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- Suche in der Tabelle nach zwei aufeinanderfolgenden Werten, bei denen der zweite genau halb so groß ist wie der erste. - Wie viel Zeit liegt zwischen diesen beiden Messungen?

1. Die Wirkstoffmenge halbiert sich von \(80\,\text{mg}\) auf \(40\,\text{mg}\) in \(4\) Stunden. Dasselbe Muster zeigt sich in den weiteren Intervallen. 2. Die Halbwertszeit beträgt daher \(4\) Stunden. Das bedeutet: Nach jeweils \(4\) Stunden ist nur noch die Hälfte der zuvor vorhandenen Wirkstoffmenge übrig.

Die Halbwertszeit beträgt \(4\) Stunden. Nach jeweils \(4\) Stunden halbiert sich die vorhandene Wirkstoffmenge.

- Überlege, wie du die Formel umstellen musst, um die gesuchte Größe zu isolieren. - Welche Zahl in der Formel steht für den Prozentsatz? - Achte darauf, dass das Ergebnis eine Zeitangabe in Jahren ist.

1. Umstellen der Faustformel nach der Verdopplungszeit: \(d \approx \frac{70}{p}\). 2. Berechnung für \(p = 1{,}4\): \(d \approx \frac{70}{1{,}4} = 50\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(50\,\text{Jahre}\). 3. Berechnung für \(p = 2{,}5\): \(d \approx \frac{70}{2{,}5} = 28\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(28\,\text{Jahre}\). 4. Berechnung für \(p = 3{,}5\): \(d \approx \frac{70}{3{,}5} = 20\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(20\,\text{Jahre}\). 5. Berechnung für \(p = 5{,}0\): \(d \approx \frac{70}{5{,}0} = 14\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(14\,\text{Jahre}\).

1. \(50\,\text{Jahre}\) 2. \(28\,\text{Jahre}\) 3. \(20\,\text{Jahre}\) 4. \(14\,\text{Jahre}\)

- Was ist in diesem Fall die gesuchte Größe in der Gleichung? - Wie verändert sich die Wachstumsrate, wenn die Verdopplung länger dauert? - Setze die gegebenen Werte für die Zeit in die Formel ein.

1. Umstellen der Faustregel nach der Wachstumsrate: \(p \approx \frac{70}{d}\). 2. Berechnung für Kultur A (\(d = 20\)): \(p \approx \frac{70}{20} = 3{,}5\). Die Wachstumsrate beträgt ca. \(3{,}5\,\%\) pro Stunde. 3. Berechnung für Kultur B (\(d = 35\)): \(p \approx \frac{70}{35} = 2\). Die Wachstumsrate beträgt ca. \(2\,\%\) pro Stunde. 4. Berechnung für Kultur C (\(d = 50\)): \(p \approx \frac{70}{50} = 1{,}4\). Die Wachstumsrate beträgt ca. \(1{,}4\,\%\) pro Stunde.

1. \(3{,}5\,\%\) 2. \(2\,\%\) 3. \(1{,}4\,\%\)

- Überlege dir, welcher Wert die Menge zum Zeitpunkt Null darstellt. - Was bedeutet „verdoppeln“ für den Wachstumsfaktor in deiner Gleichung? - Achte darauf, die Zeitangaben wie „ein Jahr“ in die Einheit umzurechnen, die in deiner Formel für \(t\) verwendet wird.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Der Anfangswert ist \(N(0) = 4500\). Da sich der Bestand jeden Monat verdoppelt, ist der Wachstumsfaktor \(q = 2\). Die Gleichung lautet \(N(t) = 4500 \cdot 2^t\). 2. Berechnung für ein halbes Jahr (\(t = 6\)): \(N(6) = 4500 \cdot 2^6 = 4500 \cdot 64 = 288\,000\). 3. Berechnung für ein ganzes Jahr (\(t = 12\)): \(N(12) = 4500 \cdot 2^{12} = 4500 \cdot 4096 = 18\,432\,000\).

Die Funktionsgleichung lautet \(N(t) = 4500 \cdot 2^t\). Nach einem halben Jahr gibt es \(288\,000\) Nutzer, nach einem Jahr sind es \(18\,432\,000\) Nutzer.

- Was bedeutet der Begriff Halbwertszeit für den Wert des Zerfallsfaktors über einen bestimmten Zeitraum? - Kannst du die Abnahme der Masse als Potenz zur Basis \(0{,}5\) ausdrücken? - Wie oft muss sich die Anfangsmenge von \(120\,\text{mg}\) halbieren, um bei \(15\,\text{mg}\) zu landen? - Wenn du weißt, wie oft die Halbierung stattgefunden hat, kannst du die Gesamtzeit leicht berechnen.

