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- Überlege dir, welcher Wert den Bestand am Anfang beschreibt. - Wie verändert sich der Bestand von Jahr 0 zu Jahr 1 mathematisch gesehen? - Welche allgemeine Form hat eine Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum? - Wie kannst du den Faktor berechnen, mit dem der Anfangswert multipliziert werden muss, um den Wert nach einem Jahr zu erhalten?

1. Identifikation des Anfangswertes zum Zeitpunkt \(t = 0\): \(a = 40\). 2. Berechnung des Wachstumsfaktors \(b\) unter Verwendung des Wertes nach einem Jahr (\(t = 1\)): \(40 \cdot b^1 = 48\). 3. Auflösen der Gleichung nach \(b\): \(b = \frac{48}{40} = 1{,}2\). 4. Einsetzen des Anfangswertes und des Wachstumsfaktors in die allgemeine Form \(f(t) = ab^t\): \(f(t) = 40 \cdot 1{,}2^t\).

\(f(t) = 40 \cdot 1{,}2^t\)

- Bei einem exakt exponentiellen Modell wäre welcher Vergleich zwischen benachbarten Messwerten konstant? - Die Werte wurden gerundet. Musst du deshalb exakt gleiche Quotienten erwarten? - Entscheide nicht anhand eines einzelnen Quotienten, sondern betrachte die ganze Reihe.

1. Die Quotienten sind \(\frac{149}{100}=1{,}49\), \(\frac{226}{149}\approx1{,}52\), \(\frac{336}{226}\approx1{,}49\) und \(\frac{509}{336}\approx1{,}51\). 2. Die Quotienten sind nicht exakt gleich, liegen aber alle nahe bei \(1{,}5\). Da die Messwerte gerundet sind, sind kleine Abweichungen zu erwarten. 3. Ein exponentielles Modell mit einem Faktor von ungefähr \(1{,}5\) ist deshalb für diese Messreihe plausibel.

Die Quotienten sind ungefähr \(1{,}49\), \(1{,}52\), \(1{,}49\) und \(1{,}51\). Sie liegen alle nahe bei \(1{,}5\); daher ist ein exponentielles Modell mit Faktor etwa \(1{,}5\) plausibel.

- Nutze zuerst den Messpunkt bei \(t=0\), um einen Kandidaten auszuschließen. - Lies anschließend zwei spätere, beschriftete Messwerte aus der Abbildung ab und vergleiche sie mit den Modellwerten. - Erwarte wegen der angegebenen Rundung keine exakt konstanten Quotienten. - Entscheide nach der Passung mehrerer Punkte, nicht danach, ob ein Modell einen einzelnen Punkt genau trifft.

1. Der erste Messpunkt liegt bei \(t=0\) und dem Wert \(50\). Modell C scheidet damit aus, weil es bei \(t=0\) den Wert \(70\) liefert. 2. Bei \(t=2\) zeigt die Abbildung den gerundeten Messwert \(110\). Modell A liefert \(50\cdot1{,}5^2=112{,}5\), während Modell B \(150\) liefert. Modell A liegt deutlich näher. 3. Bei \(t=3\) beträgt der Messwert \(170\). Modell A liefert \(168{,}75\), Modell B liefert \(200\). Auch hier passt Modell A besser. 4. Die Quotienten der gerundeten Messwerte sind wegen der Rundung nicht exakt konstant. Die Punkte liegen aber insgesamt nahe an einer Entwicklung mit Faktor etwa \(1{,}5\). Daher ist Modell A am besten geeignet.

Modell A: \(M(t)=50\cdot1{,}5^t\). Es hat den passenden Anfangswert und liegt zum Beispiel bei \(t=2\) und \(t=3\) deutlich näher an den gerundeten Messpunkten als Modell B; Modell C hat bereits den falschen Anfangswert.

- Welche Art von Folge entsteht, wenn eine Größe in gleichen Zeitabständen immer mit demselben Faktor verändert wird? - Wie viele gleiche Wachstumsschritte liegen zwischen dem Anfangswert und dem Wert nach sieben Tagen? - Drücke den täglichen Faktor zunächst exakt aus, bevor du die Zwischenwerte berechnest.

