\) ergeben.

Lösung

1. In das Feld „Instrument“ gehört \(6\). 2. Insgesamt sind \(24\) Jugendliche im Chor. Also spielen \(24-6=18\) kein Instrument.

Antwort

Instrument: \(6\) kein Instrument: \(18\)

5565969

Die Vierfeldertafel zeigt absolute Häufigkeiten. <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>4</td><td>6</td><td>10</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>5</td><td>5</td><td>10</td></tr><tr><td>Summe</td><td>9</td><td>11</td><td>20</td></tr></table> Welche Zahl in der Tabelle ist \(H(A)\)? Erkläre kurz, warum diese Zahl beide Innenfelder der Zeile \(A\) umfasst.

Denkanstöße

- Suche zuerst die vollständige Zeile, die zum Ereignis \(A\) gehört. - Die Spalten unterscheiden nur danach, ob zusätzlich \(B\) eintritt oder nicht. - Welche Zahl fasst beide Fälle der Zeile zusammen?

Lösung

1. Das Ereignis \(A\) umfasst sowohl die Fälle \(A\cap B\) als auch \(A\cap\overline{B}\). 2. In der Zeile \(A\) stehen dafür die Häufigkeiten \(4\) und \(6\). Ihre Summe ist \(10\). 3. Daher ist die Randsumme der Zeile \(A\) gleich \(H(A)=10\).

Antwort

\(H(A)=10\). Die Zeile \(A\) umfasst sowohl \(A\cap B\) als auch \(A\cap\overline{B}\).

5565979

Aus einer Vierfeldertafel sind für \(40\) Beobachtungen zwei Werte eingetragen: <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>10</td><td></td><td></td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Summe</td><td></td><td></td><td>40</td></tr></table> Bestimme die relative Häufigkeit von \(A\cap B\) als gekürzten Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl.

Denkanstöße

- Lies zuerst die absolute Häufigkeit im Feld \(A\cap B\) ab. - Eine relative Häufigkeit bezieht sich hier auf alle beobachteten Fälle. - Gib denselben Anteil anschließend in den drei verlangten Darstellungen an.

Lösung

1. Das Feld \(A\cap B\) enthält die absolute Häufigkeit \(10\). 2. Für die relative Häufigkeit wird durch die Gesamtzahl \(40\) geteilt: \(\frac{10}{40}=\frac{1}{4}=0{,}25\). 3. Das entspricht \(25\,\%\).

Antwort

\(\frac{1}{4}=0{,}25=25\,\%\)

4147299

Der Elektronikladen „Technikpunkt“ hat \(200\) Smartphones verkauft. \(120\) davon haben Android als Betriebssystem. \(90\) Smartphones wurden zusammen mit einer Schutzfolie verkauft. Von den Smartphones mit Android wurden \(84\) ohne Schutzfolie verkauft. a) Wie viele Smartphones mit Android wurden mit Schutzfolie verkauft? b) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel. c) Wie viele Smartphones mit einem anderen Betriebssystem wurden mit Schutzfolie verkauft?

Denkanstöße

- Trage zuerst alle gegebenen Zahlen an die passende Stelle der Vierfeldertafel ein. - Suche dann eine Zeile oder Spalte, in der nur noch ein Wert fehlt. Nutze die zugehörige Summe. - Prüfe am Ende, ob alle Zeilen- und Spaltensummen zur Gesamtzahl \(200\) passen.

Lösung

1. Von den \(120\) Smartphones mit Android wurden \(84\) ohne Schutzfolie verkauft. Also wurden \(120-84=36\) mit Schutzfolie verkauft. 2. Insgesamt wurden \(90\) Smartphones mit Schutzfolie verkauft. Davon haben \(36\) Android. Also wurden \(90-36=54\) Smartphones mit einem anderen Betriebssystem mit Schutzfolie verkauft. 3. Insgesamt haben \(200-120=80\) Smartphones ein anderes Betriebssystem. Davon wurden \(80-54=26\) ohne Schutzfolie verkauft. 4. Ohne Schutzfolie wurden insgesamt \(84+26=110\) Smartphones verkauft.

Antwort

a) \(36\) Smartphones mit Android wurden mit Schutzfolie verkauft. b) <table><tr><td></td><td>Schutzfolie</td><td>keine Schutzfolie</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>Android</td><td>36</td><td>84</td><td>120</td></tr><tr><td>anderes Betriebssystem</td><td>54</td><td>26</td><td>80</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>90</td><td>110</td><td>200</td></tr></table> c) \(54\) Smartphones mit einem anderen Betriebssystem wurden mit Schutzfolie verkauft.

4147379

Im Ferienlager „Waldsee“ sind \(150\) Jugendliche. \(90\) spielen Fußball. Von ihnen sind \(36\) Mädchen. Außerdem spielen \(30\) Mädchen keinen Fußball. a) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten. b) Wie viel Prozent aller \(150\) Jugendlichen sind Jungen, die Fußball spielen?

Denkanstöße

- Trage die gegebenen Häufigkeiten zuerst an die passenden Stellen einer Vierfeldertafel ein. - Nutze Zeilen- und Spaltensummen, sobald in einer Zeile oder Spalte nur noch ein Wert fehlt. - Für b) brauchst du die Häufigkeit der gesuchten Kombination und die Gesamtzahl aller Jugendlichen.

Lösung

1. Von den \(90\) Jugendlichen, die Fußball spielen, sind \(36\) Mädchen. Also spielen \(90-36=54\) Jungen Fußball. 2. Insgesamt gibt es \(36+30=66\) Mädchen und damit \(150-66=84\) Jungen. 3. Von den \(84\) Jungen spielen \(84-54=30\) keinen Fußball. Insgesamt spielen damit \(30+30=60\) Jugendliche keinen Fußball. 4. \(54\) von \(150\) Jugendlichen sind Jungen, die Fußball spielen. Der Anteil ist \(\frac{54}{150}=0{,}36=36\,\%\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>Fußball</td><td>kein Fußball</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>Mädchen</td><td>36</td><td>30</td><td>66</td></tr><tr><td>Jungen</td><td>54</td><td>30</td><td>84</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>90</td><td>60</td><td>150</td></tr></table> b) \(36\,\%\) aller Jugendlichen sind Jungen, die Fußball spielen.

4147389

Bei Metallbau Heller wurden \(200\) Bauteile geprüft. \(120\) wurden an der neuen Maschine hergestellt, die übrigen an der älteren. \(6\) Bauteile von der neuen Maschine und \(8\) von der älteren waren defekt. a) Stelle die Situation in einer Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten dar. b) Wie viel Prozent aller \(200\) Bauteile sind defekt?

Denkanstöße

- Wie viele Bauteile wurden an der älteren Maschine hergestellt? - Ergänze für jede Maschine die Zahl der nicht defekten Bauteile. - Für b) brauchst du die Zahl aller defekten Bauteile und die Gesamtzahl \(200\).

Lösung

1. An der älteren Maschine wurden \(200-120=80\) Bauteile hergestellt. 2. Von der neuen Maschine sind \(120-6=114\) Bauteile nicht defekt. Von der älteren Maschine sind es \(80-8=72\). 3. Insgesamt sind \(6+8=14\) Bauteile defekt und \(114+72=186\) nicht defekt. 4. \(14\) von \(200\) Bauteilen sind defekt. Das sind \(\frac{14}{200}=0{,}07=7\,\%\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>defekt</td><td>nicht defekt</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>neue Maschine</td><td>6</td><td>114</td><td>120</td></tr><tr><td>ältere Maschine</td><td>8</td><td>72</td><td>80</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>14</td><td>186</td><td>200</td></tr></table> b) \(7\,\%\) der Bauteile sind defekt.

4147399

In einer Wohnsiedlung wurden \(100\) Haushalte nach ihren Haustieren befragt. Sei \(A\) das Ereignis „besitzt mindestens einen Hund“ und \(K\) das Ereignis „besitzt mindestens eine Katze“. Es gilt \(H(A)=40\), \(H(K)=30\) und \(H(A\cap K)=15\). a) Übertrage die Daten in eine Vierfeldertafel. b) Bestimme die Anzahl der Haushalte, die weder einen Hund noch eine Katze besitzen.

