- Vergleiche den vorhergesagten Wert direkt mit der gegebenen Kapazität. - Was bedeutet es für ein Modell, wenn es in der realen Situation unmögliche Werte liefert?

1. Der Modellwert \(525\) ist größer als die vorhandene Kapazität von \(480\) Sitzplätzen. 2. Eine reale Belegung von \(525\) Sitzplätzen ist in diesem Saal unmöglich. Das Modell ist für diesen Zeitpunkt daher nicht mehr sachgerecht und darf nicht unverändert weiter extrapoliert werden.

Der Modellwert ist unmöglich, weil \(525>480\) gilt. Das Modell hat seinen sachlichen Gültigkeitsbereich verlassen und sollte für diesen Zeitraum nicht unverändert weiterverwendet werden.

- Ordne \(t=-5\) auf einer Zeitleiste relativ zu \(t=0\) ein. - Welche sachliche Bedeutung müsste \(A(t)\) zu diesem Zeitpunkt haben? - Prüfe, ob diese Bedeutung zum im Text genannten Startzeitpunkt passt.

1. \(t=-5\) bedeutet fünf Wochen vor dem Start des Fahrradverleihs. 2. Zu diesem Zeitpunkt gab es den beschriebenen Verleih noch nicht. Die mit der Formel berechneten etwa \(201\) Ausleihen haben deshalb in diesem Kontext keine sinnvolle Bedeutung. 3. Das Modell ist nur für den Zeitraum gedacht, in dem der Verleih bereits besteht und die angenommene Entwicklung gelten kann.

Nein. \(t=-5\) liegt fünf Wochen vor dem Start des Fahrradverleihs. Obwohl die Formel dort einen Wert liefert, beschreibt dieser Wert keine reale Zahl von Ausleihen des noch nicht gestarteten Verleihs.

- Lies die Bedeutung des Faktors \(1{,}06\) ab. - Frage dich, was das Modell in jedem Jahr unverändert voraussetzt. - Überlege, ob eine Nutzerzahl über viele Jahre ohne veränderte Bedingungen immer mit demselben Prozentsatz wachsen kann.

1. Der Faktor \(1{,}06\) bedeutet, dass die jeweils aktuelle Nutzerzahl in jedem Jahr um \(6\,\%\) wächst. 2. Das Modell nimmt also an, dass diese relative Zunahme jedes Jahr gleich bleibt. 3. Langfristig kann diese Annahme zum Beispiel scheitern, weil die erreichbare Zielgruppe begrenzt ist oder weil sich die Nachfrage verändert.

a) Die jeweils aktuelle Nutzerzahl wächst jedes Jahr um \(6\,\%\). b) Zum Beispiel ist die erreichbare Zielgruppe begrenzt, sodass die Nutzerzahl nicht dauerhaft jedes Jahr um \(6\,\%\) wachsen kann.

- Schau dir den Schnittpunkt des Graphen mit der senkrechten Achse an. - Gehe vom Wert 40 auf der y-Achse waagerecht zum Graphen und dann senkrecht nach unten zur Zeit-Achse. - Was passiert mit einer heißen Tasse, wenn sie lange in einem normal temperierten Raum steht?

1. Zum Zeitpunkt \(t = 0\,\text{min}\) lässt sich auf der y-Achse eine Temperatur von \(80\,^\circ\text{C}\) ablesen. 2. Man sucht den Wert \(40\) auf der y-Achse und liest den zugehörigen x-Wert ab. Dies ist nach etwa \(10\,\text{Minuten}\) der Fall. 3. Die Umgebungstemperatur beträgt \(20\,^\circ\text{C}\). Je kleiner der Temperaturunterschied zur Umgebung wird, desto langsamer kühlt der Tee ab. Im dargestellten Modell nähert sich seine Temperatur daher langfristig \(20\,^\circ\text{C}\) an, ohne diesen Wert zu unterschreiten.

a) \(80\,^\circ\text{C}\). b) Nach ca. \(10\,\text{Minuten}\). c) Mit kleiner werdendem Temperaturunterschied verlangsamt sich die Abkühlung; im Modell nähert sich der Tee \(20\,^\circ\text{C}\) nur asymptotisch an.