1. Der Anfangswert ist \(b_0=2\,\text{m}^2\), nach sieben Tagen gilt \(b_7=10\,\text{m}^2\). 2. Für den täglichen Wachstumsfaktor \(q\) gilt \(10 = 2q^7\), also \(q^7=5\) und damit \(q=\sqrt[7]{5}\). 3. Mit \(b_n=2(\sqrt[7]{5})^n\,\text{m}^2\) erhält man: Tag 1: \(2\sqrt[7]{5}\,\text{m}^2 \approx 2{,}52\,\text{m}^2\). Tag 2: \(2\sqrt[7]{5^2}\,\text{m}^2 \approx 3{,}17\,\text{m}^2\). Tag 3: \(2\sqrt[7]{5^3}\,\text{m}^2 \approx 3{,}99\,\text{m}^2\). Tag 4: \(2\sqrt[7]{5^4}\,\text{m}^2 \approx 5{,}02\,\text{m}^2\). Tag 5: \(2\sqrt[7]{5^5}\,\text{m}^2 \approx 6{,}31\,\text{m}^2\). Tag 6: \(2\sqrt[7]{5^6}\,\text{m}^2 \approx 7{,}95\,\text{m}^2\).

Exakt: \(2\sqrt[7]{5}\,\text{m}^2\), \(2\sqrt[7]{5^2}\,\text{m}^2\), \(2\sqrt[7]{5^3}\,\text{m}^2\), \(2\sqrt[7]{5^4}\,\text{m}^2\), \(2\sqrt[7]{5^5}\,\text{m}^2\), \(2\sqrt[7]{5^6}\,\text{m}^2\). Gerundet: \(2{,}52\,\text{m}^2\), \(3{,}17\,\text{m}^2\), \(3{,}99\,\text{m}^2\), \(5{,}02\,\text{m}^2\), \(6{,}31\,\text{m}^2\), \(7{,}95\,\text{m}^2\).

- Vergleiche nicht nur die Differenzen, sondern auch die Quotienten aufeinanderfolgender Tabellenwerte. - Welcher Tabellenwert gehört zum Zeitpunkt \(t=0\), und welche Rolle spielt er im Funktionsterm? - Der Wachstumsfaktor lässt sich direkt in eine prozentuale Änderung übersetzen.

1. Die Quotienten benachbarter Werte sind \(\frac{600}{400}=1{,}5\), \(\frac{900}{600}=1{,}5\) und \(\frac{1350}{900}=1{,}5\). Der konstante Quotient zeigt exponentielles Wachstum mit \(a=1{,}5\). 2. Bei \(t=0\) gilt \(N(0)=400\), also ist \(b=400\). Damit lautet das Modell \(N(t)=400\cdot1{,}5^t\). 3. \(N(5)=400\cdot1{,}5^5=3037{,}5\approx3038\) und \(N(8)=400\cdot1{,}5^8=10\,251{,}5625\approx10\,252\). 4. Aus \(a=1{,}5\) folgt eine Zunahme um \((1{,}5-1)\cdot100\,\%=50\,\%\) pro Stunde.

a) \(a=1{,}5\), \(b=400\) b) \(N(t)=400\cdot1{,}5^t\) c) Nach \(5\) Stunden etwa \(3038\) Bakterien; nach \(8\) Stunden etwa \(10\,252\) Bakterien d) \(50\,\%\) pro Stunde

- Was bedeuten die Koordinaten eines Punktes für die Funktionsgleichung? - Wie kannst du eine Gleichung nach der Basis auflösen, wenn diese eine Hochzahl hat? - Erinnere dich an die Potenzgesetze, insbesondere für negative und rationale Exponenten. - Kannst du die Dezimalzahlen in Brüche umwandeln, um die Wurzeln leichter zu erkennen?

1. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(x; y)\) in die Funktionsgleichung \(y = b^x\) und Auflösen nach \(b\). 2. Für \(P(4; 81)\): \(81 = b^4 \implies b = \sqrt[4]{81} = 3\). 3. Für \(Q(-3; 0{,}125)\): \(0{,}125 = b^{-3} \implies \frac{1}{8} = \frac{1}{b^3} \implies b^3 = 8 \implies b = 2\). 4. Für \(R(1{,}5; 8)\): \(8 = b^{1{,}5} \implies 8 = b^{\frac{3}{2}} \implies b = 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\).

a) \(b = 3\) b) \(b = 2\) c) \(b = 4\)

- Welchen Wert hat jede Basis hoch null? Wie hilft dir das beim ersten Punkt? - Setze den gefundenen Wert für \(c\) in die allgemeine Form ein, bevor du den zweiten Punkt nutzt. - Wie löst man eine Gleichung auf, in der die Unbekannte im Nenner steht oder ein Quadrat ist?

