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Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Wachstumsfaktor und prozentuale Änderung

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41009910
Ein Reagenzglas enthält eine Lösung mit 400 Bakterien. Jede Stunde nimmt die Anzahl der Bakterien um \(2\,\%\) zu. Welcher Funktionsterm beschreibt die Abhängigkeit der Bakterienanzahl \(N\) von der Zeit \(t\) (in h) korrekt? a) \(N = 400^{1{,}02t}\) b) \(N = 400t^{0{,}02}\) c) \(N = 400 \cdot 1{,}02^t\) d) \(N = 400 \cdot 0{,}02^t\)

Denkanstöße

- Welchen Wert hat der Bestand zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Wenn etwas um einen bestimmten Prozentsatz wächst, mit welchem Faktor multipliziert man den aktuellen Wert dann jede Stunde? - Handelt es sich hier um lineares oder exponentielles Wachstum?

Lösung

1. Identifikation des Anfangswerts: \(N_0 = 400\) 2. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(q\) bei einer Zunahme von \(2\,\%\): \(q = 1 + \frac{2}{100} = 1{,}02\) 3. Aufstellen der allgemeinen Exponentialfunktion \(N(t) = N_0 \cdot q^t\): \(N(t) = 400 \cdot 1{,}02^t\) 4. Vergleich mit den vorgegebenen Optionen ergibt Antwort c).

Antwort

c) \(N = 400 \cdot 1{,}02^t\)
41493210
Eine Folge von fünf positiven Zahlen \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\) ist so aufgebaut, dass der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer denselben Wert \(q\) ergibt. Die Folge ist aufsteigend sortiert. Gegeben sind das erste Glied \(x_1 = 0{,}5\) und das fünfte Glied \(x_5 = 8\). Bestimme den Quotienten \(q\) und die fehlenden Glieder \(x_2, x_3\) und \(x_4\).

Denkanstöße

- Wie oft musst du den ersten Wert mit dem Quotienten multiplizieren, um zum fünften Wert zu gelangen? - Stelle eine Gleichung der Form \(x_5 = x_1 q^n\) auf. - Überlege, welche Zahl viermal mit sich selbst multipliziert 16 ergibt. - Was bedeutet „aufsteigend“ für das Vorzeichen und die Größe von \(q\)?

Lösung

1. Aufstellen der Beziehung zwischen dem ersten und dem fünften Glied einer geometrischen Folge: \(x_5 = x_1 q^4\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(8 = 0{,}5 \cdot q^4\). 3. Umformen zur Potenzgleichung: \(q^4 = \frac{8}{0{,}5} = 16\). 4. Ziehen der 4. Wurzel: \(q = \sqrt[4]{16} = 2\) (da die Folge aufsteigend und die Glieder positiv sind, entfällt \(q = -2\)). 5. Berechnung der fehlenden Glieder: \(x_2 = x_1 q = 0{,}5 \cdot 2 = 1\) \(x_3 = x_2 q = 1 \cdot 2 = 2\) \(x_4 = x_3 q = 2 \cdot 2 = 4\)

Antwort

Der Quotient ist \(q = 2\). Die fehlenden Glieder lauten \(x_2 = 1\), \(x_3 = 2\) und \(x_4 = 4\).
42830010
Der Wert eines neuen Elektroautos sinkt jährlich um \(18\,\%\). Der Kaufpreis beträgt \(45\,000\,\text{€}\). Stelle die Funktionsgleichung \(V(t)\) auf, die den Restwert des Autos nach \(t\) Jahren in Euro angibt.

Denkanstöße

- Was ist der Startwert in dieser Situation? - Wenn etwas um einen bestimmten Prozentsatz sinkt, wie viel Prozent bleiben dann noch übrig? - Wie schreibt man einen Prozentsatz als Dezimalzahl für eine Rechnung um? - Wie sieht die Grundform einer Exponentialfunktion aus?

Lösung

1. Bestimmung des Anfangswertes zum Zeitpunkt des Kaufs (\(t = 0\)): \(V_0 = 45\,000\). 2. Ermittlung des Abnahmefaktors \(b\): Da der Wert um \(18\,\%\) sinkt, verbleiben jedes Jahr \(100\,\% - 18\,\% = 82\,\%\) des Wertes vom Vorjahr. 3. Umrechnung des Prozentsatzes in einen Dezimalfaktor: \(b = 0{,}82\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung in der Form \(V(t) = V_0 \cdot b^t\): \(V(t) = 45\,000 \cdot 0{,}82^t\).

Antwort

\(V(t) = 45\,000 \cdot 0{,}82^t\)
42830310
Ein Waldgebiet hat eine Fläche von \(4500\,\text{ha}\). Durch gezielte Aufforstung wächst die Waldfläche jährlich um durchschnittlich \(2{,}4\,\%\). a) Bestimme den jährlichen Wachstumsfaktor \(q\). b) Berechne die Waldfläche nach \(3\) Jahren und nach \(10\) Jahren. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Um welchen Gesamtfaktor ist die Waldfläche nach \(5\) Jahren im Vergleich zum ursprünglichen Bestand angewachsen? Runde auf vier Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Übersetze die jährliche prozentuale Zunahme in einen Faktor. - Für mehrere Jahre wird derselbe Faktor mehrfach angewendet. - Der Gesamtfaktor in c) ist unabhängig von der Anfangsfläche.

Lösung

1. Der jährliche Faktor ist \(q=1+0{,}024=1{,}024\). 2. Nach \(3\) Jahren gilt \(4500\cdot1{,}024^3\approx4831{,}84\,\text{ha}\). 3. Nach \(10\) Jahren gilt \(4500\cdot1{,}024^{10}\approx5704{,}43\,\text{ha}\). 4. Der Gesamtfaktor nach \(5\) Jahren ist \(1{,}024^5\approx1{,}1259\).

Antwort

a) \(q=1{,}024\). b) Nach \(3\) Jahren \(4831{,}84\,\text{ha}\); nach \(10\) Jahren \(5704{,}43\,\text{ha}\). c) \(1{,}1259\).
42830610
Die Anzahl der Bakterien in einer Laborkultur wächst exponentiell. Die Anzahl \(N(t)\) nach \(t\) Stunden kann mit der Funktionsgleichung \(N(t) = N_0 \cdot a^t\) beschrieben werden. Zu Beginn der Beobachtung (\(t = 0\)) werden \(800\) Bakterien gezählt. Nach einer Stunde (\(t = 1\)) ist die Anzahl auf \(1040\) Bakterien angewachsen. a) Bestimme den stündlichen Wachstumsfaktor \(a\). b) Um wie viel Prozent nimmt die Anzahl der Bakterien jede Stunde zu? c) Wie viele Bakterien sind nach 6 Stunden vorhanden? Runde dein Ergebnis auf eine ganze Zahl.

Denkanstöße

- Welchen Wert hat die Variable für den Anfangsbestand in der gegebenen Formel? - Wie kannst du den Faktor bestimmen, mit dem der Anfangswert multipliziert wurde, um zum ersten Folgewert zu gelangen? - Wie hängen der Wachstumsfaktor und die prozentuale Wachstumsrate zusammen?

Lösung

1. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(a\): Da \(N(1) = N_0 \cdot a^1\), gilt \(1040 = 800a\). Daraus folgt \(a = \frac{1040}{800} = 1{,}3\). 2. Berechnung der prozentualen Zunahme: Der Wachstumsfaktor \(a = 1{,}3\) entspricht einer Zunahme von \(30\,\%\), da \(1{,}3 = 1 + 0{,}30\). 3. Berechnung des Bestandes nach 6 Stunden: \(N(6) = 800 \cdot 1{,}3^6 \approx 3861{,}45\). Gerundet ergibt dies \(3861\) Bakterien.

Antwort

a) Der Wachstumsfaktor ist \(a = 1{,}3\). b) Die stündliche Zunahme beträgt \(30\,\%\). c) Nach 6 Stunden sind etwa \(3861\) Bakterien vorhanden.
42831010
In einem Naturschutzgebiet wurde der Bestand einer seltenen Orchideenart untersucht. Im Jahr 2020 zählte man \(1200\) Exemplare. Die Biologen gehen von einer konstanten jährlichen Zunahme von \(5{,}4\,\%\) aus. a) Gib den Wachstumsfaktor \(q\) für die jährliche Entwicklung an. b) Berechne den Bestand für die Jahre 2021, 2022 und 2023. Runde auf ganze Exemplare. c) Berechne den Bestand für das Jahr 2030 auf ganze Exemplare. Welchen Wachstumsfaktor kann man für diesen Zehnjahresschritt verwenden? Runde diesen Faktor auf vier Dezimalstellen. d) Wie viele Orchideen werden laut dieser Prognose im Jahr 2045 im Naturschutzgebiet wachsen? Runde auf ganze Exemplare.

Denkanstöße

- Bestimme für jedes Zieljahr zuerst die Anzahl der Jahre seit 2020. - Verwende den jährlichen Faktor als Potenz mit genau dieser Zeitspanne. - Runde Bestände erst nach der Berechnung; der Mehrjahresfaktor wird separat gerundet.

Lösung

1. Der jährliche Wachstumsfaktor ist \(q=1+0{,}054=1{,}054\). 2. Mit \(N(t)=1200\cdot1{,}054^t\) gilt für 2021 \(N(1)=1264{,}8\approx1265\), für 2022 \(N(2)\approx1333{,}10\approx1333\) und für 2023 \(N(3)\approx1405{,}09\approx1405\). 3. Für 2030 ist \(t=10\). Es gilt \(N(10)\approx2030{,}43\approx2030\). Der Zehnjahresfaktor ist \(1{,}054^{10}\approx1{,}6920\). 4. Für 2045 ist \(t=25\). Es gilt \(N(25)\approx4468{,}86\approx4469\).

Antwort

a) \(q=1{,}054\). b) 2021: \(1265\); 2022: \(1333\); 2023: \(1405\) Exemplare. c) 2030: \(2030\) Exemplare; Zehnjahresfaktor \(1{,}6920\). d) \(4469\) Exemplare.
42834710
Ein Waldstück hat einen Holzvorrat von \(8400\,\text{m}^3\). Durch einen Schädlingsbefall nimmt der Holzbestand jedes Jahr um \(6{,}2\,\%\) ab. a) Gib die Funktionsgleichung für den Holzvorrat \(V(t)\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Jahren an. b) Wie viel Prozent des ursprünglichen Holzvorrats sind nach \(8\) Jahren noch vorhanden? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Übersetze die jährliche Abnahme in den jeweils verbleibenden Faktor. - Der Faktor nach mehreren Jahren beschreibt direkt den Anteil am Anfangswert. - Multipliziere diesen Anteil für b) mit \(100\,\%\) und runde erst dann.

Lösung

1. Der jährliche Abnahmefaktor ist \(q=1-0{,}062=0{,}938\). 2. Mit dem Anfangswert \(8400\,\text{m}^3\) gilt \(V(t)=8400\cdot0{,}938^t\). 3. Nach \(8\) Jahren beträgt der verbleibende Anteil \(0{,}938^8\approx0{,}5993\). Das sind etwa \(59{,}93\,\%\) des Anfangswerts.

Antwort

a) \(V(t)=8400\cdot0{,}938^t\). b) \(59{,}93\,\%\).
42839910
Vervollständige die folgende Tabelle zu exponentiellen Wachstums- und Zerfallsprozessen der Form \(f(x) = C \cdot a^x\). <table> <thead> <tr> <th>Prozentuale Änderung pro Schritt</th> <th>Wachstumsfaktor \(a\)</th> <th>Anfangswert \(C\)</th> <th>Funktionsterm \(f(x)\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>\(+35\,\%\)</td> <td></td> <td>\(120\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td></td> <td>\(0{,}82\)</td> <td>\(50\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td></td> <td></td> <td></td> <td>\(8 \cdot 1{,}045^x\)</td> </tr> </tbody> </table>

Denkanstöße

- Überlege dir, wie der Wachstumsfaktor \(a\) mit der prozentualen Änderung zusammenhängt: Ist \(a > 1\) oder \(a < 1\)? - Der Anfangswert \(C\) steht in der Funktionsgleichung immer an der Stelle, die nicht von der Potenz beeinflusst wird. - Erinnere dich an den Zusammenhang \(a = 1 \pm \frac{p}{100}\).