- Vergleiche in der Abbildung zuerst, wie weit Messpunkt und Modellkurve bei \(t=3\) und \(t=4\) auseinanderliegen. - Achte beim Prozentvergleich darauf, auf welchen Wert sich die Abweichung bezieht. - Beziehe für c) auch die früheren dargestellten Punkte in deine Entscheidung ein.

1. Aus der Abbildung liest man bei \(t=3\) den Messwert \(325\) und bei \(t=4\) den Messwert \(400\) ab. 2. Das Modell liefert \(M(3)=100\cdot1{,}5^3=337{,}5\). Die relative Abweichung beträgt \(\frac{12{,}5}{325}\cdot100\,\%\approx3{,}85\,\%\). 3. Für \(t=4\) liefert das Modell \(M(4)=100\cdot1{,}5^4=506{,}25\). Die relative Abweichung beträgt \(\frac{106{,}25}{400}\cdot100\,\%\approx26{,}56\,\%\). 4. Die Punkte \(P_0\), \(P_1\) und \(P_2\) liegen auf der Modellkurve. Bei \(t=3\) liegt die Abweichung mit etwa \(3{,}85\,\%\) noch unter \(10\,\%\), bei \(t=4\) mit etwa \(26{,}56\,\%\) deutlich darüber. Nach dieser Regel passt das Modell daher bis einschließlich \(t=3\).

a) Bei \(t=3\): \(325\); bei \(t=4\): \(400\) b) \(t=3\): Modellwert \(337{,}5\), Abweichung \(3{,}85\,\%\); \(t=4\): Modellwert \(506{,}25\), Abweichung \(26{,}56\,\%\) c) Bis einschließlich \(t=3\). Die Punkte \(P_0\), \(P_1\) und \(P_2\) liegen auf der Modellkurve, bei \(t=3\) beträgt die Abweichung etwa \(3{,}85\,\%\), und bei \(t=4\) liegt sie mit etwa \(26{,}56\,\%\) über \(10\,\%\).

- Vergleiche die Temperaturverluste in gleich langen Zeitabschnitten. - Achte darauf, ob der Kakao am Ende noch gleich schnell abkühlt wie am Anfang. - Überlege, welchem Wert \(a^t\) für \(0<a<1\) bei sehr großen \(t\) näher kommt. - Vergleiche diesen langfristigen Modellwert mit der angegebenen Zimmertemperatur.

1. In den ersten drei Zwei-Minuten-Intervallen sinkt die Temperatur um \(16\,^\circ\text{C}\), dann um \(12\,^\circ\text{C}\) und dann um \(9\,^\circ\text{C}\). Die Differenzen sind nicht konstant, also ist die Abnahme nicht linear. 2. Die Temperatur sinkt anfangs schnell und später langsamer. Die Werte nähern sich der Zimmertemperatur \(20\,^\circ\text{C}\) von oben an. Das passt zum beschriebenen Versuch. 3. Für \(0<a<1\) nähert sich \(75\cdot a^t\) langfristig dem Wert \(0\). Das würde bedeuten, dass der Kakao gegen \(0\,^\circ\text{C}\) abkühlt. In einem Zimmer mit \(20\,^\circ\text{C}\) ist das langfristig nicht plausibel. 4. Ein besseres Modell muss die Umgebungstemperatur als unteren Grenzwert berücksichtigen, zum Beispiel indem die Temperaturdifferenz zur Umgebung modelliert wird.

a) Die Abnahmen in den ersten drei Zwei-Minuten-Intervallen sind \(16\,^\circ\text{C}\), \(12\,^\circ\text{C}\) und \(9\,^\circ\text{C}\); sie sind nicht konstant. b) Die Abkühlung wird langsamer, und die Messwerte nähern sich \(20\,^\circ\text{C}\) von oben an. c) \(75\cdot a^t\) würde sich langfristig \(0\,^\circ\text{C}\) nähern. Ein besseres Modell muss die Zimmertemperatur \(20\,^\circ\text{C}\) als Grenzwert berücksichtigen.

- Modelliere zuerst die Temperaturdifferenz zum Zimmer und addiere danach die Zimmertemperatur wieder hinzu. - Vergleiche für b) jeweils Modellwert und Messwert mit einer absoluten Differenz. - Prüfe in c), welche Information ein Grenzwert liefert und welche Information erst die Messdaten liefern.