Denkanstöße

- Trage zuerst die gemeinsame Gruppe \(A\cap K\) ein. - Nutze die beiden gegebenen Ereignishäufigkeiten als Randsummen. - Der Bereich „weder noch“ ist der Rest zur Gesamtzahl \(100\).

Lösung

1. Aus \(H(A)=40\) und \(H(A\cap K)=15\) folgt \(H(A\cap\overline{K})=40-15=25\). 2. Aus \(H(K)=30\) folgt \(H(\overline{A}\cap K)=30-15=15\). 3. Damit gehören \(15+25+15=55\) Haushalte zu mindestens einem der beiden Ereignisse. 4. Weder Hund noch Katze besitzen daher \(100-55=45\) Haushalte.

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(K\)</td><td>\(\overline{K}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>15</td><td>25</td><td>40</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>15</td><td>45</td><td>60</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>30</td><td>70</td><td>100</td></tr></table> b) \(45\) Haushalte besitzen weder einen Hund noch eine Katze.

4147479

An der Bergblick-Schule essen \(120\) Jugendliche zu Mittag. \(70\) sind Mädchen. \(40\) bringen ihr Mittagessen von zu Hause mit; die übrigen kaufen ihr Mittagessen in der Mensa. Von den Jungen bringen \(15\) ihr Mittagessen mit. a) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten. b) Wie viel Prozent aller \(120\) Jugendlichen sind Mädchen und kaufen ihr Mittagessen in der Mensa?

Denkanstöße

- Trage zuerst die gegebenen Randsummen und die bekannte Innenzelle in eine Vierfeldertafel ein. - Suche jeweils eine Zeile oder Spalte, in der nur noch ein Wert fehlt. - Für b) beziehst du die gesuchte Kombination auf die gesamte Gruppe der \(120\) Jugendlichen.

Lösung

1. Es gibt \(120-70=50\) Jungen. 2. Von den \(40\) Jugendlichen mit mitgebrachtem Mittagessen sind \(15\) Jungen. Also bringen \(40-15=25\) Mädchen ihr Mittagessen mit. 3. Von den \(70\) Mädchen kaufen \(70-25=45\) ihr Mittagessen in der Mensa. Von den \(50\) Jungen sind es \(50-15=35\). 4. Insgesamt kaufen \(45+35=80\) Jugendliche ihr Mittagessen in der Mensa. 5. \(45\) von \(120\) Jugendlichen sind Mädchen und kaufen ihr Mittagessen in der Mensa. Das sind \(\frac{45}{120}=0{,}375=37{,}5\,\%\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>mitgebracht</td><td>Mensa</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>Mädchen</td><td>25</td><td>45</td><td>70</td></tr><tr><td>Jungen</td><td>15</td><td>35</td><td>50</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>40</td><td>80</td><td>120</td></tr></table> b) \(37{,}5\,\%\) sind Mädchen und kaufen ihr Mittagessen in der Mensa.

4147769

In der 9. Jahrgangsstufe der Rosenbachschule sind \(120\) Jugendliche. \(64\) sind Mädchen. \(28\) Mädchen spielen ein Instrument. Insgesamt spielen \(40\) Jugendliche ein Instrument. a) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten. b) Wie viele Jungen spielen kein Instrument? c) Wie viel Prozent aller \(120\) Jugendlichen sind Jungen und spielen ein Instrument?

Denkanstöße

- Trage die Gesamtzahl, die Zahl der Mädchen und die beiden Angaben zum Instrument zuerst in die Tabelle ein. - Nutze Zeilen- und Spaltensummen, um die fehlenden Innenfelder zu finden. - Für c) brauchst du die passende Innenzelle und die Gesamtzahl \(120\).

Lösung

1. Es gibt \(120-64=56\) Jungen. 2. Von den \(64\) Mädchen spielen \(64-28=36\) kein Instrument. 3. Insgesamt spielen \(40\) Jugendliche ein Instrument. Daher spielen \(40-28=12\) Jungen ein Instrument. 4. Von den \(56\) Jungen spielen damit \(56-12=44\) kein Instrument. Insgesamt spielen \(36+44=80\) Jugendliche kein Instrument. 5. \(12\) von \(120\) Jugendlichen sind Jungen und spielen ein Instrument. Das sind \(\frac{12}{120}=0{,}10=10\,\%\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>Instrument</td><td>kein Instrument</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>Mädchen</td><td>28</td><td>36</td><td>64</td></tr><tr><td>Jungen</td><td>12</td><td>44</td><td>56</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>40</td><td>80</td><td>120</td></tr></table> b) \(44\) Jungen spielen kein Instrument. c) \(10\,\%\) aller Jugendlichen sind Jungen und spielen ein Instrument.

4153499

In einer Klasse mit \(30\) Jugendlichen zeigt die Vierfeldertafel, wer regelmäßig Sport treibt (\(S\)) und wer ein Musikinstrument spielt (\(M\)). <table><tr><td></td><td>\(M\)</td><td>\(\overline{M}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>\(S\)</td><td>6</td><td>14</td><td>20</td></tr><tr><td>\(\overline{S}\)</td><td>4</td><td>6</td><td>10</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>10</td><td>20</td><td>30</td></tr></table> Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person Sport treibt oder ein Instrument spielt oder beides. Gib das Ergebnis als Bruch und in Prozent an.

Denkanstöße

- Markiere gedanklich die Tabellenfelder, in denen mindestens eine der beiden Eigenschaften zutrifft. - Addiere diese unvereinbaren Innenfelder, ohne ein Feld doppelt zu zählen. - Beziehe die erhaltene absolute Häufigkeit auf die Gesamtzahl \(30\).

Lösung

1. Zur Vereinigung \(S\cup M\) gehören die drei Innenfelder \(S\cap M\), \(S\cap\overline{M}\) und \(\overline{S}\cap M\). 2. Daher ist \(H(S\cup M)=6+14+4=24\). 3. Bezogen auf alle \(30\) Jugendlichen gilt \(P(S\cup M)=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}=0{,}8=80\,\%\).

Antwort

\(P(S\cup M)=\frac{4}{5}=80\,\%\).

4386769

Bei \(80\) Jugendlichen wird erfasst, ob sie ein Instrument spielen \(I\) und ob sie in einem Verein sind \(V\). Ergänze die Vierfeldertafel. <table><tr><th></th><th>\(V\)</th><th>\(\overline{V}\)</th><th>Summe</th></tr><tr><th>\(I\)</th><td>\(18\)</td><td>\(14\)</td><td></td></tr><tr><th>\(\overline{I}\)</th><td>\(22\)</td><td></td><td></td></tr><tr><th>Summe</th><td></td><td></td><td>\(80\)</td></tr></table>

Denkanstöße

- Ergänze zuerst Zeilen oder Spalten mit nur einer fehlenden Zahl. - Kontrolliere am Ende, ob beide Gesamtsummen übereinstimmen.

Lösung

1. In der Zeile \(I\) gilt \(18+14=32\). 2. In der Spalte \(V\) gilt \(18+22=40\). 3. Damit ist die Spaltensumme \(\overline{V}\) gleich \(80-40=40\). 4. Das Feld \(\overline{I}\cap\overline{V}\) ist \(40-14=26\). 5. Die Zeilensumme \(\overline{I}\) ist \(22+26=48\).

