Kostenlose Arbeitsblätter

- Schau dir den Schnittpunkt des Graphen mit der senkrechten Achse an. - Gehe vom Wert 40 auf der y-Achse waagerecht zum Graphen und dann senkrecht nach unten zur Zeit-Achse. - Was passiert mit einer heißen Tasse, wenn sie lange in einem normal temperierten Raum steht?

1. Zum Zeitpunkt \(t = 0\,\text{min}\) lässt sich auf der y-Achse eine Temperatur von \(80\,^\circ\text{C}\) ablesen. 2. Man sucht den Wert \(40\) auf der y-Achse und liest den zugehörigen x-Wert ab. Dies ist nach etwa \(10\,\text{Minuten}\) der Fall. 3. Die Umgebungstemperatur beträgt \(20\,^\circ\text{C}\). Je kleiner der Temperaturunterschied zur Umgebung wird, desto langsamer kühlt der Tee ab. Im dargestellten Modell nähert sich seine Temperatur daher langfristig \(20\,^\circ\text{C}\) an, ohne diesen Wert zu unterschreiten.

a) \(80\,^\circ\text{C}\). b) Nach ca. \(10\,\text{Minuten}\). c) Mit kleiner werdendem Temperaturunterschied verlangsamt sich die Abkühlung; im Modell nähert sich der Tee \(20\,^\circ\text{C}\) nur asymptotisch an.

- Stelle eine Tabelle auf, in der du Schritt für Schritt die Restmenge vom Vortag berechnest und die neue Dosis addierst. - Der Abbau von \(30\,\%\) bedeutet, dass noch \(70\,\%\) der Menge vorhanden sind. - Ein Gleichgewichtszustand herrscht dann, wenn die Abbaumenge genau der neu zugeführten Menge entspricht.

1. Berechnung der Bestände direkt nach der Einnahme mit \(x_n = x_{n-1} \cdot 0{,}7 + 20\): Tag 1: \(20\,\text{mg}\). Tag 2: \(20 \cdot 0{,}7 + 20 = 34\,\text{mg}\). Tag 3: \(34 \cdot 0{,}7 + 20 = 43{,}8\,\text{mg}\). Tag 4: \(43{,}8 \cdot 0{,}7 + 20 = 50{,}66\,\text{mg}\). Tag 5: \(50{,}66 \cdot 0{,}7 + 20 = 55{,}462\,\text{mg}\). 2. Vergleich der Werte: Am 4. Tag wird der Wert von \(50\,\text{mg}\) zum ersten Mal überschritten (\(50{,}66 > 50\)). 3. Bestimmung des Grenzwerts \(G\): \(G = G \cdot 0{,}7 + 20 \Rightarrow 0{,}3G = 20 \Rightarrow G = \frac{20}{0{,}3} = 66{,}\bar{6}\,\text{mg}\).

a) Mengen nach der Einnahme: Tag 1: \(20\,\text{mg}\); Tag 2: \(34\,\text{mg}\); Tag 3: \(43{,}8\,\text{mg}\); Tag 4: \(50{,}66\,\text{mg}\); Tag 5: \(55{,}462\,\text{mg}\). b) Nach 4 Tagen sind zum ersten Mal mehr als \(50\,\text{mg}\) vorhanden. c) Der langfristige Grenzwert beträgt \(66{,}\bar{6}\,\text{mg}\).

- Vergleiche die Menge, die täglich abgebaut wird, mit der Menge, die täglich neu hinzukommt. - Was müsste passieren, damit der Wert im Körper konstant bleibt? - Wie verändert sich das Ergebnis einer Division, wenn du den Divisor (die Abbaurate) vergrößerst?