1. Die Anfangsdifferenz zur Umgebung beträgt \(80-20=60\,^\circ\text{C}\). Pro Fünf-Minuten-Intervall bleibt der Faktor \(0{,}85\). 2. Nach \(20\,\text{min}\) sind vier Intervalle vergangen. Daher ist \(T(20)=20+60\cdot0{,}85^4=51{,}320375\,^\circ\text{C}\approx51{,}32\,^\circ\text{C}\). 3. Nach \(40\,\text{min}\) sind acht Intervalle vergangen. Daher ist \(T(40)=20+60\cdot0{,}85^8\approx36{,}35\,^\circ\text{C}\). 4. Nach \(20\,\text{min}\) beträgt die absolute Abweichung \(|51{,}32-50{,}5|=0{,}82\,^\circ\text{C}\). Das liegt unter \(3\,^\circ\text{C}\). 5. Nach \(40\,\text{min}\) beträgt die absolute Abweichung \(|36{,}35-31{,}0|=5{,}35\,^\circ\text{C}\). Das liegt über \(3\,^\circ\text{C}\). 6. Ein plausibler langfristiger Grenzwert ist nur eine Eigenschaft des Modells. Ob das Modell in einem Zeitraum brauchbar ist, muss zusätzlich an Messwerten geprüft werden.

a) Nach \(20\,\text{min}\): \(51{,}32\,^\circ\text{C}\); nach \(40\,\text{min}\): \(36{,}35\,^\circ\text{C}\) b) Bei \(20\,\text{min}\) passt das Modell nach dem Kriterium; bei \(40\,\text{min}\) nicht. c) Ein sinnvoller Grenzwert genügt nicht. Das Modell muss auch die Messwerte im betrachteten Zeitraum ausreichend gut treffen.

- Welcher Wachstumsfaktor gehört zu einer jährlichen Zunahme um \(12\,\%\)? - Welche Voraussetzungen müsste ein dauerhaft gleichbleibender relativer Zuwachs in einem abgegrenzten Lebensraum erfüllen? - Was sollte mit dem zusätzlichen Wachstum passieren, wenn kaum noch freie Ressourcen vorhanden sind?

1. Der Wachstumsfaktor beträgt \(a=1{,}12\). Nach \(15\) Jahren ergibt das exponentielle Modell \(120\cdot1{,}12^{15}\approx656{,}83\), also etwa \(657\) Rehe. 2. Ein exponentielles Modell setzt voraus, dass der relative Zuwachs dauerhaft in gleicher Weise möglich ist. In einem abgegrenzten Waldgebiet begrenzen beispielsweise Nahrungsangebot, verfügbarer Lebensraum, Krankheiten oder Fressfeinde die Populationsgröße. 3. Wenn sich der Bestand einer realistischen Obergrenze nähert, sollte die jährliche absolute Zunahme immer kleiner werden und sich schließlich \(0\) annähern.

a) Etwa \(657\) Rehe b) Das Modell ist langfristig unrealistisch, weil zum Beispiel Nahrung und Lebensraum begrenzt sind; auch Krankheiten oder Fressfeinde können das Wachstum begrenzen. c) Die jährliche absolute Zunahme sollte immer kleiner werden und sich \(0\) annähern.

- Überlege, welche Größenordnung die Modellwerte nach vielen Wochen annehmen. - Welche Bedingung muss eine bedeckte Fläche in einem See unabhängig vom Modell immer erfüllen? - Überlege für c), was sich an den Bedingungen ändert, wenn schon ein großer Teil des Sees bedeckt ist.

1. Für \(t=10\) gilt \(f(10)=5\cdot1{,}5^{10}=288{,}3251953125\,\text{m}^2\approx288{,}33\,\text{m}^2\). 2. Für \(t=20\) gilt \(f(20)=5\cdot1{,}5^{20}=16\,626{,}283650398254\,\text{m}^2\approx16\,626{,}28\,\text{m}^2\). 3. Der See besitzt nur \(10\,000\,\text{m}^2\) Oberfläche. Deshalb passt Modell 1 bei \(t=20\) nicht: Es sagt eine bedeckte Fläche voraus, die größer als die gesamte Seeoberfläche ist. 4. In diesem See sind Fläche, Licht und Nährstoffe begrenzt. Ein Modell mit einer passenden oberen Grenze kann diese Bedingungen berücksichtigen und deshalb für längere Zeiten besser passen.

a) Nach \(10\) Wochen etwa \(288{,}33\,\text{m}^2\); nach \(20\) Wochen etwa \(16\,626{,}28\,\text{m}^2\) b) Nein. Der Modellwert ist größer als die gesamte Seeoberfläche von \(10\,000\,\text{m}^2\). c) Modell 2 berücksichtigt die endliche Seeoberfläche und weitere begrenzte Ressourcen.