Antwort

<table><tr><th></th><th>\(V\)</th><th>\(\overline{V}\)</th><th>Summe</th></tr><tr><th>\(I\)</th><td>\(18\)</td><td>\(14\)</td><td>\(32\)</td></tr><tr><th>\(\overline{I}\)</th><td>\(22\)</td><td>\(26\)</td><td>\(48\)</td></tr><tr><th>Summe</th><td>\(40\)</td><td>\(40\)</td><td>\(80\)</td></tr></table>

4386779

Eine Vierfeldertafel zu \(120\) Bestellungen enthält fehlerhafte Einträge. Die Gesamtsumme \(120\), die gesamte erste Zeile und die Spaltensumme \(42\) für Expressbestellungen wurden bereits geprüft und sind korrekt. Genau zwei der übrigen Einträge sind falsch. Finde und korrigiere sie. <table><tr><th></th><th>Express \(E\)</th><th>kein Express \(\overline{E}\)</th><th>Summe</th></tr><tr><th>Abholstation \(A\)</th><td>\(24\)</td><td>\(36\)</td><td>\(60\)</td></tr><tr><th>keine Abholstation \(\overline{A}\)</th><td>\(18\)</td><td>\(44\)</td><td>\(62\)</td></tr><tr><th>Summe</th><td>\(42\)</td><td>\(78\)</td><td>\(120\)</td></tr></table>

Denkanstöße

- Kontrolliere Zeilen- und Spaltensummen unabhängig voneinander. - Bestimme zuerst den fehlerhaften Innenwert und aktualisiere danach die zugehörige Zeilensumme.

Lösung

1. Aus der geprüften Gesamtsumme und der geprüften Express-Spaltensumme folgt für „kein Express“: \(120-42=78\). Dieser Eintrag ist also korrekt. 2. In der Express-Spalte gilt \(24+18=42\), also ist auch der Innenwert \(18\) korrekt. 3. Für das Feld \(\overline{A}\cap\overline{E}\) gilt daher \(78-36=42\). Die eingetragene \(44\) muss durch \(42\) ersetzt werden. 4. Die zweite Zeilensumme lautet anschließend \(18+42=60\). Die eingetragene \(62\) muss durch \(60\) ersetzt werden.

Antwort

Die \(44\) muss durch \(42\) ersetzt werden; die zweite Zeilensumme \(62\) muss durch \(60\) ersetzt werden.

4386789

In einer Vierfeldertafel werden \(200\) Fahrten nach „mit Umstieg“ \(U\) und „pünktlich“ \(Z\) erfasst. <table><tr><th></th><th>\(Z\)</th><th>\(\overline{Z}\)</th><th>Summe</th></tr><tr><th>\(U\)</th><td>\(72\)</td><td>\(28\)</td><td>\(100\)</td></tr><tr><th>\(\overline{U}\)</th><td>\(84\)</td><td>\(16\)</td><td>\(100\)</td></tr><tr><th>Summe</th><td>\(156\)</td><td>\(44\)</td><td>\(200\)</td></tr></table> Bestimme \(P(U\cap\overline{Z})\), \(P(\overline{U}\cap Z)\) und \(P(U\cup Z)\).

Denkanstöße

- Ordne jeden Ereignisausdruck zunächst einem oder mehreren Innenfeldern zu. - Teile die passende Anzahl durch die Gesamtzahl der Fahrten.

Lösung

1. \(P(U\cap\overline{Z})=\frac{28}{200}=0{,}14\). 2. \(P(\overline{U}\cap Z)=\frac{84}{200}=0{,}42\). 3. Für \(U\cup Z\) zählen die Felder \(72\), \(28\) und \(84\). 4. \(P(U\cup Z)=\frac{184}{200}=0{,}92\).

Antwort

\(P(U\cap\overline{Z})=0{,}14\), \(P(\overline{U}\cap Z)=0{,}42\), \(P(U\cup Z)=0{,}92\).

5520739

Im Mengendiagramm markieren I, II, III und IV die vier Bereiche zu den Ereignissen \(A\) und \(B\). Übertrage die vier Regionsbezeichnungen in die passenden Innenfelder der Vierfeldertafel. <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>?</td><td>?</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>?</td><td>?</td></tr></table>

Abbildung zur Aufgabe 552073

Denkanstöße

- Beschreibe für jede Region zuerst ihre Lage bezüglich des Kreises \(A\). - Entscheide danach, ob dieselbe Region innerhalb oder außerhalb von \(B\) liegt. - Die Zeile der Tabelle codiert \(A\), die Spalte \(B\).

Lösung

1. II liegt in beiden Kreisen und gehört daher zu \(A\cap B\). 2. I liegt in \(A\), aber außerhalb von \(B\), und gehört zu \(A\cap\overline{B}\). 3. III liegt außerhalb von \(A\), aber in \(B\), und gehört zu \(\overline{A}\cap B\). 4. IV liegt innerhalb von \(\Omega\), aber außerhalb beider Kreise, und gehört zu \(\overline{A}\cap\overline{B}\).

Antwort

<table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>II</td><td>I</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>III</td><td>IV</td></tr></table>

5522969

Die Vierfeldertafel zeigt absolute Häufigkeiten aus \(80\) Beobachtungen. <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>16</td><td>24</td><td>40</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>20</td><td>20</td><td>40</td></tr><tr><td>Summe</td><td>36</td><td>44</td><td>80</td></tr></table> a) Übertrage die Tabelle vollständig in eine Vierfeldertafel der relativen Häufigkeiten. b) Interpretiere den Wert im Feld \(\overline{A}\cap\overline{B}\) als Wahrscheinlichkeit. c) Bestimme \(P(A\cup B)\) aus der relativen Vierfeldertafel.

Denkanstöße

- Relative Häufigkeiten entstehen, indem du jeden Tabellenwert auf die Gesamtzahl der Beobachtungen beziehst. - Prüfe nach der Umrechnung, ob die Gesamtsumme der relativen Häufigkeiten \(1\) ergibt. - Für die Vereinigung zählen alle Innenfelder außer dem Feld „weder \(A\) noch \(B\)“.

Lösung

1. Jede absolute Häufigkeit wird durch \(80\) geteilt. So entstehen die Innenwerte \(0{,}20\), \(0{,}30\), \(0{,}25\) und \(0{,}25\). 2. Die Randsummen lauten \(0{,}50\), \(0{,}50\), \(0{,}45\) und \(0{,}55\); die Gesamtsumme ist \(1{,}00\). 3. Das Feld \(\overline{A}\cap\overline{B}\) hat den relativen Anteil \(0{,}25\). Als Wahrscheinlichkeit bedeutet das \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}25=25\,\%\). 4. Zur Vereinigung gehören die drei übrigen Innenfelder: \(0{,}20+0{,}30+0{,}25=0{,}75\). Daher gilt \(P(A\cup B)=0{,}75\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}30\)</td><td>\(0{,}50\)</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}50\)</td></tr><tr><td>Summe</td><td>\(0{,}45\)</td><td>\(0{,}55\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr></table> b) \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}25=25\,\%\). c) \(P(A\cup B)=0{,}75\).

5565879

Bei \(50\) beobachteten Busfahrten werden zwei Ereignisse erfasst: \(Z\): „der Bus kommt höchstens \(2\) Minuten nach Fahrplan an“ und \(A\): „der Bus ist stark ausgelastet“. Die Vierfeldertafel enthält absolute Häufigkeiten. <table><tr><td></td><td>\(A\)</td><td>\(\overline{A}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(Z\)</td><td>14</td><td>6</td><td>20</td></tr><tr><td>\(\overline{Z}\)</td><td>12</td><td>18</td><td>30</td></tr><tr><td>Summe</td><td>26</td><td>24</td><td>50</td></tr></table> Mila behauptet: „Die relative Häufigkeit von \(Z\cap A\) ist \(\frac{14}{20}=0{,}70\), weil in der Zeile \(Z\) insgesamt \(20\) Fahrten stehen.“ a) Erkläre den Fehler und gib die korrekte relative Häufigkeit von \(Z\cap A\) an. b) Bestimme außerdem die relative Häufigkeit von \(\overline{Z}\cap\overline{A}\) und interpretiere sie als Wahrscheinlichkeit für eine weitere vergleichbare Busfahrt.

Denkanstöße

- Frage dich, auf welche Grundgesamtheit sich die relative Häufigkeit eines Innenfeldes beziehen soll. - Vergleiche die Gesamtzahl aller Beobachtungen mit der Zeilensumme, die Mila als Nenner verwendet. - Wende dieselbe Bezugsgruppe auf das zweite Innenfeld an. - In Teil b) soll die beobachtete relative Häufigkeit anschließend als Näherung für eine Wahrscheinlichkeit gedeutet werden.