1. Mit \(A_0 = 40\) und \(A_{n+1} = 0{,}8A_n + 5\) gilt: Nach Tag 1 sind \(40 \cdot 0{,}8 + 5 = 37\,\text{mg}\) vorhanden. Nach Tag 2 sind es \(37 \cdot 0{,}8 + 5 = 34{,}6\,\text{mg}\). 2. Für die Änderung gilt \(A_{n+1} - A_n = 5 - 0{,}2A_n\). Solange \(A_n > 25\) ist, ist diese Differenz negativ. Außerdem gilt \(A_{n+1} - 25 = 0{,}8(A_n - 25)\), sodass alle Folgenglieder oberhalb von \(25\) bleiben und sich diesem Wert nähern. Die Folge sinkt daher monoton gegen \(25\,\text{mg}\). 3. Bei einer Abbaurate von \(25\,\%\) erfüllt der Grenzwert \(L = 0{,}75L + 5\). Somit gilt \(0{,}25L = 5\) und \(L = 20\,\text{mg}\). Der Grenzwert würde sinken.

a) Nach dem ersten Tag: \(37\,\text{mg}\); nach dem zweiten Tag: \(34{,}6\,\text{mg}\). b) Für \(A_n > 25\,\text{mg}\) ist der tägliche Abbau größer als die Zufuhr. Die Menge sinkt monoton und stabilisiert sich bei \(25\,\text{mg}\). c) Bei einer Abbaurate von \(25\,\%\) würde der Grenzwert auf \(20\,\text{mg}\) sinken.

- Betrachte zuerst nur den Temperaturunterschied zwischen Tee und Zimmer. - Eine Abnahme um \(15\,\%\) bedeutet, dass nach jedem Intervall \(85\,\%\) des bisherigen Unterschieds verbleiben. - Um aus dem Unterschied wieder die Teetemperatur zu erhalten, musst du die Umgebungstemperatur berücksichtigen. - Überlege für die langfristige Entwicklung, was mit einem immer wieder verkleinerten positiven Temperaturunterschied geschieht.

1. Die Anfangsdifferenz zur Umgebung beträgt \(80-20=60\,^\circ\text{C}\). Pro Fünf-Minuten-Intervall bleibt der Faktor \(0{,}85\). 2. Nach \(5\,\text{min}\) beträgt die Differenz \(60\cdot0{,}85=51\,^\circ\text{C}\), also ist die Teetemperatur \(71{,}00\,^\circ\text{C}\). 3. Nach \(10\,\text{min}\) beträgt die Differenz \(60\cdot0{,}85^2=43{,}35\,^\circ\text{C}\), also ist die Teetemperatur \(63{,}35\,^\circ\text{C}\). 4. Nach \(15\,\text{min}\) beträgt die Differenz \(60\cdot0{,}85^3=36{,}8475\,^\circ\text{C}\), also ist die Teetemperatur \(56{,}8475\,^\circ\text{C}\approx56{,}85\,^\circ\text{C}\). 5. Nach \(20\,\text{min}\) beträgt die Differenz \(60\cdot0{,}85^4=31{,}320375\,^\circ\text{C}\), also ist die Teetemperatur \(51{,}320375\,^\circ\text{C}\approx51{,}32\,^\circ\text{C}\). 6. Die Temperatur sinkt nicht gegen \(0\,^\circ\text{C}\), sondern nähert sich der Umgebungstemperatur \(20\,^\circ\text{C}\) an. Deshalb ist die Abnahme nach unten begrenzt. 7. Die absolute Abnahme pro Intervall wird kleiner, weil sich die \(15\,\%\) jeweils auf eine kleiner werdende Temperaturdifferenz beziehen.

a) \(71{,}00\,^\circ\text{C}\), \(63{,}35\,^\circ\text{C}\), \(56{,}85\,^\circ\text{C}\), \(51{,}32\,^\circ\text{C}\) b) Die Temperatur nähert sich langfristig \(20\,^\circ\text{C}\); diese Umgebungstemperatur begrenzt die Abnahme. c) Die absolute Temperaturabnahme pro Fünf-Minuten-Intervall wird immer kleiner.

- Überlege dir zuerst, wie man den „Freiraum“ im Wald mathematisch ausdrückt. - Der neue Bestand setzt sich immer aus dem alten Bestand plus dem berechneten Zuwachs zusammen. - Was passiert mit der Lücke zur Kapazitätsgrenze, wenn der Wald voller wird? - Schau dir die berechneten Zuwächse von Jahr zu Jahr an – werden sie größer oder kleiner?