Lösung

1. Erste Zeile: Bei einer Zunahme von \(35\,\%\) berechnet sich der Wachstumsfaktor als \(a = 1 + \frac{35}{100} = 1{,}35\). Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = 120 \cdot 1{,}35^x\). 2. Zweite Zeile: Ein Wachstumsfaktor von \(a = 0{,}82\) entspricht einer Abnahme, da \(a < 1\). Die prozentuale Änderung ist \(0{,}82 - 1 = -0{,}18\), also eine Abnahme von \(18\,\%\). Der Funktionsterm ist \(f(x) = 50 \cdot 0{,}82^x\). 3. Dritte Zeile: Aus dem Term \(8 \cdot 1{,}045^x\) liest man den Anfangswert \(C = 8\) und den Wachstumsfaktor \(a = 1{,}045\) ab. Die prozentuale Änderung berechnet sich aus \(1{,}045 - 1 = 0{,}045\), was einer Zunahme von \(4{,}5\,\%\) entspricht.

Antwort

1. Zeile: \(a = 1{,}35\); \(f(x) = 120 \cdot 1{,}35^x\) 2. Zeile: Änderung: \(-18\,\%\) (oder Abnahme um \(18\,\%\)); \(f(x) = 50 \cdot 0{,}82^x\) 3. Zeile: Änderung: \(+4{,}5\,\%\) (oder Zunahme um \(4{,}5\,\%\)); \(a = 1{,}045\); \(C = 8\)
42840010
Gegeben sind die Funktionsgleichungen dreier verschiedener Prozesse: \(f(x) = 400 \cdot 1{,}015^x\) \(g(x) = 25 \cdot 0{,}6^x\) \(h(x) = 2 \cdot 3^x\) a) Bestimme für jede Funktion den Anfangswert und die prozentuale Zu- oder Abnahme pro Zeiteinheit. b) Berechne den Funktionswert von \(f\) für \(x = 2\).

Denkanstöße

- Der Anfangswert ist der Wert der Funktion bei \(x = 0\). - Die prozentuale Veränderung findest du, indem du die Differenz des Wachstumsfaktors zu \(1\) betrachtest. - Achte bei Teilaufgabe b) auf die richtige Reihenfolge der Rechenoperationen (Potenz vor Multiplikation).

Lösung

1. Analyse von \(f(x)\): Anfangswert \(C = 400\). Da \(a = 1{,}015\), liegt eine Zunahme vor. \(1{,}015 - 1 = 0{,}015\), also eine Zunahme um \(1{,}5\,\%\). 2. Analyse von \(g(x)\): Anfangswert \(C = 25\). Da \(a = 0{,}6\), liegt eine Abnahme vor. \(1 - 0{,}6 = 0{,}4\), also eine Abnahme um \(40\,\%\). 3. Analyse von \(h(x)\): Anfangswert \(C = 2\). Da \(a = 3\), liegt eine Zunahme vor. \(3 - 1 = 2\), also eine Zunahme um \(200\,\%\). 4. Berechnung für Teilaufgabe b): Setze \(x = 2\) in \(f(x)\) ein: \(f(2) = 400 \cdot 1{,}015^2 = 400 \cdot 1{,}030225 = 412{,}09\).

Antwort

a) \(f(x)\): Anfangswert \(400\), Zunahme um \(1{,}5\,\%\); \(g(x)\): Anfangswert \(25\), Abnahme um \(40\,\%\); \(h(x)\): Anfangswert \(2\), Zunahme um \(200\,\%\) b) \(f(2) = 412{,}09\)
42840310
Der Bestand einer seltenen Orchideenart in einem Naturschutzgebiet verringert sich jährlich um \(6\,\%\). Zu Beginn der Zählung wurden \(450\) Pflanzen registriert. a) Stelle die Funktionsgleichung auf, die die Anzahl der Pflanzen \(N(t)\) nach \(t\) Jahren beschreibt. b) Wie viele Pflanzen sind nach \(5\) Jahren und wie viele nach \(10\) Jahren noch vorhanden? Runde deine Ergebnisse auf ganze Zahlen.

Denkanstöße

- Welcher Wert stellt den Startzeitpunkt dar? - Wie verändert eine prozentuale Abnahme den Bestand von einem Jahr zum nächsten? - Mit welchem Faktor musst du multiplizieren, wenn der Bestand um einen bestimmten Prozentsatz sinkt? - Überlege, wie oft dieser Faktor bei einer Zeitspanne von mehreren Jahren angewendet werden muss.

Lösung

1. Bestimmung des Abnahmefaktors \(a\) aus der prozentualen Abnahme: \(a = 1 - 0{,}06 = 0{,}94\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung mit dem Anfangswert \(N_0 = 450\): \(N(t) = 450 \cdot 0{,}94^t\). 3. Berechnung des Bestands nach \(5\) Jahren: \(N(5) = 450 \cdot 0{,}94^5 \approx 330{,}26\). Gerundet ergibt dies \(330\) Pflanzen. 4. Berechnung des Bestands nach \(10\) Jahren: \(N(10) = 450 \cdot 0{,}94^{10} \approx 242{,}38\). Gerundet ergibt dies \(242\) Pflanzen.

Antwort

a) \(N(t) = 450 \cdot 0{,}94^t\) b) Nach \(5\) Jahren: ca. \(330\) Pflanzen; nach \(10\) Jahren: ca. \(242\) Pflanzen.
43402710
Ein neues Smartphone verliert schnell an Wert. Das Diagramm zeigt den geschätzten Wiederverkaufswert \(W(t)\) in Euro in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Jahren. Die waagrechte Hilfslinie markiert ein Viertel des Anfangswerts. a) Bestimme mithilfe des Graphen den Anfangswert \(b\) und den jährlichen Wachstumsfaktor \(a\). Gib die Funktionsgleichung in der Form \(W(t)=b\cdot a^t\) an. b) Um wie viel Prozent sinkt der Wert des Smartphones pro Jahr? c) Nach wie vielen Jahren ist das Smartphone nur noch ein Viertel seines ursprünglichen Preises wert? Lies den Zeitpunkt näherungsweise aus dem Graphen ab und gib ihn auf eine Dezimalstelle genau an.
Abbildung zur Aufgabe 434027

Denkanstöße

- Der Schnittpunkt mit der vertikalen Achse liefert den Anfangswert. - Vergleiche den Graphenwert bei \(t=1\) mit dem Anfangswert, um den Faktor zu bestimmen. - Nutze für c) die eingezeichnete waagrechte Hilfslinie und die feinere Unterteilung der Zeitachse.

Lösung

1. Der Graph schneidet die vertikale Achse bei \(W(0)=800\,\text{€}\). Daher ist \(b=800\). 2. Nach einem Jahr zeigt der Graph \(600\,\text{€}\). Somit ist der Faktor \(a=600:800=0{,}75\) und \(W(t)=800\cdot0{,}75^t\). 3. Der Faktor \(0{,}75\) bedeutet, dass jedes Jahr \(75\,\%\) des vorherigen Werts verbleiben. Der Wert sinkt also um \(25\,\%\) pro Jahr. 4. Ein Viertel von \(800\,\text{€}\) sind \(200\,\text{€}\). Die Hilfslinie bei \(W=200\) schneidet den Graphen zwischen \(t=4{,}75\) und \(t=5\). Aus dem fein unterteilten Diagramm liest man etwa \(t=4{,}8\) Jahre ab.

Antwort

a) \(b=800\), \(a=0{,}75\), also \(W(t)=800\cdot0{,}75^t\). b) \(25\,\%\) Wertverlust pro Jahr. c) Etwa \(4{,}8\) Jahre.
43449310
Ein Medikament wird nach der Einnahme im Körper abgebaut. Der Graph zeigt die Konzentration \(C\) (in \(\text{mg/l}\)) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Stunden). a) Bestimme den Wachstumsfaktor \(a\) für die Funktionsgleichung \(C(t) = ca^t\). b) Um wie viel Prozent nimmt die Konzentration pro Stunde ab?
Abbildung zur Aufgabe 434493

Denkanstöße

- Der Faktor \(a\) gibt an, mit welcher Zahl der Bestand pro Zeiteinheit multipliziert wird. - Vergleiche den Wert bei \(t=1\) mit dem Startwert bei \(t=0\). - Wenn etwas um einen bestimmten Prozentsatz abnimmt, wie viel Prozent bleiben dann übrig? Das hilft dir, den Zusammenhang zwischen \(a\) und der Prozentzahl zu finden.

Lösung

1. Bestimmung des Anfangswerts: Aus dem Graphen liest man bei \(t=0\) den Wert \(c = 20\) ab. 2. Bestimmung des Faktors \(a\): Nach einer Stunde (\(t=1\)) beträgt die Konzentration \(16\,\text{mg/l}\). Es gilt \(16 = 20 \cdot a^1\), woraus \(a = \frac{16}{20} = 0{,}8\) folgt. 3. Berechnung der prozentualen Abnahme: Ein Wachstumsfaktor von \(0{,}8\) entspricht einem Erhalt von \(80\,\%\) des Vorwertes. Die Abnahme beträgt somit \(100\,\% - 80\,\% = 20\,\%\) pro Stunde.

Antwort

a) Der Wachstumsfaktor ist \(a = 0{,}8\). b) Die Konzentration nimmt pro Stunde um \(20\,\%\) ab.
42594712
In einer Großstadt verbreitet sich ein Gerücht. Zum Zeitpunkt \(t = 0\) kennt eine Person das Gerücht. In der ersten Stunde erzählt sie es drei Bekannten. Jeder, der das Gerücht neu erfährt, benötigt genau eine Stunde, um es wiederum an drei weitere Personen weiterzugeben, die es noch nicht kennen. a) Wie viele Personen erfahren das Gerücht in der 5. Stunde neu? b) Wie viele Personen kennen das Gerücht insgesamt nach 8 Stunden (einschließlich der ersten Person)? c) Nach wie vielen vollen Stunden haben insgesamt mehr als \(250\,000\) Menschen das Gerücht gehört?

Denkanstöße

- Überlege dir, wie viele Personen in jedem Schritt neu dazukommen. Ist das immer die gleiche Anzahl oder vervielfacht sie sich? - Für die Gesamtzahl musst du alle Personen addieren, die das Gerücht zu einem bestimmten Zeitpunkt bereits kennen. - Erkennst du ein Muster in der Summenbildung? Es handelt sich um eine geometrische Reihe. - Prüfe für Teilaufgabe c) aufeinanderfolgende ganzzahlige Potenzen von \(3\).

Lösung

1. Die Anzahl der Personen, die das Gerücht in jeder Stunde neu erfahren, bildet eine geometrische Folge. In der \(n\)-ten Stunde erfahren \(3^n\) Personen das Gerücht neu. Für \(n = 5\) ergibt sich \(3^5 = 243\). 2. Die Gesamtzahl nach \(n\) Stunden ist \(N(n) = 1 + \sum_{k=1}^n 3^k = \frac{3^{n+1} - 1}{2}\). 3. Für \(n = 8\) gilt \(N(8) = \frac{3^9 - 1}{2} = \frac{19683 - 1}{2} = 9841\). 4. Für den Schwellenwert werden aufeinanderfolgende ganze Stunden geprüft: \(N(10) = \frac{3^{11} - 1}{2} = \frac{177147 - 1}{2} = 88\,573 < 250\,000\). \(N(11) = \frac{3^{12} - 1}{2} = \frac{531441 - 1}{2} = 265\,720 > 250\,000\). Damit haben nach \(11\) Stunden erstmals mehr als \(250\,000\) Menschen das Gerücht gehört.

