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- Überlege, wie oft Ergebnisse aus \(A\cap B\) in der Summe \(P(A)+P(B)\) vorkommen. - In \(A\cup B\) soll jedes Ergebnis nur einmal berücksichtigt werden.

1. Beim Addieren von \(P(A)\) und \(P(B)\) wird der gemeinsame Bereich \(A\cap B\) zweimal erfasst. 2. Damit er in der Vereinigung nur einmal gezählt wird, muss \(P(A\cap B)\) einmal abgezogen werden.

In das Kästchen gehört ein Minuszeichen: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).

- Was bedeutet „unvereinbar“ für gemeinsame Ergebnisse? - Welche Wahrscheinlichkeit hat ein unmögliches gemeinsames Ereignis? - Überlege, was dann mit dem Korrekturterm im Additionssatz geschieht.

1. Bei unvereinbaren Ereignissen ist die Schnittmenge \(A\cap B\) leer. 2. Damit gilt \(P(A\cap B)=0\). 3. Im Additionssatz verschwindet deshalb der Korrekturterm. Das ist Fall II.

Fall II. Bei unvereinbaren Ereignissen gilt \(P(A\cap B)=0\), daher ist \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).

- Verfolge im Diagramm, welche Bereiche zu \(A\) und welche zu \(B\) gehören. - Suche den Bereich, der beim Zählen von \(A\) und beim Zählen von \(B\) jeweils vorkommt. - Der Korrekturterm im Additionssatz beschreibt genau diesen gemeinsam gezählten Bereich.

1. Die Häufigkeit \(3\) liegt in der Überlappung \(A\cap B\). 2. Beim Bilden von \(H(A)\) wird diese Überlappung einmal mitgezählt und beim Bilden von \(H(B)\) ein zweites Mal. 3. Deshalb muss genau die Schnittmenge einmal abgezogen werden: \(H(A\cup B)=H(A)+H(B)-H(A\cap B)\). Im dargestellten Beispiel ist der doppelt gezählte Wert \(3\).

Doppelt gezählt wird \(H(A\cap B)=3\). Es gilt \(H(A\cup B)=H(A)+H(B)-H(A\cap B)\).

- Prüfe zuerst, ob sich die beiden Kreise im Bild überhaupt überschneiden. - Was bedeutet eine fehlende Überlappung für die Schnittmenge? - Der Korrekturterm des Additionssatzes ist die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge.

1. Die Kreise überschneiden sich im Diagramm nicht. Deshalb ist \(A\cap B=\emptyset\) und damit \(P(A\cap B)=0\). 2. Daher lautet der Additionssatz hier \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-0=P(A)+P(B)\).

\(P(A\cap B)=0\); in das Kästchen gehört \(0\), weil die Kreise keinen gemeinsamen Bereich haben.

- Überlege, welche Geräte beim Addieren der beiden Fehlergruppen doppelt erfasst werden. - Bestimme zunächst die absolute Häufigkeit der Vereinigung. - Beziehe diese Häufigkeit anschließend auf alle \(2500\) Geräte.

1. Mit dem Additionssatz für absolute Häufigkeiten gilt \(H(A\cup B)=35+20-8=47\). 2. Bezogen auf die \(2500\) geprüften Tablets ist \(P(A\cup B)=\frac{47}{2500}=0{,}0188=1{,}88\,\%\).

\(P(A\cup B)=\frac{47}{2500}=1{,}88\,\%\).

- Bestimme zunächst die drei Wahrscheinlichkeiten auf der rechten Seite aus Randsummen und Innenfeld. - Zur Vereinigung gehören drei der vier Innenfelder. - Berechne beide Seiten der Gleichung unabhängig voneinander und vergleiche sie.

1. Aus der Tabelle folgen \(P(A)=\frac{160}{400}=0{,}4\), \(P(B)=\frac{200}{400}=0{,}5\) und \(P(A\cap B)=\frac{60}{400}=0{,}15\). 2. Die rechte Seite ergibt \(0{,}4+0{,}5-0{,}15=0{,}75\). 3. Für die Vereinigung gilt \(H(A\cup B)=60+100+140=300\), also \(P(A\cup B)=\frac{300}{400}=0{,}75\). 4. Beide Seiten haben denselben Wert \(0{,}75\); damit ist die Gleichung für diese Daten bestätigt.

Beide Seiten ergeben \(0{,}75\); der Additionssatz ist für die gegebenen Daten bestätigt.

- Bestimme getrennt, wie viele Lose zu \(A\), zu \(B\) und zu beiden Ereignissen gehören. - Welche Teilbarkeitsbedingung müssen Lose in \(A\cap B\) gleichzeitig erfüllen? - Setze die drei Wahrscheinlichkeiten anschließend in den verlangten Additionssatz ein, statt die Vereinigungsmenge vollständig aufzulisten.