1. Der Zuwachs beträgt \(0{,}25(4000 - B_n)\). Damit ergibt sich \(B_{n+1} = B_n + 0{,}25(4000 - B_n)\). 2. Berechnung der Modellwerte ohne Zwischenrundung: - Jahr 0: \(B_0 = 800\) - Jahr 1: \(B_1 = 1600\) - Jahr 2: \(B_2 = 2200\) - Jahr 3: \(B_3 = 2650\) - Jahr 4: \(B_4 = 2987{,}5 \approx 2988\) - Jahr 5: \(B_5 = 3240{,}625 \approx 3241\) 3. Es liegt begrenztes Wachstum vor, da der Bestand eine obere Schranke von \(4000\) besitzt. Weil die Differenz zum Maximum immer kleiner wird, nimmt auch der jährliche Zuwachs ab und nähert sich Null an.

a) \(B_{n+1} = B_n + 0{,}25(4000 - B_n)\) oder \(B_{n+1} = 0{,}75B_n + 1000\) b) Gerundet: \(B_1 = 1600\), \(B_2 = 2200\), \(B_3 = 2650\), \(B_4 \approx 2988\), \(B_5 \approx 3241\). c) Das Wachstum ist durch die Kapazität von \(4000\) Bäumen nach oben begrenzt. Der jährliche Zuwachs wird immer kleiner, je näher der Bestand der Grenze kommt.

- Welche Formel nutzt du für die Berechnung bei einem festen Prozentsatz? - Was braucht ein Lebewesen zum Überleben, das in einem Wald nur begrenzt vorhanden ist? - Stell dir vor, der Wald ist „voll“. Wie viele neue Kitze können dann noch erfolgreich aufwachsen?

1. Berechnung des Bestands nach \(15\) Jahren mit dem Wachstumsfaktor \(q = 1{,}12\): \(120 \cdot 1{,}12^{15} \approx 656{,}82\). Es gäbe ca. \(657\) Rehe. 2. Ein exponentielles Modell setzt unbegrenzte Ressourcen voraus. In der Realität begrenzen Faktoren wie das Nahrungsangebot, der verfügbare Lebensraum (Platz), die Ausbreitung von Krankheiten oder das Vorhandensein von Fressfeinden die Populationsgröße. 3. Wenn sich die Population der Sättigungsgrenze \(G\) nähert, nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit ab. Die jährliche Zunahme wird immer kleiner und nähert sich dem Wert \(0\) an, sodass der Bestand nahezu konstant bleibt.

a) Nach \(15\) Jahren gäbe es ca. \(657\) Rehe. b) Das Modell ist unrealistisch, da Ressourcen wie Nahrung und Platz begrenzt sind. Weitere Faktoren sind Krankheiten oder Fressfeinde. c) Die Wachstumsrate sinkt und nähert sich Null an; der Bestand stabilisiert sich nahe der Sättigungsgrenze.

- Setze beide Zeitwerte in das exponentielle Modell ein und vergleiche die Ergebnisse anschließend mit der gesamten Seeoberfläche. - Frage dich, ob eine reale bedeckte Fläche größer sein kann als die verfügbare Fläche. - Überlege, welche Ressourcen für Pflanzen knapper werden, wenn immer mehr Seeoberfläche bereits besiedelt ist.

1. Für \(t=10\) gilt \(f(10)=5\cdot1{,}5^{10}=288{,}3251953125\,\text{m}^2\approx288{,}33\,\text{m}^2\). 2. Für \(t=20\) gilt \(f(20)=5\cdot1{,}5^{20}=16\,626{,}283650398254\,\text{m}^2\approx16\,626{,}28\,\text{m}^2\). 3. Der See besitzt nur \(10\,000\,\text{m}^2\) Oberfläche. Deshalb ist Modell 1 für \(t=20\) nicht mehr plausibel: Es sagt eine bedeckte Fläche voraus, die größer als die gesamte Seeoberfläche ist. 4. In biologischen Systemen werden Raum, Licht und Nährstoffe knapper, wenn die Population oder bedeckte Fläche zunimmt. Ein logistisches Modell berücksichtigt eine solche Sättigungsgrenze und die dadurch abnehmende Wachstumsrate.

a) Nach \(10\) Wochen etwa \(288{,}33\,\text{m}^2\); nach \(20\) Wochen etwa \(16\,626{,}28\,\text{m}^2\) b) Modell 1 ist bei \(t=20\) nicht anwendbar, weil die berechnete Fläche größer als \(10\,000\,\text{m}^2\) ist. c) Ein logistisches Modell berücksichtigt begrenzte Ressourcen und eine Sättigungsgrenze; deshalb verlangsamt sich das Wachstum bei zunehmender Ausbreitung.