1. Der Anfangswert ist \(c = 120\). 2. Da sich die Masse alle \(15\,\text{Minuten}\) halbiert, gilt \(b^{15} = 0{,}5\). Daraus ergibt sich der Zerfallsfaktor \(b = \sqrt[15]{0{,}5} \approx 0{,}9548\). Die Funktionsgleichung ist \(f(t) = 120 \cdot 0{,}9548^t\) oder \(f(t) = 120 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{15}}\). 3. Zur Bestimmung des Zeitpunkts wird die Gleichung \(120 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{15}} = 15\) aufgestellt. 4. Division durch \(120\) führt zu \(0{,}5^{\frac{t}{15}} = \frac{15}{120} = 0{,}125\). 5. Da \(0{,}125 = 0{,}5^3\), folgt durch Exponentenvergleich \(\frac{t}{15} = 3\). 6. Multiplikation mit \(15\) ergibt \(t = 45\). Die Masse beträgt nach \(45\,\text{Minuten}\) noch \(15\,\text{mg}\).

a) \(f(t) = 120 \cdot 0{,}9548^t\) (oder \(f(t) = 120 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{15}}\)) b) Nach \(45\,\text{Minuten}\) ist die Masse auf \(15\,\text{mg}\) gesunken.

- Schau dir zuerst den Startwert auf der vertikalen Achse an, wenn die Zeit Null ist. - Um eine Verdopplung zu finden, suchst du auf der vertikalen Achse den doppelten Startwert und gehst von dort waagerecht zum Graphen. - Gehe von einem Punkt auf dem Graphen senkrecht nach unten, um die zugehörige Zeit auf der horizontalen Achse zu finden.

1. Bestimmung der Anfangspopulation zum Zeitpunkt \(t = 0\): \(N(0) = 100\). 2. Für die Verdopplung (Teilaufgabe a) wird der Zeitpunkt gesucht, an dem \(N(t) = 200\) ist. Aus dem Graphen lässt sich ein Wert von etwa \(3\,\text{Stunden}\) ablesen. 3. Für Teilaufgabe b) wird der Schnittpunkt des Graphen mit der horizontalen Linie bei \(N = 400\) gesucht. Dies entspricht etwa \(6\,\text{Stunden}\). 4. Für Teilaufgabe c) wird der Funktionswert an der Stelle \(t = 9\) abgelesen. Der Graph liegt hier bei etwa \(750\) Bakterien.

a) Nach etwa \(3\,\text{Stunden}\). b) Nach etwa \(6\,\text{Stunden}\). c) Es sind etwa \(750\) Bakterien vorhanden.

- Bestimme zuerst den gemeinsamen Anfangswert der beiden Graphen. - Suche für jede Sorte den Zeitpunkt, an dem dieser Anfangswert verdoppelt ist. - Setze für b) \(t=10\) in das gegebene Modell ein und runde erst das Ergebnis.

1. Beide Sorten starten bei \(5\,\text{m}^2\). Sorte \(1\) erreicht \(10\,\text{m}^2\) nach \(4\) Tagen, Sorte \(2\) nach \(6\) Tagen. Die Verdopplungszeiten sind daher \(4\) beziehungsweise \(6\) Tage. 2. Für Sorte \(1\) gilt \(f(10)=5\cdot2^{10:4}=5\cdot2^{2{,}5}\approx28{,}28\,\text{m}^2\).

a) Sorte \(1\): \(4\) Tage; Sorte \(2\): \(6\) Tage. b) \(28{,}28\,\text{m}^2\).

- Nutze in a) die Verdopplungszeit direkt in der angegebenen Faustformel. - Ein Verdopplungsfaktor von \(2\) nach \(14\) gleichen Schritten führt auf eine vierzehnte Wurzel. - Rechne für c) drei Tage zuerst in Stunden um und verwende den Wurzelausdruck statt einer früh gerundeten Dezimalzahl.