Lösung

1. Eine relative Häufigkeit eines Innenfeldes bezieht sich hier auf alle \(50\) beobachteten Fahrten, nicht nur auf die \(20\) Fahrten der Zeile \(Z\). 2. Daher ist die relative Häufigkeit von \(Z\cap A\) gleich \(\frac{14}{50}=0{,}28\). Milas Wert \(0{,}70\) beschreibt stattdessen den Anteil der stark ausgelasteten Fahrten innerhalb der Teilgruppe \(Z\). 3. Für \(\overline{Z}\cap\overline{A}\) gilt entsprechend \(\frac{18}{50}=0{,}36\). 4. Als aus den Beobachtungen gewonnene Wahrscheinlichkeit wird für eine weitere vergleichbare Fahrt \(P(\overline{Z}\cap\overline{A})\approx0{,}36=36\,\%\) verwendet.

Antwort

a) Der Nenner muss die Gesamtzahl \(50\) sein. Die korrekte relative Häufigkeit ist \(\frac{14}{50}=0{,}28\). b) \(\frac{18}{50}=0{,}36\); für eine weitere vergleichbare Fahrt gilt näherungsweise \(P(\overline{Z}\cap\overline{A})\approx0{,}36=36\,\%\).

4101439

Eine Gesundheitsstudie mit \(1000\) Teilnehmenden untersucht die Gewohnheiten „regelmäßig Sport“ (\(S\)) und „gesunde Ernährung“ (\(G\)). Gegeben sind \(H(S)=600\), \(H(G)=550\) und \(H(S\cap G)=400\). a) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel für diese Daten. b) Was bedeuten die Ereignisse \(S\cap G\) und \(\overline{S}\cap\overline{G}\) im Sachzusammenhang? c) Wie viele Teilnehmende treiben regelmäßig Sport oder ernähren sich gesund oder tun beides? Gib die entsprechende Formel an. d) Berechne \(H(\overline{S}\cup G)\) ohne Taschenrechner.

Denkanstöße

- Trage zuerst die gegebene Schnittmenge und die beiden Randsummen ein. - Ergänze die übrigen Innenfelder aus den jeweiligen Zeilen- und Spaltensummen. - Bei einer Vereinigung muss die gemeinsame Gruppe so berücksichtigt werden, dass sie insgesamt nur einmal gezählt wird.

Lösung

1. Aus \(H(S\cap G)=400\) und \(H(S)=600\) folgt \(H(S\cap\overline{G})=600-400=200\). 2. Aus \(H(G)=550\) folgt \(H(\overline{S}\cap G)=550-400=150\). 3. Damit bleiben \(1000-(400+200+150)=250\) Teilnehmende für \(\overline{S}\cap\overline{G}\). Die Randsummen ergeben sich zu \(600,400\) beziehungsweise \(550,450\). 4. \(S\cap G\) bedeutet: regelmäßig Sport und gesunde Ernährung. \(\overline{S}\cap\overline{G}\) bedeutet: weder regelmäßig Sport noch gesunde Ernährung. 5. Für die Vereinigung gilt \(H(S\cup G)=H(S)+H(G)-H(S\cap G)=600+550-400=750\). 6. Weiter gilt \(H(\overline{S}\cup G)=H(\overline{S})+H(G)-H(\overline{S}\cap G)=400+550-150=800\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(G\)</td><td>\(\overline{G}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(S\)</td><td>400</td><td>200</td><td>600</td></tr><tr><td>\(\overline{S}\)</td><td>150</td><td>250</td><td>400</td></tr><tr><td>Summe</td><td>550</td><td>450</td><td>1000</td></tr></table> b) \(S\cap G\): regelmäßig Sport und gesunde Ernährung; \(\overline{S}\cap\overline{G}\): weder regelmäßig Sport noch gesunde Ernährung. c) \(H(S\cup G)=H(S)+H(G)-H(S\cap G)=750\). d) \(H(\overline{S}\cup G)=800\).

4101449

In einer Tierarztpraxis wurden \(200\) Tierbesitzende befragt. Sei \(A\) das Ereignis „besitzt einen Hund“ und \(K\) das Ereignis „besitzt eine Katze“. <table><tr><td></td><td>\(K\)</td><td>\(\overline{K}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>30</td><td></td><td>85</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td></td><td>55</td><td></td></tr><tr><td>Gesamt</td><td></td><td>110</td><td>200</td></tr></table> a) Wie viele der befragten Personen besitzen weder Hund noch Katze? b) Ergänze alle fehlenden Werte in der Tabelle. c) Erkläre die Bedeutung der Schnittmenge \(\overline{A}\cap K\) im Sachzusammenhang. d) Bestimme \(H(A\cup K)\) sowie \(H(A\cup\overline{K})\).

Denkanstöße

- Ordne „weder Hund noch Katze“ dem Feld zu, in dem beide Ereignisse verneint sind. - Nutze Zeilen- und Spaltensummen, um die leeren Felder schrittweise zu ergänzen. - Für die Vereinigungen kannst du die passenden unvereinbaren Felder zusammenfassen oder den Additionssatz verwenden.

Lösung

1. Das Feld \(\overline{A}\cap\overline{K}\) beschreibt „weder Hund noch Katze“ und enthält \(55\) Personen. 2. Aus der Spaltensumme zu \(\overline{K}\) folgt \(H(A\cap\overline{K})=110-55=55\). 3. Aus insgesamt \(200\) Personen folgen \(H(K)=200-110=90\) und \(H(\overline{A})=200-85=115\). Damit ist \(H(\overline{A}\cap K)=115-55=60\). 4. \(\overline{A}\cap K\) bedeutet: kein Hund, aber eine Katze. 5. Es gilt \(H(A\cup K)=85+90-30=145\). 6. Außerdem gilt \(H(A\cup\overline{K})=85+110-55=140\).

Antwort

a) \(55\) Personen. b) <table><tr><td></td><td>\(K\)</td><td>\(\overline{K}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>30</td><td>55</td><td>85</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>60</td><td>55</td><td>115</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>90</td><td>110</td><td>200</td></tr></table> c) Personen, die keinen Hund, aber eine Katze besitzen. d) \(H(A\cup K)=145\) und \(H(A\cup\overline{K})=140\).

4101459

An einer Schule wurden \(500\) Schülerinnen und Schüler zu ihren Interessen an Mathematik (\(M\)) und Physik (\(P\)) befragt. Die Ergebnisse sind teilweise in der Vierfeldertafel eingetragen: <table><tr><td></td><td>\(P\)</td><td>\(\overline{P}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(M\)</td><td>120</td><td></td><td>300</td></tr><tr><td>\(\overline{M}\)</td><td></td><td>70</td><td></td></tr><tr><td>Summe</td><td>250</td><td></td><td>500</td></tr></table> a) Vervollständige die Tabelle. b) Beschreibe die Bedeutung der Zahlen \(120\) und \(70\) im Sachzusammenhang und gib die entsprechenden Ereignisse in Mengenschreibweise an. c) Was bedeutet \(M\cap\overline{P}\) in Worten? d) Berechne \(H(M\cup P)\) und \(H(\overline{M}\cup P)\) ohne Taschenrechner.

Denkanstöße

- Nutze zuerst die gegebenen Randwerte, um die fehlenden Innenfelder zu bestimmen. - Ordne die beiden erklärten Zahlen jeweils der passenden Kombination aus Ereignis und Gegenereignis zu. - Bei einer Vereinigung darf die Schnittmenge insgesamt nur einmal gezählt werden.