Antwort

a) 243 Personen b) \(9841\) Personen c) Nach 11 Stunden
42814510
Eine moderne Produktionsanlage wird für einen Preis von \(54\,000\,\text{€}\) angeschafft. Aufgrund von technischem Fortschritt und Abnutzung verliert die Anlage jährlich \(12\,\%\) ihres Wertes im Vergleich zum Vorjahr. a) Berechne den Restwert der Anlage nach \(5\) Jahren. Runde das Ergebnis auf volle Euro. b) Bestimme, nach wie vielen vollen Jahren der Wert der Anlage erstmals unter \(20\,000\,\text{€}\) sinkt.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, mit welchem Faktor man einen Wert multiplizieren muss, um eine Abnahme von \(12\,\%\) zu beschreiben. - Welche Art von mathematischem Modell beschreibt eine gleichbleibende prozentuale Änderung? - Berechne die Restwerte für aufeinanderfolgende volle Jahre in der Nähe des Schwellenwerts. - Denk daran, dass nach dem ersten vollen Jahr gesucht wird, in dem der Wert unter der Grenze liegt.

Lösung

1. Der jährliche Abnahmefaktor beträgt \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). Damit gilt \(W(n) = 54\,000 \cdot 0{,}88^n\). 2. Nach \(5\) Jahren: \(W(5) = 54\,000 \cdot 0{,}88^5 \approx 28\,497{,}52\). Gerundet beträgt der Restwert \(28\,498\,\text{€}\). 3. Für die erste Unterschreitung von \(20\,000\,\text{€}\) werden aufeinanderfolgende volle Jahre geprüft: \(W(7) = 54\,000 \cdot 0{,}88^7 \approx 22\,068{,}48\,\text{€}\), also noch mehr als \(20\,000\,\text{€}\). \(W(8) = 54\,000 \cdot 0{,}88^8 \approx 19\,420{,}26\,\text{€}\), also weniger als \(20\,000\,\text{€}\). Nach \(8\) Jahren liegt der Wert erstmals unter \(20\,000\,\text{€}\).

Antwort

a) Der Restwert nach \(5\) Jahren beträgt \(28\,498\,\text{€}\). b) Nach \(8\) Jahren sinkt der Wert erstmals unter \(20\,000\,\text{€}\).
42829510
Für die Vermehrung einer Bakterienkultur in einem Labor wird die Funktionsgleichung \(N(t) = 200 \cdot 1{,}5^t\) verwendet, wobei \(t\) die Zeit in Stunden und \(N(t)\) die Anzahl der Bakterien angibt. a) Mit welchem Wachstumsfaktor vervielfacht sich die Anzahl der Bakterien jeweils nach 2 Stunden, nach 3 Stunden und nach 5 Stunden? b) Bestimme die Anzahl der Bakterien (gerundet auf ganze Zahlen) nach einer halben Stunde sowie nach 15 Minuten.

Denkanstöße

- Wie verändert sich der Funktionswert, wenn du den Exponenten um einen bestimmten Betrag erhöhst? - Achte darauf, in welcher Zeiteinheit die Variable im Exponenten definiert ist. - Wie rechnet man Minuten in Stunden um? - Was bedeutet ein exponentielles Wachstum für die Multiplikation über mehrere Zeitschritte hinweg?

Lösung

1. Berechnung der Wachstumsfaktoren für die Zeitintervalle \(\Delta t\): Der Faktor ergibt sich aus \(b^{\Delta t}\) mit \(b = 1{,}5\). 2. Faktor nach 2 Stunden: \(1{,}5^2 = 2{,}25\). 3. Faktor nach 3 Stunden: \(1{,}5^3 = 3{,}375\). 4. Faktor nach 5 Stunden: \(1{,}5^5 = 7{,}59375\). 5. Berechnung der Bakterienanzahl für Teil b) durch Einsetzen der Zeitwerte in Stunden in die Funktionsgleichung. 6. Nach einer halben Stunde (\(t = 0{,}5\)): \(N(0{,}5) = 200 \cdot 1{,}5^{0{,}5} \approx 244{,}95\). Gerundet: \(245\) Bakterien. 7. Nach 15 Minuten (\(t = 0{,}25\)): \(N(0{,}25) = 200 \cdot 1{,}5^{0{,}25} \approx 221{,}34\). Gerundet: \(221\) Bakterien.

Antwort

a) Nach 2 Stunden: Faktor \(2{,}25\); nach 3 Stunden: Faktor \(3{,}375\); nach 5 Stunden: Faktor \(7{,}59375\). b) Nach einer halben Stunde: ca. \(245\) Bakterien; nach 15 Minuten: ca. \(221\) Bakterien.
42830410
Eine moderne Produktionsmaschine hat einen Anschaffungswert von \(12\,500\,\text{€}\). Aufgrund von Abnutzung sinkt ihr Wert jährlich um \(15\,\%\). a) Welcher Faktor \(q\) beschreibt die Wertminderung pro Jahr? b) Berechne den Restwert der Maschine nach \(2\) Jahren und nach \(5\) Jahren. Runde auf Cent. c) Um wie viel Prozent ist der Wert der Maschine nach insgesamt \(3\) Jahren im Vergleich zum Neupreis gesunken? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Bei einer Wertminderung ist der verbleibende Faktor kleiner als \(1\). - Verwende für mehrere Jahre eine Potenz des Jahresfaktors. - Bestimme in c) zunächst den verbleibenden Anteil und daraus den verlorenen Anteil.

Lösung

1. Der jährliche Abnahmefaktor ist \(q=1-0{,}15=0{,}85\). 2. Nach \(2\) Jahren gilt \(12\,500\cdot0{,}85^2=9031{,}25\,\text{€}\). 3. Nach \(5\) Jahren gilt \(12\,500\cdot0{,}85^5\approx5546{,}32\,\text{€}\). 4. Nach \(3\) Jahren ist der Restfaktor \(0{,}85^3=0{,}614125\). Die gesamte Abnahme beträgt daher \((1-0{,}614125)\cdot100\,\%=38{,}5875\,\%\approx38{,}59\,\%\).

Antwort

a) \(q=0{,}85\). b) Nach \(2\) Jahren \(9031{,}25\,\text{€}\); nach \(5\) Jahren \(5546{,}32\,\text{€}\). c) \(38{,}59\,\%\).
42830510
Die Wertentwicklung eines Sparguthabens über einen Zeitraum von drei Jahren ist in der folgenden Tabelle dargestellt: <table> <tr><td>Jahr \(n\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><td>Kapital \(K_n\) in €</td><td>\(5000{,}00\)</td><td>\(5125{,}00\)</td><td>\(5253{,}13\)</td><td>\(5384{,}46\)</td></tr> </table> a) Bestätige durch Division aufeinanderfolgender Tabellenwerte, dass das Kapital jedes Jahr näherungsweise um denselben Faktor \(q\) wächst. b) Gib den jährlichen Zinssatz \(p\) in Prozent an. c) Berechne das Kapital nach insgesamt 10 Jahren bei gleichbleibender Verzinsung. Runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Wie verhalten sich die Werte zueinander, wenn du den Wert eines Jahres durch den Wert des Vorjahres teilst? - Was bedeutet ein Wachstumsfaktor von zum Beispiel \(1{,}05\) für die prozentuale Steigerung? - Welche Formel hilft dir, einen Wert über viele Zeitschritte hinweg zu berechnen, wenn der Faktor immer gleich bleibt?

Lösung

1. Berechnung der Quotienten aufeinanderfolgender Werte: \(\frac{5125{,}00}{5000{,}00} = 1{,}025\); \(\frac{5253{,}13}{5125{,}00} \approx 1{,}025\); \(\frac{5384{,}46}{5253{,}13} \approx 1{,}025\). Damit ist der Wachstumsfaktor \(q = 1{,}025\). 2. Bestimmung des Zinssatzes: Aus \(q = 1 + \frac{p}{100}\) folgt \(1{,}025 = 1 + \frac{p}{100}\), also \(p = 2{,}5\,\%\). 3. Berechnung des Kapitals nach 10 Jahren mit der Zinseszinsformel: \(K_{10} = 5000 \cdot 1{,}025^{10} \approx 6400{,}42\,\text{€}\).

Antwort

a) Die Quotienten ergeben jeweils etwa \(1{,}025\). b) Der Zinssatz beträgt \(p = 2{,}5\,\%\). c) Nach 10 Jahren beträgt das Kapital \(6400{,}42\,\text{€}\).
42830910
Der jährliche Energieverbrauch einer Kleinstadt liegt aktuell bei \(850\,\text{GWh}\). Durch verschiedene Effizienzmaßnahmen soll der Verbrauch jedes Jahr um \(2{,}1\,\%\) gegenüber dem Vorjahr gesenkt werden. a) Bestimme den jährlichen Wachstumsfaktor \(q\). b) Berechne den erwarteten Energieverbrauch nach \(4\) Jahren. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Mit welchem Faktor muss der aktuelle Verbrauch multipliziert werden, um den Wert nach \(10\) Jahren zu erhalten? Runde den Faktor auf vier Dezimalstellen und berechne anschließend den Verbrauch nach \(10\) Jahren auf zwei Dezimalstellen. d) Um wie viel Prozent ist der Energieverbrauch nach diesen \(10\) Jahren insgesamt gesunken? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Übersetze die jährliche Senkung in den verbleibenden Faktor. - Der Faktor für einen längeren Zeitraum ist eine Potenz des Jahresfaktors. - Für die gesamte prozentuale Senkung vergleiche den Zehnjahresfaktor mit \(1\).

Lösung

1. Der jährliche Abnahmefaktor ist \(q=1-0{,}021=0{,}979\). 2. Nach \(4\) Jahren gilt \(850\cdot0{,}979^4\approx780{,}82\,\text{GWh}\). 3. Der Zehnjahresfaktor ist \(0{,}979^{10}\approx0{,}8088\). 4. Der Verbrauch nach \(10\) Jahren ist \(850\cdot0{,}979^{10}\approx687{,}46\,\text{GWh}\). 5. Die gesamte Abnahme beträgt \((1-0{,}979^{10})\cdot100\,\%\approx19{,}12\,\%\).

Antwort

a) \(q=0{,}979\). b) \(780{,}82\,\text{GWh}\). c) Faktor \(0{,}8088\); Verbrauch \(687{,}46\,\text{GWh}\). d) \(19{,}12\,\%\).
42831510
Vervollständige die folgende Tabelle zur Zinseszinsrechnung. Verwende die Formel \(K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\). Runde Geldbeträge auf zwei Dezimalstellen und den Zinssatz auf eine Dezimalstelle. <table> <tr> <td>Anfangskapital \(K_0\)</td> <td>\(4000{,}00\,\text{€}\)</td> <td></td> <td>\(2500{,}00\,\text{€}\)</td> </tr> <tr> <td>Zinssatz \(p\,\%\)</td> <td>\(3{,}5\,\%\)</td> <td>\(2{,}25\,\%\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td>Laufzeit \(n\) in Jahren</td> <td>\(6\)</td> <td>\(10\)</td> <td>\(8\)</td> </tr> <tr> <td>Endkapital \(K_n\)</td> <td></td> <td>\(8000{,}00\,\text{€}\)</td> <td>\(4000{,}00\,\text{€}\)</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, welche Größe in der jeweiligen Spalte gesucht ist. - Stelle die Grundformel der Zinseszinsrechnung nach der gesuchten Variablen um. - Achte beim Zinssatz darauf, ob der Wachstumsfaktor \(q\) oder der Prozentsatz \(p\) berechnet werden soll. - Beim Umstellen nach dem Zinssatz musst du eine Wurzel ziehen.