1. Unter den Zahlen von \(1\) bis \(40\) sind \(10\) durch \(4\) teilbar. Daher gilt \(P(A)=\frac{10}{40}\). 2. Durch \(10\) teilbar sind \(4\) Lose. Daher gilt \(P(B)=\frac{4}{40}\). 3. Eine Zahl ist genau dann in beiden Ereignissen, wenn sie durch das kleinste gemeinsame Vielfache \(20\) teilbar ist. Das trifft auf \(20\) und \(40\) zu, also ist \(P(A\cap B)=\frac{2}{40}\). 4. Mit dem Additionssatz folgt \(P(A\cup B)=\frac{10}{40}+\frac{4}{40}-\frac{2}{40}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10}=30\,\%\).

Mit dem Additionssatz gilt \(P(A\cup B)=\frac{10}{40}+\frac{4}{40}-\frac{2}{40}=\frac{3}{10}=30\,\%\).

- Lies zuerst die \(12\) möglichen Ergebnisse direkt vom Glücksrad ab. - Markiere gedanklich die Ergebnisse, die beide Ereignisbedingungen gleichzeitig erfüllen. - Vergleiche die Zahl der Sektoren in der Vereinigung mit dem Wert aus dem Additionssatz.

1. Es gilt \(A=\{3;6;9;12\}\) und \(B=\{8;9;10;11;12\}\). 2. Damit ist \(A\cap B=\{9;12\}\) und \(A\cup B=\{3;6;8;9;10;11;12\}\). 3. Wegen der \(12\) gleich großen Sektoren gilt \(P(A)=\frac{4}{12}\), \(P(B)=\frac{5}{12}\) und \(P(A\cap B)=\frac{2}{12}\). 4. Direkt ist \(P(A\cup B)=\frac{7}{12}\). Der Additionssatz liefert ebenfalls \(\frac{4}{12}+\frac{5}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12}\).

a) \(A=\{3;6;9;12\}\), \(B=\{8;9;10;11;12\}\), \(A\cap B=\{9;12\}\), \(A\cup B=\{3;6;8;9;10;11;12\}\). b) \(P(A)=\frac{4}{12}\), \(P(B)=\frac{5}{12}\), \(P(A\cap B)=\frac{2}{12}\) und \(P(A\cup B)=\frac{7}{12}\); damit ist der Additionssatz erfüllt.

- Überlege, welcher Anteil beim einfachen Addieren doppelt gezählt würde. - Setze die drei gegebenen Wahrscheinlichkeiten passend zusammen.

1. \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\). 2. \(P(A\cup B)=0{,}42+0{,}35-0{,}18=0{,}59\).

\(P(A\cup B)=0{,}59=59\,\%\).

- Prüfe, welche Gruppe in beiden Einzelhäufigkeiten enthalten ist. - Korrigiere diese doppelte Zählung genau einmal.

1. Beim Addieren von \(H(A)=32\) und \(H(B)=27\) werden die \(12\) Personen in \(A\cap B\) zweimal gezählt. 2. Daher gilt \(H(A\cup B)=32+27-12=47\).

\(47\) Mitglieder nutzen mindestens eines der beiden Angebote.

- Prüfe zuerst, ob ein Würfelergebnis in beiden Ereignissen liegen kann. - Nutze diese Beobachtung beim Zusammensetzen der Wahrscheinlichkeiten.

1. Die Ereignisse haben keine gemeinsamen Ergebnisse, also \(P(A\cap B)=0\). 2. Daher gilt \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\). 3. \(P(A\cup B)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).

\(P(A\cup B)=\frac{1}{3}\). Der Schnitt ist leer, deshalb muss nichts abgezogen werden.

- Suche die Ursache dafür, dass eine Wahrscheinlichkeit größer als \(1\) entsteht. - Überlege, welcher Bereich in beiden Ausgangswerten steckt.

1. Die Schnittmenge mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}21\) ist in beiden Summanden enthalten und wurde doppelt gezählt. 2. Sie muss einmal abgezogen werden. 3. \(P(A\cup B)=0{,}55+0{,}48-0{,}21=0{,}82\).

Die Schnittmenge wurde doppelt gezählt. Richtig ist \(P(A\cup B)=0{,}82\).

- Stelle die Beziehung nach der unbekannten Überschneidung um. - Prüfe, ob das Ergebnis kleiner als beide Einzelwahrscheinlichkeiten ist.

1. Aus \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) folgt \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\). 2. \(P(A\cap B)=0{,}46+0{,}39-0{,}68=0{,}17\).

\(P(A\cap B)=0{,}17=17\,\%\).