1. Nutze den Punkt mit \(x = 0\), um den Startwert \(c\) direkt zu bestimmen, da \(a^0 = 1\) gilt. 2. Setze \(c\) und den zweiten Punkt in die Gleichung ein, um \(a\) zu berechnen. 3. Fall a): \(f(0) = 7 \implies c = 7\). Einsetzen von \(B(2; 63)\): \(63 = 7 \cdot a^2 \implies 9 = a^2 \implies a = 3\). 4. Fall b): \(f(0) = 200 \implies c = 200\). Einsetzen von \(B(-1; 50)\): \(50 = 200 \cdot a^{-1} \implies 50 = \frac{200}{a} \implies a = \frac{200}{50} = 4\).

a) \(c = 7\); \(a = 3\) b) \(c = 200\); \(a = 4\)

- Kannst du die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen, um zwei Gleichungen zu erhalten? - Wie kannst du durch Division der beiden Gleichungen eine der Unbekannten eliminieren? - Denke daran, dass die Basis einer Exponentialfunktion immer positiv sein muss. - Wenn du die Funktionsgleichung hast, wie findest du dann den Funktionswert an einer bestimmten Stelle?

1. Aufstellen eines Gleichungssystems mit den gegebenen Punkten: \(18 = ca^2\) und \(162 = ca^4\). 2. Division der Gleichungen führt zu \(\frac{162}{18} = \frac{ca^4}{ca^2}\), woraus \(9 = a^2\) folgt. Da bei Exponentialfunktionen \(a > 0\) gilt, ergibt sich \(a = 3\). 3. Einsetzen von \(a = 3\) in die erste Gleichung: \(18 = c \cdot 3^2 = 9c\), woraus \(c = 2\) resultiert. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2 \cdot 3^x\). 4. Berechnung der fehlenden Koordinaten durch Einsetzen der \(x\)-Werte: \(y_C = f(0) = 2 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2\) und \(y_D = f(-1) = 2 \cdot 3^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2 \cdot 3^x\). Die fehlenden Koordinaten sind \(y_C = 2\) und \(y_D = \frac{2}{3}\).

- Zwischen dem ersten und dem letzten Wert liegen vier gleich lange Wachstumsintervalle. - Welcher Potenz von \(a\) entspricht deshalb der gesamte Faktor vom ersten zum letzten Messwert? - Verwende für den Vergleich möglichst den ungerundeten Faktor und runde erst das Endergebnis.

1. Über vier gleiche Schritte gilt \(80a^4=270\). Also ist \(a=\sqrt[4]{\frac{270}{80}}=\sqrt[4]{\frac{27}{8}}\approx1{,}355\). 2. Das geschätzte Modell lautet \(M(t)=80\cdot\left(\sqrt[4]{\frac{27}{8}}\right)^t\), näherungsweise \(M(t)=80\cdot1{,}355^t\). 3. Mit dem ungerundeten Faktor ergibt sich \(M(2)\approx146{,}97\). Der gemessene Wert ist \(146\); die Abweichung beträgt also nur etwa \(0{,}97\).

\(a\approx1{,}355\); \(M(t)=80\cdot\left(\sqrt[4]{\frac{27}{8}}\right)^t\). Für \(t=2\) gilt \(M(2)\approx146{,}97\), also liegt das Modell etwa \(0{,}97\) über dem Messwert.

- Achte im Bild darauf, welche Modellkurve über mehrere Zeitpunkte nahe an den Messpunkten bleibt. - Lies die beschrifteten Messwerte bei \(t=2\) und \(t=3\) ab und vergleiche sie mit beiden Modellwerten. - Verwende für die Abweichung den Betrag der Differenz zwischen Modellwert und Messwert. - Überlege bei c), ob ein Modell, das nur einen Punkt trifft, deshalb schon die Entwicklung zwischen den übrigen Punkten gut beschreibt.