Lösung

1. Berechnung von \(K_6\): Einsetzen der Werte in die Formel \(K_6 = 4000 \cdot 1{,}035^6 \approx 4917{,}02\,\text{€}\). 2. Berechnung von \(K_0\): Umstellen der Formel nach \(K_0 = \frac{K_n}{(1 + \frac{p}{100})^n}\). Einsetzen ergibt \(K_0 = \frac{8000}{1{,}0225^{10}} \approx 6404{,}08\,\text{€}\). 3. Berechnung von \(p\): Umstellen der Formel nach \(q = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}\). Einsetzen ergibt \(q = \sqrt[8]{\frac{4000}{2500}} = \sqrt[8]{1{,}6} \approx 1{,}0605\). Daraus folgt \(p = (q - 1) \cdot 100 \approx 6{,}1\,\%\).

Antwort

Spalte 1: \(K_n \approx 4917{,}02\,\text{€}\) Spalte 2: \(K_0 \approx 6404{,}08\,\text{€}\) Spalte 3: \(p \approx 6{,}1\,\%\)
42831710
Ein Geldbetrag von \(2500\,\text{€}\) wird für \(15\) Jahre bei einem festen jährlichen Zinssatz von \(1{,}75\,\%\) angelegt. Die Zinsen werden jeweils am Ende eines Jahres dem Guthaben zugeschlagen und im Folgejahr mitverzinst. a) Berechne das Sparguthaben nach \(5\) Jahren und nach \(10\) Jahren. b) Bestimme den Zinszuwachs, der allein im \(10.\) Jahr, also vom Ende des \(9.\) bis zum Ende des \(10.\) Jahres, erzielt wird. c) Nach wie vielen vollen Jahren hat sich das Startkapital zum ersten Mal um insgesamt mehr als \(500\,\text{€}\) erhöht? Runde Geldbeträge auf Cent.

Denkanstöße

- Stelle zuerst die Zinseszinsfunktion für das Guthaben nach \(n\) Jahren auf. - Für den Zuwachs eines einzelnen Jahres brauchst du zwei aufeinanderfolgende Kontostände. - Übersetze in c) den geforderten Gesamtzuwachs in einen Zielwert für das Guthaben.

Lösung

1. Der jährliche Faktor ist \(q=1{,}0175\), also \(K_n=2500\cdot1{,}0175^n\). 2. Es gilt \(K_5\approx2726{,}54\,\text{€}\) und \(K_{10}\approx2973{,}61\,\text{€}\). 3. Der Zuwachs im \(10.\) Jahr ist \(K_{10}-K_9\approx2973{,}61\,\text{€}-2922{,}47\,\text{€}=51{,}14\,\text{€}\). 4. Mehr als \(500\,\text{€}\) Gesamtzuwachs bedeutet \(K_n>3000\,\text{€}\). Es ist \(K_{10}\approx2973{,}61\,\text{€}\) und \(K_{11}\approx3025{,}65\,\text{€}\). Daher wird die Grenze nach \(11\) vollen Jahren erstmals überschritten.

Antwort

a) Nach \(5\) Jahren \(2726{,}54\,\text{€}\); nach \(10\) Jahren \(2973{,}61\,\text{€}\). b) \(51{,}14\,\text{€}\). c) Nach \(11\) vollen Jahren.
42831810
Zwei verschiedene Sparverträge werden miteinander verglichen: Vertrag A: \(4000\,\text{€}\) Startkapital bei einem jährlichen Zinssatz von \(3{,}0\,\%\). Vertrag B: \(4500\,\text{€}\) Startkapital bei einem jährlichen Zinssatz von \(2{,}0\,\%\). Die Zinsen werden in beiden Fällen jährlich mitverzinst. a) Berechne die Kontostände beider Verträge nach \(5\) Jahren. b) Berechne die Kontostände beider Verträge nach \(15\) Jahren. Welcher Vertrag weist nun das höhere Guthaben auf? c) Ermittle durch Probieren oder mithilfe einer Tabelle, nach wie vielen vollen Jahren der Kontostand von Vertrag A zum ersten Mal höher ist als der von Vertrag B. Runde Geldbeträge auf Cent.

Denkanstöße

- Stelle für beide Verträge eine Zinseszinsfunktion auf. - Vergleiche beide Guthaben stets für denselben Zeitpunkt. - Für c) reicht es, aufeinanderfolgende ganze Jahre in der Nähe des Wechsels zu prüfen.

Lösung

1. Die Modelle lauten \(K_A(n)=4000\cdot1{,}03^n\) und \(K_B(n)=4500\cdot1{,}02^n\). 2. Nach \(5\) Jahren gilt \(K_A(5)\approx4637{,}10\,\text{€}\) und \(K_B(5)\approx4968{,}36\,\text{€}\). 3. Nach \(15\) Jahren gilt \(K_A(15)\approx6231{,}87\,\text{€}\) und \(K_B(15)\approx6056{,}41\,\text{€}\). Vertrag A ist nun höher. 4. Für \(n=12\) gilt \(K_A(12)\approx5703{,}04\,\text{€}\) und \(K_B(12)\approx5707{,}09\,\text{€}\); Vertrag A liegt noch darunter. 5. Für \(n=13\) gilt \(K_A(13)\approx5874{,}13\,\text{€}\) und \(K_B(13)\approx5821{,}23\,\text{€}\). Daher überholt Vertrag A nach \(13\) vollen Jahren erstmals Vertrag B.

Antwort

a) Vertrag A: \(4637{,}10\,\text{€}\); Vertrag B: \(4968{,}36\,\text{€}\). b) Vertrag A: \(6231{,}87\,\text{€}\); Vertrag B: \(6056{,}41\,\text{€}\). Vertrag A ist höher. c) Nach \(13\) vollen Jahren.
42832710
In einem Naturschutzgebiet wird der Bestand einer bedrohten Vogelart aktuell auf \(1200\) Tiere geschätzt. a) Unter optimalen Bedingungen geht man von einem jährlichen Wachstum um \(6\,\%\) aus. Berechne die Anzahl der Vögel nach \(5\), \(10\) und \(15\) Jahren. b) Durch klimatische Veränderungen verlangsamt sich das Wachstum auf jährlich \(3{,}5\,\%\). Berechne die Bestandsgröße unter diesen Bedingungen ebenfalls nach \(5\), \(10\) und \(15\) Jahren. c) Wie groß ist der Unterschied zwischen den beiden Szenarien nach \(15\) Jahren? Runde Bestandsgrößen und den Unterschied auf ganze Tiere; runde erst am Ende der jeweiligen Rechnung.

Denkanstöße

- Bestimme für jedes Szenario zuerst den jährlichen Wachstumsfaktor. - Verwende für jede gefragte Zeit dieselbe Startpopulation, aber den jeweils passenden Faktor. - Berechne die Differenz in c) mit ungerundeten Modellwerten und runde erst danach.

Lösung

1. Die jährlichen Faktoren sind \(1{,}06\) und \(1{,}035\). 2. Szenario a) liefert nach \(5\), \(10\) und \(15\) Jahren ungefähr \(1606\), \(2149\) und \(2876\) Tiere. 3. Szenario b) liefert nach \(5\), \(10\) und \(15\) Jahren ungefähr \(1425\), \(1693\) und \(2010\) Tiere. 4. Für den Unterschied werden die ungerundeten Werte verwendet: \(1200\cdot1{,}06^{15}-1200\cdot1{,}035^{15}\approx865{,}45\). Gerundet beträgt der Unterschied \(865\) Tiere.

Antwort

a) Nach \(5\) Jahren \(1606\), nach \(10\) Jahren \(2149\), nach \(15\) Jahren \(2876\) Tiere. b) Nach \(5\) Jahren \(1425\), nach \(10\) Jahren \(1693\), nach \(15\) Jahren \(2010\) Tiere. c) \(865\) Tiere.
42832810
Ein Betrag von \(30\,000\,\text{€}\) wird als langfristige Anlage für die Altersvorsorge angelegt. a) Bank A bietet einen festen Zinssatz von \(3{,}2\,\%\) pro Jahr. Berechne das Kapital nach \(10\) und nach \(20\) Jahren. b) Bei Bank B liegt der Zinssatz bei \(2{,}1\,\%\) pro Jahr. Auf welchen Betrag wächst das Kapital dort nach \(10\) und nach \(20\) Jahren an? c) Welchen finanziellen Vorteil bietet Bank A gegenüber Bank B nach \(20\) Jahren? Runde Geldbeträge auf Cent.

Denkanstöße

- Bestimme für jede Bank den jährlichen Zinsfaktor. - Verwende für beide Banken denselben Startbetrag und dieselbe Laufzeit. - Für c) ist die Differenz der beiden ungerundeten Endwerte maßgeblich; runde den Geldbetrag am Ende.

Lösung

1. Die jährlichen Faktoren sind für Bank A \(1{,}032\) und für Bank B \(1{,}021\). 2. Für Bank A gilt \(K_A(10)=30\,000\cdot1{,}032^{10}\approx41\,107{,}23\,\text{€}\) und \(K_A(20)\approx56\,326{,}82\,\text{€}\). 3. Für Bank B gilt \(K_B(10)=30\,000\cdot1{,}021^{10}\approx36\,929{,}95\,\text{€}\) und \(K_B(20)\approx45\,460{,}70\,\text{€}\). 4. Der finanzielle Vorteil nach \(20\) Jahren beträgt \(56\,326{,}82\,\text{€}-45\,460{,}70\,\text{€}=10\,866{,}12\,\text{€}\).

Antwort

a) Nach \(10\) Jahren \(41\,107{,}23\,\text{€}\); nach \(20\) Jahren \(56\,326{,}82\,\text{€}\). b) Nach \(10\) Jahren \(36\,929{,}95\,\text{€}\); nach \(20\) Jahren \(45\,460{,}70\,\text{€}\). c) \(10\,866{,}12\,\text{€}\).
42834210
In einem See nimmt die Lichtintensität pro Meter Wassertiefe um \(12\,\%\) ab. a) Erkläre den Zusammenhang zwischen der prozentualen Abnahmerate und dem Abnahmefaktor \(q\) und gib \(q\) für dieses Beispiel an. b) An der Wasseroberfläche beträgt die Lichtintensität \(100\,\%\). Berechne die verbleibende Intensität in \(2\,\text{m}\), \(5\,\text{m}\) und \(10\,\text{m}\) Tiefe. Runde, falls nötig, auf zwei Dezimalstellen. c) Taucher Malik Aydin behauptet: „Wenn die Intensität pro Meter um \(12\,\%\) abnimmt, ist sie in \(5\,\text{m}\) Tiefe um insgesamt \(60\,\%\) gesunken.“ Nimm mathematisch Stellung zu dieser Aussage und runde Prozentwerte auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst, welcher Anteil der Lichtintensität pro Meter übrig bleibt. - Wiederholte prozentuale Änderungen beziehen sich immer auf den jeweils neuen Wert. - Vergleiche in c) den nach fünf Schritten verbleibenden Anteil mit dem Startwert.

Lösung

1. Bei einer Abnahme um \(p\,\%\) bleibt der Faktor \(q=1-\frac{p}{100}\). Hier ist \(q=0{,}88\). 2. Mit \(I(d)=100\,\%\cdot0{,}88^d\) erhält man \(I(2)=77{,}44\,\%\), \(I(5)\approx52{,}77\,\%\) und \(I(10)\approx27{,}85\,\%\). 3. Die Behauptung ist falsch, weil die \(12\,\%\) in jedem Schritt vom jeweils verbleibenden Wert abgezogen werden. Nach \(5\,\text{m}\) sind noch etwa \(52{,}77\,\%\) vorhanden; die gesamte Abnahme beträgt daher etwa \(47{,}23\,\%\), nicht \(60\,\%\).