Lösung

1. Aus \(H(P)=250\) folgt \(H(\overline{M}\cap P)=250-120=130\). 2. Aus \(H(M)=300\) folgt \(H(M\cap\overline{P})=300-120=180\). 3. Damit ist \(H(\overline{M})=130+70=200\) und \(H(\overline{P})=180+70=250\). 4. Die \(120\) stehen für \(M\cap P\), also Interesse an beiden Fächern. Die \(70\) stehen für \(\overline{M}\cap\overline{P}\), also Interesse an keinem der beiden Fächer. 5. \(M\cap\overline{P}\) bedeutet: Interesse an Mathematik, aber nicht an Physik. 6. Es gilt \(H(M\cup P)=300+250-120=430\) und \(H(\overline{M}\cup P)=200+250-130=320\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(P\)</td><td>\(\overline{P}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(M\)</td><td>120</td><td>180</td><td>300</td></tr><tr><td>\(\overline{M}\)</td><td>130</td><td>70</td><td>200</td></tr><tr><td>Summe</td><td>250</td><td>250</td><td>500</td></tr></table> b) \(120\): \(M\cap P\), Interesse an beiden Fächern. \(70\): \(\overline{M}\cap\overline{P}\), Interesse an keinem der beiden Fächer. c) Interesse an Mathematik, aber nicht an Physik. d) \(H(M\cup P)=430\) und \(H(\overline{M}\cup P)=320\).

4147289

An einer Schule werden \(25\) Jugendliche der 9. Klasse zu ihren Freizeitaktivitäten befragt. Es geht um die Merkmale \(M\): „spielt ein Musikinstrument“ und \(S\): „treibt regelmäßig Sport“. Aus der Befragung ist bekannt: - \(12\) Jugendliche spielen ein Musikinstrument. - \(15\) Jugendliche treiben regelmäßig Sport. - \(4\) Jugendliche machen weder das eine noch das andere. a) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten. b) Bestimme die Anzahl der Jugendlichen, die sowohl ein Instrument spielen als auch regelmäßig Sport treiben. c) Wie viel Prozent der Jugendlichen treiben zwar Sport, spielen aber kein Instrument?

Denkanstöße

- Was ist die Gesamtzahl der befragten Personen? - Welche Informationen stehen für die Zeilen- und Spaltensummen zur Verfügung? - Wie kannst du die inneren Felder berechnen, wenn du eine Randsumme und einen Teilwert kennst? - Achte bei der Prozentrechnung darauf, welche Teilgruppe genau betrachtet wird.

Lösung

1. Es gilt \(H(M)=12\), \(H(S)=15\), \(H(\overline{M}\cap \overline{S})=4\) und insgesamt \(25\). 2. Die Randsummen der Gegenereignisse sind \(H(\overline{M})=25-12=13\) und \(H(\overline{S})=25-15=10\). 3. Daraus folgen \(H(\overline{M}\cap S)=13-4=9\), \(H(M\cap S)=15-9=6\) und \(H(M\cap \overline{S})=12-6=6\). 4. Damit sind alle vier Innenfelder und alle Randsummen der Vierfeldertafel bestimmt. 5. Für b) ist \(H(M\cap S)=6\). 6. Für c) gilt \(\frac{9}{25}=0{,}36=36\,\%\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(S\)</td><td>\(\overline{S}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(M\)</td><td>6</td><td>6</td><td>12</td></tr><tr><td>\(\overline{M}\)</td><td>9</td><td>4</td><td>13</td></tr><tr><td>Summe</td><td>15</td><td>10</td><td>25</td></tr></table> b) \(6\) Jugendliche treiben Sport und spielen ein Instrument. c) \(36\,\%\) der Jugendlichen treiben Sport, spielen aber kein Instrument.

4147309

In einer Qualitätskontrolle werden \(500\) Bauteile auf zwei mögliche Defekte \(D_1\) und \(D_2\) geprüft. Es ist bekannt: - \(465\) Bauteile weisen keinen der beiden Defekte auf. - \(20\) Bauteile haben den Defekt \(D_1\). - \(25\) Bauteile haben den Defekt \(D_2\). a) Erstelle eine Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten. b) Berechne die Anzahl der Bauteile, die beide Defekte gleichzeitig aufweisen. c) Ein Bauteil gilt als „leicht beschädigt“, wenn es genau einen der beiden Defekte hat. Wie viele Bauteile in der Stichprobe sind leicht beschädigt?

Denkanstöße

- Was bedeutet es für die Felder der Tabelle, wenn ein Bauteil „keinen der beiden Defekte“ hat? - Überlege genau, welche Kombinationen von Defekten unter den Begriff „genau ein Defekt“ fallen. - Kannst du die Informationen Schritt für Schritt von außen nach innen in die Tabelle eintragen?

Lösung

1. Es gilt \(H(\overline{D_1}\cap \overline{D_2})=465\), \(H(D_1)=20\), \(H(D_2)=25\) und insgesamt \(500\). 2. Die Gegenereignis-Randsummen sind \(H(\overline{D_1})=500-20=480\) und \(H(\overline{D_2})=500-25=475\). 3. Daraus folgt \(H(D_1\cap \overline{D_2})=475-465=10\). 4. Somit ist \(H(D_1\cap D_2)=20-10=10\) und \(H(\overline{D_1}\cap D_2)=25-10=15\). 5. Genau einen Defekt haben \(10+15=25\) Bauteile.

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(D_2\)</td><td>\(\overline{D_2}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(D_1\)</td><td>10</td><td>10</td><td>20</td></tr><tr><td>\(\overline{D_1}\)</td><td>15</td><td>465</td><td>480</td></tr><tr><td>Summe</td><td>25</td><td>475</td><td>500</td></tr></table> b) \(10\) Bauteile haben beide Defekte. c) \(25\) Bauteile sind leicht beschädigt.

4147419

In einer Qualitätskontrolle werden \(1000\) Bauteile auf Materialfehler (\(M\)) und Formfehler (\(F\)) geprüft. Gegeben sind \(H(\overline{M})=920\), \(H(\overline{M}\cap F)=35\) und \(H(M\cap F)=20\). a) Ergänze die vollständige Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten. b) Wie viele Bauteile haben insgesamt einen Formfehler? c) Berechne \(H(\overline{M}\cup\overline{F})\) und erkläre das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Nutze die Gegenereignis-Randsumme, um zuerst \(H(M)\) zu bestimmen. - Die Häufigkeit von \(F\) setzt sich aus den beiden Feldern der Spalte \(F\) zusammen. - Überlege bei c), welches Ereignis genau das Gegenereignis zu „beide Fehler“ ist.

Lösung

1. Es gilt \(H(M)=1000-920=80\). 2. Aus den beiden Feldern der Spalte \(F\) folgt \(H(F)=20+35=55\). 3. Damit ist \(H(M\cap\overline{F})=80-20=60\) und \(H(\overline{M}\cap\overline{F})=920-35=885\). Somit gilt \(H(\overline{F})=945\). 4. Insgesamt haben \(55\) Bauteile einen Formfehler. 5. Für die Vereinigung gilt \(H(\overline{M}\cup\overline{F})=920+945-885=980\). Das sind genau die Bauteile, die nicht beide Fehler gleichzeitig haben, also höchstens einen der beiden Fehler.

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(F\)</td><td>\(\overline{F}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(M\)</td><td>20</td><td>60</td><td>80</td></tr><tr><td>\(\overline{M}\)</td><td>35</td><td>885</td><td>920</td></tr><tr><td>Summe</td><td>55</td><td>945</td><td>1000</td></tr></table> b) \(55\) Bauteile. c) \(H(\overline{M}\cup\overline{F})=980\). Diese \(980\) Bauteile haben höchstens einen der beiden Fehler.

4147439

In einem Sportverein mit \(400\) Mitgliedern wurden die Nutzung des Fitnessraums (\(F\)) und die Teilnahme an Gruppenkursen (\(G\)) erfasst. Es gilt \(H(F)=220\), \(H(G)=150\) und \(H(F\cap G)=90\). a) Übertrage die Informationen in eine Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten und vervollständige sie. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass ein zufällig ausgewähltes Mitglied weder den Fitnessraum nutzt noch an Gruppenkursen teilnimmt. c) Berechne \(P(F\cup G)\).

Denkanstöße

- Trage die Schnittmenge und die beiden gegebenen Randsummen zuerst ein. - Ergänze die übrigen Felder durch Differenzen zu den Zeilen- und Spaltensummen. - Für die Wahrscheinlichkeiten vergleichst du die passenden absoluten Häufigkeiten mit der Gesamtzahl \(400\).