1. In der Abbildung verläuft die exponentielle Kurve durchgehend nahe an den Messpunkten, während die lineare Gerade besonders in der Mitte sichtbar höher liegt. 2. Bei \(t=2\) beträgt der Messwert \(82\). Das lineare Modell liefert \(L(2)=90\), also eine absolute Abweichung von \(8\). Das exponentielle Modell liefert \(E(2)=52\cdot1{,}25^2=81{,}25\), also eine Abweichung von \(0{,}75\). 3. Bei \(t=3\) beträgt der Messwert \(102\). Es gilt \(L(3)=109\), also beträgt die Abweichung \(7\). Für das exponentielle Modell ist \(E(3)=52\cdot1{,}25^3=101{,}5625\), also beträgt die Abweichung \(0{,}4375\). 4. An beiden überprüften Zeitpunkten liegt \(E\) deutlich näher am Messwert; auch die übrigen Punkte liegen in der Abbildung nahe an \(E\). Deshalb beschreibt das exponentielle Modell die Messreihe besser. 5. Ein einzelner Treffer kann zufällig oder durch die Wahl der Modellparameter entstehen. Für eine Modellentscheidung muss die Passung über mehrere Messpunkte betrachtet werden.

a) Das exponentielle Modell \(E\) passt insgesamt besser. b) Bei \(t=2\): Abweichung \(L\): \(8\), Abweichung \(E\): \(0{,}75\). Bei \(t=3\): Abweichung \(L\): \(7\), Abweichung \(E\): \(0{,}4375\). c) Ein einzelner Treffer bewertet nicht die Passung der gesamten Messreihe; mehrere Messpunkte müssen berücksichtigt werden.

- Die beiden Werte zum Aufstellen des Modells liegen zwei Zeiteinheiten auseinander. Welcher Potenz des Faktors entspricht ihr Verhältnis? - Lies den späteren Kontrollmesswert direkt am markierten Punkt \(P\) ab; er wurde nicht zum Bestimmen des Modells verwendet. - Vergleiche Modellwert und Kontrollmesswert erst nach dem Aufstellen des Modells. - Für die relative Abweichung ist der gemessene Kontrollwert der Bezugswert.

1. Aus \(216=150a^2\) folgt \(a^2=1{,}44\) und damit \(a=1{,}2\). 2. Aus der Abbildung liest man für den Kontrollpunkt \(P\) bei \(t=4\) den Messwert \(300\) ab. 3. Das Modell lautet \(N(t)=150\cdot1{,}2^t\). Für \(t=4\) ergibt sich \(N(4)=150\cdot1{,}2^4=311{,}04\). 4. Die absolute Abweichung vom Kontrollmesswert beträgt \(311{,}04-300=11{,}04\). Relativ zum Messwert sind das \(\frac{11{,}04}{300}\cdot100\,\%=3{,}68\,\%\). 5. Da \(3{,}68\,\%\le5\,\%\) ist, besteht das Modell den vorgegebenen Test.

a) \(a=1{,}2\) b) \(N(4)=300\) als Kontrollmesswert. c) Modellwert \(311{,}04\); relative Abweichung \(3{,}68\,\%\). d) Ja. Die Abweichung liegt unter \(5\,\%\).

- Achte beim Anfangsunterschied auf das Vorzeichen der Minustemperatur. - Nutze die Angabe nach \(10\) Minuten zunächst für einen Zehn-Minuten-Schritt; daraus kannst du den Faktor pro Minute bestimmen. - Die Torte nähert sich der Umgebungstemperatur von unten. Wie erhältst du ihre Temperatur aus dem verbleibenden Temperaturunterschied? - Für die Wertetabelle kannst du ausnutzen, dass der Unterschied nach jeweils \(10\) Minuten mit demselben Faktor verändert wird.

1. Der anfängliche Temperaturunterschied beträgt \(D(0)=22-(-18)=40\,^\circ\text{C}\). 2. Aus \(40a^{10}=32\) folgt \(a^{10}=0{,}8\) und damit \(a=\sqrt[10]{0{,}8}\approx0{,}9779\). Somit gilt exakt \(D(t)=40\left(\sqrt[10]{0{,}8}\right)^t\). 3. Nach \(30\) Minuten ist \(D(30)=40\cdot0{,}8^3=20{,}48\,^\circ\text{C}\). Die Torte hat daher die Temperatur \(22-20{,}48=1{,}52\,^\circ\text{C}\). 4. Es gilt \(D(0)=40\,^\circ\text{C}\), \(D(20)=40\cdot0{,}8^2=25{,}60\,^\circ\text{C}\), \(D(40)=40\cdot0{,}8^4=16{,}384\,^\circ\text{C}\approx16{,}38\,^\circ\text{C}\) und \(D(60)=40\cdot0{,}8^6=10{,}48576\,^\circ\text{C}\approx10{,}49\,^\circ\text{C}\).