- Betrachte zunächst nur den Temperaturunterschied zwischen Tee und Umgebung. - Welche Restquote bleibt nach einer Verringerung um \(12\,\%\) jeweils übrig? - Überlege bei c), was mit dem exponentiell kleiner werdenden Temperaturunterschied langfristig geschieht.

1. Zu Beginn beträgt der Temperaturunterschied \(90\,\text{°C}-18\,\text{°C}=72\,\text{°C}\). 2. Jede Minute bleiben \(88\,\%\) des vorherigen Unterschieds bestehen. Der Faktor für die Temperaturdifferenz ist daher \(a=0{,}88\). 3. Die Temperatur wird durch \(T(x)=18+72\cdot0{,}88^x\) beschrieben. 4. Nach \(5\) Minuten gilt \(T(5)=18+72\cdot0{,}88^5\approx56{,}0\,\text{°C}\). 5. Nach \(10\) Minuten gilt \(T(10)=18+72\cdot0{,}88^{10}\approx38{,}1\,\text{°C}\). 6. Für große \(x\) wird \(72\cdot0{,}88^x\) immer kleiner und nähert sich \(0\). Daher nähert sich \(T(x)\) der Umgebungstemperatur \(18\,\text{°C}\). Das Modell unterschreitet diese Temperatur nicht, weil nur der positive Temperaturunterschied exponentiell abnimmt.

a) Nach \(5\) Minuten etwa \(56{,}0\,\text{°C}\); nach \(10\) Minuten etwa \(38{,}1\,\text{°C}\). b) \(T(x)=18+72\cdot0{,}88^x\). c) Die Temperatur nähert sich \(18\,\text{°C}\), also der Umgebungstemperatur.

- Suche im Diagramm zuerst den Bereich, in dem die Exponentialkurve die horizontale Kapazitätslinie kreuzt. - Um die erste volle Woche sicher zu bestimmen, vergleiche zwei aufeinanderfolgende ganzzahlige Zeitpunkte um den Schnittpunkt. - Eine mathematische Modellkurve darf Werte liefern, die in der realen Situation unmöglich sind. Was bedeutet das für ihre Gültigkeit?

1. Für \(t=5\) gilt \(f(5)=80\cdot1{,}6^5=838{,}8608\,\text{m}^2\approx838{,}86\,\text{m}^2\). Dieser Wert liegt noch unter der Kapazitätsgrenze. 2. Für \(t=6\) gilt \(f(6)=80\cdot1{,}6^6=1342{,}17728\,\text{m}^2\approx1342{,}18\,\text{m}^2\). Dieser Wert liegt über \(1000\,\text{m}^2\). 3. Die erste volle Woche mit einer Überschreitung ist daher Woche \(6\). Spätestens dort ist das ungebremste exponentielle Modell physikalisch nicht mehr anwendbar; schon vorher kann sich das reale Wachstum wegen knapper werdender Fläche verlangsamen.

a) Woche \(6\); \(f(5)\approx838{,}86\,\text{m}^2\), \(f(6)\approx1342{,}18\,\text{m}^2\) b) Ab diesem Bereich kann das exponentielle Modell die reale Ausbreitung nicht mehr beschreiben, weil es mehr Fläche vorhersagt, als verfügbar ist.

- Lies zuerst die beiden Messwerte bei \(t=4\) und \(t=5\) aus der Abbildung ab. - Vergleiche jeden Messwert mit dem Wert der exponentiellen Modellkurve am selben Zeitpunkt. - Für die Entscheidung ist nicht nur die Richtung der Abweichung wichtig, sondern ihre Größe relativ zum Messwert. - Achte bei den späteren Punkten darauf, ob ihr Abstand zur exponentiellen Kurve größer oder kleiner wird.