Antwort

a) \(q=0{,}88\); der Faktor ist der nach jeder Stufe verbleibende Anteil. b) \(2\,\text{m}\): \(77{,}44\,\%\); \(5\,\text{m}\): \(52{,}77\,\%\); \(10\,\text{m}\): \(27{,}85\,\%\). c) Die Aussage ist falsch. Nach \(5\,\text{m}\) beträgt die gesamte Abnahme nur etwa \(47{,}23\,\%\).
42834810
In einem See breiten sich Algen aus. Die von Algen bedeckte Fläche vergrößert sich jede Woche um \(22\,\%\). Zu Beginn der Messung sind \(0{,}5\,\text{m}^2\) der Wasseroberfläche bedeckt. a) Stelle die Funktionsgleichung für die Fläche \(A(t)\) (in \(\text{m}^2\)) nach \(t\) Wochen auf. b) Welche Fläche ist nach 5 Wochen mit Algen bedeckt? Runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Unterscheide zwischen prozentualer Zunahme und dem Wachstumsfaktor. - Wie sieht die allgemeine Form einer Exponentialfunktion aus? - Setze den gegebenen Zeitwert in deine Funktionsgleichung ein.

Lösung

1. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(b\): Bei einer Zunahme von \(22\,\%\) ist \(b = 1 + 0{,}22 = 1{,}22\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung mit dem Anfangswert \(A_0 = 0{,}5\): \(A(t) = 0{,}5 \cdot 1{,}22^t\). 3. Berechnung der Fläche für \(t = 5\): \(A(5) = 0{,}5 \cdot 1{,}22^5\). 4. Berechnung des Werts: \(0{,}5 \cdot 2{,}7027\dots \approx 1{,}3513\dots\). 5. Gerundetes Endergebnis: \(1{,}35\,\text{m}^2\).

Antwort

a) \(A(t) = 0{,}5 \cdot 1{,}22^t\) b) Nach 5 Wochen sind ca. \(1{,}35\,\text{m}^2\) bedeckt.
42834910
Ein spezielles Filtersystem reduziert die Konzentration eines Schadstoffs im Abwasser pro Filterschicht um \(18\,\%\). a) Auf wie viel Prozent der ursprünglichen Konzentration ist der Schadstoffgehalt nach \(4\) Filterschichten gesunken? Runde auf eine Dezimalstelle. b) Bestimme den Abnahmefaktor für \(1\), \(2\) und \(5\) Filterschichten. Runde den Fünfschichtfaktor auf vier Dezimalstellen. c) Wie viele Filterschichten sind mindestens erforderlich, damit die Konzentration weniger als \(10\,\%\) des Ausgangswerts beträgt? Bestimme die Anzahl durch systematisches Probieren.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Anteil, der nach einer Schicht übrig bleibt. - Für mehrere Schichten wird derselbe Faktor mehrfach angewendet. - Prüfe für c) aufeinanderfolgende ganze Schichtzahlen in der Nähe der \(10\,\%\)-Grenze.

Lösung

1. Pro Schicht bleibt der Faktor \(q=1-0{,}18=0{,}82\). 2. Nach \(4\) Schichten beträgt der Restanteil \(0{,}82^4\approx0{,}4521\), also etwa \(45{,}2\,\%\). 3. Die Faktoren sind für \(1\) Schicht \(0{,}82\), für \(2\) Schichten \(0{,}82^2=0{,}6724\) und für \(5\) Schichten \(0{,}82^5\approx0{,}3707\). 4. Für \(11\) Schichten ist \(0{,}82^{11}\approx0{,}1127\), also noch mehr als \(10\,\%\). Für \(12\) Schichten ist \(0{,}82^{12}\approx0{,}0924\), also weniger als \(10\,\%\). Mindestens \(12\) Schichten sind erforderlich.

Antwort

a) \(45{,}2\,\%\). b) \(1\) Schicht: \(0{,}82\); \(2\) Schichten: \(0{,}6724\); \(5\) Schichten: \(0{,}3707\). c) Mindestens \(12\) Schichten.
42835910
Ein Kontrastmittel wird im Körper eines Patienten abgebaut. Unmittelbar nach der Injektion befinden sich \(120\,\text{mg}\) des Stoffes im Blut. Die Menge verringert sich stündlich um \(20\,\%\). a) Wie viel Kontrastmittel ist nach \(3\,\text{Stunden}\) noch im Blut vorhanden? b) Bestimme den Zerfallsfaktor für einen Zeitraum von \(4\,\text{Stunden}\). c) Nach wie vielen vollen Stunden ist die Menge zum ersten Mal geringer als ein Viertel der Anfangsmenge?

Denkanstöße

- Überlege zuerst, mit welchem Faktor die Menge jede Stunde multipliziert werden muss, wenn \(20\,\%\) verloren gehen. - Wie verändert sich dieser Faktor, wenn man den Vorgang mehrmals hintereinander betrachtet? - Ein Viertel der Anfangsmenge bedeutet, dass der Anteil der verbleibenden Menge \(0{,}25\) beträgt. - Du kannst die gesuchte Zeit durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner finden.

Lösung

1. Mit dem Anfangswert \(A_0 = 120\) und dem Abnahmefaktor \(q = 0{,}8\) gilt \(A(t) = 120 \cdot 0{,}8^t\). 2. Nach \(3\) Stunden: \(A(3) = 120 \cdot 0{,}8^3 = 61{,}44\,\text{mg}\). 3. Der Zerfallsfaktor für \(4\) Stunden beträgt \(0{,}8^4 = 0{,}4096\). 4. Ein Viertel der Anfangsmenge sind \(30\,\text{mg}\). Es gilt: \(A(6) = 120 \cdot 0{,}8^6 \approx 31{,}46\,\text{mg} > 30\,\text{mg}\), \(A(7) = 120 \cdot 0{,}8^7 \approx 25{,}17\,\text{mg} < 30\,\text{mg}\). Damit ist die Menge nach \(7\) Stunden erstmals geringer als ein Viertel der Anfangsmenge.

Antwort

a) Nach \(3\,\text{Stunden}\) sind noch \(61{,}44\,\text{mg}\) vorhanden. b) Der Zerfallsfaktor für \(4\,\text{Stunden}\) beträgt \(0{,}4096\). c) Nach \(7\,\text{Stunden}\) ist die Menge zum ersten Mal geringer als ein Viertel (\(30\,\text{mg}\)).
42836010
Ein künstlicher See ist mit einem Schadstoff belastet. Durch eine Filteranlage wird der Schadstoffgehalt pro Tag um \(12\,\%\) reduziert. Zu Beginn der Messung werden \(250\,\text{mg/l}\) festgestellt. a) Berechne den Schadstoffgehalt nach \(5\) Tagen. Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Gib den täglichen Zerfallsfaktor \(q\) sowie den Zerfallsfaktor für eine Woche an. Runde den Wochenfaktor auf vier Dezimalstellen. c) Umwelttechnikerin Lea Vogt behauptet: „Nach zwei Tagen ist der Gehalt um genau \(24\,\%\) gesunken.“ Zeige durch eine Rechnung, dass diese Aussage falsch ist. Gib die tatsächliche Reduktion auf zwei Dezimalstellen an.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den pro Tag verbleibenden Anteil. - Für eine Woche wird derselbe Tagesfaktor siebenmal angewendet. - Berechne in c) den verbleibenden Anteil nach zwei Tagen und vergleiche ihn mit dem Anfangswert.

Lösung

1. Der tägliche Zerfallsfaktor ist \(q=1-0{,}12=0{,}88\). 2. Nach \(5\) Tagen gilt \(250\cdot0{,}88^5\approx131{,}93\,\text{mg/l}\). 3. Der Wochenfaktor ist \(0{,}88^7\approx0{,}4087\). 4. Nach zwei Tagen beträgt der verbleibende Anteil \(0{,}88^2=0{,}7744\). Die tatsächliche Reduktion ist daher \((1-0{,}7744)\cdot100\,\%=22{,}56\,\%\). Die Behauptung ist falsch.

Antwort

a) \(131{,}93\,\text{mg/l}\). b) Täglich \(q=0{,}88\); für eine Woche \(0{,}4087\). c) Die tatsächliche Reduktion beträgt \(22{,}56\,\%\), nicht \(24\,\%\).
42836210
Ein Flummi wird aus einer Höhe von \(2{,}50\,\text{m}\) fallen gelassen. Bei jedem Aufprall auf den Boden erreicht er nur noch \(80\,\%\) der vorherigen Höhe. a) Berechne die Sprunghöhe nach dem \(3.\), \(4.\) und \(6.\) Aufprall. Gib die Ergebnisse in Metern und Zentimetern an. Runde, falls nötig, Meterwerte auf drei Dezimalstellen und Zentimeterwerte auf eine Dezimalstelle. b) Bestimme durch einen Überschlag die ungefähre Höhe nach dem \(10.\) Aufprall. Nutze hierfür die Näherung \(0{,}8^{10}\approx0{,}1\).

Denkanstöße

- Übersetze \(80\,\%\) in den Faktor, mit dem die Höhe nach jedem Aufprall multipliziert wird. - Verwende die Nummer des Aufpralls als Exponenten, wenn die Ausgangshöhe vor dem ersten Aufprall als Startwert gilt. - Rechne erst exakt und wandle anschließend zwischen Metern und Zentimetern um.

Lösung

1. Der Höhenfaktor pro Aufprall ist \(q=0{,}8\). Der Startwert ist \(2{,}50\,\text{m}=250\,\text{cm}\). 2. Nach dem \(3.\) Aufprall gilt \(250\cdot0{,}8^3=128\,\text{cm}=1{,}28\,\text{m}\). 3. Nach dem \(4.\) Aufprall gilt \(250\cdot0{,}8^4=102{,}4\,\text{cm}=1{,}024\,\text{m}\). 4. Nach dem \(6.\) Aufprall gilt \(250\cdot0{,}8^6=65{,}536\,\text{cm}\approx65{,}5\,\text{cm}\), entsprechend \(0{,}65536\,\text{m}\approx0{,}655\,\text{m}\). 5. Mit \(0{,}8^{10}\approx0{,}1\) ergibt sich für den \(10.\) Aufprall ungefähr \(2{,}50\,\text{m}\cdot0{,}1=0{,}25\,\text{m}=25\,\text{cm}\).

Antwort

a) \(3.\) Aufprall: \(1{,}28\,\text{m}\) beziehungsweise \(128\,\text{cm}\); \(4.\) Aufprall: \(1{,}024\,\text{m}\) beziehungsweise \(102{,}4\,\text{cm}\); \(6.\) Aufprall: \(0{,}655\,\text{m}\) beziehungsweise \(65{,}5\,\text{cm}\). b) Etwa \(0{,}25\,\text{m}\) beziehungsweise \(25\,\text{cm}\).
42836710
Gegeben ist die Exponentialfunktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x) = 5 \cdot 3^x\). Untersuche, wie sich der Funktionswert \(f(x)\) verändert, wenn die Stelle \(x\) variiert wird. Gib jeweils den Faktor an, mit dem der ursprüngliche Funktionswert multipliziert werden muss, wenn a) \(x\) um \(1\) vergrößert wird; b) \(x\) um \(4\) vergrößert wird; c) \(x\) um \(2\) verkleinert wird; d) \(x\) um \(0{,}5\) vergrößert wird.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie du den neuen Funktionswert \(f(x+h)\) mithilfe der Potenzgesetze umschreiben kannst. - Welcher Teil des Terms entspricht dem ursprünglichen \(f(x)\) und was bleibt als Faktor übrig? - Erinnere dich daran, was ein negativer Exponent oder ein Bruch als Exponent bedeutet.