Lösung

1. Aus \(H(F)=220\) und \(H(F\cap G)=90\) folgt \(H(F\cap\overline{G})=130\). 2. Aus \(H(G)=150\) folgt \(H(\overline{F}\cap G)=60\). 3. Es gilt \(H(\overline{F})=180\), also ist \(H(\overline{F}\cap\overline{G})=180-60=120\). Die übrigen Randsummen folgen daraus. 4. Damit ist \(P(\overline{F}\cap\overline{G})=\frac{120}{400}=0{,}30=30\,\%\). 5. Zur Vereinigung gehören \(90+130+60=280\) Mitglieder. Daher gilt \(P(F\cup G)=\frac{280}{400}=0{,}70\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(G\)</td><td>\(\overline{G}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(F\)</td><td>90</td><td>130</td><td>220</td></tr><tr><td>\(\overline{F}\)</td><td>60</td><td>120</td><td>180</td></tr><tr><td>Summe</td><td>150</td><td>250</td><td>400</td></tr></table> b) \(30\,\%\). c) \(P(F\cup G)=0{,}70\).

4147449

Gegeben ist eine unvollständige Vierfeldertafel der relativen Häufigkeiten für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\). <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td></td><td></td><td>\(0{,}65\)</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>\(0{,}15\)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Summe</td><td>\(0{,}40\)</td><td></td><td>\(1{,}00\)</td></tr></table> a) Vervollständige die Tabelle. b) Bestimme \(P(\overline{A}\cap\overline{B})\). c) Berechne \(P(A\cup B)\) und erkläre kurz den Rechenweg.

Denkanstöße

- Jede Zeile und Spalte muss zu ihrer angegebenen Randsumme passen; die Gesamtsumme ist \(1\). - Beginne mit der Spalte \(B\), in der bereits eine Randsumme und ein Innenfeld gegeben sind. - Überlege für c), welche Zelle in \(P(A)+P(B)\) zweimal vorkommt.

Lösung

1. Aus den Randsummen folgen \(P(\overline{A})=1-0{,}65=0{,}35\) und \(P(\overline{B})=1-0{,}40=0{,}60\). 2. In der Spalte \(B\) ist \(P(A\cap B)=0{,}40-0{,}15=0{,}25\). 3. Damit gilt \(P(A\cap\overline{B})=0{,}65-0{,}25=0{,}40\) und \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}35-0{,}15=0{,}20\). 4. Für die Vereinigung gilt \(P(A\cup B)=0{,}65+0{,}40-0{,}25=0{,}80\). Die Schnittmenge wird subtrahiert, weil sie in \(P(A)+P(B)\) zweimal enthalten ist.

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}40\)</td><td>\(0{,}65\)</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>\(0{,}15\)</td><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}35\)</td></tr><tr><td>Summe</td><td>\(0{,}40\)</td><td>\(0{,}60\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr></table> b) \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}20\). c) \(P(A\cup B)=0{,}80\); die Schnittmenge wird beim Addieren der beiden Ereigniswahrscheinlichkeiten sonst doppelt gezählt.

4147459

An einer Schule mit \(250\) Jugendlichen der 9. Klasse wurde gefragt, wer Mathematik (\(M\)) und Musik (\(S\)) mag. Es gilt \(H(M)=150\), \(H(S)=100\) und \(H(M\cap S)=60\). a) Erstelle eine Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten. b) Vergleiche: Ist es wahrscheinlicher, dass eine zufällig gewählte Person genau eines der beiden Fächer mag oder dass sie keines der beiden Fächer mag? Begründe durch Rechnung. c) Berechne \(P(M\cup S)\) in Prozent.

Denkanstöße

- Trage zuerst die Schnittmenge ein und ergänze daraus die beiden übrigen Felder in den Ereigniszeilen beziehungsweise -spalten. - „Genau eines“ besteht aus zwei unvereinbaren Innenfeldern der Vierfeldertafel. - Für den Vergleich in b) müssen beide Anzahlen auf dieselbe Gesamtzahl \(250\) bezogen werden.

Lösung

1. Es gilt \(H(M\cap\overline{S})=150-60=90\) und \(H(\overline{M}\cap S)=100-60=40\). 2. Damit gehören \(90+60+40=190\) Jugendliche zu mindestens einem der beiden Ereignisse; also gilt \(H(\overline{M}\cap\overline{S})=250-190=60\). 3. Genau eines der Fächer mögen \(90+40=130\) Jugendliche. Das entspricht \(\frac{130}{250}=0{,}52=52\,\%\). 4. Keines mögen \(60\) Jugendliche, also \(\frac{60}{250}=0{,}24=24\,\%\). Damit ist „genau eines“ wahrscheinlicher. 5. Für die Vereinigung gilt \(P(M\cup S)=\frac{190}{250}=0{,}76=76\,\%\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(S\)</td><td>\(\overline{S}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(M\)</td><td>60</td><td>90</td><td>150</td></tr><tr><td>\(\overline{M}\)</td><td>40</td><td>60</td><td>100</td></tr><tr><td>Summe</td><td>100</td><td>150</td><td>250</td></tr></table> b) „Genau eines“ ist mit \(52\,\%\) wahrscheinlicher als „keines“ mit \(24\,\%\). c) \(P(M\cup S)=76\,\%\).

4147499

An einem Gymnasium wurde eine Umfrage unter \(120\) Jugendlichen der 9. Klasse zu Fußball (\(F\)) und Leichtathletik (\(L\)) durchgeführt. <table><tr><td></td><td>\(L\)</td><td>\(\overline{L}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>\(F\)</td><td>15</td><td>35</td><td>50</td></tr><tr><td>\(\overline{F}\)</td><td>25</td><td>45</td><td>70</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>40</td><td>80</td><td>120</td></tr></table> Eine Person wird zufällig ausgewählt. a) Beschreibe \(F\cap L\) und \(F\cup L\) in eigenen Worten. b) Bestimme \(P(F\cap\overline{L})\) und \(P(\overline{F}\cap L)\). c) Berechne \(P(F\cup L)\). d) Addiere die Wahrscheinlichkeiten für „nur Fußball“, „nur Leichtathletik“ und „beides“. Mit welchem Ereignis stimmt diese Summe überein?

Denkanstöße

- Unterscheide sprachlich „beide“ von „mindestens eine“. - Lies die beiden in b) gesuchten Innenfelder direkt aus der Tabelle und beziehe sie auf \(120\). - Für die Vereinigung gehören genau drei der vier Innenfelder dazu.

Lösung

1. \(F\cap L\) bedeutet, dass eine Person beide Sportarten betreibt. \(F\cup L\) bedeutet, dass sie mindestens eine der beiden Sportarten betreibt. 2. Aus der Tabelle folgt \(P(F\cap\overline{L})=\frac{35}{120}=\frac{7}{24}\) und \(P(\overline{F}\cap L)=\frac{25}{120}=\frac{5}{24}\). 3. Für die Vereinigung gilt \(P(F\cup L)=\frac{50}{120}+\frac{40}{120}-\frac{15}{120}=\frac{75}{120}=\frac{5}{8}=0{,}625\). 4. Die drei unvereinbaren Bereiche „nur Fußball“, „nur Leichtathletik“ und „beides“ ergeben \(\frac{35+25+15}{120}=\frac{75}{120}=0{,}625\). Ihre Summe ist daher ebenfalls \(P(F\cup L)\).

Antwort

a) \(F\cap L\): beide Sportarten; \(F\cup L\): mindestens eine der beiden Sportarten. b) \(P(F\cap\overline{L})=\frac{7}{24}\) und \(P(\overline{F}\cap L)=\frac{5}{24}\). c) \(P(F\cup L)=\frac{5}{8}=0{,}625\). d) Die Summe ist \(0{,}625\) und entspricht \(P(F\cup L)\).

4147779

An der Stadtpark-Schule besuchen \(500\) Jugendliche die Klassen 8 bis 10. \(45\,\%\) davon sind Jungen. \(165\) Mädchen lesen regelmäßig Bücher. \(120\) Jungen lesen nicht regelmäßig Bücher. a) Erstelle eine Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten. b) Wie viel Prozent aller \(500\) Jugendlichen lesen regelmäßig Bücher?