1. Aus der Abbildung liest man bei \(t=4\) den Messwert \(500\) ab. Das Modell liefert \(E(4)=100\cdot1{,}5^4=506{,}25\). Die relative Abweichung beträgt \(\frac{6{,}25}{500}\cdot100\,\%=1{,}25\,\%\approx1{,}3\,\%\). 2. Bei \(t=5\) beträgt der Messwert \(600\), während \(E(5)=100\cdot1{,}5^5=759{,}375\) gilt. Die relative Abweichung ist \(\frac{159{,}375}{600}\cdot100\,\%=26{,}5625\,\%\approx26{,}6\,\%\). 3. Bei \(t=4\) erfüllt das Modell das Kriterium noch, bei \(t=5\) nicht mehr. Die späteren Messpunkte steigen deutlich langsamer als die exponentielle Modellkurve und scheinen sich zunehmend abzuflachen.

a) Bei \(t=4\): etwa \(1{,}3\,\%\); bei \(t=5\): etwa \(26{,}6\,\%\) b) Ab \(t=5\) ist das Modell nach dem vorgegebenen Kriterium nicht mehr geeignet. c) Die späteren Messwerte wachsen langsamer als das exponentielle Modell und flachen zunehmend ab.

- Frage dich, wodurch der bisherige Wachstumsfaktor überhaupt entstanden sein könnte. - Welche konkrete Bedingung ändert sich direkt nach dem Beobachtungszeitraum? - Je weiter du in die Zukunft extrapolierst, desto länger müssen die Modellannahmen unverändert gelten. - Welche Messung könnte zeigen, ob der bisherige Faktor nach der Änderung noch passt?

1. Das Modell setzt unter anderem voraus, dass die Bedingungen, die den bisherigen konstanten relativen Zuwachs erzeugt haben, ungefähr gleich bleiben und dass keine Begrenzung wie ein ausgeschöpfter Interessentenkreis wirksam wird. 2. Für den unmittelbar folgenden Tag ist die Extrapolation nur kurz und die Rahmenbedingungen könnten sich noch ähnlich verhalten. Für \(30\) weitere Tage ist das deutlich unsicherer, insbesondere weil die Werbeaktion endet und damit ein wichtiger Einflussfaktor wegfällt. 3. Entscheidend wäre mindestens ein neuer Messwert nach Ende der Werbeaktion. Er zeigt, ob der bisherige Wachstumsfaktor unter den neuen Bedingungen weiterhin ungefähr gilt.

a) Zum Beispiel: ungefähr gleichbleibende Rahmenbedingungen und weiterhin ein annähernd konstanter relativer Zuwachs ohne wirksame Sättigung. b) Eine sehr kurze Extrapolation verlangt weniger stabile Annahmen als eine Prognose über \(30\) weitere Tage; außerdem endet nach Tag \(4\) die Werbeaktion. c) Ein neuer Messwert nach Ende der Werbeaktion sollte mit der Modellprognose verglichen werden.

- Beschreibe zuerst, wie aus der Wassermenge eines Tages die Wassermenge des nächsten Tages entsteht. - Für die Obergrenze suchst du einen Zustand, bei dem sich die Wassermenge von einem Tag zum nächsten nicht mehr ändert. - Für Teil c) reicht es, die Tageswerte in der Nähe von \(250\,\text{l}\) nacheinander zu vergleichen.

1. Mit \(W_0=0\) gilt \(W_{n+1}=0{,}85W_n+60\). Daher ist \(W_1=60\,\text{l}\), \(W_2=111\,\text{l}\), \(W_3=154{,}35\,\text{l}\) und \(W_4=191{,}1975\,\text{l}\approx191{,}20\,\text{l}\). 2. Für einen Grenzwert \(L\) gilt \(L=0{,}85L+60\). Daraus folgt \(0{,}15L=60\) und damit \(L=400\,\text{l}\). 3. Weiteres Berechnen ergibt \(W_5\approx222{,}52\,\text{l}\), \(W_6\approx249{,}14\,\text{l}\) und \(W_7\approx271{,}77\,\text{l}\). Damit werden \(250\,\text{l}\) am 7. Tag erstmals überschritten.

a) Nach zwei Tagen: \(111\,\text{l}\); nach drei Tagen: \(154{,}35\,\text{l}\); nach vier Tagen: \(191{,}20\,\text{l}\) b) \(400\,\text{l}\) c) Am 7. Tag

- Betrachte zunächst die Temperaturdifferenz zur Umgebung und nicht direkt die absolute Temperatur. - Für Teil b) brauchst du keinen Logarithmus: Berechne Werte in der Nähe der gesuchten Temperatur und vergleiche zwei aufeinanderfolgende Minuten. - Welche Annahmen des Modells könnten sich bei einem realen Experiment mit der Zeit verändern? - Unterscheide zwischen „mathematisch exakt gleich“ und „praktisch nicht mehr messbar verschieden“.