- Betrachte zunächst nur den Temperaturunterschied zwischen Tee und Umgebung. - Welche Restquote bleibt nach einer Verringerung um \(12\,\%\) jeweils übrig? - Untersuche bei c), welche Größe in jedem Modell für sehr große Zeiten immer kleiner wird. - Vergleiche erst danach die langfristige Aussage jedes Modells mit der im Text beschriebenen Umgebung.

1. Zu Beginn beträgt der Temperaturunterschied \(90-18=72\,^\circ\text{C}\). 2. Jede Minute bleiben \(88\,\%\) des vorherigen Unterschieds bestehen. Der Faktor für die Temperaturdifferenz ist daher \(0{,}88\). 3. Die Temperatur wird durch \(T(x)=18+72\cdot0{,}88^x\) beschrieben. 4. Nach \(5\) Minuten gilt \(T(5)=18+72\cdot0{,}88^5\approx56{,}0\,^\circ\text{C}\). Nach \(10\) Minuten gilt \(T(10)=18+72\cdot0{,}88^{10}\approx38{,}1\,^\circ\text{C}\). 5. Für große \(x\) wird \(72\cdot0{,}88^x\) immer kleiner, sodass sich \(T(x)\) der Umgebungstemperatur \(18\,^\circ\text{C}\) nähert. 6. Dagegen nähert sich \(E(x)=90\cdot0{,}88^x\) dem Wert \(0\,^\circ\text{C}\). Das passt langfristig nicht zu einem Zimmer mit konstant \(18\,^\circ\text{C}\). Daher ist \(T\) das passendere langfristige Modell.

a) Nach \(5\) Minuten etwa \(56{,}0\,^\circ\text{C}\); nach \(10\) Minuten etwa \(38{,}1\,^\circ\text{C}\) b) \(T(x)=18+72\cdot0{,}88^x\) c) \(T(x)\) nähert sich \(18\,^\circ\text{C}\), \(E(x)\) dagegen \(0\,^\circ\text{C}\). Deshalb passt \(T\) langfristig besser zum Kontext.

- Lies zuerst die Höhe der gestrichelten horizontalen Linie an der \(y\)-Achse ab. - Suche danach im Diagramm den Bereich, in dem die Exponentialkurve diese Linie kreuzt. - Um die erste volle Woche sicher zu bestimmen, vergleiche zwei aufeinanderfolgende ganzzahlige Zeitpunkte um den Schnittpunkt. - Was bedeutet es für ein Modell, wenn es Werte oberhalb einer sachlich festen Kapazität liefert?

1. Aus der Abbildung liest man für die gestrichelte Kapazitätslinie \(1000\,\text{m}^2\) ab. 2. Für \(t=5\) gilt \(f(5)=80\cdot1{,}6^5=838{,}8608\,\text{m}^2\approx838{,}86\,\text{m}^2\). Dieser Wert liegt noch unter der Kapazitätsgrenze. 3. Für \(t=6\) gilt \(f(6)=80\cdot1{,}6^6=1342{,}17728\,\text{m}^2\approx1342{,}18\,\text{m}^2\). Dieser Wert liegt über \(1000\,\text{m}^2\). 4. Die erste volle Woche mit einer Überschreitung ist daher Woche \(6\). Spätestens dort ist das ungebremste exponentielle Modell sachlich nicht mehr anwendbar; schon vorher kann sich das reale Wachstum wegen knapper werdender Fläche verlangsamen.

a) \(1000\,\text{m}^2\) b) Woche \(6\); \(f(5)\approx838{,}86\,\text{m}^2\), \(f(6)\approx1342{,}18\,\text{m}^2\) c) Ab diesem Bereich kann das exponentielle Modell die reale Ausbreitung nicht mehr beschreiben, weil es mehr Fläche vorhersagt, als verfügbar ist.

- Lies zuerst die beiden Messwerte bei \(t=4\) und \(t=5\) aus der Abbildung ab. - Vergleiche jeden Messwert mit dem Wert der exponentiellen Modellkurve am selben Zeitpunkt. - Für die Entscheidung ist nicht nur die Richtung der Abweichung wichtig, sondern ihre Größe relativ zum Messwert. - Achte bei den späteren Punkten darauf, ob ihr Abstand zur exponentiellen Kurve größer oder kleiner wird.