- Ordne die bekannte Vereinigung, die bekannte Einzelwahrscheinlichkeit und die Überschneidung. - Stelle die Beziehung so um, dass nur die gesuchte Größe links steht.

1. Aus dem Additionssatz folgt \(P(B)=P(A\cup B)-P(A)+P(A\cap B)\). 2. \(P(B)=0{,}64-0{,}28+0{,}11=0{,}47\).

\(P(B)=0{,}47=47\,\%\).

- Achte auf den Anteil, der beim Addieren zweimal vorkommt. - Das Ergebnis beschreibt „mindestens eines“, nicht „genau eines“.

1. Die beiden Einzelanteile enthalten den gemeinsamen Anteil jeweils einmal. 2. \(P(A\cup B)=62\,\%+47\,\%-29\,\%=80\,\%\).

Der Anteil mit mindestens einem Merkmal beträgt \(80\,\%\).

- Bringe die drei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. - Kürze erst nach dem vollständigen Zusammenfassen.

1. \(P(A\cup B)=\frac{3}{8}+\frac{5}{12}-\frac{1}{6}\). 2. Mit dem Nenner \(24\) gilt \(\frac{9}{24}+\frac{10}{24}-\frac{4}{24}=\frac{15}{24}\). 3. Gekürzt ist \(\frac{15}{24}=\frac{5}{8}\).

\(P(A\cup B)=\frac{5}{8}\).

- Die Gäste mit beiden Angeboten sind in beiden Einzelhäufigkeiten enthalten. - Bestimme zuerst die Häufigkeit der Vereinigung. - Die Zahl für „keines“ ist anschließend der Rest zur Gesamtzahl \(180\).

1. Mit dem Additionssatz gilt \(H(V\cup D)=96+74-38=132\). 2. Keines der beiden Angebote wählen \(180-132=48\) Gäste.

\(132\) Gäste wählen mindestens eines der beiden Angebote; \(48\) wählen keines.

- Suche die Gruppe, die in beiden angegebenen Einzelhäufigkeiten enthalten ist. - Prüfe, wie oft diese Gruppe in der Summe \(44+53\) gezählt wird. - Vergleiche das korrigierte Ergebnis anschließend mit der Gesamtzahl \(90\).

1. Die Summe \(44+53=97\) zählt die \(21\) Bestellungen mit beidem zweimal. 2. Richtig ist \(H(S\cup F)=44+53-21=76\). 3. Damit enthalten \(90-76=14\) Bestellungen keines der beiden Angebote.

Die Behauptung ist falsch. \(76\) Bestellungen enthalten mindestens eines der beiden Angebote; \(14\) enthalten keines.

- Stelle die Beziehung für „mindestens eine Bedingung“ nach dem gemeinsamen Anteil um. - Übersetze den berechneten Anteil zurück in den Sachzusammenhang.

1. \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\). 2. \(P(A\cap B)=0{,}52+0{,}36-0{,}71=0{,}17\). 3. Damit erfüllen \(17\,\%\) der Touren beide Bedingungen.

\(P(A\cap B)=0{,}17\). Also sind \(17\,\%\) der Touren länger als \(10\,\text{km}\) und haben mehr als \(500\,\text{m}\) Höhenunterschied.

- Versuche, die Informationen in einer Vierfeldertafel oder einem Mengendiagramm darzustellen. - Denk daran, dass Personen, die beides machen, in beiden Gruppen (Instrument und Sport) mitgezählt wurden. - Wie viele verschiedene Personen sind insgesamt in der Sport- oder Instrumentengruppe?

1. Die Gesamtzahl beträgt \(24\). Für Instrument gilt \(H(I)=14\), für Sport \(H(S)=10\), und \(H(I\cap S)=6\). 2. Mindestens eines von beidem machen \(H(I\cup S)=14+10-6=18\) Jugendliche. Also machen \(24-18=6\) keines von beidem. Damit ist die Wahrscheinlichkeit in a) \(\frac{6}{24}=\frac{1}{4}\). 3. Nur ein Instrument spielen \(14-6=8\) Jugendliche. Damit ist die Wahrscheinlichkeit in b) \(\frac{8}{24}=\frac{1}{3}\). 4. Nils' Rechnung zählt die \(6\) Jugendlichen aus der Schnittmenge zweimal. Deshalb sind nur \(18\) verschiedene Jugendliche in mindestens einer der beiden Gruppen.

a) \(P=\frac{1}{4}\) b) \(P=\frac{1}{3}\) c) Die Summe \(14+10\) zählt die \(6\) Jugendlichen aus der Schnittmenge doppelt. Nur \(18\) Jugendliche machen mindestens eines von beidem; \(6\) machen keines.

- Was bedeutet „mindestens eine der beiden Aktivitäten“ in Mengenschreibweise? - Überlege, welcher Teil beim Addieren der beiden Gruppengrößen doppelt gezählt wird. - In welche zwei unvereinbaren Bereiche lässt sich die Menge \(B\) zerlegen?