Denkanstöße

- Wandle zuerst \(45\,\%\) von \(500\) in eine Anzahl um. - Ergänze dann die fehlenden Werte mit den Zeilen- und Spaltensummen. - Für b) vergleichst du die Zahl der Jugendlichen, die regelmäßig lesen, mit allen \(500\).

Lösung

1. \(45\,\%\) von \(500\) sind \(0{,}45\cdot500=225\) Jungen. Damit gibt es \(500-225=275\) Mädchen. 2. Von den \(275\) Mädchen lesen \(165\) regelmäßig und \(275-165=110\) nicht regelmäßig. 3. Von den \(225\) Jungen lesen \(120\) nicht regelmäßig. Also lesen \(225-120=105\) regelmäßig. 4. Insgesamt lesen \(165+105=270\) Jugendliche regelmäßig Bücher. 5. \(270\) von \(500\) Jugendlichen lesen regelmäßig. Das sind \(\frac{270}{500}=0{,}54=54\,\%\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>liest regelmäßig</td><td>liest nicht regelmäßig</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>Mädchen</td><td>165</td><td>110</td><td>275</td></tr><tr><td>Jungen</td><td>105</td><td>120</td><td>225</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>270</td><td>230</td><td>500</td></tr></table> b) Insgesamt lesen \(54\,\%\) der Jugendlichen regelmäßig Bücher.

4152149

An einer Musikschule werden \(120\) Jugendliche befragt, welche Instrumente sie spielen. \(75\) spielen Geige (\(V\)), \(50\) Querflöte (\(F\)) und \(20\) beide Instrumente. Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten und bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person genau eines der beiden Instrumente spielt.

Denkanstöße

- Trage zuerst die gemeinsame Gruppe ein und ziehe sie von den beiden Ereignishäufigkeiten ab. - Der vierte Innenwert ergibt sich als Rest zur Gesamtzahl \(120\). - „Genau eines“ umfasst die beiden Innenfelder außerhalb der Überlappung.

Lösung

1. Es gilt \(H(V\cap F)=20\), also \(H(V\cap\overline{F})=75-20=55\) und \(H(\overline{V}\cap F)=50-20=30\). 2. Damit gehören \(55+20+30=105\) Jugendliche zu mindestens einem der Ereignisse. Folglich gilt \(H(\overline{V}\cap\overline{F})=120-105=15\). 3. Die Randsummen sind \(H(V)=75\), \(H(\overline{V})=45\), \(H(F)=50\) und \(H(\overline{F})=70\). 4. Genau eines der beiden Instrumente spielen \(55+30=85\) Jugendliche. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{85}{120}=\frac{17}{24}\approx0{,}7083\), also etwa \(70{,}8\,\%\).

Antwort

<table><tr><td></td><td>\(F\)</td><td>\(\overline{F}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(V\)</td><td>20</td><td>55</td><td>75</td></tr><tr><td>\(\overline{V}\)</td><td>30</td><td>15</td><td>45</td></tr><tr><td>Summe</td><td>50</td><td>70</td><td>120</td></tr></table> Die Wahrscheinlichkeit für genau eines der beiden Instrumente beträgt \(\frac{17}{24}\approx70{,}8\,\%\).

4153599

Ein Unternehmen prüft eine Charge von \(500\) Bauteilen auf zwei verschiedene Defekte \(A\) und \(B\). Es ist bekannt, dass \(25\) Bauteile den Defekt \(A\) aufweisen und \(15\) Bauteile den Defekt \(B\). Nur \(5\) Bauteile weisen beide Defekte gleichzeitig auf. a) Erstelle eine Vierfeldertafel, die die relativen Häufigkeiten der Defekte darstellt. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Bauteil genau einen der beiden Defekte aufweist. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil fehlerfrei ist?

Denkanstöße

- Achte auf den Unterschied zwischen absoluten Zahlen und relativen Anteilen. - Was bedeutet „genau ein Defekt“ für die Kombination der Ereignisse? - Wie berechnet man die relative Häufigkeit aus der absoluten Anzahl und der Gesamtzahl?

Lösung

1. Es gilt \(H(A\cap B)=5\), \(H(A\cap \overline{B})=25-5=20\) und \(H(\overline{A}\cap B)=15-5=10\). 2. Fehlerfrei sind \(500-(20+10+5)=465\) Bauteile. 3. Die vier relativen Häufigkeiten sind \(\frac{5}{500}=0{,}01\), \(\frac{20}{500}=0{,}04\), \(\frac{10}{500}=0{,}02\) und \(\frac{465}{500}=0{,}93\). 4. Die Randsummen sind für \(A\) und \(\overline{A}\) gleich \(0{,}05\) und \(0{,}95\), für \(B\) und \(\overline{B}\) gleich \(0{,}03\) und \(0{,}97\). 5. Genau einen Defekt hat ein Bauteil mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}04+0{,}02=0{,}06\). 6. Fehlerfrei ist ein Bauteil mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}93\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}01\)</td><td>\(0{,}04\)</td><td>\(0{,}05\)</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>\(0{,}02\)</td><td>\(0{,}93\)</td><td>\(0{,}95\)</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>\(0{,}03\)</td><td>\(0{,}97\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr></table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}06=6\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}93=93\,\%\).

4153609

Im Jugendcamp „Sonnenhof“ sind \(200\) Jugendliche. \(80\) essen vegetarisch, \(150\) mögen Pizza, und \(190\) essen vegetarisch oder mögen Pizza oder beides. Schreibe \(V\) für „isst vegetarisch“ und \(P\) für „mag Pizza“. a) Wie viele Jugendliche essen vegetarisch und mögen Pizza? b) Erstelle die zugehörige Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten. c) Jannis behauptet: „\(40\,\%\) aller Jugendlichen essen vegetarisch und mögen Pizza.“ Prüfe die Aussage.

Denkanstöße

- Nutze für a) die Beziehung zwischen den beiden Einzelhäufigkeiten, ihrer Vereinigung und ihrer Schnittmenge. - Ergänze die vier Innenfelder, bevor du die Randsummen kontrollierst. - Für c) beziehst du die Schnittmenge auf alle \(200\) Jugendlichen.

Lösung

1. Mit dem Additionssatz gilt \(190=80+150-H(V\cap P)\). Daher ist \(H(V\cap P)=40\). 2. Vegetarisch, aber keine Pizza: \(80-40=40\). Pizza, aber nicht vegetarisch: \(150-40=110\). Keines von beidem: \(200-190=10\). 3. Damit ergeben sich die übrigen Randsummen zu \(120\) und \(50\). 4. \(40\) von \(200\) Jugendlichen essen vegetarisch und mögen Pizza. Das sind \(\frac{40}{200}=0{,}20=20\,\%\). Jannis' Aussage ist falsch.

Antwort

a) \(40\) Jugendliche. b) <table><tr><td></td><td>mag Pizza \(P\)</td><td>mag keine Pizza \(\overline{P}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>isst vegetarisch \(V\)</td><td>40</td><td>40</td><td>80</td></tr><tr><td>isst nicht vegetarisch \(\overline{V}\)</td><td>110</td><td>10</td><td>120</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>150</td><td>50</td><td>200</td></tr></table> c) Die Aussage ist falsch. \(40\) von \(200\) sind \(20\,\%\), nicht \(40\,\%\).

4155729

In der Mensa der Birkenweg-Schule wählen \(200\) Jugendliche zwischen einem vegetarischen und einem anderen Gericht. \(90\) sind in Klasse 9; davon wählen \(54\) vegetarisch. \(110\) sind in Klasse 10; davon wählen \(44\) vegetarisch. Schreibe \(K_9\) für Klasse 9, \(K_{10}\) für Klasse 10 und \(V\) für „wählt vegetarisch“. a) Erstelle eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten. b) Vergleiche \(P(K_9\cap V)\) und \(P(K_{10}\cap V)\). Beide Wahrscheinlichkeiten beziehen sich auf alle \(200\) Jugendlichen. c) Es gilt \(E=(K_9\cap V)\cup(K_{10}\cap V)\). Was beschreibt \(E\)? Berechne auch \(P(E)\).