a) \(40\,^\circ\text{C}\) b) \(a=\sqrt[10]{0{,}8}\approx0{,}9779\); \(D(t)=40\left(\sqrt[10]{0{,}8}\right)^t\) c) \(1{,}52\,^\circ\text{C}\) d) \(D(0)=40\,^\circ\text{C}\), \(D(20)=25{,}60\,^\circ\text{C}\), \(D(40)\approx16{,}38\,^\circ\text{C}\), \(D(60)\approx10{,}49\,^\circ\text{C}\)

- Die Tabellenwerte liegen jeweils zwei Jahre auseinander. Bestimme deshalb zuerst den Faktor für zwei Jahre. - Ein negativer Zeitwert bedeutet hier, das Modell rückwärts anzuwenden. - Für den prozentual verbleibenden Anteil brauchst du den Startwert nicht erneut auszurechnen; betrachte den Faktor über die gesamte Zeit.

1. Für zwei Jahre beträgt der Faktor \(\frac{768}{1200}=0{,}64\). Daher gilt \(a^2=0{,}64\) und somit \(a=\sqrt{0{,}64}=0{,}8\). 2. Der Anfangswert ist \(b=1200\,\text{€}\). Das Modell lautet \(V(t)=1200\cdot0{,}8^t\). 3. \(V(6)=1200\cdot0{,}8^6=314{,}5728\,\text{€}\approx314{,}57\,\text{€}\). 4. \(V(-1)=1200\cdot0{,}8^{-1}=1500\,\text{€}\). 5. \(V(10)=1200\cdot0{,}8^{10}=128{,}84901888\,\text{€}\approx128{,}85\,\text{€}\). 6. Der verbleibende Anteil ist \(0{,}8^{10}\cdot100\,\%\approx10{,}74\,\%\).

a) \(a=0{,}8\); \(V(t)=1200\cdot0{,}8^t\) b) \(314{,}57\,\text{€}\) c) \(1500\,\text{€}\) d) \(128{,}85\,\text{€}\); etwa \(10{,}74\,\%\) des Anfangswertes

- Stelle für jeden Punkt eine Gleichung auf. - Kannst du eine Variable isolieren und in die andere Gleichung einsetzen? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Berechnung der Basis? - Setze die bekannten \(x\)-Werte in deine fertige Funktionsgleichung ein, um die \(y\)-Werte zu erhalten.

1. Einsetzen der Punktkoordinaten in die Funktionsgleichung: \(4 = ca^1\) und \(32 = ca^{-2}\). 2. Auflösen nach \(c\) aus der ersten Gleichung: \(c = \frac{4}{a}\). Einsetzen in die zweite Gleichung: \(32 = \frac{4}{a} \cdot a^{-2} = 4 \cdot a^{-3} = \frac{4}{a^3}\). 3. Umstellen nach \(a^3\): \(a^3 = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = 0{,}125\). Ziehen der Kubikwurzel ergibt \(a = 0{,}5\). 4. Bestimmen von \(c\): \(c = \frac{4}{0{,}5} = 8\). Die Gleichung ist \(y = 8 \cdot 0{,}5^x\). 5. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: Für \(x = 2\) ist \(y = 8 \cdot 0{,}5^2 = 8 \cdot 0{,}25 = 2\). Für \(x = -3\) ist \(y = 8 \cdot 0{,}5^{-3} = 8 \cdot 8 = 64\).

Die Parameter sind \(a = 0{,}5\) und \(c = 8\). Die vervollständigten Punkte lauten \(R(2; 2)\) und \(S(-3; 64)\).

- Überlege für jeden Monat: Wie viele Menschen haben die App noch nicht? - Nimm von diesen „Nicht-Nutzern“ \(20\,\%\) und addiere sie zur bisherigen Nutzerzahl. - Die Formel für dieses Wachstum sieht so aus: Sättigungswert minus Restdifferenz, die exponentiell abnimmt. - Was passiert im Graphen, wenn die Kurve sich der oberen gestrichelten Linie nähert?