1. Für die Vereinigungsmenge gilt \(H(A \cup B)=H(A)+H(B)-H(A \cap B)\). 2. Nach \(H(A \cap B)\) umgestellt: \(H(A \cap B)=45+32-60=17\). 3. Die Chormitglieder zerfallen in die Gruppen \(A \cap B\) und \(B \cap \overline{A}\). 4. Daher ist \(H(B \cap \overline{A})=32-17=15\).

Es sind \(17\) Schüler in beiden AGs, also \(H(A \cap B)=17\). Ausschließlich im Chor sind \(15\) Schüler, also \(H(B \cap \overline{A})=15\).

- Vergleiche die beiden Randsummen mit den drei Innenfeldern, die zur Vereinigung gehören. - Prüfe, welches Innenfeld beim Addieren von \(P(B)\) und \(P(Ö)\) zweimal enthalten ist. - „Höchstens eines“ schließt nur den Fall „beide gleichzeitig“ aus.

1. Zur Vereinigung gehören die drei Innenfelder außer \(\overline{B}\cap\overline{Ö}\). Daher gilt \(P(B\cup Ö)=\frac{20+60+90}{200}=\frac{170}{200}=0{,}85\). 2. Es gilt \(P(B)=\frac{80}{200}=0{,}4\) und \(P(Ö)=\frac{110}{200}=0{,}55\). Die Summe ist \(0{,}95\) und damit um \(0{,}10\) größer als \(P(B\cup Ö)\). 3. Die Differenz \(0{,}10\) ist genau \(P(B\cap Ö)=\frac{20}{200}\), weil die Schnittmenge in \(P(B)+P(Ö)\) zweimal gezählt wird. 4. „Höchstens eines“ ist das Gegenereignis zu „beide“. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(1-P(B\cap Ö)=1-0{,}10=0{,}90\).

a) \(P(B\cup Ö)=0{,}85\). b) \(P(B)+P(Ö)=0{,}95\). Die Summe ist um \(0{,}10=P(B\cap Ö)\) größer, weil die Schnittmenge doppelt gezählt wird. c) \(0{,}90\).

- Bestimme zuerst über das Gegenereignis, wie viele Mitglieder mindestens eine Sportart betreiben. - Beim Addieren der beiden Sportgruppen wird die gemeinsame Gruppe zweimal erfasst. - Stelle den Additionssatz so um, dass die gemeinsame Gruppe gesucht ist.

1. Mindestens eine der beiden Sportarten betreiben \(150-30=120\) Mitglieder, also gilt \(H(J\cup S)=120\). 2. Mit dem Additionssatz \(H(J\cup S)=H(J)+H(S)-H(J\cap S)\) folgt \(120=90+75-H(J\cap S)\). 3. Daher ist \(H(J\cap S)=45\). 4. Bezogen auf alle \(150\) Mitglieder ergibt sich \(P(J\cap S)=\frac{45}{150}=0{,}3=30\,\%\).

\(P(J\cap S)=0{,}3=30\,\%\).

- Wie viel Prozent der Haushalte lesen insgesamt mindestens eine Zeitung? - Nutze die Formel für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse. - Kannst du aus den gegebenen Werten berechnen, wie groß der Anteil der Haushalte sein muss, die beide Zeitungen lesen?

1. Gegebene Wahrscheinlichkeiten: \(P(A) = 0{,}6\), \(P(B) = 0{,}5\), \(P(\text{keine}) = 0{,}2\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Zeitung gelesen wird: \(P(A \cup B) = 1 - P(\text{keine}) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\). 3. Anwendung des Additionssatzes: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). 4. Einsetzen und nach der Schnittmenge auflösen: \(0{,}8 = 0{,}6 + 0{,}5 - P(A \cap B)\). 5. \(0{,}8 = 1{,}1 - P(A \cap B) \implies P(A \cap B) = 1{,}1 - 0{,}8 = 0{,}3\). 6. Vergleich: Da \(P(A \cap B) = 0{,}3\) (also \(30\,\%\)) sein muss, ist die Behauptung von \(40\,\%\) falsch.

Nein, das ist nicht möglich. Unter den gegebenen Bedingungen müssen genau \(30\,\%\) der Haushalte beide Zeitungen lesen, da \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}8 = 0{,}3\) gilt.

- Nutze die Gruppe „keines von beidem“, um zuerst die Häufigkeit der Vereinigung zu bestimmen. - Stelle den Additionssatz nach der Schnittmenge um. - „Genau eine“ umfasst die beiden Bereiche außerhalb der Überlappung.