1. Die Anfangsdifferenz beträgt \(D_0=22-(-12)=34\,\text{K}\). Pro Minute bleibt davon der Faktor \(0{,}85\). Daher gilt \(T_n=22-34\cdot0{,}85^n\). 2. Damit ist \(T_0=-12{,}00\,^\circ\text{C}\), \(T_1=-6{,}90\,^\circ\text{C}\), \(T_2=-2{,}565\,^\circ\text{C}\approx-2{,}57\,^\circ\text{C}\) und \(T_3=1{,}11975\,^\circ\text{C}\approx1{,}12\,^\circ\text{C}\). 3. In der Nähe des Schwellenwerts gilt \(T_9\approx14{,}13\,^\circ\text{C}\) und \(T_{10}\approx15{,}31\,^\circ\text{C}\). Daher ist die Temperatur nach \(10\) vollen Minuten erstmals größer als \(15\,^\circ\text{C}\). 4. Das Modell setzt eine konstante Umgebungstemperatur und einen über die gesamte Zeit konstanten relativen Abnahmefaktor der Temperaturdifferenz voraus. Diese Annahmen gelten in der Realität nur näherungsweise. Außerdem erreicht das Modell \(22\,^\circ\text{C}\) mathematisch nie exakt, während eine sehr kleine Differenz wegen begrenzter Messgenauigkeit praktisch nicht mehr feststellbar ist.

a) \(T_0=-12{,}00\,^\circ\text{C}\), \(T_1=-6{,}90\,^\circ\text{C}\), \(T_2\approx-2{,}57\,^\circ\text{C}\), \(T_3\approx1{,}12\,^\circ\text{C}\) b) Nach \(10\) vollen Minuten c) Das Modell idealisiert den Vorgang durch einen konstanten Faktor und eine konstante Umgebungstemperatur; zudem nähert es sich \(22\,^\circ\text{C}\) nur asymptotisch, während Messungen kleine Unterschiede irgendwann nicht mehr auflösen.

- Überlege für jeden Monat: Wie viele Menschen haben die App noch nicht? - Nimm von diesen „Nicht-Nutzern“ \(20\,\%\) und addiere sie zur bisherigen Nutzerzahl. - Die Formel für dieses Wachstum sieht so aus: Sättigungswert minus Restdifferenz, die exponentiell abnimmt. - Was passiert im Graphen, wenn die Kurve sich der oberen gestrichelten Linie nähert?

1. Berechnung der Nutzerzahlen: - Monat 0: \(2000\) - Monat 1: \(2000 + 0{,}20 \cdot (20\,000 - 2000) = 2000 + 3600 = 5600\) - Monat 2: \(5600 + 0{,}20 \cdot (20\,000 - 5600) = 5600 + 2880 = 8480\) - Monat 3: \(8480 + 0{,}20 \cdot (20\,000 - 8480) = 8480 + 2304 = 10\,784\) 2. Die Funktionsgleichung für beschränktes Wachstum lautet allgemein \(N(x) = S - (S - N_0)(1 - k)^x\). Hier: \(S = 20\,000\), \(N_0 = 2000\), \(k = 0{,}20\). Also \(N(x) = 20\,000 - 18\,000 \cdot 0{,}8^x\). 3. Nutzerzahl nach 12 Monaten: \(N(12) = 20\,000 - 18\,000 \cdot 0{,}8^{12} \approx 20\,000 - 18\,000 \cdot 0{,}0687 \approx 18\,763\). 4. Da die Anzahl der Neuanmeldungen immer ein Bruchteil des noch verfügbaren Potentials ist und dieses Potential (die Differenz zu \(20\,000\)) zwar immer kleiner wird, aber theoretisch nie ganz verschwindet, nähert sich der Graph der Grenze von \(20\,000\) nur an, ohne sie zu erreichen oder zu überschreiten.