1. Aus der Abbildung liest man bei \(t=4\) den Messwert \(500\) ab. Das Modell liefert \(E(4)=100\cdot1{,}5^4=506{,}25\). Die relative Abweichung beträgt \(\frac{6{,}25}{500}\cdot100\,\%=1{,}25\,\%\approx1{,}3\,\%\). 2. Bei \(t=5\) beträgt der Messwert \(600\), während \(E(5)=100\cdot1{,}5^5=759{,}375\) gilt. Die relative Abweichung ist \(\frac{159{,}375}{600}\cdot100\,\%=26{,}5625\,\%\approx26{,}6\,\%\). 3. Bei \(t=4\) erfüllt das Modell das Kriterium noch, bei \(t=5\) nicht mehr. Die späteren Messpunkte steigen deutlich langsamer als die exponentielle Modellkurve und flachen zunehmend ab.

a) Bei \(t=4\): etwa \(1{,}3\,\%\); bei \(t=5\): etwa \(26{,}6\,\%\) b) Ab \(t=5\) ist das Modell nach dem vorgegebenen Kriterium nicht mehr geeignet. c) Die späteren Messwerte wachsen langsamer als das exponentielle Modell und flachen zunehmend ab.

- Frage dich, wodurch der bisherige Wachstumsfaktor überhaupt entstanden sein könnte. - Welche konkrete Bedingung ändert sich direkt nach dem Beobachtungszeitraum? - Je weiter du in die Zukunft extrapolierst, desto länger müssen die Modellannahmen unverändert gelten. - Welche Messung könnte zeigen, ob der bisherige Faktor nach der Änderung noch passt?

1. Das Modell setzt unter anderem voraus, dass die Bedingungen, die den bisherigen konstanten relativen Zuwachs erzeugt haben, ungefähr gleich bleiben und dass keine Begrenzung wie ein ausgeschöpfter Interessentenkreis wirksam wird. 2. Für den unmittelbar folgenden Tag ist die Extrapolation nur kurz und die Rahmenbedingungen könnten sich noch ähnlich verhalten. Für \(30\) weitere Tage ist das deutlich unsicherer, insbesondere weil die Werbeaktion endet und damit ein wichtiger Einflussfaktor wegfällt. 3. Entscheidend wäre mindestens ein neuer Messwert nach Ende der Werbeaktion. Er zeigt, ob der bisherige Wachstumsfaktor unter den neuen Bedingungen weiterhin ungefähr gilt.

a) Zum Beispiel: ungefähr gleichbleibende Rahmenbedingungen und weiterhin ein annähernd konstanter relativer Zuwachs ohne wirksame Sättigung. b) Eine sehr kurze Extrapolation verlangt weniger stabile Annahmen als eine Prognose über \(30\) weitere Tage; außerdem endet nach Tag \(4\) die Werbeaktion. c) Ein neuer Messwert nach Ende der Werbeaktion sollte mit der Modellprognose verglichen werden.

- Betrachte zunächst die Temperaturdifferenz zur Umgebung und nicht direkt die absolute Temperatur. - Nutze die Monotonie des Modells: Wenn ein Wert erstmals über \(15\,^\circ\text{C}\) liegt, prüfe auch den vorherigen Minutenwert. - Suche in Teil c) nach Stellen, an denen die Modellbeschreibung die Wirklichkeit vereinfacht. - Vergleiche außerdem die mathematische Aussage des Modells mit dem, was man in einem Versuch tatsächlich beobachten kann.