1. Mindestens eine Aktivität üben \(120-25=95\) Jugendliche aus, also gilt \(H(S\cup M)=95\). 2. Mit dem Additionssatz \(H(S\cup M)=H(S)+H(M)-H(S\cap M)\) folgt \(95=65+50-H(S\cap M)\). Daher ist \(H(S\cap M)=20\). 3. Nur Sport treiben \(65-20=45\) Jugendliche, nur ein Instrument spielen \(50-20=30\). Genau eine Aktivität üben also \(45+30=75\) Jugendliche aus. 4. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{75}{120}=\frac{5}{8}=0{,}625=62{,}5\,\%\).

a) \(20\) Jugendliche. b) \(\frac{5}{8}=62{,}5\,\%\).

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der beiden Produkte gekauft wird. - „Weder noch“ ist das Gegenereignis zu „mindestens eines“. - Für „nur Brot“ musst du aus der Brotgruppe diejenigen herausnehmen, die auch Kuchen kaufen.

1. Mit dem Additionssatz gilt \(P(B\cup K)=0{,}80+0{,}45-0{,}30=0{,}95\). 2. „Weder noch“ ist das Gegenereignis zur Vereinigung. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(1-0{,}95=0{,}05=5\,\%\). 3. Für „nur Brot“ gilt \(P(B\cap\overline{K})=P(B)-P(B\cap K)=0{,}80-0{,}30=0{,}50\). 4. Erwartungsgemäß sind das \(400\cdot0{,}50=200\) Personen.

a) \(5\,\%\). b) Erwartungsgemäß \(200\) Personen.

- Stelle den Additionssatz so um, dass die Schnittmenge gesucht ist. - „Genau eine“ ist der Teil der Vereinigung außerhalb der Schnittmenge. - Untersuche bei c), welche Personen in beiden Einzelwahrscheinlichkeiten vorkommen.

1. Aus dem Additionssatz folgt \(P(T\cap I)=0{,}30+0{,}25-0{,}45=0{,}10\). 2. „Genau eine“ erhält man aus der Vereinigung ohne die Schnittmenge: \(0{,}45-0{,}10=0{,}35\). 3. Die Summe \(P(T)+P(I)\) zählt die Mitglieder beider AGs zweimal. Deshalb muss die Schnittmenge einmal abgezogen werden; die einfache Summe \(0{,}55\) ist nicht die Vereinigungswahrscheinlichkeit.

a) \(P(T\cap I)=0{,}10\). b) \(0{,}35\). c) Die Schnittmenge wird bei \(P(T)+P(I)\) doppelt gezählt.

- Überlege, was es für die Berechnung bedeutet, wenn zwei Ereignisse keine gemeinsamen Ergebnisse haben. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse, ihrer Vereinigung und ihrer Schnittmenge zusammen? - Was ist der größtmögliche Wert, den die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung annehmen kann, wenn die Einzelwahrscheinlichkeiten feststehen?

1. Berechnung für unvereinbare Ereignisse: Da \(A \cap B = \emptyset\), gilt der einfache Additionssatz \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\). Einsetzen der Werte ergibt \(0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8\). 2. Berechnung der Schnittmenge: Mit dem allgemeinen Additionssatz \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) folgt durch Umstellen \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)\). Einsetzen ergibt \(0{,}3 + 0{,}5 - 0{,}7 = 0{,}1\). 3. Begründung der Unmöglichkeit: Die maximale Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung \(P(A \cup B)\) wird erreicht, wenn die Ereignisse unvereinbar sind (\(P(A \cap B) = 0\)). In diesem Fall ist \(P(A \cup B) = 0{,}8\). Da \(0{,}9 > 0{,}8\) ist, kann dieser Wert nicht angenommen werden, da sonst \(P(A \cap B)\) negativ sein müsste, was unmöglich ist.

a) \(P(A \cup B) = 0{,}8\) b) \(P(A \cap B) = 0{,}1\) c) Der Maximalwert für \(P(A \cup B)\) ist bei Unvereinbarkeit \(0{,}8\). Da \(0{,}9 > 0{,}8\), ist dieser Wert nicht erreichbar.

- Was bedeutet die Information, dass jeder Befragte mindestens einen Dienst nutzt, für die Gesamtanzahl der berücksichtigten Personen? - Wie kannst du die Gruppe der Streaming-Nutzer aufteilen, um diejenigen zu finden, die keine sozialen Medien nutzen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen absoluter Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit bei einer Zufallsauswahl.