Lösung

1. Für eine Zunahme von \(x\) um \(h\) gilt allgemein \(f(x+h) = 5 \cdot 3^{x+h} = 5 \cdot 3^x \cdot 3^h = f(x) \cdot 3^h\). Der Änderungsfaktor ist also \(3^h\). 2. Zu a): Bei \(h = 1\) ergibt sich der Faktor \(3^1 = 3\). 3. Zu b): Bei \(h = 4\) ergibt sich der Faktor \(3^4 = 81\). 4. Zu c): Bei einer Verkleinerung um \(2\) ist \(h = -2\). Der Faktor ist \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). 5. Zu d): Bei \(h = 0{,}5\) ergibt sich der Faktor \(3^{0{,}5} = \sqrt{3} \approx 1{,}732\).

Antwort

a) Faktor \(3\) b) Faktor \(81\) c) Faktor \(\frac{1}{9}\) d) Faktor \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\)
42836810
Der Bestand einer Algenkultur wächst exponentiell und lässt sich durch die Funktion \(A(t) = A_0 \cdot 1{,}15^t\) beschreiben, wobei \(t\) die Zeit in Tagen angibt. Bestimme die prozentuale Änderung des Bestandes, wenn a) die Zeit \(t\) um genau einen Tag zunimmt; b) die Zeit \(t\) um zwei Tage zunimmt; c) die Zeit \(t\) um einen halben Tag zunimmt. Runde deine Ergebnisse, falls nötig, auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Wie hängt der Wachstumsfaktor in der Funktionsgleichung mit der täglichen prozentualen Zunahme zusammen? - Wenn zwei Tage vergehen, wird der Wachstumsfaktor zweimal angewendet. Wie berechnet man das? - Ein halber Tag entspricht dem Exponenten \(0{,}5\). Wie kannst du diesen Faktor berechnen?

Lösung

1. Die prozentuale Änderung berechnet sich aus dem Wachstumsfaktor \(q = 1{,}15^h\), wobei \(h\) die Zeitdifferenz ist. Die Änderung in Prozent ist \((q - 1) \cdot 100\,\%\). 2. Zu a): Für \(h = 1\) ist der Faktor \(1{,}15^1 = 1{,}15\). Dies entspricht einer Zunahme von \(15\,\%\). 3. Zu b): Für \(h = 2\) ist der Faktor \(1{,}15^2 = 1{,}3225\). Dies entspricht einer Zunahme von \(32{,}25\,\%\), gerundet \(32{,}3\,\%\). 4. Zu c): Für \(h = 0{,}5\) ist der Faktor \(1{,}15^{0{,}5} = \sqrt{1{,}15} \approx 1{,}07238\). Dies entspricht einer Zunahme von ca. \(7{,}2\,\%\).

Antwort

a) Zunahme um \(15\,\%\) b) Zunahme um ca. \(32{,}3\,\%\) c) Zunahme um ca. \(7{,}2\,\%\)
42837510
Betrachte die Exponentialfunktion \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x) = 4^x\). 1. Berechne das Verhältnis der Funktionswerte \(\frac{f(x+1)}{f(x)}\) für die Stellen \(x = 0\) und \(x = 2\). Was stellst du fest? 2. Bestimme den Faktor, mit dem ein beliebiger Funktionswert \(f(x)\) multipliziert werden muss, wenn das Argument \(x\) um die Schrittweite \(s = 1{,}5\) erhöht wird. 3. Ermittle die Schrittweite \(s\), bei der sich der Funktionswert genau um den Faktor \(32\) vergrößert. 4. Vervollständige den folgenden Satz allgemein für Funktionen der Form \(f(x) = a^x\): „Wenn das Argument \(x\) um eine beliebige Schrittweite \(s\) zunimmt, so wird der zugehörige Funktionswert immer mit dem Faktor ... multipliziert.“

Denkanstöße

- Überlege dir, wie man das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Werte berechnet. - Erinnere dich an die Potenzgesetze, insbesondere wie man Potenzen mit rationalen Exponenten (wie \(0{,}5\)) als Wurzeln schreiben kann. - Wenn du eine Gleichung wie \(4^s = 32\) lösen möchtest, hilft es oft, beide Zahlen als Potenzen derselben Grundzahl (Basis) darzustellen. - Was passiert mit dem Exponenten in der Funktionsgleichung, wenn du \(x\) durch \(x+s\) ersetzt?

Lösung

1. Für \(x = 0\) ergibt sich \(\frac{f(1)}{f(0)} = \frac{4^1}{4^0} = \frac{4}{1} = 4\). Für \(x = 2\) ergibt sich \(\frac{f(3)}{f(2)} = \frac{4^3}{4^2} = \frac{64}{16} = 4\). Das Verhältnis ist konstant und entspricht der Basis der Funktion. 2. Bei einer Erhöhung um \(s = 1{,}5\) wird der Funktionswert mit \(4^{1{,}5}\) multipliziert. Da \(4^{1{,}5} = 4^1 \cdot 4^{0{,}5} = 4 \cdot \sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8\), beträgt der Faktor \(8\). 3. Gesucht ist \(s\) mit \(4^s = 32\). Durch Umschreiben zur Basis \(2\) erhält man \((2^2)^s = 2^5\), also \(2^{2s} = 2^5\). Der Exponentenvergleich liefert \(2s = 5\), woraus \(s = 2{,}5\) folgt. 4. Der allgemeine Wachstumsfaktor für eine Schrittweite \(s\) lautet \(a^s\).

Antwort

1. Das Verhältnis ist in beiden Fällen \(4\). 2. Der Faktor ist \(8\). 3. Die Schrittweite beträgt \(s = 2{,}5\). 4. Der Faktor lautet \(a^s\).
42837610
In einem Forstbestand nimmt die Anzahl der Tannen aufgrund einer Umweltbelastung jährlich um \(10\,\%\) ab. 1. Gib den Abnahmefaktor \(q\) für den Zeitraum von einem Jahr an. 2. Berechne, welcher Prozentsatz des ursprünglichen Bestands nach \(5\) Jahren noch vorhanden ist. Runde auf zwei Dezimalstellen. 3. Bestimme den Faktor, der die Bestandsänderung nach insgesamt \(10\) Jahren beschreibt. Runde auf vier Dezimalstellen. 4. Förster Tobias Neumann behauptet: „Wenn der Bestand nach \(5\) Jahren um einen gewissen Prozentsatz gesunken ist, dann muss der prozentuale Verlust nach \(10\) Jahren genau doppelt so hoch sein.“ Prüfe diese Aussage rechnerisch. Runde Prozentwerte auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Anteil, der nach jedem Jahr übrig bleibt. - Unterscheide zwischen verbleibendem Anteil und verlorenem Anteil. - Vergleiche in 4. die beiden gesamten Verluste, nicht die jährliche Abnahmerate.

Lösung

1. Eine Abnahme um \(10\,\%\) entspricht dem Faktor \(q=0{,}9\). 2. Nach \(5\) Jahren ist der Faktor \(0{,}9^5=0{,}59049\). Damit sind noch \(59{,}05\,\%\) des Anfangsbestands vorhanden. 3. Nach \(10\) Jahren ist der Faktor \(0{,}9^{10}=0{,}3486784401\approx0{,}3487\). 4. Nach \(5\) Jahren beträgt der Verlust \(100\,\%-59{,}05\,\%=40{,}95\,\%\). Nach \(10\) Jahren sind noch etwa \(34{,}87\,\%\) vorhanden, also beträgt der Verlust \(65{,}13\,\%\). Das ist nicht das Doppelte von \(40{,}95\,\%\); die Behauptung ist falsch.

Antwort

1. \(q=0{,}9\). 2. \(59{,}05\,\%\). 3. \(0{,}3487\). 4. Die Behauptung ist falsch: Verlust nach \(5\) Jahren \(40{,}95\,\%\), nach \(10\) Jahren \(65{,}13\,\%\).
42838310
Gegeben ist die Exponentialfunktion \(f(x) = 1{,}44^x\). Bestimme die prozentuale Änderung des Funktionswertes \(f(x)\), wenn das Argument \(x\) a) um \(0{,}5\) vergrößert wird; b) um \(2\) vergrößert wird; c) um \(1\) verringert wird (Runde auf eine Dezimalstelle).

Denkanstöße

- Überlege dir, welche Rechenregel für Potenzen gilt, wenn man im Exponenten zwei Zahlen addiert. - Wenn ein Wert mit dem Faktor \(n\) multipliziert wird, wie berechnest du daraus die prozentuale Steigerung oder Abnahme? - Ein Exponent von \(0{,}5\) ist das Gleiche wie das Ziehen einer Quadratwurzel. - Eine Verringerung von \(x\) bedeutet, dass du eine negative Zahl für die Änderung einsetzt.

Lösung

1. Für die Änderung des Funktionswertes bei einer Addition von \(k\) zum Argument \(x\) gilt allgemein: \(f(x+k) = a^{x+k} = a^k \cdot a^x = a^k \cdot f(x)\). Der Faktor, um den sich der Wert ändert, ist also \(1{,}44^k\). 2. Zu a): Für \(k = 0{,}5\) ergibt sich der Faktor \(1{,}44^{0{,}5} = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2\). Dies entspricht einer Zunahme von \(20\,\%\). 3. Zu b): Für \(k = 2\) ergibt sich der Faktor \(1{,}44^2 = 2{,}0736\). Dies entspricht einer Zunahme von \(107{,}36\,\%\). 4. Zu c): Für \(k = -1\) ergibt sich der Faktor \(1{,}44^{-1} = \frac{1}{1{,}44} \approx 0{,}6944\). Die prozentuale Änderung berechnet sich durch \(0{,}6944 - 1 = -0{,}3056\), was einer Abnahme von ca. \(30{,}6\,\%\) entspricht.

Antwort

a) Der Funktionswert nimmt um \(20\,\%\) zu. b) Der Funktionswert nimmt um \(107{,}36\,\%\) zu. c) Der Funktionswert nimmt um ca. \(30{,}6\,\%\) ab.
42839110
Gegeben ist eine Exponentialfunktion der Form \(f(x)=ca^x\) mit \(c\neq0\), \(a>0\) und \(a\neq1\). 1. Zeige allgemein, dass das Verhältnis \(\frac{f(x-4)}{f(x)}\) unabhängig von \(x\) ist, und drücke diesen konstanten Wert mithilfe des Wachstumsfaktors \(a\) aus. 2. Berechne diesen Wert für \(a=0{,}8\).

Denkanstöße

- Setze die Funktionsvorschrift sowohl für \(f(x-4)\) als auch für \(f(x)\) in den Quotienten ein. - Prüfe vor dem Kürzen, welche angegebenen Bedingungen sicherstellen, dass der Nenner nicht \(0\) ist. - Vereinfache anschließend nur mit Potenzgesetzen und beobachte, ob \(x\) im Ergebnis noch vorkommt.

Lösung

1. Einsetzen ergibt \(\frac{f(x-4)}{f(x)}=\frac{ca^{x-4}}{ca^x}\). Wegen \(c\neq0\) und \(a>0\) ist der Nenner ungleich \(0\), sodass gekürzt werden darf. 2. Mit den Potenzgesetzen folgt \(\frac{a^{x-4}}{a^x}=a^{-4}=\frac{1}{a^4}\). Dieser Ausdruck enthält kein \(x\) und ist daher konstant. 3. Für \(a=0{,}8\) ist \(0{,}8^{-4}=\frac{1}{0{,}8^4}=\frac{1}{0{,}4096}=2{,}44140625\).

Antwort

1. \(\frac{f(x-4)}{f(x)}=a^{-4}=\frac{1}{a^4}\). 2. \(2{,}44140625\).
42839210
Bei einem exponentiellen Prozess vervierfacht sich der Bestand \(f(t)\), wenn die Zeit \(t\) um \(2\) Einheiten zunimmt. Stelle eine Gleichung auf, die den Bestand zum Zeitpunkt \(t-2\) allein mithilfe des Bestands zum Zeitpunkt \(t\) ausdrückt. Bestimme dabei den konkreten Zahlenfaktor.