1. Berechnung der Nutzerzahlen: - Monat 0: \(2000\) - Monat 1: \(2000 + 0{,}20 \cdot (20\,000 - 2000) = 2000 + 3600 = 5600\) - Monat 2: \(5600 + 0{,}20 \cdot (20\,000 - 5600) = 5600 + 2880 = 8480\) - Monat 3: \(8480 + 0{,}20 \cdot (20\,000 - 8480) = 8480 + 2304 = 10\,784\) 2. Die Funktionsgleichung für beschränktes Wachstum lautet allgemein \(N(x) = S - (S - N_0)(1 - k)^x\). Hier: \(S = 20\,000\), \(N_0 = 2000\), \(k = 0{,}20\). Also \(N(x) = 20\,000 - 18\,000 \cdot 0{,}8^x\). 3. Nutzerzahl nach 12 Monaten: \(N(12) = 20\,000 - 18\,000 \cdot 0{,}8^{12} \approx 20\,000 - 18\,000 \cdot 0{,}0687 \approx 18\,763\). 4. Da die Anzahl der Neuanmeldungen immer ein Bruchteil des noch verfügbaren Potentials ist und dieses Potential (die Differenz zu \(20\,000\)) zwar immer kleiner wird, aber theoretisch nie ganz verschwindet, nähert sich der Graph der Grenze von \(20\,000\) nur an, ohne sie zu erreichen oder zu überschreiten.

a) Die Nutzerzahlen sind: Monat 1: \(5600\); Monat 2: \(8480\); Monat 3: \(10\,784\). b) Die Funktionsgleichung lautet \(N(x) = 20\,000 - 18\,000 \cdot 0{,}8^x\). c) Nach einem Jahr werden ca. \(18\,763\) Nutzer erwartet. Da die Zunahme proportional zum noch verfügbaren Potential ist, nähert sich die Kurve der Kapazitätsgrenze von \(20\,000\) Einwohnern nur asymptotisch an, kann sie aber nicht überschreiten, da es nicht mehr als \(20\,000\) Einwohner gibt.

- Trenne bei jedem Modell die Messwerte, die zum Festlegen der Parameter benutzt wurden, von dem Messwert, der zur Kontrolle übrig bleibt. - Setze für Modell A nur \(t=2\) und für Modell B nur \(t=4\) ein. - Vergleiche die Abweichungen relativ zum jeweiligen Messwert, weil die beiden Kontrollwerte unterschiedlich groß sind. - Überlege bei d), wie sicher eine Modellentscheidung ist, die auf nur einem Kontrollpunkt pro Modell beruht.

1. Modell A verwendet die Messwerte bei \(t=0\) und \(t=4\); nicht verwendet wurde der Punkt \((2\mid126)\). Modell B verwendet \(t=0\) und \(t=2\); nicht verwendet wurde der Punkt \((4\mid205)\). 2. Für Modell A gilt \(A(2)=80\cdot\sqrt{\frac{205}{80}}=\sqrt{80\cdot205}\approx128{,}06\). Die relative Abweichung vom Messwert \(126\) beträgt \(\frac{|128{,}06-126|}{126}\cdot100\,\%\approx1{,}6\,\%\). 3. Für Modell B gilt \(B(4)=80\cdot\left(\frac{126}{80}\right)^2=198{,}45\). Die relative Abweichung vom Messwert \(205\) beträgt \(\frac{|198{,}45-205|}{205}\cdot100\,\%\approx3{,}2\,\%\). 4. Nach diesem Validierungskriterium schneidet Modell A besser ab, weil seine relative Abweichung am nicht verwendeten Punkt kleiner ist. 5. Die Entscheidung bleibt vorläufig, weil jedes Modell nur an einem einzelnen zurückgehaltenen Messpunkt geprüft wurde und die Prüfzeitpunkte verschieden sind. Weitere Messpunkte, die bei keiner Modellbildung verwendet wurden, würden einen belastbareren Vergleich ermöglichen.

a) Modell A: nicht verwendet \((2\mid126)\). Modell B: nicht verwendet \((4\mid205)\). b) Modell A: etwa \(1{,}6\,\%\) relative Abweichung. Modell B: etwa \(3{,}2\,\%\). c) Nach diesem Kriterium schneidet Modell A besser ab. d) Die Aussage ist vorläufig, weil jeweils nur ein anderer, nicht verwendeter Messpunkt geprüft wird. Zusätzliche unabhängige Kontrollmessungen würden den Vergleich zuverlässiger machen.