1. Bestimmung der Schnittmenge: Da jede Person mindestens einen Dienst nutzt, ist die absolute Häufigkeit der Vereinigung gleich der Gesamtzahl, also \(H(S \cup T) = 100\). Aus \(100 = 75 + 40 - H(S \cap T)\) folgt \(H(S \cap T) = 15\). 2. Überprüfung des Additionssatzes: Einsetzen der Werte ergibt \(100 = 75 + 40 - 15\). Da \(115 - 15 = 100\) ist, ist die Gleichung erfüllt. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „nur Streaming“: Die Anzahl der Personen, die nur Streaming nutzen, ist \(H(T) - H(S \cap T) = 40 - 15 = 25\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit \(P(\text{nur } T) = \frac{25}{100} = 0{,}25\) bzw. \(25\,\%\).

a) \(H(S \cap T) = 15\) b) Der Additionssatz ist mit \(100 = 75 + 40 - 15\) korrekt erfüllt. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}25\) (oder \(25\,\%\)).

- Nutze die angegebene Zusammensetzung des Skatspiels, um die Zahl der Herzkarten und der Bildkarten zu bestimmen. - Suche anschließend Karten, die beide Eigenschaften gleichzeitig besitzen. - Vergleiche deren Rolle in der einfachen Summe mit dem Additionssatz.

1. Ein Skatspiel enthält \(8\) Herzkarten, also \(P(A)=\frac{8}{32}\). 2. Es gibt in vier Farben jeweils drei Bildkarten, insgesamt also \(12\). Daher ist \(P(B)=\frac{12}{32}\). 3. Herz-Bube, Herz-Dame und Herz-König gehören zu beiden Ereignissen. Somit gilt \(P(A\cap B)=\frac{3}{32}\). 4. Mit dem Additionssatz folgt \(P(A\cup B)=\frac{8}{32}+\frac{12}{32}-\frac{3}{32}=\frac{17}{32}\). 5. Die einfache Summe zählt die drei Herz-Bildkarten doppelt und ist deshalb zu groß.

a) \(P(A\cup B)=\frac{17}{32}\). b) Die drei Herz-Bildkarten liegen in der Schnittmenge und würden bei \(P(A)+P(B)\) doppelt gezählt.

- Wende in a) den Additionssatz auf die drei gegebenen Wahrscheinlichkeiten an. - Suche in b) zunächst das Gegenereignis zur gefragten Vereinigung. - Für Unvereinbarkeit ist entscheidend, ob die Schnittmenge Wahrscheinlichkeit \(0\) hat.

1. Mit dem Additionssatz gilt \(P(A\cup B)=\frac{3}{8}+\frac{4}{8}-\frac{2}{8}=\frac{5}{8}\). 2. Für b) ist das Gegenereignis zu \(\overline{A}\cup B\) gleich \(A\cap\overline{B}\). Es gilt \(P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=\frac{3}{8}-\frac{2}{8}=\frac{1}{8}\). 3. Daher ist \(P(\overline{A}\cup B)=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\). 4. Unvereinbare Ereignisse hätten \(P(A\cap B)=0\). Da hier \(P(A\cap B)=\frac{1}{4}>0\) gilt, sind die Ereignisse nicht unvereinbar.

a) \(\frac{5}{8}\). b) \(\frac{7}{8}\). c) Nein, denn \(P(A\cap B)=\frac{1}{4}\neq0\).

- Wandle die beiden Prozentangaben zunächst in absolute Häufigkeiten um. - Nutze „keines der beiden“, um die Häufigkeit der Vereinigung zu bestimmen. - Ziehe nach der Schnittmenge die gemeinsame Gruppe aus der Tablet-Gruppe heraus.

1. Es gilt \(H(T)=0{,}80\cdot500=400\), \(H(L)=0{,}60\cdot500=300\) und \(H(\overline{T}\cap\overline{L})=50\). 2. Damit ist \(H(T\cup L)=500-50=450\). 3. Aus dem Additionssatz folgt \(H(T\cap L)=400+300-450=250\). 4. Folglich gilt \(H(T\cap\overline{L})=400-250=150\) und damit \(P(T\cap\overline{L})=\frac{150}{500}=0{,}30\).

\(P(T\cap\overline{L})=0{,}30=30\,\%\).

- Berechne zuerst die Vereinigung mit dem Additionssatz. - „Keines“ ist das Gegenereignis zu „mindestens eines“. - Für den Vergleich in c) ziehst du die gemeinsame Wahrscheinlichkeit jeweils von der passenden Einzelwahrscheinlichkeit ab.

1. Mit dem Additionssatz gilt \(P(A\cup B)=0{,}35+0{,}55-0{,}15=0{,}75\). 2. „Keines“ ist das Gegenereignis zur Vereinigung. Daher ist \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-0{,}75=0{,}25\). 3. Es gilt \(P(\overline{A}\cap B)=0{,}55-0{,}15=0{,}40\) und \(P(A\cap\overline{B})=0{,}35-0{,}15=0{,}20\). 4. Wegen \(0{,}40>0{,}20\) ist die Behauptung wahr.

a) \(0{,}75\). b) \(0{,}25\). c) Die Behauptung ist wahr: \(0{,}40>0{,}20\).