a) Die Nutzerzahlen sind: Monat 1: \(5600\); Monat 2: \(8480\); Monat 3: \(10\,784\). b) Die Funktionsgleichung lautet \(N(x) = 20\,000 - 18\,000 \cdot 0{,}8^x\). c) Nach einem Jahr werden ca. \(18\,763\) Nutzer erwartet. Da die Zunahme proportional zum noch verfügbaren Potential ist, nähert sich die Kurve der Kapazitätsgrenze von \(20\,000\) Einwohnern nur asymptotisch an, kann sie aber nicht überschreiten, da es nicht mehr als \(20\,000\) Einwohner gibt.

- Prüfe zuerst Anfangswert und ersten Schritt beider Modelle; dort können unterschiedliche Modelle noch gleich aussehen. - Nutze für b) die beschrifteten Messpunkte bei \(t=2\) und \(t=4\) und vergleiche jeweils Modellwert und Messwert. - Untersuche für das langfristige Verhalten, was mit \(1{,}5^t\) und mit \(0{,}9^t\) für große \(t\) geschieht. - Eine Modellentscheidung sollte sowohl die beobachteten Daten als auch eine bekannte sachliche Grenze berücksichtigen.

1. Es gilt \(E(0)=50\cdot1=50\,\text{m}^2\) und \(B(0)=300-250\cdot1=50\,\text{m}^2\). Außerdem ist \(E(1)=75\,\text{m}^2\) und \(B(1)=300-250\cdot0{,}9=75\,\text{m}^2\). Anfangswert und erster Schritt unterscheiden die Modelle daher noch nicht. 2. Aus der Abbildung liest man bei \(t=2\) etwa \(98\,\text{m}^2\) und bei \(t=4\) etwa \(136\,\text{m}^2\) ab. 3. Bei \(t=2\) gilt \(E(2)=112{,}50\,\text{m}^2\) und \(B(2)=300-250\cdot0{,}9^2=97{,}50\,\text{m}^2\). Die Abweichungen vom Messwert \(98\) betragen damit \(14{,}50\,\text{m}^2\) beziehungsweise \(0{,}50\,\text{m}^2\). 4. Bei \(t=4\) gilt \(E(4)=253{,}13\,\text{m}^2\) und \(B(4)=300-250\cdot0{,}9^4=135{,}98\,\text{m}^2\). Zum Messwert \(136\) betragen die Abweichungen etwa \(117{,}13\,\text{m}^2\) beziehungsweise \(0{,}02\,\text{m}^2\). 5. Das Modell \(E\) wächst unbegrenzt und überschreitet schließlich die verfügbare Fläche. Beim Modell \(B\) wird \(0{,}9^t\) immer kleiner, sodass sich \(B(t)\) der Grenze \(300\,\text{m}^2\) von unten nähert. 6. Die späteren Messpunkte liegen deutlich näher an \(B\), und nur \(B\) berücksichtigt die Kapazitätsgrenze. Deshalb sollte \(B\) weiterverwendet werden. Dass beide Modelle den Anfang und den ersten Schritt treffen, reicht nicht aus, weil sie danach stark unterschiedliche Entwicklungen vorhersagen.

a) Beide Modelle liefern \(50\,\text{m}^2\) bei \(t=0\) und \(75\,\text{m}^2\) bei \(t=1\). b) Messwerte: bei \(t=2\) etwa \(98\,\text{m}^2\), bei \(t=4\) etwa \(136\,\text{m}^2\). Bei \(t=2\): \(E=112{,}50\), \(B=97{,}50\). Bei \(t=4\): \(E\approx253{,}13\), \(B\approx135{,}98\) jeweils in \(\text{m}^2\). Modell \(B\) liegt an beiden Zeitpunkten deutlich näher. c) \(E\) wächst unbegrenzt; \(B\) nähert sich \(300\,\text{m}^2\). d) Modell \(B\) sollte weiterverwendet werden, weil es sowohl die späteren Messungen als auch die Kapazitätsgrenze wesentlich besser berücksichtigt.