1. Die Anfangsdifferenz beträgt \(D_0=22-(-12)=34\,\text{K}\). Pro Minute bleibt davon der Faktor \(0{,}85\). Daher gilt \(T_n=22-34\cdot0{,}85^n\). 2. Damit ist \(T_0=-12{,}00\,^\circ\text{C}\), \(T_1=-6{,}90\,^\circ\text{C}\), \(T_2=-2{,}565\,^\circ\text{C}\approx-2{,}57\,^\circ\text{C}\) und \(T_3=1{,}11975\,^\circ\text{C}\approx1{,}12\,^\circ\text{C}\). 3. In der Nähe des Schwellenwerts gilt \(T_9\approx14{,}13\,^\circ\text{C}\) und \(T_{10}\approx15{,}31\,^\circ\text{C}\). Daher ist die Temperatur nach \(10\) vollen Minuten erstmals größer als \(15\,^\circ\text{C}\). 4. Das Modell setzt eine konstante Umgebungstemperatur und einen über die gesamte Zeit konstanten relativen Abnahmefaktor der Temperaturdifferenz voraus. Beides gilt in der Realität nur näherungsweise. 5. Außerdem erreicht das Modell \(22\,^\circ\text{C}\) mathematisch nie exakt. Bei Messungen ist eine sehr kleine Temperaturdifferenz jedoch irgendwann nicht mehr feststellbar, sodass man praktisch von gleicher Temperatur spricht.

a) \(T_0=-12{,}00\,^\circ\text{C}\), \(T_1=-6{,}90\,^\circ\text{C}\), \(T_2\approx-2{,}57\,^\circ\text{C}\), \(T_3\approx1{,}12\,^\circ\text{C}\) b) Nach \(10\) vollen Minuten c) Das Modell nimmt eine konstante Umgebungstemperatur und einen konstanten relativen Faktor an. Außerdem nähert es sich \(22\,^\circ\text{C}\) nur an, während Messungen kleine Unterschiede irgendwann nicht mehr auflösen.

- Prüfe zuerst Anfangswert und ersten Schritt beider Modelle; dort können unterschiedliche Modelle noch gleich aussehen. - Entnimm für b) die beiden beschrifteten Messwerte direkt der Abbildung und vergleiche sie mit beiden Modellwerten am selben Zeitpunkt. - Untersuche für das langfristige Verhalten, was mit \(1{,}5^t\) und mit \(0{,}9^t\) für große \(t\) geschieht. - Eine Modellentscheidung sollte sowohl die beobachteten Daten als auch eine bekannte sachliche Grenze berücksichtigen.

1. Es gilt \(E(0)=50\,\text{m}^2\) und \(B(0)=300-250=50\,\text{m}^2\). Außerdem ist \(E(1)=75\,\text{m}^2\) und \(B(1)=300-250\cdot0{,}9=75\,\text{m}^2\). Anfangswert und erster Schritt unterscheiden die Modelle daher noch nicht. 2. Aus der Abbildung liest man bei \(t=2\) den Messwert \(98\,\text{m}^2\) ab. Es gilt \(E(2)=112{,}50\,\text{m}^2\) und \(B(2)=300-250\cdot0{,}9^2=97{,}50\,\text{m}^2\). Die absoluten Abweichungen betragen \(14{,}50\,\text{m}^2\) beziehungsweise \(0{,}50\,\text{m}^2\). 3. Bei \(t=4\) liest man \(136\,\text{m}^2\) ab. Es gilt \(E(4)=253{,}125\,\text{m}^2\approx253{,}13\,\text{m}^2\) und \(B(4)=300-250\cdot0{,}9^4=135{,}975\,\text{m}^2\approx135{,}98\,\text{m}^2\). Mit den ungerundeten Modellwerten betragen die absoluten Abweichungen \(117{,}125\,\text{m}^2\) beziehungsweise \(0{,}025\,\text{m}^2\). 4. Das Modell \(E\) wächst unbegrenzt und überschreitet schließlich die verfügbare Fläche. Beim Modell \(B\) wird \(0{,}9^t\) immer kleiner, sodass sich \(B(t)\) der Grenze \(300\,\text{m}^2\) von unten nähert. 5. Die späteren Messpunkte liegen deutlich näher an \(B\), und nur \(B\) berücksichtigt die Kapazitätsgrenze. Deshalb sollte \(B\) weiterverwendet werden. Dass beide Modelle bei \(t=0\) und \(t=1\) dieselben Modellwerte liefern, reicht nicht aus, weil sie danach stark unterschiedliche Entwicklungen vorhersagen und bereits der Messwert bei \(t=1\) mit \(76\,\text{m}^2\) von ihrem gemeinsamen Modellwert \(75\,\text{m}^2\) abweicht.