Denkanstöße

- Wenn eine Erhöhung um einen bestimmten Wert einer Multiplikation entspricht, welcher Operation entspricht dann eine Verminderung? - Du musst den Wachstumsfaktor \(a\) nicht unbedingt einzeln ausrechnen, um das Problem zu lösen. - Wie hängen die Faktoren für einen Schritt vorwärts und einen Schritt rückwärts zusammen? - Kannst du den Zusammenhang zwischen \(f(t)\) und \(f(t+2)\) als Gleichung aufschreiben?

Lösung

1. Aus der Information, dass sich der Bestand bei einer Zunahme von \(t\) um \(2\) vervierfacht, folgt für den Wachstumsfaktor \(a\): \(f(t+2) = f(t) \cdot a^2 = 4 \cdot f(t)\). Daraus ergibt sich direkt \(a^2 = 4\). 2. Für eine Verminderung der Zeit um \(2\) Einheiten gilt bei Exponentialfunktionen: \(f(t-2) = f(t) \cdot a^{-2} = f(t) \cdot \frac{1}{a^2}\). 3. Durch Einsetzen von \(a^2 = 4\) in die Beziehung für den verminderten Zeitpunkt erhält man: \(f(t-2) = f(t) \cdot \frac{1}{4} = 0{,}25 \cdot f(t)\).

Antwort

\(f(t-2) = 0{,}25 \cdot f(t)\)
42839610
Gegeben ist die Funktion \(h\) mit \(h(x) = 5 \cdot 2^{-3x}\). Man vergrößert das Argument \(x\) schrittweise um jeweils \(\frac{1}{3}\). Bestimme den Faktor, mit dem der Funktionswert in jedem Schritt multipliziert wird.

Denkanstöße

- Setze für \(x\) den Term \(x + \frac{1}{3}\) in die Klammer im Exponenten ein. - Achte beim Auflösen der Klammer im Exponenten besonders auf das Vorzeichen und den Faktor vor dem \(x\). - Wie lässt sich eine negative Potenz wie \(2^{-1}\) als Bruch oder Dezimalzahl schreiben? - Was bleibt übrig, wenn du den neuen Funktionsterm durch den alten teilst?

Lösung

1. Einsetzen des neuen Arguments \(x + \frac{1}{3}\) in die Funktionsgleichung: \(h(x + \frac{1}{3}) = 5 \cdot 2^{-3(x + \frac{1}{3})}\). 2. Vereinfachung des Exponenten durch Ausmultiplizieren: \(-3x - 3 \cdot \frac{1}{3} = -3x - 1\). 3. Anwendung der Potenzgesetze zur Trennung der Terme: \(5 \cdot 2^{-3x} \cdot 2^{-1}\). 4. Identifikation des Faktors als \(2^{-1}\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(2^{-1} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

Antwort

\(0{,}5\)
42839810
Der Bestand einer geschützten Pflanzenart in einem Biotop wächst so, dass er sich jedes Jahr um den Faktor \(1{,}4\) vergrößert. Zu Beginn der Zählung sind \(250\) Pflanzen vorhanden. Bestimme die Funktionsgleichung für den Bestand \(B(t)\) nach \(t\) Jahren. Wie viele Pflanzen sind nach 5 Jahren und wie viele nach 10 Jahren vorhanden? Runde dein Ergebnis sinnvoll auf ganze Pflanzen.

Denkanstöße

- Identifiziere den Startwert und den Faktor, mit dem der Bestand pro Zeitschritt multipliziert wird. - Setze die gesuchten Zeitpunkte für die Variable in deine Funktionsgleichung ein. - Da es sich um Lebewesen handelt, solltest du das Endergebnis auf ganze Zahlen runden.

Lösung

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Mit dem Anfangswert \(B(0) = 250\) und dem Wachstumsfaktor \(q = 1{,}4\) ergibt sich die Gleichung \(B(t) = 250 \cdot 1{,}4^t\). 2. Berechnung für \(t = 5\): \(B(5) = 250 \cdot 1{,}4^5 = 250 \cdot 5{,}37824 = 1344{,}56\). Gerundet sind dies ca. \(1345\) Pflanzen. 3. Berechnung für \(t = 10\): \(B(10) = 250 \cdot 1{,}4^{10} \approx 250 \cdot 28{,}925465 = 7231{,}366\). Gerundet sind dies ca. \(7231\) Pflanzen.

Antwort

Die Funktionsgleichung lautet \(B(t) = 250 \cdot 1{,}4^t\). Nach 5 Jahren sind etwa \(1345\) Pflanzen vorhanden, nach 10 Jahren sind es etwa \(7231\) Pflanzen.
41493110
Das Wachstum einer Bakterienkultur unter idealen Bedingungen wird durch \(N_t=N_0q^t\) beschrieben. Dabei ist \(N_0\) die Anfangsanzahl, \(t\) die Zeit in Stunden und \(q\) der stündliche Wachstumsfaktor. In einem Experiment erhöht sich die Anzahl der Bakterien innerhalb von \(5\) Stunden von \(1200\) auf \(10\,000\). a) Berechne den Wachstumsfaktor \(q\) auf drei Nachkommastellen genau. b) Ermittle die stündliche Zuwachsrate in Prozent und runde sie auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Vergleiche Endwert und Anfangswert, um den Gesamtfaktor über die \(5\) Stunden zu erhalten. - Welcher stündliche Faktor ergibt nach fünf gleichen Schritten diesen Gesamtfaktor? - Für die Prozentangabe interessiert der Anteil des Faktors, der über \(1\) hinausgeht.

Lösung

1. Aus \(10\,000=1200q^5\) folgt \(q^5=10\,000:1200=\frac{25}{3}\). 2. Daher ist \(q=\sqrt[5]{\frac{25}{3}}\approx1{,}528\). 3. Die prozentuale Zuwachsrate ergibt sich aus \((q-1)\cdot100\,\%\). Mit dem ungerundeten Faktor erhält man etwa \(52{,}814\,\%\), also gerundet \(52{,}8\,\%\).

Antwort

a) \(q\approx1{,}528\). b) \(52{,}8\,\%\) pro Stunde.
41493410
Ein quadratisches Bild wird in vier aufeinanderfolgenden Schritten verkleinert. In jedem Schritt wird der aktuelle Flächeninhalt mit demselben Faktor \(k\) multipliziert. Der ursprüngliche Flächeninhalt beträgt \(2500\,\text{cm}^2\). Nach dem vierten Verkleinerungsschritt beträgt der Flächeninhalt nur noch \(400\,\text{cm}^2\). a) Bestimme den Faktor \(k\). Runde das Ergebnis auf vier Dezimalstellen. b) Welchen Flächeninhalt hatte das Bild nach dem zweiten Verkleinerungsschritt?

Denkanstöße

- Welche Gleichung beschreibt eine wiederholte Multiplikation mit demselben Faktor? - Wie kannst du eine vierte Wurzel ziehen, wenn dein Taschenrechner nur eine Quadratwurzeltaste hat? - Musst du für Teilaufgabe b) den gerundeten Wert von \(k\) verwenden oder gibt es einen exakteren Weg über \(k^2\)?

Lösung

1. Aufstellen der Gleichung für den Flächeninhalt nach vier Schritten: \(A_4 = A_0 k^4\). 2. Einsetzen der Werte: \(400 = 2500 \cdot k^4\). 3. Auflösen nach \(k^4\): \(k^4 = \frac{400}{2500} = \frac{4}{25} = 0{,}16\). 4. Berechnen von \(k\): \(k = \sqrt[4]{0{,}16} = \sqrt{\sqrt{0{,}16}} = \sqrt{0{,}4} \approx 0{,}6325\). 5. Berechnung des Flächeninhalts nach dem zweiten Schritt: \(A_2 = A_0 k^2\). 6. Da \(k^2 = \sqrt{0{,}16} = 0{,}4\), folgt: \(A_2 = 2500 \cdot 0{,}4 = 1000\,\text{cm}^2\).

Antwort

a) Der Faktor beträgt \(k \approx 0{,}6325\). b) Nach dem zweiten Schritt betrug der Flächeninhalt \(1000\,\text{cm}^2\).
42829610
Der Wert eines seltenen Sammlerstücks steigt jährlich um \(6\,\%\). Der Anfangswert beträgt \(500\,\text{€}\). Die Wertentwicklung lässt sich durch eine Funktion der Form \(W(t)=W_0q^t\) beschreiben, wobei \(t\) in Jahren gemessen wird. a) Gib die Funktionsgleichung an und bestimme den Faktor, um den der Wert nach \(2\), \(5\) und \(10\) Jahren gegenüber dem Anfangswert gestiegen ist. Runde nicht exakt endende Faktoren auf vier Dezimalstellen. b) Berechne den Wert des Sammlerstücks nach \(3\) Monaten sowie nach \(1{,}5\) Jahren. Runde auf Cent.

Denkanstöße

- Übersetze die jährliche prozentuale Zunahme in einen Wachstumsfaktor. - Der Faktor für mehrere Jahre hängt nur von der Zeitspanne ab und ist eine Potenz des Jahresfaktors. - Wandle Monate in Jahre um, bevor du sie als Exponenten einsetzt.

Lösung

1. Bei einer jährlichen Zunahme von \(6\,\%\) ist \(q=1{,}06\). Damit gilt \(W(t)=500\cdot1{,}06^t\). 2. Nach \(2\) Jahren beträgt der Gesamtfaktor \(1{,}06^2=1{,}1236\). 3. Nach \(5\) Jahren beträgt er \(1{,}06^5\approx1{,}3382\), nach \(10\) Jahren \(1{,}06^{10}\approx1{,}7908\). 4. Drei Monate entsprechen \(t=\frac{3}{12}=0{,}25\) Jahren. Daher ist \(W(0{,}25)=500\cdot1{,}06^{0{,}25}\approx507{,}34\,\text{€}\). 5. Für \(t=1{,}5\) gilt \(W(1{,}5)=500\cdot1{,}06^{1{,}5}\approx545{,}67\,\text{€}\).

Antwort

a) \(W(t)=500\cdot1{,}06^t\). Faktoren: nach \(2\) Jahren \(1{,}1236\), nach \(5\) Jahren \(1{,}3382\), nach \(10\) Jahren \(1{,}7908\). b) Nach \(3\) Monaten \(507{,}34\,\text{€}\); nach \(1{,}5\) Jahren \(545{,}67\,\text{€}\).
42835010
Der Luftdruck nimmt in der Erdatmosphäre mit zunehmender Höhe näherungsweise exponentiell ab. Pro \(1000\,\text{m}\) Höhenzunahme sinkt der Luftdruck um etwa \(12\,\%\). a) Wie viel Prozent des Luftdrucks auf Meereshöhe sind in \(3000\,\text{m}\) Höhe noch vorhanden? Runde auf eine Dezimalstelle. b) Gib den Abnahmefaktor für eine Höhendifferenz von \(1000\,\text{m}\), \(500\,\text{m}\) und \(5000\,\text{m}\) an. Runde nicht exakt endende Faktoren auf drei Dezimalstellen. c) In welcher Höhe hat sich der Luftdruck gegenüber dem Wert auf Meereshöhe näherungsweise halbiert? Bestimme die Höhe durch Probieren und gib sie auf \(0{,}1\,\text{km}\) genau an.

Denkanstöße

- Betrachte Höhen in Einheiten von \(1000\,\text{m}\), damit der gegebene Faktor direkt verwendet werden kann. - Für eine halbe Höheneinheit brauchst du einen Faktor, dessen Quadrat \(0{,}88\) ergibt. - Prüfe für c) mehrere Höhenwerte in der Nähe von \(5\) bis \(6\,\text{km}\) und vergleiche den verbleibenden Anteil mit \(0{,}5\).