- Berechne beide Situationen mit derselben Grundbeziehung. - Vergleiche anschließend nur den Einfluss der unterschiedlichen Überschneidung.

1. Situation I: \(P(A\cup B)=0{,}50+0{,}40-0{,}10=0{,}80\). 2. Situation II: \(P(A\cup B)=0{,}50+0{,}40-0{,}30=0{,}60\). 3. Eine größere Überschneidung führt bei gleichen Einzelwahrscheinlichkeiten zu einer kleineren Vereinigungswahrscheinlichkeit.

Situation I: \(0{,}80\); Situation II: \(0{,}60\). Die größere Schnittmenge in II wird stärker abgezogen.

- Ersetze die beiden gleichen unbekannten Wahrscheinlichkeiten durch dieselbe Variable. - Löse die entstehende einfache Gleichung.

1. Setze \(P(A)=P(B)=p\). 2. Der Additionssatz liefert \(0{,}73=p+p-0{,}16\). 3. Daraus folgt \(2p=0{,}89\) und \(p=0{,}445\). 4. Somit gilt \(P(A)=P(B)=0{,}445\).

\(P(A)=P(B)=0{,}445=44{,}5\,\%\).

- Berechne, welche Überschneidung aus den Angaben folgen müsste. - Prüfe anschließend, ob dieser Wert eine zulässige Wahrscheinlichkeit ist.

1. Der Additionssatz würde \(P(A\cap B)=0{,}36+0{,}27-0{,}70=-0{,}07\) ergeben. 2. Eine Wahrscheinlichkeit kann nicht negativ sein. 3. Die Angaben sind daher nicht möglich. 4. Schon ohne Überschneidung könnte die Vereinigung höchstens \(0{,}36+0{,}27=0{,}63\) betragen.

Die Angaben sind unmöglich, weil sie \(P(A\cap B)=-0{,}07\) erzwingen würden.

- Prüfe zuerst, ob die angegebene Schnittmenge überhaupt in beide Einzelgruppen passen kann. - Bestimme anschließend mit dem Additionssatz die Anzahl innerhalb mindestens eines der beiden Angebote. - Welche Bedingung muss auch der Bereich außerhalb der Vereinigung erfüllen?

1. Die Schnittmenge ist mit \(95\) nicht größer als \(H(A)=210\) oder \(H(F)=165\). Daher ergeben sich für die exklusiven Bereiche die nichtnegativen Häufigkeiten \(210-95=115\) und \(165-95=70\). 2. Mit dem Additionssatz gilt \(H(A\cup F)=210+165-95=280\). 3. Da \(280\le320\) gilt, ist auch der Bereich außerhalb der Vereinigung nichtnegativ. Somit sind alle vier Bereiche möglich und die Angaben widerspruchsfrei. 4. Weder Ausstellung noch Führung besuchen \(320-280=40\) Personen.

Die Angaben sind widerspruchsfrei; \(40\) Personen besuchen weder Ausstellung noch Führung.

- Bestimme die Überschneidung aus den beiden Einzelzahlen und der Vereinigung. - Leite danach die drei übrigen Bereiche nacheinander ab.

1. Beide: \(74+58-103=29\). 2. Nur \(A\): \(74-29=45\). 3. Nur \(B\): \(58-29=29\). 4. Keines: \(160-103=57\).

Beide: \(29\), nur \(A\): \(45\), nur \(B\): \(29\), keines: \(57\).

- Gesucht ist die Zahl verschiedener Personen, nicht die Zahl aller Schichtanmeldungen. - Bestimme daher zuerst die Häufigkeit der Vereinigung. - Vergleiche sie anschließend mit der Schwelle \(75\).

1. Mit dem Additionssatz gilt \(H(A\cup B)=39+46-15=70\). 2. Benötigt werden mindestens \(75\) verschiedene Personen. 3. Daher reichen die Zusagen nicht; es fehlen \(75-70=5\) Personen.

Nein. \(70\) verschiedene Personen übernehmen mindestens eine Schicht; es fehlen \(5\) Zusagen.

- Lies \(P(A)\) als Zeilensumme und \(P(B)\) als Spaltensumme der passenden Innenfelder. - Überlege, welches Innenfeld in beiden Summen vorkommt. - Vergleiche den vereinfachten Ausdruck mit der Summe der drei Innenfelder der Vereinigung.