1. Aus \(p\cdot14\approx70\) folgt \(p\approx70:14=5\). Die Faustformel liefert etwa \(5\,\%\) pro Stunde. 2. Für den exakten Faktor gilt \(q^{14}=2\). Daher ist \(q=\sqrt[14]{2}\approx1{,}0508\). 3. Die exakte Rate wird über den Faktor bestimmt: \((q-1)\cdot100\,\%\approx5{,}08\,\%\). 4. Drei Tage sind \(72\) Stunden. Daher gilt \(N(72)=500\cdot(\sqrt[14]{2})^{72}=500\cdot2^{72/14}\approx17\,665{,}43\). Gerundet sind das \(17\,665\) Bakterien.

a) \(p\approx5\,\%\). b) \(q=\sqrt[14]{2}\approx1{,}0508\); \(p\approx5{,}08\,\%\). c) Etwa \(17\,665\) Bakterien.

- Nach genau einer Halbwertszeit ist noch die Hälfte des vorherigen Werts vorhanden. - Gesucht ist der Faktor für nur eine Stunde, dessen passende Potenz \(0{,}5\) ergibt. - Wandle den gefundenen Restfaktor anschließend in die prozentuale Abnahme pro Stunde um.

1. Für eine Halbwertszeit \(T_h\) erfüllt der stündliche Zerfallsfaktor \(q\) die Gleichung \(q^{T_h}=0{,}5\). 2. Für Isotop A ist \(q=\sqrt[8]{0{,}5}\approx0{,}917004\). Die stündliche Abnahmerate beträgt daher \((1-q)\cdot100\,\%\approx8{,}30\,\%\). 3. Für Isotop B ist \(q=\sqrt[14]{0{,}5}\approx0{,}951695\). Die stündliche Abnahmerate beträgt daher \((1-q)\cdot100\,\%\approx4{,}83\,\%\).

Isotop A: \(8{,}30\,\%\) pro Stunde; Isotop B: \(4{,}83\,\%\) pro Stunde.

- Eine Verdopplung bedeutet einen Gesamtfaktor von \(2\) über die gesamte Verdopplungszeit. - Bestimme daraus den Faktor für einen einzelnen Tag mit einer passenden Wurzel. - Der Anteil des Tagesfaktors oberhalb von \(1\) entspricht der täglichen prozentualen Zunahme.

1. Für eine Verdopplungszeit \(T_v\) erfüllt der tägliche Faktor \(q\) die Gleichung \(q^{T_v}=2\). 2. Bei \(T_v=10\) ist \(q=\sqrt[10]{2}\approx1{,}071773\). Die tägliche Wachstumsrate beträgt \((q-1)\cdot100\,\%\approx7{,}18\,\%\). 3. Bei \(T_v=6\) ist \(q=\sqrt[6]{2}\approx1{,}122462\). Die tägliche Wachstumsrate beträgt \((q-1)\cdot100\,\%\approx12{,}25\,\%\).

Verdopplungszeit \(10\) Tage: \(7{,}18\,\%\) pro Tag. Verdopplungszeit \(6\) Tage: \(12{,}25\,\%\) pro Tag.

- Was bedeutet es für den Rechenweg, wenn sich ein Wert in jedem Schritt halbiert? - Wie rechnet man Milligramm in Gramm um? - Kannst du eine Formel aufstellen, die die Masse nach \(n\) Schritten beschreibt? - Nutze für den Überschlag direkt den im Text angegebenen Näherungswert.

1. Bestimmung des Zerfallsfaktors: Da sich die Masse pro Zeitabschnitt halbiert, gilt \(q = 0{,}5\). 2. Berechnung der Werte für Teilaufgabe a): - Nach 2 Abschnitten: \(640\,\text{mg} \cdot 0{,}5^2 = 160\,\text{mg} = 0{,}16\,\text{g}\) - Nach 3 Abschnitten: \(640\,\text{mg} \cdot 0{,}5^3 = 80\,\text{mg} = 0{,}08\,\text{g}\) - Nach 5 Abschnitten: \(640\,\text{mg} \cdot 0{,}5^5 = 20\,\text{mg} = 0{,}02\,\text{g}\) 3. Erstellung der Tabelle mit den berechneten Werten für \(n=2, 3, 5\). 4. Überschlag für Teilaufgabe b): Die Masse nach 10 Abschnitten berechnet sich durch \(640\,\text{mg} \cdot (\frac{1}{2})^{10}\). Mit der Näherung ergibt sich \(640 \cdot \frac{1}{1000} = 0{,}64\,\text{mg}\).

a) <table> <tr> <th>Zeitabschnitt \(n\)</th> <th>Masse in mg</th> <th>Masse in g</th> </tr> <tr> <td>2</td> <td>\(160\)</td> <td>\(0{,}16\)</td> </tr> <tr> <td>3</td> <td>\(80\)</td> <td>\(0{,}08\)</td> </tr> <tr> <td>5</td> <td>\(20\)</td> <td>\(0{,}02\)</td> </tr> </table> b) Nach 10 Zeitabschnitten sind noch ca. \(0{,}64\,\text{mg}\) vorhanden.