Denkanstöße

- Ergänze in jeder Klasse zuerst die Zahl der Jugendlichen, die das andere Gericht wählen. - Für b) beziehen sich beide Wahrscheinlichkeiten auf alle \(200\) Jugendlichen. Welche beiden Innenfelder brauchst du? - Welche Jugendlichen gehören zusammen zu den beiden Teilen von \(E\)?

Lösung

1. In Klasse 9 wählen \(90-54=36\) das andere Gericht. In Klasse 10 sind es \(110-44=66\). 2. Insgesamt wählen \(54+44=98\) vegetarisch und \(36+66=102\) das andere Gericht. 3. Bezogen auf alle \(200\) Jugendlichen gilt \(P(K_9\cap V)=\frac{54}{200}=0{,}27\) und \(P(K_{10}\cap V)=\frac{44}{200}=0{,}22\). Daher ist \(K_9\cap V\) wahrscheinlicher. 4. \(E\) umfasst alle Jugendlichen, die das vegetarische Gericht wählen. Also ist \(P(E)=\frac{98}{200}=0{,}49\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>vegetarisch \(V\)</td><td>anderes Gericht \(\overline{V}\)</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>Klasse 9 \(K_9\)</td><td>54</td><td>36</td><td>90</td></tr><tr><td>Klasse 10 \(K_{10}\)</td><td>44</td><td>66</td><td>110</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>98</td><td>102</td><td>200</td></tr></table> b) \(P(K_9\cap V)=0{,}27\) und \(P(K_{10}\cap V)=0{,}22\); \(K_9\cap V\) ist wahrscheinlicher. c) \(E\) bedeutet: „wählt das vegetarische Gericht“. Es gilt \(P(E)=0{,}49\).

5522979

Das Mengendiagramm zeigt die relativen Häufigkeiten der vier Bereiche zu den Ereignissen \(A\) und \(B\). a) Übertrage die Werte in eine vollständige Vierfeldertafel der relativen Häufigkeiten. b) Bestimme anschließend \(P(\overline{A}\cup B)\).

Abbildung zur Aufgabe 552297

Denkanstöße

- Ordne jeden Diagrammbereich zuerst einer Schnittmenge aus Ereignis und Gegenereignis zu. - Bilde danach die Zeilen- und Spaltensummen der Vierfeldertafel. - Übersetze den Ausdruck in b) in Diagrammbereiche und entscheide dann, ob direktes Addieren oder ein Gegenereignis günstiger ist.

Lösung

1. Die Überlappung gehört zu \(A\cap B\) und hat den Wert \(0{,}16\). Nur in \(A\) liegen \(0{,}22\), nur in \(B\) liegen \(0{,}29\), und außerhalb beider Kreise liegen \(0{,}33\). 2. Die Zeilensummen sind \(0{,}16+0{,}22=0{,}38\) für \(A\) und \(0{,}29+0{,}33=0{,}62\) für \(\overline{A}\). 3. Die Spaltensummen sind \(0{,}16+0{,}29=0{,}45\) für \(B\) und \(0{,}22+0{,}33=0{,}55\) für \(\overline{B}\). 4. Zu \(\overline{A}\cup B\) gehören alle Bereiche außer \(A\cap\overline{B}\). Daher gilt \(P(\overline{A}\cup B)=1-0{,}22=0{,}78\).

Antwort

a) <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}16\)</td><td>\(0{,}22\)</td><td>\(0{,}38\)</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>\(0{,}29\)</td><td>\(0{,}33\)</td><td>\(0{,}62\)</td></tr><tr><td>Summe</td><td>\(0{,}45\)</td><td>\(0{,}55\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr></table> b) \(P(\overline{A}\cup B)=0{,}78\).

5565889

Beim Fotowettbewerb „Lichtblick“ gibt es \(80\) Bilder. \(46\) sind im Hochformat, \(38\) sind schwarz-weiß und \(21\) sind beides. Bezeichne „Hochformat“ mit \(F\) und „Schwarz-Weiß“ mit \(S\). Du möchtest die vier Kombinationen und zusätzlich die Gesamtzahlen für Hochformat und Schwarz-Weiß direkt ablesen können. Zur Wahl stehen ein Mengendiagramm und eine Vierfeldertafel. a) Welche Darstellung passt besser? Begründe. b) Bestimme \(H(F\cap S)\), \(H(F\cap\overline{S})\), \(H(\overline{F}\cap S)\) und \(H(\overline{F}\cap\overline{S})\). c) Wie viele Bilder erfüllen genau eines der beiden Merkmale?

Denkanstöße

- Prüfe bei beiden Darstellungen: Was kannst du nach dem Eintragen sofort ablesen, und was müsstest du noch zusammenrechnen? - Die Gruppe \(F\) besteht aus „nur \(F\)“ und „\(F\) und \(S\)“. Entsprechend kannst du auch \(S\) zerlegen. - Die vier Kombinationen zusammen ergeben alle \(80\) Bilder.

Lösung

1. Die Vierfeldertafel passt besser, weil sie die vier Kombinationen in den Innenfeldern und die beiden Gesamtzahlen am Rand direkt zeigt. 2. Beide Merkmale erfüllen \(21\) Bilder. Nur Hochformat sind \(46-21=25\), nur schwarz-weiß sind \(38-21=17\). 3. Mindestens eines der Merkmale erfüllen \(25+21+17=63\) Bilder. Also erfüllen \(80-63=17\) keines der beiden Merkmale. 4. Genau eines der beiden Merkmale erfüllen \(25+17=42\) Bilder.

Antwort

a) Die Vierfeldertafel passt besser, weil sie die vier Kombinationen und die Gesamtzahlen am Rand direkt zeigt. b) \(H(F\cap S)=21\), \(H(F\cap\overline{S})=25\), \(H(\overline{F}\cap S)=17\), \(H(\overline{F}\cap\overline{S})=17\). c) \(42\) Bilder erfüllen genau eines der beiden Merkmale.

5565899

Die relativen Häufigkeiten einer Vierfeldertafel werden hier als Wahrscheinlichkeiten interpretiert. Es gilt \(P(A)=0{,}62\) und \(P(B)=0{,}47\). Setze \(x=P(A\cap B)\). a) Drücke die drei übrigen Innenfelder der Vierfeldertafel in Abhängigkeit von \(x\) aus. b) Bestimme alle möglichen Werte von \(x\). Begründe den Wertebereich damit, dass kein Feld der Vierfeldertafel eine negative relative Häufigkeit haben darf.

Denkanstöße

- Beginne mit den beiden Randsummen und dem unbekannten Innenfeld \(x\). - Jede Zeilen- und Spaltensumme ist die Summe der beiden zugehörigen Innenfelder. - Drücke auch das Feld „weder \(A\) noch \(B\)“ mit \(x\) aus. - Welche Ungleichungen folgen daraus, dass relative Häufigkeiten nicht negativ sein können?

Lösung

1. Aus der Zeilensumme \(P(A)=0{,}62\) folgt \(P(A\cap\overline{B})=0{,}62-x\). 2. Aus der Spaltensumme \(P(B)=0{,}47\) folgt \(P(\overline{A}\cap B)=0{,}47-x\). 3. Das vierte Feld ergibt sich aus der Zeilensumme \(P(\overline{A})=0{,}38\): \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}38-(0{,}47-x)=x-0{,}09\). 4. Alle Innenfelder müssen mindestens \(0\) sein. Daraus folgen \(x\le0{,}62\), \(x\le0{,}47\) und \(x\ge0{,}09\). 5. Die stärkeren Schranken sind deshalb \(0{,}09\le x\le0{,}47\).

Antwort

a) \(P(A\cap\overline{B})=0{,}62-x\), \(P(\overline{A}\cap B)=0{,}47-x\), \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=x-0{,}09\). b) \(0{,}09\le x\le0{,}47\).

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.