1. Aus der Zeile \(A\) folgt \(P(A)=r+s\). 2. Aus der Spalte \(B\) folgt \(P(B)=r+t\). 3. Die Schnittmenge ist das gemeinsame Innenfeld, also \(P(A\cap B)=r\). 4. Zur Vereinigung gehören die drei Innenfelder außer \(\overline{A}\cap\overline{B}\). Daher gilt \(P(A\cup B)=r+s+t\). 5. Setzt man die Ausdrücke der rechten Seite zusammen, erhält man \(P(A)+P(B)-P(A\cap B)=(r+s)+(r+t)-r=r+s+t\). 6. Dieser Ausdruck stimmt mit \(P(A\cup B)\) überein. Damit folgt der Additionssatz aus der Struktur der Vierfeldertafel.

\(P(A)=r+s\), \(P(B)=r+t\), \(P(A\cap B)=r\), \(P(A\cup B)=r+s+t\). Daher gilt \((r+s)+(r+t)-r=r+s+t=P(A\cup B)\).

- Was ist der maximale Wert, den eine Wahrscheinlichkeit für ein kombiniertes Ereignis (wie die Vereinigung) annehmen kann? - Welche Randbedingung für die Vereinigung ist entscheidend, wenn der gemeinsame Anteil möglichst klein sein soll? - Wenn ein Kreis in einem Diagramm komplett innerhalb eines anderen Kreises liegt, was ist dann ihre gemeinsame Fläche?

1. Begründung zur Unvereinbarkeit: Wären \(A\) und \(B\) unvereinbar, müsste \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) gelten. Hier wäre \(0{,}75 + 0{,}4 = 1{,}15\). Da eine Wahrscheinlichkeit niemals größer als \(1\) sein kann, muss es eine Schnittmenge geben (\(P(A \cap B) > 0\)). 2. Bestimmung des Minimums von \(P(A \cap B)\): Da \(P(A \cup B) \le 1\) gilt und \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\), folgt \(P(A \cap B) \ge P(A) + P(B) - 1\). Einsetzen ergibt \(0{,}75 + 0{,}4 - 1 = 0{,}15\). Der kleinstmögliche Wert ist \(0{,}15\). 3. Fall \(B \subseteq A\): Wenn \(B\) eine Teilmenge von \(A\) ist, dann ist das gemeinsame Eintreten \(A \cap B\) identisch mit dem Eintreten von \(B\). Somit gilt \(P(A \cap B) = P(B) = 0{,}4\). Die Vereinigung \(A \cup B\) ist in diesem Fall identisch mit \(A\), also \(P(A \cup B) = P(A) = 0{,}75\).

a) Da \(P(A) + P(B) = 1{,}15 > 1\) ist, muss es eine Schnittmenge geben, damit die Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\) nicht überschreitet. b) Der kleinstmögliche Wert ist \(P(A \cap B) = 0{,}15\). c) In diesem Fall ist \(P(A \cap B) = 0{,}4\) und \(P(A \cup B) = 0{,}75\).

- Denke an die grundlegenden Axiome der Wahrscheinlichkeit: Was ist der maximale Wert einer Wahrscheinlichkeit? - Welche zwei Bedingungen müssen zwei Ereignisse erfüllen, damit sie zusammen ein Ereignis und sein Gegenereignis bilden? - Betrachte die Formel für die Vereinigung und überlege, was passiert, wenn man die Schnittmenge weglässt.

1. Analyse Aussage a: Die Aussage ist wahr. Bei unvereinbaren Ereignissen gilt \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\). Da eine Wahrscheinlichkeit niemals größer als \(1\) sein kann, müsste bei \(P(A) + P(B) > 1\) auch \(P(A \cup B) > 1\) gelten, was ein Widerspruch ist. Folglich muss \(P(A \cap B) > 0\) sein. 2. Analyse Aussage b: Die Aussage ist wahr. Eine Zerlegung von \(\Omega\) erfordert, dass die Mengen unvereinbar sind (\(A \cap B = \emptyset\)) und ihre Vereinigung die gesamte Ergebnismenge ergibt (\(A \cup B = \Omega\)). Dies entspricht genau der Definition eines Ereignisses und seines Gegenereignisses \(\overline{A}\). 3. Analyse Aussage c: Die Aussage ist wahr. Für die absoluten Häufigkeiten in einer Stichprobe gilt nach dem Additionssatz \(H(A \cup B) = H(A) + H(B) - H(A \cap B)\). Da absolute Häufigkeiten nicht negativ sein können (\(H(A \cap B) \ge 0\)), ist die Summe der Einzelhäufigkeiten immer mindestens so groß wie die Häufigkeit der Vereinigung.

a) Wahr, da sonst \(P(A \cup B) > 1\) wäre, was unmöglich ist. b) Wahr, da Unvereinbarkeit und Vollständigkeit (\(A \cup B = \Omega\)) genau die Gegenereignis-Situation beschreiben. c) Wahr, da \(H(A \cup B) = H(A) + H(B) - H(A \cap B)\) und \(H(A \cap B) \ge 0\).