- Welcher Wert in der Formel entspricht der Menge zum Zeitpunkt Null? - Wie kannst du den Faktor bestimmen, mit dem die Menge pro Zeiteinheit multipliziert wird? - Überlege dir, wie oft sich die Menge halbiert haben muss, wenn sie nach 16 Tagen nur noch ein Viertel beträgt. - Wenn du die Funktionsgleichung hast, musst du nur noch den gesuchten Zeitpunkt einsetzen.

1. Der Anfangswert ist \(m_0 = 80\). 2. Aus \(80 \cdot a^{16} = 20\) folgt \(a^{16} = 0{,}25\). Damit ist \(a = \sqrt[16]{0{,}25} = 0{,}5^{1/8} \approx 0{,}9170\). 3. Eine exakte Funktionsgleichung lautet \(m(t) = 80 \cdot 0{,}5^{t/8}\). Näherungsweise kann auch \(m(t) \approx 80 \cdot 0{,}9170^t\) verwendet werden. 4. Nach \(24\) Tagen: \(m(24) = 80 \cdot 0{,}5^{24/8} = 80 \cdot 0{,}5^3 = 10\,\text{mg}\).

a) Exakt: \(m(t) = 80 \cdot 0{,}5^{t/8}\); näherungsweise: \(m(t) \approx 80 \cdot 0{,}9170^t\). b) Nach \(24\) Tagen sind noch \(10\,\text{mg}\) vorhanden.

- Über die gesamte Halbwertszeit wirkt ein Gesamtfaktor von \(0{,}5\). - Bestimme daraus den Faktor für ein einzelnes Jahr mit einer passenden Wurzel beziehungsweise Potenz. - Für b) kannst du die Zeit \(50\) Jahre als Anteil der Halbwertszeit im Exponenten verwenden.

1. Für den jährlichen Zerfallsfaktor gilt \(a^{30{,}17}=0{,}5\). Daher ist \(a=0{,}5^{1:30{,}17}\approx0{,}97729\), also auf vier Dezimalstellen \(0{,}9773\). 2. Die jährliche Zerfallsrate beträgt \((1-a)\cdot100\,\%\approx2{,}27\,\%\). 3. Für die Aktivität nach \(50\) Jahren kann direkt die Halbwertszeit verwendet werden: \(A(50)=600\cdot0{,}5^{50:30{,}17}\approx190{,}22\,\text{Bq}\).

a) Jährlicher Zerfallsfaktor \(a\approx0{,}9773\); jährliche Zerfallsrate \(2{,}27\,\%\). b) \(190{,}22\,\text{Bq}\).

- Kannst du den Anfangswert auf der vertikalen Achse bei \(t = 0\) ablesen? - Betrachte die Werte auf der vertikalen Achse, die der Hälfte, einem Viertel und einem Achtel dieses Anfangswertes entsprechen. Zu welchen Zeiten \(t\) erreicht der Graph diese Werte? - Vergleiche die Abstände zwischen diesen Zeiten. Was fällt dir dabei auf? - Überlege, wie der stündliche Faktor \(b\) mit der Halbwertszeit zusammenhängt. Wenn sich eine Menge in 3 Stunden halbiert, mit welchem Faktor wird sie dann pro Stunde multipliziert? - Wie viele Halbwertszeiten sind nach 15 Stunden vergangen? Nutze dies, um die verbleibende Menge direkt zu berechnen.