Lösung

1. Pro \(1000\,\text{m}\) bleibt der Faktor \(q=0{,}88\). 2. In \(3000\,\text{m}\) Höhe beträgt der Restanteil \(0{,}88^3=0{,}681472\), also etwa \(68{,}1\,\%\). 3. Für \(1000\,\text{m}\) ist der Faktor \(0{,}88\). Für \(500\,\text{m}\) ist er \(\sqrt{0{,}88}\approx0{,}938\). Für \(5000\,\text{m}\) ist er \(0{,}88^5\approx0{,}528\). 4. Für \(5{,}4\,\text{km}\) gilt \(0{,}88^{5{,}4}\approx0{,}5014\), also nahezu die Hälfte. Für \(5{,}5\,\text{km}\) liegt der Anteil bereits bei etwa \(0{,}4951\). Auf \(0{,}1\,\text{km}\) genau liegt die Halbwertshöhe daher bei etwa \(5{,}4\,\text{km}\).

Antwort

a) \(68{,}1\,\%\). b) \(1000\,\text{m}\): \(0{,}88\); \(500\,\text{m}\): \(0{,}938\); \(5000\,\text{m}\): \(0{,}528\). c) Etwa \(5{,}4\,\text{km}\), also etwa \(5400\,\text{m}\).
42835310
Ein heißer Kakao wird mit einer Temperatur von \(80\,\text{°C}\) in einen Raum gestellt, in dem konstant \(20\,\text{°C}\) herrschen. Der Temperaturunterschied zwischen Getränk und Umgebung nimmt pro Minute um \(12\,\%\) ab. a) Bestimme die Funktionsgleichung \(f(x)\), die den Temperaturunterschied in Abhängigkeit von der Zeit \(x\) in Minuten beschreibt. b) Berechne den Temperaturunterschied nach \(5\) und nach \(15\) Minuten. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Welche Temperatur hat der Kakao nach \(10\) Minuten? Runde auf zwei Dezimalstellen. d) Bei Messungen zu vollen Minuten: Nach wie vielen Minuten ist der Temperaturunterschied erstmals kleiner als \(5\,\text{°C}\)? Bestimme den Wert durch Probieren.

Denkanstöße

- Modelliert wird zunächst nur der Temperaturunterschied zur Umgebung. - Für die tatsächliche Kakaotemperatur muss die Raumtemperatur zum verbleibenden Unterschied addiert werden. - Prüfe für d) aufeinanderfolgende ganze Minuten in der Nähe der \(5\,\text{°C}\)-Grenze.

Lösung

1. Der Anfangsunterschied ist \(80\,\text{°C}-20\,\text{°C}=60\,\text{°C}\). Mit dem Faktor \(0{,}88\) gilt \(f(x)=60\cdot0{,}88^x\). 2. Es ist \(f(5)\approx31{,}66\,\text{°C}\) und \(f(15)\approx8{,}82\,\text{°C}\). 3. Nach \(10\) Minuten beträgt der Unterschied \(f(10)\approx16{,}71\,\text{°C}\). Die Temperatur ist daher \(20\,\text{°C}+16{,}71\,\text{°C}=36{,}71\,\text{°C}\). 4. Für \(19\) Minuten ist \(f(19)\approx5{,}29\,\text{°C}\) und damit noch größer als \(5\,\text{°C}\). Für \(20\) Minuten ist \(f(20)\approx4{,}65\,\text{°C}\). Die Grenze wird bei vollen Minuten erstmals nach \(20\) Minuten unterschritten.

Antwort

a) \(f(x)=60\cdot0{,}88^x\). b) Nach \(5\) Minuten \(31{,}66\,\text{°C}\); nach \(15\) Minuten \(8{,}82\,\text{°C}\). c) \(36{,}71\,\text{°C}\). d) Nach \(20\) vollen Minuten.
42835710
Ein Medikament wird im menschlichen Körper abgebaut. Nach der Einnahme einer Tablette mit \(400\,\text{mg}\) Wirkstoff sinkt die Menge im Blut stündlich um etwa \(15\,\%\). a) Berechne die im Blut vorhandene Wirkstoffmenge nach \(2\), \(5\) und \(10\) Stunden. Runde, falls nötig, auf zwei Dezimalstellen. b) Nach wie vielen Stunden ist die Menge auf \(100\,\text{mg}\) gesunken? Löse die Exponentialgleichung mithilfe von Logarithmen und runde auf zwei Dezimalstellen. c) Nach welcher Zeit ist nur noch ein Zehntel der Anfangsdosis im Blut nachweisbar? Löse mithilfe von Logarithmen und runde auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Stelle zuerst das Zerfallsmodell aus Anfangsmenge und stündlichem Restfaktor auf. - Bei b) und c) liegt die gesuchte Zeit im Exponenten; isoliere zunächst die Potenz. - Verwende anschließend Logarithmen, um den Exponenten zu bestimmen, und runde erst das Endergebnis.

Lösung

1. Der stündliche Abnahmefaktor ist \(0{,}85\), also \(W(t)=400\cdot0{,}85^t\). 2. Es gilt \(W(2)=289\,\text{mg}\), \(W(5)\approx177{,}48\,\text{mg}\) und \(W(10)\approx78{,}75\,\text{mg}\). 3. Aus \(400\cdot0{,}85^t=100\) folgt \(0{,}85^t=0{,}25\). Damit ist \(t=\frac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}85)}\approx8{,}53\) Stunden. 4. Ein Zehntel der Anfangsdosis sind \(40\,\text{mg}\). Aus \(0{,}85^t=0{,}1\) folgt \(t=\frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}85)}\approx14{,}17\) Stunden.

Antwort

a) Nach \(2\) Stunden \(289\,\text{mg}\); nach \(5\) Stunden \(177{,}48\,\text{mg}\); nach \(10\) Stunden \(78{,}75\,\text{mg}\). b) \(8{,}53\) Stunden. c) \(14{,}17\) Stunden.
42837210
Betrachte die Funktion \(g\) mit \(g(x) = 100 \cdot 0{,}8^x\). Bestimme die prozentuale Veränderung des Funktionswerts, wenn das Argument \(x\): (1) um 1 vergrößert wird; (2) um 2 vergrößert wird; (3) um 1 verkleinert wird; (4) um \(0{,}5\) vergrößert wird. Runde die Prozentsätze gegebenenfalls auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Wie hängt der Wachstumsfaktor mit der prozentualen Zunahme oder Abnahme zusammen? - Wenn der Faktor kleiner als 1 ist, handelt es sich um eine Abnahme. - Überlege, wie du den Faktor für einen negativen Schritt oder einen halben Schritt berechnest. - Die Formel für den neuen Wert lautet \(g(x+h) = g(x) \cdot 0{,}8^h\).

Lösung

1. Der Änderungsfaktor für einen Schritt der Länge \(h\) beträgt \(0{,}8^h\). Die prozentuale Änderung berechnet sich durch \((0{,}8^h - 1) \cdot 100\,\%\). 2. Schrittweite \(h = 1\): \(0{,}8^1 = 0{,}8\). Änderung: \((0{,}8 - 1) \cdot 100\,\% = -20\,\%\). 3. Schrittweite \(h = 2\): \(0{,}8^2 = 0{,}64\). Änderung: \((0{,}64 - 1) \cdot 100\,\% = -36\,\%\). 4. Schrittweite \(h = -1\): \(0{,}8^{-1} = 1{,}25\). Änderung: \((1{,}25 - 1) \cdot 100\,\% = +25\,\%\). 5. Schrittweite \(h = 0{,}5\): \(0{,}8^{0{,}5} \approx 0{,}8944\). Änderung: \((0{,}8944 - 1) \cdot 100\,\% \approx -10{,}6\,\%\).

Antwort

(1) Abnahme um \(20\,\%\) (2) Abnahme um \(36\,\%\) (3) Zunahme um \(25\,\%\) (4) Abnahme um ca. \(10{,}6\,\%\)
42838410
Betrachte die Funktion \(g(x) = 0{,}75^x\). a) Um welchen Faktor ändert sich der Funktionswert, wenn man \(x\) um \(2\) vergrößert? b) Um wie viel Prozent nimmt der Funktionswert ab, wenn man \(x\) um \(3\) vergrößert? c) Wie verändert sich der Funktionswert \(y\), wenn man das Argument \(x\) verdoppelt? Gib einen allgemeinen Ausdruck in Abhängigkeit von \(y\) an.

Denkanstöße

- Der Wachstums- oder Zerfallsfaktor pro Schritt \(x\) ist die Basis der Funktion. Wie wirkt sich das auf mehrere Schritte aus? - Erinnere dich: Eine Multiplikation mit einem Faktor kleiner als 1 bedeutet eine prozentuale Abnahme. Wie rechnet man das um? - Für den letzten Aufgabenteil hilft das Potenzgesetz \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\).

Lösung

1. Zu a): Bei einer Erhöhung von \(x\) um \(2\) wird der Funktionswert mit dem Faktor \(0{,}75^2\) multipliziert. Berechnung: \(0{,}75^2 = 0{,}5625\). 2. Zu b): Bei einer Erhöhung von \(x\) um \(3\) wird der Wert mit \(0{,}75^3\) multipliziert. Berechnung: \(0{,}75^3 = 0{,}421875\). Die prozentuale Abnahme ist \(1 - 0{,}421875 = 0{,}578125\), also ca. \(57{,}81\,\%\). 3. Zu c): Wird \(x\) verdoppelt, betrachten wir \(g(2x) = 0{,}75^{2x}\). Nach den Potenzgesetzen gilt \(0{,}75^{2x} = (0{,}75^x)^2\). Da \(y = 0{,}75^x\) ist, gilt \(g(2x) = y^2\). Der Funktionswert wird also quadriert.

Antwort

a) Der Funktionswert ändert sich um den Faktor \(0{,}5625\). b) Der Funktionswert nimmt um \(57{,}8125\,\%\) ab. c) Der Funktionswert wird quadriert (\(y_{neu} = y^2\)).
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Ein biologischer Bestand von anfänglich \(250\) Individuen vermehrt sich stündlich um \(12\,\%\). a) Stelle die Funktionsgleichung für den Bestand \(B(t)\) nach \(t\) Stunden auf. b) Berechne die Bestandsgrößen für \(t=1\), \(t=3{,}5\), \(t=8\) und \(t=12{,}5\). Runde die modellierten Bestände auf ganze Individuen. c) Ermittle mithilfe von Logarithmen, nach wie vielen Stunden der Bestand \(400\), \(1000\) beziehungsweise \(2500\) Individuen erreicht. Runde die Zeiten auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Bestimme aus der prozentualen Zunahme zuerst den stündlichen Faktor. - In c) liegt die gesuchte Zeit im Exponenten; isoliere zunächst die Potenz. - Nutze anschließend Logarithmen, um den Exponenten zu bestimmen, und runde erst die fertigen Zeitwerte.

Lösung

1. Der stündliche Wachstumsfaktor ist \(1{,}12\). Damit gilt \(B(t)=250\cdot1{,}12^t\). 2. Es ist \(B(1)=280\), \(B(3{,}5)\approx371{,}71\approx372\), \(B(8)\approx618{,}99\approx619\) und \(B(12{,}5)\approx1030{,}78\approx1031\). 3. Für einen Zielbestand \(y\) gilt \(250\cdot1{,}12^t=y\), also \(t=\frac{\lg(y:250)}{\lg(1{,}12)}\). 4. Für \(y=400\) ergibt sich \(t\approx4{,}15\), für \(y=1000\) \(t\approx12{,}23\) und für \(y=2500\) \(t\approx20{,}32\) Stunden.

Antwort

a) \(B(t)=250\cdot1{,}12^t\). b) \(280\), \(372\), \(619\) und \(1031\) Individuen. c) \(400\) Individuen nach \(4{,}15\) Stunden; \(1000\) nach \(12{,}23\) Stunden; \(2500\) nach \(20{,}32\) Stunden.

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