a) Beide Modelle liefern \(50\,\text{m}^2\) bei \(t=0\) und \(75\,\text{m}^2\) bei \(t=1\). b) Aus der Abbildung: \(98\,\text{m}^2\) bei \(t=2\), \(136\,\text{m}^2\) bei \(t=4\). Bei \(t=2\): \(E=112{,}50\,\text{m}^2\), \(B=97{,}50\,\text{m}^2\); Abweichungen \(14{,}50\,\text{m}^2\) und \(0{,}50\,\text{m}^2\). Bei \(t=4\): \(E\approx253{,}13\,\text{m}^2\), \(B\approx135{,}98\,\text{m}^2\); mit den ungerundeten Modellwerten betragen die Abweichungen \(117{,}125\,\text{m}^2\) und \(0{,}025\,\text{m}^2\). c) \(E\) wächst unbegrenzt; \(B\) nähert sich \(300\,\text{m}^2\). d) Modell \(B\) sollte weiterverwendet werden, weil es sowohl die späteren Messungen als auch die Kapazitätsgrenze wesentlich besser berücksichtigt. Dass \(E\) und \(B\) bei \(t=0\) und \(t=1\) dieselben Modellwerte liefern, genügt nicht zur Modellwahl.

- Suche zuerst nach einem Abschnitt, in dem die relativen Änderungen ungefähr stabil wirken, statt sofort alle Messwerte mit einem Modell erzwingen zu wollen. - Halte bewusst Messwerte zurück, damit du dein Modell an Daten prüfen kannst, die es nicht schon durch die Konstruktion trifft. - Betrachte neben numerischen Abweichungen auch die sachliche Kapazitätsgrenze. - Eine gute Modellentscheidung umfasst nicht nur einen Term, sondern auch eine Aussage darüber, wo der Term nicht mehr vertrauenswürdig ist.

1. Eine mögliche Wahl ist der frühe Bereich \(t=0\) bis \(t=3\). Mit den Randpunkten \((0;60)\) und \((3;132)\) gilt \(b=60\) und \(132=60a^3\). Daher ist \(a=\sqrt[3]{2{,}2}\approx1{,}301\) und \(M(t)=60(\sqrt[3]{2{,}2})^t\). 2. Im gewählten frühen Bereich liefert das Modell \(M(1)\approx78{,}04\) und \(M(2)\approx101{,}49\); das liegt nahe bei den Messwerten \(78\) und \(102\). 3. Für spätere, nicht zur Modellbildung verwendete Werte ergibt sich \(M(4)\approx171{,}68\), also etwa \(7{,}30\,\%\) relative Abweichung von \(160\). Für \(t=5\) gilt \(M(5)\approx223{,}28\), also etwa \(21{,}35\,\%\) Abweichung von \(184\). Bei \(t=6\) liefert das Modell \(M(6)=290{,}40\), obwohl die Kapazitätsgrenze nur \(220\) beträgt. 4. Das exponentielle Modell beschreibt die frühe Phase gut, verliert aber mit zunehmender Zeit deutlich an Plausibilität. Spätestens vor \(t=6\) muss es verworfen oder überarbeitet werden; schon die wachsenden Abweichungen bei \(t=4\) und \(t=5\) zeigen die beginnende Modellgrenze. 5. Eine Prognose für \(t=7\) mit demselben Modell ist nicht vertretbar, weil das Modell bereits vorher die sachliche Kapazitätsgrenze verletzt. Ein überarbeitetes Modell müsste eine obere Begrenzung beziehungsweise eine mit wachsender Auslastung abnehmende Zunahme berücksichtigen.

a) Beispielstrategie: früher Bereich \(t=0\) bis \(t=3\), bestimmt mit \((0;60)\) und \((3;132)\). Dann ist \(M(t)=60(\sqrt[3]{2{,}2})^t\) mit \(a\approx1{,}301\). b) Zum Beispiel bei \(t=4\): etwa \(7{,}30\,\%\), bei \(t=5\): etwa \(21{,}35\,\%\) relative Abweichung; bei \(t=6\) sagt das Modell \(290{,}40\) voraus und überschreitet damit die Kapazitätsgrenze \(220\). c) Das Modell eignet sich nur für die frühe Phase; spätestens vor \(t=6\) muss es verworfen oder überarbeitet werden. d) Eine Prognose für \(t=7\) ist mit demselben Modell nicht vertretbar. Ein überarbeitetes Modell muss die obere Begrenzung beziehungsweise eine mit zunehmender Auslastung abnehmende Zunahme berücksichtigen. Andere begründete Modellierungsstrategien sind zulässig.