1. **Ablesen der Zeiten für die Reduzierung**: - Die Anfangsmenge bei \(t = 0\) beträgt \(80\,\text{mg}\). - Eine Halbierung auf \(40\,\text{mg}\) wird nach \(3\,\text{Stunden}\) erreicht. - Eine Reduzierung auf ein Viertel (\(20\,\text{mg}\)) wird nach \(6\,\text{Stunden}\) erreicht. - Eine Reduzierung auf ein Achtel (\(10\,\text{mg}\)) wird nach \(9\,\text{Stunden}\) erreicht. - Auffälligkeit: Die Zeitspanne für jede weitere Halbierung ist konstant und beträgt immer \(3\,\text{Stunden}\). 2. **Halbwertszeit**: - Die Halbwertszeit \(T_{1/2}\) ist der Zeitraum, in dem sich die Menge jeweils halbiert. Aus Aufgabenteil a) folgt direkt: \(T_{1/2} = 3\,\text{Stunden}\). 3. **Prozentuale Abnahme pro Stunde**: - Der stündliche Wachstumsfaktor \(b\) erfüllt die Gleichung \(b^3 = 0{,}5\). - Daraus berechnet man \(b = \sqrt[3]{0{,}5} \approx 0{,}7937\). - Die prozentuale Abnahme pro Stunde beträgt somit \(1 - 0{,}7937 = 0{,}2063\), also ca. \(20{,}6\,\%\). 4. **Restmenge nach 15 Stunden**: - Nach \(15\,\text{Stunden}\) sind genau \(5\) Halbwertszeiten vergangen (da \(15 : 3 = 5\)). - Die verbleibende Menge berechnet sich als: \(W(15) = 80\,\text{mg} \cdot 0{,}5^5 = 80\,\text{mg} \cdot \frac{1}{32} = 2{,}5\,\text{mg}\).

a) Halbiert nach \(3\,\text{Stunden}\), geviertelt nach \(6\,\text{Stunden}\), geachtelt nach \(9\,\text{Stunden}\). Es fällt auf, dass jede weitere Halbierung genau \(3\,\text{Stunden}\) dauert. b) Die Halbwertszeit beträgt \(3\,\text{Stunden}\). c) Die prozentuale Abnahme beträgt ca. \(20{,}6\,\%\) pro Stunde. d) Nach \(15\,\text{Stunden}\) sind noch genau \(2{,}5\,\text{mg}\) des Wirkstoffs im Körper vorhanden.

- Was bedeutet der „Anfangsbestand“ mathematisch für den Wert von \(t\)? Wo kannst du diesen Wert auf der Achse ablesen? - Wenn sich ein Bestand verdoppelt oder halbiert, welcher neue Wert wird dann ausgehend vom Anfangsbestand erreicht? Suche diesen neuen Wert auf der vertikalen Achse und lies die zugehörige Zeit ab. - Wie hängen der Anfangsbestand und der Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor mit den Parametern der allgemeinen Funktionsgleichung \(N(t) = N_0 b^t\) zusammen? - Achte beim Berechnen des Bestands nach \(15\,\text{Stunden}\) darauf, den korrekten Wert für \(t\) in deine aufgestellten Gleichungen einzusetzen.

1. Bestimmung der Anfangswerte: Aus den Schnittpunkten der Graphen mit der y-Achse bei \(t = 0\) ergeben sich die Anfangsbestände \(f(0) = 10\) und \(g(0) = 80\). 2. Bestimmung der charakteristischen Zeiten: - Für den Wachstumsprozess \(f\) verdoppelt sich der Bestand von \(10\) auf \(20\) nach \(t = 3\,\text{h}\). Somit ist die Verdopplungszeit \(T_V = 3\,\text{h}\). - Für den Zerfallsprozess \(g\) halbiert sich der Bestand von \(80\) auf \(40\) nach \(t = 4\,\text{h}\). Somit ist die Halbwertszeit \(T_H = 4\,\text{h}\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichungen: - Mit \(f(t) = N_0 b^t\) folgt für \(f(t)\) aus \(f(3) = 20\): \(10 \cdot b^3 = 20 \implies b = 2^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}26\). Die Gleichung lautet \(f(t) = 10 \cdot 2^{\frac{t}{3}}\) bzw. \(f(t) \approx 10 \cdot 1{,}26^t\). - Mit \(g(t) = N_0 b^t\) folgt für \(g(t)\) aus \(g(4) = 40\): \(80 \cdot b^4 = 40 \implies b = 0{,}5^{\frac{1}{4}} \approx 0{,}84\). Die Gleichung lautet \(g(t) = 80 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{4}}\) bzw. \(g(t) \approx 80 \cdot 0{,}84^t\). 4. Berechnung für \(t = 15\,\text{h}\): - Für \(f\): \(f(15) = 10 \cdot 2^{\frac{15}{3}} = 10 \cdot 2^5 = 320\). - Für \(g\): \(g(15) = 80 \cdot 0{,}5^{\frac{15}{4}} = 80 \cdot 0{,}5^{3{,}75} \approx 5{,}9\).

a) Anfangsbestände: \(f(0) = 10\), \(g(0) = 80\) b) Verdopplungszeit von \(f\): \(T_V = 3\,\text{h}\); Halbwertszeit von \(g\): \(T_H = 4\,\text{h}\) c) Funktionsgleichungen: \(f(t) = 10 \cdot 2^{\frac{t}{3}}\) (oder \(f(t) \approx 10 \cdot 1{,}26^t\)) und \(g(t) = 80 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{4}}\) (oder \(g(t) \approx 80 \cdot 0{,}84^t\)) d) Bestände nach \(15\,\text{h}\): \(f(15) = 320\) und \(g(15) \approx 5{,}9\)

- Suche im Graphen den Zeitpunkt, an dem die Anfangsmasse erstmals auf die Hälfte gesunken ist. - Setze diese Zeit direkt als Halbwertszeit in die vorgegebene Modellform ein. - Berechne in c) zunächst ungerundet und runde erst die Restmasse.

1. Die Anfangsmasse beträgt \(10\,\text{mg}\); die Hälfte davon sind \(5\,\text{mg}\). Im Graphen wird dieser Wert nach \(8\) Tagen erreicht. Daher ist \(T_{1/2}=8\) Tage. 2. Das Modell lautet \(m(t)=10\cdot0{,}5^{t:8}\). 3. Nach \(20\) Tagen gilt \(m(20)=10\cdot0{,}5^{20:8}=10\cdot0{,}5^{2{,}5}\approx1{,}77\,\text{mg}\).

a) \(T_{1/2}=8\) Tage. b) \(m(t)=10\cdot0{,}5^{t:8}\). c) \(1{,}77\,\text{mg}\).

- Betrachte Höhen in Einheiten von \(1000\,\text{m}\), damit der gegebene Faktor direkt verwendet werden kann. - Für eine halbe Höheneinheit brauchst du einen Faktor, dessen Quadrat \(0{,}88\) ergibt. - Prüfe für c) mehrere Höhenwerte in der Nähe von \(5\) bis \(6\,\text{km}\) und vergleiche den verbleibenden Anteil mit \(0{,}5\).

1. Pro \(1000\,\text{m}\) bleibt der Faktor \(q=0{,}88\). 2. In \(3000\,\text{m}\) Höhe beträgt der Restanteil \(0{,}88^3=0{,}681472\), also etwa \(68{,}1\,\%\). 3. Für \(1000\,\text{m}\) ist der Faktor \(0{,}88\). Für \(500\,\text{m}\) ist er \(\sqrt{0{,}88}\approx0{,}938\). Für \(5000\,\text{m}\) ist er \(0{,}88^5\approx0{,}528\). 4. Für \(5{,}4\,\text{km}\) gilt \(0{,}88^{5{,}4}\approx0{,}5014\), also nahezu die Hälfte. Für \(5{,}5\,\text{km}\) liegt der Anteil bereits bei etwa \(0{,}4951\). Auf \(0{,}1\,\text{km}\) genau liegt die Halbwertshöhe daher bei etwa \(5{,}4\,\text{km}\).

a) \(68{,}1\,\%\). b) \(1000\,\text{m}\): \(0{,}88\); \(500\,\text{m}\): \(0{,}938\); \(5000\,\text{m}\): \(0{,}528\). c) Etwa \(5{,}4\,\text{km}\), also etwa \(5400\,\text{m}\).

- Übersetze die pro Meter angegebene Abnahme in den verbleibenden Faktor. - Bei b) und c) ist die gesuchte Tiefe der Exponent; isoliere zuerst die Potenz. - Verwende anschließend Logarithmen, um die Tiefe zu bestimmen, und runde erst am Schluss.

1. Pro Meter bleibt der Faktor \(0{,}78\). Damit gilt für die Intensität in Prozent \(I(d)=100\cdot0{,}78^d\). 2. Es ist \(I(2)=60{,}84\,\%\), \(I(5)\approx28{,}87\,\%\) und \(I(10)\approx8{,}34\,\%\). 3. Für die Halbierung gilt \(0{,}78^d=0{,}5\). Logarithmieren ergibt \(d=\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}78)}\approx2{,}79\,\text{m}\). 4. Für die \(1\,\%\)-Grenze gilt \(0{,}78^d=0{,}01\). Daher ist \(d=\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}78)}\approx18{,}53\,\text{m}\).

a) \(2\,\text{m}\): \(60{,}84\,\%\); \(5\,\text{m}\): \(28{,}87\,\%\); \(10\,\text{m}\): \(8{,}34\,\%\). b) \(2{,}79\,\text{m}\). c) Grenztiefe etwa \(18{,}53\,\text{m}\).